خ¤خں خںخ›خںخڑخ›خ—خ،خ©خœخ‘ -...

1

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η

“αντίστροφη πράξη” της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους

υπολογισµού των ολοκληρωµάτων.

Το σηµαντικότερο σηµείο της θεωρίας που εξετάζουµε είναι το εξής:

Αν f (x) είναι συνάρτηση συνεχής στο [a, b] , τότε υπάρχει παραγωγίσιµη συνάρτηση

g(x) µε την ιδιότητα g (x) f (x)′ = για κάθε x , οπότε το g(b) g(a)− ισούται µε τη διαφορά:

το εµβαδόν του χωρίου {(x, y) : x [a,b], 0 y f (x)}∈ ≤ ≤

µείον το εµβαδόν του χωρίου {(x, y) : x [a,b], f (x) y 0}∈ ≤ ≤ .

ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Ας δούµε πρώτα πως ορίζουµε το εµβαδόν του χωρίου X που περιορίζεται από το

γράφηµα µιας συνεχούς θετικής συνάρτησης f (x) ορισµένη στο διάστηµα [a, b] , και

τις ευθείες x a= , x b= , y 0= , δηλ.

X {(x, y) : x [a,b], 0 y f (x)}= ∈ ≤ ≤ .

Χωρίζουµε το διάστηµα [a, b]σε n ίσα διαστήµατα µήκους b ax n −

∆ = το καθένα, ως

εξής:

[a, b] [a,a x] [a x,a 2 x] ... [a (n 1) x,a n x].= + ∆ ∪ + ∆ + ∆ ∪ ∪ + − ∆ + ∆

Εύκολα µπορούµε να δούµε ότι το άθροισµα n

n k k 1

E f (x ) x =

= ∆∑

2

είναι µια προσέγγιση του εµβαδού του X , όπου kx τυχόν σηµείο του k

διαστήµατος, δηλ.

kx [a (k 1) x,a k x]∈ + − ∆ + ∆ , για k 1,2,..., n= .

Παρατηρούµε ότι όσο το n µεγαλώνει, τόσο το nE προσεγγίζει καλύτερα το εµβαδόν

του χωρίου.

Αποδεικνύεται ότι το nnlim E→+∞ υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός. Ο αριθµός

αυτός είναι το εµβαδόν του χωρίου X .

Αν η f (x) είναι τυχούσα συνεχής συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα [a, b] (όχι κατ’

ανάγκη θετική), τότε, όταν το n τείνει στο +∞ , το nE τείνει στην τιµή E E E+ −= − ,

όπου E+ το εµβαδόν του χωρίου

X {(x, y) : x [a,b], 0 y f (x)}+ = ∈ ≤ ≤

και E− το εµβαδόν του χωρίου

X {(x, y) : x [a,b], f (x) y 0}− = ∈ ≤ ≤ .

Την τιµή E την ονοµάζουµε ορισµένο ολοκλήρωµα της f (x) στο διάστηµα [a, b] και

την συµβολίζουµε b

a

f (x)dx∫ .

Στα επόµενα παραδείγµατα τα ολοκληρώµατα εξετάζονται βάσει του ορισµού, από

τον γεωµετρικό υπολογισµό των εµβαδών των χωρίων X+ , X− .

Παραδείγµατα.

1. Το 1

2

0

x dx∫ ισούται µε το εµβαδόν του χωρίου 2{(x, y) : 0 x 1, 0 y x }≤ ≤ ≤ ≤

(την ακριβή τιµή του δεν µπορούµε προς το παρόν να υπολογίσουµε). ■

2. 1

1

1 x, 1 x 0

f (x) τότε f (x)dx= 3. x 1, 0 x 1 −

 − αν − ≤ ≤ Αν =   + αν < ≤

∫ ■

3

3. Για την σταθερή συνάρτηση f (x) 1= έχουµε b

a

f (x)dx b a= −∫ .■

4. Αν f (x) x= και a < 0 < b τότε b 2 2

a

b af (x)dx E E 2 2+ −

= − = −∫ .■

5. a

a

f (x)dx 0.=∫ ■

6. b

a

0dx 0.=∫ ■

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Οι επόµενες ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος αποδεικνύονται σχετικά

εύκολα µε τον ορισµό.

Πρόταση. Αν f (x) , g(x) συνεχείς συναρτήσεις στο [a, b] , τότε

1. b b b

a a a

[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx+ = +∫ ∫ ∫ ,

2. b b

a a

kf (x)dx k f (x)dx=∫ ∫ , όπου k σταθερά,

3. b c b

a a c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +∫ ∫ ∫ , όπου a c b≤ ≤ ,

4. m(b-a) ≤ b

a

f (x)dx∫ ≤ Μ(b-a), όταν m ≤ f(x) ≤ M , ∀ x ∈ [a, b]. ■

Χάριν ενοποίησης του συµβολισµού µπορούµε να ορίσουµε και την ακόλουθη

ιδιότητα:

4

Ορισµός. b

a

f (x)dx∫ = - a

b

f (x)dx∫ .

Παραδείγµατα.

1. 9

3 2x

3

[2x 3sin(x 1) 7xe ]dx −

− + −∫ = 9 9 9

3 2x

3 3 3

2 x dx 3 sin(x 1)dx 7 xe dx − − −

− + −∫ ∫ ∫ . ■

2. Αν 0 x [0,1]

f (x) 1 x x [1,2]

αν ∈=  − αν ∈ , τότε

2 1 2 2 2 2

0 0 1 1 1 1

f (x)dx f (x)dx f (x)dx 0 (1 x)dx 1dx xdx 1 3/ 2= + = + − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (τα δύο

τελευταία ολοκληρώµατα υπολογίστηκαν γεωµετρικά). ■

3. 2

1 x

1

2 e dx 2e −

≤ ≤∫ , διότι 2 2 20 x 11 e e e e= ≤ ≤ = για κάθε x [ 1, 1]∈ − . ■

4. 2 2

0 1 x x

1 0

e dx e dx 0.+ =∫ ∫ ■

5. Αν f (x) συνεχής στο [a, b] , τότε t r t

s s r

f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +∫ ∫ ∫ , για κάθε

s, t, r [a, b]∈ .

Απόδειξη. Όταν s r t≤ ≤ , είναι άµεσο. Όταν r s t≤ ≤ , τότε t t s t r

s r r r s

f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx= − = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Όµοια οι άλλες περιπτώσεις. ■

ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Η επόµενη έννοια είναι πολύ χρήσιµη στον υπολογισµό του ορισµένου

ολοκληρώµατος.

5

Ορισµός. Αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x) ορισµένη σε ένα διάστηµα

λέµε τις συναρτήσεις που η παράγωγός τους ισούται µε f(x). Αν g(x) είναι µία τέτοια

συνάρτηση, δηλ. g (x) f (x)′ = , τότε κάθε άλλη θα έχει τη µορφή g(x) c+ όπου c

κάποια σταθερά (δες επόµενη Σηµείωση). Τότε λέµε ότι το αόριστο ολοκλήρωµα της

f (x) είναι g(x) c+ , και το συµβολίζουµε

f (x)dx g(x) c= +∫ .

Σηµείωση. Αν h(x) , g(x) διαφορίσιµες σε ένα διάστηµα, και h (x) g (x) f (x)′ ′= = για

κάθε x , τότε υπάρχει σταθερά c έτσι ώστε h(x) g(x) c= + . ∆ιότι από το Θεώρηµα

µέσης τιµής, αν µία συνάρτηση όπως η h(x) g(x)− έχει σταθερά µηδενική παράγωγο

σε ένα διάστηµα τότε είναι σταθερή.

Παραδείγµατα.

1. sin(x)dx cos(x) c.= − +∫ Απόδειξη. ( cos(x)) sin(x)′− = . ■

2. 3

2 xx dx c 3

= +∫ .

Απόδειξη. 3 2

2x 3x( ) x 3 3

′ = = . ■

Μπορούµε τώρα να διατυπώσουµε το επόµενο σηµαντικό θεώρηµα που δικαιολογεί

γιατί λέµε “η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης”.

Θεώρηµα. Έστω f : [a, b] → R συνεχής συνάρτηση. Τότε η συνάρτηση x

a

F(x) f(t)dt= ∫ είναι παραγωγίσιµη και ισχύει F΄(x) = f(x), για x ∈ [a, b], δηλ.

x

a

f (x)dx f(t)dt c= +∫ ∫ .

Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι x0 ∈ (a, b). Αν x0 = a ή x0 = b, η απόδειξη µπορεί να

συµπληρωθεί εύκολα από τον αναγνώστη.

6

Εξ ορισµού έχουµε

0 00 h 0 F(x h) F(x )

F (x ) lim h→

+ − ′ = .

Υποθέτουµε κατ’ αρχάς ότι h > 0. Τότε F(x0 + h) - F(x0) = 0

0

x h

x

f (x)dx +

∫ .

Ορίζουµε τα mh, Mh