Στις άκρες ελατηρίου, σταθεράς k, είναι στερεω µένα τα σώµατα Σ1 και Σ2 µε αντίστοιχες µάζες m1 και m2 το δε σύστηµα ισορρροπεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Aνάµεσα στο σώµα Σ1 και το οριζόντιο επίπεδο η τριβή είναι αµελητέα, ενώ µεταξύ του σώµατος Σ2 και του επιπέδου υπάρχει τριβή µε συντελεστή οριακής τριβής n. Ένα βλήµα µάζας m, σφήνωνεται στο σώµα Σ1 µε οριζόντια ταχύτητα, της οποίας ο φορέας συµπίπτει µε τον άξονα του ελατηρίου. i) Nα υπολογιστεί η µέγιστη τιµή του µέτρου της ταχύτητας του βλή µατος, ώστε το συσσωµάτωµα να εκτελέσει πάνω στο οριζόντιο επίπε δο αρµονική ταλάντωση, χωρίς όµως το σώµα Σ2 να ολισθαίνει πάνω στο επίπεδο. ii) Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση του ρυθµού µεταβολής της ορµής του συσσωµατώµατος, σε συνάρτηση µε τον χρόνο καθώς και την αλγεβρική τιµή της τριβής που δέχεται το σώµα Σ2 σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση του Σ1, λαµβάνοντας ως θετική φορά την φορά κινήσεως του βλήµατος Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Yποθέτουµε ότι µετά την πλαστική κρούση του βλήµατος µε το σώµα Σ1, το συσσωµάτωµα εκτελεί πάνω στο οριζόντιο επίπεδο αρµονική ταλάν τωση χωρίς το σώµα Σ2 να ολισθαίνει επί του επιπέδου. Tότε θα πρέπει για κάθε θέση του σώµατος Σ1, το Σ2 να ισορροπεί, δηλαδή θα πρέπει κάθε στιγµή η συνισταµένη των δυνάµεων που ενεργούν στο Σ2 να είναι µηδενική. Όµως το

σώµα Σ2 δέχεται το βάρος του

�

m2

! g , την δύναµη

�

!

F 2 από το παραµορφωµένο

Σχήµα 1 ελατήριο και την πλάγια αντίδραση

�

!

A από το οριζόντιο έδαφος, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή

�

!

T και στην κάθετη αντίδραση

�

!

N 2. Πρέπει εποµέ

νως να ισχύουν οι σχέσεις:

N2 = m2g και T = F2 (1) Όµως η

�

!

F 2 είναι κάθε στιγµή αντίθετη της δύναµης

�

!

F 1 που δέχεται το συσσω

µάτωµα των µαζών m1 και m από το παραµορφωµένο ελατήριο, η οποία δύναµη

�

!

F 1 αποτελεί την δύναµη επαναφοράς του ταλαντευόµενου συσσωµατώµατος

στην θέση ισορροπίας του. Έτσι, αν το συσσωµάτωµα βρίσκεται σε µια τυχαία θέση, όπου η αποµάκρυνσή του από την θέση ισορροπίας του είναι

�

! x , θα έχουµε

για τα µέτρα των δυνάµεων

�

!

F 1,

�

!

F 2 τις σχέσεις:

�

F1

= F2

= k|! x |

�

(2)

!

�

T = k|! x | (2)

Όταν το συσσωµάτωµα βρίσκεται στις ακραίες θέσεις του, τότε ισχύει

�

|! x |=x

0,

όπου x0 το πλάτος της ταλάντωσής του, οπότε σύµφωνα µε την (2) το µέτρο της στατικής τριβής αποκτά την µεγαλύτερη τιµή του: Tmax = kx0 (3) Όµως για να µη ολισθαίνει το σώµα Σ2 πάνω σε οριζόντιο επίπεδο πρέπει η Tmax να µη υπερβαίνει την οριακή τριβή, δηλαδή πρέπει να ισχύει:

Tmax ≤nN2

�

(1),(4)

! kx0 ≤ nm2g

�

! x0 ≤ nm2g/k (4) Eξάλλου, εάν

�

! v

0 είναι η ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την πλα

στική κρούση του βλήµατος µε το σώµα Σ1 και

�

! v ! η ταχύτητα πρόσκρουσης του

βλήµατος, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής κατά την πλαστική αυτή κρούση, θα ισχύει η σχέση: mvβ + 0 = (m + m1)v0

�

! v0 = mvβ /(m + m1) (5) Όµως η ταχύτητα

�

! v

0 αποτελεί την ταχύτητα του συσσωµατώµατος στην θέση

ισορροπίας του, δηλαδή την µέγιστη ταχύτητά του, οπότε ισχύει η σχέση:

v0 = ωx0

�

!

(5)

�

mv!

m + m1

= x0

k

m + m1

�

!

�

x0 =mv!

k(m + m1) (6)

όπου ω η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. Συνδυά ζοντας τις σχέσεις (4) και (6) παίρνουµε:

�

mv!

k(m + m1)"

nm2g

k

�

!

�

v! "nm2g k(m + m1)

mk

�

!

�

v! (max) =nm2g k(m + m1)

mk (7)

ii) Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του συσσωµατώµατος είναι κάθε στιγµή ίσος µε την δύναµη επανα

φοράς που εξασφαλίζει την αρµονική του ταλάντωση, δηλαδή κάθε χρονική στιγµή t ισχύει για τις αλγεβρικές τιµές των µεγεθών αυτών η σχέση:

�

dP/dt = - kx (8) Aν θεωρήσουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή αµέσως µετά την κρούση του βλήµατος µε το σώµα Σ1 και ως θετική φορά πάνω στην οριζόντια διεύθυνση ταλάντωσης την φορά κίνησης του βλήµατος, τότε η εξίσωση της αποµάκρυνσης x του συσσωµατώµατος µε τον χρόνο t θα είναι της µορφής:

�

x = x0!µ"t = x0!µ k /(m + m1)t( ) (9)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) έχουµε:

�

dP/dt = -kx0!µ k /(m + m1)t( ) / t ≥ 0 (10)

Σχήµα 2 Σχήµα 3 Εξάλλου η τριβή

�

!

T που δέχεται το Σ2 είναι κάθε στιγµή αντίθετη της δύναµης

�

! F

2, δηλαδή ίση µε την

�

!

F 1, που σηµαίνει ότι η αλγεβρική τιµή της τριβής είναι

ίση µε -kx, δηλαδή ισχύει:

�

T = -kx / - x0! x ! +x

0 (11)

Oι γραφικές παραστάσεις των (10) και (11) φαίνονται στα σχήµατα (2) και (3) αντιστοίχως.

P.M. fysikos

Στην διάταξη του σχήµατος (4) τα σώµατα Σ1, Σ2 έχουν αντίστοιχες µάζες m1, m2 µε m2>m1 και συνδέονται µεταξύ τους µε ιδανικό ελατήριο σταθεράς k. Τα σώµατα ισορροπούν πάνω σε ορι ζόντιο δάπεδο µε το οποίο παρουσιάζουν συνελεστή οριακής τριβής n, το δε ελατήριο είναι οριζόντιο και βρίσκεται στην φυσική του κατα σταση.

i) Nα βρεθεί η µέγιστη οριζόντια δύναµη που επιτρέπεται να ενεργεί στο σώµα Σ1, ώστε κατά την συµπίεση του ελατηρίου το σώµα Σ2 να µη τεθεί σε κίνηση. ii) Eάν την στιγµή της µέγιστης συσπείρωσης του ελατηρίου καταργη θεί η δύναµη, να βρεθεί η µέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει το σώ µα Σ1. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Υποθέτουµε ότι κατα τον χρόνο που το σώµα Σ1 κινείται πάνω στο οριζόντιο δάπεδο το σώµα Σ2 ισορροπεί. Στο κινούµενο σώµα Σ1 ενεργεί η ορι ζόντια δύναµη

�

! F , το βάρος του

�

m1

! g , η αντίδραση του δαπέδου που αναλύεται

στην τριβή ολίσθησης

�

! T

1 και στην κάθετη αντίδραση

�

! N

1 και τέλος η δύναµη

�

! F

1

από το συµπιεσµένο ελατήριο. Για να µη τεθεί το σώµα Σ2 σε κίνηση καθώς το ελατήριο συµπιέζεται πρέπει την στιγµή της µέγιστης συµπίεσης η ταχύτητα του Σ1 να µηδενίζεται και επιπλέον να επίκειται η ολίσθηση του Σ2.

Σχήµα 4

Εφαρµόζοντας για το Σ1 το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου από την στιγ µή της εκκίνησής του µέχρι την στιγµή της µέγιστης συµπίεσης x0 του ελατη ρίου, παίρνουµε την σχέση:

�

K!"# - K$%& = W!

F + W!

T 1+ W!

F 1

�

!

�

0 - 0 = Fx0- Tx

0- kx

0

2/2

�

!

�

Fx0 = nm1gx0 - kx0

2/2

�

!

�

F = nm1g + kx0/2

�

!

�

x0 = 2(F - nm1g)/k (1) Εξάλλου το σώµα Σ2 ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους

�

m2

! g , της δύναµης

�

! F

2 από το συµπιεσµένο ελατήριο που είναι αντίθετη της

�

! F

1 αφου το ελατήριο

είναι ιδανικό και της αντίδρασης του εδάφους που αναλύεται στην στατική τρι βή

�

! T

2 και στην κάθετη αντίδραση

�

! N

2. Λόγω της ισορροπίας του Σ2 θα έχουµε:

�

F2

= T2

�

!

�

F1

= T2

�

!

�

kx0

= T2

�

!

(1)

�

T2 = 2(F - nm1g) (2) Επειδή η

�

! T

2 είναι στατική τριβή ισχύει:

�

T2! nN

2

�

!

�

T2 ! nm2g

�

!

(2)

�

2(F - nm1g) ! nm2g

�

!

�

2F ! ng(2m1 + m2)

�

!

�

Fmax = ng(m1 + m2 /2) (3)

ii) Αµέσως µετά την κατάργηση της δύναµης

�

! F το σώµα τείνει υπό την

επίδραση της

�

! F

1 να κινηθεί προς την αρχική του θέση µε αποτέλεσµα η τριβή

�

! T

1 να αλλάξει φορά (σχ. 5). Για το µέτρο της

�

! F

1 ισχύει:

�

F1

= kx0

�

!

(1)

�

F1 = 2(Fmax - nm1g)

�

!

(3)

�

F1 = ng(2m1 + m2) - 2nm1g

�

!

�

F1 = m2ng > T1 δηλαδή το σώµα θα τεθεί σε επιταχυνόµενη κίνηση εκ της ηρεµίας και η µεν τριβή

�

! T

1 θα µένει σταθερή ενώ η

�

! F

1 θα µειώνεται. Όταν συµβεί F1=T1 θα µηδενι

Σχήµα 5

στεί η επιτάχυνση του σώµατος και την στιγµή αυτή θα αποκτήσει την µέ γιστη ταχύτητά του

�

! v

max. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα ελατήριο-σωµα Σ1 το

θεώρηµα µεταβολής της µηχανικής ενέργειας από την στιγµή που καταργείται η

�

! F µέχρις ότου το σώµα αποκτήσει την µέγιστη ταχύτητά του, παίρνουµε:

�

m1v

max

2

2+

kx*

2

2- 0 -

kx0

2

2= W!

T 1

�

!

�

m1vmax

2

2=

k

2x0

2 - x*2( ) = -nm1g x0 - x*( )

�

!

�

vmax

2 =k

m1

x0

2 - x*2( ) - 2ng x0 - x*( ) (4)

όπου x* η συµπίεση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση την στιγµή που το Σ1 αποκτά την µέγιστη ταχύτητα. Όµως την στιγµή αυτή ισχύει:

�

kx* = nm1g

�

!

�

x* = nm1g/k οπότε η (4) και λόγω της (1) γράφεται:

�

vmax

2 =k

m1

4 Fmax- nm1g( )2

k2-

nm1g( )2

k2

!

"

# #

$

%

& & - 2ng

2 Fmax- nm1g( )k

-nm1g

k

!

"

# #

$

%

& &

�

!

(3)

�

vmax

2 =k

m1

4n2m2

2g2

4k2-n2m1

2g2

k2

!

" #

$

% & - 2ng

nm2g

k-nm1g

k

!

" #

$

% &

�

!

�

vmax

2 =n2g2

km1

m2

2 - m1

2( ) -2n2g2

km2 - m1( )

�

!

�

vmax

2 =n2g2

k

m2

2

m1

- m1 - 2m2 + 2m1

!

" #

$

% & =

n2g2

km1

m2

2 + m1

2 - 2m2m1( )

�

!

�

vmax

2 =n2g2

km1

m2 - m1( )2

�

!

�

vmax=ng m2 - m1( )

km1

P.M. fysikos

Tα σφαιρίδια Σ1 και Σ2 του σχήµατος (6) είναι απολύτως ελαστικά και ισορροπούν πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, στερεωµένα στις άκρες δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων που έχουν διαφορετικές σταθερές, οι δε άλλες άκρες τους είναι ακλόνη τες. Αρχικώς τα σφαιρίδια εφάπτονται και τα ελατήρια βρίσκονται στην φυσική τους κατάσταση. Εκτρέπουµε οριζοντίως τα σφαιρίδια Σ1 και Σ2 εκατέρωθεν της αρχικής τους θέσεως κατά Α1 και Α2 αντιστοί χως. i) Nα βρεθεί ο λόγος των µαζών των σφαιριδίων, ώστε αυτά περιοδι κώς να συγκρούονται στην αρχική τους θέση. ii) Να δώσετε την γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του σφαιριδίου Σ2 σε συνάρτηση µε τον χρόνο, λαµβάνον τας ως θετική φορά πάνω στον άξονα κίνησής του x’x την προς τα δεξιά και ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή της πρώτης κρού σεως των σφαιριδίων. ΛΥΣΗ: i) Για να συγκρούονται περιοδικώς τα δύο σφαιρίδια στην αρχική τους θέση Ο, πρέπει οι περίοδοι Τ1, Τ2 των α.α.τ. που θα εκτελέσουν όταν αφεθούν ελεύθερα να είναι ίσες. Συγκεκριµένα η πρώτη κρούση θα γίνει µετά από χρόνο Τ1/4 ή Τ2/4 αφότου αφέθηκαν ελεύθερα, ενώ οι επόµενες κρούσεις τους θα παρουσιάζουν περιοδικότητα µε περίοδο T1/2 ή Τ2/2. Όµως για τις δύο περιό δους ισχύουν οι σχέσεις:

�

T1= 2! m

1/k

1

T2= 2! m

2/k

2

"

# $

% $

�

!

�

m1

k1

=m

2

k2

�

!

�

m1

m2

=k

1

k2

(1)

όπου m1, m2 οι µάζες των σφαιριδίων και k1, k2 οι σταθερές των αντίστοιχων ελατηρίων µε τα οποία συνδέονται. Εξάλλου τα δύο σφαιρίδια µετά από κάθε κρούση πρέπει να επιστέφουν στις αρχικές τους θέσεις, που σηµαίνει ότι σε κάθε κρούση οι ταχύτητες τους αντιστρέφονται. Έτσι αν

�

! v 1,0,

�

! v 2,0 είναι οι

ταχύτητες των σφαιριδίων λιγο πριν την κρούση τους και

�

! V 1,0,

�

! V 2,0 οι αντίστοι

χες ταχύτητες τους αµέσως µετά την κρούση, θά πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:

�

! V 1,0 = -

! v 1,0 και

�

! V 2,0 = -

! v 2,0 (2)

Σε κάθε όµως κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

Σχήµα 6

�

m1

! v 1,0+m2

! v 2,0=m1

! V 1,0 +m2

! V 2,0

�

!

(2)

�

m1

! v 1,0+m2

! v 2,0=- m1

! v 1,0 -m2

! v 2,0

�

!

�

2m1

! v 1,0= -2m2

! v 2,0

�

!

�

m1v1,0= m2v2,0

�

!

�

m1 /m2= v2,0 /v1,0 (3) Eπειδή η κρούση των δύο σφαιριδίων είναι τελείως ελαστική και οι ταχύτητες τους σε κάθε κρούση αντιστρέφονται, η ολική ενέργεια ταλάντωσης κάθε σφαιριδίου διατηρείται, οπότε εφαρµόζοντας για την ταλάντωση των σφαιριδί ων το θεώρηµα διατήρησης της ολικής τους ενέργειας παίρνουµε τις σχέσεις:

�

m1v1,0

2 /2 = k1A1

2/2

m2v2,0

2 /2 = k2A2

2/2

!

"

#

�

!

(:)

�

m1v1,0

2

m2v2,0

2=

k1A1

2

k2A2

2

�

!

(1),(3)

�

m1m

2

2

m2m

1

2=

m1A

1

2

m2A

2

2

�

!

�

m2

m1

=A

1

A2

(4)

ii) Aµέσως µετά την πρώτη κρούση το σφαιρίδιο Σ2 εκτελεί α.α.τ. µε µηδε νική αρχική φάση και περίοδο Τ=Τ2 και µέχρις ότου συµβεί η επόµενη κρούση η αποµάκρυνσή του x2 παίρνει θετικές µόνο τιµές, αφου λόγω της κρούσεως του µε το σφαιρίδιο Σ1 δεν µπορεί να βρεθεί στις θέσεις x2<0. Έτσι στο χρονικό διάστηµα [0, T2/2] η αποµάκρυνση x2 µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση:

�

x2= A2!µ (2"t /T2) ,

�

0 ! t ! T2/2

Εξάλλου η ταχύτητα v2 (αλγεβρική τιµή) του σφαιριδίου στο ίδιο χρονικό διάστηµα [0, T2/2] µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, συµφωνα µε την σχέση:

�

v2= v2,0!"#(2$t /T2) ,

�

0 ! t ! T2/2

Σχήµα 7

Oι περιοδικές επεκτάσεις των συναρτήσεων αυτών, ώστε να καλύπτεται όλο το χρονικό διάστηµα εξέλιξης του φαινοµένου της περιοδικής κρούσεως των σφαι ρίδιων (

�

0!t<") έχουν γραφικές παραστάσεις, που φαίνονται στο σχήµα (7).

P.M. fysikos

Oµογενές σώµα Σ1 µάζας m, σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ύψους 2h και τετραγωνικής βάσεως πλευράς h, ισορροπεί εφαπτόµενο µε την µία βάση του σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο. Tο σώµα συνδέεται µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος µε άλλο σώµα Σ2 µάζας 2m, το δε νήµα διέρχεται από το αυλάκι µιας µικρής σταθερής τροχαλίας, όπως φαίνεται στο σχήµα (8). Το νήµα είναι οριζόντιο και βρίσκεται στο µεσοπαράλληλο επίπεδο δύο απέναντι κατακόρυφων εδρών του σώµατος Σ1 και σε απόσταση y από το δάπεδο. Nα βρείτε για ποιες τιµές της απόστασης y το σώµα Σ1 ολισθαίνει χωρίς να ανατρέπεται, όταν το σώµα Σ2 αφεθεί ελεύθερο να κινηθεί. ΛΥΣΗ: Yποθέτουµε ότι το σώµα ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο χωρίς να ανατρέπεται. Οι δυνάµεις που δέχεται είναι το βάρος του

�

! w , η τάση

�

! Q του

οριζόντιου νήµατος και η δύναµη επαφής από το οριζόντιο δάπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης

�

! T και στην κάθετη αντίδραση

�

! N της οποίας ο

φορέας είναι κατακόρυφος και έστω ότι απέχει απόσταση x από την αριστερή έδρα του σώµατος (σχ. 8). Για να µην ανατρέπεται το σώµα πρέπει να αποκλεισθεί η περιστροφή του περί το κέντρο µάζας του C και αυτό εξασ φαλίζεται αν το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών των ασκούµενων στο σώµα δυνάµεων, περι το C, είναι µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισχύει:

�

Q y - h( ) + Th - N x - h/2( ) = 0

�

!

�

Q y - h( ) + nNh - N x - h/2( ) = 0

�

!

�

Q y - h( ) + nmgh - mg x - h/2( ) = 0 (1)

όπου y η απόσταση του φορέα της

�

! Q από το δάπεδο. Εξάλλου το σώµα Σ2 δέχε

ται το βάρος του

�

2! w και την τάση

�

! Q ' του κατακόρυφου νήµατος, της οποίας το

µέτρο είναι ίσο µε το µέτρο της

�

! Q , διότι η τροχαλία θεωρήθηκε µε ασήµαντη

µάζα. Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα θα ισχύει για το σώµα Σ2 η σχέση:

�

2mg - Q'= 2ma

�

!

�

2mg - Q = 2ma (2)

Σχήµα 8 όπου

�

! a η επιτάχυνση του σώµατος και

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Όµως

και η επιτάχυνση του Σ1 έχει µέτρο a, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα για το σώµα αυτό θα έχουµε:

�

Q - T = ma

�

!

�

Q - nN = ma

�

!

�

Q = nmg + ma οπότε η (2) γράφεται:

�

2mg - nmg - ma = 2ma

�

!

�

mg 2 - n( ) = 3ma

�

!

�

a = g 2 - n( ) /3 (3)

H (3) είναι αποδεκτή εφ΄όσον ισχύει 2-n>0 ή n<2. Εξάλλου η (2) λόγω της (3) γράφεται:

�

Q = nmg + mg 2 - n( ) /3 = 2mg 1+ n( ) /3 (4)

Έτσι η σχέση (1) µε βάση την (4) δίνει:

�

mg1+ n( ) y - h( )

3+ nmgh - mg x -

h

2

!

" #

$

% & = 0

�

!

�

2 1+ n( )3

y - h( ) + nh - x +h

2= 0

�

!

�

x =2 1+ n( )

3y - h( ) +

h

22n +1( ) (5)

Όµως η µη ανατροπή του σώµατος συνοδεύεται για την µεταβλητή x µε τον περιορισµό

�

0 < x < h, οπότε λόγω και της (5) θα έχουµε:

�

0 <2 1+ n( )

3y - h( ) +

h

22n +1( ) < h

�

!

�

0 < 4 1+ n( ) y - h( ) + 3h 2n +1( ) < 6h

�

!

�

4 1+ n( )h - 3h 2n +1( ) < 4 1+ n( )y < 6h + 4 1+ n( )h - 3h 2n +1( )

�

!

�

1- 2n( )h < 4 1+ n( )y < 7 - 2n( )h

�

!

�

1 - 2n

1+ n

!

" #

$

% &

h

4< y <

7 - 2n( )1+ n

h

4 (6)

H (6) είναι αποδεκτή εφ’ όσον οι τιµές y1=(1-2n)h/4(n+1) και y2=(7-2n)h/4(n+1) ικανοποιούν τις σχέσεις:

�

0 < (1 - 2n)h/4(1+ n) < 2h

0 < (7 - 2n)h/4(1+ n) < 2h

!

"

#

�

!

�

0 < 1- 2n < 8(1+ n)

0 < 7 - 2n < 8(1+ n)

!

"

#

�

!

�

-7/10 < n < 1/2

-1/10 < n < 7/2

!

"

#

(7)

Οι σχέσεις (7), σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι ο συντελεστής οριακής τριβής n είναι µη αρνητικός αλλά και µικρότερος του 2 όπως απαιτεί η σχέση (3), συνα ληθεύουν για n<1/2. Eξάλλου όταν η απόσταση y τείνει στην τιµή y1 επίκειται η ανατροπή του σώµατος περι την αριστερή ακµή του Α, ενώ όταν τείνει στην τιµή y2 επίκειται η ανατροπή του περι την δεξιά ακµή Β.

P.M. fysikos

Oµογενές σώµα σχήµατος ορθογωνίου παραλληλε πιπέδου, ύψους 2h και τετραγωνικής βάσεως πλευράς 2α, ισορροπεί εφαπτόµενο µε µια βάση του πάνω σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο. Στο σώµα ενεργεί οριζόντια δύναµη, της οποίας ο φορέας βρίσκεται στο µεσοπαράλληλο επίπεδο δύο απέναντι κατακόρυφων εδρών του σώµα τος και σε απόσταση h/2 από το δάπεδο (σχ. 9). Nα δείξετε τα εξής: i) δεν υπάρχει τιµή της δύναµης για την οποία επίκειται η ανατροπή του σώµατος περί την ακµή του Α, πριν αυτό ολισθήσει και ii) υπό κατάλληλο συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ σώµατος και δαπέδου υπάρχει τιµή της δύναµης για την οποία επίκειται η ανατ ροπή του περί την ακµή Β πριν την ολίσθησή του και να βρεθεί η τιµή αυτή. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Yποθέτουµε ότι το σώµα δεν ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο, αλλά ότι επίκειται η ανατροπή του περί την ακµή Α. Οι δυνάµεις που δέχεται είναι το βάρος του

�

! w , η δύναµη

�

! F και η πλάγια αντίδραση του εδάφους που

αναλύεται στην στατική τριβή

�

! T και στην κάθετη αντίδραση

�

! N , της οποίας ο

φορέας σχεδόν διέρχεται από την ακµή Α (σχ. 9). Εφ’ όσον το σώµα δεν ολισθαί νει ισχύει:

�

F = T (1)

Σχήµα 9 Εξάλλου η οριακή ανατροπή του σώµατος αποκλείει την περιστροφή του περί το κέντρο µάζας του C και αυτό εξασφαλίζεται αν το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών των ασκούµενων δυνάµεων περι το C, είναι µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισ χύει:

�

-F h - h/2( ) + Th + N! = 0

�

!

(1)

�

-Fh/2 + Fh + mg! = 0

�

!

�

Fh/2 + mg! = 0 (2) Η σχέση (2) αποτελεί άτοπο, που σηµαίνει ότι δεν υπάρχει οριζόντια δύναµη

�

! F

µε τα χαρακτηριστικά που ορίζουν τα δεδοµένα του προβλήµατος, η οποία να προκαλεί οριακή ανατροπή του σώµατος περί την ακµή του Α χωρίς αυτό να ολισθαίνει.

Σχήµα 10 ii) Aς δεχθούµε ότι επίκειται η ανατροπή του σώµατος περί την ακµή του Α χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. Τότε ο φορέας της κάθετης αντίδρασης

�

! N θα διέρχεται από την ακµή Β (σχ. 10), η σχέση (1) θα εξακολου

θεί να ισχύει, το δε αλγεβρικό άθροισµα των ροπών των ασκούµενων δυνάµε ων περί το C θα είναι σχεδόν µηδέν, δηλαδή θα ισχύει:

�

-F h - h/2( ) + Th - N! = 0

�

!

(1)

�

-Fh/2 + Fh - mg! = 0

�

!

�

Fh/2 = mg!

�

!

�

F= 2mg! /h (3) Eπειδή πρέπει F=T, η σχέση (3) είναι αποδεκτή εφ΄ όσον F≤nmg, δηλαδή πρέπει:

�

2mg! /h " nmg

�

!

�

n ! 2" /h P.M. fysikos

Μια οµογενής σφαίρα µάζας Μ και ακτίνας R, ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο µε το οποίο παρουσιάζει συντε λεστή οριακής τριβής n. Ένα βλήµα µάζας m<<M κινούµενο οριζον τίως µε ταχύτητα

�

! v

0, της οποίας ο φορέας βρίσκεται κάτω από το

κέντρο C της σφαίρας σε απόσταση R/2 από αυτό, σφηνώνεται στην σφαίρα. i) Να βρεθεί η ταχύτητα του ανώτατου σηµείου Β της σφαίρας αµέ σως µετά την πλαστική της κρούση µε το βλήµα. ii) Nα εξετασθεί η κίνηση της σφαίρας µετά την κρούση και να δεί ξετε ότι υπάρχει χρονική στιγµή που αναστρέφεται η περιστροφή της. Ποια µορφή έχει η τελική κίνηση της σφαίρας; Δίνεται ότι, η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι ΙC=2mR2/5 και ότι ο φορέας της

�

! v

0

βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt

�

!0) που διαρκεί η εισχώρηση του βλήµατος στην σφαίρα η ορµή του συστήµατος βλήµα-σφαίρα διατηρείται, ενώ λόγω της συνθήκης M>>m το κέντρο µάζας του συστήµατος αµέσως µετά την κρούση είναι µε καλή προσέγγιση το κέντρο C της σφαίρας. Έτσι µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

mv0 + 0 = (M + m)vC(0)

�

!

�

vC(0) = mv0/(M + m) ! mv0/M (1) όπου

�

! v C(0) η ταχύτητα του κέντρου C αµέσως µετά την κρούση. Όµως και η

στροφορµή του συστήµατος περί το κέντρο C διατηρείται κατά τον χρόνο Δt, οπότε ισχύει η σχέση:

�

mv0R/2 + 0 = I

C!

0

�

!

�

mv0R/2 = 2MR

2!

0/5

�

!

�

!0

= 5mv0/4MR (2)

όπου

�

! !

0 η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση. Το

ανώτατο σηµείο Β της σφαίρας έχει στο τέλος του χρόνου Δt µεταφορική ταχύ

Σχήµα 11 τητα

�

! v B

(µ ) ίση µε

�

! v C(0) και περιστροφική ταχύτητα

�

! v B

(! ) αντίρροπη της

�

! v C(0) µε

µέτρο ω0R. Όµως από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ω0R>vC(0) που σηµαίνει ότι η ταχύτητα

�

! v

B του Β αµέσως µετά την κρούση είναι αντίρροπη

της

�

! v C(0) το δε µέτρο της είναι:

�

vB = vB

(! )- vB

(µ )= " 0R - vC(0)

�

!

(1),(2)

�

vB

= 5mv0/4M - mv

0/M= mv

0/4M (3)

ii) Αµέσως µετά την κρούση το σηµείο επαφής A της σφαίρας µε το οριζόντιο επίπεδο έχει ταχύτητα

�

! v

A οµόρροπη της

�

! v

0, οπότε η τριβή

�

! T που δέχε

ται η σφαίρα είναι τριβή ολισθήσεως αντίρροπη της

�

! v

0 µε µέτρο:

�

T= nN = n(M + m)g ! nMg (4) Η

�

! T επιβραδύνει και την µεταφορική και την περιστροφική κίνηση της σφαί

ρας, σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα για την µεταφο ρική κίνηση και τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης για την περιστρο φική κίνηση θα έχουµε τις σχέσεις:

�

T = MaC

TR = IC!'

"

#

$

�

!

(4)

�

Mng = MaC

nMgR = 2MR2!'/5

"

#

$

�

!

�

aC = ng

!'= 5ng/2R

"

#

$

(5)

όπου

�

! a

C η σταθερή επιβράδυνση του κέντρου της σφαίρας και

�

! ! ' η σταθερή

γωνιακή επιβράδυνση της περιστροφικής της κίνησης. Εάν tµ, tπ είναι οι χρόνοι µηδενισµού της ταχύτητας του κέντρου C και της γωνιακής ταχύτητας αντι στοίχως της σφαίρας, θα έχουµε τις σχέσεις:

�

tµ = vC(0) / aC

t! = " 0/" '

# $ %

�

!

(5)

�

tµ = vC(0) /ng

t! = 2R"0/5ng

# $ %

�

!

(1),(2)

�

tµ = mv0 /nMg

t! = mv0/2nMg

" # $

�

!

�

tµ > t!

δηλαδή την χρονική στιγµή tπ θα µηδενιστεί η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας µε αποτέλεσµα το σηµείο Α να έχει την στιγµή αυτή ταχύτητα οµόρροπη της

�

! v

0, που σηµαίνει ότι η τριβή εξακολουθεί να είναι τριβή ολίσθησης και να διατη

ρεί την φορά της, αλλά τώρα θα αναστρέψει την φορά περιστροφής της σφαίρας ενώ θα εξακολουθήσει να επιβραδύνει την µεταφορική της κίνηση. Κάποια στιγµή η κίνηση αυτή της σφαίρας θα προκαλέσει µηδενισµό της ταχύτητας του σηµείου επαφής της Α και η σφαίρα θα κυλίεται πλέον ισοταχώς και χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο επίπεδο προς την κατεύθυνση της ταχύτητας

�

! v

0.

P.M. fysikos

Kύλινδρος µάζας M και ακτίνας R, βρίσκεται ακίνητος πάνω σε οριζόντιο δάπεδο µε το οποίο παρουσιάζει συντελε στή τριβής ολίσθησης n. Ένα µικρο τεµάχιο εκρηκτικής ύλης µάζας m είναι κολληµένο στην περάπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου η δε ευθεία που το συνδέει µε το κέντρο του κυλίνδρου είναι οριζόντια. Κάποια στιγµή ενεργοποιείται η εκρηκτική ύλη και η µάζα m εκσφεν δονίζεται κάθετα προς τον γεωµετρικό του άξονα του κυλίνδρου µε ταχύτητα

�

! v

0, αποµακρυνόµενη προς το εξωτερικό του µέρος.

i) Να µελετηθεί η κίνηση του κυλίνδρου πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. ii) Να βρεθεί ποιο κλάσµα της ενέργειας που ελευθερώνεται κατά την έκρηξη µετασχηµατίζεται σε θερµότητα στην διάρκεια που ο κύλίνδ ρος κινείται στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύ

τητας και η ροπή αδράνειας IC=MR2/2 του κυλίνδρου ως προς τον γεωµετρικό του άξονα. ΛYΣH: i) Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt→0) της έκρηξης η ορµή του συστήµατος κύλινδρος-τεµάχιο εκρηκτικής ύλης δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

0 = MV0- mv

0

�

!

�

V0

= mv0/M (1)

όπου

�

! V

0 η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου αµέσως µετά την έκρη

ξη. Εξάλλου κατά τον χρόνο Δt ο κύλινδρος δεν αποκτά περιστροφική κίνηση, διότι η στροφορµή του συστήµατος περί τον γεωµετρικό άξονα είναι πριν την έκρηξη µηδέν και παραµένει µηδέν αµέσως µετά την έκρηξη, αφού ο φορέας της ταχύτητας

�

! v

0 διέρχεται από το κέντρο µάζας. Έτσι αµέσως µετά την

έκρηξη τα σηµεία επαφής Α του κυλίνδρου µε το οριζόντιο δάπεδο έχουν ως προς αυτό ταχύτητα

�

! V

0, µε αποτέλεσµα να εµφανίζεται επί του κυλίνδρου

τριβή ολισθήσεως

�

! T αντίρροπη της

�

! V

0, η οποία επιβραδύνει την µεταφορική του

κίνηση. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας του κυλινδρου τον δεύτερου νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

T = MaC

�

!

�

nN = MaC

�

!

�

nMg = MaC

�

!

�

aC = ng (2) όπου

�

! a

C η επιβράδυνση του κέντρου µάζας και

�

! N η κάθετη αντίδραση του δα

πέδου που είναι αντίθετη προς το βάρος

�

M! g του κυλίνδρου. Επειδή η

�

! a

C είναι

σταθερή η µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου είναι οµαλά επιβραδυνόµενη,

Σχήµα 12

οπότε το µέτρο της ταχύτητάς του

�

! V

C ύστερα από χρόνο t µετά την έκρηξη, θα

δίνεται από την σχέση:

�

VC

= V0- a

Ct

�

!

(2)

�

VC = V0 - ngt (3) Εξάλλου η ροπή της τριβής

�

! T περί τον άξονα του κυλίνδρου προκαλεί αριστε

ρόστροφη περιστροφή µε γωνιακή επιτάχυνση

�

! ! ' και σύµφωνα µε τον θεµελιώ

δη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση:

�

TR = IC!'

�

!

�

nMgR = MR2! '/2

�

!

�

!'= 2ng/R (4) Από την (4) προκύπτει ότι η

�

! ! ' είναι σταθερή, δηλαδή η περισροφική κίνηση

του κυλίνδρου είναι οµαλά επιταχυνόµενη, οπότε το µέτρο της γωνιακής του ταχύτητας την χρονική στιγµή t θα δίνεται από την σχέση:

�

! = !'t

�

!

(4)

�

! = 2ngt/R

�

!

�

!R = 2ngt (5) Από τις σχέσεις (3) και (4) παρατηρούµε ότι η µεν ποσότητα VC µειώνεται χρονικά η δε ποσότητα ωR αυξάνεται, οπότε κάποια στιγµή t* οι δύο ποσότητες θα εξισωθούν που σηµαίνει ότι την στιγµή αυτή τα σηµεία επαφής Α του κυλίν δρου µε το δάπεδο θα αποκτήσουν µηδενική ταχύτητα ως προς αυτό, δηλαδή o κύλινδρος θα αρχίσει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δάπεδο µε σταθερή ταχύτητα

�

! V

* και θα ισχύει:

�

V0 - ngt* = 2ngt*

�

!

�

t* = V0/3ng

�

!

(1)

�

t* = mv0/3nMg (6) Έτσι το µέτρο της

�

! V

* θα είναι:

�

V* = V0 - ngt*

�

!

(1)

�

V* = mv0/M - ngt*

�

!

(6)

�

V* =mv0

M-ngmv0

3nMg=

2mv0

3M (7)

ii) Η ενέργεια Wεκρ που ελευθερώνεται κατά την έκρηξη εµφανίζεται ως κινη τική ενέργεια του κυκίνδρου και της µάζας m της εκρηκτικής ύλης, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

W!"# =MV

0

2

2+

mv0

2

2

�

!

(1)

�

W!"# =Mm

2v

0

2

2M2

+mv

0

2

2=

mv0

2

21+

m

M

$

% &

'

( ) (8)

Εξάλλου η θερµότητα Q που ελευθερώνεται στο περιβάλλον κατά τον χρόνο t* λόγω της τριβής ολίσθησης έναι ίση µε την αντίστοιχη ελλάτωση της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου, δηλαδή ισχύει:

�

Q =MV0

2

2-

MV*2

2+

IC! *2

2

"

# $

%

& ' =

MV0

2

2-

MV*2

2+

MR2

4

V*2

R2

"

# $

%

& '

�

!

�

Q =MV0

2

2-3MV*

2

4

�

!

(1),(7)

�

Q =Mm2v0

2

2M2-3M

4

2mv0

3M

!

" #

$

% &

2

�

!

�

Q =m2v0

2

2M-m2v0

2

3M=

m2v0

2

6M (9)

Διαιρώντας κατά µέλη την (8) µε την (9) παίρνουµε το ζητούµενο κλάσµα x, δηλαδή θα έχουµε:

�

x =Q

W!"#

=m2v0

2

6M:mv0

2

21+

m

M

$

% &

'

( ) =

m

3M 1+ m/M( )

�

!

�

x =m

3 M + m( )

P.M. fysikos

Λεπτή οµογενής ράβδος ΑΒ µήκους 2L και βάρους w, ισορροπεί εφαπτόµενη δια του άκρου της Α επί κοιλης ηµισφαιρι κής επιφάνει ας ακτίνας R, ενώ έχει και έχει επαφή µε το άκρο Ν της επιφάνειας αυτής, όπως φαίνεται στο σχήµα (13). i) Εάν στα σηµεία στηρίξεως της ράβδου οι τριβές είναι ασήµαντες, να βρεθεί η γωνία κλίσεως φ0 της ράβδου µε την οριζόντια διεύθυνση και η δύναµη που ασκεί η κοίλη επιφάνεια στο άκρο Α της ράβδου. ii) Aν η ράβδος µε εξωτερική επέµβαση τεθεί σε κίνηση σε κατακόρυ φο επίπεδο, ώστε η γωνία κλίσεως φ µε την οριζόντια διεύθυνση να αυξάνεται χωρίς όµως το άκρο της Α να χάνει επαφή µε την κοίλη επιφάνεια και η ράβδος να εξακολουθεί να εφάπτεται στο άκρο Ν της επιφάνειας, να βρείτε το µέτρο της ταχύτητας του άκρου Β της ράβ δου σε συνάρτηση µε την ταχύτητα vΑ του άκρου Α και την γωνία

κλίσεως φ της ράβδου. Η κοίλη επιφάνεια είναι ακλόνητη και ο άξονας συµµετρίας της κατακόρυφος. ΛΥΣΗ i) H ράβδος ΑΒ δέχεται το βάρος της

�

! w , την δύναµη επαφής

�

! F

A στο

άκρο της Α η οποία κατευθύνεται προς το κέντρο Κ της κοίλης ηµισφαιρικής επιφάνειας και τέλος την δύναµη επαφής

�

! F

N, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ράβδο στο σηµείο επαφής της µε το άκρο Ν της επιφάνειας. Λόγω της ισορροπίας της ράβδου οι φορείς των τριών δυνάµεων διέρχονται από το ίδιο σηµείο Ο (σχ. 13). Εφαρµόζοντας στο τρίγωνο ΑΟΝ το θεώρηµα των ηµιτό νων παίρνουµε την σχέση:

Σχήµα 13 Όµως ισχύουν ΑC=L και θ+2φ0=π/2, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

(1) Eξάλλου τα τρίγωνα ΜΚΑ και ΚΟΝ είναι ίσα διότι ΜΚ=ΚΝ=R, οι δε γωνίες που πρόσκεινται στις ίσες πλευρές ΜΚ και ΝΚ είναι ίσες µία προς µία, οπότε θα έχουµε ΑΚ=ΚΟ=R. Aκόµη από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟCN προκύπτει η σχέση:

{2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

(3)

�

OC

!µ"0

=AC

!µ#

�

OC

!µ" 0

=L

!µ (# /2 - 2" 0) $

�

OC

!µ"0

=L

#$%2"0

&

�

OC =L!µ"

0

#$%2"0

�

OC =OM

!"#$0

=2R%µ$

0

!"#$0

�

L!µ"0

#$%2"0

=2R!µ"

0

#$%"0

&

�

L

!"#2$0

=2R

!"#$0

%

�

L!"#$0

= 2R 2!"#$0

2- 1( ) %

�

4R!"#$0

2- L!"#$

0- 2R = 0

H (3) είναι εξίσωση δεύτερου βαθµου ως προς συνφ0 µε ρίζες:

(4) Eπειδή η γωνία φ0 είναι οξεία, δεκτή είναι η θετική ρίζα. Έτσι και λόγω της συνφ0 <1 θα πρέπει:

(5) που αποτελεί και την συνθήκη για να έχει λύση το πρόβληµα. Για τον υπολο γισµό της δύναµης χρησιµοποιούµε την σχέση που χαρακτηρίζει την ισορροπία στερεού σώµατος όταν σ΄ αυτό ενεργούν τρείς δυνάµεις που στην περίπτωσή µας είναι:

Παρατήρηση: Μπορούµε να καταλήξουµε στην δευτεροβάθµια εξίσωση (3) χρησιµοποιώντας τις κλασσικές σχέσεις ισορροπίας της ράβδου, οι οποίες έχουν την µορφή:

(6) Απαλλοίφοντας ανάµεσα στις σχέσεις (6) τις δυνάµεις FA και FN παίρνουµε:

�

!"#$0

=L ± L

2+ 32R

2

8R

�

L + L2+ 32R

2< 8R !

�

L2+ 32R

2< 8R - L( )

2

!

�

L2+ 32R

2< 64R

2- 16RL+ L

2 !

�

L < 2R

�

w

!µ "0+#( )

=F

A

!µ $ - "0( )

%

�

w

!µ " /2 - #0( )

=F

A

!µ$%

�

FA

=w!"#$

0

%µ$0

=w!"#$

0

1 - !"#$0

2

µ& !"#$0

=L+ L

2+ 32R

2

8R

�

!F(x) = 0

!F(y) = 0

!" (A) = 0

#

$ %

& %

'

�

FA!"#$ - w%µ$ = 0

FN

+ FA%µ$ - w!"#$ = 0

wL!"#$ - FN2R!"#$ = 0

&

' (

) (

*

�

FA

= w!µ" /#$%"

FN

+ FA!µ" = w#$%"

FN

= wL/2R

&

' (

) (

�

wL

2R+

w!µ2"

0

#$%"0

= w#$%"0&

�

L

2R+!µ

2"

0

#$%"0

= #$%"0 &

�

L!"#$0+ 2R%µ

2$

0= 2R!"#

2$

0&

�

L!"#$0 + 2R(%µ2$ 0 - !"#

2$ 0) = 0 &

�

L!"#$0+ 2R 1- 2!"#

2$

0( ) = 0 %

�

4R!"#$0

2- L!"#$

0- 2R = 0

ii) Όταν η ράβδος κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο, ώστε το άκρο της Α να εί ναι σε επαφή µε την κοίλη σφαιρική επιφάνεια και επιπλέον σε επαφή µε το ακ ρο Ν αυτής, η κίνησή της µπορεί να θεωρηθεί ως καθαρή περιστροφική κίνηση

Σχήµα 14

περί στιγµιαίο άξονα ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο κίνησης της ράβδου και διέρχεται από το εκάστοτε στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Q της ράβδου. Το στιγµιαίο αυτό κέντρο προκύπτει ως τοµή των καθέτων ευθειών ΑQ και ΝQ στα διανύσµατα των ταχυτήτων

�

! v

A,

�

! v

N αντιστοίχως των σηµείων Α και Ν της

ράβδου (σχ. 14), όπου η µεν ταχύτητα

�

! v

A εφάπτεται του ηµικυκλικού τόξου

ΜΑΝ, ενώ η ταχύτητα,

�

! v

N εφάπτεται της ράβδου, αφού το σηµείο Ν αυτής δεν

έχει κίνηση κάθετα προς την ράβδο. Εάν

�

! ! είναι η γωνιακή της ράβδου κατα

την χρονική στιγµή που εξετάζουµε την ράβδο, τότε για τα µέτρα των ταχυ τήτων

�

! v

A,

�

! v

B θα έχουµε τις σχέσεις:

(7) Εφαρµόζοντας στο τρίγωνο ΑQB το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε την σχέση:

(8) Eξάλλου τα τρίγωνα ΜΚΑ και NQΟ είναι ίσα διότι ΜΚ=ΚΝ=R, οι δε γωνίες που πρόσκεινται στις ίσες πλευρές ΜΚ και ΝΚ είναι ίσες µία προς µία, οπότε θα έχουµε ΑK=ΚQ=R, δηλαδή ΑQ=2R και η (7) γράφεται:

P.M. fysikos

Οµογενής σφαίρα βάρους w και ακτίνας R, υποβα στάζεται από δύο επίσης οµογενή ηµισφαιρικά σώµατα βάρους w/2 και ακτίνας R, όπως φαίνεται στο σχήµα (15). Η τριβή µεταξύ των

�

vA = !(AQ)

vB = !(BQ)

"

#

$

%(:)

vA

vB

=AQ

BQ % vB = vA

BQ

AQ

&

' (

)

* +

�

BQ= (QA)2+(AB)2- 2(QA)(AB)!"#$ = (QA)2+4L2-4(QA)L!"#$

�

vB=

vA

2R4R

2+4L

2-8RL!"#$

ηµισφαιρικών σωµάτων και της σφαίρας θεωρείται ασήµαντη, ενώ µεταξύ του οριζόντιου εδάφους και των ηµισφαιρικών σωµάτων υπάρ χει τριβή µε συντελεστή οριακής τριβής n=1/2. Nα βρεθεί η µέγιστη απόσταση των κέντρων των ηµισφαιρικών σωµάτων, για την οποία το σύστηµα ισορροπεί. ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας το αριστερό ηµισφαιρικό σώµα παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρους του

�

! w /2 που ο φορέας του διέρχεται από το γεωµετρικό κέντρο κ1

του σώµατος που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη µε το κέντρο µάζας του C1, την δύναµη επαφής

�

! f 1 από την σφαίρα, η οποία έχει ακτινική διεύθυνση διότι η

επαφή είναι λεία και τέλος την αντίδραση του εδάφους, που ο φορέας της επίσης διέρχεται από το κ1 αφού το σώµα ισορροπεί, αναλύεται δε στην κάθετη αντίδραση

�

! N

1 και στην στατική τριβή

�

! T

1. Ανάλογες δυνάµεις δέχεται και το

δεξί ηµισφαιρικό σώµα. Εξάλλου η σφαίρα ισορροπεί υπό την επίδραση του βά

Σχήµα 15

ρους της

�

! w και των δυνάµεων επαφής

�

! f '

1,

�

! f '

2 από τα ηµισφαίρια, οι οποίες

σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας δράσης-αντίδρασης είναι αντίθετες προς τις αντίστοιχες δυνάµεις

�

! f

1,

�

! f

2. Λόγω της ισορροπίας της σφαίρας οι κατακόρυ

Σχήµα 16

φες και οι οριζόντιες δυνάµεις που δέχεται έχουν µηδενική συνισταµένη, δηλα δή µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις:

�

f'1y+ f'2y- w = 0

f'1x- f'2x = 0

!

"

#

�

!

�

f'1!µ"+ f'

2!µ" = w

f'1#$%" - f'

2#$%" = 0

& ' (

�

!

�

f'1+ f'

2= w/!µ"

f'1= f'

2

# $ %

�

!

�

2f'1= w/!µ"

�

!

�

f1= w/2!µ" (1)

Λόγω της ισορροπίας του αριστερού ηµισφαιρικού σώµατος θα έχουµε:

�

T1 - f1x= 0

N1 - f1y- w/2 = 0

!

"

#

�

!

�

T1

= f1!"#$

N1

= f1%µ$ + w/2

& ' (

�

!

(1)

�

T1

= f1!"#$

N1

= w/2+ w/2 = w

%

&

'

(2)

Eπειδή η τριβή

�

! T

1 είναι στατική ισχύει η σχέση:

�

T1! nN

1

�

!

(2)

�

f1!"#$ % nw

�

!

(1)

�

w!"#$ /2%µ$ & nw

�

!

�

!"# /2 $ n

�

!

�

!"# $ 2n

�

!

�

!"# $ 1

�

! (3) διότι n=1/2. Εάν x είναι η απόσταση των κέντρων κ1, κ2 των δύο ηµισφαιρικών σωµάτων, θα έχουµε από το ορθογώνιο τρίγωνο κκ1Μ την σχέση:

�

!"# =($1M)

($M)=

x /2

(2R)2 - (x/2)2=

x

16R2 - x2

η οποία συνδυαζόµενη µε την (3) δίνει:

�

x

16R2- x

2

! 1

�

!

�

x2! 16R

2- x

2

�

!

�

x2! 8R

2

�

!

�

x ! 8R

�

!

�

xmax

= 8R P.M. fysikos

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R, κυλίε ται χωρίς ολίσθηση µε σταθερή ταχύτητα

�

! v

0 πάνω σε τραχύ οριζόντιο

έδαφος, κατευθυνόµενη προς κατακόρυφο τοίχο µε τον οποίο κάποια στιγµή συγκρούεται µετωπικά. Μετά την κρούση η σφαίρα συνεχίζει την κίνησή της στο οριζόντιο έδαφος και τελικά κυλίεται πάλι χωρίς ολίσθηση µε σταθερή ταχύτητα

�

-! v

0/3/.

i) Να δείξετε ότι η κρούση της σφαίρας µε τον τοίχο είναι µη ελαστι κή. ii) Nα βρεθεί η συνολική απώλεια µηχανικής ενέργειας της σφαίρας. Δίνεται ότι, η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχε ται από το κέντρο της C είναι ΙC=2mR2/5. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η µετωπική κρούση της σφαίρας µε τον τοίχο είναι ελαστική. Τότε η ταχύτητα του κέντρου C της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση θα είναι 0 η δε γωνιακή της ταχύτητα θα είναι - 0, διότι η δύναµη κρούσεως από τον τοίχο έχει µηδενική ροπή περί το κέντρο C και εποµένως δεν µεταβάλλει την ιδιοστροφορµή της σφαίρας, άρα και την γωνιακή της ταχύ

�

-

! v

�

! !

τητα. Τα παραπάνω σηµαίνουν ότι σε πρώτο στάδιο το σηµείο επαφής Α της σφαίρας µε το έδαφος θα έχει ως προς αυτό ταχύτητα αντίρροπη της

�

! v 0 µε

Σχήµα 17

αποτέλεσµα η σφαίρα να δέχεται τριβή ολίσθησης µε κατευθυνση προς τον τοίχο (σχ. 17). Η τριβή επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση της σφαίρας και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα η επιβράδυνση

�

! a

C του

κέντρου της σφαίρας θα έχει µέτρο, που ικανοποιεί την σχέση:

(1)

όπου η κάθετη αντίδραση του εδάφους επί της σφαίρας. Από την (1) προ κύπτει ότι η επιβράδυνση

�

! a

C είναι σταθερή, δηλαδή η µεταφορική κίνηση της

σφαίρας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της ταχύτητας του κέν τρου της ύστερα από χρόνο t αφότου αποχωρίστηκε από τον τοίχο δίνεται από την σχέση:

(2) Eξάλλου η ροπή της τριβής περί το C επιβραδύνει την περιστροφική κίνηση της σφαίρας και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης το µέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης

�

! ! ' της σφαίρας θα ικανοποιεί την σχέση:

�

TR = IC!'

�

!

�

nmgR = 2mR2!'/5

�

!

�

!'= 5ng /2R (3) Από την (3) προκύπτει ότι η

�

! ! ' είναι σταθερή, δηλαδή η περιστροφική κίνηση

της σφαίρας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας

�

! ! την χρονική στιγµή t δίνεται από την σχέση:

�

! = !0-!'t

�

!

(3)

�

! = ! 0 - 5ngt/2R

�

!

�

! = v0 /R - 5ngt/2R (4) Εάν t1, t2 είναι οι χρόνοι µηδενισµού των C και αντιστοίχως, θα έχουµε:

�

! T

�

T = maC !

�

nN = maC !

�

nng = maC !

�

aC = ng

�

! N

�

vC = v0 - aCt !(1)

vC = v0 - ngt

�

! v

�

! !

�

0 = v0 - ngt1

0 = v0/R - 5ngt2 /2R

!

"

#

$

�

t1 = v0/ng

t2 = 2v0/5ng

!

"

#

$ t1 > t2

δηλαδή την χρονική στιγµή t2 το κέντρο µάζας θα έχει µη µηδενική ταχύτητα

�

! v

* µε µέτρο που δίνεται από την σχέση:

�

v* = v0 - ngt2 = v0 - 2ngv0/5ng = 3v0 /5 (5) ενώ την ίδια στιγµή η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας θα είναι µηδενική. Αυτό σηµαίνει ότι την στιγµή t2 το σηµείο επαφής Α θά έχει ταχύτητα

�

! v

* και επο µένως η τριβή επί της σφαίρας θα εξακολουθεί να είναι τριβή ολίσθησης και θα συνεχίζει να επιβραδύνει την µεταφορική της κίνηση µε επιβραδυνση

�

! a

C όπως

και προηγουµένως, ενώ τώρα η ροπή της τριβής περι το C θα προκαλεί οµαλά επιταχυνόµενη περιστροφική κίνηση της σφαίρας µε φορά αντίθετη της προηγούµενης µε γωνιακή επιτάχυνση

�

! ! '. Έτσι το σηµείο επαφής Α κατά το

στάδιο αυτό θα έχει λόγω περιστροφής της σφαίρας ταχύτητα

�

! v A(! ) αντίρροπη

της ταχύτητας

�

! v A(µ ) λόγω µεταφορικής κίνησης τα δε µέτρα τους µε αρχή των

χρόνων την στιγµή t2 θα ικανοποιούν τις σχέσεις:

(6) Aπό τις σχέσεις (6) παρατηρούµε ότι υπάρχει χρονική στιγµή t* για την οποία ισχύει:

(7) Tην χρονική αυτή στιγµή µηδενίζεται η ταχύτητα του σηµείου επαφής Α και η σφαίρα στην συνέχεια θα κυλίεται επί του εδάφους χωρίς ολίσθηση µε σταθερή µεταφορική ταχύτητα τελ της οποίας το µέτρο είναι:

�

v!"#

= 3v0 /5 - ngt*

�

!

(7)

�

v!"#

= 3v0 /5 - 6ngv0/35ng

�

!

�

v!"#

= 3v0/5 - 6v

0/35 = 3v

0/7

�

!

�

v!"#

> v0/3

δηλαδή η τελική µεταφορική ταχύτητα της σφαίρας, αν η κρούση της µε τον τοίχο ήταν ελαστική, είναι µεγαλύτερη της αντίστοιχης πραγµατικής ταχύ τητας v0/3. Άρα η αρχική µας υποθεση δεν είναι αποδεκτή, που σηµαίνει ότι η κρούση µε τον τοίχο είναι µη ελαστική. ii) Η ελάττωση ΔΕµηχ της µηχανικής ενέργειας της σφαίρας από την στιγµή της επαφής της µε τον τοίχο µέχρις ότου φθάσει σε κατάσταση κύλισης χωρίς ολίσ

θηση, οφείλεται στην µη ελαστική κρούση και στην τριβή ολίσθησης είναι δε ίση µε την αρχική µηχανική ενέργεια της σφαίρας µείον την τελική της µηχανι κή ενέργεια, δηλαδή θα έχουµε:

�

vA(µ ) = v* - aCt

vA(! ) = R" 't

# $ % &

�

vA(µ ) = 3v0 /5 - ngt

vA(! ) = 5ngt/2

" # $

�

vA(µ ) = vA(! ) "

�

3v0 /5 - ngt* = 5ngt*/2 !

�

t* = 6v0/35ng

�

! v

�

! T

�

!"µ#$ = !"%&$ - !"'() =mv

0

2

2+

IC*

0

2

2-mv'()

2

2-IC*'()

2

2 +

�

!"µ#$ =mv

0

2

2+

2mR2%

0

2

10-mv&'(

2

2-2mR

2%&'(2

10 )

P.M. Fysikos

�

!"µ#$ =mv

0

2

2+

2mv0

2

10-mv%&'

2

2-2mv%&'

2

10 (

�

!"µ#$ =7mv

0

2

10-7mv%&'

2

10=

7mv0

2

10-7mv

0

2

90=

9mv0

2

15