摺紙證明勾股定理 ii

Origami Math in LKJH

摺紙證明勾股定理 II

新北市林口國中 /數學輔導團李政憲

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AMA Working Group in NCTU


正方形色紙


向左摺出任意線段


向左摺出任意線段

設摺進來的長度為 b ，剩餘的長度為 a

Q1 ：請問剩餘白色長方形　　的長與寬分別為多少？

b

a


將摺進來底下的角向上翻摺b

a


將摺進來底下的角向上翻摺b

aQ2 ：請問綠色長方形的面積　　為多少？故摺起來的三角形為

等腰直角三角形


將摺進來的部份向外翻b

a


將摺進來的部份向外翻


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺


摺出圖示摺痕，將直角三角形內摺

Q3 ：請問摺進來的三角形面積　　為多少？


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第一次摺的直角三角形


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第一次摺的直角三角形

Q4 ：請問兩個直角三角形所　　形成的角度為多少度？


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第二次摺的直角三角形

Q5 ：請問兩個綠色三角形三邊　　長度是否完全相同？


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第二次摺的直角三角形

Q6 ：請問三個綠色三角形三邊　　長度是否完全相同？三個　　角度呢？

同理所形成的角度亦為 90 度


右下角翻開還原


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第三次摺的直角三角形



Q7 ：請問目前的四邊形是哪一　　種四邊形？為什麼呢？



Q8 ：請問中間白色四邊形是哪一　　種四邊形？為什麼呢？



Q9 ：請問中間四邊形的邊長與　　面積分別為多少呢？



設此時大正方形的邊長為 c c

Q10 ：請列出此時正方形與四個　　小三角形及中間白色小正　　方形的面積關係？


將四個直角三角形向外翻

c


將四個直角三角形向外翻

Q11 ：請列出整個正方形　　與四個直角三角形　　及中間白色大正方　　形的面積關係？

ba

c


完成另一張同樣結果色紙( 有色面朝上 )

ba

cc


剪去中間正方形ba

cc


剪去中間正方形ba

cc

Q12 ：請問剪去的空白區域　　面積為何？


移動左下方直角三角形ba

cc剪去的空白區域面積 =c2


移動右下方直角三角形ba

cc剪去的空白區域面積 =c2


移動右下方直角三角形ba

cc

Q13 ：請問目前白色部份　　是由哪些形狀所組　　成？面積為何？

剪去的空白區域面積 =c2


移動兩直角三角形ba

cc

Q14 ：請問目前白色部份　　面積與之前白色正　　方形面積的關係？

剪去的空白區域面積 =c2

圖上的空白區域面積 =a2+b2


疊上一張新色紙ba

cc


沿 a、 b交界處對摺後還原ba

cc


將左下角三角形摺至交界處ba

cc

Q15 ：請問摺起來的是哪　　一種三角形？面積　　是多少？


將右下角三角形摺至交界處ba

cc

Q16 ：請問摺起來的是哪　　一種三角形？面積　　是多少？


裁去上方兩長方形ba

cc


移出上方兩長方形ba

cc


裁去上方兩長方形ba

cc

Q17 ：請問移出去的兩長　　方形總面積是多少？


底下兩三角形攤開還原ba

cc


底下兩三角形攤開還原ba

cc

Q18 ：請問兩個三角形攤　　開後是什麼形狀？　　總面積是多少？


左邊三角形沿底下虛線右摺後還原ba

cc


底下三角形沿底下虛線上摺後還原ba

cc


右邊三角形沿底下虛線下摺後還原ba

cc


分別剪下三個三角形ba

cc

Q19 ：請問兩個粉紅色正　　方形總面積是多少？　　下一個動作是什麼？


兩三角形互換ba

cc


兩三角形互換ba

cc

Q20 ：請問下一個動作是　　　什麼？


將右下方三角形＋梯形與上方三角形互換

ba

cc


將右下方三角形＋梯形與上方三角形互換

ba

cc

Q21 ：請問此時中間粉紅　　　色部份是哪一種四　　　邊形？面積是多少？


參考資料：• Pythagorean Theorem and its many proofs ：

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

• 畢氏定理知識網http://web2.tcssh.tc.edu.tw/school/tcsshmath/yang/pythagorean/

• 勾股定理 . 悠悠 4000 年的故事

摺紙證明勾股定理 ii

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