線　形　代　数　　　 (linear algebra)

linear ・・・　 line( 直線 ) の形容詞形

　　　　　直線的な、線形の、一次の

algebra ・・・代数

　　　　　数の代わりに記号を用い　　　　　　　　　　　　　　

　　て演算を行うこと

　　　ａ＋２ｂ＝ｃ　，　　ｙ＝ａｘ＋ｂ

数学　－－－＞　抽象化、一般化一次関数ｙ＝ａｘ＋ｂ

より複雑な関係ー＞解析学

より多くの要素ー＞線形代数要素　　　　　　　関係　　　　　　　要素ｘ ｆ（ｘ）

ｙｘ1ｘ2・ｘn

・

ｙ1ｙ2・ｙm

・線形

線形代数の重要性• 理系、文系を問わず、幅広い分野の基礎　　　自然科学、工学、経済学、等

• 計算機の出現ー＞情報化　　　大量のデータの高速な計算

• 実社会での幅広い応用　　　情報技術の基礎

行　列　　複数の要素を、縦と横に表の形に並べたもの。　　　　　

みかん りんご バナナ佐藤 　１ 　２ 　３田中 　２ 　３ 　２鈴木 　３ 　０ 　１

果物屋 スーパーみかん ３０ 25りんご ８０ 70バナナ 120 100

行列の例：　　　買い物購入数 値段

行列の例：　　物を作る

製品 A 製品 B原料ｐ 　 2 2.5

原料ｑ 1.5 1

原料ｒ 3 4

今週 来週製品A

　10

12

製品B

16 20

工場での生産原料の使用量 製品の生産量

ａ 11 　ａ 12 　・・・・・　ａ 1n 　ａ 21 　 ａ 22 　・・・・・ ａ 2n・・・・・・・・・・・・ａ m1 ａ m2

　・・・・・ ａ mn

Ａ＝ ｍ行ｎ列の行列ｍ × ｎ型の行列ｍ × ｎ行列

　行　列　　　

ａ ij ：行列Ａの (i , j) 成分

[ ａ i1 　ａ i2 　・・・・・　ａ in 　 ]Ａの行

ａ1j ａ2j 　・ａ mj

・ Ａの列

Ａ＝ [ ａ ij ] ， Ａ＝ [ ａ ij ] ｍ × ｎ， Ａ＝ [ ａ ij ] ｍ × ｎ

零行列：全ての成分が 0 であるような行列O ＝

0 0 00 0 0

正方行列：行と列の数が等しい行列 ｎ次正方行列：ｎ × ｎ行列

ａ 11 ａ 12 　・・・　ａ 1n 　a21 ａ 22 　・・・ ａ2n・an1 ａ n2 　・・・ ａ nn

Ａ＝・ ａ

ii

・ ・・・

対角成分：正方行列の成分のうち、対角線上 に並ぶ成分

対角行列：正方行列のうち、対角成分以外の 成分は全て０である行列

2 0 00 3 00 0 4

対角行列

単位行列：対角成分が全て１で、それ以外の 成分は全て０である行列E＝

1 0 00 1 00 0 1

E3＝スカラー行列：対角成分が全て等しい対角行列

2 0 00 2 00 0 2

転置行列：行と列を入れ替えた行列t Ａ：行列Ａの転置行列ａ 11 　ａ 12 　・・・・・　ａ 1n 　ａ 21 　 ａ 22 　・・・・・ ａ 2n・・・・・・・・・・・・ａ m1 ａ m2

　・・・・・ ａ mn

Ａ＝ ａ 11 　ａ 21 　・・・・・　ａ m1 　ａ 12 　 ａ 22 　・・・・・ ａ m2・・・・・・・・・・・・ａ 1n ａ 2n

　・・・・・ ａ mn

t Ａ＝

Ａ＝ 1 3 -24 5 2

t Ａ＝1 4 3 5 -2 2

ｎ次の行ベクトル：１ × ｎ行列m 次の列ベクトル： m×1行列153

3 次の列ベクトル

[ 0 2 0 1 ]

4 次の行ベクトルクロネッカーのデルタ：δij

δij ＝｛1 ( i=j )0 ( i≠j ) En ＝ [δij ] n×n

　行列の演算　　　行列の和と差行列の型が等しいときに限って定義される

1 -2 82 5 -1

-2 5 13 -1 2

-1 3 95 4 1＋ ＝

行列のスカラー倍 1 -2 82 5 -13 ＝ 3 -6 24

9 15 -32 1 4 3a ＝ 2a a

4a 3a

　行　列　の　積みかん りんご バナナ

佐藤 　１ 　２ 　３田中 　２ 　３ 　２鈴木 　３ 　０ 　１

果物屋 スーパーみかん ３０ 25りんご ８０ 70バナナ 120 100

買い物の例：　　　購入数 値段

果物屋 スーパー佐藤 550 465田中 540 460鈴木 210 175

佐藤，果物屋30× １＋８０ × ２＋１２０ × ３＝ 550

田中，スーパー25×2 ＋ 7 ０ ×3 ＋１ 0 ０ ×2 ＝460

　行　列　の　積 生産の例：　　　

原料ｐの今週の使用量

2×10 ＋ 2.5×16 ＝ 60

製品 A 製品 B原料ｐ 　 2 2.5

原料ｑ 1.5 1

原料ｒ 3 4

今週 来週製品A

　10

12

製品B

16 20

原料の使用量 製品の生産量

今週 　来週原料ｐ 　 60 74

原料ｑ 31 38

原料ｒ 94 116

原料ｒの来週の使用量3×12 ＋ 4×20 ＝ 116

行列の積行列 A と行列 B の積はA の列の個数と B の行の個数が等しいとき　　に限って定義される

A ：ｍ × ｎ行列 B ：ｎ × ｒ行列Ａ＝ [ ａ ij ] ， Ｂ＝ [

bj k] AB ＝ [ ａ ij ] [ bj k] ＝ [ ci k] ｍ × ｎ ｎ ×ｒ ｍ ×ｒｃ ik ＝　ａ i1 　ｂ 1k 　＋　ａ i2 　ｂ 2k 　

＋・・・・・＋　ａ in 　ｂ nk 　(1 i m, 1 k r)≦ ≦ ≦ ≦

　　　　　　行列の積ａ 11 　ａ 12 ・・・・・・・・ ａ1n

　　　　　・・・・・・・・・・・・・

ａ i1 　 ａ i2 ・・・・・・・・ ａin　　　　　・・・・・・・・・・・・・

ａ m1 　ａ m2 ・・・・・・・ ａ mn

ｂ 11 ・・ｂ 1k ・・ ｂ 1r

ｂ 21 ・・ｂ 2k ・・ b2r

　　・・・・・・・・・・・・・

　・・・・・・・・・

　・・・・・・・・・

ｂ n1 ・・ｂ nk ・・・ ｂ nr

ｃ 11 ・・ ｃ 12 ・ ｃ1r

　　　　　・・・・・・・・・・・・・

ｃ i1 ・・ ｃ i ｊ ・ ｃ ir

　　　　　・・・・・・・・・・・・・

ｃ m1 ・・ｃ m2 ・ ｃmr

=

ｉ行k 列 k 列

ｉ行

ｍ行ｎ列 ｎ行ｒ列ｍ行ｒ列

ｃ ik ＝　ａ i1 　ｂ 1k 　＋　ａ i2 　ｂ 2k 　＋・・・・・＋　ａin 　ｂ nk 　＝　∑　ａ ij ｂ jk j=1

n

2 1 -31 -5 2

3 1 02 0 -1-1 4 1

＝ 11 -10 -4-9 9 7

[ 1 3 2 ] ＝ 1 3 2-1 -3 -2 2 6 4

[ 1 3 2 ]

1-12

1-12

＝ 2

　　行列の演算に関する性質正方行列　Ａ，Ｂ ＡＢ＝ＢＡ　－＞　行列ＡとＢは可換である＜和の性質＞Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ　　　　　　　　　　　［ａｉｊ＋ｂｉｊ］＝［ｂｉｊ＋ａｉｊ］Ａ＋Ｏ　＝Ａ［ａｉｊ＋０］＝［ａｉｊ］（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）　　（和の結合律）［ａｉｊ＋ｂｉｊ］ ＋［ｃｉｊ］ ＝［ａｉｊ＋ｂｉｊ＋ｃｉｊ］

［ａｉｊ］＋［ｂｉｊ＋ｃｉｊ］＝［ａｉｊ＋ｂｉｊ＋ｃｉｊ］

＜積の性質＞ＡＥ＝ＥＡ＝ＡＡ０＝０，　０Ａ＝０（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）　　（積の結合律）＜スカラー倍＞0 Ａ＝０，　１Ａ＝Ａ(ab) Ａ＝ a(b Ａ ) ，　 (a Ａ ) Ｂ＝ a( ＡＢ )

＜分配律＞ａ（Ａ＋Ｂ）＝ａＡ＋ａＢ，　　（ａ＋ｂ）Ａ＝ａＡ＋ｂＡA(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC

Ａ 1 ＋Ａ 2 ＋・・・＋Ａ n 　すべてのＡｉの型が等しければ定義され、和をとる順によらず決まるＡ 1 Ａ 2 ・・・Ａ n 　隣り合う行列の積が定義されるならば定義され、積をとる順によらず決まる

Ａのべき乗Ａ n ＝ＡＡ・・・Ａ　 n 個行列の和、積と転置

t( Ａ＋Ｂ ) ＝ t Ａ＋ t Ｂ　　　　　　　　　　　

t( ＡＢ ) ＝ t

Ｂ t Ａ　　　　　　　　　　　

べき零行列Ａ m ＝o 　

　行列の分割　　　A11 　 A12 　・・・・・　 A1t 　A21 　 A22 　・・・・・ A2t・・・・・・・・・・・・・・・As1 As2 　・・・・・

Ast

Ａ＝

2 3 0 1 -2 0 5 3 -9

＝ A11 A12 A21 A22

A11 A12 ＝ 2 3 1 -2

＝ 0 0

A21 ＝ [ 5 3 ] A22 ＝ [ -9 ]

A11 　 A12 　・・・・・　 A1t 　A21 　 A22 　・・・・・ A2t・・・・・・・・・・・・・・・As1 As2 　・・・・・

Ast

Ａ＝ B11 　 B12 　・・・・・　 B1u 　B21 　 B22 　・・・・・ B2u・・・・・・・・・・・・・・・Bt1 Bt2 　・・・・・ Btu

B ＝n1 n2 nt

n1 n2

nt

C11 　 C12 　・・・・・　 C1u 　C21 　 C22 　・・・・・ C2u・・・・・・・・・・・・・・・Cs1 Cs2

　・・・・・ Csu

Ａ B＝Cij ＝　 Ai1 　 B1j 　＋　 Ai2 　 B2j 　＋・・・・・＋　

Ait 　 Btj 　 (1 i s, 1 j u)≦ ≦ ≦ ≦

数ベクトルa,b, ・・・ ,u,v,x,yアルファベットの小文字の太字

Ａ＝ １ 3 4 4 ２ 1 0 -1 １ 0 5 0

＝ [ a1 a2 a3 a4 ]

a1 ＝ , a2 ＝ , a3 ＝ , a4 ＝ １ 3 4 4 ２ 1 0 -1 １ 0 5 0

列ベクトルへの分割

行列の積の数ベクトルを用いた表現B ＝ [ b1 b2 ・・・ br ]

a1 a2 ・am

Ａ＝

a1 b1 ・・・・・ a1 br

・・・・・・・・・・・・・・・Ａ B＝

a2 b1 ・・・・・ a2 br

am b1 ・・・・ am

br

＝ [ Ａ b1 ・・・Ａ br ]

＝a1 B a2B ・ am B

ａ 11 ｘ 1 ＋ａ 12 ｘ 2 ＋・・・・・＋ａ1n ｘ n ＝ｂ１ａ 21 ｘ 1 ＋ａ 22 ｘ 2 ＋・・・・・＋ａ 2n

ｘ n ＝ｂ 2・・・・・・・・・・・・ａ m1 ｘ 1 ＋ａ m2 ｘ 2 ＋・・・・・

＋ａ mn ｘ n ＝ｂ m

ａ 11 　ａ 12 　・・・・・　ａ 1n 　　　　　　　　ｘ 1 　　　　　ｂ１ａ 21 　 ａ 22 　・・・・・ ａ 2n 　　 　　 ｘ 2 　 ｂ 2・・・・・・・・・・・・ａ m1 ａ m2 　・・・・・ ａ mn 　　 ｘn ｂ m

　　行列と連立１次方程式

Ａ＝ ｘ＝ ｂ＝・・ ・・

係数行列 　Ａｘ＝ｂ

ａ 11 　ａ 12 　・・・・・　ａ 1n 　　　　ｂ１ａ 21 　 ａ 22 　・・・・・ ａ 2n 　　 ｂ 2・・・・・・・・・・・・ａ m1 ａ m2 　・・・・・ ａ mn ｂ m

Ａ　ｂ　＝

拡大係数行列

ｃ 1 ａ 1 ＋ｃ 2 ａ 2

＋・・・＋ｃ m ａ m

数ベクトルの１次結合

2 3

1 0

0 1＝ 2 ＋ 3

Ax ＝［ａ 1 ａ 2 ・・・ａ n ］　　　＝ｘ 1 ａ 1＋ｘ 2 ａ 2 ＋・・・＋ｘｎａｎ

ｘ1

ｘn

・・

　Ａｘ＝ｂ

ｘ 1 ａ 1 ＋ｘ 2 ａ 2 ＋・・・＋ｘｎａｎ ＝ｂ