خ¤خں خںخ›خںخڑخ›خ—خ،خ©خœخ‘ -...
Post on 26-Sep-2019
0 views
Embed Size (px)
TRANSCRIPT
1
ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η
“αντίστροφη πράξη” της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους
υπολογισµού των ολοκληρωµάτων.
Το σηµαντικότερο σηµείο της θεωρίας που εξετάζουµε είναι το εξής:
Αν f (x) είναι συνάρτηση συνεχής στο [a, b] , τότε υπάρχει παραγωγίσιµη συνάρτηση
g(x) µε την ιδιότητα g (x) f (x)′ = για κάθε x , οπότε το g(b) g(a)− ισούται µε τη διαφορά:
το εµβαδόν του χωρίου {(x, y) : x [a,b], 0 y f (x)}∈ ≤ ≤
µείον το εµβαδόν του χωρίου {(x, y) : x [a,b], f (x) y 0}∈ ≤ ≤ .
ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Ας δούµε πρώτα πως ορίζουµε το εµβαδόν του χωρίου X που περιορίζεται από το
γράφηµα µιας συνεχούς θετικής συνάρτησης f (x) ορισµένη στο διάστηµα [a, b] , και
τις ευθείες x a= , x b= , y 0= , δηλ.
X {(x, y) : x [a,b], 0 y f (x)}= ∈ ≤ ≤ .
Χωρίζουµε το διάστηµα [a, b]σε n ίσα διαστήµατα µήκους b ax n −
∆ = το καθένα, ως
εξής:
[a, b] [a,a x] [a x,a 2 x] ... [a (n 1) x,a n x].= + ∆ ∪ + ∆ + ∆ ∪ ∪ + − ∆ + ∆
Εύκολα µπορούµε να δούµε ότι το άθροισµα n
n k k 1
E f (x ) x =
= ∆∑
2
είναι µια προσέγγιση του εµβαδού του X , όπου kx τυχόν σηµείο του k
διαστήµατος, δηλ.
kx [a (k 1) x,a k x]∈ + − ∆ + ∆ , για k 1,2,..., n= .
Παρατηρούµε ότι όσο το n µεγαλώνει, τόσο το nE προσεγγίζει καλύτερα το εµβαδόν
του χωρίου.
Αποδεικνύεται ότι το nnlim E→+∞ υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός. Ο αριθµός
αυτός είναι το εµβαδόν του χωρίου X .
Αν η f (x) είναι τυχούσα συνεχής συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα [a, b] (όχι κατ’
ανάγκη θετική), τότε, όταν το n τείνει στο +∞ , το nE τείνει στην τιµή E E E+ −= − ,
όπου E+ το εµβαδόν του χωρίου
X {(x, y) : x [a,b], 0 y f (x)}+ = ∈ ≤ ≤
και E− το εµβαδόν του χωρίου
X {(x, y) : x [a,b], f (x) y 0}− = ∈ ≤ ≤ .
Την τιµή E την ονοµάζουµε ορισµένο ολοκλήρωµα της f (x) στο διάστηµα [a, b] και
την συµβολίζουµε b
a
f (x)dx∫ .
Στα επόµενα παραδείγµατα τα ολοκληρώµατα εξετάζονται βάσει του ορισµού, από
τον γεωµετρικό υπολογισµό των εµβαδών των χωρίων X+ , X− .
Παραδείγµατα.
1. Το 1
2
0
x dx∫ ισούται µε το εµβαδόν του χωρίου 2{(x, y) : 0 x 1, 0 y x }≤ ≤ ≤ ≤
(την ακριβή τιµή του δεν µπορούµε προς το παρόν να υπολογίσουµε). ■
2. 1
1
1 x, 1 x 0
f (x) τότε f (x)dx= 3. x 1, 0 x 1 −
− αν − ≤ ≤ Αν = + αν < ≤
∫ ■
3
3. Για την σταθερή συνάρτηση f (x) 1= έχουµε b
a
f (x)dx b a= −∫ .■
4. Αν f (x) x= και a < 0 < b τότε b 2 2
a
b af (x)dx E E 2 2+ −
= − = −∫ .■
5. a
a
f (x)dx 0.=∫ ■
6. b
a
0dx 0.=∫ ■
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ
Οι επόµενες ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος αποδεικνύονται σχετικά
εύκολα µε τον ορισµό.
Πρόταση. Αν f (x) , g(x) συνεχείς συναρτήσεις στο [a, b] , τότε
1. b b b
a a a
[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx+ = +∫ ∫ ∫ ,
2. b b
a a
kf (x)dx k f (x)dx=∫ ∫ , όπου k σταθερά,
3. b c b
a a c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +∫ ∫ ∫ , όπου a c b≤ ≤ ,
4. m(b-a) ≤ b
a
f (x)dx∫ ≤ Μ(b-a), όταν m ≤ f(x) ≤ M , ∀ x ∈ [a, b]. ■
Χάριν ενοποίησης του συµβολισµού µπορούµε να ορίσουµε και την ακόλουθη
ιδιότητα:
4
Ορισµός. b
a
f (x)dx∫ = - a
b
f (x)dx∫ .
Παραδείγµατα.
1. 9
3 2x
3
[2x 3sin(x 1) 7xe ]dx −
− + −∫ = 9 9 9
3 2x
3 3 3
2 x dx 3 sin(x 1)dx 7 xe dx − − −
− + −∫ ∫ ∫ . ■
2. Αν 0 x [0,1]
f (x) 1 x x [1,2]
αν ∈= − αν ∈ , τότε
2 1 2 2 2 2
0 0 1 1 1 1
f (x)dx f (x)dx f (x)dx 0 (1 x)dx 1dx xdx 1 3/ 2= + = + − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (τα δύο
τελευταία ολοκληρώµατα υπολογίστηκαν γεωµετρικά). ■
3. 2
1 x
1
2 e dx 2e −
≤ ≤∫ , διότι 2 2 20 x 11 e e e e= ≤ ≤ = για κάθε x [ 1, 1]∈ − . ■
4. 2 2
0 1 x x
1 0
e dx e dx 0.+ =∫ ∫ ■
5. Αν f (x) συνεχής στο [a, b] , τότε t r t
s s r
f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +∫ ∫ ∫ , για κάθε
s, t, r [a, b]∈ .
Απόδειξη. Όταν s r t≤ ≤ , είναι άµεσο. Όταν r s t≤ ≤ , τότε t t s t r
s r r r s
f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx= − = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Όµοια οι άλλες περιπτώσεις. ■
ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Η επόµενη έννοια είναι πολύ χρήσιµη στον υπολογισµό του ορισµένου
ολοκληρώµατος.
5
Ορισµός. Αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x) ορισµένη σε ένα διάστηµα
λέµε τις συναρτήσεις που η παράγωγός τους ισούται µε f(x). Αν g(x) είναι µία τέτοια
συνάρτηση, δηλ. g (x) f (x)′ = , τότε κάθε άλλη θα έχει τη µορφή g(x) c+ όπου c
κάποια σταθερά (δες επόµενη Σηµείωση). Τότε λέµε ότι το αόριστο ολοκλήρωµα της
f (x) είναι g(x) c+ , και το συµβολίζουµε
f (x)dx g(x) c= +∫ .
Σηµείωση. Αν h(x) , g(x) διαφορίσιµες σε ένα διάστηµα, και h (x) g (x) f (x)′ ′= = για
κάθε x , τότε υπάρχει σταθερά c έτσι ώστε h(x) g(x) c= + . ∆ιότι από το Θεώρηµα
µέσης τιµής, αν µία συνάρτηση όπως η h(x) g(x)− έχει σταθερά µηδενική παράγωγο
σε ένα διάστηµα τότε είναι σταθερή.
Παραδείγµατα.
1. sin(x)dx cos(x) c.= − +∫ Απόδειξη. ( cos(x)) sin(x)′− = . ■
2. 3
2 xx dx c 3
= +∫ .
Απόδειξη. 3 2
2x 3x( ) x 3 3
′ = = . ■
Μπορούµε τώρα να διατυπώσουµε το επόµενο σηµαντικό θεώρηµα που δικαιολογεί
γιατί λέµε “η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης”.
Θεώρηµα. Έστω f : [a, b] → R συνεχής συνάρτηση. Τότε η συνάρτηση x
a
F(x) f(t)dt= ∫ είναι παραγωγίσιµη και ισχύει F΄(x) = f(x), για x ∈ [a, b], δηλ.
x
a
f (x)dx f(t)dt c= +∫ ∫ .
Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι x0 ∈ (a, b). Αν x0 = a ή x0 = b, η απόδειξη µπορεί να
συµπληρωθεί εύκολα από τον αναγνώστη.
6
Εξ ορισµού έχουµε
0 00 h 0 F(x h) F(x )
F (x ) lim h→
+ − ′ = .
Υποθέτουµε κατ’ αρχάς ότι h > 0. Τότε F(x0 + h) - F(x0) = 0
0
x h
x
f (x)dx +
∫ .
Ορίζουµε τα mh, Mh