С.А. Харитонов, А.А. Ципилев

Динамика механических систем

Учебное пособие

2

УДК 629.021 ББК 39.336 X20

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/175/book1675.html

Факультет «Специальное машиностроение» Кафедра «Многоцелевые гусеничные машины и мобильные роботы»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

Харитонов, С. А.

Х20 Динамика механических систем : учебное пособие / С. А. Харито-нов, А. А. Ципилев. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 198, [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4711-4

Рассмотрены вопросы исследования колебаний в механических системах. Пред-ставлены методики определения параметров движения колебательных систем с одной степенью свободы, с конечным числом степеней свободы, а также систем с распреде-ленными параметрами. Уделено внимание вопросам устойчивости колебательных про-цессов механических систем, приведены критерии устойчивости, рассмотрены типовые схемы нагружения узлов и конструкций транспортных машин. Изложены методы ис-следования вибрационных воздействий и способы борьбы с вибрациями. Даны реко-мендации по конструированию виброзащитных механизмов.

Для студентов, обучающихся по специальностям «Транспортные средства специ-ального назначения», «Наземные транспортно-технологические средства».

УДК 629.021 ББК 39.336

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

© Оформление. Издательство ISBN 978-5-7038-4711-4 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

3

Предисловие

«Динамика механических систем» — один из фундаментальных курсов программы подготовки специалистов по специальностям 190110, 23.05.02 «Транспортные средства специального назначения», 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства». Эта дисциплина включает лекции и лабораторные работы. Лекционные занятия посвящены колебаниям в меха-нических системах, при этом внимание акцентируется на общих подходах к решению задач и закономерностях колебаний механических систем. В рамках лабораторных работ изучаются основы расчета деталей и узлов транспортных средств с использованием программной среды ANSYS.

В предлагаемом учебном пособии вопросы рассматриваются в соответ-ствии с лекционным освещением материала, который расположен в порядке возрастания сложности обсуждаемых процессов, чтобы читателям было легче его усвоить. В ходе изложения приведены примеры решения наиболее харак-терных задач. В конце каждой главы даны контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения.

Цель изучения дисциплины состоит в получении представлений об ос-новных положениях динамики механических систем при детерминированном возмущении, особенностях и закономерностях динамических процессов в различных механических системах.

Качественное освоение дисциплины студентами способствует формиро-ванию у выпускников знаний, умений и навыков, позволяющих успешно ра-ботать в области создания, внедрения и сопровождения новых конструкций специальных гусеничных машин и мобильных роботов в различных сферах машиностроения, на транспорте, в сельском хозяйстве, приборостроении, в областях науки, техники и образования, обладать универсальными и пред-метно-специализированными компетенциями, способствующими их соци-альной мобильности и устойчивости на рынке труда.

4

Основные обозначения

a — обобщенная масса системы b — обобщенный коэффициент трения C1, C2 — постоянные интегрирования с — обобщенный коэффициент жесткости; обобщенная жесткость cп — жесткость пружины E — модуль Юнга F — восстанавливающая сила Fij — j-я сила, приложенная к i-й массе системы g — ускорение свободного падения i, j — номера обобщенных координат системы I — осевой момент инерции сечения стержня I(m) — интеграл Эйлера второго рода Iр — полярный момент инерции сечения вала J — момент инерции k — собственная частота системы k1 — частота затухающих колебаний системы с вязким трением k* — частота свободных колебаний нелинейной консервативной системы l — длина подвеса маятника; длина стержня, балки m — масса груза q — обобщенная координата q — обобщенная скорость q — обобщенное ускорение P(t) — вынуждающая сила P0 — амплитуда вынуждающей силы p — частота изменения вынуждающей силы R — сила трения S — осевая сила T — кинетическая энергия системы; период колебаний t — время U — потенциальная энергия системы Q — обобщенная сила, действующая на систему xст — статическое перемещение массы Г(m) — гамма-функция δ — логарифмический декремент затухания φ — угол отклонения системы от положения равновесия

5

Введение

Динамика механических систем является частью области научного зна-ния, посвященной анализу поведения систем, параметры которых изменяют-ся во времени по некоторому закону.

Согласно терминологии таких классических курсов как «Теоретическая механика» или «Теория механизмов и машин», под термином «динамика» подразумевают изучение законов изменения внешних и внутренних сил, дей-ствующих на какую-либо механическую систему при ее работе. В общем случае термин «динамика» имеет более широкий смысл и означает изменение во времени любого параметра, характеризующего состояние того или иного физического тела. Процессы, происходящие вокруг нас, носят динамический характер, так как развиваются во времени, поэтому практически в любой науке имеются разделы, в которых изучается развитие тех или иных процес-сов во времени, т. е. их динамика. В курсе «Динамика механических систем» круг решаемых задач значительно ýже, так как в нем рассматриваются коле-бания только механических систем.

Среди процессов, протекающих в природе и технике, колебания занима-ют особое место, и транспортные машины не являются здесь исключением. В них выделяют несколько форм колебаний, требующих пристального изуче-ния. Это, прежде всего, колебания корпуса машины, возникающие при ее движении. Весьма опасны и так называемые крутильные колебания валов двигателя и агрегатов трансмиссии, вызываемые неравномерностью работы двигателя и перематыванием гусеничного обвода. Подробно эти вопросы рассматриваются в специальных дисциплинах, в то время как курс «Динами-ка механических систем» относится к фундаментальным. В нем изучаются наиболее общие подходы к решению задач и закономерностей колебаний ме-ханических систем.

Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся простоту названия курса, теория колебаний механических систем включает достаточно много разделов, в которых изучаются различные формы колебаний. В каждом из них решают-ся, как правило, три главные задачи:

1) определение максимальных отклонений системы от положения равно-весия;

2) определение частоты колебаний системы; 3) анализ устойчивости колебательного процесса той или иной механиче-

ской системы.

6

Первые две задачи позволяют перейти в дальнейшем к расчету конструк-ции на прочность, поскольку дают возможность определить максимальные напряжения и число циклов нагружения, а третья задача помогает ответить на вопрос о работоспособности конструкции с точки зрения ее функциональ-ного назначения.

В теории колебаний механических систем выделяют два достаточно больших и самостоятельных раздела: свободные колебания и вынужденные колебания. Кроме того, отдельно рассматривают, как правило, разделы, по-священные параметрическим колебаниям и автоколебаниям.

В разделе, посвященном свободным колебаниям, изучается движение си-стемы под действием только внутренних сил, которые определяются пара-метрами ее движения. В общем случае к ним можно отнести силы инерции, восстанавливающие силы, диссипативные силы.

Если все перечисленные силы линейно зависят от параметров движе-ния, то система называется линейной. Если хотя бы одна из сил имеет нели-нейную зависимость, то система будет нелинейной. В общем случае практи-чески все механические системы являются нелинейными. Однако принятие ряда допущений позволяет многие из них рассматривать как линейные (рис. В1).

Рис. В1. Примеры механических систем с одной степенью свободы, совершающих свободные колебания: а — груз на пружине с демпфером; б — математический маятник; в — массивный маховик на упругом валу (c — обобщенная жест-кость; b — обобщенный коэффициент трения; m — масса груза; l — длина подвеса маятника; J — момент инерции диска)

В разделе, посвященном вынужденным колебаниям, изучаются колеба-

ния механических систем, вызываемые и поддерживаемые вынуждающими, т. е. внешними, силами, заданными в виде явных функций времени и не зави-сящими от параметров движения системы (рис. В2).

В рамках изучения вынужденных колебаний систем в теории механиче-ских колебаний рассматриваются и колебания механических систем при слу-чайном воздействии на них. Очевидно, что к этому подразделу относятся и задачи расчета колебаний корпуса машины, движущейся по профилю со слу-чайными параметрами. Кроме того, имеется подраздел, посвященный пове-дению механической системы при ударном воздействии на нее.

7

В разделе, где анализируются параметрические колебания, изучается движение систем, параметры которых заданным образом периодически изме-няются во времени (рис. В3).

Рис. В2. Пример вынужденных колебаний механической системы: c — обобщенная жесткость; b — обоб-щенный коэффициент трения; P — вы-нуждающая сила; P0 — амплитуда вы-нуждающей силы; p — частота вы- нуждающей силы; t — время

Рис. В3. Пример параметрических колеба- ний механической системы: l — длина подвеса; l0 — амплитудное значение длины подвеса; p — частота изменения длины подвеса; t — время

Ярким примером параметрических колебаний можно считать раскачива-

ние качелей, которое происходит вследствие периодического изменения по-ложения центра масс системы. Следует отметить, что необходимым условием для возникновения параметрических колебаний является наличие хотя бы малейшего отклонения системы от положения равновесия. Если такого не будет, то никакое изменение параметров системы не приведет к возникнове-нию колебаний. Главной задачей, решаемой при исследовании параметриче-ских колебаний, является определение условий, при которых колебания ста-новятся неустойчивыми.

Под автоколебаниями подразумевают незатухающие колебания, под-держиваемые за счет энергии, подводимой к системе от источников неколе-бательного характера. Классическим приме-ром автоколебательной системы может слу-жить груз, находящийся на транспортере (рис. В4). При этом трение между грузом и лентой транспортера должно быть близким к сухому.

Еще одним примером автоколебательной системы могут служить механические часы: там к маятнику постоянно подводится энер-гия упругой пружины. Кроме того, самый простой и наглядный пример автоколеба-ний — колебания веток деревьев под дей-ствием ветра.

Рис. В4. Пример автоколеба- тельной системы: c — обобщенная жесткость; m — масса груза; ω — частота враще-ния ведущего барабана транс- портера

8

Помимо того, в курсе теории колебаний механических систем эти систе-мы изучают по признаку числа степеней свободы.

1. Системы с одной степенью свободы (рис. В5). 2. Системы с конечным числом степеней свободы (рис. В6).

Рис. В5. Примеры систем с одной сте- пенью свободы: а — груз на пружине с демпфером; б — мате-матический маятник (c — обобщенная жест-кость; b — обобщенный коэффициент трения; m — масса груза; x — отклонение массы от по-ложения равновесия; l — длина подвеса маят-ника; φ — угол отклонения системы от поло- жения равновесия)

Рис. В6. Пример колебательной сис- темы с двумя степенями свободы: c1, с2 — обобщенные жесткости; b1 — обобщенный коэффициент трения; m1, m2 — массы грузов; x1, x2 — отклонения масс от положения равновесия

3. Системы с бесконечным числом сте-

пеней свободы, или системы с распределен-ными параметрами (рис. В7).

В учебном пособии последовательно рассмотрены:

• колебания с одной степенью свободы; • параметрические колебания; • колебания с конечным числом степеней

свободы; • колебания с распределенными параметрами; • виброизоляция. В каждой из глав, за исключением последней, в полной мере освещены

все три главные задачи теории механических колебаний, обозначенные выше.

Рис. В7. Пример колебательной системы с распределенными параметрами: m — масса балки

9

1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.1. Составление физической модели

Любая реальная механическая система состоит из бесконечного числа материальных точек. Поскольку связи между ними не являются абсолютно жесткими, то число степеней свободы такой системы бесконечно велико. Од-нако в зависимости от постановки задачи и требуемой точности решения число учитываемых степеней свободы можно ограничить, выбрав в качестве расчетной схемы реальной механической системы систему, обладающую не-сколькими или даже одной степенью свободы. В реальных конструкциях ча-сто можно выделить массивные элементы, деформацией которых можно пре-небречь, и упругие элементы, массу которых можно не учитывать. В этом случае расчетная схема представляется рядом жестких массивных тел, соеди-ненных упругими связями.

Так, в качестве примера рассмотрим массивную балку, опирающуюся на две шарнирные опоры (рис. 1.1).

В первом приближении при исследовании ее можно представить в виде одномассовой системы с одной степенью свободы (рис. 1.2).

Рис. 1.1. Массивная балка на шарнир- ных опорах: m — масса балки

Рис. 1.2. Представление балки в виде одномассовой модели: c — обобщенная жесткость; m — масса балки

В этом случае вся масса балки сосредоточена в одной точке и балка со-единена с шарнирными опорами посредством невесомых пружин. Подобное представление является весьма грубым, однако неоспоримое достоинство такого моделирования — простота дальнейшего решения. Правда, результат будет не очень точным, но позволит приближенно оценить параметры коле-бательного движения балки.

Более точный результат можно получить, если представить балку как многомассовую систему с несколькими степенями свободы (рис. 1.3).

Полученное решение будет ближе к точному. Но здесь возникают свои сложности: неясно, как разбить массу балки.

10

Рис. 1.3. Представление балки в виде многомас-совой (в данном случае — двухмассовой) системы: c1, с2, с3 — обобщенные жесткости; m1, m2 — массы

Еще более точное решение можно получить, если представить балку как

систему с распределенными по всей длине параметрами (см. рис. 1.1). Но в этом случае решение задачи усложняется.

Таким образом, выбор расчетной схемы и есть процесс составления фи-зической модели.

1.2. Составление математической модели

Следующий шаг в решении задачи — составление математической моде-ли, т. е. уравнений, описывающих движение системы в любой момент времени.

Наиболее универсальным средством для этого является применение уравнения Лагранжа II рода, которое для системы с i степенями свободы име-ет вид

,

ii i i

d T T UQ

dt q q q

где t — текущее время; Т — кинетическая энергия системы, определяемая как обобщенными координатами, так и обобщенными скоростями; U — потенци-альная энергия системы, определяемая только обобщенными координатами; qi, iq — обобщенные координаты и скорости системы; Qi — обобщенная си-ла, действующая в направлении обобщенной координаты и определяемая обобщенными координатами, скоростями и временем.

Иногда для получения математической модели используют квазистати-ческие методы, основанные на использовании принципа Д’Аламбера. В этом случае рассматривают равновесие системы с приложенными к ней силами инерции:

1

,

i

i i ij

j

m q F

где mi — масса; iq — обобщенное ускорение i-й массы системы; Fij — j-я сила, приложенная к i-й массе системы.

Отметим, что квазистатические методы следует применять только в тех случаях, когда известны абсолютно все силы, действующие на систему.

Пример 1.1. Для системы, представленной на рис. 1.4, составьте диффе-ренциальное уравнение движения (трением в системе пренебречь).

11

Решение. Сначала решим задачу с использованием уравнения Лагранжа II рода. В качестве обобщенной коор-динаты удобнее выбрать угол отклоне-ния стержня от положения равнове-сия — угол φ. В этом случае, используя зависимости, известные из курса теоре-тической механики, можно определить кинетическую и потенциальную энер-гии системы.

Кинетическая энергия определяет-ся только угловой скоростью поворота стержня:

2φ,

2J

T

где J — момент инерции стержня отно-сительно точки подвеса.

Потенциальная энергия системы складывается из двух составляющих: потенциальной энергии деформации пружины U1 и изменения потенциала силы тяжести U2:

2

1φ

,2

cU

где с — угловая жесткость пружины;

2 1 cosφ .U mgR

Определим теперь составные части уравнения Лагранжа II рода:

φ; φ; 0;φ φ φ

φ sinφ.φ

T d T TJ J

dt

Uc mgR

По условию задачи сила трения в шарнире отсутствует и другие внешние силы на рассматриваемую систему не действуют. Следовательно, Qφ = 0. В итоге имеем

φ φ sinφ 0.J c mgR

Аналогичное уравнение можно получить, используя принцип Д’Алам-бера. Для этого запишем уравнение суммы моментов, действующих на си-стему, относительно точки подвеса и приравняем его к нулю.

Рис. 1.4. Колебательная система: R — расстояние от точки подвеса до цен-тра масс маятника; — угол отклонения стержня от положения равновесия; mg — сила тяжести

12

На стержень действуют следующие моменты: от силы инерции φ,J от

пружины φc и от силы тяжести sinφ.mgR Таким образом, в соответствии с принципом Д’Аламбера можно записать

φ φ sinφ,J c mgR

или

φ φ sinφ 0.J c mgR

Видно, что результаты в обоих случаях совпадают.

Пример 1.2. Определите уравнения, описывающие движение системы (рис. 1.5), если известно, что момент инерции балки относительно шарнира А равен J (массой балки можно пренебречь).

Решение. Решим задачу с исполь-зованием метода Д’Аламбера. Анализ системы показывает, что она обладает двумя степенями свободы. Следова-тельно, для полного описания ее со-стояния необходимо иметь два урав-нения. Примем в качестве обобщенных координат перемещение груза по бал-ке x и угол поворота балки φ.

Запишем уравнение равновесного состояния груза массой m на балке, пренебрегая силой трения между гру-зом и балкой:

2φ ( ),mx mx P t

где 2φmx — центробежная сила, действующая на груз при повороте балки с

угловой скоростью φ. Второе уравнение получим из условия равновесия моментов, действую-

щих на балку:

2 2φ φ φ.J mx mgx cl

Угол поворота балки φ складывается из двух составляющих: статиче-ской φст и динамической φд. Угол φст определяется деформацией пружины в равновесном состоянии. В этом случае на балку действуют только два мо-мента: момент от грузa mgx и момент от пружины 2

стφ .cl В этом положе-нии система равновесна и другие моменты на нее не действуют, поэтому можно записать

2стφ .mgx cl

Рис. 1.5. Колебательная система: А — шарнир; m — масса груза; P(t) — вы-нуждающая обобщенная сила; с — жест-кость; — угол отклонения от положения равновесия; l — длина балки; х — про- дольная координата

13

Учитывая, что φст = const, имеем

2

ст д д ст д д2φ φ φ φ ; φ φ φ φ .

d ddtdt

Таким образом, получаем

2 2 2д д ст д

2 2д д д

φ φ φ φ ;

φ φ φ .

J mx mgx cl cl

J mx cl

Система уравнений имеет вид

2

2 2д д д

φ ( );

φ φ φ 0.

mx mx P t

J mx cl

(1.1)

Теперь решим задачу с использованием уравнения Лагранжа II рода. Определим кинетическую энергию системы:

2 2 2 2φ φ,

2 2 2mx mx J

T

и потенциальную энергию, которая в данном случае зависит только от де-формации пружины:

21φ .

2U c l

Элементарная работа внешних сил по обобщенной координате x определяет-ся как δ ( )δ ,xW P t x а по обобщенной координате φ — как φ 0.W

Таким образом, можно определить составляющие уравнения Лагранжа II рода:

2

2 2

2φ

; ; φ ; 0; ( );

φ φ; 2 φ φ φ;φ φ

0; φ; 0.φ φ

xT d T T U

mx mx mx Q P tx dt x x x

T d Tmx J mx x mx J

dt

T Ucl Q

В результате имеем

2

2 2

φ ( );

φ φ 2 φ φ 0.

mx mx P t

J mx mx x cl

(1.2)

Система уравнений (1.2) несколько отличается от системы (1.1). Во вто-ром уравнении системы (1.2) появился дополнительный член 2 φ .mx x Для

14

того чтобы понять это, вспомним теоретическую механику, из которой из-вестно, что при сложном движении возникает сила Кориолиса.

Таким образом, при использовании уравнения Лагранжа II рода практи-чески всегда гарантируется учет всех «видимых» и «невидимых» сил, что не может быть гарантировано при использовании принципа Д’Аламбера.

Контрольные вопросы 1. Какие виды колебаний механических систем вы знаете? Как они клас-

сифицируются? 2. Какие задачи решают при изучении теории колебаний механических

систем? 3. Какова последовательность решения задачи колебаний?

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Составьте физическую и математическую модели колебатель-

ной системы «детские качели». Задача 2. Используя уравнение Лагранжа II рода, запишите дифференци-

альное уравнение колебаний системы из задачи 1.

15

2. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

2.1. Силы, действующие в колебательной системе

В общем случае движение любой механической системы с одной степе-нью свободы происходит под действием четырех сил: силы инерции ,aq си-лы трения (диссипативной силы) R, восстанавливающей силы (силы упруго-сти) F и вынуждающей силы P(t).

Дифференциальное уравнение в таком случае нетрудно составить, если использовать квазистатический метод:

( ) 0,aq F R P t (2.1)

где a — обобщенная масса системы; F = f (q) — восстанавливающая сила; ( )R f q — сила трения; P(t) — вынуждающая сила.

Рассмотрим природу возникновения каждой составляющей, входящей в уравнение (2.1).

Обобщенная масса системы для разных механических систем может определяться по-разному и зависит от коэффициента, стоящего перед обоб-щенным ускорением системы. Рассмотрим несколько примеров определения обобщенной массы.

1. Груз на пружине (рис. 2.1). Уравнение движения такой системы выглядит весьма просто:

0,mq cq

откуда следует, что обобщенная масса системы равна массе груза: a = m. 2. Колебания инерционного диска на упругом валу (рис. 2.2). Движение такой системы можно описать уравнением

φ φ 0,J c

Рис. 2.1. Груз на пружине: m — масса груза; c — обобщенная жесткость; q — обобщенная координата

Рис. 2.2. Диск на упругом валу: l — длина упругого вала; J — момент инерции диска

103

пр 2 3 43

лев 2 3 43

1 1 139 ε ε ε ;

16 64 20 480

1 1 139 ε ε ε .

16 64 20 480

d

d

В заключение отметим, что вязкое трение несколько сужает границы не-устойчивости.

Контрольные вопросы 1. Какие виды восстанавливающей силы и силы трения вы знаете? 2. Какова последовательность решения задачи колебаний линейной кон-

сервативной системы с одной степенью свободы? 3. Что такое собственная частота консервативной системы? 4. Что такое фазовая плоскость? Что на ней изображается? 5. Какова последовательность решения задачи колебаний системы с од-

ной степенью свободы при наличии вязкого трения? 6. Что подразумевают под частотой затухающих колебаний? 7. Какие виды движения системы при наличии силы вязкого трения вы

знаете? Как выглядят их траектории на фазовой плоскости? 8. Какова последовательность решения задачи колебаний системы с од-

ной степенью свободы при наличии сухого трения? 9. Что включает в себя понятие зоны застоя? 10. Какова последовательность решения задачи колебаний системы с од-

ной степенью свободы при наличии нелинейного трения? 11. В чем заключается метод энергетического баланса? 12. Каково точное решение задачи колебаний системы с одной степенью

свободы при наличии нелинейной восстанавливающей силы? 13. Что такое скелетная кривая? 14. Какие методы линеаризации нелинейной характеристики восстанав-

ливающей силы вам знакомы? Опишите последовательность решения задачи колебаний с их помощью.

15. Что подразумевают, когда говорят об устойчивости колебаний меха-нической системы? Каковы критерии устойчивости колебаний механической системы?

16. В каких условиях возникают вынужденные колебания? Какие способы возбуждения вынужденных колебаний вам известны? Какие колебания при этом возникают?

17. В чем заключается решение задачи вынужденных колебаний линей-ной системы с одной степенью свободы при наличии вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону?

18. Что подразумевают под явлением резонанса? 19. Объясните понятие коэффициента динамичности. Что включает в себя

понятие резонансной кривой? 20. Решите задачу определения реакции консервативной системы на дей-

ствие импульса силы.

104

21. Решите задачу определения реакции линейной консервативной систе-мы на действие силы, изменяющейся по произвольному закону.

22. Решите задачу вынужденных колебаний линейной системы с одной степенью свободы при наличии силы вязкого трения. Поясните, что такое добротность системы.

23. Что включают в себя понятия затухающих и незатухающих биений? 24. Решите задачу колебаний линейной системы с вязким трением при

действии на нее силы, изменяющейся по произвольному закону. 25. Решите задачу колебаний системы с нелинейным трением при дей-

ствии на нее силы, изменяющейся по гармоническому закону. 26. Решите задачу колебаний консервативной системы с нелинейной вос-

станавливающей силой и гармонически изменяющейся вынуждающей силой. Какие виды колебаний в этом случае возникают?

27. Постройте амплитудно-частотные характеристики консервативной систе-мы с жесткой и мягкой характеристиками нелинейной восстанавливающей силы.

28. Что подразумевают под параметрическими колебаниями? В чем за-ключается решение задачи параметрических колебаний? Решите задачи для параметрического возбуждения по закону прямоугольного синуса и по закону гармонического синуса.

29. Что отражают диаграммы устойчивости параметрических колебаний? Каким образом линейное трение влияет на устойчивость параметрических колебаний?

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Девочка массой 50 кг качается на качелях, длина подвеса кото-

рых составляет 10 м. Составьте физическую и математическую модели коле-бательной системы «девочка на качелях». Девочка не прикладывает никаких усилий к изменению интенсивности движения.

Задача 2. Для условий, данных в задаче 1, примите, что сидение каче-лей дополнительно упруго прикреплено к опорам качелей и при отклонении на угол φ возникает восстанавливающая сила 0,24φ. Составьте дифференци-альное уравнение малых колебаний. Определите обобщенный коэффициент жесткости системы. Предположите, что девочка хочет остановиться и тор-мозит ногами о песок. Какой тип силы трения возникает в этом случае?

Задача 3. Для условий, данных в задаче 2, определите собственную ча-стоту колебаний.

Задача 4. Дан закон движения системы ( ) sin .q t t t Для системы, со-вершающей колебания по этому закону из положения равновесия (при t = 0 q = 0, dq/dt = 0), постройте фазовую траекторию для первых 10 с движения.

Задача 5. Груз массой 100 кг, расположенный в вязкой жидкости, кача-ется на невесомом нерастяжимом подвесе длиной 10 м. Сила вязкого трения

0,3φ.R Составьте дифференциальное уравнение колебаний для такой си-стемы. Определите частоту затухающих колебаний и логарифмический де-

105

кремент затухания. Какой тип движения осуществляет система? Постройте фазовую траекторию движения, считая, что в начальный момент времени си-стема была отклонения на угол φ = 0,1 и отпущена без начальной скорости.

Задача 6. Для условий, данных в задаче 5, примите 0,3sign φ .R По-стройте фазовую траекторию системы, полагая, что в начальный момент вре-мени система была отклонения на угол φ = 0,1 и отпущена без начальной скорости. Определите границы зоны застоя.

Задача 7. Для условий, данных в задаче 1, примите амплитуду колебаний maxφ /3. Постройте скелетную кривую для такой колебательной системы. Задача 8. Груз массой 100 кг, расположенный в вязкой жидкости (сила

трения 0,3φ),R качается на невесомом нерастяжимом подвесе длиной 10 м. По достижении грузом амплитуды aφ 0,2 /3 на него начинает дей-ствовать восстанавливающая сила F = 15φ. Полагая движение системы ли-нейным, постройте скелетную кривую.

Задача 9. Внутри Останкинской телебашни расположены натянутые тро-сы, не дающие ей раскачиваться под действием ветра с амплитудой, превы-шающей расчетную. Если мысленно удалить тросы, будет ли такая колеба-тельная система устойчивой?

Задача 10. Некоторая произвольная консервативная колебательная си-стема массой 2 кг, имеющая собственную частоту k = 20 c–1, совершает сво-бодные колебания. В момент времени t = 0 она имела положение q = 0,1 и скорость 0,2.q В этот же момент времени к ней была приложена внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону 42sin18 .Q t Исследуйте колебания такой системы. Определите коэффициент динамичности.

Задача 11. Исследуйте установившиеся вынужденные колебания систе-мы, параметры которой представлены в задаче 10, полагая, что вынуждающая сила изменяется по закону прямоугольного синуса с той же частотой.

Задача 12. Исследуйте вынужденные колебания системы, параметры ко-торой представлены в задаче 10, при условии наличия в системе силы вязкого трения 2 .R q Найдите коэффициент динамичности и добротность систе-мы. Постройте закон движения.

Задача 13. К системе, описанной в задаче 12, добавлена еще одна внеш-няя сила 1 42sin22 .Q t Исследуйте вынужденные колебания такой системы.

Задача 14. Для системы, параметры которой даны в задаче 13, считайте, что сила изменяется по закону прямоугольного синуса. Исследуйте устано-вившиеся вынужденные колебания.

Задача 15. Исследуйте основные, супергармонические и субгармониче-ские колебания с точностью до третьей гармоники для колебательной систе-мы массой m = 10 кг при действии восстанавливающей силы 250F q и внешней силы 20sin14 .Q t

Задача 16. Объясните сущность параметрических колебаний на примере ребенка, качающегося на качелях.

106

3. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

3.1. Способы составления дифференциальных уравнений

Для получения физической модели любой механической системы в зави-симости от требуемой точности решения можно использовать три типа моде-лей: с одной степенью свободы, с конечным числом степеней свободы и с распределенными параметрами (см. гл. 1). Рассмотрим системы с конечным числом степеней свободы (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Системы с конечным числом степеней свободы: а — система с тремя степенями свободы; б — система с четырьмя степенями свободы

Для составления дифференциальных уравнений, описывающих движе-

ние систем с конечным числом степеней свободы, существует несколько способов.

Как и для систем с одной степенью свободы, основным является способ, базирующийся на использовании уравнения Лагранжа II рода. В этом случае его записывают в виде

.ii i i

d T T UQ

dt q q q

Таким образом, число дифференциальных уравнений равно числу степеней свободы рассматриваемой системы.

Из курса теоретической механики известно, что при малых отклонениях обобщенных координат системы от положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии выражаются через обобщенные координаты и ско-рости:

144

также найдем с помощью интеграла Дюамеля:

0 03 0 3 3 30

3 30

1,077 1,077 0,263ε sin cos cos 1 .

2,28 2,28

ttM M

M k d k k tJk Jk c

Теперь, используя известную зависимость

1

ε ,i

j k jkk

q

перейдем от главных координат к выбранным обобщенным координатам:

1 1 11 2 12 3 13

0 02 3

ε ε ε

2,586 0,2630 1 1 cos 1 cos 1 1;

q

M Mk t k t

c c

02 1 21 2 22 3 23 2

03

2,586ε ε ε 0 1 1 cos 0,435

0,263cos 1 0,77;

Mq k t

cM

k tc

01 1 11 2 12 3 13 2

03

2,586ε ε ε 0 1 1 cos 0,615

0,263cos 1 0,179.

Mq k t

cM

k tc

Видно, что решать задачи вынужденных колебаний систем с конечным числом степеней свободы с помощью метода главных координат сравнитель-но несложно, хотя для этого требуются трудозатраты и внимательность.

Контрольные вопросы 1. Что подразумевают, когда говорят о том, что механическая система

имеет конечное число степеней свободы? 2. Какие способы составления дифференциальных уравнений колебаний

механических систем с конечным числом степеней свободы вам известны? 3. Как выглядят выражения для кинетической и потенциальной энергий,

записанные в канонической форме? 4. Какова последовательность решения задачи определения частот соб-

ственных колебаний механических систем с конечным числом степеней сво-боды? Что такое основная частота колебательной системы с конечным чис-лом степеней свободы?

5. Что подразумевают под собственными формами колебаний системы с конечным числом степеней свободы и коэффициентами собственных форм? В чем заключается ортогональность собственных форм колебаний?

6. Объясните понятие главных координат системы. Как связаны обоб-щенные и главные координаты колебательной системы?

145

7. Поясните особенности матричной формы записи системы дифференци-альных уравнений.

8. Какова последовательность решения задачи свободных колебаний си-стемы с конечным числом степеней свободы при наличии вязкого трения? В чем различие законов движения колебательной системы с конечным чис-лом степеней свободы и системы с одной степенью свободы?

9. Что подразумевают, когда говорят об устойчивости колебаний систем с конечным числом степеней свободы? Каковы критерии устойчивости коле-баний систем с конечным числом степеней свободы?

10. В чем заключается решение задачи колебаний системы с конечным числом степеней свободы при действии на нее вынуждающих сил?

11. Что такое антирезонанс колебательной системы? Где его применяют?

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Давид Григорьевич Наливайко, бухгалтер совхоза «Красный

лапоть», заметил, что всякий раз, как в местное питейное заведение привози-ли требуемый продукт, его сосед в точности мысленно воспроизводил одну и ту же фразу на частоте в 660 Гц. Пользуясь своими недюжинными знаниями, Наливайко разработал конструкцию уникального мыслеуловителя, который должен был резонировать всякий раз, когда сосед мысленно произносил ключевую фразу. Мыслеуловитель представлял собой два массивных диска с моментами инерции 25,0 и 37,5 кг·м2, соединенных упругим валом, имеющим крутильную жесткость 6600 Н·м/рад, однако он не работал. Определите при-чины неполадок с позиции теории колебаний механических систем.

Задача 2. Используя данные, приведенные в задаче 1, помогите Давиду Григорьевичу в модернизации мыслеуловителя путем добавления массивного диска с моментом инерции 25 кг·м2 и упругого вала такой жесткости, чтобы одна из собственных частот совпала с частотой мысли соседа. Для получен-ной колебательной системы определите собственные частоты и формы коле-баний. Запишите дифференциальные уравнения движения системы в главных координатах.

Задача 3. Сосед Давида Григорьевича заметил, что Наливайко все время что-то мастерит, и решил, что тот делает ракету, дабы летать в соседнее село в магазин. Стремясь превзойти Давида Григорьевича во всем, сосед решил мо-дернизировать свой автомобиль, надеясь, что это даст возможность приезжать к месту назначения быстрее Наливайко. Убрав подвеску полностью, он заме-тил, что на скорости в 35 м/с машина входит в жесточайший резонанс по вер-тикальным колебаниям. Определите длину периодической неровности дороги при условии, что жесткости всех шин одинаковы и равны 160 000 Н/м, масса машины 1000 кг, а момент инерции относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, — 3000 кг·м2. Колеса расположены симметрично относи-тельно центра масс на расстоянии 1,5 м. При решении задачи колебаниями в поперечном направлении можно пренебречь.

146

Задача 4. Давид Григорьевич, крайне раздосадо-ванный неудачей в изготовлении мыслеуловителя, задумал сделать мыслегаситель (рис. 3.22).

Моменты инерции маховиков составляют J1 = = 20 кг·м2 и J2 = 37,5 кг·м2. Возмущающий момент M изменяется по гармоническому закону с частотой 660 Гц. Подберите жесткости упругих валов так, что-бы маховик с моментом инерции J1 оставался непо-движным. Исследуйте поведение мыслегасителя при

приложении к дискам постоянных разнонаправленных моментов, равных 10 Н·м.

Рис. 3.22. Схема мыс- легасителя

147

Глава 4. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОЙ

4.1. Продольные и крутильные колебания стержней, поперечные колебания струн.

Дифференциальные уравнения движения

Общие закономерности упругих колебаний, установленные для систем с конечным числом степеней свободы, остаются справедливыми и для систем с распределенной массой. Но поскольку системы с распределенной массой обладают бесконечным числом степеней свободы, бесконечно и число их собственных форм. Если все эти формы и частоты определены, то решение задачи о вынужденных колебаниях может быть получено методом главных координат. При этом перемещения отдельных точек представляются уже не конечными суммами, а бесконечными рядами. Эти ряды, как правило, хоро-шо сходятся и могут быть успешно использованы для расчетов. В связи с этим в дальнейшем основное внимание будет уделено методам определения форм и частот собственных колебаний стержней.

Рассмотрим свободный от нагрузок призматический стержень постоян-ного сечения длиной l (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Расчетная схема решения задачи колебаний стержня:

dz — малый элемент стержня

Рис. 4.2. Расчетная схема решения задачи про- дольных колебаний стержня: — плотность материала; F — площадь поперечного сечения; S — осевая сила; dz — малый элемент стержня

Выделим бесконечно малый элемент dz стержня с координатой z относи-

тельно его левого конца. Обозначим через x продольное перемещение точки поперечного сечения с координатой z. Очевидно, что перемещение бесконеч-но малого элемента является функцией двух переменных — времени t и ко-ординаты z, т. е. ( , ).x x t z

183

или, с учетом того, что 2

2,

xM EI

z

3

3.

xV EI

z

Таким образом, получаем 4 2 2

4 2 2ρ .

x x xEI S F

z z t

Форма решения этого уравнения известна:

( , ) ( ) cos sin .x z t X z A pt B pt

Подставляя решение в исходное дифференциальное уравнение, находим

4 22

4 2ρ ( ).

d X d XEI S Fp X z

dz dz

Решение полученного уравнения будем искать в форме Эйлера, приняв

( ) e ,nzX z C

тогда

4 2 2e ρ 0 nzC EIn Sn Fp ,

или, введя обозначения 2 /b S EI и 2 / ρ ,a EI F определяем

4 2 22 / 0;n b p a 2 2 2 21,2 / .n b b p a

Дальнейшее решение зависит от соотношения величин b и / .p a Если балка лежит на упругом основании

(рис. 4.38), то дифференциальное уравнение ее колебаний выглядит следующим образом:

4 2

4 2

4 2

4 2

ρ ;

ρ .

x xEI dz rxdz Fdz

z t

x xEI rx F

z t

Решение дифференциального уравнения ничем не отличается от реше-ния, рассмотренного в этом подразделе.

Контрольные вопросы 1. Что подразумевают, когда говорят о колебательной системе с распре-

деленными параметрами? 2. Что такое волновое уравнение? В чем заключается задача его решения? 3. Каким образом находят частоты и формы собственных колебаний си-

стем с распределенными параметрами?

Рис. 4.38. Колебания бал-ки, лежащей на упругом основании

184

4. Рассмотрите решение задачи колебаний стержня с различными вариан-тами закрепления.

5. Приведите последовательность решения задачи продольных колебаний ступенчатого стержня на примере стержня, состоящего из двух участков.

6. В чем заключается решение задачи вынужденных колебаний стержней с распределенной массой?

7. Выведите дифференциальное уравнение поперечных колебаний глад-кого и ступенчатого стержней.

8. Запишите концевые условия для различных вариантов закрепления стержней.

9. Выведите дифференциальные уравнения колебаний для различных ва-риантов вынужденных колебаний шарнирно опертого стержня.

10. Каким образом влияет осевая сила на поперечные колебания стержня? Выведите дифференциальное уравнение колебаний стержня в данном случае.

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Выполните графическое отображение форм собственных коле-

баний стержня с закрепленными концами для первых четырех гармоник. Задача 2. Определите собственные частоты колебаний сечений гладкого

стального стержня длиной 1 м, один конец которого закреплен в заделке; площадь поперечного сечения стержня 0,001 м2.

Задача 3. Решите аналитически задачу продольных колебаний гладкого стержня с одним закрепленным концом при приложении к середине его дли-ны сосредоточенной нагрузки P(t).

Задача 4. Для условия закрепления, заданного в задаче 3, решите задачу колебаний при приложении действующей по всей длине равномерно распре-деленной нагрузки / sin .P l pt

Задача 5. Решите задачу свободных поперечных колебаний гладкого стержня при условии, что один конец стержня защемлен, а другой опирается на шарнирную опору.

Задача 6. Определите закон движения поперечных сечений гладкого стержня с одним защемленным и одним шарнирно опертым концом при дей-ствии сосредоточенной силы P(t) в середине длины стержня.

Задача 7. Определите закон движения поперечных сечений гладкого стержня с одним защемленным и одним шарнирно опертым концом при дей-ствии осевой силы S, приложенной к правому концу стержня (шарнирно опертому).

185

5. ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ

5.1. Основные понятия

Если действие машины основано на эффекте колебаний (вибрационные транспортеры, виброударные машины для забивания свай и др.), то колеба-ния могут быть полезными, но чаще они являются нежелательными, так как снижают надежность машин, вызывают шум и оказывают вредное воздей-ствие на организм человека. Борьбе с колебаниями разработчики любой тех-ники уделяют достаточно большое внимание.

Характеристики колебательных систем (т. е. амплитуды и часто́ты коле-баний) могут быть уменьшены или ограничены посредством оптимального выбора параметров конструкции разрабатываемой машины.

В тех случаях, когда таким способом уровень колебаний снизить не уда-ется, для защиты от вредного действия колебаний применяют дополнитель-ные устройства, называемые виброзащитными системами.

Различают два основных способа защиты от вибрации: виброгашение и виб-роизоляция. Виброгашение основано на присоединении к механизму дополни-тельных колебательных систем, называемых виброгасителями, которые создают динамическое воздействие, уменьшающее уровень колебаний в механизме.

Виброизоляция основана на разделении исходной системы на две части и соединении этих частей посредством виброизоляторов. Одна из частей явля-ется защищаемым объектом, другая — источником возбуждения. Во многих случаях масса одной части существенно превышает массу другой части. То-гда тело большей массы называют основанием независимо от того, является оно защищаемым объектом или источником возбуждения.

5.2. Одноосный виброизолятор

Наиболее простой системой виброизоляции является одноосный вибро-изолятор (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Схема одноосного вибро- изолятора: а — силовой способ возбуждения; б — кинематический способ возбуж-дения (F(t) — внешняя сила; y — пе-ремещение массы m; b — обобщенный коэффициент трения; s — перемеще- ние основания)

196

Назначение такого привода заключается в создании компенсирующего

воздействия, действующего в противофазе с возмущающим воздействием.

Контрольные вопросы 1. Для чего необходима защита от вибрации? Какие типы защиты от виб-

рации вам известны? 2. В чем заключается различие виброгашения и виброизоляции? 3. Как выполняют расчет одноосного виброизолятора? 4. Какие способы возбуждения виброколебаний вам известны? 5. Приведите последовательность расчета двухкаскадного виброизолятора. 6. Укажите особенность расчета виброизолятора с ограничителями хода. 7. Эффективны ли виброизоляторы при ударном воздействии на защища-

емый объект? 8. Что подразумевают под управляемыми системами виброизоляции?

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Необходимо защитить основание от действия вибромеханизма

массой 500 кг, колеблющегося с частотой 10 Гц. Рассчитайте минимальную жесткость виброизолятора, необходимую для обеспечения качественного га-шения колебаний.

Задача 2. Для условий, данных в задаче 1, введите второй каскад вибро-изоляции так, чтобы коэффициент передачи силы составлял менее 10–3.

Рис. 5.8. Схема управляемого виброизолятора: cу — жесткость упругого элемента следящего привода; Fу — управляющий сигнал; b — обобщенный коэф- фициент трения

197

Заключение

Представленные в учебном пособии способы и методы расчета колеба-тельных процессов в механических системах могут быть использованы при анализе крутильных колебаний, действующих в трансмиссиях транспортных машин, а также при расчете транспортных виброзащитных систем.

Приведенные в пособии методики следует применять при выполнении задач, связанных с расчетами в области теории моторно-трансмиссионных установок.

Литература

Основная

Вульфсон И.И. Колебания в машинах: учеб. пособие. СПб.: СПбГУТД. 2-е изд.; 3-е изд. (доп.). 2006; 2008.

Вульфсон И.И., Шарапин И.А., Преображенская М.В. Расчет колебаний привода: учеб. пособие для втузов. СПб.: СПбГУТД, 2005.

Камалов А.З. Краткий курс лекций по теории колебаний: учеб. пособие / КГАСУ. Казань, 2006.

Дополнительная

Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. шк., 1980. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука,

1991. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1959.

198

Оглавление

Предисловие .................................................................................................................. 3 Основные обозначения ................................................................................................. 4 Введение ........................................................................................................................ 5 1. Общие принципы решения задач ........................................................................ 9 1.1. Составление физической модели ..................................................................... 9 1.2. Составление математической модели .............................................................. 10 Контрольные вопросы .............................................................................................. 14 Задачи для самостоятельного решения ................................................................... 14 2. Колебания систем с одной степенью свободы .................................................... 15 2.1. Силы, действующие в колебательной системе ............................................... 15 2.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы............................. 20 2.3. Устойчивость колебаний механической системы с одной степенью свободы относительно положения равновесия .............................................. 56 2.4. Вынужденные колебания линейных систем с одной степенью свободы ..... 61 2.5. Параметрические колебания ............................................................................. 94 Контрольные вопросы .............................................................................................. 103 Задачи для самостоятельного решения ................................................................... 104 3. Механические системы с конечным числом степеней свободы ..................... 106 3.1. Способы составления дифференциальных уравнений ................................... 106 3.2. Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы ......... 111 3.3. Устойчивость колебаний системы с конечным числом степеней свободы 129 3.4. Вынужденные колебания консервативной системы с конечным числом степеней свободы ................................................................................ 133 Контрольные вопросы .............................................................................................. 144 Задачи для самостоятельного решения ................................................................... 145 4. Колебания стержней с распределенной массой ................................................. 147 4.1. Продольные и крутильные колебания стержней, поперечные колебания струн. Дифференциальные уравнения движения .......................................... 147 4.2. Определение частот и форм собственных колебаний стержней постоянного сечения ......................................................................................... 150 4.3. Продольные колебания ступенчатого стержня ............................................... 161 4.4. Вынужденные колебания стержней с распределенной массой ..................... 163 4.5. Поперечные колебания стержней с распределенной массой ......................... 173 4.6. Вынужденные колебания шарнирно опертого стержня ................................. 179 4.7. Влияние осевой силы на поперечные колебания стержня ............................. 182 Контрольные вопросы .............................................................................................. 183 Задачи для самостоятельного решения ................................................................... 184

199

5. Виброизоляция ....................................................................................................... 185 5.1. Основные понятия ............................................................................................. 185 5.2. Одноосный виброизолятор ............................................................................... 185 5.3. Двухкаскадный виброизолятор ........................................................................ 189 5.4. Расчет виброизолятора с ограничителями хода .............................................. 191 5.5. Виброизоляция при ударном воздействии ...................................................... 194 5.6. Управляемые системы виброизоляции ............................................................ 195 Контрольные вопросы .............................................................................................. 196 Задачи для самостоятельного решения ................................................................... 196 Заключение .................................................................................................................... 197 Литература ..................................................................................................................... 197

200

Учебное издание

Харитонов Сергей Александрович Ципилев Александр Анатольевич

Динамика механических систем

Редактор Е.К. Кошелева Художник Я.М. Асинкритова Корректор О.В. Новикова

Компьютерная графика О.В. Левашовой Компьютерная верстка Н.Ф. Бердавцевой

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.

В оформлении использованы шрифты Студии Артемия Лебедева.

Подписано в печать 24.07.2017. Формат 70×100/16. Усл. печ. л. 16,25. Изд. № 172-2016.

Тираж 100 экз. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.

press@bmstu.ru www.baumanpress.ru

Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана.

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. baumanprint@gmail.com