˘ˇ ˆ˙˝ˇ˘ ˛˚˘ˆˇ˘ ˜ ˘...

9
Cuadrados mágicos D esde la antigüedad los pasatiempos numéricos han ocupado un lugar destacado en las Matemáticas, no sólo por su aspecto lúdi- co sino también porque algunos de ellos han dado lugar al nacimien- to de nuevas ramas de esta ciencia: La teoría de ecuaciones, la pro- babilidad, el cálculo, la teoría de conjuntos, la topología, etc., son frutos que se han desarrollado de semillas sembradas en el fértil suelo de la imaginación creadora, pues todas ellas han nacido de problemas planteados, en un principio, en forma de rompecabezas (Matemáti- cas e imaginación, Kasner y Newman). Vicente Trigo Aranda www.vicentetrigo.com AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS 89 La primera recopilación de rom- pecabezas y pasatiempos apareció en 1612, cuando se publicó Problè- mes plaisants et delectables qui se font par les nombres (Los proble- mas placenteros y deleitosos que se hacen con números), del francés Claude-Gaspard Bachet (9-X-1581, 26-II-1638), que todavía sigue edi- tándose, como se aprecia en la figu- ra 1. Curiosamente, cuando se cita a este autor en la historia de las Matemáticas suele ser por otra de sus obras, su traducción de la Arith- metica de Diofanto (1621), ya que en un comentario a este libro Fermat escribió su famosa nota marginal, conocida como El último teorema de Fermat, cuya demostración resistió el ataque de todos los mate- máticos hasta 1993, en que Andrew Wiles por fin lo consiguió. Figura 1. Portada de una edición de 1993

Upload: others

Post on 20-Feb-2021

0 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • ��������������

    ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����!����������

    �������������������� ��� �������� ��� ��!�� ��� ��"����� ��� ���!��� ��#�� ��$�����������������������������������������������������$����������������������������������������������������������������������������������������

    �����$���������������%��&�'�����������������������(������)�*�+���,#

    ���������������������������������

    ��������������������������������� �!����

    ��

    �������������������������������%��� )� ��������� ����������-.-/���������������������������� ������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��� ����� ' �� ��������������������)�������������������� ��� ������,�� ���� $������0������1�������2�����'3�4�-56-�/.�77�-.86,������ ���!������������������������������������$������-#�0��

    ��������������������� ���� ���� ��� ��� ����� ��� ������������ ������ ���� ��� ��� ����������������������������������������� ����

    $��� '-./-,��)�����������������

    �����������9����������� ��� $����� ��� �������������� ��� �:�� ���� �������� 9����&�� ��)�� �����������������������������������������������-338���������;����+<�������$����������# ������������������������������������

  • 0������� ��� ���

    ����� ��������� �� ����������)���������%������ ��� ���� ��� ��� �=�$����� �������� ������������������������������� ��� ��%� ����!"�"����� ����"�������� '>������

    ���� ���������,�� ���� �����$������� :������ ����'?�7@�-6?/�� 8�4�-63-,����� $��� ��������� ������� ��������-66-)�-63?#�:������������������!�� ��� $���� ��������� ��� ���� ����� ��A���� ���� ����� ��� ��$�����/#�

    ;� �� ����� ��� ����$���������������������������������������$������ ����%���� ������������������������������� �������������9������:����������������� ���%�� ������

    ���� A������ 0���)�� ��#B� ��� �������� ���� �����������������1����������������������������$���������������������������������������������������

    ���������44#

    0�������������������������������������� ��)� ���� ����� ��� ������������� ������ �

    ���� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ������� ��� �������������)���������������������������

    �������������������������������������������� ��� �������� ��������� ��� ��� ����=��%�� ��� �����������$!��������������!$��#�

    ����������������������������������"�������������� ��� ��� ���� 474�� )�� �����!�� ���������9����������������������������������������������������0���������-6?8��

    �C������ ���� ����%� ��� ������� �� �����������"�������������������������D����E������������������FG����#�7��������� 2��� ����� ��� ���������� ��� ����#� 7�

    "�����/HH������I#�7������������������A����# ����������� ��� ������� ��� ���J����� ������������ ������� ��)�����%������������K���# ��������$$���:*:���F�������������8��B����������������#�L��������FM�������������N&-

    O��������������������������������������������!�������������!�������������������������������)�������������������������#�:��!�� ����� ������ ���� ��!���� ���� ����������� )�����������������������������������������������������"���)����������������������������������������)���������������������������#

    PO���������������)��������������)���������������������N�*�����������������������������!$�� ������� ������ ������B� ��� �������� ��

    �����������������I���������������I�����������������

    ������������������������)����������

    ��������������������������������������������&B���!��������������������������%��������������������� ����� �� ������ ���� ������ ��$������� �� ���������������������������������������������������#�

    �������������������������������� �������������������������������������������

    ����"��!������=������������������477 )�4777 )������

    ����$������������������$�����������������I���������2���#�PL�����I��������I����������������)��I�����������������������������"���������������2���N

    Q����������������������� �������������������� ������ ���� ��)� ������ ��� ����B� ��� ������ ������������������$��'��$���������,��������������������������������������������������������

    �$����������������������������������������������#�;�!��������$�����8�����������������������������������������������������������������$�����#

    ����������������������

    ��

    �������#��$�����������%���

    - C��������������������!��)�������!���)�����������������������E������������������������#�R�������2������������������������#�������%��/HH��������#�R������������ ��A����#�:��������)������������������������������������������������)���������"���#�:�����������:*:��������"��������������B����������������)#�PL��������������������N

  • ;�������������������������������)�������

    ���������

    ����������������������������������������������������!��������

    ������������������������ � ���$����� ������ ��� ������ ������ ����������������I���!����#�C���"��������������$����� ��� ������ ���� ����������

    �� )� ������� ���� ������������������������������������������������������������������������������������������������������!��I�!��������������I��#�

    2�����������������������������������������������7����������������������������������������*����������������$����...�'�����������������������;�������,�������������������;����)�:�������$��������� ��� /.� '���� �������

    ���� ���� ��������;���� ������,B������������������������������������������2�������������������������=���������������������������)���������������0��������������#

    R!��)�� ��������)�����!���)�������$����

    ����������������!���������)�!�������������������������� ��� ��� ��!�� �����������#� :�� ��������������������������!������������� ��2����������$���������������������������#�:�����$������ ��� �����

    � �� $�� ��� ��������� ����� ��� ������������!�����������������������&���������������������)�����������&��������������������'��������������������#

    :�� ����������� ���� ��������� ��������������� ������� ���� �� ��������� �������� ���� ��

    �����������������$���������������������������������������������������������$����������!$���������������������������������������������)��������������� ������ ��������������������� ����� � ����������#� C�� ���� ��%���� ��� �������������������������

    ���� ����������� ���������� ����� ������� ������ ����� )� ������� ��������������� ������ ��� ���������� ���� ��� ���������������������������������������������������

    ���� ��� �����"�� ���� ���� ���� �������

    � ����$�������������%���������

    �����#

    Q����� ������� ��������� ������ ��� ���������������������������������������������������������������������������������������������#�S;�������T�:���������������������

    �)�����!����)����������������������

    ����������#�C�����������������������������������!$����������)�����������������������(������'$�����?,��*�+����� ������ ��"��� ���� ��� �����!������� ������������!����������!�����������#

    �������(��&��)*+�,��������-�����������������������.��/�������

    ���������������������������������O���������������������������������

    ����

    ���!�� ������� ������ ��� ��� ������ ������� ������!���#�;�!�������P����������������������N�R�����������������������������'���%������������!���������,��������$���������������������������������������$�������������)������������������ ���������� ��� ������� ������ ������� �������������������#�:������$����������������������������������$�����5����)���������������� ��� -5�� ��� ������� �������������#

    �� ��������� ������ )���������������0�������������� ����� ��� ������� ���#R����������������)����������!� ���������������)������������

    �������������

    ��

    ������� ��0��������"�������������������������������1�������

    �������2��3����������������������

  • ����$��������������!�������

    �������!����������!�����������)�������������#�C������������������������� ��� ��� ������� ������� ������� ���� ���� ����

    $������������!����������������)�����

    �����������������

    ����������������%������!�����������������������������������������$�����.��������������������������������$�����5#�;��������������������������� ��� ��� �������� ����� ��� ������� -5�������������$���������������'�����)������������"���������$�������S���������T,�)���������������!������������������������#

    �������)��$��4��

    0�� ���=�� ���������� �� ��� �I��=� ���� ���������������������������������������������

    ������ )� ��� ���������� �� ������� ����� ��)��������������

    �����������������������$��������������������������������������������������$������#�0������������������������������������������ ��� ��� �����!���� )� ��� ������� ����� ������� ��������������B���!������"������������$�����U�����$����������������������+���������������� ����%���������������������������������������$������ ��������� ����� �������� ��� ��� ����#� SR�������

    �T

    0����������)��������������)������������ ��� ��� ���� ������ ���� ������ )� ��� �������� �������������������������� ��� 7���B������!� �� ���������)��$����������������������:���������������� ���� ���� 47@#� ����� �� ���� �������� ������������������������������������������)������������ �� ���� ��������� �������� ��� ���� ����� �����$�������������

    :�����������������������������������������

    ������������������!��� �� ����������� ��������� �������

    ��� ��� ��������������������������������������������������������!�#�C���"�����������������0�������;������'-?6.�-585,������

    ����5���������������������������� '-588,�������������������������������)���������������������������������������=��������R��)���� �������$������ ��� ��� ������� ������ '��� �����!�� ��������� �������� ����� �������� ����������������� 3�� -5� )� ?5� ����� R����B� /5�� .5� )� 8/5

    ����������������������

    ��

    �������6������788999���������������8.�.����8�������8����������������������������

  • ����B�8.��---�)�...����R�����#,#�C���"�����������$�����6��������������������������R����#

    �������+��:���������4�����

    Q�����$����������������������������������� ������� $���� ���������� ��� ����� ��!����#R��������������������������������������������;� �����������;�����������'/-�@�-?U-��.�7@�-5/6,���������������$�����3#�:����������������!�������������'���"����������������%������������������#,�����������������������������

    �������������������� ����� ��� ��� $����� -H�� ����������� ����������V����������������������������������

    ������ �� ���� ������� '�����������������������$����������#,������������ �� ����� ���� ��"� ��

    �$��"�����������������#/

    S0����� ���!��� ������T�:��$����������������������������������������������

    ���������������$������$��#��������� ��� ��� ������ '�� �������� ��� ����,� �������� ����������������&�������������������� ����� ��� ������ ��� ���!����������$�����������

    �O� ��� �� ����� �� ������� ���� -.� �$���� ��������������������������������8?���������� ������� -8.�� �$��� ����� ��� ���� �������� �� ���!�����I�������'-W8W.X-H,�'-WHX-,����������-���!������������������������������������������$����$������

    *��������!�������������������������������������#�R�������������$����������$������������������'/.�����3����-355,���������8U�)���������������� �$���� ������� -H� )�� ��� )�� �������-WHX-#�PR�����������������������������$����$�������N�0�����������������������������

    �������"��!� ���� �$���� ��� �$������� �� ����� ���� �� ���� ����������������������#

    SL���������������������������"��������������������������!�T�R����������������������������������%�������������������������!��������%��������������������� ��������������)��)�)����)�������������!������%��!����������������������������������)�������������������������������!�#�SL����������������������T

    ����������������������������������:�� �������� ��� ������������������������

    ���!�������� $��������� ����/ �����������������������������������������������������$�����������

    ���#�R��������������

    �����������$���������$����������%������������������������������������������������������������$�����������������������������$�������������)���������������������������#

    �������������

    ��

    ����������������;�����5�����

    / ���������������������������$����$��

    ����$���������=������������������������-5-?#

    ��������*��3����������������5�����

  • C���"������������������������ �����������������������������$�����--����������� ������� ����� $���%������U#

    7������������������������$����� ��� ����� ��� ���������������� ��� ��� $����� -/�� ������ ��������� ��� ��� R������9��������2�������#�;��$������������������

    �����������������)��������������������Y��������$������������������������������88�'�����������0���,#

    �������� ��� �� ����� ����������������� ������������������ ��%��� ���� ������ ��������� ���������� ��� ��� ������� )������������������������������B��������������������������������� ��������������� ������� ���������#� :������

    ����� �� ������ ����� ������� ��� �������� ��

    ������������������������"����������������������������������$���������������������������#�������$���������������������������������������$���� ���� ��!���� ��� ���������� ���� ����

    ���� ���������#

    � E�� �������� �������� ������� ��� ��� ������������ ����� �������� ���$������������������������������ ���� ��������� �����������������������������������#�P>�����������������$����-8N

    � E�� �������� �������� ��� ��������������� ���� ������

    �� ��� ������� -6HZ�� ��� �������������������B������������ ���� ��� ����"��� ���!���-��.��6�)�3#�:�������������������$�����-?������������� ��� ������� ��� ���$���#

    � �� ��������� ������ $������� �I����������� ��������� ����� ��� �������������')����������������������!����� ��"�� �� ������,# �� ������� ���� ��������

    ��� ��� $����� -5� ��� ��� ����������$��

    ���������#

    O����������������������������� ������ ������������������������������������ ������� ���� ���������������#�R�������������������������������������������������+������������������������� ������ �$������� ��������#

    ���[[+++#�����#��[�������������[��\�������#�����[[���������#��#��[���I#���[0������\�������[[��������#��[��������������[

    ��������������������������������������������A�����������������������������������

    ��������������������������������������������!�)����������������������#�C���"�����������������������C���)������������������

    �����!������� >GQ;R� GC:>;� Q:*:Q� ;>:CG� R;QG>���)��������������!���������������������������"��������

    �� �:�� ���������;���� ��!�� ��������%�����������&���:���������;��������������������������"&������������)��$�������:����������������

    ����������������������G���

    PO������������������������������� �����N� C���� ����������!�������!������������������������������$������� ��� ��������� ��� ��������������������

    ����� ���$����-.#�O�� ���� ��� ��������� �� ����)� ����� ����"� ���� �������� ���������� )� ��!� ����������������� ���� ������������������� ������� ��������������%����������������#

    ;���������������������������� �������� ����� ����!������ ���������� ������� ����������� ����� ��� ����� ������������������������������������������������������� ��� ��� �

    �� ��� ���"���� ��C���)�� ��� 1���� 2���=�'$�����-U,��R��#

    ����������������������

    ��

    �����������&��6�����������������������

  • ��������6��3������������������3������������

    O��������������������$������������������������� ���� ������ )� ������ �C���� ����&� ��

    �������#�0����������������;�)�G�� ��� ���������������$�����-6����������)�������B��������������������������$��)����������������

    � )� ��� $��� )� ��!� ��������� ������ ��� ��� �����#C��������%������������������� ���� �������� �������� ��� �������� )� ���������� ��� ���� ������������� ��� ��� �������� �� ���

    �����������

    �����#�

    C�� �� $������������������� ��������

    ������

    ������$����������:��������������������������&� � �R����� �� ��� ������� ���&�� ���� ���������������� ��� ���� ���� �������� �����������#� :����������������I��=���������������� �������

    �������� ��� ��� ����)����� ���������� ������������ ������������ �����

    � ����� ���� ��$�������������������������������������

    ���������������������������

    �����������������������������$�� ��� ���� ������%������ ��#� ����� �� ��!������������������������������I��=�����������������

    ���������������������������������������������� ��� ������� ��� ������� ���� ��������� �������������$�����-38#

    �����������3������������

    SL��������������������������������������T�R!������������������P������������������������������N�;������������������7�������

    ����������$�����������������������������������R;QG>��� ��� ������������ ����� ��� ������� �� ��� ���!���������������������������������#

    ������������������ �!"G�������� ��� ����� ����=��� ��� ����� )

    �������������������������������������������#� :�� ������� ������� ����� �� ��� "���� ������� �������� ��� ��� ��������� �������� )� ���������� ���� ����!���� ����������� ��������� ��������B����������������������������!����������� �������� ��� ������� ������ ��� "�������� ���������)��

    ��+�����������"����������#�R���������Q���������������������C�%%���-?�-5&���)������������������������������$�����/H#

    �������#*��>���������������������4���$��1�

    �������������

    ��

    ��������+��:�?����������������-

    8 R���������������������������������������������������������������������������������������������������������'�������������������������������������!����,#�:�����������$���������������������������������������)��������������������������������������������������������R;QG>#

  • :��� ��������%��� $��� ����� ��� -6U6� ��� ������� ������� ��� ���������� ��� �����������

    R��� �)�� '8-�-�-6?-�� -H�?�-3--,#�0�����������������=���"�������������������������������� ������ ������� ���������������� ��� -� �� -5�� ��"������ ����� ����� ���� ������ �������������������%������������������������ ������� �������������)�������������������$�����/-#

    PO� ������ ���� ��� ������ �����������%��N� 1����������

    �������������������������������� ����������

    ������ ��� ����� �� ������ ����� �����%����� ������ ������������#�

    R�������=������������������������������������������� �������� ���� ���������� ��� ��"� ���Q����� ��������� ���� ���������� �����#� ;�!�� ���"������ ��� ��������

    �� ������� �����

    �� ���������"��������������������"B�������

    ������������������)���������������������������������������������=������������������!�������������������������&B�����������������)�������������R#�1�������$�����������������C����������������������=����"��������������"�

    ;�� ���� ��� ���� �=�� ��� ����� ��� �������� ����������������� ���������� �������

    ����������������!���������������������������#�:�����������%������ �������� �����)�!����� ����������������

    ���������$����������������������������%��#C��������������������������� �)�������������������)�������������������������������������������������$����������

    ����������������� ���� ��)� ���� �����=�� �$������� ������������������%%������R��� �)������$������������������ ������� ����� ������������ ��� �� ����� �I��� ������ ����� ���� ��� ������ ���� ��� ��

    �#

    PO��������������������������������N�R�������� ���� ������ ��� ������ ��� �����

    ���� �����)���������������'������������������������������������������������������������$��

    �����,#� ���������������$��������������������������

    ����������#

    ;�!������"�������������������������!�����������������������������������������������������������$�����//�)���������

    ����������������������������������������������$�����/8#

    ����������#��$:�� -3U6� ��� ��$���� :��

    >��]� �������� ��� ��� $���� �������

    �������2����������$�������� ����&�� ����� ���������� ��� $�����/?����������������������������������� Q����#� 0���� ���� ��� ���� ��������� ���� ���� ���� ������ �������� ������ )� ��� ��� ����� ���������)�����������"��������������������%�����������������������������#

    ;�� ����� ���� ������� ��� ��� Q����� ���� �=������� ��� �������� ���>��]� �

    � ������ �������� ����������)�����

    �B��������������������������������$�������"����������-36H����������������������$������������

    ������������������������� ��������� ��� ����� ��� ���� ����#� :������������������������������������������������%�������#

    ;���������=�������������������)����������������������������������"��������������������������)���� ������������ '�������� ��������� �����,����������)��������#�R������������������������������������������������)��������������

    �� �����%������ ���� �� �������� ��� �������������

    ���� ��� ���� ��%���� �������� ��� ���� ������� ����������������$�����/5#�

    �������#2��:����"���1��������!���@�(?(?(�1�2?2?2

    ����������������������

    �������#���3��������������

    �������##��3����������������

    �������# ��3������������������

    �������#(��3�������!���@

  • ����������������������������������������������>��]� '������ �� ��� ��������� �������,�� ��������� �I��� ������� ������� )� ���������� ������

    �������������%����� �������������#�Q�����������������������������������������

    ��������� ���� ����� ��� ���� ��� >��]� ��5-3#H/?#H83#/38#6U6#/U/#HHH�'6T�I�86�I�-/T�I�/-/,��������������������������������������������������%�����������������������!���������������������������������?8#/5/#HH8#/U?#?63#65.#HHH#

    �������������7���������$����������������!������ ������� ��������� ��� ���� ��� >��]#� ���������������������������������������������

    � C���������������������

    ��������[[+++#���]�%#��[������

    ���#������[[��%#��["����[����������][���[[+++#�����$��#��[�[���[

    � C����"������������������>��]���������[[��%#��["����[����������][���[[+++#���]�#��[����\����#���

    � C���������������������������>��]�����������������%��������"�����������������������������)���������������������[[+++#+�����#��[N����X����[

    ��������$�:�������� �������:�����'-5�?�-UHU��-6�3�-U68,

    ���������������$������������������������������������� ��������� ��� ��� �������� ��������� ���

    ���� ���� ��� �������%��� ��� ������� ��� ���� ����� �!���':�������%��������������������!��������,�������������������%��������$���)���������������#C�� �"������ ��� �������� ��� ��$�����/.�������������������#

    :��� ��������� ������ ����������������:��������������������������������'����������!����������I�����!������

    ��������.�����������������

    �����������,���)�����!�������)���%������������!������������������=�����I�������#

    Q������� ����� ����� ��������� ��� ��� ������� �������������������������)�������������$���������]����������������������������������$����

    ����

    �����������������������3I3�����������������

    ������������������������������ ������������8I8������������������������ ������ �!��� ���� -� ��� 3#C�� �"������ ��� ��� $����� /U����� ��� !��� ���]�������������#

    ��������� ���]�������������������������������������$�����/6������������������)����-3U3��������������-.������������������C�����C�%%����^�<���1�����R������)�������!������������������A+����1������$���������-363��)�����������������������������������*�����������&�'��������������,#

    �������#+�������������@����������

    :�� -36?� ��� ������ *]�

    �I���� ��� "���� �� V������ ������� �� ������ ��"� ��� ������R�"�+���]�������]����&�'�����������������������%�����

    � ����,�� ����������� ����������� �� ���]��� ����������� ���&� '�����,� )� ��]�&'��,#�

    C���

    ���������� "��%���%���������