,,... llllJH'it~"

. CHAPITREI THEORIE DE LA MACHINE ELECTRIQUE

GENERALISEE

JI.. Les machines lectriques sont gnralement classes en cinq types: a) la machine courant continu; b) le transformateur; c) la machine asynchrone; d) la machine synchrone; e) la machine collecteur courant alternatif.

On transforme l'nergie lectrique en nergie mcanique, (et inversement) dans toutes ces types de machines (sauf dans le transformateur)"4'our tudier les machines lectriques on fait appel l'une des trois mthodes bases sur :

l. la thorie du champ lectromagntique, (les quations de Maxwell);

2. la thorie des circuits (les lois de Kirchoff); 3. la mthode mixte combinant la thorie du champ et la

thorie des circuits. ,.

Connaissant le champ dans l'entrefer d'une machine lectrique, on peut dduire les quations de tensions, et l'aide des courants ou bien des flux on peut crire l'quation du couple lectromagntique, [2].

Par consquent, il est ncessaire de bien connatre la thorie du champ 6lectromagntique et la thorie des circuits (lectriques et magn6tiques).

10

I.1. Les lois lectromcaniques

Afin d'tudier les aspects de la transformation de l'nergie lectromcanique dans les machines lectriques, il faut tenir compte des considrations suivantes :

1. La transformation de l'nergie lectromcanique se produit avec un rendement infrieur 100%. Cela provient des pertes d'nergie qui apparaissent dans les lments de la machine lors de son fonctionnement.

Le rendement d'une machine lectrique s'exprime: - pour le rgime moteur:

11 m = (l - ~ p ) .1 0 0 % (1.1) a

- pour le rgime gnrateur:

Tl g = (l - pu~:~ p ) .1 0 0 % o: L\P - Les pertes de puissance;

PaCPu) - La puissance absorbe (utile).

(1.2)

2. Toutes les machines lectriques sont rversibles, c'est dire qu'elles peuvent fonctionner en moteur ou en gnra.leur.

Pour le rgime gnrateur, la puissance active sur l'arbre de la machine lectrique est transforme en une puissance lectrique ; et pour le rgime moteur la puissance du rseau lectrique est transforme en une puissance mcanique. La puissance ractive qui cre le champ magntique peut tre prise ou donne au rseau lectrique indpendamment du rgime du travail de la machine lectrique.

La machine lectrique est un 'concentrateur' d'nergie dans 1 entrefer. La puissance spcifique de l'entrefer de la machine ; c'est dire le rapport de la puissance de la machine sur le volume de l'entrefer, est exprime par:

L\W= PM ::::0,5 w3 ; (I.3) V entrefer mm

3. La transformation de l'nergie lectromcanique est ralise par les champs du stator et du rotor qui sont immobiles l'un par rapport l'autre. Il s'ensuit que.le glissement:

o = Wos Wr e

Wos

Il

(1.4)

.. : .... ~

r

o hlos - La vitesse angulaire du champ; Wr- La vitesse angulaire du rotor.

Les champs du rotor et du stator sont immobiles l'un par rapport l'autre et crent le couple lectromagntique:

C =Pern ; {,t) os

(1.5)

o Pe-m: La puissance lectromagntique concentre dans l'entrefer.

.;;- 1.2. Machine lectrique idalise. La machine lectrique idalise est une machine lectrique ayant les

hypothses suivantes: -L'entrefer est d"paisseur uniforme et l'effet d'encochage est

ngligeable; -La saturation du circuit magntique, l 'hysterisis et les courants de

Foucault sont ngligeables; -Les rsistances des enroulements ne varient pas avec la temprature

et on nglige l'effet de peau. -On admet de plus que la f.m.m cre par chacune des phases des

deux armatures est rpartition sinusodale.

Parmi les consquences importantes de ces hypothses, on peut citer: -L'additivit des flux; -la constance des inductances propres; -la loi de variation sinusodale des inductances mutuelles entre les

enroulements du stator et du rotor en fonction de l'angle lectrique de leurs axes magntiques.

ot 1.3. Machine lectrique gnralise.

Il existe deux modles de la machine lectrique gnralise: 1. Modle diphas de la machine gnralise; 2. Modle triphas de la machine gnralise.

La machine lectrique gnralise diphase est une machine ~ipolaire, biphase idale avec deux enroulements sur le stator et deux enroulements sur le rotor (Fig. 1.1 ).

12

21 t't $'!'1 j''h&r.,,.,tl~a .o.t~k~~~~.2

En plus des quations de tensions on peut crire I 'quatio caractrisant la position angulaire entre le stator et le rotor::

0:;: f Wrdt 0 - caractrise la positiofl angulaire du rotor par rapport au stator.

Cls

Usn

Ps 0

Fig.(1.1 ). Reprsentation d'une machine biphase gnralise

La machine lectrique gnralise triphase est une machine bipolaire triphase idale, avec six enroulements (trois sur le stator et trois sur le rotor), ( fig. 1.2),

A

a 0

w,. UA

Wc

WB ~.O Wb Ub b B -~c j uc J ~c Fig (1.2). Reprsentation d'une machine triphase gnralise

lJ

c

r 1

1

:t i~' ,, I'

,1

Pour ce modle, le nomhre r'q1n:ions ~lectriques ( par rapport aux enroulements du rotor et du stator ) est de six.

Du modle de la machine gnralise biphase, on peut obtenir n'importe quel modle de la machine lectrique.

If 1.3.1. Modle de la machine asynchrone (fig. 1.3). Les enroulements du stator sont aliments par les tensions Usa et

U513 , alors que pour l'alimentation des enroulements du rotor, deux cas sont envisageables:

a). Le rotor en court-circuit; aucune liaison galvanique n'est opre;

b ). Le rotor est bobin; il faut brancher les enroulements du rotor sur des rsistances ou encore sur une source de tension (double alimentation).

r / ....,.

Fig.(1.3 ).: Reprsentation d'une ma~ine asynchrone biphase

Pour obtenir la machine d.ouble alimentation, il faut appliquer aux enroulements du rotor des tensions de frquences f2

~ 1.3.2. Modle de la machine synchrone (fig. 1.4).

Pour Je stator nous avons le mme modle que la machine asynchrone avec des tensions d'alimentation Usa et U 513 de frquence f150 Hz.

14

ET H ! ' ~.i.I ., ' . , .

Pour Je rotor, il y a un enroulement d'excitation plac sur l'axe ar qui est aliment par une tension continue d'excitation Ur.

Si la machine est munie d'enroulements amortisseurs (appels enroulements de dmarrage pour le cas des moteurs), leur reprsentation est similaire celle des enroulements du rotor de la machine asynchrone. Les champs du stator et du rotor sont galement immobiles.

1 il.

li d

,:

1

,,. 1.3.4. Modle de la machine courant continu (fig. l.fj).

Les enroulements Winda et Windl:l se trouvent sur l'induit de la machine courant continu. Sur le stator, on trouve les enroulements suivants:

Ils

Wr: enroulement d'excitation spar; W5: enroulement d'excitation srie Wcom: enroulement de compensation Waux: enroulement des ples auxiliaires;

CF: Convertisseur de frquence mcanique,( collecteur de la machine courant continu ).

as

Wr urnoo

Wcom Waui

+-~ I CF 1 1 i

1

O

1-. Dans ces quations, les flux sont de la forme:

'If sa = Lsaisa + Msa-raira + Msa-rf3irf3 'If sf3 = L sf3 i sf3 + M sf3-ra ira + M sf3-rf3 i rf3 'l'ra =Lraira +Mra-saisa +Mra-s13is13;

'l'rf3 = Lrf3irf3 + Mrf3-saisa + Mrf3-sf3isf3 (1.7)

r5 , rr , Lsa , L513 , Lra , Lrf3 - les rsistances et les inductances propres des enroulements du stator et du rotor;

M sa-ra , M sf3-rf3 , M sa-rf3 , M ra-sf3 - les inductances mutuelles entre les phases statorique et rotoriq~e.

rt- Pour la machine idale:

r-Lsa = Lsf3 = Ls Lra = Lrf3 = Lr ; (1.8)

Si M est l'inductance mutuelle entre les enroulements du stator et du rotor pour }.:0 , alors on peut crire:

Msa-ra = Msf3--rf3 = Mcos(0) Msa-rf3 = Mrf3-sa = -M.sin(0) Mra-sf3 = Msl3-ra = M.sin(0)

Pour les flux , on peut crire:

'\j1 sa = L 5 .isa + M.c?s(0).ira - M.sin(0).irf3 '\jf sf3 = L 5 .is13 + M.sin(0).ira + M.cos(0).irf3

'\jf ra = Lr .ira + M:cos(0?.:isa '. M.sin(0).isf3; '\j1 rf3 = Lr .irB + M.cos(0).is13 - M.sin(0).i 5a

18

(1.9)

(l. l 0)

Les systmes d'axes du stator Us ~s et du rotor a. ~ tournent l'un par rapport l'autre avt:c la vitesse angulaire w : l'anglet} dpend de

r ffttc vitesse et varie en fonction du temps:

t

0 = f Wrdt ; 0

t (l.11)

Les systmes d'quations (1.6) et (1.10) obtenus sont compliqus et d~pcndent des coefficients variables.

Pour simplifier la rsolution du systme d'quations de dpart, on lui fait subir des transformations en remplaant les grandeurs variables naturelles, ( courants, flux embrasss et tensions) par d'autres grandeurs variables plus commodes utiliser; c'est dire qu'il faut obtenir un systme d'~quations diffrentielles avec des coefficients constants ..

A cet effet, on passe des axes naturels du stator ( Us ~s et du rotor u . ~.)aux axes runis pour le stator et le rotor U,V qai tournent avec une vitesse quelconque Wcoor, [4].

..

1'

1

1

1, 1

Le systme d'axes de coordonnes tourne avec la vitesse Wrnor par rapport au stator et avec la vitesse (Wrnor-Wr) par rapport au rotor. Cependant, il faut cohsidrer dans chaque enroulement du stator et du rotor la force lcctrnmotrice supplmentaire e .

Du moment que le rotor est immobile par rapport au stator, 1 'inductance mutuelle ehtre les enroulements du stator et du rotor devient une valeur constante et les coefficients des drives des courants sont galement constants.

'11.5. La transformation des quations diffrentielles.

On prsente la grandeur de chaque enroulement (par exemple i. u, '\jf) l'aide de leurs projections sur les axes U. V qui tournent avec la vitesse w ... 11 par rapport aux axes d'enroulements:

tlux 'V

a-t~ - les axes d'enroulements: U. V - les axes tournant avec Wrn,r

u

~

. "' ' . I /-

/ /

( a.

iua

iva

Fig.(1.9). Passag~ du systme UV au systme af3 a = iu cos()') - iv sin(y)

i~ = iu sin()')+ iv cos()') ( J.t2)

On procde de la mme faon pour les valeurs des tensions U et des

20

-"fv&v-i'wln:. ' A.

Considrons le passage du systme d'axes naturels (du stator Us l\11 et du rotor a, (3, ) aux axes runis U ,V .. Nous pouvons crire les expressions de U, 'V et i des enroulements statorique et rotorique en tenant rnmpte des angles forms par le systme U, V et le systme .. u."13' ("{!)et avec le systme a, (3, (y2) , ainsi que de l'angle 0,

0=Y1-Y2; (1.13)

~s 0

~r

Fig.(1.10). Passage du systme UV >> aux systme Cls,f3s et aR f3R >i

Les expressions des courants sont :

i sa = i su cos (y 1 ) - i sv sin (y 1 ) is13 = isu sin(')'1) + isv cos(Y1) ira = i ru cos ( ')' 2 ) - i rv sin ( ')' 2 )

i~ = iru sin (')'2) + rv cos(')'2);

Aussi on aura les expressions des tensions:

Usa = U su cos(')' 1) - U sv sin(')' 1) U sj3 = U su sin ( ')' 1 ) + U sv cos ( ')' 1 )

21

(l.14)

,li.Ji.:

1

,! ,I 1

1:, !

1 q : i,'

ii' il1

li 1i1 1: i:

'I

U ru = U ru cos (y 2 ) - U rv sin (y 2 ) U rP = U ru sin (Y2-) + U rv cos(y2)'

Par ailleurs, les expressions des flux:

'Il su ='JI su cos(y 1) -'l' sv sin (ylJ 'Il sf3 ='Il su sin (yl) + \jl sv cos(ylJ 'Il ra = 'l'ru cos(y2) -'l' rv sin (y2) 'Il rf3 ='Il ru sin (y2) + \jl rv cos(y2)

(1.15)

(I.16)

Pour dtenniner les quations de tensions de!i enroulements du stator (avec l'angle yl ), il faut remplacer les expressions des courants, des tensions, etdesflux (1.14), (1.15), (I.16)dans (1.6):

Usu COS(Y1 )- Usv sin(Y1) = i5urs cos(y1.)- i5vrs sin(y1) + d\jl su dy 1 .

+ --cos(y 1 ) - l1r . - sm}-rT/1 -dt . . 'Y su dt \ d\j/ sv si11(y ) - 'Il dy 1 cos( y ) dt .. ' 1 SV dt 1

(1.17)

U su sin( y 1) + U sv cos( y 1) = isu r5 sin(y1) + i5v rs cos( y 1) + d\jl su . dy 1 1 8

+--sm(y1)+\j/ 5u-COS(Y1)+ , ( .1 ) dt . dt d\jl SV dy 1

+---cos(y 1) -'l' sv -sm(y 1) dt dt

Multiplions (1.17) par cos(y1) et (1.18) par sin(y1) et faisons la somme des deux expressions ; aprs transfonnation , on obtient:

U su = i r + d\jl su dy 1 . sus ---\jl -dt SV dt (1.19)

22

_,'&*tf:lt}\,

Multiplions (l.17) par -sin(yi) et (l.18) par additionnons ces expressions :

d\jl SV dy J Usv = 'svrs +--+'l'su --dt dt

. ,,. De la mme faon pour les enroulements rotoriques, on ob~-~ ...

Avec:

U - , d\j/ ru dy ru- rurr+---\j/ __ 2 dt rv dt

ul"\' =irvrr + d'l'rv +\j/ dy2 . dt ru dt '

~~1 =Waxr - la vitesse angulaire du systme d'axes U, V par rapport au stator immobile;

(l.21)

d;: =(Clbu- -W.-) - la vitesse angulaire du systme d'axes cc U,V par rapport au rotor qui tourne la vitesse w, par rapport au 11tator immobile.

:/t On obtient le systme d'quations diffrentielles par rapport aux axes U, V tournant avec la vitessew,00,:

- . d\j/ su Usu - !surs +~-'l'svWcoor

d\jl SV U sv = lsv rs +~+'Il suWcoor

U . d\jl ru

ru = I ru r r + -- - 'Il rv ( W coor - W r ) dt

. d\jl rv U rv = 1 rv r r + -- + 'Il ru ( W coor - W r ) dt

23

(l.22)

/.

1 i

J

i,1

l

i,1lw.i (,,., !i'";,

11':' ,,

1 li 11 1

Les flux embrasss des enroulements sur les axes U,V sont:

'l'su =Lsisu +Miru 'l'sv =Lsisv +Mirv V ru = Lriru +Mi su V rv = Lrirv + Misv

d'o les eipressions suivantes des courants:

'l'suLr -vruM 1su = ~sLr -MZ 'If svLr -v rvM sv = 2 LsLr -M V ru Ls - V su M ru =

LsLr -M2 . V rv Ls - V sv M lrv =

-ILL -M 2 s r

(1.23)

(1.24)

( En utilisant les expressions (1.24), on peut crire le systme

d'quations diffrentielles par rapport aux flux:

V K K ' r

905

9or

de coordonnes U,V par rapport au stator; , la vitesse angulaire de rotation du rotor.

- la phase initiale des tensions des' enroulements du

stator par-rapport aux axes U,V ; la phase initiale des tensions des enroulements du

rotdr par rapport aux axes U, V . 1'

~ 1.6., Utilisation des diffrents systmes d'axes de coordonnes de la machine lectrique gnralise.

Pour tudier la thorie des processus transitoires des machi~s 6lectriques, on utilise trois systmes d'axes de coordonnes qui sont des cas particulier du systme d'axes U,V >>., ,

25

' i 1

,, '

i i " .,,

!I d

!i

li

1) Le systme d'axes a,(3. Ce systme d'axes est immobile par 'rapport au stator ( w = o ), fig.(1.11 ). Pour les formules (1.22), (1.25),

coor

(1.26) et (1.27) il faut prendre w nulle et remplacer les indices U et V" ' coor

par a et ~:

a Wsa ~----:, ~ ( ffi.:oor=O

1 era

p , w,p . w,p Wm ( O-r w u : A , . . Ur~ l er., ( Fig.(1.11). Systme d'axes af3

'

- . d'if S(l Usa -tsars+--dt

. d'if sf3 Us13 = lsf3rs +-. -

dt . d'if ra

U ra = 1rarr +--+'Il rf3Wr dt

. . d'if rf3 U rf3 = lrf3rr +---'V raWr

dt

(1.28)

~Les tensions dans ce systme varient en fonction du temps comme des valeurs sinusodales. Le courant i dans ce systme est un courant

sa

rel d'une phase statorique.kC'est un avantage pour ce systme tl'axes puisqu'il ne ncessite pas une transformation vers le systme rel. Ce systme peut tre utilis pour tudier les rgimes de dlnarrage et de freinage des machines courant alternatif avec le branchement de rsistances supplmentaires au niveau, du circuit du stator. L'utilisation de ce systme est possible pour les machines courant alternatif et les transformateurs.

26

~ 2) Le systme d'axes d,q . Ce systme d'axes est immobile par rapport au rotor tournant une vitesse w , ( w =w ), fig.(I.12). De

r mT r manire analogue, dans les formules (I.22), (1.25 ), (1.26 ), et (1.27) il faut passer au systme d'axes d,q en prenant w = (!) et en remplaant les

c o or r

indices U et V par d, q : t d

( csd -0-Wsd Usd

W..oor=W,

Wrd Urd

Wsq Wrq

q

Urq 1

0 csq l'sq 1

Fig.(I.12). Systme d'axes dq .

. d'if s U s = 1 s r s + ~ - 'Il sq W r

11 d'if sq

Usq =lsqrs +-d-+'lfsWr 1 t

Us = U ms cos[(Wos -Wr ). t + Oos] Usq =Umssin[(w 0 s -Wr).t+0 0 s]

, U . d'if r \ r = 1rrr +--. . dt

' U . d'if rq ~, rq = 1 rq r r + --dt

(I.29)

Ur =UmrCOS(Wort+Oor) Urq =Umrsin(Wort+Onr>

*Le systme d"axes d.q est utilis pour tudier les processus 1rnnsitoires dans les machines synchrones et dans les machines asynchrones uvec une connexion non symtrique des circuits du rotor. Pour la machine

27

>_.i,

1 :1 i 1

I''

''!'1 1, !

'i ,(1

ii1

'1' 1 li !I'

il 'i!

11 1 ~,I, 11:r

!'

asynchrone la frquence du rotor f et la vitesse angulaire du hamp or

sont nulles.. Par consquent les tensions et les rotorique w = 27t. f or or

courants du rotor sont des paramtres continus .

~ 3) Le systme d"axes 'XY : Le troisime systme d'axes tourne avec la vitesse du champ lectromagntique cr par les enroulements du stator ( systme X, Y avec W00,=w0.) Fig(l.13 ).

Ce systme d'axes est immobile iectromagntique de la machine lectrique .

par rapport au champ

Les quations de la machine lectrique gnralise sur les axes X,Y sont:

:U . d'if sx sx = 1sx rs + -- - 'V syWos

' dt . . d'if sy /~ U sy = lsy rs + ili +'Il sxCilos

.~ 1 ~

d'if rx :. Urx =rxfr +---Vry(W.A..-Wr)

dt ~ ...

. d'if ry , Ury= lryrr +--+'l'rx(WllJrx -Wr) ' dt V";>

U sx = U ms COS 0 os Usy = Ums sin~os u rx = u mr cos[

1: : !.i 1 1

i 111.

t

111 r/1 ' !

11

'" ,, "' l '/' :;.

i,

s = U mej0os.e.KCos -wcoor) t

ir = Umej0cr .e.KCcr+Cr-Wccxr) t (1.32

Le systme d'quations diffrentielles sous forme complexe devien en utilisant les axes U,V tournant une vitesse quelconque Wcoor

d-- -; "'s -us= Isrs+--+ J'l'sCcoor dt

d~ - . 'V r . - ( )

Tir= irrr+ili+ J'I' r Ccoor~wr (1.33

Si on utilise un autre systme d'axes de coordonnes , il faU! remplacer, dans le systme (1.33), la vitesse correspondante ce nouvea systme d'axes . Par exemple , pour les axes a,~ o w coor = 0,

ls= U 01 .c.0os.c'l".t d-

_ 7 . 'Ifs -isfsT~

~ lr= Umej0or.efllor+wr).t; ( . - d'if

= rrr + __ r - Jw dt "'rWr

Pour les axes d,q o

I'

! 1

1 11'

1

' !1 1

' il 'I' 'i'' i' ' il'

1

,.

' l 1 i'.

I

l'i

liL 1

1

'" '"

'V sA = LsisA + M>AB isB +MAC isC + + M Aa ira+ M Ab i rb + M Ac i rc

'V sB = LsisB + M AB isA + M BC isC + + M Ba ira + M B b i rb + M B c i rc

'V sC = L si sC + MAC i sA + M BC i sB + + M Ca i ra + M C b i rb + M Cc i rc

'V ra= L ri ra+ M Aa i sA + M Bai sB + + M Ca i sC + M ab i rb + Mac i rc

'l'rb = Lrirb + MAbisA + M BbisB + + M Cb isC + M ab ira+ M be i rc

'V rc = L r i rc + M Ac i sA + M B c i s B +

+ M Cc i sC + M ac ira + M be rb

o L,. L,: inductances propres du stator et du rotor ; , .

(I.3

Mk-n - inductance mutuelle entre l'enroulement f' k et I' enrouleme n .

Les inductances mutuelles entre les diffrentes phases et enroulements statorique et rotorique sont dfinies comme suit :

MAa = MB~Cc = M .cos0 ( . 27t

MAb = MBc = Mca = M .cos(0 +-) 3

47t MAc=Msa=Mcb=M .cos(0+3)

MAB= Msc= MAc= Mab= Moc= Mac= M ' 27t .

cos-3

(1.36

o M- l'inductance mutuelle entre les diffrentes phases du stator et du rotor pour 0 =0 .

.Pour la machine idale on ne tient pas compte des harmoniqu suprieurs du champ magntique dans l'entrefer . Ainsi on calcul 1 inductancey' m~tuelles entre les diffrentes' phases du stator et ~u rot suivant le tableau (Tab. 1.1)

32

Stator Rotor Axes A B c a b c

Stator A (~. -CX5 M -0,5 M Ml M2 M3 B -0,5 M L~~,, -0,5 M M3 Ml M2 c -0,5 M -0,5 M Ls M2 M3 Ml

Rotor a Ml M3 M2 Li -0,5 M -0,5M. b M2 Ml ' M3 -0,5 M Lr ~0,5M c M3 M2 Ml -0,5 M -0,5 M Lr

Tab. 1.1. Ml= M.cos0; M2 = M.cos(0+27r/3); M3 == M.cos(0+47r/3)

On obtient les quations diffrentielles de Ill machine gnralise triphase sur des axes rels pour ie stator et pour le rotor. La rsolution de ce systme est difficile ; savoir :

I. les systmes (1.34) et (1.35) comptent un grand nombre d'inconnues (six phases du stator et du rotorY;

Q. Les coefficients rgissants ces systmes sont variables avec la position

Pour simplifier la rsolution des quations (1.34) et (1.3~) , il faut utiliser les systmes d'axes runis triphass pour le stator et pour ie rotor de la mme manire que pour les systmes biphass. Les axes runis triphass cc U, V,T -tournent avec une vitesse quelconque. Le modle de la machine lectrique gnralise triphase selon U,V,T est prsent sur la fig.(1.14).

1 .

-~~...__V Usu esu

lroor U-u

., V~~ ""ff ' ' T esT

Fig.(1.14). Systme.d'axes runis triphas UVT . De la mme faon que pour la transformation de la macbi~

blphas6e, on introduit pour la machine triphase des forces lec~omotrices 33 .

_,..,---- ,,, .. ~~

1,1, 1

I'.' .:1

1'

1,'1 1

'1: 1111

1111

jlj'

H

i: i il j)' ,,

il: Il !11 tt 1

1

supplmentaires e qui sont cres par la diffrence de vitesse entre 1 axes U,V,T et le stator-rotor.

Le systme d'quations diffrentielles de .la machine lectriqUI gnralise sur les axes U,V,T est;

. d "'su usu = isurs+-d-t--esu

. d \If SV usv = isvrs +-d-- esv

. t

. d 'If sT UsT= IsTrs+-d-t--esT

. d'lfru uru = Jrurr +~-eru

. d'lfrv urv = Jrvrr +~-erv

. d 'I' rT UrT = IrTrr +-d-t--erT

Les force lectromotrices supplmentaires:

w coor esu =('If sv - 'If sT> ..f3

w coor esv=

'li .1

1:

1'1:

i ,. ,,

jLl,i:

,1

1 "'' l,

1

:11: '11,I ,1

1

1 1

1

1'

"l'','i 1 ,1

111

1

1 1 11: ri,1,,: ii

i'

ltl 1

'I ,i

,1

X.

Il faut ajouter (1.42)) 'expression du courant i0

:

. . 1 (. . . ) lu=- lA +1s+1c ; 3 .

Les formules (I.42) et (I.42a) sont utilises pour systme triphas au systme biphas sous forme de matrice:

cose lu

1 2 ly =-l-sin0 . 3 10 1 ]

2

cos(0 + 27t) 3

- sin(0 + 27t) 1 3

2

47t cos(0+-)

/ 3 iA 47t .

-sin(0+-) la 3 .

I 1c 2

La matrice A est appele matrice de PARK

cose

. 2 IAI = 3j-Wi8 1 2

cos(e + 2rt) 3

-sin(e+ 2rt) 1 3

2

cos(8 + 4rt) 3

- sin(8 + 4rt -)

1 3

2

(I.42a) le passage du 1

(I.43)

J (I.44)

Pour la transformation inverse, c'est dire pour le passage du systme biphas au systme triphas (qui peut tre le systme rel), il faut utiliser la matrice inverse:

cose

IA -11=lcos(0+27t) 3

47t cos(0+-)

3

-sine . (0 27t

-sm +-) 3

. (0 47t -sm +-)

3

J. (I.45)

t Si le systme d'axes biphas est immobile par rapport au systme d"axes triphas, c'est dire pour le systme a-f3 la vitesse de rotation des axes,est nulle w""" = O; on obtient la transformation de CLARK et la matrice de CLARK :

'8

- l.. - l..

IB 1J1-2 2

X 0 - .J3 ../31 \ 3 2 2 (1.46)

1 1 1 2 2 2

et

0

1B- 1l=l-i -f li : (I.46a) _ l. J3

2 2

En utilisant (I.46) et (l.46a) on passe d'un systme triphas au systme biphas:

la iA i J3 = IBI. IB (1.47) io ic

et inversement, on passe du systme biphas au systme triphas par:

""' iA la

IB = IB -.11. i 1 . (I.47a) J3 ic io

La mme transf,ormation de Park dfinira leS,.ourants, les flux et les tensions d'ax~s (uvo). Cette transformation faite de l'galit des amplitudes ne conduit pas l'quivalence des puissances. La transformation de Park s'applique gnralement au systme (dqo).{ t' )\

Un seconde transformation s'impose. La transformation modifie de Park repose sur l'invariance des puissances instantanes dans les deux systmes d'axes (abc) et (dqo), ce qui conduit, de toute vidence, leur

~valence physique.

39

' ,...-- .w. ... 1il:>

1

... 1.11

'11,

,,l11i '

11 1, i(

';, ! ::1

1 111

il! ,i

11 ri ' 1,

I' 11", ...

~' I,

'1 1 ili

Il 1111 :111:,

ji

11 .i

,.,.,

La matrices de passage de Park n'est pas orthogonale. En divisa chaque vecteur colonne par sa nonne on obtient une matrice orthogonale di~. 1.'~lransfonnation de Park modifie.

cos0 [ ] - FI/-sin0 A P - fj r;:;

1 I v2

cos(0+~n13) -sin(0+2n/3)

11 Ji

cos(0+4n13) -sin(0+4n13)

11 Ji

cos0 [Ap-IJ=~/ cos(0+2n/3) cos(0+4n13)

-sin0 - sin(0+2n13) - sfo(0+4n13)

11 J2 li J2 11 Ji

(1.48)

Honnis linvariance de la puissance, cette nouveJle transfonnatio conduit a des schmas o les inductances sont rciproques.

Lorsque les sommes des composantes relles (abc) sont nulles l'quation traduisant la composante homopolaire, toujours vrifie c identiquement nulJe, devient inutile.

Un rsultat fondamental de cette transfonnation applique au rgim_, sinusodal pennanent : si le repre dq tourne la vitesse de synchronism les courants

r

.,,

En remplaant Usu et Usv par leurs ~lpressions dans (1.54), on obtient: ~ t ~ '

P .2 d'l'su . . a =rslsu +---lsu -'l'svlsuWcoor + dt

2 d'\jl SV + rslsv +--Isv + 'I' su 1svWcoor

dt

( d'\jl SU d'\jl SV ) ( \,,, + = --Isu +--Isv + 'l'sulsv -'l'sv 1suf"coor dt dt

( .2 .2 ') + rslsu + rslsv

L'expression (1.56) est compose de trois parties:

(1.56)

(d'l'su. d'l'sv. ) --Isu +--tsv

dt dt - la rserve d'nergie lectromagntique

ou variation d'nergie; ('1' su isv - 'I' svisu ~coor - la puissance lectromagntique; {rsiiu + rsi~v )- les pertes par effet Joule.

Sachant que Pern =Ce .Warr, o.~ obtient

c t! = ( '\jl SU j SV - '\jl SV i SU ) o

'V su = Ls.su + M.iru

'V sv = Ls.sv + M.irv

En remplaant '\jl su et '\jf sv par leurs expressions Ce = M(iruisv - rvisu)

..... ,

En tenant compte de (1.50), le couple devient,

Ce = P('I' susv -'\jl sv isu)

(1.57)

(1.58)

(1.59)

L __ .. 42

Ce= pM(iruisv - irvisu) ; . (I.59a)

De manire analogue, on peut dterminer le couple en fonction des paramtres rotoriques.

Dtem1inons les courants en fonctions des flux;

'\jl su = L s i su + M ru 'l'ru = Lriru - Misu

Par soustraction, on obtient :

XL r X M

'V su L r - 'V ru M = ( L s L r - M 2 ) i su

On obtient l'expression du couple en fonction des flux

M . Ce= p 2 ('l'ru'l'sv -'l'rv'l'su);

LsLr - M

Pour la machine polyphase ( m phases ) ramene biphase, il faut niultiplier toutes les expressions

"lectromagntique par le coefficient K= m/2 ; par exemple:

mp (. . . ) . C = 2 '\jl SU l SV - '\jl SV l SU '

( 1.60)

la machine du ~ouple

(l.61)

On peut conclure que le modle mathmatique de la machine lectrique 9nralise biphase par rapport aux axes U,V tournants une vitesse CA> ,.00r se rsume comme suit:

~

43

~ ..

1 i.JJ, ;11

d'ljf su U su = k 1 '\jf su - k 2 'ljf ru + -- - W coor 'ljf sv dt

d'\jf SV u SV = k 1 '\jf SV - k 2 'ljf IV + -- + w coor 'ljf su dt

d'ljf ru O=k1'1jfru -k4'\jfsu +---(Wcoor -Wr)'lj!IV

- dt d'\jf IV

0 = k 3 '\jf IV - k 4 '\jf sv + ~ + ( W coor - W r )'ljf ru C=k

1

5('\jfsv'ljfru -'ljfsu'lj!IV) dwr

k 5 ( 'ljf SV 'ljf ru - 'ljf su 'ljf IV ) - c st = k 6 "dt

(I.62)

Les coefficients K 1, K2, K3 et K4 sont dtermines par rapport (I.2~) et lll'k1 M . ! '~

i

Ks = p L L -M~ , s r

K6 =_:!_ p

( I.63)

Le systme quations (I.62) peut tre utilis pour tudier les diffrents types des mahines lectriques.

1.1.":' :111 ~ 1.11. Modlisation des machines lectriques en tenant compte de '! la non linarit des paramtres.

" 1:: Les causes de l ~on linarit des coefficients et des paramtres dans

les machines lectriques sont de diffrentes natures. La rsistance rotorique varie cause de l'effet de peau, ; alors que le

{ : rsistance statorique dpend de la temprature. Les inductances sont lies la saturation. Le moment d'inertie dpend de la frquence de rotation. Les paramtres de la machine dpendent de la tension, de la charge, ... Dans le cas gnral, ils sont fonction du temps.

Pour la modlisation de la machine deux approches sont envisageables :

'1.

l) l'introduction de coeffitients non linaires dans le systme d'quations; ~ le remplacement de l'quation non linaire par un nombre donn

, d'quations linaires avec des coefficients constants.

44

Le modle spatial de la machine avec des coefficients non linaires est prsent par la fig.(I.16).

.~~"-W.. Rs(t) L

( \

Usa

1 Rs(t) Rr(t) (--Lr(t)

I,.s(t) Lr(t) Rr(t) _

~. ~ ~ . Ura

usp urp

Fig.(I. 16). Modle non linaire de la machine lectrique.

Le modle mathmatique est de la forme :

Usa 1 1 r5 (t)+!!. Ls(t) !!_ M(t) 0 0 dt \ dt d d M(t)Wr U I j -M{t) rr(t)+-L~(t) Lr(t)Wr

ru= dt dt IX d d

~: 11 -M(t)Wr -Lr(l)Wr rr(t)+-Lr(l) -M(t)

. dt dt . 0 0 d

d -M(t) rs(t)+-Ls(t) dt dt -

isa

iru XI

1 (1.64)

i rf3

ts j

~.

45

,,,.---- ~' .. ~ ..

111 "1111

1 li ' 1

;i il J

! ,1 111111 11111

"' . \, ;,!I

il)'

La non linarit des paramtres dans le systme d'quations fait ,, apparatre des spectres d'harmoniques de champ.

Chaque harmonique peut tre reprsent dans le modle spatial par une paire d'enroulements sur le stator ou sur le rotor en lui appliquant une tension sinusodale d'amplitude et de frquence correspondantes avec un dphasage dfini.

1.12.Modle de la machine gnralise en tenant compte de la saturation.

Pour minimiser le poids de la machine, au cours de le conception, le point de fonctionnement est choisi dans la zone du coude de la caractristique de magntisation.

Au cours de la variation de la tension, de la frquence et de la charge le phnomne de saturation varie. ce qui influe sur les caractristiques de la i machine. Pour obtenir des rsultats de simulation plus prcis , il est ncessaire de tenir compte de la variation temporelle des ractances propres et mutuelles en rgime transitoire ou tal:>.li : L = f1 (t) , M = f2 (t) et 10 ' = f 3 (t). '

Les ractances de fuite des enro.Aements statoriques et rotoriques , n'ont pas une mme loi de variation ; par consquent 1, et Ir varient diffremment.

Comme approche de rsolution, on suppose que les flux de fuite se referment travers l'air et que les ractances de fuite statoriques et rotoriques ne dpendent pas de la saturation ; et que L et M varient suivant une mme loi, [32]:

Ls (t) = M(t) + 10 s Lr(t) = M(t) + 10 r ; (1.65)

Le~ expressions du flux dans le repre a.~ seront de la forme:

'l'sa = Ls(t)isa + M(t)ira 'l's13=Ls(t)is13+M(t)ir13. 'l'ra =Lr(tlira +M(t)isa' 'I' rf3 = Lr (t)j rf3 + M(t) sf3

46

(1.66)

Posons

n>toriques courant de magntisation suivant

Le systme d'quations des tensions devient:

Usa =rsisa +los~isa +~{M(t)imO:} dt dt

U513=rsisf3+1 0 s ~i 813 +~{M(t)im13} dt dt Ura =rrira +lor~ira +~{M(t)ima}+wr[Lrirf3 +M(t)imf3]

dt dt

(1.67)

U rf3 = rri rf3 + lor ~ rf3 + ~ {M(t)im13}- Ci>r (Lrira + M(t)i ma] dt dt

L'quation du couple,

fe = pM(t)[im13ira - imairf3];. (l.68) Dans les machines lectriques aux fuites importantes, on peut

considrer comme non linaire la variation de la ractance de fuite seulement

L8 (t)=M+l 05 (t); Lr(t)=M+lor(t) ; (1.69)

Le systme d'quations des tensions prendra la forme suivante:

~

47

,,-----

r

11~,I

,i, "lt .. (t !'

L

Usa ~rs~sa +~{lasisa}+ M~ima . . dt . . dt

U sf3 = rsisf3 + ~{1 0sisf3} + M ~ imf3 dt dt ; (1.70)

Ura =rrira +~{lorircx}+M~ima +wr[Lrir13 +Mim13] dt dt .. Ur13 =rrirf3 +~{10rir13}+M~im13-wr[Lrira +Mima] dt dt

1 Par rapport aux inductances mutuelles, celles de fuite ont une plus ,\

grande influence sur les valeurs chocs des courants, des couples , ainsi que " sur la dure du phnomne transitoire. La. prsence de la non linarit dans le systme d'quations entrane une variation trs accentue des paramtres au dbut du phnomne transitoire.

~ 1.13.L'effet de peau dans le modle de la machine gnralise. La variation de la rsistance des enroulements est due la variation '

de la temprature, ou l'effet de peau au cours de la variation de la frquence. En gnral, la variation de la rsistance sous ) 'influence de la temprature est trs faible et n'influe pas sur la dynamique de la mach'ine ; . contrairement l'effet de peau.

Au cours de la variation de la vitesse , la frquence du courant rotorique varie entranant une distribution non uniforme de la densit du courant par rapport la hauteur du conducteur situ dans J'encoche, (fig.1.17). Le courant dans le conducteur .( ou les conducteurs) varie par rapport la hauteur de l'encoche cause de la diffrence de ractances des conducteurs placs en bas et haut des encoches ( il y a variation de l'amplitude et de la phase du courant). La distribution de ~I par rapport la hauteur de l'encoche est reprsente sur la fig.(1.17) ; [ 32 ;33 ]

h D 1 n D n-1

CJ CJ b ~

2

Al

Fig.(1.17). Distrib1,1tion du c:ourant par rapport " la hauteur de l'encoche.

48

La variation de la rsistance due J 'effet de peau dpend du type d'enroulement, de la gomtrie ds encoches, du nombre et des dimensions des :onduct~u~lmenta!res, du matriau ... etc. La ractance de fuite varie 11uss1 sous I'mfllience del effet de peau.

Aprs avoir dtermin la loi de variation de 'ta .rsistance et de la ractance, le systme d'quations peut tre prsent sous la forme:

avec:;

. 1 U rs . M . 1 --- ---1 -'-1 sa-LP sa LPsa L ra

s s s

. l U r5 M . lsf3 = L P sf3 - L p ls~ -Llrf3

s s s

. rr . l A M . l =---1 --C --1 ra LrP ra p r Lr .sa

. rr . 1 B M . l A =---1 A --C --1 A r.., L P r.., p r L . s.,

r r

Ce = pM Os13ircx - isair13) dCr p -- =-(Ce -Cst)

dt J

M. \A= irf3 + Lr 1sf3 et M. B -i +-sa - ra Lr

(1.71)

La variation non linaire de la rsistance rotorique a une influence directe sur le dmarrage des moteurs .

~-49

... l.i11_~,~ ... ,,-----