P1

제 1 장

수치해석

(Numerical Analysis]

2 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

01 실제 자연현상

자연계에서 발생하는 모든 형상 (real phenomenon)

• 임의대로 거동하는 것처럼 보이지만 실제로는 그렇지 않음

• 모든 자연현상은 반드시 특정한 법칙(rule)과 조건(condition)에 따라 거동함

• 특정한 법칙과 조건을 규명할 수 있다면 얼마든지 자연현상을 재현할 수 있음

3 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

02 법칙, 조건 그리고 관계식

법 칙 (rule)

자연현상

(real phenomenon)

일과 에너지 이론(Theory of Work and Energy)

일의 변화(Work) = 에너지 변화(Energy)

조 건

(condition)

기하학적 조건/ 시간적 조건/ 각종 구속조건 • 기하학적 경계조건(boundary condition)

• 시 간 적 초기조건(initial condition)

• 각종구속 대상과 현상에 따라 다른 고유한 특성

관 계

(relation)

구성방정식(Constitutive Relation)

현상 속의 각종 물리량 사이의 관계식

4 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

03 현상의 재현

이 론

(theoretical)

자연현상에 대한 수학적 표현(미분방정식)의 해를 구함

형상의 복잡성으로 실제 문제에는 거의 적용이 불가능

수치해석 (numerical analysis)

수학적 표현을 행렬식으로 전환하여 근사해를 구함

실험과 이론이 안고 있는 모든 문제를 해결

실물(축소)모형+실험장치를 이용하여 재현

고가의 실험장치/실험의 장기화/구현의 한계성

실 험

(experiment)

재현방법

(method)

ND onTkandonTT

tatTT

tinqTkt

Tc

~~,0

,0

0

n

초기조건

경계조건

지배방정식

5 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

실험모델 혹은 수학적 모델

04 지배방정식 유도

n

cos n

flux

flux

dS

V

xxx uk

~u x

~

~k

~u

1차 거동

1차 거동의 공간 상 미분

플럭스

재료 물성치

구성방정식

VA

dVfdSn

V

VA

dVf

dVukdSuk

n

0 dVfukV

fdx

duk

dx

d

지배방정식 유도

6 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

실험모델 혹은 수학적 모델

05 구성방정식의 유형

Problem Type 1차 거동

(u) 2차 거동

( ) 재료상수

(k)

Structure 변위, 변형 응력 Young’s Modulus

Heat Transfer 온도 열유속 열전달계수

Fluid Flow 유속 전단응력 점성계수

Electro Magnetic 전하 전압 저항

공학문제

uk

7 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

실험모델 혹은 수학적 모델

06 미분방정식(지배방정식)

(ODE) (PDE)

xfxuxadx

xduxa

dx

xudxa 012

2

2

yxfyxuyxay

yxuyxa

x

yxuyxa

y

yxuyxa

yx

yxuyxa

x

yxuyxa

,,,,

,

,,

,,

,,

,,

01

22

2

3

2

42

2

5

8 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

실험모델 혹은 수학적 모델

07 미분방정식(지배방정식)

Hyperbolic 유형 (D>0)

파동문제(wave propagation)

파의 진행방향으로 거동이 특정됨

Palabolic 유형 (D=0)

열전달, 구조 진동과 같은 시간 응답

거동이 시간에 따라 감소 혹은 안정됨

Elliptic 유형 (D<0)

구조해석과 같은 대부분의 정해석

시간과 무관한 거동을 나타냄

자연현상의 일반화된 수학적 표현식 문제 유형 판별자 Discriminant (D)

D>0, D=0 혹은 D<0에 따라 세가지 유형으로 분류

각 유형별로 해의 거동이나 사용하는 수치해석 기법이

뚜렷이 구분됨

동일 유형에 속하는 문제들은 동일한 해의 특성을 나타낼

뿐더러, 적용하는 수치기법도 동일함

A,B 및 C는 상수를 나타냄

x 및 y는 공간좌표 혹은 시간을 나타냄

Auxx+2Buxy+Cuyy= F

D=B2-AC

9 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

⋯

∞

08 급수전개

급수전개

0

2210

n

nnEX xaxaxaaxu

!

x

!

x

!

x

!

xxxsin

9753 )예

9753

p

n

nn

pph xaxaxaxaaxu

0

2210

(1) 모든 함수는 무한급수로 표현이 가능하다 !!

(2) 현실적인 한계로 유한급수로 제한 !!

(3) 기저함수 (혹은 보간함수)

pI x,,x,x,a~x 2

0

다양한 형태의 함수가 사용될 수 있다.

급수의 특성

(1) 각 항이 차지하는 중요도 (기여도)

고차로 갈수록 감소한다 !!

pxxxa~ 20비중

(2) 급수의 차수완결성 (order completeness)

급수전개에 있어 저차로 부터 항이 빠짐없이 전개되었을 때 최고차를 말함

2OC 3310 p

ph xaxaxaaxu

OC - 9753

9753

!

x

!

x

!

x

!

xxxsin

10 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

⋯

∞

09 파스칼(Pascal)의 삼각형

x y

xy2x2y

3x

4x

5x

6x

3y

4y

5y

6y

2x y

3x y

4x y

5x y

6x y

2xy

4xy

3xy

5xy

6xy

2 2x y

2 3x y

2 4x y

2 5x y

2 6x y

3 2x y

3 3x y

3 4x y

3 5x y

3 6x y

4 2x y

5 2x y

6 2x y

4 3x y

5 3x y

6 3x y

4 4x y

5 4x y

6 4x y

4 5x y

5 5x y 4 6x y

x y

0

1

2

3

4

1

▶ 2변수 이상 함수의 급수전개에 유용

11 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

10 수치기법

[r] : 잔여(residual)=uex(x)-uh(x)

{w}: weight function(test function)

여기서, 미분방정식으로 부터

r(x) = RHS-LHS(Th)

Common Principle

Difference : Type of W(X)

dx

duk

dx

df)x(r h

가중함수 w(x)의 유형

(1) Collocation method

(2) Subdomain method

(3) Least square method

(4) Galerkin method

pxxxw )(

pp xxxw

1

1)(

functiontest ,)( xxw

r

rxw

12 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

11 수치기법

13 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

12 수치기법

2x 1ix ix

( )i x

1Nx

ix x

1/ ix

, i

i

r r a

a

x

x

( )hu xhdu

xdx

x

21222

2

x,xdx

du

dx

udx

2

1 2

2 1

dx

duxx

,ux

에서

에서

▶ 예시 문제 (Example) 가중치 함수 형상

baA

☞ 행렬방정식으로 전환 !!

TNaaaa 321a

~A MatrixNN

14 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

13 갤러킨 근사화

~uuuuuN

I

IINNN

1

2211 xxxxx

~uvvvvN

J

JJNNN

1

2211 xxxxx

1

1

21 3

2 3

1

I

I

유한급수 전개

기저함수 (basis function)

근사함수 (혹은, 시도함수 : trial function)

가중함수 (혹은, 검증함수 : test function)

2차원 1차원

15 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

14 갤러킨 근사화

예제문제

0)1()0(

10),2

1(

uu

xxuu

0x 1x

( )u xx

2

11

0vdxuvvu

N

JJJ

N

J

N

IIJIJIJ vudxv

11 1

1

0 2

1

☞ 모든 가능한 v(x)에 대하여 아래 적분식이 만족해야 함!!

(가중 잔여기법의 원리로 부터)

16 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

15 갤러킨 근사화

02

1

1 1

1

0

N

J

N

IJIJIJIJ udxv

02

1

2

1

2

1

1

1

0

21

1

0 22211

1

0 111

N

N

IINININ

N

IIII

N

I

NIII

udxv

udxvudxv

021 NN

NN vvv

N

INININI

N

IIII

udx

udx

1

1

0

11

1

0 11

2

1

2

1

NNNNNN

N

N

F

F

F

u

u

u

KKK

KKK

KKK

2

1

2

1

21

22221

11211

dxK JIJIIJ 1

0

2

1JJF

17 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

16 갤러킨 근사화

행렬방정식

FuK

~K

~F

~u

k

f

강성행렬 (Stiffness Matrix)

하중벡터 (Load Vector)

미지계수 (Nodal vector)

dxK JIJIIJ 1

0

2

1JJF

1

1

21 3

2 3

☞ 와 의 곱의 적분

☞ 과 의 곱의 적분

JI

I J

18 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

17 현상의 모델링

실제 자연현상 (real phenomenon)

• 정확한 해답 u (x; t)

• 해답의 유형은 분석목표에 좌우

• 정답은 알 수도 모를 수도 있음

• 현상분석의 최종 목표

모델 구성 (model construction)

• 모델의 정확한 답 um (x; t)

• 실험모델 혹은 수학적 모델

• 표현의 한계성(형상, 거동)

• 불확실성(주로 거동과 관련)

(수학적 표현 미분방정식)

Navier-Stokes Equation

Dynamic Equilibrium

모델의 근사해 (approximate solution)

• 모델에 대한 근사해 uh (x; t)

• 실험: 계측기 및 계측방법 오차

• 이론: 실제문제 적용상의 한계

• 수치: 수치기법 및 해석상 오차

컴퓨터의 한계

(수학적 모델)

해답을 이론적으로 유도

수치해석으로 근사해 구함

(실험 모델)

계측장비를 이용하여 측정

u(x;t)

(실제 현상) um(x;t)

(모델의 정답)

uh(x;t)

(근사해) 모델링 오차

(modeling error) 근사 오차

(approximation error)

u(x;t)-um(x;t) um(x;t)-uh(x;t)

총 오차 (total error)

19 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

18 오차

20 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

19 오차

☞ 해석한 결과 사람들이 예측한 것과 같은 결과를

얻는다면 해석 모델링이 잘못된 것임 !!

☞ 수치해석의 궁극적인 목표는 실제 거동에

근접한 결과를 구하는 것임 !!

21 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

20 신뢰성 확보

Fatigue Analysis Results (500N)

인장이 작용하는 부위에서 피로 파괴가 일어난다. Screw Part의 피로 사이클은 3.0x104 이다.

☞ 화려한 컬러 이미지 그림과 숫자를 넘어서

확신할 수 있는 결과를 제시하는 것이 관건 !!

P1

제 2 장

유한요소법 (Finite Element

Method (FEM))

23 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

Examples

2

X)ωX(L

dX

YdEI

2

2

경계 조건 : X = 0 에서 Y = 0 이고, X = L 에서 Y = 0 이다

0yωdt

ydn2

2

경계 조건 : t = 0 에서 y = y0 이고, t = 0 에서 dy/dt = 0 이다

0(kA

hp

dX

Td

c2

2

)TT

경계 조건 : X = 0 에서 T = Tbase 이고, L ∞ 일 때 T = T∞

거리 X의 함수에 의한 보(Beam)의 처짐 Y

X)L2LXX(24EI

ωY 334

시간의 함수에 의한 질량 m의 위치

tcosωyy(t) n0

함수 X에 의한 핀에 따른 온도 분포

XkA

hp

basec)eT(TTT

01

Problem Types Differential Equations Quantities of Interest

공학문제 (Engineering Problems)

24 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

02 수치 근사화

예제문제

0)1()0(

10),2

1(

uu

xxuu

0x 1x

( )u xx

2

11

0vdxuvvu

☞ 모든 가능한 v(x)에 대하여 아래 적분식이 만족해야 함!!

(가중 잔여기법의 원리로 부터)

갤러킨 근사화

~uuuuuN

I

IINNN

1

2211 xxxxx

~uvvvvN

J

JJNNN

1

2211 xxxxx

근사함수 (혹은, 시도함수 : trial function)

가중함수 (혹은, 검증함수 : test function)

25 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

03 행렬방정식 유도

02

1

1 1

1

0

N

J

N

IJIJIJIJ udxv

02

1

2

1

2

1

1

1

0

21

1

0 22211

1

0 111

N

N

IINININ

N

IIII

N

I

NIII

udxv

udxvudxv

021 NN

NN vvv

N

INININI

N

IIII

udx

udx

1

1

0

11

1

0 11

2

1

2

1

NNNNNN

N

N

F

F

F

u

u

u

KKK

KKK

KKK

2

1

2

1

21

22221

11211

dxK JIJIIJ 1

0

2

1JJF

26 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

04

Problem Types 성질

(Property) 거동

(Behavior) 작용

(Action)

Structure 강성도 변형 힘

Heat Transfer 열전도율 온도 열원

Fluid Flow 점성 유속 수두

Electro Magnetic 전도율 전압 전류부하

Matrix Equations

공학문제의 행렬방정식

27 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

05 보간함수 의 정의?

0

보간함수 의 구성 ?

근사해를 위한 다음의 급수표현에서

보간함수를 어떻게 정의할 것인가?

x a x b

3

3 x e x a

2

2 x d x a

e

d

c

1

x ax c

b a

x

x

y

( , ) ?x y

1차원의 경우 ☞ Easy (형상 단순, 상하한 명확)

2차원 그리고 2차원의 경우

☞ 보감함수 정의가 거의 불가능 하다 !!

- 정형화된 형상이라면 가능하지만

(삼각형, 사각형, 원, 구, 등등)

- 비정형화된 복잡한 형상의 경우는 거의 불가

(좌표의 상하한을 정의하기가 어렵고, 또한

경계가 복잡하여 수학적으로 표현하기 어려움)

xI

28 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

유한요소법(Finite Element Method) 06 보간함수 의 구성 ?

근사해를 위한 다음의 급수표현에서

보간함수를 어떻게 정의할 것인가?

유한요소를 이용한 근사함수의 효과적인 정의

요소망 (mesh)

29 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

07

지배방정식

경계조건

초기조건

N

D

onTk

onTT

tatTT

tinqTkt

Tc

~

~

0

,0

0

n

Mathematical Model (미분방정식)

[K]{u}={F}

[K] : Stiffness Matrix (강성행렬)

{F}: Load Vector (하중벡터)

{u}: Approximate Solution (근사해)

Matrix Equation (행렬방정식)

슬라이드 2 & 3

• 적용원리: 가상일의 원리(Principle of Virtual Work), 최소 포텐셜 이론(Minimum Potential Theorem)

• 근 사 해:

• 수치기법의 종류: 유한요소법(FEM), 경계요소법(BEM), Rayleigh-Ritz법, 유한차분법(FDM), …등 다수

유한요소법(FEM)

30 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

요소망(Mesh) 08

48 37 26 15

47 36 25 14

46 35 24 13

45 34 23 12

16273849

1

2

3

4

5

34 24 14 4

33 23 13 3

32 22 12 2

31 21 11 1

(element) (node)

요소(element)와 절점(node)

2

48 37 26 15

47 36 25 14

46 35 24 13

45 34 23 12

16273849

1

2

3

4

5

34 24 14 4

33 23 13 3

32 22 12

31 21 11 1 1 2

34

전역 및 국부 절점번호

12345

678

9

1018

17

1119

12

20

16

1523

24

14

21

2213

1

2

10

18

3

4

11

19

12 20

57

613

2114

22

8

9

15

16

17

23

24

25

25

19

147

1013161922

2

56

3

89

11

12

23

2021

24

17

15

1814

1

23

24

3

5

11

19

6 7

814

119

1012

13

17

20

15

18

21

16

22

번호부여 순서

31 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

요소망(Mesh) 09

균일 및 비균일 요소망

접합 및 비접합 요소망

국부적으로 조밀한 요소망

절점이 공유됨 절점이 공유되지 않음

32 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

비접합 요소망(Incompatible Mesh) 10

☞ 강체요소를 이용한 접합

☞ 접촉조건을 이용한 접합 ☞ 라그랑지 승수법에 의한 접합

- 절점과 절점 사이를 강체요소를 이용한 연결 - 매우 간단한 방법이지만 연결 부위에 응 력이 집중됨

- 절점과 절점 사이를 스프링으로 구속 - 스프링 계수 값의 선정이 중요함

- 가상의 절점을 추가하여 절점을 연결 - 미지수가 추가되어 행렬방정식이 커짐

33 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

유한요소 (마스터 요소) 11

Types of Finite Elements

보간함수의 차수 혹은 절점 개수 (1,2, …, 고차요소)

적용 문제의 유형 등

요소의 차원 및 기하학적 형상

1차원 요소(선)

2차원 요소(삼각형/사각형)

3차원 요소(사면체/오면체/육면체)

(3/6/9…절점)

(4/10…절점)

(4/8/9/10…절점)

(6/14…절점) (8/20…절점)

(2/3/4…절점)

34 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

12

절점의 분류 국부 절점번호

요소크기 형상종횡비

유한요소 (절점)

35 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

13 절점값(Nodal Value)

,x yv v

T

1

2

:

:

: ,x yu u 2

NodeDOFNNDOF / 크기방정식의행렬

☞ Delta property를 만족하는 요소의 경우

36 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

형상함수(Shape Function) 14

1차원

1 2

1 1

1( ) 2 ( )

1

1 0 1

1 3 2

1( ) 2 ( ) 3 ( )

1

1

1 3 4 2

1 3 4 2

1 1 1 3 1 3

2차원

4 6 3

21 5

1p

1(

)

2(

)

1( ) 3 ( ) 2 ( )

2p

2p

1( ) 3 ( ) 2 ( )

1(

)

2(

)

3 ( )

4 ( )

3p

4 38

7

6

21 5

9

10

37 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

기저함수(Basis Function) 15

2차원 1차원

1 2 3 4 5

2 x 4 x 3 x 1 x 6 x 5 x

1 2 3 4 5 6

x

1

1 2 3 4 5

109 1121 3 4

2 x 4 x 3 x 1 x 10 x 9 x 11 x

x

1

I

J K

I

JK

특성 (Property)

☞ Delta property: ☞ C0-연속성:

자기 자신의 절점에서는 1의 값을 가지고

나머지 절점에서는 0의 값을 가짐

요소망 전체에 걸쳐 연속성을 지니지만, 미분값은

요소 사이에서 불연속이 됨

38 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

16 • Continuity (연속성)

• 1차 거동의 연속성

Interpolation of Strain and Stress

요소사이에서 불연속성을 나타내는 변위의 변화률

극도수렴성을 이용하여 적분점에서 계산한 변형률과

응력값을 보간하여 요소망내 연속적인 분포를 만듬

함수의 연속성

39 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

형상 근사화(Geometry Approximation) 17

Real Geometry

,,,, 2211 kkxxxx

,,,, 2211 kkyyyy

CAD Solid Model FEM Model

절점 좌표를 이용한 형상 근사화

부매개 형상 근사화 (sub-paramtric)

등매개 형상 근사화 (iso-paramtric)

초매개 형상 근사화 (super-paramtric)

40 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

형상 근사화 18

,,,, 2211 kkxxxx

,,,, 2211 kkyyyy

절점 좌표를 이용한 형상 근사화 0J

0J

0J

1 2

34

1 2

3

4

(0,0) (3,0)

(0,4)

x

y

0J

실제 요소 마스터 요소

d

yd

ydyd

xd

xdx

,

d

d

d

d

yy

xx

dy

dxJ

☞ 자코비언:

yxyxJJ det

AddAAddA ˆˆ/ JJ

8978

1

yxyxJdetJ

☞ 역변환: yxyx ,,,

dyy

dxx

ddyy

dxx

d

,

dy

dx

xy

xy

dy

dx

dy

dx

yx

yx

d

d

JJ

det

11

0J

☞ 직선공식:

41 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

형상 근사화 19

0J

0J

0J

1 2

34

1 2

3

4

(0,0) (3,0)

(0,4)

x

y

0J

예제문제

2414

111

4

111

4

3

,,3 32

x

1354

111

4

411

4

1

,4, 43y

실제 요소 마스터 요소

☞ 자코비언:

yxyxJJ det

354

11

4

3

14

224

4

1

yy

xx

J

8978

1det

yxyxJJ

0J☞ 자코비언이 이 되는 직선

0897

FKu1

“ 비양정치 오류 유발 (non-positive definite error!!)”

☞ 자코비언이 이 되는 영역 0J

역행렬이 존재않음 !!

42 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

양정치 행렬(Positive-definite Matrix) 20

양정치(positive-definite) 행렬 이란 ?

수학적 정의: 모든 0이 아닌 vector {x}에 대하여

행렬의 특성: - Nonsingular (역행렬이 존재)

- 유일한 해가 존재함

- 모두 양수인 고유치를 가짐

- Main 및 sub determinant가 모두 양수

물리적 특성: 모든 현상에 대한 수학적 표현을 행렬로

전환하면 양정치 행렬이 됨

“Non-positive definite error !”이란 에러 메시지

행렬이 양정치가 되지 않음 역행렬을 구할 수 없음

수치해를 구할 수 없음 해석 중단

☞ 주요 원인 요소망 내 요소의 과도한 찌그러짐

local 절점번호 오류에 따른 자코비언 에러

즉, 자코비언|J|가 0 혹은 음수가 되기 때문

에러의 원인

(1) 요소의 과도한 찌그러짐 -> |J| ≤ 0

(2) Local 절점번호의 잘못된 순서

자코비언이 |J|>0 되어야 하는 이유

수학적: 역변환이 존재하기 위해 |J|≠0

물리적: 길이비, 면적비, 체적비 |J| >0

43 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

21

dxvxqdxdx

vd

dx

wdEI

LL

00 2

2

2

2

xwxwxwxw NNh 2211

N

I

L

IJ

N

J

LJI dxqwdx

dx

d

dx

dEI

10

10 2

2

2

2

L L

IIJI

IJ dxqF,dxdx

d

dx

dEIK

0 02

2

2

2

FwK IJIJ FwK

☞ 적분: 요소별로 적분하여 합함 !!

Re

Le

x

x

JIeIJ

L M

e

eIJ

JIIJ

dxdx

d

dx

dEIK

,Kdxdx

d

dx

dEIK

2

2

2

2

01

2

2

2

2

Re

Le

x

xI

eI

M

e

eI

L

II

dxqF

,FdxqF

1

0

예제: 보 문제

☞ Remind: 슬라이드 02

행렬계산 (강성행렬, 하중벡터)

44 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

22

Real Element <-> Master Element

물리(physical) 좌표 계산(computation) 좌표

☞ 요소망 내의 각 유한요소는 기하학적 형상과 좌표값이

매우 불규칙적이기 때문에 행렬계산을 위한 수치적분이

어려울뿐더러 컴퓨터 프로그래밍에 부적합하다

실제 모양과 크기를 나타냄

Global 좌표계라고도 함

일련의 global 요소 및 절점

번호를 가짐

수치적분을 위한 좌표계

정규화된 Local 좌표계

정해진 local 절점번호를

가지고 있음

상관관계 전역 요소번호

전역 절점번호

지역 절점번호

좌표 변환관계식

좌표변환 (Geometry Transformation)

(master element)

~ shape functions

L

AA

BAAB

dJqF

,dJd

d

d

dEIK

0

1

1 2

2

2

2

2Jacobian /hˆ/~J

BBAA xxx

45 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

23 수치적분 (Numerical Integration)

마스터 요소에서 적분

46 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

24

☞ 요소망 내의 각 유한요소는 기하학적 형상과 좌표값이

매우 불규칙적이기 때문에 행렬계산을 위한 수치적분이

어려울뿐더러 컴퓨터 프로그래밍에 부적합하다

수치적분을 위한 좌표계

정규화된 Local 좌표계

정해진 local 절점번호를

가지고 있음

FEM에서의 수치적분(numerical integration)

아래 행렬방정식을 Gauss 소거법으로 풀 경우, 수

차례의 row, column 연산으로 반올림 오차 누적

여기에 행렬요소 자체의 수치적분 오차가 더해지면

FEM해석 결과의 오차는 수용하기 어려운 수준

따라서, FEM에서는 마스터 요소 상으로 변환하여

정확한 수치적분을 적용함

정확한 수치적분(exact numerical integration)

수치적분의 공식은 일반 수치적분과 동일

하지만, sampling point xk와 weight wk는 정확한

적분을 만족하도록 수학적으로 유도한 값임

Gauss 구적법 및 Gauss-Lobatto 구적법이 있음

수치적분 (Numerical Integration)

33

5

2

32

5

2

253

2

2

63

3

2

2

3

3

xx

dxxxI

2/3,12

32 :

d

dxJxxx

33

1

1

3

2

1

1

5

2

253

2

2

63

2

31

2

32

9

4

22

96

12

321

2

323

3

dJ

dxxxI

예제 문제

47 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

25

N

k

kk

b

axxfdxxfI

1

근사

Exact Numerical Integration

420

1

1

65544332210

1

1

55

44

33

2210

1

1

5

2

3

22

65432

ˆ

aaa

aaaaaa

daaaaaadfI

이론

2424

222010

2221

222

0

waaawa

wffwfI

수치

5

22

3

22

22

2424

2222

210

w:a

w:a

ww:aII

이론수치

가우스 적분법

2

1 pN

48 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

26 가우스 적분법

사각형 요소

삼각형 요소

49 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

27

전역 및 요소 적분

행렬방정식의 조합(Assembly of Matrix Equations)

1차원 보 해석

0

dx

duA

dx

dE

xuxuxuxuh 882211

dAdx

d

dx

dEAKKK JIe

IJ

e

eIJIJ

e

7

1

,

1

1L 2L 3L 4L 5L 6L 7L

1x 2x3x 4x 5x

6x 7x 8x

1 1E A 2 2E A 3 3E A4 4E A

5 5E A 6 6E A7 7E A

2 3 4 5 6 7 P

A B 1 1

1

12

A 1

12

B

d

dx

d

d

d

dx

d

d

dAEK BA

eeeAB J

1

1

eee

eAe

ALLd

dx

L

xxxx

2

1

2

1,1

2

J

2

1,

2

1

d

d

d

d BA

22

22

ee

eeee

eAB

LL

LLAEK

M

2

3

4

1

5

6

7

k

( , )f x y

M

k

kM

M

k

III

dydxyxfdydxyxfdydxyxfdydxyxfIkM

1

1

1

,,,,1

50 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

28

02

2

2

2

y

T

x

T

yxTyxTyxTyxT NNh ,,,, 2211

dxdyyyxx

KKKe

JIJIeIJ

M

e

eIJIJ

1

,

2차원 열전달 해석

행렬방정식의 조합(Assembly of Matrix Equations)

51 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

29

Banded Sparse Matrix

개수총행렬요소의

개수총의행렬요소

zero-NonDensity)Matrix MD

분산행렬(sparse matrix): MD 0

밀집행렬(dense matrix) : MD 1

강성행렬의 특성(Characteristic of Matrix [K])

52 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

30 경계조건(Boundary Condition)

Real Boundary Condtions Problem-dependent BC

Question ??

(I) 실제 상황을 그대로 구분하지 못하는 이유 ? 경계조건도 하나의 수학적 모델

(II) 공학모델에 따라 경계조건이 달라지는 이유는 ? 수학적 표현에 의해 경계조건이 결정

Beam Model

53 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

31 경계조건(Boundary Condition)

(Deflection of 1-D Beam Problem)

수학모델

변분정식화

최고 미분차수항 부분적분

대칭 변분정식화

경계조건 항 2 경계조건 항 1

Pair I

Pair II

변위경계조건 (Essential Bdry)

하중경계조건 (Natural Bdry)

수학모델의 최고 미분차수 : 2N 경계조건 Pair의 개수 : N/2

각 경계조건 Pair에 있어서 : 저차항 변위경계, 고차항 하중경계

(참고) 자연계 현상 최고 미분차수가 홀수인 경우는 없음 !!

변위경계 하중경계

Work (Energy)

54 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

32 경계조건(Boundary Condition)

Characteristics

(2) 변위경계가 주어지면 하중은 미지수 하중경계가 주어지면 변위는 미지수

(3) 자연계의 현상은 경계조건에 크게 좌우

(1) 경계조건이 없는 물체의 경계는 없다

55 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

33 강체운동(Rigid Body Motion)

Rigid Body Motion ?

변형을 전혀 유발하지 않는 물체의 변위(이동)

변위 => 강체운동 + 변형(deformation)

=> 병진(translation) + 회전(rotation)

정적인 평형 => 강체운동이 존재해서는 안됨

병진운동

회전운동

변위(이동)

정적 평형 (O) 정적 평형 (X)

Static Equilibrium

(1) 힘/모멘트 조건: 0 & 0 MF

(2) 병진 및 회전자유도가 모두 구속

정해석을 위한 필수조건

정적평형을 만족시키도록 경계조건을 부여

다시 말해, 강체운동이 발생해서는 안됨

강체운동을 허용하면 동해석 문제가 됨

56 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

34

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

F

F

F

F

F

u

u

u

u

u

KKKKK

KKKKK

KKKKK

KKKKK

KKKKK

3535

3434

3232

3131

5

4

2

1

55545251

45444241

25242221

15141211

uKF

uKF

uKF

uKF

u

u

u

u

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

5652626

5

5452424

5352323

2

5152121

6

5

4

3

2

1

66646361

46444341

36343331

16141311

00

010000

00

00

000010

00

uKuKF

u

uKuKF

uKuKF

u

uKuKF

u

u

u

u

u

u

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

1. 기저함수 정의 단계에서

2. 행렬 축소법

3. 행렬 수정법

변위 경계조건 반영

경계조건의 반영

하중 경계조건

하중벡터 에 더해짐

변위 경계조건

기저함수 단계에서 반영

행렬방정식 단계에서 반영

FuK

F

01 u

33 uu

57 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

35

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

666564636261

5654535251

464544434241

363534333231

2625242321

161514131211

F

uBig

F

F

uBig

F

u

u

u

u

u

u

KKKKKK

KBigKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKBigK

KKKKKK

22

226265254243232121

uu

uBiguBiguKuKuKuKuBiguK

410max ijKBig

4. 벌칙기법 (Penalty Method)

변위 경계조건 반영

5. 라그랑지 승수법 (Lagrange Multiplier Method)

2

1

0xu

0yu

{

}

{ } {0}

[ ]K[ ]u [ ]F

1

2

0

02 N 2 2

2N

N N yyxx uuuu

uWuEu

21

58 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

36

144

143

142

141

134

133

132

131

124

123

122

121

114

113

112

111

44434241

34333231

24232221

14131211

|1000

|0100

|0010

|0001

1000|

0100|

0010|

0001|

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK FuK

FKu1

Gauss Elimination

,2,1,0,

0

0

0

33

3

22

2

11

1

)(

3

2

1

33

32

33

31

22

23

22

21

11

13

11

12

1

3

2

1

n

K

F

K

F

K

F

u

u

u

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

u

u

unn

11

13

11

132

11

1211313212111

K

Fu

K

Ku

K

KuFuKuKuK

22

23

22

231

22

2122323222121

K

Fu

K

Ku

K

KuFuKuKuK

33

32

33

321

33

3133333232131

K

Fu

K

Ku

K

KuFuKuKuK

(Frontal Solver)

(Iterative Method)

행렬방정식의 연산(Solving of Matrix Equations)

59 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

모델의 이상화(Idealization) 및 모델 이산화(Discretization)

재료 및 요소 특성치(단면형상, 두께 등) 정의

경계조건 정의

하중조건 정의(Force, Moment, Pressure, Temp, …)

요소별 요소행렬 계산 {f}=[k]{δ}

전체 행렬 구성 {F}=[K]{Δ}

경계 조건 및 하중 조건 적용

행렬방정식 연산 (절점 변위 계산)

요소 내력과 응력 계산

STEP-1

STEP-2

STEP-3

STEP-4

STEP-5

STEP-6

STEP-7

STEP-8

STEP-9

결과 검토 STEP-10

Pre-Processor

Processor

Post-Processor

37 유한요소 해석 절차

60 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

Pre-Processor

Processor

Post-Processor

38

유한요소 해석 절차

61 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

39 벤치마크(Benchmark) 테스트

u(x;t)

(실제 현상) um(x;t)

(모델의 정답)

uh(x;t)

(근사해) 모델링 오차

(modeling error) 근사 오차

(approximation error)

u(x;t)-um(x;t) um(x;t)-uh(x;t)

총 오차 (total error)

유효성 검증(Validation)

정확성 평가(Verification)

; 해석결과의 물리적 적합성을 검증하는 것으로서,

모델링 단계의 적합성을 판단

; 수치해석 단계에서의 전처리 과정과 행렬 연산의

정확성을 정량적으로 평가

소프트웨어의 검증

; NAFEMS에서 제시한 예제 문제들을 풀어 봄으로서

개발한 소프트웨어의 유효성과 정확성을 검증하는

작업을 일컫음

62 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

40 해석결과의 신뢰성

해석결과의 오차

xuxuue hM

의

( )Mu x

( )hu x

( )e x

x

()

rx

( )r x

inxfxuL M

inuLxfxr h Lx,xqdx

wdEI 0

4

4

4

4

dx

dEIL

LxinxqxLwM 0

LxinLwxqxr M 00

LxinLwxqxr h 00

xwxwwe hM

63 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

41 해석결과의 신뢰성

오차평가의 잣대

xuxuuex

hM

max

22 dxhML

xuxuue

22dxhMhME

xuxuxuxuue

; 관심량의 최대 차이 (그리고 최대 차이의 발생 위치)

; 1차거동의 전 영역에 걸친 RMS(root mean square)

; 1차거동과 2차거동의 전 영역에 걸친 RMS(root mean square)

64 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

42 해석결과의 신뢰성

절대오차

상대오차

0.457,tipu 정해

0.278,he u 34.6%r

0.423tip

hu

P

, ,E A

L

tip

hu

4.570,tipu 정해

2.780,he u 34.6%r

4.230tip

hu

10P

, ,E A

Ltip

hu

,ue

,ueL2

Eue

☞ 크기: 요소망이 동일하여도 해석문제와 관련된

파라메터에 따라 오차크기가 달라짐

하중, 물체크기, 재료물성치

%100

2

h

h

U u

ue

☞ 크기: 해석문제와 관련된 파라메터가 달라져도

요소망이 같으면 상대오차는 동일함 !!

순수하게 요소망 변수에만 크기가 좌우 됨 !!

hU u 에너지변형률총 ~

65 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

43 수렴률(Convergence Rate)

• 오차(error)의 정의

• FEA 절차 및 오차 요인

Accuracy

해석결과 h

u

정해 ? EXu

준 정해 u

측정오차 h

e

실오차 EXe

수렴률(convergence ratio)

log(오차값) - log(요소크기, 혹은 자유도) 그래프의

기울기를 의미

요소크기 변화에 대해서 수렴률 요소차수

P가 증가 기울기 증가

선(a priori) 오차평가 및 후(a posteriori) 오차평가

선 오차평가: FEM 해석을 수행하기 전 수학적으로

유도한 정성적인 오차 Bound

(예)

후 오차평가: FEM 해석결과를 가지고 실제로 계산한

정량적인 오차값

(예) 오차가 총 변형률의 20%

phCe

66 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

44 해의 특이거동(Singular Behavior)

무한한 증가

(2) 점 하중 (3) 불연속적인 물성치 (1) 특징 형상

불연속 급격한 변동

원인 (Source)

67 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

45 효과적인 요소망(Effective Mesh)

특징 형상

q

a

x

y

e10e h

a

von M

ises s

tress (

Mpa)

Locationa a

1,000

2,000

3,000

4,000

0

0.005 h0.01 h0.05 h

e=

점 하중 재료 불연속

68 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

46 • Continuity (연속성)

• h- and p-method

Interpolation of Strain and Stress

요소사이에서 불연속성을 나타내는 변위의 변화률

극도수렴성을 이용하여 적분점에서 계산한 변형률과

응력값을 보간하여 요소망내 연속적인 분포를 만듬

h- 그리고 p-method

물체거동의 변화 심한 영역에는 저차의 조밀요소망

변화가 완만한 영역에는 고차의 엉성요소망 적용

h- 및 p-method

69 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

47 적응적 유한요소법(Adaptive FEM)

• Adaptive hp-FEM?

균일한 오차분포가 되도록 적절한 요소크기(h)와

요소차수(p)를 가진 요소망을 생성하여 해석

• 해석품질-시간(경비) 딜레마

Irregular hp Refinement

• 한 요소가 1개 이상의 이웃요소와 접함

• 황금분활 => 1:2 대응 • 라그랑지 승수법으로 연속성 구속

inactive active

(initial mesh) (error estimation)

(irregular hp refinement) (target error)

70 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

P1

제 4 장

선형 정적 해석

71 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

01 선형성 (Linearity)

(2) 물체 형상, 물성치, 경계조건 등이 구하고자 하는

거동의 함수로 표현됨:

(3) 단 한번의 수치계산으로 해답을 구할 수가 없음

(Taylor 급수전개): 반복계산이 요구

(1) 중첩의 원리가 성립하지 않음: ufkukf

uuEEu , ,

자연계의 모든 현상은 본질적으로 비선형 !!! (world is nonlinear !!)

비선형의 특성 ☞ 비선형 범주에 들지 않는 경우가 선형성 !!

72 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

02 정해석 (Static Analysis)

K

c

m

U(t)

p(t)

)()()()( tptkutuctum

m = 질량 (inertia)

c = 감쇠력 (energy dissipation)

K = 강성 (restoring force)

P = 가진력

u = 질량의 변위

= 질량의 속도

= 질량의 가속도

• 질량의 변위, 속도, 가속도와 가진력은 시간 함수로 정의

• 질량, 감쇠력, 강성은 상수로 정의

u

u

xx

0

0

MαM

FaF

I

m

FuK

73 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

03

문제 유형 성질

(Property) 거동

(Behavior) 작용

(Action)

구조해석 강성도 변형 힘

정상상태 열전달 열전도율 온도 열원

정상상태 유체유동 점성 유속 수두

정상상태 전자기 전도율 전압 전류부하

Linear Static Analysis

선형 정해석

74 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

04 문제의 간략화

절점 유사 대칭 모델 주기적 대칭 모델 1/4, 1/8 대칭 모델

75 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

05 좌우 대칭모델

(1)/(2) 형상/물성치 대칭

(3)/(4) 변위/하중 경계조건 대칭

(5) 처침 형상 대칭

(1/2 대칭모델)

대칭모델 생성 물리적 의미

대칭경계조건

법선방향 변위: 비침투 조건(Un=0)

접선방향 하중: 전단하중 없음(Ft=0)

대칭조건(symmetry conditions)

기준: 임의 직선, 면 혹은 회전 축

조건: 임의 직선이나 면에 대하여 좌우 대칭

임의 회전축에 대하여 회전방향으로 대칭

조건: 형상/재질/하중조건/경계조건이 모두 대칭

유형: 평면 대칭문제, 축대칭 문제 (1/2 대칭 가능 문제) (축 대칭 해석 예)

76 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

06 축대칭 문제

( , )r zu u

z

r

( , )r zu u

z

r

01

01

1

z

uu

r

,r

u

r

uu

r,

r

u

z

u

z

u,

r

uu

rr

u,

r

u

z

z

r

r

zr

rz

z

z

rrr

r

truu rr ,0

truu ,0

t ~ 가정된 두께방향으로의 함수

(2차원 단면모델)

(1차원 선모델)

77 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

07 평면응력 및 평면 변형률 문제

평면변형률 상태(plane strain state)

축소된 3차원 유한요소 해석

- 임의 길이로 절단 - 좌우 절단면에 대칭조건 - 3차원 요소망 적용

평면응력 상태(plane stress state)

2차원 유한요소 해석 문제

- 구조물 중립면에 생성 - 2차원 FEM해석 문제 - 보, 판 및 쉘요소 적용

78 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

08 열전달 해석(Heat Transfer Analysis)

fT

iT

정

기

기 iT

, c k

Q

지배방정식

경계조건

초기조건

N

D

onTk

onTT

tatTT

tinqTkt

Tc

~

~

0

,0

0

n

79 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

09 열전달 해석(Heat Transfer Analysis)

)2,12

2

2

2

2

2

원혹은 원 yxQy

T

x

TxQ

dx

Td

정상상태 열전달 해석

FTK

80 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

10 열전달 경로(Heat Transfer)

A wq k T T

wq h T T

4 4

1 wq T T

AT

wT

wTV

wT

T

, c k

열과 연계된 해석

(열-변형 해석) (열-유 해석) (서로 다른 요소망)

81 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

11 파괴모드

균열파괴(crack failure) 균열에 따른 재료의 파단 주로 취성재료에서 발생

소성파괴(yield failure) 항복 후 소성변형에 따른 영구변형 주로 연성재료에서 발생

공진파괴(resonance failure) 외란에 의한 구조물의 파괴 대형 건축물이나 동적 시스템

좌굴파괴(buckling failure) 급작스런 구조 안정성 상실 압력용기 및 수직하중 구조물

피로파괴(fatigue failure) 교번하중에 따른 피로 누적 주로 용접 구조물

크립파괴(creep failure) 네킹(necking)에 따른 절단 주로 플라스틱 제품

유 형 특 성 가능성이 높은 재료

82 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

12 균열해석(Crack Analysis)

균열(crack)의 역학적 특성

관련 용어: 균열선단(crack tip), 균열진전(crack advance)

역학 특성: 응력집중계수(SIF), plastic zone

(crack tip)

(crack advance)

균열 해석(crack analysis)

방법: 직접해석법 / J-적분법

직접해석법: (장점) 균열부위 응력장 계산이 가능

(단점) SIF의 정확도 확보가 어려움

편향요소망 혹은 Adaptive mesh 필요

균열모드(crack mode)

균열유형: Mode I, Mode II, Mode III

응력장(stress field): IIIIIIiSIFKfr

Ki

i ,,,~,2

J-적분법: (장점) SIF를 간단히 계산 가능

(단점) 균일부위 응력장은 이론적으로 유추

(편향 요소망)

dsx

uTWdyJ

/1

/22

2

EK

EKJ

(평면 응력)

(평면 변형률)

83 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

13 좌굴해석(Buckling Analysis)

좌굴(Buckling)이란?

압축하중 을 받는 물체의 갑작스런 정적 평형 상실에 따라 야기되는 큰 측면 변형

물체의 형상 및 외부하중의 불완전성(imperfection)에 기인하며, 형상종횡비가 클수록 좌굴 가능성 증가

좌굴을 일으키는 하중의 크기(critical load)나 좌굴된 형상(buckling mode)은 구속조건에 큰 영향을

임계하중(critical load)

하중을 야기시키는 압축하중의 크기

, L ~ 물체길이 그리고 K ~ 구속조건 계수

좌굴모드(buckling mode)

물체가 변형되기 쉬운 형상으로 좌굴이 발생

좌굴모드는 고유모드(natural mode)와 동일한 형상

좌굴모드 자체는 고유진동 해석으로 가능

84 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

14 선형 좌굴해석(Linear Buckling Analysis)

0uKK bckG

bcku

acr PP

~ 좌굴모드(buckling mode)

~ 좌굴 하중계수(혹은, 좌굴 고유치)

~ 임계 좌굴하중(critical buckling load)

85 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

15 피로해석(Fatigue Analysis)

피로(fatigue)란 ?

교번 하중(alternating load)을 받는 물체는 내부에 손상이 누적되고

(1) 누적된 손상이 임계치에 도달하게 되면 구조물은 파괴

(2) 이 임계치를 피로수명(fatigue life)이라고 하고

(3) 피로수명은 S-N선도(혹은 E-N선도)와 FEM해석을 활용하여 예측이 가능

(균열의 성장과 진전) (교번하중을 받는 분자의 전위와 결정핵 생성)

86 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

16 피로해석(Fatigue Analysis)

(Step 1) S-N선도의 Curve-Fitting ANS m (Step 3) Palmgren-Minor 누적손상법칙

QN

n

N

n

N

n

i

i

2

2

1

1

S-N선도는 실험적으로 구하며

재질, 형상 등에 따라 다른 형태를 지님

파괴에 도달하는 1싸이클 당 누적피로 량

Si ~ 관심 부위에서의 i번째 변동 응력

ni ~ 변동 응력 Si의 싸이클 횟수

Ni ~ Si 응력의 피로수명 싸이클(S-N선도)

유한요소 해석

(1)1 싸이클 변동 하중

(2) 1 싸이클 응력 변동

(2) Si 및 ni 분석

(Step 3) Fatigue Life 예측

) /(1)( 회수싸이클총년년 QLife

(Step 2)

87 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

P1

제 5 장

선형 동해석

88 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

자유도(Degrees of Freedom) 01

Definition of Degree of Freedom?

물리적: 독립적으로 운동할 수 있는 병진 및 회전 성분수

수학적: 독립된 방정식의 개수

공 학: 풀어야 할 미지수의 개수

: 병진 자유도

: 회전 자유도

(3차원 공간에서의 6자유도의 표현)

(고정된 봉 내의 2자유도 링)

(3 회전자유도의 robot arm)

(4개의 미지수를 가진 행렬방정식)

(3xN개의 자유도를 가진 유한요소망)

(절점수=N, 자유도/절점당=3)

(무한 자유도의 인체)

89 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

동응답(Dynamic Response) 02

Response

Free Response

Forced response

• 외력과 감쇠가 없는 경우에 계 자체에 내재된 힘에 의해 발생 • Natural Frequency로 진동

• 외력이 작용하여 발생하는 진동 • 외력이 주기적인 경우에는 계가 가진력과 동일한 진동수를 가지고 진동 • 외력 진동수가 계의 고유 진동수 중의 어느 하나와 일치하는 경우에는 “공진”이 발생

90 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

고유치(Eigen Value), 고유주파수와 고유모드(Natural Frequency & Mode) 03

고유치(eigen value)란 ?

임의 물체나 시스템의 고유한 특징, 형상 혹은 거동 등을

표현하기 위해 필요 충분한 파라메터

고유치에 상응하는 값(혹은 형상) 고유모드(eigen

mode)라고 함

(구조물 진동에 있어서)

(원과 타원 형상에 대한 고유치)

(물체 내 각 지점 응력상태에 대한 고유치)

Kz

y

x

K

Kz

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

n

n

n

n

n

n

고유치 고유주파수(natural frequency)라 함

특정한 형상(모드)로 자유로이 진동하는 주파수

고유형상 모드형상(mode shape)

해당 고유주파수로 진동하는 변형모양을 의미

구조물이 가장 변형되기 쉬운 최 저차부터 고차의

순서로 고유주파수와 고유모드를 나타냄

구조물은 자유도 만큼의 고유주파수/고유모드를 가짐

동일한 구조물이라도 경계조건에 따라 달라짐

(무한한 자유도) (유한한 자유도)

91 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

고유치 해석(modal analysis) 04

실물 연속체(continuum)

무한대의 고유모드/고유진동수

중요한 고유모드 최저차로 부터

p차 까지의 유한한 모드

유한요소(FEM) 모델

무한 모드 유한 모드로 축소

최저차로 부터 유한 DOF N까지

고유모드/고유진동수 (N > p)

고유치 행렬 계산

Truncated 고유치 행렬방정식

고유모드 계산 알고리듬

-> Jacobi method

-> QR method 등등

012 nnn

~~~XMK

고유모드 공간 Truncation

N개 고유모드 필요한 3p개로 한정

3p 이상의 고유차 모드는 제외 (N>n=3p)

Truncation 알고리듬

-> Lanczos, Subspace 등

012 nnn

~~~XMK

92 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

Modal Analysis

• 구조물의 진동에 대한 고유 특성을 파악하는 것이 주 목적임

• 관심 진동수 범위내에서 구조물의 고유진동수 (Natural Frequency)와 고유모드(Mode Shape) 산정

7차 모드 9차 모드 10차 모드 8차 모드

고유치 해석 – 예제(Example) 05

93 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

모드 응답해석(modal response analysis) 06

물체 동적 응답의 특성 (Dynamic Response)

모든 물체의 동적응답은 고유모드의 선형 조합으로 표현

모드공간(mode space): 고유모드 의 집단

참여계수 동적 응답에서 각 고유모드의 기여도

94 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

동해석 문제 -> 초기치 문제(Initial Value Problem) 07

시간에 따라 변하는 물체 형상, 조건 및 물체 거동 초기치 문제란 ?

물체의 거동이 시간에 따라 변하는 문제로서, 물체의 거 동은 초기조건(초기치)에 의하여 좌우됨

원인: 물체형상, 구속조건, 외부하중 및 물성치가 시간에 따라 변함 초기치 초기 형상, 구속조건, 외부하중 및 물성치 등

(대표적인 공학문제)

(열전달) (구조진동)

(충 돌) (각종 유동)

95 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

시간응답(Time Response) vs 주파수 응답(Frequency Response) 08

시간영역(time domain) 분석 주파수영역(freq. domain) 분석

dtetff ti 2

Fourier 변환

☺ 시간응답 분석에서는

- 최대응답이 어느 시점에서 발생하는가?

- 시간에 따라 물체의 거동은 어떠한 변화를

보이는가?

☺ 시간응답 분석에서는

- 어떤 주파수에서 큰 응답이 나타나는가?

- 주파수 대역별 물체 거동의 특성을 분석

- 공진응답이 나타나는가?

• 동응답: 모든 고유모드의 선형조합으로 표현 번째 고유모드의 참여계수

• 시간 응답 계산 주파수 응답 계산식:

• 참여계수: 외부 가진파의 특성에 따라 좌우됨 저주파 혹은 고주파 고유모드 우세 ?

• 실제 FEM해석: 모든 고유모드가 동일한 중요도를 가지지 않으며, 일반적으로 가진 주파수의 3배 이

고유모드만 고려하여도 충분

Fourier 변환

96 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

변위

(u)

u0u0

0

-nte

가 큰 경우

시간 (t)

가 작은 경우

가 클수록 u(t)는 빨리 감쇠하고, d는 작아지며, Td는 증가

Td=2d

시간 (t)

변위

(u)

u0u0

0

과감쇠

임계감쇠

(가) 비감쇠

(나) 저감쇠

(다) 임계감쇠 및 과감쇠

시간 (t)

A

변위

(u)

u0

u0

09 시간응답해석(Time Response Analysis)

97 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

주파수 응답해석(Frequency Response Analysis) 10

98 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

11

Time-dependent Responses

외부로 부터 동하중, 열하중 등을 받으면 물체는 시간에

따라 변하는 거동을 나타낸다.

☺ 과도 응답(transient response)

불안정하고 변동이 심한 초기의 물체 거동

qn

TTT

TT

~t;xT,Qx

T

t

Tc

:

0at t :

0

2

2

혹은경계조건

기조건

(Heat Transfer)

tnuu

uu

~t;xu,tfkut

uc

t

um

:

0at t :

0

2

2

혹은경계조건

기조건

변위

(Structural Dynamics)

0 : 정상상태

0 0

☺정상상태 응답(steady state response)

일정시간 후 시간에 따른 변화가 없는 거동

더 이상 시간의존 문제가 아님 0

t

(초기치-경계치 문제 즉 Parabolic 유형)

(경계치문제 즉 Elliptic 유형)

시간응답 해석방법

99 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

12

t

UU

t

UU

t

UU

t

UU

t

UU

t

UU

dt

dU

nnnn

nnnn

nnnn

2/12/111

1

1

2

Time Derivative

Backward 기법

Forward 기법(Euler Scheme)

Centered기법(Crank-Nicolson)

유한요소 근사 반복계산 행렬식

☺ n 시점에서의 시간 변화률(기울기)는

몇 가지 방법으로 근사적으로 계산할 수

있음

(열전달 문제의 시간 이산화)

• 는 0과 1사이의 임의의 값이지만 아래와 같은

세가지 기법이 주로 사용됨

이산 이산화(Time Discretization)

100 Theory and Applications of Finite Element Method 유한요소법의 이론과 적용

0

13

이론적 방법: 시간미분 항에 적분을 취함

평형방정식을 설정하는 시점을 기준으로 Implicit과 Explicit기법으로 대별됨

dtdt

tdt

ttt 2

2

2

2

, ,

수치해석적 방법

시간적분(time integration)이란?

시간적분, 수렴성과 안정성(Convergence & Stability)

☺ 수렴성(convergence):

해석결과가 시간과 더불어 정해와

가까워 지는 것을 의미

☺ 안정성(stability):

해석결과의 요동이 시간과 더불어

줄어드는 것을 의미

☺ 임계 시간간격(critical time step):

해석결과의 수렴성과 안정성을 모두

만족시킬 수 있는 최대 시간간격