「 Numazu Workshop 2009 」

微視的物理を考慮した　　　　　　　　　　数値相対論コード

国立天文台　理論研究部関口　雄一郎

共同研究者：　　柴田大 ( 京大基研 ) 、　木内健太 ( 早稲田大 ) 　 　　　　　　　谷口敬介 ( ＵＷＭ ) 、　瓜生康史

( 琉球大 )

数値相対論

大質量星の重力崩壊

コンパクト星連星の合体

恒星進化

高エネルギー天体現象

状態方程式

電子捕獲反応

ニュートリノ

輸送

ニュートリノ

生成

A03

A02 A04

数値相対論

大質量星の重力崩壊

コンパクト星連星の合体

観測：重力波・ニュートリノ天文学

恒星進化

高エネルギー天体現象

重力波 ニュートリノ

状態方程式

電子捕獲反応

ニュートリノ

輸送

ニュートリノ

生成

微視的物理と重力波大質量星の重力崩壊における、コアバウンスからの重力波

YS & M. Shibata (2005)

電子捕獲反応：大　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　小 核密度以上ＥＯＳ： stiff soft

A02A03

微視的物理と重力波中性子星連星の合体による、 BH 形成からの重力波

Kiuchi, YS et al. in prep.

A02A03

目次

• 超新星爆発 primer

• ＧＲの重要性• ＧＲコードの現状• （共同）研究• まとめ

SN mechanism (Infall ~ Bounce)

3/4

電子捕獲反応　　光分解反応に

より不安定化

P

1210~ 1410~

3/4

Neutrino trapping

核密度に達して　　　　状態方程式が硬

くなる2

コアバウンス

H

HeC+O

Si

Fe

SN mechanism (shock stall)

• 衝撃波はその伝播とともにエネルギーを失う

1

core

2

solar

core51initshock, 10km

erg103~

R

M

ME

2

12

1

shock2

3

solar

core39

shock51hydro km100g/cm10

erg/s10~ RR

M

ML

2

32

3

shock2

1

solar

core39

shock52photo 100kmg/cm10

erg/s10~ RR

M

ML

3

shock

6

39shock52

100kmMeV4g/cm10 erg/s10~

RkTL

dtLLdtLEE )( photohydroinitshock,shock

初期衝撃波エネルギー

Shock dissipation

Photo-dissociation

Neutrino cooling

• Neutrino cooling (electron capture) rate :

• Neutrino heating (neutrino capture) rate :

– cooling = heating 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　となる 「 gain radius 」 の存在

– gain radius と衝撃波面の間で heating 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (e.g. Janka et al. (2006) Phys. Rep. 442, 38)

– Neutrino heating による shock revival (Delayed explosion)

6 6 T r 2 2L r r

2 251 -heated

heat 53~ 3 10 erg/s

0.1 10 erg/s 15MeV 200km

M L rL

M

PNS

6cooling 1/ r2heating 1/r

Shock front

gain radius

Wilson (1985) in “Numerical Astrophysics”

SN mechanism (neutrino heating)

• Delayed explosion 成功のために

• 　　　　 　　　　であることが必要

• heating 効率を上げる and/or 滞在時間を長くする– 　– Advection time を長くする　　対流？　 SASI?

• 多次元計算が必要

SN mechanism (ν-driven SN)

2

solar

core

21

53

sphereucoreheating km100MeV4erg/s10

ms 25~~

r

M

ML

rQ

mGMt

advt : gain region に滞在する時間

advheating tt

,sphereL を大きくする

Note: GR の重要性

• 電子捕獲反応・ ν 冷却• 高密度状態方程式• 重力波

SN mechanism (Infall ~ Bounce)

3/4

電子捕獲反応　　光分解反応に

より不安定化

P

1210~ 1410~

3/4

Neutrino trapping

核密度に達して　　　　状態方程式が硬

くなる2

コアバウンス

H

HeC+O

Si

Fe

温故知新

22GR crit, )1(78.23

4 ~ 78.2

3

4

Rc

GMO

c

P

Chandrasekhar 1964, 1965

A03A02

弱い相互作用

trapping)- capture,-(e rateson weak depends :~

3/4

initlepton,

bouncelepton,

Y

Yd

Sh

ock e

nerg

y @

bou

nce (

10

52

erg

)

Log

(S

hock e

nerg

y @

eje

cti

on

)

Takahara & Sato (1984) PTP 72, 978

A03A02

高密度状態方程式S

hock v

elo

cit

y @

300 k

m

(1000

km

/s)

Incompressibility K(sym) (MeV)

22GR crit, 78.23

4 ~ 78.2

3

4

Rc

GM

c

P

Van Riper (1988) ApJ 326, 235

A03A02

ニュートリノ2

sphere, rate heating- L

NT Hydro + NT TransGR Hydro + NT TransGR Hydro + GR Trans

NT + NT

GR + NT

GR + GR

GR hydro: Hot νsphere GR Trans: red shift,

time dilation

GR hydro: Hot νsphere

GR Trans: red shift,

time dilation

Bruenn et al. (2001) ApJ 560, 326

A03A02

重力波• 回転重力崩壊におけるコアバウンス時の重力波

Dimmelmeier et al (2002) A&A 393, 523

GR

Newton

J 保存で遠心力： γeff = 5/3 ⇒ Newtonian では安定　　　　　　 GR では崩壊ダイナミクスが大きく異なる

場合がある

重力波波形の精確な計算のためには GR は重要

A03

GR コードの現状

• 現コードのまとめ• どんなことができるか？

数値相対論• 解き明かしたい重力現象

– 強重力場 ( 非線形性 ) での一般相対論のテスト• ブラックホール形成の瞬間• 重力波放出

– 強重力場高密度物質の情報を運ぶ– コンパクト連星系の合体 , 重力崩壊 , コンパクト星の振

動

– 高エネルギー天体現象 (small δt implies compact source)• γ 線バースト , 超新星 , etc

• 理論に基づく予言 ⇔ 観測• Einstein 方程式 : 非線形偏微分方程式

– 解析解の構成が困難• 時空に高い対称性 , 簡単な物質場の記述

– 動的時空を近似することなく数値的に解く

数値相対論•

– Spacelike foliation Σt characterized by a closed one form Ωa on M

• normalized one form :

• unit normal vector to Σt :

• Dual vector to Ωa can be time direction :

• α: lapse function– 時間の進め方の自由度

• β: shift vector– 空間座標の選び方の自由度

( , ) ( , , )ab t ab abM g K

2, ( )a a ab a bg

a aban g

, 0a a a aat n

2 2 2( ) 2k i i ji ijds dt dtdx dx dx

数値相対論

• 　

• 　

• 　　

•

• Energy momentum tensor :

8a b a bab abG n n T n n (3) 2 16ij

ij hR K K K Hamiltonian constraint

8a aab abG n T n ( ) 8ij ij i

jD K K j momentum constraint

8ab abG T 4 [ ( ) 2 ]ij h ijS S

2 ]lt ij i j ij il j ijK DD R K K KK L

Kab の発展方程式

Kab の定義式 2t ij ijK L γab の発展方程式

( )ab h a b a b abT n n n j S a b

h abT n n a a b

bj T n ab abS T

基本幾何学量の時間方向の微分を含まない

可積分条件

数値相対論

( )

2

TF4

( )

1

62

23

14 ( )

3

2

2

3

k kt k k

k k kt k ij ij k i j ij k

k k ijt k k ij h

k kt k ij ij i j ij ik j

k kk i j ij k

K

A

K D D A A K S

A e R D D KA A A

A A

4 TF

( )

8 ( )

216 2 ( ) ( )

3

1 2 2 6

2 3

k jk l l lt k i i ij k k l ij k l i j ij l

kj j kj jk kj ik j i ik j i kj i k i

e S

F j A

A A A A A K

基本方程式 : (BSSN (Shibata-Nakamura) formarism)

数値相対論：現状• 有限温度高密度状態方程式 (Shen et al. 1998)

– 相対論的平均場近似 ( 音速が光速を超えない )– + Sumiyoshi & Nakazato extension

• Weak Interactions– 電子 (ν) 捕獲反応 (Fuller et al.1985)

• Thermal unblocking 含む– ニュートリノ対生成

• 電子対消滅 (Cooperstein et al. 1986)• Plasmon decay (Ruffert et al. 1996)• Bremsstrahlung (Burrows et al. 2004)

• ニュートリノ冷却 (YS 2008)– (e, n, p, A) – scattering

• Ion correlation, etc 含む– (n, p, A) – absorption

xa

xa

ea

ea

ea

ea

Yea

ea

aa

SuY

SuY

SuY

SuY

u

)(

)(

)(

)(

0)(

baba

baba

QT

QT

)(

)( Matter

A03A02

球対称星の崩壊• 1D GR Boltzmann 計算とよく一致　　　　　　　

　　　　　　 (ρ,Ye, entropy profiles, neutrino energy)

Liebendoerfer et al. (2004)　 10ms after bounce

Spherical 15 solar mass model by Woosley et al. (2001)

A03

Ye 197.8 ms199.7 ms201.3 ms202.8 ms

206.7 ms211.9 ms215.5 ms217.3 ms

Ye contours

原始中性子星の対流

(unstable) 0 :criterion Ledoux ,,

dr

ds

sdr

dY

YlYP

l

sPl

15Msolar model by Woosley et al. 2002

Ye contour

negative/positive negative

A03A02

対流からの重力波

15Msolar model by Woosley et al. 2002

YS (2009)

重力波スペクトルにいくつかのピーク： 対流のスケールに相当

2ompnonsphe21

2

2nonsphe 1.0km50D

kpc10

0.20.0510~~

c

vRC

c

v

D

R

Rc

GMh

A03A02

回転重力崩壊20Msolar model by Heger et al. 2000

対流

バウンス

YS (2009)

現状ではもっとも洗練された重力波波形

A03

A03

回転重力崩壊でBH も作れる

( 共同 ) 研究

• 状態方程式• Weak rate

• 星の進化• 一般相対論的 ν 輻射輸送• 大質量星の重力崩壊

状態方程式• ( 相対論的 ) 「有限温度」状態方程式

– 音速が光速を超えないことが望ましい– 現状では平均場近似： Shen et al. (1998) + α

• Thomas-Fermi ＋ spherical cell 近似

• (ρ,Ye, T) でテーブル化– 広範囲テーブル :

• シミュレーションでは微分が必要 ⇒ テーブル化– 衝撃波捕獲法での特性速度の計算– 陰的解法 (Newton 法 ) における微分の計算– 熱力学第一法則を考慮した内挿が可能

• GR 計算では重要

MeV 100 several0 ,g/cm1010 3164 T

A02

状態方程式（ 1 ）• コアバウンスと状態方程式

– 爆発には K@bounce (T, Ye 依存 ) が小さいと有利• Cf. 釣り合い (F~‐kx), エネルギー (E~kx2)

• Incompressibility, L の影響（系統的）– T=0,Z=N でなくＳＮ物質寄りで– 過去の計算

• 　• 　　

• パスタ構造、怪獣の効果• エキゾチックマターの効果

A03A02

2sym )21(21 eYKK Van Riper (1988) ApJ 326, 235

32nuc fm ])5.0(31[16.0 eY

状態方程式（ 2 ）• 対流不安定性と状態方程式

• 実は調べられていない– 対流だけでは不十分なのはおそらく確定– 最初に衝撃波をどこまで押せるかには重要– SASI とニュートリノ加熱が効率的に効くかには重要

• 球対称＋多次元シミュレーション• 対流からの重力波

A03A02

(unstable) 0 :criterion Ledoux ,,

dr

ds

sdr

dY

YlYP

l

sPl

状態方程式（ 3 ）• 相転移

– 相転移に伴う　　　　　　内部エネルギーの解放により 2nd 衝撃波が発生

• クォーク相転移ではMIT Bug model– より洗練された取り扱

い

A03A02

Sagert et al. (2009) PRL 102, 081101

状態方程式（ 4 ）• Zero or low 温度状態方程式

– 連星中性子星の合体（でＢＨが形成される場合）　　　から探れる　（木内君のレビュー）

– ＱＣＤで計算された核力を用いて　　　　　　　　　　　　　パスタ・怪獣を考慮して作られた　　　　　　　　　　　　　精緻なＥＯＳを使ってシミュレーション　

– ⇒ 　重力波　⇒　ノーベル賞に寄与

– ハイペロン、クォーク

A03A02

• 現状： 状態方程式 ⇒ M(Ａ ,Z), Xp, Xn, XA

– 1種の原子核に代表させて計算 – Independent particle model (Fuller et al. 1985)– Langanke らはモンテカルロ shell model

• 本来は親核、娘核の情報が必要 (Shell model)– 安定核 (多量 ) は反応率が低い– 不安定核 (少量 ) は反応率が高い

• (ρ,Ye, T) でテーブル化されていると非常に有用– f の Q 値依存性の部分には目をつぶる

j

iji

iP weak

ijijij fMC2

M: transition matrix

f : lepton phase space factor

Weak rate

fTYeMfMCPj

iji

i22weak |),,(|~

A02

Weak rate （ 1 ）A03A02

• 電子捕獲反応テーブルの作成

k jjkk

k jjkk McPP

TYe2||

),,(

Weak rate （ 2 ）• バウンスコア質量と weak rate

– バウンスコアが大きいと爆発に有利 : Mcore (Yl)∝ 2

• Coherent scattering と ion electron correlation – Heterogeneous case

A03A02

Sawyer (2005) PLB 630, 1

Weak rate （ 3 ）

• その他の効果 (e.g. electron polarization Leinson

et al. 1988) の定量的評価 ⇒ シミュレーション

A03A02

星の進化計算（ 1 ）• 多次元のモデルが必要• 1次元：多くの近似 ⇒ さまざまな場合について

計算– 「対流」の取り扱い

• Schwarzshild ⇔ Ledox

• Doubly diffusive instability, Semiconvection

• Convective overshooting ⇔ convective penetration

– 「回転」の取り扱い• Rotation induced mixing

• Chemically homogenious evolution

– 「 Mass loss 」の取り扱い • Metallicity 依存、非球対称 loss

• 宇宙の一番星 : zero metal

• 初期条件・元素合成計算の背景

A03

• 大きな角運動量が必要– Type-Ic / Type-Ib SNe の付随– ジェットの星表面への到達可能性– 角運動量保持しつつ H外層をなくす

• 　　　　　　　　　　 （　　　 ） – 電子捕獲反応 ( 　　　 ) との競合– 低密度高温領域の必要性

• 強磁場（ ）が必要– PopIII 形成環境下の磁場は？

e e

MacFadyen & Woosley 1999

L L

1510 GB

GRB Collapsar ModelWoosley (1993); MacFadyen & Woosley (1999)

GRB Collapsar Model

• Neutrino pair annihilation :– 高密度環境ではバリオンによるニュートリノ吸収に負ける

• 　

– 低温では縮退電子の Pauli broking が効く　　　　　　　　　また反ニュートリノも少ない

• 　

– 幾何学的に厚い Disk があると良い• 　

e e

rate : vs L L

1rate 1 exp e

colisionrate 1 cos

GRB Collapsar Model

• SN 成分 ?– Direct BH formation なら爆発しない ?

• νDisk wind 　 　　　　　　　　　 (Qian & Woosley 1996, Lee & Ramirez-Ruiz 2006)

• 他のメカニズム？– Fallback BH formation なら可能性あり– 磁場効果 ? (Blandford & Payne 1982)

• ほとんど考えられていない– GRB without SN はあってもいいはず！– GRB with SN と性質が異なるか？

5

34 1

525 10 s

10 erg/s

LM M

2

5LM

c

Woosley & Heger (2006)

GRB progenitor model

• 基本的要請– Progenitor は Type-Ic SNe を起こす– H, He 外層が無い– mass loss ?

– mass loss は spin loss を伴う– (GRB + Disk を GRB 中心天体と仮定して ) 　　

角運動量を保持しつつ、どう外層を無くすか ?

Modjaz et al. (2008)

GRB/SN and Metallicity

• SN と GRB の起こる 　環境では少なくとも metallicity に優位な　差がありそう

Effect of rapid rotation

• 高速回転 → mixing により化学組成が一様な進化　(Yoon & Langer 2005,2006; Woosley & Heger 2006)

低速回転：　　　たまねぎ構造

高速回転：　　　巨大ＣＯコア

GRB Progenitor modelYoon et al. (2006)

大質量星の重力崩壊（ 1 ）• GRB（ BH+

Disk 系の形成）

A03A04

• ニュートリノ対消滅率の計算！！

ee

Hot disk

大質量星の重力崩壊（ 2 ）

• 高エントロピーコアの崩壊

• バウンス時– ρ ~ 1013 g/cm3

• 核密度以下 !– T ~ 18 MeV– Ye~ 0.2

• Nakazato et al. 2007 と consistent

A03A04

He 光分解 バウンス

• He → 2p + 2n– ガス圧 (Γ=5/3)増

大

• 電子縮退圧 (Γ=4/3)と合わさって Γ ～ 1.5

• ニュートリノによる冷却効果で Γth < 1.5

対流不安定領域

負の Ye 勾配

対流発生

ＳＡＳＩ？

星の進化計算（ 2 ）• エキゾチック効果⇒元素合成・宇宙の再電離

– e.g. Dark matter burning in PopIII (Yoon et al. (2008))

A03

SD

一般相対論的 ν 輸送• 球対称計算以外では未開拓• 多次元 : 現状では２流体モデル +α

• 少なくともソース項は陰的に解くことが必要– 　– 一般には行列反転が必要

• Operator split : ソース項のみ陰的に解く ⇒ 非線形代数方程式　

• GR 輻射輸送方程式– 流体静止系 ⇔ 局所ローレンツ系 ⇔ (曲がった ) 大域座標系

– 時空の曲がりを考慮

• 近似的手法の開発と原理的計算の同時進行

n11nn1n )1( , )1( ItIItIII

A03A04

数値相対論：現状• 有限温度高密度状態方程式 (Shen et al. 1998)

– 相対論的平均場近似 ( 音速が光速を超えない )– + Sumiyoshi & Nakazato extension

• Weak Interactions– 電子 (ν) 捕獲反応 (Fuller et al.1985)

• Thermal unblocking 含む– ニュートリノ対生成

• 電子対消滅 (Cooperstein et al. 1986)• Plasmon decay (Ruffert et al. 1996)• Bremsstrahlung (Burrows et al. 2004)

• ニュートリノ冷却 (YS 2008)– (e, n, p, A) – scattering

• Ion correlation, etc 含む– (n, p, A) – absorption

xa

xa

ea

ea

ea

ea

Yea

ea

aa

SuY

SuY

SuY

SuY

u

)(

)(

)(

)(

0)(

baba

baba

QT

QT

)(

)( Matter

A03A02

Energy Momentum Tensor

• Basic equation :

• Energy momentum tensor of neutrinos :– ‘Trapped neutrino’ and

‘Streaming neutrino’ parts

• Trapped neutrino part is included into Fluid part

• The equation to be solved

)stream,()trap,()( ababab TTT

baba

baba

QT

QT

)(

)(fluid

(leak)stream) ,(

(leak) trap),(

stream) ,( trap),( )(

baba

bbaba

bab

aba

QT

QQT

QTT

)trap,()fluid( ababab TTT

ababbabaab

abbaab

PnFnFnEnT

PguhuT

)stream,(

(leak)stream),(

(leak)

baba

baba

QT

QT

0)( Total aba T

Neutrino cooling

• Neutrino Leakage Scheme

– “Cross sections” :

– “Opacities” :

– “Optical depth” :

– Diffusion time :

– Neutrino energy and number leakage rate :

2( )i iE E

2( ) ( )iE E E

2( )E ds E

diff 21diff

diff0diff

ˆ( ) ( )

( )

ˆ( ) ( )

( )

E n EQ dE T F

T E

n ER dE T F

T E

2diff 2( )

( ) ( )x E

T E E Ec c

ˆ( )n n E dE

YS (2009) c.f. Rosswog & Liebendoerfer (2004)

Fermi 分布で平均化した cooling source を

考える

Notes

• ニュートリノ冷却のパラメータ： 2– Optical depth ⇔ diffusion time – 何回の collision で　 thermalize するか

• ニュートリノ場、特に flux も解いているので　　　　　これに基づいて luminosity が計算できる

• ニュートリノ温度の導入（ on going）

一般相対論的 ν 輸送

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

e

e

e

e

YTYSY

YTYSY

YTYS

YTYSe

Y

Yee

e

のテーブルサーチによって閉じる)(, 1

wuu

Te

aa

)],,( [ 6* TYuwwew ea

T ⇒ e

ρ ⇒ ρ*

となっていれば　　解ける

A03A04

一般相対論的 ν 輸送

),,~( using ~

),,,( nn1/2n1/2ne TYYYTYSY eeYee

のテーブルサーチによって閉じる)(, 1

wuu

Te

aa

),( using ~ nn1/2n* TYe

A03A04

)~

,~~( using

~)

~(~

),,,(

),,,(

1/2n1/2n1/2n

1/2n

1n1/2n

e

e

YY

Te

YTYS

YTYSe

e

e

),~

,~( using ),,,( n1/2n1/2n1/2ne TYYYTYSY eY

まとめと要望• 状態方程式

– (ρ,Ye,T) でテーブル化– 音速が光速を超えない相対論的定式化– 微分 ( 音速 )もテーブル化されることが望ましい

• 電子捕獲反応 (weak interaction)– 不安定原子核の寄与も– transition matrix のテーブル化

• 一般相対論的 ν輻射輸送– 多次元では未開拓分野– ( 近似的 ) 定式化、 full GR Boltzmann の同時進行

• 星の進化計算– 回転モデル　　　初期条件– シミュレーションの結果を用いた元素合成

A02

A04

A03