« hisoblash matematikasi » fanidan o’quv-uslubiy m a j … blok...

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS

TA’LIM VAZIRLIGI

ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT

UNIVERSITETI

HISOBLASH USULLARI KAFEDRASI

« HISOBLASH MATEMATIKASI » fanidan o’quv-uslubiy

M A J M U A

«5480100 - Amaliy matematika va informatika»

ta’lim yo’nalishi bakalavr talabalari uchun

SAMARQAND-2010

2

Amridinov S. «Hisoblash matematikasi» fanidan o’quv – uslubiy majmua («5480100 - Amaliy matematika va informatika» ta’lim yo’nalishi bakalavr talabalari uchun). O’quv-uslubiy majmua. – Samarqand: SamDU nashri, 2010. – 220 bet.

Ushbu o’quv – uslubiy majmuasi Samarqand davlat universitetining «Hisoblash usullari»

kafedrasida tayyorlangan. Majmua «Hisoblash matematikasi» fanini o’rganish jarayonida talabaning mustaqil ishlashini ta’minlovchi o’quv-uslubiy materiallarni o’z ichiga oladi hamda talaba olgan bilimining sifatini doimo nazorat qilishni ta’minlaydi. Ushbu o’quv - uslubiy majmua «Hisoblash matematikasi» fani o’quv rejaga kiritilgan barcha ta’lim yo’nalishlari bakalavr talabalari uchun mo’ljallangan. Taqrizchilar:

fizika-matematika fanlari doktori, prof. B.Xo’jayorov fizika-matematika fanlari nomzodi, dots. A.Abdirashidov

MUALLIFDAN Hurmatli talaba! Qo’lingizdagi ushbu o’quv-uslubiy majmua «Hisoblash matematikasi» fanini o’rganish

jarayonida sizning mustaqil ishlashingizni tashkil etishga mo’ljallangan. Majmua ikki bo’limdan iborat: «Fanning o’quv predmetiga kirish» va «Fanning reja-

topshiriqlari va o’quv - uslubiy materiallari» Birinchi bo’lim o’quv kursi bo’yicha dastlabki tushuncha beruvchi materiallar: o’quv

kursining dolzarbligi, maqsad va vazifalari, fan bo’yicha zarur bo’lgan bilim darajasining Davlat ta’lim standartlari talablari, mavzu va mashg’ulot turlari bo’yicha o’quv soatlarining taqsimlanishi hamda ularning mazmuni, tavsiya etiladigan adabiyotlar ro’yxati, mustaqil ishlar mavzulari, hamda bilimni nazorat qilish savolaridan iborat.

Ikkinchi bo’limda har bir mashg’ulot uchun reja-topshiriq va o’quv-uslubiy materiallari berilgan. Topshiriqlarni o’z vaqtida bajarish o’quv predmeti bo’yicha yuqori darajada bilimga ega bo’lishni va doimo o’z-o’zini nazorat qilib borishni ta’minlaydi.

Har bir fan kabi «Hisoblash matematikasi» fanini o’rganishda mantiqiy ketma-ketlikni ta’minlash talab etiladi. Shuning uchun mavzuni chuqur o’rgangandan so’ng yangi mavzuga o’tish mumkin bo’ladi.

SamDU «Hisoblash usullari» kafedrasi

dotsent S.Amridinov

A.Navoiy nomidagi Samarqand davlat universiteti, 2010.

3

1 - BO’LIM

«HISOBLASH MATEMATIKASI»

FANINING O’QUV PREDMETIGA KIRISH

4

Ўзбекистон Республикаси

Олий ва ўрта махсус таьлим вазирлиги

Рўйхатга олинди №____________ 2008 йил "___" _________

Ўзбекистон Рспубликаси Олий ва ўрта махсус таъми вазирлигининг

2008 йил "___" ___________ даги "___" сонли буйруғи билан тасдиқланган

ҲИСОБЛАШ МАТЕМАТИКАСИ фанининг

НАМУНАВИЙ ЎҚУВ ДАСТУРИ

Билим соҳаси: 400 000 - Фан

Таълим соҳаси: 480 000 – Амалий математика ва информатика Таълим йўналиши: 5480100 - Амалий математика ва информатика

Тошкент – 2008

5

Фаннинг ўқув дастури Олий ва ўрта махсус, касб-ҳунар таълими ўқув-услубий бирлашмалари фаолиятини Мувофиқлаштирувчи Кенгашнинг 2008 йил "____" ________ даги "____"- сонли мажлис баёни билан маъқулланган.

Фаннинг ўқув дастури Мирзо Улуғбек номидаги Ўзбекистон Миллий университетида

ишлаб чиқилди.

Тузувчилар: Маҳмудов А.А. – "Ҳисоблаш технологиялари ва математик моделлаштириш"

кафедраси доц., ф.-м.ф.н. Бахрамов С.Б. – "Ҳисоблаш технологиялари ва математик моделлаштириш"

кафедраси доц., ф.-м.ф.н. Тақризчилар:

Шодиметов Х.М. – Математика ва ахборот технологиялари институти бўлим бошлиғи, ф.-м.ф.д., проф.

Жўраев Ғ.У. – "Ҳисоблаш технологиялари ва математик моделлаштириш" кафедраси доценти.

Фаннинг ўқув дастури Мирзо Улуғбек номидаги Ўзбекистон Миллий университети

Илмий-услубий кенгашида тавсия қилинган (2008 йил 27 июнидаги 9- сонли баённома).

6

Кириш

Ҳисоблаш математикаси ўрганадиган турли амалий ва назарий фанлар тадқиқотларида учрайдиган масалаларни тақрибий ечиш асосларини етарли даражада ўқитиш ҳамда бу билимлар ёрдамида муайян математик масалани ечишни ўрганади. Хатоликлар назарияси, алгебранинг сонли усуллари, функцияларни яқинлаштириш, тақрибий интеграллаш, оддий дифференциал тенгламаларни ечиш, математик физика масалаларини ечишнинг сонли усуллари, тўр тенгламаларни ечиш усуллари, интеграл тенгламаларни тақрибий ечиш усуллари кўзда тутилган.

Ўқув фанининг мақсади вазифалари

“Ҳисоблаш усуллари” предметининг ўқитилишидан мақсад талабаларда турли

математик масалаларни ечишда турли алгоритмларни сифатини ва ишлатиш имкониятларини таҳлил қила билиш ҳамда алгоритмларни ярата билиш кўникмаларни ҳосил қилишдан иборат. Берилган масаланинг турини аниқлай олиш ва маълум алгоритмларни тўғри қўллай билиш ва маълум усулларнинг турғунлигини аниқлай билиш. Дастурлаш тилларини қўллаган ҳолда шахсий ЭҲМларда масалаларни еча олиш. Ҳисоб-китоб натижаларини малакали равишда таҳлил қила билиш.

Курс мобайнида функцияларни яқинлаштириш,тақрибий дифференциялаш ва интеграллаш, алгребанинг сонли усуллари ҳамда дифференциал тенгламаларни тақрибий ечишни ўрганади.

Фан бўйича талабаларнинг билимига, кўникма ва малакасига қўйиладиган талаблар

Ҳисоблаш математикаси ўқув қанини ўзлаштириш жараёнида амалга ошириладиган

масалалар доирасида бакалавр: - ҳисоблаш жараёнида қўйиладиган хатоликларни таҳлил қилиш; - жадвал кўринишида берилган функцияни аналитик функция билан алмаштириш;

тақрибий диференцилаш ва интеграллашни амалга ошириш; - трансцендент ва алгебраик тенламаларни тақрибий ечиш; тенгламалар системасини

тақрибий ечиш; - хос ва хос векторларни тақрибий топиш; - дифференциал ва интеграл тенглаламаларни тақрибий ва сонли ечимлари топиш

кўникмасига эга бўлиши керак.

Фаннинг ўқув режадаги бошқа фанлар билан ўзаро боғлиқлиги ва услубий жиҳатдан узвий кетма-кетлиги

Ҳисоблаш математикаси табиий-илмий фан бўлиб, 3,4,5 семестрларда ўқитилади.

Дастурни амалга ошириш учун ўқув режадаги математик анализ, алгебра, аналитик геометрия, дифференциал тенгламалар, математик физика тенгламалари, ЭҲМ ва дастурлаш билан боғлиқ бўлиб, уларнинг натижаларидан кенг фойдаланилади.

Фаннинг ишлаб чиқаришдаги ўрни

Ҳисоблаш математикаси амалиётда учрайдиган масалаларни тақрибий ечиш билан

шуғулланади. Маълумки, табиий фанлар ҳамда техника фанларида учрайдиган кўпгина масалалар чизиқсиз дифференциал тенгламаларга келтирилади, яъни уларнинг аналитик ечимини топиш ниҳоятда мураккаб масала, шу сабабли тақрибий ечиш усулларидан фойдаланиш кўпроқ самара беради.

7

Фанни ўқитишда замонавий ахборот ва педагогик технологиялар

Ҳисоблаш математикаси фанини ўзлаштириш учун ўқитишнинг илғор ва замонавий усулларидан фойдаланиш, янги информацион-педагогик технологияларни татбиқ қилиш муҳим аҳамиятга эга. Фанни ўзлаштиришда дарслик, ўқув ва услубий қўлланмалар, маъруза матнлари, тарқатма материаллар, электрон материаллар, виртуал стендлар ҳамда ишчи ҳолатдаги математик моделлардан ва илғор педагогик технологиялардан фойдаланилади.

АСОСИЙ ҚИСМ

Кириш

Ҳисоблаш усуллари замонавий математиканинг бир ажралмас қисми сифати-да. Сонли

усуллар кўпгина амалиёт масалаларини ечишда, айниқса, моделлари дифференциал тенгламалар терминида ифодаланадиган жараён, жараёнларни тадқиқ қилишнинг ажралмас қисми эканлиги. Бундай моделларни самарали татбиқ қилиш у ёки бу ҳисоблаш алгоритмларини танлаш ва компьютерда дастурлаш усуллари билан бевосита боғлиқлиги. Дискретлаштириш. Сезгирлик, шартланганлик, хатолик. Ҳисоблаш усули. Масала ечимининг хатолиги.

Хатоликлар назарияси

Хатоликлар манбалари. Абсолют ва нисбий ва лимит нисбий хатолик. Қийматли ва ишончли рақамлар. Ишончли рақамлар сони билан лимит нисбий хатолик ўртасидаги боғланиш. Амал хатоликлари. Функция хатолиги. Хатоликнинг тескари масаласи.

Алгебранинг сонли усуллари

Бир номаълумли тенгламаларнинг илдизлари чегаралари, илдизларни тақрибий топиш: оддий итерация, Ньютон, ватарлар усуллари ва модификациялари. Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг аниқ усуллари. Гаусс усули. Тескари матрицани топиш. ЧАТС (чизиқли алгебраик тенгламалар системаси)ни ечимини топишнинг итерацион усуллари. Итерацион усулларнинг яқинлашиши ва хатолиги. Чебишев параметрларининг гуруҳи қатнашган итерацион усуллар. Чизиқсиз тенгламалар системасини ечишнинг итерацион усуллари. Хос сон ва хос векторларни топишнинг сонли усуллари.

Функцияларни яқинлаштириш

Функцияларни яқинлаштириш усуллари. Алгебраик кўпҳадлар билан яқинлаштириш.

Интерполяцион масала ечимининг ягоналиги. Лагранж интерполяцион формуласи ва хатолиги. Айирмалар нисбати ва уларнинг хосслари. Нюьтоннинг тенгмас ораликлар учун интерполяцион формуласи. Чекли айирмалар ва уларнинг хосслари. Тенг ораликлар учун интерполицион формулалар. Сплайн-яқинлаштириш, сплайнлар фазоси базиси. Сплайн интерполяция. Касрли-рационал яқинлаштириш. Ўрта квадратик маънода яқинлаштириш.

Тақрибий интеграллаш

Интерполяцион квадратур формулалар. Ньютон-Котес типидаги квадратур формулалар, трапеция ва Симпсон квадратур формулалари ва уларнинг хатоликлари. Ортогонал кўпҳадлар ва уларнинг хоссалари. Гаусс типидаги квадратур формулалар. Хосмас интегралларни тақрибий ҳисоблаш. Каррали интегралларни ҳисоблаш. Тақрибий интеграллаш масаласига функционал ёндашув.

8

Оддий дифференциал тенгламаларни ечиш

Оддий дифференциал тенгламалар учун қўйилган Коши масаласини ечишнинг сонли

усуллари. Кетма-кет яқинлашиш, Эйлер, Рунге-Кутта усуллари. Адамснинг интерполяцион ва экстрапроляцион усуллари. Системаларни интеграллаш. Чегаравий масалаларни ечишнинг сонли усуллари. Уч диагоналли системага келтириш ва прогонка усули. Вариацион масалага келтириш ва вариацион усуллар, Галеркин, коллокация, Ритц методлари.

Математик физика масалаларини ечишнинг сонли усуллари

Дастлабки тушунчалар. Чекли айирмали схемалар. Айирмали аппроксимация. Иссиқлик ўтказиш масалалари учун айирмали схемалар. Айирмали схемада турғунлик ва яқинлашиш орасидаги боғланиш. Айирмали схемалар учун максимум принципи. Пуассон тенгламаси учун қўйилган Дирихле айирмали масаласининг турғунлиги ва яқинлашиши. Либман процесси. Айирмали схемаларнинг турғунлик назарияси. Чегаравий масалаларни ечишда вариацион усуллар. Вариацион ва вариацион-айирмали схемалар.

Интегралли тенгламаларни ечиш усуллари.

Интегралли тенгламаларни ечиш усуллари. Биринчи турдаги интегралли тенгламалар. Коррект бўлмаган масалаларни ечиш. Иккинчи тур интегралли тенгламалар. Чекли йиғиндилар усули. Ажралувчан (хос) ядро усули.

Амалий машғулотларни ташкил этиш бўйича кўрсатма ва тавсиялар

Амалий машғулотларда талабалар турли масалаларни тақрибий ечишни усулларини

ўрганадилар. Амалий машғулотларнинг тахминий тавсия этиладиган мавзулари: 1. Амал хатоликларини баҳолаш. 2. Лагранж интерполяцион формуласи ва унинг хатолиги. 3. Тенгмас ораликлар учун Ньютон интерполяцион формуласи. 4. Тенг ораликлар учун Ньютон интерполяцион формуласи. 5. Сплайнлар билан яқинлаштириш. 6. Ўрта квадратик яқинлаштириш. 7. Интегралларни тақрибий ҳисоблашда трапеция формуласи. 8. Интегралларни тақрибий ҳисоблашда Симпсон формуласи. 9. Интегралларни тақрибий ҳисоблашда Гаусс формуласи. 10. Бир номаълумли алгебраик тенгламаларнинг илдизлари чегараси. 11. Чизиқсиз тенгламалар системани ечиш учун оддий итерация усули. 12. Чизиқсиз тенгламалар системани ечиш учун Ньютон итерация усули. 13. Чизиқсиз тенгламалар системани ечиш учун ватарлар усули. 14. Чизиқсиз тенгламалар системасини ечишда Ньютон ва Монте Карло усуллари.

Лаборатория ишларини ташкил этиш бўйича кўрсатмалар

Лаборатория ишларида талабалар сонли усуллар фанига оид мисол ва масалаларни

алгоритмларини тузиб, компьютер имкониятларидан фойдаланиб ечишни ўрганадилар. Лаборатория ишларга тақдим этиладиган мавзулар: 1. Функцияларини яқинлаштиришда Ньютоннинг интерполяцион формулалари. 2. Чизиқсиз тенгламаларни тақрибий ечиш.

9

3. Чизиқли тенгламаларни тақрибий ечиш. 4. Хос сонни топишда итерацион усул. 5. Прогонка усули.

Курс лойиҳасини ташкил этиш бўйича кўрсатмалар

Курс лойиҳасининг мақсади талабаларни мустақил ишлаш қобилиятини

ривожлантириш ва олган назарий билимларини қўллашда амалий кўникмалар ҳосил қилишдир.

Курс иши лойиҳаси мавзулари бевосита маълум амалий масалаларга боғлиқ ҳолда, кафедра профессор – ўқитувчилари томонидан белгиланади ва ҳар бир талабага шахсий топшириқ сифатида берилади. Курс лойиҳаси компьютер дастури кўринишида бажарилади ва CD дискда топширилади.

Курс лойиҳасининг тахминий мавзулари: 1. Чизиқли тенламаларни ечиш. 2. Матрицанинг хос сон ва хос векторини топиш. 3. Оддий дифференциал тенгламаларни ечиш учун Эйлер усули. 4. Оддий дифференциал тенгламаларни ечиш учун Рунге-Кутта усули. 5.Оддий дифференциал тенгламаларни ечиш учун Адамс усули. 6. Оддий дифференциал тенгламаларни ечиш учун вариацион усуллар. 7. Математик физика масалаларини ечиш. 8. Айирмали тенгламаларни ечиш. 9. Математик физика масалаларини вариацион, вариацион-айирмали усул

билан ечиш. 10. Интеграл тенгламаларни тақрибий ечиш.

Мустақил ишнинг ташкил этишнинг шакли ва мазмуни

Талаба мустақил ишни тайёрлашда муайян фаннинг хусусиятларини ҳисобга олган ҳолда қуйидаги шакллардан фойдаланиш тавсия этилади.

дарслик ва ўқув қўлланмалар бўйича фан боблари ва мавзуларини ўрганиш; тарқатма материаллар бўйича маърузалар қисмини ўзлаштириш; автоматлаштирилган ўргатувчи ва назорат қилувчи тизимлар билан ишлаш; махсус адабиётлар бўйича фанлар бўлимлари ёки мавзулари устида ишлаш; янги жараёнлар ва технологияларни ўрганиш; талабанинг ўқув-илмий-тадқиқот ишларини бажариш билан боғлиқ бўлган фанлар

бўлимлари ва мавзуларни чуқур ўрганиш; фаол ва муаммоли ўқитиш услубидан фойдаланиладиган ўқув машғулотлари; масофавий (дистанцион) таълим. Тавсия этилаётган мустақил ишларнинг мавзулари: 1. Тенг оралиқлар учун Гаусс интерполяцион кўпҳади. 2. Тригонометрик функцияларни ўртача квадратик маънода яқинлаштириш (узлуксиз

ва дискрет ҳоллар). 3. Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишда квадрат илдизлар усули. 4. Матрицанинг характеристик кўпҳадини топишда Данилевский усули. 5. Бир жинсли айирмали схемалар. 6. Тор тебраниш тенгламаси учун айирмали схемалар. 7. Айирмали масаланинг қўйилиши ва аппроксимация хатолигини баҳолаш.

10

Адабиётлар

Асосий адабиётлар 1. Исроилов М.И. Ҳисоблаш методлари. Тошкент: Ўқитувчи, 2000. 2. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырний П.И. Вычислительные методы высшей

математики. 1,2-том. Минск, Выща школа. 1972, 1975. 3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М., Наука. 1989.

Қўшимча адабиётлар

4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Физматгиз. 1962. 5. Самарский А.А. Введение в численные методы. -М., Наука. 1987. 6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука. 1989. 7. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М., Наука. 1987. 8. Сборник задач по методам вычислений. Под редакцией Монастырного П.И. Минск, Выща

школа. 1983. 9. Исматуллаев Ғ.П., Жўраев Ғ.У. Ҳисоблаш усулларидан методик қўлланма. Тошкент:

Университет, 2005. 10. Исматуллаев Ғ.П., Пўлатов С.И., Фаязов Қ.С. Сонли усуллардан қўлланма. Тошкент:

Университет, 2008. 11. Алоев Р.Д., Шарипов Т. Сонли усуллардан маърузалар тўплами. БухДУ, 1995.

11

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

ALISHER NAVOIY NOMIDAGI

SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI

MEXANIKA - MATEMATIKA FAKULTETI

«HISOBLASH USULLARI» KAFEDRASI

«TASDIQLAYMAN» SamDU o’quv ishlari prorektori _______________ prof. A.Soleev

«___»___________ 2010 y.

«HISOBLASH MATEMATIKASI» FAN DASTURI

(«5480100 – Amaliy matematika va informatika» ta’lim yo’nalishining

3-kurs talabalari uchun)

№ Mashg’ulot turi Ajratilgan soat (5-semestr)

rejada amalda

1. Nazariy mashg’ulot 32 32 2. Amaliy mashg’ulot 30 30 2. Laboratoriya mashg’uloti 10 10 3. Mustaqil ish 80 80 JAMI: 152 152

Samarqand - 2010

Ro’yxatga olindi №____________

2010 yil

12

Ushbu fan dasturi fakultet Ilmiy Kengashining 2010 yil 29 avgustdagi majlisida 1-son bayonnoma bilan tasdiqlangan.

Fakultet dekan: dots. H.Qurbonov

Ushbu fan dasturi fakultet o’quv-uslubiy kengashining 2010 yil 29 avgustdagi

majlisida 1-son bayonnoma bilan tasdiqlangan.

Fakultet o’quv-uslubiy kengashi raisi: dots. E.Sattorov

Ushbu fan dasturi kafedraning 2010 yil 27 avgustdagi №1 majlisida 1-son bayonnoma

bilan tasdiqlangan.

Kafedra mudiri: dots. A.Abdirashidov

Tuzuvchi: dots. S.Amridinov

Alisher Navoiy nomidagi Samarqand davlat universiteti, 2010

13

1.1. FANGA KIRISH, UNING DOLZARBLIGI, MAQSAD VA VAZIFALARI, UNI O’ZLASHTIRISHGA QO’YILADIGAN TALABLAR.

1.1.1. Kirish (Fanning o’rni va ahamiyati, rivojlanish taraqqiyoti, nazariy va

metodologik asosi va o’rganiladigan muammolari bayon etiladi). Hisoblash matematikasi kursiga bag’ishlangan kitoblar rus va chet tillarda ko’plab

chop etilgan, lekin o’zbek tilida chop etilmagan. Matematika turmush masalalarini yechishga bo’lgan extiyoj tufayli vujudga

kelganligi uchun ham u sonli matematika ya’ni hisoblash matematikasi bo’lib, uning maqsadi esa masala yechiminpi son shaklida topishdan iborat edi. IX asrda yashagan buyuk o’zbek matematik olimi Muhammad ibn Muso al – Xorazmiy hisoblash matematika Fanini yaratishga katta hissa qo’shgan. Chet el olimlaridan Nyuton, Eyler, Lobachevsky, Gauss kabilar ham bu fanni yaratishga ulkan hissa qo’shganlar.

Matematikada tipik matematik masalalarining yechimlarni yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchi metodlar yaratishga va shu maqsadda hozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish o’llarini ishlab chiqishga bag’ishlangan soha hisoblash matematikasiga deyiladi. Fanning maqskadi funksional fazolarda to’plamlarni va ularda aniqlangan operatorlarni yaqinlashtirish hamda hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo’llanadigan sharoitda masalalarni yechish uchun oqilona va tejashlar algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iborat.

Fanning asosiy masalasi – hisoblash matematikasi fanining rivojlanishi ta’rixini o’rganish, taqribiy sonlarni kelib chiqishini, xatolar nazariyasi ularning kelib chiqishi manbalari va nihoyat dastlabki yaqinlashishni aniqlash usullarini o’rganish va undan keyin sonli usullarni o’rganib borilgan masalalarni yetarli aniqlik Bilan yechishdan iborat.

Yuqoridagi jarayonlarni kompyuter orqali qisoblash nazarda tutiladi, chunki hisobla matematikasi usullarini kompyutersiz tasavvur qilishmumkin emas.

1.1.2. Fanning tarkibini o’zlashtirishga qo’yiladigan talablar. Fanni o’zlashtirgandan keyin talaba:

quyidagi nazariy bilimlarga ega bo’lishi va ulardan foydalana olishi zarur: - hodisani o’rganishning matematik modelini va uni yechish usulini tanlay

bilishi; - tadqiq qilinayotgan ob’yekt uchun aniq xarakteristikalar berishi; - mustaqil hisoblash matematikasi usullarini qo’llay bilishi; - nazariy bilimlariga asoslanib maxsus dasturlar paketidan foydalangan

holda biror algoritmik tilda masalani yechishning dasturini tuzishi; - olingan natijalarni tahlil qila bilishi;

quyidagi amaliy ko’nikmalarni egallashi zarur: - mustaqil bilim olish; - hisoblash matematikasi usullarini amalaiy masalalarni yechishga

qo’llash; - maxsus dasturlar paketidan foydalanish; - natijalarni tahlil qila bilish;

14

quyidagilar haqida tasavvurga ega bo’lishi zarur: - hisoblash matematikasi usullarining universialligi; - o’rganilayotgan ixtiyoriy ob’yektni diskretlashtirish jarayoni; - zamonaviy axborot texnologiyalaridan unumli foydalanish; - maxsus dasturlar paketi; - sodda amaliy masalalarning hisoblash matematikasi usullari yordamida

olingan yechimlari; quyidagilar yuzasidan malakalarni egallashi zarur:

- tadqiqot ob’yektining matematik modelini tuzish jarayoni va uni tadqiq qilishga chekli elementlar usulini qo’llay bilish;

- masalaning diskret modelini tuzish, bazis funksiyalarni tanlay bilish; - approksimatsiyalash, turg’unlik va yaqinlashshga tekshira bilish; - maxsus dasturlar paketidan foydalanib, sodda amaliy masalalarni

yechish. 1.1.3. Fanning boshqa fanlar bilan bog’liqligi va uslubiy jihatdan uzviy

ketma-kerligi (Fanning boshqa turdosh fanlar bilan o’zaro aloqadorligi va uzviyligi haqida ma’lumot beriladi).

Ushbu fan matematik analiz, algebra, analitik va differensial geometriya, differensial va integral tenglamalar, matematik fizika tenglamalari fanlari bilan bog’langan bo’lib, bu fanlar talabalarning taqribiy hisob usullarini (aynan chekli elementlar usulini) chuqur o’zlashtirishlari zarur hisoblanadi. Shuningdek, talabalar turli texnik obyektlar hisoblarini ilg’or va zamonaviy hisob usullarida bajara olishlari, hisob ishlarini shaxsiy kompyuterlarda bajara olishlari uchun ular informatika va axborot texnologiyalari fanini mukammal o’zlashtirib, yangi pedagogik va axborot texnologiyalarini tadbiq qilgan holda, Maple, Mathlab, Mathematica va MathCad kabi matematik dasturlar va mavjud elektron darsliklardan unumli foydalanib, dastur tuzishlari hamda uni amalda bajara olishlari kerak.

Bunda asosan, talabalar ma’ruzalar matnlarini o’rganish, uni amaliyot ishlari bilan birgalikda olib borish hamda amaliy mashg’ulotlar materiallarini shaxsiy kompyuterlarda bajarish ko’nikmalarni hosil qilishi kerak.

Fanni o’rganishda mashg’ulotlarning ma’ruza, amaliyot mashg’ulotlari, mustaqil ta’lim shakllaridan foydalaniladi va interfaol usullarning aqliy hujum, klaster, taqdimot, bumerang va boshqa yangi pedagogik texnologiya elementlari qo’llaniladi.

1.2. FANNING HAJMI VA MAZMUNI 1.2.1 Fanning hajmi

№ Mashg’ulot turi Ajratilgan soat rejada (3-semestr)

1. Nazariy mashg’ulot 32 2. Amaliy mashg’ulot 30 3. Лабаратория машғулотлар 10 4. Mustaqil ish 80 JAMI: 152

15

1.2.2. Fanning ta’lim standartlariga asoslangan mazmuni Nazariy ma’ruzalarni mazmuni.

Hisoblash matematikasi fanining tarixini o`rganish. Taqribiy sonlarni kelib chiqishi, xatolar nazariyasi va ularni kelib chiqishi manbalarini o`rganish. Chiziqli va chiziqli bo`magan tenglamalarni amaliy masalalarni yechish bilan bog`lanish. Hisoblash matematikasi fanining sonli usullarini o`rganish va tenglamalarni yechishga qo`llanilishini o`rganish. Interpolyasiyalash, taqribiy integrallash, oddiy differensiya tenglamalarini taqribiy yechish usullarini o`rganish. Simpson funksiyalar bilan yaqinlashtirish masalalarini o`rganish. Har bir usulni kompyuterda hisoblash algoritmi, blok-sxema, dasturini tuzish mexanizmini o`rganish kabi masalalar bilan chuqur tanishtirishdan iborat.

Amaliy mashg’ulotlar mazmuni Taqribiy sonlar sohasini o`rganish. Xatolar nazariyasi va ularni taqribiy

sonlarni xatolarini chegarasini aniqlash usullarini algoritmi va dasturini tuzish. Chiziqli va chiziqli bo’lmagan tenlamalarni taqribiy yechish uchun dastlabki yaqinlashashani tashlash usullarni o’rganish va bularni 1-ta tenglamani yechish uchun ko’llash. Sonli yaqinlashishi masalasini o`rganish va ularni kompyuterda tahlil qilish. Gauss, Zeydel, Iterasiya usullari bilan amaliy masalalarni yechish. Interpolyasion formulalarni amaliy masalalarni o`rganish uchun qo`llash. Integrallarni taqribiy yechish usullarini va ODT-ni taqribiy yechish usullarini kompyuterda hisoblashni o`rganish. Barcha yechilayotgan usullarga algoritm, blok-sxema va dastur tuzib natija olish va taxlil qilib kompterda tegishli xulosa chiqarish va tavsiyalar berish.

Laboratoriya mashgulotlari mazmuni Laboratoriya mashg`ulotlarida har bir ochilayotgan teglama amaliy masalalarni

yechishdan kelib chiqayotganligini talabalarga misollar bilan tushuntirish va olingan natijalarni taqqoslash va tegishli xulosalar chiqarish va tavsiyalar berish. Hisoblash matematikasini har bir usulini amaliy misollarni yechishda qo`llash maqsadi, asosiy vazifani, olingan natijalarni tahlili va ularni qo`llash sohalarini aniqlashdan iborat. Har bir yechilayotgan misol va masalalar algoritm, blok-sxema, dastur tuzib natija olish va ularni sonli yaqinlashishi jarayonini o`rganish va ularni unumdorligini aniqlashdan iborat.

1.2.3. Fan mashg’ulotlari mavzulari mazmuni va ularga ajratilgan soat Nazariy mashg’ulotlar mavzulari mazmuni va ularga ajratilgan soat

3-semestr (32 soat) 1-ma’ruza (2 soat): Xatoliklar nazariyasi va ularni kelib chiqish manbalari.

Xatoliklarni turlari va uning taraqiyotdagi o’rni va ishlatish sohasi. 2-ma’ruza (2 soat): Ildizlarni ajratish. Chiziqli bo`lmagan tenglamalarni yechish

16

usullari (1 ta tenglama uchun). Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechishda dastlabki yaqinlashishni o’rni va sonli yaqinlashish haqidagi ma’lumotlar.

3-ma’ruza (2 soat): Chiziqli bo`lmagan tenglamalar sistemasini yechish usullari (Nyuton, Iterasiya). Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini hayotdagi masalalar bilan bog’liqligi va uni taqribiy yechish usullari.

4-ma’ruza (2 soat): Chiziqli algebraning taqribiy usullari. Yakobi, Zeydel va iterasiya usullari.. Chiziqli bulmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari va uni taqqloslash, dastlabki yaqinlashishni tenglash.

5-ma’ruza (2 soat): Funksiyalarni yaqinlashtirish va interpolyasiyalash masalasining quyilishi. Yechimning mavjudligi va yagonaligi. Funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining mohiyati va uni amaliy masalalarni yechishiga qo’llanilishi.

6-ma’ruza (2 soat): Lagranj interpolyasiyalash formulasi. Koldik xad baxosi. Yeytken sxemasi.Algoritm tuzish. Interpolyasiyalash masalasini mohiyati uni qoldiq hadini baholash va algoritm, blok – sxema va dastur tuzish.

7-ma’ruza (2 soat): Ayirmalar nisbati ishtirokida tuzilgan interpolyasion formulalar. Ayirmali sxemalarni interpolyasion formulalari tuzishdagi o’rni.

8-ma’ruza (2 soat): Teng oraliqlar uchun interpolyasion formulalar. Tugunlarni joylashishi va unga mos interpolyasion formulalari,amaliy masalalarni yechishga qo’llanilishi.

9-ma’ruza (2 soat): Karrali tugun nuqtali interpolyasion ko`phadlar. Karrali tugun nuqtalar va ularni interpolyasion formulalarni qurishdagi ahamiyati.

10-ma’ruza (2 soat): Xos qiymat va xos vektor va ularni topish usullari. Xos qiymat va xos vektorni topish amaliy masalalarni yechish bilan bog’liqligini ko’rsatish.

11-ma’ruza (2 soat): Danilevskiy va Loverye usullari. Xos qiymat va xos vektorlarni topish usullarini algoritm, blok – sxema, dasturini tuzish.

12-ma’ruza (2 soat): Taqribiy integrallash.Tug`ri to`rtburchak, trapesiya, Simpson formulalari. Umumlashgan kvadratur formulalar. Integrallarni taqribiy yechish usullari va ularni taqqoslash.

13-ma’ruza (2 soat): Algebraik aniqligi yeng yuqori kvadratur formulalar. Karrali integrallarni taqribiy hisoblash usullari. Karrali integrallarni hisoblash algoritmi, blok – sxema, dastur tuzish.

14-ma’ruza (2 soat): Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari. Oddiy diferensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari va sonli natijalar olish va uni taqqoslash.

15-ma’ruza (2 soat): Sonli differensiallash. Sonli differensiallash xatoligi. Uch tugun nuqtali formulalar. Sonli differensiallashning asosiy moxiyati va uni amaliy masalalarini yechish bilan bog’liqligi.

16-ma’ruza (2 soat): Splaynlar bilan yaqinlashish (chiziqli va kubik). O`rtacha kvadratik yaqinlashish. Splayn bilan yaqinlashtirish va uni amaliy masalalarni yechishga qo’llanilishi.

Amaliy mashg’ulotlar mavzulari mazmuni va ularga ajratilgan soat

17

3-semestr (30 soat) 1-amaliy mashg’ulot (2 soat): Hisoblash matematikasining predmeti va metodlari 2-amaliy mashg’ulot (2 soat): Xatolar nazariyasi va ularni kelib chiqish

manbalari 3-amaliy mashg’ulot (2 soat): Ildizlarni ajratish usullar 4-amaliy mashg’ulot (2 soat): Sonli tenglamalarni yechish usullari 5-amaliy mashg’ulot (2 soat): Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari. 6-amaliy mashg’ulot (2 soat): Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari va

ularni yaqinlashishi 7-amaliy mashg’ulot (2 soat): Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish

usullari (Gauss va Zeydel usullari). 8-amaliy mashg’ulot (2 soat): Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish

usullar.(Iterasiya, kvadrat ildizlar metodi) 9-amaliy mashg’ulot (2 soat): Funksiyalarni interpolyasiyalash. Lagranj

interpolyasion formulasi. 10-amaliy mashg’ulot (2 soat): Nyutonning 1-2 interpolyasion formulalari. (Teng

uzoqlikda va teng uzoqlikda bo’lmagan tugunlar uchun). 11-amaliy mashg’ulot (2 soat): Markaziy ayirmali interpolyasion formulasi va

ularning yaqinlashishi. 12-amaliy mashg’ulot (2 soat): Matrisaning Krilov usuli bilan xos son va xos

vektorlarini hisoblash 13-amaliy mashg’ulot (2 soat): Gaussning 1-2-interpolyasion formulalari 14-amaliy mashg’ulot (2 soat): Funksiyalarning yaqinlashishi va splayn

tushunchasi 15-amaliy mashg’ulot (2 soat): Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. Gauss

tipidagi kvadratur formulalar. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari.

Laboratoriya mashg’ulotlari mavzulari mazmuni va ularga ajratilgan soat

3-semestr (10 soat) 1-laboratorita mashg’uloti (2 soat): Chizikli tenglamalarni yechish usullariga algoritm va dastur tuzib natija olish. 2-laboratorita mashg’uloti (2 soat): Chizikli bulmagan tenglamalarni yechish usullari algoritm va dastur tuzib natija olish 3-laboratorita mashg’uloti (2 soat): Interpolyasion formulalarga algoritm va dastur tuzish. 4-laboratorita mashg’uloti (2 soat): Integrallarni takribiy xisoblash usullariga algoritm va dastur tuzish 5-laboratorita mashg’uloti (2 soat): ODT-ni takribiy yechish usullariga algoritm va dastur tuzish.

Mustaqil ta’lim mashg’ulotlairi mavzulari mazmuni va ularga ajratilgan soat

18

3-semestr (80 soat) 1-Mustaqil ish (2 soat):Markaziy ayirmali jadvallar va ularga mos keladigan

formulalar. 2-Mustaqil ish (4 soat):Gaussning 1-2 interpolyasion formulalari. 3-Mustaqil ish (4 soat):Stirling va Bessel interpolyasion formulalari. 4-Mustaqil ish (3 soat):Trigonometrik funksiyalarni urtacha kvadratik

yakinlashtirish (uzluksiz xol). 5-Mustaqil ish (3 soat):Trigonometrik funksiyalarni urtacha kvadratik

yakinlashtirish ( diskret xol). 6-Mustaqil ish (4 soat):Karrali integralarni takribiy xisoblash usullari. 7-Mustaqil ish (4 soat):Chizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda

graidiyentlar usuli. 8-Mustaqil ish (4 soat):ChTS.-yechishda yeng kichik kvadratlar usuli. 9-Mustaqil ish (4 soat):Matrisaning xarakteristik kupxadini topishda xoshiyalash

usuli. 10-Mustaqil ish (4 soat):Algebraik va transendent tenglamalarni takribiy

yechishning grafik usuli. 11-Mustaqil ish (4 soat):Algebraik va transendent tenglamalarni takribiy

yechishning Vatarlar usuli. 12-Mustaqil ish (4 soat):Algebraik va transendent tenglamalarni takribiy

yechishning ikkiga bulish usuli. 13-Mustaqil ish (4 soat):Adamsning ikkinchi va uchinchi tartibli oshkor va

oshkormas formulalarini keltirib chikarish. 14-Mustaqil ish (4 soat):Integrallarni takribiy xisoblash formulalari. 15-Mustaqil ish (4 soat):Oddiy diferensial tenglamalarni takribiy yechish usullari. 16-Mustaqil ish (3 soat):Xisoblash matematikasining tarixi, predmeti va metodi. 17-Mustaqil ish (3 soat):Xozirgi zamon xisoblash mashinalari va sonli metod

nazariyasi. 18-Mustaqil ish (3 soat):Masalalarni sonli yechishdagi natijalar xatosi. 19-Mustaqil ish (3 soat):Xisoblash matematikasida yukotolmas xato. 20-Mustaqil ish (3 soat):Algebraik tenglamalarni ildizlarini ajratish. 21-Mustaqil ish (3 soat):Kupxad va uning xosilalari kiymatlarini xisoblash. 21-Mustaqil ish (3 soat):Kiskartirib aks yetish prinsipi. 23-Mustaqil ish (3 soat):Metrik fazo xakida tushuncha

1.3. FANNI O’QITISH JARAYONINI TASHKIL ETISH VA O’TKAZISH

BO’YI-CHA TAVSIYALAR. (Fanni o’qitish shakli, vositalari, texnologiyasi va metodlari).

1.3.1. Nazariy mashg’ulotlarga tayyorgarlik. Bu jarayonga tayyorgarlik ko’rishda faqatgina ma’ruza materiallari bilan

cheklanib qolmasdan, balki bir necha uslubiy qo’llanma va darsliklardan foydalanish lozim. Bu bir tomondan dars hajmining kamligi sababli ma’ruza darslarida yetkazishning imkoni bo’lmagan mavzularni to’ldirishga, ikkinchi tomondan esa

19

chuqur bilim olish va masalalarni yechish ko’nikmalarni shakllantirishga yordam beradi. Bu o’z navbatida talabaning mustaqil bilim olishini, adabiyotlar bilan ishlash ko’nikmalarini shakllantiradi.

1.3.2. Amaliy mashg’ulotlarni o’qitish jarayonini tashkil etish va uni o’tkazishga tayyorgarlik bo’yicha tavsiyalar.

Talabaning nazariy ma’lumotlarni va umumiy fanni o’zlashtirish darajasi uning amaliy masalalarni, seminar mashg’uloti materiallarini bajarishi, masalalarni mustaqil yecha olishi, uy vazifalarini bajara olishi darajasi va samaradorligi bilan aniqlanadi. Shuning uchun talaba fanning har xil bo’limlaridagi tipik masalalarni mustaqil yechish ko’nikmalarini egallashi lozim. Bu jarayonda talaba o’rganilayotgan fanning ma’nosiga chuqurroq yetib borgan holda aniq amaliy masalalarni yechishda umumiy nazariy qonuniyatlarni qo’llay oladi. Buning uchun talaba amaliyot darslarida qiyinlik darajasi oshib boruvchi kamida 5-6 ta masala yechishi zarur. Darsdan tashqari mustaqil ish va uy vazifasi sifatida talabaga o’rtacha qiyinlikdagi va uslubiy manbalardan foydalangan holda yechish mumkin bo’lgan masalalarni berish maqsadga muvofiq. Bunda o’tilgan nazariy ma’lumotlar va masalalar yechishning maxsus uslublaridan foydalanilishiga e’tibor berish kerak. Shunday qilib, talabani shu fanga kiruvchi har xil bo’limlarga oid masalalarni nazariy ma’lumotlarga tayanib yechishga o’rgatiladi. Bu jarayonda quyidagi uslubiy xarakterga ega qoidalarni e’tiborga olish maqsadga muvofiq:

masalaning qo’yilishini qisqacha yozish, bunda berilgan ma’lumotlarning hamma-sini yagona birliklar sitemasiga o’tkazish, lozim bo’lganda ba’zi spravochnik o’zgarmaslarini kiritish;

masalani yechish jarayonida qo’llaniladigan barcha zaruriy qonuniyatlarni o’zida aks ettiruvchi noma’lum miqdorlarni izlashning mantiqiy yo’llarini topgan holda masalani tahlil qilish;

masala shartining grafik tasvirini (eskizini) chiza bilish; masalani yechishning ketma-ketligini izohlashlar bilan bajara olish; o’lchamlarni tekshira olish, berilgan ma’lumotlardan to’la foydalana olish,

yechimning ishonchliligini baholay olish; masalaning yechimini yetarlicha aniqlik bilan hisoblay bilish; olingan sonli natijalarning mantiqiy maqsadini baholay bilish va ulardan

zaruriy mexanik xulosalar chiqara bilish. Talabaning amaliyot darslaridagi topshiriqlarni, uy vazifalarini va mustaqil ish

topshiriqlarini bajarishini nazorat qilish va baholashning quyidagi uslubiga e’tiborni qaratish maqsadga muvofiq:

uy vazifalarini tekshirish; nazorat topshiriqlarini bajarishini tekshirish; dars davomida o’zlashtirishini nazorat qilish; mustaqil ish topshiriqlari himoyasi. Amaliyot mashg’uloti topshirig’ini bajarishdan kutiladi-gan natijalar: mavzu yuzasidan bilimlarni tizimlashtirish va mustahkamlash; amaliy masalalarni yechishda nazariy tushunchalardan foydalana bilish;

20

masalani yechishning to’g’ri usulini tanlay bilish; masalani mustaqil yechish ko’nikmasini hosil qilish; masalaning yechimini mustaqil tahlil qila bilish.

1.3.3. Amaliyot mashg’uloti topshirig’ini bajarishdan kutiladigan natijalar: mavzu yuzasidan bilimlarni tizimlashtirish va mustahkamlash; amaliy

masalalarni yechishda nazariy tushunchalardan foydalana bilish; masalani yechishning to’g’ri usulini tanlay bilish; masalani mustaqil yechish ko’nikmasini hosil qilish; masalaning yechimini mustaqil tahlil qila bilish.

1.3.4. Laboratoriya mashg’uloti topshirig’ini bajarishdan kutiladigan natijalar:

mavzu yuzasidan bilimlarni tizimlashtirish va mustahkamlash; laboratoriya mashg’uloti topshirig’ini bajarishda nazariy tushunchalardan foydalana bilish; topshiriqni bajarishning to’g’ri usuli va ketma-ketligini tanlay bilish; topshiriqni mustaqil bajarish va uni amaliyotga qo’llay bilish ko’nikmasini hosil qilish; topshiriqning yechimini mustaqil tahlil qila bilish.

1.3.5. Seminar mashg’uloti va mustaqil ish topshirig’ini bajarishdan kutiladigan natijalar:

mavzuga oid qo’shimcha materiallarni axborot manbalari (kutubxona, internet tarmog’i, vaqtli matbuot va hokazo) dan topish, konspektlashtirish va ularni o’rganish; mavzu yuzasidan matn bilan ishlash, bilimlarni tizimlashtirish va mustahkamlash; fikrlar ketma-ketligini tanlay bilish; o’z ustida malakaviy ishlashni o’rganib borish; nutqni rivojlantirish va eslab qolish qobiliyatini kuchaytirish; o’z fikri va guruh fikrini tahlil qilib, bir yechimga kelib, yakuniy xulosani bayon qilish; mavzuni hayotiy voqyealar bilan bog’lash; mustaqil tahlil va xulosalar chiqara bilish; pedagogik mahoratni shakllantirib borish.

1.3.6. Mustaqil ish turlari: takrorlash va mashq qilish: takrorlash; tahlil qilish; qayta ishlash;

mustahkamlash; chuqurlashtirish; eslab qolish; ko’nikma hosil qilish; malakani shakllantirish;

yangi bilimlarni mustaqil o’zlashtirish: yangi mavzular; axborot manbaini izlab topish va konspektlashtirish; mustaqil fikrlar tuzish;

ijodiy xarakterdagi ishlar: muammoli vaziyatlarni aniqlash; test va topshiriq tuzish; slaydlar tayyorlash; mustaqil qaror qabul qilish; yangi usullar yaratishga intilish.

1.3.7. Mustaqil ta’limni tashkil qilishda foydalanadigan vositalar: nazariy mashg’ulotlarda foydalanadigan vositalar (darslik; o’quv qo’llanma;

masala va mashq to’plami; diapozitivlar; lug’atlar; masalalar to’plami; magnit yozuv; video yozuv; o’rgatuvchi dasturlar; multimedia va hokazo);

amaliy mashg’ulotlarda foydalaniladigan vositalar (yo’riqnomalar to’plami; tabiiy o’qitish vositalari; xarakatlanuvchi modellar; o’quv plakatlari; yo’riqnoma;

21

texnologik xaritalar; trasparantlar; modellar; elektron kitoblar; maketlar; testlar va hokazo).

1.3.8. Referat yozish bo’yicha qisqacha ko’rsatmalar: Referat tayyorlashda hal etilishi nazarda tutiladigan vazifalar: o’quv

predmetning dolzarb nazariy masalalari bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish, talaba tomonidan mavzuga oid olingan nazariy bilimlarni ijodiy qo’llash ko’nikmalarini hosil qilish; tanlangan kasbiy sohada mavjud mahalliy va xorijiy tajribalarni mavjud sharoitlarda ularni amaliy jihatdan qo’llash imkoniyatlari va muammolarni o’zlashtirish; tanlangan mavzu bo’yicha har xil manbalarni (monografiyalar, davriy nashrlardagi ilmiy maqolalar va shu kabilar) o’rganish qobiliyatini takomillashtirish va ularning natijalari asosida tanqidiy yondashgan tarzda mustaqil holda materialni ifoda etish, ishonchli xulosa va takliflar qilish; yozma ko’rinishdagi ishlarni to’g’ri rasmiylashtirish ko’nikmalarini rivojlantirish.

Referat ustida ishlash tartibi: mavzuni tanlash; mavzu bo’yicha asosiy manbalarni o’rganish; zaruriy materiallarni konspektlashtirish; tadqiqot rejasini tuzish; yig’ilgan materiallarni tartibga solish va yozish; foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatini rasmiylashtirish; referatni rasmiylashtirish.

Referatni rasmiylashtirish tartibi: A4 shakldagi qog’ozga 12-shrift, 1,5 interval, qog’ozning bir tomonida chapdan – 2,5 sm, o’ngdan – 1,5 sm, yuqori va pastdan – 2 sm xoshiya qoldiriladi; matn sahifalariga tartib raqami beriladi, 1-titul varag’i, 2-reja, 3-betdan boshlab sahifalanadi; referat hajmi 20-25 betdan oshmasligi lozim.

Referat matnini rasmiylashtirish tartibi: titul varag’i; ish rejasi; kirish; asosiy qism (kamida 3 ta banddan iborat bo’lishi lozim); xulosa; foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati; ilova (jadval, diagramma, grafik, rasm, sxema va hokazo).

1.3.9. Ta’lim umumiy shakllari: jamoaviy, guruh bo’lib, yakka tartibda (frontal, zveno, individual).

1.3.10. Ta’lim usullari: an’anaviy usullar (og’zaki, amaliy, ko’rgazmali, kitob bilan ishlash, video va

audio usullar); aniq maqsadli usullar (bilimlarni egallash; malaka va ko’nikmalarni

shakllantirish; bilimlarni qo’llash; ijodiy faoliyat; mustahkamlash; bilim, malaka va ko’nikmalarni tekshirish);

idrok etish-bilish faoliyati xarakteriga ko’ra usullar (tushuntirish – illyustrativ (axborot – reseptiv); reproduktiv; muammonli bayon qilish; qisman ijodiy (evristik); tadqiqiy);

didaktik maqsadli yo’naltirilgan usullar (ilk bor bilimlarni o’zlashtirish; egallangan bilimlarni mustahkamlash va takomillashtirish).

1.3.11. Yangi pedagogik va innovasion texnologiyalar uslublari: «Ma’ruza», «Tanishuv», «Tushunchalar tahlili», «Zinama-zina», «Charxpalak», «Bumerang», «Rezyume», «Muammo», «Labirint», «Blis-so’rov», «Fikr, sabab, misol,

22

umumlashtirish (FSMU)», «Skarabey», «Yelpig’ich», «Muloqot», «Yozma bahs», «Kuzatish, bahslashish, ishontirish (KBI)», «Munosabat», «Tashviqot guruhi», «Amaliyotda jamoaviy ijodiy ishlar», «Ssenariy (sahna)», «Ishontirish maktabi», «Kelishuv va ziddiyat», «Uchlik - samarali, axloqiy, nazokatli (SAN)», «Tushuntiruvchi, talqin qiluvchi (germenevtik)», «Aniq vaziyat, hodisa (keys-stadi)», «Haqiqiy vaziyatlarni o’yin qilib ko’rish (simulyasiya)», «Taqdimot», «Olmos», «Jadvallar», «Kungaboqar», «3x4», «6x6x6», «Muzyorar», «Yumaloqlangan qor», «Fikrlar hujumi», «Aqliy hujum», «Kichik guruhlarda ishlash», «Insert», «Tarmoqlar (klaster)», «Bahs-munozara», «Davra suhbati», «Davra stoli», «Kim ko’p, kim tezroq», «Kim chaqqon, kim topqir», «Kuchsiz halqa», «Loyiha», «To’rt pog’onali», «So’qrot suhbati», «Tanqid qilishni o’rganing», «Iyerarxiya», «Boshqaruv», «Murabbiy va jamoa» va hokazo.

1.3.12. Ta’lim vositalari: matnli vositalar (o’quv dastur; darslik; o’quv qo’llanma; elektron darsliklar va

qo’llanmalar; uslubiy qo’llanma va ko’rsatmalar; tarqatma materiallar; imtihon va nazorat variantlari; testlar va hokazo);

tasvirli vositalar (fotosuratlar; eskiz; chizma; sxema; ramziy tasvir; reja jadvallar; simvollar; diagrammalar; grafiklar; slaydlar va hokazo);

audio-video vositalar (videofilmlar; kompakt disklar; audio va video kassetalar; tasvir va matnni yozish va saqlash; doskalar (oq doska, flipchart doska, pinbord doska); videomagnitafon; kamera; kompyuter va hokazo);

modelli vositalar (asbob-uskunalar; stanoklar; yarim tayyor va tayyor mahsulotlar).

1.3.13. Didaktik tamoyillar tizimi: ilmiylik, qulaylik, izchillik, uzviylik, nazariyaning amaliyot bilan bog’liqligi, onglilik, faollik va mustaqillik, ko’rgazmalilik, mustahkamlik, guruh qilib o’qitish hamda unda individual yondashishni qo’shib olib borish, o’qitishning tarbiyalovchi, rivojlantiruvchi va takomillashtiruvchi xarakteri, o’qitishning kasbiy yo’naltirilganligi.

1.3.14. Ta’limda o’quv-tarbiyaviy jarayonni tashkil etish shakllari: dars, fan, texnika to’garaklari, o’quvchilar ilmiy uyushmalari, sayohatlar.

1.3.15. Tarbiya usullari: ishontirish; ijobiy namuna; mashq qilish; talablar; xulqi ustidan nazorat; faoliyatning boshqa ko’rinishlariga o’tish.

1.3.16. Dars turlari: an’anaviy (yoki standart, uning tuzilishi: so’rash, tushuntirish,

mustahkamlash, uyga vazifa berish), zamonaviy (uning tuzilishi: didaktik (asosiy), mantiqiy - psixologik,

motivlangan va uslubiy); noan’anaviy (yoki nostandart), uning turlari: o muammoli; o texnologik; o virtual;

23

o musobaqa va o’yin (tanlov, turnir, estafeta, duel, KVN, tadbirli, rolli (rassom, loyihachi, bezatuvchi, muharrir, rejisser va hokazo), krossvord, viktorina);

o ijtimoiy amaliyotga ma’lum bo’lmagan ish shakllari, janrlari va uslublariga asoslangan (tadqiq etish, ixtirochilik, birlamchi manbalar tahlili, intervyu, reportaj, taqriz);

o muloqotning og’zaki shaklini eslatuvchi (matbuot anjumani, auksion, benefis, miting, vaqti chegaralangan munozara, panorama, teleko’prik, bildirgi, muloqot, «jonli gazeta», og’zaki jurnal);

o o’quv materialini noan’anaviy tashkil etishga asoslangan (donolik, ochiq tan olish, «dublyor harakat boshlaydi»);

o hayoliylashgan (ertak, sovg’a, XXI asr darslari); o muassasa va tashkilotlar faoliyatiga o’xshash asoslangan (sud, tergov,

tribunal, patent byurosi, ilmiy yoki muharrirlik kengashi va h.k.). 1.3.17. Dars ko’rinishlari: ma’ruza, seminar va amaliy mashg’ulotlar,

laboratoriya mashg’ulotlari, o’quv anjumanlari, o’quv-seminar, suhbat, kinodars, kompyuter mashg’ulotlari, mashqlar, maslahatlar, ekskursiya, ekspedisiya, o’quv ishlab chiqarish va pedagogik amaliyoti, kurs, loyiha va bitiruv malakaviy ishlari, talabalarning mustaqil tahsili va hokazo.

1.3.18. Darsning asosiy tarkibiy elementlari: tashkiliy qism; uyga berilgan yozma vazifalarni tekshirish; talabalar bilimini og’zaki tekshirish (yoki so’rash); yangi materiallarni tushuntirish; yangi materiallarni mustah-kamlash; uyga vazifa berish; darsni uyushqoqlik bilan yakunlash.

1.3.19. Dars tahlilining asosiy tarkibiy qismlari: o’qituvchining darsga tayyorgarlik darajasi, darsning maqsad va vazifalari, tashkiliy ishlar, didaktik, uslubiy, metodologik, psixologik, pedagogik, o’quvchilar bilan hamkorlikda ishlash va yakuniy tahlillar.

1.3.20. Darsga kirgan o’qituvchining qo’lida bo’lishi lozim: guruh jurnali, fan o’quv dasturi, kalendar-mavzu rejasi, dars texnologik xaritasi, o’quv-uslubiy materiallar.

1.3.21. O’qituvchining darsga kirishdan oldin o’ziga qo’yadigan savoli: nega, nimani va qanday o’qitaman?

1.3.22. Abu Ali Ibn Sinoning o’qituvchiga qo’ygan talablari: talaba (o’quvchi)lar bilan muomalada bosiq va jiddiy bo’ling; berilayotgan bilimni talaba (o’quvchi)lar qanday o’zlashtirib olayotganligiga

alohida e’tibor bering; ta’limda turli uslub va shakllardan foydalaning; talaba (o’quvchi)larning xotirasi, bilimlarni egallash qobiliyati, shaxsiy

xususiyatlarini biling; talaba (o’quvchi)larni fanga qiziqtira biling; talaba (o’quvchi)larga uzatilayotgan bilimlarning eng muhimini ajratib

bering;

24

bilimlarni talaba (o’quvchi)larga tushunarli hamda ularning yoshi, aqliy darajasiga mos ravishda bering;

har bir so’zning talaba (o’quvchi)lar hissiyotini uyg’otish darajasida bo’lishiga erishing.

1.3.23. Didaktik vositalar jixozlar va uskunalar, moslamalar: videoproyektor; elektoron doska; kodoskop; video-audio uskunalar: videokamera; kompyuter va multimediali vosita: kompyuter, videoglazok; sab-bufer.

1.4. TAQVIM MAVZUIY REJA

(Taqvim mavzuiy reja o’quv materialini to’g’ri taqsimlashda mazkur fan boshqa fanlar va amaliyotlar bilan bog’lashda, darsga kerakli o’quv materiallari va vositalarini tayyorlashda yordam beradi, o’qitish jarayonini loyixalashtirish va samaradorlikni oshirish imkonini beradi).

№

Mav

zu

Ajra

tilga

n so

at

Ta’li

m sh

akli

Dar

s tur

i

Fanl

arar

o va

fa

n ic

hida

gi

bog’

liqlik

Ta’li

m m

etod

lari

Ta’li

m v

osita

lari

Foyd

alan

ilgan

ad

abiy

otla

r ro

’yxa

ti

Mus

taqi

l ish

to

pshi

riqla

ri

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3-semestr (152 soat)

Ma’ruzalar (M) mavzusi bo’yicha (32 soat) 1. 1-M 2 Frontal Standart Mat. anal., Inf., Dif.

teng., Mat. fiz. teng. An’anaviy Matnli,

tasvirli 3,4,6-8 1-2 MI

2. 2-M 2 Frontal Standart Mat. anal., Inf., Dif. teng., Mat. fiz. teng.

An’anaviy Matnli, tasvirli

3,4,6-8 3-MI



3,4,6-8 4-5-MI



3,4,6-8 6-MI



3,4,6-8 7-8 MI



3,4,6-8 9- MI



3,4,6-8 10- MI



3,4,6-8 11- MI



3,4,6-8 12-MI



3,4,6-8 13-14 MI



3,4,6-8 15-16 MI



3,4,6-8 17-18 MI

25



3,4,6-8 19-20 MI



3,4,6-8 21- MI



3,4,6-8 22- MI



3,4,6-8 23-MI

Amaliyot mashg’ulotlari (AM) mavzusi bo’yicha (30 soat) 1. 1-AM 2 Zveno Didaktik Mat. anal., Inf., Dif.

teng., Mat. fiz. teng. Aniq

maqsadli Matnli, tasvirli

1,2,5 1-2 MI

2. 2-AM 2 Zveno Didaktik Mat. anal., Inf., Dif. teng., Mat. fiz. teng.

Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 3-MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 4-5-MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 6-MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 7-8 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 9- MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 10- MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 11- MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 12-MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 13-14 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 15-16 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 17-18 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 19-20 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 21-22 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 23 MI

Laboratoriya mashg’ulotlari (LM) mavzusi bo’yicha (10 soat) 1. 1-LM 2 Zveno Didaktik Mat. anal., Inf., Dif.

teng., Mat. fiz. teng. Aniq

maqsadli Matnli, tasvirli

1,2,5 1-4 MI

2. 2-LM 2 Zveno Didaktik Mat. anal., Inf., Dif. teng., Mat. fiz. teng.

Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 5-10MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 11-14 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 15-18 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,5 19-23 MI

26

1.5. REYTING BAHOLASH MEZONLARI

Talabalar o’zlashtirishi monitoringi: nazorat (ta’lim oluvchining bilim, ko’nikma va malakalari darajasini

aniqlash, o’lchash va baholash jarayoni), xususan tekshirish (bilim darajasini aniqlash; joriy baholash; oraliq baholash; yakuniy baholash);

hisobga olish (ta’limning muayyan davrida talabalar va o’qituvchi faoliyatini umumlashtirish, xulosalash) va uning usullari (og’zaki, yozma, test hamda amaliy topshiriqlarni bajarish).

Baholash mezonlari jadvali (Texnologik xarita):

Ishchi o’quv dasturidagi mavzular

tartib raqami (qo’shimcha

topshiriq mazmuni)

Umumiy soat

Bah

olas

h tu

ri

Nazorat shakli

Ball

Muddati (hafta)

Ma’

ruza

Am

aliy

m

ashg

’ulo

t

Labo

rat.

ishi

Mus

taqi

l ish

Jam

i Max. ball

Sar. ball

5 – semestr

1 – 8, 1 – 7, 1 – 2 16 14 4 40 74 JB-1

Kundalik nazorat, uy ishi, referat, kollokvium, test

17 May, 1- hafta

9 – 16, 8 – 15, 3 – 5 16 16 6 40 78 JB-2

Kundalik nazorat, uy ishi, referat, kollokvium, test

18 May, 1- hafta

1 – 16, 1 – 15, 1 – 5 32 30 10 80 152 OB Og’zaki 35 May,

1- hafta 70 39

1–16, 1–15, 1–5 32 30 10 80 152 YaB Yozma 30 Jadval

bo’yicha 100 55

Fan bo’yicha joriy nazoratlarda talabalar bilimi va amaliy ko’nikma darajasini aniqlash mezoni

Maksimal ball Nazorat qilinadigan va

baholanadigan ish turlari Baholashda e’tibor qaratiladigan jihatlar 1-JN 2-JN

3 4 Mavzular bo’yicha nazariy tayyorgarlik darajasi va darsdagi faollik

Asosiy tushunchalar, ta’riflar, teoremalar va formulalarni bilish, mohiyatini tushunish, ijodiy fikrlay olish, bilimlarni amalda qo’llay olish

3 4 Uyga berilgan topshiriqlarni bajarish sifati

Topshiriqlarni to’g’ri va to’liq bajarish, masalalarni hal qilishga ijodiy yondashish, tushuntirib bera olish

7 7 Nazorat ishlarini bajarish sifati

Topshiriqlarni to’g’ri va to’liq bajarish, ijodiy yondashish, mustaqil fikrlash, yechimni asoslay olish

4 3 Mustaqil topshiriqlarni bajarilish sifati

Berilgan topshiriqni to’g’ri va to’liq bajarish, mustaqil mulohaza yurita olish, bilimlarni amalda qo’llay olish, masalaga ijodiy ijodiy yondashish, mohiyatini tushunish va aytib bera olish

27

17 18

Fan bo’yicha oraliq va yakuniy nazoratlarda talabalar bilimi va amaliy ko’nikma darajasini aniqlash mezoni

Savol lar

ON (max ball)

YaN (max ball)

Baholashda e’tibor qaratiladigan jihatlar

Nazariy 1 2

6

8

6

6

Asosiy tushunchalar, ta’riflar, formulalar, teoremalarni va ularni isbotini bilish, mohiyatini tushunish, tasavvur qilish va aytib bera olish, ijodiy fikrlay olish va mustaqil mulohaza yurita olish

Amaliy 3 4

6

8

6

6

Topshiriqlarni to’g’ri va to’liq bajarish, ijodiy yondashish, mustaqil fikrlash, yechimni asoslay olish, mohiyatini tushunish

Mustish 5 7 6 Savolga to’liq va to’g’ri javob berish, misollar bilan asoslash, ijodiy yondashish, mohiyatini tushunish va tushuntirib bera olish

Jami 35 30 Fan bo’yicha reyting nazoratlarida o’zlashtirish ko’rsatkichini aniqlash mezoni

JN ON YaN Baholashlarda e’tibor qaratiladigan asosiy jihatlar

31-35 ball

31-35 ball

27-30 ball

Asosiy tushuncha, ta’rif, formula, teoremalar isbotlarni bilish amalda qo’llay olish, mohiyatini tushunish, ijodiy fikrlay olish, tasavvurga ega bo’lish, aytib bera olish, mustaqil mushohada yurita olish, topshiriqlarni aniq va to’g’ri bajarish.

25-30 ball

25-30 ball

22-26 ball

Asosiy tushuncha, ta’rif, formula, teoremalarni bilish, yengil isbotlarni bajara olish, bilimlarni amalda qo’llay olish, ijodiy yondashishga harakat qilish, tasavvurga ega bo’lish, topshiriqlarni to’g’ri bajarish va tushuntirish.

19-24 ball

19-24 ball

17-21 ball

Asosiy tushuncha, ta’rif, formula va teoremalarni bilish va amalda qo’llay olish, mohiyatini biroz tushunish va to’liq bo’lmagan tasavvurga ega bo’lish. Amaliy topshiriqlarni deyarli to’g’ri bajarish va tushuntirib berishga harakat qilish.

0-18 ball

0-18 ball

0-16 ball

Asosiy tushuncha, ta’rif, formula va teoremalarni to’liq bilmaslik va amalda qo’llay olmaslik mustaqil mulohaza yurita olmaslik, yetarlicha tasavvurga ega bo’lmaslik va tushuntira olmaslik, topshiriqlarni to’liq bajarmaslik va qo’pol xatoliklarga yo’l qo’yish.

1.6. TAVSIYA ETILADIGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI

1. Asosiy adabiyotlar 1. М.Исроилов. Ҳисоблаш усуллари. Тошкент, “Ўқитувчи”, 1988 2. Б.П.Демидович, И.А.Марон. Основи вичислителной математики. Москва,

“Наука”, 1970. 3. Б.П.Демидович, И.А.Марон, Е.З.Шувалова. Численние методи анализа.

Москва, “Наука”, 1967 4. Воробёва. Ҳисоблаш математикаси. Мисоллар. 5. Мустақил таълим топшириқлари

28

2. Qo’shimcha adabiyotlar 1. А.А.Самарский, А.И.Гулин. Численние методи. M.: Наука, 1976.

3. Internet saytlari 1. http://www.edu.ru va http://www.edu.uz – ta’lim saytlari. 2. http://www.eqworld.ru – adabiyotlarning elektron varianti. 3. http://ru.wikipedia.org – erkin ensiklopediya «Vikipediya». 4. http://www.prepodu.net – adabiyotlarning elektron varianti. 5. http://www.twirpx.com – adabiyotlarning elektron varianti.

4. Moddiy-texnik va yordamchi vositalar Ko’rgazmali plakatlar. Slaydlar dastasi. Kompyuter dasturlari: MathLab, MathCad, Mathematika, Maple va boshqa. Dasturlar paketi.

5. Pedagogik texnologiyaga oid ba’zi adabiyotlar 1. Ostonov Q. Yangi pedagogik texnologiyalarni matematika o’qitish jarayonida

tadbiq etish usullari. Uslubiy qo’llanma.– Samarqand: SamDU nashri,2006.–72 b. 2. Авлиёқулов Н. Замонавий ўқитиш технологиялари.-Т., 2001. 3. Азизходжаева Н.Н. Педагогик технологиялар ва педагогик маҳорат - Т.:

ТДПУ, Низомий, 2003. 4. Ахунова Г.Н., Голиш Л.В., Файзуллаева Д.М. Педагогик технологияларни

лойиҳалаштириш ва режалаштириш. – Тошкент: Иктисодиёт, 2009. 5. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. - М.: Педагогика,

1989. 6. Голиш Л.В. Технологии обучения на лекциях и семинарах: Учебное пособие

//Под общ. ред. акад. С.С. Гулямова. - Т.: ТГЭУ, 2005. 7. Епишева О.Б. Основные параметры технологии обучения. //Школьные

технологии -2004.-№ 4. 8. Ишмухаммедов Р., Абдуқодиров А., Пардаев А. Таълимда инновацион

технологиялар (таълим муассасалари педагог-ўқитувчилари учун амалий тавсиялар). – Тошкент: Истеъдод, 2008. – 180 б.

9. Йўлдошев Ж., Усмонов С. Педагогик технология асослари. Т.: Ўқитувчи, 2004.

10. Очилов М. Янги педагогик технологиялар. - Қарши, 2000. 11. Саидахмедов Н.С. Педагогик амалиётда янги педагогик технологияларни

қўллаш намуналари. - Т.: РТМ, 2000. 12. Саидахмедов Н.С. Янги педагогик технологиялар. – Тошкент: Молия, 2003. 13. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие.

- М.: Народное образование, 1998. 14. Толибов У., Усмонбоева М. Педагогик технологияларнинг татбиқий

асослари. – Тошкент, 2006. 15. Толипов Ў., Усмонбоева М. Педагогик технология: назария ва амалиёт. - Т.:

Фан, 2005. 16. Фарберман Б.Л. Передовые педагогические технологии. -Т.: Фан, 2000. 17. Холмухаммедов М.М. ва бошқалар. Таълим педагогик технологиялари.

Услубий қўлланма. – Самарқанд, 2005. – 49 б.

29

«TASDIQLAYMAN» SamDU o’quv bo’limi boshlig’i

________________ E.Turumov «___»___________2011 y.

Alisher Navoiy nomidagi Samarqand Davlat Universiteti mexanika-matematika fakulteti

«Hisoblash usullari» kafedrasi «5480100 - Amaliy matematika va informatika» ta’lim yo’nalishi bakalavr 3-kurs talabalari uchun «Hisoblash matematikasi» fanidan 2010-2011

o’quv yiliga

KALENDAR ISH REJA

O’quv soatlari (5-semestr): 72 soat. Shundan: 32 soat ma’ruza.

№ Mavzu Rejada Amalda O’qituv-

chi imzosi Soat Ijro muddati Soat Ijro

sanasi 1. Hisoblash matematikasining predmeti va

metodi 2 2

2. Ildizlarni ajratish 2 2 3. Tenglamalarni yechishda iterasiya metodi 2 2 4. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. Сhiziqli

bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun iterasiya metodi

2 2

5. Nyuton metodi 2 2 6. Modifikasiyalangan nyuton metodi.

Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi. 2 2

7. Noma’lumlarni yo’qotish. Gauss metodi 2 2 8. Kvadrat ildizlar metodi 2 2 9. Iterasion metodlar 2 2 10. Eng tez tushish. Gradiyentlar metodi 2 2 11. Matrisalarning xos son va xos vektorlarini

hisoblash 2 2

12. Xos sonlarning qismiy muammosini yechishning iterasion metodlari

2 2

13. Funksiyalarni interpolyasiyalash. Logranj interpolyasion formulasi

2 2

14. Tugunlar teng uzoqlikda joylashgan hol uchun nyuton interpolyasion formulalari

2 2

15. Gauss, stirling, bessel va everett interpolyasion formulalari

2 2

16. Interpolyasion kvadratur formulalar 2 2 Jami 16 16

Kafedra mudiri: dots. A.Abdirashidov

O’qituvchi: dots. S.Amridinov

30

«TASDIQLAYMAN» SamDU o’quv bo’limi boshlig’i

________________ E.Turumov «___»___________2011 y.

Samarqand Davlat Universiteti mexanika-matematika fakulteti «Hisoblash usullari» kafedrasi «5480100 - Amaliy matematika va informatika» ta’lim yo’nalishi bakalavr 3-kurs

talabalari uchun «Hisoblash matematikasi» fanidan 2010-2011 o’quv yiliga KALENDAR ISh REJA

O’quv soatlari (5-semestr): 72 soat. Shundan: 30 s. amaliyot. 10 s. laboratoriya mashg’uloti

№ Mavzu Rejada Amalda O’qituv-

chi imzosi Soat Ijro muddati Soat Ijro

sanasi 1. Hisoblash matematikasining predmeti va metodlari 2 2 2. Xatolar nazariyasi va ularni kelib chiqish manbalari 2 2 3. Ildizlarni ajratish usullar 2 2 4. Sonli tenglamalarni yechish usullari 2 2 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari. 2 2 6. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari va

ularni yaqinlashishi 2 2

7. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish usullari (Gauss va Zeydel usullari).

2 2

8. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish usullar.(Iterasiya, kvadrat ildizlar metodi)

2 2

9. Funksiyalarni interpolyasiyalash. Lagranj interpolyasion formulasi.

2 2

10. Nyutonning 1-2 interpolyasion formulalari (Teng uzoqlikda va teng uzoqlikda bo’lmagan tugunlar uchun).

2 2

11. Markaziy ayirmali interpolyasion formulasi va ularning yaqinlashishi.

2 2

12. Matrisaning Krilov usuli bilan xos son va xos vektorlarini hisoblash

2 2

13. Gaussning 1-2-interpolyasion formulalari 2 2 14. Funksiyalarning yaqinlashishi va splayn tushunchasi 2 2 15. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. Gauss tipidagi

kvadratur formulalar. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari.

2 2

Jami 30 30 1. Функциянинг абсолют ва нисбий хатосини топиш

Chizikli tenglamalarni yechish usullariga algoritm va dastur tuzib natija olish.

2 2

2. Chizikli bulmagan tenglamalarni yechish usullari algoritm va dastur tuzib natija olish

2 2

3. Interpolyasion formulalarga algoritm va dastur tuzish. 2 2 4. Integrallarni takribiy xisoblash usullariga algoritm va

dastur tuzish 2 2

5. ODT-ni takribiy yechish usullariga algoritm va dastur tuzish.

2 2

Jami 10 10 Kafedra mudiri: dots. A.Abdirashidov O’qituvchi: dots. S.Amridinov

32

2 - BO’LIM


FANIDAN MA’RUZALAR MATNI

33

МУНДАРИЖА

Kirish ………………………………………………… 1-Ma’ruza. Hisoblash matematikasining predmeti va metodi ………… 2-Ma’ruza. Ildizlarni ajratish………………………… 3-ma’ruza. Tenglamalarni yechishda iterasiya metodi … 4-ma’ruza. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. Сhiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun iterasiya metodi ……

5-ma’ruza. Nyuton metodi …………………………… 6-ma’ruza. Modifikasiyalangan nyuton metodi. Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi. …………

7-ma’ruza. Noma’lumlarni yo’qotish. Gauss metodi ….. 8-Ma’ruza. Kvadrat ildizlar metodi……………………. 9-ma’ruza. Iterasion metodlar…………………………. 10-ma’ruza. Eng tez tushish. Gradiyentlar metodi…….. 11-ma’ruza. Matrisalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash ……… 12-ma’ruza. Xos sonlarning qismiy muammosini yechishning iterasion metodlari ………………………

13-ma’ruza. Funksiyalarni interpolyasiyalash. Logranj interpolyasion formulasi ………………………………

14-ma’ruza. Tugunlar teng uzoqlikda joylashgan hol uchun nyuton interpolyasion formulalari ……………..

15-ma’ruza. Gauss, stirling, bessel va everett interpolyasion formulalari … 16-ma’ruza. Interpolyasion kvadratur formulalar………

34

KIRISH Ma’ruzalar matni muallifning amaliy matematika, informatika va iqtisodiyot va nihoyat informatika va informasion texnologiyalar fakultetida o’qilgan va tajribadan hosil bo’lgan tavsiya va takliflar asosida yozildi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p matematik masalalarni aniq yechimini ifodalashga qo’limizda bo’lgan imkoniyat darajasi torlik qiladi, chunki axtarilayotgan yechim elementar funksiyalar orqali yangi davr shaxsiy kompyuterlarining paydo bo’lishi bilan qo’yilgan masalalarni sonli usullar bilan yechish alohida o’rin oladi. Sonli usullar bu qo’yilgan masalalarni shunday usullariki uni EHM boshqaradigan arifmetik va mantiqiy amallarni sonlar ustida bajarishdan iborat. Ma’ruzalar matni kirish qismi, 16 ta ma’ruzalar va foydalangan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Bunda chiziqli bo’lmagan tenglama va sistemalarni yechimi, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini to’g’ri va iterasion usullari, interpolyasiyalash va funksiyalari yaqinlashishi masalalari, sonli differensiallash va integrallash masalalari, oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechish usullari keltirilgan.

Ma’ruzalar matnini chuqurroq o’rganish maqsadida quyidagi adabiyotlar tavsiya etiladi:

Тихонов А.Н., Костамаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике, М.; Наука, 1984;

Самарский А.А. Введение в численные методы, М.: Наука, 1987; Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы, М.: Наука, 1989; Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, М.:

Наука, 1987; Isroilov M.I. Hisoblash metodlari, T.: O’zbekiston, 2003. Ma’ruzalar matni amaliy matematika va informatika, informatika va

informasion texnologiyalar mutaxassisliklari talabalariga va matematik, fizika va texnik boshqa mutaxassisliklariga ham foydali bo’lib hisoblanadi.

35

1-Ma’ruza HISOBLASh MATEMATIKASINING PREDMETI VA METODI

Reja: 1. Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi. 2. Hisoblash matematikasining asosiy vazifasi va usuli. Tayanch iboralar: matematika, metod (usul), model, masala, tenglama,

operator, to’g’ri masala, teskari masala. Matematika turmush masalalarini yechishga bo’lgan ehtiyoj (yuzlar va

hajmlarni o’lchash, kema harakatinn boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish va boshqalar) tufayli vujudga kelganligi uchun ham u sonli matematika, ya’ni hisoblash matematikasi bo’lib, unnig maqsadi esa masala yechimini son shaklida topishdan iborat edi. Bu fikrga ishonch hosil qilish uchun matematika tarixiga nazar tashlash kifoyadir.

Vavilon olimlarining asosiy faoliyati matematik jadvallar tuzishdan iborat bo’lgan. Shu jadvallardan bizgacha yetib kelgaplaridan biri miloddan 2000 yil avval tuzilgan bo’lib, unda 1 dan 60 gacha bo’lgan sonlarning kvadratlari keltirilgan. Miloddan avvalgi 747-yilda tuzilgan boshqa bir jadvalda Oy va Quyoshning tutnlish vaqtlari keltirilgan. Qadimgi misrliklar ham faol hisobchilar bo’lganlar. Ular murakkab - (alikvota yoki Misr kasrlari deb ataluvchi) kasrlarni surati birga teng

bo’lgan oddiy kasrlar yig’indisi (masalan: ) shaklida ifodalovchi jadvallar tuzishgan va chiziqli bo’lmagan algebraik tenglamalarni yechish uchun vatarlar usulini yaratishgan. Grek matematiklariga kelsak, miloddan avval 220- yillar

atrofida Arximed soni uchun tengsizlikni ko’rsatdi. Geronning

miloddan avvalgi 100-yillar atrofida ushbu iterasion metoddan foydalanganligi ma’lum. Diofant III asrda anikmas tenglamalarni yechishdan tashqari kvadrat tenglamalarni sonli yechiщ usulini yaratgan.

IX asrda yashagan buyuk o’zbek matematigi Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy hisoblash metodlarini yaratishga katta hissa qo’shgan. Al-Xorazmiy qiymatni aniqladi, matematik jadvallarni tuzishda faol qatnashdi. Abulvafo al-Buzjoniy 960-

yilda sinuslar jadvalini hisoblash metodini ishlab chiqdi va ning qiymatini to’qqizta ishonchli raqami bilan berdi. Bundan tashqari, funksiyasidan foydalandi va uning qiymatlari jadvalini tuzdi. XVII asrda ingliz matematigi J. Neper (1614, 1619), shvesiyalik I. Byurgi (1620), ingliz Brigs (1617), gollandiyalik A. Blakk (1628) va boshqalar tomonidan yaratilgan logarifmik jadvallar Laplas so’zi bilan aytganda: «... hisoblashlarni qisqartirib, astronomlarning umrini uzaytirdi». Nihoyat, 1845 yilda Adams va 1846 yilda Leveryelarning hisablashlari natijasida Neptun sayyorasining mavjudligi va uning fazodagi o’rnini oldindan

661

111

61

113

713

71103

nn x

axa21

1416,3

0

21sin

""tg

36

aytishlari hisoblash matematikasining buyuk g’alabasi edi. Tadbiqiy masalalarni sonli yechish matematiklar e’tiborini doim o’ziga tortar edi. Shuning uchun ham o’tgan zamonning buyuk matematiklari o’z tadqiqotlarida tabiiy jarayonlarni o’rganish, ularning modellarinn tuzish va modellarni tadqiq etish ishlarinn birga qo’shib olib borishgan. Ular bu modellarii tekshirish uchun shaxsus hisoblash metodlariii yaratishgan. Bu metodlarning ayrimlari Nyuton, Eyler, Lobachevskiy, Gauss, Chebishev, Ermit nomlari bilan bog’liqdir. Bu shundan dalolat beradiki, hisoblash metodlarini yaratishda o’z zamonasining buyuk matematiklari shug’ullanishgan.

Shuni ham aytish kerakki, limitlar nazariyasi yaratilgandan so’ng matematiklarning asosiy diqqat-e’tibori matematik metodlarga qat’iy mantiqiy zamin tayyorlashga, bu mstodlar qo’llaniladigan obyektlar sonini orttirishga, matematik obyektlarni sifat jihatdan o’rganishga qaratilgan edi. Natijada matematikaning juda muhim va ayni paytda ko’pnncha qiyinchilik tug’diradigan sohasi: matematik tadqiqotlarni so’nggi sonli natijalargacha yetkazish, ya’ni hisoblash metodlari yaratishga kam e’tibor berilar edi, bu soha esa matematikaning tadbiqlari uchun juda zarurdir.

Matematikaning hozirgi zamon fan va texnikasining xilma-xil sohalaridagi tadbiqlarida, odatda, shunday tipik matematik masalalarga duch kelinadiki, ularni klassik metodlar bilan yechish mumkin emas yoki yechish mumkin bo’lgan taqdirda ham yechim shunday murakkab ko’rinishda bo’ladiki, undan samarali foydalanishning iloji bo’lmaydi. Bundan tipik matematik masalalarga algebra (odatda tartibi juda katta bo’lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiin yechish, matrisalarning teskarisini topish, matrisalarning xos sonlarini topish, algebraik va transsendent tenglaialar hamda bunday tenglamalar sistemasini yechish), matematik analiz (sonli integrallash va differensiallash, funksiyani yaqinlashtirish masalalari) hamda oddiy va xususiy hosilaviy differensial tenglamalarni yechish masalalari va boshqalar kiradi.

Fan va texnikaning jadal ravishda rivojlanishi, atom yadrosidan foydalanish, uchuvchi apparatlar (samolyot, raketa) ni loyihalash, kosmik uchish dinamikasi, boshqariladigan termoyadro sintezi muammosi munosabati bilan plazma fizikasini o’rganish va shunga o’xshash ko’p masalalarni tekshirish va yechishni taqozo qilmoqda. Bunday masalalar o’z navbatida matematiklar oldiga yangidan-yangi hisoblash metodlarini yaratish vazifasini qo’yadi. Ikkinchi tomondan fan va texnika yutuqlari matematiklar ixtiyoriga kuchli hisoblash vositalarini bermoqda. Buning natijasida esa mavjud metodlarni yangi mashinalarda qo’llash uchun qaytadan ko’rib chiqish ehtiyoji tug’ilmoqda.

Matematikada tipik matematik masalalarning yechimlarini yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchn metodlar yaratishga va shu maqsadda xozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yo’llarini ishlab chiqishga bag’ishlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi.

Hozirgi zamon hisoblash matsmatikasi jadal rivojlanib bormoqda. Hisoblash matematikasi qamragan masalalar turi juda ko’p. Tabiiyki, bu masalalarni yechish metodlari ham xilma-xildir, shunga qaramay bu metodlarning umumiy g’oyasi haqida so’z yuritish mumkin. Buning uchun avval funksional analizga tegishli bo’lgan ayrim

37

tushunchalarni keltiramiz. Agar biror to’plamda u yoki bu yo’l bilan limit tushunchasi kiritilgan bo’lsa, u holda bu to’plam abstrakt fazo deyiladi.

Elementlari ketma-ketliklardan yoki funksiyalardan iborat bo’lgan fazo funksional fazo deyiladi. Biror funksional fazoni ikkinchi bir funksional fazoga akslantiradigan A amal operator deyiladi. Agar operatorning qiymatlari tashkil etgan

fazo sonli fazo bo’lsa, u holda bunday operator funksional deyiladi. Hisoblash matematikasida uchraydigan ko’p masalalarni

(1.1) shaklida yozish mumkin, bu yerda x va u berilgan va funksional fazolarning elementlari bo’lab, - operator yoki xususiy holda funksionaldir. Agar operator va x element haqida ma’lumot berilgan bo’lib, u ni topish lozim bo’lsa, bunday masala to’g’ri masala deyiladi, Aksincha, A za u haqida ma’lumot berilgan bo’lib, ni topish kerak bo’lsa, bunday masala teskari masala deyiladi. Odatda teskari masalani yechish ancha murakkabdir. Bu masalalar har doim ham aniq yechilavermaydi. Bunday hollarda hisoblash matematikasiga murojaat qilinadi.

Ba’zan masalani aniq yechish ham mumkin, lekin klassik matematika metodlari bilan kerakli sonli qiymat olish uchun juda ko’p hisoblashlar talab qilinadi. Shuning uchun ham hisoblash matematikasi zimmasiga konkret masalalarni yechish uchun oqilona va tejamkor metodlar ishlab chiqish yuklanadi (masalan, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Kramer formulalariga nisbatan Gauss metodi ancha tejamkor metoddir).

Hisoblash matematikasida yuqoridagi masalalarni hal qilishning asosiy mohiyati , fazolarni va operatorni hisoblash uchun qulay bo’lgan mos ravishda boshqa fazolar va operator bilan alamashtirishdan iboratdir. Ba’zan faqat va , fazolar yoki faqatgina ulardan birortasini, ba’zan esa faqat A operatorni almashtirish kifoyadir. Bu almashtirishlar shunday bajarilishi kerakki, natijada hosil bo’lgan yangi

masalaning yechimi biror ma’noda berilgan (1) masalaning yechimiga yaqin bo’lsin va bu yechimni nisbatan ko’p mehnat sarflamasdan topish mumkin bo’lsin.

Bunga misol sifatida shunn ko’rsatish mumkinki, odatda matematik fizika tenglamalari u yoki bu strukturaga ega bo’lgan algebraik tenglamalar sistemasiga keltirilib yechiladi.

Demak, hisoblash matematikasi oldidagi asosiy masala funksional fazolarda to’plamlarni va ularda aniqlangan operatorlar (funksionallar) ni yaqinlashtirish hamda hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo’llaniladigan sharoitda masalalarni yechish uchun oqilona va tejamkor algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iboratdir.

Mustaqil ishlash uchun savollar

1. Hisoblash matematikasining fan sifatida paydo bo’lishi. 2. Hisoblash matematikasi vazifasi. 3. Hisoblash matematikasi metodi (usuli).

1R 2R

2R

Axy

1R 2RA A

x

1R 2R А

21, RR A

1R 2R

21, RyRxxАy

38

2-Ma’ruza

ILDIZLARNI AJRATISh

Reja: 1. Umumiy mulohazalar. 2. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 3. Dikart teoremasi. 4. Shturm teoremasi. Tayanch iboralar: ildizlarning yagonaligi, grafik usul, dastlabki yaqinlashish.

Umumiy mulohazalar. Faraz qilaylik, (2.1)

tenglamani yechish talab qilingan bo’lsin, bu yerda - algebraik yoki transsendent funksiya bo’lishi mumkin. Tenglamalarni taqribiy yechish uchun qo’llanadigan ko’p metodlarda uning ildizlari ajratilgan, ya’ni unday yetarli kichik atrofchalar topilganki, bu atrofchalarda tenglamaning bittagina ildii joylashadi deb faraz qilinadi. Bu atrofning biror nuqtasini dastlabki yaqinlashish sifatida qabul qilib, mazkur metodlar yordamida izlanayotgan yechimni berilgan aniqlik bilan hisoblash mumkin. Demak, (2.1) tenglamaning ildizlarini taqribiy hisoblash ikki qismdan iborat: 1) ildizlarni ajratish va 2) dastlabki yaqinlashish ma’lum bo’lsa, ildizlarni berilgan aniqlik bilan hisoblash. Masalaning birinchi qismi ikkinchisiga nisbattan ancha murakkabdir. Chunki, umumiy holda ildizlarni ajratish uchun effektiv metodlar mavjud emas. Xususan, bir necha noma’lumli

Tenglamalar sistemasi uchun ildizlarni ajratish masalasi katta qiyinchiliklar

bilan bog’likdir. Matematik analizdan ma’lum bo’lgan quyidagi teoremalar (2.1) tenglamaning

ildizlari yotgan oraliqlarni ajratishga yordam qiladi. 1-teorema. Agar uzluksiz (x) funksiya biror [a,b] oraliqning chetki

nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda bu oraliqda (1.1) tenglamaning hyech bo’lmaganda bitta ildizi mavjuddir. Agar, shu bilan birga birinchi tartibli hosila mavjud bo’lib, u o’z ishorasini shu oraliqda saqlasa, u vaqtda bu oraliqda ildiz yagonadir.

0)( xf)(xf

nkxxxf nk ,....,2,10,....,, 21

)(xf

39

1- shizma

2-teorema. (x) funksiya [a, b] oraliqda analitik funksiya bo’lsin. Agar [a, b] oraliqning chetki nuqtalarida (x) har xil ishorali qiymatlarini qabul qilsa, u vaqtda (1.1) tenglamaning va nuqtalar orasida yotadigan ildizlarning soni toqdir.

Agar funksiya [a, b] oraliqning chetki nuqtalarida bir xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda (2.1) tenglamalarning ildizlari yo oraliqda yotmaydi yoki ularning soni juftdir (karraligini hisobga olgan holda). Ko’pincha (1.1) tenglamaning haqiqiy ildizlarini ajratishga grafik usuli katta yordam beradi. Buning uchun funksiyaning grafigini taqribiy ravishda chizib, bu grafikning o’qi bilan kesishgan nuqtalarining abssissalari ildizning taqribiy qiymatlari deb olinadi (1-chizma). Agar (1.1) tenglamaning ildizlari bir-biriga yaqin joylashgan bo’lmasa, u vaqtda bu usul bilan uning ildizlari osongina ajratiladi. Agar ning ko’rinishi murakkab bo’lib, uning grafigini chizish qiyin bo’lsa, u vaqtda grafik usulini boshqacha tarzda qo’llash kerak, ya’ni (1.1) tenglama unga teng kuchli bo’lgan tenglama

(2.2) ko’rinishda yozib olinadi. Endi va funksiyalarning grafiklarini chizsak, bu grafiklarning kesishish nuqtalarining abssissalari taqribiy ildizlardan iborat bo’ladi. Misol. Grafik usuli bilan

tenglamaning ildizi takribiy topilsin.

Yechish. Bu tenglamani ko’rinishda yozib olamiz. egri chiziqning va tug’ri chiziqning grafiklarini chizib 2-chizmadan ko’ramizki, ularning kesishish nuqtasining abssissasi ekan.

a b)(xf

],[ ba

)(xfy x0

)(xf

)()( xx

)(xy )(xy

012)12( xx

xx 212 xy 212 хy

7,0

40

2- shizma

Agar yoki chiziqli funksiya, masalan bo’lsa, u vaqtda (1.2) tenglamachining ildizlarini ajratish soddalashadi. Faqat va koeffisentlari bilan farq qiladigan bir xil tipdagi bir nechta tenglamalarning ildizlarini ajratish uchun grafik usuli qulaydir. Chunki bu yerda ildizlarni ajratish (ildizlarni taqribiy topish) bitta tayin funksiya grafigi bilan har xil to’g’ri chiziqlar kesishish nuktalarining abssissalarini topishdan iboratdir. Bu tipga

ko’rinishdagi tenglamalar misol bo’la oladi. Masalan, va tenglamalar ildizlari-ning takribiy

kiymatlari topilsin. Buni yechish uchun kubik parabolani chizamiz. So’ngra va to’g’ri chiziqlarning parabola bilan kesishish

nuqtalarining abssissalarini topa-miz. 3-chizmada ko’rinib turibdiki, birinchi tenglama fakat bitta xakikiy ildizga ega bulib, ikkinchi tenglama esa uchta , , xakikiy ildizlarga egadir. Agar tenglamaning kompleks ildizlarini topish kerak bulsa, deb olib, bu tenglamani

kurinishda yozib olamiz, bu yerda va xakikiy x va u uzgaruvchilarning xakikiy funksiyalari. Bu tenglama esa kuyidagi ikkita tenglamalar

sistemasiga teng kuchlidir. Endi egri chiziklarni chizib, ularning kesishgan nuktalarini topamiz. Kesishish nuktalarining abssissasi va ordinatalari tenglama yechimlarining mos ravishda haqiqiy va mavhum qismlarini beradi.

)(x )(x baxx )(a b

)(xy baхy

0 baxx n

02,123 xx 01,02,13 xx3xy

2,12 xy 1,02,1 xy

6,01,1 1,0 1

0zfyixz

0,, 21 yxfiyxf yxf ,1 yxf ,2

0,,0, 21 yxfyxf 0,,0, 21 yxfyxf

0zf

41

3- shizma Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. Algebraik

(2.3) tenglamaning ildizlarini ajratish masalasi yaxshi o’rganilgan va ancha osondir. Quyidagi teoremalarning birinchisi boshqalariga nisbattan umumiyroqdir, chunki u kompleks ildizlarining ham chegaralarini beradi. Biz har doim (1.3) tenglamada

koeffisentlar haqiqiy va deb olamiz.

1-teorema. Agar bo’lsa, u holda (2.3)

tenglamaning barcha ildizlari halqa ichida yotadi. (4- chizma). Isbot. Faraz qilaylik, bo’lsin. Modulning xossalariga ko’ra

Agar biz bu yerda deb olsak, u holda tengsizlik kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, x ning bu qiymatlarida ko’phad nolga

aylanmaydi, ya’ni (1.3) tenglama ildizga ega bo’lmaydi. Shu bilan teoremaning yarmi isbot bo’ldi.

0...... 11

10

nnnn axaxaxaxf

0,00 naa

n

knk

knk a

aAaaA

1110

1max,max

RAxA

r

11

1

1

1|| x

.1||

1||||1||

1||||

1

...||

11...1|)(|

00

2000

10

xAxxa

xAxa

x

xAxa

xaa

xaaxaxf

nnn

nn

nn

Ax 1|| 0|)(| xf)(xf

42

4- shizma

Teoremaning ikkinchi yarmini isbotlash uchun deb olib, ga ega bo’lamiz, bu yerda . Teoremaning isbot qilingan qismiga

ko’ra ko’phadning ildizlari (nollari).

Tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa

kelib chikadi.

E s l a t m a: Bu teoremadagi va sonlar (2.3) tenglama musbat ildizlarning quyi va yuqori chegaralari bo’ladi. Shunga o’xshash va sonlar manfiy ildizlarning mos ravishda quyi va yuqori chegarasi bo’ladi. Ildizlarning chegaralari uchun bu teoremadagi baho ancha qo’poldir. Quyidagi teoremalar bunga nisbattan ancha yaxshiroq baholarni beradi.

2-teorema. (Lagranj teoremasi). Agar (2.3) tenglamaning manfiy koeffisentlaridan eng birinchisi (chapdan o’ng tomon hisoblaganda) bo’lib, manfiy koeffisentlarning absolyut qiymatlari bo’yicha eng kattasi bo’lsa, u holda musbat ildizlarning yuqori chegarasi

(2.4) son bilan ifodalanadi.

yx 1 ny

xf 1)(

01

1 ...)( ayayayg nn

nn

)( yg kn x

y 1

11||

1|| Ax

yk

k

111||A

xk

r RR r

R

hBR

0

1

43

Isbot. Bu yerda ham deb olamiz. Agar ko’phadda manfiy bo’lmagan barcha koefisentlarini esa - manfiy son bilan almashtirsak, ko’phadning qiymati faqat kamayishi mumkin, shuning uchun ham

tengsizlika ega bo’lamiz. Bundan esa 1 bo’lganda

kelib chiqadi. Demak,

bo’lganda ga ega bo’lamiz, ya’ni (2.3) tenglamaning barcha musbat ildizlari tengsizlikni qanoatlantirar ekan. 3-teorema. (Nyuton teoremasi). Agar uchun ko’phad va uning barcha xosilalari nomanfiy bo’lsa: , u holda ni (2.3) tenglamaning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb hisoblash mumkin. Isbot. Teylor formulasiga ko’ra

. Teorema shartiga ko’ra bo’lganda bu tenglikning o’ng tomoni musbatdir. Demak, (2.3) tenglamalarning barcha musbat ildizlari tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu teoremalar faqat musbat ildizlarning yuqori chegarasini aniqlaydi. Quyidagi:

ko’phadlarga yuqoridagi teoremalarni qo’llab, musbat ildizlarning yuqori chegaralari va larni mos ravishda topgan bo’lsak, u

vaqtda (2.3) tenglamaning hamma musbat ildizlari va xamma

manfiy ildizlari esa tengsizliklarni kanoatlantirar ekan. Quyidagi misolda biz yuqorida keltirilgan metodlarni qo’llab ularning natijalarini solishtiramiz. M i s o l. Quyidagi tenglama haqiqiy ildizlarning chegarasi topilsin:

(2.5)

1х )(xf

121 ,...,, k B

11

1...)(1

01

0

xxBxaxxBxaxf

knnknknn

x

Bxax

xBxxax

xx

xBxaxf kkn

kknkn

n

)1(1

)1(1

11

)( 0

11

0

11

0

RaBx k

0

1

0)( xf xRx

0 cх )(xf

)(,...),(),( )( xfxfxf n ),...,1,0(0)()( nkcf k

cR

nn

cxn

cfcxcfcfxf )(!

)(...))(()()()(

cx x Rx

01

13

011

12

22

1101

)1(...1)()(

,...1)(

,)1(...)()1()(

axaxax

fxxf

axaxaxax

fxxf

axaxaxaxfxf

nnn

nn

n

nn

nn

n

nnnnnn

)(),(),(),( 321 xfxfxfxf

210 ,, RRR 3R

xRx

R

2

1x

31

1R

xR

0885)( 24 xxxxf

44

2-teoremani qo’llaymiz, bu yerda . Demak , ya’ni (2.5) tenglamaning ildizlari (-9; 9) oralikda yotar ekan. Endi Lagranj teoremasini qo’llaymiz: . Bu qiymatlarni (1.4) formulaga qo’yib, musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun

ni hosil qilamiz. Keyin (1.5) tenglamada ni ga almashtirsak,

(2.6) tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun ham tengsizlik kelib chiqadi. Ya’ni Lagranj teoremasiga ko’ra (2.5) tenglamaning ildizlari (-3, 84; 3,84) oraliqda joylashgan ekan. Nyuton metodini qullaylik. Bu yerda , ,

, , ko’rinib turibdiki uchun va . Osongina payqash mumkinki, ,

bo’lsa ham faqat musbat qiymat qabul qiladi, ya’ni musbat ildizlarining yuqori chegarasi ekan. Xudi shuningdek, tenglama musbat ildizlarning yuqoroi chegarasi ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Demak, (2.5) tenglamaning ildizlari (-3; 2) oraliqda yotar ekan.

Har uchula metod natijalarini solishtirsak, Nyuton metodi garchi ko’proq mehnat talab qilsada, ildizlar chegaralari uchun yaxshiroq natija berishi ko’rinadi.

Endi oliy algebradan ma’lum bulgan ikita teoremani isbotsiz keltiramiz. Dikart teoremasi. (2.3) tenglama koefisentlaridan tuzilgan sistemada ishora almashtirishlar soni qancha bo’lsa (sanashda nolga teng koeffisentlarga e’tibor qilmaymiz), tenglamaning shuncha musbat ildizi mavjud yoki musbat ildizlar soni ishora almashtirishlar sonidan juft songa kamdir. Faraz qilaylik, (2.3) tenglama karrali ildizga ega bo’lmasin. Biz orqali

hosilani, orqali ni ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, orqali ni ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, va h.k. belgilaymiz va bu jarayonni qoldiqda o’zgarmas son hosil bo’lguncha davom ettiramiz. Natijada Shturm qatori deb ataluvchi

funksiyalar ketma-ketligiga ega bulamiz. Shturm teoremasi. ko’phadning ildizlaridan farqli va sonlarni olib, ni dan gacha o’zgartirganda uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo’qolsa, ning oraliqda xuddi shunday xaqiqiy ildizlari mavjud bo’ladi.

Shturm teoremasi ildizlarni ajratish masalasini to’la hal qiladi, lekin Shturm qatorini tuzish balan bog’liq bo’lgan hisoblashlar ko’p vaqt talab qiladi.

8,10 Aa 981 R

8,2,10 Bka

84,3221181 R

x x

0885)( 241 xxxxf

84,3R

885)( 24 xxxxf 8104)( 3 xxxf

1012)( 2 xxf xxf 24)( 0)( xf IV 2x0)(,0)(,0)( xfxfxf IV 0)( xf 2x

)(xf 2c0)(1 xf

3c

)(1 xf

)(xf )(2 xf )(xf )(1 xf)(3 xf )(1 xf )(2 xf

)(,...),(),(),( 21 xfxfxfxf k

)(xf a )( bab

x a b )(xf)(xf ),( ba

45

Shturm teoremasining qo’llanishi quyidagichadir. Avval (2.3) tenglamaning barcha ildizlari yotgan oraliqning chegaralari aniqlanadi. Topilgan oraliq j nuqtalar bilan kichik oraliqchalarga bo’linadi. Shturm teoremasi yordamida tenglamaning oraliqdagi ildizlarining soni aniqlanadi. Agar bu oraliqlar ildizlarning soni bittadan ko’p bo’lsa, oraliq ikkiga bulinadi va xar bir oraliq uchun Shturm teoremasi qo’llaniladi. Bu jarayonni shu paytgacha davom ettiramizki, toki xar bir oraliqchalardagi ildizlar soni bittadan ortmasin. Shuni ham eslatib o’tish kerakki, Shturm qatoridagi funksiyalarni musbat sonlarga kupaytirish yoki bo’lish mumkin, bundan ishora almashtirishlar soni o’zgarmaydi.


1. Dastlabki yaqinlashishni topish. 2. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish.

],[ ba

],[ 1ii

)(xf i

46

3-ma’ruza

TENGLAMALARNI YeChIShDA ITERASIYa METODI

Reja: 1. Oddiy iterasiya metodi. 2. Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli. 3. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri.

Tayanch iboralar: iterasiya, boshlang’ich yaqinlashish, iterasiyaning

geometrik ma’nosi, hisoblash xatosi. Oddiy iterasiya metodi. Biz hozir oddiy iterasiya (yoki ketma-ket

yaqinlashish) metodi bilan bitta sonli tenglama misolida tanishamiz. Bu metodning umumiy nazariyasn bilan keyingi paragrafda tanishib chiqamiz. Iterasiya metodini qo’llash uchun tenglama unga teng kuchli bo’lgan quyidagi

(3.1) kanonik shaklga keltnrilgan va ildizlari ajratilgan bulishi kerak. (3.1) tenglamaning ildizi yotgan atrofiing biror nuqtasini izlanayotgan ildizning nolinchi yaqinlashishi deb olamiz. Navbatdagi yakinlashishini topish uchun (3.1) ning o’ng tomoniga ni qo’yamiz va hosil bo’lgan qiymatini bilan bolg’ilaymiz, ya’ni

. (3.2) Topilgan sonni (3.1) ning o’ng tomoniga qo’yib, yangi son ni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib, f-yaqinlashish xp ni (p-1)- yaqinlashish xp-1 yordamida topamiz:

. (3.3) Bu formula yordamida topilgan sonlar ketma-ketgilining limiti ya’ni

(3.4) mavjud va funksiya uzluksiz bo’lsa, (3.3) tenglikning ikkala tomonida limitga o’tib,

, ya’ni

ga ega bo’lamiz. Bu tenglikdan ko’rinadlik, berilgan tenglamaning ildizi ekan. Demak, bu ildizni (3.3) formula yordamida istgalgan aniqlik bilan hisoblash mumkin, (3.4) limit mavjud bo’lgan holda iterasiya jarayoni yaqinlashuvchi deyiladi. Lekin

mavjud bo’lmasligi ham mumkin, bunday holda oddiy iterasiya usuli maqsadga muvofiq bo’lmaydi.

0)( xf)(xx

0x

0x

)( 0x 1x)( 01 xx

1x )( 12 xx

)...,2,1()( 1 nxх nn

n

nxlim

)(x

)()lim()(limlim 1 nnnnnn

xxx

)(

nnx

lim

47

Iterasiya metodi sodda geometrik ma’noga ega. Buni tushunish uchun va funksiyalarning grafiklarini chizamiz. Bu grafiklarning kesishgan M nuktasining abssissasi (3.1) tenglamaning ildizldir.

5-chizma

Faraz qilaylik, x0 nolinchi yaqinlishish bo’lsin, u vaqtda nuqta egri chiziqda yotadi. Bu nuqtadan gornzontal (ox o’qiga parallel) chiziq

o’tkazamiz. Bu chiziq u=x bissektrisani nuqtada kesadi. ni bilan belgilab olsak, nuqtaning koordinatalari ko’rinishga ega bo’ladi. nuqta orqali ou o’qqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazsak, u egri chiziqni

nuqtada kesadi. Bu jarayonni davom ettirib, bissektrisada yotgan (bu yerda ) so’ng egri chiziq ustida nuqtaga

ega bo’lamiz va h.k.

6-chizma

)(xy xy

x

))(,( 000 xxA

)(xy

))(),(( 001 xxB )( 0x 1x

1B ),( 11 xx 1B)(xy

))(,( 111 xxA xy

),( 222 xxB )( 12 xх )(xy ))(,( 222 xxA

48

Agar iterasiya jarayoni yaqinlashsa, u vaqtda nuqtalar izlanayotgan M nuqtaga yaqinlashadi. nuqtalarning abssissalari

ga, ya’ni (3.1) tenglamaning ildiziga yaqinlashadi. Shunday qilib, iterasiya metodining geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: egri chiziq bilan koordinatalar burchagi bissektrisaning kesishish nuqtasiga siniq chiziq bo’ylab harakat qilamiz, siniq chiziqning uchlari navbat bilan egri chiziq va bissektrisa ustida yotadi, tomonlari esa navbat bilan gornzontal va vertikal yo’nalgan bo’ladi. Agar egri chiziq va bissektrisa 5-chizmadagidek joylashgan bo’lsa, u vaqtda siniq chiziq zinapoyani eslatadi. Agar egri chiziq va bissektrisa 6- chizmadagidek bo’lsa, unda siniq chiziq spiralni eslatadi.

7-chizma

Iterasion jarayon uzoqlashishi ham mumkin. Buning geometrik ma’nosi

shundan iboratki, zinapoyaning pog’onalari (yoki spiralning bug’inlari) borgan sari kattalashadi, shuning uchun ham nuqtalar M ga yaqinlashmaydi, balki uzoqlashadi (7-8-chizmalar).

Modomiki, iterasiya jarayoni har doim yaqinlashavermas ekan, demak, bu jarayon yaqinlashishi uchun qanday shartlar bajarilishi kerakligini aniqlash kata ahamiyatga ega. Bu shartlar Ushbu teoremada ko’rsatiladi.

I- teorema. Faraz qilaylik, funksiya va dastlabki yaqinlashish quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1) funksiya

(3.5) oraliqda aiqlangan bo’lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkita va nuqtalar uchun Lipshis shartini qanoatlatirsin:

; (3.6)

,...,...,, 10 nAAA

,...,, 210 AAA ,...,, 210 xxx

)(xy

,...,, 210 AAA

)(x 0х

)(х

0xxx y

)(x

)10(|)()(| qyxqyx

49

2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin:

. (3.7) U holda (3.1) tenglama (3.5) oraliqda yagona ildizga ega bo’lib, ketma-ketlik bu yechimga intiladi va intilish tezligi

(3.8) tengsizlik bilan aniqlanadi.

8-chizma

Isbot. Avval induksiya metodnni qo’llab, ixtiyoriy p uchun ni ko’rish mumkinligini, ning (3.5) oraliqda yotishligi va

(3.9) tengsizlikning bajarilishini ko’rsatamaz.

Agar p = 0 bo’lsa, bo’lgani uchun (3.9) tengsizlik (3.7) dan kelib chiqadi.

Bundan tashqari, bo’lgani uchun tengsizlik bajarilib, (3.5) oraliqda yotadi. Endi faraz qilaylik, lar qurilgan bo’lib, ular (3.5) oraliqda yotsish va

tengsizliklar bajarilsin. Induksiya shartiga ko’ra (3.5) da yotadi, (3.5) da aniqlangan, shuning uchun ham ni ko’rish mumkin. Teoremaning 1-shartidan

q

xхn 1,|)(| 0

}{ nx

nn q

qx

1||

nx

nxn

nn qxx || 1

)( 01 xх

q1 || 01 xх 1x

nxxx ,...,, 21

)1,...,1,0(|| 1 nkqxx kkk

nx )(x

)(1 nn xx

50

kelib chiqadi. Lekin va uchun induksiya shartiga ko’ra o’rinli, demak, . Bu esa va uchun (3.9) tengsizlikning bajarilshini ko’rsatadi. Nihoyat,

munosabatlar ning (3.5) oraliqda yotishini ko’rsatadi. Shu bilan isbot qilinishi talab etilgan mulohaza tasdiqlanadi.

Endi ning fundamental ketma-ketlik tashkil etishini ko’rsatamiz. (3.9) tengsizlikka ko’ra ixtiyriy natural son uchun

yoki

. (3.10) Bu tengsizlikning o’ng tomoni ga bog’liq bo’lmaganligi va bo’lganidan

ketma-ketlikning fundamentalliga va uning limiti mavjudligi kelib chiqadi. ketma-ketlik (3.5) oraliqda yotgani uchun ham shu oraliqda yotadi. (3.6) shartdan ning uzluksizligi kelib chshqadi, shuning uchun ham tenglikda limitga o’tib, (3.1) tenglamaning ildizi ekanligini isbot qilamiz.

Endi ildizning (3.5) oraliqda yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, (3.1) tenglamaning (3.5) oraliqdagi boshqa biror ildizi bo’lsin, ekanini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, (3.6) ga ko’ra

, bo’lgani uchun bu munosabat faqat bo’lgandagina bajariladi.

Yaqinlashish tezligini ko’rsatuvchi (3.8) tengsizlikni keltirib chiqarish uchun (3.10) tengsizlikda limitga o’tish kifoyadir. Teorema isbot bo’ldi.

Izoh. Odatda, iterasiya metodini qo’llayotganda ikkita va ketma-ket yaqinlashishlar berilgan aniqlik bilan ustma-ust tushsa, shu aniqlik bilan deb olinadi. Umuman olganda, buf ikr noto’g’ri. Masalan, tenglamani qaraylik. Bu yerda . Dastlabki yaqinlashish ni 1 ga teng deb olib, bu tenglamani iterasiya metodi bilan yechamiz. U holda va bo’ladi, bu tenglamaning aniq ildizi esa dan ga farq qiladi.

Yuqrida atilgan fikrni faqat bo’lib, birdan aniq kichik

bo’lgandagina qo’llash mumkin. Buning to’g’riligini bo’lganda quyidagicha

111 |)()(||| nnnnnn xxqxxxx

1nx nx 11 || n

nn qxx n

nn qxx || 1 1nx nx

nn

nn

nnnnn

qqq

qqq

xxxxxxxx

111...

||...||||||1

1

011101

1nx

}{ nxp

nnpnnnnpnnpn q

qqqxxxxxх

1...||...|||| 1

1

nnpn q

qxx

1

||

p 10 q

}{ nx nnx

lim

}{ nx

)(x )(1 nn xx

~

~

|~||)()~(||~| q

10 q ~

p

1nx nx

nx

xx 999,0

999,0,999,0)( qxx 0x

999,01 x 001,010 xx

0 1x 999,0qx |)(| q

21q

51

ko’rsatish mumkin. Buning uchun deb olamiz, u holda va bo’ladi. Shuning uchun ham

demak

va (3.6) ga ko’ra

. Bu tengsizliklardan esa

.

Hosil bo’ladi. Agar, xususiy holda, deb olsak,

Bo’ladi, ya’ni bu holda dan kelib chiqadi. Misol. Iterasiya usuli bilan

(3.11) tenglamaning musbat ildizlari 5 ta ishonchli raqam bilan topilsin.

Yechish. Shturm metodini qo’llab, bu tengmaning musbat ildizlari va larning mos ravishda (0; 0,5) oraliqlarda yotishini ko’ramiz. Iterasiya metodini qo’llash uchun (3.11) tenglamani kanonik ko’rinishda yozish kerak. Buni ko’p usullar bilan bajarish mumkin. Lekin har doim ham kanonik ko’rinishdagi funksiya teorema shartini qanoatlantiravermaydi. (3.11) tenglamani unga ekvivalent bo’lgan, masalan, quyidagi uch xil ko’rinishda yozish mumkin:

(3.12) yoki

(3.13) yoki

. (3.14) Har ikkala ildiz atrofida ham lar hosil bo’lgani uchun teoremalagi (3.6) shartni

shart bilan almashtirish mumkin. Endi larning qaysi biri teorema shartini qanoatlantirishini ko’raylik bo’lganligi uchun har ikkala ildiz atrofida ham , demak (3.12) tenglama uchun iterasiya jarayoni uzoqlashadi.

Endi (3.13) tenglamani tekshiraylik . Bundan (0; 0.5) oraliqda

ekanligini ko’ramiz, ya’ni ni topish uchun (3.13) tenglamaga

)()( xxxf 0)( fqxxf 1)(1)(

)),,(~(||)1(|)(||||)()(||)(|

nn

nnnnnn

xxxqfxfxfxx

qxxx nn

n

1

|)(|||

|||)()(||)(| 11 nnnnnn xxqxxxx

||1

|| 1

nnn xxq

qx

21q

|||| 1 nnn xxx || 1nn xх || nx

03280)( 3 xxxf

1 2

)(x

)(3279 13 xxxx

)(80

322

3

xxх

)(3280 33 xxx

)(xi

1|)(| qxi )(xi

793)( 2 xxi

1|)(| 1 x

803)(

2

2xx

1001

3203|)(| 2 qx

1

52

iterasiya metodini qo’llash mumkin. Dastlabki yaqinlashishni deb olib, keyingi to’rtta yaqinlashishni hisoblaymiz:

Demak, 5 ta ishonchli raqami bilan deb olishimiz mumkin. Tabiiyki, (3.13) tenglamada ikkinchi ildizni ham iterasiya metodi bilan topishga harakat qilamiz. Lekin bu mumkin emas, chunki (8.5; 9) oraliq uchun

shart bajarilmaydi. Shuning uchun ham (3.14) shartni tekshirib ko’raylik:

.

Bundan ko’ramizki, (8.5; 9) oraliqda , shu sababli (3.14) tenglamadan ni topishimiz mumkin.

Nolinchi yaqinlashishni deb olamiz, keyingi yaqinlashishlar 1-jadvalda berilgan. Demak, 5 ta ishonchli raqami bilan olingan qiymat ga teng bo’ladi.

1-jadval

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9 8,828

8,7688 8,7483 8,7412 8,7386 8,7376 8.7373 8,7372 8,7371 8,7371

Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli haqida.

Iterasiya metodining yaqinlashishi yoki uzoqlashishi ildizning kichik atrofida hosilaning qiymatiga bog’liq ekanligini yuqorida ko’rgan edik. Lekin J. X. Vegsteyn 1958 yilda iterasiya metodini shunday o’zgartirishni taklif qilgan ediki, buni qo’llaganda ning qiymati har qanday bo’lganda ham iterasiya jarayoni yaqinlashadi. Mabodo tengsizlik bajarilsa, u iterasiya jarayoniga nisbatan Vegsteyn jarayoni tezroq yaqinlashadi.

Vegsteyn usuli (3.15)

5,00 x

.40080483,0

;40080487,0;4008094,0;4015625,080

32)5,0(

4

32

3

1

x

xxx

40080,01

1|)(| 2 qx

3 23)3280(3

80)(

x

x

21

2710|)(| 3 x

2

90 x

7371,82

n nx

)(x

)(x

1|)(| x

)(xх

53

formuladan topilgan ni (3.16)

formula yordamida bilan almashtirishdan iborat bo’lib, bunda - kerakli ravishda tanlab olingan miqdordir. ning qiymatini aniqlash uchun 10-chizmadan foydalanamiz.

Faraz qilaylik, (3.15) formula yordamida orqali topilgan bo’lsin, ya’ni . U vaqtda va nuqtalarning koordinatalari mos ravishda va

bo’ladi. Bunday holda uchun eng qulay qiymat M nuqtaning abssissasidir. Uni topish uchun kesma ustida nuqtani olamiz. Endi

(3.16) ning har ikkala tomoniga ni qo’shib, (3.17)

ni hosil qilamiz. Chizmadan foydalanib, (3.17) ni (3.18)

ko’rinishda yozishimiz va (3.19)

tengliklarning o’rinli ekanligini ko’rishimiz mumkin, bu yerda .

9-chizma

ning taqribiy qiymatini topish uchun ni taqribiy ravishda quyidagicha almashtiramiz:

. (3.20) (3.18)- (3.20) lardan

1nх

11 )1( nnn xqqzz

1nz qq

1nх nz

)(1 nn zx А B ))(,( nn zz

),( 11 nn xx 1nz

AB ),( 11 nn xzC

1)1( nn zqqz

))(1()( 111 nnnn xzqzzq

BCqqАА )1(

)0)((),~( nn xxACMCBC

nnn zxх ~

1

q )~( nx

1

1

1

1)()()~(

nn

nn

nn

nnn zz

xxzz

zzx

54

ni hosil qilamiz va ning taqribiy qiymatini topamiz:

. (3.21) (3.16) va (3.21) formulalardan ko’ramizki,

. (3.22) Bu formula xp+1 o’rnida ishlatiladigan ning qiymatini beradi. Vegsteyn usulini amalda qo’llash uchun ildizning nolinchi yaqinlashishi ga bir marta oddiy iterasiyani qo’llash kerak. Bu birinchi qadamdan so’ng ni topish uchun esa (3.15) formulani qurilishda qullaymiz. Biz bu yerda bu jarayonning oddiy iterasiya jarayoniga nisbatan tezroq yaqinlashishini qat’iy ravishda asoslab o’tirmasdan misol keltirish bilan chegaralanamiz.

Misol. Ushbu

tenglamaning eng katta musbat ildizi aniqlik bilan topilsin. Izlanayotgan ildizning nolinchi yaqinlashishi sifatida ni olishimiz mumkin. Bu tenglamani

(3.23) ko’rinishla yozib olamiz. Bu holda va bo’ladi. Demak, (3.23) tenglamaga oddiy iterasiyani qo’llab bo’lmaydi. Bu tenglamaning yechimini Vegsteyn usuli bilan topilgan ketma-ket yaqinlashishlari aniqlik bilan 2-jadvadda keltirilgan.

2-jadval.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 0

1000 29,7

-30,3010 10,2310 9,97016

9,966666 9,9666667906 9,9666667906

*10 *0 9,9 10,1 9,9658 9,966655 9,66667791 9,966666790 9,96666679061 9,96666679061

10 0

- 1000 - 999000

- 978,10

Bu jadvalning uchinchi ustunida (3.22) formula yordamida topilgan Lar keltirilgan, oxirgi ustun esa oddiy iterasiya usulining uzoqlashishini ko’rsatish uchun keltirilgan. Yulduzcha bilan belgilangan qiymatlar ikkinchi ustundagi mos qiymatlar bilan ustma-ust tushadi, chunki Vegsteyn usulini qo’llash uchun bo’lishi kerak.

Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri. Biz oldingi punktlarda iterasion jarayonning ideal modelini ko’rib chiqqan edik. Bu

1

1)~(1

nn

nnn zz

xxxACBC

qq

q

nnnn

nn

zzxxxxq

11

1

nnnn

nnnnnn xzzx

zxxxxz

11

1111

))((

1nz

0x

1nх

)(1 nn zx

01000)( 3 xxxf1010

100 x31000 xх

23)( xx 300)10(

1010

n nn zvx 1 nz nn xx 1

15

nz

2n

55

modelda ketma-ketlikniig barcha elementlari absolyut aniq hisoblangai deb faraz qilingan edi. Aslida esa qulda hisoblanayotganda ham, mashinada hisoblanayotganda ham, biz amamalarni chekli miqdordagi raqamlar ustida bajaramiz. Buning natijasida, ya’ni yaxlitlash hisobidan, hisoblash xatosi kelib chiqadi. Iterasiyaning birinchi qadamida o’rniga unga yaqinroq bo’lgan hosil qilamiz. Bu yerda

hisoblash xatosi hosil bo’ladi. Ikknnchi qadamda esa xato ikki sababga ko’ra hosil bo’ladi: birinchidan funksiyada o’rniga qo’yiladi, ikkinchidan

yaxlitlash xatosi bilan hisoblanadi. Demak, topilgan qiymat faqat taqribiy ravishda ga teng: hisoblash xatosidir.

Shunday qilib, iterasiya metodiki qo’llayotganda ketma-ketlik o’rniga

ketma-ketlikka ega bo’lamiz, bu yerda - hisoblash xatosi.

Yuqorida isbot qilingan teoremaning xulosasi ketma-ketlikka taalluqli bo’lgani uchun, agar biz qo’shimcha shart qo’ymasak, bu xulosa ketma-ketlik uchun o’rinli bo’lmaydi, xatto bu ketma-ketlik ildizga yaqinlashmasligi ham mumkin. Shuning uchun quyidagi teoremani isbot qilamiz.

2- teorema. Faraz qilaylik, dastlabki yaqinlashish va (3.24)

tengliklar bilan aniqlangan ketma-ketlik quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 1) funksiya

(3.25) oraliqda aniqlangan bo’lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkita x va u nuqtalar uchun

(3.26) tengsizlikni qanoatlantirsin; 2) sonlar uchun

(3.27) gengsizliklar o’rinli bo’lsin; 3) quyidagi

(3.28) tengsizliklar bajarilsin. U holda 1) tenglama (3.25) oraliqda yagona yechimga ega, 2) agar bo’lsa, ketma-ketlik ga yaqinlashadi, 3) agar bo’lsa, miqdorlar

(3.29) tengsizlikni qanoatlantiradi.

nx

)( 01 xx 1x

001 xx

)(x 1x 1x)( 1x 2x

)( 1x 1112 ,)( xx.)..2,1,0( n

.)..,1,0(,)(~1 nxx nnn

n

}{ nx

}~{ nx

)(x 0x

...,2,1,0,~,)(~001 nxxxx nnn

}~{ nx)(x

|| 0xx

)10(|||)()(| qyxqyx

n

...,2,1,0),10(|| 11 nqq nn

q

xx1

,|)(| 00

)(xx

10 1 q }{ nx

11 q nx~

)(1

1|~| nn q

qх

56

Isbot. Teoremaning birinchi tasdig’i 1- teoremadan kelib chiqadi. Qolgan tasdiqlarni isbotlash uchun biz

(3.30) tengsizliklarning o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.

Avval shunn ta’kidlab o’tish kerakki, agar xt (3.30) tengsizlikni qanoatlantirsa, u (3.25) oraliqda yotadi.

Haqiqatan ham, (3.30) dan ni hisobga olib,

(3.31) ga ega bo’lamiz. 1-teoremami isbot qilish jarayonida

(3.32) ni keltirib chiqargan edik. Keynn bu tengsizlnklardan va (3.28) dan

kelib chiqadi.

Endi biz (3.30) tengsizlikni isbot qilishga o’tamiz, buning uchun matematik induksiya metodiki qo’llaymiz. (3.24) va (3.27) dan bo’lganda

kelib chiqadi, bu esa (3.30) ning t = 1 bo’lganda o’rinli ekanligini ko’rsatadi. Endi faraz qilaylik, (3.30) t = p bo’lganda o’rinli bo’lsin, uning bo’lganda ham o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. (3.24) dan ni ayirib,

ni hosil qilamiz. va lar (3.25) oraliqda yotadi, shuning uchun ham (3.26), (3.27) va (3.30) tengsizliklarda deb olib,

ni hosil qilamiz.

Demak, (3.30) uchun to’g’ri ekan. Endi teoremaning 2),3)- tasdiqlarini isbot qilamiz. (3.8) va (3.30) tengsiziklarga ko’ra

. (3.33) Agar bo’lsa, u holda da

bo’lgani uchun, (3.33) dan

.)..,2,1(|~|1

11

1

mqqxxm

i

immm

10 1 q

qqxx

m

i

immm

1|~|

1

qxхm

1

|| 0

qqxxxxxх mmmm 11

|||~||~| 00

0n |||~| 011 xx

1 nm)(1 nn xx

nnnnn xxxx )()~(~11

nх~ nxnm

1

1

11

1

11

11111 |~||||)()~(||~|

n

i

iin

nn

i

iinnnnnnnnn

qq

qqqqqxxqxxxx

1 nm

nn

i

iinnnnn q

qqqxxxx

1|||~||~|

1

11

10 1 q n

0)],[max( 11

1

11

nn

i

iin qqnqq

nn

x~lim

57

kelib chiqadi. Agar bo’lsa, (3.33) dan (3.29) kelib chiqadi. Shu bilan teorema

isbot bo’ldi.

Mustaqil ishlash uchun savollar 1. Iterasion usullarning asosiy mohiyati. 2. Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi. 3. Iterasiya usulini yaqinlashishini baholash.

11 q

58

4-ma’ruza

QISQARTIRIB AKS ETTIRISh PRINSIPI. ChIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR SISTEMASI UChUN ITERASIYa

METODI

Reja: 1. Metrik fazo haqida tushuncha. 2. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish.

Tayanch iboralar: metrik fazo tushunchasi, kubik, oktaedrik va sferik

masofalar, yopiq shar, qisqartirib aks ettirish tushunchasi. Iterasiya metodi bilan

(4.1) tenglamalar sistemasini yechish masalasiga o’tamiz. Buning uchun avval (4.1) sistemani biror usul bilan quyidagi kanonik shaklga keltirib olamiz:

(4.2) Faraz qilaylik, dastlabki yaqinlashish topilgan bo’lsin, u

holda keyingi yaqinlashishlar quyidagicha topiladi:

(4.3) Bu iterasion jarayon yaqinlashishining yetarli shartlarini aniqlash uchun qisqartirib aks ettirish prinsipini qullaymiz. Shu maqsadda p o’lchovli vektorlar fazosi da

vektor va (4.2) sistemaning o’ng tomonidagi funksiyalarning qiymatlaridan tuzilgan vektorni olib operatorni aniqlaymiz. Bu operator ni ga yoki ning biror qismiga akslantiradi. Bu operator yordamida (4.2) sistema

, (4.4) (4.3) iterasion jarayon esa

0),...,,(........

,0),...,,(,0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

).,...,,(........

),,...,,(),,...,,(

21

2122

2111

nnn

n

n

xxxx

xxxxxxxx

),...,,( )0()0(2

)0(1

)0(nxxxx

).,...,,(........

),,...,,(

),,...,,(

)()(2

)(1

)1(

)()(2

)(12

)1(2

)()(2

)(11

)1(1

kn

kkn

kn

kn

kkk

kn

kkk

xxxx

xxxxxxxx

nR

),...,,( 21 nxxxх n ,...,, 21

),...,,( 21 n )(xy

nR nR nR

)(xx

59

(4.5) ko’rinishda yoziladi. Endi (4.4) tenglamaga 1-teoremani qo’llash uchun teoremaning (4.11) shartida qatnashadigan ni lar orqali ifodalash kerak. Bunday ifoda masofaga bog’liqdir. Biz yuqorida fazoda uch xil masofa tushunchasini kiritgan edik. Har bir masofada ning ifodasini topamiz.

1. t masofada: shartdagi ixtiyoriy ikkita va vektor olib va funksiyalar bu sharda uzluksiz

xususiy hosilalarga ega deb faraz qilib, bu nuqtalar tasvirlarining va koordinatalarini ko’ramiz:

Bu yerda hosilaning kiymati va nuqtalarni birlashtiradigan to’g’ri chiziqning nuqtasida hisoblangan. Bu nuqta x, u va ga bog’liqdir. Yuqoridagi baho x, u va ga bog’liq bo’lmasligi uchun

ni ga almashtiramiz, bu yerda x bo’yicha maksimum shardagi eng katta qiymatni bildiradi. Natijada biz

ga ega bo’lamiz. Bundan ko’rinadiki, 1-teoremaning (4.11) shartidagi sifatida

(4.6) ni olishmiz mumkin.

II. masofada. Yuqoridagiga o’xshash ishlarni sharda bajarib quyidagini hosil qilamiz:

. Bundan esa

kelib chiqadi.

III. masofada. Qaralayotgan shar Yevklid fazosidagi

,...)1,0()( )()1( kxх kk

q n ,...,, 21

nRq

),( )0(xxm ),...,,( 21 nxxxх

),...,,( 21 nyyyy )(,...),(),( 21 xxx n

)(xi )( yi

).,()~(||max)~()~(

|),...,,(),...,,(||)()(|

1111

2121

yxx

xyxx

xx

x

yyyxxxyx

m

n

i j

ikknk

n

i j

in

i j

i

niniii

х y xi i

n

i j

i

xx

1

)~( n

i j

i

xi x1

maxmax

),( )0(xxm

),(maxmax))(),((1

yxx

yx m

n

j j

i

xim

q

n

j j

i

xim xq

1

maxmax

s ),( )0(xxs

n

ijj

n

i j

i

xj

n

iii yx

xyx

111

||maxmax|)()(|

n

i j

i

xjs

sss

xq

yxqyx

1maxmax

),,())(),((

l ),( )0(xxi

2/1

1

2)0( )(n

iii xx

60

shardan iboratdir. Bu shardan ixtiyoriy ikkita x va u nuqtalarni olib quyidagilarni hosil qilamiz:

Shunday qilib, uchala masofada ham ning ifodasini topdik. Endi 1-teoremadan foydalanib, iterasiya jarayoni yakinlashishining yetarli shartini berish mumkin. Biz buni faqat t masofa uchun ta’riflaymiz, qolgan ikkita masofa uchun teoremani ta’riflashni o’quvchilarga havola qilamiz.

2- teorema. Faraz qilaylik:

1) funksiyalar

(4.7) sohada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin; 2) bu sohada

(4.8) tengsizliklarni qanoatlantirsin; 3) dastlabki yaqinlashish uchun

shartlar bajarilsin. U holda (4.2) tenglamalar sistemasi (4.7) sohada yagona

yechimga ega bo’lib, (4.3) tengliklar bilan aniqlanadigan ketma-ket yaqinlashishlar bu yechimga intiladi va intilish tezligi

tengsizliklar bilan baholanadi.


1. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 2. Sistema uchun usulining yaqinlashishining yetarli sharti. 3. Qisqartirib aks ettirish prinsipiga asoslangan teoremalar.

.max

),,()]()([))(),((

);,(max)()~(|)()(|

2

11

2

22

1

22

1

)2(

22

1

2

n

j j

in

il

ll

n

iiil

n

jl

j

i

x

n

jjj

j

iii

xq

yxqyxyx

yxx

yxx

xyx

q

),1(),...,,( 21 nixxx ni

||max )0(xxi

),1(1max1

niqx

n

j j

i

x

)0()0(2

)0(1 ,...,, nxxx

q

nixxxx nii 1),,1(|),...,,(| )0()0(

2)0(

1)0(

),...,,( 21 n

),1(1

|| )( niqq

х nkii

61

5-ma’ruza

NYuTON METODI

Reja: 1. Bitta sonli tenglama bo’lgan hol Nyuton metodi. 2. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar. 3. Karrali ildizlar uchun nyuton metodi.

Tayanch iboralar: iterasiya, xato, Teylor qatori, ketma-ket yaqinlashish.

Bitta sonli tenglama bo’lgan hol. Nyuton metodi sonli tenglamalarni yechishning juda ham effektiv metodidir. Bu metodning afzalligi shundan iboratki, hisoblash sxemasi murakkab bo’lmagan holda ketma-ket yaqinlashishlar ildizga tez yaqinlashadi. Nyuton metodi iterasiya metodi kabi universal metoddir. Bu metod yordamida sonli tenglamalarning haqiqiy va kompleks ildizlarini topish hamda keng sinfdagi chiziqli bo’lmagan funksional tenglamalarni yechish mumkin. Formal nuqtai nazardan qarlaganda Nyuton metodi iterasiya metodining xususiy holidir, aslida esa bu metodning asl g’oyasi iterasiya metodining g’oyasidan tamoman farqlidir. Bu metod chiziqli masalalarning ketma-ketligini yechishga olib keladi. Buning uchun berilgan tenglamadan uning bosh chiziqli qismi ajratib olinadi. Biz avval bita sonli tenglama uchun Nyuton metodini ko’rib chiqamiz. Faraz qilaylik, bizga

(5.1) tenglama va uning ildiziga dastlabki yaqinlashish qiymati berilgan bo’lsin. Bu yerda ni yetarlicha silliq funksiya deb olamiz. Odatdagidek, (1) tenglamaning aniq ildizini orqali belgilaymiz. Endi deb olib, funksiyaning nuqta atrofidagi Teylor qatori yoyilmasidagi dastlabki ikkita hadini olib nolga tenglashtirsak, ga nisbatan quyidagi

chiziqli tenglama ega bo’lamiz. Bu tenglamani yechib, xatoning taqribiy qiymatini topamiz:

. Bu tenglamani ga keltirib qo’yib, navbatdagi yaqinlashish

ni topamiz. Xuddi shunga o’xshash

0)( xf

0x)(xf

hx 0 )(xf 0х

hhxfxfhxf )()()(0 000

h

)()(

0

00 xf

xfh

hx 0

)()(

0

001 xf

xfxx

62

(5.2)

ketma-ket yaqinlashishlarni hosil qilamiz. Bu formulalar yordamida Nyuton ketma-ketligini hosil qilish uchun lar funksiyaning aniqlanish sohasida yotish va ular uchun bo’lishi kerak. Nyuton metodi judda ham sodda geometrik ma’noga ega. Haqiqattan ham,

funksiyani (5.3)

to’g’ri chiziq bilan almashtiramiz, bu to’g’ri chiziq esa nuqtada egri chiziqqa o’tkazilgan urinmadir (10-chizma). Bu urinmaning abssissa

o’qi bilan kesishgan nuqtasini bilan belgilasak, (5.3) dan (5.2) kelib chiqadi. Shuning uchun, Nyuton metodi urinmalar metodi deb ham yuritiladi. Nyuton metodini iterasiya metodidan keltirib chiqarish ham mumkin, buning uchun (5.1) tenglamaning kanonik ko’rinishida

deb olish kifoyadir. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar. Biz yuqorida aytganimizdek, Nyuton metodidan umumiy ko’rinishdagi funksional tenglamalarni yechishda ham foydalanish mumkin. Bunday tadqiqotlar L.V.Kantorovich tomonidan olib borilgan. Quyida keltirilgan teoremalar ham L.V.Kantorovichga tegishlidir. Bu teoremalarni isbotlashda

(5.4)

10 - chizma

.)..,1,0()()(

1

nxfxfxx

n

nnn

nx )(xf

0)( nxf

)(xfy

))(()( nnn xxxfxfy

))(,( nnn xfxM)(xfy

1nx

)(xx

)()()(

xfxfxx

0)( 2 cbtattP

63

kvadrat tenglama uchun tuzilgan Nyuton ketma-ketligining yaqinlashishi muhim ahamiyatga egadir, bu yerda lar haqiqiy sonlar bo’lib, . Bu tenglama haqiqiy ildizlarga ega. Ularning kichigini va kattasini bilan belgilab

olamiz (11-chizma). Dastlabki yaqinlashish sifatida ixtiyoriy ni olamiz. Chizmada ko’rinib turibdiki, da yotsa, hisoblashning bir qadamidan keyin u bu oraliqdan chiqib ketadi va bu oraliqdan tashqarida yotsa, N’yutonning ketma-ketligi ga yaqin ildizga monoton yaqinlashadi.

11 - chizma

1-teorema. Agar va daslabki qiymat quyidagi shartlarni qanoatlantirsa;

1. va ; (5.5)

2. (5.6)

tengsizlik o’rinli bo’lsa; 1. funksiya

(5.7) oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega va bu oraliqning barcha nuqtalarida

(5.8) bo’lsa;

}{ nt

cba ,, 042 cabt t

abt

20

),(0 ttt

0t nt

0t

)(xf 0x

)(xf

|| 0xx)(xf

Kxf |)(|

64

4. sonlar uchun

(5.9) shart bajarilsa;

5. hamda

(5.10) tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda:

1) (5.1) tenglama (5.7) oraliqda yechimga ega bo’ladi;

2) (5.11) ketma-ket yaqinlashishlarni ko’rish mumkin va ular ga yaqinlashadi:

; 3) yaqinlashish tezligi uchun

(5.12) baho o’rinli bo’lib, bu yerda esa

(5.13) kvadrat tenglamaning kichik ildizi uchun dan boshlab qurilgan Nyuton ketma-ketligining - elementidir:

.

Isbot. (5.9) shartga ko’ra bo’lganligi uchun ko’phadning

diskriminanti manfiy emas, shuning uchun ham tenglamning har ikkala ildizi haqiqiy va osonlik bilan ko’rish mumkin, ular musbatdir. Dastlabki yaqinlashish (5.13) tenglamaning kichik ildizi

ga yaqin turganligi uchun ketma-ketligi ga yaqinlashadi vash u bilan birga bo’ladi. Induksiya metodini qo’llab, ketma-ketlikni qurish mumkinligini, uning barcha elementlarining (5.7) oraliqda yotishini va

,, KB

21

BKh

nh211

.)..,1,0()()(

1

nxfxfxx

n

nnn

nn

xlim

nn ttx ||

nt

02

)( 2 BB

ttKtP

t 00 tn

)()(

1n

nnn tP

tPtt

210 h )(tP

22

212141

Bh

BK

B

0t

h

ht 211

...),2,1,0( ntnt

...210 ttt

}{ nx

nnnn ttxx 11 ||

65

baho o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. Avval holni ko’raylik, (5.7) oraliqda

yotganligi va bo’lganligi uchun ni topamiz. bo’lganda

kasrning da yotishi ko’rinib turibdi. Demak, (10) ga ko’ra

, ya’ni (5.7) oraliqda yotadi. Shartga ko’ra

va bo’lganligi uchun, (5.12) tengsizlik uchun o’rinlidir. Faraz qilayliq, lar qurilgan bo’lib, (5.7) oraliqda yotsin va ular uchun

(5.15) tengsizliklar bajarilsin. Farazga ko’ra, (5.7) da yotadi va ma’noga ega. Faqat ekanligini ko’rsatish kerak. 11-chizmadan ko’rinib turibdiki, . Buni nazarda tutib quyidagi

munosabatlardan ni hosil qilamiz. Endi ni baholaymiz. Buning uchun ning atrofidagi Teylor qatori yoyilmasidan foydalanamiz:

Bunda esa, (5.11) ga ko’ra

Endi (5.8) va induksiya sharti (5.15) dan

(5.16)

0n 0x

0)( 0 xf )()(

0

001 xf

xfxx

210 h

hhh

2112211

]2,1(

h

hxfxfxx 211

)()(

||0

001

1x 00 t

010

001 ,1)(

)( tt

B

BtPtPtt

|| 01 xx 0n

nxxx ,...,, 10

)1,...,1,0(|| 11 nkttxx kkkk

nx )(),( nn xfxf 0)( nxf

0)( ntP

)(1)(1

|)(...)()(|1

|)(...)()(|1

||1|)()(||)(|

0

01211

01211

00

0

nnn

nnnn

nnnn

n

x

xn

tPtKB

ttKB

ttttttKB

xxxxxxKB

xxKB

dttfxfxfn

0)(|)(| nn tPxf

)( nxf )( nxf 1nx

.,))((21)()()()( 1

21111 nnnnnnnnn xxcxxcfxfxxxfxf

.))((21)( 2

1 nnn xxcfxf

21

21 )(

2)(

2|)(| nnnnn ttKxxKxf

66

kelib chiqadi. Shunga o’xshash hisoblashlarni uchun bajarsak:

(5.17) hosil bo’ladi. (5.16)-(5.17) lardan

tengsizlik kelib chiqadi. Demak,

, ya’ni (5.15) baho uchun o’rinli ekanligini ko’ramiz. Endi faqat ning (5.7) oraliqda yotishligini ko’rsatsak kifoya. Bu esa quyidagi tengsizliklardan kelib chiqadi:

ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lganligi uchun u fundamental ketma-ketlikni

tashkil etadi. ketma-ketlikning fundamentalligi quyidagi

tengsizlikdan kelib chiqadi. Demak, ketma-ketlikning limiti mavjud, bu limitni

orqali belgilaymiz: . Agar tengsizlikda limitga o’tsak, ning ga intilishi tezligi uchun (5.12) bahoga ega bo’lamiz.

Nihoyat, (5.11) tengsizlikda da limitga o’tib, ni hosil qilamiz, bundan esa ning chegaralanganligini hisobga olsak, kelib chiqadi. Shunday qilib, teorema to’la isbot bo’ldi. Izoh. Teoremadagi (5.12) baho aniq bahodir, chunki u (5.13) kvadrat tenglama

uchun aniq tenglikka aylanadi. Yuqoridagi (5.12) bahodan foydalanish uchun tenglamaning yechimini topi shva bu tenglama uchun Nyuton ketma-ketligini qurish kerak. Qulaylik uchun kvadrat tenglamada deb olib, yangi o’zgaruvchini kiritamiz. Natijada

bo’ladi. Endi

(5.18) kvadrat tenglama uchun Nyuton ketma-ketligini tuzamiz: ,

)( ntP

21

21 )(

2))((

21)( nnnnn ttKttcPtP

)(|)(| nn tPxf

nnn

n

n

nnn tt

xPxP

xfxfxx

11 )(

)()()(||

1 nk 1nx

.211

)(...)(|)(...)(|||

101

0110111

hhtttt

ttttxxxxxx

nn

nnnnnn

}{ nt

}{ nx

npnnnpnpn

nnpnpnnpn

ttttttxxxxxx

)(...)(

|)(...)(|||

11

11

}{ nx

nnx

lim

npnnpn ttxx || p

nx

n )()(

ff

)(f 0)( f

0)( tP0)( tP

}{ ntt

1

21)( 2 h

BP

0121)( 2 h

00

67

. (5.19)

Bu tenglamaning kichik ildizi bo’lib, ketma-ketlik unga yaqinlashadi. Osongina ko’rish mumkinki . 2-teorema. Agar 1-teoremaning shartlari bajarilsa, ayirma uchun

baho o’rinlidir. Isbot. ning ta’rifidan kelib chiqadigan

tenglikni nazarda tutib, Teylor formulasidan

(5.20) ni hosil qilamiz. Bundan tashqari

(5.21) tengliklarga ega bo’lamiz. Endi lar uchun

va (5.22) ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun induksiya metodidan foydalanamiz. va

bo’lganligi sababli uchun (5.22) o’rinlidir. Endi faraz qilaylik, uchun

bajarilsin. U holda ekanligini nazarda tutib, (5.21) dan

va

larni hosil qilamiz. So’ngra (5.19) va dan

kelib chiqadi. Teylor formulasidan esa

larga ega bo’lamiz. Demak,

.

...),2,1,0()()(

1

nn

nnn

hh211

}{ n

nnt

nx

121 )2(

21||

n

hxn

n

0)()()( 111 nnnn

)()()()( 111 nnnnn

21

21 )(

2))((

21

nnnnh

2111 )(

121

)()(

,1)(

nnnn

nnnn h

hh

...,2,1n

)21(2 nn

nnn

11 2

00

11 1nnk ,...,2,1

kkk

kk

11 2),21(2

210 h

nn

n

nnn

nn hh

hh

2

)21(212

21)(

121

1

232

11

)21(22)21(2)( 111

nnn

nnnn

0)(

)()()1()()(

1)()(

1111

11

nnnn

nnn

1)(

,)(21))(~(

21)()()()(

11

21

21111

nn

nnnnn

h

h

1

21

1)(

2

n

nn h

h

68

(22) tengsizlikka ko’ra

. Shuning uchun ham

. (5.23)

Bu tengsizlikni lar uchun ketma-ket qo’llaymiz. Yuqorida ekanligini aytib o’tgan edik, shuning uchun ham (5.23) dan bo’lganda

kelib chiqadi, bo’lganda esa

. Bu baholashlarni davom ettirib, - qadamda

ga ega bo’lamiz. Shu bilan teorema isbot bo’ladi, chunki

. Izoh. Bu teoremadan ko’ramizki, bo’lganda juda tez nolga intiladi, qo’pol qilib aytganda dan ga o’tganda xato o’zining kvadratiga o’zgaradi, ya’ni yaqinlashish kvadratik qonunga bo’ysunadi. Amalda qo’llashga qulay bo’lsin uchun ning va ga bog’liq bo’lga

valini tuzish mumkin. Bundan jadval quyida (1-jadval) va lar uchun keltirilgan.

1-jadval

0 1 2 3 4 5

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

1,026 1,056 1,089 1,127 1,172 1,225 1,292 1,382 1,519

2

2,63∙10-2 5,57∙10-2 8,89∙10-2 1,27∙10-1 7,20∙10-1 2,25∙10-1 2,92∙10-1 3,82∙10-1 5,19∙10-1

1

1,83∙10-5 1,73∙10-4 6,98∙10-4 2,02∙10-3 4,91∙10-3 1,09∙10-2 2,30∙10-2 4,96∙10-2 1,10∙10-1 5,00∙10-1

8,77∙10-12 1,66∙10-9 4,66∙10-8 5,25∙10-7 4,25∙10-6 2,78∙10-5 1,66∙10-4 1,01∙10-3 7,49∙10-3 2,50∙10-1

2,03∙10-24 1,55∙10-19 1,77∙10-16 3,56∙10-14 3,19∙10-12 1,84∙10-10 8,85∙10-9 4,59∙10-7 3,95∙10-5 1,25∙10-1

1,80∙10-24 8,02∙10-21 2,50∙10-17 9,42∙10-14 1,11∙10-9 6,25∙10-2

nnnh 111 2)21(2

2111

21

2 )(2 n

nn h

...,2,1n 2211

hh

1nhh 2)(2 2

01

1 2n

32212 )2(

21)2()( hhhh

n12

1 )2(2

1

n

hnn

121 )2(

21)(||

n

htttxx nnnn

12 h n

n 1n

n n h

210 h 5,1n

nh

69

3-teorema (ildizning yagonaligi haqida). Faraz qilaylik, funksiya uchun

1-teoremaning shartlari bajarilsin. Agar bo’lsa, u holda tenglama

. (5.24)

oraliqda yagona yechimga ega bo’ladi. Agar bo’lsa, yechim (5.25)

oraliqda yagona bo’ladi. Isbot. 1-teoremaning shartlari bajarilganligi uchun tenglam (5.24) oraliqda yechimga ega (chunki (5.24) oraliq (5.7) oraliqning qismidir). Biz bu yerda tenglamning har qanday boshqa yechimi bilan ustma-ust

tushishini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, bo’lsin. Bu holda (5.13) kvadrat tenglama ikkita har xil va ildizlarga ega. Endi (1) tenglamaning (5.7) oraliqdagi biror ildizi bo’lsin. (5.24) tengsizlikka ko’ra

(5.26) bo’ladi. bo’lganligi uchun

. Teylor formulasiga ko’ra

. 1-teoremani isbot qilish jarayonida hosil bo’lgan tengsizlikni nazarda tutib, (8) va (25) dan quyidagiga ega bo’lamiz:

. Osonlik bilan ko’rish mumkinki,

. Bundan esa,

. Buni oldingi tengsizlikka qo’yib, kerakli bahoni chiqaramiz:

(5.27) tengsizlikka ega bo’lamiz. Bundan miqdor ga bog’liq bulganligi sababli

. Endi munosabatdan kelib chiqadi.

)(xf

21

h 0)( xf

h

htxx 211|| 0

21

h

2|| 0 txx

0)( xf

0)( xf ~

21

h

t t

)10(|~| 0 tx

0)~( f

)]~)(()()~([)(

1~000

01 xxfxff

xfx

)),~(()~(2

)()(

1~0

20

01 xcxcf

xfx

|)()(| tPxf n

22

0

20

01 |)(|2

|~|21

|)(|1|~|

t

tPKxK

xfx

)())((21)( 000

2 tPtttPtKtP

tttPtPtttPtttPtP

tPtK

tP 10

00000

0

2

0 )()(

)]()()()([)(

1)(2

1

tttxnn

n22

1 )(|~|

1 n

~nx 0|||~||~|

nnn xx

~

70

Agar bo’lsa, u holda (5.25) tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, ning har ikkala ildizi ustma-ust tushadi: va . Shuning uchun ham,

(5.27) tengsizlikdan biz yana ga ega bo’lamiz. Shu bilan teorema isbotlandi. Misol. tenglamaning musbat ildizi aniqlik bilan topilsin. Yechish. va bo’lganligi uchun dastlabki yaqinlashish

sifatida shu oraliqning o’rtasini olamiz: . Bu nuqtada

Demak, va deb olishimiz mumkin, bo’lganda,

bo’ladi, shuning uchun deb olib ni oraliqda baholaymiz. Osonlik bilan ko’rish mumkinki, oraliqda

monoton o’suvchi funksiya, shuning uchun ham ni nuqtada hisoblaydi: . Demak, deb olishimiz mumkin,

. Bundan ko’ramizki, 3-teoremaning hamma shartlari bajariladi, ya’ni qaralayotgan oraliqda yagona yechim mavjud va ketma-ketlik bu yechimga yaqinlashadi. Xatoni baholash uchun 1-jadvaldan foydalanamiz, bo’lganda bo’lgani uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, uchinchi qadamda ildizni hatto 12 xona aniqlik bilan topgan bo’lamiz. Bizga 8 xona aniqlik yetarli edi, bu aniqlikka erishish uchun

deb olish kifoyadir. uchun 1-jadvalda ning qiymati ko’rsatilmagan, shuning uchun ham biz 2-teoremadan foydalanamiz:

. Hisoblash natijasida quyidagi qiumatlarga ega bo’lamiz:

Karrali ildizlar uchun nyuton metodi.

Nyuton metodi tenglamalarni yechish metodlari orasida eng dastlabkilaridan biridir. Shuning uchun ham yaqinlashish tezligini ortirish yoki hisoblashlarni

21

h )(,1 tP tt

ttn

0|~| nx

0151224)( 234 xxxxxf 810

9375,0)5,1( f 1)2( f

0x 75,10 х

.272,0)75,1(

1

;02939629,0)75,1()75,1(;68725,3)75,1(;10859375,0)75,1(

f

ffff

0294,0 272,0B 210 h

22111

h

h 2 )(xf 2|75,1| x

8088,16912,1 x

42412)( 2 xxxf )(xf 81,1x1468,0)81,1( f 147,0K

05,000118,0 BKh

nx05,0h

113 10877,0

12113 103,010877,00294,0|| x

3n 0012,0h 2

1012122 101,20294,0)0012,02(

21||

2 x

.732050807,1

;732050807,1;732020918,1)72060371,1()72060371,1(72060371,1

;72060371,102939629,075,1)75,1()75,1(75,1;75,1

32

1

x

xffx

ffxx

71

soddalashtirish maqsadida bu metodni o’zgartirish yo’lida juda ko’p urinishlar bo’lgan. Shularning ayirmalariga to’xtalib o’tamiz. Shu vaqtgacha ketma-ket yaqinlashishlar yotgan oraliqda deb faraz qilingan edi, bundan tashqari , ya’ni tub ildiz bo’lgan hol qaralgan edi. 1870 yil E.Shreder ildiz -karrali bo’lgan holni ko’rib chiqdi. Biz hozir anna shu hollarni ko’rib chiqamiz. Biz avval bo’lganda Nyuton ketma-ketligi yaqinlashishining sekinlashishini, so’ngra bu ketma-ketlikni kerakli ravishda o’zgartirilganda uning tez yaqinlashishini ko’rsatamiz. ning -karrali ildizi bo’lgani uchun, yechim atrofidagi ning Teylor qatoridagi yoyilmasi quyidagicha bo’ladi:

,

. (5.28) Faraz qilaylik, lar ga yaqin bo’lsin, u holda kichik miqdor bo’ladi. Nyuton qoidasidan bilan orasidagi munosabatni chiqaramiz:

. (5.29) (28) yoyilmada faqat ikkita bosh hadlarini saqlab, quyidagilarni hosil qilamiz:

Oxirgi tenglikni (29) ga olib borib qo’yamiz:

Bunda faqat shuni ko’rsatadiki, taqriban maxraji ga teng bo’lgan geometrik progressiya qonuni bo’yicha kamayadi. Buni bo’lgan hol Bilan solishtirib ko’rsak, bo’lganda yaqinlashish tezligining sustlashishini ko’ramiz. Haqiqatan ham,

tenglikdan va (29) dan

(5.30) ni hosil qilamiz, bunda ni yetarlicha kichik deb olib, bilan orasidagi

nx 0)( xf0)( f

p1p

)(xf p )(xf

)()(...)()()( 11 xRxcxcxcxf m

mm

pp

pp

),...,1,(!

)()(

mppkk

fck

k

nх nn x

n 1n

)()(

1n

nnn f

f

....1)()(

,...)1(1)1()(

1

...],)1([)1()(

...],[)1()(

1

11

1

111

11

np

pn

n

n

npp

pnp

p

n

pnp

pnp

pn

pnp

pnp

pn

cc

pff

cpcp

cpf

cpcpf

ccf

...11 22

11

np

pnn cp

cp

n pq 11

0)( f1p

)10()(2

)()()(02

nn

nnn ffff

21 )(

)(21

nn

nn f

f

n 1n n

72

(5.31) munosabatni hosil qilamiz. Bu yerda kvadratik qonun bilan kamayadi. bo’lganda yaqinlashish tezligini orttirish uchun Nyuton qoidasini

(5.32) ga almashtiramiz. U holda (30) dan bilan orasidagi quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:

. (5.33) Bundan ko’ramizki, ildiz karrali bo’lganda (5.33) qoida uchun yaqinlashish taqriban Nyuton qoidasining yaqinlashishiga teng.

Mustaqil ishlash uchun savollar 1. Nyuton metodining asosiy g’oyasi. 2. Nyuton metodining geometrik ma’nosi. 3. O’zgartirilgan Nyuton metodi. 4. Nyuton metodining yaqinlashishi. 5. Yaqinlashish tezligini baholash.

21 )(

)(21

nn ff

n 1p

)()(

1n

nnn xf

xfpxх

1n n

2)(

)1(21

1 )()1()(

np

p

np

pn fpp

fpcc

p

73

6-ma’ruza

MODIFIKASIYaLANGAN NYuTON METODI. TENGLAMALAR SISTEMASI UChUN NYuTON METODI

Reja:

1. Modifikasiyalangan Nyuton metodi. 2. Vatarlar metodi. 3. Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi

Tayanch iboralar: Sistema, boshlang’ich yaqinlashish, xato, bosh qism, Teylor formulasi, Yakobi matrisasi.

Modifikasiyalangan Nyuton metodi. Agar ning hosilasi juda murakkab funksiya bo’lib, ni hisoblash katta qiyinchiliklar tug’dirsa, u vaqtda Nyuton metodining quyidagi modifikasiyasi ishlatiladi:

. (6.1)

12 - chizma.

)(xf

)( nхf

...),2,1,0(,,)()(

000

1

nxxxfxfxx n

nn

Bu qoida bo’yicha hisoblash ancha qulay, chunki faqat bir marta hisoblanadi. Lekin modifikasiyalangan metod Nyutonning asosiy metodiga nisbatan sekin yaqinlashadi. Modifikasiyalangan metodning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: taqribiy yaqinlashish bu

nuqtadan o’tuvchi va burchak koeffisiyenti ga teng bo’lgan to’g’ri chiziqning o’qi bilan kesishgan nuqtasidir.

)(хf

1nx

))(,( nn xfx

)( 0xf

OX

74

Bu to’g’ri chiziq faqat birinchi qadamdagina egri chiziqqa o’tkazilgan urinma bilan ustma-ust tushadi (12-chizma). Bu yerda ham yaqinlashish haqidagi teoremani isbot qilish mumkin. 4-teorema. Agar funksiya va dastlabki yaqinlashish 1-teorema (5-ma’ruzadagi 1-teorema) shartlarini qanoatlantirsa, u holda

ketma-ket yaqinlashishlar (5.1) tenglamaning ildizga yaqinlashadi, shu bilan birga xato uchun quyidagi baho o’rinli bo’ladi: (6.2) bu yerda (5.13) kvadrat tenglama uchun qurilgan Nyutonning modifikasiyalangan ketma-ketligi, esa (5.13) tenglamaning kichik musbat ildizi. Bu yerdagi (6.2) baho yuzaki qaralganda 1-teoremadagi (5.12) bahoga o’xshash, lekin uning nolga intilish tezligi ancha sekindir. Biz hozir ana shu bahoni

keltiramiz. Faraz qilaylik, bo’lsin. (5.13) tenglamadan ko’rinadiki, aniq yechim

bo’lib, va ketma-ket yaqinlashishlar

tenglik bilan bog’langan. Bu tengliklardan

ni topamiz, bo’lganligi sababli

. Bu tengsizlikni ketma-ket qo’llab, ga ega bo’lamiz, bu yerda

. Oxirgi baho shuni ko’rsatadiki, ketma-ketlik ga cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya tezligida intilar ekan.

Vatarlar metodi. Endi Nyuton metodidagi hisoblashlarni soddalashtirishning yana bir usulini ko’ramiz. Nyuton metodida mehnatning asosiy qismi va larni hisoblash uchun sarflanadi. Shularning birortasi, masalan, ni hisoblashdan qutulish mumkin emasmikin degan savol tug’iladi. Bu bizni vatarlar usuliga olib keladi, ya’ni agar ni taqribiy ravishda almashtirsak:

, u holda navbatdagi yaqinlashishni topish qoidasi quyidagicha bo’ladi:

)(xfy

)(xf 0x

...),2,1,0(,)()(

000

1

nxxxfxfxх n

nn

nt tt ,00

21

h

2

21 BKtt

}{ 1nt }{ nt

21 2

1)0()(

nn

nn tBKP

tPtt

))((21)(

21 22

1

ttttBKttBKtt nnnn

h

httn211

))(211()(1 nnn tthtttBKtt

)( ttqtt nn

1211 hq }{ nt t

)( nxf )( nxf

)( nxf

)( nxf

1

1)()()(

nn

nnn xx

xfxfxf

75

. Bu qoidaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: funksiyaning grafigida ikkita va nuqtalardan vatar o’tkazamiz. Vatar tenglamasi esa quyidagicha:

. Agar bu vatarning o’qi bilan kesishgan nuqtasini deb olsak, (6.3) qoida kelib chiqadi. Vatarlar metodi ikki qadamli metod bo’lib ni topish uchun va ni bilishimiz kerak. (6.3) qoidani qo’llash uchun:

1) barcha lar ning aniqlanish sohasida yotishi va 2) shartlar bajarilishi kerak.

Avval bo’lgan holni ko’rib chiqaylik, bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin: a) va b) . Agar bo’lsa,

tenglikdan ligini ko’ramiz. Shuning uchun ham va navbatdagi

yaqinlashishni qurish mumkin bo’lmaydi. Prosess shu yerda uziladi va yechimga olib kelmaydi. Agar bo’lsa, larni qurish mumkin, lar o’zaro farqli va deb hisoblaymiz. (6.4) tenglikdan ko’ramizki, va berilgan tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi. Bu holda ketma-ket yaqinlashishlarni gacha bajarish qiymatlar berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi. Ildiz rasional son bo’lganda, shunday hol bo’lishi mumkin. Endi biz yuqoridagi 1), 2) shartlar bajarilgan deb faraz qilib, vatarlar metodining yaqinlashishiga to’xtab o’tamiz. Xato uchun (6.3) ni

munosabatni chiqaramiz. Agar biz bu yerda va larning xatolar darajalariga nisbatan yoyilmalari

)()())((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

)(xfy

)](,[ 111 nnn xfxM )](,[ nnn xfxM

)()()(

11

nn

n

nn

n

xfxfxfy

xxxx

OX 1nx

1nx 1nx nx

nx )(xf

...),2,1(0)()( 1 nxfxf nn

0)()( 1 nn xfxf

1 nn xx 1 nn xx

1 nn xx

)()())((

21

2111

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

0)( 1 nxf 0)( nxf

)()())((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

1 nn xx nn xxxx ,,...,, 110 110 ...,,, nxxx

0)()( 1 kk xfxf )1,1( nk

0)( 1 nxf 1nx

nx

nn x

)()())((

1

11

nn

nnnnn ff

)( nf )( 1 nf

76

ni qo’yib, tegishli amallarni bajarsak, quyidagi taqribiy

(6.5) tenglikka ega bo’lamiz. Agar bu tenglikni Nyuton metodi uchun chiqarilgan (31) tenglik bilan solishtirsak, vatarlar metodida xatoning o’zgarish qonuni Nyuton qoidasidagi qonunga yaqinligini ko’ramiz. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi 1-teoremaga o’xshash quyidagi teorema ham o’rinlidir. 5-teorema. Agar funksiya va dastlabki yaqinlashish 1-teorema (5-ma’ruzadagi 1-teorema) shartlarini qanoatlantirsa va bundan tashqari uchun

va tengsizliklar bajarilsa, u hoda:

1) (6.3) qoida bilan aniqlangan yaqinlashishlar chekli qadamdan keyin yechiga olib keladi, yoki larni barcha lar uchun qurish mumkin bo’lib, ular yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tashkil etadi

; 2) limitdagi qiymat tenglamaning yechimi bo’ladi; 3) yaqinlashish tezligi tengsizlik bilan baholanadi, bu yerda

(5.13) tenglamaning kichik ildizi uchun va dan boshlab vatarlar usuli bilan qurilgan ketma-ket yaqinlashishlardir.

Endi bu metodni misol yechishga tadbiq qilamiz. Misol.

tenglamaning musbat ildizi aniqlik bilan topilsin. Yechish. Biz yuqorida ko’rgan edikki, izlayotgan ildiz (1,5; 1,75) oraliqda yotadi va nuqtaning yaqin atrofida 5-teoremaning barcha shartlari bajariladi. Bu yerda deb olamiz. U vaqtda va ekanligini ko’rsatish mumkin. Shunday qilib, 5-teoremaning hamma shartlari bajariladi. Demak, ketma-ketlik

ildizga intiladi. (36) qoidaga asosan ni topamiz:

. Yana uchta yaqinlashishlari quyidagidan iborat:

.

...)(21)()(

...,)(21)()(

2111

2

nnn

nnn

fff

fff

nnn ff

11 )(

)(21

)(xf 0x

1x

th

hxx 211|| 01 )()||(|)(| 1011 tPxxPxf

nx

nx n

nn

xlim

0)( xf

nn ttx || nt

00 t || 011 xxt

0151224)( 234 xxxxxf610

75,10 x

72,11 x 588,0203,0|| 01 xx )03,0()72,1( Pf

}{ nx

2x

7188829,1)75,1()72,1()75,172,1)(72,1(75,12

ff

fx

7320508,1;7320508,1;7320622,1 543 xxx

77

Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi. Bu yerda ta noma’lumli ta

(6.6) tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton metodini ko’rib chiqamiz. Yozuvni qisqaroq qilish maqsadida orqali vektorni va orqali

vektor-funksiyani belgilaymiz. U holda, (6.6) sistemani bitta

vektor-tenglama shaklida yozish mumkin. (6.6) sistemasini yechish uchun Nyuton metodi, tabiiyki bitta sonli tenglama uchun yuqorida ko’rib o’tilgan metodning umumlashganidir. Yuqoridagidek bu yerda ham metodning asosiy g’oyasi chiziqli bo’lmagan (6.6) sistemani ketma-ket chiziqli sistemaga keltirishdan iboratdir. Agar aniq yechim Bilan taqribiy yechim orasidagi xato yetarlicha kichik bo’lsa, ajratib olingan qism tenglamalar sistemasining bosh qismi bo’ladi. Faraz qilaylik, bizga (6.6) sistemaning taqribiy yechimi ma’lum bo’lsin, oraqali vektor xatoni belgilaymiz. (6.6) sistemada o’rniga ni qo’yib, hosil bo’lgan sistemaning chap tomonini larning darajalariga nisbatan Teylor qatoriga yoyib, ga nisbatan chiziqli qismini saqlab, quyidagi taqribiy sistemaga ega bo’lamiz:

(6.7) Bu sistemani yechib, xatoning taqribiy qiymati ni topamiz. ni ga qo’shib, navbatdagi yaqinlashish vektorini hosil qilamiz:

. O’z navbatida ni yaxshilashimiz mumkin, buning uchun o’rniga ni qo’yib, (6.7) ko’rinishdagi sistemani tuzish kerak. Shunday qilib, agar (6.7) ko’rinishdagi sistemalar yechimga ega bo’lsa, biz ketma-ket yaqinlashishlar vektorlarini topamiz. Qulaylik uchun Yakobi matrisasini kiritamiz:

n nxxx ,...,, 21

n

0),...,,(........................

,0),...,,(,0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

x ),...,,( 21 nxxxx )(xf

)),...,,(,...),,...,,(()( 21211 nnn xxxfxxxfxf

0)( xf

),...,,( )0()0(2

)0(1

)0(nxxxx

),...,,( 21 n ),...,,( )0()0(22

)0(11

)0(nn xxxx

х )0(x

n ,...,, 21

n ,...,, 21

).()(...)(

...........................................

),()(...)(

)0()0(

11

)0(

)0(1

)0(1

11

)0(1

xfxxf

xxf

xfxxf

xxf

nnn

nn

nn

),...,,( )0()0(2

)0(1

)0(n )0(

)0(x),...,( )0()0()0(

1)0(

1)0()0()1(

nnxxxх )1(х )0(х )1(х

78

(6.8) Bu matrisa yordamida (40) sistemani quyidagi bitta vektor-sistema shaklida yozishimiz mumkin:

. Faraz qilaylik, nuqtada maxsusmas matrisa bo’lsin. Determinant o’z elementlarining uzluksiz funksiyalari bo’lganligi uchun nuqtaning biror atrofida (6.7) maxsusmas matrisa bo’lib, uning teskarisi mavjud bo’ladi. Faraz qilaylik, , u vaqtda (6.8) ning har ikkala tomonini ga ko’paytirib,

yoki

ni hosil qilamiz. Agar lar atrofida yotsa, u holda ni

(6.9) tenglikdan topamiz. Bu ketma-ket yaqinlashishlarni topish uchun Nyuton qoidasidir. Bu qoidaning amalga oshishi uchun lar ning aniqlanish sohasida yotishi va matrisalar maxsusmas bo’lishi kerak. Biz hozir L.V.Kantarovichning (6.9) Nyuton jarayonining yaqinlashishi haqidagi teoremasini isbotsiz keltiramiz. 6-teorema. Agar vektor-funksiya va dastlabki yaqinlashish vektori quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:

1) nuqtada Yakobi matrisasining determinanti

noldan farqli va elementning algebraik to’ldiruvchisi bo’lib va

baho o’rinli bo’lsa;

2) 3) ning

atrofidagi barcha nuqtalar uchun

tengsizliklar bajarilsa;

.

)(...)(

......................

)(...)(

)()0(

1

)0(

)0(1

1

)0(1

n

nn

n

x

xxf

xxf

xxf

xxf

xf

)()( )0()0()0( xfxf x

х )(хfx G

)(1 xf x

Gx )0( )( )0(1 xf x

)()( )0()0(1)0( xfxf x

)()( )0()0(1)0()1( xfxfxх x

)()2()1( ,...,, kxxx G )1( kх)()( )()(1)()1( kk

xkk xfxfxx

)(kx...),2,1,0()( kx k )(хf

)( )(kx xf

)(xf )0(x

)0(x )( )0(xf х ))(( )0(xf х

k

i

хf

jk

),1(||||

11

nkBn

jjk

;),1(|)(| )0(1 nixf )0(х

),1(2|| )0(1 niBxх i

n

k

n

j nj

i niLxxxf

1 1

2

),1()(

79

4) miqdorlar

shartni qanoatlantirsa, u holda nuqtaning

atrofida (6.6) sistema yagona yechimga ega bo’lib, (6.9) bilan aniqlangan Nyuton ketma-ketligi yaqinlashadi va shu bilan birga, yaqinlashish tezligi

tengsizlik bilan baholanadi. Shunga o’xshash teoremani Nyutonning modifikasiyalangan metodi uchun ta’riflash va isbot qilish mumkin. Shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki, (6.7) sistemada tenglamalar soni ikkita bo’lganda bu sistemani determinatlar yordamida yechish kerak. Tenglamaning soni ikkitadan ko’p bo’lsa, bunday sistemalarni keyingi bobda keltiriladigan metodlarning birortasi bilan yechish ma’quldir. Agar bizga ikkita

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsa, u hoda (6.9) qoida quyidagicha yoziladi:

Misol. Quyidagi

sistemaning ildizi aniqlik bilan topilsin. Bu funksiyalarning grafiklarini chizib ko’rsatish mumkinki, va mos ravishda va oraliqda yotadi. Shuning uchun ham va deb olishimiz mumkin. Berilgan funksiyalarning hosilalari quyidagilardan iborat:

. Hisoblashlar natijalarini keltiramiz:

LB ,,

212 LBh

)0(х

),1(211|| )0( niBh

hxx ii

),...,,( 21 n

),...,,( )()(2

)(1

)( kn

kkk xxxx

Bhxk

kik

ini

121

)(

1)2(

21||max

0),(,0),(

yxgyxf

.,

.)..,2,1,0(,

1

1

k

k

xyyx

xxkk

k

k

xyyx

yykk

yyxx

gfgffggfyy

kyyxx

gfgfgffg

xх

0425),(,012),(

23

23

xyxyyxgyxxxf

510

)6,0;7,0( )8,0;7,0(

6,0)0( х 8,0)0( y

xygyxgyfxf yxyx 215,22,4,3 22

80

Demak, va .


1. Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi. 2. Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 3. Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi.

.79809,0;64942,0;85296,10

;89502,2;19234,3;26525,1;00001,0

;00001,0;79809,0;64942,0;84663,10

;89046,2;19038,3;27583,1;00254,0;00502,0

;79760,0;65213,0;8,10;8,2;2,3

;08,1;12,0;064,0;8,0;6,0

)3()3()2(

)2()2()2()2(

)2()2()2()1(

)1()1()1()1()1(

)1()1()0()0()0(

)0()0()0()0()0(

yxg

gffg

fyxg

gffgf

yxggffgfyx

y

xyxy

y

xyx

yxy

x

64942,0 79809,0

81

7-ma’ruza

NOMA’LUMLARNI YO’QOTISh. GAUSS METODI

Reja: 1. Gauss metodi. 2. Bosh elementlar metodi. 3. Optimal yo’qotish metodi. 4. Determinatni hisoblash. 5. Matrisalarning teskarisini topish.

Tayanch iboralar: oddiy va iterasion usullar, uchburchakli matrisa, to’g’ri va

teskari yo’l, Ermit matrisasi.

Optimal yo’qotish metodi o’z strukturasi jihatidan Gauss metodiga yaqin

bo’lishiga qaramasdan u mashina xotirasidan effektiv ravishda foydalanishga imkon beradi va shuning uchun ham bu metod yordamida tartibi ikki mart katta bo’lgan sistemani yechish mumkin.

Gauss metodi. Bu metod bir necha hisoblash sxemalariga ega. Shulardan biri Gaussning kompakt sxemasini ko’rib chiqamiz. Ushbu sistema berilgan bo’lsin:

(7.1) Faraz qilaylik, (yetakchi element) bo’lsin, aks holda tenglamalarning o’rinlarini almashtirib, oldidagi koeffisiyenti noldan farqli bo’lgan tenglamani birinchi o’ringa ko’chiramiz. Sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisiyentlarini ga bo’lib,

(7.2) ni hosil qilamiz, bu yerda

(2) tenglamadan foydalanib, (1) sistemaning qolgan tenglamalarida ni yo’qotish mumkin. Buning uchun (2) tenglamani ketma-ket larga ko’paytirib, mos ravishda sistemaning ikkinchi, uchinchi va h.k. tenglamalaridan ayiramiz. Natijada, quyidagi sistema hosil bo’ladi:

.,..................

,,...,,...

12211

122222121

111212111

nnnnnnn

nnn

nnn

axaxaxa

axaxaxaaxaxaxa

011 a

1х

11a)1(

1,1)1(

12)1(

121 ... nnn bxbxbx

).2(11

1)1(1 j

aa

b jj

1x...,, 3121 aa

82

(7.3)

bu yerda koeffisiyentlar

. formala yordamida hisoblanadi. Endi (7.3) sistema ustida ham shunga o’xshash almashtirishlar bajaramiz. Buning uchun (3) sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisiyentlarini yetakchi element ga bo’lib,

(7.4) ni hosil qilamiz, bu yerda

. (4) tenglama yordamida (3) sistemaning keyingi tenglamalarida yuqoridagidek

ni yo’qotib,

sistemaga kelamiz, bu yerda

. Noma’lumlarni yo’qotish jarayonini davom ettirib va bu jarayonni -qadamgacha bajarish mumkin deb faraz qilib, -qadamda quyidagi sistemaga ega bo’lamiz:

(7.5) bu yerda

. Faraz qilaylik, mumkin bo’lgan oxirgi qadamning nomeri bo’lsin. Ikki hol bo’lishi mumkin: yoki . Agar bo’lsa, u vaqtda biz uchburchak matrisali va (1) sistemaga ekvivalent bo’lgan quyidagi

(7.6)

..............

,...

)1(1,

)1(2

)1(2

)1(1,2

)1(22

)1(22

nnnnnn

nnn

axaxa

axaxa

)1(jia

)2,()1(11

)1( jibaaa jiijij

)1(22a

)2(1,2

)2(23

)2(232 ... nnn bxbxbx

)3()1(22

)1(2)2(

2 jaa

b jj

2x

)2(1,

)2(3

)2(3

)2(1,3

)2(33

)2(33

...............

...

nnnnnn

nnn

axaxa

axaxa

)3,(,)2(2

)1(2

)1()2( jibaaa jiijij

mm

,.................

,...

,...

)(1,

)(1

)(1,

)(1,

)(,11

)(1,1

)(1,

)(1

)(1,

mnnn

mnnm

mmn

mnmn

mnmm

mmm

mnmn

mmnm

mmmm

axaxa

axaxa

bxbxbx

)1,(, )()1()1()()(

)()( mjibaaa

aa

b mjm

mmi

mij

mijm

mm

mjmm

jm

mnm nm nm

)(1,

)2(1,2

)2(23

)2(232

)1(1,1

)1(13

)1(132

)1(121

..................

,...

,...

nnnn

nnn

nnn

bx

bxbxbx

bxbxbxbx

83

sistemaga ega bo’lamiz. Oxirgi sistemadan ketma-ket larni topish mumkin:

(7.7) (6) uchburchak sistemaning koeffisiyentlarini topish Gauss metodining to’g’ri yurishi, (7.7) sistemani topish jarayoni teskari yurishi deyiladi. Faraz qilaylik, bo’lsin va sistemanig - va undan keyingi tenglamalari (7.5) ko’rinishga keltirilgan bo’lsin. Biz - qadamni bajarilishi mumkin bo’lgan qadam deb hisoblagan Edik, bush uni bildiradiki (5) sistemaning ikkinchi tenglamasidan boshlab yetakchi elementni ajratish mumkin emas, barcha

lar nolga teng va (5) sistema quyidagi ko’rinishga ega

Agar bunda barcha ozod hadlar nolga teng bo’lsa, u holda biz faqat yagona birinchi tenglamaga ega bo’lamiz.

Barcha qadamdagi tenglamalarni birlashtirib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:

Bu sistemadan biz noma’lumlarni noma’lumlar va ozod hadlar yordamida ifodalab olishimiz mumkin. Bu holda (7.1) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Agar bo’lib, hyech bo’lmaganda birorta

bo’lsa, u holda (7.1) sistema yechimga ega bo’lmaydi. Qo’lda hisoblayotganda xatoga yo’l qo’ymaslik uchun, hisoblash jarayonini kontrol qilish ma’quldir. Buning uchun biz (7.1) matrisa satrlaridagi elementlar va ozod hadning yiqindisidan tuzilgan kontrol

(7.8) yig’indidan foydalanamiz. Agar larni (7.1) sistemaning ozod hadlari deb qabul qilsak, u holda almashtirilgan

11 ,...,, xxx nn

................

,

,

)1(12

)1(12

)1(1,11

)1(,1

)1(1,11

)(1,

nnn

nn

nnn

nnn

nnnn

xbxbbx

xbbx

bx

nm mm

),...,1,()( nmjia mij

.0

........

,0

,...

)(1,

)(1,1

)(1,

)(1

)(1,

mnn

mnm

mnmn

mmnm

mmmm

a

a

bxbxbx

),...,1()(1, nmia m

ni

....

..............

,...

,...

)(1,

)(1

)(1,

)2(1,2

)2(23

)2(232

)1(1,1

)1(13

)1(132

)1(121

mnmn

mmnm

mmmm

nnn

nnn

bxbxbx

bxbxbx

bxbxbxbx

mxxx ,...,, 21 nm xx ,...,1

nm

)1(0)(1, nima m

mi

),1(1

12, niaa

n

jijni

2, nia

84

(7.9) sistemaning yechimi (7.1) sistemaning yechimi oraliq quyidagicha ifodalanadi:

. (7.10) Haqiqatan ham, (7.10) ni (7.9) sistemaga qo’ysak, (7.1) sistema va (7.8) formulaga ko’ra

aytiyatga ega bo’lamiz. Agar satr elementlar ustida bajarilgan amallarni har bir satrdagi kontrol yig’indi ustida ham bajarsak va hisoblashlar xatosiz bajarilgan bo’lsa, u holda kontrol yig’indilardan tuzilgan ustunning har bir elementi mos ravishda almashtirilgan satrlar elementlarining yig’indisiga teng bo’ladi. Bu hol esa to’g’ri yurishni kontrol qilish uchun xizmat qiladi. Teskari yurishda esa, kontrol larni topish bilan bajaraladi. Tenglamalar sistemasi qo’lda yechilganda hisoblashlarni 1-jadvalda ko’rsatilgan Gaussning kompakt sxemasi bo’yicha olib borish ma’quldir. Soddalik uchun jadvalda to’rtta noma’lumli to’rtta tenglamalar sistemasini yechish sxemasi keltirilgan. Gauss metodi bilan ta noma’lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish uchun bajariladigan arifmetik amallarning miqdori quyidagidan iborat:

ta ko’paytirish va bo’lish, ta qo’shish. Misol. Gauss metodi bilan quyidagi sistema yechilsin;

(7.11) Sistemani yechish jarayoni 2-jadvalda keltirilgan.

1-jadval

Ozod

hadlar Sxema

qismlari

),1(2,1

niaxa ni

n

jjij

jx jx

),1(1 njxx jj

),1(2,1

1

11niaaaxa ni

n

j

n

jij

n

jijjij

jx

n

)3(31 23 nnn )532(

61 23 nnn

05,1218,06,16,14,234,0

2,336,12,42

4321

4321

321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxx

1x 2х 3х 4x

1...

41

31

21

11

aaaa

)1(12

42

32

22

12

...b

aaaa

)1(13

43

33

23

13

...b

aaaa

)1(14

44

34

24

14

...b

aaaa

)1(15

45

35

25

15

...b

aaaa

)1(16

46

36

26

16

...b

aaaa

А

85

2-jadval

Ozod

hadlar Sxema

qismlari

...

1...

)1(42

)1(32

)1(22

aaa

)2(23

)3(43

)1(33

)3(23

...b

aaa

)2(24

)1(44

)1(34

)1(24

...b

aaa

)2(25

)1(45

)1(35

)1(25

...b

aaa

)2(26

)1(46

)1(36

)1(26

...b

aaa

1A

... ...1

...

)2(43

)2(33

aa

)3(34

)2(44

)2(34

...b

aa

)3(35

)2(45

)2(35

...b

aa

)3(36

)2(46

)2(36

...b

aa

2A

... ... ...

1...

)3(44a

)4(45

)3(45

...b

a

)4(46

)3(46

...b

a

3A

11

11

1

2

3

4

xxxx

1

2

3

4

xxxx

B

1x 2х 3х 4x

1...16,14,0

2

1,2...

28,0

32,4

8,0...1

14,2

6,1

5,1...5,11

03

6,1...016,1

2,3

4...

5,02,04,1

8

A

...

1...1,4

16,484,3

54166,0...8,128,008,2

15625,0...

340,160,0

25,0...6,156,396,0

05208,0...5,46,62,0

1A

... ...1...02081,453331,2

29606,0...

35937,275,0

81581,1...62500,2

6,4

51198,2...28644,438331,6

2A

16897,1 67603,4 84500,5 4A

11

11

00002,100005,200009,300013,4

00002,200005,300009,400013,5

B

86

Shunday qilib, quyidagi taqribiy yechimga ega bo’ldik. Sistemaning aniq yechimi ekanligi bevosita ishonch hosil qilish mumkin. Bosh elementlar metodi. Gauss metodida yetakchi elementlar doim noldan farqli bo’lavermaydi. Yoki ular nolga yaqin sonlar bo’lishi mumkin: bunday sonlarga bo’lganda katta absolyut xatoga ega bo’lgan sonlar hosil bo’ladi. Buning natijasida taqribiy yechim aniq yechimdan sezilarli darajada chetlashib ketadi. Hisoblash xatosining bunday halokatli ta’siridan qutulish uchun Gauss metodi bosh elementni tanlash yo’li bilan qo’llaniladi. Buning Gauss metodining kompakt sxemasidan farqi quyidagidan iborat. Faraz qilaylik, noma’lumlarni yo’qotish jarayonida quyidagi sistemaga ega bo’lgan bo’laylik:

Endi tenglikni qanoatlantiradigan nomerni topib, o’zgaruvchilarni qayta belgilaymiz: va so’ngra tenglamadan boshlab, barchasidan noma’lumni yo’qotamiz. Bunday qayta belgilashlar yo’qotish tartibini o’zgartirishga olib keladi va ko’p hollarda hisoblash xatosini kamaytirishga xizmat qiladi. Optimal yo’qotish metodi. Bu metodning dastlabki qadamlari Gauss metodiga o’xshashdir. Yetakchi element deb faraz qilib, (7.1) sistemaning birinchi tenglamasini

(7.2) ko’rinishga keltiramiz. So’ngra (7.1) sistemaning faqat ikkinchi tenglamasidan ni yo’qotamiz:

. Endi deb faraz qilib, bu tenglamani (7.4) ko’rinishga keltiramiz:

. Bu tenglama yordamida (7.2) tenglamadan ni yo’qotamiz. Natijada

hosil bo’ladi. Bu yerda

.

;00002,11 x ;00005,22 x ;00009,33 x 00013,44 x

;11 x ;22 x ;33 x 44 x

......................

,...

,.....................

,...

)(1,

)(,1

)(1,

)(1,1

)(,11

)(1,1

)2(1,

)(1

)(1,

)1(1,1

)1(13

)1(132

)1(121

mnnn

mnnm

mmn

mnmn

mnmm

mmm

nmnmnmm

mmmm

nnn

axaxa

axaxa

bxbxbx

bxbxbxbx

||max|| )(,1

)(,1

mjmj

mkm aa k

km xx 1 1 mk xx )2( m

1mx

011 a

)1(1,1

)1(12


1x

)1(1,2

)1(22

)1(22 ... nnn axaxa

0)1(22 a

)2(1,2

)2(23


2x

)2(1,2

)2(23

)2(232

)2(1,1

)2(13

)2(131

...

...

nnn

nnn

cxcxcx

cxcxcx

)3(, )2(2

)2(2

)2(2

)1(12

)1(1

)2(1 jbcbbbc jjjjj

87

Faraz qilaylik, avvalgi ta tenglamalar ustida almashtirishlar bajarish natijasida (7.1) sistema quyidagi teng kuchli sistemaga keltirilgan bo’lsin:

(7.12) Bu sistemaning avvalgi ta tenglemasini mos ravishda larga ko’paytirib, natijalarni tenglamadan ayiramiz va hosil bo’lgan tenglamani noma’lum oldingi koeffisiyentga bo’lamiz. Natijada - tenglama quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

. Endi bu tenglama yordamida (7.12) sistemaning avvalgi ta tenglamasidan ni yo’qotsak, u holda yana (7.12) ko’rinishdagi sistemaga, faqat ning ga almashgan holiga, ega bo’lamiz. Shu bilan birga, agar

bo’lsa, quyidagi formulalarga ega bo’lamiz:

Almaщtirshdarning -qadami ham bajarilgandan so’ng (7.1) sistemaning yechimi uchun quyidagi formulalar hosil bo’ladi:

. Bu yerda ham hisoblash jarayonini kontrol qilash Gauss metodidagiga o’xshashdir. Optimal yo’qotish metodida ham barcha yetakchi elementlar noldan farqli bo’lshi zarurdir. Agar bu fakt oldindan ma’lum bo’lmasa, u holda hisoblash sistemasini o’zgartirib, bosh elementlarni satr bo’yicha tanlash yo’li bilan noma’lumlarni yo’qotish maqsadga muvofiqdir. Buning uchun, agar -tenglamada noma’lumlarni yo’qotgandan keyin,

k

.......................

.........

................,...

1,11,11,

1,1,111,111,1

)(1,1

)(1,

)(1,1

)(11

)(1,11

nnnnnkknn

nknnkkkkk

kkkk

kkkk

knn

knk

kk

axaxaxa

axaxaxacxcx

cxcxcx

k kkkkk aaa ,12,1,1 ,...,,

)1( k 1kx)1( k

)(1,1

)(,1

)(2,11 ... k

nknk

nkk

kkk cxccх

k 1kx

k )1( k

k

rrk

kkrkk aca

1,1

)(1,1,1 0

).1,...,3,2;,...,2,1(

,

)1(,1

)(1,

)()1(

1

)(1,,11,1

1

)(,,1,1

)1(,1

nkkpkicccc

caa

caac

kpk

kki

kip

kip

k

r

kkrrkkk

k

r

kprrkpk

kpk

n

),...,2,1()(1, nicx n

nii

)1( k kxxx ,...,, 21

)1(1

)1(,11,1

kpcaa

k

s

kspskkk

88

moduli bo’yicha eng katta element bo’lsa, u holda o’zgaruvchilarni qaytadan belgilab: va , so’ngra optimal yo’qotish qoidasiga ko’ra noma’lumlarni yo’qotishni davom ettirish kerak. Optimal yo’qotish metodining ustunligi shundan iboratki -tartibli sistemani yechish uchun zarur bo’lgan arifmetik amalalrning soni Gauss metodidagidek bo’lsa ham, bu metod EHM lar xotirasidan effektiv ravishda foydalanishga imkon beradi, ya’ni sistemaning tartibini ikki marta orttirish mumkin. (7.12) sistemadan ko’rinib turibdiki, optimal yo’qotishning -qadami bajarilgach, berilgan sistemaning oxirgi ta tenglamasi o’zgarishsiz qoladi. Buni hisobga olgan holda xotiraga matrisaning barcha elementlarini to’la kiritmasdan, har bir qadamdan oldin bittadan satrni kiritamiz. U holda -qadamni amalga oshirish uchun xotiraning

ta yacheykasi yetarli bo’ladi, bular

matrisani va (12) sistemadagi -tenglama koeffisiyentlarni joylashtirish uchun xizmat qiladi. Endi ning maksimumini topib, -tartibli sistemani yechish uchun

ta yacheykaga ega bo’lgan maydon yetarli ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Masalan, operativ xotirasi 4095 yacheykadan iborat bo’lgan EHM da tashqi qurilmalardan foydalanmasdan 122-tartibli tenglamalar sistemasini yechish yoki shu tartibli ixtiyoriy matrisaning determinantini hisoblash mumkin. Misol tariqasida

sistemani optimal yo’qotish motedi bilan yechaylik. Birini tenlamadan

(7.13) ni hosil qilamiz va buni ga ko’paytirib, sistemaning ikkinchi tenglamasidan ayiramiz:

. Buni ga bo’lib, kerakli tenglamani hosil qilamiz:

. (7.14) Endi (7.13) dan ni yo’qotsak,

. (7.15) (7.15) ni 1,6 ga (7.14) ni -0,8 ga ko’paytirib, sistemaning uchinchi tenglamasidan ayiramiz va hosil bo’lgan tenglamani oldidagi koeffisiyentga bo’lsak,

pk xx 1 1 kp xx

n

k)( kn

)1( k

1)1()( nknkkf

)(1,

)(1,

)(1,1

)(1,1

......................

.......

knk

kkk

kn

kk

cc

cc

)1( k)(kf n

4)5)(1( nn

05,1218,06,16,14,234,0

2,336,12,42

4321

4321

321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxx

6,15,18,01,2 4321 xxxх4,0

96,060,008,284,3 432 xxx84,3

2500,015625,054167,0 432 xxx

2x

12501,217182,193750,1 421 xxх

3x

89

(7.16) kelib chiqadi. Bu tenglama yordamida (7.14) va (7.15) dan ni yo’qotsak,

(7.17) hosil bo’ladi. Endi (7.16)-(7.17) tenlamaoar yordamida sistemaning to’rtinchi tenglamasidan

ni yo’qotamiz: . Bundan va (7.13)-(7.17) dan noma’lumlarni ketma-ket topamiz:

. Determinantni hisoblash. Gauss metodini ham, optimal yo’qotish metodini ham determinantni hisoblash uchun qo’llash mumkin. Quyidagi

matrisaning determinantini topish talab qilinsin. Buning uchun, bir jinsli, chiziqli

(7.18) sistemani yechishga Gauss metodini qo’llaymiz. Natijada matrisa

uchbuchak matrisaga almashtiriladi, (18) sistema esa unga ekvivalent bo’lgan

sistemaga o’tadi. Agar diqqat qilinsa, matrisaning elementlari matrisa va keyingi yordamchi matrisalardan quyidagi ikkita elementar alamashtirishlar natijasida hosil bo’lgan:

1) noldan farqli deb faraz qilingan yetakchi elementlarga bo’lish; 2) matrisa yordamchi larning satrlaridan mos ravishdagi

yetakchi satrlarga proporsional bo’lgan satrlarni ayirish. Birinchi almashtirish natijasida matrisaning determinanti ham mos ravishdagi

yetakchi elementga bo’linadi, ikkinchi almaщtirish esa determinantni o’zgarishsiz qoldiradi. Shuning uchun ham

bu yerda esa

(7.19)

81556,129611,0 43 xx

3x

73343,031664,039322,159811,0

42

41

xxxx

321 ,, xxx 67564,111872,1 4 х

99922,0;99999,1;00019,3;00065,4 1234 xxxx

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

..........

......

21

22221

11211

0xAA

1...000..........

...01

...1)2(

2)2(

23

)1(1

)1(13

)1(12

n

n

bbbbb

B

0xB

B A

121 ,...,, nAAA

)1()1(2211 ,...,, n

nnaaa

A 121 ,...,, nAAA

,...

detdet1 )1()1(2211

nnnaaa

AB

....det )1()1(2211

nnnaaaA

90

Demak, determinant Gauss kompakt sxemasidagi yetakchi elementlarning ko’paytmasiga teng ekan. Matrisa determinantini optimal yo’qotish metodi yordamida ham hisoblash mumkin. Bu yerda ham determinant barcha yetakchi

elementlarning ko’paytmasiga teng:

(7.20) Agar yetakchi elemantlarning birortasi nolga teng bo’lsa u holda satr bo’yicha bosh elementni tanlash sxemasidan foydalanish kerak. Lekin bu holda determinantning ishorasini saqlash uchun elementlarni ga ko’paytirish kerak bo’ladi. Bu yerda soni, agar avvalgi qadamda yo’qotilmagan barcha noma’lumlar chapdan o’ngga qarab ketma-ket lar bilan nomerlangan bo’lsa, -qadamda yo’qotilgan noma’lumlarning nomerini bildiradi. Lekin hisoblash odatdagicha (19) yoki (20) formulalar bilan bajarilganda aytarli kichik (katta) bo’lmasa-da biror

uchun avvalgi ta ko’paytuvchilarning ko’paytmasi mashina noliga teng bo’lishi yoki to’lib ortib ketishi mumkin. Bunday nuqsondan qutilish uchun (19) formula bo’yicha ni quyidagicha hisoblash kerak:

. Bu yerda EHM dagi mumkin bo’lgan eng katta songa yaqin bo’lib, eng kichik songa yaqin vash u bilan birga ; yetakchi elementlar orasidagi moduli bo’yicha birdan kichik bo’lganlari, esa qolgan yetakchi elementlar. Matrisalarning teskarisini topish. Agar bir xil matrisaga ega bo’lib, faqat ozod hadlari bilan farq qiladigan bir qancha sistemani yechishga to’g’ri kelsa, u holda matrisaning teskarisini topish maqsadga muvofiqdir.ikkinchi tomondan statistik hisoblashlarda ayrim statistik parametrlarni baholash uchun teskari matrisalar katta ahamiyatga ega.

Faraz qilaylik, bizga maxsusmas matrisa berilgan bo’lsin.

Unga teskari bo’lgan matrisani topish uchun asosiy munosabatdan foydalanamiz, bu yerda birlik matrisa, va matrisalarni o’zaro ko’paytirsak,

ta noma’lumlarga nisbatan asosiy matrisasi bir xil va faqat ozod hadlari bilangina farq qiladigan ta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

k

r

kkrrkkkk caa

1

)(1,,11,1

.det1

n

kkA

k1)1( kl

kl kkn ...,,2,1 1k

Adetni i

Adet

kk

l

jj

l kj rqA 11 )1()1(det

q r1 rq j

k

),1,( njiaA ji

ijxA 1EAA 1

E A 1A2n ijx

n

.1...00.....................

,0...10...,0...01...

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

91

Bunday sistemani Gauss metodi bilan birdaniga yechish mumkin. Misol uchun (11) sistema

matrisasining teskarisini topaylik. Yechish. Gauss kompakt sxemasini qo’llaymiz. Bu holda to’rtta ozodhadlar ustuniga ega bo’lamiz (11-jadval). Shuni ham eslatib o’tamizki, teskari matrisaning satr elementlari teskari tartibda hosil bo’ladi. 3-jadval natijasidan quyidagiga ega bo’lamiz:

3-jadval


1. Aniq va taqribiy usullar. 2. Matrisa elementlarini aniqlash. 3. Kramer va teskari matrisa usuli. 4. Ixtiyoriy sistemani uchburchakli sistemaga keltirish. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.

5,1121118,06,1

0234,036,12,42

A

92945,059058,173076,066162,033195,004425,177686,051408,029046,070539,119364,038037,051865,006915,006801,028239,0

1A

jx1 jх2 jx3 jx4 1j 2j 3j 4j

1.....

16,14,0

2

1,2.....

28,0

32,4

8,0.....

1126,1

5,1.....

5,11

03

5,0.....

0001

0.....

0010

0.....

0100

0.....

1000

9,2

5,28,16,18,5

1.....

1,416,4

84,3

43750,0.....

8,128,068,1

15625,0.....

34,16,0

05208,0.....

5,08,0

2,0

26042,0.....

001

0.....

010

0.....

100

71875,0.....

4,284,2

76,2

1.....

59375,310000,2

35714,0.....

35937,275000,0

27779,0.....

28647,058335,0

51588,0.....

06772,108334,1

47617,0.....

01

0.....

10

47617,0.....

52085,314999,0

07590,1 71184,0 78622,0 71131,1 1 29022,0

28239,038037,051408,066162,0

06801,019364,077686,073076,0

06915,070539,004425,159058,1

51865,029046,033195,092945,0

66388,022820,097508,073027,0

92

8-Ma’ruza

KVADRAT ILDIZLAR METODI

Reja: 1. Kvadrat ildizlar usuli. 2. Kvadrat ildizlar usulining EHMda dastur tuzish usuli.

Tayanch iboralar: Qo’shma matrisa, Ermit matrisasi, simmetrik matrisa, unitar matrisa.

Ushbu va keyingi paragraflardagi metodlarda maxsus xossalarga ega bo’lgan

matrisalardan foydalanishga to’g’ri keladi, shuning uchun avvalo shu matrisalarni ta’riflab o’tamiz.

Agar barcha va lar uchun bo’lsa (bu yerda ustidagi chiziq

qo’shma kompleks sonni bildiradi) elementlari dan iborat bo’lgan A* matrisa berilgan matrisaga nisban qo’shma matrisa deyiladi.

Agar A kvadrat matrisa o’zining qo’shmasi bilan ustma-ust tushsa, ya’ni bo’lsa, u Ermit matrisasi yoki o’z-o’ziga qo’shma matrisa deliladi.

Elementlari haqiqiy sondan iborat bo’lgan Ermit matrisasi simmetrik matrisa deyiladi. Bu matrisa tenglik bilan aniqlanadi. Agar

(8.1) bajarilsa, u holda A unitar matrisa deyiladi, bu yerda Ye - birlik matrisa. Unitar matrasa quyidagi xossalarga ega: 1) Agar A unitar matrisa bo’lsa, u holda uning determinanti moduli 1 ga teng bo’lgan kompleks sondir. Haqiqatan ham, (8.1) ga ko’ra

. 2) Agar A unitar matrisa bo’lsa, u holda . Buni isbotlash uchun (3.1) ni chapdan ga ko’paytirii) kifoyadir. 3) Agar A unitar matrisa bo’lsa, u hodda ham unitardir. 4) Ikkita unitar matrisalarning ko’paytmasi unitar matrisadir. Haqiqatan ham, va

unitar matrisalar bo’lsin, u holda .

Endi kvadrat ildizlar metodini ko’rib chiqaylik. Faraz qilaylik, Ermit matrisasi bo’lsin. Kvadrat ildizlar metodining g’oyasi matrisani uchburchak va diagonal matrisalar ko’paytmasi shaklida tasvirlashdan iboratdir:

, (8.2) bu yerda

i j jiij aa jia

ija

][ ijaA A

AA

AA

EAA

1|det|detdetdetdetdet 2 AAAAAAA AA 1

1AA

AB

EAAAEAAABBABAB ))((A

А

DTTA

93

yuqorida uchburchak matrisa bo’lib, esa elementlari yoki dan iborat bo’lgan

diagonal matrisadir. matrisa elementlarini topish uchun (8.2) tenglikdan, matrisalarni ko’paytirish qoidasiga asoslanib, larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

(8.3) Bu yerda lar bilan o’zaro qo’shma kompleks sonlardir. (8.3) sistemada tenglamalarning soni noma’lumlarning sonidan taga kam. (8.3) sistemadan lar yagona ravishda topilishi uchun larni shunday tanlab olamizki, lar haqiqiy va musbat bo’lsin. U vaqtda (8.3) sistemaning ikkinchi tenglamasidan bo’lganda

ga ega bo’lamiz. Endi deb olib uchun ni hosil qilamiz. (8.3)

sistemaning birinchi tenglamasidan bo’lganda kelib chiqadi. Shunga o’xshash (8.3) sistemada bo’lganda avval ikkinchi tenglamadan

ni, so’ngra birinchi tenglamadan ni topamiz:

Shunday qilib, ning avvalgi ikkita satr elementlarini topish uchun formulalar chiqardik. Shunga o’xshash, matrisaning qolgan elementlarini ham topamiz. Umumiy holda hisoblashlar quyidagi formulalar yordamida olib boriladi:

nn

n

n

t

ttttt

T

...00............

...0

...

222

11211

D iid 1 1

nnd

dd

D

...00............0...00...0

22

11

T

ijt

),...,2,1(),(||...||

),(...2

112

11

1111

nijiadtdt

jiatdttdt

iiiiii

ijijiiiijl

ijt ijt

n ijt

iid iit

1i

11112

11 || adt

1111 asignd 11t || 1111 at

1i),...,3,2(

1111

1 njtd

at j

ij

2i

22t jt2

).,3(

,||||),||(

2222

1111222

112

112222112

122222

njtd

tdtat

dtatdtasignd

jjj

ТT

94

(8.4) Shunday qilib, (8.2) yoyilma mavjud va (8.4) formulalar yordamida aniqlanadi. Nihoyat,

sistemani yechish uchun uni yoyilmadan foydalanib, quyidagi ikkita uchburchak matrisali sistemalar shaklida yozib olamiz:

. Bu sistemalarni yoyib yozsak,

va

ga ega bo’lamiz. Bundan esa, ketma-ket quyidagilarni hosil qilamiz:

(8.5) va

. (8.6) Agar haqiqiy va simmetrik matrisa bo’lsa, bu matrisani bir-biriga nisbatan o’zaro transponirlangan ikkita matrisalar ko’paytmasi shaklida yozish mumkin:

, bu yerda - yuqori uchburchak matrisa. Bu holda (3.4) formulalar bir oz soddalashib, ushbu ko’rinishga ega bo’ladi:

).,1(

),1(||||

),||(

,,||,

1

1

1

1

2

1

1

2

1111

1111111111

nijtd

tdtat

idtat

dtasignd

tda

tatsignd

iiii

i

ssjsssiij

ij

i

sssstiiii

i

ssssiiiii

jj

bAx DTTA

yxTbyDT ,

nnnnnnnn bydtydtydt

bydtydtbydt

.........

,,

22221111

22222211112

111111

nnnn

nn

nn

yxt

yxtxtyxtxtxt

.............,...,...

22222

11212111

)1(,

1

11

1111

11

idt

dytby

dtby

iiii

i

sssssii

)(, 1 nit

xtyx

tyх

ss

n

issisi

inn

nn

A

TTA T

95

(8.7) Shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki, faqat matrisa musbat aniqlangan bo’lgandagina matrisaning diagonal elementlari haqiqiy va musbat bo’lishi mumkin. Aks holda, matrisa elementlari orasida komplekslari ham uchrab qolishi mumkin. Uchburchak matrisaning determinanti diagonal elementlari ko’paytmasiga teng ekanligini e’tiborga olib, (8.2) yoyilmadan ni topish uchun quyidagini hosil qilamiz:

yoki

. Bu yerda EHM dagi mumkin bo’lgan eng katta songa, esa eng kichigiga yaqin bo’lib, lar matrisaning absolyut qiymatlari bo’yicha birdan ortmaydigan elementlari, lar esa qolgan elementlardir. Bu metod yordamida xotirasi 4095 ta yacheykadan iborat EHM larda matrisasi haqiqiy va simmetrik bo’lgan 88-tartibli sistemani yechish mumkin. Kvadrat ildizlar metodi ko’pincha kuzatishlar natijasini eng kichik kvadratlar metodi bilan ishlab chiqqanda hosil bo’ladigan tenglamalarning normal sistemasini yechish uchun qo’llaniladi. Bunday sistema matrisasining bosh minorlari musbat bo’lgan Ermit matrisasi bo’ladi. Bunday sistemalarning tartiblari odatda bir necha yuz, hatto minglarga teng bo’lishi mumkin. Odatda yuqori tartibli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish nihoyatda murakkab masala. Shuning uchun ham har bir konkret masalaning ichki xususiyatlaridan foydalanish kerak. Masalan, ko’p masalalar, shu jumladan, eng kichik kvadratlar metodi bilan transport masalasini yechish matrisasi chizmadagi ko’rinishga ega bo’lgan yuqori darajali algebraik tenglamalar sistemasiga olib keladi. Bunday sistemalarni kvadrat ildizlar metodi bilan yechish qulaydir. Haqiqatan ham, faraz qilaylik, Ermit matrisasining elementlari biror va barcha lar uchun shartni qanoatlantirsin. U holda, (3.4) formuladan ko’rinadiki, ularga mos bo’lgan elementlar ham nolga aylanadi. Shuning uchun ham, matrisaning ko’rinishi matrisaning o’ng yarmidek, ya’ni chizmadagidek bo’ladi.

).,1(

),1(

,,

1

1

1

1

2

11

111111

nijt

ttat

itat

ta

tat

ii

i

ssjsiij

ij

i

ssiiiii

jj

АT

T

Adet

n

iiiiitdA

1

2det

)||()||(det 22 ssssrrrr iiiiiiii tdqtdpA

q p

rriitpq ;1 Т

ssiit

A j

jmi j 1 0ija

ijt

T А

96

Nol elementlar ustida amal bajarmasak, u holda hisoblash ishlari faqat tezlashibgina qolmasdan, balki yechiladigan masalaning tartibini orttirish ham mumkin. Soddalik uchun simmetrik matrisaga ega bo’lgan quyidagi:

sistemani kvadrat ildizlar metodi bilan yechaylik. Yechish. Sistemaning koeffsiyentlari va ozod hadlarini 1-jadvalning qismiga joylashtirib, ustunni hisoblab chiqamiz. (8.7) va (8.5) formulalar yordamida ketma-ket elementlarni va yangi ozod had larni hisoblab, jadvalning

qismini to’ldiramiz. Kontrol uchun har gal ustunni hisoblab turamiz. Masalan, va quyidagicha topiladi:

1-jadval

sxema

qismlari 2 -3 4 1

-3 5 -1 2

4 -1 1 3

1 2 3 2

11 -6 1 1

15 -3 8 9

1,41421 -2,12133 0,70708

2,82843 7,07138 7,55013

0,70711 4,94995

4,50363 1,64904

7,77819 30,40691

28,61122 4,94718

10,60661 43,13538

40,66504 6,59622

2,99958 3,99970

1,99975 2,99980

2,00002 3,00004

3,00004 4,00004

Jadvaldagi yechimni verguldan keyin uch xonasigacha yaxlitlab olsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

. Bu esa aniq yechimni beradi.


1. Matrisa to’g’risida to’liq ma’lumotlar. 2. Uchburchak va dioganal matrisalar.

1232,134

,6253,11432

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

ija ib A

ijt iy

iА

34t 3y

,61122,2855013,7

40691,3007138,777819,78843,21

,50363,455013,7

94995,407138,770711,082843,23

33

22321333

33

242314133434

iit

ytytby

iit

ttttat

1ia 2ia 3ia 4ia iy

A

1it 2it 3it 4it iy

ii

i ii

1A

ix ix 2A

0000,3;000,2;000,2;000,3 4321 xxxx

97

9-ma’ruza

ITERASION METODLAR

Reja: 1. Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 2. Oddiy iterasiya metodi. 3. Zeydel metodi.

Tayanch iboralar: Maxsusmas matrisa, yaqinlashish sharti, maxsus predmet, bosh qism.

Endi iterasion metodlarni bayon qilishga o’tamiz. Bobning boshida aytib

o’tilganidek, bu yerda aniq yechim cheksiz ketma-ketliklarning limiti sifatida topiladi.

Hozirgi vaqtda har xil prinsiplarga asoslangan holda juda ko’p iterasion metodlar yaratilgan. Umuman, bu metodlarning o’ziga xos tomonlaridan yana biri shundan iboratki, ular o’z xatosini o’zi tuzatib boradi. Agar aniq metodlar bilan ishlayotganda biror qadamda xatoga yo’l qo’yilsa, bu xato oxirgi natijaga ham ta’sir kiladi. Yaqinlashuvchi iterasion jarayonning biror qadamida yo’l qo’yilgan xato esa faqat bir necha iterasiya qadamini ortiqcha bajarishgagina olib keladi xolos. Biror qadamda yo’l qo’yilgan xato keyingi qadamlarda tuzatib boriladi. Metodlarning hisoblash sxemalari sodda bo’lib, ularni EHMlarda realizasiya qilish qulaydir. Lekin har bir iterasion metodning qo’llanish sohasi chegaralangandir. Chunki iterasiya jarayoni berilgan sistema uchun uzoqlashishi yoki, shuningdek, sekin yaqinlashishi mumkinki, amalda yechimni qoniqarli yniqlikda topib bo’lmaydi.

Shuning uchun ham, iterasion metodlarda faqat yaqinlashish masalasigina emas, balki yaqinlashish tezligi masalasi ham katta ahamiyatga egadir. Yaqinlashish tezligi dastlabki yaqinlashish vektorining qulay tanlanishiga ham bog’liqdir.

Bu paragrafda avval iterasion jarayon qurishning umumiy prinsipini ko’rib chiqamiz, so’ngra esa hisoblash amaliyotida keng qo’llaniladigan iterasion metodlarni keltiramiz.

Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. Faraz qilaylik, maxsusmas matrisali (9.1)

sistema berilgan bo’lsin. Iterasion metodlarni qurayotganda en-pop ixtiyoriy dastlabki yaqinlashish vektori olinib, keyinga yaqinlashishlar quyidagi

(9.2) rekurrent formula yordamida topiladi, bu yerda umuman olganda A matrisaga, ozod hadlar vektori ga, yaqinlashish nomeri ga va dastlabki yaqinlashishlar

ga bog’liq bo’lgan qandaydir funksiyadir. Agar faqat ga bog’liq bo’lib, larga bog’liq bo’lmasa, u

holda iterasiya metodi barinchi tartibga ega deyiladi. Agar funksiyasi ga bog’liq

bxA

)0(x )()2()1( ,...,, kxxx

),...,,( )()1()0()1( kk

k xxxfx

kf

b k)()1()0( ,...,, kxxx

kf )(kx )()1()0( ,...,, kxxx

kf k

98

bo’lmasa, iterasiya metodi stasionar deyiladi. Albatta, funksiyaning eng soddasi chiziqli funksiyadir. Ketma-ket yaqinlashishlarning birinchi tartibli eng umumiy chiziqli metodi quyidagi

(9.3) ko’rinishga ega bo’lib, bu yerda — kvadrat matrisa va — vektor. Biz (9.2) va (9.3) iterasion metodlarga tabiiy ravishda (9.1) ning aniq yechimi qo’zg’almas nuqta bo’lishi kerak, ya’ni sifatida aniq yechim olinganda keyingi yaqinlashish-lar xam ga teng bo’lishi kerak degan talabni qo’yishimiz kerak. Bu esa birinchi tartibli chiziqli metod uchun ushbu

(9.4) yoki

(9.5) tengliklarga olib keladi. O’z navbatida (8.5) day

(9.6) tenglik kelib chiqadi. (9.5) dan foydalanib, (9.3) iterasion jarayonni quyidagicha yozishimiz mumkin:

(9.7) Bu yerda va matrisalar ga bog’liq emas. Endi (9.6) ni (9.7) ga keltirib qo’ysak,

(9.8) hosil bo’ladi.

Agar matrisa mavjud bo’lsa, u holda (9.7) ning ikala tomonini chapdan ga ko’paytirib,

(9.9) ni hosil qilamiz. Tabiiyki, bu yerda

(9.10) tenglik bajarilishi kerak. (9.9) tenglik ni oshkormas ko’rinishda aniqlaydi. Shuning uchun ham shunday matrisa bo’lishi kerakki, ni topish qiyin bo’lmasin. Odatda sifatida diagonal yoki uchburchak matrisa olinadi. Birinchi holda metod to’liq qadamli, ikkinchi holda esa bir qadamli, deyiladi.

Ketma-ket yaqinlashishlar, birinchi tartibli chiziqli metodlarning turli ko’rinishlari asosan (9.7) — (9.10) formulalar yordamida amalga oshiriladi. Juda ko’p chiziqli va chiziqli bo’lmagan ketma-ket yaqinlashish metodlarini

funksionalni eng kachik kvadratlar metsdi yoki boshqa metod-lar bilan minimallashtirish natijasida hosil qilish mumkin.

Oddiy iterasiya metodi. Faraz qilaylik, (9.11)

sistema biror usul bilan

kf

)()()1( kkk

k cxBx

kB )(kcbAx 1

)0(x xx

kk cbABbA 11

bCbABEc kkk 1)(

EACB kk

bCxBx kk

kk )()1(

kB kC b

)( )()()1( bxACxx kk

kk

1kС 1

kС

bxFxD kk

kk )()1(

AFD kk )1( kx

kD 1kD

kD

2)( bxAxf

bxА

99

(9.12) ko’rinishga keltirilgan bo’lsin, qanday keltirish kerakligini keyinchalik ko’rib o’tamiz va dastlabki yaqinlashish vektori bi-ror usul bilan (masalan, kabi) topilgan bo’lsin. Agar keyingi yaqinlashishlar

(9.13) rekurrent formulalar yordamida topilsa, bunday metod oddiy iterasiya metodi deyiladi. (9.12) dan ko’ramizki, oddiy iterasiya metodi bu birinchi tartibli to’liq qadamli iterasion metoddir. Agar (9.13) ketma-ketlikning limiti mavjud bo’lsa, (bu limit (9.13) sistemaning, (shu bilan (9.11) sistemaning ham) yechimi bo’ladi.

Haqiqatan ham, (9.13) tenglikda limitga o’tsak, kelib chiqadi. Oddiy iterasiya metodining yaqinlashish shartini aniqlaylik. 1-teorema. (9.13) oddiy iterasiya jarayoni o’zining ixtiyoriy dastlabki

yaqinlashish vektori da yaqinlashuvchi bo’lishi uchun matrisaning barcha xos sonlari birdan kichik bo’lishi zarur va kifoyadir.

Isbot. Zarurligi. Faraz qilaylik, ixtiyoriy dastlabki vektor uchun limit mavjud bo’lsin. U holda (9.13) ni bu tenglikdan ayirib, quyidagilarni hosil qilamiz:

. Endi vektor ga bog’liq bo’lmaganligi uchun

tenglikda limitga o’tsak,

kelib chiqadi, matrisaning barcha xos sonlarining modullari birdan kichikligi ko’rinadi.

Kifoyaligi. (9.13) orqali aniqlanadigan barcha yaqinlashishlarni dastlabki vektor va orqali ifodalaymiz:

Endi, faraz qilaylik, ning barcha xos sonlari birdan kichik bo’lsin. U holda

. Demak, qanday bo’lishidan qat’i nazar yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir.

Isbot qilingan teorema nazariy jihatdan foydali, chunki u mavjud haqiqatni aniq ifodalaydi. Lekin, amaliy ishlar uchuya yaramaydi. Endi V matrisaning elementlari orqali ifodalanadi-gan kifoyalilik belgisini keltiramiz.

2-teorema. (9.13) oddiy iterasiya jarayonining yaqinlashuvchi bo’lishi uchun matrisaning biror normasi birdan kichik bo’lishi kifoyadir.

Isbot. Haqiqatan ham, agar || ||<1 bo’lsa, bu matrisaning barcha xos sonlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lib, bundan 1-teoremaga asosan oddiy iterasion jarayonning yaqinlashishligi kelib chiqadi.

2-teorema bir necha qulay kifoyalilik belgilarini keltirishga imkon beradi.

bxBх

)0(x cx )0(

.)..,2,1(,)1()( kcxBx kk

x

cxBх

)0(x B

xx k

k

)(lim

cxBx

)(...)()( )0()2(2)1()( xxBxxBxxBxx kkkk

)0(xx k)( )0()( xxBxx kk

k0lim

k

kB

B

)0(х c

.)...(...)()(

1)0(

)2(2)2()1()(

cBBExBcBExBccxBBcxBx

kk

kkkk

B112 )(...,0

BEBBBEB k

k

k

)0(x )(kx

BB

100

3-teorema. (9.13) oddiy iterasiya jarayovd yaqinlashishi uchun matrisaning elementlari quyidagi

, (9.14)

, (9.15)

(9.16) tengsizliklarning birortasini qanoatlantirishi kifoyadir.

Agar biz

normalarni eslasak, teoremadagi avvalgi ikkita shart 2- teoremadan kelib chiqadi.

Oxirgi shartdagi tengsizlik esa, ning birdan kichik ekanligini ko’rsatadi. Haqiqatan ham, bu yerda matrisaning eng katta xos soni bo’lganligi va ning barcha xos sonlari manfiy bo’lmaganligi uchun

Lekin bu tengsizlikning o’ng tomoyaidagi ifoda ning iziga (ya’ni matrisa

diagonal elementlarining yig’indisiga) teng bo’lib, u esa ra tengdir. Endi yaqinlashish tezligini baholaydigan quyidagi teoremani keltiramiz. 4-teorema. Agar matrisaning, x vektorning berilgan normasiga moslangan

biror normasi birdan kichik bo’lsa, u holda (9.13) oddiy iterasiya metodining xatosi quyidagicha baholanadi:

Isbot. Teorema shartiga ko’ra , shuning uchun ham . (9.17)

Bu tenglikni (9.15) dan ayirsak, . (9.18)

Bundan esa

. Shuni isbotlash talab qilingan edi. Shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki, agar sifatida ozod hadlar ustuni olingan bo’lsa, u holda iterasiyaning xatosi quyidagicha baholanadi:

. (9.19) Haqiqatan ham, deb olsak, u holda (9.18) o’rniga

tenglikka ega bo’lamiz, bundan esa (9.19) kelib chiqadi.

B

1||max1

n

jiji

b

1||max1

n

iijj

b

1||1,

2

n

jiijb

n

iijj

n

jiji

bBbB1

21

1||max,||max

13B

1 BB BB

n ...211

BB BB

n

jiijb

1,

2||

B

1B

cBBBEx k ...)...( 12

cBBxBxx kkkk ...)( 1)0(

BcB

xBcBBxBxxk

kkkkk

1...)( )0(1)0()(

)0(xc

B

cBxx

kk

1

1)(

cx )0(

cBBxx kkk ...)( 21

101

Endi (9.11) sistemani (9.12) ko’rinishga keltirish va oddiy iterasiyaning amalda qo’llanilishi ustida to’xtalib o’tamiz. Shu maqsadda ixtmyoriy mdxsusmas R matrisa olib, iterasiyaning quyidagi

(9.20) ko’rinishda yozish mumkin. Albatta, R matrisa shunday tanlangan bo’lishi kerakki,

matrisa uchun yaqinlashish sharti bajarilsin. Quyidagi ikkita xususiy holni ko’rib chiqamiz.

1. , bu yerda diagonal matriad bo’lib, diagonal elementlari A matrisaniig diagonal elementlari bilan ustma-ust tushsin. Bu holda (9.20) iterasiya jarayonini tuzish

sistema tenglamalarini mos ravishda larga bo’lib, hosil bo’lgan tenglamalarda larnn mos ravishda chap tomonda qoldirib, qolganlariii o’ng tomonga o’tkavishdan iboratdir. Natijada,

sistemaga ega bo’lamiz. Albatta bu usulni qo’llash mumkin bo’lishi uchun barcha ai lar noldan farqli bo’lishi kerak. Bundan tashqari diagonal elementlarning modullari boshqa elementlarining modullaridan ancha katta bo’lishi kerak. Aniqrog’i quyidagi tengsizliklarning birortasi bajarilishi lozim:

, (9.21)

, (9.22)

. (9.23) Bu tengsizliklar, bajarilsa, u holda mos ravishda (9.14) — (9.16) tengsizliklar ham bajariladi.

2. , bu yerda elementlarining modullari yetarlicha kichik bo’lgan matrisadir. Bu holda (9.20) tenglik

cPxPAEх k )()1( )(

PAEB

1 DP D

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

..............

,...,...

2211

22222121

11212111

nnaaa ,...,, 2211

nxxx ,...,, 21

11,

11

22

21

22

21

22

22

11

12

11

12

11

11

...

........

,...

,...

nnn

nn

nn

n

nn

nn

nn

nn

xa

ax

aa

ab

x

xaax

aa

abx

xaax

aa

abx

ii

n

iji ii

ij

ia

aa

,1

max

1max,1

jii ii

ij

j aa

1||

11,1

2

12

n

iiij

n

j ij

aa

sAP 1 ij

cAxAx kk )( 1)()1(

102

ko’rinishga ega bo’lib, A matrisa yaqinlashish shartini qanoatlantiradi. (8.11) sistemani ga ko’paytirish sistema tenglamalari ustida elementar

almashtirish bajarish bilan teng kuchlidir. Odatda R ni 2-ko’rinishda olinganda misol yechish uchun quyidagicha ish

tutiladi. Berilgan sistemadan shunday tenglamalarni ajratib olinadiki, bu tenglamalarda biror noma’lum oldidagi koeffisiyent moduli bo’yicha shu tenglamaning qolgan barcha koeffisiyentlari modullarining yig’indisidan katta bo’lsin. Ajratilgan tenglamalar shunday joylashtiriladiki, ularning eng katta koeffisiyentlari diagonal koeffisiyentlari bo’lsin. Tenglamalarning qolganllridan va ajratilganlaridan yuqoridagi prinsip saqlanadigan, ya’ni eng katta koeffisiyent diagonal koeffisiyent bo’ladigan qilib o’zaro chiziqli erkli bo’lgan chiziqli kombinasiyalar tuziladi va barcha bo’sh satrlar to’ldiriladi. Shu bilan birga dastlabki sistemaning har bir tenglamasi yangi sistema tenglamalarini tuzayotganda qatnashishi kerak.

Bu yerda ko’rsatilgan usullarni misollarda tushuntnramiz. 1-misol. Quyidagi sistema odiy iterasiya metodi bilan yechilsish:

(9.24) Ye ch i sh. Birinchi usulda aytilganidek, bu sistemaning tenglamalarini mos

ravishda olamiz 10, 25, —20, 10, —20 larga bo’lib, quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:

(9.25) Bu yerda (9.14) dagi yig’indilar mos ravishda 0,7; 0,36; 0,4; 0,7; 0,3 bo’lib, bulardan

esa kelib chiqadi. Dastlabki yaqinlashish sifatida ozod hadlar ustuni (0,6; 0,44; 0,95; 1; 1,6)'

ni olib, keyingi yaqinlashishlarni topamiz: ,

Shunga o’xshash . Hisoblashlarning davomi 1- jadvalda keltirilgan.

Shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki, hisoblashlarni qisqartirish maqsadida avvalgi bir necha yaqinlashishlarni kamroq o’nli raqamlari bilan hisoblash ham mumkin.

Hisoblashlar, odatda, va yaqinlashishlar kerakli aniqlikda ustma-ust tushgunlari qadar davom ettiriladi.

P

322022,10510

,112525,62310

54321

5432

54321

54321

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

.1,005,01,005,06,1,5,01,01,01

,08,02,004,004,044,0,1,02,03,01,06,0

43215

5323

54312

54321

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

17,01

B)0(x

881,06,11,012,095,03,044,01,06,01,02,01,06,0 )0(5

)0(4

)0(2

)1(1 xxxx

754,06,108,012,095,004,06,004,044,0)1(2 x

72,1;851,1;892,0 )1(5

)1(4

)1(3 xxx

)(kx )1( kx

103

1- jadval

0 0,6 0,44 0,95 1 1.6 1 0,881 0,754 0,892 1,851 1,72 2 0,9884 0,9482 1 ,0029 1,9147 1,9859 3 0,9904 0,9814 0,9. 508 1 ,9939 1,9854 4 0,99944 0,99753 0,99769 1,99364 1 ,99897 5 0,99839 0,99865 0,99929 1,99954 1 ,99970 6 0,99986 0,99989 0,99977 1,99976 1,99960 7 0,999934 0,999920 1,000018 1,999788 1 ,999947 8 0,999974 0,999951 0,999976 2,000042 1,999978

Bu jadvaldan ko’ramizki 8-iterasiya ; ; = 0,99998; = 2,00004; = 1,99998 yechimdan iborat. Bu topilgan taqribiy yechim aniq yechim

, dan beshinchi xonaning birliklari bo’yichagina farqlanyapti.

Zeydel metodi. Zeydel metodi chiziqli bir qadamli birinchi tartibli iterasion metoddir. Bu metod oddiy iterasiya metodi-dan shu bilan farq qiladiki, dastlabki yaqinlashish ga ko’ra ni topamiz. So’ngra ( )' ga ko’ra topiladi va h. k. Barcha lar aniqlanganidan keyin lar topiladi. Aniqroq aytganda, hisoblashlar quyidagi sxema bo’yicha olib boriladi:

Endi Zeydel metodining yaqinlashish shartini ko’rib chiqaylik. Bu shart quyidagi teorema bilan beriladi.

5-teorema. Zeydel metodining yaqinlashishi uchun

(9.26) tenglamaning barcha ildizlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lishi zarur va kifoyadir.

Isbot. Berilgan A matrisani ikkita

k )(kix )(

2kx )(

3kx )(

4kx )(

5kх

99997,01 x 99995,02 x 3х 4x

5x

1321 xxx 254 xx

),...,,( )0()0(2

)0(1 nxxx )1(

1х )0()0(2

)1(1 ,...,, nxxx

)1(2x )1(

ix ...,, )3()2(ii xx

.

.........

,

........

,

,

1

1

)1()1(

1

)(1

1

)1()1(

3

)(

22

2)1(1

22

21

22

2)1(2

2

)(

11

1

11

1)1(1

n

j

kj

nn

nj

nn

nkn

n

ij

kj

ii

iji

j

kj

ii

ij

ii

iki

n

j

kj

jkk

n

j

kj

jk

xaa

abx

xaa

xaa

ab

x

xaa

xaa

abx

xaa

abx

0

...............

...

...

321

2232221

1131211

nnnnn

n

n

aaaa

aaaaaaaa

104

matrisalar yig’indisi shaklida yozib olamiz. U holda sistemani

shaklda yozish mumkin. Zeydel metodi esa

(9.27) ko’rinishdagi iterasiyadan iboratdar. Bu tenglikni ga nisbatan yechsak:

. (9.28) Bu esa, Zeydel metodining matrisasi — bo’lgan oddiy iterasiyaga teng kuchli ekanligini ko’rsatadi. Demak, 1-teoremaga ko’ra Zeydel metodining yaqinlashuvchi bo’lishi uchui — matrisaning barcha xos sonlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lishi zarur va kifoyadir. Shuning uchun ham

(9.29) tenglamaning barcha ildizlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lishi kerak. Agar bu tenglama ildielarining ushbu

(9.30) tenglama ildizlari bilan ustma-ust tushishini ko’rsatsak, teorema isbot bo’ladi. Bu sea quyidagicha ko’rsatiladi:

Bu yerda bo’lganligi uchun (9.29) va (9.30) bir xil ildizlarga ega.

Agar biz (9.28) ni deb olib, oddiy iterasiya metodi bilan yechadigan bo’lsak, u holda (9.28) jarayonning yaqinlashishi uchun

(9.31) tenglamannng barcha ildizlari modullarn bo’yicha birdan kichik bo’lishi kerak.

(9.26) va (9.31) tenglamalarni solishtirib ko’rsak, oddiy iterasiya metodi bilan Zeydel metodining yaqinlashish sohalari, umuman, farqli degan fikrga kelamiz. Haqiqatan ham, shunday sistemalar mavjudki, ular uchun oddiy iterasiya metodi yaqinlashadi, Zeydel metodi esa uzoqlashadi va aksincha shunday sistemalarni keltirish mumkinki, ular uchun Zeydel metodi yaqinlashuvchi bo’lib, oddiy iterasiya metodi uzoqlashadi.

Lekin (9.21) yoki (9.22) shartlarning birortasi bajarilsa, oddiy iterasiyaga nisbatan Zeydel metodi tezroq yaqnnlashadi. Bu quyidagi teoremada yanada aniqrok ifodalangan.

0...

0...

...

...

...

...

0...

0

0...

00

,...

00

...00

...

...

...

...

...

0

...2

1

1,2

1,112

1,2

22

1

21

11

n

n

n

n

nnnnnn

aa

aaa

D

aaa

a

a

aa

C

DCA bxA

bxDxC

bxDxC kk )()1(

)1( kхbCxDCx kk 1)(1)1(

DC 1

DC 1

0)det( 1 DCE

0)det( DC

).det(det)](det[)](det[)det( 11111 DCCDCCDCECCDCE 0det 1 С

cxBx kk )()1(

0...

~~

...

...

...

...

~...

~

~...

~2

1

2

12

1

21

n

n

nn

bb

b

b

b

b

n ,...,, 21

105

6-teorema. Agar quyidagi

shartlarning birortasi bajarilsa, u holda ixtiyoriy dastlabki yaqinlashish uchun Zeydel metodi yaqinlashadi va bu yaqinlashish birinchi shart bajarilganda oddiy iterasiya metodining yakinla» shishidan sekin emas.

Isbot. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

. (9.32) Faraz qilaylik, birinchi shart bajarilsin u holda bo’ladi. Bu belgilashlarda Zeydel metodi ushbu

(9.33) sxema bo’yicha olib boriladi. Bundan tashqari teoremaning birinchi sharti bajarilganda sistema yagona yechimga ega, bu yechimni masalan, oddiy iterasiya bilan topish mumkin. Demak,

(9.34) (9.34) dan (9.33) ni ayirib modullarga o’tsak,

kelib chiqadi. Quyidagi

belgilashlarni kiritsak,

. (9.35)

bo’ladi. Faraz qilaylik, ga bo’lganda erishilsin:

. U vaqtda (8.35) da deb olib,

yoki

tengsizlikka ega bo’lamiz. Agar

deb olsak, u holda

1max,1max,1,1

n

jii ii

ij

j

n

ijj ii

ij

i aa

aa

)0(х

n

ijjiji

ii

ii

ii

ijij a

baa

,1max,,

1

i

n

ij

kjij

i

j

kjij

ki xxx

1

)(1

1

)1()1(

cxBx

i

n

ijjjiji xx

,1

n

ijij

ki

jij

kn

ijij

j

kjj

i

jij

kjjj

n

ij

kjiij

i

j

kjjij

kii

xxxxxx

xxxxxxixx

11

)(1

11

)1(

1

)(

1

1

)(

1

)(1

1

)1()1(

max

max||

n

ijiji

i

jiji qp

1

1

1

,

1

)(

1

)1()1( || ki

ki

kii xxqxxpxx

)1(max kiii

xx )(kssi

1

)1()1()1( ||max|| kkiii

kss xxxxxx

si

1

)(

1

)1(

1

)1( ks

ks

k xxqxxpxx

1

)(

1

)1(

1k

s

sk xxp

qxx

i

i

i pq

1

max1

106

(9.36) tengsizlikka ega bo’lamiz.

Endi ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, (9.32) ga ko’ra

bo’lganligi uchun

. Demak,

. Bundan esa

(9.37) kelib chiqadi. (9.36) tengsizlikdan

yai hosil qilamiz. Bu esa teoremaning birinchi sharti bajarilganda Zeydel metodining yaqinlashishligini bildiradi. (9.37) tengsizlik esa Zeydel metodishng yaqinlashishi oddiy iterasiya metodiga nisbatan sekin emasligini ko’rsatadi.

Endi teoremaning ikkinchi sharti bajarilganda Zeydel metodining yaqinlashishligini ko’rsatamiz.

Biz bu yerda deb olamiz. Faraz qilaylik, va mos ravishda

sistemaning yechimi va Zeydel jarayonining yaqinlashishi bo’lsin. U holda

va

Bulardan

kelib chiqadi. Bu tengsizliklarni barcha lar bo’yicha yig’amiz:

hamda yig’ish tartibini o’zgartirsak,

(9.38) Endi

1

)(11

)1( kk xxxx

1

1||,1

n

ijiijii qp

ii pq

i

i

i

i

i

i

pp

pp

pq

111

1

1

)0(11

)1( xxxx kk

n

jiiij

,1

||

),...,,( 21 nxxxx ),...,,( )()(2

)(1

)( kn

kkk xxxx

cxBx

i

n

ijjij

i

jjiji xxx

1

1

1

),...,2,1(1

)(1

1

)1(1

)1(

ni

xxx i

n

ij

kiij

i

j

kij

ki

n

ij

kjjij

i

j

kjjij

kii xxxxxx

1

)(1

1

)1()1( ||||||||||

...,2,1i

n

i

n

ij

kjjij

n

i

i

j

kjjij

n

i

kii xxxxxx

1 1

)(

1

1

1

)1(

1

)1( ||||||||||

1

1

)(

1

1

1

)1(

1

)1( ||||||||||j

niij

n

j

kjj

n

jiij

n

j

kjj

n

i

kii xxxxxx

107

va

. deb olamiz. Ko’rinib turibdiki,

. Bundan zsa, kelib chiqadi. (8.38) tengsizlik quyidagi

yoki

ko’rinishga ega bo’ladi.

Endi bo’lganligi uchun

kelib chiqadi. Bundan esa, bo’lganligi uchun

hosil bo’ladi. Demak,

hosil bo’lib, shu bilan teorema to’liq isbot qilindi.


1. Oddiy iterasiya usulini asosiy g’oyasi. 2. Yaqinlashish shartlari. 3. Taqribiy predmetni aniqlash. 4. Yaqinlashish haqidagi teorema. 5. Yaqinlashishni baholash.

)1,...,2,1(||||1

11

njtsj

iiji

n

jiijj

n

jiiijnn ts

,1

||,0

1||,1

n

jiiijjj ts

1js

n

j

kijj

n

j

kijj

n

i

kii xxtxxsxx

1

)(

1

)1(

1

)1( ||||||

n

j

kjji

n

j

kjjj xxtxxs

1

)(

1

)1( ||||)1(

)1( jjjj ssst

n

jjjj

kn

j

kjjj

n

j

kjjj xxsxxsxxs

1

)0(

1

)(

1

)1( ||)1()(||)1(||)1(

1

0||)1(lim1

)(

n

j

kjijk

xxs

),...,2,1(lim )( njxx jk

jk

108

10-ma’ruza

ENG TEZ TUShISh. GRADIYeNTLAR METODI

Reja: 1. Eng tez tushish yoki gradiyentlar usulini asosiy g’oyasi. 2. Gradiyentlar usulini yaqinlashishi haqidagi teorema.

Tayanch iboralar: Hisoblash vektori, funksional, funksionallash gradiyenti, gradiyent, ortonormallashtirish.

Bu metod haqiqiy simmetrik musbat aniqlangan matrisali, chiziqli algebraik tenglamalar

(10.1) sistemasini yechish uchun mo’ljallangan.

Gradiyentlar metodini bayon qilishdan avval funksional gradiyenti tushunchasiga qisqacha to’xtalib o’tamiz.

Faraz qilaylik, o’lchovli vektorning biror funksionali bo’lib, uzunligi birga teng bo’lgan vektor bo’lsin.

Funksiyaning o’sish yoki kamayish tezligini uning hosilasi xarakterlaganidek, funksionalning „argumenti" yo’nalishi bo’yicha o’zgarganda, uning o’zgarish

tezligini funksionalning hosilasi aniqlaydi. funksionalning nuqtada yo’nalishi, bo’yicha hosilasi deb ushbu

ifodaga aytiladi. Bu ta’rifdan

bo’lganligi uchun

(10.2)

bu yerda .

vektor funksionalning gradiyenti deyiladi. (10.2) teng-likda bo’lganligi uchun

kelib chiqadi, bundan esa

. Shu bilan birga agar ning yo’nalishi gradiyent yo’nalishi bilan ustma-ust tushsa,

bxA

)(xf n ),...,,( 21 nxxxx

),...,,( 21 nyyyy

f x yf x y

00|)()()(lim)(

yxf

ddxfyxf

yxf

),...,,()( 2211 nn yxyxyxfyxf

02211 |),...,,()(

nn yxyxyxf

dd

yxf

),,()(...)()(2

21

1

yzyx

xfyxxfy

xxf

nn

iin x

xfzzzzz

)(,),...,,( 21

z )(xf 1y

)^,cos()( yxzyxf

zyxfz

)(

y

109

va uning yo’nalishi gradiyen yo’nalishiga qarama-qarshi bo’lsa, . Shunday qilib, gradiyent yo’nalishi bo’ylab funksional katta tezlik bilan o’sar ekan va gradiyent yo’nalishiga teskari bo’lgan yo’nalish bo’yicha u katta tezlik bilan kamayar ekan.

Endi gradiyentlar metodiga o’tamiz. Gradiyentlar metodida (10.1) sistemani yechish uchun

(10.3) funksional qaraladi. Bu funksional larga nisbatan ikkinchi tartibli ko’phaddir. orqali (10.1) sistemaning yechimini, ya’ni ni belgilaymiz.

A matrisa simmetrik va musbat aniqlangan bo’lganligi uchun

Shu bilan birga so’nggi ifodada bo’lgandagina, tenglik ishorasi o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, (10.1) sistemani yechish masalasi (10.3) funksionalni minimumga aylantiradigan vektorni topishga keltiriladi. Bunday vektorni topish uchun quyidagicha ish ko’ramiz.

Faraz qilaylik, ixtiyoriy dastlabki yaqinlashish vektori bo’lsin. (10.3) funksionalning gradiyentini hisoblaymiz:

. Buni (10.2) bilan solishtirib, ning gradiyenti ga teng ekanligini ko’ramiz. Keyingi tekshirishlarda faqat gradiyent-ning yo’nalishigina kerak bo’lganligi uchun gradiyent o’rniga mus-bat ko’paytuvchi 2 ni tashlab, vektorni qaraymiz. nuqtada yo’nalishi gradiyent yo’nalishiga teskari bo’lgan vektorni orqali belgilaymiz:

. (10.4) Bu vektor (10.1) sistemaning xatolik vektora deyiladi. vektorning yo’nalishida

funksionalning nuqtadagya kamayshl tezligi eng katta bo’ladi. nuqtadan boshlab yo’nalish bo’yicha minimal qiymatiga erishgunga qadar harakatni davom ettiramiz. Bu nuqtani

tenglamadan topamiz:

. (10.5) A matrisa musbat aniqlangan bo’lganligi sababli barcha uchun . Agar bo’lsa, u holda (10.4) dan ko’ramizki, (10.1) sistemaning yechimini

zyxf

)( zyxf

)(

)(xf

),(2),()( xbxxAxf

nxxx ,...,, 21

x bAx 1

0)),((),(),(),(),(),(2),(),(2),(),(2),(),(2),()()(

xxxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxbxxAxbxxAxfxf

xx

x

)0(x

).,(2),(2)(),(2),(

|),2)((|)()(

02

00

ybxAyxAbxfyxAbyyAdd

yxbyxAddyxf

dd

yxf

)(xf )(2 bxA

bxA )0(х

)0(r)0()0( xAbr

)0(r)(xf )0(x )0(x

)0(r )( )0()0( rxf

0),(2),(2)( )0()0()0()0()0()0( rxAbrrArxfdd

),(),()0()0(

)0()0(

0 rArrr

0)0( r 0),( )0()0( rAr

0)0( r )0(x

110

beradi va shu bilan jarayon to’xtaydi. Agar bo’lsa, u holda navbatdagi yaqinla-shish sifatida

(10.6) vektorni olamiz.

So’ngra ni hisoblaymiz. Keyingi yaqinlashish vektori ni funksionalning minimumga erishish shartidan aniqlaymiz:

. Bu jarayonni davom ettirib, quyidagilarga ega bo’lamiz:

, (10.7)

, . (10.8) Bu metodning yaqinlashishi haqida quyidagi teoremani isbotlaymiz.

Teorema. Agar A musbat aniqlangan simmetrik matrisa bo’lsa, u holda gradiyent metodi bilan qurilgan ketma-ket yaqinlashishlar sistemaning yechimi ga geometrik progressiya tezligida yaqinlashadi. Aniqrog’i, agar A matrisaning xoc sonlari tengsizliklarni qanoatlan-tirsa, u holda ketma-ketlikning yechimga yaqinlashish tez-yaigi uchinchi normada quyidagicha baholanadi:

. Isbot. A matrysaning xos sonlarini quyidagicha

belgilaymiz, bularga mos keladigan ortonormallashtirilgan xos vektorlarni

orqali belgilaymiz. U holda ixtiyoriy

vektor uchun

tenglikka ega bo’lamiz. Bundan esa

tengsizliklar kelib chiqadi. Demak, matrisa musbat aniqlakgan bo’lganligi uchun shunday o’zgarmas va sonlar topiladiki,

tengsizliklar bajariladi.

Ushbu ayirmani qaraylik. (10.3) va (10.6) - (10.10) formulalarga ko’ra, murakkab bo’lmagan hisoblashlardan keyin quyidagilarga ega bo’lamiz:

. (10.9)

0)0( r

)0(0

)0()1( rxх

)1()1( xAbr )1(х)( )1()1( rxf

)1(1

)1()2()1()1(

)1()1(

1 ,),(

),( rxxrrA

rr

)()( kk xAbr

),(),()()(

)()(

kk

kk

k rrArr

)()()1( kk

kk rxx

)()1()0( ,...,, kxxx bxА x

i Mm i 0

}{ )(kx х

))()((1 )0(2

3

)(

xfxfmMmM

mxx

kk

0...21 n

nuuu ,...,, 21

)()2(2

)1(1 ... n

nucucucx

nncccxxA 22

221

21 ...),(

),()...(),()...(),( 122

2211

222

212 xxcccxxAcccxx nnn

A0m 0M

),(),(),( xxMxxAxxm

)()( )0()1( xfxf

),(),()(2),()()( )0()0(

2)0()0()0()0(

0)0()0(2

0)0()1(

rArrrrrrArxfxf

111

A — simmetrik matrisa, va bo’lganligi uchun .

Demak, (10.9) ga ko’ra

.

Endi ni matrisaning xos vektorlari bo’yicha yoyamiz: . U vaqtda,

va

. Demak,

. Quyidagicha

, belgilashni kiritib,

(10.10) tenglikni hosil qilamiz.

Quyidagini isbotlaylik: agar bo’lsa, u holda ixtiyoriy

haqiqiy sonlar uchun

(10.11)

tengsizlik o’rinlidir. Buni isbotlash uchun o’rniga sonlarni olamiz, u vaqtda

bo’lib,

tenglik o’rinly bo’ladi. Oxirgi ifodaga ikki son o’rta geometrigi uning o’rta

bxA )( )0()0( xxAr

),()(),()()( )0()0(1)0()0()0( rrAxxAxxxfxf

2)0()0(

)0()0(1)0()0(

)1()0(

)0(

),(),)(,(

)()()()(

rrrrArAr

xfxfxfxf

)0(r A

n

iiiuar

1

)0(

n

iiii

n

iiii uarAuarA

1

1)0(1

0

)0( ,

n

iii

n

iii arrAarrA

1

12)0()0(1

1

2)0()0( ),(,),(

n

kk

n

iii

n

iii

a

aa

xfxfxfxf

1

2

1

12

1

2

)1()0(

)0(

)()()()(

),0(1

1

1

2

2

n

iiin

kk

ii dd

a

ad

n

jjj

n

iii dd

xfxfxfxf

1

1

1)1()0(

)0(

)()()()(

),1(0 niMm i

1),,1(01

n

iii dnid

2

1

1

1 41

Mm

mMdd

n

jjj

n

iii

i mMi 1

mM

Mm

i

n

jjj

n

iii

n

jjj

n

iii dddd

1

1

11

1

1

112

arifmetigiday ortmasligi haqidagi teoremani qo’llaymiz:

. (10.12)

Ushbu funksiya bo’lganda (0, 1) oraliqda kamayib, oraliqda

o’sadi va o’zining eng kichik qiymatini nuqtada qabul qiladi;

oraliqda esa va nuqtalarda o’zining eng katta qiymatini qabul qiladi, bu qiymat

(10.13) ga tengdir. (10.12) ifodada har bir ni uning eng katta qiymati (10.13) bilan almashtiramiz, u holda

, shu bilan (10.11) isbotlandi. (10.11) ni (10.10) ga qo’llab,

ni hssil qilamiz, bu yerda . Bunla n esa deb belgilab olib, quyidagiga ega bo’lamiz:

. Shunday qilib, ixtifiy uchun ni hosil qilamiz. Endi ning ga intilish tezligini uchinchi normada baholaylik, bo’lganligi uchun

. Ravshanki .

Oxirgi ikki ifodadan . Shu bilan teorema isbot bo’ldi.

Mustaqil ishlash uchun savollar 1. Funksional gradiyent. 2. Gradiyentlar metodi. 3. Xos qiymat va xos vektorlar.

11-ma’ruza

MATRISALARNING XOS SON VA XOS VEKTORLARINI HISOBLASh Reja:

2

1

1

1

1

1)(

41

n

iiii

n

jjj

n

iii ddd

1)(

0 ),1(

1

mM

Mm ,

Mm

mM

mM

Mm

1 ii

22

11

1

1 41

41

mM

Mmd

mM

Mmdd

n

ii

n

jjj

n

iii

qmM

Mm

xfxfxfxf 1

41

)()()()(

2

)1()0(

)0(

10 q

cxfxf )()( )0(

cqxfxfqxfxf )1()]()()[1()()( )0()1(

k cqxfxf kk )1()()( )(kxx ),(),( xxmxxA

),(1),( )()()()(2

3

)( xxbxAm

xxxxxx kkkkk

)()(),( )()( xfxfxxbxA kkk

kkkk

mMmM

mcq

mcxfxf

mxx

2)(2

3

)( )1()]()([1

113

1. Xos son va xos vektorlarini topish masalasi. 2. A.N.Krilov metodi. 3. A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini

topish.

Tayanch iboralar: Xos qiymat, xos vektor, minimal ko’phad, diagonal minor, nol bo’lmagan vektor.

Agap biror noldan farqli vektor uchun

(11.1) tenglik bajarilsa, u holda son A kvadrat matrisaning xos soni yoki xarakteristik soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan har qanday noldan farqli vektor A matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektori deyiladi. Ko’rinib turibdiki, agar

xos vektor bo’lsa, u holda ( — ixtiyoriy son) vektor ham xos vektor bo’ladi. Matrisaning xos soni va xos vektori haqidagi ma’lumotlar matematikada va uning boshqa sohalardagi tatbiqlarida ham keng qo’llaniladi. Bu yerda iterasion prosessning yaqinlashishi va yaqinlashish tezligi V matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonining miqdoriga bog’liq edi.

Astronomiya, mexanika, fizika, ximiyaning qator masalalarida ayrim matrisalarning barcha xos sonlarini va ularga mos keladigan xos vektorlarini topish talab qilinadi. Bunday masala xos sonlarning to’liq muammosi deyiladi.

Ayrim masalalarda esa, masalan, yadro masalasida, matrisaning moduli bo’yicha eng katta yoki eng kichik xos sonini topish talab qilinadi. Tebranuvchi jarayonlarda esa matrisa xos sonlarining modullari bo’yicha ikkita eng kattasini aniqlashga zaruriyat tug’iladi. Matrisalarning bitta yoki bir nechta xos son va xos vektorlarini topish xos sonlarining qismiy muammosi deyiladi.

Bir jinsli (11.1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud bo’lishi uchun

(11.2) shart bajarilishi kerak. Bu tenglama odatda A matrisaning asriy (bu termin ayetronomiyadan kirib qolgan) yoki xarakteristak tenglamasi deyiladi. (11.2) tenglamannng chap tomoni

(11.3) -darajali ko’phad bo’lib, u A matrisaning xarakteristik ko’phadi deyiladi. Ayrim

hollarda (11.3) ko’phad o’rnida A matrisaning xos ko’phadi deb ataluvchi (11.4)

ko’phad bilan ish ko’riladi. Matrisaning xos sonlari uning xos ko’phadining ildizlari bo’ladi. (11.4) ko’phad - darajali bo’lganligi uchun u ta ildizga ega. A matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun

(11.5)

xxxA

x

x xa a

0

...............

...

...

)det()(

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

EAD

)...()1()det( 22

11 n

nnnn pppEA

n

nnnn pppp ...)( 2

21

1

n n

i

0)( xEA i

114

bir jinsli tenglamalar sistemasning noldan farqli yechimini topish kerak. Shunday qilib, xos son va xos vektorlarni topish masalasi uch bosqichdan iborat: 1) ni qurish, 2) tenglamani yechib, barcha xos sonlarni topish, 3) barcha larga mos kelgan xos vektorlarni (11.5) dan topish. Bu bosqichlarning har biri yetarlicha murakkab hisoblash masalalaridan iboratdir. Haqiqatan ham, (11.2) determinantning har bir satri va har bir ustunida qatnashganligi uchun, bunday determinantni ning darajalariga nisbatan yoyib chiqish, ya’ni (11.3) tenglikni hosil qilish katta qiyinchilnk tug’diradi. Algebradan ma’lumki, umumiy holda, ning koeffisiyentlarini A matrisaning ishora bilan olingan - tartibli bosh minoralari

ning yig’indisiga teng:

(11.6) va hokazo. Demak,

. (11.7) Yaqqol ko’rish mumkinki, A matrisaning -tartibli diagonal minoralarining soni ga teng. Demak, -tartibli matrisani xos ko’phadi ning kozffisiyentlarini bevosita hisoblash uchun

ta har xil tartibli determinantlarni hisoblash kerak. Yetarlicha katta uchun bu masela katta xisoblashlarni talab qiladi.

Viyet teoremasidan foydalgnib, quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:

Bu tengliklarni (11.6) tengliklarning birinchisi va (11.7) tekglik bilan solishtirsak,

kelib chiqadi.

Shunday qilib, matrisaning barcha xos sonlarining yig’nndisi uning izi tr ga (inglizcha trace — iz so’zidan) teng bo’lib, ularning ko’paytmasi shu matrisaning determinantiga teng. Bu yerdan xususiy holda quyidagi kelib chiqadi: A matrisaning hyech bo’lmaganda birorta xos soni nolga teng bo’lishi uchun bo’lishi zarur va kifoyadir.

Xos son va xos vektorlarni topish metodlari ikki gruppaga bo’linadi: aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion metodlar. Biriichi gruppaga kiradigan metodlar bo’yicha matrisaning xos ko’phadi topiladi (ya’ni koeffisiyentlar hisoblanadn), keyin uning ildizlarini topib xos sonlarni hosil qilinadi va nihoyat, xos sonlardan foydalanib xos vektorlar quriladi. Bu metodlarning aniq metodlar deyilishiga sabab shundan iboratki, agar matrisa elementlari aniq berilgan bo’lsa va hisoblashlar aniq olib borilsa, natijada xarakteristik ko’phad koeffisiyentlarining qiymatlari ham aniq

)(P

0)( P ),1( nii

i

)(P

1)1( i i

ip

lkj

lllklj

klkkkj

jljkjj

kj kkkj

jkjjn

jjj

aaaaaaaaa

paaaa

pap 321

1 ,,

Ap nn det)1( 1

iinC

n )(P

12...21 nnnnn CCC

n

.)1(...

,...1

21

121

nn

n

n

p

p

AAtraaa

n

nnn

det...,......

21

221121

0det A

nppp ,...,, 21

115

topiladi va xos vektorlarning komponentlari xos sonlar orqali aniq formulalar bilan ifodalanadi. Aniq metodlar, odatda, xos sonlarning to’liq muammosini yechish uchun qo’llaniladi.

Iterasion metodlarda xarakteristik sonlar xarakteris-tik ko’phad koeffisiyentlarini aniqlamasdan turib, bevosita hisoblanadi. Bu esa hisoblash masalasini juda soddalashtiradi: yuqori darajali algebraik tenglamalarni yechishdan ozod qiladi. Iterasion metodlarda xos sonlarni hisoblash bilan bir vaqtda xos vektorlar ham topiladi. Bu metodlarning sxemasi iterasion xarakterga ega. Bu metodlarda xos son va xos vektorlar sonli va vektorlar ketma-ketligining limiti sifatida topiladi.

A.N.Krilov metodi. Akademik A.N.Krilov 1931 yilda xos sonlar muammosini yechishning qulay metodini yaratadi. U o’z metodining g’oyasini tushuntirish uchun berilgan matrisa bilan bog’liq bo’lgan oddiy differensial tenglamalar sistemasini kiritadi va uning ustida almashtirish olib boradi. Bu almashtirishning algebraik mohiyatini aniqlash bilan N.N.Luzin, I.N.Xladovskiy, F.R.Gantmaxer, D.K.Faddevlar shug’ullanishgan.Biz bu yerda A.N.Krilov metodining manna shu algebraik interpretasiyasini ko’rib chiqamiz. Matrisalarning minimal ko’phadlari. Avval chiziqli algebradan ayrim ta’rif va teoremalarni keltiramiz. Agar kvadrat matrisa uchun

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda

ko’phad matrisa uchun nolga aylantiruvchi ko’phad deyiladi. Faqat keltirilgan, ya’ni bosh koeffisiyenti birga teng bo’lgan ko’phadlarni qaraymiz. Bunday ko’phadlarning to’plami bo’sh emas, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra matrisaning xos ko’phadi uning nolga aylantiruvchi ko’phadlaridir: . Demak, -tartibli ixtiyoriy kvadrat matrisa uchun -darajali nolga aylantiruvchi ko’phad mavjud. Bunday ko’phad yagona emas, chunki agar ga bo’linadigan har qanday boshqa ko’phad ham nolga aylantiruvchi ko’phad bo’ladi. matrisani nolga aylantiruvchi ko’phadlar orasida eng kichik darajaga ega bo’lgan yagona ko’phad mavjud. Bu ko’phad matrisaning minimal ko’phadi deyiladi. Har qanday nolga aylantiruvchi ko’phad, shu jumladan matrisaning xos ko’phadi ham minimal ko’phadga bo’linadi. Minimal ko’phadning ildizlari xos ko’phadning barcha bir-biridan farqli ildizlaridan iboratdir. Yana quyidagi tushunchani kiritamiz. Faraz qilaylik, biror vektor bo’lsin. Ma’lumki, o’lchovli fazoda tadan ortiq chiziqli erkli vektor bo’lishi mumkin emas. Shuning uchun

(11.8) vektorlar orasida chiziqli bog’lanish mavjuddir. Hattoki, ixtiyoriy vektor uchun ham

(11.9) chiziqli bog’lanish mavjud. Demak, matrisaning minimal ko’phadining darajasi dan kichik bo’lsa, (11.8) sistemada chiziqli erkli vektorlarning soni dan

A0...)( 1

110

EaAaAaAaAf mmmm

nmm aaaf ...)( 1

10 A

A)(P 0)( AP n

n)(P

A)(

AA )(P

cn n

cAcAcAc n,...,,, 2

c

0)( cA

A )(n n

116

kichikdir. Berilgan vektor uchun (11.10)

tenglikni qanoatlantiradigan ko’phadlar orasida bosh koeffisiyenti birga teng bo’lgan eng kichik darajali yagona ko’phad mavjudki, uning uchun

tenglik o’rinli bo’ladi. Bunday ko’phad vektorning minimal ko’phadi deyiladi va u (11.10) tenglikni qanoatlantiruvchi ko’phadning bo’luvchisi bo’ladi. Xususiy holda, ixtiyoriy vektorning minimal ko’phadi matrisa minimal ko’phadi

ning bo’luvchisi bo’ladi. Agar (11.8) sistemada vektorlar chiziqli erkli bo’lib, ularga chiziqli bog’liq bo’lsa,

, u holda

ko’phad matrisaning minimal ko’phadi ga yoki uning bo’luvchisi ga teng. Minimal ko’phadni topish. Endi A.N.Krilov metodini ko’rib chiqamiz. Ixtiyoriy noldan farqli vektorni olib,

(11.11) vektorlar ketma-ketligini tuzamiz. Yuqorida aytganimizdek, bu vektorlar orasida

(11.12) chiziqli kombinasiya mavjuddir. Agar buni koordinatalarda yozib olsak, larni topish uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

(11.13) Bu sistemaning determinanti

faqat vektorlar chiziqli erkli bo’lgandagina noldan farqlidir, chunki bu determinantning ustunlari shu vektorlar koordinatalaridan tuzilgan.

Agar Gauss metodining to’g’ri yurishidagi barcha qadam bajarilib, (11.13) sistema quyidagi

c0)( cA

)()( c

0)( cc c)(

c )(c A)( cAcAcAc m 12 ,...,,,

cАm

cAqcAqcqcА mmm

m 111 ...

0... 12

21

1

mmmmm qqqq

A )( )(с

),...,,( 00201)0( ncccc

),1(),...,,( 21)1()( niccccAc inii

ii

)()0()2(2

)1(1 ... n

nnn ccqcqcq

nqqq ,...,, 21

............

,...

,...

0,22,11

2022,222,11

1011,221,11

nnnnnnnn

nnnn

nnnn

ccqcqcq

ccqcqcqccqcqcq

nnn

n

cc

cc

0,1

011,1

..............................

......

)0()2()1( ,...,, ccc nn

n

117

(11.14) uchburchak shaklga keltirilsa, u holda bo’lib, vektorlar chiziqli erklidir. U vaqtda (11.14) sistemadan qaralayotgan kombinasiyaning koeffnsiyentlari ni topa olamiz.

Agar Gauss metodidagi to’g’ri yurishning faqat ta qadami bajarilsa, u holda faqat avvalgi ta torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli

chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz:

(11.15) Bu sistemadan Gauss metodi yordamida ta chiziqli erkli tenglamalarni ajratib olib,

kogffisiyentlarki topamiz. Shunday qilib, biz bo’lganda A matrisaning xos ko’phadini va

bo’lganda uning bo’luvchisini topishimiz mumkin. Avval bo’lgan holni ko’raylik. Bu xolda (11.12) chiziqli kombinasiyaning koeffisiyentlari

xos ko’phadning mos ravishda koeffisiyentlariga teng:

. Haqiqatan ham, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra

. Bu tenglikni vektorga ko’paytirib va

larni hisobga olib,

ga ega bo’lamiz. Bu tenglikni (11.12) dan ayirib,

(11.16) ni hosil qilamiz.

vektorlar chiziqli erkli bo’lganligi uchun (11.16) tenglik faqat bo’lgandagina bajariladi.

Demak, bo’lganda qurilgan chiziqli kombinasiyaning ko’rinishiga qarab, A matrisaning xos ko’phadini yozish mumkin. tenglamani yechib matrisaning barcha xos sonlarini topamiz. Agar bo’lsa, qurilgan chiziqli kombinasiya

nn

nn

nn

dq

dqbqbqdqbqbqbq

..................

223232

113132121

0 )1()1()0( ,...,, nccc

11 ,...,, qqq nn

m

m )1()1()0( ,...,, mccc)()0()2(

2)1(

1 ... mm

mm ccqcqcq

............

,...

,...

0,22,11

2022,222,11

1011,221,11

mnnmnmnm

mmmm

mmmm

ccqcqcq

ccqcqcqccqcqcq

m

11 ,...,, qqq mm

nm nm nm

nqqq ,...,, 21

nnn ppP ...)( 1

1

nppp ,...,, 21

),...,2,1( nipq ii

0...)( 11 EpApAAP n

nn

)0(c),...,2,1()()0( niccA ii

)()0()2(2

)1(1 ... n

nnn ccpcpcp

0)(...)()( )0()2(22

)1(11 cpqcpqcpq nn

nn

)1()1()0( ,...,, nccc),...,2,1( niqp ii

nm )(P 0)( P

nm

118

(11.17) ko’rinishga ega bo’dadi. Endi larni hisobga olib (2.10) tenglikni

yoki

ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda

. Demak, izlanayotgan kombinasiyaning koeffisiyentlari vektorning minimal ko’phadi ning koeffisiyentlaridir. Bunday ko’phad vektorlar chiziqli erk-li bo’lganligi uchun yagonadir.

Shunday qilib, bo’lganda biz ning bo’luvchisini topamiz va tenglamani yechib, matrisaning bir qism xos sonlarini topamiz. Dastlabki

vektorni boshqacha tanlab, qolgan xos sonlarni ham topish mumkin. Shu bilan birga yangi tanlangan vektor oldin aniqlangan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi bo’lmasligi kerak.

Matrisaning xos vektorlarini topish. Endi xos vektorlarni topish masalasiga o’tamiz. Faraz qilaylik,

minimal ko’phadning ildizi bo’lsin (keyingi mulohazalar va hollar uchun bir xil). A matrisaning xoc soniga mos keladigan xoc vektorini oldingi punktda topilgan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi shaklida izlaymiz:

. (11.18) Bu tenglikni A ga ko’paytirib va ham tengliklarni hisobga olib,

(11.19) ga ega bo’lamiz. Bundan tashqari, yana

ni hisobga olsak, u holda (11.19) ni

yoki

ko’rinishda yozib olishimiz mumkin. Bundan vektorlarning chiziqli erkliligini hisobga olsak,

)()0()2(2

)1(1 ... m

mmm ccqcqcq

),...,2,1()0()( micAc il

0)...( )0(22

11 cEqAqAqA m

mmm

0)( )0()0( cA

c

mmmm

c qqq ...)( 22

11)0(

mqqq ,...,, 21)0(c

)()0( c)1()1()0( ,...,, mccc

nm )(P )()0( с

0)()0( с

)0(с

i

mmmm

c qqq ...)( 22

11)0(

nm nm

i )(lx)1()1()0( ,...,, mccc

)1()1(2

)0(1

)( ... mimii

l cccx

)1()( jj cAc)()( i

ii xxА

)()2(2

)1(1

)1()1(2

)0(1 ...)...( m

imiim

imiii cccccc

0...)( )0()2(2

)1(1

)()0()0( cqcqcqccA m

mmmc

)...(

...)...()0()1(

1)2(

2)1(

1

)1(1,

)2(2

)1(1

)1()1(2

)0(1

cqcqcqcq

cccccc

mmmm

im

mmiii

mimiii

0)(

)(...)()()1(

11,

)2(22,1,

)1(112

)0(1

mimmiimi

mimmimiimimiiimimii

cq

cqcqcq

)1()1()0( ,...,, mccc

119

tengliklar kelib chiqadi. Oxirgi tenglikdan boshlab, ketma-ket larni topamiz:

Oxirgi tenglik barcha lar uchun o’rinlidir, chunki

. Bu tenglikdan hisoblashni kontrol qilish uchun foydalanish mumkin. Hisoblashni soddalashtirish maqsadida deb olishimiz mumkin. Unda qolganlari quyidagicha topiladi:

(11.20) Bularny hisoblashda Gorner sxemasidan foydalanish ma’quldir. Agar berilgan xos songa A matrisaning bir necha xos vekto ri mos kelsa, u holda ularni izlash uchun boshqa dastlabki vektorni tanlab olib, shu hisoblash jarayonini takrorlash mumkin.


1. Matrisaning xos qiymat va xos vektorlari. 2. Xos sonlarning qismiy va to’liq muammosi. 3. Aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion usullar.

0,0

.......,0

,0

11,

22,1,

112

1

qq

qq

immiimi

immimii

mimiii

mimii

ik

.0)...(,)...(

........,)(

,)(

11

12

11

1

212

2,

11,

immmi

mi

immmi

mii

imiimi

imimi

qqqq

qq

q

im

0...)( 11

mmi

miic qq

1im

............

,

,,1

12

11

1

212

2,

11,

mmi

mii

iimi

imi

im

qq

qq

q

i

120

12-ma’ruza

XOS SONLARNING QISMIY MUAMMOSINI YeChIShNING ITERASION METODLARI

Reja:

1. Qismiy muammo masalasida iterasion metodlar. 2. Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali

metod. 3. Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish.

Tayanch iboralar: simmetrik, ermit va normal matrisalar, xarakteristik tenglamalar, xususiy qiymat va vektorlar.

Ta’rif. Agar -tartibli kvadrat matrisa ta chiziqli erkli xos vektorlarga

ega bo’lsa, bunday matrisa oddiy strukturaga ega deyiladi. Chiziqli algebradan ma’lumki, matrisalarning quyidagi sinflari oddiy

strukturaga ega: 1. Simmetrik matrisa, chunki uning xos qiymatlari haqiqiy sonlar bo’lib, xos vektorlardan tuzilgan ortogonal bazis mavjuddir. 2. Ermit matrisasi, uning barcha xos sonlari haqiqiy bo’lib, xos vektorlaridan mos ravishdagi o’lchovli kompleko fazoda ortonormal bazis tuzish mumkin. 3. Normal matrisa. Agar A matrisa o’zining qo’shmasi bilan kommutativ, ya’ni

bo’lsa, u holda A matrisa normal deyiladi. Umuman olganda, bu uchta sinfga tegishli matrisalardan tashqari oddiy strukturaga ega bo’lgan boshqa matrisalar xam mavjud. Biz avval moduli bo’yicha eng katta xos son va unga mos kelgan xos vektorni topish bilan shug’ullanamiz. Keyin esa moduli bo’yicha kattalik jihatdan ikkinchi o’rinda turgan xos son va unga mos keladigan xos vektorni topamiz.

Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod. Faraz qilaylik, A matrisa oddiy strukturaga ega va uning xos sonlari

bo’lib, ularga mos keladigan chiziqli erkli xos vektorlar bo’lsin. Bu yerda to’rt holni ko’rib chiqamiz:

1-hol. A matrisaning xos sonlaridan bittasi moduli bo’yicha eng katta bo’lsin. Umumiylikka zarar yetkazmasdan xos sonlar quyidagi tartibda joylashgan deb faraz qilishimiz mumkin:

. (12.1) Biz , ning taqribiy qiymatini topish usulini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy noldan farqli vektorni olib, uni A matrisa xos vektorlari bo’yicha yoyamiz:

. Bu yerdan lar o’zgarmas sonlar bo’lib, ayrimlari nol bo’lishi ham mumkin. vektor ustida matrisa yordamida almashtirish bajaramiz:

n А n

nA

AAAA

n ,...,, 21

)()2()1( ,...,, nxxx

||...|||||| 321 n

1)0(y

)()2(2

)1(1

)0( ... nn xbxbxby

ib )0(ykA

121

.

Bu yerdan ekanligini hisobga olib,

(12.2) ga ega bo’lamiz.

Endi o’lchovli vektorlar fazosi da ixtigriy bazis olamiz. Shu bazisda

,

bo’lsin. (12.2) tenglikni koordinatalarda yozib chiqamiz:

(12.3) Shunga o’xshash

(12.4) Bu yerda deb belgilab, (12.4) ni (12.3) ga bo’lamiz:

. (12.5) Faraz qilaylik, bo’lsin, bunga erishish uchun dastlabki vektor va

bazisni kerakli ravishda tanlash kerak. Endi va deb (12.5) ni quyidagicha yozamiz:

. (12.6) Bu yerdan esa (12.1) ni hisobga olsak, da kelib chiqadi.

Demak, (12.6) ni quyidagicha yozishimiz mumkin:

. Bu yerdan esa yetarlicha katta lar uchun

(12.7) deb olishimiz mumkin. Odatda vektorning bir necha koordinatalari noldan farqli bo’ladi. Shuning uchun (12.7) da nisbatni ning bir necha qiymatida hisoblash mumkin. Agar bu nisbatlar yetarli aniqlikda ustma-ust tushsa, u holda biz , ni yetarli aniqlik bilan topgan bo’lamiz. Ravshanki, bu jarayonning yaqinlashish tezligi

ning kichikligiga bog’liqdir. Eslatma. Yuqoridagi iterasion jarayonning yaqinlashishini tezlashtirish uchun

n

j

jkj

kk xAbyAy1

)()0()(

)()( jkj

jk xxA

n

j

jkjj

k xby1

)()(

n nR neee ,...,, 21

),...,,( )()(2

)(1

)( kn

kkk yyyy

),...,,( 21)( njjj

j xxxx

),1(1

)( nixbyn

j

kjijj

ki

n

j

kjijj

ki xby

1

1)1(

ijjij хbc

knin

ki

ki

knin

ki

ki

ki

ki

cccccc

yy

......

2211

1122

111

)(

)1(

01 ic )0(y

neee ,...,, 21 1i

ijij c

cd

11

i

knin

ki

knin

ki

ki

ki

dddd

yy

...1

...1

22

1122

1)(

)1(

k 0... 2 kkn

)||(0)]||(01[)]||(01[)]||(01[ 212121

21)(

)1(kkakk

ki

ki

yy

k

)(

)1(

1 ki

ki

yy

)1(xi

i

2

122

ayrim hollarda quyidagi matrisalar ketma-ketligini tuzish foydalidir:

Bu yerdan esa deb olib,

va

ga ega bo’lamiz.

Topilgan eng katta xos son ga mos keladigan xos vektor sifatida ni olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, (12.2) formuladan

ga ega bo’lamiz. Bu yerdan

.

Agar biz ekanligini hisobga olsak, u holda yetarli aniqlik bilan

ga ega bo’lamiz, ya’ni xos vektor dan sonli ko’paytuvchi bilan farq qilyapti va, demak, u xoc songa mos keladigan xos vektordir.

2-hol. A matrisa xos sonining moduli bo’yicha eng kattasi karrali bo’lsin. Faraz qilaylik,

bo’lsin. Bu holda (12.5) tenglik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

. (12.8) Bu yerda ham deb faraz qilamiz va

belgilashlarni kiritib, (12.8) ni quyidagicha yozamiz:

.

Bundan esa, ni hisobga olib,

ga ega bo’lamiz. Shunday qilib, yuqorida keltirilgan jarayon bu yerda ham o’rinlidir.

.

.....,

,

12122

224

2

mmm AAA

AAAAAA

mk 2)0()( yAy kk

)()1( kk yAy

i )(ky

n

j

jkjj

kk xbxby2

)()1(11

)(

n

j

jkj

jkk xbb

xby2

)(

1

)1(11

)(

0

k

kj

)1(11

)( xby kk )(ky )1(х

1

||...||||||,...

211

21

nss

s

knin

kssi

kisi

knin

kssi

kisi

ki

ki

cccccccc

yy

...)...(

...)...(

11,11

1111,

111

)(

)1(

0...1 isi cc

11

),(...

i

iisi

ijij sj

ccc

d

knin

kssi

knin

kssi

ki

ki

dddd

yy

...1...1

11,

1111,

1)(

)1(

001

k

ks

)|(|0 1)(

)1(

1k

ski

ki

yy

123

1) holdagidek A matrisaning , xos soniga mos keladigan xos vektor sifatida taqribiy ravishda ni olishimiz mumkin. Umuman aytganda, boshqa dastlabki vektorni tanlab boshqa xos vektorga ega bo’lamiz. Shunday kilib, ga mos keladigan boshqa xos vektorlarni ham topish mumkin.

3-hol. Faraz qilaylik, A matrisaning xos sonlari quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

va

. Bu yerda yuqoridagi iterasion jarayonni qo’llab bo’lmaydi. Haqiqatan ham, (12.3) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerda va hadlar bir xil tartibga ega bo’lib, ning o’zgarishi bilan ikkinchisi o’z ishorasini o’zgartiradi. Demak,

nisbat da limitga ega bo’lamaydi. Lekin bu yerda va yoki va dan foydalanib, ni topishimiz mumkin:

Shunday qilib, bu holda matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonini topishimiz mumkin. A matrisaning va xos sonlarga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun va vektorlarni tuzamiz:

A matrisaning xos soniga xoc vektor va xoc soniga

xos vektor mos keladi. Shuning uchun ham, ga mos keladigan xos vektor sifatida ni olshshshiz mumkin. Arap va yoki bularning birortasi birdan katta bo’lsa, u holda boshqa dastlabki vektorni tanlab shu jarayonni takrorlash kerak.

4-hol. Bu holga A matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonlari qo’shma kompleks bo’lgan hol yoki modullari bilan o’zaro juda yaqin bo’lgan hol kirali. Faraz qilaylik, va xos sonlar qo’shma kompleks sonlar bo’lib, quyidagi shartni qanoatlantirsin:

i)(ky )0(y

)0(yAki

prrri ...... 1

||...||||...|| 11 nprpr

....)1(...

))(...()...(

11,11,11

11,11,1,1111)(

knin

kprpri

kkri

ki

kninn

kprpripr

kpriprrir

kirri

ki

ddddxb

xbxbxbxbxby

kid 11

kkrid 11, )1( k

)(

)1(

ki

ki

yy

k)2( k

iy )22( kiy )12( k

iy)12( k

iy 21

).||(0

),||(0

21

21)12(

)12(

21

21)2(

)22(

kpkk

i

ki

kpkk

i

ki

yyy

y

A

1 1)(

1)1( kk yy )(

1)1( kk yy

)].||(0)...(2[)(

)],||(0)...(2[)(

...)()...(2

1)()1(

11

1)(

1)1(

1)()1(

1)1(

1)(

1

)1(1111

)()1(1

11

)(1

)1(

kpr

prpr

rr

kkk

kpr

rr

knn

knn

prkprprpr

rr

kkk

xbxbyy

xbxbxb

xbxbxbyy

1)()1(

1 ... rr xbxb 1

)()1(1 ... pr

prr

r xbxb

1)(

1)1( kk yy

r p)0(y

1 2

124

. Bu holda, quyidagi taqribiy tengliklarning o’rinli ekanligiga osongina ishonch hosil qilish mumkin:

(12.9) Demak, bu vektorlar orasida quyidagi taqribiy chiziqli bog’lanish mavjud:

. Agar hisoblash jarayonida vekterlar orasida

(12.10) chiziqli bog’lanish o’rinli bo’lsa, u holda va lar

(12.11) kvadrat tenglamani qanoatlantiradi. Bu tenglamaning va koeffisiyentlarini quyidagi mulohazalar yordamida topish mumkin. (12.10) tenglikda komponentlarga o’tsak,

bo’lib, deb olamiz. Bu yerdan r va q ni topib, (12.11) ga qo’ysak, u holda (12.11) ni quyidagicha yozsak bo’ladi:

. (12.12) (12.11) tenglikdan va topilgandan keyin ularga mos keladigan xos vektorlarni ham topish mumkin, (12.9) dan

ga ega bo’lamiz. Bu natijalarni, modullari teng yoki yaqin bo’lgan xos sonlarning soni bir juftdan ko’p bo’lgan hol uchun ham umumlashtirish mumkin.

Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish. Faraz qilaylik, A matrisaning xos sonlari quygidagi shartni kanoatlantirsin:

, ya’ni A matrssaning bir-biridan farqli bo’lgan ikkita modullari bo’yicha eng katta xos soni mavjud bo’lsin. Bunday vaqtda 1-holda ko’rilgan usulga o’xshash usulni qo’llab,

va unga moo keladigan xos vektorni topish mumkyan. (12.2) formulaga ko’ra (12.13)

(12.14) Bu tengliklarda , ni yo’qotish uchun (12.13) ni ga ko’paytirie (12.14) dan ayiramiz. Natijada

||...|||||| 321 n

)2(222

)1(211

)2(

)2(122

)1(111

)1(

)2(22

)1(11

)(

,

,

xbxbyxbxby

xbxby

kkk

kkk

kkk

0)( )(21

)1(21

)2( kkk yyy )2()1()( ,, kkk yyy

0)()1()2( kkk yqypy

1 2

02 qpuup q

0

,0)()1()2(

)()1()2(

kj

kj

kj

ki

ki

ki

qypyyqypyy

ji

);,1,(01

)2()2(2

)1()1(

)()(

jinjiyyuyyuyy

kj

ki

kj

ki

kj

ki

1 2

)1(2111

)(2

)1(

)2(1222

)(1

)1(

)(

,)(

xbyyxbyy

kkk

kkk

||...|||||| 321 n

2 )2(x,... )()2(

22)1(

11)( nk

nnkkk xbxbxby

.... )(1)2(122

)1(111

)1( nknn

kkk xbxbxby

1 1

125

(12.15) ga ega bo’lamiz.

Yozuvni qisqartirish maqsadida ning -ayirmasi deb ataluvchi quyidagi

belgilashni kiritamiz. Agar bo’lsa u holda da (12.15) da birinchi qo’shiluvchi yigindiping bosh qismi buladi va biz

(12.16) taqribiy tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerdan esa

. (12.17) Bu tengliklarni komponentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz:

. (12.18)

Bu formula yordamida ni topishimiz mumkin. Bir-biriga yaqin sonlar va

hamda va bo’lganligi uchun aniqlik yo’qoladi. Shuning uchun ham, praktikada ni aniqlaidigan iterasiya nomeri ni ni aniqlaydigan nterasiya nomeri Dan kichikroq qilib olish, ya’ni ni quyidagicha aniqlash ma’quldir:

. (12.19)

Agar yetarlicha katta bo’lsa, ning dan ortiqligi sezilib qoladi, sifatida shu larning eng kichigini olish kerak. Umuman aytganda, (12.19) formula

ning qo’pol qiymatini beradi. Shu usul bilan qolgan xos sonlarni ham topish mumkin, lekin natija yana ham qo’polroq chiqadi.

(12.16) dan ko’rinib turibdiki, dan faqat o’zgarmas ko’payuvchiga farq qilyapti, shuning uchun ham

deb olishimiz mumkin.


1. Matrisaning xos son va xos vektorlari 2. Moduli bo’yicha eng katta xos soni hisoblashning iterasion usullari 3. Perron teoremasi. 4. Vektorning berilgan bazisdagi koordinatalari

)(1

)2(1222

)(1

)1( )(...)( nn

knn

kkk xbxbyy

)(ky )()1()( kkk yyy

0b k

)2(1222

)( )(1

xby kk

)2(12

122

)1( )(1

xby kk

)1(1

)(

)(1

)1(

)1(

)(

21

1

k

jk

j

kj

k

kj

kj

yyyy

yy

2)(k

jy)1(

1k

jy )1( kjy )(

1k

jy

2 m 1

k 2

)()1(1

)(

)(1

)1(

2 kmyy

yym

jm

j

mj

mj

l l2 .)..,4,3( jl

j ml

2

)()2(1

myx

)()2(1

myx

126

13-ma’ruza

FUNKSIYaLARNI INTERPOLYaSIYaLASh. LOGRANJ INTERPOLYaSION FORMULASI

Reja:

1. Interpolyasiyalash masalasi. 2. Logranj interpolyasion formulasi. 3. Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblash.

Tayanch iboralar: Interpolyasiyalash, boshlang’ich qiymat, tugun nuqta, funksiya, Kroneker simvoli, ko’phad, xato.

Aksariyat hisoblash metodlari masalaning qo’yilishida qatnashadigan

funksiyalarni unga biror, muayyan ma’noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo’lgan funksiyalarga almashtirish g’oyasiga asoslangan.

Ushbu mavzuda funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining eng sodda va juda keng qo’llaniladigan qismi — funksiyalarni interpolyasiyalash masalasi qaraladi.

Dastlab interpolyasiyalash deganda funksiyaning qiymatlarini argumentning jadvalda berilmagan qiymatlari uchun topish tushunilar edi. Bu holda interpolyasiyalashni «satrlar orasidagilarni o’qiy bilish san’ati» deb ham ta’riflash mumkin. Hozirgi vaqtda interpolyasiyalash tushunchasi juda keng ma’noda tushuniladi. Interpolyasiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik,

oraliqda funksiya berilgan yoki hyech bo’lmaganda uning qiymatlari ma’lum bo’lsin. Shu oraliqda aniqlangan va

hisoblash uchun qulay bo’lgan qandaydir funksiyalar { } sinfini, masalan, ko’phadlar sinfini olamiz. Berilgan funksiyani oraliqda interpolyasiyalash masalasi shu funksiyani berilgan sinfning shunday funksiyasi bilan taqribiy ravishda

almashtirishdan iboratki, berilgan nuqtalarda bilan bir xil qiymatlarni qabul qilsin:

. Bu yerda ko’rsatilgan nuqtalar interpolyasiya tugunlari yoki tugunlar deyiladi, esa interpolyasiyalovchi funksaya deyiladi. Agar { } sinfi sifatida darajali ko’phadlar sinfi olinsa, u holda interpolyasiyalash algebraik deyiladi. Algebraik interpolyasiyalash apparati hisoblash matematikasining ko’p sohalarida qo’llaniladi, chunonchi, differensiallash va integrallashda, transsendent, differensial va integral tenglamalarni yechishda, funksiya ekstremumini topishda, hamda

],[ ba )(xfy

)(,...),(),( 10 nxfxfxf)(xP

)(xfy ],[ ba)(xP

)()( xPxf )(xP nxxx ,...,, 10 )(xf

),0()()( nixfxP ii

nxxx ,...,, 10

)(xP )(xP

127

funksiya jadvalini tuzishda. Teylor yoyilmasi klassik analizda qay darajada ahamiyatga ega bo’lsa, algebraik interpolyasiyalash ham hisoblash matematikasida shunday ahamiyatga egadir. Ayrim hollarda interpolyasiyalashning boshqa ko’rinishlarini qo’llash maqsadga muvofiqdir. Masalan, Davriy funksiya bo’lsa, u holda { } sinfi sifatida trigonometrik funksiyalar sinfi olinadi; agar interpolyasiyalanadigan funksiya berilgan nuqtalarda cheksizga aylanadigan bo’lsa, u holda { } sinfi sifatida rasional funksiyalar sinfini olish ma’quldir.

Lagranj interpolyasion formulasi. Biz asosan algebraik interpolyasiyalash bilan shug’ullanamiz. Masalaning qo’yilishi quyidagichadir. Darajasi dan yuqori bo’lmagan shunday ko’phad qurilsinki, u berilgan ( ) ta nuqtalarda berilgan

qiymatlarni qabul qilsin. Bu masalani geometrik ta’riflash ham mumkin: darajasi dan ortmaydigan shunday ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan ( ) ta

nuqtalardan o’tsin. Demak, koeffisiyentlarni shunday aniqlash kerakki,

(13.1) ko’phad uchun ushbu

(13.2)

tengliklar bajarilsin. Bu tengliklarni ochib yozsak, larga nisbatan ( ) noma’lumli ( ) ta tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

(13.3) Bu sistemaning determinanti Vandermond determinantidir: . Masala mazmunidan ravshanki, nuqtalar bir-biridan farqli, demak bu determinant noldan farqlidir. Shuning uchun ham (13.3) sistema va shu bilan birga qo’yilgan interpolyasiya masalasi yagona yechimga ega. Bu sistemaii yechib, larni topib (13.1) ga qo’ysak, ko’phad aniqlanadi. Biz ning oshkor ko’rinishini topish uchun boshqacha yo’l tutamiz, avvalo fundamental ko’phadlar deb ataluvchi larni, ya’ni

shartlarni qanoatlantiradigan p- darajali ko’phadlarni quramnz. U holda

(13.4) izlanayotgan interpolyaiion ko’phad bo’ladi. Haqiqatan ham, barcha

)(xf)(xP

)(xP

n

1n nxxx ,...,, 10

)(,...),(),( 10 nxfxfxfn

)(xP 1n

),0())(,( nkxfxM kkk

mcn

n xcxccxP ...)( 10

nkxfxP kk ,...,1,0),()(

),0( nmcm 1n1n

).(............

),(...

),(...

2210

11212110

00202010

nnnnnn

nn

nn

xfxcxcxcc

xfxcxcxccxfxcxcxcc

),...,,( 10 nxxxW

kx

mc)(xP )(xP

)(xQnj

булгандаjiбулгандаji

xQ jiinj ,1

,,0)(

n

jnjjn xQxfxL

0)()()(

ni ,...,2,1,0

128

uchun

va ikkinchi tomondan - darajali ko’phaddir.

Endi ning oshkor ko’rinishini topamiz, bo’lganda , shuning uchun ham ko’phad bo’lganda ga bo’linadi. Shunday qilib, - darajali ko’phadning ta bo’luvchilari bizga ma’lum, bundan esa

kelib chiqadi. Noma’lum ko’paytuvchi ni esa

shartdan topamiz; natijada:

. Bu ifodani (2.4) ga qo’yib, kerakli ko’phadni aniqlaymiz:

. (13.5) Bu ko’phad Lagranj interpolyasion ko’phadi deyiladi,

Bu formulaning xususiy hollarini ko’raylik: bo’lganda. Lagranj ko’phadi ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq formulasini beradi:

. Arap bo’lsa, u vaqtda kvadratik interpolyasion ko’phadga ega bo’lamiz, bu ko’phad uchta nuqtadan o’tuvchi va vertikal o’qqa, ega bo’lgan parabolani aniqlaydi;

. Endi Lagranj interpolyasion formulasshshng boshqa ko’rinishini keltiramiz.

Buning uchun

ko’phadni kiritamiz. Bundan hosila olsak,

. Kvadrat qavs ichidagi ifoda va bo’lganda nolga lanadi, chunki ( ) ko’paytuvchi qatnashadi. Demak,

.

Shuning uchun ham, Lagranj koeffisiyentini

)()()()()(00

i

n

j

jij

n

jinjjin xfxfxQxfxL

)(xLn n)(, xQ jn ij 0)(, ijn xQ

)(, xQ jn ij ixx n n

ji

ijn xxCxQ )()(,

C1)()(,

jiijjjn xxCxlQ

ji ij

ijn xx

xxxQ )(,

n

j ji ij

ijn xx

xxxfxL0

)()(

1n

)()()( 110

00

01

11 xf

xxxx

xfxxxxxL

2n

)())((

))(()(

))(())((

)())((

))(()( 21202

101

2101

200

2010

212 xf

xxxxxxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxxxxxxxL

n

iin xxx

01 )()(

n

k jiin xxx

01 )()(

jxx jk ij xх

ji

ijjn xxx )()(1

ji ij

i

xxxx

129

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan esa Lagranj ko’phadi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

. (13.6) Endi tugunlar bir xil uzoqlikda joylashgan:

xususiy holni ko’ramiz.

Bu holda soddalik uchun almashtirish bajaramiz, u holda

, bu yerda

bo’lib, (2.6) Lagranj interpolyasion ko’phadi quyidagi ko’rinish-yai oladi:

. (13.7)

Eytken sxemasi. Interpolyasion ko’phadni qurish uchun hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida Eytken sxemasini qo’llash qulaydir. orqali

tugunlar yordamida qurilgan -darajali ko’phadni belgilaymiz, Ma’lum (2.5) formulaga ko’ra

Endi ifoda va lardan qanday qonuniyat bilan tuzilgan bo’lsa, xuddi shu qonuniyat bilan va yordamida tuzilgan

ifodani ko’rib chiqamiz. Ko’rinib turibdiki, ikkinchi darajali ko’phad bo’lib,

tengliklar o’rinlidir. Demak,

.

))(()(

1

1

jjn

n

xxxx

n

j jjn

njn xxx

xxfxL

0 1

1

))(()()(

)(

hxxxxxx nn 11201 ...

thxx 0

)()(),( 11

1 thxjthxx nn

nj

njnjnn hjnjxntttt !)(!)1()(),(...)1()( 11

n

j

jjn

nn jnjjtxf

xthxL0

10 !)(!)()()1(

)()(

)()...012( xL n

nxxх ,...,, 10 n

.)()(

)()()(

,)()(

)()()(

,)()(

)()()(

02

22

00

202

00

20

2)2,0(

12

22

11

202

11

21

2)2,1(

01

11

00

101

00

10

1)01(

xxxxxfxxxf

xfxxxxxf

xxxxxL

xxxxxfxxxf

xfxxxxxf

xxxxxL

xxxxxfxxxf

xfxxxx

xfxxxxxL

)()2,0( xL )( 0xf )( 2xf)()01( xL )()12( xL

02

2)12(

0)01(

)()(

)(xx

xxxLxxxL

xP

)(xP

)()(),()(),()( 221100 xfxPxfxPxfxP

)()( )012( xLxP

130

Shunday qilib, va ga birinchi tartibli interpolyasiyani qo’llab, ko’phadga ega bo’ldik. Xuddi shu natijani qolgan ikki formuladan ham hosil qila olamiz:

Bu jarayonni cheksiz davom ettirshshmiz mumkin.

Shunday qilib, ta nuqta yordamida -darajali inter-polyasion ko’phad qurish uchun shu nuqtalarning tasi yordamida tuzilgan ikkita bir-biridan farqli (

)-darajali interpolyasion ko’phadlarga birinchi tartibli interpolyasiyani qo’llash kerak. Masalan,

. Yuqorida keltirilgan sxema Eytken sxemasi deyiladi. Odatda Eytken sxemasi ning umumiy ko’rinishini topish uchun emas, balki uning biror nuqtadagi qiymatini hisoblashda foydalaniladi. Hisoblashlarni 1- jadval shaklida yozish ma’quldir.

1- jadval


1. Interpolyasiyalash masalasi. 2. Xususiy interpolyasiyalash. 3. Interpolyasiyalashning umumiy masalasi. 4. Lagranj interpolyasion formulasining har xil ko’rinishi. 5. Teng uzoqlikda joylashgan tugunlar. 6. Xatoni baholash.

)()01( xL )()12( xL )()012( xL

.)()(

)(

,)()(

)(

01

1)12(

0)02(

)012(

12

2)02(

1)01(

)012(

xxxxxLxxxL

xL

xxxxxLxxxL

xL

1n nn

1n

04

4)0124(

0)0123(

34

4)0124(

3)0123(

)01234(

)()(

)()(

)(xx

xxxLxxxL

xxxxxLxxxL

xL

)(xLn

x

ix iy xxi ),1( iiL ),...,2( iiL ),...,3( iiL ),...,4( iiL ),...,4( iiL

5

4

3

2

1

0

xxxxxx

5

4

3

2

1

0

yyyyyy

xxxxxxxxxxxx

5

4

3

2

1

0

)()(

)()()(

)45(

)34(

)23(

)12(

)01(

xLxLxLxLxL

)()()()(

)345(

)234(

)123(

)012(

xLxLxLxL

)()()(

)2345(

)1234(

)0123(

xLxLxL

)(

)(

)12345(

)01234(

xLxL

)()012345( xL

131

14-ma’ruza

TUGUNLAR TENG UZOQLIKDA JOYLAShGAN HOL UChUN NYuTON INTERPOLYaSION FORMULALARI

Reja:

1. Chekli ayirmalar va ularning xossalari. 2. Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadlari.

Tayanch iboralar: Chekli ayirmalar, ayirmalar, tugun nuqtalar, qoldiq had, gorizontal va diognal tablisalar.

Ushbu mavzuda interpolyasiya tugunlari teng uzoqlikda joylashgan holni,

ya’ni bo’lgan holni qaraymiz. Bu holda interpolyasion formulaning ko’rinishlari ancha soddalashadi. Biz xozir Nyutonning ikkita interpolyasion formulasshi chiqaramiz. Bularning birinchisi funksiyani jadval boshida va ikkinchisi jadval oxirida interpolyasiyalash uchun mo’ljallangan.

Faraz qilaylik, tugunlar bo’yicha tuzilgan Nyuton interpolyasion ko’phadi bo’lsin:

. (14.1) Bundagi bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtiraylik.

Ushbu almashtirishni ham bajargandan keyin (9.1) ko’phad quyidagi ko’rinishga zga bo’ladi:

(14.2)

Bu formulaning qoldiq hadi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

(14.3)

(14.2) formula Nyutonning jadval boshidagi yoki cum interpolyasion formulasi deyiladi.

Endi (14.1) formulada interpolyasiyalash tugunlari sifatida tugunlarni olamiz:

(14.4)

Bo’lingan ayirmalar o’z argumentining simmetrik funksiyasi bo’lganligi uchun

)...,2,1,0(0 iihxxi

nn xxxxL ,...,,)( 10

))...()(,...,(...))(,()()( 1000100 nnn xxxxxxfxxxxfxfxL

thxx 0

.!

)]1()...[1(...!3

)2)(1(2

)1()( 2/3

2/32

11

2/100n

nn fn

ntttftttftttffthxL

))...(1(!)1(

)(!)1()())...()(()(

)1(1)1(

000 ntttnfh

nfnhxxhxxxxxR

nnn

n

nxxx ,...,, 10

))()(,,())(,()()( 102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxL n

)(...))(,...,(... )1(00 nn xxxxxxf

132

. (14.4) formulada yana bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtirib va

deb olib, quyidagini hosil qilamiz;

. (14.5) Bu formulaning qoldiq hadi

ko’rinishda bo’ladi.

Endi qoldiq had to’g’risida bir oz to’xtalib o’taylik. Ayrim hollarda, xususan qiymatlar tajriea yo’li bilan hosil qilingan bo’lsa, ni baholash ancha

mushkul bo’ladi. Shuning uchun qo’pol bo’lsa ham, soddaroq yo’l bilan baholash ma’quldir. Qaralayotgan oralikda hosila , demak, ayirma ham sekin o’zgaradi deb faraz qilib, (14.3) formula bilai berilgan qoldiq hadda qatnashuvchi hosilani ayirma bilan alamashtiramiz, natijada

(14.6) hosil bo’ladi. Shuningdek (9.5) formula o’rnida, quyidagi taqribiy, lekin qulay formulaga ega bo’lamiz:

(14.7) Yuqoridagi formulalar ancha qo’pol, ulardan foydalanishda hushyor bo’lish kerak. Agar hosila sekin o’zgarmasa, u holda ma’nosiz natijaga ega bo’lamiz. Masalan,

funksiyani olib, interpolyaiiya tugunlari sifatida butun , qiymatlarni olaylik. Bu holda ikkinchisidan boshlab barcha ayirmalar nolga teng. Demak, qo’pol tarzda ni chiziqli funksiya deb olishimiz mumkin. Lekin, yetarlicha katta bo’lganda funksiya chiziqli funksiyadan keskid farq qiladi.


1. Diognal va gorizontal chekli ayirmalar topilishi. 2. Teng uzoqlikda joylashgan tugunla uchun 1- va 2-Nyuton interpolyasion

formulalari.

),,...,(),...,,( 0110 xxxfxxxf kk

thxx 0

!)]1()...[1(...

2)1()( 2/

21

12/100 n

ntttfttftffthxL nnn

))(...1(!)1(

)()1(1

ntttnfh nn

if )()1( nf

)()1( xf n 1nif

1

21!)1(

)(...)1(

n

nn fn

ntttR

1

21!)1(

)(...)1(

n

nn fn

ntttR

xNxxf sin)( 0ix ...,2,1

)(xf NxNx sin

133

15-ma’ruza

GAUSS, STIRLING, BESSEL VA EVERETT INTERPOLYaSION

FORMULALARI

Reja: 1. Gaussning birinchi interpolyasion formulasi. 2. Gaussning ikkinchi interpolyasion formulasi. 3. Bessel interpolyasion formulasi. 4. Stirling interpolyasion formulasi. 5. Markaziy ayirmali jadval.

Tayanch iboralar: Markaziy ayirmali jadval, orqaga interpolyasiyalash, ekstrapolyasiyalash.

Interpolyasiya xatosini kamaytirish maqsadida, interpolyasiya tugunlarini interpolyasiyalanuvchi nuqta atrsfida olish ma’quldir. Chunki bu holda qoldiq hadda qatnashadigan nuqta ham ga yaqin joylashgan bo’ladi va demak, ham aytarli darajada o’zgarmaydi. Natijada, qoldiq hadga keskin ta’sir etadigan miqdor faqatgina

(15.1) bo’lib qoladi. Bu ifoda bilan interpolyasiya tugunlari orasidagi masofalarning ko’paytmasidan iboratdir. Shuning uchun ham, ni interpolyasiyalashda ga

nisbatan eng yaqin ta nuqtani olsak, minimal qiymatga ega bo’ladi. Ko’rinib turibdiki, bo’lsa, ning chap va o’ng tomonlaridan tadan nuqta olish kerak. Arap bo’lsa, u vaqtda ga eng yaqin bo’lgan tugunni olib, so’ngra chap va o’ng tomonlardan tadan nuqtalar olish kerak.

Hozir interpolyasion formulalarni mana shu g’oyaga asoslangan holda tuzish bilan shug’ullanamiz. Bunday interpolyasion ko’phadlarning chiziqli kombinasiyalarini olib, ayrim hollarda aniqlikni tushirmasdan ko’phadning darajasini pasaytirish mumkin. Biz dastlab shu metodga asoslangan Gauss interpolyasion

formulalarini chiqaramiz. Agar funksiya nuqtada interpolyasiyalansa, u holda interpolyasiya tugunlarini tartibda olish ma’quldir. Chunki ixtiyoriy uchun shu tugunlarning avvalgi tasini olsak, ular ga eng yaqin turgan nuqtalardan iborat bo’lib, shu nuqtalar bo’yicha tuzilgan interpolyasion ko’phadning xatosi, ixtiyoriy boshqa tartibda olingan nuqtalar bo’yicha tuzilganidan kichik bo’ladi.

Gaussning birinchi interpolyasion formulasini tuzishda ta

ixx

x )()1( nf

)(1 xn i

n

ixxП

0

x)(xf x

n )(1 xn

kn 2 x k12 kn x

k

20,0hxxx

khxkhxhxhxx 00000 ,,...,,,n n x

12 n

134

nuqtalar uchun Nyutonning teng bo’lmagan oraliqlar uchun interpolyasion formulasini yozamiz:

. (15.2) Bunda deb, bo’lingan ayirmalarning chekli ayirmalar orqali ifodasidan foydalansak, u holda

(15.3) hosil bo’ladi. Bu Gaussning birinchi interpolyasion formulasi yoki Gaussning olga interpolyasion formulasi deyiladi. Bu formula (15.1) nuqtalar uchun tuzilgan Lagranj formulasining o’zi bo’lib faqat boshqacha tartibda yozilganidir. Shuning uchun ham bu formulaning qoldiq hadini bevosita yoza olamiz:

. (15.4) (15.3) formulada qatnashadigan ayirmalar 1-jadvalda strelkalarning yo’nalishi bo’ylab pastki «siniq satrni» tashkil etadi. Agar biz (15.1) nuqtalarni boshqacha

tartibda, ya’ni kabi olsak, u vaqtda nuqtada interpolyasiyalash uchun yaxshi natija beradigan Gayssning ikkinchi interpolyasion formulasi yoki orqaga interpolyasiyalash formulasi

(15.5)

ga ega bo’lamiz. Bu formulada qatnashadigan chekli ayirmalar 1 - jadvalda ustki «siniq satr»ni tashkil etadi. Uning qoldiq hadi esa

(15.6) ga teng. Gaussning har ikkala formulasini qo’shib yarmini olsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

, (15.7) chunki

khxkhxhxhxx 00000 ,,...,,,


))()()()(,,,,())()(,,,( 211022110112110 xxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxf))((...))()(,,...,,,(... )1(10110 nnnn xxxxxxxxxxxxxf

thxx 0

...!3

)1(2

)1()()(2

32/1

202/100202

ttfttftffthxLthxG nn

!)2()]()1([...)1(

!)12(])1([...)1( 222

20

22212

2/1 nntntttf

nntttf nn

)(...)1(!)12(

)( 22212)12(

2 ntttn

hfRnn

n

nhxnhxhxhxx 00000 ,,...,,, ],2

[ 00 xhxx

...!3

)1(!2

)1()()(2

3

21

10

1

2100202


!)2()]()1([...)2)(1(

!)12(])1([...)2)(1( 22222

20

2222212

21 n

ntnttttfn

nttttf nn

)(...)2)(1(!)12()( 2222212

)12(

2 ntttthn

fR nn

n

!)12(])1([...)2)(1(

...2

)(22222

120

22

01

0002 nnttttftftffthxL n

n

!)2(])1([...)1( 2222

20 n

ntttf n

135

va 1- jadval

Hosil qilingan (15.7) formula Stirling interpolyasion formulasi deyiladi. Bu formulada 2-jadvalda ko’rsatilganidek o indeksli juft tartibli chekli ayirmalar va hamda indeksli toq tartibli chekli ayirmalarning o’rta arifmetiklari qatnashadi.

!)2()]()1([...)2)(1(

!)2()]()1([...)2)(1(

21 2222222222

nntntttt

nntntttt

!)2(])1([...)1( 2222

nnttt 12

012

2/112

2/121

nnn fff

x f 1f 2f 3f 4f 5f 6f

.

.

.

.

.

.

4

3

2

1

0

1

2

3

4

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4

3

2

1

0

1

2

3

4

f

f

f

f

f

f

f

f

f

12/7

12/5

12/3

12/1

12/1

12/3

12/5

12/7

f

f

f

f

f

f

f

f

23

22

21

20

21

22

23

f

f

f

f

f

f

f

22/5

22/3

32/1

32/1

32/3

32/5

f

f

f

f

f

f

42

41

40

41

42

f

f

f

f

f

54/3

52/1

52/1

52/3

f

f

f

f

61

60

61

f

f

f

2/12/1

136

2-jadval

Ko’rinib turibdiki, Stirling formulasining qoldiq hadi

(15.8) ga teng. Gaussning ikkinchi interpolyasion formulasini nuqta uchun qo’llansa, quyidagi formula hosil bo’ladi:

. (15.9)

Bu formulada belgilash kiritsak va buni orqali ifodalasak, bo’lib, (10.9) formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

. (15.10) Endi, bu formulani Gaussning birinchi interpolyasion formulasi (15.3) bilan qo’shib, yarmini olsak hamda quyidagi

va

munosabatlardan foydalansak, u holda Bessel formulasi hosil bo’ladi:

х f 1f 2f 3f 4f

2х 2f

2/3

12/1

12/1

12/3

21

fff

f

1х 1f21f

0x 0f 20f

33/1

33/1

21

ff 4

0f

1x 1f2

1f

2x 2f

)(...)2)(1(!)12(

)(22222

)12(12

2 nttttn

fhR

nn

n

1х

!)12(])1([...)1(

...!3

)1(!2

)1()(

22212

2/1

23

2/12

11

2/1112

nnuuuf

uufuufuffuhxL

n

n

!)2()]()1([...)1( 222

21 n

nunuuuf n

hxxu 1

h

xxt n

1 tu

!)12())(1]()2([...)1(...

!3)2)(1(

!2)1()1()(

22212

2/1

32/1

21

12/1102

nntntntttf

tttfttftffthxL

n

n

!)2()]()1([...)1( 222

21 n

ntntttf n

nnn fff 22/1

21

20 )(

21

!)12()2/1)(]()1([...)1(

!)12()1)(]()1([...)1(

!)12()(...)1(

21

222

222222

ntntnttt

nntntnttt

nnttt

137

. (15.11) Bu formula, umuman aytganda, interpolyasion formula emas, chunki u mos ravishda

va tugunlarga ega bo’lgan ikkita interpolyasion ko’phadlarning o’rta arifmetigidir. Ya’ni u faqat ta tugunlarda bilan ustma-ust tushadi, lekin bu formulada funksiyaning va nuqtalardagi qiymatlari qatnashgan. (15.11) ko’phad interpolyasion bo’lishi uchun, ya’ni uning va nuqtalarda ham bilan ustma-ust tushishi uchun, unga yana bitta had qo’shish kerak:

. (15.12) Bu formula nuqtalar bo’yicha tuzilgan Lagranj interpolyasion ko’phadi bilan ustma-ust tushganligi uchun uning qoldiq hadi

bo’ladi. Demak, (10.11) formulaning qoldiq hadi esa

(15.13) ga teng. Bessel formulasini oraliq o’rtasida, ya’ni da qo’llash qulaydir. Bu holda barcha toq tartibli ayirmalarga ega bo’lgan hadlar nolga aylanadi. Bessel formulasida quyidagi ayirmalar qatnashadi:

21

!)12()1]()2([...)1(...

!2)1(

21)(

22212

2/1

22/1

12/12/102

tn

ntntttf

ttftffthxB

n

n

!)2()]()1([...)1( 222

22/1 n

ntntttf n

nn xx ,..., 1)1( ,..., nn xx

n2 nn xx ,...,)1( )(xf

nx 1nx

nx 1nx )(xf

!)2()]()1([...)1(

...2

)1(21)()(

2222

2/1

22/1

12/12/1012012

nntntttf

ttftffthxLthxB

n

nn

!)12()2/1)(]()1([...)1( 222

122/1

ntntntttf n

1,,..., nnn xxх

)]1()[(...)1(!)22(

)()( 222)22(22

12

ntntttnfhxR

nn

n

!)12()2/1)(]()1([...)1(

)(222

122/122 n

tntntttfxR nn

)]1()[(...)1(!)22(

)( 222)22(22

ntntttnfh nn

2/1t

х f 1f 2f 3f 4f

2х 2f

2/3

12/1

12/1

12/3

ff

f

f

32/3

32/1

31

fff

1х

0

1

21

f

f 21f

0x

21

20

21

ff

41

40

21

ff

1x 1f 22f

2x 2f

138

Nihoyat, keng qo’llaniladigan formulalarning yana birini tuzamiz. Buning uchun

munosabat yordamida, Gaussning birinchi interpolyasion formulasi (15.3) dan toq tartibli ayirmalarni yo’qotamiz. U holda ayirma oldidagi kozffisiyent

ga teng bo’lib, ayirmaning koeffisiyenti zsa quyidagiga teng:

Oxirgi ifodada almashtirish bajaramiz:

Natijada, quyidagi Everett interpolyasion formulasi hosil bo’ladi:

Bu formulaning qoldiq hadi tugunlar yordamida tuzilgan Gauss formulasining qoldiq hadi bilan ustma-ust tushadi:

. Everett formulasi odatda jadvalni zichlashtirishda qo’llaniladi, ya’ni tugunlarda funksiya qiymatlarining jadvali berilgan bo’lsa, tugunlarda

funksiya qiymatlari jadvalini tuzishda foydalaniladi, bu yerda ( — butun son).


1. Gauss, Stirling, Bessel interpolyasion formulalari. 2. Qanday holatda interpolyasion formulalarni qo’llash. 3. Misollar yechish.

kkk fff 20

21

122/1

kf 21

!)12()(...)1( 222

kkttt

kf 20

.!)12(

)1)(]()1([...)1(!)12(

)]()1([...)1(!)2(

)]()1([...)1(

222

22222222

ktkktkttt

kktkttt

kktkttt

ut 1

.!)12(

)(...)1(!)12(

)11)(1)(11)(11(...)11)(11)(1(

222

kkuuu

kukkukukuuuu

.!)12(

)(...)1(...!3

)1(!)12(

)(...)1(...

!3)1()(

22222

0

22

00

2222

1

22

10012

nnuuufuufuf

nntttfttftfthxE

n

nn

1,..., nn xx

)]1()[(...)1(!)22(

)( 222)22(22

ntntttnfh nn

khx 0

hkx 0

Nhh

N

139

16-ma’ruza

INTERPOLYaSION KVADRATUR FORMULALAR

Reja: 1. Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburcha, trapesiya va Simpson

formulari. 2. Eng soda kvadratur formularining qoldiq hadlari. 3. Nyuton-Kotes kvadratur formulasi.

Tayanch iboratlar: qoldiq had, aniq integral, kvadratur formula, yopiq yoki

ochiq tipdagi kvadratur formulalar, kvadratur yig’indi.

Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalari. Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida qurish mumkin. Aytaylik,

(16.1) integralni hisoblash talab qilinsin. Agap qaralayotgan oraliqda bo’lsa, u vaqtda

13- chizma

(16.2) deb olishimiz mumkin. Bu formula to’g’ri to’rtburchaklar formulasi deyiladi.

b

a

dxxf )(

constxf )(

2)()( bafabdxxf

b

a

140

14- chizma

Faraz qilaylik, funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo’lsin, u holda tabiiy ravishda integralni balandligi ga va asoslari va ga teng bo’lgan trapesiya yuzi bilan almashtirish mumkin, u holda deb olish mumkin. Bu formula trapesiya formulasi deyiladi. Nihoyat, funksiya oraliqda kvadratik

funksiyaga yaqin bo’lsin, u holda ni taqribiy ravishda o’qi va

to’g’ri chiziqlar hamda funksiya grafigining abssissalari va bo’lgan nuqtalaridan o’tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan

yuza bilan almashtirish mumkin (15-chizma), u holda quyidagiga ega bo’lamiz:

15- chizma

)(xf

ab )(af )(bf

)(xf ],[ ba

b

a

dxxf )(xO bxax ,

)(xfy 2, baxax

bх

141

. (16.3) Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi.

Bu formulaning hosil qilinish usulidan ko’rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali

ko’phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur formulalarga ega bo’ldik. (16.1) formulani tuzishda u o’zgarmas son ni aniq integrallashini talab qilgan edik. Lekin u chizikli funksiyani ham aniq

integrallaydi, chunki balandligi va o’rta bo’lgan ixtiyoriy trapesiyaning yuziga teng (16-chizima).

16- chizma

Shunga o’xshash Simpson formulasi ham biz kutgandan ko’ra ham yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali

ko’phadlarni ham aniq integrallaydi.

Haqiqatan ham, uchinchi darajali ko’phadni quyidagicha yozamiz: ,

u vaqtda

. (16.4) Lekin bizga ma’lumki,

22102 )( xaxaaxP

cxf )(

xaaxf 10)(

2

)( bafabab

33

22103 )( xaxaxaaxP

)(3 xP3

323

32

2103 )()( xaxPxaxaxaaxP

)(4

)()()( 4432

3323 abadxxPdxxadxxPdxxP

b

a

b

a

b

a

b

a

142

. (16.5) Ikkinchi tomondan,

(16.6) ayniyat o’rinlidir. Endi (16.5) — (16.6) ni (16.4) ga qo’yib,

ni hosil qilamiz.

Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko’rdik. Ulardan ikkitasi to’g’ri to’rtburchak va trapesiya formulalari — birinchi darajali ko’phad uchun aniq formula bo’lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko’phad uchun aniq formuladir.

To’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari. Endi yuqorida qurilgan kvadratur formulalarning qoldiq hadlarini aniqlash bilan shug’ullanamiz. To’g’ri to’rtburchak formulasining qoldiq hadi

ni topish uchun funksiya oraliqda ikkinchi tartiblk uzluksiz hosilaga ega bo’lsin deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko’ra:

,

bu yerda . Bu tenglikning har ikkala tomonini dan gacha integrallasak,

(16.7)

kelib chiqadi, chunki . Quyidagicha belgilash kiritaylik:

.

Integral ostidagi funksiya o’z ishorasini saqlaydi, shuning uchun (16.7) integralga umumlashgan o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llash mumkin:

, (16.8) bunda uzluksiz bo’lgani uchun Koshi teoremasiga ko’ra shunday

topiladiki, .

Endi (16.8) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

)](2

4)([6

)( 2222 bPbaPaPabdxxPb

a

33

3

33

3443

24

6)(

4babaaaaababa

)(2

4)(6

)( 3333 bPbaPaPabdxxPb

a

2)()()(0

bafabdxxffRb

a

)(xf ],[ ba )(xf

)(22

1222

)(2

fbaxbafbaxbafxf

2)( baxх

a b

b

a

dxfbaxfR )(22

1)(2

0

02

b

a

dxbax

)(max),(min xfMxfmbxabxa

2

2

baх

24)(

2)(

32

0abLdxbaxLfR

b

a

)(, xfMLm

ba ,)(fL

143

. (16.9) Bu esa qoldiq hadning izlanayotgan ko’rinishidir.

Endi trapesiya formulasining qoldiq hadini topaylik. Buning uchun funksiyani va nuqtalardagi qiymatlari yordamida interpolyasiyalab, interpolyasion formulani qoldiq hadi bilan yozamiz:

. Bu tenglikning har ikkala tomonini dan gacha integrallaymiz, natijada

hosil bo’ladi. Bu yerda [a, b] oraliqda bo’lgani uchun integralga o’rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo’llash mumkin:

. (16.10) Nihoyat, Simpson formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Buning uchun deb olib, quyidagi

shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyasion ko’phadini tuzamiz:

Ravshanki,

. interpolyasion formulaning qoldiq hadi

bo’lib, bu yerda

. Demak, (2.3) formulaning qoldiq hadi

bo’lib, ko’phad [a, b] oraliqda o’z ishorasini saqlaydi va umumlashgan o’rta qiymat teoremasiga ko’ra

ga ega bo’lamiz. Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko’rsatadiki, to’g’ri to’rtburchak va trapesiya formulalari birinchi darajali ko’phadlar uchun aniq bo’lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko’phadlar uchun aniq formuladir.

)(24

)()(3

0 fabfR

)(xfax bx

)())((21)()( 1 fbxaxxLxf

a b

b

a

dxfbxaxfR )())((21)(1

0))(( bxax )(1 fR

)()(12

)())(()(21)(

3

1 bafabdxbxaxffRb

a

)(5,0 bac

)()(),()(),()(),()( bfbHcfcHcfcHafaH

)].())(()())()()((

)())()(()()()[()(

4)(

2

23

bfcxaxcfbacxbxax

cfbabxaxafbxcxba

xH

)](2

4)([6

)( bfbafafabdxxHb

a

)()()( xrxHxf

)()()(241)( bafxxr IV

)())(()( 2 bxcxaxx

b

a

IV dxfxfR )()(241)(2

)(x

)()(2880

)()(5

2 bafabfR IV

144

Interpolyasion kvadratur formulalar. Bundan keyin qisqalik uchun kvadratur formulaning koeffisiyentlari va tugunlarini yuqori indekssiz va ko’rinishda yozamiz. Faraz qilaylik, bizga funkiiyaning nuqtalardagi

qiymatlari berilgan bo’lib, maqsad shu qiymatlar bo’yicha nntegralning taqribiy qiymatini mumkin qadar yuqori aniqlikda topishdan iborat bo’lsin. Demak,

koeffisiyentlar aniqlanishi kerak. Buning uchun ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib, - darajali ko’phad bilan interpolyasiyalaymiz:

. (16.11) Endi bu tenglikni ga ko’paytirib, dan gacha integrallaylik:

. Agar bundagi

(16.12) qoldiq hadni tashlasak,

(16.13) kvadratur formulaga ega bo’lamiz. Bu formula qurilish usuliga ko’ra interpolyasion kvadratur formula deyiladi. Bunday formulalar uchun ushbu teorema o’rinlidir.

Teorema. Quyidagi

(16.14) kvadratur formulaning interpolyasion bo’lishi uchun uning barcha -darajali algebraik ko’phadlarni aniq integrallashi zarur va kifoyadir.

Isbot. Zarurligi. Agar -darajali ko’phad bo’lsa, u holda (16.11) tenglikda bo’lib,

tenglik o’rinli bo’ladi va (2.14) qoida interpolyasion qoida bo’lganidan (16.13) ga ko’ra:

. Demak, (16.14) formula - darajali ko’phadni aniq integrallaydi.

Kifoyaligi. (16.14) formula -darajali ixtiyoriy xo’phad uchun aniq

)()(2

)(1 ,...,, n

nnn AAA )()(

2)(

1 ,...,, nn

nn xxх

nAAA ,...,, 21 nxxx ,...,, 21

)(xf nxxx ,...,, 21 )(,...),(),( 21 nxfxfxf

b

a

dxxf )(

kA )(xf)1( n

n

k kiinknn xfrxfxfrxLxf

1 ,11 ),()(),()()(

)(x a b

b

an

b

an

b

a

dxxfrxdxxLxdxxfx ),()()()()()( 1

b

an

n

kkk

b

an dxxfrxxfAdxxfxfR ),()()()()()(

1

kii ik

ib

ak

n

kkk

b

a

dxxxxxxAxfAdxxfx

,11)(,)()()(

n

kkk

b

a

xfAdxxfx1

)()()(

)1( n

)(xf )1( n

0),( xfrn

n

k kiik

ik

i xfxxxxxf

1 ,1

)()(

n

kkk

n

kii ik

ib

a

n

kk

b

a

xfAdxxxxxxxfdxxfx

1,11)()()()()(

)1( n )(xf)1( n

145

formuladir. Xususiy holda, u -darajali ushbu

ko’phad uchun ham aniq bo’ladi.

Mustaqil ishlash uchun savolar

Simpson kvadratur formulasi. 1. Gauss tipidagi kvadratur formula. 2. To’g’ri to’rtburchak, trapesiya tipidagi kvadratur formula. 3. Interpolyasion kvadratur formulalar.

)1( n

),...,2,1()(,1

nmxx

xxxn

kii im

im

146

3 - BO’LIM


FANINI O’QITISHNING TA’LIM TEXNOLOGIYALARI

147

Mundarija

KIRISH 147 “HISOBLASH MATEMATIKASI” KURSI BO’YICHA TA’LIM

TEXNOLOGIYASINING KONSEPTUAL ASOSLARI 150 1. «Hisoblash matematikasi» kursining dolzarbligi va o’qitish strukturasi 150 2. Mashg’ulotlar turlari bo’yicha o’quv soatlarining taqsimlanishi 151 3. «Hisoblash matematikasi» o’quv kursining mazmuni 152 4 O’quv kursi bo’yicha ma’ruza mashg’ulotlarda o’qitish

texnologiyalarini ishlab chiqish konseptual asoslari 155 1- mavzu Hisoblash matematikasining predmeti va metodi mavzusi bo’yicha

ma’ruzani olib borish texnologiyasi 158 2- mavzu Ildizlarni ajratish mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish

texnologiyasi 163 3- mavzu Tenglamalarni yechishda iterasiya metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani

olib borish texnologiyasi 167 4- mavzu Qisqartirib aks ettirish prinsipi. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar

sistemasi uchun iterasiya metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 171

5- mavzu Nyuton metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 175 6-mavzu Modifikasiyalangan Nyuton metodi. Tenglamalar sistemasi uchun

Nyuton metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 180 7- mavzu Noma’lumlarni yo’qotish. Gauss metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani

olib borish texnologiyasi 184 8-mavzu Kvadrat ildizlar metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish

texnologiyasi 189 9- mavzu Iterasion metodlar mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish

texnologiyasi 193 10- mavzu Eng tez tushish. Gradiyentlar metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib

borish texnologiyasi 196 11- mavzu Matrisalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash mavzusi bo’yicha

ma’ruzani olib borish texnologiyasi 199 12- mavzu Xos sonlarning qismiy muammosini yechishning iterasion metodlari

mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 202 13- mavzu Funksiyalarni interpolyasiyalash. Lagranj interpolyasion formulasi

mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 206 14- mavzu Tugunlar teng uzoqlikda joylashgan hol uchun Nyuton interpolyasion

formulalari mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 209 15-mavzu Gauss, Stirling, Bessel va Everett interpolyasion formulalari mavzusi

bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 212 16-mavzu Interpolyasion kvadratur formulalar mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib

borish texnologiyasi 215 Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

148

KIRISH

YuNESKO tomonidan tan olingan pedagogik texnologiya oqimi 30-yillarda AQShda paydo bo’ldi va 70-80 yillarda barcha rivojlangan mamlakatlarni qamrab oldi.

Ta’lim nazariyasi va amaliyotida o’quv jarayoniga texnologik xususiyatni berish uchun 50-yillarda birinchi urinishlar qilib ko’rilgan. Ular o’z ifodasini an’anaviy o’qitish uchun mo’ljallangan majmuali texnik vositalarning yaratilishida namoyon qiladi.

Hozirgi vaqtda “pedagogik texnologiya ta’lim berishning texnik vositalari yoki kompyuterdan foydalanish sohasidagi tadqiqotlardek qaralmay, balki bu ta’limiy samaradorlikni oshiruvchi omillarni tahlil qilish yo’li orqali, yo’l va materiallarni tuzish hamda qo’llash, shuningdek qo’llanilayotgan usullarni baholash orqali ta’lim jarayoni tamoyillarini aniqlash va eng maqbul yo’llarini ishlab chiqish maqsadidagi tadqiqotdir” (Mejdunarodnыy yejegodnik po texnologii obrazovaniya i obucheniya, 1978/79. London, Nyu-York, 1978).

Pedagogik amaliyotda yangi yo’l va vositalarini jadal tatbiq etilayotganligini kuzatish mumkin. Biroq ba’zi ta’lim shakl va faol usullar o’rniga bo’linmas ta’limiy texnologiyalar zarur. Lekin ta’limiy jarayonni texnologiyali loyihalashtirish va rejalashtirishni, faqat texnologik bilim, ko’nikma va malakalarga ega bo’lgan o’qituvchi bajara olishi mumkin.

Texnologik bilimlar tizimi quyidagi tashkil etuvchilardan iborat: tushunchaga oid qism - texnologiyalashtirishning murakkabroq bo’lgan toifa va qoidlarini

o’rganishga yo’l; ta’lim texnologiyasining tarkibiy qismi va harakatlanuvchi tuzilma - ta’lim jarayonini

bashoratlash va loyihalashtirish asosi to’g’risida tushuncha; ta’limiy texnologiyalarning konseptual asoslari - har qanday ta’lim texnologiyasi negiziga

pedagogik va psixologik fanlar yutug’ida ifodalangan pedagogik g’oya asos bo’ladi; maqsadni belgilash - pedagogik vazifalar aniqlangan bo’lsa va o’quv faoliyatining yakuniy

natijalari bir ma’noda ifodalangan bo’lsa, boshlanish shartlari ma’lum bo’lsa, ta’lim jarayonini loyihlashtirish mumkin; ta’lim berish modeli – maqbul yo’l (usul va shakl)lar va vositalar yig’indisi - mavjud

sharoitlar va belgilangan vaqtda obyektning boshlang’ich holatini o’zgartirish bo’yicha ko’zlanayotgan natijalarga erishish kafolati; boshqaruvning yo’l va vositalar yig’indisi - bashoratlash, loyihalashtirish, rejalashtirish,

tashkillashtirish, nazorat va baholash, shuningdek tezkor o’zgartirish to’g’risida boshqaruv xulosasini qabul qilish maqsadida ta’lim jarayonini uzluksiz va muntazam kuzatish - monitoring.

Siz ta’lim berishni texnologiyalashtirish asosini o’rganishni boshlashingizdan avval, quyidagi maslahat va tavsiyalarga e’tiboringizni qarating.

1. Texnologiyalashtirish asosida ifodalangan va bu bilan albatta siz tanishishingiz zarur bo’lgan qoidalar, shu zahoti sizga tushuntirish bermaydi, faqat ko’zlanayotgan maqbul va samarali natijaga erishish uchun nima ish qilish zarurligini ko’rsatadi.

Har bir yo’l va vosita o’qituvchi-texnolog tomonidan, u intilayotgan, yakuniy natijaga erishishga ko’rinarli qo’shgan hissasi tomoni bilan baholanishi zarur. Qoidaning maqbulligini talqin qila turib, e’tiborni nafaqat unga, uni qo’llashni nazarda tutuvchi vaziyat yoki sharoitlarga qaratish zarur. Gap shundaki, qoidalar odatda formula emas, boshqaruv xususiyatga ega bo’ladi, madomiki ularni qo’llash mumkin bo’lgan, ta’lim jarayoni sharoitida ayrim noaniqliklar bor. Bundan tashqari, avvalda shu narsani o’quv vaziyatida qo’llab, muvaffaqiyatga erishgan o’qituvchi-amaliyotchi yoki hammaga ma’lum bo’lgan ta’lim berish texnologiyasining muallifida, shuni qoidasiz umumlashtirishdagi xatoliklar tarqalgan. Mohiyat shundaki, barcha turli-tumanlikdan mavjud sharoitda va o’quv rejasida berilgan vaqtda ko’zlanayotgan natijaga erishishni kafolatli ta’minlaydigan, so’ngra esa undan shu sharoit uchun mos keladigan, ta’lim berish texnologiyasining - yagona majmuini loyihalashtirish mumkin bo’ladigan, axborot, muloqot va boshqaruvning shunday yo’l va vositalarini baholashi, farqlashi va tanlashni uddalashi muhim.

2. Mashhur marketolog Dj. O’Shonessining “...kitoblar hyech qachon tajriba o’rnini bosa olmaydi degan fikriga qo’shilish mumkin. Mahoratli oshpaz oshpazlik to’g’risida kitob yozishi mumkin, uni tayyorlash yo’liga amal qilib, xuddi shunday chiqishini kutmaslik kerak, chunki uning

149

mahorati bilan taqqoslab bo’lmaydi - berilgan qoidani ishlatib muhim ko’nikma va malakalar ega bo’lish mumkin emas, ular faqat amaliyotda egallanadi va “qo’llaniladigan donishmandlik” deb ataluvchi amaliyotli donishmandlik bilan mustahkamlanadi, ya’ni vaziyat bilan muvofiqlikdagi donishimandlik” (Dj. O’Shonessi, 2000).

3. “Ta’lim jarayonini ixtiyoriy qurish va amalga oshirishdan, uning har bir qism va bosqichlarini izchil asoslangan, yakuniy natijani haqqoniy tashxislashga yo’naltirilgan” ga o’tish uchun asos zarur (V. Bespalko, 1989).

Agarda siz ta’lim jarayonini texnologiyalashtirishga o’tish muhimligini anglamas ekansiz, unda “biz yangi texnologiyalarning yutug’larini bermaylik, paydo bo’lgan muntazamlik mexanizmini chiqarib tashlay olmaydi, yo bo’lmasa majbur qilingan texnologiyalar ziyonli natijalarni ko’paytirishi mumkin”.

4. Nihoyat, shaxsiy ta’lim berish texnologiyasini loyihalashtirish va mavjud ta’lim berish texnologiyasini qo’llash “o’qituvchi, vaziyat madaniyati, shuningdek shaxsiy yoki talabalarning shaxsiy xususiyatlari bilan yuzma-yuz kelish yo’nalishi bilan ish tutmog’i kerak” (Ye.S. Polat, 2000).

«Hisoblash matematikasi» fani bo’yicha ta’lim texnologiyalari ma’ruza mashg’ulotlarni texnologiyalashtirish qoidalari asosida ishlab chiqildi.

Mazkur qo’llanma kirish, ta’lim texnologiyasining konseptual asoslari, ma’ruza mashg’ulotlarida o’qitish texnologiyalari, kurs bo’yicha monitoring va mustaqil ishni tashkil qilish texnologiyasi qismlaridan iborat.

Konseptual asoslar qismida «Hisoblash matematikasi» o’quv kursining dolzarbligi va o’qitish strukturasi, kursning mazmuni, o’quv kursi bo’yicha ma’ruza mashg’ulotlarida o’qitish texnologiyalarini ishlab chiqishning konseptual asoslari yoritib berilgan. Ma’ruza mashg’ulotlarida 4 xil : kirish, kuzatish, muloqot va yakunlovchi ma’ruza. Keltirilgan ta’lim texnologiyasi «Hisoblash matematikasi» fani o’qitiladigan barcha oliy o’quv yurtlari, malaka oshirish kurslarida, akademik lisey va kasb-hunar kollejlarida o’qituvchi tomonidan qo’llanilishi mumkin.

Mualliflar mazkur ta’lim texnologiyasini yaratishda avtorlar kollektivi: A.Sh.Bekmurodov, L.V.Golish, O.B.Gimranova, D.M.Fayzullayeva va boshkalar tomonidan ishlab chikilgan «Pedagogik texnologiyalarni loyihalashtirish va rejalashtirish» nomli uslubiy qo’llanmasidan (Toshkent. TDIU, 2010) foydalandilar.

150

«Hisoblash matematikasi»

O’QUV KURSI BO’YICHA TA’LIM TEXNOLOGIYASINING

KONSEPTUAL ASOSLARI

Mamlakatimizda olib borilayetgan keng ko’lamli isloxotlar ko’p jixatdan uzluksiz ta’lim

tizimini shaklantirishni taqozo etadi. Yangicha fikrlaydigan, bozor iqtisodiyoti sharoitlarida

muvaffaqiyatli faoliyat yurita oladigan malakali, chuqur bilimli mutaxassislarni, ayniqsa aniq fanlar

soxasida faoliyat yurituvchi kadrlarni tayerlash davr talabi bo’lib qoldi.

Amaliyotdagi ko’pchilik masalalarda taqribiy hisoblashlar keng qo’llaniladi. Jamiyat

hayotining barcha sohalarida zamonaviy axborot texnologiyalarini, kompyuter texnikasini

ommaviy ravishda joriy etishlishi hisoblash matematikasi usullari yordamida sonli

eksperimentlarni amalga oshirishga keng imkoniyatlar yaratdi. Oddiy tenglamani sonli yechishlan

tortib kosmik jismlarning harakati tenglamalarini taqribiy yechishning zamon talabidan biri

hisoblanadi.

Demak, aniq va tabiiy fanlar yo’nalishida ta’lim olayotgan talabalarni davr

talabiga javob bera oladigan yetuk mutaxassis bo’lib yetishishlarida, ularga

«Hisoblash matematikasi» fanini o’qitish – davr talabidir.

«Hisoblash matematikasi» fani bo’yicha ma’ruza mashg’ulotlari 32 soatdan iborat.

2. Mashg’ulotlar turlari bo’yicha o’quv soatlarining taqsimlanishi

1. «Hisoblash matematikasi» kursining dolzarbligi va o’qitish strukturasi

151

Ma’ruza mashgulotlari

T/r Mavzu soat

1. Hisoblash matematikasining predmeti va metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

2. Ildizlarni ajratish mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 2 3. Tenglamalarni yechishda iterasiya metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish

texnologiyasi 2

4. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun iterasiya metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

5. Nyuton metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 2 6. Modifikasiyalangan Nyuton metodi. Tenglamalar sistemasi uchun Nyuton

metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 2

7. Noma’lumlarni yo’qotish. Gauss metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

8. Kvadrat ildizlar metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

9. Iterasion metodlar mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi 2

10. Eng tez tushish. Gradiyentlar metodi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

11. Matrisalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

12. Xos sonlarning qismiy muammosini yechishning iterasion metodlari mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

13. Funksiyalarni interpolyasiyalash. Lagranj interpolyasion formulasi mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

14. Tugunlar teng uzoqlikda joylashgan hol uchun Nyuton interpolyasion formulalari mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

15. Gauss, Stirling, Bessel va Everett interpolyasion formulalari mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

16 Interpolyasion kvadratur formulalar mavzusi bo’yicha ma’ruzani olib borish texnologiyasi

2

Jami 32

3. «Hisoblash matematikasi» o’quv kursining mazmuni

152

1-Mavzu. Hisoblash matematikasining predmeti va metodi

Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi, hisoblash matematikasining asosiy vazifasi

va usuli, metod (usul), model, masala, tenglama, operator, to’g’ri masala, teskari masala.

2-Mavzu. Ildizlarni ajratish

Ildizlarni ajratish to’g’risida umumiy mulohazalar. Algebraik tenglamalarning haqiqiy

ildizlarini ajratish. Dikart teoremasi. Shturm teoremasi. Ildizlarning yagonaligi, grafik usulja

ildizlarni ajratish, dastlabki yaqinlashishni aniqlash.

3-mavzu. Tenglamalarni yechishda iterasiya metodi

Oddiy iterasiya metodi. Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli. Hisoblash

xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri. Iterasion jarayon, boshlang’ich

yaqinlashish, iterasiyaning geometrik ma’nosi, hisoblash xatosini aniqlash.

4-Mavzu. Qisqartirib aks ettirish prinsipi.

Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun iterasiya metodi

Metrik fazo haqida tushuncha. Qisqartirib aks ettirish tushunchasi. Qisqartirib aks ettirish

prinsipi. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish. Metrik fazo

tushunchasi, kubik, oktaedrik va sferik masofalar.

5-Mavzu. Nyuton metodi

Bitta sonli tenglama bo’lgan hol Nyuton metodi. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi

teoremalar. Karrali ildizlar uchun nyuton metodi. Tayanch Iterasiya xatosi, Teylor qatori, ketma-ket

yaqinlashish tushunchasi.

6-Mavzu. Modifikasiyalangan nyuton metodi. tenglamalar

sistemasi uchun Nyuton metodi

Modifikasiyalangan Nyuton metodi. Vatarlar metodi. Tenglamalar sistemasi uchun nyuton

metodi. Sistema uchun boshlang’ich yaqinlashish, Teylor formulasi, Yakobi matrisasi.

7-Mavzu. Noma’lumlarni yo’qotish. Gauss metodi

153

Oddiy va iterasion usullar, uchburchakli matrisa. Gauss metodi. Bosh elementlar metodi.

To’g’ri va teskari yo’l. Optimal yo’qotish metodi. Determinatni hisoblash. Matrisalarning

teskarisini topish. Ermit matrisasi

8-Mavzu. Kvadrat ildizlar metodi

Qo’shma matrisa, Ermit matrisasi, simmetrik matrisa, unitar matrisa.Kvadrat ildizlar usuli.

Kvadrat ildizlar usuliga EHMda dastur tuzish algoritmi.

9-Mavzu. Iterasion metodlar

Maxsusmas matrisa. Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. Oddiy iterasiya metodi. Zeydel

metodi. Usullarning yaqinlashish sharti.

10-Mavzu. Eng tez tushish. gradiyentlar metodi

Hisoblash vektori, funksional, gradiyent, funksionallash gradiyenti, ortonormallashtirish. Eng

tez tushish yoki gradiyentlar usulini asosiy g’oyasi. Gradiyentlar usulini yaqinlashishi haqidagi

teorema.

11-Mavzu. Matrisalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash

Xos qiymat, xos vektor, minimal ko’phad, diagonal minor, nol bo’lmagan vektor. Xos son

va xos vektorlarini topish masalasi. A.N.Krilov metodi. A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning

xos son va xos vektorlarini topish.

12-Mavzu. Xos sonlarning qismiy muammosini yechishning iterasion metodlari

Simmetrik, ermit va normal matrisalar, xarakteristik tenglamalar, xususiy

qiymat va vektorlar. Qismiy muammo masalasida iterasion metodlar. Eng katta xos

son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod. Ikkinchi xos son va

unga mos keladigan xos vektorni topish.

13-Mavzu. Funksiyalarni interpolyasiyalash. Lagranj interpolyasion formulasi

Interpolyasiyalash, boshlang’ich qiymat, tugun nuqta, funksiya, Kroneker simvoli, ko’phad,

xato. Interpolyasiyalash masalasi. Lagranj interpolyasion formulasi. Sistemaning koeffisiyentlarini

hisoblash.

154

14-Mavzu. Tugunlar teng uzoqlikda joylashgan hol uchun Nyuton interpolyasion formulalari

Ayirmalar,chekli ayirmalar, tugun nuqtalar, qoldiq had, gorizontal va diognal tablisalar.

Chekli ayirmalar va ularning xossalari. Nyuton interpolyasion formulasi va uning qoldiq hadlari.

15-Mavzu. Gauss, Sterling, Bessel va Everett interpolyasion formulalari

Markaziy ayirmali jadval, orqaga interpolyasiyalash, ekstrapolyasiyalash. Gaussning birinchi

interpolyasion formulasi. Gaussning ikkinchi interpolyasion formulasi. Bessel interpolyasion

formulasi. Sterling interpolyasion formulasi. Markaziy ayirmali jadval.

16-Mavzu. Interpolyasion kvadratur formulalar

Aniq integral, qoldiq had, kvadratur formula, yopiq yoki ochiq tipdagi kvadratur formulalar,

kvadratur yig’indi. Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburcha, trapesiya va Simpson

formulari. Eng soda kvadratur formularining qoldiq hadlari. Nyuton-Kotes kvadratur formulasi.

155

O’zbekiston mustaqilligining dastlabki kunlaridanoq yuksak malakali va yangicha

dunyoqarashga ega bo’lgan milliy kadrlarni tayyorlash, hayotimizda muhim ahamiyatga ega

bo’lgan masalalar qatorida ta’lim- tarbiya tizimini tubdan isloh qilish, uni zamon talablari

darajasiga ko’tarish, barkamol avlodni tarbiyalab voyaga yetkazish dolzarb masala bo’lib qoldi.

Hozirgi kunda innovasion texnologiyalar, pedagogik va axborotlar texnologiyalarini o’quv

jarayonida qo’llashga bo’lgan qiziqish, e’tibor kundan – kunga kuchayib bormoqda, bunday

bo’lishining sabablaridan biri, shu vaqtgacha an’anaviy ta’limda o’quvchi talabalarni faqat tayyor

bilimlarni egallashga o’rgatilgan bo’lsa, zamonaviy texnologiyalar ularni egallayotgan bilimlarini

o’zlari qidirib topishlari, mustaqil o’rganib tahlil qilishlariga, hatto xulosalarni ham o’zlari

chiqarishlariga o’rgatadi.

Aytilganlardan kelib chiqqan holda «Hisoblash matematikasi» o’quv kursi

bo’yicha ta’lim texnologiyasini loyihalashtirishdagi asosiy konseptual

yondoshuvlarni keltiramiz:

Shaxsga yo’naltirilgan ta’lim. Bu ta’lim o’z mohiyatiga ko’ra ta’lim

jarayonining barcha ishtirokchilarini to’laqonli rivojlanishlarini ko’zda tutadi. Bu esa

ta’limni loyihalashtirilayotganda, albatta, ma’lum bir ta’lim oluvchining shaxsini

emas, avvalo, kelgusidagi mutaxassislik faoliyati bilan bog’liq o’qish maqsadlaridan

kelib chiqqan holda yondshilishni nazarda tutadi.

Tizimli yondoshuv. Ta’lim texnologiyasi tizimning barcha belgilarini o’zida

mujassam etmog’i lozim: jarayonning mantiqiyligi, uning barcha bo’g’inlarini o’zaro

bog’langanligi, yaxlitligi.

Faoliyatga yo’naltirilgan yondoshuv. Shaxsning jarayonli sifatlarini

shakllantirishga, ta’lim oluvchining faoliyatni aktivlashtirish va intensivlashtirish,

o’quv jarayonida uning barcha qobiliyati va imkoniyatlari, tashabbuskorligini

ochishga yo’naltirilgan ta’limni ifodalaydi.

Dialogik yondoshuv. Bu yondoshuv o’quv munosabatlarida ta’lim beruvchi va

ta’lim oluvchi o’rtasidagi muloqotni yaratish zaruriyatini bildiradi. Uning natijasida

shaxsning o’z-o’zini faollashtirishi va o’z – o’zini ko’rsata olishi kabi ijodiy faoliyati

kuchayadi.

4. O’quv kursi bo’yicha ma’ruza mashg’ulotlarda o’qitish texnologiyalarini ishlab chiqish konseptual asoslari

156

Hamkorlikdagi ta’limni tashkil etish. Demokratlilik, tenglik, ta’lim beruvchi

va ta’lim oluvchi faoliyat mazmunini shakllantirishda va erishilgan natijalarni

baholashda birgalikda ishlashni joriy etishga e’tiborni qaratish zarurligini bildiradi.

Muammoli ta’lim. Ta’lim mazmunini muammoli tarzda taqdim qilish orqali

oluvchi faoliyatini aktivlashtirish usullaridan biri. Bunda ilmiy bilimni obyektiv

qarama-qarshiligi va uni hal etish usullarini, dialektik mushohadani shakllantirish va

rivojlantirishni, amaliy masadadarni taqribiy yechiщda, sonli eksperimentlar

o’tkazishda ijodiy tarzda qo’llashni mustaqil ijodiy faoliyati ta’minlanadi.

Axborotni taqdim qilishning zamonaviy vositalari va usullarini qo’llash –

yangi kompyuter va axborot texnologiyalarini o’quv jarayoniga qo’llash demakdir.

Keltirilgan konseptual yo’riqlarga asoslangan holda, «Hisoblash matematikasi»

kursining maqsadi, tuzilmasi, o’quv axborotining mazmuni va hajmidan kelib

chiqqan holda, ma’lum sharoit va o’quv rejasida o’rnatilgan vaqt oralig’ida

o’qitishni, kommunikasiyani, axborotni va ularni birgalikdagi boshqarishni

kafolatlaydigan usullari va vositalari tanlovi amalga oshirildi.

O’qitishning usullari va texnikasi. Ma’ruza (kirish, mavzuga oid, vizuallash),

muammoviy usul, keys-stadi, pinbord va loyihalar usullari, amaliy ishlash usuli.

O’qitishni tashkil etish shakllari: dialog, polilog, muloqot xamkorlik va o’zaro

o’rganishga asoslangan frontal, kollektiv va guruh.

O’qitish vositalari o’qitishning an’anaviy shakllari (darslik, ma’ruza

matni,elektron darslik) bilan bir qatorda – kompyuter va axborot texnologiyalari.

Kommunikasiya usullari: tinglovchilar bilan operativ ikki yoqlama aloqaga

asoslangan bevosita o’zaro munosabatlar.

Ikki yoqlama aloqa usullari va vositalari: kuzatish, blis-so’rov, oraliq va joriy

va yakunlovchi nazorat natijalarini tahlili asosida o’qitish diagnostikasi.

Boshqarish usullari va vositalari: o’quv mashg’uloti bosqichlarini belgilab

beruvchi texnologik karta ko’rinishidagi o’quv mashhulotlarini rejalashtirish,

qo’yilgan maqsadga erishishda o’qituvchi va tinglovchining birgalikdagi harakati,

nafaqat auditoriya mashg’ulotlari, balki auditoriyadan tashqari mustaqil ishlarning

nazorati.

157

Monitoring va baholash: o’quv mashg’ulotida ham butun kurs davomida ham

o’qitishning natijalarini rejali tarzda kuzatib borish. Kurs oxirida test topshiriqlari

yordamida tinglovchilarning bilimlari baholanadi.

158

MAVZU 1. HISOBLASH MATEMATIKASINING PREDMETI VA METODI

O’quv mashg’ulotida ta’lim texnologiyasi modeli

Vaqt: 80 min. Talabalar soni: 50 ta

O’quv mashg’ulotining shakli

Ma’lumotli kirish - ma’ruza

O’quv mashg’ulotining tuzilishi

1. O’quv kursi va mashg’ulot mavzusiga kirish 2. Bilimlarni faollashtirish - aqliy hujum 3. Ma’ruza matnini tarqatish 4. Ma’ruzani Power Point taqdimoti bo’yicha olib

borish. 5. Asosiy atamalarni aniqlash-pinbord 6. Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi. 7. Hisoblash matematikasining asosiy vazifasi va

usuli.

O’quv mashg’ulot maqsadi: O’quv fani to’g’risida umumiy tasavvurlarni berish Pedagogik vazifalar:

- Hisoblash matematikasi (HM) fanining ahamiyati va vazifalari, uni o’quv fanlar tizimida tutgan o’rni bilan tanishtirish; - HM o’quv fani tuzilishini va tavsiya etilayotgan o’quv-uslubiy adabiyotlarni sharhlash; - HM nazariya va amaliyot sohasidagi yutuqlarni yoritish; - HM fan miqyosidagi uslubiy va tashkiliy ishlar xususiyatlari, muddat va baholash shakllarini ochib berish; - HM tarixi bilan tanishtirish; - HM predmeti tasnifini berish; - HM vazifa va usullarini tushuntirish; - HM boshqa fanlar bilan aloqasi ochib berish

O’quv faoliyat natijalari: - HM fanning ahamiyati va vazifalarini ifodalaydilar; - HM o’quv fani tuzilishini va tavsiya etilayotgan o’quv-uslubiy adabiyotlarni sharhlaydilar; - HM nazariya va amaliyot sohasidagi yutuqlarni yoritadilar; - HM fan miqyosidagi uslubiy va tashkiliy ishlar xususiyatlarini, muddat va baholash mezonlari va shakllarini yozib oladilar; HM kelib chiqish tarixini aytib beradilar; HM predmetini tasniflaydilar; HM vazifalari va usullarini aytib beradilar; HMning boshqa fanlar bilan aloqasi tartibli ravishda ochib beradilar

Ta’lim usullari Ma’ruza, pinbord, aqliy hujum Ta’limni tashkillashtirish shakli

Ommaviy, jamoaviy

Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, kompyuter, grafikli tashkil etuvchilar

Ta’lim berish sharoiti Maxsus texnik vositalar bilan jihozlangan xona

Monitoring va baholash Og’zaki so’rov: tezkor - so’rov. Ma’lumotli kirish - ma’ruzasining texnologik xaritasi

Ish Faoliyat mazmuni

159

bosqichlari va

vaqti

ta’lim beruvchi ta’lim oluvchilar

1-bosqich. O’quv

mashg’ulotiga kirish (20 daq.)

1.1. Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan natijalarni yetkazadi. Taqdimot bo’yicha ekranga fanning tuzilmaviy-mantiqiy chizmasini chiqaradi, mavzularning o’zaro aloqasini yoritadi, ularga qisqa tavsif beradi, fan miqyosida bajariladigan uslubiy va tashkiliy ishlar xususiyatlarini tushuntiradi. Reyting-nazorat tizimi, joriy, oraliq, va yakuniy nazoratni baholash mezonlari (№ 1.1 ilova) bilan tanishtiradi. Mavzu bo’yicha asosiy tushunchalarni; mustaqil ishlash uchun adabiyotlar ro’yxatini aytadi. 1.2. Birinchi o’quv mashg’uloti mavzusi, maqsad va o’quv faoliyat natijalarini aytadi. 1.3. Aqliy hujum usuli yordamida ushbu mavzu bo’yicha ma’lum bo’lgan tushunchalarni aytishni taklif etadi va bilimlarni faollashtiradi. (№ 1.2 ilova) Aqliy hujum usuli qoidasini (№ 1.3 ilova) eslatadi. Barcha aytilayotgan takliflarni yozuv taxtasiga yozib boradi. Ushbu ish mashg’ulot yakunida tugatilishini ma’lum qiladi.

Tinglaydilar, yozib oladilar. Tushunchalarni aytadilar

2-bosqich. Asosiy (50 daq.)

2.1. Mavzu bo’yicha ma’ruza matnini tarqatadi va uning rejasi, asosiy tushunchalar bilan tanishishni taklif qiladi. 2.2. Slaydlarni Power Pointda namoyish va sharhlash bilan mavzu bo’yicha asosiy nazariy holatlarni bayon qiladi. Jalb qiluvchi savollar beradi; mavzuning har bir qismi bo’yicha xulosalar qiladi; eng asosiylariga e’tibor qaratadi; berilayotgan ma’lumotlarni daftarga qayd etishlarini eslatadi. 2.3. Yozuv taxtasida yozilgan tushunchalarga qaytishni taklif etadi. Talabalar bilan birga fanga taalluqli bo’lmagan va qaytariluvchi ma’lumotlarni olib tashlaydi, muhim asosiy tushunchalarni (Pinbord) kiritadi (№1.4 ilova).

O’qiydilar. Tinglaydilar, jadval va chizmalarni daftarga ko’chirib oladilar. Savollar beradilar. Asosiy tushunchalarni muhokama qiladilar. Ma’lumotlarni daftarga qayd qiladilar.

160

3-bosqich. Yakuniy (10 daq.)

3.1.Mavzu bo’yicha yakun yasaydi, qilingan ishlarni kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 3.2. Talabalar bilimini tezkor savol-javob orqali baholaydi (№1.5 ilova). 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi (№1.6 ilova). va uning baholash mezonlari bilan tanishtiradi

O’z-o’zini, o’zaro baholashni o’tkazadilar. Savol beradilar. Topshiriqni yozadilar

Ilova 1.1 BAXOLASh MEZONLARI

№

Naz

orat

tu

ri

Bal

l

Naz

orat

is

hi

Uy

ishi

Mus

taqi

l is

h

Dar

sda

faol

ligi

Am

aliy

ish

Labo

rato

riya

1 JN-1 16 3 2 3 2 3 3 2 JN-2 19 3 2 3 2 6 3 3 ON-1 18 3 3 3 3 3 3 4 ON-2 17 3 2 3 2 4 3 5 YN 30 30

Ilova 1.2

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 1. Matematik jadvallar nima? 2. Taqribiy hisoblashlar nima uchun zarur ? 3. Qanday taqribiy hisoblashlar bajargansiz ? 4. Qasi olimlar taqribiy hisoblashlarni bajargan ? 5. π –soni qanday hisoblanganini bilasizmi ? 6. Xatolik deganda nimani tushunasiz ? 7. Xatolikning turlarini bilasizmi ? 8. Usul (metod) deganda nimani tushinasiz ?

161

Ilova 1.3

Ilova 1.4

Ta’lim beruvchi: → Taklif etilgan muammoni yechishga o’z nuqtai nazarini bayon qiladi. → Ommaviy to’g’ri aqliy hujumni tashkillashtiradi. Ta’lim oluvchilar quyidagi g’oyalarni: → Taklif etadilar, muhokama qiladilar, baholaydilar eng ko’p maqbul (samarali va boshqa

g’oyalarni tanlaydilar va ularni qog’oz varag’iga asosiy so’zlar ko’rinishida (2 so’zdan ko’p bo’lmagan) yozadilar va yozuv taxtasiga biriktiradilar.

→ Guruh a’zolari (ta’lim beruvchi tomonidan belgilangan 2-3 talaba yozuv taxtasiga chiqadilar va boshqalar bilan maslahatlashib:

aniq xato yoki qaytariluvchi g’oyalarni saralaydilar; tortishuvlarni aniqlaydilar; g’oyalarni tizimlashtirish mumkin bo’lgan belgilar bo’yicha aniqlaydilar; shu belgilar bo’yicha hamma g’oyalarni yozuv taxtasida guruhlaydilar (kartochka/

varaqlar). Ta’lim beruvchi:

→Umumlashtiradi va ish natijalarini baholaydi. Monitoring va baholash

O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javob qarab 1-2 ballgacha baholanadi

Aqliy hujum qoidasi: Hyech qanday birga baholash va tanqidga yo’l qo’yilmaydi! Taklif etilayotgan g’oyani baholashga shoshma, agarda u hattoki ajoyib va g’aroyib

bo’lsa ham hamma narsa mumkin. Tanqid qilma, hamma aytilgan g’oyalar qimmatli teng kuchlidir. O’rtaga chiquvchini bo’lma! Turtki berishdan o’zingni ushla! Maqsad miqdor hisoblanadi! Qancha ko’p g’oyalar aytilsa, undan ham yaxshi: yangi va qimmatli g’oyalarni paydo

bo’lishi uchun ko’p imkoniyatdir. Agarda g’oyalar qaytarilsa, xafa bo’lma va hijolat chekma. Tasavvuringni “jo’sh urishiga” ruxsat ber! Agarda g’oyalar qaytarilsa, xafa bo’lma va hijolat chekma. Tasavvuringni “jo’sh urishiga” ruxsat ber!

Пинборд (инглизчадан: pin- маҳкамлаш, board – ёзув тахтаси) мунозара усуллари ёки ўқув суҳбатини амалий усул билан мослашдан иборат.

162

Ilova 1.5 Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar

1. Matematik jadvallar tuzish qachon boshlangan? 2. Hisoblash metodlarini yaratishga katta hissa qo’shgan olimlarni ayting. 3. Funksional fazo nima ? 4. Operator nima ? 5. To’g’ri masala deb qanday masalaga aytiladi? 6. Teskari masala deb qanday masalaga aytiladi? 7. Hisoblash matematikasining fan sifatida qachon paydo bo’lgan ? 8. Hisoblash matematikasi vazifalarini ayting?. 9. Hisoblash matematikasi metodi (usuli) nimada ?

№1.6 ilova Mustaqil ish topshiriqlari.

1. Xatoliklar nazariyasi va ularni kelib chiqish manbalari. 2. Misol. Funksiyaning absolyut va nisbiy xatosini toping;

1,06,962004,00435,201,085,33

cbac

aby

Taqdimot slaydlari

BAXOLASh MEZONLARI

№

Naz

orat

tu

ri

Bal

l

Naz

orat

is

hi

Uy

ishi

Mus

taqi

l is

h

Dar

sda

faol

ligi

Am

aliy

ish

Labo

rato

riya

1 JN-1 16 3 2 3 2 3 3 2 JN-2 19 3 2 3 2 6 3 3 ON-1 18 3 3 3 3 3 3 4 ON-2 17 3 2 3 2 4 3 5 YN 30 30

163

MAVZU 2. ILDIZLARNI AJRATISH


Vaqt: 80 min. Talabalar soni 50 O’quv mashg’ulotining shakli va turi

Axborotli ma’ruza

Ma’ruza rejasi / o’quv mashg’ulotining tuzilishi

1. Umumiy mulohazalar. 2. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini

ajratish. 3. Dikart teoremasi.

4. Shturm teoremasi O’quv mashg’uloti maqsadi:

Talabalarda hisoblash usullari fanida algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish, Dikart teoremasi, Shturm teoremasi haqidagi umumiy mulohazalar shakllantirish va bu teoremalar asosida tenglamalar ildizlarini ajratishni o’rgatish

Pedagogik vazifalar: Umumiy mulohazalar bilan tanishtirish; Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajra-tish tasnifini berish; Dikart, Shturm teoremalarini tushuntirish va qo’llashni o’rgatish

O’quv faoliyati natijalari: Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish tasniflaydilar; Dikart teoremasi aytib beradilar va qo’llaydilar; Shturm teoremasi aytib beradilar va qo’llaydilar

Ta’lim usullari Ma’ruza, aqliy hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari,

videoproyektor va kompyuter Ta’lim berish sharoiti

Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona

Monitoring va baholash

Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov

164

O’quv mashg’ulotining texnologik xaritasi

Ish bosqichlari va

vaqti

Faoliyat ta’lim beruvchi ta’lim

oluvchilar

1-bosqich. O’quv


1.1. Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan natijalarni yetkazadi. Mashg’ulot rejasi bilan tanishtiradi. 1.2. Mavzu bo’yicha asosiy tushunchalarni; mustaqil ishlash uchun adabiyotlar ro’yxatini aytadi. 1.3. O’quv mashg’ulotida o’quv ishlarini baholash mezonlari bilan tanishtiradi

Tinglaydilar, yozib oladilar.

Aniqlashtiradilar, savollar beradilar.

2-bosqich. Asosiy ( 65 daq.)

2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum orqali (Ilova 2.1) bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi va Power Point taqdimoti bo’yicha darsni olib boradi.

Yozadilar. Javob beradilar Transendent tenglamaning ildizlarini ajratadilar


3.1.Mavzu bo’yicha yakunlaydi, qilingan ishlarni kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 3.2. Talabalar ishini baholaydi (Ilova 2.2), o’quv mashg’ulotining maqsadga erishish darajasini tahlil qiladi. 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi va uning baholash mezonlarini yetkazadi .

O’z-o’zini, o’zaro baholashni o’tkazadilar. Savol beradilar Topshiriqni yozadilar

Ilova 2.1

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 1. Matematik jadvallar nima? 2. Usul (metod) deganda nimani tushinasiz ? 3. Nyuton metodi. 4. Qasi olimlar taqribiy hisoblashlarni bajargan ? 5. π –soni qanday hisoblanganini bilasizmi ? 6. Xatolik deganda nimani tushunasiz ? 7. Taqribiy hisoblashlar nima uchun zarur ? 8. Xatolikning turlarini bilasizmi ?

Ilova 2.2


165

O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javob qarab 1-2 ballgacha baholanadi

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar

1. Dastlabki yaqinlashishni topish. 2. Algebraik tenglamalar qanday ko’rinishda bo’ladi. 3. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 4. Teylor formulasini qanday ko’rinishda bo’ladi. 5. Nyuton metodi. 6. Nyuton metodi qo’llash shartlari.

Ilova 2.3

Mustaqil ish topshiriqlari.

1.Ikkiga bulish metodi bilan kuyidagi tenglamaning [0,1] kesmada joylashgan ildizi aniklansin: 012)( 34 xxxxf

a) ξ = 1 b) ξ = 1,55 c) ξ = 0,867 d) ξ = 0,96

2.Agar )(xf kam uzgarsa, Nyuton metodi yordamida yechimga ketma-ket yakinlashish formulasini kursating:

a) ,...)1,0(,)()(

011 n

xfxfxx n

nn

b) ,...)2,1,0(,)()(

111 nxfxfxx

n

nnn

c) ,...)2,1,0(,)()(

11

1 n

xfxfxx

n

nnn

,...)2,1(,)()(

11 nxfxfxx

n

nnn

166

Taqdimot slaydlari

Grafik usuli bilan tenglamaning ildizi takribiy topilsin

Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish

012)12( xx

0...... 11

10

nnnn axaxaxaxf

12 xy

xy 2

1 0,5

y

x 0

2-чизма

y 3xy

1,02,1 xy

x

3-чизма

167

MAVZU 3. TENGLAMALARNI YECHISHDA ITERASIYA METODI



Axborotli ma’ruza


4. Oddiy iterasiya metodi. 5. Iterasiya metodi yaqinlashishini

tezlashtirishning bir usuli. 6. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning

yaqinlashishiga ta’siri O’quv mashg’uloti maqsadi:

Talabalarga oddiy iterasiya metodi, Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirish usulini o’rgatish, Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri haqidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Oddiy iterasiya metodi yordamida tenglamalarni sonli yechishni o’rgatish; Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning usuli qo’llashni o’rgatish; Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’sirini ko’rsatish va amlada qo’llashni o’rgatish

O’quv faoliyati natijalari: Oddiy iterasiya metodini asosiy mohiyati aytib beradilar; Iterasiya metodi yaqinlashi-shini tezlashtirishning bir usulini tasniflaydilar; Iterasiya usullarini aytib beradilar; Hisoblash xatosining itera-sion jarayonning yaqin-lashishiga ta’sirini ochib beradilar

Ta’lim usullari Ma’ruza, tezkor savol-javob Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari,

videoproyektor va kompyuter Ta’lim berish sharoiti Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona

Monitoring va baholash Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov

168


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar va hisoblashlarni bajarish tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar Hisoblash algoritmi asosida berilgan tenglamani taqribiy yechadilar


3.1.Mavzu bo’yicha yakunlaydi, qilingan ishlarni kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 3.2. Talabalar ishini baholaydilar, o’quv mashg’ulotining maqsadga erishish darajasini tahlil qiladi. 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi va uning baholash mezonlarini yetkazadi .


Ilova 3.1.

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 4. Dastlabki yaqinlashishni topish. 5. Algebraik tenglamalar qanday ko’rinishda bo’ladi. 6. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 7. Teylor formulasini qanday ko’rinishda bo’ladi. 8. Nyuton metodi. 9. Nyuton metodi qo’llash shartlari. 10. Iterasion usullarning asosiy mohiyati nimada ? 11. Tenglamalarni taqribiy yechishning oddiy iterasiya usuli qanday hollarda qo’llaniladi ?. 12. Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi nimada ?. 13. Iterasiya usulini yaqinlashishi qanday baholanadi ?

169

14. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishi qanday ta’sir qiladi ? 15. Iterasiya metodi yaqinlashishini qanday tezlashtirish mumkin ?

Ilova 3.2 Monitoring va baholash

O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javobga qarab 1-2 ballgacha baholanadi


1. Iterasion usullarning asosiy mohiyati nimada ? 2. Tenglamalarni taqribiy yechishning oddiy iterasiya usuli qanday hollarda qo’llaniladi ?. 3. Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi nimada ?. 4. Iterasiya usulini yaqinlashishi qanday baholanadi ? 5. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishi qanday ta’sir qiladi ? 6. Iterasiya metodi yaqinlashishini qanday tezlashtirish mumkin ?

Ilova 3.3 Mustaqil ish topshiriqlari.

1. Ildizlarni ajratish. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni yechish usullari (1 ta tenglama uchun)

2. Misol. Tenglamani iterasiya metodi bilan yeching 0223 xxx

Taqdimot slaydlari

0 0

M

M

y

x x

0х 0х 1x 1x 2x

0A

0A

1A 1A

1B 1B

2B

2B y 2А

5-чизма 6-чизма

170

Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli Vegsteyn usuli

formuladan topilgan ni

Vegsteyn usuli bilan topilgan ketma-ket yaqinlashishlari aniqlik bilan jadvalda keltirilgan.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

10 0

1000 29,7

-30,3010 10,2310 9,97016

9,966666 9,9666667906

*10 *0 9,9 10,1 9,9658 9,966655 9,66667791 9,966666790 9,96666679061

10 0

- 1000 - 999000

- 978,10

)(xх

1nх

11 )1( nnn xqqzz))(1()( 111 nnnn xzqzzq

1010

n nn zvx 1 nz nn xx 1

15

1)(0 xy

х 2х 1х 0x

0A

1A 2А

M 2B

1B

х

y

0x

0A

1х

1A

1B

2B

2А

2х

0)(1 xy

y


0

y

x

)(xyy

nz

B

М

А C

1nx

9-чизма

171

MAVZU 4. QISQARTIRIB AKS ETTIRISH PRINSIPI.

CHIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR SISTEMASI UCHUN ITERASIYA METODI



Axborotli ma’ruza


4. Metrik fazo haqida tushuncha. 5. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish.

O’quv mashg’uloti maqsadi:

Talabalarda metrik fazo haqida, qisqartirib aks ettirish prinsipi, chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish haqidagi umumiy mulohazalar va bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Metrik fazo tushunchasi bilan tanishtirish; Qisqartirib aks ettirish prinsipi tasnifini berish; Chiziqli bo’lmagan tenglama-lar sistemasini taqribiy yechishga iterasiya metodi qo’llashni o’rgatish;

O’quv faoliyati natijalari: Metrik fazo tushunchasini aytib beradilar; Qisqartirib aks ettirish prinsipini tasniflaydilar; Iterasiya metodi yordamida chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish algoritmini aytib beradilar.

Ta’lim usullari Ma’ruza, tezkor savol-javob Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari,





172


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob) (Ilova 1) orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar Usulni qo’llash algoritmini o’rganadilar




Ilova 4.1

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar. 4. Iterasion usullarning asosiy mohiyati nimada ? 5. Tenglamalarni taqribiy yechishning oddiy iterasiya usuli qanday hollarda qo’llaniladi ?. 6. Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi nimada ?. 7. Iterasiya usulini yaqinlashishi qanday baholanadi ? 8. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishi qanday ta’sir qiladi ? 9. Iterasiya metodi yaqinlashishini qanday tezlashtirish mumkin ? 10. Oddiy iterasiya usulining mohiyati nimada ? 11. Iterasiya usulining yaqinlashish shartlari qanday ? 12. Sistema uchun iterasiya usulining yaqinlashishining yetarli sharti qanday ?. 13. Qisqartirib aks ettirish prinsipiga asoslangan teoremalar ayting ?. 14. Iterasiya metodini qo’llash algoritmini aytib bering ?

173

Monitoring va baholash O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javobga qarab 1-2 ballgacha baholanadi

Ilova 4.2 Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar.

1. Oddiy iterasiya usulining mohiyati nimada ? 2. Iterasiya usulining yaqinlashish shartlari qanday ? 3. Qisqartirib aks ettirish prinsipini tushintiring? 4. Metrik fazo nima ?. 5. Sistema uchun iterasiya usulining yaqinlashishining yetarli sharti qanday ?. 6. Qisqartirib aks ettirish prinsipiga asoslangan teoremalar ayting ?. 7. Iterasiya metodini qo’llash algoritmini aytib bering ?


1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish usullari (Nyuton, Iterasiya) 2. Misol. Iterasiya usuli bilan yechish algoritmini tuzing.

15,221,127,184,063,027,165,027,1

51,184,027,163,1

321

321

321

xxxxxxxxx

Taqdimot slaydlari Iterasiya metodi bilan

tenglamalar sistemasini yechish masalasiga o’tamiz. Buning uchun avval sistemani biror usul bilan quyidagi kanonik shaklga keltirib olamiz:

Faraz qilaylik, dastlabki yaqinlashish topilgan bo’lsin, u holda

keyingi yaqinlashishlar quyidagicha topiladi:

0),...,,(........

,0),...,,(,0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

).,...,,(........

),,...,,(),,...,,(

21

2122

2111

nnn

n

n

xxxx

xxxxxxxx

),...,,( )0()0(2

)0(1

)0(nxxxx

).,...,,(........

),,...,,(

),,...,,(

)()(2

)(1

)1(

)()(2

)(12

)1(2

)()(2

)(11

)1(1

kn

kkn

kn

kn

kkk

kn

kkk

xxxx

xxxxxxxx

174

masofada. Yuqoridagiga o’xshash ishlarni sharda bajarib quyidagini hosil qilamiz:

. Bundan esa

masofada. Qaralayotgan shar Yevklid fazosidagi

shardan iboratdir. Bu shardan ixtiyoriy ikkita x va u nuqtalarni olib quyidagilarni hosil qilamiz:

s ),( )0(xxs

n

ijj

n

i j

i

xj

n

iii yx

xyx

111||maxmax|)()(|

n

i j

i

xjs

sss

xq

yxqyx

1maxmax

),,())(),((

l ),( )0(xxi

2/1

1

2)0( )(n

iii xx

.max

),,()]()([))(),((

);,(max)()~(|)()(|

2

11

2

22

1

22

1

)2(

22

1

2

n

j j

in

il

ll

n

iiil

n

jl

j

i

x

n

jjj

j

iii

xq

yxqyxyx

yxx

yxx

xyx

175

MAVZU 5. NYUTON METODI



Axborotli ma’ruza


4. Bitta sonli tenglama bo’lgan hol uchun Nyuton metodi.

5. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar. 6. Karrali ildizlar uchun Nyuton metodi.


Talabalarda bitta sonli tenglamayechish uchun karrali ildizlar uchun Nyuton metodini qo’llashni o’rgatish, Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalari to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish va qo’llashni o’rgantish

Pedagogik vazifalar: Bitta sonli tenglama bo’lgan hol Nyuton metodi bilan tanishtirish; Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar tasnifini berish; Nyuton usulini tushuntirish; Karrali ildizlar uchun nyuton metodini ochib berish

O’quv faoliyati natijalari: Bitta sonli tenglama uchun Nyuton metodi aytib beradilar; Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalarni tasniflaydilar; Nyuton usulida hisoblash algoritmini aytib beradilar; Karrali ildizlar uchun Nyuton metodini qo’llashni ko’rsatib beradilar

Ta’lim usullari Ma’ruza, tezkor savol-javob hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari,





176


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum (Ilova 1) orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar Hisoblash algoritmi asosida jadvalni to’ldirdilar.


3.1.Mavzuni yakunlaydi, qilingan ishlarni kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 3.2. Talabalar ishini baholaydilar, o’quv mashg’ulotining maqsadiga erishish darajasini tahlil qiladi. 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi va uning baholash mezonlarini yetkazadi .


Ilova 5.1.

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 3. Oddiy iterasiya usulining mohiyati nimada ? 4. Iterasiya usulining yaqinlashish shartlari qanday ? 5. Qisqartirib aks ettirish prinsipini tushintiring? 6. Metrik fazo nima ?. 7. Sistema uchun iterasiya usulining yaqinlashishining yetarli sharti qanday ?. 8. Qisqartirib aks ettirish prinsipiga asoslangan teoremalar ayting ?. 9. Iterasiya metodini qo’llash algoritmini aytib bering ? 10. Nyuton metodining asosiy g’oyasi tushintiring ? 11. Nyuton metodining geometrik ma’nosi nimada ?. 12. O’zgartirilgan Nyuton metodi qvndvy qo’llaniladi ? 13. Nyuton metodining yaqinlashishi qanday teksheriladi ?

Monitoring va baholash O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javobga qarab 1-2 ballgacha baholanadi

177

Ilova 5.2. Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar

1. Nyuton metodining asosiy g’oyasi tushintiring ? 2. Nyuton metodining geometrik ma’nosi nimada ?. 3. O’zgartirilgan Nyuton metodi qvndvy qo’llaniladi ? 4. Nyuton metodining yaqinlashishi qanday teksheriladi ? 5. Yaqinlashish tezligi qanday baholanadi ? 6. Karrali ildizlar uchun Nyuton metodini qo’llash algirtmini ayting ? 7. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar aytib bering ?

Ilova 5.3.

Mustaqil ish topshiriqlari.

1. Ildizlarni ajratish. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni yechish usullari (1 ta tenglama

uchun) 2. Misol. Tenglamani Nyuton usuli bilan yeching

F(x)=3x4-4x-1=0

Taqdimot slaydlari

4) ketma-ket yaqinlashishlarni ko’rish mumkin va ular ga yaqinlashadi:

; 5) yaqinlashish tezligi uchun

.)..,1,0()()(

1

nxfxfxx

n

nnn

nn

xlim

nn ttx ||

0 0

y

x 2nx 1nx nx

nM

)(tp

abt

2 t t t

1t 2t

cbtattp 2)(

12 - чизма 13 - чизма 10-чизма 11-чизма

178

baho o’rinli bo’lib, bu yerda esa

Teylor formulasidan

larga ega bo’lamiz. Demak,

0 1 2 3 4 5

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

1,026 1,056 1,089 1,127 1,172 1,225 1,292 1,382 1,519

2

2,63∙10-2 5,57∙10-2 8,89∙10-2 1,27∙10-1 7,20∙10-1 2,25∙10-1 2,92∙10-1 3,82∙10-1 5,19∙10-1

1

1,83∙10-5 1,73∙10-4 6,98∙10-4 2,02∙10-3 4,91∙10-3 1,09∙10-2 2,30∙10-2 4,96∙10-2 1,10∙10-1 5,00∙10-1

8,77∙10-12 1,66∙10-9 4,66∙10-8 5,25∙10-7 4,25∙10-6 2,78∙10-5 1,66∙10-4 1,01∙10-3 7,49∙10-3 2,50∙10-1

2,03∙10-24 1,55∙10-19 1,77∙10-16 3,56∙10-14 3,19∙10-12 1,84∙10-10 8,85∙10-9 4,59∙10-7 3,95∙10-5 1,25∙10-1

1,80∙10-24 8,02∙10-21 2,50∙10-17 9,42∙10-14 1,11∙10-9 6,25∙10-2

Karrali ildizlar uchun nyuton metodi.

Teylor qatoridagi yoyilmasi quyidagicha bo’ladi:

,

. Nyuton qoidasidan bilan orasidagi munosabatni chiqaramiz:

. (5.29) (28) yoyilmada faqat ikkita bosh hadlarini saqlab, quyidagilarni hosil qilamiz:

nt

1)(

,)(21))(~(

21)()()()(

11

21

21111

nn

nnnnn

h

h

02

)( 2 BB

ttKtP

nh

)()(...)()()( 11 xRxcxcxcxf m

mm

pp

pp

),...,1,(!

)()(

mppkk

fck

k

n 1n

)()(

1n

nnn f

f

179

....1)()(

,...)1(1)1()(

1

...],)1([)1()(

...],[)1()(

1

11

1

111

11

np

pn

n

n

npp

pnp

p

n

pnp

pnp

pn

pnp

pnp

pn

cc

pff

cpcp

cpf

cpcpf

ccf

180

MAVZU 6. MODIFIKASIYALANGAN NYUTON METODI. TENGLAMALAR

SISTEMASI UCHUN NYUTON METODI



Axborotli ma’ruza


4. Modifikasiyalangan Nyuton metodi. 5. Vatarlar metodi. 6. Tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi


Talabalarda modifikasiyalangan Nyuton metodi, Vatarlar metodi, Nyuton metodini qo’llash algoritmi, yaqinlashishi haqidagi teoremalar to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Modifikasiyalangan Nyuton metodi bilan tanishtirish qo’llashni o’rgatish; Vatarlar metodi tasnifini berish va qo’llashni o’rgatish; Tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodini qo’llashni o’rgatish

O’quv faoliyati natijalari: Modifikasiyalangan Nyuton metodi aytib beradilar; Vatarlar metodi haqidagi tasniflaydilar; Nyuton usulini tushuntirish beradilar; Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodini qo’llash algoritmini aytib beradilar

Ta’lim usullari Ma’ruza, tezkor-so’rov Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari,





181


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob) (Ilova 1) orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar Hisoblashlarni bajaradilar, yaqinlashish shartlarini teksheradilar




Ilova 6.1

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 4. Nyuton metodining geometrik ma’nosi nimada ?. 5. O’zgartirilgan Nyuton metodi qvndvy qo’llaniladi ? 6. Nyuton metodining yaqinlashishi qanday teksheriladi ? 7. Nyuton metodining asosiy g’oyasi tushintiring ? 8. Yaqinlashish tezligi qanday baholanadi ? 9. Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 10. Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi. 11. Vatarlar metodi. 12. Karrali ildizlar uchun Nyuton metodini qo’llash algirtmini ayting ? 13. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar aytib bering ?

182

14. Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi.

183

Monitoring va baholash O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javobga qarab 1-2 ballgacha

baholanadi Ilova 6.2

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 1. Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi. 2. Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 3. Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi. 4. Yakobi matrisasi. 5. Modifikasiyalangan Nyuton metodi. 6. Vatarlar metodi.


1. Ildizlarni ajratish. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni yechish usullari (1 ta tenglama

uchun) 2. Misol. Tenglamani Nyuton usuli bilan yeching

F(x)=3x4-4x-1=0 Taqdimot slaydlari

Modifikasiyalangan Nyuton metodi.

Vatarlar metodi. Endi Nyuton metodidagi hisoblashlarni soddalashtirishning yana bir

usulini ko’ramiz. Nyuton metodida mehnatning asosiy qismi va larni hisoblash

uchun sarflanadi. Shularning birortasi, masalan, ni hisoblashdan qutulish mumkin

emasmikin degan savol tug’iladi. Bu bizni vatarlar usuliga olib keladi, ya’ni agar ni taqribiy ravishda almashtirsak:

, Vatarlar metodi ikki qadamli metod bo’lib ni topish uchun va ni bilishimiz kerak. (6.3) qoidani qo’llash uchun:

3) barcha lar ning aniqlanish sohasida yotishi va

)( nxf )( nxf

)( nxf

)( nxf

1

1)()()(

nn

nnn xx

xfxfxf

1nx 1nx nx

nx )(xf

0

y

x

0x 1x 2x 3x

12-чизма

184

4) shartlar bajarilishi kerak.

Avval bo’lgan holni ko’rib chiqaylik, bu yerda ikki hol bo’lishi

mumkin: a) va b) .

Agar bo’lsa,

tenglikdan ligini ko’ramiz. Shuning uchun ham va navbatdagi

yaqinlashishni qurish mumkin bo’lmaydi. Prosess shu yerda uziladi va yechimga olib kelmaydi.

Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi. Bu yerda ta noma’lumli ta

Teylor qatoriga yoyib, ga nisbatan chiziqli qismini saqlab, quyidagi taqribiy sistemaga ega bo’lamiz:

Qulaylik uchun Yakobi matrisasini kiritamiz:

...),2,1(0)()( 1 nxfxf nn

0)()( 1 nn xfxf

1 nn xx 1 nn xx

1 nn xx

)()())((

21

2111

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

0)( 1 nxf 0)( nxf

)()())((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

n nxxx ,...,, 21

n

0),...,,(........................

,0),...,,(,0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

n ,...,, 21

).()(...)(...........................................

),()(...)(

)0()0(

11

)0(

)0(1

)0(1

11

)0(1

xfxxf

xxf

xfxxf

xxf

nnn

nn

nn

.)(

...)(

......................

)(...)(

)()0(

1

)0(

)0(1

1

)0(1

n

nn

n

x

xxf

xxf

xxf

xxf

xf

185

MAVZU 7. NOMA’LUMLARNI YO’QOTISH. GAUSS METODI



Axborotli ma’ruza


6. Gauss metodi. 7. Bosh elementlar metodi. 8. Optimal yo’qotish metodi. 9. Determinatni hisoblash. 5. Matrisalarning teskarisini topish.


Talabalarda Gauss metodi, Bosh elementlar metodi, Optimal yo’qotish metodi, Determinatni hisoblash, Matrisalarning teskarisini topish to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish va Tenglamalar sistemasining taqribiy yechimlarini hisoblash ishlarini bajarishni o’rgatish.

Pedagogik vazifalar: Gauss metodi bilan tanishtirish; Bosh elementlar metodi tasnifini berish; Optimal yo’qotish metodini tushuntirish; Determinatni hisoblash, Matrisalarning teskarisini topishni o’rgatish

O’quv faoliyati natijalari: Gauss, Bosh elementlar, Optimal yo’qotish metodilarini qo’llash algoritmini tushuntirib beradilar va hisoblash formulalarini aytib beradilar; Determinatni hisoblash, Matrisalarning teskarisini topish algoritmini tushuntirib beradilar






186


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar




Ilova 7.1.


6. Chiziqli tenglamalar sistemasini tushuntiring? 7. Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi. 8. Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 9. Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi. 10. Yakobi matrisasi. 11. Modifikasiyalangan Nyuton metodi. 12. Vatarlar metodi. 13. Chiziqli tenglamalar sistemasini aniq va taqribiy usullari deganda nimani tushunasiz? 14. Matrisa elementlarini nima ? 15. Kramer usulini bilasizmi? 16. Teskari matrisani tushuntiring ? 17. Teskari matrisa elementlari qanday hisoblanadi ?


187

O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob bo’yicha 1-2 ballgacha baholanadi


1. Chiziqli tenglamalar sistemasini tushuntiring? 2. Chiziqli tenglamalar sistemasini aniq va taqribiy usullari deganda nimani tushunasiz? 3. Matrisa elementlarini nima ? 4. Kramer usulini bilasizmi? 5. Teskari matrisa deganda nimani tushunasiz? 6. Determinatni va uning qiymati qanday hisoblanadi? 7. Teskari matrisani tushuntiring ? 8. Teskari matrisa elementlari qanday hisoblanadi ?

Ilova 7.3. Mustaqil ish topshiriqlari.

1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish usullari (Nyuton, Iterasiya) 2. Misol. Iterasiya usuli bilan yechish algoritmini tuzing.

15,221,127,184,063,027,165,027,1

51,184,027,163,1

321

321

321

xxxxxxxxx

Taqdimot slaydlari

Gauss metodi. Bu metod bir necha hisoblash sxemalariga ega. Shulardan biri Gaussning

kompakt sxemasini ko’rib chiqamiz. Ushbu sistema berilgan bo’lsin:

uchburchak sistemaning koeffisiyentlarini topish Gauss metodining to’g’ri yurishi, sistemani topish jarayoni teskari yurishi deyiladi.

Bosh elementlar metodi.

Hisoblash xatosining bunday halokatli ta’siridan qutulish uchun Gauss metodi bosh elementni tanlash yo’li bilan qo’llaniladi. Buning Gauss metodining kompakt sxemasidan farqi quyidagidan

.,..................

,,...,,...

12211

122222121

111212111

nnnnnnn

nnn

nnn

axaxaxa

axaxaxaaxaxaxa

................

,

,

)1(12

)1(12

)1(1,11

)1(,1

)1(1,11

)(1,

nnn

nn

nnn

nnn

nnnn

xbxbbx

xbbx

bx

188

iborat. Faraz qilaylik, noma’lumlarni yo’qotish jarayonida quyidagi sistemaga ega bo’lgan bo’laylik:

Optimal yo’qotish metodi.

Bu metodning dastlabki qadamlari Gauss metodiga o’xshashdir. Yetakchi element deb faraz qilib, (7.1) sistemaning birinchi tenglamasini

Determinantni hisoblash.

Gauss metodini ham, optimal yo’qotish metodini ham determinantni hisoblash uchun qo’llash mumkin. Quyidagi

matrisaning determinantini topish talab qilinsin. Buning uchun, bir jinsli, chiziqli

(7.18) sistemani yechishga Gauss metodini qo’llaymiz. Natijada matrisa

uchbuchak matrisaga almashtiriladi, (18) sistema esa unga ekvivalent bo’lgan

sistemaga o’tadi.

......................

,...

,.....................

,...

)(1,

)(,1

)(1,

)(1,1

)(,11

)(1,1

)2(1,

)(1

)(1,

)1(1,1

)1(13

)1(132

)1(121

mnnn

mnnm

mmn

mnmn

mnmm

mmm

nmnmnmm

mmmm

nnn

axaxa

axaxa

bxbxbx

bxbxbxbx

011 a

)1(1,1

)1(12


.......................

.........

................,...

1,11,11,

1,1,111,111,1

)(1,1

)(1,

)(1,1

)(11

)(1,11

nnnnnkknn

nknnkkkkk

kkkk

kkkk

knn

knk

kk

axaxaxa

axaxaxacxcx

cxcxcx

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

..........

......

21

22221

11211

0xAA

1...000..........

...01...1

)2(2

)2(23

)1(1

)1(13

)1(12

n

n

bbbbb

B

0xB

189

Matrisalarning teskarisini topish.

Faraz qilaylik, bizga maxsusmas matrisa berilgan bo’lsin. Unga teskari bo’lgan

matrisani topish uchun asosiy munosabatdan foydalanamiz, bu yerda birlik

matrisa, va matrisalarni o’zaro ko’paytirsak, ta noma’lumlarga nisbatan asosiy matrisasi bir xil va faqat ozod hadlari bilangina farq qiladigan ta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

),1,( njiaA ji

ijxA 1EAA 1 E

A 1A 2n ijxn

.1...00.....................

,0...10...,0...01...

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

190

MAVZU 8. KVADRAT ILDIZLAR METODI



Axborotli ma’ruza


3. Kvadrat ildizlar usuli. 4. Kvadrat ildizlar usuliga EHMda dastur tuzish

algoritmi.


Talabalarda Kvadrat ildizlar usuli, Kvadrat ildizlar usulini qo’llash algorimi, usudga EHMda dastur tuzish va bajarish to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Kvadrat ildizlar usuli bilan tanishtirish; Qo’shma matrisa, ermit matrisasi tasnifini berish; simmetrik matrisa, unitar matrisalarni tushuntirish; Kvadrat ildizlar usuliga EHMda dastur tuzishni o’rgatish.

O’quv faoliyati natijalari: Gauss metodi aytib beradilar; Qo’shma matrisa, ermit matrisasi haqidagi tasniflaydilar; Simmetrik matrisa, unitar matrisalarni tushuntirish; aytib beradilar; Kvadrat ildizlar usulining EHMda dastur tuzish usulini ochib beradilar







Ish

bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv

mashg’ulotiga kirish (5

1.1. Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan natijalarni yetkazadi. Mashg’ulot rejasi bilan tanishtiradi. 1.2. Mavzu bo’yicha asosiy


Aniqlashtiradilar,

191

daq.) tushunchalarni; mustaqil ishlash uchun adabiyotlar ro’yxatini aytadi. 1.3. O’quv mashg’ulotida o’quv ishlarini baholash mezonlari bilan tanishtiradi

savollar beradilar.



Yozadilar. Javob beradilar Klasterni to’ldiradilar




Ilova 8.1.


3. Matrisa to’g’risida ma’lumot bering ? 4. Uchburchak va dioganal matrisalarni tushintiring ? 5. Qo’shma matrisa nima ? 6. Ermit matrisasini tushuntiring ?. 7. Simmetrik matrisani tushuntiring. 8. Unitar matrisani tushuntiring.

Ilova 8.2.

Mustaqil ish topshiriqlari. 1. Xos qiymat va xos vektor va ularni topish usullari. 2. Misol. Krilov usulidan foydalanib matrisaning xos son va xos vektorini toping.

5,05,115,125,0

15,01


O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob natijasiga qarab 1-2 ballgacha baholanadi

Taqdimot slaydlari

192

Agar A kvadrat matrisa o’zining qo’shmasi bilan ustma-ust tushsa, ya’ni bo’lsa, u Ermit matrisasi yoki o’z-o’ziga qo’shma matrisa deliladi. Elementlari haqiqiy sondan iborat bo’lgan Ermit matrisasi simmetrik matrisa deyiladi. Bu matrisa tenglik bilan aniqlanadi.

bajarilsa, u holda A unitar matrisa deyiladi, bu yerda Ye - birlik matrisa. Unitar matrasa quyidagi xossalarga ega:

,

bu yerda

yuqorida uchburchak matrisa bo’lib, esa elementlari yoki dan iborat bo’lgan

diagonal matrisadir.

matrisa elementlarini topish uchun tenglikdan, matrisalarni ko’paytirish qoidasiga asoslanib, larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bu yerda lar bilan o’zaro qo’shma kompleks sonlardir. sistemada tenglamalarning soni

noma’lumlarning sonidan taga kam. sistemadan lar yagona ravishda topilishi uchun larni

shunday tanlab olamizki, lar haqiqiy va musbat bo’lsin. U vaqtda (8.3) sistemaning ikkinchi tenglamasidan bo’lganda

ga ega bo’lamiz. Endi deb olib uchun ni hosil qilamiz. sistemaning

birinchi tenglamasidan bo’lganda kelib chiqadi. Shunga o’xshash

sistemada bo’lganda avval ikkinchi tenglamadan ni, so’ngra birinchi tenglamadan ni topamiz:

A AA

AA

EAA

1|det|detdetdetdetdet 2 AAAAAAADTTA

nn

n

n

t

ttttt

T

...00............

...0

...

222

11211

D iid 1 1

nnd

dd

D

...00............0...00...0

22

11

T ijt

),...,2,1(),(||...||

),(...2

112

11

1111

nijiadtdt

jiatdttdt

iiiiii

ijijiiiijl

ijt ijt

n ijt iid

iit1i

11112

11 || adt

1111 asignd 11t || 1111 at

1i),...,3,2(

1111

1 njtd

at j

ij

2i 22t jt2

).,3(

,||||),||(

2222

1111222

112

112222112

122222

njtd

tdtat

dtatdtasignd

jjj

193

Shunday qilib, ning avvalgi ikkita satr elementlarini topish uchun formulalar chiqardik. Shunga o’xshash, matrisaning qolgan elementlarini ham topamiz. Umumiy holda hisoblashlar quyidagi formulalar yordamida olib boriladi:

Shunday qilib, yoyilma mavjud va formulalar yordamida aniqlanadi. Nihoyat,

sistemani yechish uchun uni yoyilmadan foydalanib, quyidagi ikkita uchburchak matrisali sistemalar shaklida yozib olamiz:

. Bu sistemalarni yoyib yozsak,

ТT

).,1(

),1(||||

),||(

,,||,

1

1

1

1

2

1

1

2

1111

1111111111

nijtd

tdtat

idtat

dtasignd

tda

tatsignd

iiii

i

ssjsssiij

ij

i

sssstiiii

i

ssssiiiii

jj

bAx DTTA

yxTbyDT ,

nnnnnnnn bydtydtydt

bydtydtbydt

.........

,,

22221111

22222211112

111111

194

MAVZU 9. ITERASION METODLAR



Axborotli ma’ruza


4. Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 5. Oddiy iterasiya metodi. 6. Zeydel metodi.


Talabalarda Iterasion jarayonni qurish prinsiplari, Oddiy iterasiya metodi, Zeydel metodi yordamida tenglamalar sistemasini taqribiy yechishda bajariladigan hisoblashlar to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Iterasion jarayonni qurish prinsiplari bilan tanishtirish; Oddiy iterasiya metodi tasnifini berish; Zeydel metodini tushuntirish;

O’quv faoliyati natijalari: Iterasion jarayonni qurish prinsiplarini aytib beradilar; Oddiy iterasiya metodi haqidagi tasniflaydilar; Zeydel metodini tushuntiradilar. Hisoblashlarni bajarish algoritmini tushintirib beradilar;







Ish

bosqichlari va

vaqti

Faoliyat ta’lim beruvchi ta’lim oluvchilar

1-bosqich. O’quv

mashg’ulotiga kirish (5

1.1. Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan natijalarni yetkazadi. Mashg’ulot rejasi bilan tanishtiradi. 1.2. Mavzu bo’yicha asosiy


Aniqlashtiradilar,

195

daq.) tushunchalarni; mustaqil ishlash uchun adabiyotlar ro’yxatini aytadi. 1.3. O’quv mashg’ulotida o’quv ishlarini baholash mezonlari bilan tanishtiradi

savollar beradilar.







Ilova 9.1.


6. Maxsusmas matrisani tushintiring ? 7. Yaqinlashish shartlari nima ? 8. Dastlabki yaqinlashish qanday aniqlagnadi ? 9. Yaqinlashish haqidagi qanday teoremalarni bilasiz ? 10. Iterasion jarayon qanday prinsiplarda quriladi ?


1. Chiziqli algebraning taqribiy usullari. Yakobi, Zeydel va iterasiya usullari. 2. Misol. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

1,164,237,226,15

;

5,328,181,088,081,071,485,073,0

53,198,053,405,181,075,002,182,3

b

Monitoring va baholash O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob bo’yicha 1-2 ballgacha

baholanadi

Taqdimot slaydlari

),...,,( )()1()0()1( kk

k xxxfx

196

rekurrent formula yordamida topiladi

bu yerda

Oddiy iterasiya metodi.

sistema biror usul bilan

Zeydel metodi.

)()()1( kkk

k cxBx kk cbABbA 11

bCxBx kk

kk )()1(

bxFxD kk

kk )()1(

AFD kk

bxА

bxBх .)..,2,1(,)1()( kcxBx kk

.

.........

,

........

,

,

1

1

)1()1(

1

)(1

1

)1()1(

3

)(

22

2)1(1

22

21

22

2)1(2

2

)(

11

1

11

1)1(1

n

j

kj

nn

nj

nn

nkn

n

ij

kj

ii

iji

j

kj

ii

ij

ii

iki

n

j

kj

jkk

n

j

kj

jk

xaa

abx

xaa

xaa

ab

x

xaa

xaa

abx

xaa

abx

197

MAVZU 10. ENG TEZ TUSHISH. GRADIYENTLAR METODI



Axborotli ma’ruza


3. Eng tez tushish yoki gradiyentlar usulini asosiy g’oyasi.

4. Gradiyentlar usulining yaqinlashishi haqidagi teorema.


Talabalarda Eng tez tushish yoki gradiyentlar usulining asosiy g’oyasi, Gradiyentlar usulini yaqinlashishi haqidagi teorema to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Eng tez tushish yoki gradiyentlar usulini asosiy g’oyasi bilan tanishtirish; Gradiyentlar usulini yaqinlashishi haqidagi teoremani tushuntirish;

O’quv faoliyati natijalari: Eng tez tushish yoki gradiyentlar usulining asosiy g’oyasini aytib beradilar; Usulini yaqinlashishi haqidagi teoremani tasniflaydilar; Eng tez tushish yoki gradiyentlar usulini tenglamalar sistemasini yechishga qo’llash algoritmini aytib beradilar.







Ish bosqichlari va

vaqti


198

1-bosqich. O’quv











Ilova 10.1.


4. Gradiyent nima ? 5. Funksional gradiyent nima ? 6. Xos qiymatni tushintiring ? 7. Xos vektorlar nima ? 8. Xos qiymat va xos vektor qanday hisoblanadi ? 9. Funksional nma ? 10. Funksionallash gradiyentini tushintiring ?


1. Xos qiymat va xos vektor va ularni topish usullari. 2. Matrisaning xos kiymat va xos vektorini toping

5,05,115,125,0

15,01

Monitoring va baholash O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javobga qarab 1-2 ballgacha

baholanadi

Taqdimot slaydlari

199

Bu metod haqiqiy simmetrik musbat aniqlangan matrisali, chiziqli algebraik tenglamalar

Funksiyaning o’sish yoki kamayish tezligini uning hosilasi xarakterlaganidek,

funksionalning „argumenti" yo’nalishi bo’yicha o’zgarganda, uning o’zgarish tezligini funksionalning hosilasi aniqlaydi. funksionalning nuqtada yo’nalishi, bo’yicha hosilasi deb ushbu

ifodaga aytiladi. Bu ta’rifdan

bo’lganligi uchun

bu yerda

tenglamadan topamiz:

.

bxA f

x yf x y

00|)()()(lim)(

yxf

ddxfyxf

yxf

),...,,()( 2211 nn yxyxyxfyxf

02211 |),...,,()(

nn yxyxyxf

dd

yxf

),,()(...)()(2

21

1

yzyxxfy

xxfy

xxf

nn

iin x

xfzzzzz

)(,),...,,( 21

),(2),()( xbxxAxf

0)),((),(),(),(),(),(2),(),(2),(),(2),(),(2),()()(

xxxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxbxxAxbxxAxfxf

).,(2),(2)(),(2),(

|),2)((|)()(

02

00

ybxAyxAbxfyxAbyyAdd

yxbyxAddyxf

dd

yxf

0),(2),(2)( )0()0()0()0()0()0( rxAbrrArxfdd

),(),()0()0(

)0()0(

0 rArrr

200

MAVZU 11. MATRISALARNING XOS SON VA XOS VEKTORLARINI HISOBLASH



Axborotli ma’ruza


4. Xos son va xos vektorlarni topish masalasi. 5. A.N.Krilov metodi. 6. A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va

xos vektorlarini topish. O’quv mashg’uloti maqsadi:

Talabalarda Xos son va xos vektorlarini topish masalasi, A.N.Krilov metodi, A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topish to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Xos son va xos vektorlarini topish masalasi bilan tanishtirish; A.N.Krilov metodi tasnifini berish; A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarni hisoblashni tushuntirish;

O’quv faoliyati natijalari: Xos son va xos vektorlarini topish masalasi aytib beradilar; A.N.Krilov metodi haqidagi tasniflaydilar; A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topishni tushuntirib beradilar;

Ta’lim usullari Ma’ruza, aqliy hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari, videoproyektor

va kompyuter Ta’lim berish sharoiti Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona



Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv





201






Ilova 11.1.

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 4. Xos qiymat nima ? 5. Xos vektor nima ? 6. Minimal ko’phad deganda nimani tushinasiz ? 7. Minor deganda nimani tushinasiz ? 8. Diagonal minor deganda nimani tushinasiz ? 9. Nol bo’lmagan vektor nima ?


1. Xos qiymat va xos vektor va ularni topish usullari. 2. Matrisaning xos kiymat va xos vektorini toping

5,05,115,125,0

15,01


O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob bo’yicha 1-2 ballgacha baholanadi

Taqdimot slaydlari Matrisalarning minimal ko’phadlari

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda

Minimal ko’phadni topish. Endi A.N.Krilov metodini ko’rib chiqamiz. Ixtiyoriy noldan farqli

vektorni olib,

Gauss metodining to’g’ri yurishidagi barcha qadam bajarilib, sistema quyidagi

0...)( 11

10 EaAaAaAaAf mm

mm

nmm aaaf ...)( 1

10

),...,,( 00201)0( ncccc

),1(),...,,( 21)1()( niccccAc inii

ii

n

202

uchburchak shaklga keltirilsa, u holda bo’lib, vektorlar chiziqli erklidir.

U vaqtda sistemadan qaralayotgan kombinasiyaning koeffnsiyentlari ni topa olamiz.

Agar Gauss metodidagi to’g’ri yurishning faqat ta qadami bajarilsa, u holda faqat

avvalgi ta torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli

chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz:

Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra

.

Matrisaning xos vektorlarini topish. Endi xos vektorlarni topish masalasiga o’tamiz.

Faraz qilaylik,

nn

nn

nn

dq

dqbqbqdqbqbqbq

..................

223232

113132121

0 )1()1()0( ,...,, nccc

11 ,...,, qqq nn

m

m )1()1()0( ,...,, mccc)()0()2(

2)1(

1 ... mm

mm ccqcqcq

............

,...

,...

0,22,11

2022,222,11

1011,221,11

mnnmnmnm

mmmm

mmmm

ccqcqcq

ccqcqcqccqcqcq

0...)( 11 EpApAAP n

nn

),...,2,1()()0( niccA ii

)()0()2(2

)1(1 ... n

nnn ccpcpcp

i

mmmm

c qqq ...)( 22

11)0(

203

MAVZU 12. XOS SONLARNING QISMIY MUAMMOSINI YECHISHNING ITERASION

METODLARI



Axborotli ma’ruza


4. Qismiy muammo masalasida iterasion metodlar.

5. Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod.

6. Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish.


Talabalarda Qismiy muammo masalasida iterasion metodlar, Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod, Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Qismiy muammo masalasida iterasion metodlari bilan tanishtirish; Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metodni tasnifini berish; Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishni tushuntirish;

O’quv faoliyati natijalari: Qismiy muammo masalasida iterasion metodlar aytib beradilar; Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metodni aytib beradilar; Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish tartibini aytib beradilar;


videoproyektor va kompyuter Ta’lim berish sharoiti Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona


204


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv











Ilova 12.1

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 5. Matrisaning xos son va xos vektorlari nima ? 6. Matrisaning xos son va xos vektorlari qanday hisoblanadi ? 7. Moduli bo’yicha eng katta xos soni tushintiring ? 8. Bazis nima ? 9. Vektorning berilgan bazisdagi koordinatalarini tushintiring 10. Simmetrik matrisani tushintiring ?. 11. Ermit va normal matrisalarni tushintiring , 12. Xarakteristik tenglamalar deganda nimani tushinasiz ?

205


1. Danilevskiy va Laverye usullari 2. Misol. Danilevskiy va Lovere usullaridan foydalanib matrisaning xos son va xos

vektorini toping.

5,05,115,125,0

15,01

Monitoring va baholash O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob natijalariga qarab 1-2 ballgacha

baholanadi Taqdimot slaydlari

Normal matrisa. Agar A matrisa o’zining qo’shmasi bilan kommutativ, ya’ni Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod

bo’lib, ularga mos keladigan chiziqli erkli xos vektorlar bo’lsin. Bu yerda to’rt holni ko’rib chiqamiz:

1-hol. A matrisaning xos sonlaridan bittasi moduli bo’yicha eng katta bo’lsin. Umumiylikka zarar yetkazmasdan xos sonlar quyidagi tartibda joylashgan deb faraz qilishimiz mumkin:

.

Biz , ning taqribiy qiymatini topish usulini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy noldan farqli vektorni olib, uni A matrisa xos vektorlari bo’yicha yoyamiz:

.

Bu yerdan lar o’zgarmas sonlar bo’lib, ayrimlari nol bo’lishi ham mumkin. vektor ustida matrisa yordamida almashtirish bajaramiz:

.

Bu yerdan ekanligini hisobga olib,

ga ega bo’lamiz.

Endi o’lchovli vektorlar fazosi da ixtigriy bazis olamiz. Shu bazisda

,

bo’lsin. (12.2) tenglikni koordinatalarda yozib chiqamiz:

Shunga o’xshash

A AAAA

n ,...,, 21)()2()1( ,...,, nxxx

||...|||||| 321 n

1)0(y

)()2(2

)1(1

)0( ... nn xbxbxby

ib )0(ykA

n

j

jkj

kk xAbyAy1

)()0()(

)()( jkj

jk xxA

n

j

jkjj

k xby1

)()(

n nR neee ,...,, 21

),...,,( )()(2

)(1

)( kn

kkk yyyy

),...,,( 21)( njjj

j xxxx

),1(1

)( nixbyn

j

kjijj

ki

n

j

kjijj

ki xby

1

1)1(

206

.

bo’lsin, bunga erishish uchun dastlabki vektor va bazisni kerakli

ravishda tanlash kerak. Endi va deb (12.5) ni quyidagicha yozamiz:

.

. Bu yerdan esa yetarlicha katta lar uchun

Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish.

,

Natijada

ga ega bo’lamiz.

Yozuvni qisqartirish maqsadida ning -ayirmasi deb ataluvchi quyidagi

. Bu tengliklarni komponentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz:

.

knin

ki

ki

knin

ki

ki

ki

ki

cccccc

yy

......

2211

1122

111

)(

)1(

01 ic )0(y neee ,...,, 21

1i

ijij c

cd

11

i

knin

ki

knin

ki

ki

ki

dddd

yy

...1

...1

22

1122

1)(

)1(

)||(0)]||(01[)]||(01[)]||(01[ 212121

21)(

)1(kkakk

ki

ki

yy

k

)(

)1(

1 ki

ki

yy

||...|||||| 321 n

,... )()2(22

)1(11

)( nknn

kkk xbxbxby

.... )(1)2(122

)1(111

)1( nknn

kkk xbxbxby

)(1

)2(1222

)(1

)1( )(...)( nn

knn

kkk xbxbyy

)(ky )()1()( kkk yyy

)2(1222

)( )(1

xby kk )2(

121

22)1( )(

1xby kk

)1(1

)(

)(1

)1(

)1(

)(

21

1

k

jk

j

kj

k

kj

kj

yyyy

yy

)()1(1

)(

)(1

)1(

2 kmyy

yym

jm

j

mj

mj

207

MAVZU 13. FUNKSIYALARNI INTERPOLYASIYALASH. LAGRANJ INTERPOLYASION

FORMULASI



Axborotli ma’ruza


4. Interpolyasiyalash masalasi. 5. Lagranj interpolyasion formulasi. 6. Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblash.


Talabalarda Interpolyasiyalash masalasi, to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Interpolyasiyalash masalasi bilan tanishtirish; Lagranj interpolyasion formulasini tasnifini berish; Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblashni tushuntirish;

O’quv faoliyati natijalari: Interpolyasiyalash masalasi mohiyatini aytib beradilar; Lagranj interpolyasion formulasini o’zib beradilar; Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblash tartibini aytib beradilar;

Ta’lim usullari Ma’ruza, aqliy hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari, videoproyektor va

kompyuter Ta’lim berish sharoiti Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona




Ish

bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv





208







Ilova 13.1.


7. Tugunlar deganda nimani tushunasiz ? 8. Teng uzoqlikda joylashgan tugunlar nima ? 9. Xatolik qanday baholanadi ? 10. Boshlang’ich qiymat nima ? 11. Tugun nuqta nima ? 12. Kroneker simvolini tushintiring ? 13. Ko’phad nima ?


1. Lagranj interpolyasiyalash formulasi. 2. Koldik xad baxosi. 3. Eytken sxemasi.Algoritm tuzish. 4. Misol. Lagranj interpolyasion ko’phadidan foydalanib x=1,383 nuqtadagi y ni qiymatini

toping. X 0,375 0,380 0,385 0,386 Y 1,0419 1,1774 1,3206 1,4706


O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob natijalariga qarab 1-2 ballgacha baholanadi

Taqdimot slaydlari

Lagranj interpolyasion formulasi

)()()()()(00

i

n

j

jij

n

jinjjin xfxfxQxfxL

n

j ji ij

ijn xx

xxxfxL0

)()(

209

Lagranj koeffisiyentini

ko’rinishda yozish mumkin

Eytken sxemasi.

)())((

))(()(

))(())((

)())((

))(()( 21202

101

2101

200

2010

212 xf

xxxxxxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxxxxxxxL

))(()(

1

1

jjn

n

xxxx

.)()(

)()()(

,)()(

)()()(

,)()(

)()()(

02

22

00

202

00

20

2)2,0(

12

22

11

202

11

21

2)2,1(

01

11

00

101

00

10

1)01(

xxxxxfxxxf

xfxxxxxf

xxxxxL

xxxxxfxxxf

xfxxxxxf

xxxxxL

xxxxxfxxxf

xfxxxx

xfxxxxxL

04

4)0124(

0)0123(

34

4)0124(

3)0123(

)01234(

)()(

)()(

)(xx

xxxLxxxL

xx

xxxLxxxL

xL

210

MAVZU 14. TUGUNLAR TENG UZOQLIKDA JOYLASHGAN HOL UCHUN NYUTON

INTERPOLYASION FORMULALARI



Axborotli ma’ruza


3. Chekli ayirmalar va ularning xossalari. 4. Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadi.


Chekli ayirmalar va ularning xossalari, Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadi va uni baholash to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Chekli ayirmalar va ularning xossalari bilan tanishtirish; Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadlari tasnifini berish;

O’quv faoliyati natijalari: Chekli ayirmalar, ularning xossalari va hisoblash tartibini aytib beradilar; Nyuton interpolyasion formulasi va uning qoldiq hadini hisoblash tartibini o’zib beradilar.





Ish bosqichlari va

vaqti


1-bosqich. O’quv





2-bosqich. 2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum orqali bilimlarni faollashtiradi.

Yozadilar.

211

Asosiy ( 65 daq.)

2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi

Javob beradilar




Ilova 14.1.


3. Diognal va gorizontal chekli ayirmalar topilishi. 4. Teng uzoqlikda joylashgan tugunla uchun 1- va 2-Nyuton interpolyasion formulalari. 1. Chekli ayirmalar va ularning xossalari. 2. Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadlari. 3. Chekli ayirmalar 4. Tugun nuqtalar 5. Qoldiq had 6. Gorizontal va diognal tablisalar.


1. Teng oraliqlar uchun interpolyasion formulalar. 2. Misol. Nyutonning I-interpolyasion formulasidan foydalanib x=2,379 nuqatadagi y ni

qiymatini toping. X 2,375 2,380 2,385 2,386 Y 5,0419 5,1774 5,3206 5,4706


O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javobga qarab 1-3 allgacha baholanadi

212

Taqdimot slaydlari

tugunlar bo’yicha tuzilgan Nyuton interpolyasion ko’phadi bo’lsin:

. Bundagi bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtiraylik.

Ushbu almashtirishni ham bajargandan keyin ko’phad quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Bu formulaning qoldiq hadi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

formula Nyutonning jadval boshidagi yoki cum interpolyasion formulasi deyiladi.

Formulada interpolyasiyalash tugunlari sifatida tugunlarni olamiz:

nn xxxxL ,...,,)( 10

))...()(,...,(...))(,()()( 1000100 nnn xxxxxxfxxxxfxfxL

thxx 0

.!

)]1()...[1(...!3

)2)(1(2

)1()( 2/3

2/32

11

2/100n

nn fn

ntttftttftttffthxL

))...(1(!)1(

)(!)1()())...()(()(

)1(1)1(

000 ntttnfh

nfnhxxhxxxxxR

nnn

n

nxxx ,...,, 10


)(...))(,...,(... )1(00 nn xxxxxxf

))(...1(!)1(

)()1(1

ntttnfh nn

213

MAVZU 15. GAUSS, STIRLING, BESSEL VA EVERETT

INTERPOLYASION FORMULALARI



Axborotli ma’ruza


6. Gaussning birinchi interpolyasion formulasi. 7. Gaussning ikkinchi interpolyasion formulasi. 8. Bessel interpolyasion formulasi. 9. Stirling interpolyasion formulasi. 10. Markaziy ayirmali jadval.


Talabalarda Gaussning birinchi va ikkinchi interpolyasion formulalarini, Bessel interpolyasion va Stirling interpolyasion formulalarini, Markaziy ayirmali jadval to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Qismiy muammo masalasi-da iterasion metodlari bilan tanishtirish; Bessel interpo-lyasion va Stirling interpo-lyasion formulalari tasnifini berish; Markaziy ayirmali jadval tushuntirish;

O’quv faoliyati natijalari: Qismiy muammo masalasida iterasion metodlar aytib beradilar; Bessel interpolyasion va Stirling interpolyasion formulalari haqidagi tasniflaydilar; Markaziy ayirmali jadvalni; aytib beradilar;

Ta’lim usullari Ma’ruza, aqliy hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari, videoproyektor va

kompyuter Ta’lim berish sharoiti





Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv


1.1. Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan natijalarni yetkazadi. Mashg’ulot rejasi bilan tanishtiradi. 1.2. Mavzu bo’yicha asosiy tushunchalarni; mustaqil ishlash uchun adabiyotlar ro’yxatini



214

aytadi. 1.3. O’quv mashg’ulotida o’quv ishlarini baholash mezonlari bilan tanishtiradi








4. O’rta arifmetik qiymat nima ? 5. Ayirma nima ? 6. Ayirmalar qanday hisoblanadi ? 7. Interpolyasiya masalasi nima ? 8. Nyuton interpolyasion formulasi qanday hollarda qo’llaniladi ? 9. Lagranj interpolyasion formulasi qanday hollarda qo’llaniladi ? 10. Gaussning 1- interpolyasion formulasi qanday hollarda qo’llaniladi ? 11. Gaussning 2- interpolyasion formulasi qanday hollarda qo’llaniladi ? 12. Qoldiq had qanday baholanadi ?

Ilova 15.2

Mustaqil ish topshiriqlari. 1. Ayirmalar nisbati ishtirokida tuzilgan interpolyasion formulalar. 2. Misol. Gauss interpolyasion ko’phadidan foydalanib ko’phadni quring.

X 3,375 3,380 3,385 3,386 Y 6,0419 6,1774 6,3206 6,4706


O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob natijalariga qarab 1-3 ballgacha

baholanadi Taqdimot slaydlari


))()()()(,,,,())()(,,,( 211022110112110 xxxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxf

215

Gaussning birinchi interpolyasion formulasi yoki Gaussning olga interpolyasion formulasi

Gayssning ikkinchi interpolyasion formulasi yoki orqaga interpolyasiyalash formulasi

ga teng. Gaussning har ikkala formulasini qo’shib yarmini olsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

Stirling interpolyasion formulasi

Gaussning ikkinchi interpolyasion formulasini nuqta uchun qo’llansa, quyidagi formula hosil bo’ladi:

.

Bessel formulasi

))((...))()(,,...,,,(... )1(10110 nnnn xxxxxxxxxxxxxf

...!3

)1(2

)1()()(2

32/1

202/100202


)(...)1(!)12(

)( 22212)12(

2 ntttn

hfRnn

n

...!3

)1(!2

)1()()(2

3

21

10

1

2100202


!)2()]()1([...)2)(1(

!)12(])1([...)2)(1( 22222

20

2222212

21 n

ntnttttfn

nttttf nn

)(...)2)(1(!)12()( 2222212

)12(

2 ntttthn

fR nn

n

!)12(])1([...)2)(1(

...2

)(22222

120

22

01

0002 nnttttftftffthxL n

n

1х

!)12(])1([...)1(

...!3

)1(!2

)1()(

22212

2/1

23

2/12

11

2/1112

nnuuuf

uufuufuffuhxL

n

n

!)2()]()1([...)1( 222

21 n

nunuuuf n

!)12())(1]()2([...)1(...

!3)2)(1(

!2)1()1()(

22212

2/1

32/1

21

12/1102

nntntntttf

tttfttftffthxL

n

n

!)2()]()1([...)1( 222

21 n

ntntttf n

!)12()2/1)(]()1([...)1(

!)12()1)(]()1([...)1(

!)12()(...)1(

21

222

222222

ntntnttt

nntntnttt

nnttt

216

Everett interpolyasion formulasi hosil bo’ladi:

,

MAVZU 16. INTERPOLYASION KVADRATUR FORMULALAR



Axborotli ma’ruza


4. Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalari.

5. Eng sodda kvadratur formulari va ularning qoldiq hadlari. 6. Nyuton-Kotes kvadratur formulasi.


Talabalarda eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalari, eng sodda kvadratur formulalari va ularning qoldiq hadlari, ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalari bilan tanishtirish; Eng sodda kvadratur formulari va ularning qoldiq hadlari tasnifini berish; Nyuton-Kotes kvadratur formulasini tushuntirish;

O’quv faoliyati natijalari: Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalarini aytib beradilar; Eng sodda kvadratur formulari va ularning qoldiq hadlarini tasniflaydilar; Nyuton-Kotes kvadratur formulasi va uni aniq integrallarni taqribiy hisoblashda qo’llash tartibini aytib beradilar;



21

!)12()1]()2([...)1(...

!2)1(

21)(

22212

2/1

22/1

12/12/102

tn

ntntttf

ttftffthxB

n

n

!)2()]()1([...)1( 222

22/1 n

ntntttf n

.!)12(

)(...)1(...!3

)1(!)12(

)(...)1(...

!3)1()(

22222

0

22

00

2222

1

22

10012

nnuuufuufuf

nntttfttftfthxE

n

nn

!)2(])1([...)1( 2222

20 n

ntttf n

217


O’quv mashg’ulotining texnologik xaritasi Ish

bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv











Ilova 16.1.


1. Aniq integral nima ? 2. Aniq integralning geometrik ma’nosini tushintiring ? 3. Aniq integral qiymatini doimo hisoblash mumkinmi? 4. Boshlang’ich funksiya nima ?


O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob natijalari bo’yicha 1-3 ballgacha baholanadi.


1. Taqribiy integrallash.To’g’ri to’rtburchak, trapesiya, Simpson formulalari. 2. Umumlashgan kvadratur formulalar.

218

dxx

x12

1

–Simpson usuli bilan yeching.

Taqdimot slaydlari

To’g’ri to’rtburchaklar formulasi

Trapesiyalar formulasi

b

a

bafabdxxf22

)(

FOYDANILGAN ADABIYOTLAR

1. Golish L.V., Fayzullayeva D.M. Pedagogik texnologiyalarni loyihalashtirish va

rejalashtirish.-T.: TDIU. 2010.-149b.

2. Azizxodjayeva N.N. Pedagogik texnologiyalari va mahorat. -T.: TDIU. 2010.

3. Avliyoqulov N. Zamonaviy o`qitish texnologiyalari. –Toshkent 2001.

4. Yuldoshev J., Usmonov S. Pedagog texnologiya asoslari. T. “O`qituvchi” 2004.

5. Tolipov U., Usmonboyeva M. Pedagogik texnologiya: nazariya va amaliyot. T.:

“Fan”.2005

2)()( bafabdxxf

b

a


y y

x x

0 0 a a b b 2

ba

2baf

)(bf

)(af

y y

x 0 0

)(af

)(af

a a

)(bf

)(bf

b b 2

ba

2baf

2baf

x 2

ba


219

4 - BO’LIM


FANIDAN AMALIYOT VA LABORATORIYA MASHG’ULOTLARI HAMDA MUSTAQIL ISHLAR ISHLANMASI

220

MUNDARIJA

1. Kirish …………………………………………………………….. 221

2. Xatolik nazariyasi. …………………………...…………………. 222

3. Chizikli bulmagan tenglamalarni yechish usullari. ……………. 225

4. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini sonli yechish…….. 230

5. Chizikli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli ………………… 235

6. Zeydel metodi yordamida chizikli algebraik tenglamalar sistemasini takribiy yechish. ……………………..

239

7. Funksiyalarni interpolyasiyalash formulalari. ……………….. 246

8. Birinchi tartibli differensial tenglamalarni Runge-Kutta usuli yordamida takribiy yechish. ………………….

251

9. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni takribiy yechish………………… 257

10. Aniq integrallarni taqribiy hisoblash………………………. 263

10. Adabiyotlar………………………………………………………. 280

221

K I R I SH

Mazkur uslubiy ko’rsatma universitetning fizika-matematika fakulteti amaliy matematika va informatika, matematika va mexanika yo’nalishlari talabalariga «Hisoblash matematikasi» fanidan ma’ruza darslarida olingan bilimlarni laboratoriya mashg’ulotlarida mustahkamlash va talabalarning mustaqil ishlar bajarishi uchun mo’ljallangan. Uslubiy ko’rsatmada «Hisoblash matematikasi» fani o’quv dasturiga mos holda laboratoriya mashg’ulotlarda o’rganishga va sonli yechishga mo’ljallangan misollar, masalalar, algoritmlar, Paskal tilida dasturlar va ularning natijalari keltirilgan. Tanlangan misol va masalalar talabalarning ma’ruza darslarida olgan bilimlarini mustahkamlash va EHMda mutaxassislik fanlari bo’yicha amaliy masalalarni yechish mahoratini oshirib borish va laboratoriya ish variantlarini bajarishga qaratilgan. Uslubiy ko’rsatma bo’yicha misollar yechish, masalaning algoritmini tuzish va natijalarni tahlil qilishda talaba va o’qituvchining uzviy ishlashi nazarda tutiladi. Talabalar laboratoriya ishlarni bajarishi shartli ravishda takrorlash va mashq qilish, yangi bilimlarni mustaqil o’zlashtirish, ijodiy xarakterdagi (izlanishni talab qiladigan) ishlarni bajarishga qaratilgan. Mavzular bo’yicha laboratoriya ishlarini bajarishdan oldin darslik va qo’llanmalardan tegishli mavzuni o’zlashtirish va uslubiy ko’rsatmalarni o’rganish, shundan keyin namunaviy yechilgan misollar va masalalar, ularning algoritmlari va dasturlari bilan tanishib chiqish tavsiya qilinadi.

Uslubiy ko’rsatmada keltirilgan laboratoriya ishlarni qo’yilgan talablar asosida bajarish va ular bo’yicha belgilangan tartibda hisobot tayyorlash nazarda tutilgan. Tayyorlangan hisobotlar o’qituvchi rahbarligida talabalar bilan birgalikda muhokama qilinadi va baholanadi.

222

1. HISOBLASH MATEMATIKASINING PREDMETI VA METODI Reja:

3. Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi. 4. Hisoblash matematikasining asosiy vazifasi va usuli.

Tayanch iboralar: matematika, metod (usul), model, masala, tenglama, operator, to’g’ri masala, teskari masala.

Matematika turmush masalalarini yechishga bo’lgan ehtiyoj (yuzlar va hajmlarni o’lchash, kema harakatinn boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish va boshqalar) tufayli vujudga kelganligi uchun ham u sonli matematika, ya’ni hisoblash matematikasi bo’lib, unnig maqsadi esa masala yechimini son shaklida topishdan iborat edi. Bu fikrga ishonch hosil qilish uchun matematika tarixiga nazar tashlash kifoyadir.

Vavilon olimlarining asosiy faoliyati matematik jadvallar tuzishdan iborat bo’lgan. Shu jadvallardan bizgacha yetib kelgaplaridan biri miloddan 2000 yil avval tuzilgan bo’lib, unda 1 dan 60 gacha bo’lgan sonlarning kvadratlari keltirilgan. Miloddan avvalgi 747-yilda tuzilgan boshqa bir jadvalda Oy va Quyoshning tutnlish vaqtlari keltirilgan. Qadimgi misrliklar ham faol hisobchilar bo’lganlar. Ular murakkab - (alikvota yoki Misr kasrlari deb ataluvchi) kasrlarni surati birga teng

bo’lgan oddiy kasrlar yig’indisi (masalan: ) shaklida ifodalovchi jadvallar tuzishgan va chiziqli bo’lmagan algebraik tenglamalarni yechish uchun vatarlar usulini yaratishgan. Grek

matematiklariga kelsak, miloddan avval 220- yillar atrofida Arximed soni uchun

tengsizlikni ko’rsatdi. Geronning miloddan avvalgi 100-yillar atrofida ushbu iterasion metoddan foydalanganligi ma’lum. Diofant III asrda anikmas tenglamalarni yechishdan tashqari kvadrat tenglamalarni sonli yechiщ usulini yaratgan.

IX asrda yashagan buyuk o’zbek matematigi Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy hisoblash metodlarini yaratishga katta hissa qo’shgan. Al-Xorazmiy qiymatni aniqladi, matematik jadvallarni tuzishda faol qatnashdi. Abulvafo al-Buzjoniy 960-yilda sinuslar jadvalini hisoblash

metodini ishlab chiqdi va ning qiymatini to’qqizta ishonchli raqami bilan berdi. Bundan tashqari, funksiyasidan foydalandi va uning qiymatlari jadvalini tuzdi. XVII asrda ingliz matematigi J. Neper (1614, 1619), shvesiyalik I. Byurgi (1620), ingliz Brigs (1617), gollandiyalik A. Blakk (1628) va boshqalar tomonidan yaratilgan logarifmik jadvallar Laplas so’zi bilan aytganda: «... hisoblashlarni qisqartirib, astronomlarning umrini uzaytirdi». Nihoyat, 1845 yilda Adams va 1846 yilda Leveryelarning hisablashlari natijasida Neptun sayyorasining mavjudligi va uning fazodagi o’rnini oldindan aytishlari hisoblash matematikasining buyuk g’alabasi edi. Tadbiqiy masalalarni sonli yechish matematiklar e’tiborini doim o’ziga tortar edi. Shuning uchun ham o’tgan zamonning buyuk matematiklari o’z tadqiqotlarida tabiiy jarayonlarni o’rganish, ularning modellarinn tuzish va modellarni tadqiq etish ishlarinn birga qo’shib olib borishgan. Ular bu modellarii tekshirish uchun shaxsus hisoblash metodlariii yaratishgan. Bu metodlarning ayrimlari Nyuton, Eyler, Lobachevskiy, Gauss, Chebishev, Ermit nomlari bilan bog’liqdir. Bu shundan dalolat beradiki, hisoblash metodlarini yaratishda o’z zamonasining buyuk matematiklari shug’ullanishgan.

Shuni ham aytish kerakki, limitlar nazariyasi yaratilgandan so’ng matematiklarning asosiy diqqat-e’tibori matematik metodlarga qat’iy mantiqiy zamin tayyorlashga, bu mstodlar qo’llaniladigan obyektlar sonini orttirishga, matematik obyektlarni sifat jihatdan o’rganishga qaratilgan edi. Natijada matematikaning juda muhim va ayni paytda ko’pnncha qiyinchilik

661

111

61

113

713

71103

nn x

axa21

1416,3

0

21sin

""tg

223

tug’diradigan sohasi: matematik tadqiqotlarni so’nggi sonli natijalargacha yetkazish, ya’ni hisoblash metodlari yaratishga kam e’tibor berilar edi, bu soha esa matematikaning tadbiqlari uchun juda zarurdir.

Matematikaning hozirgi zamon fan va texnikasining xilma-xil sohalaridagi tadbiqlarida, odatda, shunday tipik matematik masalalarga duch kelinadiki, ularni klassik metodlar bilan yechish mumkin emas yoki yechish mumkin bo’lgan taqdirda ham yechim shunday murakkab ko’rinishda bo’ladiki, undan samarali foydalanishning iloji bo’lmaydi. Bundan tipik matematik masalalarga algebra (odatda tartibi juda katta bo’lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiin yechish, matrisalarning teskarisini topish, matrisalarning xos sonlarini topish, algebraik va transsendent tenglaialar hamda bunday tenglamalar sistemasini yechish), matematik analiz (sonli integrallash va differensiallash, funksiyani yaqinlashtirish masalalari) hamda oddiy va xususiy hosilaviy differensi-al tenglamalarni yechish masalalari va boshqalar kiradi.

Fan va texnikaning jadal ravishda rivojlanishi, atom yadrosidan foydalanish, uchuvchi apparatlar (samolyot, raketa) ni loyihalash, kosmik uchish dinamikasi, boshqariladigan termoyadro sintezi muammosi munosabati bilan plazma fizikasini o’rganish va shunga o’xshash ko’p masalalarni tekshirish va yechishni taqozo qilmoqda. Bunday masalalar o’z navbatida matematiklar oldiga yangidan-yangi hisoblash metodlarini yaratish vazifasini qo’yadi. Ikkinchi tomondan fan va texnika yutuqlari matematiklar ixtiyoriga kuchli hisoblash vositalarini bermoqda. Buning natijasida esa mavjud metodlarni yangi mashinalarda qo’llash uchun qaytadan ko’rib chiqish ehtiyoji tug’ilmoqda.

Matematikada tipik matematik masalalarning yechimlarini yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchn metodlar yaratishga va shu maqsadda xozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yo’llarini ishlab chiqishga bag’ishlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi.

Hozirgi zamon hisoblash matsmatikasi jadal rivojlanib bormoqda. Hisoblash matematikasi qamragan masalalar turi juda ko’p. Tabiiyki, bu masalalarni yechish metodlari ham xilma-xildir, shunga qaramay bu metodlarning umumiy g’oyasi haqida so’z yuritish mumkin. Buning uchun avval funksional analizga tegishli bo’lgan ayrim tushunchalarni keltiramiz. Agar biror to’plamda u yoki bu yo’l bilan limit tushunchasi kiritilgan bo’lsa, u holda bu to’plam abstrakt fazo deyiladi.

Elementlari ketma-ketliklardan yoki funksiyalardan iborat bo’lgan fazo funksional fazo

deyiladi. Biror funksional fazoni ikkinchi bir funksional fazoga akslantiradigan A amal operator deyiladi. Agar operatorning qiymatlari tashkil etgan fazo sonli fazo bo’lsa, u holda bunday operator funksional deyiladi.

Hisoblash matematikasida uchraydigan ko’p masalalarni (1.1)

shaklida yozish mumkin, bu yerda x va u berilgan va funksional fazolarning elementlari bo’lab, - operator yoki xususiy holda funksionaldir. Agar operator va x element haqida ma’lumot berilgan bo’lib, u ni topish lozim bo’lsa, bunday masala to’g’ri masala deyiladi, Aksincha, A za u haqida ma’lumot berilgan bo’lib, ni topish kerak bo’lsa, bunday masala teskari masala deyiladi. Odatda teskari masalani yechish ancha murakkabdir. Bu masalalar har doim ham aniq yechilavermaydi. Bunday hollarda hisoblash matematikasiga murojaat qilinadi.

Ba’zan masalani aniq yechish ham mumkin, lekin klassik matematika metodlari bilan kerakli sonli qiymat olish uchun juda ko’p hisoblashlar talab qilinadi. Shuning uchun ham hisoblash matematikasi zimmasiga konkret masalalarni yechish uchun oqilona va tejamkor metodlar ishlab chiqish yuklanadi (masalan, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Kramer formulalariga nisbatan Gauss metodi ancha tejamkor metoddir).

Hisoblash matematikasida yuqoridagi masalalarni hal qilishning asosiy mohiyati ,

fazolarni va operatorni hisoblash uchun qulay bo’lgan mos ravishda boshqa fazolar va operator bilan alamashtirishdan iboratdir. Ba’zan faqat va , fazolar yoki faqatgina ulardan

1R 2R

2R

Axy

1R 2RA A

x

1R 2R

А 21 , RR A1R 2R

224

birortasini, ba’zan esa faqat A operatorni almashtirish kifoyadir. Bu almashtirishlar shunday bajarilishi kerakki, natijada hosil bo’lgan yangi

masalaning yechimi biror ma’noda berilgan (1) masalaning yechimiga yaqin bo’lsin va bu yechimni nisbatan ko’p mehnat sarflamasdan topish mumkin bo’lsin.

Bunga misol sifatida shunn ko’rsatish mumkinki, odatda matematik fizika tenglamalari u yoki bu strukturaga ega bo’lgan algebraik tenglamalar sistemasiga keltirilib yechiladi.

Demak, hisoblash matematikasi oldidagi asosiy masala funksional fazolarda to’plamlarni va ularda aniqlangan operatorlar (funksionallar) ni yaqinlashtirish hamda hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo’llaniladigan sharoitda masalalarni yechish uchun oqilona va tejamkor algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iboratdir.


4. Hisoblash matematikasining fan sifatida paydo bo’lishi. 5. Hisoblash matematikasi vazifasi. 6. Hisoblash matematikasi metodi (usuli).

2. XATOLIKLAR NAZARIYaSI

Ishning maksadi: talabalarni taqribiy sonlar bilan ishlashga o’rgatish, taqribiy sonning absolyut va nisbiy xatosini baholash, shuningdek, argumentlar xatoligi keltirib chiqaradigan differensiallanuvchi funksiya, klavishli hisoblash mashinalari ishlatilishini o’rgatish.

Taqribiy sonlar. Ularning absolyut va nisbiy xatosi. Qiymatga ega bo’lgan raqam. To’g’ri ishoralar soni.

a taqribiy soni deb, aniq a0 sonidan deyarli farq qilmaydigan va hisoblashlar oxirida almashtiriladigan songa aytiladi. Taqribiy a soni va uning aniq qiymati 0a orasidagi 0aa ayirma va a taqribiy sonining xatoligi deb yuritiladi va odatda bu ko’rsatkich naoma’lum bo’ladi..

a sonining taqribiy xatolik qiymati deganda aaa 0 (1.1) ko’rinishdagi tengsizlik tushiniladi. a soni taqribiy a soninig absolyut xatoligi (ayrim hollarda xato chegarasi) deb ataladi. Bu son bir qiymatli aniqlanmaydi: uning qiymatini oshirish mumkin. Odatda (1.1) tengsizlikni kanoatlantiruvchi a sonini imkon kadar kichikrok kursatishga harakat kilishadi. (1.1) dan a0 aniq soni

aa aaa 0 chegaralarda bo’lishi kelib chikadi. Bundan kelib chikib aa a0 taqribiy sonining kamayishi,

aa a0 taqribiy sonining kupayishidir. Bu holda qisqalik uchun aaa 0 yozuvdan foydalaniladi. Misol. 1 sm aniqlikda o’lchangan xonaning bo’yi va eni a=5,15m va b=3,07m ga teng. Xona yuzasini S=ab=5,15m*3,07m=15,8105 m2. kabi hisoblashdagi xatolik baholansin. Yechish. Masala shartiga ko’ra a = 0,01m, b=0,01m. Imkon bo’lgan chegaraviy yuza qiymati

8929,1501,001,0 ba m2

21, RyRxxАy

225

7284,1501,001,0 ba m2 kabi bo’ladi. Bu qiymatlarni S ning qiymati bilan solishtirib,

0824,0 S m2 ko’rinishdagi S sonining absolyut xatoligini ko’rsatishga imkon beradigan

0824,00 SS qiymatni olamiz. Bu yerdan ko’rinib turibdiki, absolyut xatolik hisoblashlarning xatoligini to’la ifodalamaydi. a taqribiy sonining a nisbiy xatoligi (ayrim hollarda nisbiy xato chegarasi) deb uning absolyut xatoligining a sonining absolyut qiymatiga nisbatiga, ya’ni

0||

aa

aa .

miqdorga aytiladi. Nisbiy xatolik odatda foizlarda ifodalanadi. Nisbiy xatolik odatda foizlarda ifodalanadi. Shu tarika a0a bo’lganligi sababli a sonining absolyut xatoligi sifatida

aa a || yoki aa a || 0 qiymatni qabul qilish mumkin. Bundan kelib chiqadiki a nisbiy xatolikni bilgan holda aniq son uchun

aa aaa 11 0 aaa 10

chegaralari olinadi. Misol. Havo uchun gaz doimiysini aniqlashda R=29,25 deb olinadi. Bu qiymatning nisbiy xatosi 0,1% ekanligini bilgan holda R yotadigan chegaralar topilsin. Yechish. Masala shartidan ko’ra a=0,001, u holda 29,22R29,28. Ma’lumki, ixtiyoriy musbat a son chekli yoki cheksiz o’nli kasr ko’rinishida ifodalanishi mumkin. Taqribiy sonning qiymatga ega raqami deb uning o’nli ko’rinishdagi har xil noldan farqli yoki nol raqamiga aytiladi, agar u qiymatga ega raqamlar orasida mavjud bo’lsa yoki saqlangan o’nli razryada qatnashsa. Agar a taqribiy son uchun almashtiriladigan aniq a0 son ma’lum bo’lsa, u holda

10 10*

21 nmaa

o’rinli va 11 ...,,, nmmm ddd raqamlarning birinchi n tasi qiymatga ega bo’ladi. Sonning to’g’ri ishoralar miqdori sonning birinchi qiymatga ega raqamidan birinchi qiymatga ega raqam absolyut xatoligigacha xisoblanadi. Teorema. Agar a taqribiy musbat soni qisqa ma’noda n to’g’ri o’nlik belgilarga ega bo’lsa, u holda berilgan sonning birinchi qiymatga ega bo’lgan raqami bo’linmasi bu sonning nisbiy xatosi

1

101

n

dan oshmaydi, ya’ni

1

1011

n

md

bunda dm – a sonining birinchi qiymatga ega bo’lgan raqami. Misol. soning o’rniga a=3,14 sonini olsak, nisbiy xato qanday bo’ladi?

226

Yechish. Qaralayotgan holda dm=3 va n=3. bundan

%31

101

31 13

kelib chiqadi.

Xatolik uchun umumiy formula

Agar argumentning qiymati taqribiy bo’lsa, biz esa funksiyaning qiymatini izlasak, u holda funksiya ham tug’riligini aniqlash kerak bo’ladigan taqribiy son bo’ladi. Differensiallanadigan funksiyaning nxxfy ...,,1 absolyut xatosi argumentlarning

nxx ...,,1 deyarli kichik xato bilan chiqariladigan nxxx ...,,,

21 o’lcham bilan baholanadi

i

n

i iy x

xf

1

. (2)

Agar funksiyaning qiymati musbat bo’lsa, u holda nisbiy xato uchun quyidagi baholash o’rinli bo’ladi

i

n

i ii

n

i iy x

xfx

xf

f

11

ln1

Misol.

Agar diametr d=3,7sm 0,05, =3,14 bo’lsa, 3

61 dV shar hajmining absolyut va nisbiy

xatosini toping. Yechish. va d ni o’zgaruvchi kattalik sifatida ko’rib chiqib, quyidagi xususiy hosilalarni hisoblaymiz

5,2131;442,8

61 23

d

dVd

dV

05,0 d va 0016.0 bo’lganligi sababli kuch formulasi (2) hajmning absolyut xatosidir:

1,10881,1

dV dff

sm2.

Shuning uchun 3

61 dV 1,15,27 sm2.

Bundan hajmning nisbiy xatosi

%45,27

088,1

VV

V .

kabi bo’ladi.

Laboratoriya ishi №1 Funksiyaning absolyut va nisbiy xatosini topish

1. Quyidagi sonlarni qiymatli uch xona(raqam)gacha yaxlit lab, hosil bo’lgan taqribiy sonlarning absolyut va nisbiy xatosini aniqlang:

a) 2,1514; 6)0,16152; v)0,01204; g) 1,225; d) 0,001528; ye)-392,85; j) 0,1545; z) 0,03922.

227

2. Quyidagi taqribiy sonlarning absolyut xatosini ularning nisbiy xatosiga asoslanib aniqlang:

a) a = 13267, = 0,1 %; b) a = 2,32, = 0,7%; v) a = 35,72, = 1 %; g) a = 0,896, = 10%. 3. Bir necha burchaklarning o’lchanishi natijasida quyidagilar olindi:

d1 = 21°37'3", d2 =45°, d3 =1°10", d4 = 75°20'44". d1, d2, d3, d4 sonlarining nisbiy xatosini absolyut xatolikni 1 ga teng deb hisoblab

aniqlang. 4. Agar x sonining absolyut xatosi aniq bo’lsa, undagi qiymatli raqamlar sonini

aniqlang. a)x = 0,3941, x =0,25-10"; b)x = 0,1132, x=0,1*10"3; v ) x = 38,2543, x =0,27-10 2; g) x = 293,481, x=0,1. 5. a sonining nisbiy xatosi aniq bo’lsa, undagi qiymatli raqamlar sonini aniqlang. a)a = 1,8921, o=0,1-Yu'2; b) a = 0,2218, a =0,2-10"1; v) d = 22,351, o = 0,1; g) a = 0,02425, a = 0,5 • 10"2. 6. Taqribiy sonlarning ko’paytmasini toping va hisoblashlarning xatoligini

aniqlang ( berilgan sonlarning barcha raqamlari qiymatli deb hisoblagan holda). a) 3,49 • 8,6; b) 25,1 • 1,743; v) 0,02 • 16,5; g) 0,253 • 6,54 • 86,6; d) 1,78 • 9,1 • 1,183; ye) 482,56 • 0,0052. 7. Taqribiy sonlarning bo’linmasini toping. a) 5,687 5,032; 6)0,144 1,2; v) 2164; g) 726,676829; d) 754,9367 36,5. 8. To’g’ri to’rtburchakning tomonlari 4,02 ± 0,01 m, 4,96 ± 0,01 m.ga teng. To’g’ri

to’rtburchakning yuzasini hisoblang. 9. Doiraning radiusi R ni 0,5 sm aniqliqda o’lchaganda 12 sm soni hosil bo’ldi. Doira

yuzini hisoblashdagi absolyut va nisbiy xatoni toping. 10. Kubning har bir qirrasi 0,02 sm aniqlikda o’lchanganda 6 sm ga tengligi

ma’lum bo’ldi. Kubning hajmini hisoblashdagi absolyut va nisbiy xatolikni toping.

Mashqlar

Quyidagi funksiyalarning absolyut va nisbiy xatoligini aniqlang

1 1 .3 caby a = 3,85 ±0,01; b = 2,0435 ± 0,004; s = 962,6 ±0,1.

12. 2

nmcbay a = 4,3 ±0,05; b = 17,2 + 0,02; s = 22 ±0,05; t = 12,477 ±0,003; p = 8,37

±0,005.

13. c

bay a = 228,6 + 0,05; b = 86,4±0,02; s = 68,7±0,05.

14. dc

bamy

3

a = 13,5 ±0,02; b = 7,5±0,02; s= 34,5±.0,022; = 3,325 ±0,005; t = 4,22

±0,004.

228

15. caby , a = 3,845 ± 0,004; b = 6,2 ±0,05; s = 0,8 ±0,1.

16.

mdcbay 2

, a= 1,75 ±0,001; b = 11,7±0,04; s = 0,536±0,002; = 6,32 ±0,008; t =

0,56 ±0,005.

17. cbay

2

, a = 3,546 ±0,002; b = 8,23 ±0,005; s = 145±0,08.

18. dcmbay

, a = 23,16 ± 0,02; b = 8,23 ± 0,005; s = 145 ± 0,08; d= 28,6±1; m = 0,28

±0,006.

19. c

aby3

, a = 0,643 ± 0,0005; b = 2,17 ±0,002; s = 5,843 ±0,001.

20. nmcbay

a= 27,16 ± 0,006; b = 5,03 + 0,01; s = 3,6 ± 0,002;

t = 12,375 ±0,004; n = 8,64 ± 0,002.

21. u = 22361 bab , a = 2,456 + 0,002; b = 1,76 ±0,001; =3,14.

22. mdc

bay

, a = 16,342 ±0,001; b = 2,5 ±0,03; s = 38,17 + 0,002;

d= 9,14 ±0,002; t = 9,14 ±0,005; n = 3,6 ±0,04.

23. 3

2

cnmy , s = 0,158±0,0005; m= 1,653±0,0003; n= 3,78±0,02.

24. dcbmay

, a = 9,542 ±0,01; b= 3,028 ± 0,002; s = 0,172 ±0,001;

d= 5,4 + 0,01; m = 26 ±0,03.

25. b

cdy , b= 2,65 ± 0,01; s = 0,7568 + 0,0002; d = 2,17 + 0,02.

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar

1. Qanday sonlar taqribiy sonlar deyiladi? 2. Taqribiy sonlarning absolyut va nisbiy xatoligiga ta’rif bering. 3. Taqribiy sonlarning qaysi raqamlari qiymatga ega deb ataladi? 4. Ma’lum (berilgan) sonning to’g’ri (ishonchli) raqamlari qanday aniqlanadi? 5. Differensiallanadigan funksiyaning absolyut va nisbiy xatoligini baholash formulasini yozing.

3. ChIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALARNI TAQRIBIY YeChISh

Ishning maksadi: talabalarni chiziqli bo’lmagan tenglamalarning ildizlarini ajratish usullari va taqribiy yechish usullariniqo’llab tenglamalarni sonli yechishni, hisoblash algoritm iva dasturini tuzish, olingan natijalarni tahlil qilishga o’rgatish.

1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarning ildizlarini ajratish

229

Algebraik va transsendent tenglamalarning ildizlarini ko’pchilik hollarda aniq topish imkoniyati bo’lmaydi. Shuning uchun ham algebraik va transsendent tenglamalarning ildizlarini taqribiy hisoblash va uning aniqligini baholash muhim ahamiyatga ega bo’ladi.

(1)

tenglamani qaraylik. Bu yerda xf - ba, oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiya.

Ixtiyoriy qiymat xf funksiyani 0 ga aylantirsa, ya’ni 0f bo’lsa, (1)

tenglamaning ildizi deyiladi yoki xf funksiyaning noli deyiladi. Faraz qilaylik (1) tenglama ajratilgan ildizlarga ega bo’lsin, ya’ni (1) ning har bir ildizi uchun shunday oraliq mavjud bo’lsinki, unda (1) ning boshqa ildizlari yotmasin.

(1) tenglamaning ildizlarini taqribiy hisoblash quyidagi ikkita bosqichdan iborat bo’ladi: 1. Ildizlarni ajratish, ya’ni shunday oraliqlarni topish kerakki, bu oraliqlarda (1)

tenglamaning faqat bittadan ildizi yotsin. 2. takribiy yechimlarni topish va yechimni talab qilingan aniqlikda hisoblash.

(1) tenglamani taqribiy yechish uchun oldin uning ildizi mavjud bo’lgan yetarlicha kichik oraliq aniqlanadi, ya’ni ildizlar ajratiladi. Ildizlarni ajratishda quyidagilardan foydalaniladi:

- uzluksiz funksiya ba, oraliqning chekka nuqtalarida har xil ishoraga ega bo’lsa, ya’ni

0bfaf (2)

bo’lsa, u holda ba, shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada 0f o’rinli buladi.

Bundan tashqari shu oraliqda xf monoton bo’lsa, ya’ni bu oraliqda xf mavjud bulib ishorasi o’zgarmasa, qaralayotgan oraliqda (1) tenglama bitta ildizga ega bo’ladi.

2. xf funksiya ba, oraliqda analitik funksiya bo’lsa va (2) shart bajarilsa, shu oraliqda (1) tenglama toq sondagi ildizga ega bo’ladi. Agar (2) shart bajarilmasa, u holda (1) tenglama ildizga ega bo’lmaydi yoki juft sondagi ildizlarga ega bo’ladi.

Quyida ildizlarni ajratishning analitik va grafik usullarini qaraymiz. Ildizlarni analitik usulda ajratish. Bu holda xf funksiyaning birinchi tartibli hosilasi

aniqlanadi, 0 xf tenglamani yechib xf funksiyaning kritik nuqtalari aniqlanadi. Kritik nuqtalarda funksiyaning ishora almashinishlari aniqlanadi.

02056404 234 xxxxxf funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz.

xf funksiyaning qiymatlar jadvalini tuzamiz va ishora almashish oraliqlarini aniqlaymiz. X -4 -3 -2 -1 0 1

F(x) 76 -23 -20 1 -20 -119 Sign(f) + - - + - -

Demak tenglamaning ildizlari [-4;-3], [-2;-1] va [-1; 0] oraliqlarda yotar ekan.

Ildizlarni grafik usulda ajratish. Bu holda 0xf tenglama xfxf 21 , elementar

funksiyalar yordamida xfxf 21 ko’rinishda yozib olinadi. xfxf 21 ,

funksiyalarning qiymatlar jadvali tuzilib, ularnng grafiklari chiziladi. xfxf 21 , funksiyalar

grafiklarining kesishish nuqtalari yotgan eng kichkina oraliq 0xf tenglamaning ildizi yotgan oraliq bo’ladi.

0xf

,

xf

230

Qaralayotgan 2056404 234 xxxxxf funksiyani

xxxx 5642040 324 ko’rinishda yozib 2040 241 xxxf va

xxxf 564 32 funksiyalarga ajratamiz. Bu funksiyalarning qiymatlari quyidagi jadvalda

keltirilgan. x f(x) f1(x) f2(x)

-5,00 385,00 -395,00 -780,00 -4,00 76,00 -404,00 -480,00 -3,00 -23,00 -299,00 -276,00 -2,00 -20,00 -164,00 -144,00 -1,00 1,00 -59,00 -60,00 0,00 -20,00 -20,00 0 1,00 -119,00 -59,00 60 2,00 -308,00 -164,00 144 3,00 -575,00 -299,00 276 4,00 -884,00 -404,00 480 5,00 -1175,00 -395,00 780

Jadvaldagi qiymatlarga asoslanib bu funksiyalarning grafiklari chizamiz.

Grafiklarning kesishish nuqtalari, ya’ni tenglamaning ildizlari [-4;-3], [-2;-1] va [-1; 0] oraliqlarda yotar ekan.

2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari.

Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni Vatarlar, Nyuton (urinmalar) va oddiy

iterasiya usullari yordamida taqribiy yechish mumkin. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni yechishdan avval ularning ildizlarini ajratib olish kerak bo’ladi. Ildizlarni ajratish deganda taqribiy ildizlar yotadigan oraliqlarni aniqlash tushuniladi. Ildizlarni ajratish uchun ildizlarni ajratishning grafik yoki analitik usullaridan foydalanish mumkin. Tenglamaning ildizlarni ajratib olganimizdan so’ng quyidagi usullarning biridan foydalanib tenglamaning yechimini topish mumkin. Faraz qilaylik, ildiz ba, oraliqda yotsin. Vatarlar usuli.

231

a) Agar [a, b] oraliqda 0af bo’lsa, u holda

nn

nnn xb

xfbfxfxx

1 ,

bunda ax 0 . b) Agar [a, b] oraliqda 0af , u holda

ax

afxfxfxx n

n

nnn

1

bunda bx 0 . Nyuton usuli (Urinmalar usuli). Agar [a, b] oraliqda 0" xfaf bo’lsa, u holda

ax 0 ; agar 0" xfbf bo’lsa, u holda bx 0 bo’ladi va quyidagi formula bilan xisoblanadi.

,...2,1,0'1 n

xfxfxx

n

nnn .

Iterasiya usuli. 0xf tenglamani xx tenglama ko’rinishiga keltirish kerak. Masalan quyidagicha

k

xfxx ' .

k –ni shunday tanlash kerakki, 2Qk qanoatlantirsin, bunda xfQ

ba'max

],[ . k -ning ishorasi

[a, b] oraliqda xf ' funksiyaning ishorasi bilan mos tushsin. Iterasion jarayon [a, b] oraliqda 1' x shartga asosan yaqinlashadi. Ildizlar quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi.

,...,2,1,0,1 nxx nn

0x ning kiymati [a, b] oraliqdan olingan. Aniq yechimni quyidagi munosabatdan foydalanib baholash mumkin.

01*

1xx

MMxx

n

n

,

bunda x* - ildizning aniq kiymati, xMba

],[max .

02056404 234 xxxxxf tenglamaning ildizlarini Vatarlar usulida hisoblash dasturni qaraymiz.

Masalaning Paskal dasturi Program Tenglama; Uses Crt; const n=3; Eps=0.001; var i,j: integer; a1,a2,a3,a4: real; a,b : array[1..5] of real; x : array[0..100] of real; f1 : text; Function F(x1:real): real;

232

Begin F:=sqr(sqr(x1))+a1*sqr(x1)*x1+a2*sqr(x1)+a3*x1+a4; end; Begin ClrScr; assign(f1,'c:\L.otv'); rewrite(f1); a1:=-4; a2:=-40; a3:=-56; a4:=-20; a[1]:=-4; a[2]:=-2; a[3]:=-1; a[4]:=0; For j:=1 to n do BEGIN if F(a[j])<0 then Begin x[0]:=a[j]; i:=0; Repeat x[i+1]:=x[i]-(F(x[i])/(F(a[j+1])-F(x[i])))*(a[j+1]-x[i]); i:=i+1; until Abs(x[i]-x[i-1])>Eps; End else Begin x[0]:=a[j+1]; i:=0; Repeat x[i+1]:=x[i]-(F(x[i])/(F(x[i])-F(a[j])))*(x[i]-a[j]); i:=i+1; until Abs(x[i]-x[i-1])>Eps; End; Writeln(f1,'Ildiz yotgan oraliq [',a[j]:6:4,' ; ',a[j+1]:6:4,']'); Writeln(f1,'Tenglamaning ildizi = ',x[i]); END; Close(f1); End.

Dasturning natijasi Ildiz yotgan oraliq [-4.0000 ; -2.0000] Tenglamaning ildizi = -2.41666666666788E+0000 Ildiz yotgan oraliq [-2.0000 ; -1.0000] Tenglamaning ildizi = -1.04761904761835E+0000 Ildiz yotgan oraliq [-1.0000 ; 0.0000] Tenglamaning ildizi = -9.52380952380736E-0001

Laboratoriya ishi № 2 Berilgan tenglamani vatarlar va Nyuton usullarida yeching

1. 022 23 xx 14. 01093 23 xxx 2. 0223 xx 15. 0133 xx 3. 033 xx 16. 06,16,04,0 23 xxx 4. 04,14,02,0 23 xxx 17. 04,14,01,0 23 xxx 5. 03123 23 xxx 18. 015,02,0 23 xxx 6. 02,14,01,0 23 xxx 19. 0563 23 xxx 7. 04,15,02,0 23 xxx 20. 0423 xx 8. 012123 23 xxx 21. 08,05,02,0 23 xxx 9. 0643 xx 22. 02,14,01,0 23 xxx 10. 0163 23 xxx 23. 05,14,01,0 23 xxx 11. 0263 23 xxx 24. 02,13,02,0 23 xxx

233

12. 09123 23 xxx 25. 025,02,0 23 xxx 13. 0133 xx 26. 02,15,02,0 23 xxx


1. Chiziqli bo’lmagan tenglamaning ildizlarini ajratish usullari g’oyasini tushuntirib bering?

2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullarini tushuntirib bering?

3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari xatoligi qanday baholanadi?

4. ChIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR SISTEMASINI

SONLI YeChISh.

Ishning maqsadi: Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining yechimlarini taqribiy hisoblash usullarini o’rganish, hisoblash ishlarini bajarish, hisoblash dasturini tuzish va natijalarni tahlil qilish.

Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishda Nyuton va oddiy iterasiya usullari qo’llaniladi. Nyuton va oddiy iterasiya usullarinng chiziqli bo’lmagan ikkita tenglama sistemasi uchun qo’llanilishini qaraylik.

0,0,

yxGyxF

(1)

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Nyuton usuliga ko’ra taqribiy hisoblashlar

nn

ny

nn

nn

nx

nn

yxJyy

yxJxx

,

,

1

1

(2)

iterasion formulalardan hisoblanadi. Bu yerda

nnnnx

nnnnxny

nnynn

nnynnnx yxGyxG

yxFyxFyxGyxGyxFyxF

,,,,

,,,,,

'

'

'

'

,

0

,,,,

, ''

''

nnynnx

nnynnx

yxGyxGyxFyxF

yxJ

Dastlabki yaqinlashish 00 , yx grafik yoki boshqa usullar yordamida aniqlanadi. Misol. Quyidagi

04,012,

3

23

yxyyxGyxyxF

sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang. Yechish. Grafik usulda dastlabki yaqinlashish 7,12,1 00 yx aniqlangan bo’lsin. U holda

234

13

26,

23

2

00

xyy

yxyxJ , demak 910,97

40,991,440,364,8

7,1;2,1

J

(2) formulaga ko’ra

6610,10390,07,11956,091,4

434,064,891,97

17,1

2349,10349,02,140,91956,040,3434,0

91,9712,1

1

1

y

x

Hisoblashlarni shu singari davom qilib 6615,12343,1 22 yx topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz..

Masalaning dasturi

Program Nuton_Syst; Const Eps=0.0000001; var i : integer; F,G,Fx,Gx,Fy,Gy,J,Dx,Dy : real; x,y: array[0..100] of real; Txt : text; Procedure Funk(xx:real;yy:real); Begin F:=2*xx*sqr(xx)-sqr(yy)-1; G:=xx*sqr(yy)*yy-yy-4; Fx:=6*sqr(xx); Fy:=-2*yy; Gx:=yy*sqr(yy); Gy:=3*xx*sqr(yy)-1; J:=Fx*Gy-Gx*Fy; Dx:=F*Gy-G*Fy; Dy:=Fx*G-Gx*F; End; BEGIN assign(Txt,'NU_S.otv'); rewrite(Txt); x[0]:=1.2; y[0]:=1.7; i:=0; Repeat Funk(x[i],y[i]); x[i+1]:=x[i]-Dx/J; y[i+1]:=y[i]-Dy/J; i:=i+1; Writeln(Txt,i:3,' ', x[i]:10:7,' ',y[i]:10:7); Until (Abs(x[i]-x[i-1])<Eps) and (Abs(y[i]-y[i-1])<Eps); Close(Txt); END.

Dasturning natijasi 1 1.2348763 1.6609797 2 1.2342747 1.6615263 3 1.2342745 1.6615265 4 1.2342745 1.6615265

Oddiy iterasiya usuli.

(1) sistemani

235

yxyyxx

,,

2

1

(3)

ko’rinishda yozib olamiz. yxyx ,,, 21 funkiyalar iterasiyalovchi funksiyalar deb yuritiladi. Taqribiy yechimni topish algoritmi

,.....3,2,1,0

,,

21

11

nyxyyxx

nnn

nnn

(4)

ko’rinishda beriladi. Bu yerda 00 , yx - birinchi yaqinlashish qiymatlari. (4) iterasion hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda

1

1

222

111

qyx

qyx

(5)

tengsizliklar bajarilsa. MISOL. Quyidagi

026036

33

33

yyxxyx

sistemaning yechimini oddiy iterasiya usulida 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang. YeChISh. Iterasiya usulini qo’llash uchun berilgan sistemani

31

6

21

633

33

yxy

yxx

ko’rinishda yozib olamiz. 10,10 yx kvadrat sohani qaraylik. Agar 00 , yx shu sohaga qarashli bo’lsa, u

holda 1,0,1,0 02001 oyxyx o’rinli bo’ladi. Demak shu sohadan 00 , yx

ixtiyoriy tanlaganimizda ham nn yx , ham o’sha sohaga tegishli bo’ladi. Bundan esa (5) yaqinlashish shartining bajarilishi kelib chiqadi, ya’ni

122

122

2222

2211

yxyx

yxyx

o’rinli bo’ladi. Demak, qaralayotgan kvadrat sohada yagona yechim mavjud va uni iterasiya usuli

yordamida taqribiy hisoblash mumkin. Dastlabki yaqinlashishni 21,

21

00 yx deb olaylik.

;333,06

81

81

31;542,0

681

81

21

11

yx

;354,06

1233,031;533,0

619615,0

21

22 yx

Hisoblashlarni shu singari davom ettirib

236

;351,0;532,0;351,0;533,0 4433 yxyx

bo’lishini aniqlaymiz. 5,07234

21 qq bo’lganligidan va uchinchi va to’rtinchi taqribiy

yechimlarning kasr qismidagi uchta raqamining mos kelishi talab qilingan aniqlikka erishilganini bildiradi. Taqribiy yechim sifatida ;351,0;532,0 yx qiymatlarni olish mumkin.

Laboratoriya ishi № 3 1. Dastlabki yaqinlashishni grafik usulda aniqlang. 2. Yaqinlashish sharti bajarilishini tekshiring. 3. Nyuton va iterasiya usullarini qo’llab chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining taqribiy

yechimlarini 0,001 aniqlikda hisoblang.

№ 1

2cos22,11sin

yxyx

№ 2

3cos5,01cos

yxyx

№ 3

7,01cos22sinxy

yx

№ 4

15,0sin25,1cos

yxyx

№ 5

02cos15,0sin

xyyx

№ 6

6,12sin8,05,0cos

xyyx

№ 7

8,01sin3,11sin

yxyx

№ 8

4,0sin01cos2

yxxy

№ 9

12sin25,0cos

xyyx

№ 10

5,02cos5,12sin

yxyx

№ 11

2cos22,11sin

xyxy

№ 12

8,01sin3,11sin

yxyx

№ 13

7,01cos22sinyx

xy

№ 14

15,0sin25,1cos

xyxy

№ 15

02cos15,0sin

yxxy

№ 16

6,12sin8,05,0cos

yxxy

№ 17

8,01sin3,11sin

xyxy

№ 18

4,0sin01cos2

xyyx

№ 19

12sin25,0cos

yxxy

№ 20

5,02cos5,12sin

xyxy

№ 21

2cos211sin

yxyx

№ 22

2cos8,01cos

yxyx

№ 23

11cos6,12sin

xyyx

№ 24

25,0sin22,1cosyx

yx

№ 25

02cos

2,15,0sinxy

yx

№ 26

8,202sin151,0cos

xyyx


1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining dastlabki yaqinlashishi qanday aniqlanadi?

237

2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari ni tushuntirib bering?

3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari xatoligi va yaqinlashishi qanday aniqlanadi?

5. ChIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YeChIShNING GAUSS USULI

Ishning maksadi: talabalarni chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli yordamida

yechishga o’rgatish, masalaning dasturini tuzish va sonli natijalar olish. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda aniq va taqribiy usullardan foydalaniladi. Aniq usullarda hisoblashlar yaxlitlanmasdan bajariladi va noma’lumlarning aniq qiymatini topishga olib keladi. Bunday usullarga Gauss va kvadrat ildizlar usullari kiradi. Taqribiy usullar hisoblashlar yaxlitlanib yoki yaxlitlanmasdan bajarilganda ham noma’lumlarning qiymatini berilgan aniqlikda topish imkonini beradi. Bunday usullarga iterasiya va Zeydel usullari kiradi. Misol. Kuyidagi chizikli tenglamalar sistemasini Gauss usuli yordamida 0,001 aniqlikda takribiy yeching.

16,112,05,015,008,083,006,028,084,011,0

44,08,027,013,021,015,208,011,005,068,0

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Yechish. Bu tenglamalar sistemasini Gauss usuli yordamida yechish uchun kuyidagi jadvallardan foydalanamiz.

Noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlar Ozod hadlar Nazoratdagi

yig’indi 1x 2x 3x 4x

41

31

21

11

aaaa

42

32

22

12

aaaa

43

33

23

13

aaaa

44

34

24

14

aaaa

45

35

25

15

aaaa

4

3

2

1

cccc

1 12 13 14 15 1

42

32

22

'''

aaa

43

33

23

'''

aaa

44

34

24

'''

aaa

45

35

25

'''

aaa

4

3

2

'''

ccc

1 23 24 25 2

43

33

""

aa

44

34

""

aa

45

35

""

aa

4

3

""

cc

1 34 35 3

44a 44a 4c

238

1 45 4

1 4x 4

~x 1

3x 3~x

1 2x 2

~x 1

1x 1~x

Xisoblashlar kuyidagi jadvalga asosan bajariladi

Xisoblash formulalari Tekshirish

4,3,2,15

1

iacj

iji

11

11

11

11 ;5,4,3,2

acj

aa j

j 1151413121

4,3,2'

;5,4,3,2;4,3,2'

11

11

iaccjiaaa

iii

jiijij 4,3,2''''' 5432 icaaaa iiiii

22

22

22

22 '

';5,4,3''

acj

aa j

j 22524231

4,3''"

;5,4,3;4,3''"

22

22

iaccjiaaa

iii

jiijij 4,3"""" 543 icaaa iiii

33

33

33

33 "

";5,4""

acj

aa j

j 335341

4""

;5,4;4""

33

31

iaccjiaaa

iii

jiijij 454 icaa iii

44

44

44

44 ;5

acj

aa j

j

4451

44

43433

32342422

21231341411

212313414151

323424252

434353

454

~~~

~~~~~~~

xxx

xxxxxxxxxxx

xxxxx

x

11

22

33

44

~1

~1

~1

~1

xxxxxxxx

Yukoridagi jadvallardan foydalanib tenglamalar sistemasini yechamiz.

Noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlar Ozod hadlar Nazoratdagi

239

1x 2x 3x 4x yig’indi 0,68 0,21 -0,11 -0,08

0,05 -0,13 -0,84 0,15

-0,11 0,27 0,28 -0,5

0,08 -0,8 0,06 -0,12

2,15 0,44 -0,83 1,16

2,85 -0,01 -1,44 0,61

1 0,0735 -0,1618 0,1176 3,1618 4,1912 -0,1454

-0,8319 0,1559

0,30398 0,2622 -0,5129

-0,8247 0,0729 -0,1106

-0,22398 -0,4822 1,4129

-0,89015 -0,97897 0,9453

1 -2,0906 5,6719 1,5404 6,1221 -1,47697

-0,18697 4,79139 -0,9948

0,7992 1,1723

4,1140 -0,00913

1 -3,2441 -0,5411 -2,7854 -1,6013 1,0711 -0,5299

1 -0,6689 0,3309 2,8264 -0,3337 -2,7110 -0,6689 3,8263 0,6664 -1,7119 0,3309

Tenglamalar sistemasini oddiy iterasiya usuli yordamida yechish uchun sistemani

FAXX ko’rinishga keltiramiz. Quyidagi vektorlar ketma-ketligini tuzamiz: 0X -ixtiyoriy vektor;

FAXXFAXXFAXXFAXX nn 1231201 ;...;;; .

Agar matrisaning biror normasi uchun 1A bo’lsa, hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi.

Koordinatalar kuyidagi formulalar yordamida xisoblanadi: nifxaxfx i

n

j

kjij

kiii ,1,

1

1)0(

.

Hisoblashlar aniqligini quyidagi munosabatdan aniqlash mumkin:

01

*

1XX

AA

XXk

k

;

agar FX 0 bo’lsa, u holda

FA

AXX

k

k

1

1

* ,

bunda *X - aniq yechim.

Berilgan misolni bosh elementlarni tanlash bilan Gauss usulida yechish dasturi: Program GS; const N=4; var

240

m1,nm,m,i,j,k,i1,i2,j2 : integer; txt1,txt2 : text; a : array[1..n] of real; bb : array[1..n,1..n+1] of real; Procedure gauss; var mm,m1 : integer; tr,tp,x : real; txt1,txt2 : text; BEGIN mm:=m-1; m1:=m+1; for i:=1 to mm do begin j:=i; x:=bb[i,i]; for k:=i+1 to m do begin if (abs(x)<abs(bb[k,i])) then begin x:=bb[k,i]; j:=k; end; end; for k:=1 to m1 do begin x:=bb[i,k]; bb[i,k]:=bb[j,k]; bb[j,k]:=x; end; tr:=bb[i,i]; for k:=i to m1 do bb[i,k]:=bb[i,k]/tr; tp:=1.0; for k:=i+1 to m do Begin if (bb[k,i]<>0) then begin tp:=bb[k,i]; for i1:=i to m1 do bb[k,i1]:=bb[k,i1]/tp-bb[i,i1]; end; end; end; bb[m,m1]:=bb[m,m1]/bb[m,m]; for i:=1 to mm do begin j:=m-i; k:=j+1; for i1:=k to m do bb[j,m1]:=bb[j,m1]-bb[i1,m1]*bb[j,i1]; end; END; { asosiy programma } BEGIN assign(txt1,'gauss.dat'); reset(txt1); For i2:=1 to n do For j2:=1 to n+1 do read(txt1,bb[i2,j2]); close(txt1);

241

assign(txt2,'gauss.otv'); rewrite(txt2); Writeln(txt2,' TENGLAMALAR SYSTEMASINI G A U S S USULIDA ECHISH'); Writeln(txt2,' Bosh elementlarni tanlash bilan'); Writeln(txt2); Writeln(txt2,' BERILGAN MATRISA'); Writeln(txt2); For i2:=1 to n do begin For j2:=1 to n+1 do write(txt2,bb[i2,j2]:10:3); writeln(txt2); end; m:=n; GAUSS; Writeln(txt2); Writeln(txt2); Writeln(txt2,' NATIGA MATRISA'); Writeln(txt2); For i2:=1 to n do begin For j2:=1 to n+1 do write(txt2,bb[i2,j2]:10:3); writeln(txt2); end; Writeln(txt2,'Echimlar oxirgi ustunda joylashgan'); Writeln(txt2); for i:=1 to n do a[i]:=bb[i,n+1]; for i:=1 to n do write(txt2, 'X(',i:1,')=',a[i]:5:3,' '); close(txt2); END. Berilgan sistemaning koeffisiyentlari qiymati GAUSS.DAT fayliga quyidagicha joylashtiriladi. 0.68 0.05 -0.11 0.08 2.15 0.21 -0.13 0.27 -0.8 0.44 -0.11 -0.84 0.28 0.06 -0.83 -0.08 0.15 -0.5 -0.12 1.16

Dasturning natijasi TENGLAMALAR SYSTEMASINI G A U S S USULIDA ECHISH Bosh elementlarni tanlash bilan BERILGAN MATRISA 0.680 0.050 -0.110 0.080 2.150 0.210 -0.130 0.270 -0.800 0.440 -0.110 -0.840 0.280 0.060 -0.830 -0.080 0.150 -0.500 -0.120 1.160 NATIGA MATRISA 1.000 0.074 -0.162 0.118 2.826 0.000 1.000 -0.315 -0.088 -0.334 0.000 0.000 1.000 0.209 -2.712 0.000 0.000 0.000 -3.453 -0.669 Echimlar oxirgi ustunda joylashgan

242

X(1)=2.826 X(2)=-0.334 X(3)=-2.712 X(4)=-0.669

Laboratoriya ishi №4 Berilgan tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching

№ 1

2,73,58,84,232,148,17,63,55,111,78,62,132,143,95,53,48,102,195,24,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 2

3,147,83,62,138,63,33,24,126,37,5

5,44,615126,54,88,142,142,32,8

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 3

7,147,57,237,125,86,81,126,58,27,145,53,43,61,136,6

7,23,86,58,77,5

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 4

5,132,74,143,81,177,78,83,45,84,6

7,42,128,56,63,88,25,153,62,148,3

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 5

4,238,57,157,83,147,76,64,237,53,6

6,55,45,57,68,84,25,117,56,67,15

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 6

1,127,334,16,73,66,87,124,73,84,5

5,25,55,34,44,25,151,142,231,123,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 7

3,78,237,68,86,54,93,145,62,133,66,61,24,52,144,23

4,147,123,143,54,14

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 8

8,17,14,201,20109,11,54,47,73,31,24,51,27,11,3

1,31,23,1107,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 9

102,51,43,11,7208,16,14,12,1197,15,13,41,1

104,579,18,17,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

№ 10

2,21,229,18,17,48,49,451,52,48,32,25,11,15,64,63,62,61,6

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 11

6,15,44,13,12,11,16,95,84,72,6

105,14,12,23,101,61,52,41,32,2

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 12

8,204,31,7103,67,11,75,68,17,11

8,125,237,115,71,275,08,115,341,28,35

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 13

1,1101,24,31102,18,49,37,18,2

1,112,11,11,212,455,78,25,377,11,35

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 14

1,11,28,15,77,120101,13,15,7

1,11,201,301,13,33,11,131,112,111,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 15

1,1101,24,31102,18,49,37,18,25,14,1203,110

1,17,71,28,15,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 16

7,13,35,31,21,2101,171,71,217,1

3,15,73,11,115,17105,1104,11,30

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 17

2,62,143,35,114,22,65,23,44,52,8

5,212,93,82,65,118,87,67,121,83,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 18

2,18,22,64,146,8154,145,41,2115

6,47,84,127,31225,37,93,65,128,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

243

№ 19

5,62,125,62,52,134,58,83,187,76,8

1,172,63,143,88,523,2423,82,74,6

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

№ 20

5,87,124,67,137,24,67,42,53,224,84,48,57,123,43,62,135,82,42,32,14

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 21

2,97,33,82,125,74,127,84,146,66,156,66,65,127,77,10

8,53,148,34,123,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 22

8,103,98,136,65,37,82,64,127,38,54,127,76,52,43,88,62,64,43,82,13

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 23

1,275,39,97,13,11,23,2108,17,17,14,32,77,11,1

107,11,92,11,8

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 24

1,23,32,27,170105,4201,110

2,22,23,11,218,11,17,1102,23,3

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

№ 25

7,1203,37,03,38,15,02,3020101,21,11,305,020

7,17,1209,97,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

№ 26

101,13,11,13,12,13,12,13,35,3

1,13,13,110102,22,11,13,17,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 1. Chiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari necha

turga bo’linadi? 2. Chiziqli tenglamalar sistemasi yechishning Gauss usulini

tushuntirib bering. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasi yechishda Gaussning bosh elementni

tanlash usulini tushuntirib bering.

6. ZEYDEL USULI YoRDAMIDA ChIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI TAQRIBIY YeChISh.

Ishning maksadi: Oddiy iterasiya usulining modifikasiyasi xisoblangan Zeydel usuli

yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechish; masalani yechish algoritmini tuzish va EHMda ijro etish.

M A S A L A N I Q U R I Sh Faraz qilaylik quyidagi sistema berilgan bo’lsin:

11212111 ... bxaxaxa nn ,

22222121 ... bxaxaxa nn , (3.1) ………………………..

nnnnnn bxaxaxa ...2211 . Takribiy yechish usullari orqali sistemaning yechimini aniqlaymiz (ya’ni shunday usullarni

qo’llash lozimki hisoblashlarni yaxlitlanmasdan yechim nxxx ,...,, 21 ni ma’lum bir aniqlikda topish lozim). Agar (3.1) ning noma’lumlari soni ko’p bo’lsa, uning aniq yechimini topish qiyinlashadi. Bunday hollarda sistemaning yechimlarini topish uchun taqribiy usullardan foydalaniladi. Bu esa

244

yechimni topish vaqtini 20-30% kamaytiradi. Yaxlitlash xatoliklari esa aniq usullar yordamida yechganga qaraganda kamroq ta’sir qiladi, bundan tashqari hisoblash vaqtidagi xatoliklar yechimni topishning keyingi qadamida tuzatiladi. Algebraik tenglamalar sistemasini takribiy yechishning keng tarqalgan usullaridan biri Zeydel usulidan iboratdir. USULNING MAZMUNI Faraz kiliylik (3.1) sistema berilgan bo’lsin va undagi diogonal koeffisentlar noldan farqli bo’lsin, ya’ni niaii ,...,2,10 . Sistemaning birinchi tenglamasini 1x ga, ikkinchisini 2x ga nisbatan yechib quyidagi sistemaga ega bo’lamiz.

nnxxxx 131321211 ... , nn xxxx 232322222 ... (3.2)

……………………………… 11,2211 ... nnnnnnn xxxx .

Bu yerda iiijijii

ii aad

ab / , ji da va 0ij , njiji ,...,2,1, da.

(3.2) sistemani ketma-ket yakinlashish usulida yechamiz. Nolinchi yakinlashish sifatida 00

20

1 ,...,, nxxx larni shunday tanlaymizki, ular nxxx ,...,, 21 larga iloji boricha yaqin bo’lsin. Nolinchi yakinlashish sifatida ko’pchilik hollarda nxxx ,...,, 21 larning taqribiy qiymatlari olinadi. K-chi yakinlashishni ma’lum deb, (K+1) yakinlashishni quyidagi formula orqali aniqlaymiz.

n

j

kjj

k xx1

111

1 ;

n

j

kjj

n

j

kjji

k xxx2

11

11

11 ; (3.3)

,...2,1,01

11

11

kxxxn

j

knnn

kjjn

k

Bu usulning mazmuni shundan iboratki, (K+1) chi yakinlashishda noma’lum ix ning ifodasida undan oldingi hadlarning (K+1) chi yaqinlashishlari ko’llaniladi. Bu keltirilgan yaqinlashishning zaruriy sharti quyidagi teorema orqali beriladi. Teorema. Agar (3.2) sistema uchun kuyidagi tengsizliklarning

1)

n

jij

11|| ni ,...,2,1

yoki

2)

n

jij

11|| ni ,...,2,1

birortasi bajarilsa (3.3) iterasiya jarayoni sistemaning yechimiga yakinlashadi va u nolinchi yaqinlashishga bog’liq bo’lmaydi.

Natija: Quyidagi sistema uchun

n

jijij bxa

1 ni ,...,2,1

iterasiya jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda niaa

jiijii ,...,2,1||

tengsizlik bajarilsa, ya’ni har bir tenglamada diogonal koeffisiyentlarning moduli qolgan boshqa koeffisiyentlar modullarining yig’indisidan katta bo’lsa( ozod hadlarni hisobga olmaganda).

245

Zeydel usulini qo’llab quyidagi sistemaning yechimini topaylik: 65,05,05 321 xxx ;

5,65,05 321 xxx ; (3.4)

75 321 xxx . Yechish: Berilgan sistemani (3.2) ko’rinishdagi sistemaga keltiramiz:

321 1,01,02,1 xxx ;

312 1,02,03,1 xxx ;

313 2,02,04,1 xxx . Haqiqitan ham bu sistema uchun zaruriy shart bajariladi:

2

1

2

1

2

114,0||,13,0||,12,0||

jij

jij

jij aaa

Nolinchi yakinlashish sifatida .4,1;3,1;2,1 0

30

20

1 xxx U holda Zeydel usulining keyingi yaqinlashishi quyidagicha bo’ladi:

9300,04,11,03,11,02,111 x ;

9740,04,11,09300,02,03,112 x ;

192,19740,02,09300,02,04,113 x ;

K=2 bo’lganda 00068,10192,11,09740,01,02,121 x ;

997944,00192,11,000068,12,03,122 x ;

0002752,1997944,02,000068,12,04,123 x ;

Jadval 3.1 (3.4) sistema noma’lumlarining qiymatlari quyidagi jadvalda keltirilgan:

K kx1 kx2 kx3 0 1,2000 1,3000 1,4000 1 0,9300 0,9740 1,0192 2 1,0006 0,9979 1,0002 3 1,0001 0,9999 0,9999 4 1,0000 1,0000 0,9999 5 1,0000 1,0000 1,0000 6 1,0000 1,0000 1,0000

Bu yerda sistemaning haqiqiy yechimi quyidagichadir: .1;1;1 321 xxx

Masalaning dasturi

Program Zejdel; const N=3; Eps=0.001; var i,j,k : integer; txt1,txt2 : text; a : array[1..n,1..n] of real; x,x0 : array[1..n] of real;

246

BEGIN x0[1]:=1.2; x0[2]:=1.3; x0[3]:=1.4; assign(txt1,'zeyd.dat'); reset(txt1); For i:=1 to n do For j:=1 to n do read(txt1,a[i,j]); close(txt1); assign(txt2,'Zeyd.otv'); rewrite(txt2); Writeln(txt2,' TENGLAMALAR SYSTEMASINI ZEYDEL USULIDA ECHISH'); Writeln(txt2,' X larga nisbatan echilgan sistema elementlari'); For i:=1 to n do begin For j:=1 to n do write(txt2,a[i,j]:10:3); writeln(txt2); end; Writeln(txt2,' I x1 x2 x3'); For k:=1 to 10 do Begin For i:=1 to n do Begin x[i]:=a[i,1]; For j:=2 to n do x[i]:=x[i]+a[i,j]*x0[i]; End; write(txt2,k:3); For i:=1 to n do Begin write(txt2, ' ',x[i]:8:4); x0[i]:=x[i]; End; writeLn(txt2); End; close(txt2); END. ZEYD.DAT faylida sistema koeffisiyentlarining qiymati quyidagicha joylashtiriladi: 1.2 -0.1 -0.1 1.3 -0.2 -0.1 1.4 -0.2 -0.2

Dasturning natijasi TENGLAMALAR SYSTEMASINI ZEYDEL USULIDA ECHISH X larga nisbatan echilgan sistema elementlari 1.200 -0.100 -0.100 1.300 -0.200 -0.100 1.400 -0.200 -0.200 I x1 x2 x3 1 0.9600 0.9100 0.8400 2 1.0080 1.0270 1.0640 3 0.9984 0.9919 0.9744 4 1.0003 1.0024 1.0102 5 0.9999 0.9993 0.9959 6 1.0000 1.0002 1.0016 7 1.0000 0.9999 0.9993 8 1.0000 1.0000 1.0003 9 1.0000 1.0000 0.9999 10 1.0000 1.0000 1.0000

Laboratoriya ishi № 5

Zeydel usuli yordamida quyidagi sitemalarning taqribiy yechimini 310 aniqlikda hisoblang.

247

1

2,73,58,84,232,148,17,63,55,111,78,62,132,143,95,53,48,102,195,24,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

2

3,147,83,62,138,63,33,24,126,37,5

5,44,615126,54,88,142,142,32,8

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

3

7,147,57,237,125,86,81,126,58,27,145,53,43,61,136,6

7,23,86,58,77,5

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

4

5,132,74,143,81,177,78,83,45,84,6

7,42,128,56,63,88,25,153,62,148,3

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

5

4,238,57,157,83,147,76,64,237,53,6

6,55,45,57,68,84,25,117,56,67,15

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

6

1,127,334,16,73,66,87,124,73,84,5

5,25,55,34,44,25,151,142,231,123,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

7

3,78,237,68,86,54,93,145,62,133,66,61,24,52,144,23

4,147,123,143,54,14

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

8

8,17,14,201,20109,11,54,47,73,31,24,51,27,11,3

1,31,23,1107,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

9

102,51,43,11,7208,16,14,12,1197,15,13,41,1

104,579,18,17,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

10

2,21,229,18,17,48,49,451,52,48,32,25,11,15,64,63,62,61,6

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

11

6,15,44,13,12,11,16,95,84,72,6

105,14,12,23,101,61,52,41,32,2

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

12

8,204,31,7103,67,11,75,68,17,11

8,125,237,115,71,275,08,115,341,28,35

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

13

1,1101,24,31102,18,49,37,18,2

1,112,11,11,212,455,78,25,377,11,35

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

14

1,11,28,15,77,120101,13,15,7

1,11,201,301,13,33,11,131,112,111,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

15

1,1101,24,31102,18,49,37,18,25,14,1203,110

1,17,71,28,15,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

16

7,13,35,31,21,2101,171,71,217,1

3,15,73,11,115,17105,1104,11,30

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

17

2,62,143,35,114,22,65,23,44,52,8

5,212,93,82,65,118,87,67,121,83,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

18

2,18,22,64,146,8154,145,41,2115

6,47,84,127,31225,37,93,65,128,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

248

19

5,62,125,62,52,134,58,83,187,76,8

1,172,63,143,88,523,2423,82,74,6

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

20

5,87,124,67,137,24,67,42,53,224,84,48,57,123,43,62,135,82,42,32,14

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

21

2,97,33,82,125,74,127,84,146,66,156,66,65,127,77,10

8,53,148,34,123,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

22

8,103,98,136,65,37,82,64,127,38,54,127,76,52,43,88,62,64,43,82,13

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

23

1,275,39,97,13,11,23,2108,17,17,14,32,77,11,1

107,11,92,11,8

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

24

1,23,32,27,170105,4201,110

2,22,23,11,218,11,17,1102,23,3

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

25

7,1203,37,03,38,15,02,3020101,21,11,305,020

7,17,1209,97,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

26

101,13,11,13,12,13,12,13,35,3

1,13,13,110102,22,11,13,17,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx


1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Zeydel usulini tushuntirib bering.

2. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Zeydel usulining yaqinlashish shartini tushuntirib bering.

7. FUNKSIYaLARNI INTERPOLYaSIYaLASh

Ishning maksadi: Interpolyasion ko’phadlar va ularni qurish, berilgan nuqtada funksiyaning qiymatini taqribiy hisoblashni o’rganish, masalani yechish algoritmini tuzish va EHMda ijro etish.

Masalaning qo’yilishi

xfy funksiya berilgan bo’lsa, x ning mumkin bo’lgan ixtiyoriy qiymatiga y ning qiymati mos qo’yilgan bo’ladi. xy ni aniqlash har doim ham oson bo’lmaydi. Masalan, agar x parametr o’rnida kelsa xy marakkab masalaning yechimi deb qaralishi mumkin yoki xy ning qiymatlari qimmat turuvchi taqiqotlar natijasida aniqlangan bo’lsa. Bunda funksiyaning qiymatlar jadvalini tuzishimiz mumkin, lekin argumentning juda ko’p qiymatlarida buni bajarish imkoni bo’lmaydi.

Bunday hollarda odatda interpolyasion formulalar qo’llaniladi. ba, kesmada nxxx ,....,, 10 argumentning 1n ta har xil qiymatiga mos keluvchi

xfy funksiyaning qiymatlari 00 yxf , 11 yxf ,…, nn yxf berilgan bo’lsin.

249

nxxx ,....,, 10 berilgan tugunlarda xfy funksiya bilan bir xil qiymat qabul qiladigan va darajasi n dan oshmaydigan хn ko’pxadni qurish talab qilinsin, ya’ni

.,...,2,1, niyх iin хn - interpolyasion ko’pxad, nxxx ,....,, 10 interpolyasiya tugunlari, haralayotgan

masala esa interpolyasiya masalasi deb yuritiladi. Geometrik nuqtai nazardan bu ii yх , nuqtalardan o’tuvchi хy n chiziqni topishni

bildiradi (Rasm 1).

Rasm 1. Interpolyasiya masalasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishi yoki umuman yechimga ega bo’lmasligi mumkin. Ko’pincha interpolyasion formulalar argumentning oraliq qiymatlari uchun xfy funksiyaning qiymatini topishda foydalaniladi. Bunda nuqta х nхх ,0 oraliqda yotganda

interpolyasiya, nхх ,0 kesmadan tashqarida yotganda ekstropolyasiyalash masalasi deb yuritiladi. Interpolsion ko’pxadning umumiy ko’rinishdagi turli ifodalanishlari mavjud: Nyuton, Lagranj, Gauss, Sterling, Bessel va boshqalar. Nyuton, Lagranj formulalari hisoblashlarda qulay bo’lib EHMda va qo’lda hisoblashlarda aniqlikni nazorat qilishni ta’minlaydi, qolgan boshqa formalar interpolyasiya tugunlari joylashishining xususiy xollarida o’rinli.

Usulning yoritilishi. Nyuton interpolyasion formulalari teng uzoqlikda joylashgan tugunlar uchun qaralayotgan oraliqning boshi va oxiridagi nuqtalarda funksiyaning qiymatini hisoblash uchun qulay. Ixtiyoriy joylashgan tugunlarda interpolyasiyalashda Lagranj interpolyasion formulasidan foydalaniladi. niхi ,...,1,0 ixtiyoriy tugunlar va bu tugunlarda xfy funksiyaning ii xfy qiymatlarii berilgan bo’lsin. iх tugunlarda iy qiymatlarni qabul qiladigan n -darajali ko’pxadni Lagranj interpolyasion ko’phadi yordamida qurishni qaraylik.

xLn

niiii

niii

n

i ххххххххххххххххy

110

10

0

Formulaning qoldiq hadi

n

n

n ххххххn

хR

10

1

1

250

kabi bo’ladi. Bu yerda mniхi 1,0 tugunlar va х nuqta o’z ichiga oladigan eng kichik oraliqda yotadi..

niiiiiii

niini хххххххххх

хххххххххххL

1110

1110

ifoda Lagranj koefisentlarii deb nomlanadi. Bu holda (4,1) formula quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

n

ii

nin yхLхL

1

Lagranj koeffisentlarini hisoblash uchun quyida keltirilgan sxemadan foydalanish mumkin.

i )( jixx ji iD iy i

iD

y

0 0xx 10 xx 20 xx ..... nxx 0 0D 0y 0

0D

y

1 01 xx 1xx 21 xx ..... nxx 1 1D 1y 1

1D

y

2 02 xx 12 xx 2xx ..... nxx 2 2D 2y 2

2D

y

3 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...

n

iin xxxП

01

n

i i

i

DyS

0

Birinchi satr elementlari yig’indisini 0D , ikkinchi satr elementlari yig’indisini 1D va hakozo kabi belgilaymiz. Tagi chizilgan diogonal elementlarning yig’indisini xПn 1 orqali belgilaymiz. Bundan esa

niD

ххL

i

nni ,,1,01

bo’lishi kelib chiqadi.

Demak

n

i i

inn D

yххL

11 o’rinli bo’ladi.

Misol. хy ln funksiyaning 103,102,101,100х nuqtalardagi qiymatini berilgan bo’lsin. Bu funksiyaning 5,100х bo’lgandagi qiymatini toping va xatolikni baholang. Yechish: Qulaylik uchun hamma hisoblashlarni jadvalga joylashtiramiz.!

i )( jixx ji iD iy i

iD

y

0 0,5 -1 -2 -3 -3,0 4,60517 -1,53500 1 1 -0,5 -1 -2 -1,0 4,61512 -4,61512 2 2 1 -1,5 -1 3,0 4,62797 1,54365 3 3 2 1 -2,5 -1,5 4,63473 -3,08582

375,90

1

n

iin xxxП 769834

0

n

i i

i

DyS

Bu holda

251

21156.869834.7375.95.1003

04

i i

i

Dхy

Lagranj formulasi qoldiq hadi 3n bo’lganda

.!4 32103 ххххххххfхR

iv

kabi bo’ladi. Biz qarayotgan misolda 5,100,103,102,101,100 3210 xxxxх va

103100 . хxf ln bo’lgani uchun 4

6x

f iv bo’ladi. Demak

843 1023,05,35,25,15,0

!410065,100

R .

Masalaning dasturi

Program Int_Pol; const n=4; var i,j,k : integer; p,xx,Lx : real; txt1,txt2 : text; a : array[1..n,1..n] of real; x,y,d : array[0..n] of real; BEGIN xx:=100.5; assign(txt1,'Int_pol.dat'); reset(txt1); For i:=0 to n-1 do read(txt1,x[i],y[i]); close(txt1); assign(txt2,'Int_Pol.otv'); rewrite(txt2); Writeln(txt2,' Nuyton interpolyatsion formulasi'); Writeln(txt2,' X va Y ning berilgan qiymatlari'); Writeln(txt2,' x y'); For i:=0 to n-1 do begin write(txt2,x[i]:10:2,' ',y[i]:10:5); writeln(txt2); end; p:=1; For i:=0 to n-1 do Begin d[i]:=(xx-x[i]); For j:=0 to n-1 do if i<>j then d[i]:=d[i]*(x[i]-x[j]); p:=p*(xx-x[i]);End; Lx:=0; For i:=0 to n-1 do Lx:=Lx+P*y[i]/d[i]; write(txt2,'Lx=',Lx:10:5); close(txt2); END.

252

Int_pol.dat faylida berilgan qiymatlarning joylashishi 100.0 4.60517 101.0 4.61512 102.0 4.62797 103.0 4.63473

Dasturning natijasi Nuyton interpolyatsion formulasi X va Y ning berilgan qiymatlari x y 100.00 4.60517 101.00 4.61512 102.00 4.62797 103.00 4.63473 Lx= 4.60922

Laboratoriya ishi №6 Teng uzoklikda joylashgan tugunlarda y funksiyaning qiymatlari berilgan. Nyutonning

birinchi va ikkinchi interpolyasion formulalari yordamida ko’phad quring va х nuqtadagi qiymatini hisoblang.

x y № x x y № x

1,375 1,380 1,385 1,390 1,395 1,400

5,04192 5,17744 5,32016 5,47069 5,62968 5,79788

1 1,3832 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140

8,65729 8,29729 7,95829 7,64893 7,36235 7,09613

2 0,1264 3 1,3926 4 0,1315 5 1,3862 6 0,1232 7 1,3934 8 0,1334 9 1,3866 10 0,1285

11 1,3795 12 0,1356

x y № x x y № x 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 1,445

0,888551 0,889599 0,890637 0,891667 0,892687 0,893698 0,894688

13 1,4179 0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 0,180

6,61659 6,39989 6,19658 6,00551 5,82558 5,65583 5,42667

14 0,1521 15 1,4258 16 0,1611 17 1,4396 18 0,1662 19 1,4236 20 0,1542 21 1,4315 22 0,1625 23 1,4215 24 0,1711 25 1,4277 26 0,1753

Teng uzoklikda joylashmagan tugunlarda y funksiyaning qiymatlari berilgan.

Lagranj interpolyasion formulalari yordamida ko’phad quring va х nuqtadagi qiymatini hisoblang.

x y № x x y № x

0,43 1,63597 1 0,702 0,02 1,02316 2 0,102 0,48 1,73234 3 0,512 0,08 1,09590 4 0,114 0,55 1,87686 5 0,645 0,12 1,14725 6 0,125 0,62 2,03345 7 0,736 0,17 1,21483 8 0,203 0,70 2,22846 9 0,608 0,23 1,30120 10 0,154

253

0,75 2,35973 11 0,478 0,30 1,40976 12 0,087

X y № x x y № x 0,35 2,73951 13 0,526 0,68 0,80866 14 0,896 0,41 2,30080 15 0,453 0,73 0,89492 16 0,812 0,47 1,96864 17 0,482 0,80 1,02964 18 0,774 0,51 1,78776 19 0,552 0,88 0,20966 20 0,955 0,56 1,59502 21 0,436 0,93 1,34087 22 0,715 0,64 1,34310 23 0,635 0,99 1,52368 24 0,984 0,69 1,16321 25 0,667 1,07 1,75826 26 0,845


1. Interpolyasiya masalasi qanday qo’yiladi ? 2. Nyutonning 1 va 2-interpolyasion formulalarini va qo’llash hollarini

tushintirib bering. 3. Lagranj interpolyasion formulasi va qo’llash hollarini tushintirib

bering. 4. Nyuton va Lagranj interpolyasion formulalarining qoldiq hadi

qanday baholanadi ?

254

8. BIRINChI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMANI RUNGE -KUTTA USULI YoRDAMIDA TAQRIBIY YeChISh

Ishdan maqsad: Birinchi tartibli differensial tenglamani Runge -Kutta usulida yechishni

talabalarga o’rgatish quyidagilarni o’z ichiga oladi: differensial tenglamani integrallashga sonli usulni qo’llash; hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish; masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish.

Masalaning qo’yilishi.

Birinchi tartibli differensial tenglama yxfy , (1)

bx ,0 kesmada

00yy xx (2)

boshlang’ich shart bilan berilgan bo’lsin. bx nuqtada noma’lum xyy funksiyaning qiymatini taqribiy hisoblash talab qilinsin. Agar berilgan masalaning xy yechimini topish mumkin bo’lganda, bx nuqtada,

ravshanki, by bx ni topishimiz mumkin bo’ladi. Lekin aksariyat hollarda masalaning umumiy yechimini topib bo’lmaydi. Bunday hollarda taqribiy (sonli) usullar qo’llaniladi.

Differensial tenglamani integrallashning eng keng tarqalgan sonli usullaridan biri Runge -Kutta usulidir.

Bu usul har xil tartibli aniqlikdagi sxemalarni qurishdan iborat bo’ladi. Bu sxemalar EHMda hisoblash uchun juda qulay hisoblanadi. Ko’pgina qo’llaniladigan sxemalar to’rtinchi tartibli aniqlikda bo’ladi. Hozirda ulardan amaliy hisoblashlarda foydalanilmoqda.

Usul tavsifi

bx ,0 kesmada hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama

yxfdxdy ,

berilgan bo’lsin va 0xx nuqtada 0yy boshlang’ich shart o’rinli bo’lsin.

nxbH 0

qadamni tanlaymiz va quyidagi belgilashni kiritamiz: ihxxi 0 va

nixyy ii ,...,3,2,1 . Quyidagi sonlarni qaraymiz:

iii yxhfK ,1 ,

2,

21

2

i

iii KyHxhfK

i

iii

i

iii KyHxhfKKyHxhfK 34

23 ,,

2,

2

(3)

Runge – Kutta usuli bo’yicha Hxx ii 1 nuqtada taqribiy yechimning 1iy qiymati quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi

255

iii yyy 1 (4)

bu yerda ,...2,1,02261

4321 iKKKKy iiiii

Bu usul bo’yicha bajariladigan hisoblashlar quyidagi jadvalga sxema bo’yicha

joylashtiriladi: 1 –jadval

i x y yxfHK , y 0 x0 y0 0

1K 01K

20Hx

2

01

0Ky

02K 0

2K

20Hx

2

02

0Ky

03K 0

3K

Hx 0 030 Ky 0

4K 04K

0y

1 1x 1y

1 —jadvalni to’ldirish tartibi. 1) Jadvalning birinchi satriga 00 , yx berilgan qiymatlarni yozamiz.

2) 00, yxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 01K sifatida jadvalga yozamiz.

3) Jadvalning ikkinchi satriga

2,

2

01

00KyHx larni yozamiz.

4)

)2

,2

(0

100

KyHxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 02K sifatida jadvalga yozamiz.

5) Jadvalning uchinchi satriga

2,

2

02

00KyHx larni yozamiz.

6)

2,

2

02

00KyHxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 0

3K sifatida jadvalga

yozamiz.

7) Jadvalning to’rtinchi satriga 0300 , KyHx larni yozamiz.

8) 0300 , KyHxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 0

4K sifatida jadvalga yozamiz.

9) y ustuniga 04

03

02

01 ,2,2, KKKK larni yozamiz.

10) y ustundagi sonlarning yig’indisi 6 gabo’lib, 0y sifatida jadvalga yozamiz.

11) 001 yyy ni hisoblaymiz.

Keyingi navbatda ),( 11 yx ni boshlang’ich nuqta sifatida qarab hisoblashlarni shu singari davom qildiramiz. Runge-Kutta usuli yordamida EHMlarida qadamni avtomatik tanlab hisoblashlar bajarilganda hasoblashlar ikki marta bajariladi. Birinchisida H qadam bilan, ikkinchisida esa

256

2Hh qadam bilan. Agar bu holda olingan iy ning qiymatlari berilgan aniqlikdan oshsa, u holda

keyingi 1ix nuqtagacha qadam ikkilanadi, aks holda yarim qadam qo’llaniladi.

Runge - Romberg qoidasi Hky va h

ky izlanayotgan funksiyaning mos ravishda H va h qadamlarda hisoblangan qiymatlari hamda - berilgan absolyut xatolik bo’lsin.

Barcha k larda ushbu

H

khk yy215

1 (6)

tengsizlik bajarilganda berilgan aniqlikdagi hisoblashga erishildi deb hisoblanadi. H va h qadamlarda izlanayotgan funksiyaning qiymatlari hisoblanadi va (6) tengsizlik teksheriladi. Agar (6) tengsizlik barcha k larda bajarilsa hisoblashlar yakunlanadi.

Misol Runge - Kutta usulida [0 ; 0,45] kesmada yxy differensial tenglamaning (Koshi

masalasini) 0x da 1y boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini 0.001 aniqlikda hisoblang.

Yechish 001,04 H tengsizlikda kelib chiqqan holda 15,0H qadamni tanlaymiz. U holda 3n bo’ladi va qadamni 2 marta kamaytiramiz, ya’ni 075,0h ni tanlaymiz, u holda 6n bo’ladi. Qulaylik uchun hisoblash natijalarini 2 - jadvalga yozamiz. Oxirgi ustundan barcha k lar uchun (6) tengsizlik bajarilishi ko’rinib turibdi. Ya’ni hisoblashning berilgan aniqligiga erishiladi. Bu holda 6866,145,0 y qiymatni taqribiy topamiz. Berilgan boshlang’ich shartda qaralayotgan tenglamaning aniq yechimi quyidagicha bo’ladi:

12 xey x

Bundan kelib chiqadiki, 68662.1145.02 45.045,0 ey x bo’ladi va absolyut xato

0,000021,6866 - 1,68662 y |

hamda nisbiy xato %001.0

68662.100002.0

y kabi bo’ladi

2 -jadval k

x y yxHf

K,

y x y yxfh

K,

hk

Hk

K

K

2

151

0 0

1 0,15 0,15 0 1 0,075 0,075 0,075 1,075 0,1725 0,375 0,0375 1,0375 0,0806 0,1613 0 0,075 1,0863 0,1742 0,3484 0,0375 1,0403 0,0808 0,1617

0,15 1,1742 0,1986 0,1937 0,075 1,0808 0,0867 0,0867

257

0,1737 0,0808

1 0,075 1,0808 0,0867 0,0867 0,1125 1,1241 0,0927 0,1855 0,1125 1,1272 0,0920 0,1860

0,15 1,2668 0,1063 0,1063

0,0941 2 0,15 1,1737 0,

190,1986 0,15 1,1736 0,0993 0,0993

0,225 1,2730 0,2247 0,4494 0,1875 1,2233 0,1058 0,2116 0,000006 0,225 1,2860 0,2267 0,4533 0,1875 1,2266 0,1061 0,2121

0,30 1,400 0,2551 0,2551 0,225 1,2798 0,1129 0,1129

0,2261 0,1060

3 0,225 1,2796 0,1128 0,1128 0,2625 1,3360 0,1199 0,2398

0,2625 1,3395 0,1202 0,2403

0,3 1,5199 0,1365 0,1365

0,1216

4 0,30 1,3998 0,25

0,2550 0,3 1,3997 0,1275 0,1275 0,375 1,5273 0,2853 0,5707 0,3375 0,4634 0,1351 0,2701 0,0000006 0,375 1,5425 0,2876 0,5752 0,3375 1,4672 0,1354 0,2707

0,45 1,6874 0,3206 0,3206 0,375 1,5351 0,1433 0,1433

0,2859 0,1353

5 0,375 1,5350 0,1433 0,1433 0,4125 1,6027 0,1411 0,3023

0,4125 1,6106 0,1517 0,3035

0,45 1,6867 0,1603 0,1603

0,1516 6 0,45 1,6867 0,45 1,6866 0,000006

Masalaning dasturi

Program R_Kutta; const n=7; var i : integer; dy,x0,y0,x,y,K1,K2,K3,K4,h,y2 : real; txt1 : text; Function F(x1:real; y1:real) : real; Begin F:=x1+y1;

258

End; BEGIN x0:=0; y0:=1; h:=0.075; assign(txt1,'R_K.otv'); rewrite(txt1); Writeln(txt1,' Runge-Kutta usuli'); Writeln(txt1,' X Taqr.echim Aniq echim'); For i:=1 to n do begin K1:=h*F(x0,y0); K2:=h*F(x0+h/2,y0+K1/2); K3:=h*F(x0+h/2,y0+K2/2); K4:=h*F(x0+h,y0+K3); dy:=(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; y2:=2*exp(x0)-x0-1; Writeln(txt1,x0:8:4,' ',y0:10:6,' ',y2:10:6); y:=y0+dy; x0:=x0+h;y0:=y; End; close(txt1); END.

Dasturning natijasi Runge-Kutta usuli X Taqr.echim Aniq echim 0.0000 1.000000 1.000000 0.0750 1.080768 1.080768 0.1500 1.173668 1.173668 0.2250 1.279645 1.279645 0.3000 1.399717 1.399718 0.3750 1.534983 1.534983 0.4500 1.686624 1.686624


Berilgan birinchi tartibli differensial tenglamani Runge-Kutta usulida yeching.

1.

5cos yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

2.

3cos yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

3.

10cos yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

4.

2cos yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

5.

11cos yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

6.

5sin yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

7.

3sin yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

259

8.

10sin yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

9.

3sin yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

10.

11sin yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

11.

12cos yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

12.

2cos yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

13.

4cos yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

14.

5sin yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

15.

2sin yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

16. 2yxyy 0,110 y 0,2;0,1x

17. eyxy sin 5,24,10 y 4,2;4,1x

18. 2

sin yxy 3,18,00 y 8,1;8,0x

19. 3

sin yxy 5,11,10 y 1,2;1,1x

20. 11

sin yxy 2,16,00 y 6,1;6,0x

21. 25,1

sin yxy 8,15,00 y 5,1;5,0x

22. 15

sin yxy 1,12,00 y 2,1;2,0x

23. 3,1

sin yxy 8,01,00 y 1,1;1,0x

24. 3,0

sin yxy 6,05,00 y 5,1;5,0x

25. 7,0

sin yxy 4,12,10 y 2,2;2,1x

26. 25,1

cos yxy 8,04,00 y 4,1;4,0x

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 1. Differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi qanday qo’yiladi ?

260

2. Birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishning Eyler usulini tushintirib bering.

3. Birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishning Runge-Kutta usulini tushintirib bering.

9. IKKINChI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YeChISh

Ishdan maqsad: Ikkinchi tartibli differensial tenglamani progonka usulida yechishni talabalarga o’rgatish quyidagilarni o’z ichiga oladi:

Hosilalarni chekli ayirmalarda ifodalash. differensial tenglamaning chekli ayirmali ifodalanishi; differensial tenglamani integrallashga sonli usulni qo’llash; hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish; masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish.

Masalani qo’yilishi.

Ikkinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo’lsin:

0),,,( ''' yyyxF (7.1) Ikki nuqtali chegaraviy masala (7.1) uchun quyidagicha qo’yiladi: ba, kesma

ichida (7.1) tenglamani qanoatlantiruvchi va kesmaning oxirida esa

0)(),(

0)(),('

2

'1

bybyayay

(7.2)

chegaraviy shartlar qanoatlantiruvchi xyy funksiyani topish talab qilinadi.

(7.1) tenglama va (7.2) chegaraviy shartlar chiziqli bo’lgan holni qaraylik. Bunday chegaraviy masala chiziqli chegaraviy masala deyiladi. U holda differensial tenglama va chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin:

)()()( ''' xfyxqyxpy (7.3)

BbybyAayay

)()(

)()('

10

'10

(7.4)

bu yerda xfxqxp ,, - ba, kesmada uzluksiz bo’lgan berilgan funksiyalar, BA,,,,, 1010 - berilgan o’zgarmaslar bo’lib

010 va 010 shartni qanoatlantiradi.

Agar 0 BA bo’lsa, u holda (7.4) chegaraviy shart bir jinsli deyiladi. Qaralayotgan chegaraviy masalaning taqribiy yechimini topish usullari ikki guruhga bo’linadi: analitik va ayirmali usullar. Chegaraviy masalalarni yechishning eng sodda usullaridan biri chekli ayirmalar usulidir.

261

Usulning yoritilishi

ba, kesmani uzunligi h bo’lgan n ta teng kesmalarga ajratamiz, bu yerda

nabh

. Bo’linish nuqtalarining absissasi

bxaxniihxx ni ,),1,...,3,2,1(, 00 kabi bo’ladi. Bo’linish nuqtalari ix lar uchun

)(xyy funksiya va uning )(),( ''' xyxy hosilalarini )(),( ''iiii xyyxyy kabi

belgilaymiz. Bulardan tashqari quyidagicha belgilashlar kiritamiz: )(),(),( iiiiii xffxqqxpp

Har bir ichki tugunlarda )(),( '''ii xyxy hosilalarni taqribiy chekli ayirmalar

212''1' 2,

hyyyy

hyyy iii

iii

i

(7.5)

kesmaning chetlarda esa

h

yyy

hyy

y nnn

1'01'0 ,

(7.6)

chekli ayirmalar bilan almashtiramiz. (7.5) va (7.6) taqribiy formulalarni (7.3) tenglama va (7.4) chegaraviy shartlarga qo’yib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bh

yyyA

hyy

y

fyqh

yyph

yyy

nnn

iiiii

iiii

110

01100

12

12

,

2

(7.7)

Agar )(' ixy va )('' ixy lar o’rniga markaziy ayirmalarni qo’llasak yanada aniqroq formulalarni hosil qilamiz, ya’ni

211''11' 2,

2 hyyyy

hyyy iii

iii

i

U holda

,,

22

110

01100

112

11

Bh

yyyA

hyy

y

fyqh

yyph

yyy

nnn

iiiii

iiii

(7.8)

sistemani hosil qilamiz. Shunday qilib, har ikkala holda ham 1n ta noma’lumlarga ega bo’lgan 1n chiziqli algebraik tenglamadan iborat bo’lgan sistemaga ega bo’ldik. Agar ushbu sistemani yechish mumkin bo’lsa, u holda izlanayotgan funksiyaning taqribiy qiymatlarini jadval shaklida hosil qilamiz. (7.3) - (7.4) chegaraviy masalaga chekli ayirmalar usulini qo’llash xatoligi quyidagicha bo’ladi:

22

)(96

)( abMhxyy ii

Bu yerda )( ixy - ixx bo’lgandagi aniq yechimning qiymati va )(max )4(

],[xyM

ba .

KO’RGAZMALI MISOL.

Chekli ayirmalar usulini qo’llab quyidagi chegaraviy masalaning yechimini aniqlang:

262

0566,0)4,1(0)1(

1'''2

yy

xyyx

(7.9)

YeChISh. (7.8) formulani qo’llab, (7.9) tenglamalar sistemasini chekli ayirmalar orqali

quyidagicha yozamiz:

12

2 112

112

hyy

xh

yyyx ii

iiii

i

O’xshash hadlarni ixchamlab 22

122

1 2)2(4)2( hhxxyyxhxxy iiiiiiii (7.10) hosil qilamiz. h qadamni 0,1 deb tanlasak uchta ichki tugunlarni hosil qilamiz.

3,2,111,0 iixi . (7.9) tenglamani har bir tugun uchun yozsak

02,051,376,625,302,000,376,576,202,053,284,431,2

432

321

210

yyyyyyyyy

(7.11)

sistemani hosil qilamiz. Chegaraviy tugunlarda 0566,0,0 40 yy ekanini bilgan holda, (7.11) sistemani

yechamiz va izlanayotgan funksiyaning quyidagi qiymatlarini hosil qilamiz: 0345,0,0167,0,0046,0 321 yyy

(7.9) tenglamaning aniq yechimi xy 2ln21

funksiyadan iborat. Aniq yechimning

tugunlardagi qiymatlari 0344,0)(;0166,0)(;0047,0)( 321 xyxyxy

kabi bo’ladi. Bu qiymatlardan ko’rinib turibdiki, taqribiy va aniq yechimning tugunlardagi qiymatlari orasidagi farq 0001,0 dan oshmaydi.

Tugunlar soni n kata bo’lganda uchun (7.7)-(7.8) tenglamalar sistemasini yechish murakkablashadi. Quyida bunday hollar uchun mo’ljallangan ancha sodda usulni qaraymiz.

PROGONKA USULI. Usulning g’oyasi quyidagicha. (7.7) sistemaning dastlabki 1n tenglamalarini yozib

olamiz:

iiiiii fhykymy 212 (7.12)

bu yerda qhhpkhpm iiii

21;2 . (7.12)ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

)( 21 iiii ydcy (7.13) Bu yerdagi ii dc , - lar ketma – ket quyidagi formulalardan hisoblanadi:

20

01

00

10010

010 ,

)(hf

hAhk

khmhc

, 0i bo’lganda (7.14)

112

1

,1

iiiiiiii

i dckhfdckm

c , 2,...,2,1 ni bo’lganda (7.15)

Hisoblash quyidagi tartibda bajariladi:

263

To’g’ri yo’l. (7.12) formuladan ii km , - qiymatlarni hisoblaymiz. 00 ,dc larni (7.14)

formulalardan aniqlaymiz va (7.15) rekkurent formulalardan ii dc , larni hisoblaymiz. Teskari yo’l. (7.13) tenglamadan agar 2 ni bo’lsa, (7.7) tenglamalar sistemasini

quyidagicha yozish mumkin.

B

hyyy

ydcy

nnn

nnnn

110

221 ),(

Ushbu sistemani ny ga nisbatan yechib, quyidagini hosil qilamiz:

hc

Bhdcyn

nnn

021

221

)1(

(7.16)

Aniqlangan 22 , nn dc larni qo’llab ny ni topamiz. So’ngra )1,...,1( niyi larni hisoblaymiz. (7.13) rekkurent formulani ketma-ket qo’llab quyidagilarni hosil qilamiz:

).(),(

),(

2001

1332

221

ydcyydcyydcy

nnnn

nnnn

(7.17)

0y ni (7.7) sistemaning oxiridan ikkinchi tenglamasidan aniqlaymiz:

h

Ahyy01

110

(7.18)

Progonka usuli bilan bajarilgan barcha hisoblashlarni 7.1 jadvalda ko’rsatish mumkin. 7.1-jadval

i

ix

im

ik

if

To’g’ri yo’l Teskari yo’l

ic id iy 0

0x 0m 0k 0f 0c 0d 0y 1

1x 1m 1k 1f 1c 1d 1y … … … … … … … …

2n 2nx 2nm 2nk 2nf 2nc 2nd 2ny 1n 1nx

1ny n

nx ny

MISOL. Progonka usulida

xyyxy 422 (7.19) tenglamaning

718,311,000 eyyy (7.20) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini toping.

YeChISh: (7.19)-(7.20) tenglamalarni 1,0h deb olib chekli ayirmali sitema bilan

almashtiramiz:

8,...,2,1,0,421,0

201,0

2 112

ixyyyxyyy

iiii

iiii

264

718,3,01,0 10

010

yyyy

O’xshash hadlarni ixchamlab iiiiii xyxyxy 401,02,098,02,02 12

formulani hosil qilamiz. Bundan iiiiii xfxkxm 4,2,098,0,2,02 , 718,3,0,0,1,1,1 1100 BA

ekani kelib chiqadi. Hisoblashlarni yuqoridagi kabi jadvalga joylashtiramiz.

i

ix

im

ik

if

To’g’ri yo’l Teskari yo’l

Aniq yechim

ic id iy iy 0 0,0 -2,00 0,98 0,0 -0,9016 0,0000 1,117 1,000 1 0,1 -2,02 1,00 -0,4 -0,8941 -0,0040 1,229 1,110 2 0,2 -2,04 1,02 -0,8 -0,8865 -0,0117 1,363 1,241 3 0,3 -2,06 1,04 -1,2 -0,8787 -0,0228 1,521 1,394 4 0,4 -2,08 1,06 -1,6 -0,8706 -0,0372 1,704 1,574 5 0,5 -2,10 1,08 -2,0 -0,8623 -0,0550 1,916 1,784 6 0,6 -2,12 1,10 -2,4 -0,8536 -0,0761 2,364 2,033 7 0,7 -2,14 1,12 -2,8 -0,8446 -0,1007 2,455 2,332 8 0,8 -2,16 1,14 -3,2 -0,8354 -0,1290 2,800 2,696 9 0,9 3,214 3,148 10 1,0 3,718 3,718

Progonka usulining Paskal dasturi Program P1; Uses Crt; Const n=10; Var i,j : integer; A,B,A0,B0,Al0,Al1,Bet0,Bet1,h : real; M,K,C,D,Y,P,q,f,x : array[0..100] of real; f1 : text; Procedure progonka; BEGIN for i:=0 to n-2 do Begin M[i]:=-2+h*p[i]; K[i]:=1-h*p[i]+h*h*q[i]; End; c[0]:=(al1-al0*h)/(M[0]*(al1-al0*h)+K[0]*al1); d[0]:=k[0]*A0*h/(al1-al0*h)+f[0]*h*h; for i:=1 to n-2 do Begin c[i]:=1/(m[i]-k[i]*c[i-1]); d[i]:=f[i]*h*h-k[i]*c[i-1]*d[i-1]; End; y[n]:=(B0*h-Bet1*c[n-2]*d[n-2])/(Bet0*h+Bet1*(1+c[n-2])); for j:=1 to n-1 do Begin

265

i:=n-j; y[i]:=c[i-1]*(d[i-1]-y[i+1]); End; y[0]:=(al1*y[1]-A0*h)/(al1-al0*h); END; BEGIN {Asosiy qism} ClrScr; assign(f1,'c:Progonka.otv'); rewrite(f1); a:=0; b:=1; h:=(b-a)/n; Al0:=1; Al1:=-1; Bet0:=1; Bet1:=0; A0:=0; B0:=3.718; for i:=0 to n do Begin x[i]:=a+i*h; p[i]:=-2*x[i]; q[i]:=-2; f[i]:=-4*x[i]; End; Progonka; for i:=0 to n do Begin writeln(f1,'i=',i:2,' x=',x[i]:6:4,' M=',M[i]:6:4,' K=',k[i]:6:4); End; writeln(f1); for i:=0 to n do Begin writeln(f1,'i=',i:2,' c=',c[i]:6:4,' d=',d[i]:6:4,' y=',y[i]:6:4); End; Close(f1); END.

Dasturning natijalari

i= 0 x=0.0000 M=-2.0000 K=0.9800 i= 1 x=0.1000 M=-2.0200 K=1.0000 i= 2 x=0.2000 M=-2.0400 K=1.0200 i= 3 x=0.3000 M=-2.0600 K=1.0400 i= 4 x=0.4000 M=-2.0800 K=1.0600 i= 5 x=0.5000 M=-2.1000 K=1.0800 i= 6 x=0.6000 M=-2.1200 K=1.1000 i= 7 x=0.7000 M=-2.1400 K=1.1200 i= 8 x=0.8000 M=-2.1600 K=1.1400 i= 9 x=0.9000 M= 0.0000 K=0.0000 i=10 x=1.0000 M=0.0000 K=0.0000 i= 0 c=-0.9016 d=0.0000 y=1.1180 i= 1 c=-0.8942 d=-0.0040 y=1.2297 i= 2 c=-0.8866 d=-0.0116 y=1.3639 i= 3 c=-0.8788 d=-0.0227 y=1.5213 i= 4 c=-0.8707 d=-0.0372 y=1.7043 i= 5 c=-0.8623 d=-0.0550 y=1.9168 i= 6 c=-0.8536 d=-0.0761 y=2.1643 i= 7 c=-0.8447 d=-0.1008 y=2.4548 i= 8 c=-0.8354 d=-0.1291 y=2.7996 i= 9 c=0.0000 d=0.0000 y=3.2137 i=10 c=0.0000 d=0.0000 y=3.7180


Berilgan chegaraviy masalani progonka usulida yeching. 1.

5cos" 3 yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

2.

3cos" 2 yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

266

3.

10cos" yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

4.

2cos" 4 yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

5.

11cos" yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

6.

5sin" 2 yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

7.

3sin" 3 yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

8.

10sin" 3 yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

9.

3sin" yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

10.

11sin" yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

11.

12cos" 3 yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

12.

2cos" 3

2 yxy 6,46,10 y 6,2;6,1x

13.

4cos" 3 yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

14.

5sin" 2 yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

15.

2sin1" yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

16. 109" 2 xyyxy 400 y 1;0x 17. 4963" 3 xxxyy 300 y 1;0x 18. 22" 2 xyxy 610 y 2;1x 19. 103" 2 xyyxy 710 y 2;1x 20. 23" xyyxy 200 y 1;0x 21. 32" 2 xxyyy 100 y 1;0x 22. 12" 2 xxyyy 210 y 2;1x 23. 1" 2 xyyxy 520 y 3;2x 24. 1" 2 xxyy 410 y 2;1x 25. xxyy 222" 2 100 y 1;0x 26. xyy 42" 000 y 1;0x


267

1. Ikkinchi tartibli differensial tenglamani taqribiy yechish masalasi qanday qo’yiladi ?

2. Birinchi va ikkinchi tartibli hosilani chekli ayirmalarda ifodalang. 3. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishning Progonka

usulini tushintirib bering.

10. ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASh Ishdan maqsad: Aniq integrallarning qiymatini taqribiy hisoblashning trapesiya va

Simpson formulalari hamda ularning qoldiq hadlarini baholashni o’rganish; hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish; masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish.

Quyidagi

b

a

dxxffI (1)

aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblashni qaraylik. Bu yerda xf - ba, oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiya.

ba, integrallash oralig’ini n ta uzunligi n

abh ga teng bo’lgan

nn xxxxxx ,,.....,,,, 12110 kesmalarga ajratamiz. Agar tugunlarda xf ning qiymatini nixfy ii ,...,2,1,0 kabi belgilasak

b

a

nn

yyyyyhdxxffI2

......2 121

0 (2)

umumiy trapesiyalar formulasi deyiladi. Bu formula geometrik nuktai-nazardan integral ostidagi xfy funksiyaning grafigini tugun nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq bilan almashtirishdan

iboratdir. Faraz qilaylik mn 2 juft son bo’lsin. ba, integrallash oralig’ini n ta uzunligi

mab

nabh

2

ga teng bo’lgan nn xxxxxx ,,.....,,,, 12110 kesmalarga ajratamiz.

2242

123120

......2

......43

m

b

amm

yyy

yyyyyhdxxffI (3)

Simpson formulasi deyiladi.

(3) formula geometrik nuktai-nazardan integral ostidagi xfy funksiyaning grafigini har bir oraliqda parabolalar bilan almashtirishdan iboratdir.

Misol.

1

0 1 xdxI integralning qiymatini trapesiyalar va Simpson formulalari yordamida taqribiy

hisoblang.

268

Yechish. 1,0 kesmani 10n ta 1092110 ,,.....,,,, xxxxxx kesmalarga ajratamiz. Har bir

ix nuqtada 10,...,2,1,0 ixfy ii qiymatlarni hisoblaymiz va quyidagi jadvalga joylashtiramiz.

i xi yi 0 0 1,000 1 0,1 0,909 2 0,2 0,833 3 0,3 0,769 4 0,4 0,715 5 0,5 0,667 6 0,6 0,625 7 0,7 0,588 8 0,8 0,556 9 0,9 0,526 10 1,0 0,500

Trapesiyalar formulasiga ko’ra

694,0938,61,0

25,0526,0556,0588,0625,0667,0715,0769,0833,0909,05,01,02

......21

1

0

10921

0

yyyyyhx

dxIT

Simpson formulasiga ko’ra

8642

1

097531100 24

31yyyyyyyyyyyh

xdxI S

693,0458,5836,1375,031,0729,22459,3475,0

31,0

556,0625,0715,0833,02526,0588,0667,0769,0909,0425,05,031,0

Quyida ushbu integralni trapesiya va Simpson formulalarida taqribiy hisoblashning Paskal

dasturi va natijalarini keltiramiz. Program INTEG; var i,n : integer; a,b,h,s,s1,s2 : real; x,y : array [0..10] of real; txt : text; Procedure SIMP; Begin s1:=0; s2:=0; for i:=1 to n-1 do Begin if i mod 2=0 then s1:=s1+2*y[i]; if i mod 2<>0 then s2:=s2+4*y[i]; End; s:=(h/3)*(y[0]+y[n]+s1+s2); End;

269

Procedure Trap; Begin s:=0; for i:=1 to n-1 do s:=s+h*y[i]; s:=s+h*(y[0]+y[n])/2; End; Begin assign(txt,'Simp.otv'); rewrite(txt); a:=0.0; b:=1.0; n:=10; h:=(b-a)/n; for i:=0 to n do Begin x[i]:=a+i*h; y[i]:=1/(1+x[i]); End; Trap; writeln(txt,'Trapetsiyalar formulasi I=',s:12:4); Writeln(txt); SIMP; writeln(txt,'Simpson formulasi I=',s:12:4); Close(txt); END. Trapetsiyalar formulasi I= 0.6938 Simpson formulasi I= 0.6932

Laboratoriya ishi № 9 Integrallarning qiymatini 3 xona aniqlikda trapesiya va Simpson formulalari yordamida hisoblang.

1.

6,1

8,02 12x

dx

2.

8,2

2,12 2,3xdx

3.

2

12 3,12xdx

4.

2,1

2,02 1x

dx

5.

4,1

6,02 32x

dx

6.

2,1

4,025,02 x

dx

7.

4,2

4,12 13x

dx

8.

4,2

2,125,0 x

dx

9.

2,1

4,023 x

dx

10.

6,1

6,0221 x

dx

11.

3

22 1x

dx

12.

5,1

5,02 2xdx

13.

6,2

2,12 6,0xdx

14.

2,2

4,12 13x

dx

15.

8,1

8,02 4xdx

16.

6,2

8,12 25,0xdx

17.

6,1

6,02 8,0xdx

18.

2

2,12 2,1xdx

270

19.

2,2

4,12 6,02xdx

20.

2,4

2,32 15,0 x

dx

21.

8,1

8,02 3,02xdx

22.

0,2

2,12 5,15,0 x

dx

23.

1,3

1,22 3xdx

24.

3,2

3,12 12,0 x

dx

25.

4,1

4,02 5,012x

dx

26.

3,2

3,12 4,03xdx

27.

8,2

4,12 7,05,1 x

dx

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 1. Aniq integrallarni sonli integrallashning trapesiya formulasini

yozing. 2. Trapesiya formulasining qoldiq hadini baholang. 3. Aniq integrallarni sonli integrallashning Simpson formulasini yozing. 4. Simpson formulasining qoldiq hadini baholang.

271

«HISOBLASH MATEMATIKASI» FANIDAN MUSTAQIL ISH MAVZULARI 1-mavzu. Hozirgi zamon hisoblash mashinalari va sonli usullar.

1. Analogli va modellovchi hisoblash mashinalari. 2. Raqamli hisoblash mashinalari. 3. Masalani EHM da yechishning o’ziga xos tomonlari.

2-mavzu.Masalalarni sonli yechishdagi natijaning xatosi. 1. Xatolar manbai. 2. Hisoblash xatosi 3. Yo’qotilmas xato. 4. Funksiyaning yo’qotilmas xatosi. 5. Arifmetik amallar va logarifmlashning xatosi 6. Ishonchli raqamlar sonini aniqlash qoidasi

3-mavzu. Ko’phad va uning hosilalarining qiymatlarini hisoblash. 1. Gorner sxemasi. 2. Ko’phad hosilalarining qiymatlarini hisoblash. 3. Ko’phadni kvadratik uchhadga bo’lish.

4-mavzu. Tenglamalarni taqribiy yechishning iterasiya usuli. 1. Tenglamaning ildizlarini ajratish. 2. Oddiy iterasiya usuli. 3. Vegsteyn usuli. 4. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri.

5-mavzu. Qisqartirib aks ettirish prinsipi.

1. Metrik fazo haqida tushuncha. 2. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish.

6-mavzu. Tenglamalarni yechishning yuqori tartibli iterasion usullari.

1. Umumiy mulohazalar. 2. Chebыshev usuli.

7-mavzu. Tenglamalarni yechishning Nyuton usuli.

1. Bita tenglama uchun Nyuton usuli 2. Nyuton usulining yaqinlashishi haqida teoremalar. 3. Karrali ildizlar uchun Nyuton usuli.

8-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari. 1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari tavsifi. 2. Gaussning bosh elementlar usuli. 3. Gauss usuli yordamida determinantni hisoblash. 4. Gauss usuli yordamida teskari matrisani hisoblash.

9-mavzu. Maxsus xossalarga ega bo’lgan matrisalardan foydalanish. 1. Kvadrat ildizlar usuli. 2. Aylantirishlar usuli.

10-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning

272

ortogonallashtirish usuli. 1. Vektorlar ustida amallar. 2. Ortogonallashtirish jarayoni va usuli.

11-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning akslantirishlar usuli.

1. Berilgan matrisani uchburchak matrisaga keltirish. 2. Akslantirishlar usulining hisoblash sxemasi

12-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning iterasion usullari.

1. Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 2. Oddiy iterasiya usuli va yaqinlashish sharti. 3. Zeydel usuli va yaqinlashish sharti.

13-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning gradiyentlar usuli.

1. Funksiyaning gradiyenti tushunchasi. 2. Gradiyentlar usuli va yechimga yaqinlashish tezligi.

14-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning qo’shma gradiyentlar va minimal farqlar usuli.

1. Qo’shma gradiyentlar usuli 2. Minimal farqlar usuli va yechimga yaqinlashish tezligi.

15-mavzu. Matrisaning xos son va xos vektorlarini hisoblash.

1. Umumiy mulohazalar. 2. Matrisaning minimal ko’phadlari. 3. Matrisaning minimal ko’phadlarini topish. 4. Krыlov usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish.

16-mavzu.Xos son va xos vektorlarini hisoblashning Lansosh usuli.

1. Xos ko’phadni topish. 2. Lansosh usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish.

17-mavzu. Xos son va xos vektorlarini hisoblashning Danilevskiy usuli.

1. O’xshash almashtirishlar. 2. Danilevskiy usulidagi noregulyar hol. 3. Danilevskiy usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish.

18-mavzu. Xos son va xos vektorlarini hisoblashning Leverye va Faddeyev usullari.

1. Leverye usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish. 2. Faddeyev usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish.

19-mavzu. Xos son va xos vektorlarini hisoblashning noaniq koeffisiyentlar va hoshiyalash usullari.

1. Noaniq koeffisiyentlar usulida xos son va xos vektorlarni topish. 2. Hoshiyalash usulida xos son va xos vektorlarni topish.

273

20-mavzu. Xos sonlarning qismiy mauammosini yechishning iterasion usullari.

1. Simmetrik, Ermit va normal matrisalar haqida tushuncha. 2. Eng katta xos son va unga mos xos vektorni topishda darajali usul. 3. Ikkinchi xos son va unga mos xos vektorni topish.

21-mavzu. Musbat aniqlangan simmetrik matrisaning xos sonlari va xos vektorlarini aniqlash.

1. Simmetrik, Ermit va normal matrisalar haqida tushuncha. 2. Eng katta xos son va unga mos xos vektorni topishda darajali usul. 3. Ikkinchi xos son va unga mos xos vektorni topish.

22-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda iterasiya usulining yaqinlashishini tezlashtirish.

1. Lyusternik usuli. 2. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi taqribiy yechimining xatosini baholash.

23-mavzu. Funksiyalarni interpolyasiyalash.

1. Interpolyasiya masalasining qo’yilishi. 2. Interpolyasion ko’phadlarning mavjudligi va yagonaligi.

24-mavzu. Har xil tartibli chekli ayirmalar.

1. Chekli ayirmalar va ularning xossalari. 2. Ayirmalar jadvali. 3. Umumlashgan daraja.

25-mavzu. Lagranj interpolyasion formulasi. 1. Lagranj koeffisiyentlari va interpolyasion formulasi. 2. Eytken sxemasi. 3. Lagranj interpolyasion formulasining qoldiq hadini baholash.

26-mavzu. Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyasion formulasi. 1. Bo’lingan ayirmalarva ularning xossalari. 2. Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyasion formulasi.

27-mavzu. Interpolyasion jaryonning yaqinlashishi.

1. Teng qadamli interpolyasion formulalarni qo’llash uchun tavsiyalar. 2. Interpolyasion jarayonning yaqinlashishi.

28-mavzu. Karali tugunlar bo’yicha interpolyasiyalash. 1. Ermit interpolyasion ko’phadi. 2. Ermit formulasi va qoldiq hadi.

29-mavzu. Jadval tuzishda interpolyasiyani qo’llash. 1. Chiziqli interpolyasiya. 2. Funksiyani ikkinchi tartibli Bessel interpolyasion ko’phadi bilan almashtirish. 3. Jadval tuzishda ekstropolyasiyani qo’llash.

30-mavzu.Teskari interpolyasiya.

274

1. Teskari interpolyasiyamasalasining qo’yilishi. 2. Teng oraliqlar uchun teskari interpolyasiya.

31-mavzu. Sonli differensiallash. 1. Umumiy mulohazalar. 2. Lagranj ko’phadi yordamida sonli differensiallash. 3. Nyuton formulasi yordamida sonli differensiallash.

32-mavzu. Aniq integrallarnitaqribiy hisoblash.

1. Kvadratur formulalar va ularning qoldiq hadi. 2. Eng sodda kvadratur formulalar.

33-mavzu. Interpolyasion kvadratur formulalar. 1. Kvadratur formulalarning algebraik aniqlik darajasi. 2. Nyuton –Kotesa kvadratur formulalari. 3. Umumlashgan kvadratur formulalar.

34-mavzu. Algebraik aniqlik darajasi yuqori kvadratur formulalar.

1. Gauss tipidagi kvadratur formulalar va koeffisiyentlari xossalari. 2. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning qoldiq hadi. 3. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning yaqinlashishi.

35-mavzu. Gauss tipidagi kvdratur formulalarning xususiy hollari.

1. Gauss kvadratur formulasi. 2. Gauss kvadratur formulasining tugunlari va koeffisiyentlari.

36-mavzu. Chebыshev kvdratur formulasi.

1. Moler kvadratur formulasi. 2. Teng koeffisiyentli kvadratur formula. 3. Bernshteyn teoremasi.

37-mavzu. Optimal kvadratur formulalar.

1. Kvadratur formula xatosining optimal bahosi. 2. Kvadratur formula xatosini minimallashtirish. 3. Bernshteyn teoremasi.

40-mavzu. Kvadratur formulalarning aniqligini orttirish.

1. Bernulli sonlari va ko’phadlari. 2. Ixtiyoriy funksiyalarni Bernulli ko’phadlari orqali tasvirlash. 3. Eyler-Makloren formulasi.

41-mavzu. Kvadratur formulalar qo’llashga tavsiyalar.

1. Kvadratur formulani tanlash. 2. Runge qoidasi.

42-mavzu. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish.

1. Nyuton usuli. 2. Yechimning mavjudligi va Nyuton usulining yaqinlashish sharti. 3. Nyuton usulining yaqinlashish tezligi. 4. Modifikasiyalangan Nyuton usuli.

275

43-mavzu. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning iterasiya usuli.

1. Iterasiya usuli. 2. Iterasiya usuli yaqinlashishining birinchi sharti. 3. Iterasiya usuli yaqinlashishining birinchi sharti.

44-mavzu. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishga qatorlarni qo’llash.

1. Darajali qatorlar usuli. 2. Darajali qatorlar usulining yaqinlashishi.

ADABIYOTLAR

1. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. Toshkent. O’qituvchi, 1988. 2. Kopchenova N.V., Maron I.A. Vыchisltelnaya matematika v primerax i zadachax. M.

Nauka. 1972. 3. Demidovich V.P. Maron I.A. Osnovы vыchislitelnoy matematiki. M.Fiz.mat.literatura.

1960. 4. Vorobyeva G.N. Danilova A.N. Praktikum po vыchislitelnoy matematike. M., Vыsshaya

shkola, 1990. 5. Jumanov I.I., Amridinov S.A. Ashurov A.R. isoblash matematikasi va optimallashtirish

usullari fanidan misol va masalalar yechish. Samarqand, 1995 6. Amridinov S.A. Sonli metodlar fanidan laboratoriya va mustaqil ishlarni bajarishga doir

ko’rsatmalar. Samarqand, 1995

276

5 - BO’LIM


FANIDAN NAZORATLAR ISHLANMASI

277

HISOBLASH MATEMATIKASI FANIDAN ORALIQ NAZORAT SAVOLLARI

5. Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi. 6. Hisoblash matematikasining asosiy vazifasi va usuli. 7. Tenglamaning ildizlarini ajratish. Umumiy mulohazalar. 8. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 9. Ildizlarini ajratish haqida Dikart teoremasi. 10. Ildizlarini ajratish haqida Shturm teoremasi. 11. Ttenglamalarni yechishda oddiy iterasiya metodi. 12. Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli. 13. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri. 14. Metrik fazo haqida tushuncha. 15. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 16. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish. 17. Bitta sonli tenglama bo’lgan hol Nyuton metodi. 18. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar. 19. Karrali ildizlar uchun nyuton metodi. 20. Modifikasiyalangan Nyuton metodi. 21. Vatarlar metodi. 22. Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi 23. Algebraik tenglamalar systemasini echishning Gauss metodi. 24. Bosh elementlar metodi. 25. Optimal yo’qotish metodi. 26. Determinatni hisoblash. 27. Matrisalarning teskarisini topish. 28. Kvadrat ildizlar usuli. 29. Kvadrat ildizlar usulining EHMda dastur tuzish. 30. Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 31. Oddiy iterasiya metodi. 32. Zeydel metodi. 33. Eng tez tushish yoki gradiyentlar usulini asosiy g’oyasi. 34. Gradiyentlar usulini yaqinlashishi haqidagi teorema. 35. Matrisalarning xos son va xos vektorlarini topish masalasi. 36. A.N.Krilov metodi. 37. A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topish. 38. Xos sonlarni topishning qismiy muammosida iterasion metodlar. 39. Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod. 40. Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish. 41. Funksiyalarni interpolyasiyalash masalasi. 42. Logranj interpolyasion formulasi. 43. Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblash. 44. Chekli ayirmalar va ularning xossalari. 45. Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadlari. 46. Gaussning birinchi interpolyasion formulasi. 47. Gaussning ikkinchi interpolyasion formulasi. 48. Bessel interpolyasion formulasi. 49. Sterling interpolyasion formulasi. 50. Markaziy ayirmali jadval. 51. Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburcha, trapesiya formulari. 52. Eng sodda kvadratur formulalar: Simpson formulasi. 53. Eng soda kvadratur formularining qoldiq hadlari. 54. Nyuton-Kotes kvadratur formulasi.

278

HISOBLASH MATEMATIKASI FANIDAN TESTLAR

1.Chekli ayirmalarni to’g’ri formulasini kursating: ΔnYj = Δn-1Yj+1- Δn-1Yj ΔnYj+1= Δn-1Yj - Δn-1Yj-1 ΔYj =Yj+1- Δ2 Yj Δn-1Yj = ΔnYj - ΔnYj-1

2. 1n da Lagranj interpolyasion formulasini aniklang. ba, - berilgan absissa nuktalari:

10 yabaxy

babxy

01 yabaxy

babxy

10 yabaxy

babxy

10 yabaxy

babxy

3. Takribiy differensiallash formulasini ix - nuktalar tablisada berilganda aniklang:

...

4321)( 0

40

30

2

00' yyyy

hxy

...

531)( 0

50

3

00' yyy

hxy

...

5432)( 0

50

40

30

2

00' yyyyyxy

...

6421)( 0

60

40

2

0' yyy

hxy

4. Uchta nukta uchun Simpson formulasini kursating:

)(2

4)(6

)( bfbafafabdxxfb

a

1230 243

)( ffffabdxxPb

a

1302)()( fffabdxxf

b

a

120 42

)(3)()( fffabdxxPxfb

a

5. Gaussning 1- interpolyasion formulasini kursating:

P (x) = Y0+ q ΔY0 + !2

]2[q Δ 2Y-1+

!3)1( ]3[q

Δ 3Y-1 + …

P (x) = Y –1 + q ΔY0 + !2

]2[q Δ 2Y-1+

!3)1( ]3[q

Δ 3Y-2 + …

P (x) = Y1+ q ΔY-1 + !2

]2[q Δ 2Y-1+ …

P (x) = Y0+ q ΔY1 + !2

]2[q Δ 2Y0 + …

6. Chebыshev kvadratur formulasini aniklang:

279

)()( i

b

a

xfn

abdxxf

n

ii

b

a

xfdxxf1

)()(

n

i

b

a

xfn

dxxf1

)(1)(

n

ii

b

a

xfn

badxxf1

)()(

7. Stirling interpolyasion formulasini kursating:

P (x) = Y0+ q 2

01 + 2

]2[q Δ 2Y-1 + …

P (x) = Y0+ q 2

11 +

2)1( 2q

ΔY-1 + …

P (x) = Y0+ q 2

11 +

2

3q Δ 2Y-1 + …

P (x) = Y0+ q 2

11 +

2q

Δ 2Y-1 + …

8. Bessel interpolyasion formulasini kursating:

...22

1)21(

20

21

2

010

qqqx

...2

12 10

221

qqqx

...22

12

010

10

qqqx

...22 1

2

00

qqx

9. Lagranj interpolyasion kupxadini kursating:

ji ij

jj

n

jn xx

xxxfx )(

0

ji ij

jj

n

jn xx

xxxfx )(

1

ji i

ijj

n

jn xx

xxxfx )(

1

ji ij

jj

n

jn xx

xxxfx )(

1

10. A matrisaning xos kupxadini kursating: n

nnn PPPP ...22

11

nnPPPP ...2

21 n

n PPPP ...33221

280

nn PPPP ...3

3221 11. Nyutonning 2-chi interpolyasion formulasini kursating:

Pn(x) = Yn+ q ΔYn-1 + !2

)1( qq Δ 2 2ny

+

Pn(x) = Yn+ (q-1) ΔYn + !2

)1( qq Δ 2Yn-1+ …

Pn(x) = Yn-1+ q ΔYn + !2

)1( qq Δ 2Yn-1+ …

Pn(x) = Yn+ q ΔYn + !2

)1( qq Δ Yn-1+ …

12. Agar 0)( xf tenglamani grafigini chizish kiyin bulsa, u vaktda tenglamani kaysi formada yozish mumkin : 012)12()( xxxf

xx 212 1222 xx xx xx 212 xx 2112

13. Interpolyasiyalash jarayonining kaysi xolatida rasional funksiyalar sinfi olinadi: Funksiya berilgan nuktalarda cheksizga aylanadigan bulsa.

Chizikli funksiyalar bulsa Chizikli bulmagan funksiyalar bulsa Davriy funksiyalar bulsa

14. 11

nM matrisa kaysi kurinishga ega:

0

00

1

00

...000

...

...010

...001

1,32

11

nnnnnnnn aaaaa

M

1

000

...000

...001

...21

11

n

n

PPP

M

11

1

AM n

nnn

n

n

n

n

aaaaaa

aaa

M..........

2

222

112

1

21

1111

15. Interpolyasiyalash algebraik deyiladi, agar … Darajali kupxadlar olinsa Algebraik funksiya olinsa

Transendent funksiya olinsa Rasional funksiya olinsa

16. Agar davriy funksiya bulsa, {R(x)} sinfi sifatida kaysi funksiyalar sinfi olinadi: Trigonometrik funksiyalar Chizikli funksiyalar Davriy bulmagan funksiyalar olinsa

281

Chizikli bulmagan funksiyalar 19. Trapesiya formulasining koldik xadini aniklang: hxx ii ,

R= )(12

3

yh

R= )(12

4

yh

R= )(6

2

yh

R= )(12

3

yh

20. Teskari matrisani topish formulasini kursating:

nnnn

n

n

AAAAAAAAA

A,...,...,...

1

21

22221

112111

nnnn

n

AAAAAA

A,...,...

21

121111

*1 AA EA 1

21. Kaysi shart bajarilganda Nyutonning 2-chi interpolyasion formulasini kullash kulay: Agar 0xx va x 1x ga yakin bulsa Agar 0xx bulsa va x 0x ga yakin Agar 0xx bulsa va x 0x ga yakin buladi

Agar 0xx bulsa va x nx ga yakin buladi 22. Zeydel metodining yakinlashish shartini kursating:

1max1max11

n

i ii

ij

j

n

j ii

ij

i aa

aa

1

)(kii xx

)()( max1

max ki

kii xxx

1,111

n

iij

n

jij

23. Krыlov metodi bilan iy larni topish formulasini kursating:

n

j

njij

ni yay

1

)1()(

n

jij

ni ay

1

)(

n

i

nj

ni yy

1

)1()(

iijn

i yay )( 24. Gaussning 1-interpolyasion formulasini kursating:

282

....!3)1(

!2)( 1

3]3[

12

]2[

00

yqyqyqyxP

....!3)1(

!2)( 1

3]3[

12

]2[

yqyqxP

....!3)1(

!2)( 2

]3[

1

]2[

00

yqyqqyyxP

....!3!2

)( 13

12

00

yyyqyxP

25. Kuyidagi tenglamani Nyuton usuli bilan yechish algoritmini kursating: 0123 xx

23

122

3

1

n

nnnn x

xxXX

23

122

1

23

1

n

nnn

x

xxXX

23

122

23

1

xxxXX nn

23

122

3

1

n

nnnn x

xxXX

26. Kuyidagi

1111

0000

)()(,)()(

,),()()(

bubuulauauul

bxaxfuxquxpuLu

ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalada )(),(),( xfxqxp funksiyalar kaysi sinfga taalukli:

],[)2( baC ],[ baC ],[ baL ],[ baL p

27. Kesmani ikkiga bulish metodining asosiy goyasi nimadan iborat:

[a, b] - da uzluksiz )(xf va )()( bfaf < 0 )(xf [a va b] da uzluksiz )(xf uzluksiz )()( bfaf > 0

28. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalani takribiy usullar bilan (kallokasiya, eng kichik kvadratlar, integral usuli, soxachalar usuli, Galerkin usuli va boshkalar) yechishda ],...,,,[ 21 naaax tafovut funksiyasining ifodasini keltirib chikaring:

n

kkk xLaxfxL

10 )()()(

n

kkki xLaxfxL

1

)()()(

283

n

kkk xaxfxL

10 )())()((

n

kkk xfxLaxfxL

10 )()())()((

29. Oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalani UK otish usuli bilan Koshi masalasiga keltirishda UK oitsh burchagi ni aniklash uchun tenglamani keltirib chikaring:

0),1()( 1 yyaF 0),1()( 1 yyaF 0),1()( 1 yyaF 0),1()( 1 yyaF

30. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni kallokasiya usuli bilan yechganda:

Berilgan nuktalarda tafovut funksiyasi nolga tenglanadi Tafovut funksiyasining kvadrati minimallashtiriladi Bazis funksiyalar tafovut funksiyasiga ortogonal kilib tanlanadi Berilgan nuktalarda tafovut funksiyasi minimallashtiriladi

31. Xar kanday a musbat sonni chekli yoki cheksiz unli kasr shaklda yozishni kursating:

...10...101010 11

22

11

nm

nmm

mm

mm

m ffffa

...1010 11

mm

mm ffa

...1010 1 mm

mma

...1010 111

mm

mma

32. Yigindining absolyut xatosini topish formulasini kursating: nxxxxU ...321

nXU ...21 nxXXU ...21 nXU ...21 nxXXU ...21

33. Ikkita takribiy son ayirmasining limit – absolyut xatosini topish formulasini kursating:

21 xxU 21 xxU 21 xxU 21 xxU

34.Kupaytmaning nisbiy xatosini kursating: nxxxU ....21

n

n

xx

xx

xx

UU

...2

2

1

1

nxxxU ...21 nxxxU ...21

UU

35. Darajaning nisbiy xatosini kursating: U = xm

284

xu m

xn m 1

uxmun xmu

36. 10,1

1

0

nx

dxJ integralni kiymatini Simpson formulasi yordamida aniklang:

J=0,69315 J=0,61416

J=0,52411 J=0,59315

37. Agar funksiyaning kiymati xisoblanishi kerak bulgan nuktadagi kiymati jadvalning oxirida bulsa kaysi interpolyasion formulani ishlatish urinli:

Nyutonning 2-chi formulasini Lagranj formulasi Bessel formulasi Gaussning 2- chi formulasi

38. Agar xisoblanayotgan funksiyaning kiymati jadvalning urtasida bulsa, kaysi interpolyasion formulani kullash mumkin:

Stirling yoki Bessel Nyutonning 1-chi formulasi Lagranj formulasi Gaussning 1- chi formulasi

39. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni Galyorkin usuli bilan yechganda:

Bazis funksiyalar tafovut funksiyasiga ortogonal kilib tanlanadi Berilgan nuktalarda tafovut funksiyasi nolga tenglanadi Bazis funksiyalari minimallashtiriladi Tafovut funksiyasi berilgan nuktalarda minimallashtiriladi.

40. Nisbiy xatoni xisoblash formulasini kursating:

Aa

a

Aaa

Aaa

Aaa 41. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni Kollokasiya usuli bilan yechganda masala kuyidagi masalaga keltiriladi:

Chizikli tenglamalar sistemasini yechish Chizikli bulmagan tenglamalar sistemasini yechish Kuyi tartibli oddiy differensial tenglama uchun chegaraviy masalani yechish Oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasini yechish.

42. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni Kollokasiya usuli bilan yechganda masala kuyidagi masalaga keltiriladi:

Chizikli tenglamalar sistemasini yechish Chizikli bulmagan tenglamalar sistemasini yechish Kuyi tartibli oddiy differensial tenglama uchun chegaraviy masalani yechish Oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasini yechish.

43. Ildizning m xU nisbiy xatosini topish formulasini kursating:

285

mn x xn

x

nm

m

xn

45. 0885)( 24 xxxxf tenglamaning ildizini Dekart teoremasi orkali musbat ildizlar sonini aniklang:

Uchta yoki bitta Turtta Oltita Ikkita

46. 0885)( 24 xxxxf tenglamaning Lagranj teoremasiga kura, ildizi joylashgan oralikni aniklang:

A) (-3,84; 3,84) (3; -1) (0; -1) (-2; 1)

47. 0)( xf tenglamani yechish uchun Vegsteyn metodi algoritmini kursating:

nnnn

nnnnnn xZZx

ZxxxxZ

11

1111

))(( ( n = 1,2, …)

nnnn

nnnnnn xZZx

ZxxxxZ

11

111

))(( ( n = 0,1, …)

nnnn

nnnnnn xZZx

ZxxxxZ

11

11

))(( n = 1, 2, …

nnnn

nnnnnn xZZx

ZxxxxZ

11

1112

))(( n = 0, 1, 2, …

48. 0)( xf tenglamani vatarlar metodi bilan yechish algoritmini kursating:

)()())((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx ( n = 0,1,2, …),

)()())((

11

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx ( n = 1,2,…)

)()())((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx ( n = 1, 2, …)

)()())((

1

111

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx ( n = 0,1,2, … )

49. )(xf funksiya [a, b] kesmada kaysi shartni kanoatlantirganda vazn funksiyasi deb aytiladi :

,0)( x dxxb

a

)(0

286

0)( dxxb

ab

0)( dxxb

ab

dxxb

ab

)(

50. Chizikli algebraik tenglamalar sistemasi yechimi uchun progonka usuli necha boskichdan iborat:

Ikkita Bitta asosiy va bitta yordamchi Uchta Ikkita asosiy va bitta yordamchi

51. Iterasion metodlarga kaysi metodlar kiradi: Iterasiya metodi, Zeydel metodi, relaksasiya metodi Gauss, Kramer kvadrat ildizlar metodi 2) va 3) javoblar birgalikda

52. Kachon anik integralni takribiy xisoblash formulalarini kullash mumkin: Agar integral ostidagi funksiya elementar funksiyalar sinfidan bulsa. Agar integral ostidagi funksiya murakkab bulsa. Agar integral ostidagi funksiya uzluksiz bulsa. 2) va 3) javoblar birgalikda

53. Algebraik tuldiruvchi deb nimaga aytiladi: )()1( ij

jiij aM

AM jij

)1( ijij aM xaM ijij

54.Kvadratur formula deb nimaga aytiladi: Bir karrali integralni sonli xisoblash formulasiga Ikki karrali integralni sonli xisoblash Uch karrali integralni sonli xisoblash Bir va ikki karrali integralni sonli xisoblash

55. Kubatur formulasi deb nimaga aytiladi: Ikki karrali integralni sonldi xisoblash Bir karrali integralni sonli xisoblash Uch karrali integralni sonli xisoblash Bir va ikki karrali integralni sonli xisoblash

56. Integralni takribiy xisoblashning umumiy kvadratur formulasi kursating:

b

a

n

k

kn

kn xfAdxxf

1

)()( )()(

b

a

kn

kn xfAdxxf )()( )()(

b

a

knAxfdxxPxf )()()()(

287

b

a

knAxfdxxP )()()(

57. Gauss metodining tugri usulini kursating:

)(1,

21,2

223

)2(232

11,1

113

1132

1121

...

...

nnnn

nnn

nnn

bx

bxbxbx

bxbxbxbx

2

11212111 ...bxabxaxaxa

nnn

nn

)(1,

nnnn bx

1,

113

13233

112

123

1232

122

...

...

nnn

nnn

nnn

axaxaxaaxaxaxa

58. Kvadratur formulasi xatosini kursating:

n

k

kn

kn

b

an xfAdxxffR

1

)()( )()()(

)(

0

)( )()()( kn

k

kn

b

an AxfdxxPxP

)()()( )()( kn

kn

b

an xfAdxxfxP

n

k

kn

b

an AdxxffR

1

)()()(

59. Chizikli tenglamalar sistemasini yechishning iterasiya metodi formasini vektorli kurinishini kursating:

xx

)()1( kk

xx bxA Axx k

nnk

n )()1( 60. Agar f(x) funksiya chizikli funksiyaga yakin bulsa, uni nima bilan almashtirish mumkin:

balandligi (b-a), asoslari f(a) va f( bulgan trapesiya yuzi )()(2

)( bfafabdxxfb

a

bilan almashtirish mumkin.

)()(2

)()( bfafabdxxPxfb

a

parabola bilan.

)()()( bfafdxxPb

a

bilan.

288

)()(2

)( bfafbdxxRb

a

bilan.

61. Agar f(x) funksiya [a,b] oralikda kvadratik funksiya bulsa integralni takribiy ravishda nima bilan almashtirish mumkin:

x=a va x=b tugri chiziklar orasida joylashgan, x=a, x=(a+/2, x=b nuktadan utuvchi 2-tartib parabola orkali chegaralangan yuza bilan

x=a va x=(a+/2, x=b nuktalardan utuvchi 2-tartibli parabola bilan almashtirish mumkin. x=(a+/2, x=a nuktalardan utuvchi trapesiya yuzi bilan x=a , x=b va x=(a+/2 nuktalardan utuvchi parabola bilan

62. Simpson formulasini kursating:

)()(2

)()( bfafabdxxfxPb

a

2

)()( abdxxfxPb

a

)(2

4)(6

)( bfbafafabdxxfb

a

2)(

2)( bafaf

abdxxP

b

a

63. Chizikli algebraik tenglamalar sistemasining kanday xossasi progonka usulini (turgunlikni tekshirmagan xold kullash imkonini beradi:

Sistema yechiluvchan va uch diagonalli Bosh elementlar noldan farkli Yetakchi elementlar noldan farkli Sistema yechiluvchan, ya’ni koeffisiyentlar matrisasi spektri birlik aylanada yotadi.

64. Agar chekli ayirmali sxemada ikkita kushni katlamdagi yechimlar ishtirok etsa ular kanday sxemalar deyiladi:

Ikki katlamli sxemalar Bir katlamli sxemalar Uch katlamli sxemalar Turt katlamli sxemalar

65. Chizikli algebraik tenglamalar sistemasi deb nimaga aytiladi: Noma’lumlarni birinchidan yukori darajasini va kupaytmasini uz ichiga olmagan

tenglamaga Noma’lumlar kupaytmasini uz ichiga olgan tenglamaga Noma’lumlarni yukori darajasini uz ichiga olmagan tenglamaga 2) va 3) birgalikda

66. Transendent tenglama deb nimaga aytiladi: Kursatkichli, logarifmik, teskari logarifmik, trigonometrik funksiyalar katnashgan

tenglamaga Chizikli funksiya katnashgan Noma’lumlar katnashgan Chizikli bulmagan funksiyalar katnashgan

67. Beshta nukta uchun Simpson formulasini kursating:

b

a

ffffffabdxxf )(4)(25,3

)( 314250

b

a

fffffffabdxxP )(3)(45,3

)( 6542130

289

b

a

ffffffabdxxfxP )(2)(45

)()( 413250

b

a

fffffffabdxxf )(4)(23

)( 4263150

68. Xususiy xosilali differensial tenglamalarni yechish xuddi oddiy differensial tenglamalardagi kabi bir necha guruxga bulinadi: Bular:

Anik usullar, takribiy usullar va sonli usullar Analitik, grafik usullar Analitik, iterasiya usullar Variasion, sonli usullar

69. Kramer formulasini kursating:

ii

xx

bAx 1 bAx 1

xx

xi0

70. Chizikli tenglamalar sistemasini Gauss metodi bilan yechishda asosiy goyasi nimadan iborat:

Noma’lumlarni ketma-ket yukotishdan iborat Sistemani kompakt xolatga keltirishdan iborat 1) va 2) javoblar birgalikda

22

22 a

ab j

j ni topishdan iborat

71. Agar chekli ayirmali sxemaning yechimi mavjud, barcha boshlangich kiymatlarda yagona va uning uzi turgun bulsa, bunday sxemalarga kanday sxemalar deyiladi:

Korrekt (tugri tuzilgan) Oshkor

Oshkormas Nokorrekt

72. Kramer koidasi bilan n-ta noma’lumli n tenglamalar sistemasini yechish uchun nechta arifmetik amallarni bajarish lozim:

n! n2 n ta (n+1) ma (n+m)!

73. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni eng kichik kvadratlar usuli bilan yechganda masala kuyidagi masalaga keltiriladi:

Chizikli tenglamalar sistemasini yechish Chizikli bulmagan tenglamalar sistemasini yechish Oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasini yechish Integro-differensial tenglamani yechish

74. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni eng kichik kvadratlar usuli bilan yechganda:

Tafovut funksiyasining kvadrati integrali yoki yigindisi minimallashtiriladi Bazis funksiyalar tafovut funksiyasiga ortogonal kilib tanlanadi Berilgan nuktalarda tafovut funksiyasi minimallashtiriladi

290

Bazis funksiyalari minimallashtiriladi. 75. Agar uch diagonalli ChATS ni yechish kandaydir 0ii da progonka usuli tugunligi yetarli shartli

000 iii bulsa, 221 uchun: Ortikcha xisoblanadi Uz kuchida koladi 0ii da bajarilishi kerak 0ii da bajarilishi kerak

76. Oddiy differensial tenglamalarni yechish Eyler formulasini kursating: iii yyy 1 ),...,2,1,0(),( niyxfhy iii

iii yyy 1

iii yyy 11 iii yyy 11

77. Birinchi tartibli ayirmali xosila approksimasiyasi lokal xatoligi kuyidagilardan kaysi birida keltirilgan ( h -tur kadami):

);(),(),( 20 hOvvhOvvhOvvx

xx


xx


xx

);(),(),( 02 hOvvhOvvhOvv

xxx

78. Kuyidagi shartlar berilgan: a) Ayirmali sxema berilgan differensial masalani approksimasiyalaydi b) Ayirmali sxema tugun v) Ayirmali sxema yechimi dastlabki differensial masala yechimiga yakinlashadi.

Unda ushbu urinli: a ), b) lardan v) kelib chikadi a) , v) lardan b) kelib chikadi b), v) lardan a) kelib chikadi v,) a,) b) lardan boglik emas.

79. 2121 ,,, vvvyyy lar berilgan, bu yerda 221 ,,, HvyHyy 2)( Hvy ni

toping, bu yerda , - berilgan sonlar: 2211 , yy ;, 21 vy ;, 12 yv ;, 2121 vvyy

80. Zeydel metodining asosiy formulasini kursating:

n

ij

kj

ii

ijkj

i

j ii

ij

i

iki x

aa

xaa

ab

x1

)()1(1

11

)1(

n

ij

kj

ii

ijkj

i

j ii

ij

i

iki x

aa

xaa

ab

x1

)()1(1

11

)1(

1

1

)1()1(

1

)1(i

j

kj

ii

ijkj

n

j ii

ijki x

aa

xaa

x

ik

n

k ii

iji

ik x

aa

bx

1

291

81. Nostasionar bir ulchamli chizikli issiklik utkazuvchanlik tenglamasi uchun bir parametrli ayirmali sxema

Jjniyyyy ji

ji

ji

ji

ji

0,0,))1(( 11

ning kanday kiymatida oshkor sxema buladi: 0 1 5,0 1

82. Bir ulchamli nostasionar chizikli issiklik utkazuvchanlik tenglamasi uchun

Jjniyyyy ji

ji

ji

ji

ji

0,0,))1(( 11

bir parametrli ayirmali sxema kuyidagi xollardan kaysi birida )( 22 hO tartibli approksimasiyaga ega:

12

5,0,12

22 hfhf

12

5,0,2hf

1,12

2

fhf

10, f 83. Ikki katlamli sxema

hiiii HyKiAy

yyB

0

1 ,1,0,

kanonik kurinishni umumiy hiii HyKiyByB 0211 ,1,0,

kurinishdan keltirib chikarishdan A, V chizikli operatorlarni V1, V2 lardan boglik xolda aniklang: (Bu yerda i

nii

i yyyy ,...,, 10 ).

212

1 4,

22BBBBBA

212

1 ,2

BBBBBA

2121 2, BBBBBA

2121 , BBBBBA 84. Berilgan sistema uchun iterasiya metodini kullash uchun kulay formasini kursating:

nnnnnnn

nn

nn

xxxx

xxxxxxxx

11,2211

223231212

113132121

...

......

)()1( kkxx

bxA

292

xAx 85. Chizikli tenglamalar sistemasini yechishning iterasiya metodining vektorli kurinishini kursating:

xx

)()1( kk

xx bxA Axx k

nnk

n )()1( 86. Issiklik utkazuvchanlik tenglamasi uchun

10,10),)1(( 11

Jjniyyyy ji

ji

ji

ji

ikki katlamli ayirmali sxemani 011

j

i

ji

ji AyyyB

kanonik kurinishga keltirishda A, V

operatorlarni aniklang: EBA ,

AEBEA2

,2

EBA , AEBA ,

87. Tulkin tenglamasi ),(2

2

2

2

txfxu

tu

uchun bir parametrli ayirmali sxema

yyyy tt )21(€ oshkor deyiladi, agar …

0 1 5,0 1

88. Tulkin tenglamasi umumiy chegaraviy masalasi uchun mos

),(~)0,(),()0,(),(),()21(€

00210 xuxyxuxytytyyyyy

tn

tt

AS da )(~)0,( 0 xuxyt shart, dastlabki )()0,(0 xu

txu

differensial masala shartini

approksimasiyaladi. Approksimasiya anikligi )( 2O kilib kullansa )(~0 xu ni

),(),(),( 00 txfxuxu Lar orkali aniklang: ))0,()((5,0)()(~

000 xfxuxuxu )0,()()()(~

000 xfxuxuxu ))0,()((5,0)()(~

000 xfxuxuxu )()()(~

000 xuxuxu 89. Umumlashgan daraja formulasini kursating:

x[n] = x (x-h) (x-2h) … [x-(n-1)h] x[n-1] = x (x-h) (x-2h) … [x-(n-1)h] x[n+1] = x (x-h) (x-2h) … [x-(n-1)h] x[n] = x (x-h) (x-3h) … [x-(n+1)h]

293

90. Agar xisoblanayotgan funksiyaning kiymati jadvalning boshida bulsa kaysi interpolyasion formulani kullash urinli:

Nyutonning 1-chi formulasini Lagranj formulasini Nyutonning 2- chi formulasini Gaussning 1-chi formulasini

91. Bir ulchovli tulkin tenglamasi umumiy chegaraviy masalasi uchun mos

212211

21

11

0

1211

11

2

)21(2,

,1,1,1,1,,

,21

jjji

ji

jn

j

ij

ij

ij

i

yyyyFh

Jjniyy

Fyyy

Ayirmali tenglamani yechish uchun progonka usuli tugunligining yetarlilik sharti kuyidagilardan kaysi biri xisoblanadi:

0 1 5,0 0,1

92. Iterasiya metodi yakinlashuvchi bulishi uchun berilgan sistema A matrisaning diagonal elementlari kaysi shartni kanoatlantirishi kerak:

ji

ijii aa

j

ijii aa

j ij

iiii a

aa

93. Umumiy uch katlamli hn

nN

nnnnnnn HyyyyyyyKnyByByB ...,,,,,...,,,1,1, 101010112

ayirmali tenglamani AyRyyB ttt

22 0

kanonik kurinishga keltiring. B, R, A, operatorlarni 210 ,, BBB Lar orkali aniklang:

1020202 ),(21),( BBBABBRBBB

)(,),( 1002102 BBABBRBBBB

1020101 ),(2

),(2

BBBABBRBBB

)(21),(

21, 1020202 BBBABBRBBB

94. Milnning birinchi formulasini kursating:

''1

'23 22

34

iiiii yyyhyy

'1

'2

'34 22

34

iiiii yyyhyy

j ij

iiii a

aa

294

'1

'2

'34 22

3 iiiii yyyhyy

'1

'2

'3 22

344 iiii yyyhiy

95. Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi formulasini kursating:

),(,

,),(

),(1

1

1

1nnynn

nnynn

nnnn YXGYXG

FXF

XXX

),(,

,),(),(

11

1

1nnnnx

nnnnx

nnnn

YXGYXG

FXFX

XX

;),(

1

1nn

nn YxXX

),(1 nnnn YXYYY

nn YX 1

11 YXX nn

96. Kuyidagi

212

11

1110

1,...,2,1,

nn

iiiiiii

yyniyyy

yy

chizikli tenglamalar sistemasini niyi ,0, ga nisbatan yechishda progonka usulining yetarli yakinlashish shartini kursating:

2,2,1,1,1,1, 21 ini iiii

1,2,1,0,1,1, 21 ini iii

,2,1,1,1,1, ini iiii

21,2,1,1,1,1, 21 ini iiii

97. Birinchi Nyuton interpolyasion formulasini kursating:

....)(!2

)(!1

)( ]2[02

02

]1[0

00

xx

hy

xxh

yyxPn

....)(!2

)(!1

)( ]3[02

02

]1[0

0

xxhy

xxh

yxPn

....)(!2

)(!1

)( ]2[03

02

]1[0

01

xx

hy

xxh

yyxPn

....)(!2

)(!1

)( ]2[03

0]1[0

00

xx

hyxx

hyyxPn

98. Milnning ikkinchi formulasini kursating:

''1

'22 4

2 iiiii yyyhyy

''1

'22 4

2 iiiii yyyhyy

''1

'22 4

3 iiiii yyyhyy

295

iiii yyyhyyi

12' 4

32

99. Kushma matrisa deb nimaga aytiladi:

jiij aa *

EAA * 1* AA AA 1

100. Unitar matrisa deb nimaga aytiladi: EAA * 1* AA 1 TA jiij aa *

296

HISOBLASH MATEMATIKASI FANIDAN

YAKUNIY NAZORAT VARIANTLARI Variant № 1

1. Xatolar manbai. 2. Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar ildizlarini grafik ajratish usuli. 4. Lagranj interpolyatsion formulasi. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan sistemani yeching:

16,1х877,0х05,2х03,144,0х05,0х71,0х61,0

4,03х-3,12x-2,5х

321

321

321

Variant № 2

1. Matritsaning xos son va xos vektorlarini topish usullari. 2. Xorda usuli. 3. ODT-ni yechish usullari. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. s(x)=x3+01x2+06x-1.6=0 tenglama ildizining dastlabki yaqinlashishini toping.

Variant № 3 1. To’liq xato. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yechish. 4. Gaussning 1-2 chi interpolyatsion formulalari. 5. Oraliqni teng 2 ga bo’lish usuli bilan x3+0,1x2+0,4x-1,2=0 tenglamaning ildizini aniqlang.

Variant № 4

1. Hisoblash matematikasining predmeti va metodlari. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yechish. 4. Simpson usuli . 5. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yeching.

0z5y45х

04z-y4x

1zy2x

22

22

222

Variant № 5 1. To’liq xato. 2. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish.

297

3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yechish. 4. Nyutonning 1-2 -chi interpolyasion formulalari. 5. Xarakteristik tenglamani bevosita yoyib chiqish usuli bilan matritsaning xos

qiymatlarini toping.

A=

302121

211

Variant № 6

1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni ildizlarini ajratishga doir teoremalar. 2. Trapesiya usuli. 3. Zeydel metodi. 4. Lagranj interpolyasion formulasi. 5. Nyuton usuli bilan sistemaning taqribiy yechimini toping.

1 5,0zyx

0zy4x3

0z4yx2

zуx

00022

22

222

Variant № 7 1. Lagranj interpolyasion formulasi. 2. Simpson usuli. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamani xorda usuli bilan yechish. 4. Lagranj interpolyasion formulasi. 5. Matritsaning xos qiymati va xos vektorini toping

A=

15,115,226,0

5,16,01

Variant № 8 1. Xatolar manbai. 2. Nyuton interpolyasion formulalari. 3. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash formulalari. 5. Xarakteristik tenglamani bevosita yoyib chiqish usuli bilan matritsaning xos qiymatini

toping.

A=

302121

211

298

Variant № 9 1. ODT-ni Eyler usuli bilan yechish. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton usuli. 3. Interpolyatsiyalash masalasi. 4. Simpson usuli. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan sistemani yeching

16,1х877,0х05,2х03,144,0х05,0х71,0х61,0

5,7х03,4х12,3х5,2

321

321

321

Variant № 10 1. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton metodi. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini oddiy iteratsiya usuli bilan yechish. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Zeydel usuli bilan yeching.

83,144,136,255,275,036,287,242,1

48,256,242,193,0

321

321

321

ххххххххх

Variant № 11 1. Ildizlarini ajratish grafik usuli. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton usuli. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorlarni Krilov usuli bilan topish. 4. Interpolyatsiya masalasining qo’yilishi. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching

42,0х83,0х057х34,083,0х53,0х61,0х43,0

15,1х72,0х81,0х2,1

321

321

321

Variant № 12 1. ODT ni Runge - Kutta usuli bilan yechish. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Gauss interpolyasion formulalari. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash formulalari. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini iteratsiya usuli bilan yeching.

15,2х21,1х27,1х84,063,0х27,1х65,0х27,1

51,1х84,0х27,1х63,1

321

321

321

299

Variant № 13 1. Chiziqli bo’lmagan tenglamani taqribiy yechishda Xorda usuli. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini topishda Krilov usuli. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda oddiy iteratsiya usuli. 4. Lagranj interpolyatsion formulasi. 5. Oddiy differensial tenglamani yeching. y = x2y; y(0)=0,4; x [0,1]; h=0,1.

Variant № 14 1. To’liq xato. 2. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamani yechish uchun Xorda usuli. 4. Nyutonning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Xarakteristik tenglamani bevosita yoyib chikish usuli bilan matritsaning xos qiymatlari va

xos vektorini toping

302121

211A

Variant № 15 1. Hisoblash algoritmi.Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 4. ODT ni Runge - Kutta usuli bilan yechish. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching

37,0х63,0х05,0х13,031,0х05,0х34,0х04,0

15,0х05,0х04,0х1,0

321

321

321

Variant № 16 1. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 2. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss metodi bilan yechish. 4. Lagranj interpolyasion formulasi. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

2,3x1,1x8,1x7,27,5х8,4x7,34,1x

0,82,8x2,1x3,3x

321

321

321

Variant № 17 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorini topish. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari.

300

5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

18z2y12х54z6y5х29z2у3х4

Variant № 18 1. Ildizlarni ajratish grafik usuli. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasni iteratsiya usuli bilan yechish. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 4. Nyutonning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini iteratsiya usuli bilan yeching:

37,2х21,1х34,1х85,065,0х34,1х55,0х5,151,1х85,0х5,1х65,1

321

321

321

Variant № 19 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini oddiy iteratsiya usuli bilan yechish. 4. Gaussning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Matritsaning xos qiymat va xos vektorini toping

5,05,115,125,0

15,01

Variant № 20 1. Xatolar manbai. 2. Nyutonning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. 4. ODT ni taqribiy yechish usullari. 5. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yeching:

043044

1

222

22

333

zyxzyx

zyx

Variant № 21 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 3. Krilov metodi bilan matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini hisoblash. 4. Nyutonning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yeching

301

054504412

22

22

222

zyxzyx

zyx

Variant № 22 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Gaussning interpolyasion formulalari. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

16,1877,005,203,144,005,071,061,0

5,703,412,35,2

321

321

321

xxxxxx

xxx

Variant № 23 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Oddiy differensial tenglamani taqribiy yechish usullari. 3. Krilov usuli bilan matritsaning xos qiymat va xos vektorini topish. 4. Gaussning 1-2 -chi interpolyasion formulalari. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

1,164,237,226,15

;

5,328,181,088,081,071,485,073,0

53,198,053,405,181,075,002.182,3

b

Variant № 24 1. Xatolar manbai. 2. Nyutonning 1-2 -chi interpolyasion formulalari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. 4. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 5. Nyuton usuli bilan yeching:

043044

1

222

22

333

zyxzyx

zyx

Variant № 25 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 3. Krilov metodi bilan matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini hisoblash. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda iteratsiya metodi. 5. Sistemani Nyuton usuli bilan yeching

302

054504412

22

22

222

zyxzyx

zyx

Variant № 26 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda iteratsiya metodi. 4. Matritsaning xos son va xos vektorlarini topishda Krыlov usuli. 5. Oraliqni teng 2 ga bo’lish usuli bilan x3+0,1x2+0,4x-1,2=0 tenglamaning ildizini aniqlang.

Variant № 27 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Gaussning interpolyasion formulalari. 4. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

16,1877,005,203,144,005,071,061,0

5,703,412,35,2

321

321

321

xxxxxx

xxx

Variant № 28 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Oddiy differensial tenglamani taqribiy yechish usullari. 3. Krilov usuli bilan matritsaning xos qiymat va xos vektorini topish. 4. Tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

1,164,237,226,15

;

5,328,181,088,081,071,485,073,0

53,198,053,405,181,075,002.182,3

b

Variant № 29 1. To’liq xato. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. Lagranj interpolyatsion formulasi. 5. Oraliqni teng 2 ga bo’lishi usli bilan x3+0,1x2+0,4x-1,2=0 tenglamaning ildizini aniqlang.

Variant № 30 1. Hisoblash matematikasining predmeti va metodi. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash.

303

3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. Bitta tenglamani yechishda Nyuton usuli. 5. Sistemani Nyuton usuli bilan yeching

0z5y4x5

0z4yx4

1zух2

22

22

222

Variant № 31 1. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 2. Matritsalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasining taqribiy yechishda oddiy iteratsiya usuli. 4. Oraliqni teng 2 ga bo’lish usuli bilan x3-4x2+6x-6=0 tenglamani yeching. 5. Zeydel usuli bilan yeching.

83,1х44,1х36,2х55,275,0х36,2х87,2х42,1

48,2х56,2х42,1х93,0

321

321

321

Variant № 32 1. Ildizlarni ajratish grafik usuli. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton usuli. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorlarning topishi vektorlarning Krыlov usuli. 4. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 5. Gauss usuli bilan yeching:

42,0х83,0х57,0х34,083,0х53,0х61,0х43,0

2х5х4х2,1

321

321

23

Variant № 33 1. Tenglamani taqribiy yechishda Xorda usuli. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini topishda Krilov usuli. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda oddiy iteratsiya usuli. 4. Xatolar manbai. 5. Oddiy differensial tenglamani yeching: y′ = x2 y; y(0)=0,4; x[0,1]; h=0,1

Variant № 34 1. Tulik xato. 2. Integrallarni taqribiy yechish usullari. 3. Bitta tenglamani yechishda Xorda usuli. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda iteratsiya metodi. 5. Xarakteristik tenglamani bevosita yoyib chikish usuli bilan matritsaning xos qiymatlari

va xos vektorini toping

304

302121

211

Variant № 35 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Matritsalarni xos son va xos vektorlarini hisoblash. 4. Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari 5. Gauss usuli bilan sistemani yechimini toping

37,063,005,013,031,005,034,004,0

15,013,004,01,0

321

321

321

хххххх

ххх

Variant № 36 1. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 2. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda kvadrat ildizlar metodi. 4. Lagranj interpolyatsion formulasi. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

2,3х1,1х8,1х7,27,5х8,4х7,3х1,48,0х8,2х1,2х3,3

321

321

321

Variant № 37 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Matirisalrning xos son va xos vektorini topish. 4. Ildizlarni ajratish grafik usuli 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

18z2y12x54z6y5x29z2у3х4

Variant № 38 1. Ildizlarni ajratish grafik usuli. 2. Tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 3. Krilov metodi bilan matritsaning xos qiymatlari va xos vektorini hisoblash. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. Urinma usuli bilan tenglamaning ildizini toping: f(x)=x3-4x2+5x-2=0

305

Variant № 39 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. 4. Gaussning 1-2 chi interpolyasion formulalari. 5. Matritsaning xos qiymat va xos vektorini toping

5,05,115,125,0

15,01

Variant № 40

1. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarni hisoblash. 3. Nyuton interpolyatsion formulalari. 4. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching

1826543529234

zyxzyxzyx

Variant № 41 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari.

4. Lagranj interpolyatsion formulalari. 5. Oraliqni teng 2 ga bo’lish usuli bilan x3+0,1x2+0,4x1,2=0 tenglamaning ildizini aniqlang.

Variant № 42 1. Xos son va xos vektorlarni topish. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 4. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 5. Iteratsiya usuli bilan yechish algoritmini tuzing.

15,221,127,184,063,027,165,027,1

51,184,027,163,1

321

321

321

xxxxxxxxx

Variant № 43 1. Tulik xato. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. Gaussning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Xorda usuli bilan tenglamaning ildizini aniqlang: F(x)=x3-8x2+8x-4=0

306

Variant № 44 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. ODTni Eyler usuli bilan taqribiy yechish. 5. Xorda usuli bilan tenglamani ildizini toping: f(x)=x3-3x2+6x-2=0

Variant № 45 1. Matritsaning xos son va xos vektorlarni topish usullari. 2. Toliq xato. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. Iteratsiya usuli bilan sistemani yeching

14,318,145,217,113,245,232,112,2

27,117,112,214,3

321

321

321

xxxxxx

xxx

Variant № 46

1. Oddiy differensial tenglamani yechish usullari. 2. Nyuton interpolyasion formulalari. 3. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. Interpolyasiyalash masalasining kuyilishi. 5. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usuli bilan tenglamaning ildizini toping:

x3+2,1x2+0,5x-2,4=0

Variant № 47

1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarning ildizlarini ajratishga doir teoremalar. 2. Matritsalarning xos son va xos vektorlarini topish usullari. 3. Toliq xato. 4. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni yechish uchun Xorda usuli.

5. dxx

x12

1

–Simpson usuli bilan yeching.

Variant № 48

1. Matritsalarning xos son va xos vektorlarni topish usullari. 2. Gaussning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 4. Krilov metodi bilan matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini hisoblash. 5. Iteratsiya usuli bilan yechish algoritmini tuzing.

307

15,221,127,184,063,027,165,027,1

51,184,027,163,1

321

321

321

xxxxxxxxx

Variant № 49 1. Xatolar manbai. 2. Integrallarni taqribiy hisoblash formulalari. 3. Interpolyasiya masalasining kuyilishi. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini Zeydel usuli bilan yechish. 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

16,1877,005,203,144,005,071,061,0

5,703,412,35,2

321

321

321

xxxxxx

xxx

Variant № 50 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Krilov usuli bilan matritsaning xos qiymat va xos vektorlarini topish. 4. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

1,164,237,226,15

;

5,328,181,088,081,071,485,073,0

53,198,053,405,181,075,002,182,3

b

308

MUNDARIJA

1. «HISOBLASH MATEMATIKASI» FANINING O’QUV PREDMETIGA KIRISH 3

2. «HISOBLASH MATEMATIKASI» FANIDAN MA’RUZALAR MATNI 31

3. «HISOBLASH MATEMATIKASI» FANINI O’QITISHNING TA’LIM TEXNOLOGIYALARI 145

4. «HISOBLASH MATEMATIKASI» FANIDAN AMALIYOT VA LABORATORIYA MASHG’ULOTLARI HAMDA MUSTAQIL ISHLAR ISHLANMASI

219

5. «HISOBLASH MATEMATIKASI» FANIDAN NAZORATLAR ISHLANMASI 281

« hisoblash matematikasi » fanidan o’quv-uslubiy m a j … blok...

Documents