2019Κ1Φ-2

13

2019Κ1Φ-3

RC

• Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Στο t = 0 η πηγή τάσης αντιστρέφει την πολικότητά της και η πηγή ρεύματος πέφτει στα 2 mA

• Να υπολογιστεί η τάση vo(t) για t 0

2019Κ1Φ-4

RC• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

• Εφόσον το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο, έχει περάσει στη μόνιμη κατάσταση και πρέπει να υπολογίσουμε την κατάστασή του αμέσως πριν το γεγονός που περιγράφεται

• «Κατάσταση» σημαίνει την καταγραφή των μεγεθών που θα παραμείνουν αναλλοίωτα για μια μοναδική «χρονική στιγμή» μετά το γεγονός (εδώ στο t = 0)

• Τα μεγέθη αυτά είναι οι τάσεις των πυκνωτών και τα ρεύματα των πηνίων

• ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ: Όταν οι διεγέρσεις στο κύκλωμα ήταν σταθερές(«dc») τότε στη μόνιμη κατάσταση:

1. Οι πυκνωτές έχουν γίνει ανοικτά κυκλώματα

2. Τα πηνία είναι ισοδύναμα με βραχυκυκλώματα

2019Κ1Φ-5

RC• t < 0 [«ΠΡΙΝ»]• Εφόσον οι πυκνωτές έχουν γίνει ανοικτά κυκλώματα και τα πηνία

έχουν γίνει βραχυκυκλώματα, το κύκλωμα είναι

• Η αντίσταση 4 kΩ είναι «στον αέρα»

• Μετασχηματίζουμε την πηγή τάσης σε πηγή ρεύματος 8 mA

• Θα υπάρχουν τρεις παράλληλες αντιστάσεις 10, 40 και 24 kΩ

• Θα υπάρχουν δυο παράλληλες πηγές ρεύματος, 8 mA και 3 mA

2019Κ1Φ-6

ΠΑΡΕΝΘΕΣΗ

• ΠΗΓΕΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΥΝΔΕΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ

• Για να αποφευχθούν «ατυχήματα» εφαρμόζουμε τον ΝΡΚ

12 14 2i i

14 12 0 2i i

2019Κ1Φ-7

RC• t < 0• Τρεις παράλληλες αντιστάσεις 10, 40 και 24 kΩ: 6 kΩ

• Δυο παράλληλες πηγές ρεύματος, 8 mA και 3 mA: 5 mA

• Και το κύκλωμα γίνεται:

• Άρα, ο πυκνωτής έχει φορτιστεί στην τάση που βλέπει και που είναι: 5 mA x 6000 Ω = 30 V

2019Κ1Φ-8

RC• t > 0• Το κύκλωμα είναι τώρα [vο(0

) = vο(0+) = 30 V]:

όπου έχει ήδη γίνει ο μετ/μός τής πηγής τάσης αριστερά (όπως προηγουμένως)

• Ας απλοποιήσουμε πάλι το κύκλωμα:Θα υπάρχουν τρεις παράλληλες αντιστάσεις 10, 40 και 24 kΩ Θα υπάρχουν δυο παράλληλες πηγές ρεύματος, 8 mA και 2 mA

30 V

2019Κ1Φ-9

• t > 0• Και τελικά

• Αυτό είναι ένα κύκλωμα RC και κατηγοριοποιούμε το πρόβλημα:

• Πρόκειται για πλήρη απόκριση• Μπορούμε να το λύσουμε κανονικά

ή να εφαρμόσουμε τον τύπο:

RC

1

( ) 0 , 0RCt

v t v v e v t

1

6 3

2000

( ) 0 , 0

0 30, 60,

10000 0,05 10 0,5 10 0,5 ms

( ) 90 60, 0

RCt

o o o o

o o

t

o

v t v v e v t

v v

RC

v t e t

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

30 V

2019Κ1Φ-10

14

2019Κ1Φ-11

RC

• Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Στο t = 0 ένα κατσαβίδι πέφτει και συνδέει τα σημεία a και b

• Υποθέτοντας ότι το κατσαβίδι έχει μηδενική αντίσταση, υπολογίστε:

Το ρεύμα που διαρρέει το κατσαβίδι όταν t = 0+ και όταν t = ∞

Το ρεύμα που διαρρέει το κατσαβίδι για t 0+

,

2019Κ1Φ-12

RC• t < 0 [ή t = 0 ή «ΠΡΙΝ»]

• Δεδομένου ότι η διέγερση στο κύκλωμα είναι σταθερή(«dc»), τότε στη μόνιμη κατάσταση οι πυκνωτές έχουν γίνει ανοικτά κυκλώματα

• Εφόσον οι πυκνωτές έχουν γίνει ανοικτά κυκλώματα, οι αντιστάσεις «τους» είναι στον αέρα και η τάση στην οποία έχουν φορτιστεί οι πυκνωτές είναι η τάση vab (όλο το ρεύμα τής πηγής περνάει από την αντίσταση 80 Ω)

• vab = 75103 80 = 6 V

2019Κ1Φ-13

RC• t > 0 [ή t 0+ ή «ΜΕΤΑ»]

• Το κύκλωμα γίνεται

• Οι δυο κόκκινοι δίσκοι είναι το βραχυκύκλωμα που έχει «τεντωθεί» για να διερευνήσουμε το ρεύμα στο κατσαβίδι

• Το βραχυκύκλωμα εξουδετερώνει την αντίσταση των 80 Ω

2019Κ1Φ-14

RC• t > 0 [ή t 0+ ή «ΜΕΤΑ»]

• Από ΝΡΚ: isd(0+) = 0,075 + i1 + i2 = 0,075 + 6/200 +6/400 = 120 mA

• Όταν t = ∞ οι πυκνωτές έχουν εκφορτιστεί και όλο το ρεύμα τής πηγής περνάει από το κατσαβίδι/βραχυκύκλωμα εξουδετερώνοντας πια και τις τρείς αντιστάσεις: isd(∞) = 75 mA

2019Κ1Φ-15

RC• t > 0 [ή t 0+ ή «ΜΕΤΑ»]

• Εναλλακτικοί τρόποι αναπαράστασης του ίδιου κυκλώματος

2019Κ1Φ-16

RC• t > 0 [ή t 0+ ή «ΜΕΤΑ»]

• Από ΝΡΚ:

isd(t) = 0,075 + i1(t) + i2(t)

• Τα ρεύματα i1(t) και i2(t) αντιστοιχούν σε ΑΜΔ για κύκλωμα RC

• Οπότε με τον τύπο 1

( ) 0 , 0RCt

x t x x e x t

20

1

1

200, 2,5 μF 50 ms( ) 0,03 , 0

0 30 mA

tR C RC

i t e ti

50

2

2

400, 50 μF 2 ms( ) 0,015 , 0

0 15 mA

tR C RC

i t e ti

2019Κ1Φ-17

RC• t > 0 [ή t 0+ ή «ΜΕΤΑ»]

• Τελικά:

20 50 0,075 ( ) 0,03 0,015 , 0t

sd

te e ti t

2019Κ1Φ-18

15

2019Κ1Φ-19

RL

• Η πηγή τάσης Vg είναι σταθερή (dc) [Vg + R1 : μπαταρία]

• Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Στο t = 0 ο διακόπτης ανοίγει και:Εμφανίζεται τόξο στις επαφές τού διακόπτηΤο βολτόμετρο καίγεται

• Τι ακριβώς συνέβη;

2019Κ1Φ-20

RL• Το τι συνέβη είναι εύκολο: εμφανίστηκε υπέρταση

• Το τι ακριβώς συνέβη ΔΕΝ είναι εύκολο

• Μετά το άνοιγμα του διακόπτη μένει το πηνίο μόνο του (στον αέρα) και η ανάλυση δεν είναι εύκολη

• Αυτό που ξέρουμε καλά να αναλύουμε είναι το κύκλωμα RL

• Πώς θα βάλουμε το RL στο παιχνίδι;

• Σε τέτοιες δύσκολες καταστάσεις χρησιμοποιούμε το εξής τέχνασμα:

1. παρεμβάλλουμε μια αντίσταση R στο κύκλωμα2. κάνουμε την ανάλυση3. αφήνουμε την αντίσταση R να πάει στο 0 ή στο άπειρο

(ανάλογα με την παρέμβαση…)

2019Κ1Φ-21

RL

• Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Στο t = 0 ο διακόπτης ανοίγει

• Να υπολογιστούν τα εξής:1. Η τάση vo(t)

2. Η τάση vo(t) καθώς R2→∞

3. Η τάση vΔ(t)

4. Η τάση vΔ(t) καθώς R2→∞

2019Κ1Φ-22

RL• t < 0 [ή t = 0 ή «ΠΡΙΝ»]

• Δεδομένου ότι η διέγερση στο κύκλωμα είναι σταθερή(«dc»), τότε στη μόνιμη κατάσταση το πηνίο έχει γίνει βραχυκύκλωμα

• Τότε, το ρεύμα είναι 1

g

o

Vi

R

2019Κ1Φ-23

RL• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

• Το ρεύμα στο πηνίο θα μείνει αμετάβλητο για μια στιγμή

• Από ΝΤΚ:

• Επίσης

1

0 0g

o o

Vi i

R

1 2 2

1 1 1

0 0 0g g g

g o o

V V VV R R v v R

R R R

0ov

2019Κ1Φ-24

RL• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

1. Έχουμε κύκλωμα RL με πλήρη απόκριση, οπότε από τον γενικό τύπο

2. Οπότε

1

1 2 1 2

1 2

2 2

1 1

( ) 0 , 0

0 0

T

R R R R

L L

t

o o o o

t tg g

LT

R R

v t v v e v t

V VR e R e

R R

1 2

2 2

2

1

lim ( ) lim 0R R

Ltg

oR R

Vv t R e

R

ΟΜΩΣ 1 2

2 2

0

2

1

lim (0 ) limR R

Lg

oR R

Vv R e

R

2019Κ1Φ-25

RL• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

3.

1

1 2

1 2 1 1 2

1 1 2 1 2

( ) 0

, 0 ,

( ) , 0

T

R R

L

t

o o o o

g g

o o

tg g g

o

i t i i e i

V VLT i i

R R R R R

V V Vi t e t

R R R R R

1 2

2 2 2

2

1 1 2 1 2

, 0R R

Ltg g g

o

R V R V R Vv t R i t e t

R R R R R

2( ) , 0ov t R i t t

2019Κ1Φ-26

RL• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

4. Οπότε

Αλλά:

Και γι’ αυτό εμφανίζεται το τόξο στα άκρα τού διακόπτη

2 2

2 2 2 20

1 1 2 1 2 1

0 lim limg g g g

R R

R V R V R V R Vv e

R R R R R R

1 2

2 2

2 2 2

1 1 2 1 2

lim limR R

Ltg g g

R R

g

R V R V R Vv t e

R R R R R

V

2019Κ1Φ-27

RL - ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ

CAPACITOR BANK

2019Κ1Φ-28

16

2019Κ1Φ-29

RC

• Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Στο t = 0 ο διακόπτης μεταβαίνει ακαριαία από το x στο y

1. Να υπολογιστεί η τιμή τού α που κάνει τη σταθερά χρόνου τού κυκλώματος ίση με 40 ms για t 0

2. Για το α που υπολογίστηκε προηγουμένως, να υπολογιστεί η τάση vΔ(t) για t 0

2019Κ1Φ-30

RC

• t < 0 [«ΠΡΙΝ»]

• Ο πυκνωτής θα έχει φορτιστεί στην τάση που βλέπει, που είναι σταθερή και ίση με 5 103 3,6 103 = 18 V, αλλά προσοχή στην πολικότητα όταν έρθει η ώρα να τη χρησιμοποιήσουμε

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

• Ο διακόπτης είναι τώρα στο y

• Ο πυκνωτής βλέπει απέναντί του ένα πολύπλοκο κύκλωμα που περιέχει όμως μόνο πηγές και αντιστάσεις

• Άρα, για να μετατρέψουμε το πρόβλημα σε εύκολα επιλύσιμο RC, αρκεί να βρούμε το ισοδύναμο Thevenin (και μάλιστα μόνο την αντίσταση!!) για το κύκλωμα απέναντι από τον πυκνωτή

2019Κ1Φ-31

RC

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

• Ο διακόπτης είναι τώρα στο y

• Για να υπολογίσουμε την αντίσταση Thevenin στα Α, Β μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το τέχνασμα με τη γνωστή πηγή

(αφού ξέρουμε* ότι θα εμφανιστεί μόνο η RTh, ο κανονικός τρόπος θα χρειαστεί πολύ περισσότερη δουλειά)

Α

Β

2019Κ1Φ-32

* ΠΑΡΕΝΘΕΣΗ• Όταν ένα κύκλωμα περιέχει μόνο εξαρτημένες πηγές

και αντιστάσεις (σε οποιοδήποτε αριθμό), τότε το ισοδύναμό του Thevenin θα είναι μία μόνο αντίσταση (που μπορεί να προκύψει και αρνητική)

• Αυτό συμβαίνει επειδή αν το ισοδύναμο περιείχε ανεξάρτητη πηγή, δηλ. πηγή ισχύος, θα σήμαινε ότι το αρχικό κύκλωμα μπορούσε να αποδώσει ισχύ εκ του μηδενός

• Το παραπάνω ισχύει και όταν το κύκλωμα περιέχει κι άλλου είδους στοιχεία, χωρίς αποθηκευμένη ενέργεια όμως—φυσικά το ισοδύναμο θα έχει έως και ένα πυκνωτή και ένα πηνίο εκτός από την αντίσταση

2019Κ1Φ-33

RC• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

• NTK: vT = 20×103 (iT + α vΔ) + 5×103iT

• vΔ = 5×103 iT

vT = 25×103 iT + 20×103 α (5×103 iT )

• RTh = vT /iT = 25×103 + 100×106 α

• τ = RTh C = 40×10−3 = RTh (0,8×10−6)

RTh = 50 kΩ

• Οπότε:

• 50.000 = 25.000 + 100×106 α

α = 25.000 / (100×106) α = 2,5×10−4

VT

iT iT

2019Κ1Φ-34

RC• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

• Καταλήγουμε λοιπόν στο εξής κύκλωμα:

• Πρόκειται για RC σε ΑΜΔ

• Χρησιμοποιούμε τον γνωστό τύπο με vo(∞) = 0

• Από προηγουμένως: vo(0) = (5 103 3,6 103) = 18 V

• Η σταθερά χρόνου τ έχει ήδη υπολογιστεί ή πιο σωστά επιβεβαιωθεί σαν 40 ms

• Τελικά:

0,8 μF 50 kΩ

1

25

( ) 0

18 V, 0

Tt

o o

t

v t v e

e t

2019Κ1Φ-35

RC• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

• Φτάνουμε στον τελικό στόχο, την τάση vΔ :

4

0

25

( ) ( ) ( )2,5 10 ( ) 0

5000 20000

4 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 0

( )( )

10

( ) 1,8 V, 0

o

o

t

v t v t v tv t

v t v t v t v t

v tv t

v t e t

0,8

μF

2019Κ1Φ-36

17

2019Κ1Φ-37

RC – ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ• Δυο ιδανικοί πυκνωτές, εκ των οποίων ο ένας

είναι φορτισμένος με τάση V0, έρχονται σε επαφή μόλις κλείσει ο διακόπτης στο t = 0

• Να υπολογιστούν τα εξής:

1. Το ρεύμα i(t), t 0

2. Η καταναλισκόμενη ενέργεια στο διάστημα (0, Τ)

3. Οι οριακές τιμές των τάσεων των πυκνωτών και του ρεύματος i

4. Οι αρχικές και τελικές ενέργειες των πυκνωτών

5. Η σχέση ανάμεσα στις αρχικές και τελικές ενέργειες των πυκνωτών

2019Κ1Φ-38

RC – ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ• Το πρόβλημα αυτό «εκθέτει» ελαφρά τη Θεωρία

Κυκλωμάτων επειδή αναγκαζόμαστε να δεχθούμε ότι κάποιο ποσό ενέργειας λείπει από το τελικό ισοζύγιο και λέμε ότι «ακτινοβολείται»

• Το θέμα κινεί ακόμα το ερευνητικό ενδιαφέρον και κάθε λίγα χρόνια εμφανίζεται και μια νέα ιδέα ή προσέγγιση

• Για μια λύση απλή με βάση το ηλ. φορτίο, βλ. Μάργαρη, παρ. 3.2-7, σελ. 63

• Η τυπική προσέγγιση κάνει χρήση μιας παρένθετης αντίστασης που μετά αφαιρείται με όριο στο μηδέν

2019Κ1Φ-39

RC – ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ• ΑΝΑΛΥΣΗ

1 2

2 12 1

NTK v Ri v

dv dvNPK C i C

dt dt

1 20

1 2

1 2 1 2

10

1 2 0

1 2

1 10

10 , 0

C CV ti R C CR

i di i diR R i

C dt C dt C C

di C C Vi i t e t

dt R C C R

2019Κ1Φ-40

RC – ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ2. Κατανάλωση στο R

3. Οι οριακές τιμές:

1 2

1 2

1 2

1 2

22

2 0

0 0 0

22

1 2 0

1 2

... 12

C CT T T tR C C

R R

T C C

R C C

VE T v t i t dt Ri t dt R e dt

R

C C Ve

C C

1 2

1 20 2 0 2 0 11 1 0 1 0

1 1 2 1 2 1 20

10 1

t C CtR C CV C V C V C

v t v i t dt V e v VC C C C C C C

1 2

1 2

1

0lim 0

C Ct

R C C

t

Vi e

R

1 2

1 20 1 0 12 2

2 1 2 1 20

11

t C CtR C CV C V C

v t i d e vC C C C C

2019Κ1Φ-41

RC – ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ4. Οι αρχικές και τελικές ενέργειες των πυκνωτών

5. Ισοζύγιο:

ΤΙ ΣΥΝΕΒΗ;;

1

1 1

2

1 0

2 2 2 2 2 2

0 1 0 1 0 11 22 2

1 21 2 1 2

2

1 0

10 0

2

1 1 10

2 2 2

1

2

C

R C C

E E CV

E E E E

V C V C V CC C

C CCV

C C CC

1 2

2

1 00 , 0 02

C C

CVE E

1 2

2 2 2 2

0 1 0 11 22 2

1 2 1 2

1 1,

2 2C C

V C V CE C E C

C C C C

2019Κ1Φ-42

RC – ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣΤΙ ΣΥΝΕΒΗ;;• Δεχόμαστε ότι η ενέργεια που λείπει «ακτινοβολήθηκε»• Η διαφορά εξηγείται από την ιδανικότητα των στοιχείων• Το θέμα ερευνάται ακόμα• Όπως και νάναι:

1

1 2

1 2

2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

0 01de l'Hopital 2

0

10 0 0 0

0 0

0 0

0

1 2 1 2

1 2

1 2

lim lim lim lim

lim liml

0, 0

i

1

m 0 lim

C C t

C C R

C C

C Ct

R C C

C CR R R RtR C C

R t C C t

RC C C RR

R C

C C e t

C C R

C C C C

C CC

V VV R Ri t e

C e

Re

V V

t e t

t

i

1 2

1 21 2

1 2 1 2

1 2

0

0

1

0 0

0 0

1 2 0

1 2

0

, 0R

C Ct

R C

C C t

C C RC

V

R

V V

t

C C V

C C

C C ei t dt e dt

R R

R

C C

1 2 0

1 2

1 2 0

1 20

0, 0

, 0

i t tC C V

i t t i t tC C

C C Vi t dt

C C

2019Κ1Φ-43

RC – ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

• Οπότε, τελικά:

• και η μεταφορά τού φορτίου συμβαίνει στιγμιαία

1 2 0

01 2

limR

C C Vi t t

C C

2019Κ1Φ-44

Για περισσότερες ασκήσεις RC/RL δείτε και τα σχετικά θέματα από τον Φεβρουάριο και τον Σεπτέμβριο του 2004

2019Κ1Φ-45

18

2019Κ1Φ-46

RLC

• Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Στο t = 0 η τάση τής πηγής πέφτει ακαριαία στα 150 V

• Να υπολογιστεί η τάση vo(t) για t 0

2019Κ1Φ-47

RLC• t < 0 [«ΠΡΙΝ»]

• Δεδομένου ότι το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο και το ότι η πηγή είναι σταθερή, ο πυκνωτής έχει γίνει ανοικτό κύκλωμα, οπότε

•

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

• α > ω0 υπερκρίσιμη απόκριση

2019Κ1Φ-48

RLC• Οι ρίζες τής χαρακτηριστικής εξίσωσης θα δώσουν:

• Η τελική τάση του πυκνωτή θα είναι (καθώς θα έχει γίνει πάλι ανοικτό κύκλωμα):

• Από την αρχική συνθήκη

• Από την παράγωγο της τάσης

01 2

0

20 80 0o

t

dv IA A

dt C

1 2 50A A

2019Κ1Φ-49

RLC

• Λύνοντας το σύστημα:

• Τελικά η τάση τού πυκνωτή θα είναι:

1 266,67 16,67A A

20 80150 66,67 16,67 V, 0t t

ov t e e t

2019Κ1Φ-50

19

2019Κ1Φ-51

RLC

• Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Στο t = 0 ο διακόπτης κλείνει

• Να υπολογιστεί το ρεύμα iL(t) για t 0

2019Κ1Φ-52

RLC• t < 0 [«ΠΡΙΝ»]

• Δεδομένου ότι το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο και το ότι η πηγή είναι σταθερή, ο πυκνωτής έχει γίνει ανοικτό κύκλωμα και το πηνίο βραχυκύκλωμα, οπότε

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

2019Κ1Φ-53

RLC• Και τελικά:

• Θα έχουμε:

ΚΡΙΣΙΜΟ

2019Κ1Φ-54

RLC

• Θα έχουμε τελικά:

10000 10000

1 20,1 t t

Li t A t e A e

2 20 0,1 0,12 0,02Li A A

1 2 1

0

10000 0 200L L C

t

di V VA A A

dt L L

10000 10000

10,1 200 0,02 , 0t t

Li t t e e t

2019Κ1Φ-55

20

2019Κ1Φ-56

RLC

• Στο κύκλωμα, που λειτουργούσε για πολύ χρόνο, ο διακόπτης ανοίγει

στον χρόνο t = 0

• Διερευνήστε κατά πόσο η τάση vC είναι επικίνδυνη

2019Κ1Φ-57

RLC• t < 0 [«ΠΡΙΝ»]

• Το κύκλωμα είναι στη μόνιμη κατάσταση και ο πυκνωτής λόγω της πηγής «βλέπει» 10 Volt ενώ το ρεύμα που κυκλοφορεί στο βρόχο τού βραχυκυκλωμένου πηνίου και αντιστάτη είναι 10/0,5 = 20 Α

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

• Μόλις ανοίξει ο διακόπτης, η πηγή απομονώνεται και απομένει ένα κύκλωμα RLC με σύνδεση σε σειρά

2019Κ1Φ-58

RLC• Δεδομένου

2 10

03 3 9

0,5 1 1100, 4 10

2 2 2,5 10 2,5 10 10 10

R

L LC

1,2 100 200000ds j j

1 2 ( 100 200000) ( 100 200000)

0 0 0 0

100

( )

cos(200000 ) sin(200000 )

s t s t j t j t

C

t

v t A e B e A e B e

e A t B t

(0 ) (0 ) 10 1 ( 1 0) 10C Cv v A B A

9

9

0 0

(0 ) (0 ) (0 ) 202 10

10 10

C C CL LC C

t t

dv i dvi ii CDv

dt C C C dt

100 9

0

cos(200000 ) sin(200000 ) 100 200000 2 10 10000t

t

de A t B t A B B

dt

2019Κ1Φ-59

RLC

• Τελικά

• Η τάση αυτή μπορεί να πάρει μεγάλες τιμές, τής τάξης των 10 kV

100( ) 10cos(200000 ) 10000sin(200000 )t

Cv t e t t

2019Κ1Φ-60

21

2019Κ1Φ-61

RLC

• Εφαρμόζουμε στο κύκλωμα την απεικονιζόμενη τάση

• R = 25 Ω, L = 5 mH, C = 50 μF

• Να υπολογιστεί το ρεύμα i για t = 0 ms, t = 1 ms και t = 2 ms

75 V

1 ms 2 ms 3 ms0

2019Κ1Φ-62

RLC• t < 0 [«ΠΡΙΝ»]

• Στο κύκλωμα δεν υπάρχει αποθηκευμένη ενέργεια: i(0) = 0, vC(0) = 0

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»] αλλά για λιγότερο από 1 ms

• Έχουμε ένα κύκλωμα RLC με σύνδεση σε σειρά

2 6

0 3 6

25000 1 12500, 4 10

2 2 5 5 10 50 10

R

L LC

1,2 1000, 4000s

1000 4000

1 2 0t ti t A e A e

2019Κ1Φ-63

RLC• Υπολογίζουμε τις σταθερές από τις αρχικές συνθήκες λύνοντας το σύστημα:

• Βρίσκουμε ότι

• Οπότε

1 20 0Ai A

0

2

0

110

0 0

0 75 0

(0 ) 75

000 40

,0000 15000

5

R L C L

L

t

t

V v v v v

diV v L

dt

di V

dt LA A

1 25, 5A A

1000 40005 5 , 0 1mst ti t e e t

0,001 1,74782 Ai

2019Κ1Φ-64

RLC• 1 t < 2 ms

• Η διαδικασία θα είναι ίδια αλλά πρέπει να είμαστε λίγο προσεχτικοί

• Βρίσκουμε τις σταθερές από τις «αρχικές» συνθήκες λύνοντας το σύστημα:

1 2 1,7478,001 20 B Bi

0,0011000 4000

1

0,001

2 0t t

i t B e B e

0,001

1000 4000

1000 00

0

0

0

4 06

0.005 0.0012

0,001 0,001 0,001 0,001

1 0,001 0 25 1,74782 0 5 5

10 0,001 43,6955 0

505

R L C L R C

t t

L

t t

L C

V v v v v V v v

v v e e tC

e

d

ev

1

,001

1 0,001 43,6955 43,6955100 38,6699 8 ,3 42 2 55 6Lv e e

2019Κ1Φ-65

RLC• 1 t < 2 ms

• Βρίσκουμε ότι

• Οπότε

0,001 0,001

1 2

0,001 82,36540,001

0,005

16473,08 1000 4000

L

L

t t

vdi div L

dt dt

B B

L

1 23,16060, 4,90842B B

0,002 1,072819 Ai

1000 40000,001 0,0013,1606 4,90842 , 0,001 0,002

t ti t e e t

2019Κ1Φ-66

22

2019Κ1Φ-67

[ΦΕΒ. 2010]

• Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Προσδιορίστε τις τιμές των μεγεθών:

2019Κ1Φ-68

• t < 0 [«ΠΡΙΝ»]

• Tο κύκλωμα είναι:

0 0Li

0 0ABv

0 10Cv

0 0Rv

2019Κ1Φ-69

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»]

• Tο κύκλωμα είναι:

• Προφανώς:

• Και (ΝΤΚ):

0 0Li

0 10Cv

0 10 0

10 ( 10)

0

R Cv v

2019Κ1Φ-70

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»] dvC/dt ?

0 0

0

1 4

4 0

CC C

t t

C

idv i

dt C

i

0

(10 10)

0 0 2 0

0 0 2

0

0 0/1

2

C L

C

R

C

i i

i

i

i

0

4 0 8V sCC

t

dvi

dt

2019Κ1Φ-71

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»] dvR/dt ?

0 0

0

10

10

8V s

R C

R C

t t

C

t

v v

dv dv d

dt dt dt

dv

dt

0

8V sR

t

dv

dt

2019Κ1Φ-72

• t > 0 [«ΜΕΤΑ»] diL/dt ?

0 0

0

10 0 40 0

1 8

10 10 40 00

1 8

LL L

t t

C L

vdi v

dt L L

v i

0

0A sL

t

di

dt

2019Κ1Φ-73

• t = ∞ [«ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΜΕΤΑ»]

• Διαιρέτης ρεύματος

402 1,6

10 40

1,6 10 16 V

R

R

i

v

10

2 0,4A10 40

Li

10 0

10 16 6 40 10 40 1 ,4 10V

C R

LC i

v v

v

2019Κ1Φ-74

23

2019Κ1Φ-75

Η ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗΣ• Να βρεθεί η τιμή τού cos(3000t + 35) όταν t = 2,6 s

cos 3000 2,6 35 780 5cos 30

cos

co

7800 35180

7800,61087 rs a

0,999

d

34

cos

cos

1807800 35

446942,0802

0,99934

2019Κ1Φ-76

24

2019Κ1Φ-77

Η ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗΣ• Να βρεθεί η τιμή τού

• Εφόσον έχουν την ίδια συχνότητα

60cos 100 60 120sin 100 125 100cos 100 90y t t t t

60cos 100 60

60 60

30 51,

120sin 100 125

120 215

98,29896

128,298 83,131

152,88 32,9

68,829

4

152

100cos 100 90

100 90

0

,88cos 100 3 4

10

2

0

,9

t

jj

t

j

j

tt

2019Κ1Φ-78

25

2019Κ1Φ-79

Η ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗΣ• Να βρεθεί η τιμή τού

• Εφόσον έχουν την ίδια συχνότητα

100cos 40 100cos 160 100cos 80y t t t t

100cos 80

100 80

100cos 40

100 40

76,60444 64,2787

1

17,36482 98,4807

00cos 160

10

8

0 160

93,96926 34,20 16

0

0

0

2

t t

jjj

t

2019Κ1Φ-80

26

2019Κ1Φ-81

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Ποια είναι η εμπέδηση που «βλέπει» η πηγή;

• Κατά πόσα μs είναι εκτός φάσης το ρεύμα σε σχέση με την τάση;

150cos 8000 20 Vgv t t

30sin 8000 38 Agi t t gv t

gi t

2019Κ1Φ-82

ΕΜΠΕΔΗΣΗ• Οι φάσορες:

• Η εμπέδηση:

• Η διαφορά φάσης μεταξύ τάσης και ρεύματος είναι 72 μοίρες

• Η ημιτονοειδής ig καθυστερεί κατά (72/360) (περίοδο Τ)

• 2πf = 8000π f = 4000 Hz T = 1/f = 250 μs

• Οπότε η καθυστέρηση του ρεύματος είναι 1/5 250 = 50 μs

150cos 8000 20 150 20

30sin 8000 38 30 38 9052

g

g

v t t

i t t

g

g

V

I

150 2

20 ( 520

5 7230 2

)5

g

g

VZ

I

2019Κ1Φ-83

27

2019Κ1Φ-84

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Ποια είναι η εμπέδηση Ζ;

2019Κ1Φ-85

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Τα δυο κυκλώματα είναι ισοδύναμα

2019Κ1Φ-86

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

5 10 10 30

5 10 10 30

11,1 63,4 31,62 71,6

25 53,1

14,14 45 10 10

j j

j j

j

20 20

20 20

1 120 2 14,14 450 20 10 10

1 1 1 2

j

j

j j jjj

j j j

2019Κ1Φ-87

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

10 40 10 10 10 10 30 40 50 53,13 Ωj j j j

• Τελικά:

2019Κ1Φ-88

27-Α

2019Κ1Φ-89

ΕΜΠΕΔΗΣΗ—ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

25 20 32,02 38,66 Ωj • Ποια είναι η εμπέδηση Ζab;

2019Κ1Φ-90

28

2019Κ1Φ-91

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Να υπολογιστεί η τάση V0

2019Κ1Φ-92

ΕΜΠΕΔΗΣΗ• Εξαιτίας τής μοναδικής πηγής λύνουμε με

απλοποιήσεις και μετασχηματισμούς

2019Κ1Φ-93

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

2019Κ1Φ-94

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Δυο επιλογές (ίδιας πολυπλοκότητας):

1. Διαιρέτης τάσης

2. Υπολογισμός ρεύματος Ι0 και πολ/μός επί 10j19 Ω

2019Κ1Φ-95

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

0

10 1936 12

1,8 2,4 0,2 0,6 10 19

21,47 62,2437,95 18,44

20 53,13

40,74 27,55 36,12 18,84 V

jV j

j j j

j

2019Κ1Φ-96

29

2019Κ1Φ-97

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Το κύκλωμα λειτουργεί σε ΜΗΚ

• Μεταβάλλουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή έως ότου το ρεύμα ig

και η τάση vg είναι σε φάση

1. Να υπολογιστεί αυτή η χωρητικότητα (ή οι χωρητικότητες) του πυκνωτή αν vg = 250 cos(1000t) V

2. Να υπολογιστεί το αντίστοιχο για τη χωρητικότητα αυτή ρεύμα ig

2019Κ1Φ-98

ΕΜΠΕΔΗΣΗ• Υπολογίζουμε την ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση του

συνδυασμού πυκνωτή και αντίστασης:

2019Κ1Φ-99

ΕΜΠΕΔΗΣΗ• Υπολογίζουμε και τη σύνθετη αντίσταση του πηνίου:

jωL = j10005 = j5000 Ω

• και την προσθέτουμε στην ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση του συνδυασμού πυκνωτή και αντίστασης που βρήκαμε πριν

• Για να είναι σε φάση η τάση και το ρεύμα, πρέπει η σύνθετη αντίσταση να είναι ωμική, ή, με άλλα λόγια, το φανταστικό μέρος τής σύνθετης αντίστασης να είναι 0, οπότε πρέπει

• ή ισοδύναμα

2019Κ1Φ-100

ΕΜΠΕΔΗΣΗ• Επιλύοντας:

• Οπότε οι δυο δυνατές χωρητικότητες είναι:

• Τα αντίστοιχα ρεύματα προκύπτουν από τον υπολογισμό τής συνολικής σύνθετης (στην πραγματικότητα πια ωμικής μόνο) αντίστασης που είναι:

2019Κ1Φ-101

ΕΜΠΕΔΗΣΗ• Για τις χωρητικότητες που βρήκαμε:

2019Κ1Φ-102

29Α

2019Κ1Φ-103

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Το κύκλωμα λειτουργεί σε ΜΗΚ

• Μεταβάλλουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή έως ότου το ρεύμα ig

και η τάση vg είναι σε φάση

1. Να υπολογιστεί αυτή η χωρητικότητα (ή οι χωρητικότητες) του πυκνωτή αν vg = 80 cos(5000t) V

2. Να υπολογιστεί το αντίστοιχο για τη χωρητικότητα αυτή ρεύμα ig

2019Κ1Φ-104

30

2019Κ1Φ-105

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Το κύκλωμα λειτουργεί σε ΜΗΚ

• Να υπολογιστεί η τάση V0

2019Κ1Φ-106

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Προφανώς η μέθοδος κομβικών τάσεων είναι η κατάλληλη (μια εξίσωση μόνο)

• Και ο περιορισμός:

• Οπότε:

2019Κ1Φ-107

31

2019Κ1Φ-108

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Το κύκλωμα λειτουργεί σε ΜΗΚ

• Να υπολογιστεί το ισοδύναμο Thevenin από τα σημεία Α και Β

2019Κ1Φ-109

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Όταν τα σημεία Α και Β είναι ανοιχτοκυκλωμένα, όλο το ρεύμα

τής πηγής περνάει από την ωμική αντίσταση και:

• Vx = Is 10 = 20 10 = 200 V

• Τότε: VTh = VAB = Vx + 3 Vx + (0 j10) = 4 Vx = 800 V

• Για την αντίσταση Thevenin μπορούμε να βραχυκυκλώσουμε τα

σημεία Α και Β

2019Κ1Φ-110

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Με (π.χ.) κομβικές τάσεις:

• Οπότε

• Και η εμπέδηση Thevenin:

32 0 0

10 10

42 0

10 10

1,17647 4,70588

x x x

x x

x

j

j

j

V V V

V V

V

41,88325 0,470588

10

x jj

V

I

80 040 10 Ω

1,88325 0,470588

ABTh j

j

VΖ

I

2019Κ1Φ-111

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Εναλλακτικά: 10

10 3 10

10 30 10

10 40

40 10 ΩTh

j

j

j

j

x AB

0 AB x AB

0 AB AB AB

0 AB AB

0

A

V I

B

V I V I

V I I I

V I I

VΖ

I

2019Κ1Φ-112

32

2019Κ1Φ-113

ΕΜΠΕΔΗΣΗ [ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005]

• Στο κύκλωμα, που λειτουργεί σε μόνιμη κατάσταση, να βρεθεί η τάση v0(t) αν για τις πηγές τάσης ισχύει

1

2

( ) 10cos(5000 53,13 ) V

( ) 8sin(3000 ) V

E t t

E t t

2019Κ1Φ-114

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Εξαιτίας της ύπαρξης δυο πηγών με διαφορετική συχνότητα, είμαστε αναγκασμένοι να χρησιμοποιήσουμε επαλληλία

• Πρέπει λοιπόν να λύσουμε το κύκλωμα δυο φορές:

• ΜΕΡΟΣ Α. Συχνότητα 5000 rad/s (E2 εξουδετερωμένη)

0 0 0

0 0 0

0

5000

0

6 80

6 4 2

0,167 0,25 0,5 3 4 0

4 3

0,167 0,25

15,691 5,54 16,64 19,44

j

j j

j j j

j

j

j

V V V

V V V

V

V

2019Κ1Φ-115

ΕΜΠΕΔΗΣΗ• ΜΕΡΟΣ Β. Συχνότητα 3000 rad/s (E1 εξουδετερωμένη)

• Λύση με διαιρέτη τάσης:

2019Κ1Φ-116

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Τελικά, από την επαλληλία θα έχουμε

5000 5000 3000 3000

0 0 0

5000 3000

( ) Re

Re 16,64 19,44 1,712 256,3

j t j t

j t j t

v t e e

e e

V V

0( ) 16,64cos 5000 19,44 1,712cos 3000 256,3v t t t

2019Κ1Φ-117

33

2019Κ1Φ-118

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Με τη μέθοδο κομβικών τάσεων και με

• Βρείτε το ρεύμα i0

5cos2500 A

20cos 2500 90

g

g

i t t

v t t

2019Κ1Φ-119

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Μετασχηματίζουμε στο πεδίο συχνότητας:

•ΚΤ:

2019Κ1Φ-120

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Με λύση:

2019Κ1Φ-121

34

2019Κ1Φ-122

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

• Στο κύκλωμα, που λειτουργεί σε μόνιμη κατάσταση, να υπολογιστούν τα ρεύματα Ia, Ib, Ic και Id

2019Κ1Φ-123

ΕΜΠΕΔΗΣΗ

2

2 1 2

3 2 3 1 3

10 0 1 1 0

5 0 1 1 0

1 1 1 0

j

j

j j

1 3 1

3

4

I I I I

I I I I

I I I I I I

1 0 4I

(Εξωτερικός βρόχος)

2019Κ1Φ-124

ΕΜΠΕΔΗΣΗ• Σε πιο «τακτική» μορφή:

• Επιλύουμε:

• Και:

2

1 2

1 2 3

1 1 1 1 10 0

1 1 1 1 5 0

1 1 1 0

j j

j j

j j

1 3

3

I I I

I I I

I I I