線性代數

Linear Algebra教師：賴薇如 wrlai@saturn.yzu.edu.tw

Office: 2307 Telephone: 2431

Lab: 3412 Telephone: 2414-35

Text Book and Reference

Text Book:– Linear Algebra with Applications, 6th Edition. Steven

J. Leon. Seven Edition. ( 台北圖書代理 ) Reference:

– 1.Linear Algebra and Its Applications, 2nd Edition. David C. Lay. Addison-Wesley Publishing Company. ( 偉明圖書代理 )

– 2. Introductory Linear Algebra with Applications, 7th Edition. Bernard Kolman and David R. Hill. Prentice Hall International, INC. ( 華泰文化代理 )

– 3. Linear Algebra with Applications, 2nd Edition. Otto Bretscher. Prentice Hall. ( 全華科技代理 )

Course Time

A 班– Monday 3,4 (10:10-12:00)– Wednesday 4 (11:10 - 12:00)

Classroom: 2103

Teacher Assistant

廖名寬– 3412R – Tel: 2414 – 35

為什麼要唸 Linear Algebra? 線性代數是一門完整體系的學科，涵蓋範圍相當廣泛，舉凡數學統計、電機電子、資工資管、工管企管等有關系所的入學考試，都佔有相當份量之比重。

其實大家早就學過 Linear Algebra：– 解一次聯立方程式(linear equations)、行列式、矩陣(matrix)、向量(vector)、向量內積– 把實際的系統抽象化轉換成數學式，求出解答，再帶回實際應用系統中。

雞兔同籠 共 7 隻的小雞與兔子放在同一個籠子，共有 20隻腳。請問有幾隻雞與幾隻兔子 ?

Answer ：假設有 x1隻雞與 x2隻兔子。雞與兔子的關係可以用 2個二元一次方程式 ( 稱為 linear equations) 來表示：

x1+x2=7

2x1+4x2=20

計算後 ( 代入消去法或行列式 ) 可以得知有 x1=4 隻雞與 x2=3 隻兔子。

九章算術

九 章 算 術 卷 第 八 --　 方 程 〔 一 〕 今 有 上 禾 三 秉 ， 中 禾 二 秉 ， 下 禾 一 秉 ，

實 三 十 九斗 ； 上 禾 二 秉 ， 中 禾 三 秉 ， 下 禾 一 秉 ， 實 三 十 四 斗 ； 上禾 一 秉 ， 中 禾 二 秉 ， 下 禾 三 秉 ， 實 二 十 六 斗 。 問 上 、 中、 下 禾 實 一 秉 各 幾 何 ？

荅 曰 ： 上 禾 一 秉 ， 九 斗 、 四 分 斗 之 一 ， 中 禾 一 秉 ， 四 斗 、 四 分 斗 之 一 ， 下 禾 一 秉 ， 二 斗 、 四 分 斗 之 三 。

　 方 程 術 曰 ， 置 上 禾 三 秉 ， 中 禾 二 秉 ， 下 禾一 秉 ， 實 三 十 九 斗 ， 於 右 方 。 中 、 左 禾 列 如 右 方 。 以 右行 上 禾 遍 乘 中 行 而 以 直 除 。 ... 餘 如 上 禾 秉 數 而 一 ， 即 上 禾 之 實 。 實 皆 如 法 ， 各 得 一 斗 。

What is Linear System?

A linear system= a system of m linear equations in n unknowns

linear equation: 多元一次方程式一個系統中有 n個未知數 x1,x2,...,xn，這 n個未知數之間的關係可以用m個 linear equations 來表示，此系統就稱為 linear system 。

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+...+a2nxn=b1

:

am1x1+am2x2+...+amnxn=b1

What is Liner Algebra?

Algebra 這個字來自阿拉伯文 al-jabr ，代表修復、恢復、修補破損地方的意思。

在西元八世紀一個名叫 Mohammed al-Khowarizmi 的人首先把這個字放入數學的領域，表示解出 equations of system 。

從此， Algebra is the art of solving equations and systems of equations 。

Linear Algebra 就代表 the art of solving of linear system 。

Why is Linear?

如何求解就形成 linear algebra 這門學科。 Linear system 可以簡化用矩陣來表示、計算與求解： Ax=b

Linear 系統是在應用數學領域中最簡單的，也是最常見的模型。– 估計約有 75% 的應用數學問題會衍生出找線性系統的解

– 社會學、生態學、人口統計、遺傳學、物理、電學、 ...

– Non-linear system 不容易求解。

線性代數的範圍 (1/3)

Linear system 可以是無解、唯一解，無限多解。

各個 solution 都可以用 vector 方式來表現。

我們將一個 linear system 的所有的解答合稱為 solution set 。

我們可以發現這些 solution sets 均滿足某些特性，故將他們歸納於 vector space 的領域，並探討其基本定義。

4 3

x =

4 3

solution set =

**使用矩陣 Ax=b 求解**

線性代數的範圍 (2/3)

在討論完 vector space 的性質後，更進一步想知道兩個 vector spaces 間的關係，是否相等或是可以互相轉換。因此衍生出 linear transformation 的領域。– 電腦圖學

有一種特殊的 space ，各個 space 中的 vector彼此 orthogonal (i.e., 內積為 0) 。這樣的orthogonal subspace很有用。– Fourier Transform 、大哥大系統的 CDMA

** 這個轉換也可寫成矩陣 A 的形式 **

線性代數的範圍 (3/3)

給與一個 vector x ，若乘上一個矩陣 A ，會有怎樣的效果呢 (Ax)? 如果乘 100 次又如何(A100x)? 是不是有比較簡單的方式來解答這樣的問題 ?

如果 x 乘 A 會等於 x 乘上一個常數 (i.e. Ax=x) ，就會使得計算變得容易得多(A100x=100x) 。找出 A 的特徵值 eignevalue 與相對於此 的特徵向量 eignevector ，就成為很重要的課題。

用電腦解決線性代數的問題 大型電路分析、氣象學、地震學、太空科學等推演出的偏微分方程，經離散化後導出的線性系統，一般來說都有成千上萬個未知數。

所以如何應用電腦來解決這些問題是線性代數實務上要具備的能力。 – Floating point 計算會產生的 round-off error 。–把數學公式改成可以執行的程式。–使用 Matlab 求解。

Content of the Text Book (1/2)

Ch1. Matrices and Systems of Equations Ch2. Determinants Ch3. Vector Spaces Ch4. Linear Transformations Ch5. Orthogonality Ch6. Eigenvalues Ch7. Numerical Linear Algebra

Content of the Text Book (2/2)

Appendix: Matlab Bibliography Answers to Selected Exercises Index http://www.prenhall.com/leon Ch8. Iterative Methods Ch9. Canonical Form laerrata7

線性代數很難嗎 ?

其實線性代數並不是一門很難的數學，一般學生學不好的原因大都是因為線性代數是一個整體的系統，一個各個主題連貫性很重的數學。往往前面的章節不市很懂就會造成後面的章節也學不來。

所以學習線性代數必須從頭到尾一氣呵成，千萬不可有部分一知半解而跳過，否則會愈念到後來會愈困難。所以念線代一定要由第一章觀念開始入手，一步一步循序漸進地打好基礎。

如何念線性代數 ?

線性代數僅念一、二次是不夠的，須花較多的時間，因為關連性大，要融會貫通一定要多念幾次，熟悉各定理後再去練習考古題與分析預測題。

數學科目最重要的部分就是在於練習題目。課本例題與習題一定要自己做一遍。最好是不看課本做一遍。

基本的名詞定義往往是最重要的，一定要背起來，否則保證看不懂也聽不懂。

Web Site

IP address: 140.138.137.171–考古題與解答

Portal–公布作業與解答–學習與討論–最新資訊， ex: 考試時間與地點

請一定要上網參考這些資料 請參考“數理天地” 瞭解數學家的生平

http://www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php

上課要求 請抄筆記。筆記本請用活頁紙。 上課請不要私下說話，開手機，有問題請馬上發問。

請在上課聽不懂的同時，馬上發問，造福自己與同學。

請按時交作業。 請尊重你的老師 , 助教與同學

心態的改變

請唸英文原文書 唸書的時間應該比老師準備的時間長作業自己寫 不用功一定會付出代價 唸書的目的，為自己的未來唸書選擇你喜歡的科系，尊重你的選擇 努力去具備系上要求的基本能力

Evaluation

Homework (2%14=28%)– 基本上每個星期三出作業

Quizzes (8%4=32%)– 3/21, 4/11, 5/23, 6/13 導師時間

Mid exam:4/30 (20%) Final exam:7/2 (20%) 上課表現額外加分 ( 如點名 )