21

Fc = Gt + Ff, Gt = mg sin α, Ff = µN,

N = Gn = mg cos α, Fc = mg(sin α + µ cos α)

Fu = G

αµ+αα

=αµ+α

==ηcossin

sin

)cos(sin lmg

mgh

lF

hF

c

u

6. Energia mecanică: reprezintă capacitatea unui corp de a efectua lucrul mecanic. În funcŃie de sta-rea corpului putem avea energie cinetică (de mişca-re) şi energie potenŃială (energie de poziŃie în câmpuri de forŃe): Em = Ec + Ep. Obs. Energia este o mărime de stare caracterizând starea corpului la un moment dat. 7. Energie cinetică: este energia unui sistem având la un moment dat viteza v

�

. DefiniŃie: Energia cinetică a unui corp la un moment dat este o mărime fizică scalară, egală cu semiprodusul dintre masa corpului şi pătratul vitezei corpului la momentul respectiv faŃă de un sistem de referinŃă.

N�

tG�

G�

nG�

fF�

cF�

22

NotaŃie: Ec, Wc, 2

2mvEc =

Unitate de măsură: [ ] js

kgmE

ISc==

2

2

..

8. Teorema de variaŃie a energiei cinetice VariaŃia energiei cinetice a unui punct material între două momente de timp este egală cu lucrul mecanic al forŃei rezultante ce o produce: ∆Ec = L. Exemplu: considerăm un corp care are la momen-tul t0, viteza V0 şi asupra lui acŃionează o forŃa coli-niară cu deplasarea F, astfel încât la momentul t are viteza V.

L = F∆x, L = ma∆x, V 2 = V0

2 + 2a∆x

LmVmV

=−22

20

2

, Ec – Ec0 = L

9. Energie potenŃială: Energia potenŃială a unui corp este energia datorată interacŃiunii cu alt corp ales de obicei, în mecanică, sistem de referinŃă. Energia potenŃială va depinde de poziŃia corpului faŃă de celălalt corp, ce creează câmpul de forŃe (gravitaŃional, elastic).

V0, t0 V, t F�

x∆

23

10. Teorema de variaŃie a energiei potenŃiale EnunŃ: VariaŃia energiei potenŃiale a unui corp la două momente de timp este egală cu lucrul mecanic efectuat în câmpul de forŃe conservativ creat de alt corp şi de semn opus:

∆Ep = –L, Epf – Epi = –L.

11. Cazuri particulare: În mecanică cele mai în-tâlnite cazuri sunt: energia potenŃială de tip gravita-Ńional şi energia potenŃială de tip elastic. a) Energia potenŃială de tip gravitaŃional: Conside-răm un corp de masă m aflat în câmpul gravitaŃional al pământului, la un nivel h0, pe care îl ridicăm uni-form la un nivel h. Calculăm lucrul mecanic al for-Ńei de greutate care conduce la acumularea de energie potenŃială de către corp.

L = –mg(h – h0) = –(mgh – mgh0) ∆Ep = –L, Epf – Ep0 = mgh – mgh0 Epf = mgh – energie potenŃială la nivel h,

h

h0

G�

24

Ep0 = mgh0 – energie potenŃială la nivel h0 Dacă considerăm energia nivelului de referinŃă nu-lă, energia potenŃială de tip gravitaŃional va fi:

Ep = mgh

b) Energia potenŃială de tip elastic:

L =

−−

2

20

2 kxkx, ∆Ep = –L, ∆Ep =

22

20

2 kxkx− .

Dacă x0 = 0, energia potenŃială de tip elastic va fi:

Ep = 2

2kx.

11. Legea conservării energiei. Dacă sistemul de forŃe este conservativ (lucrul mecanic nu depinde de forma drumului), atunci avem: ∆Ec = L, ∆Ep= –L, ∆(Ec + Ep) = 0 → Ec+Ep = const. Lege: a. Într-un câmp de forŃe conservativ, energia mecanică se conservă, rămâne constantă. Obs. Energia cinetică poate trece în energie po-tenŃială şi invers: Ec + Ep= Ecmax = Epmax= const. b. Dacă câmpul de forŃe este neconservativ (ex. acŃionează forŃe de frecare) vom avea: ∆Em = Ln (lucrul mecanic al forŃelor neconservative) Emf – Emi = Ln

x

x0 F(x0) F(x)

25

12. Impulsul unui sistem de puncte materiale. Considerăm un sistem mecanic format dintr-un număr de puncte materiale n de mase: m1, m2, …, mn şi care în interiorul sistemului au vitezele v1, v2, …, vn.

Impulsul total va fi: 2211 vmvmP��

�

+= + … + nnvm�

;

∑=

=n

kkkvmP

1

�

�

; [ ]P S.I.= Ns = kgm/s

13. Teorema de variaŃie a impulsului unui sistem de puncte materiale Considerăm sistemul format din două puncte mate-riale ce interacŃionează unul cu celălalt prin forŃele

12F�

, respectiv 21F�

numite forŃe interne. Asupra

sistemului acŃionează o forŃă totală exterioară extF�

.

Conform principiului II vom avea:

( ) tFFp ∆+=∆ 2111��

�

, ( ) tFFp ∆+=∆ 1222��

�

.

Adunăm cele două relaŃii:

( ) ( ) tFFFFpp ∆+++=+∆ 21122121����

��

extFFF���

=+ 21 , conform principiului III: 2112 FF��

−=

Generalizând, vom avea : tFP ext∆=∆��

, HtFext��

=∆

(impulsul forŃei), HPP if���

=− .

EnunŃ: VariaŃia impulsul unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul forŃei exteriore ce acŃionează asupra sistemului.

26

Obs. Dacă forŃa este o funcŃie de timp ∫=∆2

1

t

t

Fdtp ,

ce reprezintă aria delimitată de graficul funcŃiei şi intervalul de timp corespunzător. 14. Legea conservării impulsului: EnunŃ: Într-un sistem izolat de puncte materiale, impulsul sistemului se conservă (rămâne con-

stant): const.,0,0 ===∆= ifext PPPF����

15. Ciocniri. Ciocnirea este fenomenul de interacŃiu-ne dintre două sau mai multe corpuri care are loc intr-un timp finit. Ciocnirile pot fi plastice şi elastice. Ciocnirea plastică: În cadrul unui fenomen de ciocnire plastică nu se conservă energia mecanică ci doar impulsul. În cazul ciocnirii plastice, în marea majoritate a cazurilor, corpurile rămân cuplate.

M1v1 + M2v2 = (M1 + M2)V

Eci = Ecf + Q, ( )

QVMMvMvM

++

=+222

221

222

211 ,

Q = căldura ce apare prin lucrul mecanic de defor-mare plastică.

M1 M2

V1 V2

Înainte de ciocnire

M1 + M2

V

După ciocnire

27

Ciocnire elastică perfect centrată şi unidirecŃio-nală: În cadrul unei ciocniri elastice se conservă: energia mecanică şi impulsul mecanic al sistemului în care are loc ciocnirea.

M1v1 + M2v2 = M1u1 + M2u2

2222

222

211

222

211 uMuMvMvM +=+

rezolvând sistemul obŃinem: ( )

121

22111

2v

MM

vMvMu −

++

= , ( )

221

22112

2v

MM

vMvMu −

++

=

Caz particular: dacă M1

28

TERMODINAMICĂ

I. NoŃiuni introductive

I.1(a) Formule de calcul la nivel molecular Considerăm un gaz având masa m şi care ocupă un volum V, conŃine N atomi (molecule) având masa unui mol µ.

• Număr de mol: AN

Nm=

µ=ν , NA = nr. Avogadro;

• Densitate: µ

µ==ρ

VV

m;

• Masa unei molecule: N

m

Nm

A

=µ

=0 ;

• Volumul unei molecule: A

oNN

Vv

ρµ

== sau ge-

ometric: 3

4 30

rv

π= , r = raza moleculei;

• Considerând că fiecare moleculă ocupă un volum sub forma unui cub de latură egală cu diametrul

moleculei, vom putea scrie : AN

dvρµ

== 30 ;

• Densitate de molecule (concentraŃie de molecule)

V

Nn = .

29

I.2(a) Formula fundamentală a teoriei cine-tico-moleculare Presiunea unui gaz ideal este egală cu două treimi din energia cinetică medie a tuturor moleculelor din unitate de volum.

23

2 20um

V

NP = ,

u2 = viteza pătratică medie:

∑

∑

=

=

1

2

kk

n

Kkk

N

vN

u .

I.2(b) Energia cinetică medie a unei molecule

2

20um

c =ε ; kTi

c 2=ε ; k = 1,38 · 10–23 j/K (con-

stanta lui Boltzman), (T)S.I.= K (grad Kelvin) i – număr grade de libertate (posibilităŃi de mişcare liberă a unei molecule) i = 3 pentru moleculă monoatomică, i = 5 pentru moleculă biatomică, i = 6 pt. moleculă triatomică.

I.2(c) Viteza termică

Vt =2u ; Vt =

0

3

m

kT=

µRT3

; R = kNA (constanta

universală a gazului ideal); R = 8,31 ⋅ 103 j/kmol⋅K

30

I.2(d) EcuaŃia termică de stare a gazului ideal PV = NkT, PV = ν RT

I.2(e) EcuaŃia calorică de stare a gazului ideal U – energia internă a gazului ideal, formată doar din energia cinetică a tuturor moleculelor gazului

U = Nεc; U = RTi

NkTi

ν=22

I.3 Legile gazului ideal (transformările simple ale gazului ideal) DefiniŃie. Trecerea unui sistem termodinamic dintr-o stare în alta se numeşte transformare de stare. Obs. În cadrul unei transformări nu intră şi nu iese gaz din incinta considerată (m = ct., ν = ct.) I.3(a) Transformarea izotermă (Legea Boyle-Mariotte) DefiniŃie. Transformarea în timpul căreia tem-peratura rămâne constantă. Lege: Într-o transformare izotermă produsul presiune volum rămâne constant în timpul transformării. P ⋅ V = ct.; P0 ⋅ V0 = P1 ⋅ V1 = νRT

81

Optică ondulatorie

În cadrul opticii ondulatorii se utilizează modelul undei electromagnetice, iar fenomenul caracteristic este interferenŃa.

II.1 InterferenŃă DefiniŃie. InterferenŃa este fenomenul de suprapu-nere într-un punct din spaŃiu a două sau mai multe unde coerente. Prin unde coerente se înŃeleg undele care au aceeaşi frecvenŃă, iar diferenŃa de fază este constantă în timp. În cazul undelor electromagnetice, componenta electrică a câmpului creează intensitate luminoasă (I). Intensitatea luminoasă este direct proporŃională cu pătratul amplitudinii intensităŃii câmpului elec-

tric: I = E20.

Considerăm două surse de lumină punctiforme care emit unde de aceeaşi frecvenŃă, iar într-un punct se suprapun.

E1 = E01sin (ωt +λπ 12 r ); E2 = E02sin(ωt +

λπ 22 r ) ,

E01= E02 = E0; E = E1 + E2.

S1 S2

r1 r2

82

Amplitudinea rezultantă va fi:

A = 2E0cos( )λ−π 12 rr , iar

I ~ A2 = 4E02cos2

( )λ−π 12 rr

∆r = r2 – r1 – diferenŃă de drum ∆r = n(r2 – r1) – diferenŃă de drum optic, când lu-mina trece printr-un mediu optic cu indicele de re-fracŃie n. CondiŃia de maxim:

∆r = kλ, k = 0, 1, 2, 3… CondiŃia de minim:

∆r = (2k + 1)2

λ, k = 0, 1, 2, 3, 4…

II.2 Dispozitiv de interferenŃă Young Dispozitivul de interferenŃă Young este format dintr-o sursă de lumină, ce se divide în două printr-un paravan cu două perforaŃii, ce devin surse se-cundare. Rezultatul interferenŃei se obŃine pe un ecran. Analiza rezultatului se poate obŃine în orice zonă din spaŃiu şi dispozitivul Young formează franje nelocalizate. NotaŃii: distanŃa dintre două surse S1S2 = 2l, distanŃa dintre surse secundare şi ecranul de observare L.

83

� locul geometric al punctelor de intensitate ma-ximă poartă numele de franje luminoase:

l

LkxMk 2λ= ;

� locul geometric al punctelor de intensitate mi-nimă poartă numele de franje întunecate:

( )l

Lkxmk 2

12 += ;

� interfraja este distanŃa dintre două maxime sau

două minime consecutive l

Li

2λ= .

II.3. Dispozitiv de interferenŃă cu lamă cu feŃe plan paralele Lama cu feŃe plan paralele este un mediu optic transparent cu indicele de refracŃie n delimitat de două plane paralele. InterferenŃa se realizează prin suprapunerea a două raze de lumină, obŃinute prin reflexie, pe cele două plane în planul focal al unei

L

S1

S2

S

x

84

lentile convergente. DiferenŃa de drum dintre cele două raze ce interferă

este: 2

cos2λ

+=δ rdn dacă λ=δ k avem maxim,

2)12(λ

+=δ k avem minim.

II.4. Dispozitiv de interferenŃă cu pană optică Pana optică este un mediu optic transparent delimi-tat de două suprafeŃe între care există un unghi α

85

În cazul incidentei normale i = r = 0

Max. ordin k: 2ndk + 2

λ = kλ

Max. ordin k + 1: 2ndk+1 + 2

λ = (2k + 1)

2

λ

tg α = ninii

dd kk

221 λ=α⇒

λ=

−+ .

Optica fotonică

În cadrul opticii fotonice se utilizează conceptul de foton ca model. Fenomenele caracteristice opticii fotonice sunt efectul fotoelectric, efectul Compton.

III.1. Efect fotoelectric extern DefiniŃie. Emisia de electroni sub efectul radiaŃiei electromagnetice poartă numele de efect fotoelec-tric. DefiniŃie. Electronii emişi în urma efectului fotoe-lectric poartă numele de fotoelectroni. Efectul fotoelectric extern a fost observat de H. Hertz la sfârşitul secolului 19. Experimental s-au

α

dk+1

i

dk

86

observat legile efectului fotoelectric extern. Lege I: Intensitatea curentului fotoelectric de satu-raŃie este proporŃională cu fluxul radiaŃiilor elec-tromagnetice incidente, când frecvenŃa este constantă. Lege II: Energia cinetică a fotoelectronilor emişi creşte liniar cu frecvenŃa radiaŃiilor electromagneti-ce si nu depinde de fluxul acestora. Lege III: Efectul fotoelectric extern se poate pro-duce numai dacă frecvenŃa radiaŃiei incidente este mai mare sau cel puŃin egală cu o valoare minimă, specifică fiecărei substanŃe, numită frecvenŃă de prag sau prag roşu. Lege IV: Efectul fotoelectric extern se produce practic instantaneu. Obs. Legile efectului fotoelectric extern nu pot fi explicate cu ajutorul modelului undei electromag-netice.

III.2 Cuante de energie. Fotoni Max Planck, în încercarea de a explica legile „cor-pului negru”, emite ipoteza că energia unui oscila-tor nu poate avea orice valoare, ci numai anumite valori discrete E1, E2, …, Ei, … Energia unui oscilator poate să crească în cadrul absorbŃiei sau să scadă în cazul emisiei între două valori Ek şi Ei numai cu cantitatea ε = hν = Ek – Ei denumită cuanta de energie, unde ν este frecvenŃa

87

oscilatorului, iar h = 6,626 3410−⋅ js constanta lui Planck. Particula care posedă energia unei cuante se numeş-te foton. Conform teoriei relativităŃii, un foton are următoa-rele caracteristici : • energia E = mc2 = hν

• impulsul p = mc = λ

=ν hc

h

Masa de repaus este nulă ca şi sarcina electrică.

III.3. Explicarea legilor efectului fotoelectric extern Albert Einstein, considerând lumina formată dintr-un număr de fotoni, explică efectul fotoelectric ca o interacŃiune dintr-un foton şi un electron. În urma interacŃiunii, electronul absoarbe energia fotonului şi se poate aplica legea conservării energiei.

+=ν Lh2

2mv ecuaŃia lui Einstein

hν energia absorbită de electron de la foton

steUmv

=2

2

energia cinetică a fotoelectronului,

Ust – tensiunea de stopare L = hν0 lucrul mecanic de extracŃie necesar extrac-Ńiei electronului şi este caracteristic fiecărei sub-stanŃe, ν0 frecvenŃa de prag sau prag roşu. Lege I: Creşterea fluxului de radiaŃie incidentă are

88

loc când creşte numărul de fotoni, deci şi numărul de fotoelectroni ce formează curentul electric de saturaŃie. Lege II: EcuaŃia lui Einstein este o funcŃie de gra-dul I, deci energia cinetică variază liniar cu frecven-Ńa radiaŃiei incidente. Lege III: Din ecuaŃia lui Einstein se observă că există o energie minimă a fotonului incident egală cu lucrul mecanic de extracŃie pentru a obŃine efect fotoelectric. Lege IV: InteracŃiunea dintre un foton şi un elec-tron producându-se într-un interval de timp neglija-bil, efectul fotoelectric se produce aproape instan-taneu.

Cuprins

Mecanică ................................................................ 5

NoŃiuni introductive ........................................... 5 I. Vector de poziŃie ........................................... 5 II. Vector deplasare ........................................... 5 III. Viteza medie ............................................... 6 IV. Viteza (momentană, instantanee) ................ 6 V.AccelerŃie medie ........................................... 6 VI. AcceleraŃie (momentană, instantanee) ........ 7

Mişcarea punctului material ............................... 7 I. Mişcare rectilinie uniformă ........................... 8 II. Mişcare rectilinie uniform variată ................ 9 III. Pricipii şi legi în mecanica clasică ............ 12 IV. Teoreme de variaŃie si legi de conservare în mecanică ......................................................... 17

Termodinamică ................................................... 28

I. NoŃiuni introductive ...................................... 28 I.1(a) Formule de calcul la nivel molecular .... 28 I.2(a) Formula fundamentală a teoriei cinetico-moleculare ...................................................... 29 I.2(b) Energia cinetică medie a unei molecule ... 29 I.2(c) Viteza termică ....................................... 29 I.2(d) EcuaŃia termică de stare a gazului ideal 30 I.2(e) EcuaŃia calorică de stare a gazului ideal 30 I.3 Legile gazului ideal (transformările simple ale gazului ideal) ............................................. 30

II. Principiul I al termodinamicii ...................... 35 II.1.(a) Energie internă .................................... 35 II.1.(b) Lucrul mecanic în cadrul gazului ideal ... 35 II.1.(c) Căldura ............................................... 35 II.1.(d) Enunt Principiul I al termodinamicii .. 36 II.2. CoeficienŃi calorici .................................. 37 II.4. Măsurări calorimetrice ............................ 40

III. Principiul II al termodinamicii .................... 42

Electricitate ......................................................... 47

I. Curentul electric ............................................ 47 I.1. NoŃiuni introductive ................................. 47 I.2. Curent electric .......................................... 48 I.3. Intensitatea curentului electric .................. 48 I.4. Circuit electric .......................................... 49

II. Legea lui Ohm ............................................. 50 II.1. RezistenŃa electrică ................................. 50 II.2. Legea lui Ohm pentru o porŃiune de circuit ......................................................... 51 II.3. Legea lui Ohm pentru întreg circuitul ..... 51

III. Legile lui Kirchhoff .................................... 52 III.1. Legea I ................................................... 52 III.2. Legea a II-a ............................................ 53 III.3. AplicaŃii ale legilor lui Kirchhoff .......... 53 III.4. Energia curentului electric ..................... 55 III.5. Puterea electrică ..................................... 56 III.6. Electroliza .............................................. 56 IV.1. Şuntul ampermetrului ............................ 57 IV.2. AdiŃionala voltmetrului.......................... 58

Optica .................................................................. 59

Optica geometrică ............................................. 59 I.1.(a) NoŃiuni introductive ............................. 59 I.2.(a) Reflexia luminii ................................... 61 I.3.(a) RefracŃia luminii .................................. 62 I.3.(b) Reflexie totală ...................................... 63 I.3(c) Lama cu feŃe plan paralele .................... 64 I.3.(d) Prisma optică ....................................... 65 I.3.(e) AplicaŃii ale fenomenului de reflexie totală ............................................................... 66 I.4. Formarea de imagini în dispozitivele optice – GeneralităŃi .................................................. 68 I.4(b) Dioptrul plan ......................................... 71 I.4(c) Oglinzi ................................................... 72 I.5. Lentile (sisteme de dioptri) ....................... 74 I.6. AsociaŃii de lentile subŃiri ......................... 80

Optică ondulatorie ............................................ 81 II.1 InterferenŃă ............................................... 81 II.2 Dispozitiv de interferenŃă Young ............. 82 II.3. Dispozitiv de interferenŃă cu lamă cu feŃe plan paralele .................................................... 83 II.4. Dispozitiv de interferenŃă cu pană optică 84

Optica fotonică ................................................. 85 III.1. Efect fotoelectric extern ......................... 85 III.2 Cuante de energie. Fotoni ....................... 86 III.3. Explicarea legilor efectului fotoelectric extern .............................................................. 87