НАПРАВЛЕННЫЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР...

Направленный синтез оптимальных структур плоских механических систем…

Теория Механизмов и Машин. 2012. №2. Том 10. 77

УДК 621.01

В.И. ПОЖБЕЛКО

НАПРАВЛЕННЫЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР ПЛОСКИХ

МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СОВМЕЩЕННЫМИ ШАРНИРАМИ

(МЕХАНИЗМЫ, ФЕРМЫ, ГРУППЫ АССУРА, РОБОТЫ). Часть 1

Введение

Структурный синтез является начальным и наиболее ответственным этапом создания

будущих механизмов и машин и представляет сложную многовариантную задачу [1-16]. Со-

гласно работе [6, введение на стр.4] «структурный синтез – это обнаружение (раскрытие)

объективно существующих схем, которые удовлетворяют требуемым свойствам».

Рассматриваемый в данной работе структурный синтез заключается в проектировании

структурных схем статически определимых многозвенных механических систем, которые в

эксплуатации за счет самоустанавливаемости звеньев между собой исключают возможность

возникновения дополнительных нагрузок и повышенных напряжений из-за погрешностей

изготовления и сборки, а также температурных и упругих деформаций звеньев. Установлено

[1,2], что применение в машиностроении различных статически определимых механических

систем снижает трение и износ подвижных узлов, что повышает надежность их работы и

увеличивает в несколько раз срок службы механической системы. В научной монографии

проф. С.Н. Кожевникова [2] синтез статически определимых механических систем опреде-

лён, как «оптимальный структурный синтез механизмов».

1. Постановка и формализация задачи синтеза оптимальных структур механических

систем

Применяемые в различных областях техники и изучаемые в теории механизмов и ма-

шин разнообразные механические системы (механизмы, формы, структурные группы звень-

ев, роботы, манипуляторы и их приводы) представляют собой системы взаимодействующих

(взаимосвязанных между собой) звеньев посредством различных подвижных соединений

[1].

Основными компонентами строения рассматриваемых шарнирно-рычажных систем

являются многопарные звенья и их связи в виде совмещенных и простых шарниров, количе-

ственные соотношения между которыми являются основной структурной характеристикой

многозвенных механических систем. Далее (см. примечание в п. 2) будет показано, что

структурные зависимости, полученные в данной работе для систем, содержащих в общем

случае как простые, так и совмещенные шарниры – являются более общими по отношению

к частому случаю кинематических цепей [2-6] только с простыми шарнирами.

Для шарнирных соединений, где сходятся более двух звеньев, проф. С.Н. Кожевников

вводит термин «сложный шарнир», анализируя в своей работе [2, стр. 79 и 80] «… соотно-

шения М. Грюблера для цепей, имеющих простые шарниры – как систем, не имеющих

сложных шарниров…». Другой термин для таких шарнирных соединений – предложен

проф. Э.Е. Пейсахом в его работе [5, см. введение на стр. 3], где указано, что в составленном

им «атласе структурных схем всех восьмизвенных механизмов рассматриваются восьми-

звенные плоские рычажные механизмы с одной степенью свободы, с вращательными пара-

ми (шарнирами), при отсутствии совмещенных шарниров…». Полученные проф.

Э.Е. Пейсахом результаты автоматизированного синтеза плоских структур разнообразных 4-

х, 6-ти, 8-и, 10-ти, 12-ти и 14-тизвенных механических систем без совмещенных шарниров

(группы Ассура, фермы Баранова, цепи Грюблера, механизмы с одной степенью свободы),

выполненного на основании открытого им алгоритма компьютерного решения задачи поис-

ка неизморфных (неповторяющихся) структурных схем, представлены в его работах [4-7].

Синтез механизмов

http://tmm.spbstu.ru 78

Анализ научно-технической литературы показывает, что известные алгоритмы, про-

граммы и электронные каталоги плоских рычажных механизмов [3-9] воспроизводят их

схемы только с простыми (однократными) шарнирами и не содержат широко и эффективно

применяемые и машиностроении [1] разнообразные рычажные механические системы с со-

вмещенными (многократными) шарнирами, в которых за счет более простой конструкции

(одна общая ось, замена сложных многопарных звеньев на более простые двухшарнирные

звенья, меньшие габариты и вес) удешевляется изготовление; можно получить очень ком-

пактные механизмы и расширить функциональные возможности рычажных механизмов, а

также упростить их геометрические схемы и построения. В части 2 данной работы даны

примеры систем с совмещенными шарнирами, не имеющих альтернативы для разных облас-

тей техники.

Для формализации описания строения и синтеза механических систем оптимальной

структуры с учетом применения в них совмещенных шарниров используем полученные ав-

тором в работах [10 – 16] зависимости «Структурной математической модели механических

систем оптимальной структуры (VIP-модель)», представляющей собой совокупность (систе-

му) алгебраических структурных уравнений (1), (2), (3), (4) на основе следующих конечных

арифметических рядов проектных параметров:

1 2 3 4 2... 1Yn n n n n n W h Y h ; (1)

1 2 3 4 22 2 3 4 ... 2 2Yp n n n n Y n W hY h ; (2)

2 3 4 5 12 3 4 ... YY ; (3)

( 1) ( 1)W h n h p . (4)

Для синтеза оптимальных структур заданного уровня сложности Y поиск всех цело-

численных решений VIP-модели должен производиться внутри пространства ( Kji )

проектных параметров, ограниченного следующими неравенствами [16]:

Y2 ; 2Yi ; 1 Yj , (5)

содержащими единый цифровой структурный оператор Y :

npY ~ ; nYp ~ ; 1YK . (6)

В зависимостях (1) – (6) обозначено: Y – задаваемый уровень сложности син-

тезируемой механической системы [10], как основная количественная характеристи-

ка ее сложности, равная разности между общим числом подвижных соединений )( p

и общим числом образующих их звеньев )~(n (согласно (1) – (6) уровень сложности

Y полностью задает число и сложность всех структурных элементов системы, а

также число K – образуемых её звеньями взаимно независимых замкнутых конту-

ров; W – подвижность механической системы относительно одного из ее звеньев (в

работе [15] дана расширенная форма записи новой универсальной формулы W (3) –

для структурного анализа и синтеза любых систем с многоподвижными соединения-

ми звеньев, гибкими и динамическими связями [2], [10], [11], [13]); h – число сте-

пеней свободы звеньев в составе данной механической системы (например, 2h –

плоские клиновые механизмы; 3h – плоские шарнирно-рычажные и пространст-

венные сферические механизмы и фермы; 6h – пространственные шарнирно-

рычажные механизмы и фермы); innnnn ,...,,,, 4321 соответственно число однопар-

ных (одношарнирных), двухпарных (двухшарнирных), трехпарных (трехшарнирных)



и т.д. i парных звеньев в составе механической системы (c учетом опорного осно-

вания – стойки); i число отверстий под оси шарниров на данном звене кинематиче-

ской цепи; приведенное число совмещенных многократных шарниров в составе

механической системы ( 2 двойных, 3 тройных и т.д. j кратных); 2j – крат-

ность шарниров. Универсальность VIP – модели (1), (2), (3), (4) заключается в ее применимости для

описания строения, синтеза и анализа механических систем как с совмещенными шарнира-

ми любой кратности j (это общий случай 0 ), так и вообще без них (частный случай

0 ).

Таким образом, предлагаемая формализация решаемой в данной работе задачи синтеза

оптимальных структур механических систем (содержащих в общем случае как простые, так

и совмещенные шарниры), заключается в установлении закономерностей строения безызбы-

точных систем (в виде теорем) и использовании «Структурной математической VIP-модели»

(1), (2), (3), (4) для поиска всех целочисленных решений с целью определения состава иско-

мых оптимальных структур (в виде конкретных наборов jin , ) и построения разнообразных

механических систем различного уровня сложности Y -1;0; 1; 2;… с заданным набором

совмещенных шарниров.

Рассматриваемые в данной работе плоские статически определимые механические

системы могут содержать 0 (или вообще не содержать 0 ) различные совмещенные

шарниры и состоят из звеньев с 3 степенями свободы ( h =3), которые посредством однопод-

вижных соединений ( H 1) образуют замкнутые, незамкнутые или разомкнутые кинемати-

ческие цепи соответственно одноподвижных (W =1) или многоподвижных (W >1) механиз-

мов; ферм и групп Ассура (W =0) или одноруких и многоруких роботов со схватами

(W >>1).

2. Теоремы о закономерностях строения и универсальные таблицы кодов статически

определимых механических систем

Математические выражения рассматриваемых четырех теорем получаются из совме-

стного решения структурных зависимостей (1) – (6) и устанавливают необходимые соотно-

шения структурных параметров шарнирно-рычажных механических систем разного уровня

сложности, обеспечивающие при их синтезе требуемую оптимальную структуру (без вред-

ных контурных избыточных связей и без неуправляемых лишних подвижностей) с учетом

применения в них совмещенных шарниров различной кратности.

Теорема 1. Кинематические цепи без избыточных связей должны содержать не более

maxK взаимно независимых замкнутых контуров, образуемых n~ звеньями цепи:

;2...322

112321max

WnYnnnh

K Y .1~ hYhWn (I)

Cледствие. Плоские механические системы ( 3h ) оптимальной структуры с нечёт-

ным W 1; 3; 5; … должны содержать чётное число звеньев n~ 4; 6; 8; 10; 12;…, а систе-

мы ( 3h ) с чётным W 0; 2; 4; … – должны, наоборот, содержать нечётное число звеньев

n~ 3; 5; 7; 9; … и т.д. (включая стойку).

Теорема 2. Кинематические цепи с изменяемыми замкнутыми контурами без избы-

точных связей должны содержать не менее min2n двухпарных (двухшарнирных) звеньев,

рассчитываемых по формуле:



.1...32133 2654min2 WhnYnnnYhWn Y (II)

Следствие. Простейшие ( 1,1 KW ) безызбыточные плоские механизмы

( 0,3 h ) должны содержать 413~2 Whnn звена, а пространственные ме-

ханизмы ( 6h ) – содержать 716~2

Whnn звеньев.

Теорема 3. В замкнутых статически определимых кинематических цепях разного

уровня сложности ( 1Y ) число in наиболее сложных многопарных (многошарнирных)

звеньев ( 23 Yi ) ограничено пределами, зависящими от приведенного числа при-

меняемых в цепи совмещенных шарниров

Y

ni

Yn

Yi

20

2

20

2 (III)

и согласно (III) должно быть не более одного – в структуре цепей с совмещенными шарни-

рами ( 0 ), и не более двух – в структуре цепей без совмещенных шарниров ( 0 ); а

приведенное число совмещенных шарниров кратностью 12 Yj из условия 0in

(III) должно быть ограничено пределами:

.2...320 1432 YY Y (7)

Следствие. При структурном синтезе безызбыточных n~ -звенных кинематических

цепей число сложных многопарных (многошарнирных) звеньев ( ;~nni 23 Yi )

должно быть ограничено в следующей прямой зависимости от задаваемого уровня сложно-

сти цепи ( 1Y ):

;20 3 Yn ;0 4 Yn ;2

20 5 Y

i

Yni

,1;0002

Yn .2;1;0002

Yn (8)

Теорема 4. В структурах статически определимых шарнирно-рычажных механических

систем ( 3h ) должно выполняться следующее уравнение количественного баланса между

разными многопарными (многошарнирными) звеньями и совмещенными шарнирами:

.3...21...2213225421

WYnYnnnn YY (IV)

Следствие. Уравнение правильности структуры с реализацией баланса (IV) для пло-

ских шарнирно-рычажных механических систем ( 3h ) имеет вид определителя D целевой

функции синтеза оптимальных структур:

,031...322 265421 WnYnnnnnD Y (9)

ненулевая величина которого показывает при диагностике структуры данной системы – ко-

личество возникающих в замкнутых контурах кинематической цепи избыточных связей

(случай 0D ) или количество лишних неуправляемых степеней свободы (случай 0D ).

Аналитические зависимости теорем (I), (II),(III), (IV) можно представить в более ко-

роткой форме записи слагаемых конечных арифметических рядов:



1 2

2 3 4 1 1 2 3 22 1

2 1

1 2 3 21 2

2 3 ... 1 ; ... ;

2 3 ... 2 1 ;

Y Y

Y j Y ij i

Y Y

Y i ji j

Y j n n n n n

n n n Y n in j

.31...322

4

2654 i

Y

i

Y ninYnnn

(10)

Совокупность аналитических зависимостей (I), (II), (III), (IV) дополняет структурные

уравнения (1), (2), (3), (4) математической модели для синтеза оптимальных структур разно-

образных многозвенных механических систем разного уровня сложности Y , все целочис-

ленные решения которой определяют коды их правильного строения с искомыми набора-

ми проектных параметров вида:

....

......

15432

2432124321

Y

YY nnnnnnnnnn

(11)

Представленный в систематизированных по горизонтали ( ) и вертикали

( 65432 ,,,, nnnnn ) расчетных структурных таблицах (табл. 1, табл. 2, табл. 3, табл. 4,табл. 5)

полный перечень возможных стандартных кодов строения и наборов совмещенных шарни-

ров отражает весь массив полученных по компьютерным программам целочисленных реше-

ний системы уравнений (I), (II), (III), (IV) с обязательным учетом ограничительных нера-

венств (7) и (8). Данный перечень охватывает всё возможное многообразие реализующих

целевую функцию D =0 (9) n~ -звенных кинематических цепей ( 144~ n ) одноподвиж-

ных ( 1W ), двухподвижных ( 2W ) и трехподвижных ( 3W ) механизмов; а также

шарнирных стержневых ферм ( 0W ) оптимальной структуры.

Примечание. Все без исключения разряды в каталогах проф. Э.Е. Пейсаха [4],[5],[6]

(рассчитанные для частного случая цепей только с простыми шарнирами 0 ) – совпада-

ют с расчетными цифрами стандартных кодов в универсальной структурной таблице 1 для

0 (см. п. 2) (что подтверждает их абсолютную полноту и достоверность); а общие зави-

симости (II) и (III) в этом частном случае (т.е. для механизмов без совмещенных шарниров)

– вырождаются в известные [2, с. 106] ограниченные соотношения теорем Грюблера.

3. Структурный синтез систем оптимальной структуры с совмещенными шарнирами

Направленный структурный синтез статически определимых механических систем

разного назначения (механизмы, фермы, группы Ассура, роботы и манипуляторы) заключа-

ется в создании безызбыточных систем по кодам их правильного строения, полный набор

которых (для обоих случаев – 0 и ,0 где Y2 ) представлен в универсальных

структурных таблицах 1, 2, 3, 4, 5 и удовлетворяет всем теоремам 1, 2, 3, 4 и следствиям из

этих теорем (I), (II), (III), (IV).



Т а б л и ц а 1

Универсальная структурная таблица

расчетных стандартных кодов правильного строения одноподвижных механизмов

W = 1, h = 3, H = 1

Y = 0 Y = 1 Y = 2

( n~ =4) ( n~ =6) (9 кодов строения n~ =8)

0 0 1 2 0 0 0 1 1 2 2 3 4

n2 4 4 5 6 4 5 6 5 6 6 7 7 8

n3 – 2 1 0 4 2 0 3 1 2 0 1 0

n4 – – – – 0 1 2 0 1 0 1 0 0

Y = 3 (23 кодов строения n~ = 10)

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6

n2 4 5 6 6 7 7 8 5 6 7 7 8 6 7 8 8 7 8 9 8 9 9 10

n3 6 4 2 3 0 1 0 5 3 1 2 0 4 2 0 1 3 1 0 2 0 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0

n5 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

W = 1, h = 3, H = 1


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n2 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 10 5 6 7 7 8 8 8 9 9 9 10

n3 8 6 4 5 2 3 4 0 1 2 2 0 0 1 0 7 5 3 4 1 2 3 0 1 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 4 2 0 1 1 2 0 0 0 1 2 0 3 1 0 2 0 1 0

n5 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1

n6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1

Y = 4 (продолжение)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8

n2 6 7 8 8 9 9 9 10 10 7 8 9 9 10 10 8 9 10 10 11 9 10 11 10 11 11 12

n3 6 4 2 3 0 1 2 0 0 5 3 1 2 0 1 4 2 0 1 0 3 1 0 2 0 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0

n5 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

n6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Обозначения в таблице 1:

Y – уровень сложности плоского одноподвижного механизма (W = 1);

– приведенное число совмещенных шарниров (см. таблицу 2);

n~ – общее число звеньев механизма (включая стойку);

n2 – число двухшарнирных звеньев;

n3 – число трехшарнирных звеньев;

n4 – число четырехшарнирных звеньев;

n5 – число пятишарнирных звеньев;

n6 – число шестишарнирных звеньев




Полный состав стандартных наборов совмещенных шарниров

замкнутых кинематических цепей разного уровня сложности

ν = ν2 + 2ν3 + 3ν4 + 4ν5 + . . . + Y· νY+1≤ 2Y; jmax = Y+1

Y Y=0, K=1 Y=1,K=2(ν max=2) Y = 2, K = 3 (ν max = 4; jmax = 3)

ν ν = 0 ν = 0 ν = 1 ν = 2 ν = 0 ν = 1 ν = 2 ν = 3 ν = 4

ν2 – 0 1 2 0 1 0 2 1 3 0 2 4

ν3 – – 0 0 1 0 1 0 2 1 0

Y Y = 3, K = 4 (ν max = 6; jmax = 4)

ν 0 1 ν = 2 ν = 3 ν = 4 ν = 5 ν = 6

ν2 0 1 0 2 0 1 3 0 1 4 0 1 2 3 5 0 1 2 3 4 6

ν3 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0

ν4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0

Y Y = 4, K = 5 (ν max = 8; jmax = 5)

ν ν = 0 ν = 1 ν = 2 ν = 3 ν = 4 ν = 5

ν2 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1 2 4 0 1 1 2 3 5

ν3 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0

ν4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

ν5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Y Y = 4, K = 5 (продолжение)

ν ν = 6 ν = 7

ν2 0 0 0 1 2 2 3 4 6 0 0 1 1 1 2 3 3 4 5 7

ν3 0 1 3 1 0 2 0 1 0 0 2 0 1 3 1 0 2 0 1 0

ν4 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0

ν5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

Y Y = 4, K = 5 (продолжение)

ν ν = 8

ν2 0 0 0 1 1 2 2 2 3 4 4 5 6 8

ν3 1 2 0 0 2 1 0 3 1 0 2 0 1 0

ν4 2 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0

ν5 0 1 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0


Y – уровень сложности механической системы;

K – число образуемых звеньями кинематической цепи взаимно независимых

изменяемых замкнутых контуров;

ν – приведенное число совмещенных шарниров;

j – кратность совмещенных шарниров;

ν2, ν3, ν4, ν5 – соответственно число совмещенных двойных (двухкратных),

тройных (трехкратных), четырехкратных и пятикратных шарниров





расчетных стандартных кодов правильного строения двухподвижных механизмов

W = 2, h = 3, H = 1

Y = 0 Y = 1 Y = 2


0 0 1 2 0 0 0 1 1 2 2 3 4

n2 5 5 6 7 5 6 7 6 7 7 8 8 9

n3 – 2 1 0 4 2 0 3 1 2 0 1 0

n4 – – – – 0 1 2 0 1 0 1 0 0


0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6

n2 5 6 7 7 8 8 9 6 7 8 8 9 7 8 9 9 8 9 10 9 10 10 11

n3 6 4 2 3 0 1 0 5 3 1 2 0 4 2 0 1 3 1 0 2 0 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0

n5 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

W = 2, h = 3, H = 1


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n2 5 6 7 7 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11 6 7 8 8 9 9 9 10 10 10 11

n3 8 6 4 5 2 3 4 0 1 2 2 0 0 1 0 7 5 3 4 1 2 3 0 1 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 4 2 0 1 1 2 0 0 0 1 2 0 3 1 0 2 0 1 0

n5 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1

n6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1


2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8

n2 7 8 9 9 10 10 10 11 11 8 9 10 10 11 11 9 10 11 11 12 10 11 12 11 12 12 13

n3 6 4 2 3 0 1 2 0 0 5 3 1 2 0 1 4 2 0 1 0 3 1 0 2 0 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0

n5 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

n6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0


Y – уровень сложности плоского двухподвижного механизма (W = 2);












расчетных стандартных кодов правильного строения трехподвижных механизмов

W = 3, h = 3, H = 1

Y = 0 Y = 1 Y = 2


0 0 1 2 0 0 0 1 1 2 2 3 4

n2 6 6 7 8 6 7 8 7 8 8 9 9 10

n3 – 2 1 0 4 2 0 3 1 2 0 1 0

n4 – – – – 0 1 2 0 1 0 1 0 0


0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6

n2 6 7 8 8 9 9 10 7 8 9 9 10 8 9 10 10 9 10 11 10 11 11 12

n3 6 4 2 3 0 1 0 5 3 1 2 0 4 2 0 1 3 1 0 2 0 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0

n5 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

W = 3, h = 3, H = 1


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n2 6 7 8 8 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 7 8 9 9 10 10 10 11 11 11 12

n3 8 6 4 5 2 3 4 0 1 2 2 0 0 1 0 7 5 3 4 1 2 3 0 1 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 4 2 0 1 1 2 0 0 0 1 2 0 3 1 0 2 0 1 0

n5 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1

n6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1


2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8

n2 8 9 10 10 11 11 11 12 12 9 10 11 11 12 12 10 11 12 12 13 11 12 13 12 13 13 14

n3 6 4 2 3 0 1 2 0 0 5 3 1 2 0 1 4 2 0 1 0 3 1 0 2 0 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0

n5 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

n6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0


Y – уровень сложности плоского трехподвижного механизма (W = 3);












расчетных стандартных кодов правильного строения статически определимых ферм

W = 0, h = 3, H = 1

Y = 0 Y = 1 Y = 2


0 0 1 2 0 0 0 1 1 2 2 3 4

n2 3 3 4 5 3 4 5 4 5 5 6 6 7

n3 – 2 1 0 4 2 0 3 1 2 0 1 0

n4 – – – – 0 1 2 0 1 0 1 0 0


0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6

n2 3 4 5 5 6 6 7 4 5 6 6 7 5 6 7 7 6 7 8 7 8 8 9

n3 6 4 2 3 0 1 0 5 3 1 2 0 4 2 0 1 3 1 0 2 0 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0

n5 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

W = 0, h = 3, H = 1


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n2 3 4 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9

n3 8 6 4 5 2 3 4 0 1 2 2 0 0 1 0 7 5 3 4 1 2 3 0 1 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 4 2 0 1 1 2 0 0 0 1 2 0 3 1 0 2 0 1 0

n5 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1

n6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1


2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8

n2 5 6 7 7 8 8 8 9 9 6 7 8 8 9 9 7 8 9 9 10 8 9 10 9 10 10 11

n3 6 4 2 3 0 1 2 0 0 5 3 1 2 0 1 4 2 0 1 0 3 1 0 2 0 1 0

n4 0 1 2 0 3 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0

n5 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

n6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0


Y – уровень сложности плоской стержневой фермы (W = 0);


n~ – общее число шарнирных звеньев фермы (включая стойку);








Данный табличный метод структурного синтеза является более полным и результа-

тивным по сравнению со “cлепым” поиском одиночных структурных решений, так как таб-

лицы 1, 2, 3, 4 и 5 наглядно содержат все возможные варианты состава оптимальных струк-

тур (в виде наборов jin ) – для их практической реализации в технике. Конкретный вы-

бор одного из указанного в таблицах 1, 2, 3, 4 и 5 множества стандартных кодов зависит от

задаваемой проектантом совокупности входных параметров структурного синтеза – допус-

тимого уровня сложности проектируемой системы Y и общего числа её звеньев n~ при

требуемой её подвижности ,W а также максимально допустимой сложности используемых

звеньев )2( max Yi и предельной кратности совмещенных шарниров ( ),1max Yj при-

меняемых для сборки этих звеньев в кинематической цепи проектируемой механической

системы.

Представленные в структурных таблицах 1, 2, 3, 4, 5 стандартные коды правильного

строения и стандартнее наборы совмещенных шарниров могут быть использованы для на-

правленного структурного синтеза многозвенных механических систем с целевой функцией

0 (9)D (как содержащих совмещенные шарниры – ,0 так и без них – 0 ) при сле-

дующих различных вариантах задания исходных данных (входные параметры синтеза):

а) синтез систем заданного уровня сложности ( ,0Y 1; 2; 3; 4);

б) синтез механических систем заданной подвижности ( ;0W 1; 2; 3);

в) синтез систем с заданным общим числом взаимно независимых замкнутых конту-

ров, образуемых звеньями кинематической цепи ( ;11 YK 2; 3; 4; 5);

г) синтез систем с заданным общим числом звеньев кинематической цепи ( ;3~ n 4; 5;

6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14);

д) синтез систем с заданной максимально допустимой сложностью применяемых

звеньев – по наибольшему числу шарниров на одном звене ( ;22max Yi 3; 4; 5; 6);

е) синтез систем с заданной максимальной кратностью совмещенных шарни-

ров( ;21Yj 3; 4; 5);

ж) синтез систем с заданным числом совмещенных шарниров определенной кратно-

сти, например 2j ( ;12 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8);

з) синтез систем с заданным набором совмещенных шарниров разной кратности для

сборки всех звеньев цепи ( 5432 ,,, );

и) синтез механических систем с заданным числом звеньев с определенным числом

шарниров в составе синтезируемой кинематической цепи (например, двухшарнирных в диа-

пазоне ;14...32 n трехшарнирных в диапазоне ;8...03 n четырехшарнирных в диапазоне

;4...04 n пятишарнирных: ,05 n ,15 n ;25 n шестишарнирных: ,06 n 16 n ,

26 n ).

4. Реализация целевой функции синтеза оптимальных структур

На рисунках 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и 9 представлены алгоритмы и некоторые результаты

направленного структурного синтеза (по теоремам (I), (II), (III), (IV) и универсальным

структурным таблицам 1, 2, 3, 4, 5) разнообразных статически определимых плоских меха-

нических систем с совмещенными шарнирами – в виде замкнутых, разомкнутых и незамк-

нутых кинематических цепей одно- и многоподвижных механизмов, шарнирных стержне-

вых ферм, групп Ассура, а также одноруких и многоруких роботов и манипуляторов.

На рис. 1 представлен составленный по кодам из таблицы 1 для 6~ n ( ,02 ,12

22 ) атлас шестизвенных кинематических цепей, показывающий, что их число за счет

применения двойных шарниров увеличивается с двух (6Ц1 и 6Ц2 – известных, как цепь



Стефенсона и цепь Уатта) до четырех (добавляются цепи 6Ц3 – с одним двойным шарниром

и 6Ц4 – с двумя двойными шарнирами). Применяемая на рис. 1 маркировка звеньев цепи и

соответствующих им вершин графа через цифру i ( 2i для двухшарнирного звена,

3i для трехшарнирного и т.д.) позволяет выделить на граф-схеме совмещенные шарни-

ры (толстым кружком) и установить неизоморфность этих цепей.

На рис. 2 представлен составленный из цепей 6Ц3 и 6Ц4 (при различном выборе в них

стойки и входного звена) атлас шестизвенных механизмов, устанавливающий существова-

ние 14 структурных схем с совмещенными одним или двумя шарнирами. Наряду с 11

обычными сборками звеньев (6М1 – 1, 6М2 – 1, 6М3 – 1, 6М4 – 1, 6М5 – 1, 6М6 – 1, 6М7 – 1,

6М8 – 1, 6М9 – 1, 6М10 – 2, 6М11 – 2) в состав этого атласа включены еще 3 (6М12 – 1,

6М13 – 1, 6М14 – 1) парадоксальных кривошипных сборки «Параллелограммного рычажно-

го механизма В.И. Пожбелко» ( Patent RU 2246056 ) [14] , [17], в котором одно из формально

подвижных при монтаже звеньев при его движении остается кинематически неподвижным

(относительно стойки) без приложения к нему тормозного момента (т.е. возникает так назы-

ваемый [17] своеобразный “кинематический тормоз”).

Таким образом, за счет применения совмещенных шарниров диапазон шестизвенных

шарнирных механизмов существенно увеличивается – с ранее установленного существова-

ния только 9 схем с простыми шарнирами [6] до 9 + 14 = 23 схем неизоморфных однопод-

вижных механизмов первого уровня сложности ( 1Y ) c применением для сборки их

звеньев одного или двух совмещенных двойных шарниров (что подтверждает предваритель-

ный вывод [16] о возможности расширения в несколько раз этого диапазона).

На рис. 3, 4 и 5 представлены алгоритм и некоторые результаты синтеза оптимальных

структур одно-, двух- и трехподвижных механизмов, а также ферм (например, семизвенных

двухпролетных мостов по коду 430/1 на рис. 5, в общее число n~ звеньев которых входит и

опорное основание моста), относящихся к механическим системам 1-го, 2-го, 3-го и 4-го

уровней сложности ( ;1Y ;2Y ;3Y 4Y ) с общим числом звеньев, определяемым

кодами строения из соответствующих таблиц 1, 2, 3, 4, 5 – в зависимости от заданной вели-

чины Y и .W

На рис. 6 представлены особые группы Ассура с различным числом звеньев и двой-

ных шарниров, синтезированные путем размыкания кинематических цепей ферм (предвари-

тельно построенных согласно алгоритму на рис.5 по соответствующим кодам строения из

табл. 5).

На рис. 7 представлены алгоритм и результаты синтеза оптимальных структур одно-

подвижных механизмов с заданными наиболее сложными (трехшарнирными) звеньями и

совмещенными (двойными) шарнирами. Этим исходным данным ( ,3max i 2max j ) в базо-

вой универсальной структурной таблице 1 выборочно удовлетворяют всего 20 кодов строе-

ния, реализованных в схемах на рис. 7 и охватывающих кинематические цепи с ;6~ n 8; 10;

12, содержащие ;42 n 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11, ;13 n 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 и ;02 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Из представленных на рис. 7 разных 20 схем только 4 схемы ( 42/0, 440/0, 4600/0, 48000/0 )

выполнены с простыми шарнирами, а остальные 16 дополнительных схем содержат совме-

щенные двойные шарниры – таким образом, только за счет применения двухкратных шар-

ниров диапазон оптимальных структурных решений можно расширить в 5 раз.

На рис. 8 и 9 представлены алгоритм и некоторые результаты структурного синтеза на

основе уравнений теоремы (IV) и целевой функции синтеза оптимальных структур (9) – про-

стых и сложных незамкнутых кинематических цепей одноруких и многоруких роботов и

манипуляторов с применением в их схемах совмещенных шарниров различной кратности. В

схемах на рис. 8 и 9 стойка входит в общее число n~ звеньев робототехнической системы.



6Ц1 6Ц2 6Ц3 6Ц4

042

2

32

nn

042

2

32

nn

151

2

32

nn

260

2

32

nn

Рис.1. Атлас шестизвенных неизоморфных кинематических цепей (с простыми и совме-

щенными шарнирами) и маркированные граф-схемы их строения

6М1–1 6М2–1 6М3 –1 6М4 –1 6М5 –1 6М6 –1

6М7 –1 6М8 –1 6М9 – 1 6М10 –2 6М11 –2

6М12 –1 6М13 –1 6М14 –1

Рис. 2. Атлас структурных схем шестизвенных плоских одноподвижных шарнирных ме-

ханизмов с совмещенными шарнирами



Уровень сложности

Состав

цепи

Структурная

схема Код строения

Y = 1 (K = 2, 6~ n )

52n

13n

12

151

2

32

nn

Y = 2 (K = 3, 8~ n )

а) 62n

23n

22

a)2

620

2

432

nnn

б)4

800

2

432

nnn

б) 82n

42

Y = 3 (K = 4, 10~ n )

82n

13n

14n

32

38110

2

5432

nnnn

Y = 4 (K = 5, 12~ n )

102n

13n

14n

12 2

3

65432nnnnn

51100.10

12 , 2

3

5232

Рис. 3. Структурный синтез одноподвижных механизмов с совмещенными шарнирами

(по стандартным кодам строения из базовых таблиц 1 и 2)




Состав

цепи



W = 2 (Y = 1, 7~ n )

72n

12

12

270

2

32

nn

W = 2 (Y = 2, 9~ n )

82n

13n

32

3810

2

432

nnn

W = 2 (Y = 3, 11~ n )

82n

23n

14n

22

28210

2

5432

nnnn

W = 3 (Y = 3, 12~ n )

82n

33n

14n

12

18310

2

5432

nnnn

Рис. 4. Структурный синтез многоподвижных механизмов с совмещенными шарнира-

ми (по стандартным кодам строения из таблиц 3 и 4)




Состав

цепи



Y = 1 (K = 2, 5~ n ) 42n

13n

12

141

2

32

nn

Y = 1 (K = 2, 5~ n )

52n

22

250

2

32

nn

Y = 2 (K = 3, 7~ n ) a) 0,3,4432 nnn

1,122

a) 1

430

2

432

nnn

б) 2

520

2

432

nnn

в) 3

610

2

432

nnn

г) 12

700

32

432

nnn

б) 0,2,5432 nnn

2,222

в) 0,1,6432 nnn

3,322

г) 1,2,7322 n

4232

Y = 3 (K = 4, 9~ n )

a) 2,2,9322 n

6232

a) 22

9000

32

5432

nnnn

б)6

9000

2

5432

nnnn

б) 0,6,9322 n

6232

Y = 4 (K = 5, 11~ n )

a) ;2,932 nn

1,432 6

a)

32

65432

nnnnn

14

92000

;

б)

32

65432

nnnnn

32

0000.11

б) 3,2;11322 n

8232

Рис. 5. Структурный синтез статически определимых стержневых шарнирных ферм с

совмещенными шарнирами (по стандартным кодам строения из таблиц 5 и 2)




Состав

цепи

Структура

фермы

Структура

группы

Ассура Код строения

Y = 2 (K = 3, 7~ n )

52n

23n

22

22

2,6

2 n

2520

2

432

nnn

Y = 3 (K = 4, 9~ n )

82n

14n

4

2

4,8

2 n

48010

2

5432

nnnn

Y = 3 (K = 4, 9~ n )

92n

62

62

6,82 n

69000

2

5432

nnnn

Y = 4 (K = 5, 11~ n )

92n

13n

15n

42

4,10

2 n

491010

2

65432

nnnnn

Рис. 6. Структурный синтез разомкнутых кинематических цепей групп Ассура с совме-

щенными шарнирами (по стандартным кодам строения из таблицы 5)



Код 0

42 1

51

0440

1

530

2620

3

710

04600

1

5500

26400

3

7300

48200

5

9100

048000

1

57000

266000

3

75000

484000

5

93000

62000.10

7

1000.11

Рис. 7. Структурный синтез замкнутых кинематических цепей одноподвижных меха-

низмов (W=1) с заданной максимально допустимой сложностью звеньев imax=3 и кратно-

стью совмещенных шарниров jmax=2 (по стандартным кодам строения из базовых таб-

лиц 1 и 2 для n~ = 4 – 12)



Основное уравнение

структурного синтеза

)1(2)3(22

sWn

Исходные

данные

Состав

цепи

Код

строения


схема

W = 5

s = 2

12

31

1 sn

369

2n

12

133

2

21

nn

W = 3

s = 1

22

21

1 sn

448

2n

22

242

2

21

nn

W = 7

s = 3

42

41

1 sn

6814

2n

32

464

2

21

nn

W = 9

s = 2

12

31

1 sn

7613

2n

12

173

2

21

nn

Рис. 8. Структурный синтез простых незамкнутых кинематических цепей роботов и

манипуляторов с совмещенными шарнирами (по расчетным кодам строения): s – число

схватов; W – число приводов; ν2 –число совмещенных двойных шарниров; n1, n2 – число

одно- и двухшарнирных звеньев цепи



Уравнения

структурного

синтеза

sn1

; 16542

2)32()3( nnnnWn ;

)2()432()2(65413

nnnnKn ;

5432

432

Исходные

данные

Состав

цепи

Код

строения


схема

1,5 s

W=9

K = 0;

15

04

in

61

sn

)34(52

Wn

421 n

0)24(513

nn

1

46

5

21

nn

0,4 s

W=12

K = 1;

12

14n

05

in

41

sn

)3(22

Wn

9)2(41 nn

13

nn

1)22(42

n

2

4321

nnnn

11194

1,8 s

W=18

K = 0;

12

34n

05

in

9181

n

)3(22

Wn

7)2(41 nn

13

nn

0)22(42

n

2

4321

nnnn

13079

1,8 s

W=12

K = 0;

42

04n

15n

06

in

9181

n

)3(22

Wn

3)(251 nn

13

nn

0)23(52

n

2

54321

nnnnn

410039

Рис. 9. Структурный синтез сложных незамкнутых кинематических цепей роботов и

манипуляторов с совмещенными шарнирами (по расчетным кодам строения): s – число

схватов; Δ – число одношарнирных неподвижных опор; W – число приводов; K – число

взаимно независимых изменяемых замкнутых контуров цепи; ν2, ν3, ν4, ν5 … – число со-

вмещенных двойных, тройных, четырехкратных и пятикратных шарниров; n1, n2 , n3 ,

n4, n5 , n6 …– число одно- и двух-, трех-, четырех-, пяти- и шестишарнирных звеньев

цепи



Выводы

Представленные в данной работе структурные формулы (1) – (11) и отвечающие им

четыре теоремы о закономерностях оптимального строения шарнирно-рычажных механиче-

ских систем (I), (II), (III), (IV) образуют «Структурную математическую VIP-модель», кото-

рая позволяет:

1. Рассчитать и составить универсальные структурные таблицы 1, 2, 3, 4, и 5 с полным

перечнем стандартных кодов правильного строения и стандартных наборов совмещенных

шарниров, представляющих все возможные целочисленные решения «VIP-модели», обеспе-

чивающие выполнение целевой функции синтеза оптимальных структур 0D (9).

2. Выполнить по этим стандартным кодам направленный синтез оптимальных струк-

тур механических систем с совмещенными шарнирами – в виде одно- и многоподвижных

механизмов, ферм, особых групп Ассура, одноруких и многоруких роботов и манипуляторов

(включая запатентованную оптимальную структуру параллелограммного рычажного меха-

низма [17]).

3. Предложить указанные в универсальных структурных таблицах 1, 2, 3, 4 и 5 коли-

чественные показатели: «Уровень сложности системы Y (6)» и «Код строения системы (11)

» – в качестве основных идентификационных и классификационных признаков оптимальной

структуры разнообразных [1] , [4 – 9] механических систем (для более полного учета их

строения).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крайнев А.Ф. Механика (искусство построения) машин. Фундаментальный словарь.

– М.: Машиностроение, 2000. – 904 с.

2. Кожевников С.Н. Основания структурного синтеза механизмов.– Киев, 1979.–232 с.

3. Hwang W-M., Hwang Y.-W. Computer-aided structural synthesis of planar kine-

matic chain with simple joints // Mechanism and Machine Theory, Vol. 27, № 2,

1992. – p. 189-199.

4. Пейсах Э.Е. О структурном синтезе рычажных механизмов // Теория меха-

низмов и машин. 2005. Том. 3. №1(5). С. 77-80. (tmm.spbstu.ru)

5. Пейсах Э.Е. Атлас структурных схем восьмизвенных плоских шарнирных

механизмов // Теория механизмов и машин. 2006. Том 4. №1(7). С. 3-17. (tmm.

spbstu.ru)

6. Пейсах Э.Е. Структурный синтез замкнутых кинематических цепей (цепей

Грюблера). Часть 1. // Теория механизмов и машин. 2008. Том 6. №1(11). С. 4-

14. (tmm.spbstu.ru)

7. Пейсах Э.Е. Структурный синтез замкнутых кинематических цепей (цепей

Грюблера). Часть 2. // Теория механизмов и машин. 2008. Том 6. №2(12). С. 3-

17 . (tmm.spbstu.ru) 8. Смелягин А.И. Структура механизмов и машин. Новосибирск: НГТУ, 2001. – 286 с.

9. Дворников Л.Т. К вопросу о классификации плоских групп Ассура. // Теория

механизмов и машин. 2008. Том 6. №2(12). С.18-25. (tmm.spbstu.ru)

10. Пожбелко В.И. Единая теория структуры механических систем. // Теория ме-

ханизмов и машин в вопросах и ответах. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004.

– С. 51-106.

11. Пожбелко В.И. Формализация структурного анализа и синтеза механизмов (с

контактными и бесконтактными связями). // Известия вузов. Машинострое-

ние. 2006. №11. С.3 - 15.



12. Пожбелко В.И. Универсальная структурная формула и классификация меха-

нических систем любой структуры. // Известия вузов. Машиностроение. 2000.

№1–2. С. 3 - 10.

13. Пожбелко В.И. Структурный синтез и анализ механических систем произ-

вольной структуры заданного уровня сложности//Известия вузов. Машино-

строение. 2000. №5-6. С.13-26.

14. Пожбелко В.И. Некоторые вопросы структурного синтеза плоских рычажных

механизмов с учетом применения сложных (совмещенных) шарниров. // Тео-

рия механизмов и машин. 2006. Том 4. №1(7). С. 27-37. (tmm.spbstu.ru)

15. Пожбелко В.И. Структурный синтез и конструирование рычажных и плане-

тарных самоустанавливающихся механизмов.// Вестник ЮУрГУ. Машино-

строение.2011.№31.С.4-14.

16. Пожбелко В.И. Структурный анализ и синтез плоских механизмов заданного

уровня сложности по универсальной структурной таблице стандартных кодов

строения // Теория механизмов и машин. 2012. Том. 10. №1(19). С. 15-34.

(tmm.spbstu.ru) 17. Patent RU 2246056, F16H 21/14 . «Рычажный механизм В.И. Пожбелко».

Поступила в редакцию 24.04.2012

После доработки 26.10.2012

НАПРАВЛЕННЫЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР...

Documents