لا لصف تکرح یرادرب زیلانآ€¦ · m 10−3 یلیم 106m اگم μ 10−6...

94

آنالیز برداری و حرکت

خوانیم:آنچه در این فصل می

گیریاندازه

آنالیز برداری

برآیند دو بردار

تفاضل دو بردار

ضرب داخلی

ضرب خارجی

گانهضرب سه

انواع حرکت

یک بعدیحرکت

حرکت دو بعدی

حرکت سه بعدی

سقوط آزاد

ایحرکت پرتابه

ایزمان اوج ـ زمان رفت و برگشت ـ و ارتفاع اوج در حرکت پرتابه

برد پرتابه

ی مسیر حرکت پرتابهمعادله

دارحرکت پرتابه بر روی سطح شیب

اول فصل

:

1فیزیک پایه آنالیز برداری و حرکت: 1فصل

2

گیری در فیزیکاندازه 1-1مجمع »های مختلف ریزی شده است. در نشستها پایهگیری کمیتعلم فیزیک بر اساس اندازه

انتخاب و مبنای دستگاه « های اصلییکا»، هفت کمیت به عنوان «عمومی اوزان و مقادیر

دهد. سایر اند. جدول زیر این یکاها را نمایش میقرار گرفته« SI»یکاها المللیبین

شوند. های فرعی محسوب میآیند، کمیتهای اصلی بدست میهایی که از ترکیب کمیتکمیت

مانند: شتاب، نیرو، توان، گشتاور، فشار، تکانه و...

SIیکاهای اصلی

نماد نام کمیت

s ثانیه زمان

m متر طول

kg کیلوگرم جرم

mol مول مقدار ماده

دمای

ترمودینامیکی

K کلوین

جریان

الکتریکی

A آمپر

cd شمع شدت روشنایی

دستگاه »کنند. یکی از آنها رقابت می« SI»المللی دو دستگاه یکای مهم با دستگاه بین

بعدی، شود. دستگاه است که در بسیاری از متون فیزیکی از آن استفاده می« گوسی

شود. یکاهای اصلی مکانیک دستگاه انگلیسی است که هنوز در آمریکا از آن استفاده می

در این دستگاه برای طول )فوت(، نیرو )پوند( و زمان )ثانیه( است.

0.3048 =فوت 1

متر

0.1383 =پوند 1

نیوتن

جدول پیشوندهای یکاها:

نماد ضریب پیشوند نماد ضریب پیشوند

d 1−10 دسی T 1012 ترا

c 2−10 سانتی G 109 گیگا

m 3−10 میلی M 106 مگا

μ 6−10 میکرو k 103 کیلو

η 9−10 نانو h 102 هکتو

P 12−10 پیکو da 10 دکا

بردارها 1-2

:برآیند و تفاضل دو بردار

بردار برآیند چند بردار، برداری است که به تنهایی خواص بردارهای برآیند: -1

به صورت زیر است: bو aاولیه را داشته باشد. با توجه به شکل، برآیند

|R | = √|a |2 + |b |2+ 2|a ||b | cos θ


3

:بردار 2هرگاه نکتهa وb دارای

های مساوی باشند، آنگاه:اندازه

|R | = 2|a | cosθ

2

توان از روش است، می θی بین آنها که زاویه bو aبرای تفاضل دو بردار تفاضل: -2

مثلث مطابق شکل استفاده نمود:

|R | = √|a |2 + |b |2− 2|a ||b | cos θ

:ترین مورد در تفاضل، تفاضل مهم نکته

باشد:بردار مساوی می 2

|a | = |b | ⟹ |R | = 2|a | sinθ

2

:ضرب داخلی و خارجی دو بردار

است. عدد حاصل ضرب داخلی دو بردار، یک ای یا اسکالر یا عددی(:ضرب داخلی )نقطه -1

aضرب داخلی دو بردار

bو

شود:به صورت زیر تعریف می

�� . 𝐛 = |�� ||𝐛 | 𝐜𝐨𝐬 𝛉

aزاویه بین دو بردار که در این رابطه،

bو

است.

bو aاگر بردارهای

= 𝑎را در فضا به صورت 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧�� و�� = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧�� تعریف

توان به صورت زیر تعریف کرد:کنیم، ضرب داخلی آنها را نیز می

�� . �� = 𝒂𝒙𝒃𝒙 + 𝒂𝒚𝒃𝒚 + 𝒂𝒛𝒃𝒛

:توانیم از ی بین دو بردار میبرای بدست آوردن زاویه نکته

ضرب داخلی بین دو بردار استفاده کنیم:

ba

ba

.

cos


9

:شرط عمود بودن دو بردار نکته)2

(

این است که

ضرب داخلی آنها، صفر شود.

aحاصل ضرب خارجی دو برابر ضرب خارجی )برداری(: -2

bو

است. ضرب بردار، یک

شود:خارجی )برداری( به صورت زیر تعریف می

kz

ajy

bix

bb

kz

ajy

aix

aa

ˆˆˆ

ˆˆˆ

⇒ kx

by

ay

bx

ajz

bx

ax

bz

aiy

bz

az

by

a

zb

yb

xb

za

ya

xa

kjiba ˆˆˆ

ˆˆˆ

baطول بردار

شود:ی زیر محاسبه میاز رابطه

|�� × �� | = |�� ||�� | 𝐬𝐢𝐧 𝜽

:توجه

اگر دو بردار با یکدیگر موازی باشند) 0یا آنگاه ضرب خارجی )

شود.)برداری( آنها برابر صفر می

در ضرب داخلی، خاصیت جابجایی وجود دارد ولی در ضرب خارجی، خاصیت

abbaجابجایی وجود ندارد.

:بزرگی حاصل ضرب خارجی دو بردار، برابر است با مساحت متوازی االضالعی که نکته

cbaشود. در ضرب خارجی با این دو بردار ساخته می

،c

برداری است که بر صفحه

a

bو

شود.عمود است و جهت آن طبق قانون دست راست مشخص می

:دهیم که بین ای آرایش میابتدا انگشتان دست راست را به گونه قانون دست راست

حاصل شود. آنگاه °90ی انگشت شست و چهار انگشت چسبیده به هم )تقریبا( زاویه

دهیم که جهت بسته شدن جهار انگشت قرار می 𝑎چهار انگشت را به نحوی در راستای

cباشد. آنگاه انگشت شست، جهت بردار ��به سمت

دهد.را نشان می


5

گانه:ضرب سه

گانه این سه بردار که برابر حجم را در نظر بگیرید. ضرب سه cو a ،bسه بردار

شود:گردد، به صورت زیر تعریف میالسطوحی است که توسط این سه بردار تشکیل میمتوازی

a . (b × c ) = |

ax ay azbx by bzcx cy cz

|

:نکات

a . (b × c ) = b . (c × a ) = c . (a × b )

a × (b × c ) = (a . c )b − (a . b )c ( کب− (قاعده بک

انواع حرکت 1-3

کلی ممکن است در سه بعد انجام شود:حرکت به طور

حرکت یک بعدی )حرکت بر روی خط راست(: -1

ی ابتدا و انتهای حرکت یک متحرک،جابجایی گویند. جابجایی بردار به فاصله جابجایی:

باشد.بوده و مستقل از مسیر حرکت می

سرعت متوسط به جابجایی جسم تقسیم بر زمان این جابجایی، سرعت گویند. سرعت )تندی(:

شود:ی زیر محاسبه میکند از رابطهجسمی که بر روی خط راست حرکت می

�� =∆𝐗

∆𝐭=𝐗𝟐 − 𝐗𝟏𝐭𝟐 − 𝐭𝟏

ی سرعت متوسط، تغییرات زمان به سمت صفر میل کند، مقدار اگر در رابطه ای:سرعت لحظه

شود:سرعت در هر لحظه محاسبه می

𝐕 = 𝐥𝐢𝐦∆𝐭→𝟎

∆𝐗

∆𝐭=𝐝𝐱

𝐝𝐭= ��

به صورت تغییر سرعت تقسیم Bبه Aشتاب متوسط یک متحرک در حرکت از تاب متوسط:ش

بر بازه زمانی مربوط تعریف می شود.

�� =∆𝐯

∆𝐭

ی شتاب متوسط، تغییرات زمان به سمت صفر میل کند، مقدار اگر در رابطه ای:شتاب لحظه

شود:شتاب در هر لحظه محاسبه می

𝐚 = 𝐥𝐢𝐦∆𝐭→𝟎

∆𝐕

∆𝐭=𝐝𝐕

𝐝𝐭= �� = ��

معادالت حرکت با سرعت ثابت:

اگر سرعت حرکت متحرک ثابت باشد )مقدار سرعت و راستای آن در طول زمان تغییر

شود. در حرکت یکنواخت، شتاب حرکت برابر صفر نکند(، به آن حرکت یکنواخت گفته می

باشند.میای برابر های متوسط و لحظهاست. همچنین در این نوع حرکت، سرعت

𝐱 = ��𝐭 + 𝐱𝟎

𝐯 = ثابت


6

𝐚 = 𝟎

معادالت حرکت با شتاب ثابت:

𝐯 = ��𝐭 + 𝐯𝟎

𝐱 =𝟏

𝟐��𝐭𝟐 + 𝐯𝟎𝐭 + 𝐱𝟎

𝐱 = 𝐱𝟎 + (𝐯 + 𝐯𝟎𝟐

) 𝐭

𝐯𝟐 − 𝐯𝟎𝟐 = 𝟐��(𝐱 − 𝐱𝟎)

�� =𝐯 + 𝐯𝟎𝟐

:جایی در ثانیه کل مسافت جابه نکتهn شود: ام می

n)یعنی در مدت − 1 < t < n)

xn =1

2a(2n − 1) + v0t

حرکت دو بعدی )حرکت در صفحه(: -2

الف( دستگاه مختصات دکارتی:

= r بردار مکان: xi + yj بردار جابه

= r∆ جایی: (∆x)i + (∆y)j

طول بردار

| r∆| جابه جایی: = √(∆x)2 + (∆y)2

} بردار سرعت:vx =

dx

dt= x

vy =dy

dt= y

⇒ v = xi + yj = vxi + vyj =dr

dt

بزرگی بردار

:سرعت|v | = |

dr

dt| = √vx

2 + vx2

:بردار شتاب

{

ax =d2x

dt2= x

ay =d2y

dt2= y

⇒ a = axi + ayj = xi + yj


:شتاب|a | = |

d2r

dt2| = √ax

2 + ax2

ب( دستگاه مختصات قطبی:

{x = r cos θy = r sin θ

تبدیل دستگاه قطبی

به دکارتی:


7

{r = √x2 + y2

θ = tan−1y

x

تبدیل دستگاه دکارتی

به قطبی:

r = rr بردار مکان در صفحه

مختصات قطبی:

rrv

rr

v

vrr

vv

rrrv

بردار سرعت درصفحه


rr2r2rra

rr2rr2a

rr2rrr

a 2

بردار شتاب درصفحه


حرکت سه بعدی )حرکت در فضا(: -3

الف( دستگاه مختصات دکارتی:

= r :بردار مکان xi + yj + zk بردار

:جابجایی∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk


| r∆| :جابجایی = √(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2

= v :بردار سرعت xi + yj + zk = a :بردار شتاب xi + yj + zk

ای:ب( دستگاه مختصات استوانه

بردار مکان در مختصات

:ایاستوانهr = ρρ + zz

بردار سرعت در مختصات

= v :ایاستوانهdr

dt= ρρ + ρφφ + zz

پ( دستگاه مختصات کروی:

بردار

:مکانr = rr

بردار

:سرعتv = rr + rθθ + rφ sin θ φ


8

()حرکت در راستای قائمسقوط آزاد 1-4

است. واضح است که تمام gسقوط آزاد نوعی حرکت شتابدار با شتاب ثابت گرانش زمین،

معادالت حرکت شتابدار در یک بعد، برای حرکت قائم نیز صادق است؛ کافی است تغییرات

زیر اعمال شوند:

aتبدیل شود به→ −g

x تبدیل شود به→ y

:توجه

ایم، جهت شتاب جاذبه زمین رو به را به طرف باال انتخاب کرده yچون جهت مثبت محور

–دهیم قرار می aپایین است و به جای g توانیم سمت مثبت را به طرف پایین . می

قرار دهیم. gاختیار کرده و شتاب حرکت را برابر

:نکاتی در مورد حرکت سقوط آزاد

آید:ام از روابط زیر بدست می nثانیه و در ثانیه tمقدار ارتفاع سقوط در (1

h =1

2gt2 + v0t

hn =1

2g(2n − 1) + v0

آید:ی زیر بدست میاز سقوط از رابطه t2و t1های مقدار ارتفاع سقوط بین زمان (2

H =1

2g(t2

2 − t12) + v0(t2 − t1)

v0ی زمان و ارتفاع اوج: هرگاه جسم رو به باال در امتداد قائم با سرعت اولیه (3

گویند و زمان نقطه اوجرود که آن را ای باال میپرتاب شود، حداکثر تا نقطه

گویند.پرتابه می زمان اوجمربوطه را

𝐲 =𝐯𝟎𝟐

𝟐𝐠 (ارتفاع اوج)

𝐭 =𝐯𝟎𝐠 (زمان اوج)

:توجه

زمانی کشد تا پرتابه از محل پرتاب به نقطه اوج برسد با مدت زمانی که طول می

کشد تا از اوج به مکان پرتاب برسد، یکسان است.که طول می

ثانیه بعد به زمین برخورد کند، مدت tچنانچه جسمی در شرایط خال سقوط کند و (4

زمانی که جسم 1

n پیماید برابر است با:مسیر را می

t′ =1

√n

به زمین برسد، سرعت آن پس vچنانچه جسمی در شرایط خال سقوط کند و با سرعت (5

از طی مسیرش برابر است با:

v′ =v

√n


4

در امتداد قائم به باال v0ی ای در شرایط خال با سرعت اولیهچنانچه گلوله (6

پرتاب شود، اندازه سرعت در 1

nvاوجش برابر با = ±v0√1 −

1

nدر –)+ در رفت و

باشد.هنگام برگشت( می

سرعت و زمان رسیدن به (7m

nارتفاع اوج در یک حرکت پرتاب قائم: )عالمت باال

برای رفت و عالمت پایین برای برگشت(

v = ±v0√1 −m

n

t =v0g(1 ± √1 −

m

n)

مدت زمان و ارتفاعی که در آن سرعت جسم در یک حرکت پرتابی قائم به (8m

nسرعت

رسد:اولیه می

t = (1 −m

n)v0g= (1 −

m

n) t (زمان اوج t)

h = (1 −m2

n2)v02

2g= (1 −

m2

n2 (h ارتفاع اوج) (

(حرکت دو بعدیای )حرکت پرتابه 1-5دهنـد. مبـدا مختتـات را بایـد بعـد( ر می2ی قـائم )در ای در صفحههای پرتابهحرکت

کند. در نتیجـه ای انتخاب کنیم که پرتابه )گلوله( حرکت را از آن نقطه آغاز مینقطه

y0 = x0 = 0 .

باشد،. لذا در راستای قائم چون تنها نیروی وارد بر پرتابه، نیروی وزن آن می

شتاب ثابتاش از فرمول حرکت با بوده و جابجایی -g( حرکت با شتاب ثابت y)محور

( با سرعت ثابت )شتاب صفر(است xشود. همچنین حرکت در راستای افقی )محور بررسی می

ax =dvx

dt= شود.بررسی می سرعت ثابتاش از فرمول حرکت با و جابجایی 0

𝐚𝐱 = 𝟎 𝐯𝐱 = 𝐯𝟎𝐱 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭 𝐱 = 𝐯𝟎𝐱𝐭

𝐚𝐲 = −𝐠 𝐯𝐲 = −𝐠𝐭 + 𝐯𝟎𝐲 𝐲 = −𝟏

𝟐𝐠𝐭𝟐 + 𝐯𝟎𝐲𝐭

:پرتاب افقی )در نکتهα = v0yاست، یعنی: v0x، تمام سرعت اولیه به صورت (0 =

v0xو 0 = v0 ی قائم سرعت، . در این نوع پرتاب، اندازه مؤلفهvy مانند حرکت ،

شود و لذا در راستای قائم، تمام نکات حرکت سقوط آزاد کم زیاد میسقوط آزاد کم

باشد؛ در نتیجه:برقرار می

ax = 0 vx = v0x = v0 = constant x = v0xt

ay = −g vy = −gt y = −1

2gt2


01

ای که در شکل مقابل، مسیر سهمی شکل حرکت یک پرتابه رسم شده است. سرعت در لحظه

دارای دو v0سازد. می αی زاویه xاست که با راستای v0کند پرتابه شروع به حرکت می

را v0yو v0xتوان باشد که به کمک تجزیه بردار به سادگی میی افقی و قائم میمؤلفه

بدست آورد.

𝐯𝟎𝐲 = 𝐯𝟎 𝐬𝐢𝐧𝛂

𝐯𝟎𝐱 = 𝐯𝟎 𝐜𝐨𝐬𝛂

𝐭𝐚𝐧𝛂 =𝐯𝟎𝐲

𝐯𝟎𝐱

𝐯𝟎 = √𝐯𝟎𝐱𝟐 + 𝐯𝟎𝐲

𝟐

:توجه

زمان رسیدن پرتابه به زمین در پرتاب افقی )پرتاب افقی از یک بلندی مثل پشت بام،

y∆ی آن بستگی ندارد، زیرا کوه و ...( به سرعت اولیه = −1

2gt2 .است

ایدر حرکت پرتابهزمان اوج ـ زمان رفت و برگشت ـ و ارتفاع اوج:

هایی که تر فرا بگیریم ابتدا تمام فرمولهای حرکت پرتابه را راحتبرای اینکه فرمول

نویسیم و در آن دانستیم میدر مورد حرکت شتابدار سقوط آزاد در راستای قائم را می

دهیم. به موارد زیر توجه کنید:را قرار می v0yمقدار v0ها به جای فرمول

𝐭 =|𝐯𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛂|

|𝐠|زمان

اوج پرتابه

𝐭 =|𝐯𝟎𝐲|

|𝐠|زمان →

اوج پرتابه

𝐭 =|𝐯𝟎|

|𝐠|زمان →

اوج قائم

𝐭 =𝟐|𝐯𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛂|

|𝐠|زمان رفت و

برگشت پرتابه

𝐭 =𝟐|𝐯𝟎𝐲|

|𝐠|زمان رفت و →

برگشت پرتابه

𝐭 =𝟐|𝐯𝟎|

|𝐠|زمان رفت و →

برگشت قائم

𝐡 =𝐯𝟎𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐𝛂

𝟐|𝐠|ارتفاع

اوج پرتابه

𝐡 =𝐯𝟎𝐲

𝟐

𝟐|𝐠|ارتفاع →

اوج پرتابه

𝐡 =𝐯𝟎𝟐

𝟐|𝐠|ارتفاع →

اوج قائم

( برد پرتابهRدر حرکت پرتابه ):ای

نامیم.می (R)برد پرتابه ی طولی طی شده توسط پرتابه را فاصله

R = ∆x = vxt = v0x ×2v0y

g=2v0xv0y

g=2v0

2 cos α sinα

g

→ 𝐑 =𝐯𝟎𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝛂

𝐠


00

:نکات

با توجه به فرمول بردR =v02 sin 2α

gsinمی توان گفت تا هنگامی که زاویه 2α

یابد، درجه( برد نیز افزایش می 54درجه تا 0درحال افزایش است )از زاویه

sinدرجه 00درجه تا 54ی اما از زاویه 2α در حال کاهش است و برد نیز کاهش

یابد.می

دو پرتابه با سرعت اولیه یکسان وقتی دارای برد یکسانی هستند کهθ1 + θ2 =π

2

باشد.

دو پرتابه با سرعت اولیه یکسان وقتی دارای ارتفاع اوج یکسان هستند کهθ1 +

θ2 = π .باشد

برای اینکه برد بیشینه باشد، بایدsin 2α = 2αباشد یعنی: 1 =π

2αو =

π

4 .

را داشته باشد باید بیشترین بردثابت v0بنابراین برای اینکه پرتابه با

تحت زاویهπ

4Rmaxپرتاب شود و مقدار این برد بیشینه برابر است با: =

V02

g

رسد که ی اوج سرعت پرتابه صفر نیست بلکه به کمترین مقدار خود میدر نقطه

vyی اوج است، زیرا در نقطه v0xهمان = باشد؛ سرعت در اوج کامال افقی است می 0

باشد.است عمود می gو بر شتاب حرکت پرتابه که همان

ی بین بردار سرعت و شتاب قبل از اوج و پس از اوج در حال کاهش است.زاویه

یی مسیر حرکت پرتابه در صفحهمعادله xy :)در غیاب اصطکاک هوا(

حذف کرد. yو xبه طور کلی برای بدست آوردن معادله مسیر حرکت باید زمان را بین

yاگر در فرمول = −1

2gt2 + v0yt به جای زمان مقدار

x

v0xی مسیر معادلهرا قرار دهیم، به

رسیم:می حرکت

𝐲 =−𝐠𝐱𝟐

𝟐𝐯𝟎𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂

+ 𝐱 𝐭𝐚𝐧𝛂

باشد.می سهمیمعادله مسیر حرکت پرتابه، یک

دار:حرکت پرتابه بر روی سطح شیب

ای با نسبت به افق از پایین تپه αی تحت زاویه v0ی ای با سرعت اولیهاگر پرتابه

ی نسبت به افق به باالی آن پرتاب شود، در این حالت برد پرتابه از رابطه βی زاویه

آید:زیر بدست می

R =2v0

2 cos α sin(α − β)

g cos2 β

αآید که همچنین برد بیشینه زمانی بدست می −β

2=π

4 باشد:

Rmax =v02

g(1 + sin β)

ی اگر زاویه سطح شیبدار و زاویه پرتاب مطابق شکل زیر باشند، رابطه

کند.برد اندکی تغییر می


02

R =2v0

2 cos(α + β) sin α

g cos2 β

+αو در این حالت برد بیشینه به ازای β

2=π

4 آید.بدست می

:توجه

شود، داریم:برای حالتی که مطابق شکل، پرتابه از باال به پایین تپه پرتاب می

R =2v0

2 cos α sin(α + β)

g cos2 β


03

نمونه سوال امتحانی )مسائل فیزیک هالیدی( 1-6

, ��در شکل زیر، دو بردار -1 �� 10بزرگی یکسانی برابرm های آنها دارند و زاویه𝛉𝟏 =

𝛉𝟐و 𝟑𝟎° = ، )پ( ��بردار مجموع y و )ب( مولفه xاست. مطلوب است: )الف( مولفه 𝟏𝟎𝟓°

سازد.می xبا سوی مثبت محور ��ای که و )ت( زاویه ��بزرگی

پاسخ:

𝑎 = (10 cos 30°)i + (10 sin 30°)j = 8.67i + 5j

است. بنابراین °135برابر xنسبت به جهت مثبت محور ��جهت بردار

خواهیم داشت:

�� = (10 cos 135°)i + (10 sin 135°)j = −7.07i + 7.07j الف(

𝑟x = ax + bx = 8.67 − 7.07 = 1.60 m ب(

𝑟𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 5.0 + 7.07 = 12.07 m

پ(

𝑟 = √(1.60)2 + (12.07)2 = 12.19 m ت(

θ = 𝑡𝑎𝑛−112.07

1.60= 82.5°

0.5كنند. سوسك اول، دو سوسك از نقطه یكساني حركت خود را بر شنزار تختي آغاز مي -2

m 0.8شمال شرق، °𝟑𝟎رود و سپس در جهترو به شرق مي m پیماید. سوسك دوم نیز دو را مي

شرق شمال است. در صورتي كه °𝟒𝟎در جهت m 1.6كند: مسیر اول حركت آن مسیر را طي مي

مكان جدید سوسك اول به حركتش پایان دهد، )الف( بزرگي و )ب( جهت سوسك دوم در

دومین مسیر چیست؟

پاسخ:

∆r 1 = r 1 + r ′1 = (0.5i) + (0.8 cos 30° i + 0.8 sin 30° j) = 1.19i + 0.40j

∆r 2 = r 2 + r ′2 = [(1.6 sin 40°)i + (1.6 cos 40°)j + r ′2 = (1.03i + 1.23j) + r ′2

r 1∆براي اینكه سوسك دوم پس از حركت دوم به مكان سوسك اول برسد باید = ∆r 2 باشد؛

لذا داریم:

1.19i + 0.40j = 1.03j + r ′2

r ′2 = 0.16i − 0.83j

r′2 = √(0.16)2 + (−0.83)2 = 0.85m

θ′2 = tan−1−0.83

0.16= −79°

m 3.66اندازد. اولي ضربه توپ را گلف بازي با سه ضربه توپ را به داخل حفره مي -3

رو به جنوب m 0.91رو به جنوب شرق، و سومین ضربه m 1.83رو به شمال، دومین ضربه

برد. براي آنكه توپ در همان ضربه اول به داخل حفره بیفتد، )الف( بزرگي و غرب، مي

جایي مورد نیاز باید چقدر باشد؟)ب( جهت جابه

پاسخ:

d 1 = 3.66j

d 2 = (1 − 83 cos 45°)i − (1.83 sin 45°)j = 1.29i − 1.29j


09

d 3 = −(0.91 cos 45°)i − (0.91 sin 45°)j = −0.643i − 0.643j

الف(

d = d 1 + d 2 + d 3 = 0.65i + 1.73j جایي مستقیم برابر است با:بزرگي جابه

d = √(0.65)2 + (1.73)2 = 1.84 m

ب(

θ = tan−1dy

dx= tan−1

1.73

0.65= 69.50°

شمال شرق است. °69.5یا اینكه جابجایي مستقیم در راستاي x+نسبت به محور

بیند که گلدانی نخست رو به باال و سپس رو به پایین از ای درحال چرت زدن میگربه -4

در معرض دید بوده s 0.5گذرد. گلدان در کل رفت و برگشت به مدت ی بازی میمقابل پنجره

ی باالی ارتفاع دارد. گلدان تا چه ارتفاعی از لبه m 2و پنجره از باال تا پایین

ست؟پنجره باالتر رفته ا

پاسخ:

را ارتفاع پنجره در نظر بگیریم، خواهیم داشت: h∆اگر

∆h =1

2gt2 + vt

2 = −1

2(9.8)(0.25)2 + v(0.25) ⇒ v = 6.77 m/s

ای که گلدان باالتر از پنجره طی کرده در نظر بگیریم، با توجه را فاصله yحال اگر

به اینکه در اوج سرعت صفر است و سرعت گلدان را در موقع عبور از باالی پنجره

توان نوشت:داریم، می

0 − v2 = −2gy (6.77)2 = 2(9.8)y ⇒ y = 2.34 m

باالتر از سطح زمین به طور افقی h=35 mدر ارتفاع km/h 1300خلبانی با سرعت -5

𝐭کند. در لحظه پرواز می = خلبان شروع به پرواز روی زمین شیبداری به طرف باال و 𝟎

𝛉ی با زاویه = 𝟒. کند. اگر خلبان مسیر هواپیما را تغییر ندهد، پس از چه مدت می 𝟑𝟎

کند؟هواپیما به زمین برخورد می tزمان

پاسخ:

توان مسافتی که در نظر بگیریم، میاگر مثلث زیر را

خلبان فرصت الزم را جهت اصالح مسیر دارد به دست آورد.

tanθ =h

∆x ∆x =

h

tanθ=

35

tan 43.3°= 465.5 m

∆x = vt ; v = 1300 km h⁄ = 36.1 m/s ⇒ 465.5 = (36.1)t ⇒ t = 1.29 s

است. فرض كنید كه قهرمان این رشته با m 77ركورد فعلي پرش با موتور سیكلت -6

آمدن یكسان است. نسبت به افق برخیزد و ارتفاع در موقع برخاستن و فرود °𝟏𝟐زاویه

تندي برخاستن را حساب كنید.

پاسخ:


05

R =v02 sin 2θ0g

⇒ v0 = √Rg

sin 2θ0= √

77 × 9.8

sin 24°= 43 m/s

𝛉كند، درحالي كه با زاویه حركت مي km/h 29هواپیمایي كه با تندي -7 = زیر افق 𝟑𝟎°

كند )شكل زیر را ببینید(. فاصله افقي بین ی رادار را رها ميرود یك تلهشیرجه مي

است. )الف( تله چه مدت در d=700 mخورد، اي كه تله به زمین مينقطه رها شدن و نقطه

رتفاعي بوده است؟ی پرتاب شدن در چه اهوا بوده است؟ )ب( تله در لحظه

پاسخ:

الف(

v0 = 290 km/h = 80.6 m/s d = (v0 cos θ0)t ⇒ 700 = (80.6) cos(−30

°) t ⇒ t = 10 s ب(

y = −1

2gt2 + (v0 sin θ0)t + y0

0 = −1

2(9.8)(10)2 + (80.6) sin(−30°) (10) + y0

y0 = 897 m

𝛉𝟎و زاویه m/s 42با تندي اولیه hاي به بلندي در شكل زیر، سنگي به باالي صخره -8 =

كند. برخورد مي Aپس از پرتاب با نقطه s 5.5باالي افق پرتاب شده است. سنگ 𝟔𝟎°

برخورد كند و Aصخره، )ب( تندي سنگ درست پیش از آنكه به hمطلوب است )الف( بلندي

رسد.كه سنگ به باالي زمین مي Hی )پ( ارتفاع بیشینه

پاسخ:

الف(

h = −1

2gt2 + (v0 sin θ0)t = −

1

2(9.8)(5.5)2 + (42)(sin 60°)(5.5) ⇒ h

= 51.83 m ب(

vx = v0x = v0 cos θ0 = (42)(cos 60°) = 21 m/s vy = −gt + v0 sin θ0 = −(9.8)(5.5) + (42)(sin 60°) = −17.53 m/s

v = √vx2 + vy

2 = √(21)2 + (17.53)2 = 27.36 m/s

آید:از رابطه اوج به دست مي Hی پ( ارتفاع بیشینه

H =v02sin2θ02g

=(42)2(sin 60°)2

2(9.8)= 67.5 m

𝛉𝟎ی و زاویه m/s 25توپي با تندي -9 = باالي افق پرتاب شده است )مطابق شكل(. 𝟒𝟎°

است. )الف( در چه مسافتي باالتر از نقطه پرتاب، d=22 mفاصله دیوار از نقطه پرتاب

هاي )ب( افقي و )پ( قائم سرعت توپ در زمان كند؟ مولفهتوپ با دیوار برخورد مي

كند از باالترین رخورد ميبرخورد با دیوار چیست؟ )ت( آیا هنگامي كه توپ با دیوار ب

ی مسیرش گذشته است؟نقطه


06

پاسخ:

الف(

d = x = (v0 cos θ0)t 22 = (25)(cos 40°)t ⇒ t = 1.5 s

y = −1

2gt2 + ((v0 cos θ0)t + y0 = −

1

2(9.8)(1.5)2 + (25)(sin 40°)(1.5) + 0 = 12 m

كند؛ لذا خواهیم داشت:ی افقي توپ تغییر نميب( مولفه

vx = v0 cos θ0 = (25)(cos 40°) = 19.2 m/s پ(

vy = −gt(v0 sin θ0) = −(9.8)(1.5) + (25)(sin 40°) = 4.8 m/s ت(

گیریم پرتابه در حال صعود است و هنوز به اوج نرسیده مثبت است نتیجه مي vyچون

است.

رو به سمت چپ پرتاب شده hاي به بلندي ی چپ بام خانهدر شكل زیر، توپي از لبه -11

𝛉𝟎ی از ساختمان و با زاویه d=25 m پس از پرتاب، در فاصله s 1.5است. توپ = باالي 𝟔𝟎°

را بیابید. )راهنمایي: یك راه براي حل این hكند. )الف( افق به زمین برخورد مي

است كه حركت را مثل یك نوار ویدئو به عقب برگردانیم.( )ب( بزرگي و )پ( زاویه

ویه رو به باالي ی پرتاب توپ چه بوده است؟ )ت( آیا این زاسرعت نسبت به افق در لحظه

افق است یا پایین؟

پاسخ:

الف(

كنیم توپي با سرعت اولیه با توجه به راهنمایي مسئله فرض مي

v و تحت زاویهθ شود، لذا خواهیم داشت:به سوي باالي ساختمان پرتاب مي

v = (v0 cos θ)t x = d

25 = v0(cos 60°)(1.5) v0 = 33.3 m/s

h = −1

2gt2 + (v0 sin θ)t = −

1

2(9.8)(1.5)2 + (33.3)(sin 60°)(1.5) = 33.3 m

ب(

d = vxt ⇒ vx =d

t=25

1.5= 16.7 m/s

vy = −gt + sinθ = −(9.8)(1.5) + (33.3)(sin 60°) = 14.2 m/s

v = √vx2 + vy

2 = √(16.7)2 + (14.2)2 = 21.9 m/s

پ(

θ = tan−1 (vy

vx) = tan−1 (

14.2

16.7) = 40.4°

ی پرتاب همین مقدار ولي زیر ایم، زاویهچون مسئله را به طور وارونه در نظر گرفته

افق است.

𝛉𝟎 اي با زاویهبازیكن بسكتبال در شكل زیر، باید توپ را با چه تندي اولیه -11 =

d2هاي افقي )فاصلهباالي افق پرتاب كند تا توپ از میان سبد بگذرد؟ 𝟓𝟓° = 14 ft ; d1 =

1 ft ها و بلنديh2 = 10 ft ; h1 = 7 ft وg = 32 ft/s2 ).است


07

پاسخ:

آید.به دست مي v0ی مسیر حرکت پرتابه، با استفاده از معادله

y = x tan θ0 −g

2v02cos2θ0

x2 + y0

10 = (14 − 1) tan 55° −32

2v02(cos 55°)

(14 − 1)2 + 7 ⇒ v0 = 23 ft/s

𝛂شود. نسبت به افق پرتاب مي 𝛂ی مطابق شكل توپي از پایین سطح شیبدار با زاویه -12 چند درجه باشد تا برد پرتابه روي سطح شیبدار بیشینه باشد؟

پاسخ:

در شكل زیر است. با ABخط برد روي سطح شیبدار همان پاره

ی مسیر حركت پرتابه داریم:نوشتن معادله

y =−gx2

2Vo2cos2α

+ x tan α

{

x = R cos 30 =√3

2R

y = R sin 30 =1

2R

⇒ R

2= (√3

2R) tan α −

g (34R2)

2Vo2cos2α

⇒ 1

2=√3Vo

2 cos α sin α −34gr

2Vo2cos2α

⇒ R =4Vo

2

3g[√3 cos α sin α − cos2α]

⇒ R بیشینه dR

dα= 0 ⇒

4Vo2

3g[√3 cos2α − √3 sin2α − (−2 cos α sin α)] = 0

⇒ √3 (1 + cos 2α

2) − √3 (

1 − cos 2α

2) + sin 2α = 0

⇒ √3 cos 2α = −sin 2α ⇒ tan 2α = −√3 ⇒ |tan 2α| = |−√3| = √3

⇒ 2α = 60o ⇒ α = 30o

طوري پرتاب hی پرتگاهي با ارتفاع از لبه Rهایي را از فاصله افقي پرتابه -13

ترین كم xاز پاي پرتگاه به زمین بخورند. اگر بخواهیم xی افقي كنیم كه در فاصلهمي

, 𝛗𝐨مقدار خود را داشته باشد، 𝐯𝐨 فرض كنید كه را چگونه باید انتخاب كنیم؟(vo را

را نیز به طور φoداد و بتوان تغییر vmaxی متناهي از صفر تا یك مقدار بیشینه

پیوسته بتوان تغییر داد و فقط یك برخورد مدنظر است.(


08

پاسخ:

گیریم و با توجه به حركت پرتابي گلوله، مبدأ مختتات را محل پرتاب در نظر مي

نویسیم:معادله مسیر آن را مي

y = −gx2

2Vo2cos2φo

+ x tanφo

كمترین مقدار را داشته باشد، دو شرط زیر باید صادق باشد: xبراي آنكه

yمماس باشد یعني اگر Aی ( مسیر پرتابه باید در نقطه1 = xباشد، 0 = R است و

داریم:

R =Vo2sin2φog

(1)

كوچك xبیشترین مقدار ممكن را داشته باشد تا Aی مماس بر مسیر پرتابه در ( زاویه2

ی معیني براي پرتابه، با افزایش یا كاهش دانیم كه براي سرعت اولیهشود. اما مي

ی یابد و ممكن است پرتابه از لبه، برد كاهش مي45oی پرتاب نسبت به زاویه زاویه

ی پرتاب، ، باید ضمن افزایش زاویه1ی پرتگاه عبور نكند. بنابراین با توجه به رابطه

φoی افزایش داد. اما در گستره سرعت اولیه را نیز > 45o با افزایشφo مقدارsin 2φo

را در نظر گرفت. vmaxی پرتاب، مقدار یابد. در نتیجه باید براي سرعت اولیهكاهش مي

داریم: 1ی همچنین با توجه به رابطه

φo=1

2[sin−1

Rg

Vmax2 ]

نسبت به افق 𝛉تحت زاویه 𝜶 اي را از انتهاي سطح شیبداري به زاویه پرتابه -14

)از چقدر باشد تا پرتابه عمود بر سطح فرود آید؟ 𝜶بر حسب 𝛉كنیم. زاویه پرتاب مي

اصطكاك هوا صرف نظر شده است.(

پاسخ:

tan α =y

x=

−gx2

2vo2cos2θ

+ x tan θ

x=

−gx

2vo2cos2θ

+ tan θ , x = vo cosθ × t

tan α =−gt

2vocosθ+ tanθ ⟹ t = 2

vogcos θ (tan θ − tan α) (I)

اگر پرتابه عمود بر سطح فرود آید، خواهیم داشت:

tan α =vxvy=

vocosθ

vosinθ − gt⟹ t =

vog(sin θ −

cos θ

tan α) (II)

خواهیم داشت: (II)و (I)از مساوي قرار دادن روابط

(I) = (II) ⟹ 2vogcos θ (tan θ − tan α) =

vog(sin θ −

cos θ

tan α) ⇒ tan θ = 2 tan α −

1

2 tan α

⇒ θ = tan−1(2 tan2α − 1

tan α)

نسبت به افق به دیوار تكیه داده شده 𝜶تحت زاویه Lتخته الوار طوالني به طول -11

𝜽و تحت زاویه 𝐯𝐨ی دیوار و زیر تخته، توپي را با سرعت از گوشه است )مطابق شكل(. كند؟كنیم. تحت چه شرایطي توپ به تخته برخورد ميبه طرف باال پرتاب مي

پاسخ:


04

توپ برابر است با:ی مسیر حركت معادله

y = −gx2

2vo2cos2θ

+ x tan θ (I)

باشد:ی موقعیت تخته الوار به شکل زیر میاما معادله

y = −x tan α + L sin α (II) داریم: (II)و (I)با استفاده از معادالت

−gx2

2vo2cos2θ

+ (tan θ + tan α)x − L sin α = 0

باشد. پس باید دلتاي آن مثبت یا صفر باشد:مي xشرط برخورد، موجود بودن حداقل یک

∆≥ 0 ⟹ (tan θ + tan α)2 − 4L sin α ×g

2vo2cos2θ

≥ 0 ⟹ vo2(cos θ tan α + sin θ)2 ≥ 2gL sin α


21

اولهای طبقه بندی شده فصل تستمجموعه 1-7

برحسب زمان به شکل زیر 2kg ای به جرمک بعدی نمودار نیروی وارد بر ذرهدر حرکت ی -1

𝒕است. اگر در لحظه = 𝟓𝐦سرعت ذره 𝟎 𝐬⁄ در جهت منفی محورx ،سرعت آن در لحظـه باشد

𝐭 = 𝟖𝐬 چند𝐦 𝐬⁄ و در چه جهت محورx (1391ارشد فیزیک دریا ) است؟

، منفی12.5 (1

، منفی5.5 (2

، مثبت6.5 (3

مثبت ، 16.5 (4

vی سرعت است هنگام شب با اندازه Lشخصی که طول قدش -2

روی یک خط راست به سمت یک تیر چراغ برق که المپی روی آن

u (𝐮ی سرعت ی سر شخص با اندازهشود. اگر سایهروشن است نزدیک می > 𝐯 به او نزدیک )

(1393)ارشد فیزیک شود المپ در چه ارتفاعی نصب است؟

1) (u+v

u) L

2) (u−v

u) L

3) (u

u−v) L

5) (u

u+v) L

𝐯ی سرعت خطی یک جسم با رابطه -3 = 𝛂𝟏

𝟑 𝐭𝟐

𝛂مختصه زمان است. بعد tشود که داده می 𝟑 (1393 دریا )ارشد فیزیک چیست؟

1) L3T

2) LT−5

3

3) L3T−5

5) L3T−5

3

= ��حجم متوازی السطوحی که از سه بردار -4 𝟓�� + �� + 𝟐�� ،�� = −�� + 𝟐�� − �� و𝐂 = −𝟑�� + 𝟑�� + ��

های هر سه بردار برحسب متر داده شده است. مترمکعب است؟ مولفهشود چند تشکیل می (1393 دریا )ارشد فیزیک

1) 35

2) 100

3) 60

5) 75

ی افقی، از جنوب به شمال در حرکت است. در یک جاده Km/h 36ای با سرعت راننده -5

-نسبت به راستای قائم و متمایل به شمال می °𝟒𝟓ی تحت زاویه m/s 5باران با سرعت

)ارشد ای با راستای قائم دارد؟بارد. به نظر راننده، راستای بارش باران چه زاویه

(1393 دریا فیزیک

1) tan−1(0.8)

2) tan−1(1.8)

3) tan−1(3.8)

5) tan−1(2.8)

کند را چنان طی می dی مستقیمی به طول اتومبیلی با شتاب ثابت و مثبت طول جاده -6

گیرد. شتاب حرکت کدام گزینه است؟وقت می 𝐭𝟐و نصف دوم زمان 𝐭𝟏که نصف اول آن زمان (1393 دریا )ارشد فیزیک

1) d

t12−t2

2


20

2) d(t1−t2)

2

t12t2

2

3) d(t1−t2)

t1t2(t1+t2)

5) d(t1−t2)

2t1t2(t1+t2)

در هوای آرام پرواز کند. اگر باد km/h 250تواند با تندی یک هواپیمای کوچک می -7

تواند از شرق به غرب بوزد. این هواپیما تقریبا در طی چند دقیقه می km/h 70با تندی

480 km (1393 فیزیکژئو)ارشد کند؟ در راستای جنوب پرواز می

1) 60

2) 120

3) 110

5) 140

𝐯𝟎ای مطابق شکل زیر عمود بر سطح تپه با تندی اولیه ای از باالی تپهپرتابه -8

AB=75 cm ،𝐬𝐢𝐧پرتاب شده است. اگر 𝛉 = 𝟎. 𝐠و 𝟔 = 𝟏𝟎 𝐦/𝐬𝟐 باشد، اندازه𝐯𝟎 چند متر بر

(1393 فیزیکژئو)ارشد ثانیه است؟ )از مقاومت هوا چشم پوشی شود.(

1) 1.5

2) 2

3) 2.5√5

5) 20

ثابت hثابت جهانی گرانش و Gسرعت نور، cاز سه ثابت جهانی -9

(1393فیزیک نانو دکتری) پالنک کدام کمیت بعد جرم را دارد؟

1) (cG

h)

1

3

2) (hc

G)

1

2

3) (h

cG)

1

2

5) (G

hc)

1

3

متری از یک جاده قرار دارد و در 600به فاصله Aشخصی مطابق شکل زیر در نقطه -11

1 (Field)روی جاده عزیمت کند. اگر سرعت این فرد در خارج از جاده Cصدد است به نقطه

m/s و روی جاده(Road) 2 m/s باشد، کمترین زمان رسیدن فرد از

(1393 دریا فیزیک دکتری)چند دقیقه است؟ Cبه نقطه Aنقطه

1 )8.33

2) 15.33

3) 10.38

5) 11.95

شخصی در راستای شرق به غرب و به سمت غرب در حرکت است. در محیط بادی در حال -11

وزد و اگر در کند که باد از جنوب میباشد احساس می km/h 4وزیدن است. اگر تندی شخص

-کند باد از جنوب غربی میهمان راستای شرق به غرب تندی او دو برابر شود احساس می

دکتری) نسبت به زمین چند کیلومتر بر ساعت است؟ وزد. تندی باد موجود در محیط

(1393 هواشناسی

1) 2

2) 2√2

3) 4√2


22

5) 4

�� 𝟐دو بردار برآیند -12 = 𝟑𝐚��𝟐 و �� 𝟏 = 𝟐𝐚𝐞�� بردار�� = 𝟒𝐚�� شده است كه هر سه بردار

𝐞 كدام 𝐯𝟏 و 𝐯𝟐عددي مثبت است. زاویه بین دو بردار aبردارهاي یكه هستند و ��𝟐 ،��𝟏 و

(1392)ارشد فیزیک است؟

1) 75° 2) Arc cos1

4

3) 60° 5) Arc cos2

3

G)سرعت نور در خالء( و e)ثابت پالنک(، ħآیا امکان دارد که با سه ثابت جهانی -13

(1392)ارشد فیزیک )ثابت جهانی گرانش( یک ثابت با بعد طول به وجود آورد؟

√آری، به صورت (1𝐺ħ

𝑐3√آری، به صورت (2

𝐺ħ

𝐺3

√آری، به صورت (3𝐺𝑐

ħ3 خیر، اصوال امکان ندارد (5

از روی واگنی که با تندی ثابت -14𝐯𝟎

√𝟐ای بـا گلولـه ،در جاده مستقیمی در حرکت است

𝛉و زاویه 𝐯𝟎سرعت 𝟎

𝛉شود. زاویـه ت به ناظر ساکن در واگن پرتاب مینسب 𝟎

از کـدامیک

ای کـه از دیـد آید به گونههای زیر بدست میاز گزینه

ناظر ساکن بر روی زمین، برد گلولـه بیشـینه باشـد؟

(1392فیزیک پزشکی)ارشد )سرعت واگن همواره ثابت است(

1) θ0= 45°

2) tan θ0=

1

√2

3) sin θ0− cos θ

0=

1

√2

5) cos θ0− sin θ

0=

1

√2

روي یك خط مستقیم در امتداد هم روي سـطح یخـي 40kgدو سورتمه هر كدام به جرم -11

قـرار Aكه ابتـدا روي سـورتمه 15kgابتدا در حال سكون قرار دارند. یك سگ به جرم

گردد. هر دو پرش با تنـدي برمي Aجهد و سپس به روي سورتمه مي Bدارد به روي سورتمه

𝟓𝐦

𝐬𝐯𝐀شود. نسبت به سطح یخ انجام مي

𝐯𝐁و Aسرعت نهایي سورتمه ′سرعت نهایي سـورتمه ′

B دکتـری برحسب متر بر ثانیـه كـدام اسـت؟(

(1392فناوری نانو

1 )vB′ = 0, vB

′ = 0

2) vB′ =

15

4, vA′ = −

30

11

3) vB′ =

285

88, vA′ = −

15

4

5) vB′ =

15

11, vA′ = −

15

4

مساحت افق Aنوشت كه در آن S=kaAصورت ه توان بآنتروپي یك سیاهچاله را مي -16

ثابت پالنك، ℏتواند باشد؟ )هاي زیر ميكدام یك از كمیت aسیاهچاله است. ضریب ثابت

G ،ثابت جهاني گرانشk ثابت بولتزمن وc ).(1391)ارشد فیزیک سرعت نور است

1) 1

4

ℏ

𝐺𝑐3

2) 1

4

c3

ℏ𝐺

3) 1

4ℏ𝐺𝑐3

5) 1

4

ℏG

𝑐3


23

𝐡𝟎اي را از ارتفاع گلوله -17 = 𝟖𝟎𝐦 كنیم. این گلوله پس از برخورد رها ميn ام با

𝐡𝐧 آید. در هر برخورد داریم:زمین تا ارتفاع باال مي = 𝟎. 𝟑𝟔𝐡𝐧−𝟏. این گلوله چند

g) شود؟ثانیه پس از رها شدن روي زمین متوقف مي = 10m

s2 .شودپوشي از مقاومت هوا چشم (

(1391)ارشد فیزیک

1) 24

2) 16

3) 20

5) 6

با تندي Aكشتي -18𝒌𝒎

𝒉كه در B، كشتي t=0به سمت جنوب در حركت راست در لحظه 24

واقع شده است با تندي Aكیلومتري جنوب كشتي 48فاصله 𝒌𝒎

𝒉به سمت شرق در حركت 18

است. پس از یك ساعت این دو كشتي با چه تندي بر حسب 𝒌𝒎

𝒉 شوند؟به یكدیگر نزدیك مي

(1391 دریا )ارشد فیزیک

1) 6

2) 8.4

3) 30

5) 42

متر میموني به شاخه درختي آویزان است و در 100طرف دره عمیقي به پهناي در یك -19

باالي افق نشانه رفته است. همزمان با شلیك °𝟑𝟕 طرف دیگر یك شكارچي او را در زاویه

𝟐𝟓تیر ی كند. اگر تندي اولیهمیمون خود را رها مي ،تیر𝐦

𝐬

)از مقاومت هوا چشم پوشي خورد؟ آیا تیر به میمون مي ،باشد

gشود و مي = 10 m

s2sin 37°و = (1391 دریا )ارشد فیزیک (0.6

گیرد.خیر برخوردي صورت نمي (1

متري از مكان اولیه میمون 50ثانیه و در فاصله 5بعد از (2

گیرد.برخورد صورت مي

متري از مكان اولیه میمون 75ثانیه و در فاصله 3بعد از (3

گیرد.برخورد صورت مي

گیرد.متري از مكان اولیه میمون برخورد صورت مي 125ثانیه و در فاصله 5بعد از (5

اي كه در راستاي قائم به با در نظر گرفتن مقاومت هوا، زمان باال رفتن گلوله -21

(1391)ارشد ژئوفیزیک طرف باال پرتاب شود با زمان پایین آمدن آن چه فرق دارد؟

زمان باال رفتن كمتر از زمان پایین آمدن است. (1

زمان باال رفتن بیشتر از زمان پایین آمدن است. (2

بیشتر یا كمتر بودن زمان باال رفتن به سرعت اولیه و شكل جسم بستگي (3

دارد.

هیچ فرقي با هم ندارند و هر دو همواره یكسان هستند. (5

به طور افقي پرواز باالي سطح زمین h=35mدر ارتفاع km/h 1300خلباني با سرعت -21

𝛉خلبان تصمیم به فرود با شیب t = 0. ولي در زمان كندمي = 𝟒. گیرد. اگر خلبان مي 𝟑°

)ارشد فیزیک پزشکی رسد؟گیري هواپیما را تغییر ندهد، پس از چند ثانیه به زمین ميجهت

1391)

1) 0.29 2) 1.19 3) 1.29 5) 2.09

كند و معادله حركت آن در مختصات قطبي در یك صفحه حركت مي 100gاي به جرم ذره -22

به شكل 2tr وt cos است. اندازه شتاب ذره در

2t ( كدام است؟ , مقادیر

(1391)ارشد فیزیک ثابتي هستند.(


29

1) 2214 2)

42

22

3) 4316

2244

5) 43

16

17 2244

چگالي جسمي -233cm

grاست. چگالي این جسم بر حسب 2.5

3ft

lb های)دکتری رشته چقدر است؟

(1391مهندسی

1) 625 2 )300

3) 45 5) 150

كند. بین طول كمان مسیر اي روي یك مسیر منحني در فضاي سه بعدي حركت ميذره -24

)()()(رابطه a(t)و اندازه شتاب ذره v(t)اي ، تندي لحظهs(t)حركت ذره tatvCts nm

وجود

دارد. اگر C ثابت بدون بعد )دیمانسیون( باشد اعداد حقیقيn , m دکتری اند؟كدام(

(1391مهندسی هایرشته

1) m = 2 و n = -1 2) m = 2 و n = 1

3) m = -2 و n = 1 5) m = -2 و n = -1

ktjtitrاي بر حسب زمان به صورت موقعیت ذره -25 ˆˆˆ 23

بر rباشد. در این رابطه مي

چند متر است؟ t = 1sی هبر حسب ثانیه است. شعاع انحناي مسیر ذره در لحظ tحسب متر و (1391های مهندسی )دکتری رشته

1) 7

10 2)

10

7

3) 38

714 5)

7

38

14

1

اي در باالترین نقطه یك گنبد بدون اصطكاك كه شكل مقطع قائم آن یك بیضي با ذره -26

Aقرار گرفته است. سرعت افقي ذره در نقطه ،است aو نیم قطر كوچك 3aنیم قطر بزرگ

(1391مهندسی های)دکتری رشته حین حركت به گنبد برخورد نكند؟ چقدر باشد تا در

1 )ga3

2) ga3

3) ga2

5) ga2

اي بر حسب سرعت ذره -27𝐦

𝐬3از رابطة 2xv آید. در این رابطه بدست ميx مكان ذره

چند x = 8 m است. شتاب ذره در mبر حسب 𝐦

𝐬𝟐 (1391مهندسی های)دکتری رشته است؟

1) 3

4 2)

3

2

3 )3

24 5 )

3

22

خواهد هدفي در امتداد مستقیم مي Vدر حال حركت به جلو با تندي جنگی یك كشتي -28

را با یك گلوله توپ در هم بكوبد. لوله توپ كشتي Dیك بعدي در جلوي خود به فاصله

تنظیم شده و ثابت است. تندي شلیك گلوله از دهانه توپ نسبت به افق با زاویه


25

نظر كنید. ثابت گرانش محل چقدر باشد تا گلوله به هدف بخورد. از مقاومت هوا صرف

(1391)ارشد فیزیک دریا بگیرید. gرا

1) cos2

V 2) sin2

V

3) ]1cot21[cos2 2

V

gDV 5 )]1tan21[

sin2 2

V

gDV

ساحل شرقي یك رودخانه پرآب كه سرعت جریان آب آن در Aخواهد از نقطه قایقي مي -29

𝐯𝟎 به سمت شمال و برابر = 𝟑𝟔𝐤𝐦

𝐡درساحل غربي آن Bبه نقطه ،است بر ساعت( )كیلومتر

km1ABhو به فاصله طبق شكل( عرض رودخانه ،برود( 𝒅 = 𝟑𝟎𝟎 𝒎

(1391)ارشد فیزیک دریا است. بردار سرعت حركت این قایق كدام است؟

متر بر ثانیه به سمت غرب 3 (1

متر بر ثانیه به سمت غرب 6 (2

متر بر ثانیه به سمت شمال غربي 10 (3

متر بر ثانیه به سمت شمال غربي 20 (5

و B یبه نقطه A یابتدا از نقطه ،مطابق شكل300kg قایقي به جرم -31

كند. اگر سرعت آب عزیمت مي C یسپس به نقطهs

mسرعت قایق نسبت به آب بر حسب ،باشد 5

s

m در عزیمت از سرعت قایق نسبت به آب )كدام است؟A

به Bعزیمت از را با سرعت قایق نسبت به آب در Bبه

C ارشد (بگیرید.برابر و در خالف جهت هم در نظر(

(1391ژئوفیزیک

1) v = 5i

2) v = 5j

3 )v = 5i + 5j

5) v = √5i + √5j

كند. بطور قائم رو به پایین حركت مي aبا شتاب ثابت Mبالوني با جرم اولیه -31

رو به aچقدر جرم از بالون به بیرون انداخته شود تا بالون بتواند با شتاب ثابت

(1391ارشد ژئوفیزیک ) باال حركت كند؟

1 )ag

Ma

2 )

ag

Ma

2 3 )

ag

Ma

5 )

ag

Ma

2

ktjtitrمكان یك ذره توسط بردار -32 ˆ2ˆ3ˆ 23

𝑡ه در لحظ .شودداده مي = اویه بین ز 1

(1389)ارشد فیزیک ؟شتاب كدام استبردارهاي مكان و

1 ))27

9(cos 1

2 ))7

2(sin 1

3 ))7

2(cos 1

5) 45

5سرعت جسمي در طول یك مسیر با -33

2

2

3

tkv كهt زمان بر حسب ثانیه وv بر سرعت جسم

حسب s

m (1389)ارشد ژئوفیزیك چیست؟ k)یكاي( واحد شود.داده مي ،است

1) 15

14

3

2

sm

2) 15

8

3

2

sm

3) 5

3

3

2

sm

5) 5

6

3

2

sm


26

�� اردای که دو بردرصفحه -34 + 𝒋 و𝒋 + �� ای بیابید که بردار یکه آن قرار دارند، در

�� بر بردار + 𝒋 + �� (1388)ارشد فیزیک عمود باشد؟

1 ) ki ˆˆ2

1 2) kj ˆˆ

2

1 3 ) kji ˆˆ2ˆ

6

1 5) kji ˆ2ˆˆ

6

1

، باقیمانده کندطی می 𝑣𝑜 را با سرعت نصف مسیر ،ای بر روی یک مسیر مستقیمذره -35

طی 2vو در نصف زمانی دیگر با سرعت 1vمسیر را در نصف زمان باقیمانده با سرعت

(1388 )ارشد فیزیک؟ رعت متوسط ذره در کل مسیر کدامست. سکندمی

1) 3

210 vvv 2 )

210

210 )(

vvv

vvv

3)

210

210

2

)(2

vvv

vvv

5)

210

2100

2

)(2

vvv

vvvv

به مرکز مبدأ و Rای به شعاع روی یک مسیر دایره xyی در صفحه vای با تندی ذره -36

؟ ردر مورد حرکت این ذره صحیح استهای زیکند. کدام یک از گزینهمختصات حرکت می

(𝑎𝑥 , 𝑎𝑦) ،(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦) و(𝑥, 𝑦) ی دلخواه لحظه سرعت و مکان ذره در های شتاب،به ترتیب مؤلفه

t (1388)ارشد فیزیک (هستند

1) ][2

yv

xa

yv

ya

xv

xv

2 )

][2

yv

xa

yv

ya

xv

xv

3 )][2

xv

xa

yv

ya

xv

yv

5)

][2

xv

xa

yv

ya

xv

yv

t=0ی باالتر از سطح زمین، در غیاب مقاومت هوا، در لحظهی از ارتفاعی اپرتابه -37

شود. شعاع انحنای مسیر وازی سطح زمین(پرتاب میم) به صورت افقی 0vبا سرعت اولیه

(1388)ارشد فیزیک ؟ بل از برخورد به زمین چقدر استق ، tی دلخواهدر لحظه

1) v02

g 2)

v02+g2t2

g 3)

(v04+g4t4)1/2

g 5)

(v02+g2t2)3/2

v0g

شود. زاویه سطح بر روي یك سطح شیبدار پرتاب مي ∘𝐕اي با سرعت اولیه پرتابه -38

پرتابه بر سطح شیبدار مسیر حركت ي فرود،. اگر در لحظهاست ∘𝟑𝟎شیبدار نسبت به افق

(1388ارشد ژئوفیزیک )برد پرتابه بر روي سطح شیبدار كدام است؟ عمود باشد،

1) 4

7

v∘2

g 2)

3

4

v∘2

g

3) 4

5

v∘2

g 5)

4

3

v∘2

g

طور قائم به طرف پایین پرتاب سنگی از بام ساختمانی به -39

𝟐𝟐 تر از بام است با سرعتمتر پایین 14ای که شود. سنگ از مقابل پنجرهمی𝒎

𝒔گذرد می

)8.9(؟ متر استرسد. ارتفاع ساختمان چند ثانیه پس از پرتاب به زمین می 2.8و 2s

mg

(1388)ارشد فیزیک پزشکی

1) 52.5 2) 60.5 3) 78.8 5) 81.5

کند و بیند که به طرف باال صعود میتوپی را می m 1.5ای به بلندی شخصی از پنجره -41

یک ثانیه ،. اگر کل مدت زمانی که توپ در معرض دید بودهگرددبعد به پایین برمی

)8.9(؟به فوقانی پنجره باالتر رفته استتوپ چند متر از ل ،باشد2s

mg ارشد فیزیک پزشکی(

1388)


27

1) 1.515 2) 0.150 3) 0.015 5) 0.055

ای با سرعت گلوله -11oV ای که شیب آن از روی تپه ،با زاویه قائم نسبت به سطح تپه

نسبت به افق o60 شود. برد پرتابهاست شلیک می ،R برابر است ،

(1387 )ارشد فیزیک: با

1) g

v 2

04 2) g

v 2

034

3) g

v 2

032 5 )g

v 2

0

3

34

نسبت به سطح شیبداري كه خود با افق 𝛗و با زاویه ∘ ��اي با سرعت اولیه پرتابه -42

زاویهگردد. شلیك مي Oو از مبدا XOZزاویه مي سازد در صفحه

𝛗 چقدر باشد تا برد(𝐎𝐏 = 𝐑) ارشد ) این پرتابه بیشینه باشد؟

(1387ژئوفیزیک

1) φ = 45∘

2) φ = 45∘ −α

2

3) φ = 45∘ − α

OP)برد پرتابه ( 5 = R) بیشینه ندارد.

. اندازه سطح تپه پرتاب شده است، عمود بر ای مطابق شکلای از باالی تپهبهپرتا -43

چند 𝐯𝟎 سرعت اولیهs

m)از مقاومت هوا چشم پوشی شود و ؟است

5

3sin,75,10

2 mAB

s

mg

(1386)ارشد فیزیک (

1) 2

55

2) 10

3) 15

5) 20

،Aاند. تندی متحرک روی یک خط مستقیم به سمت یکدیگر در حرکت Bو Aدو متحرک -44

𝟏𝟔 𝒎

𝒔 B ،𝟖 و تندی متحرک

𝒎

𝒔است هر دو m 45ای که فاصله دو متحرک از هم است. لحظه

𝟐 با شتاب ثابت Aکنند. متحرک ترمز می𝒎

𝒔𝟐 𝟒 با شتاب Bو متحرک

𝒎

𝒔𝟐پس .کنندترمز می

Bکنند و تندی متحرک از چند ثانیه از شروع به ترمز، دو متحرک به یکدیگر برخورد می

(1386)ارشد فیزیک برخورد تقریبا کدام است؟ یدر لحظه

1) s 2.8 2 و صفر) s 13.2 و صفر

3) s 3 وs

m4 5) 5s و

s

m12

𝐲اي بر روي یك مسیر سهمي شكل به معادله ذره -45 =𝐱𝟐

𝟒كند. شتاب مماسي این حركت مي

𝐱یذره در نقطه = 𝟐 𝐦 و ئژارشد ) اك بین ذره و مسیر صرف نظر كنید.()از اصطككدام است؟

(1386فیزیک

1) g

2√2 2)

g

√2 3) g 5) g √2

را در غیاب نیروي مقاومت هوا به 𝐦𝟐را در حضور مقاومت هوا و گلوله 𝐦𝟏گلوله -46

ها . اگر ارتفاع نهایي گلولهكنیمتاب ميطور همزمان از سطح زمین به سوي باال پر

(1386و فیزیک ئژارشد )كدام گزینه درست است؟ ،باشد hیكسان و برابر

1) m1 زودتر به ارتفاعh 2 .رسدمي) m2 زودتر به ارتفاعh رسدمي.


28

گردد.زودتر به زمین باز مي m2 (5 .رسندمي hدو با هم به ارتفاع هر (3

𝐯 با تندی bای بر روی یک دایره به شعاع ذره -47 = 𝐜𝐭 که ،در حال حرکت استc عددی

، زاویه بین سرعت و شتاب ذره زمان است. پس از چه زمانی از شروع حرکت tثابت و 4

(1386و فیزیک ئژارشد )؟ است

1 )b

c 2 )

c

b 3)

b

c2 5 )

c

b2

خود دوران رزاویه دوران یک نقطه )برحسب رادیان( روی یک دیسک که حول محو -48

radtt یکند نسبت به زمان از رابطهمی

222 اگر فاصله این نقطه از آیدبدست می .

stشتاب خطی کل این نقطه در لحظه ،سانتی متر باشد 50محور دوران برابر 2 د متر چن

(1386)ارشد فیزیک پزشکی ؟بر مجذور ثانیه است

1) 50 2) 502 3) 2504 5) 252

ی را با زاویه mای به جرم گلوله دراختیار داریم. Dو عرض hچاهی به عمق -49o45

بار 20. این گلوله پس از کنیماز یک گوشه چاه پرتاب می 𝐯𝟎 نسبت به افق و با سرعت

چقدر D. حداقل مقدار شودهای چاه، از چاه خارج میبرخورد با دیواره

(1385)ارشد فیزیک ( چاه االستیک است یهگلوله و دیوار )برخورد بین؟ است

1) 20

h 2)

10

h

3) 5

h

5) h

به طور آزاد دو جسم به فاصله زمانی یک ثانیه ازحالت سکون و از ارتفاع مساوی -51

؟ رسدمتر می 10دو جسم به یفاصله ،ند ثانیه بعد از رها شدن جسم اول. چکنندسقوط می (1385و 1383)ارشد فیزیک پزشکی

1) 0.52 2) 1.52 3) 1.26

5) 0.48

. بزرگی رسدمی Bبه نقطه Aثانیه از نقطه 2متحرکی مطابق شکل مقابل در مدت -51

) شتاب متوسط متحرک در این مدت کدام است𝒎

𝒔𝟐)ارشد ؟(

(1385فیزیک پزشکی

3√ 5 (2 صفر (1

3) 5 5) 10 √3

و ctمعادله مسیر حرکت زنبور عسلی درمختصات قطبی به شکل -52ktber است کهc ،

b وk یاعداد ثابت مثبتی هستند. در لحظه t، ای کدام زاویه بردار مکان و سرعت لحظه

(1384ارشد فیزیک ) ؟است

1) cos−1 [𝑘2

(𝑘2+𝑐2)] 2) cos−1 [

𝑘𝑒𝑘𝑡

(𝑘2+𝑐2)12

]

3) cos−1 [𝑘

(𝑘2+𝑐2)12

] 5) cos−1 [𝑘𝑒−𝑘𝑡

(𝑘2+𝑐2)]

رسم Aیك دیسك كه در صفحه قائم قرار گرفته است در طول وترهایي كه از نقطه -53

اند، چندین شیار دارد )مطابق شكل(. چند جسم در این شیارها به طور همزمان از شده

كنند. زمان رسیدن هر یك از شروع به لغزیدن به طرف پایین مي Aنقطه


24

زاویه هر یك از شیارها با قطر a)آید؟ دست ميدیسك از كدام رابطه ب یه لبهب هاآن

AB وX شود و طول هر یك از وترها فرض شود. از اصطكاك و مقاومت هوا صرف نظر ميg (1384)ارشد فیزیک پزشکی شتاب ثقل است.(

1) t = √2X

g cosa 2) t = √

X

g cosa

3) t =2X

g cosa 5) t =

2X

2g cosa

رها cm 16دار بدون اصطکاکی با طول را از حالت سکون، از باالی سطح شیب Aجسم -54

. در همان لحظه که رسداز چهار ثانیه به انتهای سطح شیبدار میکنیم. این جسم پس می

را طوری از پائین بر روی سطح شیبدار به طرف باال پرتاب Bجسم ،شودرها می Aجسم

تا چه B. جسم به پائین سطح برسد Aن با جسم برگشت به طور همزما در کنیم کهمی

(1384)ارشد فیزیک پزشکی ؟رودبدار باال میحسب متر( بر روی سطح شی مسافتی )بر

1) 2 2) 4 3) 6 5) 8

از روي واگني كه با تندي ثابت -55𝐕𝟎

√𝟐اي با در جاده مستقیمي در حركت است، گلوله

𝛉و زاویه 𝐕𝟎 یسرعت اولیه𝟎

𝛉شود. زاویه ت به ناظر ساكن در واگن، پرتاب مينسب 𝟎

چقدر باشد تا از دید ناظر ساكن بر روي زمین، برد گلوله

(1381)ارشد فیزیک )سرعت واگن همواره ثابت است(شد؟ بیشینه با

1) θ0= 45∘ 2) tgθ

0=

1

√2

3) sinθ0− cosθ

0=

1

√2 5) cosθ

0− sinθ

0=

1

√2

اي شود. توپ در نقطهطور افقي پرتاب ميبه 40mاي از باالي برجي به ارتفاع گلوله -56

اي كه بردار سرعت با افق كند. زاویهمتر از پاي برج با زمین برخورد مي 80به فاصله

(GRE)آزمون از برخورد به زمین به دست آورید.سازد را درست قبل مي

1) 315° 2) 41°

°90 (5صفر (3

4) 82°

1فیزیک پایه : آنالیز برداری و حرکت1فصل

31

اولهای طبقه بندی شده فصل تستپاسخنامه تشریحی 1-8

«3»گزینه -1

زمان برابر است با تغییرات سرعت سطح زیر نمودار شتاب ـ

∆v = S = 11.5 m s⁄ ∆v = v − v0 ⇒ v = v0 + ∆v = −5 + 11.5 = 6.5 ms⁄

«1»گزینه -2

گیریم. چون شخص بـا قا یك ثانیه پس از آن در نظر ميشكل را براي یك زمان خاص و دقی

متـر vي پس از گذشت یك ثانیه به انـدازه كند،به طرف تیر چراغ برق حركت مي vسرعت

uبه چراغ نزدیك شده و سایه نیز به اندازه + v تر شده است.كوتاه

A′C′ = AC − v − u

B′C′ = BC − u

BCD ≃ ACE ⇒L′

L=AC

BC

B′C′D′ ≃ A′C′E′ ⇒L′

L=A′C′

B′C=AC−v−u

BC−u }

⇒ L′

L=AC

BC=AC−v−u

BC−u⟹

L′

L=u+v

u ⟹ L′ = L(

u+v

u)

«3» گزینه -3

[V] = [L

T] [t] = [T]

[V] = [α]13[t]

23⟹ [

L

T] = [α]

13[T]

23⟹ [α]

13 = [

L

T53

]

⟹ [α] = [L3

T5] = [L3T−5]

«1»گزینه -4

ي داخلي برابر است با ضرب سه گانه Cو Bو Aحجم متوازي السطوح متشكل از سه بردار

سه بردار.

A . B × C = |5 1 2−1 2 −1−3 3 1

| = 5(2 + 3) − 1(−1 − 3) + 2(−3 + 6) = 35

«2»گزینه -5

C' B'

D'

A'

E'

L'

L

B

D

C A

E

L'

L

Vrain = 5 ms⁄

54

𝜃

V0 = 36 km

h⁄ = 10 m s⁄


30

V rain − V0 سرعت باران نسبت به راننده :

V rain =5√2

2ms⁄ i −

5√2

2ms⁄ j

V 0 = +10ms⁄ i

سرعت نسبي = (5√2

2− 10) m s⁄ i −

5√2

2 m s⁄ j

)خواهـد پـس بایـد مقـدار راستاي قائم مـي ي راستاي بارش را باچون زاویه𝜋

2− θ) را

تعیین كنیم:

tan (π

2− θ) =

5√22− 10

−5√22

= 1 83⁄ ⟹π

2− θ = tan−1(1 83⁄ )

«3»گزینه -6

با استفاده از معادله مستقل از زمان ∶ {v12 − v0

2 = 2a (d

2) = ad

v22 − v1

2 = 2a (d

2) = ad

} ⇒ v12 − v0

2 = v22 − v1

2 ⇒ v02

= 2v12 − v2

2

v1 = at1 + v0

v2 = a(t1 + t2) + v0} ⇒ 2(at1 + v0)

2 − [a(t1 + t2)2 + v0]

2 = v02

2(a2t12 + 2at1v0 + v0

2) − a2(t1 + t2)2 − 2av0(t1 + t2) − v0

2 = v02

2a2t12 + 4at1v0 + 2v0

2 − a2(t1 + t2) − 2av0(t1 + t2) = 2v02

با انجام محاسبات جبری ∶ v0 =a(t1

2 − t22 − 2t1t2)

2(t2 − t1)

d =1

2a(t1 + t2)

2 + v0(t1 + t2) =1

2a(t1 + t2)

2 +a(t1

2 − t22 − 2t1t2)

2(t2 − t1)(t1 + t2)

d =a

2(t1 + t2) [(t1 + t2) +

t12 − t2

2 − 2t1t2t2 − t1

] =a

2

(t1 + t2)2t1t2t1 − t2

⟹ a =d(t1 − t2)

t1t2(t1 + t2)

«2»گزینه -7

پس راستای تندی هواپیمـا، ،وزدجنوب است و باد از شرق به غرب میچون راستای حرکت،

جنوب شرقی است.


32

v = v air + v wind

v air = (250 cos α)km

h⁄ i − (250 sin α)km

h⁄ j

v wind = −70km

h⁄ i

v = (250 cos α) km h⁄ i − (250 sin α)km

h⁄ j

باید صفر باشد. iی مربوط به است پس مولفه jفقط در جهت ( 𝑣)چون راستای حرکت

250 cos α − 70 = 0 ⟹ cos α =7

25

sin2 α + cos2α = 1 ⟹ sin α = 0 96⁄

v = (250 cos α − 70) km h⁄ i − (250 sin α)km

h⁄ j = −240km

h⁄ j

∆r = −480 km j

∆r = vt = −240 km h⁄ t j = −480km j ⟹ t = 2h = 120 min

«2»گزینه -8

v0y = v0 cos θ = 0.8v0

v0x = v0 sin θ = 0.6v0

AB = 75 cm = 0.75m

∆x = AB cos θ = 0.75 × 0.8 = 0.6m

∆y = AB sin θ = 0.75 × 0.6 = 0.45m

ها، حرکت با سرعت ثابت است. Xحرکت در راستای محور

∆x = v0xt ⟹ 0.6m = 0.6v0t ⟹ t =1

v0

ها، سقوط آزاد است. yحرکت در راستای محور

∆y =1

2gt2 + v0yt

−0.45m =1

2(−10 m

s2⁄) t2 + 0.8v0t

t=1

v0⇒ −0.45 =

−5

v02 + 0.1

⟹−5

v02 = −0.45 − 0.8 = −1.25 ⟹ v0

2 =−5

−1.25= 4 ⟹ v0 = 2

ms⁄

باشند.ها صحیح نمییک از گزینههیج -9

دهیم.)دیمانسیون( این سوال را پاسخ میبا استفاده از بعد


33

[c] = [m

s]،[G] = [

m3

s2 kg]،[h] = [

j

s] = [

kg m2

s3]

∶ گزینه 1 [m3

s2kg

m

s

s3

kg m2]

13

= [m2

kg2]

13

گزینه 2 ∶ [kg m2

s3m

s

s2kg

m3]

12

= [kg2

s2]

12

= [kg

s]

گزینه 3 ∶ [kgm2

s3s

m

s2kg

m3]

12

= [kg2

m2]

12

= [kg

m]

گزینه 4 ∶ [m3

s2kg

s

m

s3

kg m2]

13

= [s2

kg2]

13

«2»گزینه -11

d = AD + DC

sin θ =AB

BD=600

AD⇒ AD =

600

sin θ

tan θ =AB

BD=600

BD⇒ BD =

600

tan θ

CD = BC − BC = 800 −600

tan θ

AD = vfieldt1 = t1 × 1ms⁄ = t1⟹ t1 =

600

sin θ

CD = vroadt2 = 2ms⁄ × t2 = 2t2⟹ t2 = 400 −

300

tan θ

t1 + t2 =600

sin θ+ 400 −

300

tanθ (*)

d

dθ(t1 + t2) =

−600 cos θ

sin2 θ−300(1 + tan2 θ)

tan2 θ=−600 cos θ

sin2 θ−300

1cos2 θ

sin2 θcos2 θ

=−600 cos θ

sin2 θ−300

sin2 θ= 0 ⟹ cos θ = 0.5 ⟹ sin θ = 0.86 , tan θ = 1.73

با جایگذاری در رابطه(∗) ∶ t1 + t2 =600

0.86+ 400 −

300

1.73= 924.26 sec ≃ 15.33 min

«3»گزینه -11

در حالت اول:

v0 = −4ms⁄ i

سرعت بار نسبت به شخص:


39

v wind − v O = (vxwind − (−4))ms⁄ i + (vywind)

ms⁄ j

شود، پس:اول چون در راستای جنوب احساس میدر حالت

vxwind + 4 = 0 ⟹ vxwind = −4 ms⁄

vywidn < 0

در حالت دوم:

v0 = −8ms⁄ i

v wind :سرعت بار نسبت به شخص − v O = (−4 − (−8))ms⁄ i + vywind j

= 4m s⁄ i + vywind j

⟹ در حالت دوم راستا جنوب غربی است tan θ = −1 ⟹ vywind

4= −1 ⟹ vywind = −4

ms⁄

|vwind| = √vxwind2 + vywind

2 = √42 + (−4)2 = √32 = 4√2m s⁄

«2»گزینه -12

هـا را ی بـین آنی مربوط به ضرب داخلی دو بردار، زاویهتوان با استفاده از رابطهمی

پیدا کرد.

v 1. v 2 = |v1||v2|cosα

زاویه ی بین دو بردار است. αکه

v 1 + v 2 = v ⇒ v 12 + v 2

2 + 2v1v2cosα = v2

⇒ 4a2 + 9a2 + 12a2cosα = 16a2 ⇒ 12a2cosα + 3a2 ⇒ cosα =3

12α = Arc cos

1

4

«1»گزینه -13

عـد طـول تـوان بـه ب مـی 1ی ها، تنها با جایگذاری ابعاد در گزینهبا توجه به گزینه

رسید.

ħ: [JT] = [NLT] = [ML2

T] ; C: [

L

T]

G: [NL2

M2] = [

ML

T2L2

M2] = [

L3

T2M] ⇒ √

Għ

C3= √

[L3

T2M] [ML2

T]

[LT]3 = √

L5

T3

L3

T3

= [L]

«3»گزینه -14

{

vy = v0 sin θ

vx = v0 cos θ +v0

√2

. لـذا خـواهیم در نظر گرفت °45را αی باید زاویه ،آنکه برد بیشینه باشد حال برای

داشت:

tanα =vy

vx ⟹ tan45° = 1 =

v0 sin θ

v0 cos θ +v0√2

=sin θ

cos θ +1

√2

⟹ sin θ = cos θ +1

√2 ⟹ sin θ − cos θ =

1

√2

«2»گزینه -16


35

با استفاده از تحلیل ابعادي خواهیم داشت:

[s] = [k][a][A] ⟹J

K=J

K[a]L2⟹ [a] =

1

L2

بنابراین باید بررسي كنیم كه ؛از جنس عكس مجذور طول است aیعني ابعاد ضریب ثابت

است:ها از جنس عكس مجذور طول كدام یك از گزینه

: 1بررسي گزینه

[ℏ

Gc3] =

[ℏ]

[G][c]3=ML2 ×M. T × T2

T × L3 × L3=M2T2

L3


[c3

ℏG] =

[c]3

[ℏ][G]=L3 × T × M × T

T3 ×M. L2 × L3=1

TL2


[ℏGc3] = [ℏ][G][c]3 =ML2

T×L3

ML×L3

T3=L7

T5


[ℏG

c3] =

[ℏ][G]

[c]3=ML2 × L3 × T3

T × MT × L3= L2T

.است 2، گزینه [a]ترین گزینه به شبیه

هاي فوق از موارد زیر استفاده شده است.براي رسیدن به جواب

[G] =N. L2

M2=M.LT. L2

M2=L3

M. L

[c] =L

T; [ℏ] = J. S = N.ms = M

L

T2. L. T =

ML2

T

«2»گزینه -17

آزاد را طي خواهد كرد. چون از مقاومت هوا گلوله در هر بار حركت خود یك حركت سقوط

بنابراین مسافت طي شده و همچنین زمان طي مسیر در هر حركت رفت و ،صرف نظر شده است

برگشت توسط گلوله با هم برابر است.

برابر است با:مسیر در هر حركت یزمان ط

H =1

2gt2⟹ t = √

2H

g

كند. چون ارتفاع طي شده در حال تغییر است، ارتفاعي است كه گلوله طي مي H كه در آن

برابر خواهد بود با:زمان كل حركت باشد؛ لذامیطي مسیر نیز در حال تغییر زمان

T = √2h0g+ 2√

2h1g+ 2√

2h2g+⋯+ 2√

2hng

ضریب دو از جمله دوم به بعد به این دلیل استفاده شده است كه گلوله از ارتفاع دوم

خواهد كرد كه زمان آن دو برابر زمان رفت تنها مسیر رفت و برگشت را طي به بعد

√است. اگر 2h0

gآن به مجموع ك تتاعد هندسي خواهیم داشت كه حداضافه كنیم ی Tرا به

صورت حد تتاعد مورد نظر محاسبه كرده ه را ب Tتوانیم مي لذاراحتي قابل محاسبه است

√و در نهایت 2h0

g را از آن كم كنیم.

T = 2 √80

5+ 2√

0.36 × 80

5+ 2√

0.36 × 0.36 × 80

5+⋯+ 2√

(0.36)n × 80

5− √

80

5

Sبا توجه به رابطه =a

1−rقدر rجمله اول و aبراي حد مجموع تتادعد هندسي كه در آن

خواهیم داشت. ،نسبت تتاعد است


36

a = 2 √80

5= 2√16 = 8

T = 2 √80

5+ 2 × 0.6√

80

5+ 2 × 0.6√

80

5+⋯2 × 0.6√

80

5− √

80

5

بنابراین:

r = 0.6 ⟹ S =a

1 − r=2√805

1 − 0.6=8

0.4= 20 ; T = S − √

80

5= 20 − 4 = 16

«2»گزینه -18

به سمت Bها( و کشتی yبه سمت جنوب )در راستای محور Aبا توجه به شکل چون کشتی

با زمان x,yتوانیم با مشخص کردن تغییرات کنند میها( حرکت میXشرق )در راستای محور

فاصله دو کشتی در هر لحظه )برحسب زمان( را پیدا کنیم. با مشتق گرفتن از این

شود.ها نسبت به هم پیدا میای کشتیکمیت، سرعت لحظه

y = 48 − 24t x = 18t فاصله دو کشتی در هر لحظه برابر است با:

R = √x2 + y2 = √(18t)2 + (24 − 24t)2

= √(18)2t2 + (48)2 − 2(48)(24)t + (24)2t2

⇒ R = √(48)2 − (48)2t + t2[(24)2 + (18)2] ها در هر لحظه از مشتق فاصله نسبت به زمان به تندی نسبی کشتی

آید:دست می

v =dR

dt=−(48)2 + 2[(24)2 + (18)2]t

√(48 − 24t)2 + (18)22

t = 1h ⇒ v(1) =−(48)2 + 2[(24)2 + (18)2]t

√(24)2 + (18)22

=−2304 + 1800

√9002 =

−504

60= −8.4

km

h

شوند.عالمت منفی نشان دهنده این حقیقت است که دو کشتی به هم نزدیک می

«4»گزینه -19

گلوله ∶ v = (v0 cos θ)i + (v0 sin θ)j

sin 37° = cos و 0.6 37° = 0.8

آوریم. با توجه به شكل داریم:ميابتدا ارتفاع اولیه میمون نسبت به توپ را بدست

tan 37° =ارتفاع اولیه میمون

100=0.6

0.8 ⟹ = ارتفاع اولیه میمون نسبت به توپ 75 m (1)

در راستاي عمودي میمون قرار گیرد:كشد تا گلوله مدت زماني كه طول مي

x = (v0 cos θ)t ⟹ 100 = 20t ⟹ t = 5 s (2)

به بیشینه ارتفاع خود دست یابد: كشد تا گلولهمدت زماني كه طول مي

t´ =v0 sin θ

g=15

10= 105 s (3)

،برابر است هم با علت نبود اصطكاك( مدت زمان رفت و برگشته از آنجائیكه )ب

´2t)بنابراین مدت = 3 s) كشد تا گلوله به ارتفاع اولیه خود برسد و در مدت طول مي

˝t)زمان باقیمانده = 2 s) به اندازهy =1

2gt˝2 + (v0 sin θ)t˝ = 50 m بت به مكان توپ نس

آید.تر ميپایین

tشود، بنابراین در مدت چون میمون رها مي = 5 s به اندازه y =1

2gt2 = 125 m به نسبت

كند.كان اولیه خود سقوط ميم

125 − 75 = 50 m


37

t)میمون در این بازه زماني ،شودكه مشاهده مي همانگونه = 5 s ) 50 به اندازه m

5)بعد از كندرسد. بنابراین گلوله به میمون اصابت ميتر از ارتفاع توپ ميپایین

متري از مكان اولیه میمون(. 125 ثانیه و در فاصله

«1»گزینه -21

با توجه به این که در زمان باال رفتن گلوله نیروی مقاومت هوا با نیروی وزن هم جهت

،است ولی در زمان پایین آمدن گلوله نیروی مقاومت هوا در خالف جهت نیروی وزن است

رفتن از بزرگی نیروی خالص وارد بر بزرگی نیروی خالص وارد بر گلوله در طی باال لذا

شتاب حرکت در زمان باال رفتن بنابرایندن بیشتر خواهد بود. گلوله در طی پایین آم

از شتاب پایین آمدن بیشتر است و در نتیجه زمان طی مسیر برای باال رفتن کمتر از

پایین آمدن گلوله خواهد بود.

«3»گزینه -21

𝑅 =35

tan 4.3°=

35

0.075= 465.5

t =R

v=465.5

1300×3600

1000= 1.29 s

«3»گزینه -22

r = αt2 ⇒ r = 2αt ⇒ r = 2α , θ = θ0 cosωt ⇒ θ = −ωθ0 sinωt ⇒ θ = −ω2θ0 cosωt

یدر نقطه

2t داریم:

2rr

4r

2

2

,,

θ = 0 ; θ = −ωθ0 ; θ = 0 شتاب در دستگاه مختتات قطبي عبارت است از:فرمول

a = (r − rθ2)er + (2rθ + rθ)eθ

a (t =π

2ω) = (2α − (α

π2

4ω2) (ω2θ0

2)) er + ((2απ

ω) (−ωθ0) + (α

π2

4ω2) (0)) eθ

⟹ a = α {(2 −π2θ0

2

4) er − 2πθ0eθ}

4θ3π16

θπαθ4π)

4

θπ(2α|a| 22

44222

22

«4»گزینه -23

)(150)(1053.3

)(1020.25.25.2

335

3

3 ft

lb

ft

lb

cm

gr

«1»گزینه -24

، خـواهیم واحـد طـول دارد Sبا تحلیل ابعادي دو طرف رابطه و با توجه به ایـن كـه

داشت:


38

2

1

02

1 )()(

22 m

n

nm

nm

T

L

T

L

T

LL

nm

nmnm

«3»گزینه -25

ي شعاع انحناي یك ذره از رابطه22

2

va

v

آید. داریم:بدست مي

kjiitrvktjtitr

ˆ2ˆ3ˆˆˆ 223

در نتیجه:

26

326

491

418149

tt

ttvttv

jitra ˆ2ˆ6

: t = 1sبنابراین در

38

714

14

122240

14

«2»گزینه -26

شده به صورت زیر است:ي بیضي در دستگاه مختتات نشان داده معادله

222

2

2

2

2

99 19

ayxa

y

a

x (1)

اسـت )پرتـاب به صـورت زیــري مسیر آن دهد كه معادلهجسم نیز حركت پرتابي انجام مي

افقي(:

2

22

2

2

2x

V

gay

V

gxyy

(2)

این اي دیگر، ي داشته باشند و نه نقطهقتال Aي تنها در نقطه (2)و (1)شرط آنكه منحني

ي آنها بر هم جواب دیگري نداشته باشد. قاست كه تال2x بدسـت آورده (2)ي را از رابطه

:دهیمقرار مي (1)ي در رابطه و

22

22

2 99)(2

)(2

)2( ayyag

Vya

g

Vx

0]92

[2

9 222

2 aag

yV

g

yVy

بنابراین دلتاي آن صفر است. ؛داشته باشد y = aاین معادله فقط باید یك جواب

08118 0]92

[9][ 22

2

42

22

2

aag

V

g

Vaa

g

V

g

V

agagVagVgaagVV 39 0)9( 08118 22224

«1»گزینه -27

ي داده شده خواهیم داشت:با توجه به رابطه

3

1

223

3

2

3

23

2

73

2223 x

x

xxvaxvxxvvxv

: x = 8 m در


34

)(3

48

3

22

3

s

ma

«3»گزینه -28

زمان -زمان و مكان -باشد، معادله سرعت 1Vاگر سرعت شلیك گلوله از دهانه توپ

گلوله از دید ناظر ساحل به صورت زیر است:

sin

cos

1

1

VV

VVV

y

x

)2(sin2

1

(1) )cos(

1

2

1

tVgty

tVVx

است، لذا: (D,0)مختتات نقطه برخورد گلوله به هدف

)3( cos

)cos( )1(1

1

VV

DtVVD

)4( cos2

2

1sin )2( 1

1g

VtgtVy

DgVVVg

V

VV

D

sin2cos.sin2

sin2

cos )4(),3( 1

2

11

1

cos.sin8sin44 222 DgVacb

)1cot2

1(cossin2

sin

)cos.sin2(2

sin2cos.sin2sin2

22 2

22

1

V

DgVVDgV

a

b

a

bV

)1cot2

1(cos2 2

V

DgV

«1»گزینه -29

داریم: باالهاي نشان دهیم، با توجه به شكل bvنسبت به آب را با یققااگر سرعت

v0 = 36 km

h= 36 ×

5

18= 10

m

s

s

mv

v

vv

v

D

h

b

b

bb

310

3

10

10tan

3

10

300

1000tan

0

.، مشخص است كه جهت حركت قایق باید به سمت غرب باشد2توجه به شكل با

(1شكل )

(2شكل )


91

«2»گزینه -31

tan 45° =v

u ⇒ 1 =

v

5 ⇒ v = 5

m

s

،باشدا میهyسرعت قایق نسبت به آب در راستاي محور ،شكلطبق

= vدرنتیجه 5j.

«4»گزینه -31

از طرف هوا بر بالن وارد اي باشد كهباالبرندهشناور نیروي fگر ا

داریم: ،شودمي

اول:وضعیت

)( agMfMafMgMaF (1)

دوم:وضعیت

باشد، داریم: mاگر جرم كم شده از بالن

amMgmMfamMF )()()( (2)

(1) , (2) ⟹ 𝑚 = 2𝑀𝑎𝑔+𝑎

«3»گزینه -32

شوند:به زمان، بردارهای سرعت و شتاب حاصل میگیری از بردار مکان نسبت با مشتق

v =dr

dt=d

dt(t3i − 3t2j + 2tk) =

d

dt(t3i) +

d

dt(−3t2j) +

d

dt(2tk)

⇒ v = 3t2i − 6tj + 2k & a =d2r

dt2=dv

dt=d

dt(3t2i − 6tj + 2k) = 6ti − 6j

t اگر = 1s ⟹ {r = i − 3j + 2k → |r | = √1 + 9 + 4 = √14

a = 6i − 6j → |a | = √36 + 36 + 0 = √72

t یهدر لحظ aو rی بین دو بردار زاویهبرای بدست آوردن = 1s داخلیضرب ، از فرمول

کنیم، پس داریم:استفاده می دو بردار

cos θ = (a . r

|a ||r |)t=1

=axrx + ayry + azrz

√ax2 + ay

2 + az2 +√rx

2 + ry2 + rz

2

=6 × 1 + (−6) × (−3) + 0 × 2

√62 + (−6)2 + 02 +√12 + (−3)2 + 22=

24

√72 × 14

=2

√7 ⟹ θ = cos−1

2

√7

«1»گزینه -33

کنیم:حل میی بعد )دیمانسیون( بوسیله این سوال را


90

[v] = [k]32[t]

25 ⟹ [

m

s] = [k]

32[s]

25 ⟹ [

m

s]

23= [k][s]

415 ⟹ [k] =

[ms]

23

[s]415

⟹ [k] =[m]

23

[s]23[s]

415

⟹ [k] = [m]23[s]−

1415

«1»گزینه -34

روش حل کلی:

i)صفحه گذرنده از دو بردار یابتدا باید معادله -1 + j) و(j + k) را بدست بیاوریم

که نیازمندیم به:

آید(.بر صفحه )که از ضرب خارجی دو بردار فوق بدست میالف: بردار عمود

ب: یک نقطه موجود در صفحه )مختتات یکی از بردارها را به دلخواه به عنوان یک نقطه

گیریم(.موجود در صفحه در نظر می

ها در صفحه وجود دارد یا نه.بررسی اینکه آیا بردارهای یکه موجود در گزینه -2

i)ضرب داخلی بردار یکه در بردار سوم بررسی اینکه حاصل -3 + j + k) .صفر شود

بردار عمود بر صفحه برابر است با:

N = (i + j) × (j + k) = |i j k1 1 00 1 1

| = i − j + k

,𝑥0)یک نقطه موجود در صفحه y0, z0 ) :(1,1,0)

یا (0,1,1)}

ی صفحه:معادله

𝑁1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑁2(𝑦 − 𝑦0) + 𝑁3(𝑧 − 𝑧0) = 0 ⟹ 1(𝑥 − 0) + (−1)(𝑦 − 1) + 1(𝑧 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 :1گزینه

1

√2(i − k) =

1

√2(1 , 0 , −1)

گذاریم:ی بدست آمده میاین مقدار را در معادله صفحه1

√2[1 − 0 + (−1)] =

1

√2(0) = ی بدست آمده موجود است.این بردار یکه در صفحه ⟹ 0

i)این بردار یکه بر + j + k) :نیز عمود است

(i + j + k).1

√2(i − k) =

1

√2((1)(1) − (1)(0) − (1)(1)) = 0

«3»گزینه -35

جایی. پس کل تقسیم بر زمان کل جابه جاییسرعت متوسط عبارت است از: بردار جابه

داریم:

v =L

t1 + t2

𝑡1 شود؛ یعنی:ی اول مسیر طی میزمانی است که نیمه

t1 =x0v0=L2⁄

v0=L

2v0

داریم:𝑡2 ولی برای

{x1 = v1

t2

2

x2 = v2t2

2

⇒ x1 + x2 =L

2= v1

t2

2+ v2

t2

2⟹

L

2= (v1 + v2)

t2

2⇒ t2 =

L

V1+V2⟹ v =

LL

2V0+

L

V1+V2

=2V0(v1+v2)

V1+V2+2V0

«2»گزینه -36

داریم: R به شعاع xyی در صفحه ایمسیر دایرهبرای


92

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 مشتق→ 2��𝑥 + 2��𝑦 = 0 ⇒ 2𝑣𝑥𝑥 + 2𝑣𝑦𝑦 = 0 ⟹ 2𝑣𝑥𝑥 = −2𝑣𝑦𝑦 ⟹ 𝑦 = −𝑥 (

𝑣𝑥

𝑣𝑦) (Ι)

مشتق2

⇒ 2𝑣𝑥�� + 2𝑣��𝑥 + 2𝑣��𝑦 + 2𝑣𝑦�� = 0

⟹ 𝑣𝑥2 + 𝑎𝑥𝑥 + 𝑎𝑦𝑦 + 𝑣𝑦

2 = 0 ⟹ 𝑣2 = −(𝑎𝑥𝑥 + 𝑎𝑦𝑦) (ΙΙ)

(Ι) و (ΙΙ) ⟹ 𝑣2 = 𝑥(𝑎𝑦𝑣𝑥−𝑎𝑥𝑣𝑦

𝑣𝑦)

«4»گزینه -37

روش اول:

شعاع انحنای مسیر( شعاع خمیدگی مسیرتوان ثابت کرد که به راحتی می :نکته( 𝝆

𝝆ی از رابطه =𝐯𝟑

|�� ×�� |آید. این رابطه را به خاطر بسپارید. )این رابطه، به دست می

(کتاب مکانیک تحلیلی فولز اثبات شده است.در یکی از مسائل پایان فتل اول

در این تست داریم:

v = vxi + vyj = v0i − gtj ⟹ v = |v | = √v02 + g2t2 ⟹ |v 3| = v3 = √(v0

2 + g2t2)3 , a = −gj

v × a = |i j kvx vy vzax ay az

| = |i j kv0 −gt 00 −g 0

| = v0g k ⟹ |v × a | = v0g ⟹ ρ =v3

|v × a |=√(v0

2 + g2t2)3

v0g

صحیح است. 5پس گزینه

دوم )حل تستی(:روش

v0، پرتابه صفر باشد یکه سرعت اولیه فرض کنید = با ، یعنی سقوط آزاد ر دهد؛ 0

شود، شعاع انحنای ه به اینکه سقوط آزاد روی خط مستقیم و بدون انحناء انجام میتوج

صحیح است. 5 ی، تنها گزینههاپس با توجه به مخرج گزینه است، ∞مسیر

«1»گزینه -38

اگر به جای صورت مسئله تتور کنیم که پرتابه از روی سطح شیبدار به طور عمود بر

کند. لذا خواهیم داشت:شود، در اصل قضیه تغییری ایجاد نمیسطح شلیک می

{

y = −R sin 30 = −R

2

y = R cos 30 =√3

2R

, y = −gx2

2v2cos2α+ x tan α

⟹ −R

2= (√3

2R) (√3) −

g (34R2)

2v2 (14) ⟹ R =

4v2

3g (I)

ابط پایستگی انرژی داریم:از رو

1

2mv0

2 =1

2mv2 +mgy ⟹

1

2mv0

2 =1

2mv2 +mg (

R

2) ⟹ v0

2 = v2 + gR ⟹ v2 = v02 − gR (II)


93

(I) , (II) ⟹ R =4(v0

2 − gR)

3g ⟹ R (1 +

3

4) =

4v02

3g ⟹ R =

4v02

7g

«3»گزینه -39

را پرتاب یسرعت سنگ در لحظه و كنیممستقل از زمان استفاده یاز معادلهکافی است

را به سمت پایین و مبدأ مختتات را در بام ساختمان yسوي مثبت محور بدست آوریم.

كنیم.انتخاب مي

gyvv 222

)(4.146.2094.274484148.92)22( 2222

s

mvvvv

:كنیمرتفاع ساختمان را محاسبه ميزمان استفاده كرده و ا - مكان یاكنون از معادله

)(8.78)8.2(4.14)8.2(8.92

1

2

1 22 mtvgty

«3»گزینه -41

ثانیه است كه شامل یك حركت رفت و برگشتي 1كل زماني كه توپ در معرض دید بوده

سرعت توپ هنگام vثانیه زمان طي شده است. اگر 0.5پس در یك رفت )برگشت(، باشد.می

داریم: ،رسیدن به لبه پنجره باشد

vtvgty )5.0()5.0)(8.9(2

15.1

2

1 22

)(45.55.0

725.2)5.0(225.15.1

s

mvv

:كنیمارتفاع طي شده را محاسبه ميمستقل از زمان، كل یاكنون با استفاده از معادله

)( 515.1 8.92)45.5(0 2 222 mhhghvv

ته شده در صورت سؤال مقدار خواس ،اگر ارتفاع پنجره را ازكل ارتفاع طي شده كم كنیم

:آیدبدست مي

)(015.05.1515.1 mH

«2»گزینه -41

αزیر طبق شكل + θ =𝜋

2= θو چون 90° = αگیریم که است، پس نتیجه می 60° = باشد.می 30°

2

2

cos2 v

gxxtagy )معادلهی مسیر پرتابه(

60coscos RRX 60sinsin RRy

30cos2

60cos30tan60cos60sin

22

22

v

gRRR 34

2

g

vR

«2»گزینه -42

برابر صفر شود. 𝜑نسبت به زاویه Rیشینه شدن برد، كافي است مشتق ببراي

0)2cos(cos)cos(sin)sin( 0 cos

sin)cos(22

2

d

dR

g

vR

24

22

تمام زوایا در ربع اول


99

«4»گزینه -43

αبا توجه به شکل، چون =𝜋

2− θ باشد، داریم:می

sin

cos

cos2tan

22

2

ABy

ABx

v

gxxy

2

2

022

2

cot2

cotcossin

)2

(cos2

)cos()

2tan()cos(sin AB

v

g

v

ABgABAB

1625)3

4(75

2

10

3

4

5

4

5

3 22

2

vv

→ 𝑣0 = 20 (𝑚

𝑠)

«1»گزینه -44

B ⟵ vB: زمان توقف متحرک = aBtB + v0B⟹ 0 = −4(tB) + 8 ⇒ tB = 2 S

A ⟵ vA: زمان توقف متحرک = aAtA + v0A⟹ 0 = −2(tA) + 16 ⇒ tA = 8 S

باشد.عالمت شتاب کاهشی )کاهنده( مخالف عالمت سرعت متحرک می :توجه

t در Aمتحرك = 8 s متحرك وB در t = 2 s پس درشودمتوقف مي . t = 2 s متحركB متوقف

tشده )یعنی در = 2 s سرعت متحرکB شود صفر می𝑉B = همچنان در حال A متحرك (، اما0

.حركت است

قبل از توقف: Bمتحرک توسط یمسیر طی شده

∆XB =1

2aBtB

2 + V0BtB⟹ ∆XB =1

2(−4)22 + (8)(2) ⟹ ∆XB = 8m

X𝐴∆، باید مسیر Bبرای برخورد با متحرک Aمتحرک = 45 − 8 = 37m زمان را طی کند. پس

آید:به صورت زیر بدست می برخورد

∆XA =1

2aAtA

2 + V0AtA⟹ 37 =1

2(−2)tA

2 + 16tA⟹ tA = 2.8 s

«2»گزینه -45

y =x2

4 ⟹ y =

x

2 ⟹ x = 2 ⟹ y = 1

x ی شیب خط مماس بر منحني مسیر در نقطه = در این دست آمد. بنابراین ب 1برابر 2

θ ،نقطه = شود:تاب مماسي به طریق زیر محاسبه مياما ش .است ∘45

a = g cosθ =√2

2g =

g

√2

«2»گزینه -46

کنند. شتاب در هنگام باال رفتن و پایین آمدن، مسافت برابری را طی می m2و m1اجرام

m1 هنگام باال رفتن، منفی )کندشونده( و برابر باg+a و هنگام پایین آمدن، مثبت

باشد که شتاب ناشی از مقاومت هوا می aباشد. در اینجا می g-a)تندشونده( و برابر

m2همیشه در خالف جهت سرعت بوده و برای سادگی مقدارش ثابت فرض شده است. شتاب


95

و هنگام پایین آمدن، مثبت gهنگام باال رفتن، منفی )کندشونده( و برابر با

باشد.می gده( و برابر )تندشون

تر( است و لذا مدت بیشتري طول تر )كند شوندههنگام باال رفتن، منفي m1 شتاب جسم

رسد.زودتر مي m2برسد. پس hبه ارتفاع m1كشد تا مي

«2»گزینه -47

در 𝜃و r توانیم از بردارهاي یكه ه بر مسیر حركت مماس است. ميبردار سرعت هموار

𝜃ره همواره در راستاي بردار یكه ات قطبي تخت استفاده كنیم. سرعت ذمختتدستگاه

= v است. یعنی: ctθ .

مماسي و شعاعي است. یاي داراي دو مولفهاما شتاب در حركت دایره

a r = −v2

br , a θ =

dv

dt= cθ

a = a r + a θ = −v2

br + cθ

آنها استفاده م، از ضرب داخلي دست آوردین كه بردارهاي سرعت و شتاب را باكنو

آوریم:را بدست مي vو aكنیم. ابتدا طول بردارهاي مي

|v | = ct , |a | = (v4

b2+ c2)

12

a . v = |a ||v | cos θ θ=

π

4→ (cθ −

v2

br) . (ctθ) = (

v4

b2+ c2)

12

(ct) (1

√2)

⟹ c2t = (ct) (c4t4

b2+ c2)

12

(1

√2) ⟹ c2t = (ct) × c√

c2t4

b2+ 1(

1

√2)

⟹ 1 = (1

√2)√c2t4

b2+ 1 ⟹ √2 = √

c2t4

b2+ 1

⟹ 2 =c2t4

b2+ 1 ⟹

c2t4

b2= 1 ⟹ t4 =

b2

c2⟹ t2 =

b

c⟹ t = √

b

c

«3»گزینه -48

بهترین دستگاه برای توصیف حرکت آن، ،کندای حرکت میچون ذره روی یک مسیر دایره

مماسی است شعاعی و یدستگاه مختتات قطبی است. در این دستگاه شتاب دارای دو مؤلفه

آیند:که از روابط زیر بدست می

ar = r − rθ2 , at = 2rθ+ rθ

طرفی داریم: از

θ = 2t + 2t2 ⟹ θ = 2 + 4t ⟹ θ = 4 , r = 0.5 m = cons tant ⟹ r = 0 ⟹ r = 0

عبارتند از: t=2s یهای شعاعی و مماسی در لحظهبنابراین شتاب

ar = 0 + 0.5 (2 + 4 × 2)2 = 50

aθ = 0 + 0.5(4) = 2 :در نتیجه شتاب کل برابر خواهد بود با

a = √ar2 + aθ

2 = √(2)2 + (50)2 = √2504 (m

s2)

«2»گزینه -49

توان فرض سان است ميچون برخوردها كش .است دو بعدپرتابه در حركت ، مشابهاین حركت

و در راستاي D 20مسافت xاي وجود ندارد یعني گلوله در راستاي دیواره كرد كه اصال


96

y مسافت ،h حداقل مقدار كند.را طي ميD سرعت آید کهزمانی به دست می vy گلوله

.دوش برابر صفرخروج از چاه هنگام

(1) g

VtvgtVVgtV yv

yyy2

245sin

0

(2)

0

22045cos20

V

DttVDtVx ox

(3) ghvghvghvv yy 222

202

2

0

2

0

2

و سپس جایگزین کردن مقدار( 2( و )1معادله )با تساوی قرار دادن دو

v یمخواه

:داشت

(3) و (2) و (1) ⟹ 𝐷 =ℎ

10

«2»گزینه -51

کنیم.به سمت پایین اختیار میرا yسوی مثبت محور

برای جسم اول داریم:

y1 =1

2gt1

2 + y01 ⟹ ∆y1 =1

2gt1

2

برای جسم دوم داریم:

y2 =1

2gt2

2 + y02 ⟹ ∆y2 =1

2gt2

2 , t2 = t1 − 1 ⟹ ∆y2 =1

2g(t1 − 1)

2

∆y1 − ∆y2 = 10 ⟹ 1

2gt1

2 −1

2g(t1 − 1)

2 = 10 ⟹ gt = 10 +1

2g ⟹ t =

10 + 4.9

9.8= 1.52 s

«3»گزینه -51

برابر 𝑣𝐵و 𝑣𝐴ی بین زاویه ،را هم ارتفاع فرض كنیم Bو Aاگر نقاط 60 است. شتاب

متوسط از رابطه t

vva AB

||

آید.دست ميب

2

22 52

1010

2

11010210010060cos2||

s

ma

s

mvvvvvv BAABAB

«3»گزینه -52

{r = bekter ⇒ r = bke

kt

θ = cteθ ⇒ θ = c

:آیدی زیر بدست میاز رابطه قطبیسرعت در مختتات

V = rer + rθ eθ ⇒ V = bkekter + cbe

kteθ

cos θ =r . V

|r ||V |=

b2ke2kt

b2e2kt√k2 + c2=

k

√k2 + c2 ⟹ θ = cos−1(

k

(k2 + c2)12

)

«1»گزینه -53


97

را رد کنیم. زیرا هیچ یک از این 5و 3های توانیم گزینهاز همان ابتدا به راحتی می

به 2و 1های نیستند. از طرفی با مجذور کردن گزینهدو گزینه دارای دیمانسیون زمان

توان پاسخ صحیح را پیدا کرد:راحتی می

گزینه 1 ∶ t2 =2x

g cos a ⟹ 2x = gt2 cos a ⟹ x =

1

2gt2 cos a

گزینه 2 ∶ t2 =x

2g cos a ⟹ x = 2gt2 cos a

gهر جسمی که بر روی یکی از این شیارها قرار دارد، دارای شتابی برابر cos a .است

دهد.زمان درست را بدست می -، معادله مکان 1 یضوح معلوم است که گزینهبه و

«2»گزینه -54

انجامد. با توجه به ثانیه به طول مي 4بر روي سطح شیبدار، Bحركت رفت و برگشت جسم

را هنگام حركت به پایین سطح شیبدار پیدا كنیم. Aتوانیم شتاب جسم اطالعات مسئله مي

)(2816)4)((2

1

2

12

22

s

maaaxtvatxA

نیز خواهد بود. زیرا شتاب بر روي سطح شیبدار بدون اصطكاك Bاین شتاب، شتاب جسم

𝑔ی از رابطه sin𝜃 آن بستگي ندارد. زمان یشود و به جرم جسم یا سرعت اولیهمحاسبه مي

ثانیه است. بنابراین مسافت طي شده در این 2برابر Bحركت رفت )برگشت( براي جسم

حركت به راحتي قابل محاسبه است. توجه داشته باشید از آنجایي كه در حركت بازگشت

از حال سكون شروع به Bچون در برگشت جسم را برابر صفر قرار دهیم ) vتوانیم مي

ر برگشت را محاسبه كنیم. بدیهي است كه تر است كه مسافت طي شده دساده ،كند(حركت مي

این مسافت در هر دو حركت رفت و برگشت یكي است.

)(4)2)(2(2

1

2

1 22 mxtvatx BB

«3»گزینه -55

عبارتند از: های سرعت اولیه پرتاب نسبت به زمینمؤلفه

{V0x = V0 cos θ0 +

v0

√2V0y = V0 sin θ0

⟹tan α =V0y

V0x=

sinθ0

cos θ0 +1

√2

R ،برد پرتابهدانیم که می =V02sin2α

2gباشد )یعنی برد sin 2α =1است که وقتی بیشینه ،

αپرتابه، به ازای = شود(.بیشینه می 45°sinθ0

cos θ0 +1

√2

= tan 45° = 1 ⟹ sinθ0 − cos θ0 =1

√2

«1»گزینه -56

سینماتیك داریم:از

y =1

2gt2 و t = √2y g⁄ = √80 9.8⁄ = 2.86 s

x = vxt و vx =x

t=80

2.86= 28.0 m s⁄


98

vy2 − v0

2 = 2a(y − y0)

vy = −√2gy = −√2(9.8)40 = −28.0 m s⁄

θ = Arc tan [vy

vx] = 315°

لا لصف تکرح یرادرب زیلانآ€¦ · m 10−3 یلیم 106m اگم μ 10−6...

Documents