Лектор: Подымов Владислав Васильевич · 2018. 4. 16. ·...

Математическая логика

Лектор:

Подымов Владислав Васильевич

e-mail:[email protected]

2018, весенний семестр

Лекция 11–12

Аксиоматические теории

Основные свойства теорий

Формальная арифметика

Арифметика Пеано

Теорема Гёделя о неполноте

Определимость

Арифметика Пресбургера

Вступлениеϕ: 2× 2 = 4

Попробуем доказать справедливость арифметическогоутверждения ϕ логическими методамиДля этого придумаем систему предложений Γ, таких что

I Γ |= ϕ

I все формулы из Γ истинны в целочисленнойарифметической интерпретации Iσar сигнатуры σ:

I предметная область Iσar — множество N0 = {0, 1, 2, . . .}I символы чисел, арифметических операций и отношений изσ оцениваются соответствующими числами, операциями иотношениями

(то есть формулами из Γ описываютсяверные арифметические свойства)

Тогда по определению логического следования будет верноIσar |= ϕ: “дважды два — действительно четыре”

Вступлениеϕ: 2× 2 = 4

Что такое “2” и “4”?I 4 — это число, следующее за 3: s(3)

I s — операция прибавления единицыI 3 — это s(2)

I 2 — это s(1)

I 1 — это s(0)

I 0 пока определять не будем

Начнём с сигнатуры σ =⟨{0},

{×(2), s(1)

},{

=(2)}⟩

Утверждение ϕ, записанное в сигнатуре σ, выглядит так:

s(s(0))× s(s(0)) = s(s(s(s(0))))

Вступлениеϕ: s(s(0))× s(s(0)) = s(s(s(s(0))))

Что такое “×”?

Одно из определений операции умножения целыхнеотрицательных чисел выглядит так:это двуместная операция ×, такая что для любыхчисел x и y верно следующее:

I x× 0 = 0

I x× (y + 1) = x× y + x

Добавим функциональный символ +(2) в сигнатуру σи запишем индуктивное определение × как две формулы:

I A×0: ∀x (x× 0 = 0)

I A×s: ∀x ∀y (x× s(y) = x× y + x)

Очевидно (?), что Iσar |= A×0 и Iσar |= A×s


Что такое “+”?

Одно из определений операции сложения целыхнеотрицательных чисел выглядит так:это двуместная операция +, такая что для любыхчисел x и y верно следующее:

I x + 0 = x

I x + (y + 1) = (x + y) + 1

Запишем индуктивное определение + как две формулы:I A+0: ∀x (x + 0 = x)

I A+s: ∀x ∀y (x + s(y) = s(x + y))

Очевидно (?), что Iσar |= A+0 и Iσar |= A+s


Что такое “=”?

Это отношение эквивалентности:I Ar=: ∀x (x = x) (оно рефлексивно)I As=: ∀x ∀y ((x = y)→ (y = x)) (оно симметрично)I At=: ∀x ∀y ∀z ((x = y) &(y = z)→ (x = z))

(оно транзитивно)

При этом в формулах Ar=, As=, At=, в числе прочего, неутверждается, что если x = y, то s(x) = s(y): с точки зренияэтих формул, “=” — это просто какое-то отношениеэквивалентности каких-то предметов

Добавим к списку верных арифметических свойств такое:I A=+s: ∀x ∀y ((x = y)→ (s(x) = s(y)))


Γ = {A×0,A×s,A+0,A+s,Ar=,As=,At=,A=+s}σ =

⟨{0},

{s(1),+,×

}, {=}

⟩Покажем, что Γ |= ϕ

Если это действительно так, то по определению логическогоследования будет верно следующее: в любой интерпретации,в которой верны все утверждения из Γ (в том числе и винтерпретации Iσar), обязательно верно и утверждение ϕ

Для наглядности в обосновании вместо термовs(0), s(s(0)), s(s(s(0))), . . .

будут записываться соответствующие числа:1, 2, 3, . . .



⟨{0},

{s(1),+,×

}, {=}

⟩В обосновании будут использоватьсяследующие два очевидных (?) утверждения:

УтверждениеДля любой формулы ψ и любых множеств формул Γ, ∆верно следующее: если Γ |= ψ, то Γ ∪∆ |= ψ

УтверждениеДля любых формул ψ, χ и любого множества формул Γверно следующее: если Γ |= ψ и Γ ∪ {ψ} |= χ, то Γ |= χ


Γ = {A×0,A×s,A+0,A+s,Ar=,As=,At=,A=+s}A×0 |= 2× 0 = 0 (ϕ1)A+0 |= 2× 0 + 0 = 2× 0 (ϕ2)At=, ϕ1, ϕ2 |= 2× 0 + 0 = 0 (ϕ3)A=+s, ϕ3 |= s(2× 0 + 0) = 1 (ϕ4)A+s |= 2× 0 + 1 = s(2× 0 + 0) (ϕ5)At=, ϕ4, ϕ5 |= 2× 0 + 1 = 1 (ϕ6)A=+s, ϕ6 |= s(2× 0 + 1) = 2 (ϕ7)A+s |= 2× 0 + 2 = s(2× 0 + 1) (ϕ8)At=, ϕ7, ϕ8 |= 2× 0 + 2 = 2 (ϕ9)A×s |= 2× 1 = 2× 0 + 2 (ϕ10)At=, ϕ9, ϕ10 |= 2× 1 = 2. . .At=, . . . |= 2× 2 = 4

Следовательно, Γ |= 2× 2 = 4



⟨{0},

{s(1),+,×

}, {=}

⟩Сигнатурой σ задана совокупность понятий, которыедопускается использовать в формулировке высказываний:константа 0, операции s, + и ×, отношение =

Множеством Γ задан набор a priori верных свойств,определяющих смысл этих понятий: утверждений, нетребующих доказательств, то есть аксиом

Формула ϕ — это высказывание, справедливость которого приусловии справедливости утверждений из Γ потребовалосьдоказать: теорема



⟨{0},

{s(1),+,×

}, {=}

⟩Если множество аксиом (Γ) подобрано “достаточно хорошо”, тооно без изменений может быть использовано придоказательстве многих других справедливых теорем

Набор аксиом, вместе с выбранной сигнатурой позволяющийформулировать и доказывать теоремы, называетсяаксиоматической теорией

Если в качестве аксиом и теорем выбраны формулы логикипредикатов (первого порядка), то такой теории присваиваетсяназвание

аксиоматическая теория первого порядка


Выберем сигнатуру σ алфавита логики предикатов

Теория1 T сигнатуры σ — это множество предложений(сигнатуры σ)

Формулы, принадлежащие теории T , называются аксиомамиэтой теории

Логические следствия теории T называются теоремами этойтеории

Если теория ясна из контекста, то будем теоремы теорииназывать просто теоремами

1 Полное название: аксиоматическая теория первого порядка

Аксиоматические теорииФормула ϕ общезначима в теории T , если ∀x̃n ϕ(x̃n) — теоремаДругое название: T -общезначимаОбозначение: |=T ϕФормула ϕ противоречива в теории T , если формула ¬ϕT -общезначимаДругие названия: невыполнима в теории T , T -противоречива,T -невыполнимаОбозначение: 6||=T ϕ1

Формула ϕ выполнима в теории T , если она не являетсяT -противоречивойДругое название: T -выполнимаОбозначение: ||=T ϕ1

1 Как и раньше, это обозначение необщеизвестно, его придумал я,чтобы сэкономить место на слайдах

Аксиоматические теорииДостаточно исследовать только одно из трёх свойств(общезначимость, выполнимость, невыполнимость в теории):

Утверждение

формула ϕ(x̃n) T -общезначима

формула ψ(x̃n) T -невыполнима

формула ϕ(x̃n) T -выполнима

предложение ψ T -общезначимо

предложение ϕ T -невыполнимо

предложение ψ T -выполнимо

ψ = ∀x̃n ϕ(x̃n)

ϕ = ∃x̃n ψ(x̃n)

ψ = ∃x̃n ϕ(x̃n)

ψ(x̃n) = ¬ϕ(x̃n)ϕ(x̃n) = ¬ψ(x̃n)

противоположныйответ

ϕ = ψ

Доказательство.Самостоятельно (это просто)

Аксиоматические теорииДостаточно исследовать только одно из трёх свойств(общезначимость, выполнимость, невыполнимость в теории):Утверждение

формула ϕ(x̃n) T -общезначима

формула ψ(x̃n) T -невыполнима

формула ϕ(x̃n) T -выполнима

предложение ψ T -общезначимо

предложение ϕ T -невыполнимо

предложение ψ T -выполнимо

ψ = ∀x̃n ϕ(x̃n)

ϕ = ∃x̃n ψ(x̃n)

ψ = ∃x̃n ϕ(x̃n)

ψ(x̃n) = ¬ϕ(x̃n)ϕ(x̃n) = ¬ψ(x̃n)

противоположныйответ

ϕ = ψ

Доказательство.Самостоятельно (это просто)


Пример:σ =

⟨{0},

{s(1),+,×

}, {=}

⟩Γ = {A×0,A×s,A+0,A+s,Ar=,As=,At=,A=+s}

ϕ: 2× 2 = 4

Γ — теория сигнатуры σ

|=Γ ϕ, а значит, предложение ϕ является Γ-общезначимым

Iσar |= Γ, но Iσar 6|= ¬ϕ, а значит, Γ 6|= ¬ϕ, иI предложение ¬ϕ не является Γ-общезначимымI предложение ϕ не является Γ-противоречивымI предложение ϕ является Γ-выполнимым

|=Γ ¬¬ϕ, а значит, предложение ¬ϕ является Γ-противоречивым

Проблема общезначимости формул втеории

Проблема общезначимости формул в теории Tформулируется так:

для заданной формулы ϕ проверить,является ли она T -общезначимой:

?

|=T ϕ


Элементарная теория интерпретации I сигнатуры σ (Th(I)) —это множество всех предложений сигнатуры σ, истинных в I

Для любой интерпретации I существует элементарная теория(по определению), но этот факт никак не помогает проверятьистинность формул в интерпретации I: |=Th(I) ϕ(x̃n) — этосиноним записи ∀x̃n ϕ ∈ Th(I), а значит, и I |= ϕ

В частности, существует и элементарная теория интерпретацииIσar (σ =

⟨{0},

{s(1),+,×

}, {=}

⟩)

Основные свойства теорийСуществует элементарная теория интерпретации Iσar(σ =

⟨{0},

{s(1),+,×

}, {=}

⟩)

При этом ранее была предложена теория Γ, позволяющаяпроверять истинность каких-то арифметических утвержденийБолее того, можно наугад выписать несколько предложений всигнатуре σ, объявить их аксиомами, а все логическиеследствия аксиом — арифметическими теоремами

Далее будет введено несколько понятий, позволяющихрассуждать о том, чем одни теории “лучше” других:

I адекватность интерпретациямI непротиворечивостьI независимостьI разрешимостьI полнота

Основные свойства теорийТеория T адекватна классу интерпретаций I, если любаяинтерпретация из I является моделью всех предложениймножества TНапример, теория Γ, предложенная ранее при доказательстветого, что дважды два — четыре, адекватна арифметическойинтерпретации

Другой пример: теория частичных порядков — это теориясигнатуры 〈∅, ∅, {<}〉, содержащая две аксиомы:

I аксиома антирефлесивности строгого частичного порядка:∀x ¬(x < x)

I аксиома транзитивности строгого частичного порядка:∀x ∀y ∀z ((x < y) &(y < z)→ (x < z))

Теория частичных порядков адекватна множеству всехинтерпретаций, оценивающих символ “<” как отношениестрогого частичного порядка

Основные свойства теорийТеория T непротиворечива, если существует интерпретация,являющаяся моделью для всех формул из T , и противоречива впротивном случае

УтверждениеЛюбая формула ϕ является общезначимой иневыполнимой и не является выполнимой в любойпротиворечивой теории TДоказательство.Множество предложений T не имеет ни одной моделиТогда по определению логического следования:1. T |= ϕ, то есть формула ϕ T -общезначима2. T |= ¬ϕ, то есть формула ϕ T -противоречива и,

следовательно, не является T -выполнимой H

Таким образом, все противоречивые теории абсолютнобессмысленны

Основные свойства теорийПредложение ϕ независимо в теории T , если T 6|= ϕ

Теория T независима, если если каждая аксиома ϕ из Tнезависима в теории T \ {ϕ}, и зависима в противном случае

Содержательно, зависимая теория — это теория, аксиомыкоторой избыточны: можно удалить хотя бы одну из них безизменения множества всех теорем

Пример:

Γ =

ϕ1 : ∀x ∀y (x + y = y + x),ϕ2 : 3 = 1 + 2,ϕ3 : 3 = 2 + 1

Теория Γ зависима: ϕ1, ϕ2 |= ϕ3

Это означает, что теория {ϕ1, ϕ2} имеет то же множествотеорем, что и Γ, но при этом чуть лучше Γ тем, что содержитменьше формул

Основные свойства теорийТеория T называется разрешимой, если проблемаT -общезначимости формул алгоритмически разрешима

Содержательно, разрешимость теории означает, что существуетспособ автоматически доказать или опровергнуть каждуютеорему, которую в принципе можно доказать или опровергнуть

Осталось определить понятие полноты теории

Начнём издалека: представим себе, что теория Tразрабатывалась так:

I выбрана одна интерпретация II в теорию T включено достаточно аксиом, чтобы

утверждать, что ими в точности описывается смысл всехконстант, операций и отношений, задаваемых I

Как строго определить фразу “в точности описывается смысл”?

Основные свойства теорий“аксиомами теории T в точности описывается смысл понятий,задаваемых интерпретацией I”

Вариант 1: интерпретация I является единственноймоделью множества T

Интерпретации I =⟨

DI ,Const,Func,Pred⟩и

J =⟨

DJ ,Const,Func,Pred⟩изоморфны, если существует

взаимно-однозначное отображение τ : DI → DJ , такое что

I c = τ(c) (c ∈ Const)

I f(τ(d1), . . . , τ(dn)) = τ(f(d1, . . . , dn))(f(n) ∈ Func; d1, . . . , dn ∈ DI)

I P(τ(d1), . . . , τ(dn)) = P(d1, . . . , dn)(P(n) ∈ Pred; d1, . . . , dn ∈ DI)


Вариант 1: интерпретация I является единственноймоделью множества T

Утверждение. Если I |= T и интерпретация Jизоморфна интерпретации I, то J |= T

Доказательство.Очевидно? (I и J отличаются только тем, какименно названы предметы)

Следствие. Любая непротиворечивая теория имеетбесконечно много моделей

Значит, вариант 1 несостоятелен


Вариант 2: все модели теории T изоморфныМощность предметной области любой интерпретации можноувеличить так:1

I произвольно выберем предмет d

I добавим в предметную область новые предметы: столько,чтобы мощность множества этих предметов была большемощности исходной предметной области

I доопределим все оценки интерпретации так, чтобыдобавленные предметы были неотличимы от d

1 Здесь записано доказательство утверждения о несостоятельностиварианта 2, но строгая формулировка, и тем более доказательство, неприводятся. Чтобы записать всё строго, требуется углубиться в теориюмножеств — делать это сейчас нет ни времени, ни желания.


Вариант 2: все модели теории T изоморфны

Расширенная интерпретация неизоморфна исходной, так какне существует биекции между множествами различноймощности

При этом расширенная интерпретация отличается от исходнойтолько тем, что одному исходному предмету d присвоенонесколько названий

Значит, вариант 2 тоже несостоятелен

Основные свойства теорий“аксиомами теории T в точности описывается смысл понятий,задаваемых интерпретацией I”Интерпретации I, J элементарно эквивалентны, если

Th(I) = Th(J )

Вариант 3 (подходящий): все модели теории Tэлементарно эквивалентны

УтверждениеЛюбые изоморфные интерпретации элементарноэквивалентныДоказательство. Очевидно?

УтверждениеСуществуют неизоморфные элементарноэквивалентные интерпретацииДоказательство. Попробуйте самостоятельно

Основные свойства теорийТеория T называется полной, если для любого предложения ϕверно хотя бы одно из соотношений: |=T ϕ, |=T ¬ϕ

УтверждениеТеория T полна тогда и только тогда, когда все еёмодели элементарно эквивалентныДоказательство.(⇒): Рассмотрим предложение ϕЕсли |=T ϕ, то для любой модели I теории T верно: I |= ϕ

Иначе |=T ¬ϕ, и для любой модели I теории T верно: I |= ¬ϕ(⇐): Рассмотрим модель I теории T и предложение ϕЕсли I |= ϕ, то для любой модели J теории T верно J |= ϕ, азначит, |=T ϕИначе I |= ¬ϕ, а значит, для любой модели J теории T верноJ |= ¬ϕ, и тогда |=T ¬ϕ H


Пример: теория частичных порядков

T< =

{∀x ¬(x < x)

∀x ∀y ∀z ((x < y) &(y < z)→ (x < z))

}неполна:

I 6|=T< ∃x ∃y (x < y)I так как существует частичный порядок, содержащий только

несравнимые элементыI 6|=T< ¬∃x ∃y (x < y)

I так как существует частичный порядок, содержащий парусравнимых элементов

Формальная арифметика

Остановимся подробнее на том, как может выглядеть теория,предназначенная для доказательства арифметических теорем

Для начала остановимся на такой сигнатуре (сигнатуреформальной арифметики):

σar =⟨{0},

{s(1),+(2),×(2)

}, {=}

⟩Формальная арифметика — это любая теория, адекватнаяарифметической интерпретации Iar = Iσarar

Числами будем называть предметы модели формальнойарифметики

Формальная арифметикаПример: множество Γ, предложенное в начале лекции длядоказательства того, что дважды два — четыре, являетсяформальной арифметикой:

A×0 : ∀x (x× 0 = 0)A×s : ∀x ∀y (x× s(y) = x× y + x)A+0 : ∀x (x + 0 = x)A+s : ∀x ∀y (x + s(y) = s(x + y))Ar= : ∀x (x = x)As= : ∀x ∀y ((x = y)→ (y = x))At= : ∀x ∀y ∀z ((x = y) &(y = z)→ (x = z))A=+s : ∀x ∀y ((x = y)→ (s(x) = s(y)))

Но это не очень хорошая арифметика

Например, в такой арифметике нельзя ни доказать, ниопровергнуть, что дважды два — три: среди моделей Γ естьтакая, в которой все числа равны

Формальная арифметикаДругой пример: арифметика Пеано — это множество аксиом

A×0 : ∀x (x× 0 = 0)A×s : ∀x ∀y (x× s(y) = x× y + x)A+0 : ∀x (x + 0 = x)A+s : ∀x ∀y (x + s(y) = s(x + y))Ar= : ∀x (x = x)As= : ∀x ∀y ((x = y)→ (y = x))At= : ∀x ∀y ∀z ((x = y) &(y = z)→ (x = z))A=+s : ∀x ∀y ((x = y)→ (s(x) = s(y)))A=−s : ∀x ∀y ((s(x) = s(y))→ (x = y))A0 : ∀x ¬(0 = x)Aind : ϕ {x/0}& ∀x (ϕ→ ϕ {x/s(x)})→ ∀x ϕ

Aind — это схема аксиом индукции: бесконечное множествоаксиом, по одной для каждой формулы ϕ(x)

А насколько хороша арифметика Пеано, и можно ли придуматьарифметику ещё лучше?

Теорема Гёделя о неполнотеЛюбая рекурсивно перечислимая1 формальнаяарифметика неполна

Набросок доказательства

Докажем более простое утверждение:любая конечная теория с моделью Iar неполна

От противного предположим, что существует конечная полнаятеория T , такая что Iar |= T

Докажем, что в любой такой теории T необходимо присутствуетпарадокс лжеца:

существует предложение,утверждающее, что это предложение ложно

1 Существует алгоритм, перечисляющий аксиомы одну за одной;останавливаться алгоритм не обязан

Теорема Гёделя о неполнотеНабросок доказательства

Предметы интерпретации Iar — целые неотрицательные числа,поэтому начнём доказательство с сопоставления каждойформуле такого числа1

Сопоставим натуральное число каждому символу алфавитасигнатуры σar :

I g(0) = 1, g(+) = 2, g(×) = 3, g(=) = 4

I g(() = 5, g(,) = 6, g()) = 7

I g(&) = 8, g(∨) = 9, g(→) = 10, g(¬) = 11,g(∀) = 12, g(∃) = 13

I g(x1) = 14, g(x2) = 15, g(x3) = 16, . . .

1 То есть с описания нумерации Гёделя


Сопоставим формуле ϕ натуральное число (код формулы)g(ϕ) = p

g(ϕ[1])1 × p

g(ϕ[2])2 × · · · × p

g(ϕ[|ϕ|])|ϕ|

ЗдесьI pi — i -е простое числоI ϕ[i ] — i -й символ в записи формулы ϕ

I |ϕ| — размер записи формулы ϕ

УтверждениеСуществует алгоритм, проверяющий, является ли числоi , i ∈ N0, кодом формулы

(здесь и дальше “алгоритм” — это машина Тьюринга,с алфавитом ленты {0, 1,Λ},работающая с двоичными кодами чисел)


Используя тот же приём со степенями простых чисел, можноопределить код

I конечной последовательности формулI конечной семантической таблицыI конечного табличного вывода

В теореме полноты табличного вывода был описан алгоритмпостроения успешного вывода Tab(ϕ) для таблицы 〈 T | ϕ 〉, гдеϕ — произвольная T -общезначимая формула

УтверждениеСуществует алгоритм, останавливающийся тогда итолько тогда, когда на вход подан код какой-либообщезначимой формулы ϕ, и выдающий в ответ кодвывода Tab(ϕ)


Существование парадокса лжеца в формальной арифметикеосновывается на том, что арифметическими формулами можноописать всё, что можно вычислить

Вычислимая функция — это частично определённоеотображение f : N0 → N0, такое что существует реализующийего алгоритм

(предполагаю, что понятие вычислимой функции вам знакомо,поэтому подробнее на нём не останавливаюсь)

График функции f : N0 → N0 — это множество всех пар чисел(i , j), таких что значение f (i) определно и равно j


Отношение R ⊆ Nn0 арифметизуемо, если существует формула

ϕ(x̃n) в сигнатуре формальной арифметики, такая что

Iar |= ϕ(x̃n)[d̃n] ⇔ (d̃n) ∈ R

УтверждениеГрафик любой вычислимой функции арифметизуем

(это утверждение нетривиально,но доказываться не будет)

Как следствие, арифметизуемым будет график такой функции:

ft(i) =

g(Tab(g−1(i))), если i — код

T -общезначимой формулыне определено, иначе


Это означает, что существует формула Proof (x, y), такая чтоIar |= Proof (x, y)[d1, d2]

⇔d2 — код табличного вывода Tab(ϕ),

где ϕ — формула, кодом которой является число d1

Рассмотрим такую формулу Val(x):∃y Proof (x, y)

Что означает формула Val?

Iar |= Val [d ] ⇔ d — код формулы, истинной в Iar

Мы выразили свойство истинности формул арифметики наязыке самой арифметики, и теперь наконец-таки можемпопытаться формализовать парадокс лжеца


Лемма о диагоналиДля любой арифметической формулы ϕ(x) существуетарифметическое предложение ψ, такое что

Iar |= (ψ ↔ ϕ(x))[g(ψ)]

(это второе нетривиальное утверждение,которое приведено без доказательства)

Применим лемму о диагонали к формуле ϕ = ¬Val :

Существует предложение ψ, такое чтоIar |= (ψ ↔ ¬Val(x))[g(ψ)]

Предложение ψ — формализация парадокса лжеца:

Предложение ψ истинно в Iar ⇔ оно ложно в IarH


Итог: если взять любой набор арифметических свойств, скоторым хоть как-нибудь можно работать (бесконечноперечислять), то обязательно найдётся арифметическаятеорема, которую нельзя ни доказать, ни опровергнуть

СледствияI Никакая конечная формальная арифметика не полнаI Арифметика Пеано неполнаI Если Вы начнёте перечислять какие угодно конкретные

арифметические свойства и включать их в список аксиом,то не получите полную арифметику

I Элементарная теория интерпретации Iar не являетсярекурсивно перечислимой

I Полная формальная арифметика неразрешима


Негативный результат теоремы Гёделя может показатьсястранным в свете того, что выбран довольно узкий фрагментарифметики: в арифметике в целом содержится намногобольше операций и отношений, чем +, ×, s и =

Следует иметь в виду, что кажущаяся узость этого фрагментаобманчива

Определимостьσar =

⟨{0} ,

{+(2),×(2),S(1)

},{

=(2)}⟩

Некоторые арифметические понятия можно явно определить,используя только понятия сигнатуры σar

Содержательные примеры:I 1 = S(0)

I n = S(S(. . .S︸︷︷︸n раз

(0) . . . )) (n ∈ N)

I x2 = x× x

I x ≥ y ⇔ ∃z (x = y + z)

Рассмотрим сигнатуру σ и содержащийся в ней символ s:константу, функциональный символ или предикатный символ

σ−s — это сигнатура, получаемая из σ удалением символа sσ′+s = σ, если σ′ = σ−s

ОпределимостьОпределение константы1 c (в сигнатуре σ−c) —

это формула вида ϕ(xc) (сигнатуры σ−c)Определение функционального символа1 f(n) —

это формула вида ϕ(xf , x̃n)

Определение предикатного символа1 P(n) —это формула вида ϕ(x̃n)

Примеры определений в сигнатуре σar дляI константы 1:

x1 = S(0)

I функционального символа ·2(1):x·2 = x1 × x1

I предикатного символа ≥(2):∃y (x1 = x2 + y)

1 Более точное название такого определения — явное определение:“А — это Б (не зависящее от А)”


Определение предмета c в интерпретации I (сигнатуры σ) —это определение ϕ(xc) константы c (в сигнатуре σ), такое чтоI |= ϕ[d ] ⇔ d = c

Определение операции f местности n в интерпретации I — этоопределение ϕ(xf , x̃

n) функционального символа f(n), такое чтоI |= ϕ[d , d̃n] ⇔ f (d̃n) = d

Определение отношения P местности n в интерпретации I —это определение ϕ(x̃n) предикатного символа P(n), такое чтоI |= ϕ[d̃n] ⇔ (d̃n) ∈ P

ОпределимостьПредмет c определим в интерпретации I, если существуетопределение этого предмета в I

Операция f определима в интерпретации I, если существуетопределение этой операции в I

Отношение P определимо в интерпретации I, если существуетопределение этого отношения в I

Примеры: в интерпретации Iar определимыI число 1:

x1 = S(0)

I операция возведения в квадрат ·2(1):x·2 = x1 × x1

I отношение нестрогого неравенства чисел ≥(2):∃y (x1 = x2 + y)

ОпределимостьЕсли ϕ(xc) — определение константы c, то ϕ {xc/c} —

аксиома A[c, ϕ], определяющая константу c

Если ϕ(xf , x̃n) — определение функционального символа f, то

∀x̃n (ϕ {xf/f(x̃n)}) —аксиома A[f, ϕ], определяющая функциональный символ f(n)

Если ϕ(x̃n) — определение предикатного символа P, то∀x̃n (P(x̃n)↔ ϕ) —

аксиома A[P, ϕ], определяющая предикатный символ P(n)

Примеры аксиом, определяющих (в сигнатуре σar )I константу 1:

1 = S(0)

I функциональный символ ·2:∀x1 (x1

2 = x1 × x1)

I предикатный символ ≥:∀x1 ∀x2 (x1 ≥ x2 ↔ ∃y (x1 = x2 + y))

ОпределимостьЕсли ϕ(xc) — определение предмета c в интерпретации I, тоϕ {xc/c} —

аксиома A[c , ϕ], определяющая предмет c в IЕсли ϕ(xf , x̃

n) — определение операции f в интерпретации I, то∀x̃n (ϕ {xf/f(x̃n)}) —

аксиома A[f , ϕ], определяющая операцию f в IЕсли ϕ(x̃n) — определение отношения P , то ∀x̃n (P(x̃n)↔ ϕ) —

аксиома A[P , ϕ], определяющая отношение P в IПримеры аксиом, определяющих (в интерпретации Iar )

I число 1:1 = S(0)

I операцию возведения в квадрат ·2:∀x1 (x1

2 = x1 × x1)

I отношение нестрогого неравенства чисел ≥:∀x1 ∀x2 (x1 ≥ x2 ↔ ∃y (x1 = x2 + y))


Расширение теории T сигнатуры σ символом s согласноопределению ϕ — это теория T [s, ϕ] = T ∪ {A[s, ϕ]} сигнатурыσ+s

I+s , где s — предмет (операция над предметами) [отношениемежду предметами] интерпретации I, — это интерпретация,получающаяся из I добавлением нового символа s в сигнатуруи добавлением оценки s символа s

I−s — это интерпретация, получаемая из I удалением символаs и соответствующей оценки


Теорема о расширении теорииПусть T — теория сигнатуры σ, и ϕ — определениесимвола s в сигнатуре σ. Тогда:1. Если I — модель теории T и ϕ — определение

предмета, операции или отношения s в I, то I+s —модель теории T [s, ϕ]

2. Если I — модель теории T [s, ϕ], то I−s — модельтеории T

Доказательство. Подробно рассмотрим только пункт 1 иследующий случай: s — функциональный символ

I+s |= A[s, ϕ][d̃n] ⇔ I+s |= ϕ(xs, x̃n) {xs/s(x̃n)} [d̃n] ⇔

I |= ϕ(xs, x̃n)[d , d̃n] ⇔s(d̃n) = d H


Формулы ϕ и ψ эквивалентны в теории T (T -эквивалентны),если |=T ϕ↔ ψ

УтверждениеЛюбая формула, T -эквивалентная теореме теории T ,является теоремой теории T

Доказательство.

Пусть ϕ — теорема, и формула ψ T -эквивалентна формуле ϕ

Тогда T |= ϕ и T |= ϕ→ ψ, а значит, T |= ψ H

ОпределимостьТеорема о подстановке определенияПусть T — теория, s — символ и ϕ — определение этогосимвола. Для любой формулы ψ сигнатуры σ+s

существует T [s, ϕ]-эквивалентная формула сигнатуры σ


Случай 1: s — предикатный символ

Заменим каждую подформулу s(t1, . . . , tk) формулы ψ наформулу ϕ {x1/t1, . . . , xk/tk}

При определении значения исходных и изменённых подформулформулы ψ всегда будут выдаваться одинаковые результаты



Доказательство.Случай 2: s — функциональный символРаз за разом, пока это возможно, будем делать следующееВыберем произвольное вхождение символа s в формулу ψ (дляопределённости — в атом A)Заменим терм s(t1, . . . , tk) с выбранным вхождением на“свежую” переменную y, и получившийся атом B — на формулу∃y (ϕ {xs/y, x1/t1, . . . , xk/tk}&B)

При определении значения исходного атома A и изменённойподформулы формулы ψ всегда будут выдаваться одинаковыерезультаты




Случай 3: s — константа — аналогичен случаю 2H


I Теорема о расширении теории говорит, что если явно икорректно определить предмет, операцию или отношение идобавить к списку рассматриваемых понятий, то ничегонеожиданного не возникнет: допустимые модели уточнятсяпредсказуемым образом согласно определению

I Теорема о подстановке определения говорит, что явноопределённое понятие всегда можно заменить на егоопределение, никак не изменив смысла утверждения

Итог. любая теория неявно содержит все определимые понятия(предметы, операции, отношения): их можно использовать приформулировании и доказательстве теорем

ОпределимостьНапример, в арифметической интерпретации определимы (тоесть она неявно содержит):

I любое натуральное число n:xn = S(S(. . .S︸︷︷︸

n раз

(0) . . . ))

I операция вычисления наибольшего общего делителя:∃y (xgcd × y = x1) & ∃y (xgcd × y = x2) & ∀z (∃y (z× y =

x1) & ∃y (z× y = x2)→ ∃y (xgcd = z + y))

I свойство чётности чисел (Even(1)):∃y (x1 = y× 2)

I свойство простоты чисел (Prime(1)):∀y ∀z (x1 = y× z→ y = 1 ∨ z = 1)

I свойство согласованности с гипотезой Гольдбаха:Even(x) & x ≥ 4→∃y ∃z (Prime(y) &Prime(z) & x = y + z)


Попробуем найти фрагмент арифметики менее выразительныйи более простой для анализа, чем рассмотренный

Исключим из σar умножение:

σpa =⟨{0},

{+(2),S(1)

},{

=(2)}⟩

Ipa = Iσpaar

Каковы выразительные возможности такого фрагментаарифметики?

Можно ли предоставить “хорошую” систему аксиом, адекватнуюинтерпретации Ipa?

Так как ответы на эти вопросы давно известны, начнёмнепосредственно с системы аксиом

Арифметика Пресбургераσpa =

⟨{0},

{+(2),S(1)

},{

=(2)}⟩

Арифметика Пресбургера — это теория Tpa сигнатуры σpa,состоящая из следующих аксиом:

I A+0: ∀x (x + 0 = x)

I A+s: ∀x ∀y (x + s(y) = s(x + y))

I Ar=: ∀x (x = x)

I As=: ∀x ∀y ((x = y)→ (y = x))

I At=: ∀x ∀y ∀z ((x = y) &(y = z)→ (x = z))

I A=+s: ∀x ∀y ((x = y)→ (s(x) = s(y)))

I A=−s: ∀x ∀y ((s(x) = s(y))→ (x = y))

I A0: ∀x ¬(0 = x)

I схема Aind : ϕ {x/0}& ∀x (ϕ→ ϕ {x/s(x)})→ ∀x ϕУтверждение. Ipa |= TpaДоказательство. Очевидно?

Теорема разрешимости арифметики ПресбургераТеория Tpa разрешима


Заметим, что в арифметике со сложением определимы:I число α: S(S(. . .S︸︷︷︸

α раз

(0) . . . ))

I умножение на число β: xβ = x1 + x1 + · · ·+ x1︸︷︷︸β раз

I отношение x1 > x2: ∃x (α = β + x&¬(x = 0))

I отношение x1 ≡α x2: ∃x (x1 + αx = x2) ∨ ∃x (x2 + αx = x1)

I дополнения отношений >, ≡α, =

Согласно теореме о подстановке определения, остаточнопоказать, что теория Tpa, расширенная этими символами иопределениями, разрешима


Покажем, как проверить Tpa-общезначимость произвольнойформулы ϕ(x̃n)

Шаг 1: перейти к предложению ψ: ∀x̃n ϕ(очевидно, |=Tpa ϕ ⇔ |=Tpa ψ)

Шаг 2: преобразовать ψ в бескванторное предложение χ,такое что |=Tpa ψ ⇔ |=Tpa χШаг 3: общезначимость предложения χ проверяется легко: этобулева формула над высказываниями о равенстве, равенстве помодулю и неравенстве целых неотрицательных чисел

Осталось показать, как преобразуется формула на шаге 2

На некоторое время забудем о теории Tpa:|=Tpa ψ ⇔|=Tpa χIpa |= ψ ⇔ Ipa |= χ

Доказательство разрешимости арифметики ПресбургераКаждый шаг преобразования состоит из нескольких этапов:

I заменим все кванторы ∀ на ∃: ∀x ϕ ≈ ¬∃x ¬ϕI рассмотрим подформулу ∃x ϕ(x, x̃n),

где ϕ — бескванторная формулаI преобразуем ϕ в ДНФ, используя законы булевой алгебрыI вынесем за квантор ∃x слагаемые, не содержащие x:

∃x (ϕ(x̃n) ∨ ψ(x, x̃n)) ≈ ϕ(x̃n) ∨ ∃x ψ(x, x̃n)

I перенесём квантор ∃x под каждое слагаемое:∃x (K1 ∨ · · · ∨ Kn) ≈ ∃x K1 ∨ · · · ∨ ∃x Kn

I каждую формулу ∃x Ki преобразуем в бескванторную ссохранением её значения в Ipa

Формула Ki(x, x̃n) трактуется в Ipa каксистема (не)равенств над N0

Покажем, как исключить x из произвольной системы ссохранением проекции множества решений на x̃n


Каждое (не)равенство системы можно привести к одной изследующих форм: (t1, t2 не зависят от x)αx + t1 = t2 αx + t1 < t2 αx + t1 ≤ t2 αx + t1 ≡β t2

αx + t1 6= t2 αx + t1 > t2 αx + t1 ≥ t2 αx + t1 6≡β t2

A 6≡β B ⇔

A ≡β B + 1A ≡β B + 2. . .A ≡β B + (β − 1)

A ≥ B ⇔[A = BA > B

A 6= B ⇔[A > BA < B

A ≤ B ⇔[A = BA < B

Значит, достаточно рассмотреть системы только над такими(не)равенствами:

αx + t1 = t2 αx + t1 < t2

αx + t1 ≡β t2 αx + t1 > t2


Если система содержит хотя бы одно равенство =, тоисключить x можно так:{αx + t1 = t2

S(x̃n)⇔(x̃n)

t1 ≡α t2

t2 ≥ t1

S(x̃n)αx + t1 = t2

βx + t3 ≷ t4

. . .⇔

αx + t1 = t2

αt3 + βt2 ≷ αt4 + βt1

. . .αx + t1 = t2

βx + t3 ≡γ t4

. . .⇔

αx + t1 = t2

αβx + αt3 ≡αγ αt4

. . .

⇔

αx + t1 = t2

αt3 + βt2 ≡αγ αt4 + βt1

. . .

Пусть теперь система не содержит равенств =


Во всех строгих неравенствах системы можно получитьодинаковые левые части:

αx + t1 ≷1 t2

βx + t3 ≷2 t4

. . .⇔

αβx + βt1 + αt3 ≷1 βt2 + αt3

αβx + βt1 + αt3 ≷2 αt4 + βt1

. . .

Если система содержит много строгих неравенств (в однусторону) с одинаковыми левыми частями, то можно исключитьx из всех неравенств, кроме одного:

αx + t ≷ t1

αx + t ≷ t2

. . .⇔

{αx + t ≷ t1

t1 R t2{αx + t ≷ t2

t2 ≷ t1

. . .


Равенства по модулю разных чисел можно привести кравенствам по модулю одного числа:

αx + t1 ≡γ t2

βx + t3 ≡δ t4

. . .⇔

αδx + δt1 ≡γδ δt2

βγx + γt3 ≡γδ γt4

. . .

Итог: осталось показать, как исключить x из системы,содержащей

I не более одного неравенства αx + t > t1,I не более одного неравенства αx + t < t2 с той же левой

частью иI произвольное число равенств βix + t i3 ≡γ t i4 по одинаковому

модулю γ

Доказательство разрешимости арифметики ПресбургераКак исключить x из неравенства >:

αx + t > t1

αx + t < t2

βx + t3 ≡γ t4

. . .

Если t > t1, то неравенство выполненоДля каждого решения системы, такого что t ≤ t1, найдётсярешение, отличающееся только значением x:

αx + t ∈ {t1 + 1, . . . , t1 + αγ}Значит, неравенство αx + t > t1 можно заменить насовокупность

t > t1

αx + t = t1 + 1αx + t = t1 + 2. . .αx + t = t1 + αγ


Как исключить x из < и ≡γ, когда он исключён из >:

[αx + t < t2]βx + t3 ≡γ t4

. . .⇔

[t < t2]t3 ≡γ t4

. . .[α + t < t2]β + t3 ≡γ t4

. . .. . .

[α(γ − 1) + t < t2]β(γ − 1) + t3 ≡γ t4

. . .


И причём здесь теория Tpa?

На каждом элементарном шаге преобразования формулы,записанного в виде синтаксического преобразования системы,получалась формула, Tpa-эквивалентная исходной

Примеры таких элементарных шагов:I перестановка слагаемыхI вынесение переменной x в каждой частиI добавление [вычитание] равных чисел к частям [из частей]

(не)равенстваI умножение (не)равенства на число (для (не)равенства по

модулю — с домножением основания на то же число)I . . .


Вопрос на понимание:

А где в доказательстве применяетсясхема математической индукции?

H


Теорема полноты арифметики ПресбургераАрифметика Пресбургера полна

Теорема о выразительности арифметики ПресбургераОтношение R определимо в интерпретации Ipa тогда итолько тогда, когда R является множеством решенийкакой-либо совокупности систем линейных (не)равенств=, 6=, >, <, ≥, ≤, ≡α, 6≡α над неотрицательными целымичислами


Доказательство теорем полноты и выразительности.

Внимательно изучив доказательство теоремы разрешимости,можно убедиться, что

I каждую формулу ϕ(x̃n) можно преобразовать вбескванторную формулу ψ(x̃n) над сигнатурой,расширенной всеми требуемыми (не)равенствами,имеющую тот же арифметический смысл

I формула ψ(x̃n) имеет в интерпретации Ipa смыслсовокупности систем линейных (не)равенств над N0

I если ϕ — предложение, то ψ — бескванторное предложение,для которого верно либо |=Tpa ψ, либо |=Tpa ¬ψ H

Лектор: Подымов Владислав Васильевич · 2018. 4. 16. ·...

Documents