Зависимые типы в Haskell

Котельников Евгений

SpbHUG/FProg

12 июля 2012

Типы и термы

В большинстве языков программирования существует какминимум два мира — мир термов и мир типов.

Мир типовInteger, String → String, ∀ Nat. Nat → String

Мир термов10, "foobar", n, \x -> x + 1, 6 + 5

Между объектами этих двух миров могут возникатьфункциональные зависимости.

Типы и термы

Зависимость терма от терма

int increment(int x) {return x + 1 ;

}

Зависимость терма от типаПолиморфные функции

static <T> List<T> singletonList(T elem) {ArrayList<T> list = new ArrayList<T>( ) ;list.add(elem) ;return list ;

}

Типы и термы

Зависимость типа от типаОператоры над типами

Collection <A>

Зависимость типа от термаЗависимые типы

nil : {A : Type} → Vector 0 Acons : {n : Nat} → {A : Type} →

Vector n A → Vector (n + 1) A

Выражаемое в зависимых типах

I Операции над списками и матрицами сконтролируемыми размерностями

append : {n m : Nat} → {A : Type} →Vector n A → Vector m A → Vector (n + m) A

append nil ys = ysappend (cons x xs) ys = cons x (append xs ys)

I Отсортированные спискиI Сбалансированные деверьяI Функции с переменным числом аргументовI Типо-безопасные printf и scanf

Код, содержащий доказательства

Системы зависимых типов порождают предикатную логику(см. соответствие Карри-Говарда). Тип — утверждение окоде, терм — доказательство.

Класс типа функтора в Coq

Class Functor (𝜑 : Type → Type) := {fmap : ∀ {𝛼 𝛽} , (𝛼→ 𝛽) → 𝜑 𝛼→ 𝜑 𝛽 ;

(** Functor laws **)fmap_id : ∀ 𝛼 (x : 𝜑 𝛼) , fmap id x = x ;fmap_comp : ∀ 𝛼 𝛽 𝛾 (x : 𝜑 𝛼) (f : 𝛽 → 𝛾) (g : 𝛼→ 𝛽) ,

fmap (f ∘ g) x = (fmap f ∘ fmap g) x} .

Экземпляры класса, помимо самой реализации fmap,обязаны предоставить доказательства теорем о ней.

Экземпляр класса типа функтора

Instance list_functor : Functor list := {fmap 𝛼 𝛽 := fix fmap f xs := match xs with

| [] ⇒ []| x : : xs ⇒ (f x) : : (fmap f xs)end

} .Proof .(** fmap_id **)intros .induction x as [| x xs] .

reflexivity .rewrite IHxs . reflexivity .

(** fmap_comp **)intros .induction x as [| x xs] .

reflexivity .rewrite IHxs . reflexivity .

Qed .

Вычисления в типах

Пример: умножение матриц

multiply : {n m q : Nat} →Matrix m n → Matrix n q → Matrix m q

ПроблемаНеобходимо на этапе компиляции проверить, что ширинаодной матрицы равна высоте другой. А в общем случае —проверить на равенство два терма.

Решение (?)Вычислить оба терма до достижения нормальной формы исравнивать их. Но вычисление может никогда незавершиться...

Вычислительные модели в типах

Допускать только термы специального видаВместо редукций — разрешение системы ограничений.Dependent ML, ATS

Контроль над временем проверки типовЛимит на макс. допустимое количество шагов редукции.Cayenne

Сильная нормализацияОбщая рекурсия запрещена, везде тотальные функции.Coq

Отдельная проверка на тотальностьОбщая рекурсия разрешена, но отдельный механизмпытается распознать нетотальные функции.Agda, Epigram, Idris

Зависимые типы в Haskell

ИдеяОпределить термы, структура которых повторяет структурусвоих типов.

Натуральные числа в арифметике Пеано

data Nat = Zero | Suc Nat

Натуральные числа как singleton types

data Zero = Zerodata Suc n = Suc n

Структура типа повторяет структуру терма

Suc Zero : : Suc ZeroSuc $ Suc $ Suc Zero : : Suc (Suc (Suc Zero) )

Определение типа вектора

Обобщённые алгебраические типы данных

{-# LANGUAGE GADTs #-}{-# LANGUAGE GADTSyntax #-}

data Vector n a whereVNil : : Vector Zero aVCons : : a → Vector n a → Vector (Suc n) a

В типе вектора содержится длина

vec4 : : Vector (Suc (Suc (Suc (Suc Zero) ) ) ) Intvec4 = VCons 1 $ VCons 2 $ VCons 3 $ VCons 4 VNil

Безопасные head и tail

Ограничение на длину задано в типе

vhead : : Vector (Suc n) a → avhead (VCons a _) = a

vtail : : Vector (Suc n) a → Vector n avtail (VCons _ v) = v

Проверка типов отвергает некорректные применения

vhead (VCons 1 $ VCons 2 VNil) -- okvhead VNil -- type error

vtail (VCons 1 $ VCons 2 VNil) -- okvtail VNil -- type error

K-тый элемент вектора

Мультипараметрические классы типов

{-# LANGUAGE MultiParamTypeClasses #-}

class Kth n k wherekth : : Vector n a → k → a

instance Kth (Suc n’) Zero wherekth (VCons a _) _ = a

instance Kth n’ k’ ⇒ Kth (Suc n’) (Suc k’) wherekth (VCons _ v) (Suc k’) = nth v k’

Pattern matching по типам вместо термов

kth (VCons 1 $ VCons 2 $ VCons 3 VNil) (Suc $ Suc Zero) -- okkth (VCons 1 $ VCons 2 VNil) (Suc $ Suc $ Suc Zero) -- fail

Конкатенация векторовСемейства типов{-# LANGUAGE TypeFamilies #-}type family Plus n mtype instance Plus Zero m = mtype instance Plus (Suc n’) m = Suc (Plus n’ m)

Можно инфиксно!

{-# LANGUAGE TypeOperators #-}type family n :+ mtype instance Zero :+ m = mtype instance (Suc n’) :+ m = Suc (n’ :+ m)

Конкатенация, сохраняющая длину

append : : Vector n a → Vector m a → Vector (n :+ m) aappend VNil v = vappend (VCons a w) v = VCons a (append w v)

Литература: зависимые типы

1. B. Pierce. Types and Programming Languages. Chapter30.5

2. B. Pierce et al. Advanced Topics in Types andProgramming Languages. Chapter 2

3. T. Altenkirch, C. McBride, J. McKinna. Why DependentTypes Matter

4. A. Bove, P. Dybjer. Dependent Types at Work5. U. Norell. Dependently Typed Programming in Agda6. H. Xi. Dependent Types in Practical Programming

Литература: программирование в типах Haskell

1. C. McBride. Faking It: Simulation Dependent Types inHaskell

2. O. Kiselyov, S. Peyton Jones, C. Shan. Fun with typefunctions

3. B. Yorgey. Typed type-level programming in Haskell4. W. Jeltsch. Dependently typed programming and theorem

proving in Haskell

Вопросы?