東京大学医学系研究科 M1 倉橋 一成

1

分布

指数型分布族

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }expf x a x b c d xθ θ= − +

・ ( )b θ ：自然パラメータ

・特に ( )a x x= のときを正準型という

・ ( ) ( )( )

cE a X

bθθ

′= − ′

， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }3

b c c bV a X

b

θ θ θ θ

θ

′′ ′ ′′ ′−= ′

証明）

( ) ( ) ( ) ( )logU f x a x b cθ θθ∂ ′ ′= = +∂

より， [ ] ( ) ( ) ( )E U b E a X cθ θ′ ′= + となる．こ

こで，一般的に [ ] 0E U = が成立するので ( ) ( )( )

cE a X

bθθ

′= − ′

となる．

また [ ] [ ]2V U E U E U = = − を利用すると，以下の 2つから

( ){ } ( )22E U b V a Xθ′ = ， [ ] ( ) ( ) ( )2

2 logE U E f X b E a X c θθ

∂′ ′′ ′′− = − = − + ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }3

b c c bV a X

b

θ θ θ θ

θ

′′ ′ ′′ ′−= ′

となる．

・また ( ) ( ) ( )( )exp ,x b

f x c x fθ θ

φφ−

= +

（φ：尺度パラメータ）のような表現をする

こともある．この場合， [ ] ( )E X b θ′= ， [ ] ( )V X bφ θ′′= と簡単な形になる．

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2

１．単変量分布

§離散分布

二項分布

( )Bi ,n p

( ) ( )Pr 1 n xxnX x p p

x−

= = ⋅ ⋅ −

， ( )E X np= ， ( ) ( )1V X np p= −

・urn model（壷のモデル）において復元抽出

超幾何分布

H G , , rr nr

ϖϖ

+ +

( )Prr n x

X xrx

n

ϖ

ϖ

− = = +

証） ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )!Pr

( )( ) !!

n x

x n x x

nn

n r r n xX xrx r x

n

ϖϖ

ϖϖ

−

− ⋅ −= = = ⋅ ++

ただし，( ) ( 1) ( 1)xr r r r x= ⋅ − ⋅⋅⋅⋅ ⋅ − +

・urn model において非復元抽出

・ N →∞のとき ( )H G , ,N n p は ( )Bi ,n p に収束

ポアソン分布

( )Po λ

( )Pr!

x

X x ex

λ λ−= = ⋅ ， ( ) ,E X λ= ( )V X λ=

・比較的起こりにくい現象を安定した系の中で長時間又は広範囲にわたって観察した状態

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3

・ ,n np λ→∞ → のとき ( )Bi ,n p は ( )Po λ に収束

負の二項分布

( )NBi , pα

( ) 1 1Prx x

pX xx p p

αα − −− −= = ⋅ − ⋅

←確認

ただし， 0α > ・成功確率が p のベルヌーイ試行を n 回の成功が得られるまで続けたときの失敗の回数 ・n=1 のときは幾何分布に等しい

負の超幾何分布

NH G , , , 0, 0n αα β α βα β

− − > > +

( )Prn x

X xx

n

βα

α β

− − − = = − −

・ , , nn np λ θα

→∞ → → のとき ( )GNH , ,n pα− は1NBi ,

1λθ θ +

に収束

§連続分布

正規分布

( )2N ,µ σ

( ) ( )2

2

1 1exp22

xf x

µσπ σ

− = − ⋅ ⋅

， ( ) ,E X µ= ( ) 2V X σ=

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4

・特に20, 1µ σ= = のときは ( )

21 exp22xf x

π

= −

ときれいになる．

第 1種ベータ分布

( )Be ,p q

( ) ( ) ( ) 111 1,

qpf x x xB p q

−−= ⋅ ⋅ −

ただし， ( ) ( )1 11

0, 1 qpB p q x x dx−−= ⋅ − ⋅∫ ， 0, 0, 0 1p q x> > ≤ ≤　 　　

・有限区間に集中している連続分布を適当に(0,1)上の分布として基準化したもの ・ 1, 1p q> > →単峰（上に凸） ・ 1, 1p q> < →単調増加 ・ 1, 1p q< > →単調減少 ・ 1, 1p q< < →反単峰（下に凸）

・ 1, 1p q= = →一様分布， ( )U 0,1

ガンマ分布

( )Ga ,α λ

( ) ( )

11 , 0xxf x e x

αλ

λ α λ

−− = ⋅ ⋅ ≥ Γ

ただし， ( ) 1

0

xx e dxαα∞ − −Γ = ⋅ ⋅∫

・αが 2 以上の数の時， ( ) ( ) ( )1 1α α αΓ = − ⋅Γ −

・αが正の整数の時， ( ) ( )1 !α αΓ = −

・ ( ) ( )~ Ga , , ~ Ga , , . .X Y i i dα λ β λ ならば， ( )~ Ga ,X Y α β λ+ + ， ( )~ Be ,XX Y

α β+

，

. .i i d である．

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5

χ2分布

( )ChS n

( )1

2122

2

xxf y en

α−− = ⋅ ⋅ Γ

ただし，. . .

1,..., ~ (0,1),i i d

nX X N 　　 2 21 nY X X= + ⋅⋅⋅+

・ ( )ChS Ga ,22nn =

非心χ2分布

( )NcChS ,n δ

( )1

2 2

0

12! 22

2

j

x

j

xf y e enj j

αδδ

−∞ − −

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Γ +

∑

ただし，. . .

1,..., ~ ( ,1),i i d

nX X N µ 　　 2 21 nY X X= + ⋅⋅⋅+

・ ( )NcChS ,n δ は，Ga ,22n j +

の j をPo

2δ

で混合したもの．

指数分布

( )Ex λ

( ) 1 x

f x e λ

λ−

= ⋅

・無記憶性を持つ． ( ) ( )Pr PrX x Y X Y X x> + > = >

・ ( ) ( )Ex Ga 1,λ λ=

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6

パレート分布

( )1~ Ex ~ Ga , 0X θ α λ αθ >

,　 ,　

( ) ( ) ( ) ( )1

0

11 1 1xf x e e d xθ

αθ α λα θ θ λ

λ α−∞ −− −= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − +

Γ∫

ワイブル分布

( )Wb ,α λ

( )

1 exp yyf y

αα

α

αλ

λ

− ⋅ −

= ， ( ) 1 exp yF yα

λ = − −

ただし， ( )~ ExX αλ ， ( )1

Y X α=

・機械やシステムの寿命分布

第 2種ベータ分布

( )Be 2 ,p q

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )1 1

1 11

0

1 11 1, 1

p q p qp pqp

f y y y y yB p q y x dx

− + − +− −

−−= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +

⋅ − ⋅∫

ただし， ( )~ Be , , , 01

XX p q Y yX

= >−

　 　

・ ( )Be 2 ,α β は，1Ga ,αλ

のλを ( )Ga ,1β で混合したもの．

F分布

( )F , ,m n δ

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7

ただし， ( ) ( )~ ChS , , ~ ChS , , . .X m Y n i i dδ δ　 　 ，XZY

=

・ ( )F , Be 2 ,2 2m nm n =

ロジスティック分布

( ) 1

1 expF x

x µα

=− + −

で表される分布．

( ) 1 1

2 2coshf x

x µαα

= ⋅− + −

ただし， ( ) ( )sinh , cosh2 2

x x x xe e e ex x− −− +

= =　

・μを中心とする対称な釣鐘型

・分位点関数： ( )1 1log1

F tt

µ α− = + −

・μ=0，α=1 のときはロジット変換という．

t分布

非心 t分布

２．多変量分布

§離散分布

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8

多項分布

ディリクレ分布

§連続分布

2変量正規分布

( )N ,µ ∑

( )( )

( ) ( )112

1 1exp22 1

Tf z x xµ µπστ ρ

− = ⋅ − ⋅ − Σ − −

ただし，11 12 2 2

1 11 2 2221 22

, , , ,X

ZY

σ σµµ σ σ σ σ

σ σν

= = Σ = = =

　 　 　 　

・相関係数：11 221 2

12 12

σ σσ σρσ σ

⋅= =

・ ( )Y X Uν α µ= + − + となる．ただし ( )2~ N 0,U τ ， 2

1

ρσασ

= ，

( )2 2 2 2 2 22 1 2 1τ σ α σ σ ρ= − = − である．

・つまり X で条件付けた Y の分布は， ( )( )2~ N ,Y X y xν α µ τ= + − となる．

・正規分布では X と Y が無相関であることと独立であることは同等である．

p変量正規分布

( )N ,µ ∑

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9

rµ rX

Y ν

rΣ C

0Σ

1TrA C−= Σ

TC

( )( )

( ) ( )1122

1 1exp22

Tpf x x xµ µ

π

− = ⋅ − ⋅ − Σ − Σ

・ ( ) ( )1 1,..., , ,...,r r r pX X X Y X X+= =　 ， ( )1,...,r rµ µ µ= ， ( )1,...,r pν µ µ+= ，とおくと，

( )Tr rY A X Uν µ= + − + となる．ただし，

( ) ( )1 1, , , 1,...,Tr r ijA C i j rσ− −= Σ Σ = =　 ， ( ) ( ), 1,..., , 1,...,ijC i r j r pσ= = = + ，

( ) ( ) ( )0 0~ N 0, , , , 1,...,Tr ijU A A i j r pσΣ − Σ Σ = = +　 である．

・つまり， ( )( )0~ N ,T Tr r r rY X y A x A Aν µ= + − Σ − Σ である．

1 1

1 1

r r

r r

p p

X

XE

X

X

µ

µµ

µ

+ +

=

，

1 1,1 1, 1, 1 1,

,1 , , 1 ,

1 1, 1 1, 1, 1 1,

, 1 , , 1 ,

r r p

r r r r r r r p

r r p r r r p

p r r r p p r p p

X

XV

X

X

σ σ σ σ

σ σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ σ

+

+

+ + + + +

+ +

=

ウィシャート分布