זרימת נוזלים ללא חיכוך1. משוואת הרציפות –מאזן מסה משוואת ברנולי –מאזן תנע

זרימה עם חיכוך –זרימת נוזלים צמיגים . 2 זרימה למינרית זרימה טורבולנטית הפסדי חיכוך באביזרים זרימה סביב גופים

כימיה בפעולה 3מפגש מספר חישובי זרימה

:ונבצע( מסה תנע ואנרגיה)נשתמש בחוקי השימור

מאזני מסה•

מאזני תנע•

מאזני אנרגיה•

הפיכת אנרגיה מסוגים שונים לאנרגיה קינטית= זרימה

נדון בזרימה חד כיוונית•

נתייחס לזורם כאל נוזל בלתי דחיס •

אך לצורך ההכללה נקרא לו פלואיד

משוואת הרציפות –מאזן מסה

זרימת נוזלים ללא חיכוך. 1

ρ1, U1, A1 ρ2, U2, A2

1 2 11 2 2

1 1 1 2 2 2

V UA

m m V V

U A U A

dmm

dt

dVV

dt

במערכת: iעבור אזור

iAשטח חתך הצינור -

iUמהירות הזרימה -

im

- מסה ליחידת זמן

iV

- נפח ליחידת זמן

iצפיפות -

UAV

משוואת ברנולי –מאזן תנע

שקול הכוחות החיצוניים הפועלים על גוף שווה לשינוי התנע שלו בזמן

AdPPP , הלחץ מימין ומשמאל ,שטח החתך

צפיפות הפלואיד

(הפרשי הלחצים הם הכוח המניע של הזרימה)

:מאזן התנע

מאזן הכוחות

(: הכוחות מחושבים לכיוון הזרימה)

:הכוח משמאל. 11F P A

:הכוח מימין. 2

2F P dP A

:כוח הכובד בכיוון הזרימה. 3

dhdx cos :והרי

1 2tot mF F F F P A P dP A dh g A

dP dh g A

m V A dx

coscos gdxAgmFm

:מאזן התנע :התנע הנכנס ליחידת זמן1.

:התנע היוצא ליחידת זמן 2.

.שווה למאזן הכוחות: הפרש התנע

:נכתוב אותו בצורה אחרת

:והרי לפי משוואת הרציפות

2_T in m U V U U A U U A

2 2_T out m U d m U U A d U A

2d U A

2d A U d A U U Ud A U A UdU

0d A U

2

2

tot

dUT A UdU A

F dP dh g A

:ונכתוב זאת בצורה הבאה

02

1 2 dUgdhdP

.היא למעשה משוואת שימור האנרגיה. זאת משוואת ברנולי

כל איבר בה נקרא עומד והוא מבוטא ביחידות של אנרגיה

ρאם מכפילים את שני האגפים בצפיפות )ליחידת מסה

(. שהן גם יחידות לחץ -אזי היחידות הן אנרגיה ליחידת נפח

02

12

1

2

2

1

2

1

u

u

h

h

P

P

dUgdhdP

2

1

2

2

2

12

12

UUU

hhh

PPP

02

1 2

UhgP

:ואם נבצע אינטגרציה בין שתי נקודות במערכת

02

1 2

g

Uh

g

P

:משוואת ברנולי ביחידות של אורך

כוון הזרימה

:שאלה לדוגמא. 1

.ליטר לדקה 20מים זורמים במערכת הנראית לעיל בספיקה של

אם אבודי החיכוך זניחים 1הערך את הלחץ בנקודה

02

2

hgUP

13131 3.33360

100020min20

scmscmliterQ

1

22

2

2

1

22

1

1

0.424

20.1

3.333

2

5.1698

25.0

3.333

2

scmD

QU

scmD

QU

cmmh 500050 31gr cm

:פתרון

:משוואת ברנולי

:חישוב המהירויות מתוך הספיקה (:הספיקה קבועה –שימו לב )

:הגובה

:צפיפות המים

atmPP

atmcmdynePPP

P

hgUP

5.45.315.3

5.39.3547436

050009802

5.16980.424

1

02

21

2

12

22

2

:נציב בנוסחה

המהירות ידוע ומוכתבת מראש ואינה, מכיוון שנתונה הספיקה

(ואולי יש משאבה בהמשך)תוצאה של הפרשי הגובה

:שאלה לדוגמא. 2

בגובה נמוך יותר . מים זורמים ממאגר עליון דרך צינור לטורבינה

.מהטורבינה ממשיכה הזרימה למטה בצינור בקוטר זהה

.מהירות הזרימה לא משתנהבקטע הצינור הנוכחי

. 207kPaמטר מהטורבינה הוא 100-הלחץ בנקודה הגבוהה ב

. 124kPaמטר מהטורבינה הוא 3-הלחץ בנקודה הנמוכה ב

.-1.00MWמה צריך להיות הספק הזרימה אם הספק הטורבינה הוא

(הסימן השלילי משום שזרימת המים מפעילה את הטורבינה)

m

P Wg h

Q

:פתרון

:משוואת ברנולי למקרה שבו ישנה משאבה או טורבינה במערכת

02 U

אין הפרשי מהירות)

במערכת

(קוטר הצינור אחיד

V

turbineQ

WP

Vm QQ

W טורבינההוא היחס בין הספק ה טורבינהעומד ה: הסבר

( נפח ליחידת זמן)לבין הספיקה הנפחית ( אנרגיה ליחידת זמן)

מתקבלת אנרגיה ליחידת נפח –

והרי היחס בין הספיקה המשקלית לספיקה הנפחית הוא

m

turbine

Q

WP

לכן

313 100011 mkgliterkgcmgr

MKSבגלל נתוני יחידות הלחץ נעבור ליחידות של

:צפיפות המים

:לכן

13

3

1

1212

1

3

6

915.01000

915

,

915

1038.91000

10207124

101

smmkg

skgQQ

hhhPPP

skg

hgP

WQ

mV

m

רימה עם חיכוךז –זרימת נוזלים צמיגים . 2

חיכוך וצמיגות

מהירות

הנוזל

מרחק

מהדופן

המגע בין נוזל הזורם בצינור לגוף הצינור מעכב את הזרימה

. כתוצאה מאינטראקציה בין שכבת הנוזל למוצק ממנו עשוי הצינור

שכבת נוזל רחוקה מתעכבת בגלל מעבר מולקולות וכוחות בין

.מולקולריים ולכן גם מהירות הזרימה שלה מואטת

.נובע מהפרש המהירויות בין השכבות( כוח החיכוך) כוח הגזירה

. במקביל ליחידה זו, הוא הכוח ליחידת שטח מאמץ הגזירה

והפוך למרחק בין השכבות ( dU)הוא פרופורציוני ישר להפרש זה

(dx .) קבוע הפרופורציהµ הוא הצמיגות.

dx

dU

dx

dU הוא קצב הגזירה

,היא גם . בטמפרטורה, תלויה בתכונות הנוזל, צמיגות הנוזל

.תלויה במאמץ הגזירה עצמו אלא אם מדובר בנוזל ניוטוני

צמיגותו אינה תלויה במאמץ הגזירה –נוזל ניוטוני

:יחידות

ppoisecm

grCGS

timedistance

mass

distance

time

distance

distancetime

distancemass

time

distancemassForce

distance

velocity

Area

Force

sec)(

,

22

2

זרימה למינרית

השכבות זורמות במקביל ואין ערבוב -זרימה למינרית בצינור

של חומר בין השכבות

R

r

P·r2 P+ΔP)·r2)

∙2rL

(:אין שינויי מהירות ואין הפרשי גבהים)מאזן הכוחות

הפרש לחצי הנוזל בכניסה וביציאה שווה לכוח הגזירה

rLrPrPP 222

L

rP

dr

dU

dr

dU

L

rPrLrPrPP

2

2222

אינטגרציה

r

R

U

drL

rPdU

20

22

4rR

L

PU

מהירות הזרימה כפונקציה של המרחק

:ממרכז הצינור

r=0:המהירות המרבית היא במרכז הצינור כאשר 2

max4

RL

PU

Pשלילי כי הלחץ יורד בכיוון הזרימה

:חישוב המהירות הממוצעת

:מכפלת המהירות בשטח החתך= ספיקה נפחית

r הספיקה הנפחית היא drוברוחב rבטבעת במרחק

rdrU 2

:הספיקה הכללית תחושב מתוך אינטגרל על פני כל החתך

L

PRrdrrR

L

PrdrUQ

RR

82

42

4

0

22

0

:והמהירות הממוצעת היא הספיקה מחולקת לשטח החתך

L

PR

RL

PR

R

QU

8

1

8

2

2

4

2

42

88

R

QL

R

LUP

:זהו העומד הנוסף בגלל חיכוך ומשוואת ברנולי תכתב לכן

02

1 2 PUhgP

:מפל הלחץ הנובע מהחיכוך בזרימה למינרית בצינור

זרימה טורבולנטית

בתנאים מסוימים הזרימה, אם מגדילים את מהירות זרימת הנוזל

אינה נעשית בקוים ישרים שאינם מתערבבים זה בזה אלא נוצרות

.מערבולות

במקרה זה פרופיל המהירויות

נהיה כמעט אחיד בחתך הצינור

:המדד למעבר מזרימה למינרית לטורבולנטית

:מספר ריינולדס

lUN

Re

- צפיפות הפלואיד ,µ - צמיגות הפלואיד ,

U - מהירות הפלואיד,

l בצינור זהו -ממד אופייני למערכתD - קוטר הצינור

אנו מחפשים דמיון בין מערכות שונות. מספר זה הוא חסר ממד

.כאשר מספר זה זהה

הזרימה הופכת מלמינרית NRE>2300כאשר , בצינור רגיל

.לטורבולנטית

:היתרונות של זרימה טורבולנטית

מהירות הזרימה כמעט זהה בחתך הצינור•

המערבולות משפרות את מעבר החום•

המערבולות משפרות את מעבר החומר•

מצב של זרימה מהירה•

:החסרון

יש להפעיל –חיכוך גבוה יותר מאשר בזרימה למינרית

.מפל לחץ גדול יותר כדי לאפשר זרימה

חישוב החיכוך בזרימה טורבולנטית נעשה אחרת מהחישוב

עבור זרימה למינרית

(fanning friction factor)גורם החיכוך של פנינג

LU

RPf

L

RP

Uf

2

22

,

2

:עומד החיכוך בזרימה טורבולנטית

R

LUfP

2

F vs NRe (including k/D dependance)

. שאלה לדוגמא:3 מטר וקוטר 300 את מפל הלחץ בגלל חיכוך בצינור באורך של ומצא0.05m של ספיקה מ"מ, כאשר מים זורמים בו ב150

3 s

-1 . נתון כי

. k=0.0015mmעבור צינור זה מידת החספוס היא:

פתרון:

נחשב את הגדלים הבאים עבור המערכת תוך שימוש ביחידות

:CGSשל

5

2

1

2

6

2

5

1025.410

283151Re

2835.7

1005.0

2

,101150

0015.0

UD

scmD

QU

D

k

0035.0fמנתונים אלו מראה הגרף כי מקדם החיכוך הוא:

מכאן, מפל הלחץ בגלל החיכוך הוא:

22

6 20.0035 1 283 300001.12 10 1.12

7.5

f U LP dyne cm atm

R

. שאלה לדוגמא:4

( נשאב ממיכל )השאיבה לא בעזרת משאבה אלא =50lbm·ft-3בנזין )

F=0.8ft·lbf·lbmבגלל הפרשי הגובה(. איבודי החיכוך בקו הם -1.

גלונים )ארה"ב(.5העריכו כמה זמן יקח לשאוב

)פני 1 זניח, וכי שתי הנקודות 1 הניחו כי השינוי בגובה הבנזין במיכל )יציאת הצינור( הן בלחץ של אטמוספרה אחת.2הבנזין במיכל( ו-

נחשב את מהירות הזרימה בצינור מתוך משוואת ברנולי. מתוך ידיעת

המהירות ושטח חתך הצינור נחשב את הספיקה. הספיקה תתן לנו

גלונים של בנזין.5אפשרות לחשב את הזמן לקבלת

:CGSנעבור ליחידות של

cmD

RcmcmD

cmcmgalonV

grerggrerg

kgJlblbftF

cmgrcmgrftlb

cmcmfth

mf

m

3175.02

635.054.225.0''25.0

1089.110007854.355

1039.21000

109890.28.0

9890.28.08.0

8.043.62

5050

2.7648.305.25.2

343

1417

11

333

נכתוב את משוואת ברנולי עם איבודי חיכוך:

02

2

FhgUP

והרי:

?,01039.2,2.76,0 212

12

2

214 UUUUUgrergFcmhP

נציב ערכים אלו במשוואה ונחשב את המהירות:

12

4

22

7.318

01039.22.769802

0

scmU

U

חישוב הספיקה:

1322 9.1003175.07.318 scmRUQ

חישוב הזמן הדרוש:

min12.33.1879.100

1089.1 4

sQ

Vt

הפסדי חיכוך באביזרים

:אביזרי צנרת שונים מעכבים את הזרימה

, שינויים בקוטר הצנרת, Tחיבורי , ברכיים

אביזרי מדידה, ברזים ושסתומים

:הרחבה

(:הצינור אופקי)בזרימה מצינור צר לרחב

Ai שטח החתך בנקודהi

Pi הלחץ בנקודהi

Ui המהירות בנקודהi

עיקר החיכוך נובע מהמערבולות שנוצרות מההרחבה

11 1, ,A P U 222 ,, UPA

:מאזן התנע

.הפרש הכוחות שווה לשינוי בתנע ליחידת זמן

:אם שינוי המסה ליחידת זמן הוא אזיdt

dmm

122221 UUmAPAP

:מאזן המסה

2211

222111

21

AUAU

AUAU

:משוואת ברנולי עם הפסדי חיכוךfeh

UUPP

2

21

2221

feh עומד החיכוך עבור הרחבה(e)

:ומקבלים מתוך מאזן התנע ומאזן המסה

2

122

21

2

2

1

21

2

21 Uk

A

AUUUh efe

מקדם ההפסד של ההרחבה הוא קבוע הפרופורציה בין עומד

החיכוך לעומד הקינטי 2

21U fehek

2

2

11

A

Ake

עבור הצרה בצנרת

2

1

21

14.0

2

A

Ak

Ukh

c

cfc

המתאימים kגם עבור אביזרים אחרים מחושבים מקדמי הפסד

:לעומד חיכוך

2

21U

kh f

Fitting K Fitting K

Valves: Elbows:

Globe, fully open 10 Regular 90°, flanged 0.3

Angle, fully open 2 Regular 90°, threaded 1.5

Gate, fully open 0.1

5 Long radius 90°, flanged 0.2

Gate 1/4 closed 0.2

6 Long radius 90°,

threaded 0.7

Gate, 1/2 closed 2.1 Long radius 45°,

threaded 0.2

Gate, 3/4 closed 17 Regular 45°, threaded 0.4

Swing check, forward

flow 2

Swing check, backward

flow

infin

ity Tees:

Line flow, flanged 0.2

180° return bends: Line flow, threaded 0.9

Flanged 0.2 Branch flow, flanged 1.0

Threaded 1.5 Branch flow, threaded 2.0

http://www.lmnoeng.com/surface.htm

. שאלה לדוגמא:5

gr cm 0.7 וצפיפותו cp 0.5תוצר של נפט שצמיגותו -3

נשאב דרך

100 מטר לתאי אחסון הנמצאים במרחק של 0.15צינור בקוטר של

)צינור אופקי(מטר

kN m 70מפל הלחץ בצינור הוא -2

.

לשאוב את הנוזל במסלול אלטרנטיבי וכן החליטוליש לתקן את הקוים

50 מ"מ ומיד אחריו 200 מטר של צינור בקוטר של 70המורכב מ-

מ"מ. 100מטר של צינור בקוטר של

300kN mהמשאבה הנוכחית יכולה לפתח לחץ מקסימלי של -2

.

מ"מ. 0.005 כי חספוס הצינורות הוא וחיהנ

האם ניתן יהיה להשתמש במשאבה זו במהלך התיקונים?

השאיבה בקוים החילופיים נעשית באותה ספיקה.

פתרון:

(CGSהנתונים שבידינו הם: )תורגם ליחידות

2

3

0 0

1

2 5 2

0

2 6 2

max

1 1

1

2 2

1

0.5 0.5

0.7

0.15 15 7.5

100 10000

70 7.0 10

300 3.00 10

200 20 10

70 7000

100 10 5

50 5000

0

mN s m cp

gr cm

D m cm R cm

L m cm

P kN m dyne cm

P kN m dyne cm

D mm cm R cm

L m cm

D mm cm R cm

L m cm

k

5 5 5

1 2 0

.005

2.5 10 , 5 10 , 3.33 10

mm

k k k

D D D

נמצא ביטוי למהירות הזרימה בעזרת מפל הלחץ מתוך הנחה שמפל נובע רק מחיכוך הנוזל עם הצינור, ואין אלמנטים בדרך.

2 2 57 10

100002 1 10.72 7.5 2

f U L U PP U

L f fRR

חדש f ונחשב את מספר ריינולדס ונתאים לו מספר ’fנניח מקדם חיכוך בהתאם למקדם החספוס שלו. נעשה מספר איטרציות עד אשר נמצא את

מקדם החיכוך המתאים. ואת המהירות המתאימה

ואכן חישוב של המהירות:f=0.0035לבסוף הגענו למסקנה כי

517 10

44010000 0.00351 0.7 0.5

7.52

PU cm s

L fR

ושל מספר ריינולדס המתאים:

5

2Re 103.9105.0

440157.0)0(

UDN

.f=0.0035ואכן לפי הגרף מתקבל

נוכל לחשב את מהירויות , מתוך יחסי שטח החתך של הצינורות החלופיים

.המתאימים ריינולדסולכן את מספרי , הזרימה בכל אחד מהם

(מניחים שהספיקה נשארת אותה ספיקה)

6

2

22Re

1

2

2

2

2

2

002

5

2

11Re

1

2

2

2

1

2

001

1038.1105.0

990107.0)2(

99010

15440

1094.6105.0

247207.0)1(

24720

15440

UDN

scmD

DUU

UDN

scmD

DUU

.לכל אחד מהם לפי הגרף fשוב נמצא את המקדמים

003.0

0035.0

2

1

f

f

R

LUfP

2

522

2

262

2

2

2

222

252

1

1

2

111

104.32

9907.0

2

1006.25

5000990003.07.0

1005.110

70002470035.07.0

UP

cmdyneR

LUfP

cmdyneR

LUfP

kin

2422

2

1

2 108.92

990

20

1014.0

214.0

cmdyne

U

A

APjunction

5 6 4 5

1 2

6 2 6 2

1.05 10 2.06 10 9.8 10 3.4 10

2.61 10 3.00 10

tot junction kinP P P P P

dyne cm dyne cm

נחשב מתוך המשוואה

את מפל הלחץ עקב חיכוך המתפתח בכל אחד מהצינורות הללו ונוסיף את מפל

:הלחץ בגלל העומד הקינטי

ונוסיף גם את מפל הלחץ שנובע ממעבר של צינור בקוטר רחב לצינור צר

(בספר הלימוד 3-41משוואה )ממנו

אם הוא קטן . סכום כל הלחצים הוא מפל הלחץ שצריכה לתת המשאבה

.המשאבה מתאימה, ממקסימום היכולת

,ניתן להזניח עומדים מסוימים שערכם קטן יחסית -שימו לב

.פתרו את הבעיה בהנחות אלו וראו אם יש הבדל ומהו

.לעיתים נתונה השפעת החיכוך של האביזרים כאורך אקווילנטי

מטר ואורכם האקויולנטי 50למשל אומרים שאורך הצינור הוא

.מטרים נוספים 23של האביזרים הוא

:במקרה זה עומד החיכוך מחושב כ

R

Uf

R

LLUfP )2350()'( 22

:שאלה לדוגמא. 6

כמהנדס . באילת קיים מפעל לגידול אצות הנמצא בסמוך לעיר

ים לתוך בריכות –המפעל תפקידך לתכנן מערכת אשר תשאב מי

.הגידול של האצות

ק לשעה"מ 24ספיקת מי הים הנדרשת הינה

אורך . סנטיפואז 5ק וצמיגותם "גרם לסמ 1.8צפיפות מי הים

4''קוטרו , מ"ק 2.2הצינור הנמשך ממפרץ אילת לבריכה הינו

.k=0.406mmומקדם החספוס שלו

.מטרים 1370סך אורכם האקויולנטי של אביזרי הצנרת הוא

מטר 5הגובה הטופוגרפי של פני המים בבריכות הגידול הינו

.מעל פני הים

?מהו הספק המשאבה הנדרש למערכת זו

:פתרון

wsJsergW

W

Q

W

R

LLUfhhg

UUPP

f

DUN

scmR

QU

sgrcmgrscmQ

scmscmhrmQ

D

k

cmLLL

cmRcmD

m

m

tot

5154515410154.5

102.108.5

1057.323.82008.0500980

2

23.820

'

2

008.0

10305.0

8.116.1023.82

23.8208.5

10667.6

102.18.110667.6

10667.63600

102424

004.016.10

0406.0

1057.31037.1102.2'

08.516.10''4

1110

4

522

2

12

21

2212

4

Re

1

2

3

2

143133

133136

13

555

זרימה סביב גופים

הכוח הפועל על חלקיק בכוון הזרימה עקב זרימת –כוח גרר

הנוזל סביבו

כוח גרר צורה

כוח גרר דופן

לרוב שילוב של שניהם

מוכפל CDהעומד המתאים במשוואת ברנולי הוא מקדם הגרר

בעומד הקינטי2

2

U

APמחולק בשטח החתך של הגוף FDעומד זה הוא כוח הגרר

:לכן( היטל הגוף על המישור הניצב לכוון הזרימה –יותר נכון )

P

DD

A

FUC

2

2

Uמהירות הפלואיד לפני שנתקל בגוף

:כאשר מתקיים חוק סטוקס, במהירויות נמוכות

(עבור זרימה סביב כדור)

Re

24

NCD

1.0Re N

DUFD 3ומהצבה מתקבל:

CD=0.4במהירויות גבוהות נמצא כי

מושגת מהירות סופית קבועה , כאשר חלקיקים שוקעים בפלואיד

:שבה ההפרש בין כוח העילוי לכוח הכובד שווה לכוח הגרר

Vg: כוח העלוי

PVg: כוח הכובד

F = ( P- )Vg: ההפרש ביניהם

- צפיפות הפלואיד ,V- נפח החלקיק ,g- התאוצה הגרביטציונית

P- צפיפות החלקיק- Ut – המהירות הסופית המתקבלת היא:

PD

Pt

t

PDP

AC

VgU

UACVg

2

2

2

:במקדם ריינולדס CDתלות

:תלות בחזקה ראשונה של המהירות –בתחום הלמינרי

(עבור זרימה סביב כדור)

:תלות בחזקה שנייה של המהירות –בתחום הטורבולנטי

.2-ל 1החזקה היא בין ( Nre>0.1<1000)בתחום הביניים

2

2

UACF PDD

UDFD 3