ОПТИКА, ЛАЗЕРИ, КВАНТОВА...

ОПТИКА, ЛАЗЕРИ, КВАНТОВА ЕЛЕКТРОНIКА

10 ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2015. Т. 60, № 1

Д.В. ПОДАНЧУК, А.О. ГОЛОБОРОДЬКО, М.М. КОТОВ, Д.А. ПЕТРIВКиївський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка,факультет радiофiзики, електронiки та комп’ютерних систем,лабораторiя оптичної та мiкрохвильової обробки iнформацiї та теорiї середовищ(Вул. Володимирська, 64/13, Київ 01601; e-mail: [email protected])

СЕНСОР ТАЛБОТА IЗ АДАПТАЦIЄЮДИФРАКЦIЙНОЇ ҐРАТКИ ДО АБЕРАЦIЙДОСЛIДЖУВАНОГО ХВИЛЬОВОГО ФРОНТУУДК 539

В роботi приведено результати моделювання роботи адаптивного сенсора на основiефекту Талбота. У моделi змiнювався перiод вхiдної ґратки залежно вiд аберацiй до-слiджуваного хвильового фронту при незмiннiй площинi спостереження, яка вiдповiдаєплощинi Талбота для плоскої хвилi. На прикладi сферичного та астигматичного хви-льового фронтiв показано, що за допомогою такого методу можна в декiлька разiврозширити дiапазон вимiрювань сенсора, зберiгаючи при цьому необхiдну кутову чу-тливiсть.Ключ о в i с л о в а: хвильовий фронт, ефект Талбота, сенсор хвильового фронту.

1. Вступ

Оптична дiагностика неоднорiдних об’єктiв перед-бачає дослiдження характеристик оптичного ви-промiнювання, яке пройшло чи вiдбите вiд йогоповерхнi [1–3]. Поширеним методом у даний часє визначення аберацiй дослiджуваного свiтловогопучка за допомогою сенсорiв хвильового фронту[4]. Одним iз перспективних сенсорiв для досягне-ння цiєї мети слiд вважати сенсор на основi ефе-кту Талбота [5]. Принцип його роботи полягає утакому: при освiтленнi перiодичної ґратки моно-хроматичною хвилею з аберацiями зображення вплощинi Талбота спотворюється [6, 7], при цьомуреконструкцiя вхiдного хвильового фронту прово-диться шляхом порiвняння з зображенням ґраткив площинi Талбота плоскої електромагнiтної хви-лi (аналогiчно до реконструкцiї, що використовує-ться в сенсорi Шека–Гартмана). Водночас, сенсор,заснований на ефектi Талбота, має кращу просто-рову роздiльну здатнiсть та є бiльш простим у ре-

c○ Д.В. ПОДАНЧУК, А.О. ГОЛОБОРОДЬКО,М.М. КОТОВ, Д.А. ПЕТРIВ, 2015

алiзацiї [8]. Це пов’язано з тим, що у ролi вхiдногоелемента можна використовувати бiнарнi ґратки iззначно меншим перiодом, нiж розмiр мiкролiнзи вматрицi, i вони значно простiшi у виготовленнi.

Принциповою особливiстю сенсора Талбота, якi сенсора Шека–Хартмана, є протирiччя мiж ку-товою чутливiстю та кутовим вимiрювальним дiа-пазоном [9]. При зменшеннi перiоду ґратки збiль-шується дiапазон вимiрювань, але втрачається не-обхiдна кутова чутливiсть. I навпаки, при збiль-шеннi перiоду ґратки чутливiсть сенсора зростає,але дiапазон вимiрювань зменшується. Ця пробле-ма може бути вирiшена за умови використання го-лографiчних матриць мiкролiнз в сенсорi Шека–Хартмана [10] та голографiчних ґраток в сенсорiТалбота [11]. Однак це доволi трудомiстка проце-дура. У данiй роботi розглянута можливiсть бiльшпростої адаптацiї сенсора Талбота до змiн хвильо-вого фронту, що дослiджується.

2. Основнi спiввiдношення

Розрахунок дифракцiйної картини в площинi Тал-бота будемо проводити, використовуючи наближе-

Сенсор Талбота iз адаптацiєю дифракцiйної ґратки

ння, що дається принципом Гюгейнса—Френеля[4]. Будемо вважати, що плоска хвиля 𝑈0 нормаль-но падає на двовимiрну перiодичну структуру зкомплексним амплiтудним пропусканням 𝑇 (𝑥, 𝑦):

𝑇 (𝑥, 𝑦) =

∞∑𝑛,𝑚=−∞

𝐴𝑛𝐴𝑚𝑒𝑖2𝜋Δ (𝑛𝑥+𝑚𝑦), (1)

де Δ – перiод структури; 𝐴𝑛 та 𝐴𝑚 – коефiцiєн-ти розкладу. При цьому отримане зображення вплощинi Талбота:

𝑍𝑇 = 2Δ2/𝜆, (2)

де 𝜆 – довжина хвилi; вiдтворить перiодичну стру-ктуру (1):

𝑈(𝑥, 𝑦|𝑍𝑇 ) = 𝑈0𝑒−𝑖 2𝜋

𝜆 𝑍𝑇 ×

×∞∑

𝑛,𝑚=−∞𝐴𝑛𝐴𝑚𝑒𝑖2𝜋

𝑛(𝑥+Δ)+𝑚(𝑦+Δ)Δ , (3)

що еквiвалентно:

𝑈(𝑥, 𝑦|𝑍𝑇 ) = 𝑈0𝑒−𝑗 2𝜋

𝜆 𝑍𝑇 𝑇 (𝑥, 𝑦). (4)

Таке самовiдтворення ґратки i називається ефе-ктом Талбота [12]. При освiтленнi ґратки хвилеюз характерними ортогональними радiусами криви-зни 𝑅𝑋 та 𝑅𝑌 амплiтуду падаючої свiтлової хвилiможна подати у такому виглядi [13]:

𝑈𝐷(𝑥, 𝑦|0) = 𝑈0𝑒𝑖 𝜋𝑥2

𝜆𝑅𝑋 𝑒𝑗 𝜋𝑦2

𝜆𝑅𝑌 , (5)

а розподiл поля в площинi Талбота змiниться:

𝑈(𝑥, 𝑦|𝑍𝑇 ) = 𝑈𝐷(𝑥, 𝑦|0)𝑒−𝑖 2𝜋𝜆 𝑍𝑇 ×

×∞∑

𝑛=−∞𝐴𝑛𝑒

𝑖𝜋𝑅𝑋𝑛

𝑍𝑇 +𝑅𝑋

(2𝑥Δ −𝜆𝑍𝑇 𝑛

𝑑2

)×

×∞∑

𝑚=−∞𝐴𝑚𝑒

𝑖𝜋𝑅𝑌 𝑚

𝑍𝑇 +𝑅𝑌

(2𝑦Δ −𝜆𝑍𝑇 𝑚

𝑑2

), (6)

де 𝑑 – розмiр прозорої частини. В цьому випадкуаргумент експоненти в (5) стає кратним 2𝜋 лишев площинах:

𝑍𝑋,𝑌 =𝑍𝑇

1− 𝑍𝑇

𝑅𝑋,𝑌

, (7)

а зображення в площинi Талбота вже буде роз-митим. Тому у випадку рiзної кривизни в ортого-нальних напрямках не iснує єдиного перiоду ґра-тки, який вiдновлює положення площини рiзкостi.Тобто для отримання частково самовiдтвореногозображення потрiбно змiщувати фотоприймач уплощину 𝑍𝑋 чи 𝑍𝑌 , що потребує достатньо багаточасу.

Варто зазначити, що вираз (5) справедливий ли-ше у малокутовому наближеннi 𝑑 ≫ 𝑛𝜆. Такимчином, для спостереження ефекту необхiдно, щобпросторовий спектр ґратки (1) не мiстив значних𝐴𝑛 при 𝑛 > 0,1𝑑/𝜆 [7]. При цьому, як показанов [14], поперечне змiщення зображень отворiв ви-значається середнiм локальним нахилом в межах3-4 отворiв ґратки, а змiна їх форми визначаєтьсясаме аберацiями другого порядку.

Iдея адаптацiї сенсора Талбота полягає у такому.Залишаючи фотоприймач у площинi 𝑍𝑇 змiнюва-ти перiод вхiдної ґратки залежно вiд кривизни до-слiджуваного хвильового фронту. Необхiдно, щобплощина спостереження була ефективною площи-ною Талбота для падаючого хвильового фронту.Тодi для сферичної хвилi з радiусом 𝑅 перiод ви-значатиметься таким спiввiдношенням:

Δ𝑅 =

√𝑍𝑇𝑅𝜆

2(𝑍𝑇 +𝑅), (8)

а для астигматичної, що характеризується двомарадiусами кривизни 𝑅𝑋 та 𝑅𝑌 , ґратка повинна ма-ти рiзнi перiоди по вiдповiдних осях:

Δ𝑋,𝑌 =

√𝑍𝑇𝑅𝑋,𝑌 𝜆

2(𝑍𝑇 +𝑅𝑋,𝑌 ). (9)

Як видно, тепер перiоди ґратки по осях 𝑥 та 𝑦не збiгаються. При цьому освiтлення такої ґра-тки астигматичною хвилею вiдновить перiодичнуструктуру в площинi Талбота. Таким чином, вра-ховуючи сказане вище, можна говорити про ефектТалбота для “деформованої” ґратки.

Ми використовували iтерацiйний метод розши-рення дiапазону вимiрювань [15]. Метод полягаєв тому, що за опорний вибирається хвильовийфронт з кривизною, що лежить за межами дiа-пазону в нульовiй iтерацiї, i береться нова ґратказ таким перiодом, щоб ефективна вiдстань Тал-бота для нового опорного хвильового фронту бу-

ISSN 2071-0194. Укр. фiз. журн. 2015. Т. 60, № 1 11

Д.В. Поданчук, А.О. Голобородько, М.М. Котов та iн.

Рис. 1. Структурна схема адаптивного сенсора Талбота,що була використана у моделюваннi

Рис. 2. Оцiнка вимiрювальних дiапазонiв кривизни хвилiз вiдсутнiм астигматизмом (𝐶22 = 0) та зi сталим астигма-тизмом (𝐶22 = 15)

ла рiвна вiдстанi вiд ґратки до площини спосте-реження в попереднiй iтерацiї. Кривизну хвильо-вого фронту, що вимiрюється, отримуємо, додав-ши до результату вiдновлення хвильового фрон-ту кривизну опорного хвильового фронту. Вимi-рювальнi дiапазони сусiднiх iтерацiй перекриваю-ться так, що в межах перекриття можна вiднови-ти аберацiї з максимально можливою точнiстю воднiй з iтерацiй. Таким чином, сенсор Талбота мо-жна адаптувати до величини кривизни хвильово-го фронту, не змiнюючи при цьому площину спо-стереження.

3. Результати та їх обговорення

Деякi можливостi адаптивного сенсора Талботабуло дослiджено шляхом моделювання експери-менту згiдно з формулами амплiтудного розподiлуу площинi Талбота (3) та (5). Змодельована схе-ма установки наведена на рис. 1. На дифракцiй-

ну ґратку (DG) падає дослiджуваний хвильовийфронт, зображення реєструється на вiдстанi Тал-бота фотоприймачем (CCD). В залежностi вiд кри-визни падаючої хвилi комп’ютер (PC) змiнює пе-рiод ґратки.

Моделювання складається з таких послiдовнихетапiв: iнiцiалiзацiї хвильового фронту; розраху-нок освiтленостi в площинi зображення на вiд-станi Талбота; визначення локальних змiщень то-чок зображення; реконструкцiя хвильового фрон-ту; порiвняння вiдновленого хвильового фронтуз вхiдним. Було дослiджено величину дiапазо-нiв вимiрювання сферичного хвильового фрон-ту з астигматизмом та без. Розмiрнiсть ґра-тки 25×25 перiодiв. Аберацiї хвильового фрон-ту задавались вiдповiдними полiномами Цер-нiке [16]:

𝑍20(𝑥, 𝑦) =𝑥2 + 𝑦2

𝑟2, (10)

𝑍22(𝑥, 𝑦) =𝑥2 − 𝑦2

𝑟2, (11)

де 𝑟 = 2 мм – радiус апертури сенсора. А коефi-цiєнти аберацiй задаються радiусами 𝑅20, що вiд-повiдає радiусу для дефокусування 𝑅 = 𝑅20 у (7),та 𝑅22, що вiдповiдає радiусам для астигматизму𝑅𝑋 = −𝑅𝑌 = 𝑅22 у (8). Таким чином, коефiцiєнтиаберацiй дефокусування 𝐶20:

𝐶20 =𝜋𝑟2

2𝜆𝑅20, (12)

астигматизму 𝐶22:

𝐶22 =𝜋𝑟2

𝜆𝑅22, (13)

визначаються характерними радiусами кривизнисферичного 𝑅20 i астигматичного 𝑅22 хвильовихфронтiв.

Результати модельних вимiрювань наведенi нарис. 2.

Видно, що без астигматизму сенсор працює в дi-апазонi вiд 𝐶20 = −31 (1/𝑅 = −3,12 м−1) до 𝐶20 == 20 (1/𝑅 = 2,02 м−1), а для хвилi з астигмати-змом (𝐶22 = 15) – вiд 𝐶20 = −21 (1/𝑅 = −2,11 м−1)до 𝐶20 = 13 (1/𝑅 = 1,31 м−1). Варто зазначити, щоза вiдсутностi астигматизму сенсор Талбота маєбiльший вимiрювальний дiапазон.



а б в

г д еРис. 3. Фрагменти зображень в площинi спостереження Талбота ґраток з рiзними перiодами освiтлених хвилями з абе-рацiями: а – Δ = 160 мкм, 𝐶20 = 20, 𝐶22 = 0; б – Δ = 160 мкм, 𝐶20 = 22, 𝐶22 = 0; в – Δ = 174,88 мкм, 𝐶20 = 22, 𝐶22 = 0;г – Δ = 160 мкм, 𝐶20 = 13, 𝐶22 = 15; д – Δ = 160 мкм, 𝐶20 = 15, 𝐶22 = 15; е – Δ𝑋 = 163,71 мкм, Δ𝑌 = 175,31 мкм,𝐶20 = 15, 𝐶22 = 15

а бРис. 4. Дiапазон вимiрювань кривизни сферичного (𝐶22 = 0) (а) та астигматичного (𝐶22 = 15) (б ) хвильових фронтiвадаптивним сенсором Талбота

Iтерацiйний алгоритм вимiрювання оптичного хвильового фронту з аберацiями

Iтерацiя

𝐶22 = 0 𝐶22 = 15

𝐶201/𝑅, Δ, 1/𝑅 min, 1/𝑅 max,

𝐶201/𝑅, Δ𝑋 , Δ𝑌 , 1/𝑅 min, 1/𝑅 max,

м−1 мкм м−1 м−1 м−1 мкм мкм м−1 м−1

0 0 160 −3,09 2,01 0 160 160 −2,12 1,30+1 30 3,02 183,12 1,41 4,75 25 2,52 172,79 186,61 0,77 4,02−1 −50 −5,04 134,49 −9,39 −2,53 −40 −4,03 136,46 142,97 −7,55 −1,56+2 50 5,04 206,49 4,18 6,61 50 5,04 199,8 222,08 3,54 5,93−2 −110 −11,08 115,95 −18,6 −8,63 −100 −10,08 116,82 120,82 −13,42 −6,87


Д.В. Поданчук, А.О. Голобородько, М.М. Котов та iн.

На рис. 3 наведено фрагменти зображень ґраткина границях дiапазонiв (а, г) та за його межа-ми (б, д). Зображення на рис. 3, б, д спотворе-нi настiльки, що хвильовий фронт помiряти не-можливо. Щоб його помiряти не змiнюючи поло-ження площини спостереження, змiнюємо перiодґратки таким чином, щоб площина спостереже-ння була ефективною площиною Талбота дляхвильових фронтiв з аберацiями, що вiдповiда-ють границi дiапазону. Тодi, якщо взяти цi хви-льовi фронти за опорнi, дiапазон вимiрюваньзсувається i ми можемо вiдновити хвильовийфронт, що лежав за межами попереднього дiапа-зону (в, е).

В наступному моделюваннi експерименту булозастосовано iтерацiйний метод для розширення дi-апазонiв вимiрювань, наведених на рис. 2. Опор-ний хвильовий фронт та перiод ґратки в кожнiйз iтерацiй вибирались таким чином, щоб вимiрю-вальнi дiапазони сусiднiх iтерацiй перекривались.Параметри адаптивного сенсора для кожної з iте-рацiй з наведено в таблицi, вiдповiднi вимiрюваль-нi дiапазони зображенi на рис. 4.

Отриманий сумарний дiапазон сенсора з нульо-вим астигматизмом становить вiд 𝐶20 = −185(1/𝑅 = −18,6 м−1) до 𝐶20 = 66 (1/𝑅 = 6,61 м−1), аз астигматизмом 𝐶22 = 15 – вiд 𝐶20 = −120 (1/𝑅 == −13,42 м−1) до 𝐶20 = 58 (1/𝑅 = −5,93 м−1).

Таким чином, динамiчний дiапазон адаптивно-го сенсора на ефектi Талбота збiльшено в 5 ра-зiв у випадку для оптичної хвилi без астигма-тизму та в 5,6 разiв для хвилi з астигматизмом(𝐶22 = 15).

4. Висновки

Вперше запропоновано та продемонстровано но-вий метод вимiрювання аберацiй хвильового фрон-ту, що ґрунтується на спостереженнi ефектуТалбота при адаптацiї дифракцiйної ґратки докривизни дослiджуваної хвилi. Показано, щоза допомогою адаптивного сенсора Талбота мо-жна в декiлька разiв розширити дiапазон ви-мiрювань сенсора, зберiгаючи при цьому необ-хiдну кутову чутливiсть. Продемонстрована мо-жливiсть самовiдтворення деформованої ґратки (зрiзним спiввiдношенням перiодiв по осях) асти-гматичним хвильовим фронтом. Слiд вiдзначи-ти перспективнiсть застосування запропоновано-

го методу у вирiшеннi задач адаптивної опти-ки за умови використання дифракцiйних ґра-ток на базi динамiчних просторових модуляторiвсвiтла.

Автори висловлюють щиру вдячнiсть академi-ку НАН України М.Г.Находкiну, який був iнiцiа-тором проведення низки дослiджень залежностiвластивостей полiв, розсiяних структурованимита випадковими середовищами.

1. O. Azucena, J. Crest, S. Kotadia, W. Sullivan, X. Tao,M. Reinig, D. Gavel, S. Olivier, and J. Kubby, OpticsLetters 36, 825 (2011).

2. A.A. Goloborodko, V.N. Kurashov, D.V. Podanchuk, andN.S. Sutyagina, Proc. of SPIE. 7008, 70081S (2008).

3. S. Manzanera, C. Canovas, P. M. Prieto, and P. Artal,Optics Express. 16, 7748 (2008).

4. G. Rousset, Adaptive Optics for Astronomy, edited byD.M. Alloin, J.-M. Mariotti (NATO ASI Series: KluwerAcademic Publ., 1994), p. 116.

5. A. Koryakovskiy, and V. Marchenko, Technical Physics 51,1432 (1981).

6. R. Sekine, T. Shibuya, K. Ukai, S. Komatsu, M. Hattori,T. Mihashi, N. Nakazawa, and Y. Hirihara, Opt. Rev. 13,207 (2006).

7. D. Podanchuk, A. Kovalenko, V. Kurashov, M. Kotov,A. Goloborodko, and V. Danko, ot. R. Astron. Soc. 371,323 (2006).

8. D.V. Podanchuk, V.N. Kurashov, A.A. Goloborodko,V.P. Dan’ko, M.M. Kotov, and O.O. Parhomenko, Proc.of SPIE 8338, 83380G (2011).

9. A. Goloborodko, V. Grygoruk, M. Kotov, V. Kurashov,D. Podanchuk, and N. Sutyagina, Ukr. J. Phys. 53, 946(2008).

10. J.-Y. Son, D. Podanchuk, V. Dan’ko, and K.-D. Kwak, Opt.Eng. 42, 3389 (2003).

11. D. Podanchuk, V. Kurashov, A. Goloborodko, V. Dan’ko,M. Kotov, and N. Goloborodko, Appl. Opt. 51, C125(2012).

12. P. Latimer and R. F. Crouse, Appl. Opt. 31, 80 (1992).13. J.W. Goodman, Introduction to Fourier Optics (McGraw-

Hill, N.Y., 1996).14. A. Kovalenko, M. Kotov, V. Kurashov, and M. Movchan,

Proc. of SPIE. 9066, 90660R (2013).15. D.V. Podanchuk, V. P.Dan’ko, A.A. Goloborodko, and

N.S. Sutyagina, Proc. of SPIE. 7388, 73880Q (2009).16. L. Lundstrom and P. Unsbo, J. Opt. Soc. Am. A 24, 569

(2007).

Одержано 23.10.14



Д.В.Поданчук,А.А. Голобородько, М.Н.Котов, Д.А.Петрив

СЕНСОР ТАЛБОТА С АДАПТАЦИЕЙДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ К АБЕРРАЦИЯМИССЛЕДУЕМОГО ВОЛНОВОГО ФРОНТА

Р е з ю м е

В работе приведены результаты моделирования работыадаптивного сенсора на эффекте Талбота. В модели изме-нялся период входной решетки в зависимости от аберрацийисследуемого волнового фронта при неизменной плоскостинаблюдения, соответствующей плоскости Талбота для пло-ской волны. На примере сферического и астигматическоговолнового фронтов показано, что с помощью такого мето-да можно в несколько раз расширить диапазон измеренийсенсора, сохраняя при этом необходимую угловую чувстви-тельность.

D.V.Podanchuk,A.A.Goloborodko, M.M.Kotov, D.A. Petriv

TALBOT SENSOR WITH DIFFRACTIONGRATING ADAPTATION TO WAVEFRONTABERRATIONS

S u m m a r y

The results obtained at simulating the functioning of an adap-

tive sensor based on the Talbot effect are reported. The input

grating period was varied depending on the examined wave-

front shape and provided the constant observation plane cor-

responding to the Talbot plane for a plane wave. Using the

spherical and astigmatic wavefronts as an example, it is shown

that this method can make the sensor measurement range

several times wider, by retaining the original angular sen-

sitivity.


ОПТИКА, ЛАЗЕРИ, КВАНТОВА...

Documents