) .-Ü } o !# ¸ ( &2j < '31$& ! j 1 # } } ( )j! & k 1! 3s o <...

30

Upload: others

Post on 23-May-2020

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

�������������� ������������������������� "!#��!#�%$& ����'�(��)* +,!#$����.-���!/�(�1012'��31�.�&!4�( '�&!.��*������56 �����.7981:<;��=�>�?<�;�@'A�BC�;�@�DE;��

��;�@���FG��HI���� "!#�.�J���& K�L�IMON#P#Q.R<S�TVUWP�X�Y�P�X&TVPZTVN4['X�Y.\]['TVU^P�XE_4UWX&`K[�NaUW[�XbT%Y.cedfYLg�[�SaRhYiP#jlknmo:4pq?a�95r�.3s ��-a!*31�.-��&56 �����&t� ���9u&v6:<;���A�AJ?<�

��;�;h�xwy�&��z&2'�����I{�P�cJNaUWR�N�['X&[�\}|KYfU~Y�P�X���N#P�chg&Yf�E�L�J���.-a!������.�&�<�1H%z��&!.�b���.���% '-���;K��A�B��

��;�B��xwy�&��z&2'�����I{�cJX&S�TVUWP�Xb[�\���X&[�\}|KY.U�Y.�"56�K�x-< ���CLF��}�}���L�&����9���.���% �-��6;��J>����

��;���������t&��t���-#�^���& -��������o ��&!#��-�z&�<�#�� ��� +���-����� ��� '-�3� K��w� K���<���.�a!.���(����[�`�RK\}R�TWY��6�6[�TW�"R���[�TVUWS.Y[�Xb����g�g,\}UWSa[�TVUWP�XEY�:4���9�������.����2J�.���� r �&265 �&wy��¡E-a �<���.-��9��2�!.�}?<���O���¢Hn-���!�!.�9�� e�. ��� ��� ��;��'�=&��B��K£e¤'@��

��;.='�����9¥��§¦�2J�.3� ���9¨*���< �31$& J!©���#�� ��r +o�����*�(�J���.)��.-<!x �!�2'�(-����<�l!#z�3ª +o�#�� 1!#z��&!#�.�a!.�e�(��«*¬�cJ�qd�R�N­ �JRaP�N<|¯®,R���UWX&[�N�°lM�[�N<U�Y�±�²'²³�´"±�²'²µ�:L��29��t&�O¨� K�'�~2b?<�*�O 3���-#�^2J)��r¶G�OHn-���!�!.·¸�O 3���-#�^2J)��;��'��¤��J$�$��&B�A�;f£eBJ>�A��

��;�¤��x�������� �¹2J�.-�HI J �-����.���Jt� '31��+L ��<�a!n���& �o!#�� 'zJ�~2º�b�x�b�.�����.-��J�� ���������!#$b�����~ ��]��»r �b �z��o-< �#�� �C�& K�I+Vz��&�<�#�� ��&!.�b��� ¬�cJ�1d�RKN ­ �"RaP'Na|º[�X&�1��g�g,\}UWSa['TVU^P�XEYf�b����5Z �}�]���6��29����¼���zJ�O�.-K�,¨* �-<2J-������J���;��'D����J="�J>�CL¤'B�D��

½�¾a¿6À&ÁWÂ�À&ÃÄÃIÅKÆeÇKÇ.Æ�Ç�ÈÊÉ�ËJÌ"Ë�Í"Î�Ï�Ð�Ñ/Ò�Ï'Ó�ÔaÕ'Ò"Ö%Ô�×�Ø�ÍÙEÚ Ì"Ð'Û&×JÖJ×"ÒÛ Ú Ó�Ô�ÒÏ"Ï�Ô Ú ËKÑ

��@

Page 2: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

���"���.)��.-�Ü�����}�o������!#�¸�(�&2J���< '31$& "!� �J���1�#�}�}�(��)J!��& K���������1!� 3s���O�<��)��J��!©���&�<�1���& ���^!�2J�.���.-�3�������2 ��J��»Ý�J»ÝÜy �&2�Þ¢ �+1:�>"���J?<�ߥ����.-��à �-��rz��&�< �z��J�a �J��»á3� �J»���-< �&!©�^ �#�� ���CW������â'zJ�(� K�����J�6�#�}�]����)"! 31 '��)1�����.3ã!©���&�<�G�����i2'�}ä��.-��.�&�<��!� +������l�<���.31�.�J�a!� �+�åá�a ���l Gæ&�J�����G�"z�3��b�.-x +%�� ��(z���!¸:L31 �2;?o '���� +����J�~�����^!�ç#è��½�é�À9¿àêIÂ~Æ�ë9ìWí,ì �îS.�"['N4['S�TVR�N<U~YfTVUWS�j.c"XbS�TVUWP�X6TW�"[�ToTVUW\}R.Y�ïðd.cJTOP'X&\}|1ñ%UWTW�¹��cJ\]TVUòg,\}R1TVUW\}U^XJ�Y�ó

¥����o+Vz��&�<�#�� ��1ôZõÝö�÷º+V �-Iø�õ¢�ù@�úaB��ûx����ú�=���2J J��!%�� '�Ä)������ *�#�}�}����)l +bï� +9���<�()'�"��;��%F� ���.���.-�����& �!* G�#�}�]����)� +IïÝ +%���<�()'�"�x�q���������������#�}���1!#�.��ü��

ý�þÿ�������Â�Æ�Ã���¿6Æ����È w �����& ����qHn-� +V��!�!# �-<!�����o '3i�J���.-#�L�J���"�� �z�-�)J K���� �&2�HI�J�o ����.��+V �-%z&!#�<+VzJ�2'�^!��<z&!�!©�� ��&!G �& 'z��x�����G-���!#zJ���a!* +%���J�^!*$& $b�.-��x5 �9¼* �� �z��"���� ���^!*�� �!�! z�$�$& �-�����2r�J»r�¸t"¡�)�-a ��"�¨�5¯t�����@=J¤�D�@��

�� ��� ��� ����� ����;h�����9HI�&�� " �!.����X&TVUWN4R¸{�c"XbS�TVUWP�X�Y.�J��. �2J�.3q�~�GH%-���!�!.�&���.���% �-��9�9;���¤=&�

��B��x��}t&�9�O K� -��.���a E�w ��¨� ��3s�.�r �&2Z�x��5 �~�.�����<�}�}� �I®9TV[�TVUWP�X&[�N<|�®9ced���UW`�U~YfUWP�X&�J5Z�.31 ��-a!�x3s�.-��56 ����� t� e���7 í v/��;�����;'�

������HI�����9�o '���.���&���r ��< ��¦#���<��z�-��* +��,�(���#���.�O J �2r �&2q�^2J�.31$& ����.�"��3s�� �!#z�-���!.�J*31�.-�������56 �����8���:<;���A�@J?<�&;���;f£eB�;�B��

�§='�x��%��� '-a2J ��& ����� ¹+ �-�3izJ����! �313� �� ��-���2J��HI �^!�!# ����n�x�Ä���I��. �29�%t"���L�%H% -#�^!Gv� &u/��t���.-#���º�:a;K��D�DJ?a�J�J>��K£��J>�A��

��¤��x��9��� �-<2J ��& ���¨���-a ����� �3��&!.���9�.�����&56 �����eHn�"»�!.��! ë :a;K��D��J?a�b;���;<£9;���A����A��������x���� )" - �~ '!i ��&2 ���Iw� ��)&�o¥O�]�}����) �����º�}�(���Z����������-a ��&!©�^ ����!� �+x ������#�}�����o�©�"�'�.�"�#�� �����!

56 �����~�"�� � $�$&�� �-��

�}>K�l�x���9�������b �� ����� ���-����<z�-�-#����)¹!#�.- �(��!h��x-��,�&56 �K���Z:a;���¤'�J?%=&;>.£"=JB�;����D��x���%5r�.»'�.-��%¬�P��1d.N#R.Yº��RºMOU~YfP'TW°�XbP��1d.N#R.Y1��R ®,[�\}R�� RKT�[�X&['\]|KY.R1�J[�Na��P�XbU#"Kc"RK���9���<���I�� '����!

56 ������!�! ë :a;��J>@J?a��t�$�- �(��)'�.-�C%$%�.-#�^ )&�

B��

Page 3: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

�&2q���%�^!����(�� �-O���& ���+V �-%�'&& 31$J�����J�����.���.���.-�ç4è)(6:a;+*�BEúa�,*�=E?&�����.-����^!o �ç.-x! z&���º���& �0/1 :32l;?%õß@��¥��Jz&!������.-��*�^!* G�^ -�)��l! z�$�$J�(»Z +Ä�#�}�}����)"!* +oôZ +������*+ �-�3 :�>"��Be?a�

��z�-�$�z�-�$b "!#�*�^!��� �$�-� ���*�������'&J�^!#���.�&�<�� +� ��º�(�&2J���< '31$& "!� �J���l�#�}�}����)� +%ôr���(���r l� �]���l!#�.�� +�����*+V �-�3

Ü�ü547698 è ú;:;:9:�ú�8�<�=ºú :�>"���e?

�������������*-a � �( :>8@?BAC8�DW?�*�Üà�&�<����)1��-�-< �#�� ��& K�9+V �-�!# �31�FE9úHG#�J!# �31�.���J����)1���J�~�����& ��.�< '-a2'����)1�� ������-���!#zJ���* +O��A��L���< �zJ�^2��� ����& �$�$&�.�Z�}+nô6���.-��*���������& -< ��<���.-#�^!#�#�^��+Vz��&�<�#�� ��r �+n 1�< '31$& ��<�x!#�.�K�

*�J»��#�}�]����)G +,ô����������#�}����!#�.��I� '!9���º:�>"��Be?,�. �l�b����-#�������.�1 �!I �æ&�J�����x!#z�3 +����&2J���< �31$b "!� �J����#�}�}����)"!.�C� ����¯ +O���� J!#���^!G$&�.-#�� �2'�~�º �+O�����s+ '-�3 :�>"���e?a�1�����. z&!#�����G�^!l�< ��J�a K������2à�(�¯���������1�#�}���!#�.�s:�>"��BJ?<�&�����s$&�.-#�� �2�Ü �^!G�����<��!�!� -#�}��» -a ��#�� ��& K�L�Ä �&2à�O�º�. �� K���� K»e!*�a ����1ÜÝ�� ��&�� �6���"���.)��.-�J»��.�J�^ -�)����)r�����1�Jz�3��&�.-G +��< "! �.�a!.��¥�����!#�.��åyõJ6;8 è ú;:;:9:#ú�8@<K=��^!������.� �< ��&!#��-a ��(����2¯�� ��b�� !#z��&!#�.�� �+L6�@�ú;:9:;:#ú�M^Ü�NO=L4P6�@�úQ2�ç è úR2�ç - ="���o '�&!#��â�z��.�J�#��»r�����.-��i -��i�< �z��J�a �J��»r3º �"»r���� �^�<��!*+V �-�����l!#�.��åx�

�©�G�~!������� -1���& �iôá2J "��!��� '�l�#�}���r�������� �J» �#�}���r!#�.�5Sðü*��¥����.-��<+ �-��¹ �J»6���&2J���< �31$b "!� �J����< �31$b ����.�J�o +������*�#�}����!#�.�TI +%:�>"�ù�J? �. ����� ����(�J�� �����* ��J��»G���"���.)'�.-a!.�o¥��Jz&!%�����.-����^!� �1���&2J���< �3sC$& J!� �J���1�#�}�}����)� �+Oô �������¯�#�}�(�º!#�.��å����J�^�����< ��J�a K���&!� �Z���"���.)'�.-VU ��&2 1�Jz�3��&�.-G +O�����G+V �-�30W4�çYX��J�����.-���0�(�ü �&2[Zsõ¢;� '-�BE�&!� K»VZsõ¢;�«

åÝõ\6+U6úa0]4 ç#è�ú9:;:;: =,: :�>"�§=E?

¡/�^&ß ����6 +������ �< �z��J�a �J��»Ý3� ��"» ���� �^�<��!¹+ �-ºåã �&2ß�(�.��ç#èZ�� -�» ���������Z���"���.-��� K�1:a;_*�B�úa�`*�=�?������� ç.-�2J�<æ&����2  ��.�< �-<2'�(��)��(»à+ -� '3 �����1-���â�zJ��-��.31�.�J�����& �W/1 :32l;?xõî@���¡� �-l K�}����z��q�< 'z��"�a ��J�(»3� �J»��� ��(z���!* �+oç4è������i!#�.�*å¢�< ��J�a K���&!��4�� ��< J!#�.�a!.���& �31�<��»aU ��&2�0b4�ç4è�b���� "! �i2'�}ä��.-��.�&�<�G�~!��-�-a � �( '�& K�L�L�9�.���#����)ºåß� -�»����l!#�.�G���& �������G�� ��a �� �'&&�<�.$��#�� ��& K�O! �.�� +%ç4è+c�!��^!x�< �z��J�a �J��������z��*ç4è�^!� K�}�( ����2º�� G�� -�»s ��'�.-O ����� �������J���.-��� �� �E���"z&!������.-����^!� Gç4è�+ �-����J�^���º�����*�#�}�}�(��)Z:�>"�ùBJ?Ä�< ��J�a K���&! �º���&2J���< �31$b "!� �J���1�< �31$b ����.�J�x +/�(�J���.)�-< K�Ä$&�.- �( �26 �&2º�#�� q�< J!#�.�a!��������º��-�-< �#�� ��& K��2'�}ä��.-��.�&�<���½�é�À9¿àêIÂ~ÆÝë9ì 7 ì ��X&P�XbX&R#��[�TVUW`�R�j.cJX&S�TVUWP�X¯�"[�`KU^XJ�rcJX&S<P�cJX&TV["dh\]|���[�Xb|�TVN#[�X�Y.\}[�TVU^P'X�_4UWX&R'"�cJUW`�[�\}R�XbTUWX&��R<SaP'��g�PY.["d.\}RlTVUW\}U^XJ�Y<°�['\^\�P jlTW�"R�Y.[���Riñ%RKU]���"TLó

¥�����+Vz��&�<�#�� ��º�^!�������!� 31�� �!n���C�&& 31$J���G>"������� �ò���oô/:ed9?�õ ;f4à�< J!�BOghds+V �-O@]ijdki�;� �&2º@ ������.-����^!#���O�� ��#�^�<�G���& �x ������ �!#�* �����!#�.��å +%�������#»"$b�1:�>"�ò=�?% e�.�<z�-a!�z��&�< �z��"�< �J��»r3� �J»º�#��31��!:4 �!�ç4èG� -#����!<?� '!������1!#�.�� �+��< "!#�.�<!� +� �Z���&2J���< �31$& J!� �J����� �]�}����)r �+O�����G+V �-�3 :�>"���J?n+ �-l qæ�&���2

B�D

Page 4: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

� �.��öÝ�&�s�����1���& -< ��<���.-#�^!#�#�^�G+Vz��&�<�#�� �� �+O�����G���"���.-��� K�x�lA�;�ú�;.�©�&���� J!#�1¡� �z�-#���.-G��-a �&!©+V �-�3 �~!B+m,n è !©���om��o¨*�<æ&���l �-< $J�^2'�(»62J���<-��� �!©����)�!#��â'z��.�&�<�qp�?sr @s!# ����& �������l! ��â�z��.�&�<�

ô+?:ed ?%õ ;BOp�è ön:ed�*tp�èK?�uqv;v9v.u ;

B�p�? ö%:.d�*tp�?'? :�>"��;�?

�< ��J���.-�)���!Gz��J�}+V �-�3���» �� � +Vz��&�<�#�� ��Ýôá���J�^��� �^!G�� ������.)" � �(�'�r �&2 �+��< �31$& ��<�1!#z�$�$b �-�����â'z& K���  ���������J���.-�� K�q�lALw�úHw*�L�n+ '-bw õyx{z?H|9è p3?"� :#¥��J�^!s�~!��<�.-��a K���J��»Ý$& J!�!©���J����!©���&�<����+V �-5E~} ;�������s+ z��&�<� �( '�Ýôt?¹�^!�z��J�}+ �-�3���» �< ��J�#���Jz� �z&!1 �&2 ô+?H�9è:.d9?*�^!i ��Ý ��'�.-a )��1 �+x�����º�� K��z���!� +�ôt?¹��� º!#3� K�}�%���"���.-��� K�o -� 'z��&2ad/�}?¹�����. z&! �1 +o�����Gz��J�]+V �-�3 �< '�"���.-�)��.�&�<�1 �&2Z�����1�< �31$& ��<��!#z�$�$& '-�����������.�Ý�& K�����n+V �-1�� ����jmP( ïi� /ô/:>mJ?ºõã�}��35?H� z�� ôt?�:>mJ?a� t���&�<� � ô+?:�m"?¸�~!s�����Z$�-� e2Jz&�<�º +������¡� 'z�-#���.-l��-a ��&!©+ '-�3�!* +��������< '�"�� ��(z�� �( '�6+ '�<�� �-a!����á:�>"��;?������< '�&���(z&2J�º���& � /ô �� �J�^!#����!� �G�����$& ��(�J�a!Fg�0�*tp ? �E+V �-l K�}�fEàõð;�úaBEú;:;:9: �� ��&2�0�(6üL�O6�@,="����»�¥����. '-��.3 ����;: �]�V?�ô � �]����!¸�������6�#�}�(�º!#�.�I ? õ BOp ? ü��b+V �-G�� ����7E9�¯t�(�&�<�C� zn z ô/:Lç�?)�'ç�õ /ô�:#@J?lõ ;1�������< �-�-���!#$& ��&2'����) ���<��)��J�a!]� ? -����â'z& K�Ä�� �:#BOp�??3n è �

�� �¢���� " "! �l�����G�"z�3��&�.-<!Fp�?1!# 1���& �x�����i!#�.�s6t�L?�«CE õy;�úaB�ú9:;:9: =G�^!��]������ - �(»Z���&2J�.$&�.�&2J�.�J� ���.-T�1��¥��J�^!���31$J�}����!����& �������l!#�.3���)�-� 'z�$a� :4ô/?�-���â�zJ��-���!����Jæ&�J�(���<�(»63� ��"»º)��.���.-a �� �-a!.�½�é�À9¿àêIÂ~Ærë9ì v ì � j.cJX&S�TVUWP�Xº�"['`�UWX"�G[�X�U^Xb��R<SaP���g�PYf[Jd.\}RxTVUW\}R�Y.R�T9Ü/ü[456;8&è<ú;:9:;:�ú38 < =1ñ%UWTW�1U^XbTVR4�'N4['\geRKNaUWP���Ü�['X&�ºTVñ%P�SaPY.R�TWYT8@?º[�Xb�]8@DnYfcJS.��TW�"[�T�8�?LA�8�DoU~Y�U^N<N#[�TVU^P'X&[�\�ó� �.��ô/:ed ?oõy;T4 �< "!�B�ghdº+V �-od�( ��@�úK;.�, �&2¹���.��ô/:ed ?oõ�@1 ������.-����^!#����w �l�< ��&!4�~2J�.-�� �]�}����)"!* +ôZ�������r� �]����!#�.�a!� +%�����*+V �-�3

I õÝü�4j6�@�úQ2�ç4èKúR2�ç.-R="ú�ç4èú�çe-�( ��@�úK;?H: :�>"��Be?

¡� '-Oô��� i� �]���*ï��������5Iá�����^!o�����<��!�!� -�»� ��&2�!#z,�����(�.�J�����& ��O������+Vz��&�<�#�� ��6;�4��< "!�B�ghd�2J�<æ&����2º �������x����-a�����*ïV*Kü1�#�}����!%ïs*�ü1�������1� �]���l!#�.�06�@�úQ2�ç4èKúR2�çe-9=J�Ĩ* ����)��& -�31 '�J�~�� �& K��»e!4�~!� ���ïV*.ü����&!#���� '2 +�ïi�������1 �& K�� �)'z��1 +�¥����. �-��.3 ����;�:V�V?o�^!����& �l º�����<��!�!� -�»à ��&2�! z,�¹�����.�"�1�< ��&2'���#�� ��6+V �-VI �� �#�}�����^!����& ��������31�� '!#z�-�� 1 ��1ïs*füs)��������)�z��J����3� �!�!I�� l������æ&�'�x$b ���"�a!�@���2�ç4èK��2�ç.-�J�& �!o¡E �z�-#���.-��-a ��&!©+ '-�3 /1 :42J�<æ&����2Z�� �� ��Züx�������i2Jz& K�%)�-� �z�$Z +%ïV*�ün?����� "!#�1!#z�$�$b �-����~!��< '�"�a ��(����2 ���6�����z��J�� �� +L6@,=i �&2Z�����G���"���.)��.-x�.�.-� r!#�.�x �+ /ôÄ�Gt���&�<� /ô6� �J�^!#����!l ��x�.���.-�»º�(�J���.)��.-���z��l ���@º �&22l;*�����~!��.�� �z�)��r�� 1�.�&!#z�-������& ��F/1 :�2l;?%õß@����oz��

/1 :32l;?%õ�� è�j� n -.�;�^� � 1 :ed9?%õ ;T4�Bo�< "!�B�g9ç4èB4�B��< "!�BOg9ç.-lúBJ>

Page 5: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

+V �-�Zsõ ;'úaB��� �&2� -���$J�~�<��z�-���2 �(�6¡/��)�z�-���>"��;'�

@ B@B A�B;

B

;

B

A�B¡/��)�z�-���>J��;�«%ô è �&2rô - �

¥����o+Vz��&�<�#�� ��1ô è :ed9?9�#�}����!Iï �����������<��)��"�%@*z&!©����)��������#�}���x!#�.�Iü� +&�& 'z��&2J��212J�.�&!©���#»��oF� ���.���.-���l K�^!# ��#�}����!�ï��������6�O�<��)��J�]A�;�z&!©����)� s)��.���.-a K�%�#�}����!#�.�VI è ���& ���< ��&!©�^!#�<!* +o�a �'����)r K�}�o$& ���J�a!0�(�ü ���(����3izJ���#��$J�}�^�����#�^��!VU�èK:#0�?%õ 0 - ��¥��J�^!��#�}���q! �.���& �!�$b ��»"�� �3q�~ ���)�-� ������

ø0�F���[6t�W(CI «C�����,i�øF=F� øL�[:���.�&�<� 1�� �^!* ����.31$b�.-���2r2'�^!#��- �(��z�� �( '����¥����i�< ��&����z&!©�� ��6 +��9�.313º �B��ù�1: � ?�+L K�}�~!��� 1�� ��~2¹+ '-������)��.���.-a ��Ä�#�}���i!#�.�oI è �%�©�����J�^!x�. �! �������l31�� '!#z�-�� 1�� õ x��O +¡ 0 -R¢ � �& �!������l¡� �z�-#���.-*��-a �&!4+ �-�3

�1�� õßBOg]£�� t¡ ¢�¤ -�¥-.� � ú���J�^�����^!� ����.31$b�.-���2r2'�^!#��-#����z��#�� ��6���& ���^!��� ��x s31�� �!#z�-�����:4F��.-�� ¢ ¤ -3¥¦ �^!������i!#���< ��&2Z2J�.-#���� � �(�'� +%������$& ��(�J�*3� �!�! ¢ ¦ �(?

¥�����+Vz��&�<�#�� ���ô+-K:ed ?%�#�}�(��!OïÝ�����������<�()'�"��;*z&!©����)������x�#�}���i! �.�Oü¯ +Ä�& 'z��&2J��2r2J�.�&!©���#»��%�L�* K�^!# �#�}����!�ï��������6�O�<��)��J�]A�;��&z&!4�(��)r s)��.���.-a ����#�}����!#�.�FI�-����& ���< ��&!©�^!#�<!* +o�a �'����)¹ K�}�%$& ���J�a!�0{(6ü�������Z3izJ���#��$J�}�^�����#����!VU5-K:40/?o)�����.���J»º�����l-����<z�-<!©�� ��aU5-h:4@J?%õß@E��U5-.:<;?%õ¢;l �&2

U5-K:#0�?%õ¨§©ª ©«=,U5-K:40¬A�;?�A�U5-K:40¬A BJ?h4�BEúy�}+O0�}Ý@U5-K:'A�0�?<ú �}+O0�­Ý@5:

¥�����! ��z��#�� ����� ����J�^!�-����<z�-a!4�( '��)�-� ��*!��'&�$& ����.�J�#�^ K�}��»��%�������7U5-.:#0�?F®°¯K:4B)4j± �J? � �!�0�r ²Ý�¥����G�� e�. ��]��»6æ&�J������31�� '!#z�-�� 1 ��³ õ x �O +¡ U5-K:40/? ¢ � �^!� �2'�~! ��-#����z��#�� �� ���J�^���6�^!*�� ��l s���.31$&�.-���22'�^!#��-#����z��#�� �����¥����l�< ��&����z&!©�� ��6 +f� �.313� 1B��ù�1: �]�V?�+ ��]�^!��� ��� �^2º+V �-�������)'�.���.-a K�Ä�#�}���i! �.�oIo-�½�é�À9¿àêIÂ~Æ6ë,ì � ì � jfcJX&SKTVU^P�X¸jx�J[�`�UWX"�s[1ñ%R�U}��"TnYfRK��U]�'N4P'c.gb� :4ô/?�TW�"[�T�U�Y�X&P�T,´�X&UWTVR�\}|x�'R�XbR�N#[�TVR<�"ó

B�A

Page 6: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

���J�^���à! �� ��*!����& �� /ô/:>mJ?��< ��J�a K���&!��� ���� :4BOg�*�Üh� ?LüL�+6�@,=����r���a!��.�.-� �!#�.���E+ '-i;]iPµTi�0Ä�*F� ���.���.-¥����. �-��.3 ;��ùB���31$J�}����!G���& ��+ �-�;]i¶µTi�0I��ô¯�#�}�(��!�ïßz&!©����)CI0�O �!* º�#�}���1!#�.���� �&2 �������O�<��)��J���~!$& J!©���#�����i!©���&�<�1ôZ�& �!�$b "!©���#���������J���.)�-a �� � ·

w¯���< ��&����z&2J�����J�^!�!#���<� �( '���������r �� $�$J�}�~�. ��#�� ��r +o¥����. �-��.3 ;'��;*�� ����������& -a '�<���.-#�^!#�#�^��+Vz��&�<C�#�� ���ö�¸ +o 1!#�.�F¹��"�� 1 ����a K���r 1! ��-��.��)������.�J����)º +o �-���!#zJ���� +���A�©�º]» Æ,�,ÅKÆ&¿ u ì ! ì �¸YaY.c"��R�TW�"['T�¹ÝU�Yx[ºd�P�cJX&�'Ra����Ra[�YfcJN#["d.\}R*Y.R�TI[�X&��TW�"[�T%UWTWY�S.�"[�N#[�SKTVR�N<U�Y.TVUWSIjfcJX&Sh_TVUWP�X�ö�¸ TVUW\}R.Y%ï�ñ%UWTW�1YfP'�iRGñ%R�U}��"T���ó ­ �JR�X[� U�Yx[�gePY.U^TVUW`�R�UWX&TVR#��RKN�[�X&�1TW�JRlTVUW\]R*Y.R�TIU~Y%geRKNaUWP���UWS�ó¼lÅ9����½<ì t���&�<��ö ¸ �^!��� ������.)J �#�������9 K�}�Ä�#�}�}�(��)J!� -��l �+��b �z��&2J��262J�.�&!©���4»��9 �&2Z!©���&�<�iö ¸ �^!* 1���& -�C ��<���.- �~! �#�^�G+ z��&�<� �( '���Ä�����1���<�()'�"�]�y +x �J»r�#�}�}����)Z�~!� º$b "!©���#�����s�(�J���.)��.-K��¥����. �-��.3 ;���;º:V�}�V?l!� K»e!���& �� �J»q! z&���º�#�}�}�(��)q�~!� ¸æ&�J�����*z��J�( '�� +9�(�&2J���< '31$& "!� �J���l�#�}�}����)"!.�& �&2q���& �O ��]�9���&2J���< �31$b "!� �J����#�}�}����)"!l -��l$&�.- �( �2'�^��l¥�����$&�.- �( �2 Ü  +O ��"»r!#z&���6�#�}����!#�.�FI õ¢Ü�ük4j698,èú;:9:;:#ú�8 < =G�^!� 1-< �#�� ��& K�3�zJ���#��$J�(�� +ok��E�����.-��lk õ � zn z ö ¸ :Lç�?T��ç�õ¾�¿¹L����!©���&�<�������l �! »"31$��� ��#�^��2J�.�&!©���#»� +�I��^!

�E:eI�?%õ ÞÜ õ �

k ú

z&!©����)5�9�.313� �B����E��¥��"z&!��� '���r!#z&�����#�}�}����)1�^!�$&�.-#�� �2'�~�G��������$b�.-#�� e2 �����*���� �!#�x�< '3131 ��º3�zJ�(� �($J��� +%������$&�.- �( �2�!* +� iæ&�J�(���i!#�.�� �+Ä���&2J���< �31$b "!� �J�����#�}�}����)"!����"�� s���J�^��� �(�*$& -�� �(� �( '�&!.� ·

¥����. �-��.3ã;'��;� +o��AK�9$�-� ����2�$b�.-#�� e2'�^�����#»� +��#�}�}�(��)J!�+ '-O�< �31$& '�<�O!#�.�a!0¹6���& ���#�}�(�*ï���t�z&���¹! �.�a!�����<��!�!� �-#�}�(»¯�& ��'�i º�& 'z��&2� -�»6 +o31�� �! z�-��1@��i¥����i�����. �-��.3 �b ��'�����&����z&2J��!� ������.-*31�� �!#z�-< �J���!#�.�a!h�O¡E �-��'&E 3s$J�(���b���.�0ÀÁS ��@�úK;.�&�b�i �O �J�� �-�!#�.�� �+�$b "!©���#������31�� �!#z�-����&!# 1���& ����������& 'z��&2� -�»Â À�õ�Àn�J �&2s�a ���s¹ õ7À�û1:a��;'úaB�%�':a;�45À%?�?a�I¥����.��ö�¸s�#�}����!�ï ���(�����O�<��)��J�x;� �&2s�#�}���l!#�.��üx� �&2¹��& '!��& �z��&2� �-�»� �+�$b "!©���#�����l3s�� �!#z�-����Ã�ÄÆÅsÇ�È�É\ÊBË> ��w �G)�����i!#�.�'�.-a K�Ä�'&& 31$J����!*�'&��J�(�J���#����)Z������$& "!�!4�(�J���1!#��-�z&�<��z�-��l �+o�#�}�]����)"!h����]�o�'&& 31$J����!����"�� ��(�'��< �31$& '�<�#��»¹!#z�$�$b �-�����2¹+ z��&�<� �( '�&!xô�(rk è :Vï�?a�½�é�À9¿àêIÂ~Æ�ë9ì ! ì {�c"XbS�TVUWP�X�Y�[�����UWTVTVU^XJ�1��RKX&R�N#[�\9TVUW\}U^XJ�Y�P#j�ï TW�"['TO['N4RsX&P�T�P#jid�P'c"Xb��Ra�º��RKX�Y.U^TV|�ó

w¯�o)�������#�� ��'&E �31$J����!.��������æ&-a! �Ä������� � zn z ôèK:ed9?.�Ìdºõ @���������! ���< ��&2G������� � zn z ô+-K:ed ?e�,dºõ¢;��¥����*+Vz��&�<�#�� ��&!*ôRX:ed ?n �-���)�����.�r�J»

ôQX�:.d9?%õ §©ª ©«Z �Íd��,­ ;+*�B�úA�;_*�B ;+*�B]i¶�Íd��,­��,*�B�ú@ �Íd��,}��,*�B�ú

B�¤

Page 7: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

�� ��!#z�$�$ �1 � S B�g

Ü üáú

�&2�!#z�$�$ �1 � �^!�2J�.���.-�3�������2Z�"»º�����l!#�.�� �+n0�(�ü¯�����.-��������*+Vz��&�<�#�� ��Î :#0�?�õ <£XÏ|9è�Ð �X ú ������� Ð X õ � n -.�;�^Ñ'ÒHÓ�Ô ú

2J J��!*�� ����� �J�^!#����¥����ºt��� ���.31CL56 �J���.-�C>� ����� �����. �-��.3 �}>"�I;�¤�%!� K»�!����& ��x�����1!#�.�� �+o���"���.)��.-a!� ����J�^���ß �J»�!#z&���Ý�'&�$& ����.�J�#�^ K�x$b ��»"�� '3��^ K��� �J�^!#����!º�< ��&!©�^!#�a!� �+¸ æ&�J�����r�Jz�3��&�.-º +��< �3s$J�(�.��� -#������3s�.�#�^�1$�-� ')�-���!�!©�� ��&!¸$J��z&!1 ºæ&�J������!#�.���/���J�^���������. K�}���������'&&�<�.$��#�� ��& K�x!#�.�K�rt���&�<� Î :4@e?lõÞ7Õõß@����� '���l +%������!#�l - �(����31�.�#�^��$�-� ')�-���!�!©�� ��&!�$& �!�!#��!�����-� �z�)��r@��B�9�.�LÖR×9�&�G�����*���� �!#�x�< �3s31 ��3�zJ���#��$J�(�G +������*$&�.-#�� �2�!o �+Ä������!#���< �31$J���.���� -#������31�.� �~��$�-� �)'-���!�!©�� ��&!.�� �&2q���.�LE��&�������*3� 9&J��3� K��<���.31�.�J�l +o�������'&&�<�.$��#�� ��& K��!#�.�*�}+o�����^!*�� ����.31$��#»��� �&2��(�.�VEàõ ;� ������.-����^!#����w �1!#�.��Ö1õØÖ × E9� �&2��< ��&����z&2J�����& � Î :%Ö�0/?LÕõß@G+V �-x K�}��0�(�ü���¥��"z&!

BOg�ÖÜ ü�SÝ! z�$�$ �1�� :

�� �� ¥����. �-��.3ã�E��;G:V�V?%��31$J�}�(��!*���& ���}+nÜ × õßBOg@Öt*�Üà�����.�Ü × üT�O6@,=LSP6;m�« /ô/:>mJ?%õß@,=[: :4A���;�?

¡E �-%�����*-��.���.-a! �x2'��-����<�#�� ����&!#z�$�$b "!#�*���& ��:4AE��;?��� �^2�!.�o¥I ����I�õ Ü�üZ�������¹ÜàõßBOg�*Ü × ��¥����.��1�� :>mJ?%õ BOg�§ÜT� £�O +¡ ¢ � ÔOÙ ú :4A���Be?

�^!� G�� e�. ��]��»Zæ&�J������31�� �!#z�-����&���.�&�<�1¥����. �-��.3 ���~;�:V�}�V?x $�$J�}�(��!*�� ¹!#�� �����& ��ôà�#�}�(��!�ï z&!©����)�������#�}���i!#�.��Il�¼lÅ9����½]��½ º]» ÆÌ�9ÅKÆ&¿ ! ì v ì �L�1!#z,�¹�<��!G�� 6!#�� �ð���& �¸+ '-i �J» !#�.�[6�Ü è úaÜ - ú;:;:9:#úaÜ � =������.-����^!� +Vz��&�<�#�� ���ôZ���& ���#�}����!�ï �������Z�� ����� +%�����l!#�.�<!ÚI0�IõßÜ��^ü*�.+V �-l;FijµfiÝ0I���&���. z&! �i �J»1��-a ��&!©�^ ��� +O º�#�}����!#�.���^!*���a!#�<�}+� º�#�}�(�º!#�.���G�%���� -#��»6�����G+ z��&�<� �( '��ô9�L:ed ?�õ�ö�Û �RÜ Ô�Ý¿Þ �#�}����!*ï�z&!©����)aI0�#�� �&2 /ô;��� ��J�~! ����!* ��6:4BOg�*Üh�V?©üT�O6�@,="�9w �l���� " J!#�

ôZõ ô è u�ô - u]v;v;vÏu�ô � :¥����.� /ôZõ � ôèTv � ôt-fv;v;v �ô � ú

B=

Page 8: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

A�ô/:ed9?��}+������<��!�!� -�»��/�O�s3� K»�!#z�$�$b "!#�1���& ��lk~}y@��[�9�.313� ZB��§=r!� K»�!*���& �������s�O�<��)��J�� +� �"»�#�}�}����)� +��b �z��&2J��2Ý2J�.�&!4�(�#»��& �!q�O�<��)��J�� �q�(�� '!#��kT*':4BOwG?a� w ���� �ª$�-� ���º���& �º �"» �#�}�}����)� +���<��)��"�F��$& -��#���#�� ��&!����J�� ¹ ���31 "!#��ß^BOwF�F*k�à����&2J���< �31$b "!� �J���1�#�}�}����)"!.�/�"»º���&2Jz&�<�#�� ��6 ��60�áy;��+V �-%�#�}�}�(��)J!o���(���i���<��)��J�a!��Ý!� �#�^!©+V»�����)i09kâ*�:4BOwG?�ij�Ø­ :40â4¹;?#kT*�:4B�wG?a�Ä¡E �-%�������& �! ���. '!#��0Zõ¢;�����º�#�}�}�(��){Iî3�z&!#�l�b�1���&2J���< �31$b "!� �J�������<�^!#�s���i$& �-��#���#�� ��&!¸���"�� 6�#�}�}����)"![I è ûaI - �% �¸���� �!#�� ���� +����J�^��� �& '!*�O�<��)��J�*����!�!����& � kT*�:4B�wG?a�, ��< '�"��-< �2'�^�<�#�� ����1¥����G���&2Jz&�<�#�� �� ! ���.$6�^!������� -���z&!4�(��)ß#d,àL4ãß#ä+à]iJß#d]47ä+à"�

t�z�$�$b "!#�1���'&������& �lk�õy@��q� �.313� �B���B�!� �»�!����& �l K�}�o�#�}�}����)"!]Iy +��& �z��&2J��2 2J�.�&!4�(�#»6�& K������<��)��"�*@��%H% -���:V�V?O! �� ��*!o���& ���� ����r!#z&�����#�}�]����)CI��& �!� �6 �!#»J31$��� �� �~�*2J�.�&!©���#»

�E:eI¸?%õ �}��3÷ � z ;B�ø �W6t�[(CI «C�����,i�øF=ºú

�&���. �z&!#�bI �^!� sæ&�J������z��J�� ��  +x -#������3s�.�#�^�1$�-� ')�-���!�!©�� ��&!h�1w �����^ K��3 ���& �V�E:eI¸?Váî;+*�:4BOwG?�+V �- K�}���#�}�]����)"!º �+��b �z��&2J��2�2J�.�&!©���#»�� �V+l�� ��K���O�r�. ���æ&�&2 !# �31�C� × (¾IG��!#z&���Ý���& ��1���������J���.-�� K�:e��×^ú'�O×�4ÝBOwØ4jp<?��< ��"�< K���&!��� r�<���.31�.�J�l �+0IG�1¥����.-��s�� �� �'&"�^!#�<!l �!#�.�¬åð +�$& "!4�(� �(�'��31�� '!#z�-�����6�����l!#z�$�$& '-��x �+o������+Vz��&�<�#�� ���ô/:edWAæ��×W?o���J�^���Z�^!*2'�~! ¦4 ���J�*+ -� �3ª������!#z�$�$& �-��� +O K�}�oô�:.d[Aæ�E?a��¬(CI)�O6t� × ="�%¥����.� £¦   � ô/:ed[A��E?oÕõ @ + '-âdk(�å ú

���J�^��� �< ��J��-a '2'�~�<�<!V� õ @E�Ä �&2¯���J�^!�$�-� ����!¸���������~ ��(3Z�6t���&�<�C��:eI*è�ûCIo-K?Gõç��:.Ixèh?�4��E:eIo-h?a�����$�-� ��<�.��2r �!����Z�����lkj}á@1�. �!#���� s$�-� ���l �J»��#�}�}����)� �+n2J�.�&!©���#»C�E:eI�?%$& -��#���#�� ��&!����J�� � ��31 "!#�ß^BOw��E:eI�?Yàl���&2J���< �31$b "!� �J���º�#�}�]����)"!h�Ä�J»º���&2Jz&�<�#�� ��  �� 0Ä�9���(���������l���&2Jz&�<�#�� ���!#���.$6 $�$J��»�����)6�� K�}�Ä�#�}�}����)"!FI��& ��'����)�2J�.�&!©���#����!F�E:eI�?�!� �#�^!©+V»�����)�0�*�:#BOwG?�ij�E:eI�?�­ :40W4 ;?�*�:4B�wG?a�

�� � !#z�$�$b "!#�º���& �]I �^!����&2J���< �3s$& "!� ��J�(��� ¥����1�^ �!#��$& -��l +x¥����. �-��.3 ¤E��;1!� K»e!¸���& �� �"»�& 'z��&2J��2Ý2J�.�&!©���#»�� �]�}����)7Iî$& -��#���#�� ��&!i�(�J�� æ&�J�����rz��J�� ��� +*$&�.-#�� �2'�~�Z�#�}�}����)"!.��¥��Jz&!]Iª3�z&!#� K��-��� �2J»º�&�� �$&�.- �( �2'�^���#�}�}����)&� ·¼lÅ9����½F��½ ºè» Æ,�,ÅKÆb¿ ! ì � ì t�z�$�$& "!#�s���& ��ô7( k è :VïG?Ä�& �!��< �3s$& ��<�l!#z�$�$& '-��l �&2Z�#�}����!*ï���������������#�}���1!#�.�oI� +%�& �z��&2J��262J�.�&!©���#»��O¥����. �-��.3 ;��~;�:V�}�V?O!#�� �x!����& ��xôZ�& �!� �$b�.-#�� e2'�^���#�}�}����)���������#�}���1!#�.�oI�õßÜ/üC476;8 è ú9:;:9:�ú�8�<�="��¥����iHI �^!�! ��r!#z�313� ��#�� ��º+ '-�3�zJ�~ :4���ù�J?Ä�����.�6!#�� �x!����& ��������31�� �! z�-�� 1�� �& �!�¡� �z�-#���.-*��-a �&!4+ �-�3

�1 � õ BOg� ÜÚ� £�O +¡èéê<£XÏ|9è �'&�$9:HA�BOg�µ%8�Xa0�*�Ün?>ëì ¢ -.� � Ó�Ô :

B��

Page 9: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

�L�¯$& -��#�^�<zJ�^ -l�� '����/1 ?��^!G s�( ��. K�}��»6æ&�J�����131�� '!#z�-����st�(�&�<�º������-a � �( � �+� �J»��#�O �2'�^!#�#���&�<�1Ü × ? �~!��-�-a � �( '�& K�Ä�J»¹�< ��&! ��-�z&�<�#�� ����������l!#z�$�$& �-��a!� �+Ä�����l3s�� �!#z�-���!í/1 ?� -���2'�^!W¦# ���"�*�'&E�<�.$��� ��@��

¥����q¡E �z�-#���.-���-a ��&!©+ '-�3 �1 � + 1 � �^!������1!#z�3 �+O������31�� �! z�-���!s/1 ?��%;¬i¶E�iïî �9���.�&�<�����a!!#z�$�$b �-��G�^!l�����1z��J�� ��� +�������!#z�$�$b �-��a!G +������k/1 ?º�'&&�<�.$���$& "!�!©���J�(»� ��@��I�&���. z&!#�º�� ����º +���������<��)��"����2r$b ���"�G3� �!�! ��!��(�ð/1 ? �. ���. ��&�<�<�o�'&E�<�.$��G$& "!�!4�(�J��» ���� "!#�1�<�.�"���.-���26 �l@��st�(�&�<��ô¯�#�}�(��!ïi�J¥����. �-��.3 ���~;:V�V?%��31$J�}����!����& � /ô/:>mJ?O� �J�^!#����!l ��x K�}�o�� ����.�.-� º-��� K�^!�m� �*���J�^��� �1�� �& �!�3º �!�!.�¥�����!#���< ���&���^2J�i���(���������l�� ����.�.-� 1-��� K�^!Tm� ��O���J�~����! �31�]/1 ? �& �!�3� �!�!.�J�����.�&�<�

!#z�$�$ �1 ?]SP6�@`=ßûñ6;m�« /ôI:>mJ?%õß@,=1ú+V �-i;si\ECi\î �*t���&�<�1�� ����{/1 ? �^!� G�� ��. K�}��»ræ&�J������31�� '!#z�-����9¥����. �-��.3 ����;s:V�}�V?� $�$J�}����!��� ¹!#�� ����& ���� �����! �.�oIo?¸)������!* ��#�}�}�(��)º +IïÝ�"»�ôI�o¥��J�^!*�< �31$J���.����!*!#���.$�=� �&2º�����l$�-� J +�� ·ò Äôó�õ�É\Ê�È��,öOË%÷ïø�ùBÊ�ÊLõ��+öO �úïû�ù����,öOü�õh����L�Z���J�^!�!#���<�#�� ��6 K�}��+Vz��&�<�#�� ��&!xô�(Zk è :Vï�?Ä -��l '!�!#z�31��2º�� s�& ��'�l�< �31$& ��<�x! z�$�$& �-��K�¼lÅ9����½W��½ ºè» Æ,�,ÅKÆb¿ ! ì ! ì :V�V?�w¯�r!#�� �ð���& �G�}+lô\(�k è : ïl?O�& '!i�< '31$& ��<�1!#z�$�$& '-��������.� ���a!¡� 'z�-#���.-l��-a ��&!©+ '-�3 /ô/:>mJ?�!� � �~!4æ&��!������1�J»J$& �������! ��!l �+�¥����. �-��.3 ¤���;'�9�L�§��� /ô/:>mJ?V(jý z :Vïl?%�& �!G 2'�^!��<-��.���G�.�.-� �!#�.��!� ��#�^!©+ »'����)r:#¤���;?a�/�V+oôZ�& �!�!#z�$�$b �-��������lALw�úHw*�&�����.�r�����l¡E �z�-#���.-���-a ��&!©+ '-�3ð +�< �31$J���'&� -�)�z�31�.�J� /ô/:eþJ?%õP�Cÿn ÿ � n

� � � ô/:ed9?e�,d6ú\þ[(�� ú

�^!x ����.�"�#��-��*+Vz��&�<�#�� ����b���J�^���6!� �#�^!©æ&��!�������)�-� ��������b �z��&2

� /ô/:eþJ? ��i � ÿn ÿ ������ ¤ � ¥ �§ô/:ed ? ���,d�iï� �§ô�� �§è � ÿ� � � :

¥��Jz&! /ô/:eþJ?I�^!x ����.�"�#��-��*+Vz��&�<�#�� ��Z +Ä �-a2J�.-G;� ��&2º�4»J$&�Vw��n�V+� :©ø�?o�< �z��"�<!o�������"z�3��&�.-* +Ä�.�.-� "! + /ô/:eþJ?%���r�����l2'�~! ��6tþ�«a��þ��,i�øF="�� �r $�$J�}�^�. �#�� ��6 +o��.�&!#�.�hcù!�+V �-�3�zJ�^ �)������!

�}��3ß!#z�$÷ � z ¯:Lø¸?ø i � wîú

!#�.���� " '!���;.�L��¥����. '-��.3 B��ù¤���;����G¥��"z&!q:4¤���;�?O�� �^2�!¸+V �-lôI�Ä!# r¥����. '-��.3 ¤��~;1 $�$J�}�(��!G�� �)��(�'�1�����2J���< �31$b "!©���#�� ��¯:a;���BJ?% +�I �!� Gæ&�J�����Gz��J�( '�r +o�< �31$J���.���� -#������31�.�#�^�¸$�-� �)�-���!�!©�� ��&!.�

: �]�V?�¥/ ! �� ������& �5I �^!� 6æ&�J�����¯z��J�( '�� +����&2J���< �31$b "!� �J��� �#�}�}����)"!.�*���6��-��� �1�#�� ��. �! ��!.� ��.�< �-<2'�(��)��� ������.�����.-lk�õ¶� zz ô�:.d9?e�,d �~!*�.�.-� � �-x�� '���Gt�z�$�$& "!#�qæ&-a!#�����& ��k~Õõy@�����»r�a �'����)

B�B

Page 10: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

w¯�l -����� �á�(�6 �$& J!©���#�� ��6�� 1 $�$J��»r5r�.»'�.-;c�!������. �-��.3 �� 1������31�� '!#z�-�� �1 � �n�L�&2J�.��29�� �1 � �ù:<� ALw�úHw*�V?�iÝ!#z�$�  � ��¯ � �+v9�[6��o(��ð«����O�Oiðws=F� wîú

�J»������l '!�!#z�31$��#�� ��¯:4¤���;�?Ä ��Z�������.�.-� �!#�.�� + /ô/:>mJ?a�%¥��Jz&!.���J»�¥����. �-��.3ª=b��B��

I õ���� ?�X�|,è :4Ü�Xaü¬4æ8KX�?xú+V �-l!# �31�Gæ&�J������!#�.�����1� +oI × õ�� ?X�|,è :#Ü�Xaük4j8KX�?������.� �����1HI �^!�! ���!#z�313º �#�� ��Z+ '-�3�zJ�~ à:4�����e?��31$J�}����!*���& �F/1 � Ù �^!x q�O�<��)��J����2�!#z�3 +�$b ���"�*3� �!�!#��!� ��� - �(����31�.�#�^�*$�-� �)�-���!�!©�� ��&!.�o¥����.�

�1 � õ��1 � Ù�4 £�O �� n ¤ � Ù�� � ¥ � n � � � A £�O  � Ù � � � n � ��� :¥��J�^!1!#�� �x!¸���& �!��3iz&! �l�&���������.31$��#»�! �.���I�&���. z&!#� �1 � �& '!l�� �< ��J�#���Jz� �z&!�$& -��G�"» :4¤��§=�?<�¥��J�^!�$�-� ����!�:4¤���BJ?<�"�.Æeê 7 캭 �"R�N#RlU~Yl[Gge['NaTVUWTVU^P'XbI�õ��$# ?'|,è Io?�UWX6ñI�"UWS.�rR<[�S.�[Io?ºU~Yl[GgeRKNaUWP���UWS�TVU^\}RGY.R�T�j.P�N�ô%ó

�������.�l������2J���< �31$b "!©���#�� ��º:4¤���Be?& +�Il���. K�}�������O �-#������31�.�#�^�%$�-� �)�-���!�!4�( '�&!ÄÜ��^ü)4í8��� �&2GÜ�X.ü�4F8�XR'"�cJU^`K[�\}R�X&T �}+�Ü��>*�Ü�X*�~!*-< �#�� ��& K�L�G�x-� 'z�$r�����1 -#������3s�.�#�^�l$�-� �)�-���!�!4�( '�&!����J�� ���â�zJ��� K���.�&�<�¹���^ �!�! ��!.� �&2¹�(�.�������i!#�.�<!LIo?J��;FiPE5ijî �&�< '�&!©�^!#�x �+�������z��J�� ��6 +%�����l - �(����31�.�#�^��$�-� ')�-���!�!©�� ��&!����r�� ������â'zJ�(� K���.�&�<�����^ �!�!.�nw �*æ&-a!#�x! �� ������& ���� ����CIo?¸�^!�$&�.- �( �2'�^����V+L6�Ü�X&%�ú9:;:;:�úaÜ�X('â=i2J�.�� �����!������l!#�.� +9$&�.-#�� �2�!o �+&�����x -#������3s�.�#�^��$�-� �)�-���!�!©�� ��&!/����I�?"������.�1�� ����qÜ�X>ÝIõ�:*)���*,+'�©?4Ü�X(%�/�V+�U5?��^!I�������(�� '!#��< �313s ���3�zJ���#��$J���� +Ä�����-)��/�����.�CIo?��^!�$&�.-#�� �2'�^�l���(����$&�.-#�� �2rÜ × ? õ�U5?KÜ�X&%��:�t��31$J��»r!#$J�}���x�� ���� -#������3s�.�#�^��$�-� �)'-���!�!©�� ��6:L3s e2ZÜ�X>Ý©?%���"�� ¹ - �(����31�.�#�^��$�-� ')�-���!�!©�� ��&!�:L31 �2�Ü × ? ?O!©���&�<�1Ü × ? *�Ü�X>ÝB(�üx�ù?�� ����O�*3� K»º��-#����� I ? õßÜ × ? ü¬4j698 ¤ ?'¥è ú;:9:;:�ú38 ¤ ?H¥��. =�:

�©��-��.3� ��(�&!��� �!#�� �����& ��O�� '���r!#�.��I ? )������!� q�#�}�]����)� +IïÝ�J»¹ôI�o¨*�<æ&���1 ?�õ £¦   � . ¢ ¦ úy;sijE¬ijî :

¶*!©����)������lHI ��~!�!# ��r!#z�313º �#�� ��º+V �-�3�zJ�^ º:4�����e?a�������l¡E �z�-#���.-*��-a �&!©+V �-�3î +%������31�� '!#z�-�� 1 ? �~!/1 ?�õ¶£�O +¡0/ ?�:4BOg�0�*�Ü × ? ? ¢ -.� � Ó�Ô Ù. ú :4¤���¤e?

���r���J�^��� / ?�:ed9?%õ BOg�§Üh×? ��,.£ D |9è �'&�$9:HALµ%8 ¤ ?'¥D d9?L:B�;

Page 11: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

�����.-�������z&!#��2{� /1 :>mJ? �_� � m��¿n � Ó3- �o¥��Jz&!.�& �!32�r�²Ý�444444�65£XÏ| � ¯ � Ü X72 X 444444 õ¾�98 / ú �1 �;: ���<2 è�Ó3- z£� |9è 0 n � Ó3- �<2 è�Ó�- :

¥��J�^!*�. ���� ����& $�$b�.�rz��J����!�!�U � õß@��o¥��"z&! �1�� �^!x ��� �2J '�r31�� �! z�-���1@� õ¾£�  � ¯ � ¢ � ú :4¤��§=E?

+V �-x�<�.-��a ��(�r�< '�&!#�a �J�a!T¯ � (=�I�"�.Æeê � 캭 �"R�SaPKR?>ÝS�UWR�XbTWYÚ¯ � UWXA@CB�óED F�[�N#R1d�P�c"Xb��R<�"ó¥/ l$�-� ��'�O���J�~!h�����.� 1 (Cý zG :'A�;�ú�;?<��������� 1 :4@J?%õ¢;'��¡/�^&H��(=�1�� �&2º�< ��&!©�^2J�.-��������< �31$& ��<� �(»

!#z�$�$b �-�����2 +Vz��&�<�#�� �� Î :.d9?�õ 1 :I29:edWAJ�K?�?a�x¡E �-��^ -�)��K2r�����1!#z�$�$& '-��� + Î :.d9?��(�J���.-a! ���<�a!��î ��J��» �L��Iw �������.�r�& K��� ¯ � õ�8 Î ú �1 �;: õ�8 / Î úNM1 ��: õ z£� |9è / Î :HAL� � ?�ú��������I õ\6t� � «10�á�;+=i �!����¯:4¤����J?<�

t���&�<� / Î :�m"?%õ ;2 � n � � � ÓIO /1 :�mÌ*P2,?<ú���� ����a K��� ��¯ � �Ki ;2 z£� |9è 444 /1 :'AL� � *P2,? 444 õ\¹,èf4j¹�-lú�����.-���¹9è� �&2ð¹�-1-��.$�-���!#�.�"�s�����r!#z�3 �a ����.�� ���.-1@7iÆ�Í� � �âiQ2 ��&2\� � � �T}R2�-���! $&���<�#�����<��»��¼*�.�.$J����)���� 3����&26���& �x�����i�b �z��&2J��2 2J�.�&!©���#»r �+ÚI ��31$J�}����!b�Í� � �TS 0I�9���l�& 'z��&2{¹,è�z&!4�(��)Z�������!#�#��3� ���� 444 /1 :HAL� � *U29? 444 i 444 /1 444 Û n è Ü è�Þ ����a K���J����)

¹,è�i ;2 444 /1 444 Û n è Ü è�Þ �W6�06«C��� � ��iV2�=F� ;2 v�2ºõ¢;O:w ����!#� �(3º ���]¹@-*z&!©����) 444 /1 :HAL� � *U29? 444 � �^AL� � *U2�� n - �<2 - *0 - �� 1 ����a K���

¹@-�i ;2 £� ¦XW � Y O 2 -0 - �<2 £�,Z O ;

0 - �<2[v ;2 õ¢;�:¥��Jz&!V��¯ � ��� ;��"�.Æeê v 캭 �"RGYfRKThIªU~Yl[�cJX&UWP�X6P#jl��P�c�d.\}|ºU^XQ´OXbU^TVRG[�NaUWTW�"��R�TVUWS*g,N#P<��N#R.Y<YfUWP�XEYhó

B�@

Page 12: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

�����. K�}�,���& �o G2'�^!#��-#����z��#�� ���!#z�$�$& '-�����21 �o G!©����)���x$b ���"�[��(ºï �^!o �æ&�J�(�����}�(���� �-��< '3i�J���& � �( '� +O2J�.-#��� �#������!� �+ ¢ � ����+ ����z&2'��� ��;�BK�L�9¥����. �-��.3 AE��B�¤��¸t�(�&�<�s�����1!#z�$�$& �-��� + �1 � �~!G2'�^!��<-��.�����9����< ��&����z&2J�����& �

�1 � õ £�  � �\ ������.-�� \ � õ �65£XÏ| � ¯ � Ü X ¢ ¤ X�¥� :¥/ �!#�� �ð���& � �1 � �^!i 31�� �!#z�-������13�z&!#��!#�� �ð���& �VU � õª@º+V �-� K�}�]�5(^� : ¢ ¤ XÏ¥� �^!G�����qZJCV���2J�.-#���� ��#������ + ¢ � �J���Z�����i!#�.�&! �l +o2'�^!#��-#����z��#�� ��&!.·9!#�.�º��;�BK�V?a�o¡/�^&=�F(=�s�, �&2 �a ���� �����! ��+ z��&�<� �( '�1 (�ý zG :HA�;�úK;?o!#z&���Z���& � 1 ¤ XÏ¥ :4@J?%õ :HA�;? X +V �-x@WiæZ5iPU � �ow¯�l�< ��&!©�^2J�.-������i2'�^!#��-#����z��#�� �� �1 � ��<�#����)1 '�������i!��. ��(��2 ����!#��+Vz��&�<�#�� �� / :ed ?Äõ 1 :_2,:.d]A`�K?�?a�J���� "!#�l¡E �z�-#���.-���-< �&!©+V �-�3 �^!�)�����.�Z�"»

// :>mJ?%õ ;2 � n � � � ÓIO /1 :>m,*U29?Oú �&2q���.�L25r ²Ý�%�V+�2��^!��^ -�)����.�� �z�)��������.��������!#z�$�$b �-��� + / :.d9?����J���.-a!#���<�<!6� ��J��»� �������x$b ���"�������â'z���!#�#�� ����%w¯�������.�r�& K��� 8 / ú �1 �;: õ 8 / ú \ � :

õ� 5£X�| � ¯ � Ü X / ¤ X�¥ :C�K?

õ�65£X�| � :e¯ � Ü X�:HA�;? X 1 ¤ X�¥ :4@J?�?I2 X

õ� 5£X�| � ¯ � Ü X�2 X :

¥��J�^!��~!� �$& ��»J�� �3��^ K�I���`2� +o2J�.)�-��.�VU � �����r������ ������.-��& �&28 / ú �1 ��: õa8%// úbM1 ��: õJ£¦   � // :HAL��?�:�� ����.�"z�31�.-< ����������$b ���"�a!� +�I�õ\6+� � «10�á�;+=��������&�<-��� '!©����)� �-<2J�.-� +o �&!# ��z����G�� K��z����

@]i¶��� è �,i¶��� - �,i\v;v9vo: :4¤����e?

¥������b �z��&2J��262J�.�&!©���4»� �+fI ��31$J�}�(��!*���& �q��� � �PS 0I�o¥��Jz&!.�& '!�0kr�²Ý�� // :HAL� � ? � õ ;2 444 /1 :'AL� � *P2,? 444 � ;2 4444 AL� �2 4444 n � Ó�-� 2 è�Ó�- 0 n � Ó�- ú

;��

Page 13: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

º]» Æ,�,ÅKÆ&¿ :4�� "! �.�"���& �� ��;K@"�'$��J>";.�V? ­ �"R*R�\}RK�iRKX&TWY�P#jxTW�"R�N<U^XJ�lP jxSaP�YfRKTWYOP#j%ï�c�ñI�"UWS.�1[�N#R���U~YfSKN#R�TVRUWX�TW�JRic'Y.c"[�\ITVP<g�P�\}Pa��|sP#j�ïð[�N#R�g9N4R<S�U~Y.R�\}|�TW�"RGYfRKTWYlP#jlTW�"R�j.P�N<�

��� ?�XÏ|9è :4Ü X ü54�8 X ?�ú :L=&�§=E?

ñI�"RKN4R��ãS ï U~Y�´OXbU^TVRh° Ü�Xí}á@r[�Xb�V8KXí(ºï1ó¥��J�~!��< �31$J���.����!�������$�-� J +� �+n¥����. '-��.3ª=&��BE� ·d Äôø�öO�Où��,öOù��� feKg� �õh�O �É ��õh�he�ü�Ë> {ø� �öO�

w �*$�-� ���� l-���!#zJ���O)��(�'����)��< ��&2'���#�� ��&!� ���ôC(rk è :Vïl?&)'z& -a �J���.�<����)����& �� K�}���#�}�(�l! �.�a!� +Ä�& 'z��&2J��22J�.�&!©���#» +V �-�ôÝ -��sæ&�J������z��J�� ��&!� +��< �31$J���.���r -#������3s�.�#�^�1$�-� ')�-���!�!©�� ��&!h�6�L�jiaAr����!#�� �î������!#��< ��&2'���#�� ��&!����&���(z&2J�º K�}���< �31$& ��<� �(»r! z�$�$& �-�����2�ôÄ�º]» Æ,�,ÅKÆ&¿ í,ì ! ì :�t���-�z&�<��z�-��o¥����. �-��.3 ?lk�R�T"ô�(Zk è :Vï�?9�"[�`KR�[�{�P�cJNaUWR�N�TVN#[�X�YWjfP'Na� /ô/:>mJ?�(Cý z :Vï�?ñI�"UWS.���"[�Yl[���U�Y.S�N#RKTVR�m.R�N#P1Y.R�TnYf['TVU�YWjf|UWX"�sTW�"R�d�P�c"Xb�

�[69mi« /ô�:�m"?%õ @ [�Xb�b� m��,ijws=Við¯Rwªú :4¤���;�?

j.P�N�Y.P���R�gePY.U^TVUW`�RsSaP�XEYfTV['X&Th¯�ó*®9c.g'gePY.R�TW�"[�T%ôÝTVUW\}R.Y�ïyñ%U^TW�6TW�"R�TVU^\}R�Y.R�T�IîP#jqd�P�cJX&��R<����R�XEYfUWTV|�ó­ �"RKXrTW�"RqYfRKT�IîU~Yl[L´�X&UWTVRicJX&UWP�X6P#jl[�N<UWTW�"��R�TVUWS*g,N#Pa�'N4RhYaY.UWP�X�Y

I�õ<�X�|,è :4Ü�X<ü54æ8KX�?�ú¢ K�}��Ü�XqÕõß@�: :4¤���Be?

{�c"N<TW�"RKNa��P�N#R1RK`�R�N<|�Y.c"Sh�¹TVUW\}U^XJ�s�"[Yl[0´OX&UWTVR�ge[�N<TVUWTVU^P�XI�õ #�?H|9è I�?

UWX�ñI�JU^Sh�rRa[�Sh�èI�?ºU�Yl[�TVUW\}RGYfRKTJjfP�N*ô�ñI�"UWS.�rU~Y�geRKNaUWP���UWS.°oUVó~R�óBIo?¸õßÜ × ? ü54ð6;8 ¤ ?H¥è ú9:;:;:�ú�8 ¤ ?H¥� . =J�¼lÅ9����½<ì w¯�x���}�}�Ä!#�� �Ý���& ��%�����x3s�� �!#z�-�� 1 � !� � �~!4æ&��!o�����x�J»"$b �������!#��!n +Ä5Z�.»��.-;c�!�¥����. �-��.3 =&��B����»¹¥����. �-��.3ã���~;�:V�V?o�����l!#z�$�$b �-��� �+����������.31$&�.-���2Z2'�^!#��-#����z��#�� �� �1 � �^!*�< ��J�a K������2º���r�����l!#�.�� õØ6�@,=�û56;m[(sïß« /ô/:>mJ?%õß@`=qú���J�^���r�J»��J»"$b �������!©�^!��^!x 12'�^!��<-��.���i!#�.�*!� �#�^!©+V»�����)�:#¤���;?a�"�.Æeê ! 캭 �"R�TVR���geRKN4R<�1��U~Y.TVNaUVd.cJTVU^P'X �1 � U�Yl[onO[��'P�X ��Ra[�YfcJN#R�ó

;�D

Page 14: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

� ;0�p B ?0Kq n - B ? � 0

B ? ú���J�^������31$J�}����! � �1 � �ù:a�ù0ÄúQ²�?�?�� 0 £- .�r %_s � ;

B ? � ;1ú

�&2º�������Z�����l!©��3��}�^ -*������â�z& ��]���#»º+V �-q� �1 � �ù:�:HA�²Ýú;A�0b�V?o������$�-� " �+� +I�����i���^ K��3 �~!*�< �31$J���.������� ��#�^�<�� K�^!# 1���& ���]��3 � � z 1 � :ed ?oõ�¯'�G�}+âdk(aI �&2¹�~!*@s ������.-����^!#����¥��J�^!��~!* º�< ��&!#��â'z��.�&�<�

+%�����*+L ��<�����& �LI �^!x2'�^!��<-��.���i �&2 �����l!#z�$�$& '-��� + 1 :40�d9?O!#��- �(����!��� 1@��w¯�iz&! �i�����l+V �}�� ������)r$�-� �$b�.-��#����!� �+utïx�9�����1�o '��-l�< �31$& ��<�#�}æ,�. � �( '� +oïy:4! �.�l+V �-*�'&E �31$J���

��;�;��$��b��@�V?a�

;'� tïß�^!*�����12Jz& K�o)'-� �z�$6 +oï�ca�9�����i-��� K�Ä�}�����º�������6������2'�^!��<-��.������ '$& �� �)�»���¥����.-��<+V �-�� tï �^!� �< �31$& ��<��)�-� 'z�$��

BE��ï�S tï �!��� '$& �� �)�^�. K�%!#$& ��<��!� �&2sï �~!�2J�.�&!#�*��� tïx�Ä�#2J�.�"� �]+V»'�(��)º�����l�< ��J�#���Jz� �z&!n+ z��&�<�#�� ��&! �� tïÝ���������& 'z��&2J��2��< '�"�#���Jz� �z&!�+ z��&�<�#�� ��&!� ��ºïÝ����)��.�����& �

ýq: tï�?�Sjý�: ï�?wv�k�zs:Vïl?�~!� 1�� �& ����r!#$& ��<�����&����z&!©�� ����

t���&�<��������31�� '!#z�-���! �1 � -���z��J�]+V �-�3q�(»º�& 'z��&2J��21�����.»º ��<�% ��� K�}�,�& 'z��&2J��2��< ��"� �(�Jz� �z&!�+ z��&�<�#�� ��&! +�ïi�% �&2á�< ��&!#��â'z��.�"� �(» K�^!#   ��Ý K�}�¸�< '�"�#���Jz� �z&!s+Vz��&�<�#�� ��&!1 '� tïx�����& �s�^!1�����.»Ý�< ��&!#�#����z����6 z��J�}+ '-�3���»6�& �z��&2J��2Z+L 3��}��»r �+o�}������ -�+Vz��&�<�#�� ��& K�^!� '�aý�:�tï�?a���o»Z�����1�� �& �����CV��^ �)��(z6�����. '-��.3�����.-����'&J�^!#�a!� º31�� �! z�-��uxZ ��ytï¢!#z&�������& ��+V �-*�.���.-�»6ôæ({ý�:�tï�?������.-��G�^!� �!#z��&!#��â'z��.�&�<�1 + �1 � ��. K�}������ )" K��� �1 � �b!#z&�������& � 8Lôbú �1 � : rz8Lôbú{x : ú� �!�0kr�²j:*$�$J�(»'����)1���J�^!%���(������ ��������& -a ��<���.-o + tï ����$J�^ ��<�* +Äôº���� ����a K���1���& �T/xb:ed ?%õ��}��3 � � z ��1 � :.d9?%õBOgh¯ n �J�9�}+íALd7({Il�� ��&2Z�^!�@º ������.-����^!#���/���.�&�<�¬/x6�& �!*�����læ&�J�����s-a ��)��1BOg�¹��l��»�¥����. '-��.3 =&��;������!#�.�FALIl�� �&2s���Jz&!TIl�J�&�<�� ���)J!��� l�����x-#����)� +��< J!#�.�a!% �+�ï3c<�I������J�^!o$b ���"���O��z&!#�l ������. '-��.3 +��� "!#�.�J���& K���~;�@K�,���J�~���r2J��!��<-#���b��!������*�<�(�.3s�.�"�a!� +������x- �(��)s +Ä�< "!#�.�a!� +9ï3c����J�^���¹ -���2'�^!��<-��.�������ïi�I:�t��.�l K�^!# r��¤�©�}?

;>

Page 15: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

ñI�"RKN4Rè¹æS����O6@,=�U~Yl[�´OXbU^TVRGY.R�TLó�®,chg�g�PYfR�TW�"['T 1 U~Yl[�TVR���geRKN4R<�º��U�Y.TVN<U dhc"TVUWP�X�°�[�X&��TW�J[�TB/1 U~Yl[nO['��P�X6��Ra[Y.cJN4R�P�XsïðñI�"UWS.�ºYf['TVU�Y ´ORhY� /1 �]:a� ALw�úHw*� ?h� w�ú* �!�w\r ² : :L=&��Be?

­ �"RKXrTW�"RqYfRKT�IîU~YlP#jlTW�"R�j.P�N<�

I�õ���� ?�X�|,è :4Ü�X<ü54�8�X�?�ú :L=&���e?

ñI�"RKN4RGÜ�Xq} @�ú38�Xí(Zï�°%[�X&��TW�JR�YfRKT�°SáïðU~Y�´OXbU^TVR|@ �"R�N#R�� ��RKX&P�TVRhYlY.|�����R�TVN<UWS1��U }xR�N#R�XbSaR�P#jY.R�TWY~F'ó

�©�Ý5Z�.»��.-;c�!¸ �-#��)���& K��+ '-�3�zJ�~ ��#�� �� ����$J�~ '�<�� +��< ��&2'���#�� �� :L=b��BJ?x�����.-����� �!�������!#��-� ���)��.-�-��.Câ'zJ�(-��.31�.�"�s���& � �1�� �� �!Gz��J�}+ '-�3���» �� ��. K�}��»�æ&�J�������n� �ò��� � �1@� �ù:a�¿d�úHdW4¢;h�V?[i ý1��+ �-1 K�}�ídØ(áïi�w �12J º���.��2r�����i-��<�~ t&e��2Z�J»"$b �������!©�^!G:L=&�ùBJ?%+V �-x 'z�-� $�$J�}�^�. �#�� ����G¥�����$�-� " �+o +O¥����. �-��.3�=&��Bi�~! K�� ���)º�����i!� 31���}������!� �!����& ��)��(�'�.�r�J»r5r�.»'�.-���y-���!#zJ���* +���� �-a2J '�& ��§=�Ä��! �a �J�}�^!#����!*�����i!� 31�!#��-�z&�<��z�-���:L=&�ù�J?%�������� �z���z&!©����)Z�o ����.�hc�!������. �-��.3ª��z��*z��&2J�.-*�������'&e��-a 1 �!�! z�31$��#�� ������& �)/1 �^!* �}������ -l�< �3��J���& �#�� ��6 +o$& ��(�J��3� �!�!#��!���������X&P'X&X&R#��['TVU^`KRx�< J�'�¹�����.�"�a!G:©�� 1)�-� �����r�< '�&2'�(� �( '�6�}�(�'�:L=&�ùBJ?I�~!������.�r���.��2J��2b?a�¼lÅ9����½<ì �9�.� 1 (�ý zG :HA�;�úK;?aú 1 :#@J?�õð;��&! ����& ������a!x¡E �z�-#���.-���-a ��&!©+ '-�3ª!� �#�^!©æ&��![� /1 :>mJ? �,� � mK� n Ô+V �-x K�}��Ü{}Ý@��%¡E �-�$& J!©���#���������J���.)��.-a!�0¯2J�<æ&���l�����*+Vz��&�<�#�� ��&!

1 � :ed9?%õ 1 :#0@d ?�u 1 :ed9?o:¥����<��-�¡� �z�-#���.-���-a �&!©+V �-�3�!�!� ��#�^!©+ »

/1 � :>mJ?%õ ;0/1 :>m,*�0/?�/1 :>mJ?�ú

:4 �!*2'�^!#��-#����z��#�� ��&!f?x���.�&�<�1������/1 � �-��1 K�}�o31�� �!#z�-���!h�xw¯�q���^ K��3 ���& ��������31�� �! z�-���! �1 � -���z��J��C+V �-�3���»º�& �z��&2J��2Z31�� �! z�-���!.�'�L�§���í� �1 � �ù:Vï�?h� ;��I�©�&2J�.��2

� �1 � �ù:a� A�0Iúa0b�V?�i ;0 � � /1 � � z �¿/1 �ù:a�lA�0Äú<0b�V?�� ;1ú

�J»� 'z�-l �!�!#z�31$�� �( '� ��6�����1)�-� ������r +V� /1 �ù:a� A�0Iú<0&� ?a�i¡Ez�-������.-�3s �-����b�}+xB ? S 0 ���i�& K��� :Lz&!©����)�����*+L ��<�����& ��)� /1 :�m"?R��� � m��¿n - '!Tm]r�²�?

� �1 � �ù:<��B ? úaB ?H�9è �V? � ;0 � /1 � Û - . Ó � Ü - .Cr % Ó � Þ �¿/1 �ù:a�ù@�úaB ?'�9è �V?;�A

Page 16: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

U~YlU^X6TW�"R�N<U^XJ��P jlSaPY.R�TWYlP jL�oó:�t�z&���r31�� '!#z�-���!� -����. K�}����2 U^�'R���geP�TVRKX&TV��������-��� �!# ����b�<����)����& � 1 u 1 õ 1 �}?

¥����x���'&��o�����. '-��.3 + �}�� �x!��� �!©�}��»�+V-� �3ª�� ����.�hc�!��42J�.31$b ����.�J��¥����. �-��.3r�Jz&!©����)1 �� -�)�z�3s�.�"� +��o ����.� ���E�"$��bB�@=��L�º]» Æ,�,ÅKÆ&¿ 7 ì ! ì k�R�Top d�R�[�\}PKSa[�\W\}|�S<P���ge['S�T*["d�RK\}U^[�X6��N#P�chgÝ[�X&�|� UWTWY���cJ[�\Ä�'N4P'c.g ó���j 1 U~Y�[´OXbU^TVR���P�N#R�\/�iR<[Y.c"N#R�P�X�p [�Xb��TW�JR1N#[�X"�'RiP jV/1 U~Yl[�´OXbU^TVRGY.R�T�¹ õ\6,� è ú;:9:;:�úX� � =VSV��TW�"RKX�°bjfP�NR<[�S.�FZ1õ ;�ú;:9:;:�ú<0�°%TW�"R*g9N4RKU^��[��'R�P#j3� X

:3/1 ? n è :C� X�?%õ\6���(=�¯«k/1 :&�I?Iõ��'X9=U~YlU^X6TW�"R�N<U^XJ��P jlSaPY.R�TWYlP jL�oó¼lÅ9����½<ì ¡/�^&CZæ(P6J;�ú;:9:;:#úa0�="�[�9�.�!�G:eþJ?Gõ �P�Fþ � 4\v;v;v_4�� � �b�¹ $& ��»J�� �3��^ K�O���& �l�a �����!*������� ��(z��º;� ��=� X¸ �&2Z@G ����9?*+V �-oE�ÕõæZ9�%¨*�<æ&���l������31�� �!#z�-���x� '!������i�< '�"�� ��(z�� �( '��$& ��»J�� �3��^ K�x¹õ��G: 1 ?oõ��P� 1�� � 4jv;v9vR4 �Jè 1 4æ� � ú�����.-�� 1 � ? õ 1 uèv9v;v3u 1 :eEZ�#��31��!<?<�&���J�^���6�^!*���<�]��CL2J�<æ&����2�!©���&�<� 1 �^!� �æ&�J�����s31�� �!#z�-����G¥����.���+V �-��� ����|�a(|�%�b�����& K��� /xb:&�I?Iõ�� :3/1 :&�I?�?�ú���J�^������31$J�}����!

:�/1 ? n è :C� X�?oõP6���(=� «�/1 :&�I?Äõ�� X;=lõØ6��C(=�¯«¬/x9:&�I?Iõ¢;+=[:�� ���x �^!� �Z�~2J�.3s$& ����.�J��31�� �! z�-��l �� ps�,!# ��J»6�o ����.�hcù!*�42J�.31$b ����.�J�l¥����. �-��.3����l�& K�������& �:�/1 ? n è :C� X�?%�^!����Z������-#����)� �+��< "!#�.�a!� +��n� ·

¥I ���¸+ '-x�'&& 31$J���������1�. �!#�G +Opîõ��¯õ�ïs*�:#BOgbü%?� �&29���< '�&!#��â�z��.�J�#��»���� õ�üx�%�!*���i!� K�l�������-#����)� +��< "!#�.�a!� +Oü��< ��&!©�^!#�<!* +� K�}�o�.���.�J��z& K�}��»6$&�.-#�� �2'�^��!#�.�<!x �&2 �����^!*$�-������^!#�<��» ���� "!#�i! �.�a!���& �o! z�$�$& �-��������*¡� �z�-#���.-���-a �&!©+V �-�3y �+/ ����^2J�.31$& ����.�"��31�� �! z�-��� ��H���/��+��< �z�-<!#���������*�< ��"�'�.-a!#� +x�����������. '-��.3 �^!1 K�^!# 6��-�z��¹ �&2à�^!��� �!#»6�� 6$�-� ����«G+V �-G�.���.-�»æI �����������< "!#�.��-#����)6 +3�n�%��������& -a ��<���.- �~! �#�^�*+Vz��&�<�#�� ��rö � :&�I?��^!������l¡� 'z�-#���.-x��-< �&!©+V �-�3ð �+n Gæ&�J�������� �2J ��Z31�� �!#z�-��� ��rp1�

¥����. �-��.3ª=&�~;� ��]�� �x!�z&!��� �$�-� ���������*+V �}�� ������)�� -#�^ �#�� ��Z +� �-���! zJ�(�* +o5Z�.»��.-���D���$��&B'¤�L�º]» Æ,�,ÅKÆ&¿ 7 ì � ì k�R�T�IïS ï d�R�[���U~Y.S�N#R�TVRGY.R�To['X&� 1 d�RlTW�"R�nO[���P'X���R<[Y.c"N#R1 õ £¦   � ¯ ¦ ¢ ¦ ú°¯ ¦ (�¹Äú

;�¤

Page 17: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

+V �-o� õ�:4BOgI?�n è /ô/:4@J? �1 � :�6@,=�?a���»5�9�.313� sB���B������*+Vz��&�<�#�� ��6p�:ed ?%õ x ¦   � ô�:.d[A��E?%�^!��� ��. K�}�(» ���"���.)'-a �J���i �&2 ���x���.��2Z��

$�-� ����p�:ed ?�õ¶�ð K��31 J!#�x�.�'�.-�»"�����.-����l¡� '-i[�\W\�d�(6ï����l�& K���º:L�����.-����^!��� ��'&&�<�.$��#�� ��& K�O! �.�x +31�� �! z�-����.�.-� �!©���&�<���~(|��?

�C� zn z \ :Lç�?���çÊõ £¦   � �G:ed[A��E?õ � zn z \ :Lç�? p £¦   � ô/:ed]A¯ç�Aæ�E? q �'çxú

�������6�����¸�(�J���.-a���& ��)��� +O! z�313� �#�� �� �&2 ���J���.)�-a � �( '�1¦#z&!#�#�}æ&��2 �!�����$& �-��l: � ?<�lt���&�<� \ (h�á�~! -��J����-< -�»1������+Vz��&�<�#�� ��6:L +Äç�?op�:edsA�ç�?�õ x ¦   � ô/:edVA���Arç�?I�~!���â�z& K���� G�����l�< ��&!#�< �"�n+ z��&�<� �( '��î �!l ���.31$b�.-���2�2'�^!#��-#����z��#�� ����r���<����)� s�� e�. K�}��»¯�(�J���.)�-< �J���1+Vz��&�<�#�� ��Ýp�:.d�A ç�?��^!G��â'z& K�O�� C� ��§���(:Lç�?a�J�����.-��<+ �-�� x ¦   � ô/:edWA���?%õP� +V �-x K��31 J!#�x K�}��d5(¹ïi� ·� ÄQ�+ú� �É\ÊLõ�öO ���öH� �È��tùB�O ��5È��Bú°È^eKg� �õh�O �É õ��!� �÷� ��¥/ �!#�a ������o ����.�hcù!������. �-��.3 ��6�^2J�.31$b ����.�J��31�� �!#z�-���!G����æ&-a! �l���.��2¯������+V �}�( ������)�2J�<æ&�J���#�� ����:4¡E �-i2J�<æ&�J���#�� ��&!s +������r2Jz& K��)�-� �z�$� �&2¯�����r¡� �z�- �(�.-���-< �&!©+V �-�3�+V �-G�( ��. K�}��»Ý�< �31$& ��<�� �&�<�}�^ �)�-� 'z�$&!�!#�.���J+V �-��'&& 31$J��������;';a�©�}?�ºÆP�Ú��Á �Ál�h� 7 ì ! ì ¥����iN<UWX"�1P j�S<PY.R�TWY% +� ��( ��. K�}��»r�< �31$& ��<�� �&�<�}�^ �Z)�-� �z�$|� �~!�������! 3� K�}����!#��!#�.����J�^���i�< ��J�a K���&!I K�}�" �$&�.���< "!#�.�a! +��º �&2*���J�^�����^!I���( J!#��2�z��&2J�.-Iæ&�J������z��J�( '�&!.�Kæ&�J�����%���J���.-a!#���<�#�� ��&! �&2��< �3s$J�(�.3s�.�"�a!h�

�!* �6�'&E 3s$J�(���/�����.�`��õ ü��.�'�.-�»�!#z���)'-� �z�$Z�^!� +o�����G+V �-�3 Uºü + '-� qæ�&e��2�Uôá¢@�����}�������!#�º)�-� 'z�$&!l -��º �$b�.� �&2 !# 6�.���.-�» �< "! �.�l�^!G +������s+ '-�3yd�4jUºü¢:©�����.� U õ @ �����¹�< J!#�.��< ��&!©�^!#�<!� +I ����l$b ���"�.?<�o¥����l- �(��)º +o�< "!#�.�a!� +%ü��< ��&!4�~! �a!����"z&!� �+n K�}��! �.�a!����J�^���� -��1RK`�RKX&TVcJ[�\^\}|$&�.- �( �2'�^������& ����^!������.»� -���æ&�J������z��J�� ��&!* +O2J �z��J��»����Jæ&�J������ �-#������31�.�#�^�G$�-� �)�-���!�!©�� ��&!�z�$r�� º����� �2�2'���#�� ��Z �-�-��.31 � K�� +n iæ&�J�(���i!#�.�� �+Ä���J���.)��.-a!.��V� » Æ�����Ç��.Ã/Æ&¿ ê���.Æ��� º]» ÆÌ�9Å�Æb¿ :��o ����.���ù��L����;�;�$���¤����V?�k�RKTepªd�R�[�\}P�S<[�\W\]|*S<P���ge[�SKTÄ["d�R�\}UW[�X��N#P�chg¹['X&�L�¯U^TWY���cJ[�\��'N4P'c.g ó]��j 1 U~YO[�´�X&UWTVR[��P�N#R�\J��Ra[Y.cJN4R*P�X�py[�Xb�lU~YoY.c"Sh�iTW�"[�T�/1 :&�I?�(Á6�@�ú�;_=j.P�Nl[�\W\w�C(�� TW�"R�X6TW�"RGY.c.g�g�P�N<TOP jV/1 °oñI�"UWS.�rU~Y

!#z�$�$s/1 õØ6��a(�� «k/1 :&�I?Äõ¢;_=�ú :L=&��;�?

;.=

Page 18: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

õ � zn z \ :Lç�? £¦   � ô�:.d[A6ç�A���?T��çõ �C� zn z \ :©ç�?e�'çIõ��°:

¥����*���J���.-a���& ��)��l �+�!#z�313� ��#�� ��r �&2s���"���.)�-a �#�� ��º�^!n¦4z&! �#�}æ&��2�z&!©����)�¡Ez��J�(�J�>c�!*�����. �-��.3r�%¡� '-����J�^!�������.��2����& ��âx ¦   � � zn z � \ :Lç�? �9v_�òô�:.d[A6ç�A{��?R�Ì�'çT­P²Ý�����J�^�����^!���-�z����b���. z&!#�G�����i!#�.��I �^!� +�& 'z��&2J��2�2J�.�&!4�(�#»� �&2æ� \ :©ç�? �'2J���<-��� �!#��!�+ '!#���.-����& �r �J»º$& ���.-� +%ça�

t���&�<� /\ �& �!G�< �31$& ��<�l!#z�$�$b �-��� �&2 /ôà�~!G!#31 J ����6������+Vz��&�<�#�� �� /\ /ôà�^!����`�y �&26!# �~!¸�����.�� õ \ u�ôI�o¥I ������)º�����l¡� 'z�-#���.-x��-< �&!©+V �-�3ð �+�� u 1�� õ�������)��.�

/� �1 � õ�:#BOgh�¸? ¢ � :�� ��#�^�<�6���& � /� �&2 /ô �& K���r�����6!� 31�Z�.�.-� �!#�.�����(���J�(�� �á �$&�.�á���J���.-��� ������& ��¹�< ��J�a K���&!s�����!#z�$�$b �-��� + 1 �*�L�*+V �}�� ��*!����& �� 1 * /� �^!� �! 31 " '����+Vz��&�<�#�� �� ���� J!#�i�< �3s$& ��<��! z�$�$& �-��*�^!�2'�^!W¦# ���"�+V-� �3��1��w ��)��.� 8 1 ú �1�� : õ�8 1 * /��ú /� �1�� : õ�8 1 * /��úh:4BOgh�¸? ¢ � : õß@ ú

!©���&�<�i@i�~!��� ������Z�����l!#z�$�$& '-��� + 1 �o¥��J�^!�$�-� ��'��!�: � ?<�: �]�V?o�9�.� \ (h���&�1 -��J�(��-a -�»r �&262J�<æ&���H� õ \ u¸ôI���o '�&!©�^2J�.-��� �� 1 (�ý zG :#@�úR4F²�?a��w �

�& K��� 8 1 ú /� �1 ��: õ�8 1 /�sú �1 ��: : :4���§=E?

��z�� /� �� �J�^!#����!¸�����.-��.���.- /ô 2J "��!h�x¥��& ���~!h� /� �� �J�^!#����!¸����-� �z�)��� 'z��������i! z�$�$& �-��* + �1�� :L�������������$b "!�!©���J���6�'&E�<�.$��#�� ��á +l@J?l �&2�!©���&�<� �1 � �~!º �� e�. K�}��»�æ&�J�����Z31�� �!#z�-��������r!#���< ��&2 ���.-�3 ���:4���ò=�?*�~!º@ :L���J�~!q�^!1�� '�1�����<��!�!� - �]��»á��-�z��r���(���� �z��������r �!�!#z�31$�� �( '�Ý����� �1 � �^!� à�� e�. ��]��» æ&�J�(���31�� �! z�-��?a��t���&�<� 1 �� �!� -��J�(��-a -�»Z��� ý zG :4@�úR4F²�?<� /� �1 � �& �!��� 6!#z�$�$& �-������Ý:#@�úR²�?a�º¶x!4�(��)6 !©��3��}�^ -� -�)�z�31�.�J��+ '- 1 (Cý zG :'A�²Ýúa@J?a�J�����< ��&����z&2J�l���& �������l! z�$�$& �-��� +I������31�� �!#z�-�� /� �1 � �~!6�@,=J��¥����.-��<+ '-��

/� �1 � õ�� /�G:4@J? �1 � :36�@,=�?&� ¢ � õ�� � zn z \ :©ç�?���ç~ æv�� /ô/:4@J? �1 � :36�@,=�?&� ¢ � ú���J�^������31$J�}����! � u 1 � õ�:#BOgI? n è /ô�:#@J? �1 � :�6�@`=�? � zn z \ :Lç�?��'çoõ�� � zn z \ :Lç�?f�'çxú

;��

Page 19: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

+V �-x!# �3s�í¯F}á@��t�z�$�$b "!#���� �¢���& �íI��^!� º!#�.�* +o�& �z��&2J��2¯2J�.�&!©���4»���¥����.� :4�E��BJ?o�� �^2�!.�9���.�&�<�s�����l31�� '!#z�-��

1 � �^!l º���.31$&�.-���2¯2'�~! ��-#����z��#�� ����%������� ¡E �z�-#���.-l��-< �&!©+V �-�3 �1 � (¡� × ��¡� '-VIîõ Ü/üÝ������M�P�U~YaY.P�XY.c"����[�TVUWP�X�j.P�Na��cJ\}[i �!�!#�.-��a!����& �

�1 � õ p £�O +¡ ¢ � Ô qL¢ õ B�g�§ÜÚ�p £�O +¡ ¢ -Ï� � Ó3Ô q : :4�����e?

�L�Z���J�^!��. �!#� �1 � �^!� 1�� �2J ��r3s�� �!#z�-���·J���Z)��.���.-a K� �1 � ���.��2 �� ����b�i �31�� '!#z�-����F* -�3s ��J�^�o �& K��»�!©�^!Ä�< '31��!9���J�� *�����O!#��z&2J»x +&��-a �&!©�^ �#�� ��& ��"�#�}�}�(��)J!I���^ ������%+V �}�� ����(��)������. �-��.3r�º]» Æ,�,ÅKÆ&¿ v ì ! ì k�R�T9ô�(rk è :Vï�?%�"['`�R�[�{�P�cJNaUWR�N�TVN#[�XEY^j.P�N<� /ôk(Cý z : ïl?o[�X&�s\]RKThIïS ï d�RG[�Y.R�T

P#jid�P�cJX&��R<����R�XEYfUWTV|�ó: � ?$��j�ôáTVUW\]RhYoïyñ%U^TW�rñ%RKU]���"T��îc�Y.UWX"�1TW�JR1TVU^\}RGY.R�T�IîTW�JR�X

!#z�$�$ �1 � S^� õ\6�@,=�û569mq(ºï « /ôI:>mJ?Äõ @,=�:: �]�V?[��j �1�� U~Yx[!n�[���P�X6��Ra[�YfcJN#R�[�X&�ºU j�!#z�$�$ �1�� S^��TW�"R�X¬IðU~Y�[sTVU^\}R�Y.R�TIP#j�ï¢c'YfUWX"��ô/°oñ%UWTW�

Y.P���Riñ%RKU]���"T��ió£sÆ&¿6À&Åÿ%ì ¥����*�~2J�� s +%������$�-� J +I�~!* �!�+V �}�� �x!.�o¥����*+L ��<�����& ��ô6�#�}����!��������CIy�. ����&�l��-#�������.�

ô)u 1 � õ��~:¥I ������)º�����l¡� 'z�-#���.-���-a �&!4+ �-�3 )��(�'��!

/ô¬v �1 � õ�:4BOg���? ¢ � :¥��J�^!¸������z�-�� ��31$J�}����!1���& � /ô�� �J�^!#����!� �� �����¹!#z�$�$b �-��� + �1�� �'&E�<�.$��1 ��@���F� ���.���.-l���<�������.-ô�u 1�� �� �- /ô[v �1@� �~!��O�<�}��CL2J�<æ&����2 ����)��.���.-a K�L�����.�&�<�������*���J��-� �2Jz&�<�#�� ��� +Ä�����*+ z��&�<�#�� ��=� (|� ���������$�-� J +%�&�<�� �l�¼lÅ9����½<ì :V�V?q�� ��������& ��H� �^!�  ���� "!#��2á!#�.��� /ô �b�<�(��)Ý  �< ��J�#���"z� 'z&!�+Vz��&�<�#�� ����¢¥/ $�-� ���Z���& �!#z�$�$ �1 � S�� ���l���.��26�� �!#�� � ���& �!8 1 úR/1 : õ¢@s+V �-x�.�'�.-�» 1 (æý zG :VïF�,��?a��¡/�^& !#z&��� 1 �&2�a �'� \ (¡���� º�& ��'� /\ ({ý zG :Vïl?%������� /\ :#@J?�õ ;1 ��&2 /\ :>mJ?VÕõy@��b+V �-� ��]��ms���� �Z���"���.-��� K�����& ��< ��J�a K���&!�������!#z�$�$b �-��1 + 1 �¯w -#�����=� õ \ u1ôÄ�¯w �sæ&-a!#�1$�-� ���º���& �!�Pu 1 � õ �G�6�L�&2J�.��2:C��u 1 � ?�:ed ?%õ x ¦   � �G:ed[A{��?a�J�������Z�����l!#z�3ã�< '�"���.-�)����)� �&!# ��z����<��»r!©���&�<���~(|�*�o���'&e�

£¦   � �G:ed[A{��? õ £¦   � � zn z ô/:edWAæ�sA6ç�? \ :Lç�?Ú��ç;�B

Page 20: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

!#��z&2J»º�����G31�� �!#z�-�� 1 � �!�!# ����^ ����2º�� º 12'�^!��<-��.����!#�.�oI��"»

1 � õ £¦   � ¢ ¦ ú :4����;�?

���J�^���Ý�^!º �� �2J '�ß3s�� �!#z�-����á �� �2J ��á31�� �!#z�-�� 1 �^!Zc"XbU j.P�N<�i\}| \}P�S<[�\^\}|s´OXbU^TVRq�}+l�����.-����^!º �< ��&!#�< �"�Lý !#z&���Z���& � � 1 �ù:©øxú�ø�4ß;?�iðýlú K�}�Äø¶(¹ï¶:¥�����31�� '!#z�-�� 1 � +o:4�E��;?I�^!�z��J�}+V �-�3���»º�� e�. ��]��» æ&�J�(�����}+O �&2º ��J��»º�}+fI��^!� �+��b �z��&2J��262J�.�&!©���4»��

�©�r �-<2J�.-x�� º2J�<æ&���i�����i¡� 'z�-#���.-x��-< �&!©+V �-�3ª���l�� �-��1���6�����i! $& ��<��� × �+o���.31$&�.-���2r2'�^!#��-#����z�C�#�� ��&!.���9�.�[¤ð2J�.�� �����������!#$& ��<�* +Ä�< �31$& ��<�#��»1!#z�$�$b �-�����2¬ý z CW+Vz��&�<�#�� ��&!*:4�. K�}����2ZTVR.Y.T�j.c"XbS�TVUWP�X�Y<?a�¥�����2'�^!#��-#����z��#�� ��&!�¤ × -��������º�< ��"� �(�Jz� �z&!��]������ -G+Vz��&�<�#�� ��&!� '�`¤ã���(��� -���!#$b���<�l�� º���a!G¡�-������Ú��.��� �$b �� �)�»��o¥����i ��<�#�� ��� �+�������2'�^!#��-#����z��#�� ���8 ��������l����!#��+ z��&�<�#�� �� / �^!x2J�.�� '����2��J»�8 / ú38 : �%¥����®,Sh�"ñ%[�N<T¥m�S�\}[Y<YL�y�< ��&!©�^!#�� +oý z CW+Vz��&�<�#�� ��&! / !#z&��� ���& ��¦¦¦ ��d�� Ô / ¤ �T¥ :ed9?N¦¦¦ z ­ ²Ê+V �-i ��]��Üï}ð@ �&2Z K�}�Ä�� ������.)" � �(�'�����"���.)��.-a!LU á @��o¥����l¡� �z�-#���.-*��-a �&!4+ �-�3ð�^!* 1�< ��J�#���"z� 'z&!��}������ -��J�§¦4���<� �( '�+V-� �3R���� s�(�<!#�<�}+ ��¥����rTVRK��g�R�N#R<����U�Y.TVN<U dhc"TVUWP�X�Y�� × �-��������1�< ��"� �(�Jz� �z&!��}������ -�+Vz��&�<�#�� ��& K�^!¸ ��h��������Z���a!�¡�-������T��.���� �$b �� �)�»��*w �G�^2J�.�"�#�}+V»h� × ������� º!#z��&!#�.�� +�¤ × ��¥����q¡E �z�-#���.-���-a ��&!©+ '-�3î�^!� �< ��J�#���"z� 'z&!*�}������ -l3� �$�$J�(��) + -� �3Q� × �� K� × ���� "!#�����J���.-a!#�G�^!l ��~! ��< ��J�#���"z� 'z&!.�9������� /8 2J�<æ&����2�J» 8 / ú /8 : õ�8Y// ú M8 : ú / (|�xú38�(|� × ú�����.-�� M8%:.d9?�õ 8%:'ALd9?a�l¡E �-*�� ���� 1 (`�� �&2k8P(h��×I���i2J�<æ&��� 1 8P(h��×I�"»`8 / ú 1 8 : õ�8 1 / ú�8 : �+V �-x K�}� / (|�*�%w �i2J�<æ&���G�����i�< '�"�� ��(z�� �( '� / uo8  +o �J» / (=�á�������� �J»¬8æ(|� × �J»r2J�<æ&�J����)º���a!¡� 'z�-#���.-���-a �&!4+ �-�3r«�§/ uo8 õð// v /8o�

¥����1Y.c.g�g�P�N<TÄ �+�8j(=� × �,2J�.�� �����2�! z�$�$L8o�b�^!x2J�<æ&����2¯ �!������i!#3� ��]����!#�l���� "! ��2 !#�.��¨�Sáïß+V �-���J�^��� 1 (Cý zG : ïí� ¨ ?9��31$J�}����!�8 1 ú�8 : õß@E�

w¯���^2J�.�"�#�}+V»6�� e�. ��]��»¯���"���.)'-a �J����+Vz��&�<�#�� ��&!� �&2 �� �2J '��31�� '!#z�-���!*��������2'�^!#��-#����z��#�� ��&!.�� �!������;�BJ�IA���;�;.�©�i¥����º2'�~! ��-#����z��#�� ��� �!�!# ����^ ����26�������¯�����1$& ��(�J�l3s�� �!#z�-�� ¢ ¦ �^!l!# '31�.�#��31��!l�. ��]����2¯�����© U^N#[�S���RK\}TV[lj.cJX&S�TVUWP�Xr�<�.�J���.-���2¯ �V�&�º¥������� '2J �� 31�� �! z�-�� 1 � �^!l Z2'�^!#��-#����z��#�� ����I��z������G���.��2�� ����&�� G���.31$b�.-���2�2'�^!#��-#����z��#�� �����¢!#z,�¹�����.�J���< ��&2'���#�� ���+V �- 1 � �� l�&�l G���.3s$&�.-���2º2'�^!#��-#����z��#�� ���^!�������)�-� �������< ��&2'���#�� ��

�[6t�[(kI�«a�Í�@�,ijws=F�ôw G ú �!LwØr�² ú :4����Be?

;�;

Page 21: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

ª%Æb¿ ¿�À � ì 7 ì ®,chg�gePY.R6TW�"[�T�ô~(yk è : ï�?�ñ%U^TW��k õ � zn z ô/:ed9?[�Ìdï} @J°�[�X&� TW�"[�T�!#z�$�$xôãS� ALw�ú'w*�4ó;��jxô �"[Yl[ºTVU^\}UWX"�ºP#j�ïyP#jqd�P�cJX&��R<���'R�X�Y.UWTV|i['X&��P#jlñ%RKU]���"T��îTW�"R�X

�ïá kBOw : :4B���¤e?

¼lÅ9����½<ì w �6�"�� � ���& ��b� á @ �J»��9�.313º �B���B��* �&2 æ&-a!#�r!#�� �����& �5� Õõ @��y� +è� õ @�����.�j�9�.3s3� 6B���Br! �� ��*!l���& �l�����º�#�}����!#�.�[Iî�& '!i2J�.�&!4�(�#» �.�.-� &�6�©��$& -��#�^�<zJ�^ -������.-����'&J�^!#�a!� $& ��(�J�V� � (æIG��!#z&���6���& ��x������ �$b�.�6���"���.-��� K��:.� � úH� � 4Ý�OwG?��< '�"�a ��(�&!*�� �$b ���"�� �+âIG�l¥����.�6�����-#��)��J��31 "! �í�9�.�b��!#)�z��º$& ���J�qd�«l �+�ô/:ed5A7� � ?��& �!� º���<��)��"�b �-��� J e2¯ �z��a!4�~2J�s������!#z�$�$b �-��� +� �"» ������.-���-a �&!©�^ ����ô/:ed5Aæ�E?a�h��({IF�O6+� � ="�G¥����.�æx ¦   � ô/:ed¬A �E?�õ~U�ô�:.d�A7� � ?VÕ¬ @����� �! 3� K�}��.�� �z�)��Z���<��)��"�b �-��� J e2 +�d « �J���J�^���6�< ��J��-a �2'�^�<�a!L��õß@¹:eUî�^!�������3�zJ���#��$J�]�^�����#»6 +f� � ���aI¸?a�

�� � !#z�$�$b "!#�C� }î@��a� �.313� 6B���BZ �!�!#�.-��<!����& �]Iî�& �!�2J�.�&!©���#» �)*�k����V+í�)*�kã­ ;+*�:4B�wG?�����.�Z+V �-x �J»Cp*������� @¬­\pF­�BOwPA�kâ*t� ���i�. � æ&�&26 �6 �$&�.�Z���"���.-��� K��:e�búH�)4 BOwð4jp<?����J�^����< ��J�a K���&!��� �$& ��(�J�* +�IG�o¥����.�������*���J���.-��� ��o:e�04æw�úH�04æw�4Áp<?n�~!�2'�~! ¦4 ���J��+V-� �3î�����l! z�$�$& �-��� + K�}��ô/:edWA���?a����(kIl�J���.�&�<�

£¦   � ô/:edWA���?�õß@ +V �-LdC(à:e�F4æw�ú'��4 wð4æpf?í:¥��J�^!*�< ��"��-a �2'�^�<�a!L� Õõß@��%�©��+ ��]�� �x!����& �o�)*�k7á�;+*':4BOwG?a� ·­ į® ø�ÊL ��,öO�OÈ�Ë�ó�õh��úBü%öOü>õ��ï�Ïõ��=e¬ü>Ë>ü���°�9�.�xô�(Zk è :Vï�?a�9w �l2J�.- �(�'�i ������<��!�!� -�»��< ��&2'���#�� ��r ��������l¡� �z�-#���.-*��-a �&!4+ �-�3 /ô/:>mJ?%+V �-�ôr�� 1�#�}��������*�}��������w �l K�^!# �2J�.- �(�'�i 1!#z,�����(�.�J���< ��&2'���#�� ����

¡E �-%�< ��"�'�.�"�#�� ��&!%�< '�&�<�.-��J����)i¡� 'z�-#���.-%��-a �&!©+V �-�3º!.��3s�� �!#z�-���!.�� ��&2i2'�^!#��-#����z��#�� ��&!%����)��.���.-a K�}��»+V �}�( �¢��z&2'�(����;KB��©�o¥����l¡� 'z�-#���.-x��-< �&!©+V �-�3î +�ô�(rk è :Vï�?Ä �&2º���a!O�(�J���.-a!4�( '�� -����� '-�3� K�}���.��2r �!

/ô/:>mJ?%õ�� zn z � n � � � ô�:.d9?e�,d�· ô/:ed ?%õ ;BOg � zn z � � � � /ô/:>mJ?e��m�:

wá���������J�^!x2J�<æ&�J���#�� �� / /ô/:ed ?%õßBOg�ô/:HALd ?a�ª��R<[Y.c"N#R*�^!� :4�< �31$J���'&�CV�� K��z���2b?�-��.)�zJ�^ -l�� �-��<�%31�� �! z�-��� ���ïi�J���J�^��� 3� K»��& K�������Jæ&�J�����

3� �!�!.� ±nO[���P'Xß��R<[Y.c"N#R 1 �^!º 631�� �!#z�-��� �� ïð���J�^���á�^!G�� ��. K�}�(»�´OXbU^TVRK�I�L�§�����������^!�æ&�J�����Z ���< �31$& '�<�x!#z��&!#�.�a!� +Iïi�%¥�����31�� �! z�-��i�< ��&!4�~! �#����)� +n q$& ���J�x3� '!�!� �o��(�ï��^!*2J�.�� �����2 ¢ ¦ ��w �

;�@

Page 22: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

¥/ 1�& �z��&2�² � :Lø�?<�"����z&!#�G�������& 'z��&2J��2�2J�.�&!4�(�#»� +�Il���� 1 ����a K�����² � :Lø¸? �OiáBOý�� ÷n ÷ £ WN³X´µ W µ ¶U· rU¸ �§ô/:ed[A 0/? ���,d�:

�� �� !#$J�}�(�*�����*���J���.-��� ��O� A�øxú�ø��b���"�� ºBøá�(�J���.-�� K�^!* +����.��)���� ;l �&2 -��� -�-a ���)��x���.-�3�!��� � ����< K���

��² � :©ø�? �,i�=Ìý¸ø � zÿ �§ô/:ed ? �,�Ìd�i�=ÌýVp ø°:t�z��&!#�#����z�� �(��)¯������!#����!#�#��3� �����!¸�(�J��  :4B��ù�J?a�% �&2¯z&!©����)�:4B���;�?x�� 6-��.$J�^ ��<�=¯:Lø\AjwG?��������A¯:Lø�?»'�(�<�^2�! �� � :©ø�?4k�A B���øq�,iáAOýVp#ø�4�BOýVwG:4kk4A¹y?�: :4B��§=E?

¥��J�^!��(����â'z& K�}���#»r-��<�^ ����!0�¢ �&2| � :©ø�?%+V �-� K�}��k��: � ?�t�z�$�$& "!#�G���& ��k õß@��o¥����.�6:#B��§=�?%»'�(�<�^2�!

���]�,iÝAOýsp�4 ýVw�¹ø :

�9�.��� �(��)ºøPr�²Ý�9 �&2º�����.�º���.���#����)5pTr @��J)������!L��õß@��: �]�V?�t�z�$�$b "!#�����& ��kð}Ý@��%¥����.�¯:4B��§=�?%�. �r�b�l-��.��-#�������.�4444 � :Lø¸?B�ø A � k 4444 i �Oý

k pf4 ýVwG:4kk4A¹y?knø :

¥��J�^!�»����<�^2�!

�Oýk pLá �]��3 !#z�$÷ � z � � :Lø�?Bø A � k   á �}��3����J+÷ � z � � :Lø�?Bø A � k   á\A �Oýk pF:

�� �� �(�.��pTr @��� 1 ����a K����}�(3÷ � z � :Lø�?

Bø õ �k ú

���J�^���à! �� ��*!oI �& �!* �!#»J31$��� '�#�^�l2J�.�&!©���#»a�)*�k��*t���&�<�H � :©ø�?%�^!*�� ������.)" � �(�'���&���l�& K���]�~á�@��$�-� �'�(��) :V�}� ?<� ·

�©�O!#�.�.3º!o���& �o�����*�< ��&2'���#�� ��rk�õP� zn z ô/:ed ?��,d5}Ý@G!#�� �zJ�^2º-�zJ���x 'z��o�����*�'&"�^!#���.�&�<�x +I�#�}�]����)"! +&�b �z��&2J��212J�.�&!©���#»l�������G���<�()'�"����õß@��ÄF� ���.���.-Ä����!#�& K�}�e '�J�(»�2J�.31 ��&!#��-a �������J�^!9+V �-/+ z��&�<�#�� ��&! +O�< �3s$& ��<��! z�$�$& �-��K��¡� �-*���� "!#�¸+ z��&�<� �( '�&!*������+V �}�� ����(��)º���.313º 1�b �z��&2�!����J+»º :4ô/?� K�� K»1+V-� �3�.�.-� &�

Page 23: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

: � ?$��j�k õß@ZTW�"R�X6[�Xb|1TVUW\]UWX"�sP#j�ïyP#jqd�P�cJX&��R<�º��R�XEYfUWTV|1d.|�ô �"[Ylñ%RKU]���"T[¼"ó: �]�V?-�~jxk7}Ý@ZTW�"R�X6[�Xb|1TVU^\}UWX"�sP#jid�P'c"Xb��Ra�º��RKX�Y.U^TV|1d.|Gô �"[Ylñ%RKU]���"T��\áÝ@&ó ­ �"RlTVUW\}U^XJ��Y.R�T�I

�"[Yl[�Yf|��g,TVP�TVUWS1��RKX�Y.U^TV|V�)*�k*ó¼lÅ9����½<ì w �*æ&-a!#�*2J�.-#�����i G+V �-�3�zJ�^ G�� 1��!#� �(3º ��� � :©ø�?%õ� � :HA�ø*ú�ø�?Iõ\�[6t�W(CI «5A�ø¶ij�¬i�ø)=è:¥����l �!�!#z�31$��#�� ��Z +��b �z��&2J��2r2J�.�&!4�(�#»�)������! � :Lø74jå¸?�Af � :Lø¸?�iÝB�ý[åoú�+V �-VåØá�;1ú :4B���;�?

�&2s���r$& �-��#�^�<zJ�^ - � :Lø¸?�iÝBOý�ø + �-�øïá�;]: :4B���Be?

t���&�<�[I �^!* ��#�}���i!#�.��� £¦   � ô/:edWAæ�E?%õ�� K��31 "!#���.�'�.-�»"�����.-��[:w �*���J���.)�-a �������J�^!�-��<�^ � �( '�� ��'�.-������*���"���.-��� K��� A�øxú�ø��L���� 1 ����a K���

BO��ø õ � ÷n ÷ x ¦   � ô/:ed[A��E?Ú�,dõ � :Lø7A{wG?4kk4J²s:Lø�?�ú :4B����e?

���r���J�^����²s:Lø�?I�^!� �-��.3� K���&2J�.-x���.-�3r�J)�����.�r�J»� 1!#z�3ª +%����-��.�����.-�3�!.«²*èh:Lø�? õ Ak� � � � Y ÷ £½ ³7¾µ ½ µ ¿À·PÁ ¸ ô/:ed[A{��?T�Ìd6ú²�-h:Lø�? õ � ÷n ÷ £½ ³7¾·PÁ ¸ ¿wµ ½ µ ¿À· rU¸ ô/:ed]A{��?T�Ìd¯ú �&2 ² � :©ø�?%õ�� ÷n ÷ £½ ³N¾µ ½ µ ¶U· rU¸ ô/:edWAæ�E?Ú�,d�:¥/ 1�& �z��&2 ������²0�L:Lø¸?a��!#�.� � zn z �§ô/:ed9?R���Ìdsõ�¹ �&29��)��(�'�.�apL}á@��J$J�~���Cwy!# ��^ -�)������& �� � � � Y�ÿ �§ô/:ed ? ���,d¬­jp.�o¥����.���9 �!�! z�3�����)1ø\}jw~}�;G �&2ºz&!©����)r:#B���;?a�'���� ����a K���

��²*è.:©ø�? �Ji � :LøjA�wG? � � � � Y�ÿ �§ô/:ed ? �,�Ìdi pI � :Lø7AæwG?�iÝBOýsp#ø��²�-.:©ø�? �Ji :C � :Lø�4æwG?�A` � :LøjA�wG?�?�� zn z �§ô/:ed9?R���Ìdi BOýsw�¹ :D

Page 24: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

¼lÅ9����½<ì ��»��J»"$b �������!©�^!£¦   � ô/:edWAæ�E?%õ�� K��31 "!#���.�'�.-�»"�����.-��1ú

�&2P��} @ !©���&�<�Á� zn z ô/:ed ?e�Ìd } @¯-�zJ����!º �z��º�����r�.�.-�  +Vz��&�<�#�� ���� �o�� J "!#��w } ;6!#  ���& �Þ6õ�� ÿn ÿ ô�:.d9?��Ìdk}Ý@��%�� �

:4BOwð4Ý;�?e� õ � ÷ � ÿ �9è÷ n ÿ £¦   � ô/:edWA���?T�Ìdá � ÷ � ÿ �9è÷ n ÿ £

÷l ¦ Â�÷ �9è ô/:ed[A��E?Ú�,dá � :Løxú�ø�4Ý;?�� ÿn ÿ ô/:ed9?T�Ìd�:¥��Jz&!- � :Lø*ú�ø�4 ;?�i :4B�w74 ;?e�)*�Þ��^!��b �z��&2J��2 ���&2J�.$&�.�&2J�.�J�� +�øG� ·

¥�����z&!#�<+ zJ������!�!* �+Ä�����l�b �z��&2J��2r2J�.�&!4�(�#»r �!�!#z�31$��#�� ��º�}����!����r�����*+V �}�� ����(��)�!©��31$J���G+ '�<���ª%Æb¿ ¿�À � ì � ì ��jxôk(rk è :VïG?O[�Xb�qIîU~Yl[�X&|qYfRKToP#jid�P�cJX&��R<���'R�X�Y.UWTV|1TW�"R�X

p�:ed ?%õ £¦   � ô/:edWA���?U~Yl["d<Y.P�\}c"TVRK\}|1SaP'X&`�RKNV��R�XbTÄ['\]��PY.T�R�`KR�N<|�ñI�JR�N#R�[�X&�ºU�Yl\}PKSa[�\W\}|�U^XbTVR4�'N4[Jd.\}R�ó¼lÅ9����½<ì t�z�$�$& "! �l���& �-¯:Lø*ú�ø�4 ;?�ijý�+V �-x K�}�ÄøG�o¥����.�

� ÷ �9è÷44444 £¦   � ô/:ed[A��E? 44444 �Ìd i � ÷ �9è÷ £¦   � �§ô/:ed]A{��?R�Ì�,d

i £¦   � �÷ �,è÷ : � ô/:edWA~ß#�_à�? �Q4 � ô/:ed[A ß#�+àoAá;?H�ù?��Ìd

i BOý7£�� t¡ � ÷ �9è÷ �§ô/:ed]A 0�?R�Ì�,dõ BOý � zn z �òô�:.d9? �,�,dC­P² :

¥��J�^!�)������!��� e�. K�I���"���.)�-a �J�}�}���4»��� ��&2º��31$J�}����!����& �*p�:ed ?%�^!x2J�<æ&����2 '!� �� ��&!# ��z����<��»��< ��J���.-�)'�.�"�!#�.-#����!* K��31 "!#���.���.-�»J�����.-���� ·ª%Æb¿ ¿�À � ì v ì ®,chg�geP�YfR�TW�"[�T%ô�(rk è : ïl?O[�Xb�1Y.R�TIk�õ � zn z ô/:ed9?L�,dÄó

>

Page 25: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

!#z�$�$b �-�����2Z�������6káõ � zn z ô/:ed9?T�Ìd�} @1�����l3����J��3� K�o���<��)��J�� +O ��#�}�}����)r +%�& 'z��&2J��2 2J�.�&!©���#»º�~! ������ �! �xkT*�:#BOwG?a�������.-��iô �^!x! z�$�$& �-�����2s�(� � ALw�úHw*�©�

�©�hia�����l2J�.-#������+V �-x s���~ '!�!� +oô�(rk è :Vïl?Ä�< '�&2'�(� �( '�&!� ��������i¡� 'z�-#���.-���-a �&!4+ �-�3 �+nôZ���J�^��� -��������<��!�!� -�»s�� ��& K���x �� �]�}����)1 +9ï� �+ �b �z��&2J��2�2J�.�&!©���#»��%w �� K�^!# i2J�.- �(�'�� G!#z,�¹�����.�"���< ��&2'���#�� ����

�©�=i�=�����!#�a ���*-���!#zJ���a!��< ��&�<�.-��J�(��) �o ����.�hc�!n�^2J�.31$& '���.�"�������. �-��.3r�� �&2s$�-� ���� �� -#�^ �J�� +Ä -���!#zJ���* +o5r�.»'�.-l��DK��)���'�(��)�!#z,�¹�����.�J���< '�&2'�(� �( '�&!�+ �-* �31�� �!#z�-�� 1@� õ x ¦   � ¢ ¦ �� 1�& K���VI��&�� æ&�J�����lz��J�� ��Z +o -#������31�.�#�^�¸$�-� �)�-���!�!©�� ��&!.��:4F��.-�� ¢ ¦ �~!* �$b ���"��3º �!�!� �L�¬(ºïi�(?

�©�Via¤6����$�-� ���r !#��-�z&�<��z�-��������. '-��.3 + �-s�#�}�(�6!#�.�a![I +��& �z��&2J��2 2J�.�&!©���#»¯+ �-º ���^ �!�!� ++Vz��&�<�#�� ��&!�ô (¢k è :Vïl?����� "!#�r¡� 'z�-#���.-1��-a �&!4+ �-�3 /ôï(ïý z :Vï�?��& �!s �2'�^!��<-��.���r�.�.-�  !#�.�1���J�^����< ��J�a K���&!�Ã�:.wG?O�.�.-� J!����Ý� ALw�ú'w*�Ä �!Fwãr ²Ý��¥��J�^!����^ �!�!* +%+Vz��&�<�#�� ��&!*���&����z&2J��!� K�}�O�< �31$& ��<� �(»!#z�$�$b �-�����2Zô�(¹k è :Vïl?��9�L�ÄiaA����l2J��2Jz&�<�1¥����. �-��.3�!¸;���;��b;���B1 �&26;'�����Jz&!©����)����J�~!�-���!#zJ�����

�©�^i.>Z�O�º$�-���!#�.�J�1 6�< �}�(���<� �( '�Ý +x�'&& 31$J����!� �+��< �31$& ��<� �(» !#z�$�$& �-�����2¯+ z��&�<� �( '�&!G���Ýk è :Vï�?!#�� ������)º�� -#�� �z&!�! �.�&!#��!��������J�~���6-���!#zJ���a!*�. ���� ��*�&�G��31$�-� ����29�*¥�����!#�G���&���(z&2J�s+Vz��&�<�#�� ��&!*���& ��& K���º�#�}�]����)"!s���& �1 -����� ��� +*�& �z��&2J��2�2J�.�&!©���#»��� �+Vz��&�<�#�� ��á�& ��'����)6z��&�< �z��"�< �J��»�3� �J»6���&2J�.C�< �31$b "!� �J�����#�}�}����)"!* K�}� �& K�'����)i�����l!� 31�*���<�()'�"���J ¸+ z��&�<�#�� ����& K�'����)� G�O�<��)��J��!#�.3���)�-� 'z�$ź :4ô/?-���â'zJ��-#����)� � ���Jæ&�J�����r�Jz�3��&�.-� +x)��.���.-< �� �-a!h�� ��&2� +Vz��&�<�#�� ������J�^�����& '!i �� ���&2J���< �31$b "!� �J����#�}�}����)���������-a �#�� ��& ��Ä$&�.-#�� �2���z������(���r�#�� q�< J!#�.�a!��& K�'�(��)º �º��-�-a �#�� ��& ���2'�}ä �.-��.�&�<���Æ5��.À��Á ����ì ¥�����!#»J3i�b �Oô/:ed9?F� / :ed ?O3s�� �&!����& ��������.-��1�'&J�^!#�a!l $& "!4�(� �(�'�¹�< ��&! �a �J�Výã!#z&������& ��ô/:ed ?Úijý / :ed ?�+V �-������*���&2'�^�. ����2Z-a ���)��� +�d��

¥����l���& -< ��<���.-#�^!#�#�^��+ z��&�<�#�� ��Zö�¸b:ed ?o +o 1!#�.��¹ �^!G;*�}+fdk(�¹ ��&2s�~!*@� ������.-����^!#���w¯�l2J�.�� ������J»Á�§ô�� Ç������l!#z�$�-��.3�z�3ª +%�����*+Vz��&�<�#�� �� �§ô��J '�������l!#�.�L²º�w¯�l2J�<æ&���l�����l�< �z��J�#����)s+ z��&�<�#�� ��Z +o 1!#�.�oIØS ïß�J»,« � :Lø è ú�ø - ?oõ\�1:.I¡v��§ø è ú�ø - �V?':È Ä¯e¬ü>Ë�ü>�;°h��õ��uÉ5õhùB��ú� �ú�Ê� ��B�+ü%öR÷

¥����� �!�!#z�31$�� �( '�� +��b �z��&2J��262J�.�&!©���#»r K�}�( �x!O�(�J+V �-�3º �#�� ��� ��& �z���� �]�}����)"!*�� ��b�l�'&���-a ��<����2ºz&!4�(��) -�)'z�31�.�"�<!o���& ����!#�#��3� ����l -��� �!��< ���.-���2º�J»������HË<� �]����!I̺ôI�ª%Æb¿ ¿�À � ì ! ì ��jqôï( k è :VïG?lU�Y�[ X&P'X&X&R#��['TVU^`KR�j.c"XbS�TVUWP�XÝñ%UWTW��� zn z ô/:ed9?]�ÌdP}ª@�TW�JR�XÝRK`�RKNa|��RKX&RKN4['\,TVUW\}U^XJ�ºP#j�ï dh|lôÝU~Yl[ºTVU^\}UWX"�1P jqd�P�c"Xb��R<����RKX�Y.U^TV|�ó

A

Page 26: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

¶*!©����)1���J�^!�-���!#zJ���*�O����! �a �J�}�^!#�r�����*+V �}�� ������)¹�< ��J���.-a! ���� 1$& -��*:V�V?o �+n¥����. '-��.3 ;���;'�º]» Æ,�,ÅKÆ&¿ ! ì v ì ��joI SaP'X�Y.U�Y.TWYxP#jl[�´�X&UWTVRlcJX&UWP�X6P#jiS<P���g,\}R�TVR�[�N<U^TW�J�iRKTVU^S�g,N#Pa��N#RhYaY.U^P'X�YI õ

<�X�|9è :4Ü X ü¬4æ8 X ?�úl[�\W\&Ü X }Ý@�úTW�"RKX TW�"R�N#R1RbÍ�U~YfTWY�[�SaP'��g�[�S�TV\}|sYfchg�g�P�NaTVR<��j.cJX&S�TVUWP�Xrô{( k è :VïG?�ñI�JU^Sh��TVUW\]RhY�ïðc�Y.U^XJ��TW�"RºTVU^\}RGY.R�TI¸°oñ%U^TW�rñ%RKU]���"T��\}Ý@&ó

¥������< �-�-���! $& ��&2'����) �< ��J���.-a!#��â'z���!#�#�� �� �� ¯:V�}� ?� +x¥����. '-��.3 ;��~;��Ä�< ��&�<�.-��J�(��)6���J�^��� ! �.�a!� +�����*+V �-�3 :a;����J?I e�.�<z�-* �!��������#�}���l!#�.�� +�! �31���(�&2J���< '31$& "!� �J���i� �]�}����)&�����*���� K���*z���-���!# ������29��w �)�����G���Ai.>� � �'&& 31$J���1 �+O �Z�(�&2J���< '31$& "!� �J�����#�}�(�º!#�.��:a;����e?%��� ���J�^���¯������2'�}ä��.-��.�&�<��!F8��hAæ8KX -����� '�� K�}�Ä-< �#�� ��& K�Ä3�zJ���#��$J����!� +%�����G$&�.-#�� �2�Ü���¥��J�^!x!#�� �x!����& �������G-a �#�� ��& ��]���#»�-���!#zJ���* +���A�L��� ��]�^2 +V �-����<��)��"�G;��#�}�}�(��)J!�+ �-����& -a ��<���.-#�^!#�#�^�*+Vz��&�<�#�� ��&!�ö ¸ +o�< �31$& '�<�x!#�.�a!�¹��J�^!��� '��)��.���.-a K�}��»��-�z��*+V �-x�< '31$& ��<�#��»�!#z�$�$& �-�����2º+Vz��&�<�#�� ��&!*ô�(rk è :Vïl?a�

¥����. �-��.3�!Z;���;<£9;����6 -��Z$�-� ����2 ����iaA�� ¥����. �-��.3 ;'��;º�^!�2J��2Jz&�<��2� �!º ��< '�&!#��â�z��.�&�<�¯ +i !#��-� ���)��.-�-���! zJ�(�G:4¥����. '-��.3 ¤E��;?%���& �x �$�$J�]����!G K�^!# ��� �!# �31�*+Vz��&�<�#�� ��&!*�� ��� +O�< �31$& ��<�*!#z�$�$& �-����¥����1$�-� " +� +�¥����. �-��.3 ¤���;G-��<�}����!G���� ��'�}��» �� �o ����.�hc�!����^ �!�!©�}æ,�. �#�� ��  +o�^2J�.31$b ����.�J�l31�� �! z�-���! ��� -��J����-a �-�»6�� e�. ��]��»Ý�< �3s$& ��<�i �b�<�}�~ ��Ý)�-� 'z�$&!��ù���©����;�;�%$��%¤���©�9�L�§��� 3s�� �!#z�-���!G���� "! �¹¡E �z�-#���.-��-a ��&!©+ '-�3ã�< ����!* ��J��»6�������� K��z���!�@� �&2 ;���¥����1)�-� �z�$6 ��6���J�^��� ���1z&! ���� ����.�hc�!*�����. �-��.3��~!�������� ���-1�< �31$& ��<�#�}æ,�. � �( '�� +�������-��� K���]����� tïx�6w �ºz&!#�� 6!©�}�()'�"��31 �2'�}æ,�. �#�� ��Ý �+� Z-���! zJ�(�� +5Z�.»��.-���DK�9 ���������!#��-�z&�<��z�-��* +����Jæ&�J�����i�< ��]�����<�#�� ��&!� +Ä$b ���"��3� '!�!#��!����� "!#��¡� 'z�-#���.-���-a �&!4+ �-�3 �~! �31�� '!#z�-����& K������)1�� ��a K���� �-#�^ �#�� ��r)'-� ������)q ���31 "!#���}������ -#��» :#¥����. �-��.3ª=b��BJ?a�

¥����i� �]�}����)�! ��-�z&�<��z�-��G +�¥����. �-��.3 ;���;�2J "��!*�� ���)'�.���.-a K�}���.�1�� º�� ������.)" �#�������b �z��&2J��2Z+Vz��&�<C�#�� ��&!�ô (ªk z :Vïl?*�& ��'����)����Jæ&�J����� 3� �!�!.� ¥����.-�� -��6�'&& 31$J����!º +�: �(�Jæ&�J�����?� $&�.- �( �2'�^��! �.�a!IGú{�ãS�ü�!#z&���1���& ��o�.���.-�»��<���.31�.�J�LU ( ür�& �!� �z��J�^â�z���-��.$�-���!#�.�J�a �#�� ��5U õ��B4Å��J���������¬(CI �&2��o(h�1�*������!#z&���r�'&& 31$J���l�a �����!LI�õ¶6+��«¬�¬áß@G�^!* 1!#z�3� +o2'�~! �#���&�<�� e2�2 $& ���.-a!� +oB,="�!#�.��¥O� ¦�2J�.3� � ��;.=�L��i�=&�1� +�øîõã��@�úK;.��4^�ª�����.� ô õðö ÷ �#�}�(��!¸ï�������� ������ $b�.-#�� e2'�^��!#�.�VI +�& 'z��&2J��2�2J�.�&!4�(�#»��

¥������< '�"���.�J�a!I +&������$& $&�.-o �-��� �!/+ ��]�� �x!.�I�©�|iaB*����2J�.- �(�'�x!# �31���<���.31�.�"�< -�»�-���!#zJ���a!n-��<�^ ����2�� G�#�}�]����)"!� +Ä�& 'z��&2J��2�2J�.�&!©���4»���¡� �-� l�� '�����.)" �#������ô�(�k è :Vïl?b�.���.-�»1)��.���.-< K�,�#�}�}����)��^!� �� �]�}����)1 +�& 'z��&2J��2�2J�.�&!©���4»���¡� �-oô�(rk è :Vï�?��}+ � zn z ô/:ed9?��Ìdºõ @������.�� ��]�9�#�}�}�(��)J!� +��& �z��&2J��2º2J�.�&!©���#»1�& K������<��)��"��@��J���J�}�����}+�� zn z ô�:.d9?��,dk}Ý@�!#z&���º�#�}�}����)"!��& K���*�� ������.)" ��#���������<�()'�"�a!h�Ä� +�ô �^!��< �31$& ��<� �(»

¤

Page 27: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

�< ��J��-a �2'�^�<�a!������¸+ ��<�*���& �*ô6�& �!��� ��#�}�}����)"!� �+����<��)��J������!�!*���& ���B��&!4�(�&�<�ºôZ�^!��� ������.)J �#�����1 �&2ô/:4@J?%õßBE�

ÎÏÑÐ=Ò Ó ÏlÔ=Ò ÓÒ Ó;ÐhÏÐ-Ï�ÐÅÒ Ó

Ó

¡/��)�z�-��1;��~;�«%¥�-a �$&�.�. �^2� K�o¥��}���

��z�-�3� K���º-���!#zJ���o)������!� l�< �3s$J�(�.�������^ �!�!4�]æ,�. ��#�� ��� �+ �����x!#��-�z&�<��z�-��� +�������� �]�}����)1!#�.�a!n$& "!�!4�(�J���+V �-x�< �31$& '�<�#��»¹!#z�$�$b �-�����2¹+ z��&�<� �( '�&!.�º]» Æ,�,ÅKÆ&¿ ! ì ! ì k�R�TIô�(rk è :Vïl?��"[�`KRiS<P���ge['S�T�Yfchg�g�P�NaTW°�ñ%U^TW�1ô{Õ¬ @&ó

: � ?���X&|�TVUW\]RGY.R�T�IîP#jqd�P�cJX&��R<���'R�X�Y.UWTV|oj.P�N*ô�U�Yl[�´�X&UWTVRlcJX&UWP�X6P#jl[�N<U^TW�J�iRKTVU^S�g,N#Pa��N#RhYaY.U^P'X�YI õ

<�XÏ|9è :4Ü�X<ü�4{8�X�?�ú :a;���Be?

ñ%UWTW�r[�\^\bÜ�XF}Ý@&ó: �]�V?��O`KR�N<|xTVUW\}R�YfRKT9P#j�d�P�cJX&��R<����R�XEYfUWTV|/jfP�NIô�g�[�N<TVU^TVUWP�X�Y�U^XbTVP�[�´�X&UWTVROcJX&UWP�X1P jOUWX&��R<SaP'��g�PY.["d.\}R

TVUW\]RºY.R�TWY�ó {�c"N<TW�"R�N<��P�N#R.°�Ra['S.� U^Xb��R<SaP���g�PYf[Jd.\}R1TVUW\]RºY.R�T*P#j¹d�P�cJX&��R<�6��R�XEYfUWTV|[I U~Y�geRKNaUWP��'U^Sh°xU ó~R�óTW�"RKN4R�RbÍ�U~YfTWYxÜ{}Ý@ YfcJS.��TW�"[�T I�õ

<�XÏ|9è :4Ü/ü54�8KX�?o: :a;����e?

¥����o�'&�$�-���!�!©�� ��&!/+V �-��#�}����!#�.�a!�I� �& ���� K�}�� ��{8��/õj8�X��� ����&����z&2J�x�#�}����!#�.�a!9���(���i3�zJ���#��$J�}�^���(� �(��!h��� ��������& �*:V�}�V?��(3s$J�]����!G:V�V?a�E��z��� �z�-�$�-� J +%��!#�a �J�}�^!#����!G:V�V?o�b�<+ '-���:V�}�V?a�

w¯���< �3s$J�(�.3s�.�"��¥����. �-��.3 ;'��;��������� ��<-#�����.-#�� ��º+V �-O ¸+Vz��&�<�#�� ��rô��� l�#�}���*ï ���(���r!# �31��� �]�}����) +%�& �z��&2J��2Z2J�.�&!©���#»��º]» Æ,�,ÅKÆ&¿ ! ì � ì � SaP'��g�[�S�TV\}|ZY.c.g�g�P�N<TVRa�sjfcJX&SKTVU^P'X�ôï(¢k è :Vï�?lTVU^\}R.YGïãñ%UWTW��Y.P���R6TVU^\}R�Y.R�TLIP#j�d�P�c"Xb��R<�Ý��RKX�Y.U^TV| U j [�Xb�ÝP�Xb\}|�U j6TW�"R YfRKT�P#j N4R<[�\�m.R�N#PY6P#j U^TWY6{�P�cJNaUWR�N6TVN#[�X�YWj.P�Na� /ôI:>mJ?6õ� zn z � n �^� � ô/:ed ?e�,d SaP�XbTV[�UWX�Y�[6Y.R�T�Ü/üL�O6�@,=�j.P�NsYfP���R1Üã} @bóÄ��j1Y.P TW�"R�X ô TVUW\}R.Y�ïãñ%UWTW� Y.P���Rñ%R�U}��JT��îc'Y.U^XJ�1TW�"R1TVUW\}RGYfRKThI × õ�:#BOg�*�Ün?Lü�ó

=

Page 28: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

+V �-x K��31 "! �O�.�'�.-�»r:.�9�.�&��!#)'z��?âdk(ºïi�K�����.-��G�����l�< ��J���.-�)��.�&�<�*��� :<;���;?I�^!� �&!# ��(z������O¥������ �]����!#�.�I �^!�-���â'zJ��-���2 �� ��&��2'�^!��<-��.�������L�§���q+ '-��� ����¯ø } @ �����1!#�.�[6+��(7Iª«\�����h­ øF=s�^!*æ&�J�������% �&2���i K�}�� �¢�<���.31�.�J�a!* +�I �� º e�.�<z�-*������� æ&�J�(���i3�zJ���#��$J�}�^���(�#»�����z�-� '��¦4���<���~!*�� �2J�.���.-�3����������J�^���+Vz��&�<�#�� ��&!�� �]���¸ïß �&2��� 1!#$b�����}+ »Z�����l!#��-�z&�<��z�-��� +%$& "!�!4�(�J�����#�}�}����)"!.�

�*�.���.-a K���#�}�}�(��)J!I�"»� �+Vz��&�<�#�� ��1ô1$b�.-�3����%������$& ���� ��( ')�»����& �I3� �!�!I�. �|Ë����� �l �z��I�� ����Jæ&�J�(�#»��ÕÌ��+����'&E 3s$J�(�s>"��;*���¡i.>"��¥� º�'&&���(z&2J�����J�^!*$& ���� �� �)�»º�O�G-���!#��- �~�<�������i���^ �!�!� +O K�}�� ����2��#�}�}����)"!.���#�}���i!#�.��I �^!� +�d�P�cJX&��R<�º��R�XEYfUWTV|��]+%�����.-��¸�^!� 1�< ��&!#�< �"�Lýã}Ý@1!#z&�������& ��+ �-� K�}�Äøï(ºïi�

�[6+��(5I «1ø\ið��­ ø74Ý;+=Vijý :¥����1 �!�! e���^ ����2 �#�}�}�(��) :a;'��;?I�^!��. K�}�(��2  ZTVU^\}UWX"�ºP#j�d�P'c"Xb��Ra���'R�X�Y.UWTV|��*¡� �-*�� ������.)" ��#�����G+ z��&�<�#�� ��&! �)��.���.-< K�Ä�#�}�}����)1�^!������<��!�!� -#�}��»r �+Ä�& �z��&2J��262J�.�&!©���#»��9!#�.�V�9�.313� sB���;��

¥��J�~!�$& $b�.-O!#��z&2'�(��!��& �z��&2J��2º2J�.�&!©���#»1�#�}�}�(��)J!� �&2º���& -< ��<���.-#���.��!%�����<�(-�$b "!�!©���J���l!#��-�z&�<��z�-���+V �-�< �31$& '�<�#��»�!#z�$�$& '-�����2à+ z��&�<�#�� ��&!h�C�� )" �-#�^ �!� �&26w� ��) ��A��$�-��.���� �z&!4�(»��< ��&!©�^2J�.-���2 ������!#$&�����^ K��. �!#�Z +��#�}�]����)"!º �+l�O�<��)��J�r;Z�"»����������& -a ��<���.- �~! �#�^�º+Vz��&�<�#�� ��Ýö ÷ +i �< '31$& ��<��!#�.�1øl��¥����.»!#�� ����2º���& �� K�}�o!#z&����� �]����!#�.�a!� -���$&�.-#�� �2'�~��b�L�§���� +%�����*+V �-�3ªÜ�ük476;89è�ú9:;:;:�ú�8 < ="�& �&2º���& ��������2'�}ä��.-��.�&�<��!F8��hA�8�Xl �+O�< "!#�.�a!* -��G-a �#�� ��& K�%3�zJ���#��$J�(��!¸ +o������$&�.- �( �2 Ü���F��.-������1!#�� �¢���& ��+V �- -��J����-< -�»s+ z��&�<�#�� ��&!* G���^2J�.-x� -#���.�#»� +Ä�#�}���1!#�.�a!� ��.�<z�-��

¥��O  �#�}�}����)"!�������� ���<��)��J�a!5��èr ��&2��0-��* �&2á�#�}�(� !#�.�a!5I*è� ��&2�I�-K�x-���!#$&���<�#�����<��»���»'���<�^2� �< �3��J������2��#�}�}����)�z&!4�(��)s�������#�}���i!#�.�LI*è%û�I�-�J�����������<�()'�"�o��è�4Á�0-�o:©w �l �2J �$��������l�< ��J���.�J�#�� �����& �s�����rz��J�� �� +��#�}���à! �.�a!1�< �z��J�a!�$b ���"�a!º���(���Ý3�zJ���#��$J�]�^�����#»��}? ¥��"z&!s������! �.�1 +i K�}�x���<��)��J�a! ��.�<z�-�-#����)G+ -� '3ð�#�}�}����)"!� +��& 'z��&2J��2�2J�.�&!©���4»ºz&!©����)1 �)�����.�s+Vz��&�<�#�� ��rôº+V �-�3ð �!#�.3���)�-� �z�$ź :4ô/?a����J�^���r���l�. K�}�Ä�����ºñ%R�U}��"TnYfRK�iU}��N#P�chg�P#jxôI�

� +¸ Z�#�}����! �.��Iã�. ����&��$& -�� �(� �( '����2 ���"�� �#�O Z�� ����.31$��#»�!#�.�a![I*è*ûaI�-�!#z&�������& ���� ���� �~!!#�.$& -< ���<��»� s�#�}���q! �.�*+ �-*ôÄ�9����!� K»����& �*�����l�#�}����!#�.�FI �^!���R<S<P���gePY.["d.\}RK·& ������.-����^!#�����*�^!�UWX&��Rh_S<P���gePY.["d.\}RK�

¥/ s�]�}��z&!#��-< ���º������!#���� ��#�� ��&!.���< '�&!©�^2J�.-l��������-a �$&�.�. �^2� K��+ z��&�<�#�� �� ô $J�^�<��z�-���2��(� ¡/�()'z�-���;���;�����J�^��� �^!�)��(�'�.���J»r�����º�< ��"�' ��z��#�� ��� �+O���������& -a '�<���.-#�^!#�#�^�G+Vz��&�<�#�� ��&!Gö Û n è Ü è�Þ �&2¯ö Û nwÖ - Ü Ö -�Þ �1�©��#�}����!ºïª������� �����6�#�� 2'�}ä��.-��.�J���#�}�(��!#�.�a!¬I õ B ± Büð ��&2�I õ Bü*�%�& K������)����<��)��J�a!�B� �&2AsA B ± BK×õ ��:�;�DE�&-���! $&���<�#�����<��»����� ����� �+O������!#���#�}�}����)"!� -��G���&2J���< �31$b "!� �J������¥/ r!#�.�����J�^!.�/�� �������& ���}+âI õ¶I*è�û5Io-�9�����.�6 ����� +o�����èI0�o�� �zJ�^2Z�& K���l���<��)��J�l �*31 "!#�*�& K�}+O���& ��x +ÚIG�9���J�^���

Page 29: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

Ø�ÙTÚÜÛ�ÝÑÙlÛ�ÚßÞQàLáÄâ�ã_äIãXå�æLçèàLá�ÙÜéêÞRë|ãXå�ÞRì�íïîQð�Ûuå�ÝÑÙßãIà�åñ^òôóTõwò¥öÑ÷HøÑùHúûöüúwý0þ�ÿ��,õ�� ò��t"���� J �Ä +o56 �����.3� ��#�^�.!

�L�&!#�#����z�����+V �-��2J� �&�<��2¯t���z&2J»H%-#���&�<�.�� '���,���.�¢��.-a! �.»r@�D�¤="@

����� ������ø���õ��wõ���ò?õ��o¥���¥ ���<�]���� �b �-a �� �-#����!

5Zz�-�-< �»ºF��}�}�L�����.�¢���.-a!#�.»r@J>��e>�=

56 �»Z;�B��9;�����¤E·"-��.���^!#��2àt��.$����.3��&�.-�;����9;�����¤

� ÄQ�+�höO�Oõ�úBù��,öOü>õ��¥/-a �2'���#�� ��& K�o$�-� '�J�(�.3º!* +O�#�}�}����)��< ��&�<�.-��������.�����.-� �-*�� ��l �! z��&!#�.�]¹� +oï � �. �6�b�i� �]����26z&!4�(��) �)�����.�6!#�.�� +% K�}�( ����2�� �]����!#�& $&��!¸:7Ë<$�-� ��� ��#�}����!IÌJ?<�ot�z&���r$�-� ��J���.3�!�3º �»s�&��+V �-�3�zJ�^ ����2� '!����& � +�-��.$�-���! �.�"�#����)6���������& �-a ��<���.-#�^!#� �~�q+Vz��&�<�#�� ���ö ¸ �!l Z!#z�3 +x���& -< ��<���.-#�^!#�#�^�q+ z��&�<� �( '�&!l �+�! �.�a!�^!# �31�.��-#�^�l�� 1$�-� ��� '�#�}�(��!�z&!©����)º�����i K�}�� ����2r)'-� �z�$� +o�#�}����31 ��#�� ��&!h�oy�& ��z�-a K�Ä)��.���.-< K�}�(�� ��#�� ��Z�~!�� �-��<�^ 9& ���J�^!l�< ��&2'���#�� ����� r ��]�� �ð� �]�}����)"!� �+�ö ¸ z&!©����)631 �-��1)'�.���.-a K�%+Vz��&�<�#�� ��&!.�r¥����º!#z�$�$& �-��a! +x�����r�< �$J����!1 +*�����º+ z��&�<� �( '�&!�z&!#��2 ���Ý!#z&���Ý Z�#�}�}�(��)�3º �»¯�� ��î ���.-#�^ $á:7Ë.! + ���#�}����!IÌJ?<��t� +V��#�}�}����)"!� -��i �! $&�����^ K���. '!#�� +êË.! + �*$& ���������)"!_Ì��9���J�^���¯�& ��'�i�b�.�.��!#��z&2'����26�� � ����a K���6�& �z��&2�!����!#$����.-���$& ����'�(��)6 �&26�< e2'����)������. '-�»����K�L��¥��}�}����)"!G�"»���-a �&!©�^ ����!* �+%+ z��&�<�#�� ��&!G -#�^!#���& ��z�-< K�}�(» ����� K���<���.�o�����. �-�»,«/�����x!��. K�}����)G+ z��&�<� �( '�1+V �-O G�< �31$& ��<� �(»1!#z�$�$b �-�����2s�� K���<���.�o�& �!©�^!n +9ï � )�����.�º�"» �3�zJ���#��-���!# ��z��#�� ��  �& K��»e!4�~!�3�z&!#�x K���� K»e!��& ��'�l ��^ ��� �~�<�G�#�}�}�(��)� �+%ï � ���r���J�~!�)��.���.-a ��]���.��2 ! �.�&!#���!#�.��t���- �~���& -����1��;��K�L�9;���;>J�%t�z&���r�#�}�}����)"!x ��~! � -#�^!#�*���r!#z��92'�(�'�^!©�� ���!������.31��!����r�<z�-��'�l �&2�!#z�-#+L ��<�2J��!©��)��Ý �&2¯���Ý $�$�-� ;&J��3� �#�� �����!#�.� ��BJ�%$���;.=��L�6�©�Ý �2�2'���#�� �����3izJ���#��$J���r� �]�}����)"!sz&!©����)��< �$J����!� + 6!#�.��øª -��� �! $&�����^ K���. �! �� +*�#�}�]����)"!q�"»6+Vz��&�<�#�� ��&!.�n�������J�^���������1+Vz��&�<�#�� ��&!�z&!#��2� �-��¹!��. K����2���& -a ��<���.- �~! �#�^�*+Vz��&�<�#�� ��&!L¹ n è ö ÷ �J�����.-��!¹ �^!�������3�zJ���#��$J�]�^�����#»��

¥��J�~!�$& $b�.-l!#��z&2'����!*�#�}�}�(��)J!* +o�������}������ï �"»���-< �&!©�^ ����!� �+O �!©����)���G+Vz��&�<�#�� �� ô�(6k è :Vïl?��%�#�}���i!#�.��I�)������!* 1�'R�X&RKN#[�\9TVU^\}UWX"�1P jÅ@©SaP�XEYfTV['X&TEFiñ%RKU]���"T�� $�-� ��'�^2J��2����& ��

£¦   � ô/:edè4æ��?�õ��ðú :a;���;�?

B

Page 30: ) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& ! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < …lagarias/doc/kolountzakis.pdf" .) .-Ü } o !# ¸ ( &2J < '31$& "! J 1 # } } ( )J! & K 1! 3s O < ) J !©

Ø�ÙTÚÜÛ�ÝÑÙlÛ�ÚßÞQàLáÄâ�ã_äIãXå�æLçèàLá������� ��!��#"%$'&)(#*�!,+�-�.�!0/��#(#*214351

ÙÜéêÞRë|ãXå�ÞRì�íïîQð�Ûuå�ÝÑÙßãIà�åñ^òôóTõwò¥öÑ÷HøÑùHúûöüúwý0þ�ÿ��,õ�� ò��t"���� J �Ä +o56 �����.3� ��#�^�.!

�L�&!#�#����z�����+V �-��2J� �&�<��2¯t���z&2J»H%-#���&�<�.�� '���,���.�¢��.-a! �.»r@�D�¤="@

����� ������ø���õ��wõ���ò?õ��o¥���¥ ���<�]���� �b �-a �� �-#����!

5Zz�-�-< �»ºF��}�}�L�����.�¢���.-a!#�.»r@J>��e>�=

56 �»Z;�B��9;�����¤E·"-��.���^!#��2àt��.$����.3��&�.-�;����9;�����¤

�ldfYfTVN#[�SKT

+Vz��&�<�#�� ��Ýô~(¢k è :Vï�?��#�}����!1�����º�}�����6�������Ý �< ��&! �a �J�i���<��)��J���îz&!©����) �����r2'�^!��<-��.���Z�#�}���!#�.�[I �}+ x ¦   � ô/:edkAj�E?1õ �ª K��31 "!#���.���.-�»"�����.-���� ã!#�.�[I �^!l �+x�& �z��&2J��2á2J�.�&!©���#» �}+������.-���^!� ��< '�&!#�a �J��ý !#z&���Ý���& �k�[6t�Ø(°I «ã0JiÆ�ïi 0Á4 ;_=jiÆý + �-� K�}�*�(�J���.)��.-<!�0I�¢¥��J�~!$& $b�.-q���& -a '�<���.-#���.��!��< �31$& ��<�#��»�! z�$�$& �-�����2�ôP( k è :Vïl?o���& �i �2J3q�(�1 �#�}�]����) �+Oï +x�& 'z��&2J��22J�.�&!©���#»��%�L�*!#�� �x!����& �%+V �-�!#z&���º+ z��&�<� �( '�&!� K�}���#�}�(��!#�.�a!� +Ä�b �z��&2J��2r2J�.�&!4�(�#»5I� -��*æ&�J������z��J�� ��&! +x�< �31$J���.���� -#������3s�.�#�^�º$�-� �)�-���!�!©�� ��&!.��¥����º-���!#zJ���a!� $�$J��» �� 6!# �31�1�� '�&�< �31$& ��<�#��»�! z�$�$& �-�����2ô�(rk è :VïG?a�,¥�����$�-� " �+ !�2J�.$&�.�&2 ��6�o ����.�hcù!o�����. �-��.3ª���& �-a ��<���.-#���<����)��^2J�.31$b ����.�J�x31�� '!#z�-���!� ���� e�. ��]��»��< '31$& ��<�l �b�<�]�^ � )�-� 'z�$&!.�lw¯�1z&!#�1 º-���!#zJ���l �+�5Z�.»��.-����J�^������z&!©����) �� ����.�hc�!������. �-��.3r����& -a ��<���.- �(�.��!*�������< �}�����<�#�� ��&!G +o$& ���J�l3� '!�!#��!* ��6������-��� K�I�}���������� J!#�1¡� �z�-#���.-G��-a �&!©+V �-�3 �^!� �� e�. ��]��» æ&�J�(���l31�� �! z�-����������r�� ��a K�9�� -#�^ � �( '�r���& ��)�-� �x!� ��31 "!#���}������ -#��»��

;