第二讲 Matlab 的数值计算—— Matlab 具有出色的数值计算能

力，占据世界上数值计算软件的主导地位。

—— Matlab 数值计算是使用 Matlab的基础，是 Matlab 强大计算功能的体现

一、 Matlab 的表达式和变量

1 、 Matlab 的表达式Matlab 语句最常见的两种形式：

表达式变量＝表达式

　对于第一种形式，计算结果系统自动赋值给名为 ans 的变量， ans 永远只保存最近一次的表达式的运算结果

　对于第二种形式，系统将右边的表达式的结果赋值给左边的变量，然后在屏幕上显示出来

注意：表达式末尾的；

数字表达Matlab 的数值采用十进制表示，可以使

用科学计数法，用 e 表示位数。

Matlab 常用运算符＋　－　 * 　 /( 右除 ) 　 \ （左除）＾

（幂）

2 、 Matlab 的变量　 变量名可以是字母或数字，但首字必

须是字母 .　 Matlab 对变量名的大小写敏感，大

小写代表不同的变量 . 　　 显示结果的缺省格式是 5 位有效数字，

可以用命令 format 改变输出格式，如：format short e; format long e 。

　 Matlab 可以响应键盘输入，用“ input”命令：

　　 x=input(‘please input x: ’)

二、Matlab的基本计算功能常用基本数学函数

函数名称 函数功能 函数名称 函数功能

abs(x) 取绝对值 sign(x) 符号函数

angle(z) 复数的相角 rem(x ，y)

x/y 取余

sqrt(x) 开平方 gcd(x,y) 最大公因数

real(z) 复数的实部 lcm(x,y) 最小公倍数

imag(z) 复数的虚部 exp(x) 自然指数

conj(z) 共轭复数 pow2(x) 2 的指数

round(x) 四舍五入取整 log(x) 自然对数

flx(x) 无论正负，舍去小数取整

log2(x) 以 2 为底的对数

rat(x) 将实数化为分数 log10(x) 以 10 为底的对数

Matlab 常用的三角函数

有： sin(x),cos (x),tan (x),

asin (x),acos (x),atan (x) 等

三、矩阵的创建1、创建矩阵的方法 直接输入法规则： 矩阵元素必须用 [ ] 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔

在 [ ] 内矩阵的行与行之间必须

用分号分隔

矩阵元素 矩阵元素可以是任何 Matlab 表达式 ，可

以是实数 ，也可以是复数，复数可用特殊函数 i ， j 输入

a=[1 2 3;4 5 6]

x=[2 pi/2;sqrt(3) 3+5i]

符号的作用 逗号和分号的作用 逗号和分号可作为指令间的

分隔符， Matlab 允许多条语句在同一行出现。

分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。

注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 。

当一个指令或矩阵太长时，可用•••续行

冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认间

隔为 1 。 用于选出矩阵指定行、列及元素。 循环语句

2. 用 Matlab 函数创建矩阵 空阵 [ ] — Matlab 允许输入空阵，当一项操

作无结果时，返回空阵。 rand —— 随机矩阵 eye —— 单位矩阵 zeros —— 全部元素都为 0 的矩阵 ones —— 全部元素都为 1 的矩阵 diag —— 产生对角阵

例： 0~1 分布的随机矩阵，用 rand 函数可以产生任意行列的的 0~1 分布的随机矩阵

>> ra=rand(2,3)

ra =

0.9218 0.1763 0.9355

0.7382 0.4057 0.9169

还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。

注意： Matlab严格区分大小写字母，因此 a 与 A 是两个不同的变量。

Matlab 函数名必须小写。

3. 矩阵的修改

　 直接修改

可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改

可以用 A(,)= 来修改。

3 ）由矩阵编辑器修改　由Matlab提供工具栏按钮来查看工作区变量

单击变量，可以打开或 删除变量打开后得到如下图，

点击矩阵元素，修改即可

例如a=[1 2 0;3 0 5;7 8 9]a =1 2 0 3 0 5 7 8 9a(3,3)=0a =1 2 0 3 0 5 7 8 0

四、数据的保存与获取 把Matlab 工作空间中一些有用的数

据长久保存下来的方法是生成 mat数据文件。

save —— 将工作空间中所有的变量存到Matlab.mat文件中。

save data—— 将工作空间中所有的变量存到 data.mat文件中。

save data a b —— 将工作空间中 a 和 b

变量存到 data.mat文件中。

下次运行 Matlab 时即可用 load 指令调用已生成的 mat文件。

load ——

load data ——

load data a b ——

mat文件是标准的二进制文件，还可以 ASCII码形式保存。

即可恢复保存过的所有变量

五、矩阵运算

1. 矩阵加、减（＋ , －）运算规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列

两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标

量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。

2. 矩阵乘（）运算规则： A 矩阵的列数必须等于 B 矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘。a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b

c =14

32

23

d=[-1;0;2];f=pi*d

f = -3.1416

0

6.2832

3. 矩阵除（ \,/ ）运算

矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆

的运算，在 Matlab 中有两种矩阵除运算 : \

左除　 / 右除 A\B 为方程 AX ＝ B 的解 B/A 为方程 XA ＝ B 的解 A\B=inv(A)*B 而 B/A=B*inv(A) B/A=(A’\B’)’

其中 inv(B) 表示矩阵 B 的逆。

4. 矩阵乘方—— a^n,a^p,p^a a ^ p —— a 自乘 p 次幂

方阵 >1的整数

对于 p的其它值 ,计算将涉及特征值和特征向量，如果 p是矩阵， a是标量a^p使用特征值和特征向量自乘到 p次幂；如 a,p都是矩阵， a^p则无意义。

a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2

ans =30 36 42

66 81 96

102 126 150

※当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。

a^0.5

ans =

0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i

1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i

1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i

5. 矩阵的其它运算

’ —— 矩阵转置 ( 共轭）

　矩阵的子矩阵可以通过标量、向量、冒号的标识来引用和赋值。

子阵序号向量标识方式 A （ v,w) v,w 可以是任何排列的向量，也可以是“：”，它

表示全部行（在 V 的位置）或全部列（在 w 的位置）。

“0~1” 向量标识方式 A （ L1,:) 、 A （： ,L2) 、 A （ L1,L2)向量 L1,L2 的长度分别为矩阵 A 的行数和列数 ,向量 L1,L2 中的元素取 1 （表示提取相应的行或列）或 0 （不提取）

6. 矩阵标识和子矩阵

例：提取矩阵的子阵B=magic(5)

B1=B(1:2,[1,3,5])

B2=B([3,1],:)

B([1,3],[2,4])=zeros(2)

6. 矩阵的一些特殊操作 矩阵的变维 a=[1:12],b=reshape(a,3,4) %b 为 3 行 4 列 c=zeros(3,4);c(:)=a(:) 矩阵的变向 rot90:旋转 (逆时针） ; fliplr: 左右翻 ; flipu

d: 上下翻 矩阵的抽取 diag:抽取主对角线 ;tril: 抽取主下三角 ;

triu:抽取主上三角

例： a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] , b=rot90(a),c=flipud(a),d=fliplr(a) a = 　 1 2 3 　 4 5 6 7 8 9 b = 3 6 9 2 5 8 1 4 7 c = 7 8 9 4 5 6 1 2 3 d = 3 2 1 6 5 4 9 8 7

la=tril(a,-1),ua=triu(a,1),na=triu(a)

la = 0 0 0 4 0 0 7 8 0ua = 0 2 3 0 0 6 0 0 0na = 1 2 3 0 5 6 0 0 9

7 、特殊的应用矩阵在控制系统分析和设计中，应用一些特殊的矩阵 约当阵－－将状态空间模型转换为约当标准形形式： jordan(a) 得到矩阵 a 的约当标准形　　 [V,J]=jordan(a) J 为约当标准形， V 为相似变换阵，满足

V\a*V=J.例： a=[1,2;3,4];J=jordan(a),[V,JJ]=jordan(a)J = 5.3723 0 0 -0.3723V = 0.2389 0.7611 0.5222 -0.5222JJ = 5.3723 0 0 -0.3723

伴随矩阵－－将状态空间模型转换为可控标准形compan(p) 获得多项式 P 的伴随矩阵

p=[1 2 3],a=compan(p)

p =

1 2 3

a =

-2 -3

1 0

格雷姆（ Gram) 矩阵－计算可控性和可观性格雷姆阵

　　 Gc=gram(G,’c’) 计算稳定系统 G 的可控性格雷姆矩阵 Gc

Go=gram(G,’o’) 计算稳定系统 G 的观测性性格雷姆矩阵 Go

7. 常用的矩阵函数　　 矩阵的行列式、矩阵的秩、特征值等在现代控制理论中有广泛的应用， Matlab提供了相应的函数求其值

det(A) 方阵 A 的行列式 eig(A) 方阵 A 的特征值和特征向量 rank(A) 矩阵 A 的秩 trace(A) 矩阵 A 的迹 expm(A) 矩阵的指数 sqrtm(A) 求矩阵的平方根 funm(A,’fun’) 求一般的方阵函数

Ae

A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] deta=det(A) ranka=rank(A) tracea=trace(A) eiga=eig(A)

>>deta =27 ranka =3 tracea = 6 eiga = 12.1229 -0.3884 -5.7345

注意： funm 函数的问题　　　 f=funm(A,’fun’) 对于方阵 A ，计算用

函数‘ fun’ 定义的矩阵函数，例如： funm(A,’sin’) 就是计算矩阵 A 的 sin 函数。

　 funm 使用的算法有潜在的不稳定性，如果 A 是接近于一个多重特殊值和病态特征向量的矩阵，它会产生不精确的值， Matlab 系统会因此出现警告的信息，但是有时候出现正确结果时，也会出现警告信息。

例：矩阵函数和数组函数运算的区别B=[1/6,1/2;1/3,5/6]*pi>> sinb=sin(B)sinb = 0.5000 1.0000 0.8660 0.5000>> fsinmb=funm(B,'sin')fsinmb = -0.0849 0.0000 0.0000 -0.0849

8. 矩阵的数组运算

数组运算指元素对元素的算术运算，

与通常意义上的由符号表示的线性代数

矩阵运算不同

　在 Matlab 中提供了如下的数组运算符：

.+ .- .* .^ .\(./) .‘

1. 数组加减 (.+,.-)

a.+b

a.- b

注意：运算符中的小黑点绝对不能遗漏，否则将不按数组运算规则进行计算。不管执行什么数组计算，所计算结果数组总是与参与运算的数组同维。数组运算中所有的二元运算必须是同维的数组或者其中有一个是标量。

2. 数组乘除 ( ， ./ ， .\ ）ab —— a ， b 两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];a.*bans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90

a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];

a*b

ans =

25 37 46

55 85 109

85 133 172

a./b=b.\a

a.\b=b./a

a./b=b.\a — 都是 a 的元素被 b 的对应元 素除a.\b=b./a — 都是 b 的元素被 a 的对应元 素除例 : a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a

c1 = 4.0000 2.5000 2.0000

c2 = 4.0000 2.5000 2.0000

—— 给出 a,b对应元素间的商 .

3. 数组乘方 (.^) — 元素对元素的幂例 :

a=[1 2 3];b=[4 5 6];

z=a.^2

z =

1.00 4.00 9.00

z=a.^b

z =

1.00 32.00 729.00

4. 数组转置 (.‘) — 元素对元素的转置>>a=[1+2*i 3*i;4+5*i 6*i],aa=a.',aaa=a'a = 1.0000 + 2.0000i 0 + 3.0000i 4.0000 + 5.0000i 0 + 6.0000iaa = 1.0000 + 2.0000i 4.0000 + 5.0000i 0 + 3.0000i 0 + 6.0000iaaa = 1.0000 - 2.0000i 4.0000 - 5.0000i 0 - 3.0000i 0 - 6.0000i

六、 多项式运算 Matlab 语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。

f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0

可用行向量 p=[an an-1 …… a1 a0] 表示

1. poly —— 产生特征多项式系数向量 特征多项式一定是 n+1维的 特征多项式第一个元素一定是 1

例 :a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];

p=poly(a)

p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00

p 是多项式 p(x)=x3-6x2-72x-27 的Matlab描述方法，我们可用：

p1=poly2str(p,'x') — 函数文件，显示数学多项式的形式p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27

2.roots —— 求多项式的根a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];p=poly(a)

p =

1.00 -6.00 -72.00 -27.00

r=roots(p)

r = 12.12

-5.73 —— 显然 r 是矩阵 a 的特征值 -0.39

当然我们可用 poly 令其返回多项式形式

p2=poly(r)

p2 =

1.00 -6.00 -72.00 -27.00

Matlab 规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示

3.conv,convs多项式乘运算例 :a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;

c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)

a=[1 2 3];b=[4 5 6];

c=conv(a,b)=conv([1 2 3],[4 5 6])

c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00

p=poly2str(c,'x')

p = 4 x^4 + 13 x^3 + 28 x^2 + 27 x + 18

4.deconv 多项式除运算a=[1 2 3];

c = [4.00 13.00 28.00 27.00 18.00]

d=deconv(c,a)d =4.00 5.00 6.00

[d,r]=deconv(c,a)余数c除 a后的整数

5. 多项式微分Matlab提供了 polyder 函数多项式的微分。命令格式：polyder(p): 求 p 的微分polyder(a,b): 求多项式 a,b乘积的微分[p,q]=polyder(a,b): 求多项式 a,b商的微分 ,即有理多项式求

导例： a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x')ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5b=polyder(a)b = 4 6 6 4poly2str(b,'x')ans =4 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 4

例：有理多项式求导num=10*[1 4 5 6 7]den=poly([-2;-1;-0.5;])

[p,q]=polyder(num,den) %num 分子多项式， den 分母多项式p =

10 70 195 200 -125 -390 -185

q =

　 1.0000 7.0000 19.2500 26.5000 19.2500 7.0000 1.0000

该结果证实：

1725.195.2625.197

1853901252001957010

)5.0)(1)(2(

7654(10

23456

23456

234

ssssss

ssssss

sss

ssss

ds

d

6. 多项式展开与组合

　 Matlab提供了函数 residue执行部分分式展开。命令格式： [r,p,k]=residue(b,a) 或者相应的逆运算 [b,a]=residue

[r,p,k]例： num=10*[1 4 5 6 7]

den=poly([-2;-1;-0.5;]) %根的形式[res,poles,k]=residue(num,den)[n,d]=residue(res,poles,k)

5105.0

1667.64

1

000.60

2

6667.6

)5.0)(1)(2(

7654(10 234

sssssss

ssss

7. 多项式估值 按数组运算规则计算多项式的值　 PA=polyval(p,S) p 为多项式， S 为矩阵，

矩阵 S 中每一个值代入多项式求值，结果是与 S 同维的矩阵。

按矩阵规则计算多项式的值　 PAM ＝ polyvalm(p,S) p 为多项式， S 为

矩阵，矩阵 S 作为变量代入多项式求出值，结果是与 S 同维的矩阵。

例：多项式计算s=rand(3),p=poly(s),pa=polyval(p,s),pm=polyvalm(p,s)s = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214p = 1.0000 -2.6628 1.9560 -0.4289pa =-0.1166 0.0075 0.0042

-0.1067 -0.0929 -0.3936 0.0009 -0.0422 -0.0647pm = 1.0e-015 * -0.3331 0.1665 -0.0555 -0.0260 -0.0555 -0.0451 -0.1665 0.2776 -0.3331

s=rand(3),a=1;p=poly(s),pa=polyval(p,a), pm=polyvalm(p,a) s = 0.6038 0.0153 0.9318 0.2722 0.7468 0.4660 0.1988 0.4451 0.4186 p = 1.0000 -1.7692 0.6195 -0.0378 pa = -0.1875 pm = -0.1875