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流体力学特論

エネルギー環境システム専攻流動場システム工学研究室

近藤貴幸

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第2章　乱流による運動量と熱の輸送

乱流・・・ランダムな速度変動を持つ流れ

統計的手法の必要性

全物理量＝平均値＋変動値

乱流の速度変動 大きな運動量の輸送

（単位時間ではレイノルズ応力）

渦粘性（分子の運動量輸送と類似）

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2.1　レイノルズ方程式

乱流・・・時空間流れの状態を得ることは困難

平均速度などの平均値を支配方程式から求める

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2.1　レイノルズ方程式非圧縮性流体

連続の式

応力テンソル（ニュートン流体） 歪み度

ijjj

ij

i

xxuu

tu σ

ρ~1~~~

∂∂

=∂∂

+∂∂

0~=

∂∂

i

i

xu

ijijij sp ~2~~ µδσ +−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=i

j

j

iij x

uxus

~~

21~

運動方程式

10ij

i ji j

δ=⎧

= ⎨ ≠⎩

21i i ij

j i j j

u u p uu νt x x x xρ

∂ ∂ ∂ ∂+ =− +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ナビエストークス方程式

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2.1.1　レイノルズ分解

i i iu U u= +

瞬時値＝平均値＋変動値

( )0

0

1lim 0t T

i i iTt

u u U dtT

+

→∞≡ − =∫

0

0

1limt T

i iTt

U u dtT

+

→∞= ∫

j

i

j

i

xU

xu

∂∂

=∂∂~

0iUt

∂=

∂平均流は定常：

0=∂∂

=∂∂

ijj

i uxx

u

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2.1.1　レイノルズ分解

p P p= +

瞬時値＝平均値＋変動値

0p =

ij ij ijσ σ= Σ + 0ijσ =

22

ij ij ij

ij ij ij

P Sp sδ µ

σ δ µΣ = − +⎧⎨ = − +⎩

12

12

jiij

j i

jiij

j i

UUSx x

uusx x

⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

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2.1.2　相関

( )1

2 2 2

( 1 1)i jij ij

i j

u uc c

u u= − ≤ ≤・

0

0i j

i j

u u

u u

≠

=

・

・

相関あり

相関なし

( )( )i j i i j ju u U u U u= + +

i j i j i j j iU U u u U u U u= + + +

i j i jU U u u= +

a

b

c

t

t

t

ab > 0

ac = 0, bc = 0

i j j iU u U u+i i0 0

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2.1.3　平均流の方程式

i i iu U u= +

0~=

∂∂

i

i

xu 0i i

i i

U ux x

∂ ∂+ =

∂ ∂

0ii i i

i i i i

U u U ux x x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

0iu =

非圧縮性0i

i

ux∂

=∂

0i

i

Ux

∂=

∂

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2.1.3　平均流の方程式,i i iu U u= +

ij ij ijσ σ= Σ +

0ijσ =

1i ij ij

j j

u uut x x

σρ

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

時間平均

0iUt

∂=

∂

乱流の速度変動による「運動量の変動値」の輸送

平均流による「運動量の平均値」の輸送

0i

i

ux∂

=∂平均流Uiの運動方程式

ij i j ij

j j j

UU u ux x x

ρ ρ∂ ∂ ∂+ = Σ

∂ ∂ ∂

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2.1.3　平均流の方程式: i 軸に垂直な単位面積を単位時間に通過する質量流量

: i 軸に垂直な単位面積を通過し， j 軸方向に輸送される単位時間あたりの運動量

i

j単位面積

iuρ

i ju uρi ju uρ

2

2

2 kg

3 2

kg msm

m Nm s m

σ⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ = = =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

2

( )

d mvF

dtF d mv NA Adt m

σ σ

=

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

乱流による運動量輸送 一種の応力i ju uρ

応力の微分( )σ∇ii jj

u ux

ρ ∂∂

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2.1.3　平均流の方程式

レイノルズ分解乱流運動は平均流中に応力をつくりだす機構

ij i j ij

j j j

UU u ux x x

ρ ρ∂ ∂ ∂+ = Σ

∂ ∂ ∂

( )1ij ij i j

j j

UU u ux x

ρρ

∂ ∂= Σ −

∂ ∂

レイノルズ方程式

乱流における全応力の平均値

レイノルズ応力

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2.1.4　レイノルズ応力

レイノルズ応力 ij i ju uτ ρ≡ −

1 2 1 312 13

12 23 1 2 2 3

13 23

211

22 2

23 3 31 2 3

u u u u

u u u u

u u

u

u

u u u

σ τ ττ ττ στ

σ ρ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

せん断応力：平均運動量輸送への影響大

垂直応力：平均運動量輸送への影響小

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2.1.5　乱流による熱輸送

密度一定の乱流における熱輸送の支配方程式の導出

・流体中の熱輸送方程式

：熱拡散率(一定)2

j

j j j

ut x x xθ θ θγ∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂ ∂γ

0

0

1limt T

Tt

dtT

θ θ+

→∞

⎛ ⎞≡ Θ =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫θ θ= Θ+

0t

∂Θ=

∂0θ ≡

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2.1.5　乱流による熱輸送

単位質量の流体の温度変化に関する式

j jj j j

U ux x x

θ γ⎛ ⎞∂Θ ∂ ∂Θ

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠( )1i

j ij i jj j

UU u ux x

ρρ

∂ ∂= Σ −

∂ ∂

平均熱流速Qj ;単位時間に単位面積を通過する熱量

j p jj

Q c ux

ρ θ γ⎛ ⎞∂Θ

= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠pc ：定圧比熱