li/tai_lieu/tai_lieu_ly_moi_1/dien_tu/vien_thong

http://www.ebook.edu.vn 143

Nhập môn Quang học dẫn sóng và sợi quang học

Jean-Michel JONATHAN

Viện Quang học Lý thuyết và Ứng dụng Phòng Thí nghiệm Charles Fabry

(Trung tâm Quốc Gia NCKH Pháp, Đơn vị nghiên cứu hỗn hợp số 8501)

Trường Đại Học Paris XI

Trung tâm Khoa học Orsay – Nhà 503

91403 Orsay cedex

[email protected]

http://www.ebook.edu.vn

J.M. Jonathan

144

Sau khi theo học Maîtrise về Vật lý cơ bản ở Trường Đại Học Paris VI và DEA về Quang học kết hợp ở Trường Đại Học Paris–Sud (Orsay), Jean-Michel Jonathan bảo vệ năm 1981 luận án Tiến sĩ Quốc gia với công trình nghiên cứu về các ứng dụng của hiệu ứng Weigert (hiện tượng lưỡng sắc bởi cảm ứng quang học) vào xử lý thông tin bằng phương pháp quang học.

Ông thực hiện giai đoạn đầu sự nghiệp nghiên cứu của mình ở Trung tâm Quốc gia Nghiên cứu Khoa học Pháp (CNRS), trong Phòng Thí nghiệm Quang học của Giáo sư Maurice Françon tại Paris và sau đó ông về làm việc trong nhóm nghiên cứu của Alain Brun và Gérald Roosen ở Viện Quang học Orsay. Khi đó ông nghiên cứu về hiệu ứng quang khúc xạ (photoréfractif), hiện tượng mà ông đã đóng góp vào việc mô hình hoá, ở Viện Quang học và có 3 năm nghiên cứu trong nhóm của Robert W. Hellwarth, ở Trường Đại Học Nam California, tại Los Angeles. Nhận chức vụ Giám đốc Nghiên cứu của CNRS, ở Viện Quang học, ông làm việc trong nhóm của Gérald Roosen, về sự mở rộng các tính chất quang khúc xạ của titanate baryum ở trong vùng phổ hồng ngoại gần và ứng dụng của nó trong việc thực hiện các gương dùng liên hợp pha tự bơm (miroirs à conjugaison de phase auto-pompés). Sau đó, ông đóng góp vào việc thiết kế các bộ cộng hưởng laser mới theo cơ chế tự tổ chức (auto-organisées) dùng các hôlôgram động lực (hologrammes dynamiques). Song song với hoạt động nghiên cứu khoa học, ông trở thành người phụ trách của DEA « Quang học và Phôtônic » (là chương trình đào tạo các nghiên cứu sinh tương lai) của Trường Đại Học Paris-Sud.

Năm 1999, ông rời CNRS để trở thành Giáo sư đại học và Phó hiệu trưởng của Trường Đại học Kỹ thuật Quang học (Ecole Supérieure d’Optique). Ông giảng dạy các hiệu ứng điện-quang và hiệu ứng quang âm, quang học dẫn sóng và quang học phi tuyến. Từ tháng 9 năm 2003, ông là Hiệu trưởng Trường Đại học Kỹ thuật Quang học.

Từ năm 1995 đến năm 2003, ông là thành viên của hội đồng quản trị và sau đó là Chủ tịch của Hội Quang học Pháp.


J.M. Jonathan

145

MỤC LỤC MỤC LỤC Chương I. Giới thiệu chung và các khái niệm cơ bản

1. Tổng quan: linh kiện dẫn sóng (waveguide) dùng gương 1.1. Điều kiện của việc truyền dẫn (sóng TE) 1.2. Cấu trúc của các trường dẫn 1.3. Sự tán sắc của linh kiện dẫn sóng (dispersion du guide) 1.4. Tính trực giao của các mode dẫn sóng 1.5. Số lượng các mode

2. Linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng đối xứng 2.1. Dẫn sóng bằng phản xạ toàn phần 2.2. Điều kiện dẫn sóng (đối với TE) 2.3. Các hằng số lan truyền và số lượng mode (đối với TE) 2.4. Phân bố của trường (đối với TE) 2.5. Quan hệ của sự tán sắc và tốc độ nhóm

Chương II. Điện từ trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng 1. Khái niệm chung

1.1. Các phương trình Maxwell 1.2. Phân bố ngang của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng 1.3. Các mode TE và TM của linh kiện dẫn sóng

2. Linh kiện dẫn sóng có hố chiết suất (guide à saut indice) 2.1. Phương trình truyền các mode TE 2.2. Mode dẫn TE 2.3. Xác định đồ thị của các mode dẫn sóng TE 2.4. Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hóa 2.5. Các mode TM của linh kiện dẫn sóng phẳng có hố chiết suất 2.6. Tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng phẳng hố chiết suất 2.7. Tính ngang của trường dẫn sóng 2.8. Công suất được truyền tải (puissance transportée) bởi mode 2.9. Kích thích các mode dẫn sóng

3. Linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc bai 3.1. Mode của linh kiện dẫn sóng bậc hai 3.2. Kết hợp (couplage) của một sóng gauss 3.3. Tán xạ giữa các mode (inter-modes) trong linh kiện dẫn sóng bậc hai

4. Khái niệm về dẫn sóng yếu 4.1. Phương trình truyền sóng 4.2. Các thành phần ngang và dọc 4.3. Gần đúng của sự truyền dẫn yếu

Chương III. Sợi quang học 1. Cấu trúc mode

1.1. Phương trình truyền 1.2. Sợi quang học tiết diện tròn có hố chiết suất 1.3. Các mode dẫn LP 1.4. Mô tả chuẩn 1.5. Cấu trúc của các mode


J.M. Jonathan

146

2. Gần đúng Gausse của mode LP01 và các ứng dụng của nó 2.1. Sự tương đương của hai sợi quang học có bán kính khác nhau 2.2. Sự mất mát bởi kết hợp giữa hai sợi

3. Tán xạ và sự suy giảm trong một sợi quang học đơn mode 3.1. Vận tốc nhóm 3.2. Độ tán sắc liên quan đến linh kiện dẫn 3.3. Độ tán sắc gây bởi vật liệu 3.4. Độ tán sắc toàn phần của sợi quang

Chương IV. Kết hợp của các mode 1. Lý thuyết của các mode kết hợp

1.1. Môi trường không nhiễu loạn 1.2. Môi trường nhiễu loạn 1.3. Giải phương trình nhiễu loạn 1.4. Khái niệm về kết hợp cộng hưởng

2. Kết hợp giữa các linh kiện dẫn sóng 2.1. Kết hợp giữa hai linh kiện dẫn sóng 2.2. Trường hợp hai linh kiện dẫn sóng giống nhau 2.3. Ước lượng các hằng số kết hợp 2.4. Các ví dụ

3. Kết hợp bằng cách tử 3.1. Kết hợp đ`ồng hướng của hai mode được dẫn 3.2. Kết hợp của một mode được dẫn và một mode bức xạ 3.3. Kết hợp ngược chiều


J.M. Jonathan

147

Chương I. Giới thiệu chung và các khái niệm cơ bản

1. Tổng quan: linh kiện dẫn sóng (waveguide) dùng gương Sự nghiên cứu về một mặt phẳng dẫn tạo bởi hai mặt phản xạ kim loại giả thiết là phẳng tuyệt đối, song song, cách nhau một khoảng d, cho phép đưa ra những khái niệm quan trọng sẽ sử dụng ở những phần sau.

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

A

B

B’

θd

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

d/2

-d/2 z

xy

θ

A

B

B’

θd

A

B

B’

θd

Hình I-1. Hình học của linh kiện dẫn sóng dùng gương và điều kiện dẫn

Như trên hình I-1, một mô tả khá thô sơ là xét các phản xạ liên tiếp của một chùm sáng hẹp trên hai thành phản xạ lý tưởng cho mọi góc θ giữa chùm sáng này và hướng truyền trung bình z. Cách mô tả này khiến người ta nghĩ một cách sai lệch rằng mọi chùm sáng đều có thể truyền đi nhờ một dẫn sáng như vậy. Nhưng điều đó chỉ thỏa mãn khi chiều dày d của linh kiện dẫn sóng lớn hơn độ dài kết hợp của ánh sáng. Còn trong trường hợp ngược lại thì cần phải tính đến sự giao thoa giữa các sóng phẳng gần như đơn sắc, mà các tia sáng thể hiện hướng truyền sóng. Như vậy, sóng phẳng tiến lên ở phía sau điểm B xuất phát từ sóng phẳng tiến lên đến điểm A; một phần bởi một lộ trình có quang lộ (AB’), một phần bởi lộ trình có quang lộ AB thông qua hai lần phản xạ (hình I-1). Vì vậy hai quang lộ này cần phải khác nhau một số nguyên lần của bước sóng.

1.1. Điều kiện của việc truyền dẫn sóng (sóng TE) Hình I-1 đặt ra các giả thuyết tính toán trong trường hợp một sóng phân cực song song với mặt phẳng của linh kiện dẫn sóng (sóng TE). Sự khác nhau về độ dài hình học có thể viết như sau: ( ) ( ) θsin2' dABAB =− (1.1)

và với mỗi phản xạ, khi tính tới sự lệch pha φr = π độc lập với sóng tới, điều kiện giao thoa

( ) ( )[ ] 00

22'2 kmABAB r πφλπ

=−− (1.2)

sẽ buộc góc θ chỉ được nhận một vài giá trị đặc biệt xác định bởi công thức:

d

mm 2sin 0λ

θ = (1.3)

Chúng ta cũng có thể diễn đạt lại điều kiện đối với góc θ này thành điều kiện cho các vectơ sóng tương ứng 1k

r và 2k

r của các sóng phẳng đi lên và đi xuống.

Gọi kym là thành phần ngang (theo y) của 1kr

và βm là thành phần dọc (theo x), ta tìm được :

− =

= =

=

= =

mym

mm

m ym

m m

kk

kk

k k

k k

θ

θ β

θ

θ β

sin

cos

sin

cos

0

02

0

0 1

rr

(1.4)


J.M. Jonathan

148

với 0

02λ

π=k

Hình I-2. Các thành phần dọc và ngang của hằng số lan truyền của các sóng dẫn

Trước tiên chúng ta nhận thấy rằng, hai sóng ứng với cùng một giá trị m sẽ có cùng hằng số lan truyền dọc và các hằng số lan truyền ngang đối nhau. Hình vẽ I-2 cho chúng ta biết các nghiệm được thể hiện bằng hình. Nó cho ta biết rằng thành phần ngang của hằng số

lan truyền là bội của d

0λπ và hằng số lan truyền dọc nhận các giá trị nằm giữa 0 và k0.

1.2. Cấu trúc của các trường dẫn Độ lệch pha π khi phản xạ chỉ ra rằng trường được tạo thành do sự chồng chập của các sóng phẳng có cùng hằng số lan truyền dọc βm bằng 0. Điều kiện đồng bộ pha (1.2) là kết quả của việc hai sóng này có hằng số lan truyền ngang đối nhau (hệ thức 1.4). Sự chồng chập của hai sóng phẳng này tạo ra một cấu trúc trường có các đặc trưng ngang được xác định bởi kym và lan truyền theo z một cách không đổi về không gian với hằng số lan truyền βm. Người ta gọi đó là một mode truyền: một sóng ngang truyền không biến dạng theo hướng z. Cấu trúc này có thể được đặc trưng một cách đơn giản từ hai sóng phẳng đang nói đến:

( ) ziyjkAzyE mymmx β−−=+ expexp,r

( ) ( )πβ 1expexpexp, −−+=− mjziyjkAzyE mymmxr

(1.5)

φm là độ lệch pha giữa hai sóng tại điểm y = 0. Hệ thức (1.2) chỉ ra rằng: φm = (m+1)π

Nhờ có hệ số pha này chúng ta có thể tìm thấy các mode “đối xứng” và các mode “phản đối xứng”. Thực vậy, trường hình thành từ sự chồng chập của hai sóng phẳng là: Nếu m lẻ : ( ) ziykAzyE mymmx β−= expcos2,

r

Nếu m chẵn : ( ) ziykAizyE mymmx β−= expsin2,r

(1.6)


J.M. Jonathan

149

Hình I-3. a) mode m = 1,2,3 ; b) chu kỳ lộ trình của một tia sáng

Như hình I-3 ở trên cho thấy, các mode lẻ thì đối xứng và các mode chẵn thì bất đối xứng. Các hệ thức (1.6) thể hiện rõ các mode như là các cẩu trúc ngang truyền không biến dạng theo z. m là giá trị của số cực trị mà ta quan sát được. 1.3. Sự tán sắc của linh kiện dẫn sóng (dispersion du guide) m cũng xác định hằng số lan truyền βm của mode :

2

22

2

22

dm

cmπωβ −= (1.7)

Hệ thức này là một “hệ thức tán sắc” vì nó thể hiện mối tương quan giữa sự truyền sóng và tần số của nó. Hệ thức chỉ ra rằng βm giảm khi bậc m tăng. Về mặt này, nó phản ánh việc trường lan truyền trong linh kiện dẫn sóng càng chậm nếu như sóng phẳng càng nghiêng nhiều so với trục của linh kiện dẫn sóng. Chúng ta có thể biểu diễn kết quả này bằng cách tính vận tốc nhóm từ biểu thức (1.7)

mg cddv θ

βω cos.== (1.8)

Ta cũng có thể tìm thấy kết quả này khi tính tốc độ lan truyền của một thông tin được mang bởi một tia sáng bằng hình học. Thực vậy, hình I-3-b chỉ ra rằng để vượt qua khoảng

cách mdl θ= cot2 thì cần một thời gian c

dtm

2sin θ

= .

1.4. Tính trực giao của các mode dẫn sóng

Đối với phần tiếp theo, một điều quan trọng cần lưu ý là các mode được định nghĩa bởi các hệ thức (1.6) trực giao với nhau. Thực vậy :

nếu l ≠ m, khi ấy :

∫−=

2/

2/0.sin.cos.

d

d ylymm dyykykA (1.9)

Đặt : ( ) ziuazyE mmmx β−= exp., (1.10)

với m lẻ : ( ) yd

md

yudja mmπsin22 ==


J.M. Jonathan

150

sinθ λm m

d= ≤

21

m chẵn : ( ) yd

md

yuda mmπcos22 == (1.11)

ta định nghĩa các mode um(y) trực giao và chuẩn hóa. Thực vậy:

nếu l ≠ m, thì:

( ) ( ) 02

2

=∫−

d

dml dyyuyu và ( ) 1

2

2

2 =∫−

d

dm dyyu (1.12)

Như vậy trường tổng cộng trong linh kiện dẫn sóng được viết dưới dạng tổng quát như một sự chồng chập của các mode được hỗ trợ bởi linh kiện dẫn sóng này:

( ) ( )∑=

−=max

0exp',

mmmmx ziyuazyE β

r (1.13)

Tích phân:

( ) ( ) ziadyyuzyE mm

d

dmx β−=∫

−

exp.',2/

2/

r (1.14)

được gọi là tích phân xen phủ giữa trường trong linh kiện dẫn sóng và mode m. Chúng ta chú ý rằng nếu như mode (theo định nghĩa) là một cấu trúc ngang bất biến khi lan truyền, thì sự chồng chập của hai mode lại không có tính chất này. Ví dụ như cấu trúc thu được từ sự chồng chập của các mode m = 1 và m = 2 là biến đổi tuần hoàn dọc theo hướng lan truyền. 1.5. Số lượng các mode Tùy theo các điều kiện khác nhau, cần phải định nghĩa số lượng của các mode có khả năng tồn tại trong linh kiện dẫn sóng. Trước hết, ta sẽ nhận thẩy rằng trong một linh kiện dẫn sóng đã cho, trường là bằng 0 trên các mặt. Vì thế mode m = 0 không thể tồn tại, bởi vì nó tương ứng với trường bằng không ở khắp nơi. Mặt khác, giá trị cực đại của m được xác định bởi điều kiện:

vậy

=<<

0max

2λdEntmmO (1.15)

Mode m chỉ có thể tồn tại nếu md≥

λ0

2 , tức là nếu:

md2

max0 =λ≤λ hay dcm

2min =ν≥ν (1.16)

νmin được gọi là tần số cắt của mode m. Vậy số mode trong linh kiện dẫn sóng tăng khi tần số của sóng truyền qua tăng (hay khi bước sóng của sóng truyền qua giảm). 2. Linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng đối xứng Một linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng được tạo bởi một lớp điện môi có chỉ số khúc xạ n1 và độ dày d. Nó được bao phủ bởi hai môi trường điện môi bán vô hạn (semi-infini), chất nền và lớp phía trên đều có chỉ số khúc xạ nhỏ hơn n1. Nếu hai môi trường này có cùng một chiết suất n2 thì linh kiện dẫn sóng như vậy được gọi là đối xứng. Môi trường hỗn hợp như vậy là bất biến khi tịnh tiến theo các hướng x và z. Nó có hai “hố chiết suất” theo hướng y. Các gương trong chương trước được thay thế bằng mặt phẳng


J.M. Jonathan

151

các lưỡng chất (dioptres) phân tách hai môi trường chất điện môi. Ngược lại với trường hợp trước, các tính chất phản xạ của chúng phụ thuộc chặt chẽ vào góc tới của các tia sáng lên mặt phân cách này. 2.1. Dẫn sóng bằng phản xạ toàn phần

Nếu góc θ giữa tia sáng và trục z lớn, ánh sáng sẽ được truyền qua một phần và phản xạ một phần. Ánh sáng không bị giam giữ trong môi trường có chiều dày d. Điều kiện để nhận được độ phản xạ toàn phần trên các mặt phân cách chính là điều kiện phản xạ toàn phần. Thông thường nó được biểu thị theo hàm của góc tới i. Nhưng trong trường hợp các dẫn sóng thì người ta thường biểu diễn theo hàm của góc θ như sau:

=≥ −

1

21sinnnii c hoặc

−=≤ −

1

21sin2 n

nc

πθθ (1.17)

Hình I-4 : Cấu trúc của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng và các cách ký hiệu

2.2. Điều kiện dẫn sóng (đối với TE) Điều kiện dẫn sóng có thể được thiết lập hoàn toàn tương tự như trong trường hợp trước. Điều khác biệt duy nhất là ở chỗ độ lệch pha φr được đưa vào bởi sự phản xạ trên các bề mặt phân cách bây giờ lại phụ thuộc vào góc tới và độ phân cực của sóng quang học. Khi phân cực là phân cực điện ngang (sóng TE) thì độ lệch pha khi phản xạ được xác định khi θ ≤ θc bởi:

2/1

2

22/1

2

2

1sinsin1

coscos

2tan

−=

−=

θθφ ccr

ii (1.18)

Như vậy điều kiện dẫn sóng sẽ là:

2/1

2

2

1sinsinsin2

2tan

−=

−

θθθ

λπ cmd với cθθ ≤ (1.19)

Lớp dưới

Dẫn sóng

Lớp trên

n2

n1

n2Tia không được dẫn

Tia được dẫn

d θ θ

Môi trường không mất mát n1 >n2

θ i

2n1n


J.M. Jonathan

152

2.3. Các hằng số lan truyền và số lượng mode (đối với TE)

sinθ

10

8

2

6

4

d2λ

sinθc

m=0 2 4 6 8

β02kn 01kn

01kn

02knckn θsin01

0

mM

yk

cθ

mθ

sinθ

10

8

2

6

4

d2λ

sinθc

m=0 2 4 6 8

β02kn 01kn

01kn

02knckn θsin01

0

mM

yk

cθ

mθ

Hình I-5: Các mode TE của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng. Nghiệm hình học và sơ đồ

của các hằng số lan truyền Đường biểu diễn hai vế trong phương trình (1.18) theo hàm sinθ cho phép biểu thị các

nghiệm theo hình học. Vế trái là một chuỗi tuần hoàn (chu kỳ d2λ ) các nhánh (branche)

dương của hàm tan. Vế phải là hàm nghịch biến được xác định trong khoảng 0≤θ≤θ c. Chúng ta lưu ý trên hình I-5, có ba điều khác so với linh kiện dẫn sóng trước:

- các giá trị của θm không còn cách đều nhau, các hằng số lan truyền lại có tiếp 2 thành phần dọc và ngang: mm kn θβ cos01= và mym knk θsin01= (1.20)

với các điều kiện cho θm:

1cos1

2 ≤≤ mnn θ và cm θθ sinsin0 ≤≤ (1.21)

θm cần phải nhỏ hơn θc. Vậy số lượng các mode TE được xác định bởi:

−+=

+=

2

1

21212/

sin1nndEnt

dEntM c

λλθ (1.22)

- Mode m = 0 (mode cơ bản) luôn luôn tồn tại với bất kỳ bước sóng ánh sáng nào: tần số cắt của mode cơ bản bằng không. Linh kiện dẫn sóng là đơn mode (chỉ có duy nhất mode m = 0) nếu:

..20

NOd λ

≤

khi đưa vào khẩu độ số của sợi quang: 22

21.. nnNO −= (1.23)

- Vì điều kiện phản xạ toàn phần giới hạn giá trị lớn nhất của θm nên nó sẽ phản ánh giới hạn độ mở số của sợi quang. Vậy số lượng các mode TE là:

+=

+= ν

λ..21..21

0

NOcdEntNOdEntM (1.24)

Tần số cắt của mode m là: ..

12 NOdcmm =ν (1.25)


J.M. Jonathan

153

2.4. Phân bố của trường (đối với TE) Cùng ý tưởng trong chương trước, ta có thể mô tả phân bố của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng. Tuy nhiên, cần phải mô tả một cách riêng biệt ba môi trường cấu thành linh kiện dẫn sóng.

Trong linh kiện dẫn sóng (22dyd

≤≤− )

Trường là sự chồng chập của hai sóng phẳng lệch pha π tại y = 0: Ta nhận thấy rằng số lượng cực trị của trường trong linh kiện dẫn sóng là m + 1.

( ) ( ) ziyuazyE mmmx β−= exp..,int với ( )

=

=∝

,...5,3,1sin2sin

,...4,2,0sin2cos

0

1

0

1

mn

mn

yum

m

m

λθπ

λθπ

(1.26)

Ngoài linh kiện dẫn sóng (2dy −≤ và

2dy ≥ )

Các nghiệm có dạng xiyuayxE mmmextx β−′′= exp)(),( được xác định bởi phương trình

Helmoltz: 0),(),( 20

22 =+∆ zyEknzyE ext

xextx . Chúng ta dễ dàng nhận được:

( ) ( ) 0'' 2

2

2

=− yudy

yudmm

m γ với 2

2

2

0220

22

2 1coscos

−=−=

c

mmm knkn

θθ

βγ (1.27)

Các nghiệm thu được là các sóng tắt dần có biên độ phải tiến dần về 0 khi khoảng cách càng xa trong dẫn sóng. Vậy ta có: Các hệ số am và am’ được xác định bởi tính liên tục của các mặt phân cách.

( ) ( ) ziyuazyE mmmextx β−= exp.'., với ( )

−≤+≥−

= 2/y khi exp

2/y khi exp'

dydy

yum

mm γ

γ (1.28)

Hình I-6: Các ví dụ về cấu trúc của các mode

γm được gọi là hệ số dập tắt. Đây là hàm nghịch biến của m, tức là trường càng trải rộng ra ngoài linh kiện dẫn sóng khi m càng lớn. Như vậy, một điều rất thú vị là chúng ta có thể thêm vào một đại lượng mới miêu tả chất lượng giam giữ (confinement) của trường bên trong linh kiện dẫn sóng. Đó là hệ số giam Γm. Giá trị này chính là phần công suất được giam trong linh kiện dẫn sóng:

( )

( )

( )

( )∫

∫

∫

∫∞+

∞−

−∞+

∞−

− ==Γdyyu

dyyu

dyzyE

dyzyE

m

d

dm

xm

d

dx

m

m2

2/

2/

2

2)(

2/

2/

2)(

,

,

(1.29)


J.M. Jonathan

154

2.5. Quan hệ của sự tán sắc và tốc độ nhóm Điều kiện dẫn sóng cho phép ta nhận được hệ thức tán sắc. Khi sử dụng:

ωβ=θ

1

cosnc

m và 1

2cosnn

m =θ

ta tìm được:

2/1

22

221

2

2222

22

221

22tan

−

−=

−−

βω

ωβπβω

cn

cn

mc

nd (1.30)

Phương trình này chỉ có nghiệm khi số hạng dưới căn bậc hai của vế phải là dương. Trong

mặt phẳng (β,ω), chúng cần phải nằm giữa hai đường thẳng β=ω2n

c và β=ω1n

c . Vậy vận

tốc nhóm sẽ nằm trong khoảng 1n

c và 2n

c . Dạng chung của các nghiệm được biểu diễn trên

hình I-7-a. Đặc biệt, hình vẽ cho thấy với một ω cho trước thì mode thấp nhất sẽ có vận tốc

nhóm vào khoảng 1n

cvg ≈ , đó chính là vận tốc nhóm mà mode đó có được khi nó được giam

giữ hoàn toàn trong linh kiện dẫn sóng. Trong các điều kiện tương tự như vậy, mode cao nhất

sẽ có vận tốc vào khoảng 12 n

cncvg >≈ , giống như nếu nó truyền chủ yếu ra ngoài linh kiện

dẫn sóng.

βω1nc<

βω2n

c>

ω

β

m=0m=1

m=2

cn

cn 12 ωβω <<

βω1nc<

βω2n

c>

ω

β

m=0m=1

m=2

cn

cn 12 ωβω <<

md θcot

m

dθsin

z∆

md θcot

m

dθsin

z∆

a) b)

βω1nc<

βω2n

c>

ω

β

m=0m=1

m=2

cn

cn 12 ωβω <<

βω1nc<

βω2n

c>

ω

β

m=0m=1

m=2

cn

cn 12 ωβω <<

βω1nc< βω1nc<

βω2n

c> βω2n

c>

ω

β

m=0m=1

m=2

cn

cn 12 ωβω <<

cn

cn 12 ωβω <<

βω1nc< βω1nc<

βω2n

c> βω2n

c>

ω

β

m=0m=1

m=2

cn

cn 12 ωβω <<

cn

cn 12 ωβω <<

md θcot

m

dθsin

z∆

md θcot

m

dθsin

z∆

md θcot md θcot

m

dθsin m

dθsin

z∆z∆

md θcot

m

dθsin

z∆

md θcot md θcot

m

dθsin m

dθsin

z∆z∆

a) b)

Hình I-7: a) biểu diễn sơ đồ của các nghiệm của hệ thức tán xạ ; b) Các ký hiệu cho phép tính hình học

của vận tốc nhóm Ta có thể biểu diễn sự thay đổi của vận tốc nhóm giữa các mode bằng cách tính đạo hàm toàn phần theo β từ điều kiện dẫn (1.2):

βω

ωφ

βφ

ββω

ββω

βω

ω

∂∂

∂∂

+∂∂

=−

∂∂

−∂∂

−

rr

cncn

d2

2

221

2

21

(1.31)


J.M. Jonathan

155

Hai đại lượng đầu tiên của vế trái làm xuất hiện hai hàm đã biết trước của θm. β∂φ∂ r là

đồng nhất (homogene) trên chiều dài ∆z và ω∂φ∂ r đồng nhất trong khoảng thời gian -∆t. Vậy

biểu thức này được viết như sau:

gm

gm

vtzvcnd ∆−∆=

−

θθ tan1

sin11

Ta có thể biểu diễn vận tốc nhóm dưới dạng:

t

cnd

zdv

m

mg

∆+

∆+=

1

sin

cot

θ

θ (1.32)

Chính tỉ lệ giữa quãng đường hiệu dụng (parcours effectif) và thời gian hiệu dụng:

cnd

dv

m

mg

1

0

sin

cot

θ

θ=

là tốc độ nhóm trong linh kiện dẫn quang dùng gương có chiết suất n1. Vậy trong một chu kỳ quỹ đạo của tia sáng, ta có thể biểu diễn (hình I-7-b) biểu thức của vg là kết quả của quãng đường trong linh kiện dẫn quang dùng gương được tăng thêm một quãng đường có chiều dài ∆z thực hiện được trong khoảng thời gian ∆t. Vậy độ lệch pha khi phản xạ là bằng sự lan

truyền phụ β∂φ∂

=∆ rz ở bên ngoài linh kiện dẫn sóng: đây là độ dịch chuyển Goos-Hânchen.

Tương tự như vậy, ta cũng có thể định nghĩa chiều dày hiệu dụng của linh kiện dẫn sóng là: meff zdd θtan∆+= (1.33)

Chúng ta có thể chỉ ra rằng θ

=∆∆

cos2nc

tz , tức là tốc độ lan truyền trong đường đi phụ này sẽ

càng lớn khi góc θ tăng.


J.M. Jonathan

156

Chương II. Trường điện từ trong linh kiện dẫn sóng phẳng Ở đây ta nghiên cứu về linh kiện dẫn sóng phẳng (guide plan) dưới quan điểm trường điện từ bằng cách mô tả quá trình truyền sóng trong môi trường có chỉ số khúc xạ bất biến theo các hướng y và z, nhưng lại thay đổi theo hướng x. Đầu tiên, chúng ta xét trường hợp linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất (saut indice) là linh kiện dẫn sóng đã được nghiên cứu đến ở chương trước, sau đó ta sẽ nghiên cứu linh kiện dẫn quang có tiết diện parabol. Nghiên cứu này sẽ cho phép ta định nghĩa một cách chính xác hơn các khái niệm đã được đưa ra từ trước đến nay. 1. Khái niệm chung 1.1. Các phương trình Maxwell

Từ đây trở đi, các khái niệm điện trường E , từ trường H , cảm ứng điện D và cảm ứng từ B , là các đại lượng vectơ có các thành phần thực. Môi trường mà các sóng được truyền qua được giả thiết là môi trường tuyến tính, đẳng hướng và không dẫn điện cũng như không nhiễm từ. Tuy nhiên, cấu trúc hình thành linh kiện dẫn sóng không thể coi là đồng chất. Với các điều kiện này, các phương trình Maxwell được viết như sau:

t

Rot∂

∂−=

BE (a) 0=Ddiv (c)

t

Rot∂

∂=

DH (b) 0=Bdiv (d) (2.1)

Các phương trình cấu thành môi trường được viết như sau:

( ) (b) ,, (a) 200 EDHB zyxnεµ == (2.2)

Chúng ta nhớ lại rằng: 7

0 104 −= πµ 120 10.84,8 −=ε và 12

00 =cµε (2.3)

1.2. Phân bố ngang của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng Ta tìm nghiệm của các phương trình truyền của các trường lan truyền theo hướng z là một trong các hướng mà cấu trúc bất biến theo hướng đó. Vậy chúng có dạng:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zti

zti

eyxHtzyx

eyxEtzyxβω

βω

−

−

=

=

,,,,

,,,,r

r

H

E

β là hằng số lan truyền theo z. ),( yxEr

và ),( yxHr

là các phân bố ngang của trường được lan truyền theo z, không bị biến dạng. Sự bất biến của cấu trúc theo y khiến cho các phân bố này cũng bất biến theo y. Như vậy, các thành phần của trường được viết như sau:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) zyxjexHtzyx

zyxjexEtzyxzti

jj

ztijj

,,,,,

,,,,,

==

==−

−

βω

βω

H

E (2.4)

1.3. Các mode TE và TM của linh kiện dẫn sóng

Khi thay thế các trường bởi các biểu thức của chúng trong (2.4) vào các phương trình:


J.M. Jonathan

157

tRot O ∂

∂−=

HE µ t

nRot∂

∂=

EH 20ε

ta nhận được 2 nhóm chứa 3 phương trình độc lập. Nhóm thứ nhất mô tả các mode điện ngang (mode TE), có nghĩa là các mode mà điện trường (Ey) của chúng trực giao với phương truyền, giống như đối với trường hợp của một sóng phẳng:

( ) -c-

-b-

-a-

20

0

0

yz

x

zy

xy

Exnix

HHi

Hix

E

HiEi

ωεβ

ωµ

ωµβ

=∂

∂−−

−=∂

∂

−=

(2.5)

Nhóm thứ 2 liên kết thành phần Hy của từ trường với các thành phần Ex và Ez của điện trường. Chúng mô tả các mode từ ngang (mode TM) mà từ trường (Hy) của chúng trực giao với phương truyền:

( )

( )

yz

x

zy

xy

Hix

EEi

Exnix

H

ExniHi

0

20

20

ωµβ

ωε

ωεβ

−=∂

∂−−

=∂

∂

=

(2.6)

Vậy nghiệm chung của các phương trình Maxwell trong linh kiện dẫn sóng sẽ là sự kết hợp tuyến tính của các mode TE và mode TM. Ta không có các mode điện từ ngang (mode TEM) của sự lan truyền tự do: các sóng điện từ được dẫn thường là không phải là sóng ngang; điện trường hay từ trường hoặc là cả từ trường và điện trường đều có thể chứa các thành phần khác 0 theo phương truyền. 2. Linh kiện dẫn sóng có hố chiết suất (guide à saut indice) Đầu tiên, chúng ta sử dụng các kết quả này vào trong trường hợp linh kiện dẫn sóng đối xứng có hố chiết suất (hình II-1). Linh kiện dẫn sóng có bề dày là d và chỉ số khúc xạ n1 đồng nhất, lớp nền và lớp phía trên đều là môi trường bán vô hạn và có cùng một chiết suất n2 nhỏ hơn n1.

Hình II-1: Phân bố của chiết suất của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất

Chúng ta sẽ diễn giải chi tiết các tính toán và các kết quả thu được trong trường hợp các mode TE, sau đó sẽ chỉ đưa ra kết quả đối với các mode TM. 2.1. Phương trình truyền các mode TE Các phương trình (2.5) trực tiếp cho chúng ta phương trình truyền của điện trường ngang:


J.M. Jonathan

158

( )( ) 02200

22

2

=−+∂

∂y

y ExnxE

βµεω (2.7)

phương trình này tồn tại 000 ηεω=k là hằng số lan truyền trong chân không, của sóng điện từ có tần số góc là ω. Phương trình này sẽ thay đổi khác nhau tùy theo ở trong linh kiện dẫn sóng (chiết suất n1) hay là ở ngoài linh kiện dẫn sóng (chiết suất n2). Điện trường tổng cần phải thỏa mãn hai phương trình sau:

Trong linh kiện dẫn

2dx < ( ) 022

1202

2

=−+∂

∂y

y EnkxE

β -a-

Ngoài linh kiện dẫn

2dx > ( ) 022

2202

2

=−+∂

∂y

y EnkxE

β -b-

Sau đó, các thành phần của từ trường được định nghĩa từ hai phương trình đầu tiên của (2.5). Cuối cùng, các thành phần tiếp tuyến của hai trường (Ey và Hx) cần phải liên tục trên

các bề mặt. Điều này làm cho các hàm Ey(x) và dx

xdE y )( phải liên tục khi

2dx ±= .

Trước khi giải các phương trình này, ta cần phải lưu ý rằng bản chất của các sóng phụ thuộc chủ yếu vào giá trị của hằng số lan truyền dọc β. Các dạng nghiệm có thể nhận đựợc của các phương trình (2.8) được tóm tắt trong bảng sau đây:

Giá trị của β 2dx <

2dx > Nghiệm tổng quát

21

20

22

20

2 nknk <<β nghiệm dao động nghiệm dao động mode bức xạ

21

20

222

20 nknk <β< nghiệm dao động nghiệm exp mode dẫn sóng

221

20

22

20 β<< nknk nghiệm exp nghiệm exp không có nghiệm

Sóng điện từ sẽ chỉ được dẫn khi hằng số lan truyền dọc β nằm trong khoảng các giá trị của hằng số lan truyền tự do trong linh kiện dẫn sóng (k0n1) và trong chất nền (k0n2). Đó là trường hợp mà chúng ta sẽ giải các phương trình. 2.2. Mode dẫn TE Nếu điều kiện dẫn ( 2

120

222

20 nknk <β< ) được thỏa mãn, các phương trình truyền được

viết như sau:

02

22

2

=+∂

∂< y

y ExEdx α 022

120

2 ≥−= βα nk -a-

(2.9)

(2.8)


J.M. Jonathan

159

02

22

2

=−∂

∂> y

y ExEdx κ 02

220

22 ≥−= nkβκ -b- (2.10)

tính đến việc các hàm e mũ phải giảm về vô cùng, các nghiệm là:

( ) xBxAxEdx y αα sincos2

+=< -a-

( ) xDxEdx y κ−=> exp 2

-b- (2.11)

( ) xCxEdx y κexp2

=−< -c-

Chúng ta cũng chỉ ra rằng trong linh kiện dẫn sóng đối xứng, [n(x) = n(-x)], trường hoặc là đối xứng [Ey(-x) = Ey(-x)], hoặc là phản đối xứng [Ey(-x) = -Ey(x)]. Mode dẫn sóng TE đối xứng Các nghiệm đối xứng:

( ) xAxEdx y αcos2

=<

( ) xCxEdx y κ−=> exp2

(2.12)

phải thỏa mãn các phương trình liên tục của trường và đạo hàm của nó:

2

exp2

cos dCdA κα −= và 2

exp.2

sin dCdA κκαα −−=− (2.13)

Chúng ta thường giản lược các phương trình trên bằng cách đưa vào các đại lượng chuẩn hóa không có đơn vị mà các đại lượng này sẽ được sử dụng một cách có hệ thống trong phần tiếp theo:

2du α

=

2dv κ

= hệ số dập tắt rút gọn (2.14)

22

210 2

nndkV −= tần số rút gọn

mà ta sẽ nhận thấy rằng các đại lượng này liên hệ với nhau bởi hệ thức: 222 Vvu =+ (2.15) Vậy các phương trình (2.13) có nghiệm khi:

22tan uVuu −= (2.16) Mode dẫn sóng TE phản đối xứng Các nghiệm phản đối xứng:

( ) xBxEdx y αsin2

=<

( ) xDxxxEdx y κ−=> exp

2 (2.17)


J.M. Jonathan

160

cần phải thỏa mãn các phương trình liên tục:

2

exp2

sin dDdB κα −−= và 2

exp2

cos dDdB κκαα −= (2.18)

Hệ này có nghiệm nếu:

22cot uVuu −=− (2.19) 2.3. Xác định đồ thị của các mode dẫn sóng TE Đối với mỗi giá trị của tham số V, các phương trình (2.16) và (2.19) cho phép xác định các giá trị của tham số u sao cho tồn tại các mode dẫn sóng điện ngang, chẵn hay lẻ. Việc giải phương trình có thể thực hiện bằng đồ thị.

- Tham số V gọi là tần số rút gọn (fréquence réduite) được xác định bởi các đặc trưng của linh kiện dẫn (bao gồm độ dày d và các chỉ số khúc xạ n1 và n2), và bởi bước sóng của ánh sáng trong chân không.

- Tham số u xác định dạng của trường trong linh kiện dẫn sóng nhận được thông qua một trung gian α

Ta vẽ trên cùng một đồ thị hai hàm của u:

- Hàm 22 uV − biểu thị bằng một vòng cung tròn có bán kính V (đường chấm chấm trên đồ thị)

- Hàm u tan u (đường kẻ liền), các giao điểm của nó với đường trước sẽ xác định các mode đối xứng có thể.

- Hàm –ucotu (đường chấm gạch), các giao điểm của nó với đồ thị thứ nhất sẽ xác định các mode bất đối xứng có thể.

Cũng như vậy với mỗi giá trị của V, ta xác định số lượng các mode đối xứng và phản đối xứng có thể và các giá trị tương ứng của u. Kết quả của cách giải này được đưa lên hình II-2 để cho ta các giá trị của u theo hàm của V. Chúng ta nhận thấy rằng số lượng các mode là hàm đồng biến của V. Đồ thị sẽ biểu thị với mỗi mode (được đánh số m) một tần số cắt Vm. Từ các giá trị này của u chúng ta có thể dễ dàng tính được hằng số lan truyền β của mode tương ứng.

( )uf

u

2 4 6

2=V

5=V8

6

4

2

0

u(V)

20151050

V

m=0

m=2

m=3

m=1

m=4

m=5

( )uf

u

2 4 6

2=V

5=V

u

2 4 6

2=V

5=V8

6

4

2

0

u(V)

20151050

V

m=0

m=2

m=3

m=1

m=4

m=5

Hình II-2: Giải bằng đồ thị và biểu diễn các nghiệm u(V)


J.M. Jonathan

161

2.4. Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hóa Khái niệm chiết suất hiệu dụng cho thấy rằng nếu một sóng lan truyền trong chân không với hằng số k0 và chính sóng này lan truyền trong linh kiện dẫn sóng với hằng số lan truyền β thì chiết suất hiệu dụng được định nghĩa một cách tự nhiên là:

0k

neffβ

= (2.20)

và được biểu diễn theo hàm của các tham số u và V:

( )2

22

21

21

2

−−=Vunnnneff (2.21)

Điều kiện dẫn sóng được viết với chiết suất hiệu dụng là: 12 nnn eff ≤≤ (2.22)

Tương tự như vậy, ta thường sử dụng hằng số lan truyền chuẩn b:

2

22

21

22

2

22

21

22

20

2

1/

−=

−

−=

−−

≡Vu

nnnn

nnnkb effβ (2.23)

Vậy một mode sẽ được dẫn nếu như hằng số lan truyền chuẩn hóa của nó nằm trong khoảng 0 và 1. Giá trị b = 0 biểu thị trường hợp đặc biệt là tần số cắt của mỗi mode. Hình II-3 là một ví dụ biểu diễn biến thiên của chiết suất hiệu dụng theo hàm của V. Đường biểu diễn biến thiên của b hoàn toàn tương tự như vậy được biểu diễn trên hình bên cạnh.

Hình II-3: Biến thiên của chiết suất hiệu dụng neff và của hằng số lan truyền rút gọn b

theo hàm của tần số rút gọn V

2.5. Các mode TM của linh kiện dẫn sóng phẳng có hố chiết suất Tương tự như phần trước, chúng ta có thể giải bài toán biểu diễn sự tồn tại của các mode dẫn sóng TM trong linh kiện dẫn sóng đối xứng có hố chiết suất. Như vậy ta phải giải các phương trình định nghĩa các thành phần ngang của từ trường:

02

22

2

=+∂

∂< y

y HxHdx α 22

120

2 βα −= nk

02

22

2

=−∂

∂> y

y HxHdx κ 2

220

22 nk−= βκ (2.24)

và viết tính liên tục của hàm Hy(x) và của dx

dHn

y2

1 , ta thu được các điều kiện tồn tại như sau:


J.M. Jonathan

162

Mode TM đối xứng [ ] 2/1222

2

1tan uVnnuu −

=

Mode TM bất đối [ ] 2/1222

2

1cot uVnnuu −

=− (2.25)

và chúng ta có thể giải bằng đồ thị các phương trình này tương tự như ở phần trước để nhận được các hằng số lan truyền của các mode dẫn sóng TM. 2.6. Tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng phẳng hố chiết suất Các kết quả tính toán chỉ ra rằng các hằng số lan truyền là khác nhau với các mode TE và TM cùng bậc. Điều này được thể hiện rất rõ trong hình II-4.

Hình II-4: Độ nhạy của hằng số lan truyền rút gọn b khi phân cực; các mode TE được biểu diễn bằng

các đường kẻ liền, các mode TM được biểu diễn bằng đường chấm chấm Một nhận xét nữa là một linh kiện dẫn sóng phẳng đơn mode sẽ có một mode TE và một mode TM. Cả hai mode này đều có các hằng số lan truyền khác nhau, điều này tương ứng với tính lưỡng chiết. Ví dụ như chúng ta xét một linh kiện dẫn sóng có chiết suất n1 = 1,5 và độ dày d = 0,555 µm, được đặt trong một môi trường có chiết suất n2 = 1. Chúng ta tìm cách cho một bước sóng λ0 = 1,3µm truyền qua linh kiện dẫn này. Trong trường hợp này, tần số rút gọn là V ≈ 3. Chúng ta có một linh kiện dẫn đơn mode: nó chỉ chứa một mode cơ bản và:

mode b neff

TE 0,6280 1,336

TM 0,4491 1,2495

Vậy ta có một lưỡng chiết ∆n ≈ 0,09. Độ lệch pha của các mode cơ bản TE và TM là π đối với một độ dài truyền:

mLb µβπ 152

≈∆

=

Như vậy, tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng là rất lớn.


J.M. Jonathan

163

2.7. Tính ngang của trường dẫn sóng Như ta đã chỉ ra trong phần trước, chính xác thì điện từ trường tương ứng với một mode dẫn sóng không phải là trường ngang. Ví dụ, ta xét một mode TE. Điện trường theo định nghĩa là trường ngang. Bây giờ chúng ta hãy tính các thành phần của từ trường. Các hệ thức (2.5, a và b) cho phép tính tỉ lệ giữa thành phần dọc Hz và thành phần ngang Hx:

y

y

x

z

ExE

HH ∂∂

=β1

dEy/dx cũng như Ey là các đại lượng hình sin (phương trình 2.11-a-), ta có:

βα

≈max

max

x

z

HH

Định nghĩa α (α2 = k02n1

2 - β2) và điều kiện dẫn 21

20

222

20 nknk <β< bắt buộc:

2/1

22

22

21

max

max

−≤

nnn

HH

x

z (2.26)

Nếu các chiết suất n1 và n2 gần nhau thì thành phần dọc của từ trường có thể được bỏ qua và chúng ta có thể coi như sóng TE là sóng ngang đối với cả hai trường. Ta có thể tính toán tương tự như đối với sóng TM. Khi các chiết suất n1 và n2 gần nhau, ta nói rằng ta đang ở gần đúng của dẫn sóng yếu. Đây là trường hợp quan trọng mà chúng ta sẽ quay trở lại ở phần sợi quang học. 2.8. Công suất được truyền tải (puissance transportée) bởi mode

Thông lượng công suất (flux de puissance) của một sóng điện từ là giá trị trung bình nhất thời S

r của vectơ Poynting HES

rrr×= .

Công suất truyền tải bởi sóng này chính là tích phân của thông lượng. Công suất trong một mode TE Chúng ta kiểm tra dễ dàng rằng trong trường hợp này, các thành phần khác không của các trường là: ( ) ( )ztxEyy βω −= cosE

( ) ( )( ) ( )zt

dxxdE

ztxE

yz

yx

βωωµ

β

βωωµ

β

−−=

−−=

sin

cos

0

0

H

H

và các giá trị trung bình nhất thời của các thành phần của vectơ Poynting được viết như sau:

( )

=

==

xEyz

yx

2

02

0

ωµβS

SS (2.27)

Vậy công suất truyền tải bởi sóng này được viết như sau:

( )∫∞+

∞−= dxxEP yTE

2

02ωµβ (2.28)

Trong trường hợp mode đối xứng (2.12), với các điều kiện biên (2.13), ta nhận được:


J.M. Jonathan

164

−+=

+=

22

2

0

2

0

1122

122 uV

dAdAPTE ωµβ

κωµβ (2.29)

với κ là hệ số dập tắt. Chúng ta thu được kết quả tương tự như vậy đối với mode phản đối xứng. Công suất trong một mode TM Tính toán giống như trên sẽ cho ta một biểu thức tính công suất truyền tải bởi một mode TM là:

( )

+−

+= 241

242

22

21

20

22

212

0 22 κακωµβ

nnnnknndAPTM (2.30)

2.9. Kích thích các mode dẫn sóng Chúng ta sẽ diễn giải ở đây, bằng cách nào mà tập hợp các mode (được dẫn và truyền qua) của một linh kiện dẫn sóng phẳng tạo thành một trục toạ độ mà ta có thể chiếu toàn bộ sóng lên toạ độ đó. Ta sẽ có thể suy ra từ đó một cách đơn giản là công suất dẫn được bởi mỗi mode của một linh kiện dẫn quang khi nó được kích thích bởi bất kỳ một sóng quang học nào đó. Tính trực giao của các mode dẫn Gọi Φm(x) là một cấu trúc ngang của trường biểu diễn mode TE. Nó thỏa mãn phương trình truyền:

( ) ( )( ) ( ) 022202

2

=Φ−+Φ xxnkdx

xdmm

m β

Đầu tiên ta nhận thấy rằng phương trình này có các trị riêng. Thực tế là có thể được viết như sau:

( ) ( ) ( ) ( )xxxnk

dxxd

mmmm Φ=Φ+

Φλ22

02

2

với 2mm βλ = (2.31)

vậy λm là một trị riêng và Φm(x) là hàm riêng của nó. Như vậy sẽ tồn tại một quan hệ trực giao giữa các hàm riêng ứng với các trị riêng khác biệt nhau. Bây giờ ta sẽ khai triển nó. Ta nhận được một cách đơn giản từ phương trình (2.31) hai phương trình sau:

( ) ( ) ( ) ( )xxxnkdx

xdkmkkm

km

***2202

*2

ΦΦ=ΦΦ+Φ

Φ λ

( ) ( ) ( ) ( )xxxnkdx

xdmkmmk

mk ΦΦ=ΦΦ+

ΦΦ **22

02

2* λ (2.32)

hiệu của chúng sẽ là:

( ) ( ) ( ) ( )xdx

xddx

xddxd

kmkmk

mm

k**

** ΦΦ−=

ΦΦ−

ΦΦ λλ (2.33)

tích phân hai vế của phương trình này dẫn đến phương trình:

( ) ( ) ( ) ( ) 0*

*** =

ΦΦ−

ΦΦ=ΦΦ−

+∞

∞−

∞+

∞−∫ dxxd

dxxddxx k

mm

kkmkm λλ (2.34)


J.M. Jonathan

165

vế phải của phương trình này cần phải bằng 0 vì nếu Φm(x) biểu diễn mode dẫn sóng, giới hạn của nó sẽ bằng 0 khi x tiến đến ±∞. Vậy ta có:

nếu m ≠ k ( ) 0* =ΦΦ∫+∞

∞−dxxkm

nếu m = k *mm λλ = ( ) 0* >=ΦΦ∫

+∞

∞− mmm Adxx (2.35)

Như vậy chúng ta có thể chuẩn hóa các hàm Φm sao cho các giá trị Am đều bằng 1, ta nhận được:

( ) mkkm dxx δ=ΦΦ∫+∞

∞−

* δkm : ký hiệu của Kronecker (2.36)

Tuy nhiên các hàm này không tạo được thành cơ sở trực giao chuẩn hóa hoàn toàn mà toàn bộ sóng có thể được được phân tích lên đó giống hệt nhau. Để làm được điều đó thì phải thêm vào đó các mode chiếu sáng. Tính trực giao của các mode bức xạ Các mode bức xạ tạo thành một continum (continuum)

nếu β ≠ β′ thì ∫−∞

∞−ββ =ΦΦ 0)()( *

' dxxx

nếu β = β′ thì ∫−∞

∞−ββ ΦΦ dxxx )()( *

' không tính được về mặt ý nghĩa (sens) của

các hàm (2.37) Chiếu một sóng lên mode dẫn sóng Chùm liên tục này khi được thêm vào các mode dẫn sóng rời rạc, có thể tạo thành một cơ sở trực giao chuẩn hóa hoàn toàn. Vậy một sóng bất kỳ φ(x) có thể được biểu diễn bằng một cách duy nhất:

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫ Φ+Φ=m

mm dxcxcx ββϕ β với ( ) ( )∫+∞

∞−Φ= dxxxc mm

*ϕ (2.38)

Công suất dẫn trong một mode Xét một trường tới tại z = 0 và giá trị của nó tại z > 0:

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫ Φ+Φ=m

mmy dxcxcxE ββ β0,

và ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫ −Φ+−Φ=m

mmmy zdixczixczxE ββββ β expexp,

Công suất của mode dẫn thứ m tại z = 0 và tại z > 0 sẽ là:

( ) ( ) 2

0

22

0 220 m

mmm

mm cdxxcP

ωµβ

ωµβ

=Φ= ∫∞−

∞−

( ) ( )zPcziczP mmm

mmm

m ==−= 2

0

2

0 2exp

2 ωµββ

ωµβ (2.39)

Công suất của mỗi mode sẽ bất biến bởi sự truyền qua. Điều này không đúng đối với công suất toàn phần.


J.M. Jonathan

166

3. Linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc bai 3.1. Mode của linh kiện dẫn sóng có chiết suất thay đổi thuần túy bậc hai

Ở đây ta xét một linh kiện dẫn sóng có chỉ số khúc xạ n(x) là hàm bậc hai khi 2dx < và

là hằng số ở ngoài vùng này.

Hình II-5: Mặt cắt chiết suất thay đổi bậc hai và các ký hiệu thường dùng

Chúng ta giả sử ở đây rằng chiều dày d là lớn, và các mode được giam trong phần hình parabol. Vậy phương trình truyền đối với Ey, Hx, Hz được viết là:

( ) ( ) 0221 22

21

202

2

=Φ

−

∆−+

Φ xdxnk

dxxd β (2.40)

Khi thay vào đó các đại lượng:

2/201

dkn ∆

=γ xγξ = 2

221

20

γβ−

=Λnk (2.41)

Phương trình này trở thành một dạng phương trình vi phân bậc hai quen thuộc sau:

( ) ( ) ( ) 022

2

=Φ−Λ+Φ ξξξ

ξd

d (2.42)

Phương trình có các trị riêng này là phương trình Schrodinger của một dao động tử điều hòa một chiều. Ta biết các nghiệm của phương trình này như sau:

- Các trị thực là các số nguyên lẻ:

Λ = 2m + 1 và do đó: ( )21

0101 22121

∆+−=

dknmknmβ (2.43)

- Các hàm riêng là các hàm Gauss-Hermitte, đều trực giao và chuẩn hóa theo hệ thức (2.36):

( ) ( ) 2

21exp ξξξ −=Φ mmm HN

21

!2

=

πγ

mN mm

( ) ( )( ) ( ) ( )ξξξξ

ξξξ

11

10

2221

−+ −===

mmm mHHHHH

(2.44)

Hm đa thức bậc m


J.M. Jonathan

167

Chú ý: - Mặt cắt chiết suất là đối xứng. Như thế các mode hoặc là đối xứng (bậc m chẵn), hoặc

phản đối xứng (bậc m lẻ). - Mode m = 0 tương ứng với mode gauss. - Mode m biểu thị m bằng 0 theo x

- βm là phức khi giá trị của m lớn hơn 21

2401 −ddkn

. Điều này tương ứng với các mode bị

mất (modes à pertes) 3.2. Kết hợp (couplage) của một sóng gauss Để đơn giản, chúng ta sử dụng ở đây trường hợp một linh kiện dẫn sóng gauss để diễn giải các phép tính công suất truyền trong một mode. Chúng ta xét một sóng gauss có cùng độ rộng với mode cơ bản của linh kiện dẫn sóng, nhưng lệch đi một bên:

( ) ( ) txxE

txy ωγπ

cos21exp,0, 2

02

4/10 −−=E (2.45)

Thành phần của sóng trên mode m của linh kiện dẫn sóng có biên độ là:

( ) ( )∫+∞

∞−

−−Φ= dxxxxE

c mm2

02

4/10

21exp γ

π (2.46)

và được viết là:

20

222

02

0

41exp

2!1 xxm

Ec

m

m γγγ

−

= (2.47)

khi sử dụng đồng nhất thức:

( ) ( ) ( ) mm

mtH

mtttG ξξξ ∑

+∞

=

≡−−=0

2

!12exp,

Vậy công suất tương đối được kết hợp trong mode m là:

2

exp2!

1 20

220

2 xxm

pm

mγγ

−

= (2.48)

Đối với tất cả giá trị của m, đây là một hàm nghịch biến của sự lệch hàng x0. Khi sự lệch hàng này bằng 0 thì tất cả công suất đều được kết hợp trong mode cơ bản. 3.3. Tán xạ giữa các mode (inter-modes) trong linh kiện dẫn sóng chiết suất thay đổi

bậc hai Các kiến thức giải tích của các hằng số lan truyền βm của các mode trong linh kiện dẫn sóng bậc hai cũng cho phép ta tính vận tốc nhóm:

ωβ

dd

vm

g

≡1 với ( )

21

0101 22121

∆+−=

dknmknmβ

Chú ý rằng thông thường thì:

122

02

<<∆dkn

nên ta nhận được:

∆+−≈β 21)12(1

0101 dkn

mknm


J.M. Jonathan

168

tức là:

( )cn

dknm

cn

vg1

21

01

1 21121 ≈

∆+−≈ (2.49)

Các mode của linh kiện dẫn sóng chiết suất thay đổi bậc hai có cùng một vận tốc rất gần nhau, điều này làm giảm thiểu một cách đáng kể sự biến dạng của các xung trên đường truyền. 4. Khái niệm về dẫn sóng yếu 4.1. Phương trình truyền sóng Phương trình truyền của điện trường có thể nhận được khi sử dụng hệ thức vectơ sau:

[ ] ( ) EEE ∆−= divgradRotRot

trong đó ∆ là toán tử Laplace. Hệ thức (2.1-a) cho ta:

( )EEE divgradt

n =∂

∂−∆ 2

22

00εµ

Ta thấy ngay rằng vế phải của hệ thức khác không do tính không đồng nhất của chỉ số khúc xạ, tức là do cấu trúc của linh kiện dẫn sóng. Vì vậy các hệ thức (2.1 và 2.2) sẽ dẫn đến phương trình sau:

EE .1 22 ngrad

ndiv −=

Vậy phương trình truyền của điện trường trong cấu trúc được viết là:

0.12

22

002

2

r=

∂∂

−

+∆

tnngrad

ngrad EEE εµ (2.50)

Tính toán tương tự như vậy khi sử dụng hệ thức vectơ:

( ) UmgradURotmUmRotrrr

×+= dẫn đến phương trình truyền của từ trường:

( )HHHH divgradt

nRotngradn

=∂

∂−×+∆ 2

22

002

2

1 εµ (2.51)

Với một trường đơn sắc có tần số ω, và:

( ) ( ) tieyxEtzyx ω−= ,,,,r

E ( ) ( ) tieyxHtzyx ω−= ,,,,r

H hai phương trình truyền trên sẽ được viết:

( )

−=+∆ Engradn

gradEzyxnkE .1,, 22

20 (2.52)

và

( ) HRotngradn

HzyxnH ×−=+∆ 22

2 1,, (2.53)

4.2. Các thành phần ngang và dọc Dù là đối với linh kiện dẫn sóng phẳng mà chúng ta đang nói đến, hay đối với sợi quang học sẽ được trình bày ở chương sau, thì ta đều đang xét đến các môi trường bất biến theo z, mà trong đó các mode lan truyền đều là các cấu trúc ngang được truyền dọc, không biến dạng, có hằng số lan truyền bằng β. Vậy ta biểu diễn phương trình truyền bằng cách làm


J.M. Jonathan

169

xuất hiện các thành phần dọc và ngang (Ez và ET) của trường. Cũng như thế, ta sẽ đưa vào các thành phần dọc và ngang của toán tử Laplace:

2

2

2

2

dyd

dxd

T +=∆ 22

2

β−==∆dzd

z (2.54)

Vậy phương trình truyền của điện trường là:

( )( ) ( )

+⋅−=++∆+∆ zTzTzT EEngrad

ngradEEnk

rrrr2

222

0 1

Chú ý rằng građien của chỉ số khúc xạ là trực giao với Ez, phương trình trên có thể được đơn giản hóa thành:

( )( )

⋅−=++∆+∆ TzTzT Engrad

ngradEEnk

rrr2

222

0 1

và nó được phân tích thành một phương trình truyền ngang và một phương trình truyền dọc bằng các đưa vào các thành phần của građien:

=

0

dyddxd

grad T

=

dzd

grad z 00

(2.55)

( )

⋅−=−+∆ TTTT Engrad

ngradEnk

rr2

2222

0 1β

( ) 0 1 22

2220

rrr=

⋅−=−+∆ TzzT Engrad

ngradEnk β (2.56)

4.3. Gần đúng của sự truyền dẫn yếu Định nghĩa Như vậy việc giải bài toán trở thành việc giải vế phải của phương trình truyền dọc. Ta có thể giải bằng cách tiếp cận khi giả sử rằng biến thiên của chỉ số khúc xạ là yếu, tức là chỉ số khúc xạ n(x) biến đổi rất ít trong cấu trúc dẫn. Như thế, ta có:

( ) ( )[ ]yxfnyxn ,1, 1 ⋅∆−= với 1

21

nnn −

=∆ (2.57)

n1 là chỉ số khúc xạ ở trung tâm của linh kiện dẫn sóng, n2 là chỉ số khúc xạ ở khoảng cách rất xa với trung tâm và hàm f(x,y) là một hàm có các giá trị trong khoảng 0 và 1, biểu thị dạng thay đổi của chiết suất. Trong trường hợp gần đúng được gọi là “dẫn yếu” (guidage faible), ta giả sử rằng sự biến đổi tương đối của chỉ số khúc xạ (∆) là rất nhỏ so với 1 đến mức mà khi giới hạn ở khai triển bậc nhất đối với ∆, ta có thể viết như sau: ( ) ( )[ ]yxfnyxn ,21, 2

12 ∆−≈ (2.58)

Hệ quả của phép gần đúng này là sự dẫn chỉ có thể xảy ra theo các hướng rất gần với trục của dẫn sóng, tức là theo các mode bậc thấp. Về mặt vật lý, chúng ta giữ ý tưởng là mục đích của việc dẫn sóng là phải làm sao cho các sóng giới hạn ngang truyền qua mà tránh được việc chúng bị phân kỳ bởi sự nhiễu xạ. Biến thiên của chiết suất cần phải vừa đủ để thắng được hiện tượng nhiễu xạ.


J.M. Jonathan

170

Giải bài toán Theo cách tương tự với phần trước và với các khái niệm của hệ thức (2.57), khai triển bậc nhất của ∆ sẽ cho ta:

TT EfgradEngradn

rr⋅∆−≈⋅ 2 1 2

2

sao cho phương trình truyền của thành phần ngang của điện trường được viết như sau:

( ) ( )TTTT EfgradgradEnkrr

⋅∆=−+∆ 22220 β (2.59)

Khi sử dụng gần đúng dẫn yếu, ta cho ∆ tiến đến 0 ở vế phải của biểu thức, vậy phương trình truyền được viết là:

( ) 02220 ≈−+∆ TT Enk

rβ (2.60)

Đây là dạng phương trình ta sẽ giải. Tuy nhiên cần phải ghi nhận rằng phương pháp nhiễu loạn cho ta một đáp số bậc nhất của ∆. Phương trình truyền vô hướng Các thành phần ngang của các trường được biểu diễn như sau:

( ) Tzi

T ueyxE rrβψ ±= , ( ) ( )

0

0,µε

ψ β nuueyxH Tzzi

Trrr

×= ±

trong đó Tur là vectơ đơn vị ngang của một hướng ngẫu nhiên nào đó. Các mode dẫn sẽ có cùng một sự suy biến bậc hai: sự phân cực là đồng nhất và bất kỳ trên một mặt cắt của dẫn sóng. Cuối cùng, khi sử dụng gần đúng dẫn yếu, ta có phương trình truyền vô hướng: ( ) ( ) 0,222

0 ≈−+∆ yxnkT ψβ (2.61)

Thành phần dọc của các trường Ta chỉ ra rằng các thành phần dọc Ez và Hz của các trường đều tỉ lệ với ∆ . Trong gần đúng dẫn yếu, chúng có thể được bỏ qua và vì vậy các trường tổng cộng sẽ là:

( ) Tzi

T ueyxE rrβψ ±= , ( ) ( )

0

0,µε

ψ β nuueyxH Tzzi

Trrr

×= ± (2.62)

Các điều kiện biên Ta cũng chỉ ra rằng nếu mặt cắt của dẫn sóng biểu thị sự gián đoạn, thì các điệu kiện liên tục của trường sẽ làm cho ψ(x,y) và đạo hàm chuẩn của nó là liên tục trên bề mặt phân tách.


J.M. Jonathan

171

Chương III. Sợi quang học Gần đúng dẫn yếu được đưa vào trường hợp tổng quát cho ta một khái niệm đơn giản về sợi quang học. Ta sẽ chỉ xem xét ở đây các trường hợp môi trường đối xứng trục. 1. Cấu trúc mode 1.1. Phương trình truyền Nhớ lại rằng trong trường hợp dẫn yếu thì điện trường được viết là:

( ) Ttizi ueeyxtzyxE rr

ωβψ ⋅⋅= ±,),,,( và sự lan truyền của nó sẽ hoàn toàn được xác định bởi phương trình:

( ) ( ) 0,2220 ≈−+∆ yxnkT ψβ

Để tính đến tính đối xứng của môi trường, ta sẽ diễn giải phương trình trên theo hệ tọa độ trụ:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0,,,1,1, 222

02

2

22

2

=−+∂

∂+

∂∂

+∂

∂ φψβφφ

φψφψφψ rrnkrrr

rrr

r (3.1)

lưu ý rằng vì tính bất biến của sợi theo trục quay mà chỉ số khúc xạ sẽ chỉ còn là hàm của r. Chúng ta tìm các nghiệm có dạng sau:

( ) ( ) ( )φφψ Φ= rRr, bằng việc giải phương trình:

( )[ ] 011 22202

2

22

2

=Φ−+Φ

+Φ+Φ RrnkddR

rdrdR

rdrRd β

φ (3.2)

Khi chia cả hai vế cho 2rRΦ , phương trình sẽ có dạng:

( )[ ] 012

2222

02

2

22

=Φ

Φ+−++

φβ

ddrnkr

drdR

Rr

drRd

Rr (3.3)

và phải được thỏa mãn đối với mọi giá trị của r và φ. Ta thấy rằng vế trái độc lập đối với φ, còn vế phải thì độc lập với r. Vậy bắt buộc là:

constante12

2

=Φ

Φ−

φdd

hơn nữa Φ(φ) tuần hoàn với chu kỳ là 2π hoặc là bội của 2π, vì thế ta phải có:

22

21 ldd

=φΦ

Φ với l là số nguyên dương.

Phương trình (3.3) có thể tách thành hai phương trình độc lập:

( )[ ] 22220

22

22

lrnkrdrdR

Rr

drRd

Rr

=−++ β (a)

022

2

=Φ+Φ l

dd

φ (b) (3.4)

Phương trình Φ(φ) nhận được một cách rất đơn giản trong trường hợp tổng quát:


J.M. Jonathan

172

- Với mỗi giá trị l ≥ 1, ta có hai nghiệm độc lập:

φφ

=φΦll

sincos

)( (3.5)

Nếu ta nhớ lại rằng đối với mỗi nghiệm đã tồn tại hai phân cực độc lập, vậy các mode l ≥ 1 đều bị 4 lần suy biến.

- Các mode m = 0 bị hai lần suy biến Sau đó hàm R(r) nhận được đối với mỗi giá trị của l bằng việc giải phương trình (3.4-

(a)). Tuy nhiên việc giải phương trình này cần phải biết mặt cắt chiết suất của sợi quang học được sử dụng. 1.2. Sợi quang học tiết diện tròn có hố chiết suất Chúng ta sẽ mô tả toàn bộ các mode của trường dẫn trong trường hợp sợi quang học có hố chiết suất. Sợi này bao gồm một lõi có bán kính a và chiết suất n1 được bao quanh bởi

một lớp vỏ có chiết suất n2 và 11

21 <<−

=∆n

nn.

Hình III-1: sợi quang học có hố chiết suất

Ta lấy lại các khái niệm đã được sử dụng trong trường hợp linh kiện dẫn sóng phẳng:

- Tần số chuẩn hóa: 22

210 nnakV −= (3.6)

- Các hằng số lan truyền ngang trong lõi: 22

120

2 βα −= nk (3.7)

và các giá trị chuẩn hóa của chúng: u = αa

- Các hằng số lan truyền ngang trong lớp vỏ: 22

20

22 nk−= βκ (3.8)

và các giá trị chuẩn hóa của chúng: v = κa

Phương trình (3.4 –(a)) được viết trong hai môi trường như sau:

ar <<0 022

22

2

22 =

−++ Rl

aru

drdRr

drRdr


J.M. Jonathan

173

ar > 022

22

2

22 =

+−+ Rl

arv

drdRr

drRdr (3.9)

Đây là hai phương trình vi phân có nghiệm là các hàm Bessel.

Các nghiệm trong lõi Phương trình thứ nhất mô tả biến thiên góc của các mode trong lõi sợi có hai nghiệm

có thể có của các hàm Bessel Yl và Jl được biểu diễn trên hình III-2. Một nghiệm là

)()(aruYrR l= không có thực về mặt vật lý vì nó sẽ tiến đến vô cùng đối với tất cả các giá trị

của l khi mà r tiến về 0, tức là tiến về tâm của sợi. Chúng ta sẽ chỉ giữ lại nghiệm

)()(aruJrR l= , nó giống như một hàm dao động tắt dần.

Hình III-2: Biến thiên của các hàm Bessel Yl(x) và Jl(x)

Các nghiệm trên lớp vỏ

Phương trình thứ hai mô tả biến thiên góc của các mode trong lớp vỏ cũng có hai nghiệm có thể có của các hàm Bessel Ll và Kl được biểu diễn trên hình III-3. Một trong hai

nghiệm )()(arvLrR l= không có thực về mặt vật lý vì nó tiến đến vô cùng với mọi giá trị của

l khi r tiến đến vô cùng. Nghiệm thứ hai )()(aruKrR l= không bị vấn đề này:

( ) rerK rrl 2/π−

+∞→ → (3.10)

Nó vẫn còn được xác định khi r giảm dần về a.

( )

=

aruJrR l ( )

=

aruYrR l

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4

201510 5 0 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

2015 10 50


J.M. Jonathan

174

Hình III-3: Biến thiên của các hàm Bessel Ll(x) và Kl(X)

Các nghiệm toàn cục Các nghiệm toàn cục nhận được bằng cách sử dụng tính liên tục của Φl(r,φ) tại r = a. Ta dễ dàng nhận được:

( )( )( )

>

<

=Φ

arll

arvK

vKuJ

A

arll

aruJA

r

ll

l

l

l

sincos

sincos

,

φφ

φφ

φ (3.11)

1.3. Các mode dẫn LP Hằng số lan truyền dọc

Cho đến đây còn một phần của điều kiên liên tục (liên tục của đạo hàm chuẩn của Φ) còn chưa được xét đến. Nó xác định một điều kiện phụ:

( )( )

( )( )vKvKv

uJuJu

l

l

l

l ''=

hay: ( )

( )( )

( )vKvKv

uJuJu

l

l

l

l 11 ±± ±= (3.12)

khi sử dụng các đại lượng sau: ( ) ( ) ( )uuJuJluuJ lll 1' ±−=± và ( ) ( ) ( )vvKvKlvvK lll 1' ±=± m (3.13)

Hệ thức này là chủ yếu vì nó gắn hằng số lan truyền dọc với tần số chuẩn hóa V. Thực tế là nếu ta đưa vào hằng số lan truyền dọc chuẩn hóa b đã gặp ở (2.23), các tham số u và v được viết là:

bVv = và bVu −= 1 với 22

21

22

20

2 /nn

nkb−

−=

β (3.14)

Các điều kiện phụ là:

khi ( )

( )( )

( )bVKbVK

bVbVJbVJ

bVll

l

l

l 11

11

11 −− −=−

−−≥

(vỏ)

(lõi) Dao động

Giảm dần


J.M. Jonathan

175

khi ( )( )

( )( )bVK

bVKbVbVJbVJbVl

0

1

0

1

1110 −=

−−

−= (3.15)

Vậy với tất cả các giá trị có thể có của l thì tồn tại một hệ thức tiên nghiệm (transcendental) gắn kết hằng số lan truyền (chuẩn hóa) với tần số (chuẩn hóa). Đây là một hệ thức tán xạ, cho phép ta xác định số lượng mode dẫn: với mỗi giá trị l, có m nghiệm đối với b và số lượng m phụ thuộc vào tham số V. Định nghĩa các mode LP Như vậy, chúng ta chỉ ra các mode được gọi là mode LPlm (phân cực tuyến tính) bằng các chỉ số sau:

- Chỉ số l của phương trình Bessel, đặc trưng cho tính tuần hoàn của hàm Φ(φ) - Số lượng m xác định số lượng các giá trị có thể của b

1.4. Mô tả chuẩn Chúng ta nhận thấy rằng các phương trình nhận được chỉ sử dụng các đại lượng chuẩn hóa. Như vậy, ta có thể giải một lần cho tất cả các phương trình và nhận được kết quả có thể ứng dụng được với tất cả các sợi quang học có hố chiết suất. Số lượng các mode và hằng số lan truyền Hình vẽ sau đây (III-4) biểu diễn nghiệm u(V) và b(V) theo V.

Hình III-4: Biến thiên của u(V) và b(V) với các mode chính LPlm

Biến thiên của u(V) chỉ ra rằng: với V < 2,405, chỉ có mode LP01 lan truyền. Vậy ta nói rằng sợi quang học này là đơn mode. Mode LP01 không có tần số cắt và luôn luôn tồn tại. Giá trị 2,405 là tần số cắt chuẩn hóa của mode LP11. Số lượng các mode tăng theo V.

Biến thiên của b(V) cho thấy ứng với mỗi mode, b(V) tăng từ 0 đến 1 khi V tăng. Tần số cắt b(V) = 0 tương ứng với tần số cắt của mode đó. Ta có thể tính bằng phương pháp số các tần số cắt của mỗi mode. Chúng được tổng kết trong bảng sau theo tác giả A. Ghatak trích trong quyển “Introduction to fiber optics”.


J.M. Jonathan

176

Mode Vc Mode VcLP01 0 LP11 2,4048LP02 3,8317 LP12 5,5201LP03 7,0156 LP13 8,6537LP04 10,1735 LP14 11,7915

Mode Vc Mode VcLP21 3,8317 LP31 5,1356LP22 7,0156 LP32 8,4172LP23 10,1735 LP33 11,6198LP24 13,3237 LP34 14,796

l=0 (J1=0) l=1 (J0=0)

l=2 (J1=0, Vc>0) l=3 (J0=0, Vc>0)

Mỗi mode có một hằng số lan truyền duy nhất, chính là chiết suất hiệu dụng đặc trưng

)( 22

21

22

0

nnbnk

neff −+==β . Khi V tăng, chiết suất hiệu dụng này tăng từ n2 là chiết suất

của lớp vỏ đến n1 là chiết suất của lõi. Khi V nhỏ, mode chủ yếu là tại lớp vỏ, trong khi nếu V lớn thì mode chủ yếu là ở lõi của sợi, tức là được giam tốt hơn. Thừa số giam (confinement) Giống như trường hợp của các linh kiện dẫn sóng phẳng, chúng ta có thể tính toán tỷ lệ của công suất lan truyền trong lõi sợi bằng tỉ lệ giữa hai tích phân. Ta chỉ ra rằng trong trường hợp một sợi quang học có hố chiết suất thì:

( ) ( )

( ) ( )

−=Γ

+− uJuJuJ

VvV

ll

l

11

2

2

2

1

(3.16) Với một mode cho trước, thừa số giam Γ(V) là bằng không khi V nhỏ, điều này khẳng định rằng trường chủ yếu là nằm ở phần vỏ. Khi V tăng lên, thừa số này tiến đến 1, tức là trường được mở rộng trong lớp vỏ.

Hình III-5: Hệ số giam Γ(V) của các mode chính LPlm

Trong thực nghiệm Trong lĩnh vực viễn thông quang, chúng ta vừa muốn có sự lan truyền đơn mode (để tránh sự tán xạ giữa các mode), mặt khác, chúng ta cũng muốn giam trường nhiều nhất có thể


J.M. Jonathan

177

để it bị ảnh hưởng bởi các yếu tố nhiễu loạn bên ngoài. Trong thực nghiệm, người ta thường làm việc với các thừa số giam khoảng 60% tức là các giá trị của tần số chuẩn hóa là:

4,25,1 << V Ta có thể chỉ ra rằng, trong các điều kiện trên, hằng số lan truyền chuẩn hóa của mode cơ bản có thể tiếp cận được dễ dàng bởi hệ thức kinh nghiệm sau:

2

)(

−≈

ABAVb với A = 1,1428 và B = 0,996 (3.17)

Nếu chúng ta có một sợi quang học có bán kính a = 3µm, chỉ số khúc xạ của lớp vỏ là n2 = 1,45 và biến điệu của chỉ số này là ∆ = 0,0064, được chiếu sáng bởi một bước sóng λ0 = 1,546µm. Ta tìm được một tần số chuẩn hóa gần bằng 2,0. Hằng số lan truyền chuẩn hóa nhận được bởi hệ thức kinh nghiệm có giá trị vào khoảng b ≈ 0,41616 và chiết suất hiệu dụng của sợi quang học với mode này là khoảng neff ≈ 1,4560. Ta so sánh giá trị này với các giá trị của chiết suất ở trong lõi (gần bằng 1,4593) để thấy là mode này chỉ được giam một cách trung bình- điều này đã được khẳng định bởi đường cong Γ(V). Đường cong này cho phép ước lượng độ giam là 70%. 1.5. Cấu trúc của các mode Các mode LPmn cũng được xác định có biên độ được mô tả theo chiều ngang bởi phương trình Φ(r,φ) được định nghĩa bởi hệ thức (3.11). Vậy chúng được đặc trưng:

- trong lõi của sợi: bởi các dao động của r và φ. Số lượng cực trị của dao động của r (xem hình III-6) bằng với chỉ số thứ hai của ký hiệu LPlm.

Hình III-6: Số lượng cực trị của phân bố góc của biên độ bằng chỉ số m của LPlm. Chỉ số đầu tiên xác định tính tuần hoàn của biến thiên góc của phân bố này

- ở trên vỏ: bởi một hàm « gần như » mũ (exp) Các đặc trưng này được biểu diễn trong hình III-7, trích trong tài liệu của Ghatak


J.M. Jonathan

178

Hình III-7 : Hình ảnh của các phân bố biên độ và cường độ của một vài mode LP

- Cuối cùng, độ phân cực của các mode này là đồng nhất và dẫn đến một suy biến bậc 2

đối với các mode LP0m và bậc 4 đối với các mode khác.

Hình III-8 : suy biến phân cực của các mode LPlm

2. Gần đúng Gausse của mode LP01 và các ứng dụng của nó Việc sử dụng chùm laser phân bố Gauss và sự thiếu hụt “tính dễ sử dụng” của các biểu

thức của các mode đã khiến ta phải tìm một hàm Gauss tốt hơn 2

2

exp)(ω

φ rr −= mô tả các

biến đổi góc của biên độ của mode cơ bản được sử dụng trong viễn thông quang. Một gần đúng của “waist” ω thu được khi tối ưu hóa tích phân xen phủ chuẩn hóa.


J.M. Jonathan

179

[ ]

∫∫∫∫∫∫

ΦΦ

ΦΦ=

dSdS

dS

gaussienexact

gaussienexact

22

2

η (3.18)

Ta nên chú ý rằng η chính là đo hiệu suất của sự kết hợp của chùm tia Gauss trong mode cơ bản. Marcuse cho một kết quả gần đúng, với một độ chính xác là 1%:

623 879,2 619,1 650,0 −− ++= VVaω với 42,1 << V (3.19)

Kết quả này cho phép giải một cách rất đơn giản một số bài toán mà chúng ta chắc chắn sẽ đưa ra ở đây làm ví dụ. 2.1. Sự tương đương của hai sợi quang học có bán kính khác nhau

Xét hai sợi quang học có cùng một chiết suất lõi (n1 = 1,454) và cùng một chiết suất lớp vỏ (n2 = 1,450), nhưng có bán kính hơi khác nhau (a1 = 4,46µm và a1 = 4,27µm), cùng làm việc tại bước sóng λ0 = 1,300µm.

Hai sợi quang học này có tần số rút gọn khác nhau đáng kể (V1 ≈ 2,32 và V2 ≈ 2,22).

Biểu thức của Marcuse cho ta với sợi thứ nhất 12,1≈aω và với sợi thứ hai 17,1≈

aω . Tuy

nhiên mode gauss gần với mode cơ bản nhất thì giống nhau đối với cả hai sợi, với một đường kính:

md µω 0,102 == Hai sợi này có thể được coi là tương đương nhau trong một đường truyền.

2.2. Sự mất mát bởi kết hợp giữa hai sợi Gần đúng gauss của mode cơ bản cũng cho phép ta ước lượng tỉ suất kết hợp giữa hai sợi quang học. Để làm điều này, xem như ta có ở đầu ra của sợi thứ nhất một chùm tia gauss. Sau một quá trình truyền tự do, sóng có biên độ Φ1 được kết hợp với mode cơ bản có biên độ Φ2 của sợi thứ hai. Ta cần tính tỷ số kết hợp:

2*21∫∫ ΦΦ= dydxη

Ta sẽ đưa ra ở đây các kết quả đối với 3 trường hợp hữu ích: Lệch theo chiều dọc

DD

Hình III-9: Mất mát bởi lệch theo chiều dọc

Trong trường hợp này hai sợi dây giống nhau một cách hoàn hảo và được xếp thẳng hàng. Sóng gần như sóng gauss ló ra khỏi sọi dây thứ nhất sẽ được truyền tự do trên một khoảng D. Vậy “waist” của nó tăng dần, và nó không thích hợp với bán kính của sợi quang học thứ hai. Ta có thể chỉ ra một cách rất đơn giản rằng:

422

20

2

41

1

ωπλ

η

nD

+= (3.20)

Vậy hệ số mất mát được biểu diễn bằng dB là:


J.M. Jonathan

180

+=

2

20

21log10)(

ωπλαn

DdBl (3.21)

Ví dụ như đối với hai sợi quang d = 2ω = 10µm, chiết suất n = 1,45 làm việc tại bước sóng 1,300µm, khi độ lệch theo chiều dọc là gấp đôi đường kính (D = 20µm), các mất mát chỉ vào khoảng 0,06dB. Vậy độ lệch bên không phải là một nguồn mất mát đáng kể. Các sợi quang học khác nhau

0x0x

Hình III-10: Mất mát bởi lệch theo chiều ngang

Ta xét hai sợi quang học nổi với nhau, lệch theo chiều ngang một đoạn x0. Các mode cơ bản của chúng gần giống các hàm gauss:

( ) ( ) 21

22

11 /exp21, ω

πωyxyx +−=Φ và ( ) ( )( ) 2

222

02

2 /exp21, ωπω

yxxyx +−−=Φ (3.22)

Tỷ suất kết hợp là:

+

−

+

= 22

21

20

2

22

21

21 2exp2ωωωω

ωωη x (3.23)

Nếu độ lệch bên là bằng không, sự kết hợp sẽ là lớn nhất và ta mô tả hiệu ứng của sự khác nhau về đường kính của hai sợi:

2

22

21

21max

2

+

=ωω

ωωη (3.24)

( ) 22

21

212log20ωω

ωωα+

−=dBn0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

pert

es (

dB)

1.41.21.00.80.6

2

1ωω

( ) 22

21

212log20ωω

ωωα+

−=dBn0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

pert

es (

dB)

1.41.21.00.80.6

2

1ωω

Hình III-11: Mất mát tính được với một độ lệch về đường kính

Vậy 14% biến đổi đường kính gây ra mất mát ít hơn 0,1dB. Lệch theo chiều ngang Kết quả ở phần trước được ứng dụng cho các sợi giống hệt nhau (ω1 = ω2 =ω), cho phép tính toán hiệu ứng của một độ lệch ngang x0:

2

20exp

ωη x

−= tức ( )2

034,4log20

=−=

ωηα xdBn (3.25)


J.M. Jonathan

181

Với d = 2ω = 10µm, các mất mát chỉ nhỏ hơn 0,1dB nếu x0 < 0,76µm. Vậy sự sắp xếp thẳng hàng ngang của các sợi có tính quyết định. Sự lệch góc Ta cũng chỉ ra theo cách ấy rằng một góc θ giữa hai sợi dẫn đến một hệ số kết hợp là:

( )2

22

21

22

21

220

2

22

21

21

2exp2 θ

ωωωω

ωωωωη

+−

+

= lnk (3.26)

θ

x

y z

'x

'y'z

θ

x

y z

'x

'y'z

Hình III-12: Mất mát bởi sự lệch góc

Với hai sợi quang học giống hệt nhau:

2

0

exp

−= θ

λωπη ln tức là ( )

2

0

34,4

= θ

λωπα l

andB (3.27)

Với một sợi quang học có đường kính d = 2ω = 10µm, các mất mát sẽ nhỏ hơn 0,1dB khi độ lệch góc nhỏ hơn 0,5°. 3. Tán xạ và sự suy giảm trong một sợi quang học đơn mode

Sự tán xạ, đặc trưng cho các biến thiên của hằng số lan truyền của một mode dọc theo sợi quang theo hàm của các đặc trưng của mode và tần số của sóng ánh sáng, là một tham số quyết định trong lĩnh vực truyền quang. Ta đã chỉ ra rằng hằng số lan truyền β và vì vậy vận tốc nhóm, biến đổi từ mode này sang mode khác, trừ khi ta sử dụng các sợi quang học có mặt cắt chiết suất đặc biệt (chẳng hạn như bậc hai). Điều này có nghĩa là một xung ánh sáng rất ngắn mang bởi một trường điện từ tạo bởi nhiều mode, sẽ bị biến dạng vì các mode này lan truyền với các vận tốc khác nhau. Đây là độ tán xạ intermodale (liên phương thức?) và ta muốn loại trừ nó bằng việc sử dụng các sợi quang học đơn mode.

Tuy nhiên, trong một sợi quang học đơn mode trong đó chỉ có một mode cơ bản LP01 lan truyền, sẽ chịu một độ tán xạ khác không được gọi là tán xạ intramodale (nội phương thức?). Nguồn gốc của nó được nhận thấy ở trong hệ thức:

( ) ( )[ ]Vbnnnc 212 −+=ωβ

(là hệ thức 2.23): β phụ thuộc vào λ0 bởi trung gian của tần số rút gọn V. Thế mà, trong các hệ truyền, một băng truyền cao cần các nguồn laser có độ rộng phổ khác không. Trong trường hợp này, các thành phần phổ khác nhau của một xung có các vận tốc nhóm khác nhau, và xung này bị mở rộng ra trong khi truyền. Vậy ở đây ta quan tâm đến sự lan truyền của các xung ánh sáng trong một sợi quang học đơn mode, và sẽ đưa vào một số ý tưởng về các phương pháp cho phép kiểm tra độ tán xạ của một sợi quang. 3.1. Vận tốc nhóm Từ vận tốc nhóm vg của một xung gần như đơn sắc trong một sợi quang, ta có thể tính toán thời gian đi được trên một đơn vị chiều dài đối với xung này:


J.M. Jonathan

182

ωβτ

∂∂

==g

g v1 với [ ])().( 212 Vbnnn

c−+=

ωω (3.28)

Đây là tổng của hai số hạng mà số hạng đầu tiên τω mô tả đóng góp của hiện tượng dẫn sóng và số hạng thứ hai τm mô tả đóng góp của vật liệu cấu thành linh kiện dẫn sóng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−

++

+−+=+=

ωωω

ωωτττ

dnndVb

ddn

cdVdbVbnnn

cmwg212

2121 (3.29)

Ta sẽ nghiên cứu sự tán xạ của mỗi thành phần này. 3.2. Độ tán xạ liên quan đến linh kiện dẫn Với một sợi quang có chiều dài L, ở bước sóng λ0:

( ) ( )

∆+≈

+∆+≈

+−+=

dVbVd

cLn

dVdbVb

cLn

ddbbnnn

cL

w 11 22212 ω

ωτ

với 2

21

nnn −

=∆ (3.30)

Với một nguồn có độ rộng phổ là ∆λ0, độ tán xạ τϖ bằng:

( ) ( )

∆+≈

+∆+≈

+−+=

dVbVd

cLn

dVdbVb

cLn

ddbbnnn

cL

w 11 22212 ω

ωτ (3.31)

Vậy ta định nghĩa độ tán xạ trên một đơn vị chiều dài dây và trên một đơn vị độ rộng phổ là:

( ) ( )nanomettính theo..103 0

1172

2

0

2

0

λλλ

τ −−

∆−≈

∆∆

= nmkmpsdV

bVdVn

LD w

w (3.32)

Phương trình này mô tả độ mở rộng gây bởi sự dẫn bằng pico giây trên một km chiều dài sợi và trên một nanomét độ rộng vạch phổ nguồn. Các gần đúng hữu ích Trong trường hợp mode LP01, biểu thức tiếp cận của Marcuse (3.17) cho phép viết:

( )0

2

222 1

λ

τ

−∆+≈

VBA

cLn

w và

∆−≈

∆∆

= 2

2

0

2 23 V

BnL

D ww λλ

τ

Vậy độ chính xác là rất thường, và Marcuse đưa ra một gần đúng tốt hơn:

( ) ( )22

2

834,2549,00080,0 VdV

bVdV −+≈ (3.33)

Ta lưu ý rằng độ tán xạ này hoàn toàn là âm và tăng đối với mode LP01 (V < 2,405). 3.3. Độ tán xạ gây bởi vật liệu Với một độ dài truyền L trong vật liệu, và với bước sóng λ0:

( ) ( ) Ld

ndddn

cL

dnndVb

ddn

cL

m0

20

2212

λλ

ωω

ωωωτ −=≈

−

+= (3.34)

Với một nguồn có độ rộng phổ là ∆λ0, độ tán xạ τm bằng:


J.M. Jonathan

183

Ld

ndc

Ld

ndcm 02

0

22

20

002

0

22

0 1 λλ

λλ

λλ

λτ ∆

−=∆−=∆ (3.35)

Sao cho ta định nghĩa độ tán xạ bởi vật liệu trên một đơn vị chiều dài sợi và trên một đơn vị độ rộng phổ là:

nanomet) tính theo(λ..1031

0117

20

22

20

00

−−

−=

∆∆

= nmkmpsd

ndD m

m λλ

λλτ

(3.36)

Ta sẽ đưa ra ở đây một vài kết quả với một số vật liệu thông dụng. Độ tán xạ của silic tinh khiết Độ tán xạ của Silic tinh khiết được mô tả rõ ràng bởi biểu thức kinh nghiệm của Paek:

( ) ( ) ( ) ( )320

522

0

420

3402

2010

2

lC

lC

lCCCCn

−+

−+

−+++=

λλλλλλ (3.37)

với l = 0,0035 λ0 tính bằng microns

0000018,00000779,00030270,00000381,00031268,04508554,1

543

210

=−==−=−==

CCCCCC

Ta cũng tìm được:

11220

2

0 ..110 04,0 800 −−− =≈= nmkmpsDmd

ndnm mµλ

λ

220

2

0 0 1270 −≈= md

ndnm µλ

λ tán xạ vật liệu bằng không (ZMDP)

11220

2

0 ..20 004,0 1550 −−− −=−≈= nmkmpsDmd

ndnm mµλ

λ

Độ tán xạ của silic thêm chất phụ gia Trong trường hợp của silic thêm chất phụ gia, độ tán xạ được mô tả bởi biểu thức của Sellemeier:

( )3

2

23

22

22

12

212 1

ab

ab

abn

−+

−+

−+=

λλ

λλ

λλλ (3.38)

các hệ số của phương trình này biến đổi theo độ thêm chất phụ gia. Các hệ số này, cũng như các đường cong tương ứng được biểu diễn trên các hình 13 và 14 trích trong tài liệu của Ghatak:


J.M. Jonathan

184

Hình III-13: Các hệ số của biểu thức Sellemeier đối với silic thêm chất phụ gia

Hình III-14: Biến thiên của 2

2

λdnd

của silic thêm chất phụ gia

3.4. Độ tán xạ toàn phần của sợi quang Vậy độ tán xạ toàn phần của sợi quang là kết quả của cả hai hiệu ứng trên. Độ mở rộng ∆τg trong một sợi quang có chiều dài L, của một xung có độ rộng phổ ∆λ được viết như sau:

∆τg = D.L. ∆λ với D = Dϖ + Dm trong đó D là độ tán xạ toàn phần của sợi quang được biểu diễn bằng picô giây trên nanomét độ rộng phổ và kilomét chiều dài sợi. Sự tồn tại của đóng góp kép này vào độ tán xạ đã tạo cơ hội cho việc chế tạo hiệu quả, cho phép tạo ra các loại sợi quang dùng trong mạng lưới viễn thông có hiệu suất cao, một mặt bằng việc thay đổi vật liệu và chất phụ gia của nó, mặt khác bằng cách thay đổi đặc trưng cấu hình của sợi quang và mặt cắt chiết suất. Hình vẽ sau đây chỉ cho ta các đường cong tán xạ điển hình:

- một sợi quang được gọi là «chuẩn» có độ tán xạ bằng không vào khoảng 1,3µm (a = 4,1µm, n2 = 1,446918, ∆ = 2,7.10-3)

- một sợi quang được gọi là «tán xạ lệch» (DSF) có độ tán xạ bằng không tại 1,55µm (a = 2,6µm, n2 = 1,446918, ∆ = 7,5.10-3)


J.M. Jonathan

185

- một sợi quang được gọi là « bù trừ tán xạ », có độ tán xạ âm tại 1,55µm (a = 1,5µm, n2 = 1,446918, ∆ = 2.10-3)

(ps / km.nm)

20

10

λ (µm)

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

DM

D totale

ps / km.nm

10

-20

-10

λ (µ m)

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

-30

-40

D M

D totale

ps / km.nm

20

-40

-20

λ (µm)

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

-60

DM

D totale

Standard DSF DCF

(ps / km.nm)

20

10

λ (µm)

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

DM

D totale

ps / km.nm

10

-20

-10

λ (µ m)

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

-30

-40

D M

D totale

ps / km.nm

20

-40

-20

λ (µm)

1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

-60

DM

D totale

Standard DSF DCF Hình III-15: Biến diễn bằng sơ đồ độ tán xạ D của các sợi quang chuẩn, sợi tán xạ lệch

và sợi bù trừ tán xạ


J.M. Jonathan

186

Chương IV. Kết hợp của các mode Chúng tôi chỉ ra ở đây bằng cách nào mà hai mode được dẫn có thể trao đổi năng lượng trên đường truyền của chúng. Có thể là các mode thuộc về hai linh kiện dẫn sóng riêng biệt hoặc là hai mode cùng trong một linh kiện dẫn sóng. Trong trường hợp thứ nhất, ta sẽ môt tả sự nhiễu loạn mà linh kiện dẫn sóng thứ hai mang lại khi các sóng lan truyền trong linh kiện thứ nhất. Vậy ta sẽ đi từ các mode được hỗ trợ bởi các linh kiện dẫn sóng không bị nhiễu loạn và ta đưa sự nhiễu loạn vào sau. Phương pháp này cũng được sử dụng để mô tả sự kết hợp giữa các sóng phẳng trong quang học phi tuyến và trong nghiên cứu nhiễu xạ bởi các môi trường có bề dày. 1. Lý thuyết của các mode kết hợp Môi trường trong đó các mode lan truyền được xác định bởi hằng số điện môi ε(x,y,z). Nó được hình thành từ một độ nhiễu loạn yếu δε(x,y,z) phụ thuộc vào z và vào hằng số điện môi ε0(x,y) của môi trường đồng tính theo z:

( ) ( ) ( )zyxyxzyx ,,,,, 0 δεεε += (4.1) 1.1. Môi trường không nhiễu loạn Mỗi mode của môi trường không nhiễu loạn không đổi theo z đều có dạng

)(exp),( ztiyxE ll βω −−r

và trong gần đúng dẫn yếu ( 0=Edivr

), nó là một nghiệm của phương trình truyền:

( )( ) ( ) 0,, 20

2rr

=−+∆ yxEyx llT βµεω (4.2)

được gọi là phương trình truyền không bị nhiễu loạn. Các mode này trực chuẩn.

kll

lk dxdyyxEyxE δβωµ

∫ =2),(),(* ở đó δkl = 0 nếu k ≠ l, δkk = 1 (4.3)

Tích phân của hệ thức trước biểu diễn tích vô hướng của các mode k và l. Ta sẽ ghi tích này dưới dạng lk .

Vậy trường được dẫn toàn phần có dạng: ( ) ( ) ( )∑ −=

llll ztiyxEAtzyxE βωexp,,,,

rr (4.4)

1.2. Môi trường nhiễu loạn Nếu môi trường là nhiễu loạn theo hệ thức (4.1), phương trình truyền (4.2) sẽ có dạng: ( )( ) ( ) ( ) ( )yxEzyxyxEyx lllT ,,,,, 22

02

rrδεµωβµεω −=−+∆ (4.5)

Vậy sự nhiễu loạn làm xuất hiện vế phải (số hạng nguồn) phụ thuộc vào x, y và z. Để giải phương trình này, ta tìm các nghiệm tiếp cận (nhiễu loạn bậc 1) là những tổ hợp của các hệ số biến đổi theo z của các mode không nhiễu loạn.

( ) ( ) ( ) ( )∑ −=l

lll ztiyxEzAtzyxE βωexp,,,,rr

(4.6)

1.3. Giải phương trình nhiễu loạn Các hệ thức (4.5) và (4.6) cho ta trực tiếp phương trình vi phân:


J.M. Jonathan

187

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ziyxEzyxzAzizAi

zAyxE

ziyxEyxzA

ll

llll

ll

ll

llllTl

βδεµωββ

ββµεω

−−=−

∂∂

−∂∂

+

−−+∆

∑∑

∑

exp,.,,exp2,

exp,,

22

2

02

rr

r

(4.7)

mà số hạng đầu tiên là bằng 0 (hệ thức 4.2) sao cho các biên độ Al(z) được xác định bởi phương trình vi phân:

ziEAzizAi

zAE l

llll

l

ll

ll βδεµωββ −−=−

∂∂

−∂∂ ∑∑ exp.exp2 2

2

2 rr (4.8)

Bài toán được đặt ra là bài toán nhận được các phương trình tách biệt với mỗi Al(z). Các phương trình kết hợp Việc tách thành một phương trình cho mỗi mode l là có thể thực hiện được do bởi tính trực giao của các mode dẫn (phương trình 4.3). Khi nhân phương trình trước với ),(* yxEk

r và

lấy tính phân trên (x,y), ta tính tích vô hướng lk , bằng không ngay khi l ≠ k. Ta nhận được với mỗi mode k:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zizAlzyxkz

zAidz

zAdkk klll

kk

k ββδεµωβ −−−=

∂

∂− ∑ exp,,2 2

2

2

với k

kkβµω2

= và ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )∫= dxdyyxEzyxyxElzyxk lk ,,,,,, *rr

δεδε

cho ta

với mọi k : ( ) ( ) ( )zizACdz

dAidz

zAdk klll

klkk

kk ββββ −−−=−∀ ∑ exp22, 2

2

với: ( ) ( )lzyxkzCkl ,,4

δεω= (4.9)

Ta nhận được số phương trình bằng với số mode và mỗi mode được kết hợp với mỗi mode khác bằng một hệ số kết hợp Ckl. Gần đúng đường bao biến đổi chậm

Ta sẽ chấp nhận rằng đường bao Ak(z) của các mode biến đổi chậm theo kβ

1 . Tức là

biến thiên của nó dz

zdAk )( được bỏ qua trên các khoảng cách cỡ bước sóng trong linh kiện

dẫn. Đây là gần đúng đường bao biến đổi chậm. Trong trường hợp này:

( ) ( ) 22

2

kk

kk

dzzdA

dzzAd ββ <<<< (4.10)

và các phương trình (4.9) lại quay trở lại các phương trình vi phân tuyến tính bậc 1:

( ) ( )zizACiz

Ak klll

klk

kk ββωββ

−−−=∂

∂∀ ∑ exp

4,

với ( ) ( )lzyxkzCkl ,,4

δεω= (4.11)


J.M. Jonathan

188

1.4. Khái niệm về kết hợp cộng hưởng Ta giả sử rằng chỉ có hai mode k và l được kết hợp. Vậy phương trình (4.9) được viết là:

( ) ( )[ ]dzzizAzCidA lklk

kk β

ββ

∆−−= exp với kl βββ −=∆ (4.12)

Biến thiên của Al(z) là rất chậm so với các biến thiên của hàm exp, ta có thể viết:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ∫∆>>

∆−−=−β

βββ

/1

.exp00L

lm

klk

kkk dzziAzCiALA

Mà tích phân bằng

2

2sin

Lx

L

β

β

∆

∆

và vậy nó gần như bằng không vì ∆βL >>1. Vậy ta không có

một sự kết hợp hiệu quả nào nếu như ∆β ≠ 0.

Khi ∆β = 0, người ta gọi là kết hợp cộng hưởng. Sự kết hợp của hai mode chỉ hiệu

quả khi chúng có cùng một hằng số lan truyền.

Dạng nhiễu loạn Sự kết hợp được mô tả bởi hệ số Ckl có thể khác đi theo dạng nhiễu loạn δε(x,y,z) được đưa vào.

- Ví dụ như nó có thể độc lập với z trên một số chiều dài L. Ta sẽ chú ý rằng ngay cả trong trường hợp này, trong biểu thức của Ckl (4.11), nếu l là một mode của linh kiện dẫn (một phân bổ ngang theo (x,y) bền khi lan truyền theo z), đây không phải là trường hợp đối với lyx ),(δε . Số hạng này biểu thị sự tổ hợp của các mode mà tích

vô hướng của chúng cho bởi k có thể tính được. Trong trường hợp này hệ số của sự kết hợp không biểu thị sự biến thiên theo z. Số hạng pha trong phương trình vi phân (4.11), làm xuất hiện các hằng số lan truyền dọc của các mode tồn tại. Đó sẽ là trường hợp ứng dụng của các sự kết hợp giữa các linh kiện dẫn sóng.

- Một trường hợp khác là trường hợp trong đó sự nhiễu loạn là một hàm của chu kỳ Λ theo z. Vậy nó giống như hệ số kết hợp:

( )∑ Λ−=

m

mklkl

zmiCC π2exp (4.13)

Vậy phương trình vi phân (4.11) sẽ có dạng:

( ) ( )∑∑

Λ+−−−=

∂∂

l mkll

mkl

k

kk zmizACiz

A πββββ 2exp (4.14)

Điều kiện cộng hưởng buộc Λ

+πβ 2mk là hằng số lan truyền dọc của một mode tồn

tại k’ và nó cộng hưởng với mode l. Đây sẽ là trường hợp các ứng dụng của các cách tử được ghi trong các linh kiện dẫn sóng.


J.M. Jonathan

189

2. Kết hợp giữa các linh kiện dẫn sóng 2.1. Kết hợp giữa hai linh kiện dẫn sóng Ta sẽ sử dụng ở đây dạng biểu diễn trước để mô tả sự kết hợp giữa các mode của hai linh kiện dẫn sóng song song đặt gần nhau trên một chiều dài L. Bằng trực giác, ta có thể hiểu được nguồn gốc của sự kết hợp này khi “phần cuối hàm mũ nghịch biến” của một linh kiện dẫn sóng chồng lên một linh kiện dẫn sóng thứ hai, và tích phân xen phủ giữa phần cuối này và một mode của linh kiện dẫn sóng thứ hai có thể là khác không (Hình IV-1).

Sn

1n

2n

1n

2n

L

Sn

SnSn

1n1n

2n2n

1n1n

2n2n

LL

SnSn

Hình IV-1: Hình học của sự kết hợp giữa hai linh kiện dẫn sóng

Như mọi khi, đầu tiên ta xét các mode của các linh kiện dẫn sóng biệt lập. Các dẫn sóng 1 và 2 được mô tả bởi các phân bố của chỉ số khúc xạ tương ứng: ( ) ( ) ( )yxnyxnyxn s ,,, 2

122

1 ∆+= và ( ) ( ) ( )yxnyxnyxn s ,,, 22

222 ∆+= (4.15)

và chúng chịu các mode tương ứng: ( ) ( ) ( )ztiyxAtzyxE 111 exp,,,, βω −Φ= và ( ) ( ) ( )ztiyxBtzyxE 222 exp,,,, βω −Φ=

Khi kéo chúng lại chiều dài L, ta tạo ra ở vùng đó một linh kiện dẫn sóng khác mà các mode của nó thỏa mãn phương trình truyền:

( ) 0, 222

2

=

−+∆ Eyxn

cT

rβω với ( ) ( ) ( ) ( )yxnyxnyxnyxn s ,,,, 2

221

22 ∆+∆+=

Vậy giống như trước, các mode của nó là các tổ hợp hệ số biến đổi của các mode của các linh kiện dẫn sóng riêng rẽ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ztiyxzBztiyxzAtzyxE 2211 exp,exp,,,, βωβω −Φ+−Φ=

Giống như trước, các tích vô hướng cho bởi Φ1 và Φ2 và sau đó là gần đúng đường bao biến đổi chậm dẫn đến hai phương trình kết hợp cho A(z) và B(z):

( )ziBiCAiCdzdA

211211 exp ββ −−−= và ( )ziAiCBiCdzdB

212122 exp ββ −−−−=

với dxdynC jiiij Φ∆Φ= ∫ 2*0

4ωε

và dxdynC ijiii Φ∆Φ= ∫ 2*0

4ωε

(4.16)

- Các hệ số Cii đưa vào một thay đổi của hằng số lan truyền βi trong linh kiện dẫn sóng i bởi linh kiện dẫn sóng j. Thực vậy nếu A(z)exp-iβ1z và B(z)exp-iβ2z là các nghiệm của các phương trình (4.16), thì:

( ) ( ) ziCzAzA 111 exp' −Φ= và ( ) ( ) ziCzBzB 221 exp' −Φ= và


J.M. Jonathan

190

ziBiCdzdA β∆−= 2exp''

12 và ziAiCdzdB β∆−−= 2exp''

21

với ( ) ( )2221112 CC +−+=∆ βββ (4.17) - Các hệ số Cij là các hệ số kết hợp giữa các linh kiện dẫn sóng. Nếu ta giải các phương trình này với các điều kiện biên A(0) = A0 và B(0) = 0, ta nhận được:

( ) ( ) ( ) ( )( )

+∆

+∆∆−+∆= ∆

21122

21122

21122

0sin

cos'CC

CCziCCzeAzA zi

β

ββββ

( ) ( )( ) 2112

22112

2

210sin

'CC

CCzCeiAzB zi

+∆

+∆= ∆

β

ββ (4.18)

Cần phải lưu ý, và ta cũng sẽ sử dụng điều này trong phần tiếp theo, rằng có tồn tại một độ lệch pha π/2 giữa biên độ kết hợp trong linh kiện dẫn sóng B và biên độ kết hợp trong linh kiện dẫn sóng A.

2.2. Trường hợp hai linh kiện dẫn sóng giống nhau Khi hai linh kiện dẫn sóng giống hệt nhau (C11 = C22 và C12 = C21

* = C), các biểu thức này được đơn giản hóa và biến thiên theo z của các công suất quang trong hai linh kiện dẫn sóng này được viết như sau:

( )( ) ( )

( ) 22222

2

sin10

CzC

CP

zP

A

A +∆+∆

−= ββ

( )( ) ( )

( ) 22222

2

sin0

CzC

CP

zP

A

B +∆+∆

= ββ

(4.19)

Một phần của công suất quang biến đổi luân phiên từ linh kiện dẫn sóng này sang linh kiện dẫn sóng kia và sự trao đổi này là toàn phần đối với sự kết hợp cộng hưởng (∆β = 0), tức là khi hai mode kết hợp có cùng một hằng số lan truyền dọc. Vậy ta có:

( )( ) Cz

PzP

A

A 2cos0

= và ( )( ) Cz

PzP

A

B 2sin0

= (4.20)

Vậy ta định nghĩa “độ dài kết hợp” C

L2π

= , với độ dài này, năng lượng của một linh

kiện dẫn sóng được truyền đi hoàn toàn lên linh kiện kia.

CL

2π=C

L2π=

Hình IV-2: Sự tuần hoàn của trao đổi năng lượng giữa các mode kết hợp

2.3. Ước lượng các hằng số kết hợp Các hằng số kết hợp có thể tính được trong trường hợp các linh kiện dẫn sóng phẳng. Trong trường hợp các mode TE giống nhau của hai linh kiện giống nhau hoàn toàn có chiều


J.M. Jonathan

191

dày 2a và cách nhau một khoảng d, kể từ đây, khi sử dụng các ký hiệu thường dùng, ta nhận được:

avd

Vau

vv

nkCC

eff/exp

11

22

22

02112 −

+==

(4.21) Nếu ta có các mode LP01 của hai sợi quang giống nhau, ta thu được:

( )( )vK

avdKVa

unk

CC 21

022

2

102112

/1== (4.22)

Biểu thức mà ta có thể đưa ra là một biểu thức tiếp cận dễ sử dụng hơn:

cho 5,25,1 << V và 5,40,2 <<ad

++−≈ 2

2

exp2 a

dDadBA

aC δπ

với 21

22

21

nnn −

=δ 2

2

2

0009,00064,00175,03841,02252,17769,0

3841,0663,32789,5

VVCVVB

VVA

−−−=

+−−=

+−=

(4.23)

2.4. Các ví dụ Cuộn kết cặp dùng sợi 3dB Ta cũng có thể tính các đặc trưng của một cuộn kết cặp dùng sợi quang thực hiện như

chức năng của một bản mỏng bán-phản xạ, tức là sao cho: 5,0)0()(

)0()(

==A

B

A

A

PLP

PLP

→ →

→

L

→ →

→

→ →

→

L

( )0AP ( )LPA

( )LPB

→ →

→

L

→ →

→

→ →

→

L

( )0AP ( )LPA

( )LPB

Hình IV-3: Hình học của cuộn kết cặp dùng sợi

Giả sử ta xét hai sợi quang giống nhau có đường kính 2a = 10µm, chiết suất của lớp vỏ và của lõi tương ứng là n1 = 1,4532 và n1 = 1,45 tại bước sóng λ0 = 1,300µm. Các dữ liệu này tương ứng với 329,2≈V và 0044,0≈δ , tức là tương ứng với hệ số kết hợp

−+−= 2

2

0373,09945,11693,1exp8,20ad

adC tính bằng mm-1

Nếu ta chọn một khoảng cách 12µm giữa các sợi quang, ta nhận được C = 0,694mm-1. Vậy hoạt động của cuộn kết cặp 3dB nhận được khi chiều dài là:

mmC

L 132,122

1==

π

Bộ phận này cho phép ta tiến hành làm các giao thoa kế tích hợp dạng Mach-Zehnder chẳng hạn. Như chỉ ra trên hình, ta lưu ý rằng độ lệch pha π/2 giữa các sóng kết hợp tới có


J.M. Jonathan

192

nguồn gốc từ sự giao thoa tăng trên một đầu ra, và sự giao thoa giảm trên đầu khác (xem hình IV-4).

3 dB 3 dB

0A

22

0A

22

0iA

021

21

02

0 =+ AiA

000 21

21 iAiAiA =+

3 dB 3 dB

0A

22

0A

22

0iA

021

21

02

0 =+ AiA

000 21

21 iAiAiA =+

Hình IV-4: Nguyên lý của giao thoa kế tích hợp Mach-Zehnder sử dụng các cuộn kết cặp

Ghép kênh (multiplex) bước sóng Một điều thú vị cần ghi nhận là một sự thay đổi của bước sóng sẽ dẫn đến biến đổi của V, một cách độc lập đối với độ tán xạ của vật liệu, và cũng là biến đổi của độ kết hợp. Cũng

như thế, với một bước sóng λ0 = 1,350µm, ta nhận được 555,0)0()(

=A

A

PLP

. Vậy một cuộn kết

cặp như vậy đặc biệt là đơn sắc. Ta có thể sử dụng tính chất này để chế tạo một bộ ghép kênh bước sóng sao cho khi hai sóng được truyền khởi điểm trong linh kiện dẫn sóng A:

22111 )0,( và)0,( ,0)0,( PPPPP AAB === λλλ một trong hai sóng sẽ tiếp tục truyền trong linh kiện này, còn sóng kia sẽ hoàn toàn bị kết hợp trong linh kiện dẫn sóng thứ hai:

221211 ),( ,0),( và0),( ,),( PLPLPLPPLP BBAB ==== λλλλ

L

21 λλ

1λ

2λ

L

21 λλ

1λ

2λ

L

21 λλ 21 λλ

1λ1λ

2λ2λ

L

21 λλ 21 λλ

1λ1λ

2λ2λ

L

21 λλ 21 λλ

1λ1λ

2λ2λ

L

21 λλ 21 λλ

1λ1λ

2λ2λ

L

21 λλ 21 λλ

1λ1λ

2λ2λ

L

21 λλ 21 λλ

1λ1λ

2λ2λ2λ2λ

Hình IV-5: Hình học của ghép kênh dùng sợi quang

Để làm điều này, ta lựa chọn chiều dài L sao cho:

πλπλ

−==

21)( và)( 21 mCmC tức là [ ] (4.24)

2)()( 21

πλλ =− CC

3. Kết hợp bằng cách tử Ta sẽ xét ở đây trường hợp kết hợp gây ra bởi một sự nhiễu loạn tuần hoàn của cấu trúc của linh kiện dẫn sóng. Ví dụ như tồn tại một độ biến điệu theo z của bề dày hay của chiết suất của lõi sợi. Ta sẽ giới hạn ở kết hợp giữa hai mode, sao cho các phương trình kết hợp (xem 4.13 và 4.14) được viết như sau:

ziACiz

AziACizA mm β

ββ

βββ

∆−−=∂

∂∆−=

∂∂ expvàexp 121

2

22212

1

11 (4.25)


J.M. Jonathan

193

với [ ]dxdyEECm lmkmkl εω

λπβββ ∫=+−=∆ *

21 4 và2

3.1. Kết hợp đồng hướng của hai mode được dẫn Việc giải các phương trình là đơn giản trong trường hợp hai mode được lan truyền theo cùng một hướng. Ta gọi điều này là kết hợp đồng hướng. Vậy ta có:

12

2

1

1 ==ββ

ββ (4.26)

khi đưa vào các hằng số:

miC12−=κ và ( )222 βκ ∆+=Κ (4.27)

một cách đơn giản ta nhận được:

( ) ( ) ( )

ΚΚ

−

Κ

Κ∆

−Κ= ∆ zAzizAezA zi sin0sincos0 211κββ

( ) ( ) ( )

ΚΚ

−

Κ

Κ∆

+Κ= ∆− zAzizAezA zi sin0sincos0*

122κββ (4.28)

Trong trường hợp đặc biệt của kết hợp cộng hưởng (∆β = 0), các hệ thức này còn được đơn giản hóa và với các điều kiện biên A1(0) = A1 và A2(0) = 0, ta nhận được một cách đơn giản:

( ) KzAzA cos11 = và ( ) ( ) zAzA κκκ sin0

*

12 −= (4.29)

Vậy có một sự trao đổi tuần hoàn giữa các sóng kết hợp 1 và 2 bởi sự nhiễu loạn. Về điều này ta sẽ kiểm tra rằng các phương trình (4.25) cho phép viết ngay lập tức là:

[ ] 022

21 =+ AA

dzd (4.30)

chính là hệ thức bảo toàn năng lượng toàn phần. Ví dụ Ta sẽ xét ở đây trường hợp trong đó linh kiện dẫn sóng có một biến điệu hình sin của bề dày có chiều cao h từ đỉnh này đến đỉnh kia, và có chu kỳ Λ, xung quanh giá trị trung bình d của nó (hình IV-6).

Guide

Substrat

Superstrat

fn

sn

cn

d

h

Λ

Guide

Substrat

Superstrat

fn

sn

cn

d

h

Λ

Hình IV-6: Hình học và các tham số của cuộn kết cặp dùng cách tử

Ta cũng giả sử rằng cách tử được cấu thành sẽ liên kết hai mode bởi bậc 1 của nó, sao cho:

Λ−−=∆

πβββ 221


J.M. Jonathan

194

Trong trường hợp này, có thể chỉ ra rằng hằng số κ được biểu diễn bởi dạng sau:

( )( )21

22

221

2

210 effeff

efffefff

nnnnnn

ddh −−

=λπκ với

−+

−+=

22220

111

ceffkseffk

knnnnk

dd (4.31)

Với các giá trị số như sau: nf = 1,51, ns = 1,50, nc = 1, d = 4µm và λ0 = 0,6µm, tồn tại hai mode TE cùng truyền không bị nhiễu loạn có chiết suất hiệu dụng khác nhau.

5046,1 và50862,10

22

0

11 ====

kn

kn effeff

ββ

Chúng có thể được kết hợp cộng hưởng bởi một cách tử có bước tuần hoàn là:

mnnk effeff

µπββ

π 3,149122

21021

=−

=−

=Λ

Vậy ta nhận được: -1

21 0,598 và897,4 678,4 cmmdmd === κµµ Khi cộng hưởng, năng lượng của một mode có thể được truyền hoàn toàn cho mode kia với một độ dài tương tác là :

cmLc 63,22

≈=κ

π

Hệ này là cơ sở hoạt động của các laser bán dẫn trong đó ánh sáng được dẫn và sự biến điệu tuần hoàn của bề dầy của linh kiện dẫn cấu thành các gương chọn lọc phân bố, tạo điều kiện dễ dàng cho hoạt động đơn mode theo chiều dài và chiều ngang của laser. Đây là các laser DBR và DFB.

Distributed Back Reflector laser (DBR) Distributed Feed Back laser (DFB)Distributed Back Reflector laser (DBR) Distributed Feed Back laser (DFB) Hình IV-7: Ứng dụng của kết hợp bởi cách tử vào việc xây dựng các kênh laser tích hợp

3.2. Kết hợp của một mode được dẫn và một mode chiếu xạ Có thể sử dụng cùng nguyên lý để kết hợp một mode chiếu xạ là một sóng phẳng tới một linh kiện dẫn sóng phẳng, với một mode được dẫn trong linh kiện này. Các cuộn kết cặp cách tử này được sử dụng để đưa ánh sáng vào trong linh kiện dẫn sóng trong đó có thể tách nó ra. Hai cấu hình có thể có được tóm tắt trong hình IV-8, trong đó θ là góc tới của sóng phẳng và β là hằng số lan truyền dọc của sóng dẫn mà sóng dẫn này được kết hợp cộng hưởng. Hình vẽ biểu diễn bằng đồ thị điều kiện cần thiết để cộng hưởng:

02cos0 =Λ

+−πβθsnk (4.32)


J.M. Jonathan

195

Λ−= πβθ 2cos0 snk

Λ= π2

rkΛ

= π2rk

β β

θ θ

Λ−= πβθ 2cos0 snk

Λ= π2

rkΛ

= π2rk

β β

θ θ

Hình IV-8: Điều kiện đồng bộ pha đối với sự kết hợp của một sóng phẳng và một sóng dẫn 3.3. Kết hợp ngược chiều Một ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực viễn thông là khả năng kết hợp hai mode được lan truyền ngược chiều nhau trong một linh kiện dẫn sóng đơn mode. Để làm điều này, ta tiến hành một biến điệu chỉ số khúc xạ của lõi của sợi dẫn (tức là ta nói đến cách tử Bragg):

znnzn c Λ∆+=

π2sin.)( (4.33)

( ) AA =01( )LA1

( )02A ( ) 02 =LA

0=Z LZ =

0λπκ n∆=

( ) AA =01( )LA1

( )02A ( ) 02 =LA

0=Z LZ =

0λπκ n∆=

Hình IV-9: Cách tử Bragg được ghi nhận trong linh kiện dẫn sóng

Hai mode này phải sao cho:

112

2

1

1 −==ββ

ββ và

Λ−=

Λ−+=∆

ππβββ 222021 effnk (4.34)

Với các điều kiện biên được thể hiện trên hình, các phương trình vi phân (4.11) dẫn đến:

( ) ( ) ( ) ( )L

LzAzAL

LzAzAκ

κκ

κcosh

sinhcosh

cosh21

−=

−= với

0λπκ n∆

= (4.35)

Sao cho cấu trúc biểu hiện giống như một gương có hệ số phản xạ:

( )( ) L

AAR κ2

2

1

2 tanh00

== (4.36)

Ví dụ như trong một linh kiện dẫn sóng có chiết suất hiệu dụng neff = 1,46 ở bước sóng λ0 = 1,550µm, một biến điệu chiết suất biên độ ∆n = 4.10-4 và chu kỳ Λ = 531nm trên một chiều dài L = 2mm cho ta một hệ số phản xạ là R = 98%. Loại cấu hình này rất hay được sử dụng để tách các bước sóng trong các hệ thống viễn thông dùng sợi quang học. Một đặc trưng điển hình được thể hiện trên hình IV-10, đã đặc biệt chỉ ra độ nhạy của hệ tại từng bước sóng.


J.M. Jonathan

196

Doc. Highwave Optical TechnologiesDoc. Highwave Optical Technologies

Hình IV-10:

li/tai_lieu/tai_lieu_ly_moi_1/dien_tu/vien_thong

Documents