ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗОЛЯТОРЫ И СМЕЖНЫЕ · pdf filefrom m....

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗОЛЯТОРЫ

И СМЕЖНЫЕ ПРОБЛЕМЫ.

Ч. 1. ВВЕДЕНИЕ

С.А. Тарасенко

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН

Санкт-Петербург

Летняя школа фонда «Династия» «Актуальные проблемы физики конденсированного

состояния (теория и эксперимент)», Репино, 12-21 июля 2013

2013 Physics Frontier Prize

«for the theoretical prediction and experimental discovery of topological insulators»

Shou-Cheng Zhang Charles L. Kane

Laurens W. Molenkamp

2012 ICTP Dirac Medal

Duncan Haldane, Charles Kane, Shoucheng Zhang

«in recognition of their many important contributions to condensed matter physics,

including their independent work preparing and opening the field of two and three

dimensional topological insulators»

НОБЕЛЕВСКАЯ ПРЕМИЯ ПО ФИЗИКЕ 2010

Андрей Гейм Константин Новосёлов

Nobel Prize in Physics 2010

"for groundbreaking experiments regarding the two-dimensional material graphene"

http://www.nobelprize.org/

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2010/geim.html

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2010/novoselov.html


A topological insulator is a material that behaves as an insulator in its

interior but whose surface contains conducting states. Although ordinary

band insulators can also support conductive surface states, the surface

states of topological insulators are special since they are topologically

protected by particle number conservation and time reversal symmetry.

http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_insulator

Определение:

Обзоры:

M.Z. Hasan and C.L. Kane,

Colloquium: Topological insulators,

Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010)

X.-L. Qi and Sh.-Ch. Zhang,

Topological insulators and superconductors,

Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011)

ПОВЕРХНОСТНЫЕ (КРАЕВЫЕ) СОСТОЯНИЯ

Игорь Евгеньевич Тамм

I. Tamm, On the possible bound states of electrons on a crystal surface,

Phys. Z. Soviet Union 1, 733 (1932)

)()exp(

rrk

kk nn uV

i

V

va

cu

um

z

crystal (periodic potential)

Объемные состояния (в разрешенных зонах)

Поверхностные состояния (в запрещенных зонах)

0,)exp()exp(

,)()exp()exp(

||

0

||

zS

zqi

azuS

zi

z

n

z

n ρk

rρk

a 0

- состояния в полупроводниках, металлах, фотонных кристаллах и т.д.

ПЛАН ЛЕКЦИИ

• Зонная структура. Проводники и изоляторы

• Топологические изоляторы Z

- квантовый эффект Холла

- топологическая эквивалентность систем

- краевые киральные состояния

- транспорт по киральным каналам

- фаза Берри, кривизна Берри

• Топологические изоляторы Z2

- симметрия к инверсии времени. Спин-орбитальное расщепление

- спиновый квантовый эффект Холла

• Поиск двумерных топологических изоляторов

- графен, силицен, германен

- квантовые ямы HgTe/CdHgTe

• Поиск трехмерных топологических изоляторов

ИЗОЛЯТОРЫ

- Отсутствие свободных носителей заряда, энергетическая щель в спектре

Полупроводник GaAs

E

дисперсия

2242 cpcmE 22mc

Вакуум

Кулоновское взаимодействие (щель Мотта — Хаббарда, кристаллизация Вигнера)

Неупорядоченные среды (локализация Андерсона, слабая локализация)

зонная структура

группа

Td

from E.L. Ivchenko & G.E. Pikus,

Springer-Verlag (1995)

P. Dirac, 1928

РАЗРЕШЕННЫЕ ЗОНЫ И УРОВНИ ЛАНДАУ

Обыкновенный изолятор

Квантовый эффект Холла

B

Спектр

k

0

ε

c

Nh

exy

2

число заполненных

уровней Ландау

Спектр

Электрический ток

EJ

a/a/ 0

gE

ε

КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА

Klaus von Klitzing

from www.ptb.de

K. v. Klitzing, G. Dorda, & M. Pepper, New Method for High-Accuracy Determination

of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance, PRL 45, 494 (1980)

Зависимость xx и xy от магнитного поля

Nh

exy

2

точность 10-9

ТОПОЛОГИЯ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ

Зонная теория

kkkkk rrk nnnnn Hui ˆ,)()exp(

HTTH ˆˆˆˆaa гамильтониан не меняется при трансляции на период

блоховские состояния

xk

a/

Отображение

a/

a/

a/

yk

I зона

Брюл.

kk nn ,

Топологическая эквивалентность систем

k a/a/ 0

FE

ε

непрерывная трансформация зонной структуры

без исчезновения энергетической щели

см., например, M.Z. Hasan and C.L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010)

ТОПОЛОГИЧЕСКИ НЕЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ

бесщелевое краевое состояние

coordinate

ε

S1 S2

band structure

FE

Главная страница презентации!

КРАЕВЫЕ СОСТОЯНИЯ В КЭХ

B

М.С. Хайкин, ЖЭТФ 55, 1696 (1969)

B.I. Halperin, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982)

Образование киральных

состояний на краю образца Скорость краевых состояний

(сильное магнитное поле,

плавный потенциал)

2Bc

BEv

- дрейф в скрещенных полях

FE

ТРАНСПОРТ ПО КРАЕВЫМ КАНАЛАМ

Отсутствие рассеяния «назад» Модель плавного потенциала

из С.М. Апенко, Ю.Е. Лозовик,

ЖЭТФ 89, 573 (1985)

from M. Büttiker, Phys. Rev. B 38, 9375 (1988)

ПРОВОДИМОСТЬ ОДНОМЕРНОГО КАНАЛА

xk

V

v > 0

v < 0

L R

V

eUL eUR

ε

Баллистический транспорт

носителей заряда

ПРОВОДИМОСТЬ ОДНОМЕРНОГО КАНАЛА


(баллистический режим)

k

)]()([ LkRkk eUeUvej

kv k

k

Групповая скорость

k

k

dk

dk

2

1

2

1

k

Uh

eU

ed

k

k

ej k

k

eU

eU

k

L

R

22

22

Плотность состояний


Проводимость (кондактанс)

h

e

U

j 2

Сопротивление

ke

hR 8.25

2

k

V

ε

МНОГОМОДОВЫЙ КАНАЛ

FE

- спиновые каналы

- долинные каналы

- каналы размерного квантования

Полная проводимость

(независимые каналы)

Nh

e2

edge

число каналов

from www.ptb.de

ch2

xk

ε ch1

ch3

Квантово-механическая система

Гамильтониан , собственные значения и функции )(ˆ RH n n

параметр

ε

Спектр

nn ,

Уравнение Шредингера

Ht

i ˆ

ntint

it nn )(expexp)(

Стационарное состояние

динамическая фаза

АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИЗМЕНЕНИЕ

Медленное изменение параметра R(t)

)(),( RR nnУравнение Шредингера

)(ˆ RHt

i

)]([)](exp[)]([exp)(0

tntitdti

t n

t

nn RR

Набег фазы (разложение в ряд) Rx

ε

1~ t 0~ t геометрическая фаза

(фаза Берри)

Уравнение для фазы Берри

dt

tdtntni

dt

td n )()]([)]([

)( RRR R

ДВИЖЕНИЕ ПО ЗАМКНУТОЙ ТРАЕКТОРИИ

C

n dtntniC RRR R )]([)]([)(

Фаза Берри на замкнутой траектории

)(RAn

Интеграл по поверхности

S

nn dC SRAR )()(

)(RΩnкривизна Берри

(Berry curvature)

Проявление: различные интерференционные эффекты

(эффект Ааронова-Бома, слабая локализация и антилокализация и т.д.)

ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ

Движение в периодическом потенциале

)()exp( rrk kk nn ui Волновая функция

xk

a/a/

a/

a/

yk

I зона

Брюл.

Топологический инвариант

k – квазиволновой вектор (параметр)

Кривизна Берри

nkknkkkΩ uuin )(

Поток через всю зону Бриллюэна

ZB

nn dN kkΩ2)(

2

1

Z (целое число)

(число Черна)

FEn

nNN

k a/a/ 0

ε

FE

см. также D.J. Thouless et al., PRL 49, 405 (1982)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ

S

gdS 14

1

Формула Гаусса — Бонне

Гауссова кривизна

)/(1 21rr

0

0

0

0g 1g

СИММЕТРИЯ К ИНВЕРСИИ ВРЕМЕНИ

Нет TR симметрии

(B -B при t -t )

xk a/a/ 0

ε

vb

cb

xk a/a/ 0

ε

vb

cb

B

Есть TR симметрия

(крамерсово вырождение)

топологический инвариант Z

топологический инвариант Z2

C.L. Kane and E.J. Mele, PRL 95, 146802 (2005)

СООТВЕТСТВИЕ ОБЪЕМ-ГРАНИЦА. ТОПОЛОГИЯ Z2

from M.Z. Hasan and C.L. Kane, RMP 82, 3045 (2010)

(a) эквивалентные системы

(четное число крамерсовых

пар краевых состояния)

(b) Неэквивалентные системы,

(нечетное число крамерсовых

пар краевых состояния)

КВАНТОВЫЙ СПИНОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА

C.L. Kane and E.J. Mele, PRL 95, 226801 (2005)

B.A. Bernevig and Sh.-Ch. Zhang, PRL 96, 106802 (2006)

from M. König et al., Science 318, 766 (2007) Спиральные краевые каналы

(helical states)

ε

vb

cb

wavevector along edge

Электронный спектр

Чисто спиновый ток

0charge jjj

0)(2

1spin

jjj

ПРОВОДИМОСТЬ ПО СПИРАЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ

from P. Delplace et al., PRL 109, 246803 (2012)

Отсутствие локализации.

Отсутствие упругого рассеяния

«назад» в системах с симметрией

к инверсии времени

Локализация в магнитном поле

УГЛЕРОД. АЛЛОТРОПНЫЕ ФОРМЫ

графит

графит графен

фуллерен углеродная нанотрубка

from A.H. Castro Neto et al., RMP 81, 109 (2009)

КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ГРАФЕНА

a2

a1

Точечная группа D6h

(есть центр инверсии)

Два атома углерода

в примитивной ячейке

Термин «графен» для описания однослойной чешуйки графита предложил

в 1962 году Hanns-Peter Boehm

связи

связи

ЗОННАЯ СТРУКТУРА ГРАФЕНА

Зона Бриллюэна

K

K'

K

K K'

K'

x

y

Эффективный гамильтониан и энергия электронов вблизи точки K

,0ˆˆ

ˆˆ0ˆˆ

00

yx

yx

pip

pipvvH pσ

||0 pvE

гамильтониан Вейля для нейтрино скорость

108 см/с

квазиимпульс

Обзор: A.K. Geim and K.S. Novoselov, Nature Mat. (2007)

E

k

c

v

Ток по спиральным состояниям

Спин-орбитальное взаимодействие

Спин-орбитальное расщепление

eV25~ soE

S. Konschuh et al., PRB 82, 245412 (2010)

)(00 yyxx ppvH

zzso sH

Невозмущенный гамильтониан

долина псевдоспин

(орб. вырождение)

спин

see F.D.M. Haldane, Model for a quantum Hall effect without Landau Levels…, PRL 61, 2015 (1988)

изогнутая (buckled) решетка Зонная структура плоского и изогнутого германена

eV4~ m eV24~ m

КВАНТОВЫE ЯМЫ HgTe/CdHgTe

d<dc

H1

E1

HgTe

CdTe CdTe

6

8

H1

E1

HgTe

CdTe CdTe

6

8 d>dc

normal structure inverted structure

E E

6

6 8

8

7 7

band structures of bulk crystals

QW-width dependence of levels

E1

H1

E

d

dc 6.6 nm

B.A. Bernevig et al., Science 314, 1757 (2006)

М.И. Дьяконов, А.В. Хаецкий, ЖЭТФ 82, 1584 (1982)

Energy spectrum in QWs

HgTe CdTe

d<dc d>dc d=dc

РАСЩЕПЛЕНИЕ ДИРАКОВСКОГО КОНУСА

Точечная симметрия D2d

Эффективный гамильтониан при ddc

Неприводимые спинорные представления

Γ6 Γ7

Энергетический спектр

22 )( kAaMEk

MaAk

MAka

aAkM

AkaM

H

0

0

0

0

ˆ

спектр при d=dc

S.A.T., M.O. Nestoklon, E.L. Ivchenko

КРАЕВЫЕ СОСТОЯНИЯ В КВАНТОВЫХ ЯМАХ

HgTe/CdHgTe

from X.-L. Qi and Sh.-Ch. Zhang,

Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011)

Энергетический спектр

d<dc

H1

E1

HgTe

CdTe CdTe

6

8

H1

E1

HgTe

CdTe CdTe

6

8 d>dc

ТРАНСПОРТ ПО КРАЕВЫМ КАНАЛАМ. ЭКСПЕРИМЕНТ

from M. König et al., Science 318, 766 (2007)

1

2 3

4

5 6

R14,23 of (i) normal and (ii,iii,iv) inverted QWs.

(i,ii) 2013 m2, (iii) 1.01.0 m2, (iv) 1.00.5 m2

Нелокальный транспорт

from A. Roth et al., Science 325, 294 (2009)

Two-terminal and four-terminal resistance

G.M. Gusev et al., Transport in disordered two-

dimensional topological insulators, PRB 84,

121302 (2011),

G.M. Gusev et al., Quantum Hall Effect in n-p-n

and n-2D Topological Insulator-n Junctions,

PRL 110, 076805 (2013)

…

Band structure of InAs/GaSb QWs Energy spectrum for different widths

Гамильтониан Дирака

инвертирование зон

в Pb1-xSnxTe(Se) спектр в контакте

02

)(2

)(0

pσ

pσ

zi

zi

Hg

g

Интерфейсная волновая функция

Линейный спектр

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗОЛЯТОРЫ В Bi2Se3, Bi2Te3, Sb2Te3, (BiSb)2Te3

H. Zhang et al., Nat. Phys. 5, 438 (2009)

D3d5

D3d

Поверхностные 2D состояния

безмассовые дираковские фермионы

)(ˆsurf xyyx ppAH

связь спина и импульса

Эффективный гамильтониан

ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ФОТОЭМИССИИ

ARPES (Angle-Resolved PhotoEmission Spectroscopy)

SRPES (Spin-Resolved PhotoEmission Spectroscopy)

ARPES Setup, from http://en.wikipedia.org

Фотоэмиссия с поверхности Bi2Se3

Y. Xia et al., Nat. Phys. 5, 398 (2009)

Bi2Se3

НАПРЯЖЕННЫЙ ОБЪЕМНЫЙ КРИСТАЛЛ HgTe

E

6

8

7

E

6

7

FE

unstrained strained

КЭХ на поверхностных состояниях

C. Büne et al., PRL 106, 126803 (2011)

Изучение поверхностных состояний в HgTe:

М.И. Дьяконов, А.В. Хаецкий,

Письма в ЖЭТФ 33, 115 (1981)

Y. C. Chang et al., PRB 31, 2557 (1985)

L. Fu and C. L. Kane, PRB 76, 045302 (2007) D.A. Kozlov et al., arXiv:1306.3347


• Топологическая эквивалентность систем

• Двумерные и трехмерные топологические изоляторы

• Кристаллические топологические изоляторы

• Краевые спиральные состояния

• Квантовый спиновый эффект Холла

• Электродинамика топологических изоляторов

•

•

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИЗОЛЯТОРЫ И СМЕЖНЫЕ · pdf filefrom m....

Documents