第四章 差异量数Measures of Variation

心理统计心理统计心理统计心理统计

方差 Variance

标准差 Standard deviation

全距 Range

四分差 Quartile

差异系数 Relative deviation

一、方差和标准差（ Variance and Standard devi

ation)方差是指离差平方的算术平均数，即一组数据中每个数据与该组平均数之差 , 平方之 , 再求和 , 再除以数据的个数 , 用 σ2 表示。

离均差平方和离均差平方和

样本总数样本总数

标准差是指离差平方和平均后的方根。即方差的平方根。用 σx 表示。

N

XXx

2)(

意义意义：：•方差和标准差都是非常重要的差异量指标。方差和标准差都是非常重要的差异量指标。•标准差的值越大，表明这组数据的离散程标准差的值越大，表明这组数据的离散程度越大。度越大。

方差和标准差计算方法原始数据计算法 频数分布表计算法

22

2 )(N

X

N

Xx

22

)(N

X

N

Xx

22

2 )(N

fX

N

fXx

22

)(N

fX

N

fXx

注意比较注意比较

分数 组中值 x f fX fX2 σx, σ2x

45-- 47.5 1 47.5 1 47.52 1 σ2x

=148506.3/37- (2290/37)2

=183.078σ

x

=

=13.53

50-- 52.5 2 52.5 2 52.52 2

55-- 57.5 0 57.5 0 57.52 0

60-- 62.5 2 62.5 2 62.52 2

70-- 67.5 3 67.5 3 67.52 3

75-- 77.5 8 77.5 8 77.52 3

80-- 82.5 7 82.5 7 82.52 7

85-- 87.5 7 87.5 7 87.52 7

总和 37 2290.0 148506.3

078.183

例： 48 个学生数学分数方差、标准差的组中值计算表

二、全距（ Range)全距是一组数据中最大值与最小值之差，又称极差。用 R 表示。

原始数据：用最大值减去最小值。

用频数分布表示全距的方法是：最大一组与最小一组组中值之差，或者是最大一组上限与最小一组下限之差。

意义意义：全距概念清楚，意义明确，计：全距概念清楚，意义明确，计算简单，但因它仅由最大值与最小值算简单，但因它仅由最大值与最小值而求得，易受两极端数值影响。不考而求得，易受两极端数值影响。不考虑中间数值的差异，反应不灵敏。只虑中间数值的差异，反应不灵敏。只能作为差异量的粗略指标，在编制频能作为差异量的粗略指标，在编制频数颁布表时决定全距范围之用。数颁布表时决定全距范围之用。

小问题：在什么情况下使用小问题：在什么情况下使用全距，而不使用标准差来表全距，而不使用标准差来表

示数据的离散程度？示数据的离散程度？

三、四分差（ Quartile)

为了避免全距受两极端数值影响的缺点，则用依一定顺序排列的一组数据中间部位 50% 个频数距离的一半作为差异量指标，即四分位距。用 QD 表示。

Q3:Q3:第三个四分位数第三个四分位数Q1:Q1:第一个四分位数第一个四分位数

四分位距计算方法原始数据原始数据计算法计算法

例：将例：将 1616 个原始数据从小到大排列好：个原始数据从小到大排列好：

1212 、、 1414 、、 1515 、、 1717 、、 1919 、、 2020 、、 2222 、、2525 、、

2929 、、 3030 、、 3131 、、 3333 、、 3535 、、 3737 、、 3939 、、4040

Q1=1Q1=188

Q3=3Q3=344

四分差四分差计算方法计算方法

1

)4

(x

x

QxQx f

in

NLQ

LLQQ ：：表示表示 QQ 所在组的下限所在组的下限NN ：表示总频数：表示总频数nn11:: 表示小于表示小于 QQ 所在组下限的频数总和所在组下限的频数总和i:i: 表示组距表示组距

四、差异系数（ Relative deviation)

差异系数是指标准差与算术平均数的百分比。它是没有单位的相对数。用公式可表示为：

%100X

CV X

差异系数越大，表明离散程度越大。差异系数越大，表明离散程度越大。

差异系数的用途

1. 比较不同单位资料的差异程度2. 比较单位相同而平均数相差较大的两组

资料的差异程度3. 可判断特殊差异情况

THE END!THE END!