использование пакета mathcad для математических и...

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

Коваленко Т. А., Сирант О. В.

Использование пакета MathCAD

для математических и инженерных расчетов

с практическими заданиями

Учебное пособие

Самара - 2015

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего

профессионального образования

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И

ИНФОРМАТИКИ»

Кафедра информатики и вычислительной техники

Т.А. Коваленко, О.В.Сирант

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА MATHCAD

ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ИНЖЕНЕРНЫХ

РАСЧЕТОВ

С ПРАКТИЧЕСКИМИ ЗАДАНИЯМИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Самара, 2015


3

УДДК - 004.772

ББК 3.32.97

Авторы: к.т.н., доцент кафедры ИВТ Коваленко Т.А, доцент кафедры ИВТ Сирант О.В.

Учебное пособие по дисциплине «Информатика» «Использование пакета MathCAD для

математических и инженерных расчетов с практическими заданиями». Для направлений:

27.03.04 – Управление в технических системах; 09.03.04 – Программная инженерия;

11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи; 09.03.01 – Информатика и

вычислительная техника; 09.03.02 – Информационные системы и технологии; 02.03.03 –

Математическое обеспечение и администрирование информационных систем.

ISBN

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса дневной и заочной формы

обучения. В нем рассмотрены методы решения задач с помощью пакета программ MathCAD

в рамках учебной дисциплины «Информатика».

Пособие представлено в двух частях теоретической и практической. В теоретическое

части дается представление о пакете MathCAD его возможностях, которые позволяют решать

сложные инженерные задачи. Вторая часть состоит из 6 лабораторных работ. Все задачи

классифицированы, т.е. объединены в некоторые группы.

Пособие позволяет рассмотреть не только теоретические вопросы, но и выполнить

самостоятельно лабораторные работы.

Использование данного учебного пособия является хорошим подспорьем для студентов

технических специальностей.

Данное пособие поможет студентам использовать математические методы в технических

приложениях (ОК-9, ПК-2), повысить знания принципов алгоритмизации и

программирования (ОК-9, ПК-1) и овладеть основными методами работы на компьютере с

использованием универсальных прикладных программ (ОК-9, ПК-2).

Материал, представленный в учебном пособии, является актуальным. Он изложен

доступным для студентов языком.

Учебное пособие является необходимым и полезным в учебном процессе.

Рецензенты: к.т.н., доцент СГАУ Баяндина Т. А.

д.т.н., профессор ПГУТИ Тарасов В.Н.


4

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ....................................................................................................................................................... 5

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ................................................................................................................... 6

Основные сведения о пакете Mathcad ................................................................................................. 6

Mathcad-документ и его структура ...................................................................................................... 7

Простейшие конструкции системы Mathcad ................................................................................... 7

Функции, определяемые пользователем ........................................................................................... 7

Переменные диапазона (ранжированные переменные) .............................................................. 8

Текстовые фрагменты ............................................................................................................................... 8

Графические области ................................................................................................................................. 8

Организация условий в Mathcad ........................................................................................................... 9

Матрицы и матричные операторы Mathcad ..................................................................................... 9

Решение уравнений средствами Mathcad ........................................................................................ 10

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ................................................................................................................... 19

Лабораторная работа №1 Табулирование функций и нахождение корней уравнений в

системе Mathcad ....................................................................................................................................... 20

Лабораторная работа №2 Функции условных выражений ........................................................ 23

Лабораторная работа №3 Функции для обработки векторов и матриц ................................. 26

Лабораторная работа №4 Решение систем линейных и нелинейных уравнений ............... 28

Лабораторная работа №5 Решение уравнений с помощью программного модуля .......... 33

Лабораторная работа №6 Построение графиков поверхности ................................................. 37

Список использованных источников ................................................................................................ 44


5

Введение

Данное пособие рассчитано для использования студентами 1 курса на лабораторно–

практических занятиях по предмету «Информатика».

Инженерные и научные задачи часто приводят к решению различных уравнений или

систем уравнений, описывающих поведение параметров объекта, например расчеты нагрузки

в сети или тепловые потоки через стены дома, оптимизация построения сетей. Совокупность

всех уравнений и дополнительных условий, которым должно удовлетворять решение,

называется математической моделью. Простая математическая модель – это совокупность

алгебраических формул, по которым явно вычисляются искомые величины. Однако чаще

всего поведение параметров описывается дифференциальными уравнениями в частных

производных. Найти решение этих сложных задач можно только с использованием

современных быстродействующих ЭВМ. Решение сложной математической задачи на ЭВМ

включает в себя необходимые этапы выбора метода решения, создания алгоритма,

разработки программы и ее тестирования. После этого можно применять разработанный

пакет программ для решения нужной задачи. Даже для того, чтобы воспользоваться

стандартной, т.е. уже готовой программой, нужно иметь представление о существующих

методах решения, их преимуществах, недостатках и особенностях использования.

Все математические задачи классифицированы, т.е. объединены в некоторые группы.

Для каждой группы задач существует набор стандартных методов, которые изучает

специальный раздел математики – «Вычислительная математика» или «Методы

вычислений».

Все методы решения уравнений можно разделить на два класса: точные и

приближенные. В точных методах решение получают в виде формул за конечное число

операций, но их можно применять только для решения уравнений специального вида.

В общем случае задачу можно решить только приближенно. Приближенные методы

позволяют получить решение в виде бесконечной последовательности, сходящейся к

точному решению. Использование ЭВМ выдвигает дополнительные требования к алгоритму

нахождения как точного, так и приближенного решения: он должен быть устойчивым,

реализуемым и экономичным. Устойчивость означает, что малые погрешности, внесенные в

процессе решения, не приводят к большим ошибкам в конечном результате. Погрешности

возникают из-за неточного задания исходных данных (неустранимые ошибки), из-за

округления чисел, которое всегда имеет место при расчетах на ЭВМ, а также связаны с

точностью используемого метода. Реализуемость алгоритма означает, что решение может

быть получено за допустимое время. При этом надо иметь в виду, что время приближенного

решения зависит от точности, с которой мы хотим получить решение. На практике точность

выбирают с учетом реализуемости алгоритма на той ЭВМ, которую предполагается

использовать для решения. Экономичным называется алгоритм, который позволяет получить

решение с заданной точностью за минимальное количество операций и, следовательно, за

минимальное расчетное время.

Данное пособие предназначено для ознакомления с основными методами,

применяемыми для решения различных математических задач. Первым рассматриваемым

классом задач является нелинейные алгебраические уравнения. Затем рассматриваются

методы решения систем нелинейных и линейных уравнений. Пособие предусматривает

получение студентами навыков построения двумерных и поверхностных графиков.

Каждая тема содержит теоретический материал и примеры использования методов

для решения конкретных задач, описания основных вычислительных алгоритмов, тексты

программ и описание стандартных функций пакета Mathcad, реализующих изученные

вычислительные алгоритмы.

Для закрепления теоретического материала предусматривается выполнение

лабораторных работ по основным рассматриваемым темам.


6

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В теоретической части рассматриваются вопросы реализации решения задач с

помощью пакета Mathcad. Описываются простейшие конструкции программы, структура

документа. Дается определение переменной и ее диапазона. Подробно рассматривается

вопрос Решения уравнений средствами Mathcad.

Цель теоретической части: Дать представление о пакете Mathcad его структуре и

внешнем виде. Ознакомиться с основными функциями в системе в этой системе. Уяснить

предназначение этих функций. Понять для каких целей применяются данные функции.

Основные сведения о пакете Mathcad

Система Mathcad (Mathematical Computer Aided Design - Математическое

проектирование с помощью ЭВМ) является уникальным программным средством как с

точки зрения простоты управления, так и с точки зрения возможностей выражения в

естественной форме алгоритмов вычислительной математики.

Основная идея системы - предоставление пользователю возможности описывать на

экране вычисления в форме, очень близкой к общепринятой математической нотации,

применяемой при записи математических моделей и алгоритмов численного анализа.

Например, формулы, представляемые в языках программирования, таких, как Бейсик или

Паскаль, с помощью арифметических выражений, записываются на экране Mathcad так, как

это нас учат делать в течение нескольких лет в школе. В этом смысле внешне экран Mathcad

почти ничем не отличается от обычного листа бумаги, на котором записываются формулы и

выкладки, сопровождаемые графиками и текстом. По существу же отличие в том, что

формулы на экране Mathcadа вычисляются. Причем при внесении изменений результаты и

графики автоматически или по команде пользователя пересчитываются. Это как раз и делает

Mathcad мощным инструментом в руках инженера и специалиста по прикладной математике,

а также уникальным "наглядным пособием" и инструментальным средством для изучения

методов и алгоритмов решения различных математических задач. Таким образом,

достаточно написать формулу на экране вместо того, чтобы вычислять ее на калькуляторе

или программировать с помощью алгоритмических языков. Это свойство Mathcad позволяет

приступить к исследованию математических моделей технических систем либо алгоритмов

численного анализа без затрат времени и энергии на изучение языков программирования,

которые являются оправданными только для профессиональных программистов. Еще одним

привлекательным качеством системы является простота управления построением графиков,

которые также автоматически перестраиваются, отражая все изменения определяющих их

значений и формул. Система разработана фирмой MathSoft, Inc (Кембридж, штат

Массачусетс, США), которая постоянно выпускает ее новые версии.

Это универсальный пакет для всех, содержащий наиболее часто используемые

математические средства [1].

Особенности:

Математический интерфейс.

Есть мощная поддержка графики.

Возможен импорт графики из других программ.

Большое количество встроенных математических функций (сотни).

Встроенные справочники по предметным областям.

Возможна анимация.

Символьная математика.

Достоинство – программирование на языке математики.


7

Недостатки:

Это интерпретатор.

Возможности программирования ограничены.

Системы Mathcad пользуются огромной популярностью во всем мире благодаря

удобным средствам подготовки документов, имеющих вид обычных статей или книг. В то

же время оказывается, что эти средства вполне достаточны для решения подавляющего

большинства задач по математике, физики и других направлений науки и техники.

Mathcad-документ и его структура

Mathcad-документ представляет собой совокупность областей типа: равенство,

график, текст. Каждая область имеет форму прямоугольника и может размещаться в любом

месте документа. Размеры документа (количество строк и колонок) определяются объемом

доступной оперативной памяти.

Видимая часть документа ограничивается размерами экрана (24 строки, 80 колонок,

нумерация строк и колонок начинается с 0).

Уголковая форма курсора ∟ или указывает на его положение в рабочей области. Эту

область будем называть текущей. Вне рабочей области курсор имеет форму + (визир).

Перемещение курсора (и указателя в документе) осуществляется с помощью клавиш

со стрелками (клавиша "пробел" может быть использована только при формировании

текстовой области). Нарисовать или удалить границы рабочих областей можно, нажав

клавиши [Ctrl]V. Mathcad устанавливает направление выполнения равенств и построения

графиков документа вправо - вниз.

Простейшие конструкции системы Mathcad

Числа

Например: 123, -0.001, 15h, 15H, 12O, 12o, 2+3i

Числа, задаваемые в 16-ричной системе счисления, оканчиваются символом h (или H),

в 8-ричной - символом o (или O).

Системные константы

e =2.718…

∞ =10^308

i,j

Системные переменные

TOL = 10^3 -точность

ORIGIN =0 - начальный индекс вектора или матрицы

Переменные Имена переменных могут содержать следующие символы:

буквы - AaBbCcDdEe...

цифры - 1234567890

греческие буквы – σ, τ, ω, χ, π, ν, μ, λ

специальные знаки - (знак подчеркивания), %

Замечание: Имя переменной начинается с буквы.

Выражение в Mathcadе есть совокупность имен переменных, чисел, функций,

соединенных знаками операций и отношений.

Аргументами встроенных функций могут быть константы, переменные, функции,

выражения.

Функции, определяемые пользователем

Вид равенства для определения собственной функции.


8

Глобальное округление часто используемых функций.

Чтобы определить свою собственную функцию, введите равенство вида:

FuncName( аргументы ) := выражение

Здесь FuncName - имя функции, аргументы - список элементов, разделенных

запятыми.

Аргументами функций могут быть переменные или имена функций.

Все входящие в выражение параметры, если они не являются аргументами

определяемой функции, должны быть заданы перед выполнением оператора присваивания.

Переменные диапазона (ранжированные переменные)

Переменные диапазона - это переменные, которые принимают серию значений из

заданного диапазона при каждом их использовании.

С помощью переменных диапазона вы можете выполнить цикл - многократно

вычислить одно и то же выражение для различных значений переменной из диапазона.

Результаты вычисления могут быть записаны в массив Mathcad и отображены в виде вектора

(матрицы), таблицы или графика.

Переменная диапазона задается следующим образом:

имя_переменной := выраж.1..выраж.N или

имя_переменной := выраж.1,выраж.2..выраж.N

здесь выраж.1 - начальное значение переменной, выраж.2 - второе значение переменной,

выраж.N - последнее значение переменной, разность выраж.2-выраж.1 задает шаг изменения

переменной.

Если выраж.2 не задано (первая форма задания диапазона), то шаг принимается

равным 1.

Заметим, что все входящие в выраж.1, выраж.2, выраж.N параметры должны быть

определены до задания диапазона.

Ввод символа ".." осуществляется с помощью клавиши ";" (точка с запятой).

Например, x:1.5;40.56 выглядит как x:=1.5..40.56.

Теперь переменная x будет меняться от 1.5 с шагом 1 до тех пор, пока не превысит

значение 40.56.

Пример Mathcad-документа:

x0 := -1.4 h := 0.5 xk := 5.5 x := x0,x0+h .. xk f(x) := sin(x)

Замечание: последнее присваивание выполняется столько раз, каково значение целой

части выражения:

Текстовые фрагменты

Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел

бы видеть в своем документе. Существуют два вида текстовых фрагментов:

- текстовая область предназначена для небольших кусков текста — подписей,

комментариев и т. п. Вставляется с помощью команды Вставка Текстовый регион

(Insert →”Text Region”)или комбинации клавиш Shift+ "(двойная кавычка);

- текстовый абзац применяется в том случае, если необходимо работать с абзацами или

страницами. Вставляется с помощью комбинации клавиш Shift+ Enter.

Графические области

Графические области делятся на три основных типа — двумерные графики,

трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные

графики строятся самим Mathcad на основании обработанных данных.

Для создания декартового графика (рис.1):

- Установить визир в пустом месте рабочего документа.

- Выбрать команду(Insert→Graph) Вставка График Х-У график , или нажать

комбинацию клавиш


9

- Shift+ @, или щелкнуть кнопку панели Графики. Появится шаблон декартового

графика.

- Введите в средней метке под осью Х первую независимую переменную, через запятую

— вторую и так до 10, например х1, х2,

- Введите в средней метке слева от вертикальной оси Y первую независимую

переменную, через запятую — вторую и т. д., например у1(х1), у2(х2), …, или

соответствующие выражения.

- Щелкните за пределами области графика, что бы начать его построение.

Рис. 1 Пример табулирования функции с использованием

ранжированной переменной

Создание трехмерных графиков более подробно описано в методических указаниях к

лабораторной работе по этой теме

Организация условий в Mathcad

В Mathcadе допустимы простые и составные условия.

Простое условие имеет вид: выраж.1 операция_отношения выраж.2

(операции отношения: >, <, ≤, ≥, ≠, =)

Составные условия содержат простые, соединенные знаками логического умножения

(*) и логического сложения (+). Например, условие -4<x<56 можно записать следующим

образом: (-4<x) (x<56), а совокупность условий -4<x 7, 12<x <34 так: (x>-4) (x 7)+(x<34)

(x>12).

Условие принимает значение 0, если оно ложно, и 1 в случае его истинности.

Существует ряд встроенных функций, у которых возвращаемый ими результат

зависит от знака или значения аргумента. При их вычислении производится сравнение

аргумента с некоторыми числовыми константами, например с нулем или целыми числами.

Довольно широкие возможности дает функция if для создания условных выражений

Формат условной функции:

if (Условие, Выражение1, Выражение2)

Если условие истинно, то функция if принимает значение выраж.1, иначе - выраж.2.

Выражения, в свою очередь, могут содержать функцию if.

Замечание: Вместо условия можно указать любое выражение, и если оно принимает

значения, отличные от 0, то функция if принимает значение выраж.1, иначе - значение

выраж.2

Матрицы и матричные операторы Mathcad

Использование панели Matrix - Матрицы


10

Ввод матрицы

Xn Индексированная переменная.

X-1

Инверсная матрица.

|X| Определитель матрицы.

)(Mf Векторизация матрицы.

M<>

Выделение столбца матрицы.

MT Транспонирование матрицы.

m..n Границы одномерного массива.

В системе Mactcad есть дополнительные функции сортировки – перестановка

элементов векторов и матриц:

1. sort (V) – сортировка элементов вектора в порядке возрастания их значений;

2. csort (M,n) – перестановка строк матриц М таким образом, чтобы отсортированным

оказался n-й столбец;

3. rsort (M,n) – перестановка столбцов матриц М таким образом, чтобы

отсортированным оказался n-я строка.

4. diag(V) - диагональная матрица, создает диагональную матрицу, в главной диагонали

которой размещается вектор V.

5. revers(V) – Переставляет элементы вектора V (после функции sort) в обратном порядке.

6. identity(n) - Создает квадратную матрицу размером n*n и присваивает ее элементам

значения 1.

7. cols(M) - число столбцов матрицы M.

8. rows(M) - число строк матрицы M.

9. tr(М) - след матрицы M. Возвращает след (сумму диагональных элементов) матрицы

М.

10. mean(M) - среднее значение массива M.

11. eigenvals(M) - вектор, содержащий собственные значения матрицы M.

12. eigenvecs(M) - Возвращает матрицу, столбцами которой являются собственные

векторы матрицы M. Порядок столбцов тот же, что в векторе, возвращаемом функцией

eigenvals(M)

и др.

Решение уравнений средствами Mathcad

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических

решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений.

Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить

произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Однако такие уравнения

могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного

системной переменной TOL).

Численное решение нелинейного уравнения

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

F(x) = 0. (1.1)

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия. Решить

уравнение – это найти x* R : F(x*) = 0.

Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько

корней. Геометрическая интерпретация такой ситуации представлена на рис. 2. Корнями

уравнения (1.1) являются точки x1*, x2*, x3*, в которых функция F(x) пересекает ось x.

Необходимое условие существования корня уравнения (1.1) и достаточное условие

единственности следуют из известной теоремы Больцано–Коши. Пусть F(x) непрерывна и

F(a)F(b) < 0 (т.е. на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [a,

b] существует корень уравнения F(x) = 0. Корень будет единственным, если F′(x) не меняет

знак на отрезке [a, b], т.е. F(x) – монотонная функция (рис.2).


11

Рис. 2 Геометрическая иллюстрация уравнения (1.1)

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью

функции root (рис. 3).

Рис. 3 Решение нелинейных уравнений средствами Mathcad

Функция root( f(х1, x2, …), х1, a, b )

Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или

функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция

возвращает скаляр.

Аргументы:

f(х1, x2, …) — функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение.

Выражение должно возвращать скалярные значения.

х1 — - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед

использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad

использует его как начальное приближение при поиске корня.

a, b — необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем

a < b.

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть:

1. Известны из физического смысла задачи.

2. Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных.

3. Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f(x) = 0 — это точки

пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции

f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки,

содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить,

заменив уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением:

f1(x)=f2(x),


12

где функции f1(x) и f2(x) — более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики

функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих

графиков.

Пример. Графически отделить корни уравнения:x lg x = 1 (1)

Уравнение (1) удобно переписать в виде равенства:

Отсюда ясно, что корни уравнения (1) могут быть найдены как абсциссы точек

пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы . Построив эти кривые,

приближенно найдем единственный корень уравнения (1) или определим его содержащий

отрезок [2, 3] (рис. 4).

Рис. 4 Решение уравнений средствами Mathcad

Отсутствие сходимости функции root

Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то

появится сообщение (отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть

вызвана следующими причинами:

Уравнение не имеет корней.

Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.

Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить

наличие корней уравнения f(x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их

значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root

сходиться.

Рекомендации по использованию функции root

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить

значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root

будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то

функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Если два корня

расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

Если функция f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция root(f(x), x)

может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для

нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL.

Для выражения f(x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f(x)

эквивалентно поиску корней уравнения h(x) = f(x)/(x — a). Подобный прием полезен для

нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения

h(x), чем пробовать искать другой корень уравнения f(x) = 0, выбирая различные начальные

приближения.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

vnxn + … + v2x

2 + v1x + v0,

лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция


13

polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как

вещественные, так и комплексные.

Polyroots(v)

Возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в

векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Аргументы:

v — вектор, содержащий коэффициенты полинома.

Вектор v удобно создавать использую команду Символы Коэффициенты

полинома. рис. 5 иллюстрирует определение корней полинома средствами Mathcad.

Рис. 5 Пример нахождения корней полинома

Программирование без программирования

Для решения задач с известными алгоритмами в Mathcad предусмотрена возможность

программирования. Для создания подпрограмм можно использовать операторы, хранящиеся

в палитре «Программирование» (рис. 6).

Рис. 6 Палитра программирования


14

Большинство кнопок этой панели выполнено в виде текстового представления

операторов программирования, поэтому их смысл легко понятен. Это достаточно полный

набор операторов программирования универсального языка программирования.

Add Line Добавить строку.

Оператор локального присвоения.

If Оператор условия.

While Оператор цикла.

For Оператор цикла.

Break Оператор останова.

Otherwise Оператор иначе.

Return Оператор возврата.

On error Оператор «на ошибку».

continue Оператор продолжения.

Пример программ приведен на рис.7а и 7б.

Локальное присваивание иллюстрируется листингом 7а. Переменная z существует

только внутри программы, выделенной вертикальной чертой. Из других мест документа

получить ее значение невозможно.

Рис.7 Пример программ Mathcad

Рассмотрим использование программирования для нахождения корней уравнения с

использованием метода деления отрезка пополам.

Метод деления отрезка пополам (дихотомии)

Пусть интервалы изоляции корней известны. Рассмотрим итерационные методы,

позволяющими найти корень на известном интервале изоляции [a, b].

Найдем середину отрезка [a, b]: c = (a+b)/2. Корень остался на одной из частей: [a, c]

или [c, b]. Если F(a)*F(с) < 0, то корень попал на отрезок [a, c], тогда деление отрезка можно

повторить, приняв в качестве нового правого конца точку c, т.е. b = c. В противном случае

корень попал на половину [c, b], и необходимо изменить значение левого конца отрезка: a =

c. Поскольку корень всегда заключен внутри отрезка, итерационный процесс можно

останавливать, если длина отрезка станет меньше заданной точности: |b – a| < ε .

В случае сложных уравнений вычисления необходимо проводить с использованием

ЭВМ. На рис. 8 приведен текст программы Mathcad, реализующей метод дихотомии для

решения уравнения

F(x) = x2 – x – 1 = 0.

Метод реализован в виде функции от аргументов a, b (концы интервала изоляции) и

точности метода ε. Вызов этой функции при значениях a = –1, b = 0, ε = 0.01 дает значение

корня – 0.617, при этом невязка уравнения (|F(xk)|, где xk–корень уравнения), которую

вычисляют, чтобы убедиться в правильности решения, равна – 1.892*10–3

.


15

Рис. 8 Метод деления отрезка пополам

Ни оператор присваивания :=, ни оператор вывода = в пределах программ не

применяются.

Решение систем уравнений

Mathcad дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число

уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение

искомого корня.

Решение систем линейных уравнений

Системы линейных уравнений в Mathcad можно решить различными способами:

Матричным методом – задается матрица коэффициентов перед неизвестными (A) и

вектор свободных членов (С). Поиск вектора неизвестных (X) осуществляется по

формуле X:= A-1

С

Методом Гаусса (функция lsolve(A,С). Функция Lsolve использует метод Гаусса

(исключения). Возвращает вектор неизвестных, дающих решение системы линейных

алгебраических уравнений вида A*X = С

С использованием блоков Given, Find. Minerr.

С использованием программирования любым известным методом.

В качестве примера решим систему уравнений:

8х-3y+2z=9, 3y+5z=–7, –x+9y+7z=0

Зададим матрицу коэффициентов перед неизвестными (A) и вектор свободных членов

(С).

Пример нахождения решений системы линейных уравнений


16

Как видно из анализа результатов, решения разными методами совпадают.

Использование блоков Given, Find. Minerr

для решения систм уравнений

Find(v1,v2,…,vn) – находит значение переменных для точного решения (решение реально

существует, хотя и не является аналитическим),

Minerr(v1,v2,…,vn) – находит значение переменных для приближенного решения (находит

максимальное приближение даже к несуществующему).

Эти функции могут применяться только после блока Given. Имена этих функций

можно писать и строчными буквами. При вводе ограничительных условий необходимо

использовать логические операторы: >, <, , , , =. Эти операторы вызываются с помощью

палитры «Отношения». Рекомендуется после нахождения решения сделать проверку

подстановкой.

Given – ключевое слово, открывающее блок решения систем уравнений (в котором

обычно используются функции Find, Minerr, Maximize и Minimize)

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений.

Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система

уравнений.

Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати

символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из

символов <, >, ≤, и ≥.

Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х, у).

Find(var1,var2, …) значения var1, var2, …, дающие точные решения системы

уравнений в блоке, объявленном директивой Given (число возвращаемых значений равно

числу аргументов),который помимо решаемой системы уравнений, может содержать

условия ограничения.

Пример решения системы нелинейных уравнений с использованием функции Find:

x:=0 y:=0


17

Внутри блока решения недопустимы следующие выражения:

Ограничения со знаком ≠.

Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой

форме.

Неравенства вида a < b < c.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может

иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find (рис.9).

Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована

аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:

Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида:

Find(var1, var2,…) =. Определить переменную с помощью функции Find:

a := Find(x) — скаляр, var := Find(var1, var2,…) — вектор.

Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в

другом месте рабочего документа.

Определить другую функцию с помощью Find

f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …).

Рис. 9. Решение систем уравнений в Mathcad

Симплексный метод решения задач линейного программирования средствами Mathcad

Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений

задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов либо найти

оптимальное решение, либо установить, что оптимальное решение отсутствует.

Решить симплексным методом задачу:

Решение:

Приводим задачу к каноническому виду.


18

Значение целевой функции при этом базисе равно:

При поиске минимума используется функция Minimize/

Краткие итоги по теоретической части

Основная идея системы Mathcad – предоставление пользователю возможности

описывать на экране вычисления в форме, очень близкой к общепринятой математической

нотации, применяемой при записи математических моделей и алгоритмов численного

анализа.


19

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Лабораторные работы направлены на получение навыков использования

математических пакетов в решении различных математических и инженерных задачах, в

представлении полученных результатов различными методами (табличном, графическом

виде).

Все работы выполняются по вариантам, задаваемым преподавателем. После

выполнения работы оформляется отчет.

Цель практической части: Научить студентов работе в системе Mathcad. Получить навыки

решения уравнений разной сложности, использовать математические и статистические

функции в системе Mathcad.

Содержание отчета

- Название работы.

- Результаты выполнения заданий.

- Выводы по работе относительно используемых операторов, функций и полученных

результатов.


20

Лабораторная работа №1

Табулирование функций и нахождение корней уравнений

в системе Mathcad

Подготовка к работе

По указанной литературе изучить:

- правила ввода текста, данных, переменных;

- задание функций пользователя;

- операторы присваивания;

- правила построения графиков и графические средства для работы с ними;

- правила вывода таблиц с результатами вычислений;

- состав и назначение элементов Math Palette (палитры математических символов).

Задание и порядок выполнения работы

1. Создать в текстовой области заголовок документа "Вычисления в Mathcad".

2. Задать выражение для расчета заданной переменной, выбранную из табл. 1. в

соответствии с вариантом, для конкретного значения аргумента.

3. Задать это выражение как функцию пользователя.

4. Задать ранжированную переменную, изменяющуюся в пределах xo xn с шагом h=0.1.

Рассчитать и вывести в виде таблицы значения функции при изменении аргумента в

заданном интервале.

5. Для данной функции построить XY - график. Отформатировать его для наглядного

представления заданной функции.

6. Построить график функции f(x) и приблизительно определить один из корней

уравнения. Решить уравнение f(x)= 0 с точностью ε = 10 - 4

с помощью встроенной

функции Mathcad root. Варианты заданий (Таблица 1);

Таблица 1

Варианты заданий

7. Найти корни полинома с помощью функции polyroots. Задать вектор V, содержащий

коэффициенты полинома. Коэффициенты полинома найти с использованием

символьной команды. Варианты заданий (Таблица 2)


21

Таблица 2


№

варианта

g(x) №

варианта

g(x)

1 x4 – 2x

3+x

2 – 12x+20 9 x

4+x

3 – 17x

2 – 45x – 100

2 x4+6x

3+x

2+x

2 – 4x – 60 10 x

4 – 5x

3 +2x

2 –15x+50

3 x4 – 14x

3 – 40x – 75 11 x

4 – x

3 –x

2 – 20x+25

4 x4 – x

3+x

2 – 11x+10 12 x

4+5x

3+7x

2 – 5x+95

5 x4 – x

3+13x

2 – 31x + 25 13 x

4 – 7x

3+17x

2+x – 20

6 x4+7x

3+9x

2+13x – 30 14 x

4+10x

3+36x

2+70x+75

7 x4+3x

3 – 23x

2 – 55x – 150 15 x

4+9x

3+39x

2+59x+60

8 x4 – 6x

3+4x

2–10x+75

Методические указания

Пример выполнения задания лабораторной работы

Чтобы определить начальное приближение по х воспользуемся графиком. По команде

Format →Graph → Trace, выплывет окно, показанное на рис. 10, по нему определите

приближенное значение х, предварительно нужно щелкнуть по точке пересечения графика

функции с осью абсцисс.

Рис. 10 Определение приближенного значения х

По графику обнаружено начальное приближение х= 1.4

Изменение системного параметра TOL (рис.11). Чтобы изменить значение TOL в

определенной точке рабочего документа, используйте определение вида TOL:=0.01. Чтобы

изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Математика

Параметры… Переменные Допуск сходимости (TOL), (Tools Workscheet

Convergence Tolerance(TOL) – в англоязычном Mathcad)

Рис. 11 Окно системных параметров


22

Установлено значение

Контрольные вопросы

1. Поясните структуру окна системы Mathcad.

2. Какие приѐмы создания текстовой области Вы знаете?

3. Перечислите приоритетность выполнения операций в выражениях.

4. Какие типы данных используются в системе Mathcad?

5. Дайте понятие идентификатора.

6. Какие требования предъявляются к идентификаторам?

7. Дайте понятие переменной.

8. Как задать переменную в системе Mathcad?

9. Что такое ранжированная переменная?

10. Для решения, каких задач используется ранжированная переменная?

11. Дать понятие функции пользователя?

12. Назовите оператор присвоения системы Mathcad?

13. Назовите оператор вывода системы Mathcad?

14. Как вывести результаты вычислений в виде таблиц?

15. Как создать и отредактировать XY - график?


23


Функции условных выражений



‒ категории функций;

‒ операции отношений;

‒ правила записи функции условных выражений;

‒ состав палитр Evaluation and Boolean (Отношения) .


1 Задать условную функцию с использованием функции if и условий. Варианты заданий

в таблице 3

2 Задать эту функцию, используя операторы if и otherwise из палитры

программирования

Выведите таблицы результатов и сравните их между собой.

Таблица 3


№ Функция x=[ ], a, b

1.

3,2)(

30),ln(

xприaxtg

xприaxy

x=[0 ..5] a=1.5

2.

3),sin(

3,22

xприbxx

xприaxt

x=[-2 ..2] a=5 b=2

3.

0),ln(

50),sin(

2

2

xприbxx

xприxaс

x=[-5 ..5] a=2.5 b=3

4.

0,)cos(

51,2

2

2

xприbxa

xприbxf

x=[-4 ..4] a=3 b=1.5

5.

0,)(

50,2

2

2

xприbxtgx

xприxby

x=[-3 ..4] a=6 b=3.5

0,)sin(2

61,)(2

2

22

xприaxx

xприbxxf

x=[-2 .. 4] a=3 b=4

6.

2,)cos(

62,)sin(2

2

22

xприbxa

xприbxaс

x=[-4 5] a=2 b=1.5]


24

Продолжение таблицы 3

7.

0,)(

102,)sin(

2

2

xприaxtg

xприxp

x=[-5..5] a=3 b=4.5

8.

0,

50),(2

2

2

xприa

bxx

xприxtgb

y

x=[0..7] a=4 b=6

9.

1,)cos(

102,)sin(

22 xприbxa

xприaxxy

x=[-1 .. 6] a=3 b=5

10.

0,)sin(

50,)(

2

2

xприaxb

xприabxxtgy

x=[-2..7] a=2 b=4

11.

2,)(

83,)sin(5

2

2

xприbxtgx

xприxat

x=[-1 5] a=3 b=8

12.

2,)(

104),cos(

22

2

xприx

bxx

xприaxb

f

x=[1 .. 8] a=2 b=4

13.

1),cos(

72,)sin(2 2

xприbxa

x

xприxbx

y

x=[0…9] a=1.5

b=6


Для создания условных выражений можно использовать условия, функцию if , а

также операторы программирования if и otherwise.

С помощью функции с элементами сравнения можно моделировать другие функции.

Пример функции, описывающей импульсные сигналы различного вида, приведен на рис. 12.

Пример применения функции if

Пусть требуется найти значение функции

10),tan(

100,1

0),(

:)(

xприx

xприx

xприxCos

xf для x=7.

Mathcad-документ может быть составлен следующим образом:

f(x):= if(x<0,cos(x),if(x<10,x+1,tan(x))) f(7)= 8

Замечание: Функция f(x) может быть задана и таким образом:

f(x):=(x<0) cos(x)+(x>0) (x<10) (x+1)+(x>10) tan(x).

Для создания условия в Mathcad предусмотрены также операторы в палитре

программирования if и otherwise (если, иначе).

На рис.12 приведен пример моделирования выпрямления функции sin(x).


25

Рис. 12 Пример моделирования одно и двух–полупериодного

выпрямления функции


1. Какие виды встроенных функций имеются в системе Mathcad?

2. Как пользоваться встроенными функциями?

3. Запись условий в системе Mathcad.

4. Как записать условную функцию, используя условные выражения?

5. Синтаксис функции if, еѐ аргументы?

6. Значения условного выражения при истинности условия?

7. Значения условного выражения при ложности условия?


26


Функции для обработки векторов и матриц


По указанной литературе изучить

- палитру Vector and Matrix (Векторы и матрицы) и назначение элементов этих палитр;

- ввод, вывод и обработку одномерных и двумерных массивов данных;

- приемы работы с массивами данных в Mathcad;

- векторные и матричные операторы;

- векторные и матричные функции;


1 Выполнить сортировку для векторов (Таблица 4)

2 Выполнить сортировку для матриц (Таблица 5).

3 Вычислить вектор VE собственных значений матрицы М .

Таблица 4


№

вар.

Заданный вектор № вар. Заданный вектор

1 V=[3, 2, 4, 5] 9 V=[7, 18, 3, 11]

2 V=[7, 8, 9, 5] 10 V=[1, 5, 3, 9]

3 V=[12, 14, 7, 11] 11 V=[24, 9, 12, 27]

4 V=[6, 8, 10, 15] 12 V=[9, 3, 17, 11]

5 V=[3, 9, 12, 14] 13 V=[4, 15, 2, 19]

6 V=[7, 9, 11, 13] 14 V=[11, 17, 1, 13]

7 V=[5, 7, 8, 12] 15 V=[5, 9, 15, 2]

8 V=[23, 25, 7, 19]

Таблица 5


№ вар Исходная матрица

13217

27153

4121

M

№

вар

Исходная матрица 7516

11522

2153

M

1 Отсортировать по 1 столбцу.

Вывести этот столбец

7 Отсортировать по 1 столбцу. Вывести

этот столбец

2 Отсортировать по 1 строке.

Вывести эту строку

8 Отсортировать по 1 строке. Вывести

эту строку

3 Отсортировать по 2 столбцу.


9 Отсортировать по 2 столбцу Вывести





эту строку

5 Отсортировать по 3 столбцу


11 Отсортировать по 3 столбцу Вывести





эту строку


Вывод элементов матрицы А и элементов вектора В и Х1

Транспонирование вектора Х


27

Исходный вектор Прямая сортировка Реверс сортировки

Исходная матрица Сортировка по первой строке Сортировка по первому столбцу

Начальный индекс столбца и строки ORIGIN = 0

Вывод второго столбца матрицы Вывод второй строки матрицы

Рис. 10 Примеры применения векторных и матричных функций


1. Какие операции можно производить с матрицами и векторами в Mathcad?

2. Назовите элементы палитры Vector and Matrix (Векторы и матрицы) и их назначение.

3. Назовите операции над матрицами и векторами в Mathcad?

4. Назовите функции сортировки векторов и матриц.

5. Как вывести нужный элемент массива?

6. Как вывести заданный столбец матрицы?

7. Как вывести заданную строку матрицы?

8. Назовите функцию вычисления следа матрицы, поясните, что называется следом

матрицы.


28


Решение систем линейных и нелинейных уравнений


По указанной литературе изучить

- способы решения систем линейных уравнений в Mathcad;

- способы решения нелинейных уравнений в Mathcad

- функция для решения системы линейных уравнений методом Гаусса.


1. Решить систему линейных уравнений (Таблица 6):

- используя функцию Find, решить уравнение в символьном виде;

- матричным способом;

- используя функцию lsolve.

2. Решить систему нелинейных уравнений (Таблица 7)

- приближенно графически;

- используя функцию Find

- используя функцию Minerr.

Таблица 6


№

вар.

Система линейных уравнений №

вар.

Система линейных

уравнений

1. 2x1 +x2 + 2x3+3x4=8

3x1+3x3=6

2x1 – x2 + 3x4=4

x1+2x2 – x3 + 2x4=4

9 x1 +2x2 + 8x3+2x4= 114

8x1+x2 + 2x3 + x4=52

x1 + 5x2 + x3 =72

x1 – 12x2 +5x3 + x4= 97

2. x1 +2x2 + 3x3+4x4=22

2x1+3x2+ x3 + 2x4=17

2x1 + x2 + x3 – 7x4=8

x1 – x3 + 3x4= – 7

10 6x1 - 4x2 + 12x3 - 2x4= 132

2x1+x2 + 9x3 + 5x4=118

3x1 - 2x2 - 2x3 - x4=7

x1 - 12x2 +2x3 - x4= 17

3. 2x1 +x2 - 5x3+x4= – 4

x1+3x2 - 6x4=9

x1 – x2 + 3x3=6

x1+4x2 –7x3 + 2x4= – 2

11 x1 - 2x2 - x4= 86

5x1 + 2x3 - 3x4=88

7x1 - 3x2 + 7x3 +2x4=146

3x1 – 7 x2 +6x3 + 3x4= 89

4. x1 +2x2 + 3x3+2x4= 24

2x1+3x2 + 4x3 + x4=32

3x1 + 4x2 + x3 +2x4=26

4x1+2x2 +x3 + 3x4= 24

12 x1 - 2x2 - 8x4= – 8

x1+5x2 - 7x3 + 5x4= – 12

x1 + x2 - 5x3 +2x4= – 15

3x1 – x2 + 3x4= 9


29


5. 2x1 +x2 + 5x3 - x4= 14

7x2 - x3 + 3x4= – 5

4x1 + x2 + 2x3 =16

x1+5x2 +2x3 - 7x4= – 13

13 2x1 +2x2 + 7x3+x4= 14

– 2x2 + 3x3 + x4=19

2x1 + 2x2 + x3 +x4=22

3x1 - 5x2 +x3 - x4= 32

6. 4x1 +7x2 + x3 - 4x4= 12

x1 + 6x3 + x4=21

x1 + 4x2 + 6x4=16

2x2 +4x3 + x4= 15

14 8x1 - x2 + 7x3+5x4= 156

2x1+x2 - 3x3 - x4= – 17

11x1 + 4x2 + x3 =176

x1 - x2 - 3x3 - 4x4= – 25

7. 7x1 +7x2 - 3x3+2x4= 8

2x1+4x2 + 5x3 + 8x4=42

2x1 + 2x2 + 2x3 +2x4=28

2x1 - 2x3 - x4= – 2

15 6x1 - 9x2 + 7x3= 75

7x1 - 3x3 - x4= – 35

9x2 + 7x3 +x4=97

5x1 - 9x2 +x3 + 6x4= 45

8. 6x1 - 7x2 + 5x3+2x4= 64

5x1+5x2 - 14x3 = – 27

4x1 + 3x2 – 11x4=6

x1+2x2 +2x3 + x4= 42

Таблица 7


№ Функции F1(x), F2(x)

интервал x=[ ], шаг h

№ Функции F1, F2

интервал x=[ ], шаг h

1. F1(x)= – 1.5x3 – 5x

2+3x+45

F2(x)= – 75│cos(x)│

x=[ – 10..10] h=0.3

9. F1(x)=2.5x3 + 2.9x

2+x+17

F2(x)= 20sin(x2)

x=[ – 20..20] h=0.2

2. F1(x)=5x3 + x

2+12x+9

F2(x)= 25│sin(x)│(1)

x=[ – 10..10] h=0.2

10. F1(x)= – 3.5x3 +10x+65

F2(x)= 55│cos(x)│

x=[ – 10..10] h=0.3

3. F1(x)=– 0.5x3 + 5x

2+5x – 15

F2(x)= – 15│tg(x)│

x=[ – 10..10] h=0.1

11. F1(x)=7.5x3 – x

2 – 13x +35

F2(x)= 10│cos(x)│

x=[ – 10..10] h=0.3

4. F1(x)=x3 + 2x

2+15x – 27

F2(x)= 53│cos(x)│

x=[ – 15..15] h=0.5

12. F1(x)=– 3x3 + x

2 – 20x – 7

F2(x)= 20│tg(x)│

x=[ – 10..10] h=0.3

5. F1(x)=4.6x2+10x + 30

F2(x)= 40sin(x)

x=[ – 10..10] h=0.3

13. F1(x)=6.5x3 – 9x

2+7x – 19

F2(x)= – 15│tg(3x)│

x=[ – 15..15] h=0.1

6. F1(x)=– 4.5x3 + 3x

2 – 4 x+60

F2(x)= 90│cos(x)│

x=[ – 20..20] h=0.4

14. F1(x)=– 8.5x3 – 2x

2+20x+5

F2(x)= – 35│cos(x)│

x=[ – 10..10] h=0.2

7. F1(x)=– 7.5x3 + 16x

2+54

F2(x)= – 45│cos(2x)│

x=[ – 25..20] h=0.2

15. F1(x)= – 15x2+9x+70

F2(x)= 5│sin(x)│

x=[ – 20..20] h=0.5

8. F1(x)=– 5x3 +13x+40

F2(x)= 50cos(3x)

x=[ – 10..10] h=0.5


Решить систему линейных уравнений:

4x1 +x2 + x3+3x4=25

3x1 – x2+3x3=16

2x1 – 2x2 + 3x4=– 4

x1+2x2 – x3 + 2x4=4


30

Матричным способом X:=A-1

B, где А- матрица, составленная из коэффициентов перед

неизвестными, В – вектор свободных членов, X – вектор корней x1, x2, x3 …;

С помощью встроенной функции lsolve(А,В).

Проверить результаты решения непосредственной подстановкой полученных корней

х1, х2, х3 в одно из заданных уравнений.

Решение в матричной форме

А – матрица коэффициентов системы при неизвестных

В – вектор свободных членов

Решение системы в матричной форме A

Х:=В, где Х – вектор корней системы

линейных уравнений.

Результат решения системы линейных уравнений Х=(х1,х2,х3,х4)

Результат решения системы линейных уравнений Х1=(x1,х2,х3,х4)

Результат решения системы линейных уравнений с использованием функции lsolve

Проверка решения системы линейных уравнений

Решение системы нелинейных уравнений

Функция Find(z1, z2, . . .) – возвращает точное решение системы уравнений. Число

аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-

либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Пример решения системы нелинейных уравнений приведен ниже на рисунке 13.


31

Заданные функции пользователя F1 x( ) x3

x2

15x 25

F2 x( ) 100 cos x( )

Изменение аргумента x 10 9.9 10

10 5 0 5 10

2000

1000

1000

2000

F1 x( )

F2 x( )

x

Рис. 13 Пример решения системы нелинейных уравнений

Вывод из решения данной системы уравнений следующий: уравнение имеет два

корня и результат решения с помощью функции MinErr подтверждает это. Функция MinErr

приводит к минимальной ошибке.

Для решения систем линейных уравнений также можно использовать функцию Find.

Пример подобного применения представлен на рис. 9.


1. Назовите способы решения систем линейных уравнений.

2. Формат функции lsolve()

3. С помощью, каких функций можно решить систему нелинейных уравнений?

4. В каких случаях при решении систем нелинейных уравнений используется функция

Find()?

5. В каких случаях при решении систем нелинейных уравнений используется функция

Minerr()?

6. Какие функции выполняет директива Given?

7. Какие функции используются с директивой Given?


32

8. Какая функция приводит к минимальной ошибке?

9. Назовите ограничения, при использовании блока Given.


33


Решение уравнений с помощью программного модуля



- задание функций пользователя;

- операторы присваивания;

- состав палитры Programming Palette (Программирование);

- программирование вложенных условных выражений;

- возможности системы программирования для организации циклов с известным числом

повторений с помощью оператора for…;

- возможности системы программирования для организации циклов с неизвестным числом

повторений с помощью операторов while…;

Задание и порядок выполнения работы.

1. Рассчитать значения заданной функции с использованием программного блока.

Предусмотреть ввод данных с использованием оператора как локального, так и

глобального присваивания. Задание в таблице 8. Построить график заданной функции с

шагом 0,3.

2. Используя оператор условных выражений, вычислить функцию, выбранную из табл. 2

согласно варианту. Протестировать все ветви разветвляющегося процесса: вывести

несколько значений заданной функции из разных диапазонов области (xo xn)

определения функции. Построить график заданной функции с шагом 0,1.

3. Используя оператор цикла for, вычислить сумму или произведение (в зависимости от

номера варианта) конечного ряда, заданного в табл.9. Вывести значение заданной

функции. Проверить полученный результат с помощью калькулятора.

4. Вычислить функцию fact=(k+N)! для произвольного целого k, где N – номер варианта

(цифра от 1 до 12). Вывести несколько значений заданной функции. Проверить

полученный результат с помощью калькулятора.

Таблица 8


№ Функция № Функции

1. y=x2(x+1) – b*sin(x+1)

x=[-2.5 … 2] b=3

9. z=x3 + b*sin(x) – a

2

x=[-5 .. 5 a=5 b= -2]

2. )cos(

1bx

a

bxy

x=[-3.5 … 3] b=2; a = 3

10. )cos(

)sin( 2

axb

xf

x=[-4 .. 4] b=3 a = 2

3. z = ln(x)2 +b

-x

x=[-2 .. 2] b=10

11. y=ln(x) + sin(a+x)/b

x=[-3 .. 3] b=2 a=1.5


34


4. w= sin(x)3 +b*x

2 – 10a

x=[-3 .. 3] b=3; a=1.5

12. f= cos(x+b) – a2

x=[-2.5 … 2] b=2 a=3

5. )cos(

3

2

axb

axy

x=[-3.5 .. 3.5] a=2; b=5

13.

4

2ха +sin(x+b)

2

x=[-4 .. 4] b=3

6. z = e-bx

(x+a2)/b

x=[-2 .. 2.5] a=2.5 b=4

14. s= (x – b)2/2 – sin(x)

2

x=[-3.5 3] b=2

7. w = (a – x)* (b – a)/x2+b

x=[-4 .. 4] b=1.5 a=2

15. y= (x+b)3/2x

2 + cos(x)

x=[-2.5…3] b=3

8. )cos()sin( bxxf

x=[-3 .. 3] b=3

Таблица 9


№ Функция № Функция

1. k

k

akkz1

2 ))()(cos( a=3 9. n

n

aaanz1

22 5)cos(

2. n

n

nxny2

2 )sin()4( x=2 10. i

i

aixit2

2))sin()(cos(

3. n

n

xnxtgc3

2 5.3))(( 11. k

k

xxky3

2 6))ln()(ln(

4. 4)(sin(

1

2 niniyi

i

12. n

n

bbbnf1

2 5.3)cos(

5. 5.1)ln( 2

3

2 akkatk

k

13. i

i

nintgy2

7)(

6. n

n

aanatgf1

2 5)( 14.

8sincos3

n

n

aanat

7. k

k

bkbz2

2))(sin( 15. k

k

bbkby1

2 8.3)cos(

8. n

n

aany1

5.2)sin(


Набор программных элементов для создания программных

модулей весьма ограничен и содержит следующие элементы: Add

Line, ←, if, otherwise, for, while, break, continue, return, on error.

Оператор добавления линии Add Line выполняет функции

расширения программного блока. Расширение фиксируется

удлинением вертикальной черты. Благодаря этому можно создавать

сколь угодно большие программы.

Оператор внутреннего присвоения ← выполняет функцию

внутреннего локального присвоения. Локальный характер

присвоения означает, что такое значение переменной сохраняется только в теле программы.

За пределами тела программы значение переменной может быть неопределенным, либо

равно значению, которое задается вне программного блока операторами локального := или

глобального присвоения.


35

Глобальным оператором переменная может быть определена в любом месте

документа.

Вычисление функции с использованием локального и глобального оператора

присвоения

Условие задачи y=b2(x+1) – sin(x+1) x=[-2 … 2] b=2

Пример применения оператора с локальным применением и глобального оператора

присвоения (рис.14)

Рис. 14 Вычисление функции с использованием локального и глобального оператора

присвоения

Оператор if является оператором для создания условных выражений. Он задается в

виде Выражение if Условие. Если условие выполняется, то возвращается значение

выражения. Совместно с этим оператором часто используются операторы прерывания break

и иначе – otherwise.

Пример вычисления функции с помощью оператора if и otherwise (рис.15)

33),(

30),sin(a

xприxtg

xприaxy

Рис. 15 Пример вычисления функции с помощью оператора if и otherwise

Оператор цикла while служит для организации циклов, действующих до тех пор, пока

выполняется некоторое условие.

Оператор break вызывает прерывание работы программы всякий раз, как он

встречается. Чаще всего он используется совместно с условным оператором if и операторами

цикла while, for, обеспечивая переход в конец тела цикла.

Применение while и break для вычисления факториала (рис.16)


36

Рис. 16 Пример программных модулей с применением операторов while

Оператор for служит для организации циклов с заданным числом повторений. Он

записывается в виде for Var є Nmin .. Nmax. Эта запись означает, что выражение,

помещенное в расположенный ниже шаблон, будет выполняться для значений Var,

меняющихся от Nmin до Nmax с шагом +1. Переменную счетчика Var можно использовать в

исполняемом выражении.

Пример использования операторов цикла (рис.17)

Рис. 17 Применение программного оператора for


1. Поясните состав палитры Programming Palette (Программирование);

2. Чем отличается локальное присвоение от глобального?

3. Приведите примеры локального и глобального присвоения.

4. Какие операторы входят в состав палитры Программирование?

5. Какие операторы Программирование используются для решения функций?

6. Какие операторы называются условными?

7. В каких случаях применяется оператор for?

8. Когда применяются операторы while и break?

9. Как задается оператор добавления линии?

10. Как задается оператор внутреннего присвоения?

11. Какой циклический процесс называется итерационным?

12. Дайте понятие вложенных циклов

13. Дайте определения оператора прерывания.


37


Построение графиков поверхности



- построение графика поверхности, описанной функции;

- задание и построение поверхности без удаления невидимых линий;

- состав палитры Graph;

- задание и построение поверхности с удалением невидимых линий;

- построение поверхностей с их параметрическим заданием

- построение трехмерных графиков без задания матриц

Задание и порядок выполнения работы.

1. Построить график поверхности без удаления невидимых линий.

Варианты в Таблице 10.

2. Построить график поверхности с удалением невидимых линий.


3. Построить график поверхности без задания матрицы.


4. Построить сферу. Варианты в Таблице 11

5. Построить графической функции CreateMesh. Варианты в Таблице 12

6. Построить фигуру полученную вращением кривой вокруг оси.

Варианты в Таблице13.

Таблица 10



1. z(x,y)=3cos(x*y) 9. z(x,y)=sin(x)2 +cos(y)

2. z(x,y)=sin(x*y) 10. z(x,y)=cos(x)+sin(y)2

3. z(x,y)=tg(x*y) 11. z(x,y)=2sin(x*y)

4. z(x,y)=x2*y 12. z(x,y)=sin(y)*cos(x)

5. z(x,y)=5cos(x*y) 13. z(x,y)=3tg(x*y)

6. z(x,y)=2x+y2

14. z(x,y)=5(x*y2)

7. z(x,y)=sin(x+y) 15. z(x,y)=10sin(x*y)

8. z(x,y)=sin(x)+cos(y)

Таблица 11


№ Число

вертикальных

линий

№ Число

вертикальных

линий

1. N=25 9. N=54

2. N=30 10. N=43

3. N=35 11. N=52

4. N=40 12. N=55


38

Продолжение Таблицы 11

5. N=26 13. N=39

6. N=38 14. N=27

7. N=45 15. N=24

8. N=50

Таблица 12



1. H(u,v)=3(u2*v) 9. H(u,v)=9cos(u*v)

2. H(u,v)=3sin(u*v) 10. H(u,v)=9(u*v)

3. H(u,v)=7cos(u*v) 11. H(u,v)=3tg(u*v)

4. H(u,v)=cos(u*v) 12. H(u,v)=2cos(u*v)

5. H(u,v)=tg(u*v) 13. H(u,v)=2sin(u*v)

6. H(u,v)=3(u*v2) 14. H(u,v)=2tg(u*v)

7. H(u,v)=5(u*v) 15.

8. H(u,v)=5sin(u*v)

Таблица 13


№ Функции № Функции

1. f(x)=cos(x2

)

G(u,v)=f(u)*sin(v)

H(u,v)=f(u)*cos(v)

9. f(x)=2x*cos(x)

G(u,v)=f(u)*v*sin(v)

H(u,v)=f(u)*v*cos(v)

2. f(x)=3(x2

)

G(u,v)=f(u)*v

H(u,v)=f(u)*3cos(v)

10. f(x)=2cos(x2

)

G(u,v)=f(u)*3sin(v)

H(u,v)=f(u)*5cos(v)

3. f(x)=tg(x2

)

G(u,v)=f(u)*(v2)

H(u,v)=f(u)*3(v)

11. f(x)=tg(x)

G(u,v)=f(u)*(v2)

H(u,v)=f(u)*2*cos(v)

4. f(x)=3cos(x2

)

G(u,v)=f(u)*4sin(v)

H(u,v)=f(u)*6cos(v)

12. f(x)=x*cos(x2

)

G(u,v)=f(u)*tg(v)

H(u,v)=f(u)*sin(v)

5. f(x)=3x*cos(x2

)

G(u,v)=f(u)*(v2)

H(u,v)=f(u)*3(v)

13. f(x)=cos(x2

)

G(u,v)=f(u)*sin(v)

H(u,v)=f(u)*cos(v)

6. f(x)=x*tg(x2 )

G(u,v)=f(u)*tg(v)

H(u,v)=f(u)*sin(v)

14. f(x)=x*cos(x2

)

G(u,v)=f(u)*2sin(v)

H(u,v)=f(u)*5cos(v)

7. f(x)=3cos(x2

)

G(u,v)=f(u)*4*x*sin(v)

H(u,v)=f(u)*tg(v)

15. f(x)=2x*cos(x2)

G(u,v)=f(u)*v*sin(v)

H(u,v)=f(u)*tg(v)

8. f(x)=2*x*cos(x2

)

G(u,v)=f(u)*x*sin(v)

H(u,v)=f(u)*v*cos(v)


Построение поверхностей по матрице аппликат их точек. Поскольку элементы матрицы М –

переменные с целочисленными индексами, то перед созданием матрицы требуется задать

индексы в виде ранжированных переменных с целочисленными значениями, а затем уже из

них формировать сетку значений x и y – координат для аппликат z(x,y). Значения x и y при

этом обычно должны быть вещественными числами, нередко как положительными, так и


39

отрицательными. После выполнения указанных выше определений вводится шаблон графика

(команда Surface Plot) (Рис. 18).

Рис.18 Построение поверхности без удаления невидимых линий.

На рис. 19 показано, как отформатировать график, применение алгоритма

функциональной окраски поверхности и удаление невидимых линий.


40

Рис. 19 Построение поверхности с удалением невидимых линий и использованием

функциональной окраски


41

Программа Mathcad обладает возможностью построения трехмерных графиков – без

задания матриц аппликат поверхностей. Единственным недостатком такого упрощенного

метода построения поверхностей является неопределенность в масштабировании, поэтому

графики требуют форматирования (Рис.20).

Рис. 20 Построение графика поверхности без задания матрицы

Построение поверхностей с их параметрическим заданием.

Существует способ задания поверхностей - в параметрическом виде. При этом

приходится форматировать три матрицы X,Y,Z и указывать их в шаблоне в виде (X,Y,Z).

Блок матриц надо указывать в скобках в противном случае Mathcad попытается построить

три поверхности по данным отдельных матриц. На рис. 21 показано построение сферы –

одна при параметрах форматирования заданных по умолчанию, другая после простого

форматирования, путем введения обрамляющего параллелепипеда, применения алгоритма

удаления невидимых линий и использования функциональной окраски.


42

Рис. 21 Графическое изображение сферы

Построение объемной фигуры, образованной вращением кривой.

В системе Mathcad есть графическая функция для задания поверхностей: CreateMesh

(F,s0,s1,t0,t1,sgrid, tgrid, fmap). Эта функция возвращает массив из трех матриц,

представляющих координаты переменных x, y, z для функции F, определенной в векторной

параметрической форме в качестве функций двух параметров sgrid и tgrid. Параметры

s0,s1,t0,t1 задают пределы изменения переменных sgrid и tgrid. Параметр fmap –

трехэлементный вектор значений, задающих число линий в сетке изображаемой функции.

Все аргументы F не обязательны. Создаваемый функцией CreateMesh массив можно

использовать для ввода в шаблон трехмерной графики класса Surface Plot. Построение

поверхности с применением функции CreateMesh иллюстрирует рис. 22. Построение слева

дано при форматировании по умолчанию, а справа – после ввода функциональной окраски и

поворота фигуры мышью.


43

Рис. 22 Пример построения графика поверхности

Еще один пример применения функции CreateMesh – построение объемной фигуры,

которая получается вращением кривой, заданной функцией f(x), вокруг оси X или Y. На рис.

23 показан пример решения данной задачи.

Рис. 23 пример применения функции CreateMesh


1. Что необходимо для построения трехмерного графика?

2. Как построить график поверхности без удаления невидимых линий?

3. Опишите состав палитры Graph.

4. Как построить трехмерный график без задания матриц?

5. Что приводит к усложнению алгоритма подготовки данных?

6. От чего зависит наглядность представления поверхностей?

7. Для чего используется функция CreateMesh?

8. Как задается поверхность с удалением невидимых линий?

9. Как построить поверхность вращения графика?

10. Как ввести шаблон графика?


44

Список использованных источников

1. Очков В.Ф., Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов [Текст] / В.Ф.

Очков. – СПб: BHV-Петербург, 2009

2. Каганов В.Г., Компьютерные вычисления в средах Excel и Mathcad [Текст] / В.Г

Каганов – Горячая Линия - Телеком, 2011

3. Бедарев И.А., Численные методы решения инженерных задач в пакете Mathcad

[Текст] / И.А. Бедарев, О.Н. Белоусова, Н.Н. Федорова – Новосибирск: НГАСУ,2005

4. Коробов В.И., Комплекс расчетных документов по химической кинетике на Mathcad

Calculation Server. [Текст] / В.И. Коробов, В.Ф Очков, Е.П.Хрень – Тезисы докладов в

Черкассах, 2008

5. Очков В.Ф., "Mathcad Дифференциальные модели" [Текст] / В.Ф. Очков, Солодов

А.П. – Издательство МЭИ, 2005


использование пакета mathcad для математических и...

Automotive