ΔημήτρηςΦωτάκης - softlab.ntua.grfotakis/data/plh20/plh20_oss1(color).pdfΠΛΗ20,...

ΠΛΗ 20, 1η ΟΣΣ (Συνδυαστική)

Δημήτρης Φωτάκης

Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική ΛογικήΠληροφορική

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2019 - 2020) 1η ΟΣΣ (Συνδυαστική) 2

Οργανωτικά ΖητήματαΕπικοινωνία:

Επίλυση αποριών, οδηγίες, ..., και λοιπά ουσιώδη γίνονται με [email protected] (εναλλακτικά, [email protected] )Μαθηματικά δεν προσφέρονται για τηλεφωνική επίλυση αποριών! Τηλεφωνική επικοινωνία για επείγοντα ή διαδικαστικά, 210-7724302 (γρ.) και 6932-553785 (κιν.)

Ιστότοπος : http://study.eap.gr , χώρος ΠΛΗ 20. Πληροφορίες, συμπληρωματικό υλικό, fora, παλιές εργασίες.Εργασίες: ανακοίνωση εκφώνησης - προθεσμίας, υποβολή εργασιών, διόρθωση – βαθμολογία. Πρέπει να το επισκέπτεστε τακτικά!


ΕργασίεςΒαθμολογία:

5 εργασίες συνολικά (1 συνδυαστική, 2 λογική, 2 γραφήματα).Βαθμολογούνται με άριστα το 100 (άρα το άριστα είναι 500 ). Δικαίωμα συμμετοχής στις τελικές εξετάσεις:

Παράδοση τουλάχιστον 4 εργασιών καισυνολική βαθμολογία τουλάχιστον 250 (στα 500). Εργασία «παραδόθηκε» αν αναρτηθεί έγκαιρα στο studyκαι βαθμολογηθεί με ≥ 25 (στα 100).Αν, μετά την ανάρτηση εργασίας στο study, υπάρχει οποιοδήποτεπρόβλημα (π.χ., ανάρτηση λάθος αρχείου, δεν μπορώ να διαβάσω τοαρχείο, κλπ.), επικοινωνώ μαζί σας με email ή τηλεφωνικά.


Δομή Εργασιών4 βαθμολογούμενα ερωτήματα με ασκήσεις (όπως Β’ εξετάσεων).

Επίπεδο δυσκολίας: εξετάσεων και δυσκολότερο.

2 υποερωτήματα με 4 ερωτήσεις τύπου Σ / Λ (όπως Α’ εξετάσεων).Απαιτείται συνοπτική αιτιολόγηση των απαντήσεων.10% της βαθμολογίας εργασίας (35%-40% για Α’ μέρος εξετάσεων).

Απαντήσεις υποβάλλονται σε ξεχωριστό έντυπο (ώστε βαθμόςομοιότητας να μην λαμβάνει υπόψη τις εκφωνήσεις).


ΕργασίεςΑνακοίνωση – Παράδοση:

Εργασίες ανακοινώνονται Δευτέρα (ή Τρίτη, 1η Δευτέρα 14/10 ) καιπαραδίδονται Τετάρτη 3+ εβδομάδες μετά ( 1η Τετάρτη 6/11 ).

Παράδοση αποκλειστικά με ανάρτηση στο study. Deadline: Τετάρτη μεσάνυχτα, μέχρι 23:59, πρέπει να έχειαναρτηθεί η εργασία σας (μετά «κλειδώνει» η υποβολή). Δεν δίνεται περαιτέρω παράταση σε ατομικό επίπεδο.Ανάρτηση λύσεων: Πέμπτη βράδυ ή Παρασκευή πρωί.

Αν αντιληφθώ πρόβλημα, επικοινωνώ μαζί σας(πρώτα mail, μετά κινητό).

Τις ημέρες παράδοσης εργασιών: τσεκάρουμε email και κινητό.


ΕργασίεςΣυμπλήρωση Λύσεων σε Word :

Κατεβάζουμε αρχείο απαντήσεων και συμπληρώνουμε τα στοιχεία μας καιλύσεις στις αντίστοιχες περιοχές.Δεν αλλάζουμε κατά κανένα άλλον τρόπο αυτό το έγγραφο! Διορθώσεις – σχόλια – βαθμολογία συμπληρώνονται στο ίδιο έγγραφο καιαναρτώνται στο study εντός 2 εβδομάδων. Λύσεις αποκλειστικά δακτυλογραφημένες(όχι χειρόγραφα σκαναρισμένα, όχι pdf, jpg αρχεία, κλπ.)

Όλοι όσοι δουλεύουν σοβαρά στις εργασίες επιτυγχάνουν!Εξετάσεις 2017: 17/27 και 8/12, σύνολο 25/29 (86%).Εξετάσεις 2016: 11/20 και 6/13, σύνολο 17/24 (71%).Εξετάσεις 2015: 12/31 και 9/21, σύνολο 21/33 (64%).Εξετάσεις 2014: 17/33 και 6/16, σύνολο 23/33 (70%).Εξετάσεις 2013: 13/30 και 8/16, σύνολο 21/30 (70%).Εξετάσεις 2012: 10/21 και 6/13, σύνολο 16/23 (70%).Εξετάσεις 2011: 18/26 και 6/10, σύνολο 24/29 (83%).


Ενδιάμεσες ΕξετάσειςΕνδιάμεσες εξετάσεις (μέσα Φεβρουαρίου):

A’ μέρος: διάρκεια 45’, 35% – 40% της συνολικής βαθμολογίας.24 ερωτήματα Σ/Λ οργανωμένα σε 6 θέματα των 4.

(Ήπια) αρνητική βαθμολογία. Πρακτικά ελέγχει κατανόηση συνόλου ύλης.

Β’ μέρος: διαρκεί 1:45, 60% – 65% της συνολικής βαθμολογίας. 3 θέματα (συνδυαστική, προτασιακή λογική, κατηγορηματικήλογική), με σκέλη και υπο-ερωτήματα.Ελέγχει κατανόηση και ικανότητα επίλυσης προβλημάτων.

Κλειστά βιβλία, σημειώσεις, κλπ. «Τυπολόγιο» με 2 φύλλα Α4 χειρόγραφα.

Συνδυαστική και Λογική εξετάζονται και στις τελικές εξετάσειςκαι κρατάμε τον καλύτερο από δύο συνολικούς βαθμούς.


ΟΣΣ – Συμπληρωματικό ΥλικόΟΣΣ με παρουσίαση θεωρίας και επίλυση ασκήσεων.

Να έρχεστε σε όλες προετοιμασμένοι, είναι εξαιρετικά σημαντικό!Να προσπαθείτε να έχετε μελετήσει αυτά που γράφω στην ατζέντα.

Επιπλέον βιβλιογραφία:Μόνο αφού διαβάσετε όλο το διαθέσιμο υλικό!

Συμπληρωματικό υλικό:Webcasts Σταματίου (πρώτα 8).Hypertext (πρώτες 2 ενότητες).Ασκήσεις συνδυαστικής (2 πολύ καλές συλλογές!). Μαθηματική επαγωγή (1ο κεφάλαιο).Σημειώσεις + διαφάνειες που θα στείλω.

Παλιές εργασίες – θέματα: τουλάχιστον 3-4 χρόνια πίσω.


Συνδυαστική ΑπαρίθμησηΥπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος»ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα).

«Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων (ενδεχομένων).

Π.χ. ρίψη ζαριών, μοίρασμα τράπουλας, ανάθεση γραφείων, επιλογή password, διανομή αντικειμένων, 6άδες Lotto, …

Δύο προσεγγίσεις:Στοιχειώδης Συνδυαστική.Γεννήτριες Συναρτήσεις.

Βασικές αρχές και έννοιες στη στοιχειώδη συνδυαστική:Κανόνες γινομένου και αθροίσματος, αρχή εγκλεισμού – αποκλεισμού.Διατάξεις και μεταθέσεις (με ή χωρίς) επανάληψη. Συνδυασμοί (με ή χωρίς) επανάληψη.


Κανόνας ΓινομένουΓεγονός Α με n ενδεχόμενα. Γεγονός Β με m ενδεχόμενα.Αν ενδεχόμενα των Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότεσυνδυασμός Α και Β έχει n×m ενδεχόμενα.

Ανεξάρτητα: το αποτέλεσμα του Α δεν επηρεάζει (ως προς τοπλήθος των ενδεχομένων) το αποτέλεσμα του Β, και αντίστροφα.

Όλα τα ζεύγη στο Α×Β μπορούν να προκύψουν.

Επιλογή ενός ψηφίου 0-9 και ενός κεφαλαίου Ελληνικού γράμματος:10×24 = 240 διαφορετικά αποτελέσματα.

#συμβ/ρών (με κεφαλαία Ελληνικά) μήκους 10:#παλινδρομικών συμβ/ρών μήκους 10:


Κανόνας ΑθροίσματοςΓεγονός Α με n ενδεχόμενα. Γεγονός Β με m ενδεχόμενα.Αν ενδεχόμενα των Α και Β είναι αμοιβαία αποκλειόμενα,τότε συνδυασμός Α ή Β έχει n+m ενδεχόμενα.

Αμοιβαία αποκλειόμενα: δεν υπάρχει ενδεχόμενο πουεντάσσεται και στο Α και στο Β. |Α∪Β| = |Α|+|Β|, αν |Α ∩ Β| = ∅Αρχή εγκλεισμού – αποκλεισμού: |Α∪Β| = |Α|+|Β|-|Α ∩ Β|

5 Ελληνικά, 7 Αγγλικά, και 10 Γερμανικά βιβλία.Τρόποι να διαλέξουμε 2 βιβλία σε διαφορετική γλώσσα:

Ελλ. – Αγγλ.: 5×7 = 35Ελλ. – Γερμ.: 5×10 = 50Αγγλ. – Γερμ.: 7×10 = 70

Αμοιβαία αποκλειόμενα. Σύνολο: 155 διαφορετικές επιλογές. Τρόποι να διαλέξουμε 2 βιβλία (ανεξ. γλώσσας):


ΠαραδείγματαΠόσα passwords με 8 χαρακτήρες αποτελούμενα από κεφαλαία(Αγγλικά) γράμματα και τουλάχιστον ένα δεκαδικό ψηφίο;

Υπάρχουν 368 – 268 τέτοια #passwords.#δυαδικών συμβ/ρών μήκους 8 που αρχίζουν από 1 ήτελειώνουν σε 00 (ή και τα δύο):

Όχι αμοιβαία αποκλειόμενα: 27 + 26 – 25 = 160.

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2019 - 2020) 1η ΟΣΣ (Συνδυαστική) 13ΠΛΗ 20,1η ΟΣΣ (Συνδυαστική) 13

Διατάξεις – ΜεταθέσειςΚουτί με 8 μπάλες διαφορετικού χρώματος:

Διατάξεις: τρόποι να επιλέξουμε 3 μπάλες και να τιςτοποθετήσουμε σε μια σειρά:

Παραδείγματα:

Κανόνας γινομένου: 8x7x6 = 336

Μεταθέσεις: Τρόποι να τοποθετήσουμε και τις 8 μπάλεςσε μια σειρά:

Κανόνας γινομένου: 8x7x6x5x4x3x2x1 = 8!


Διατάξεις – ΜεταθέσειςΔιατάξεις P(n, k): k από n διακεκριμένα αντικείμενα σεk διακεκριμένες θέσεις (1 αντικείμενο σε κάθε θέση).

P(n, k) = #τρόπων να πληρωθούν k διακεκριμένες θέσεις απόn διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»).

#τρόπων να πληρώσουμε 4 (διαφορετικές) θέσεις εργασίας ανέχουμε 30 υποψήφιους:#συμβ/ρών μήκους 10 με όλα τα σύμβολα διαφορετικά απόκεφαλαίους Ελληνικούς χαρακτήρες:

Μεταθέσεις n αντικειμένων: P(n, n) = n!#αναθέσεων 10 (διαφορετικών) γραφείων σε 10 καθηγητές:

#συμβ/ρών μήκους 24 με όλα τα σύμβολα διαφορετικά απόκεφαλαίους Ελληνικούς χαρακτήρες:


Παραδείγματα40 βουλευτές του κόμματος Α, 35 βουλευτές του κόμματος Β, και25 βουλευτές του κόμματος Γ.#τρόπων να καθίσουν σε 3 πτέρυγες με 40 διακεκριμένες θέσειςη καθεμία, αν όλοι οι βουλευτές κάθε κόμματος πρέπει νακαθίσουν στην ίδια πτέρυγα.

#τρόπων «τοποθέτησης» κομμάτων στις πτέρυγες: 3! #τρόπων να καθίσει κόμμα Α: P(40, 40) = 40!#τρόπων να καθίσει κόμμα Β: P(40, 35) = 40!/5!#τρόπων να καθίσει κόμμα Γ: P(40, 25) = 40!/15!#τρόπων συνολικά: 3!40!40!40!/(5!15!).


Παράδειγμα (Ερ. 1.α, 1η Εργ. 2011-12)

#τοποθέτησης 8 (ίδιων / διακεκριμένων) πύργων σε μιασκακιέρα 8x8, ώστε να μην απειλεί ο ένας τον άλλο.

Ένας πύργος σε κάθε γραμμή.Ο πύργος της 1ης γραμμής με 8 τρόπους, ο πύργος της 2ης γραμμής με 7 τρόπους, κοκ. Αν πύργοι ίδιοι, συνολικά: 8! τρόποι. Αν πύργοι διακεκριμένοι:πολλαπλασιάζουμε με τις μεταθέσειςτων πύργων στις γραμμές = 8!

Συνολικά: (8!)2 τρόποι.

a b c d e f g h

1

2

3

4

5

6

7

8


Κυκλικές ΜεταθέσειςΚυκλικές μεταθέσεις n ατόμων: (n – 1)!

#τρόπων που n άνθρωποι κάθονται σε κυκλικό τραπέζι(διακρίνουμε μεταξύ «δεξιά» και «αριστερά»).Αν δεν διακρίνουμε μεταξύ «δεξιά» και «αριστερά»: (n – 1)! / 2


Κυκλικές Μεταθέσεις: Παράδειγμα(Ερ. 4.β, 1η Εργασία 2010-11)

Κυκλικό τραπέζι 2n (μη διακεκριμένων) θέσεων, n ζευγάρια(άντρας – γυναίκα, διακεκριμένοι). Τρόποι να καθίσουν όταν:Δεν υπάρχει κανένας περιορισμός.

Κυκλικές μεταθέσεις 2n διακ. αντικειμένων: (2n)!/(2n) = (2n-1)!

Γυναίκα - άντρας κάθε ζευγαριού σε γειτονικές θέσεις.(n-1)! κυκλικές μεταθέσεις των ζευγαριών σε ζεύγη θέσεων. 2 τοποθετήσεις για κάθε ζευγάρι (ανεξάρτητα ενδεχόμενα).(n-1)! 2n διαφορετικές μεταθέσεις.

Άνδρες και γυναίκες εναλλάξ (χωρίς περιορισμούς για ζευγάρια): (n-1)! κυκλικές μεταθέσ. για άνδρες και n! μεταθέσεις για γυναίκες.Ανεξάρτητα ενδεχόμενα: (n – 1)!n!


Διατάξεις με Επανάληψη8 πράσινες, 8 μπλε και 8 κόκκινες μπάλες:

Διατάξεις με επανάληψη: Τρόποι να επιλέξουμε 3 μπάλες και να τις βάλουμε στη σειρά:

Παραδείγματα:

Κανόνας γινομένου: 3x3x3 = 27


Διατάξεις με ΕπανάληψηΔιατάξεις με επανάληψη: n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμασε απεριόριστα «αντίγραφα») σε k διακεκριμένες θέσεις:

Ισοδύναμο με διανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σε nδιακεκριμένες υποδοχές (χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα), όταν η σειρά στις υποδοχές δεν έχει σημασία.

#πενταψήφιων δεκαδικών συμβ/ρών: 105

#πενταψήφιων δεκαδικών συμβ/ρών με τουλάχιστον ένα 8: 105 – 95


Διατάξεις με ΕπανάληψηΔιανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένεςυποδοχές (χωρίς περιορισμό χωρητικότητας) με σειρά στιςυποδοχές να έχει σημασία.

Βιβλιοθήκη με n ράφια όπου τοποθετούνται k διαφορετικά βιβλία(«όρθια» ράφια, βιβλία χωρίς κενά μεταξύ τους, έχει σημασίαη σειρά στα ράφια). #διαφορετικών τοποθετήσεων;


ΣυνδυασμοίΣυνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένααντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»).

Διαφορετικές 6άδες Lotto:C(49, 6)

#υποσυνόλων με k στοιχεία από σύνολο n στοιχείων: C(n, k)

#τρόπων στελέχωσης 5μελούς κοινοβουλευτικής επιτροπής,όπου μέλη ισότιμα:

C(300, 5)#δυαδικών συμβ/ρών μήκους 32 με (ακριβώς) επτά 1:

C(32, 7)


Παραδείγματα40 βουλευτές του κόμματος Α, 35 βουλευτές του κόμματος Β, και 25 βουλευτές του κόμματος Γ.#τρόπων να ορίσουμε 10 (μη διακεκριμένες) 3μελείςκοινοβουλευτικές ομάδες, με έναν βουλευτή από κάθε κόμμα, ανκάθε βουλευτής μπορεί να συμμετέχει σε 1 το πολύ ομάδα;

#τρόποι επιλογής 10 βουλευτών κόμματος Α: C(40, 10).#τρόποι επιλογής και «τοποθέτησης» 10 βουλ. Β: P(35, 10).#τρόποι επιλογής και «τοποθέτησης» 10 βουλ. Γ: P(25, 10).#τρόπων συνολικά: 40!35!25!/(10!30!25!15!).


Μεταθέσεις με Ομάδες3 κόκκινες, 2 πράσινες, 2 μπλε μπάλες. Τρόποι να τις βάλουμε στη σειρά:

Παράδειγμα:

Μεταθέσεις με ομάδες:


Μεταθέσεις με Ομάδες#συμβ/ρών (μήκους 8) με γράμματα λέξης ΠΑΡΑΠΟΝΑ:

Μεταθέσεις με ομάδες ίδιων αντικειμένων: 8!/(2!3!1!1!1!)Μεταθέσεις n αντικειμένων σε k ομάδες ίδιων αντικειμένωνμε πληθάριθμο n1, n2, …, nk αντίστοιχα:

#συμβ/ρών μήκους 24 από 7 Α, 8 Β, 5 Γ, και 4 Δ:Αν δεν πρέπει να εμφανίζεται ΔΔΔΔ:

24!/(7!8!5!4!) – 21!/(7!8!5!1!)

24!/(7!8!5!4!)


ΠαραδείγματαΈστω το «τετράγωνο» που ορίζεται από τα σημεία (0, 0), (0, 8), (10, 0), και (10, 8).Πόσα διαφορετικά «μονοπάτια» από το (0, 0) στο (10, 8), αν σεκάθε βήμα μετακινούμαστε είτε κατά μια μονάδα προς τα πάνωείτε κατά μια μονάδα προς τα δεξιά.

Πρέπει να κάνουμε 8 βήματα Πάνω και 10 βήματα Δεξιά.#μονοπατιών = #μεταθέσεων 8 Π και 10 Δ = 18!/(10! 8!)


Συνδυασμοί με ΕπανάληψηΔιαφορετικά αποτελέσματα από ρίψη 2 ζαριών:Συνδυασμοί με επανάληψη: k από n διακεκριμένα αντικείμενα(διαθέσιμα σε απεριόριστα «αντίγραφα»).

Διανομή k ίδιων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές(χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα).

Μεταθέσεις από k ίδιες «μπάλες» και n-1 ίδια «διαχωριστικά».Πλήθος «μπαλών» μεταξύ διαδοχικών «διαχωριστικών» καθορίζειπλήθος αντικειμένων στην αντίστοιχη υποδοχή.

#διανομών k ίδιων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχέςώστε καμία υποδοχή κενή (k ≥ n).

C(n + (k – n) – 1, k – n) = C(k – 1, k – n) = C(k – 1, n – 1)


Παραδείγματα10 ίδιες καραμέλες σε3 διακεκριμένα παιδιά:Επιλογή 10 από 12 παιδιά(σειρά επιλογής έχει σημασία):Επιλογή 10 από 12 παιδιά(σειρά επιλογής δεν έχει σημασία):Επιλογή 10 από 3 χρώματα με επανάληψη(σειρά επιλογής δεν έχει σημασία):Επιλογή 3 από 10 χρώματα με επανάληψη(σειρά επιλογής δεν έχει σημασία):


Παραδείγματα#ακεραίων λύσεων της εξίσωσης x1 + x2 + x3 + x4 = 20

Αν xi ≥ 0: C(20 + 4 - 1, 20) = C(23, 20) = C(23, 3)Αν xi ≥ 1: C(16 + 4 - 1, 16) = C(19, 16) = C(19, 3)Αν x1 ≥ 2, x2 ≥ 4, x3 ≥ 1, x4 ≥ 5: C(8 + 4 - 1, 8) = C(11, 3)

Πλήθος 5ψήφιων αριθμών χωρίς 0 και με άθροισμα ψηφίων 13;Πλήθος ακεραίων λύσεων εξίσωσης x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 13, ώστε 1 ≤ x1, x2, x3, x4, x5 ≤ 9.

Περιορισμός «≤ 9» ικανοποιείται πάντα, αφούέχουμε θετικές μεταβλητές με άθροισμα 13.

Τελικά: C((13 - 5) + 5 – 1, 13 – 5) = C(12, 8) = C(12, 4) τέτοιοιαριθμοί.


ΠαραδείγματαΜοιράζουμε 20 ίδιες σοκολάτες και 9 ίδιες καραμέλες σε 5 παιδιά.Με πόσους τρόπους, αν κάθε παιδί πρέπει να πάρει: Από τουλάχιστον 2 σοκολάτες (και οσεσδήποτε καραμέλες).

A = C(10+5-1, 10)*C(5+9-1, 9) = C(14, 4)*C(13, 4)

Από το πολύ 2 καραμέλες (και οσεσδήποτε σοκολάτες). Σε κάθε τέτοια διανομή 9 καραμελών, 4 παιδιά παίρνουν από 2καραμέλες και 1 παιδί παίρνει 1 καραμέλα. Υπάρχουν 5 τρόποι να επιλέξουμε το παιδί που παίρνει 1 καραμέλα. Άρα συνολικά, B = 5*C(20+5-1, 20) = 5*C(24, 20)

Από ≥ 2 σοκολάτες ή από ≤ 2 καραμέλες. Προσέξτε ότι τα γεγονότα δεν είναι αμοιβαία αποκλειόμενα.Άρα οι τρόποι είναι: Α + B – C(14, 4)*5


Παραδείγματα#τρόπων να χωριστούν 24 ομάδες σε 4 ομίλους των 6 ομάδων αν:

Όμιλοι είναι διακεκριμένοι:

Όμιλοι δεν είναι διακεκριμένοι:

5 διαφορετικά γράμματα (π.χ. Α, Β, Γ, Δ, Ε) και 20 κενά _ .#συμβ/ρών που αρχίζουν και τελειώνουν με γράμμα και έχουνανάμεσα σε διαδοχικά γράμματα τουλάχιστον 3 κενά.

Μεταθέσεις 5 γραμμάτων: 5!12 κενά στις 4 διακεκριμένες «υποδοχές» ανάμεσα σε γράμματα. Υπόλοιπα 8 κενά στις 4 «υποδοχές» με C(4 + 8 – 1, 8) τρόπους.Τελικά: C(11, 8) × 5! συμβ/ρές.


Ανακεφαλαίωση


Εφαρμογή: Διακριτή ΠιθανότηταΔιακριτός δειγματοχώρος: αριθμήσιμο σύνολο Ω, όπου∀ω ∈ Ω, αντιστοιχούμε p(ω) ∈ [0, 1] και

Γεγονός Ε: υποσύνολο Ω.p(E) = Πιθανότητα για 6άρες στο τάβλι:

1/36.Πιθανότητα για 6-5 στο τάβλι:

2/36.


Εφαρμογή: Διακριτή ΠιθανότηταΡίχνουμε 4 (ίδια) ζάρια. Πιθανότητα κανένα να μην φέρει 6; (Ερώτ. 1.β, 1η Εργ. 11-12)

Θεωρούμε τα ζάρια διακεκριμένα, ώστε όλα τα ενδεχόμενα να είναιισοπίθανα. Όλα τα ενδεχόμενα: 64 = 1296.Ενδεχόμενα χωρίς 6: 54 = 625.Ενδεχόμενα με τουλάχιστον ένα 6: 1296 – 625 = 671.

20 άνθρωποι επιλέγουν τυχαία από έναν αριθμό στο {1, …, 100}.Πιθανότητα ≥ 2 άνθρωποι να επιλέξουν τον ίδιο αριθμό;

Ζητούμενο = 1 – πιθανότητα όλοι επιλέγουν διαφορετικό αριθμό.Όλα τα ενδεχόμενα: 10020

Ενδεχόμενα όπου όλοι επιλέγουν διαφορετικό αριθμό: P(100, 20) Πιθανότητα όλοι επιλέγουν διαφορετικό αριθμό = P(100, 20)/10020


Γεννήτριες ΣυναρτήσειςΑναπαράσταση ακολουθιών:

Με γενικό (ή «κλειστό») τύπο αn .Αναδρομική σχέση. Κωδικοποίηση σε δυναμοσειρά μιας (πραγματικής) μεταβλητής x.

Γεννήτρια Συνάρτηση (ΓΣ) Α(x) ακολουθίας α: Συντελεστής του xn αντιστοιχεί σε n-οστό όρο ακολουθίας α. Επιλέγουμε διάστημα τιμών x ώστε σειρά να συγκλίνει (πάντα!).Έτσι θεωρούμε ότι Α(x) άπειρα παραγωγίσιμη (αναλυτική). Παραγωγίζουμε/ολοκληρώνουμε την A(x) ως πεπερασμένο άθροισμα.

Κάθε ακολουθία α αντιστοιχεί σε μοναδική ΓΣ Α(x). ΓΣ Α(x) αντιστοιχεί σε μοναδική ακολουθία:

Μετασχηματισμός και «αλγεβρικός» χειρισμός ακολουθιών καιεπίλυση των προβλημάτων που κωδικοποιούν.


ΠαραδείγματαΓΣ ακολουθίας 1, 1, 1, 1, .... : 1/(1 – x)ΓΣ ακολουθίας αn = b λn : b/(1 – λx)ΓΣ για πεπερασμένες ακολουθίες (υπόλοιποι όροι θεωρούνται 0).

ΓΣ ακολουθίας 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5: x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6

ΓΣ ακολουθίας αk = C(n, k): ΓΣ ακολουθίας βn = n :

Ακολουθία που αντιστοιχεί σε ΓΣ A(x) = 5/(1 – 4x): αn = 5 4n


ΠαραδείγματαΑκολουθία αντιστοιχεί σε ΓΣ Α(x) = 1/(1+x);

Γενικευμένο δυωνυμικό ανάπτυγμα (όταν n δεν είναι φυσικός):

Ειδικότερα, αν n φυσικός:

Δηλαδή η 1/(1-x)n είναι η ΓΣ για συνδυασμούς k από n αντικείμεναμε επανάληψη (ή διανομή k ίδιων αντικειμένων σε n διακ. υποδοχές).

Με βάση γενικευμένο δυωνυμικό ανάπτυγμα,

Άρα η ΓΣ A(x) = 1/(1+x) αντιστοιχεί στην ακολουθία αn = (-1)n


Προβλήματα ΣυνδυαστικήςΣυνήθεις ΓΣ χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση και επίλυσηπροβλημάτων συνδυασμών.

Για κάθε αντικείμενο Α, κωδικοποιούμε στον εκθέτη της μεταβλητής x πόσες φορές μπορούμε να το επιλέξουμε.

1+x+x2+x3+…+xp : μπορούμε να επιλέξουμε το αντικείμενο Α0, 1, ..., p φορές (μπορεί και άπειρο άθροισμα). Σε αυτή τη φάση κωδικοποιούνται οι περιορισμοί. Απαριθμητής για (επιλογές) αντικειμένου Α.

Απαριθμητές για διαφορετικά αντικείμενα πολλαπλασιάζονται (κανόναςγινομένου) και δίνουν ΓΣ για συνδυασμούς από n αντικείμενα. Ο συντελεστής του xk στη ΓΣ αντιστοιχεί στον #συνδυασμών k από n αντικείμενα (υπό τους περιορισμούς που έχουμε θέσει).Η ΓΣ κωδικοποιεί όλα τα ενδεχόμενα του πειράματος και#τρόπων να προκύψει κάθε ενδεχόμενο.


ΠαραδείγματαΣυνδυασμοί από n αντικείμενα χωρίς επαναλήψεις:

Απαριθμητής για κάθε αντικείμενο: 1+xΓΣ (1+x)n . Συντελεστής xk = C(n, k).

Συνδυασμοί από n αντικείμενα με απεριόριστες επαναλήψεις:Απαριθμητής για κάθε αντικείμενο: 1+x+x2+x3+… = 1/(1-x)ΓΣ 1/(1-x)n . Συντελεστής xk = C(n+k-1, k).

Συνδυασμοί από n αντικείμενα με απεριόριστες επαναλήψεις ώστεκάθε αντικείμενο να επιλεγεί τουλάχιστον 1 φορά:

Απαριθμητής για κάθε αντικείμενο: x+x2+x3+… = x/(1-x)ΓΣ xn/(1-x)n . Συντελεστής xk = C(k-1, n-1).


Παραδείγματα#λύσεων εξίσωσης z1+z2+z3+z4 = 30 στους φυσικούς ανz1 άρτιος ≤ 10, z2 περιττός ≤ 11, 3 ≤ z3 ≤ 10, 0 ≤ z4 ≤ 15.

Α(x)=(1+x2+x4+…+x10)(x+x3+…+x11)(x3+x4+…+x10)(1+x+…+x15)Ζητούμενο δίνεται από συντελεστή x30 που είναι 185.O συντελεστής του x30 στην A(x) δεν ταυτίζεται με αυτόν στηνΑ’(x)=(1+x2+x4+x6+…)(x+x3+x5+…)(x3+x4+x5+…)(1+x+x2+x3+…)

Κέρματα 20 λεπτών, 50 λεπτών, 1 ευρώ και 2 ευρώ. Συνδυασμοί με συνολική αξία n ευρώ ώστε τουλάχιστον ένακέρμα από κάθε είδος.

Κωδικοποιούμε στον εκθέτη την αξία των κερμάτων (σε λεπτά).Α(x) = (x20+x40+…)(x50+x100+…)(x100+x200+…) (x200+x400+…)To ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή του x100n


ΠαραδείγματαΓΣ για τη διανομή 20 μαρκαδόρων, 6 μαύρων, 10 μπλέ, και 4 κόκκινων, σε 2 καθηγητές ώστε κάθε καθηγητής να πάρει 10 μαρκαδόρους και τουλάχιστον 1 από κάθε χρώμα.

Διανομή στον 1ο καθηγητή (σύμφωνα με περιορισμούς) καθορίζει τιθα πάρει ο 2ος καθηγητής με μοναδικό τρόπο. Αρκεί να διατυπώσουμε τη ΓΣ για τον 1ο καθηγητή. (x+x2+x3+x4+x5)(x+x2+…+x9)(x+x2+x3) Το ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή του x10 που είναι 15.


ΠαραδείγματαΕρώτημα 3.β, 1η Εργασία 2010-11:

Έχουμε n λίτρα λάδι (ίδια «αντικείμενα») που συσκευάζονται σε5λιτρα και 10λιτρα, και διανέμονται σε 3 διακεκριμένες αποθήκες.Τουλάχιστον 2 συσκευασίες από κάθε είδος σε κάθε αποθήκη.Να διατυπωθεί ΓΣ. Ποιος συντελεστής δίνει πλήθος διανομών;

Συνδυασμοί – συνήθης ΓΣ.Διανομή n ίδιων «αντικειμένων» (λίτρων λαδιού) σε6 διακεκριμένες υποδοχές:Πλήθος ακεραίωνλύσεων εξίσωσης:Γεννήτριασυνάρτηση: Πλήθος διανομών δίνεται από συντελεστή του xn.


Εκθετικές Γεννήτριες Συναρτήσεις... για προβλήματα διατάξεων.

Διακεκριμένα αντικείμενα σε διακεκριμένες θέσεις. Αναζητούμε τον συντελεστή τον συντελεστή του xk/k!(ουσιαστικά πολλαπλασιάζουμε τον συντελεστή του xk με k!)Λαμβάνουμε υπόψη διατάξεις στον σχηματισμό των απαριθμητών.

Διατάξεις k αντικειμένων από n χωρίς επανάληψη. P(n, k) = C(n, k) × k! Το P(n, k) προκύπτει ως συντελεστής του xk/k! στο (1+x)n


Εκθετικές Γεννήτριες ΣυναρτήσειςΕκθετική Γεννήτρια Συν. Ε(x) ακολουθίας α:

Συντελεστής του xn/n! αντιστοιχεί σε n-οστό όρο ακολουθίας α.

«Εκθετική» γιατί στην ακολουθία 1, 1, 1, ... αντιστοιχεί ηΕκθετική ΓΣ (ΕΓΣ) ex λόγω της ταυτότητας:

ΕΓΣ για μεταθέσεις n διαφορετικών αντικειμένων:ΕΓΣ για μεταθέσεις n ίδιων αντικειμένων:ΕΓΣ για μεταθέσεις n αντικειμένων σε k ομάδες με ίδια αντικείμεναμε πληθάριθμο ομάδων n1, n2, …, nk :


ΠαραδείγματαΕΓΣ για διανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σεn διακεκριμένες υποδοχές χωρίς περιορισμούς καιχωρίς να έχει σημασία η σειρά στις υποδοχές.

Ισοδύναμα, ΕΓΣ για διατάξεις k από n με απεριόριστες επανάληψεις.Π.χ. k άνθρωποι επιλέγουν ένα γλυκό από n διαφορετικά είδη.

Εκθετικός απαριθμητής για κάθε υποδοχή:

Εκθετική ΓΣ: enx και ο συντελεστής xk/k! είναι nk


ΠαραδείγματαΤο ίδιο με περιορισμό καμία υποδοχή να μην μείνει κενή (k ≥ n):

Εκθετικός απαριθμητής για κάθε υποδοχή: ex – 1Εκθετική ΓΣ: (ex – 1)n

Συντελεστής του xk/k! είναι ίσος με

Εφαρμογή:Ανάθεση 20 μεταπτ. φοιτητών σε 5 εργαστήρια ώστε κάθεεργαστήριο να δεχθεί τουλάχιστον 1 φοιτητή.

#«αναθέσεων»: 520 – 5×420 + 10×320 - 10×220 + 5


Παραδείγματα#πενταδικών συμβ/ρών μήκους n με άρτιο πλήθος από 1:

Εκθετικός απαριθμητής για ψηφία 0, 2, 3, 4:

Εκθετικός απαριθμητής για ψηφίο 1:

Εκθετική ΓΣ: e4(ex + e–x)/2 = (e5x + e3x)/2Συντελεστής του xn/n! είναι (5n + 3n)/2


Παραδείγματα#πενταδικών συμβ/ρών μήκους n με άρτιο πλήθος 1 και περιττόπλήθος 0 όπου τα 2, 3, 4 εμφανίζονται τουλάχιστον 1 φορά.

Εκθετικός απαριθμητής για ψηφία 2, 3, 4: ex – 1Εκθετικός απαριθμητής για ψηφίο 1: (ex + e–x)/2 Εκθετικός απαριθμητής για ψηφίο 0:

Εκθετική ΓΣ: (ex – 1)3 [(ex + e–x)/2] [(ex – e–x)/2]Συντελεστής του xn/n! είναι

5n - 3×4n + 3n+1 – 2n + (-2)n – 3×(-1)n - 1


ΠαραδείγματαΕΓΣ για διανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σεn διακεκριμένες υποδοχές χωρίς περιορισμούς καιόταν έχει σημασία η σειρά στις υποδοχές.

Επειδή είναι πρόβλημα διατάξεων, έχουμε εκθετική ΓΣ.Αφού έχει σημασία η σειρά σε κάθε υποδοχή, κατά το σχηματισμότου απαριθμητή, πολλαπλασιάζουμε το xk/k! με k!Ο απαριθμητής για κάθε υποδοχή είναι: 1+x+x2+x3 + … = 1/(1 – x)H εκθετική ΓΣ είναι 1/(1 – x)n

Το ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή του xk/k!, που είναι:


Ανακεφαλαίωση


Αναδρομικές ΣχέσειςΑναπαράσταση ακολουθίας α εκφράζοντας αn ως συνάρτησηαn-1, αn-2, …, με δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Ακολουθία Fibonacci Fn = Fn-1 + Fn-2, F0 = 1 και F1 = 1.Συχνά F0 = 0 και F1 = 1 ως αρχικές συνθήκες. Γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ: αn = λαn-1, α0 = 1. Αριθμητική πρόοδος με βήμα ω: αn = αn-1 +ω, α0 = 0.Άθροισμα n πρώτων φυσικών: αn = αn-1 + n, α0 = 0.

Αναδρομικές σχέσεις προκύπτουν «φυσιολογικά» από τηνπεριγραφή του προβλήματος.

Ανάλυση αναδρομικών αλγορίθμων, συνδυαστική, ...

«Επίλυση» για υπολογισμό n-οστού όρου: όχι πάντα εύκολη.Γραμμικές σχέσεις με σταθερούς συντελεστές (ΠΛΗ20).Σχέσεις που προκύπτουν από διαίρει-και-βασίλευε αλγόριθμους (ΠΛΗ30).


Παράδειγμα (Ερ. 4.Β.α, 1η Εργ. 2015-16)

Διατύπωση αναδρομικής σχέσης για πλήθος συμβ/ρών μήκους nαπό a, b, c, d, e που περιέχουν το a τουλάχιστον μία φορά.

Έστω αn το πλήθος τέτοιων συμβ/ρών μήκους n. Παρατηρούμε ότι α0 = 0, α1 = 1 (a), α2 = 9, …Έχουμε αn–1 συμβ/ρές μήκους n–1 με τουλάχιστον ένα a και5n–1 – αn–1 = 4n–1 συμβ/ρές μήκους n–1 χωρίς καθόλου a∀ «έγκυρη» μήκους n–1, έχουμε 5 «έγκυρες» συμβ/ρές μήκους n∀ «μη έγκυρη» συμβ/ρά μήκους n–1, έχουμε 1 «έγκυρη» μήκους n

Αμοιβαία αποκλειόμενες περιπτώσεις. αn = 5αn–1 + 4n–1 ή αn = 4αn–1 + 5n–1, με α0 = 0, (α1 = 1, … )

Με μαθηματική επαγωγή επιβεβαιώνουμε ότι η λύση 5n – 4n

ικανοποιεί τις παραπάνω αναδρομικές σχέσεις.


ΠαράδειγμαΑναδρομική σχέση για #πενταδικών συμβ/ρών μήκους nμε άρτιο αριθμό 0.

α0 = 1, α1 = 4, α2 = 17, ... Κάθε συμβ/ρά μήκους n-1 με άρτιο αριθμό 0 δίνει 4 συμβ/ρέςμήκους n με άρτιο αριθμό 0, με προσθήκη ενός από τα 1, 2, 3, 4.

Έτσι παίρνουμε 4αn-1 συμβ/ρές μήκους n με άρτιο αριθμό 0. Κάθε συμβ/ρά μήκους n-1 με περιττό αριθμό 0 δίνει 1 συμβ/ράμήκους n με άρτιο αριθμό 0, με προσθήκη ενός 0.

Έτσι παίρνουμε 5n-1 – αn-1 (διαφορετικές) συμβ/ρές μήκους nμε άρτιο αριθμό 0.

Συνεπώς αn = 5n-1 + 3αn-1, με α0 = 1.


Επίλυση Αναδρομικών Σχέσεωνμε Γεννήτριες Συναρτήσεις

Παράδειγμα: αn = 3αn-1 + 5n-1 με α0 = 1.Για κάθε n ≥ 1 πολλαπλασιάζουμεμε xn και αθροίζουμε:Αν συμβολίσ. με Α(x) τη ΓΣ της αn

έχουμε τώρα μια σχέση για Α(x):Χρησιμοποιώντας α0 = 1 καιλύνοντας ως προς A(x):

Κλασματική ανάλυση:

«Λύση»:

ΔημήτρηςΦωτάκης - softlab.ntua.grfotakis/data/plh20/plh20_oss1(color).pdfΠΛΗ20,...

Documents