ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ - ntuausers.ntua.gr/cvsapoun/6-rigid joints.pdf · ik t ij ij iit ik ik...

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ

Ε.Ι. ΣαπουντζάκηςΚαθηγητής ΕΜΠ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ

ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ1

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή

2. Κινηματικές σχέσεις σημείων επίπεδου στερεού σώματος –

Ισοδύναμες δράσεις

3. Στερεοί κόμβοι σε στοιχείο επίπεδου πλαισίου

4. Εφαρμογή – Ανάλυση επίπεδου πλαισίου με στερεό κόμβο

6. Στερεοί κόμβοι σε στοιχείο χωρικού πλαισίου

5. Κινηματικές σχέσεις σημείων χωρικού στερεού σώματος –

Ισοδύναμες δράσεις

2


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

3


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο φέρων οργανισμός (δομικός φορέας) των κατασκευών συντίθεται

από επιμέρους φέροντα δομικά στοιχεία, κατάλληλα συνδεδεμένα

μεταξύ τους. Ο πλέον συνήθης τρόπος σύνδεσης δύο ή

περισσότερων δομικών στοιχείων μεταξύ τους είναι η μονολιθική

σύνδεση μια και αποτελεί τον πλέον απλό και οικονομικό τρόπο. Ο

τρόπος αυτός σύνδεσης δεν επιτρέπει καμία δυνατότητα σχετικών

μετακινήσεων των συνδεόμενων στοιχείων με άμεσο αποτέλεσμα τη

μεταφορά δυνάμεων και ροπών από το ένα μέλος στο άλλο.

4


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Επίσης, τα επιβαλλόμενα φορτία σε μια κατασκευή θα πρέπει να

μπορεί ο φορέας της να τα μεταφέρει με ασφάλεια στο έδαφος

θεμελίωσης. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτό, τα φορτία αρχικά

μεταφέρονται στους φορείς θεμελίωσης στις θέσεις στήριξης και

ακολούθως μεταβιβάζονται στο έδαφος μέσω των αντιδράσεων

στήριξης. Η πλέον συνήθης μορφή επιφανειακής θεμελίωσης

κατασκευών αποτελείται από στοιχεία όγκου (πέδιλα

υποστυλωμάτων, φρεάτια θεμελίωσης μεσοβάθρων), επί των οποίων

στηρίζονται τα κατώτατα άκρα των κατακόρυφων φερόντων

στοιχείων (υποστυλώματα κτιριακών έργων, μεσόβαθρα ή

ακρόβαθρα γεφυρών).

5


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τα γραμμικά ραβδωτά στοιχεία φορέα (π.χ. δοκοί, υποστυλώματα

κλπ.) προσομοιώνονται μέσω ευθύγραμμων τμημάτων τα οποία

αποτελούν τον κεντροβαρικό άξονα του στοιχείου (ως

κεντροβαρικός άξονας γραμμικού στοιχείου ορίζεται ο άξονας που

ενώνει τα κέντρα βάρους των διατομών του). Παρ’ όλα αυτά, στις

περιπτώσεις σύνδεσης στοιχείων μεταξύ τους ή σύνδεσης στοιχείου

με τοιχείο ή στήριξης κατακόρυφου στοιχείου σε στοιχείο όγκου, τα

ακραία τμήματα των στοιχείων αυτών στις περιοχές σύνδεσης

ή στήριξης είναι άκαμπτα.

6

M

A

.

.

.

.

B

.

.

.

. B

A

M

. . . M

A

B

.

.


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τα άκαμπτα αυτά τμήματα δεν μπορούν να θεωρηθούν

γραμμικά μέλη και στις προαναφερθείσες περιοχές δεν ισχύει η

Αρχή της Επιπεδότητας των Διατομών (Αρχή Bernoulli) με βάση την

οποία γίνεται η ανάλυση των ραβδωτών στοιχείων μια και στις

περιοχές αυτές επικρατεί τριαξονική εντατική κατάσταση. Έτσι, τα

εντατικά μεγέθη που θα προκύψουν στην περιοχή των ακραίων

τμημάτων των στοιχείων αυτών δεν θα είναι αξιόπιστα. Προκειμένου

να αντιμετωπιστούν οι προαναφερθείσες περιοχές με αξιοπιστία

προβλέπονται στην αρχή ή/και στο τέλος των εν λόγω στοιχείων

άκαμπτα τμήματα (στερεοί κόμβοι) μήκους ανάλογου με τη

γεωμετρία της σύνδεσης ή στήριξης των στοιχείων αυτών.

Παρακάτω παρουσιάζεται η επιρροή στα βήματα της Μεθόδου

Άμεσης Στιβαρότητας για την ανάλυση επίπεδου ή χωρικού

ολόσωμου φορέα, προκειμένου να ληφθούν υπόψη οι στερεοί

κόμβοι.7


ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ –

ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ

8


ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ – ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ

Θεωρείται το στερεό σώμα στο επίπεδο Οx1x2 και δύο τυχόντα

σημεία του Α, Β, τα οποία απέχουν μεταξύ τους κατά Δx1, Δx2. Εάν

λόγω εξωτερικής φόρτισης στο σημείο Α επιβληθούν μετακινήσεις

υπολογίζονται οι αντίστοιχες στο σημείο Β ως

9

.

.

A

Β

1 1 2 3 B A Au u x

2 2 1 3B A Au u x

3 3B A

1 12

2 1 2

3 3

1 0

0 1

0 0 1

B A

B A

B A

u ux

u x u

B AD e D 2

1

1 0

0 1

0 0 1

x

e x

όπου

ή με μητρωική

μορφή

δηλαδή

Κινηματικές Σχέσεις


ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ


Από απλές σχέσεις ισορροπίας δυνάμεων και ροπών στο στερεό

σώμα, εύκολα προκύπτει ότι εάν στο σημείο Β επιβληθούν οι δράσεις

F1, F2, M3, μπορούν να προκύψουν οι ισοδύναμες δράσεις στο

σημείο Α ως

10

.

.

A

Β

1 1A BF F 2 2A BF F

3 2 1 1 2 3 A B B BM x F x F M

1 1

2 2

2 13 3

1 0 0

0 1 0

1

A B

A B

A B

F F

F F

x xM M

TA BA e A

Ισοδύναμες Δράσεις

ή με μητρωική

μορφή

δηλαδή 2

1

1 0

0 1

0 0 1

x

e x

όπου


ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ

ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

11



ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

12

i

j’

k'

j

k

'1,2 1,2 1,2 ij ij ij

x x x

'1,2 1,2 1,2 ik ik ikx x x

Θεωρείται τυπικό εύκαμπτο μέλος i επίπεδου φορέα, του οποίου τα άκρα j’,

k’ φέρουν στερεούς κόμβους κατά τυχούσες διευθύνσεις, μορφώνοντας έτσι

ένα “υπερστοιχείο” με άκρα j, k, το οποίο περιλαμβάνει το εύκαμπτο τμήμα

και τους (τυχόν) στερεούς κόμβους στα άκρα του.




13

i

j’

k'

j

k

Θεωρείται τυπικό εύκαμπτο μέλος i επίπεδου φορέα, του οποίου τα άκρα j’, k’ φέρουν

στερεούς κόμβους κατά τυχούσες διευθύνσεις, μορφώνοντας έτσι ένα

“υπερστοιχείο” με άκρα j, k, το οποίο περιλαμβάνει το εύκαμπτο τμήμα και τους

(τυχόν) στερεούς κόμβους στα άκρα του.

Aκραίες μετακινήσεις των άκρων j’, k’ , συναρτήσει αυτών των άκρων j, k

1 2 1

2 1 2

3 3

1 0

0 1

0 0 1

ij ij ij

ij ij ij

ij ij

u x u

u x u

1 2 1

2 1 2

3 3

1 0

0 1

0 0 1

ik ik ik

ik ik ik

ik ik

u x u

u x u

1 12

2 21

3 3

21 1

12 2

3 3

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

ij ijij

ij ijij

ij ij

ikik ik

ikik ik

ik ik

u ux

u ux

xu u

xu u

0

0

ij

i

ik

ijij

i i

ik ik

D

DD

De

e De D

ή με

μητρωική

μορφή

ή




14

i

j’

k'

j

k





Έτσι, συμβολίζοντας με , τα μητρώα εκκεντρότητας του μέλους

i του άκρου j και του άκρου k, αντίστοιχα, το μητρώο εκκεντρότητας

του μέλους i θα δίνεται από τη σχέση

2

1

2

1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 00

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

ij

ij

ij

i

ik ik

ik

x

xe

ee x

x

'1,2 1,2 1,2 ij ij ij

x x x

'1,2 1,2 1,2 ik ik ikx x x

ije

ike

ie

0

0

ij

i

ik

Tijij

Ti i

ik ik

A

AA

Ae

e Ae A




15





Aκραίες δράσεις των άκρων j, k, συναρτήσει αυτών των άκρων j’, k’

ή με

μητρωική

μορφή

ή

1 1

2 2

3 2 1 3

1 0 0

0 1 0

1

ij ij

ij ij

ij ij ij ij

F F

F F

M x x M

i

j’

k'

j

k

1 1

2 2

3 32 1

1 1

2 2

2 13 3

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1

ij ij

ij ij

ij ijij ij

ik ik

ik ik

ik ikik ik

F F

F F

M Mx x

F F

F F

x xM M

1 1

2 2

3 2 1 3

1 0 0

0 1 0

1

ik ik

ik ik

ik ik ik ik

F F

F F

M x x M




16





Τροποποίηση μητρώου στιβαρότητας στοιχείου i επίπεδου φορέα λόγω

στερεών κόμβων στα άκρα του j’, k’

i

j’

k'

j

k T

i i iA e A

Προκειμένου να προσδιοριστεί η τροποποιημένη σχέση

στιβαρότητας γράφεται αρχικά η αντίστοιχη σχέση του

στοιχείου χωρίς στερεούς κόμβους

i i iA k D

i i iD e D

Ti i i i iA e k e D

Ti i i ik e k e

Τροποποιημένο μητρώο στιβαρότητας

στοιχείου


ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ

17


ΕΦΑΡΜΟΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ

ΣΤΕΡΕΟ ΚΟΜΒΟ

18

kel

α=3 o

7 22.1 10 /E kN m

20.30 0.80 A m424 10 / elk kN m

Αρίθμηση κόμβων,

μελών, καθολικό

και τοπικά

συστήματα αξόνων,

βαθμοί ελευθερίας

Μόρφωση τοπικών μητρώων στιβαρότητας μελών

πλαισίου

Στοιχεία γεωμετρίας και υλικού μελών

Εξεταζόμενο πλαίσιο

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




19

1

3.125 0 0 3.125 0 0

0 0.055 0.166 0 0.055 0.166

0 0.166 0.666 0 0.166 0.333

3.125 0 0 3.125 0 0

0 0.055 0.166 0 0.055 0.166

0 0.166 0.333 0 0

k EI

1 2 3 4 5 6

.166 0.666

1

2

3

4

5

6

2

2.706 0 0 2.706 0 0

0 0.036 0.125 0 0.036 0.125

0 0.125 0.577 0 0.125 0.288

2.706 0 0 2.706 0 0

0 0.036 0.125 0 0.036 0.125

0 0.125 0.288

k EI

4 5 6 7' 8' 9'

0 0.125 0.577

4

5

6

7'

8'

9'

2

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 2.309

0 0 0 0 0 1

e

2

2.706 0 0 2.706 0 0

0 0.036 0.125 0 0.036 0.208

0 0.125 0.577 0 0.125 0.577

2.706 0 0 2.706 0 0

0 0.036 0.125 0 0.036 0.208

0 0.208 0.577 0

4 5 6 7 8 9

mk EI

0.208 1.346

4

5

6

7

8

9

Τοπικά μητρώα στιβαρότητας μελών

Τροποποίηση μητρώου μέλους 2

λόγω στερεού κόμβου στο άκρο k

2 2 2 2T

mk e k e

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




20

1

1 0 0

0 1 0 0

0 0 1

1 0 0

0 0 1 0

0 0 1

PF I

2

0.866 0.5 0

0.5 0.866 0 0

0 0 1

0.866 0.5 0

0 0.5 0.866 0

0 0 1

PF

1

3.125 0 0 3.125 0 0

0 0.055 0.166 0 0.055 0.166

0 0.166 0.666 0 0.166 0.333

3.125 0 0 3.125 0 0

0 0.055 0.166 0 0.055 0.166

0 0.166 0.333 0 0

k EI

1 2 3 4 5 6

.166 0.666

1

2

3

4

5

6

2

2.038 1.156 0.0625 2.038 1.156 0.104

1.156 0.7035 0.1083 1.156 0.7035 0.1801

0.0625 0.1083 0.577 0.0625 0.1083 0.57k EI

4 5 6 7 8 9

7

2.038 1.156 0.0625 2.038 1.156 0.104

1.156 0.7035 0.1083 1.156 0.7035 0.1801

0.104 0.1801 0.577 0.104 0.1801 1.346

4

5

6

7

8

9

1 1 0j k o 2 2 330j k o

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

Μητρώα

μετασχηματισμού μελών

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




21

Καθολικό μητρώο

στιβαρότητας

πλαισίου

Μόρφωση καθολικού

μητρώου στιβαρότητας

πλαισίου

1 2

1 1

2 2

2

31

2

2

1

3

1

jj jk

kj kk jj jk

kj k

ό όό

ό

ό

όk

k k

k k

k k

k kK

#1 #2

1 2 3 4 5 6 7 8

#3

3.125 0 0 3.125 0 0 0 0 0

0 0.055 0.166 0 0.055 0.166 0 0 0

0 0.166 0.666 0 0.166 0.333 0 0 0

3.125 0 0 5.163 1.156 0.0625 2.038 1.156 0.104

0 0.055 0.166 1.156 0.7585 0.0578 1.156 0.7035 0.1801

0 0.166 0.333 0.0625 0.0578 1.

K EI

9

243 0.0625 0.1083 0.577

0 0 0 2.038 1.156 0.0625 2.038 1.156 0.104

0 0 0 1.156 0.7035 0.1083 1.156 0.7035 0.1801

0 0 0 0.104 0.1801 0.577 0.104 0.1801 1.346

1

2

3

4

5

#1

6

7

8

9

#2

#3




22

3

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 cos60 sin 60 0

0 0 0 0 0 0 sin 60

1 2 3 4 5 6 7 '

cos60

' 8'' 9 ''

1

2

3

0

0 0 0 0 0 0 0

4

5

6

7 ''

8'

1

1

1

1

1

1

1

'

9 '' 0

R

#1 #2 #3

1 2 3 4 5

3.125 0 0 3.125 0 0 0 0 0

0 0.055 0.166 0 0.055 0.166 0 0 0

0 0.166 0.666 0 0.166 0.333 0 0 0

3.125 0 0 5.163 1.156 0.0625 0.0179 2.3429 0.104

0 0.055 0.166 1.156 0.7585 0.0578 0.0312 1.3mK EI

6 7 8 9

529 0.1801

0 0.166 0.333 0.0625 0.0578 1.243 0.1250 0 0.577

0 0 0 0.0179 0.0312 0.1250 0.0360 0.0001 0.2080

0 0 0 2.3429 1.3529 0 0.0001 2.7054 0

0 0 0 0.104 0.1801 0.577 0.2080 0 1.346

1

2

3

4

5

6

#

7

8

9

1

#2

#3

Τροποποιημένο

καθολικό μητρώο


πλαισίου

Τροποποίηση καθολικού


πλαισίου λόγω λοξής

στήριξης

Μητρώο

περιστροφής

3 3T

mK R K R

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




23

2 2 211 12 13

2 2 2 221 22 23

2 2 231 32 3

,

3

3 3 0

0 0

0 0

0

7 8 9

8

90 0

el

k

l

k

ek k kkk

k k k k

k k

K

k

#1 #2 #3

1 2 3 4 5

3.125 0 0 3.125 0 0 0 0 0

0 0.055 0.166 0 0.055 0.166 0 0 0

0 0.166 0.666 0 0.166 0.333 0 0 0

3.125 0 0 5.163 1.156 0.0625 0.0179 2.3429 0.104

0 0.055 0.166 1.156 0.7585 0.0578 0.0312 1.mmK EI

6 7 8 9

3529 0.1801

0 0.166 0.333 0.0625 0.0578 1.243 0.1250 0 0.577

0 0 0 0.0179 0.0312 0.1250 0.9280 0.0001 0.2080

0 0 0 2.3429 1.3529 0 0.0001 2.7054 0

0 0 0 0.104 0.1801 0.577 0.2080 0 1.346

1

2

3

4

5

6

#

7

8

9

1

#2

#3

Τροποποίηση καθολικού


πλαισίου λόγω ελαστικής

στήριξης

Τροποποιημένο



πλαισίου (2η

τροποποίηση)

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




24

6 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

10 0 0 0 0

ύ

ί ( free )

έ

ί

(sup ported )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ff fsT

mmm mm

sf ss

K K

K V K VK K

1.243

0.125 0.928

0 0 3.125

0.166 0 0 0.055

0.333 0 0 0.166 0.666

0.0625 0.018 3.125 0 0 5.164

0.058 0.031 0

mmmK EI

6 7 1 2 3 4 5 8 9

0.055 0.166 1.156 0.759

0 0 0 0 0 2.343 1.353 2.706

0.578 0.208 0 0 0 0.104 0.180 0 1.346

6

7

1

2

3

4

5

8

9

Τροποποίηση

καθολικού μητρώου


πλαισίου λόγω

αναδιάταξης

Αναδιατεταγμένο



πλαισίου (3η

τροποποίηση)

Μητρώο

αναδιάταξης

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




25

11

12

1131

1 11

12

13

0

0

0

0

0

0

j

j

jjr

r k kr

k

k

F

F

A MA

A F

F

M

21

22

2232

2 21

22

23

90

155.9

180

90

155.9

180

j

j

jjr

r k kr

k

k

F

F

A MA

A F

F

M

Ανάλυση παγιωμένου φορέα –

Τοπικές ακραίες δράσεις μελών

Μέλος 1 : αφόρτιστο

Μέλος 2 :

kel

α=3 o

3 2

155.9

[ ] 90

539.97

k

rS A

q=60kN/m

2

180

180 3’




26

1 1 1

0

0

0

0

0

0

T

r PF rA A

2 2 2 2[ ]

0.866 0.5 0 1 0 0 0 0 0 90 0.01

0.5 0.866 0 0 0 1 0 0 0 0 155.9 180

0 0 1 0 0 1 0 0 0 180 180

0 1 0 0 0 0 1 0 0 90 155.9

0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 155.9 90

0 0 1 0 0 0 0 2.309 1 180 539.9

TT

r PF rA e A

7

Ανάλυση παγιωμένου φορέα –

Καθολικές ακραίες δράσεις μελών –

Τροποποίηση ακραίων δράσεων λόγω

στερεού κόμβου στο μέλος 2

Μέλος 1 : αφόρτιστο

Μέλος 2 :

kel

α=3 o

3’

103.95

120.06 3

(1)1

(1)2

(1)3

(2)1

(2)2

(3)2

(3)3

180

155.9 103.95

0.01

180

90 60

539.97 120.06

6

7

1

2

3

4

5

8

9

nodal

f

mm mm mms

R

RP

RP P SP

R

R

R

R




27

(1) 1

0

0

0

jrS A

(2) 1 2

0.01

180

180

k jr rS A A

(3) 2

155.9

90

539.97

krS A

qy=q cos2(a)=45kN/m

qx=q sin(a) cos(a) =26kN/m

(2)

3(2)(3)31'(3)(1)

1'1

(1)

2

(1)

3

(2)

1

(2)

2

(3)

2'

(3)

3'

0

6

67

71

12

2

3 3

44

55

88 9

0

0

0

0

0

0

9

f

mm

s

u

Ανάλυση παγιωμένου φορέα – Υπολογισμός

δράσεων παγίωσης – Συνυπολογισμός

φορτίου στερεού κόμβου στο μέλος 2

Τροποποιημένα και αναδια-

τεταγμένα διανύσματα

επικόμβιων μετακινήσεων

και δράσεων πλαισίου

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




28

(2) (2)

3 43

(3) (3)1'1'

6.52310

11.296

f

u

(1)

1

(1)

2

(1)

3

(2)

1

(2)

2

(3)

2

(3)

3

0

29.107

58.390

5.484

199.583

30

698.224

R

R

R

R

R

R

R

(3) (3)

1' 1' 11.296 24 271.104 elR k kN

Επίλυση –

Επικόμβιες μετακινήσεις

κατά τους ελεύθερους και

επικόβιες δράσεις

(αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




29

11

12

111 1 1 1 1 43

11

12

13

0 0 0

0 0 29.107

0 0 58.390[ ][ ] [ ][ ] 10

0 0 0

0 0 29.107

0 6.523 116.775

j

j

j

r PF k

k

k

F

F

MA A k D k I

F

F

M

Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών

πλαισίου

Μέλος 1 :

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




30

21

22

222 2 2 2 2 2 2 23

21

22

23

90 0

155.9 0

180 6.23[ ][ ][ ] [ ][ ][ ]

90 11.296

155.9 0

180 0

90

155.9

180

90

155.9

180

j

j

j

r PF PFk

k

k

F

F

MA A k e D k e

F

F

M

2.706 0 0 2.706 0 0

0 0.036 0.125 0 0.036 0.125

0 0.125 0.577 0 0.125 0.288

2.706 0 0 2.706 0 0

0 0.036 0.125 0 0.036 0.125

0 0.125 0.288 0 0.125 0.577

0.866 0.5 0

0.5 0.866 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 0 0

0 0 1

EI

1 0 0 0 0 0 0 90

0 1 0 0 0 0 0 144.913

0 0 1 0 0 0 6.523 116.789

0 0 0 1 0 0 11.296 90

0 0 0 0 1 2.309 0 166.886

0 0 0 0 0 1 0 192.542

Εσωτερικά εντατικά μεγέθη

μελών πλαισίου

Μέλος 2:

kel

1

2

1 2

3

1

2

3

4 5

6

7

8

9

α=30o




31

Διαγράμματα

εσωτερικών

εντατικών μεγεθών

μελών πλαισίου

[Μ]

[N]

[Q]


ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ –

ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ

32


ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ


33

. A

Β

1 1 1B Ax x x

2 2 2B Ax x x

.

3 3 3B Ax x x

B A A u u θ ΔxB Aθ θ 1

2

3

A

A A

A

u

u

u

u

1

2

3

B

B B

B

u

u

u

u

1

2

3

A

A A

A

θ

1

2

3

B

B B

B

θ1

2

3

x

x

x

Δx

Θεωρείται το στερεό σώμα στο επίπεδο Οx1x2x3 και δύο τυχόντα

σημεία του Α, Β, τα οποία απέχουν μεταξύ τους κατά Δx1 , Δx2 , Δx3.

Εάν λόγω εξωτερικής φόρτισης στο σημείο Α επιβληθούν μετακινήσεις

υπολογίζονται οι αντίστοιχες στο σημείο Β ως


όπου




34

. A

Β

1 1 1B Ax x x

2 2 2B Ax x x

.

3 3 3B Ax x x

Θεωρείται το στερεό σώμα στο επίπεδο Οx1x2x3 και δύο τυχόντα σημεία του Α, Β, τα

οποία απέχουν μεταξύ τους κατά Δx1 , Δx2 , Δx3. Εάν λόγω εξωτερικής φόρτισης στο

σημείο Α επιβληθούν μετακινήσεις υπολογίζονται οι αντίστοιχες στο σημείο Β.


Η σχέση

1 1 1 1

2 2 2 2

33 3 3

B A A

B A A

B A A

u u x

u u x

xu u

1 1 1 2 3

2 2 1 2 3

1 2 33 3

B A

B A A A A

B A

u u

u u

x x xu u

i i i 1 1 2 3 3 2

2 2 1 3 3 1

3 3 1 2 2 1

B A A A

B A A A

B A A A

u u x x

u u x x

u u x x

ή με τη

βοήθεια του

ορισμού του

εξωτερικού

γινομένου ως

B A A u u θ Δx

πιο αναλυτικά

γράφεται ως




35

. A

Β

1 1 1B Ax x x

2 2 2B Ax x x

.

3 3 3B Ax x x





Έτσι, οι σχέσεις

B A A u u θ Δx

με μητρωική μορφή γράφονται ως

B Aθ θ

1 13 2

2 23 1

3 32 1

1 1

2 2

3 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

B A

B A

B A

B A

B A

B A

u ux x

u ux x

u ux x

B AD e D




36

. A

Β

1 1 1B Ax x x

2 2 2B Ax x x

.

3 3 3B Ax x x





όπου με [e] συμβολίζεται το

μητρώο εκκεντρότητας του

σημείου Β ως προς το σημείο Α

του χωρικού στερεού σώματος

B AD e D

3 2

3 1

2 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

x x

x x

x xe

Από απλές σχέσεις ισορροπίας δυνάμεων και ροπών στο στερεό

σώμα, εύκολα προκύπτει ότι εάν στο σημείο Β επιβληθούν οι δράσεις

F1, F2, F3, M1, M2, M3, μπορούν να προκύψουν οι ισοδύναμες

δράσεις στο σημείο Α ως




37

. A

Β

1 1 1B Ax x x

2 2 2B Ax x x

.

3 3 3B Ax x x

A BF FA B B M M Δx F

1

2

3

A

A A

A

F

F

F

F

1

2

3

B

B B

B

F

F

F

F

1

2

3

A

A A

A

M

M

M

M

1

2

3

B

B B

B

M

M

M

M

1

2

3

x

x

x

Δx


όπου




38

. A

Β

1 1 1B Ax x x

2 2 2B Ax x x

.

3 3 3B Ax x x

Από απλές σχέσεις ισορροπίας δυνάμεων και ροπών στο στερεό σώμα, εύκολα

προκύπτει ότι εάν στο σημείο Β επιβληθούν οι δράσεις F1, F2, F3, M1, M2, M3,

μπορούν να προκύψουν οι ισοδύναμες δράσεις στο σημείο Α


Η σχέση

ή με τη

βοήθεια του

ορισμού του

εξωτερικού

γινομένου ως

πιο αναλυτικά

γράφεται ως

A B B M M Δx F

1 1 11

2 2 2 2

33 3 3

A B B

A B B

A B B

M M Fx

M M x F

xM M F

1 1 1 2 3

2 2 1 2 3

3 3 1 2 3

i i i

A B

A B

A B B B B

M M

M M x x x

M M F F F

1 1 2 3 3 2

2 2 3 1 1 3

3 3 1 2 2 1

A B B B

A B B B

A B B B

M M x F x F

M M x F x F

M M x F x F




39

. A

Β

1 1 1B Ax x x

2 2 2B Ax x x

.

3 3 3B Ax x x

Από απλές σχέσεις ισορροπίας δυνάμεων και ροπών στο στερεό σώμα, εύκολα

προκύπτει ότι εάν στο σημείο Β επιβληθούν οι δράσεις F1, F2, F3, M1, M2, M3,

μπορούν να προκύψουν οι ισοδύναμες δράσεις στο σημείο Α


A B B M M Δx F

Έτσι, οι σχέσεις

με μητρωική μορφή γράφονται ως

A BF F

TA BA e A

1 1

2 2

3 3

3 21 1

3 12 2

2 13 3

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

A B

A B

A B

A B

A B

A B

F F

F F

F F

x xM M

x xM M

x xM M

όπου με [e] συμβολίζεται το

μητρώο εκκεντρότητας του σημείου

Β ως προς το σημείο Α


ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

40



ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

41

Θεωρείται τυπικό εύκαμπτο μέλος i χωρικού φορέα, του οποίου τα άκρα j’, k’

φέρουν στερεούς κόμβους κατά τυχούσες διευθύνσεις, μορφώνοντας έτσι

ένα “υπερστοιχείο” με άκρα j, k, το οποίο περιλαμβάνει το εύκαμπτο τμήμα

και τους (τυχόν) στερεούς κόμβους στα άκρα του.

j’

k'

j

k

'1,2,3 1,2,3 1,2,3 ij ij ij

x x x

'1,2,3 1,2,3 1,2,3ik ik ikx x x




42


1 13 2

2 23 1

3 32 1

1 1

2 2

3 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

ij ijij ij

ij ijij ij

ij ijij ij

ij ij

ij ij

ij ij

u ux x

u ux x

u ux x

1 13 2

2 23 1

3 32 1

1 1

2 2

3 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

ik ikik ik

ik ikik ik

ik ikik ik

ik ik

ik ik

ik ik

u ux x

u ux x

u ux x

j’

k'

j

k ij ij ijD e D

ik ik ikD e D




43

j’

k'

j

k T

ij ij ijA e A


1 1

2 2

3 3

3 21 1

3 12 2

2 13 3

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ij ij

ij ij

ij ij

ij ijij ij

ij ijij ij

ij ijij ij

F F

F F

F F

x xM M

x xM M

x xM M

1 1

2 2

3 3

3 21 1

3 12 2

2 13 3

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ik ik

ik ik

ik ik

ik ikik ik

ik ikik ik

ik ikik ik

F F

F F

F F

x xM M

x xM M

x xM M

T

ik ik ikA e A

όπου , τα μητρώα εκκεντρότητας του μέλους i του άκρου j και του

άκρου k, αντίστοιχα.

ije

ike

'1,2,3 1,2,3 1,2,3ij ij ijx x x '

1,2,3 1,2,3 1,2,3ik ik ikx x x




44

Έτσι, συμβολίζοντας με , τα μητρώα εκκεντρότητας του μέλους

i του άκρου j και του άκρου k, αντίστοιχα, το μητρώο εκκεντρότητας

του μέλους i θα δίνεται από τη σχέση

3 2

3 1

2 1

3 2

3 1

2 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0 [0]

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 00

0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

[0] 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

ij ij

ij ij

ij ij

ij

i

ik ik ik

ik ik

ik ik

x x

x x

x x

e

ee x x

x x

x x

ije

ike

ie

'1,2,3 1,2,3 1,2,3ij ij ijx x x

'1,2,3 1,2,3 1,2,3ik ik ikx x x




45


13 2

23 1

32 1

1

2

3

1 3 2

2 3 1

3

1

2

3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0 [0]

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

ijij ij

ijij ij

ijij ij

ij

ij

ij

ik ik ik

ik ik

ik

ik

ik

ik

ux x

ux x

ux x

u x x

u x x

u

1

2

3

1

2

3

1

2

2 1 3

1

2

3

0 0 1 0

[0] 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ik

ik ik

ik ik ik

ik

ik

ik

u

u

u

u

u

x x u

0

0

ij

i

ik

ij ij

ikik

i i

D

DD

e D

De

e D

ή συνολικά για το μέλος i δηλαδή




46

ή συνολικά για το μέλος i δηλαδή


1

2

3

3 21

3 12

2 13

1

2

3

3 21

32

3

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 [0]

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

[0] 0 1 0 0

0

ij

ij

ij

ij ijij

ij ijij

ij ijij

ik

ik

ik

ik ikik

ikik

ik

F

F

F

x xM

x xM

x xM

F

F

Fx x

Mx x

M

M

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

12

2 13

0 1 0

0 0 0 1

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ik

ik

ik

ik

ikik

ik ikik

F

F

F

M

M

M

F

F

F

M

Mx x

M

0

0

ij

i

ik

Tij ij

ikik

Ti i

A

AA

e A

Ae

e A




47

Τροποποίηση μητρώου στιβαρότητας στοιχείου i χωρικού φορέα λόγω

στερεών κόμβων στα άκρα του j’, k’

T

i i iA e A

Προκειμένου να προσδιοριστεί η τροποποιημένη σχέση

στιβαρότητας γράφεται αρχικά η αντίστοιχη σχέση του

στοιχείου χωρίς στερεούς κόμβους

i i iA k D

i i iD e D

T

i i i i iA e k e D

Ti i i ik e k e

Τροποποιημένο μητρώο στιβαρότητας στοιχείου

j’

k'

j

k

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ - ntuausers.ntua.gr/cvsapoun/6-rigid joints.pdf · ik t ij ij iit ik ik...

Documents