ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ · x ,x1 2 0 Το πρόβλημα του...

1

Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 – Ποσοτικές Μέθοδοι

Ακαδημαϊκό Έτος: 2018-2019

Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Γενικές οδηγίες για την εργασία

Η εργασία περιλαμβάνει πέντε (5) υποχρεωτικές ασκήσεις.

Οι απαντήσεις στις ασκήσεις της εργασίας θα αναπτυχθούν σε δύο αρχεία (ένα Word και ένα Excel)

σύμφωνα με τις αναλυτικές οδηγίες που ακολουθούν.

Τα δύο αρχεία θα πρέπει να αναρτηθούν στο http://study.eap.gr/

Καταληκτική ημερομηνία ανάρτησης της 4ης γραπτής εργασίας:

ΤΡΙΤΗ, 7 Μαΐου 2019, και ώρα 24:00

Εργασίες που αναρτώνται εκπρόθεσμα, επισύρουν βαθμολογικές κυρώσεις (0,5 βαθμό για κάθε

ημερολογιακή ημέρα καθυστέρησης).

Εργασίες οι οποίες αναρτώνται με καθυστέρηση μεγαλύτερη από 7 ημέρες, δηλαδή μετά τις 14 Μαΐου,

δεν γίνονται αποδεκτές.

Αναλυτικές Οδηγίες Η εργασία περιλαμβάνει 5 υποχρεωτικές ασκήσεις η λύση των οποίων απαιτεί τη δημιουργία των παρακάτω

αρχείων:

1. Αρχείο Word με τις απαντήσεις στις Ασκήσεις 1 έως 5 με όνομα αρχείου: Eponymo.Onoma-GE4.doc. Στο

αρχείο αυτό, θα πρέπει να δίνονται οι αναλυτικές απαντήσεις των ασκήσεων με τη σειρά που δίνονται στην

εκφώνηση, αναγράφοντας και τον αριθμό του αντίστοιχου υπο-ερωτήματος. Επίσης, όλοι οι πίνακες με τα

αποτελέσματα που περιέχονται στο αρχείο Excel, θα πρέπει να μεταφερθούν και σε αυτό το αρχείο ως εικόνες,

στα σημεία που δίνονται οι απαντήσεις των αντιστοίχων ασκήσεων.

2. Αρχείο Excel με τo μοντέλο, την αναφορά επίλυσης και την αναφορά ευαισθησίας της Άσκησης 1 (Όνομα

αρχείου: Eponymo.Onoma-GE4.xls).

Επισημαίνεται, ότι οι εργασίες πρέπει να είναι επιμελημένες και ευανάγνωστες και ότι η αντιγραφή μέρους

ή ολόκληρης της εργασίας απαγορεύεται αυστηρά. Ο Συντονιστής και η Επιτροπή Γραπτών Εργασιών της

ΔΕΟ 13 διεξάγουν σε όλη τη διάρκεια του ακαδημαϊκού έτους δειγματοληπτικούς ελέγχους σε όλα τα

τμήματα για τον εντοπισμό και την τιμωρία τέτοιων φαινομένων.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

2

ΑΣΚΗΣΗ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25)

Βιοτεχνία παρασκευάζει δύο χρώματα κατοικιών. Το χρώμα Ε για εξωτερικούς χώρους και το χρώμα Ι για

εσωτερικούς χώρους. Για την παρασκευή των χρωμάτων χρησιμοποιεί δύο πρώτες ύλες, τις Α και Β. Η

μέγιστη διαθέσιμη ποσότητα της Α είναι 6 τόνοι την ημέρα και της Β είναι 8 τόνοι την ημέρα, ενώ οι

απαιτούμενες ποσότητες πρώτων υλών για την παρασκευή των χρωμάτων Ι και Ε ανά τόνο ημερησίως

δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Τόνοι πρώτων υλών ανά τόνο χρώματος

Εξωτερικό χρώμα (Ε) Εσωτερικό χρώμα (Ι) Διαθεσιμότητα

Πρώτη ύλη Α 1 2 6

Πρώτη ύλη Β 2 1 8

Έρευνα αγοράς έδειξε ότι η ημερήσια ζήτηση χρώματος Ι δεν υπερβαίνει εκείνης του Ε περισσότερο από 1

τόνο, ενώ η μέγιστη ημερήσια ζήτηση του χρώματος Ι περιορίζεται στους 2 τόνους. Η τιμή πώλησης του Ε

είναι 3 χιλιάδες ευρώ τον τόνο και του Ι είναι 2 χιλιάδες ευρώ τον τόνο.

Ερώτημα 1 Διατυπώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού η λύση του οποίου θα βοηθήσει τη βιοτεχνία να

προγραμματίσει την ημερήσια παραγωγή των προϊόντων Ι και Ε, ώστε να μεγιστοποιήσει τα έσοδά της. Να

εξηγήσετε με σαφήνεια τις μεταβλητές απόφασης που χρησιμοποιείτε, την αντικειμενική συνάρτηση και το

φυσικό νόημα των περιορισμών του μοντέλου που θα κατασκευάσετε. (5 μονάδες)

Ερώτημα 2 Σε σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων να κατασκευάσετε το χώρο των εφικτών λύσεων (εφικτή περιοχή).

Να επεξηγήσετε πως αυτός προκύπτει, να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του και να τον

σκιαγραφήσετε. Χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις γνωστές προσεγγίσεις της γραφικής επίλυσης να

βρείτε τη βέλτιστη λύση και τη μέγιστη τιμή των εσόδων. Τι πρέπει να κάνει τελικά η βιοτεχνία; (5

μονάδες)

Ερώτημα 3

Εισάγετε και επιλύστε το μοντέλο σας στο Excel. Θα πρέπει να ετοιμάσετε στο ίδιο αρχείο τα παρακάτω

τρία φύλλα εργασίας: α) τα δεδομένα με την επίλυση, β) την αναφορά απάντησης (answer report) και γ) την

αναφορά ευαισθησίας (διαβάθμισης) (sensitivity report). Προσέξτε να καταχωρήσετε τις κατάλληλες

πληροφορίες στις επιλογές (options) του μοντέλου σας στο Excel ώστε να χρησιμοποιηθεί οπωσδήποτε η

μέθοδος Simplex. Τα (β) και (γ) προκύπτουν αυτόματα μετά την επίλυση του μοντέλου σας. Συγκρίνετε τα

αποτελέσματά σας με εκείνα της γραφικής επίλυσης του ερωτήματος 2. Να μεταφέρετε στο κείμενο της

εργασίας σας, ως εικόνες, και τα τρία φύλλα εργασίας. (5 μονάδες)

Χωρίς να επιλύσετε ξανά το μοντέλο, απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα με βάση τα αποτελέσματα

του Excel στο ερώτημα 3.

ΛΥΣΗ

Ερώτημα 1 Διατύπωση του Προβλήματος του Γραμμικού Προγραμματισμού

ΠΟΡΟΙ Τόνοι πρώτων υλών που απαιτούνται για την παραγωγή ενός

τόνου χρώματος

ΠΡΩΤΕΣ ΥΛΕΣ Εξωτερικό χρώμα (Ε) Εσωτερικό χρώμα (Ι) Διαθεσιμότητα

πόρων/ημέρα

Πρώτη ύλη Α 1 2 6

Πρώτη ύλη Β 2 1 8

Μοναδιαίο

κέρδος 3000 2000

Μεταβλητές απόφασης

1x : Ημερήσια παραγόμενη ποσότητα (σε τόνους) του χρώματος τύπου Ε

2x : Ημερήσια παραγόμενη ποσότητα (σε τόνους) του χρώματος τύπου Ι

Αντικειμενική συνάρτηση (Α.Σ.) του προβλήματος.

Τα συνολικά έσοδα της βιοτεχνίας είναι

3

1 2z 3000x 2000x Σε χιλιάδες ευρώ

Περιορισμοί:

Διαθεσιμότητα πρώτων υλών

Πρώτη ύλη Α.

Μέγιστη διαθεσιμότητα 8 τόνοι.

Απαιτήσεις παραγωγής.

Η παραγωγή 1x τόνων χρώματος Ε απαιτεί 11 x τόνους ύλης Α

Η παραγωγή 2x τόνων χρώματος Ι απαιτεί 22 x τόνους ύλης Α

Το σύνολο απαιτήσεων σε πρώτη ύλη τύπου Α είναι 1 2x 2x και δεν μπορεί να υπερβαίνει την διαθέσιμη

86 τόνους. Άρα έχουμε τον περιορισμό 1 2x 62x

Πρώτη ύλη Β

Με όμοιο σκεπτικό έχουμε 1 22x 8x

Περιορισμοί αγοράς

Σύμφωνα με τα δεδομένα της αγοράς η ημερήσια ζήτηση χρώματος Ι δεν πρέπει να υπερβαίνει την ημερήσια

ζήτηση χρώματος τύπου Ε περισσότερο από 1 τόνο. Άρα είναι λογικό το ίδιο να ισχύσει και για τις

παραγόμενες ποσότητες 1 2x ,x .Έτσι έχουμε τον περιορισμό

2 1x 1x ,

Η μέγιστη ημερήσια ζήτηση (άρα και η παραγωγή) του χρώματος τύπου Ι δεν μπορεί να υπερβαίνει τους 2

τόνους. Αυτό σημαίνει ότι:

2x 2

Φυσικοί περιορισμοί

1 2x ,x 0

Το πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού είναι:

1 2Max z 3000x 2000x

s.t

1 2x 2 6x (Περιορισμός πρώτης ύλης Α) 1. ε1

1 22x 8x (Περιορισμός πρώτης ύλης Β) 2. ε2

1 2x x 1 (Περιορισμός σχέσης ζήτησης των

δύο προϊόντων)

3. ε3

2x 2 (Περιορισμός ημερήσιας ζήτησης

για το προϊόν Ι)

4. ε4

1 2x ,x 0 (Μη αρνητικότητα) 5

Ερώτημα 2 (5 μονάδες)

Γραφική Μέθοδος Επίλυσης

Ο χώρος των εφικτών λύσεων προκύπτει από το χώρο των κοινών λύσεων των ανισοτήτων (1) έως (5)

καθώς και της μη-αρνητικότητας των μεταβλητών.

Για κάθε μια από τις ευθείες ε1→ x1+2x2=6, ε2→2x1+x2=8, ε3→ - x1+x2=1, που αντιστοιχούν στους

περιορισμούς (ονομάζονται περιοριστικές ευθείες), βρίσκουμε δύο σημεία από τα οποία περνούν, και βάσει

αυτών τις χαράσσουμε, ενώ η ε4→ x2=2 είναι κάθετη στο άξονα ΟY

Κατασκευάζουμε την ισοσταθμική 0 2 01z 3x 9 z2x

Αυτή περνά από τα σημεία (3,0) και (0, 4,5).

Eεπιλέγουμε στο επίπεδο ένα σημείο π.χ. το (x1,x2)=(0, 0) και υπολογίζουμε την Ζ = Ζ(0,0) = 3×0+2×0=0.

Βλέπουμε ότι Ζ(0,0)< 09 z άρα το σημείο (x1,x2)=(0, 0) ανήκει στο αρνητικό ημιεπίπεδο της ε0, Άρα το

άλλο ημιεπίπεδο είναι το θετικό (+), δηλαδή είναι εκείνη η πλευρά προς την οποία αν η ισοσταθμική ε0

μετακινηθεί παράλληλα με προς τον εαυτό της τότε η τιμή του Z θα αυξάνεται. Η μετακίνηση αυτή θα φέρει

την ισοσταθμική στο σημείο D, και αυτό είναι το σημείο μεγίστου.

4

Γραφική επίλυση προβλήματος

Το σημείο D ορίζεται από την τομή των ευθειών x1+2x2=6 και 2x1+x2=8. Oi συντεταγμένες του είναι η

λύση του αντιστοίχου συστήματος και είναι D(10/3.4/3).

Η απάντηση είναι ότι πρέπει να παραχθούν αντίστοιχα ποσότητες 10/3 και 4/3, και το κέρδος θα είναι

Z=3x(10/3)+2x(4/3)=38/3 χιλ ευρώ

Ερώτημα 3 (5 μονάδες) Λύση στο Excel.

Μοντέλο

Συν Α.Σ.

C1 C2

3000 2000

Χρώμα τύπου Ε-

Χ1

Χρώμα τύπου Ι-

Χ2

3,33 1,33

Α.Σ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΚΕΡΔΟΣ σε χιλ ΕΥΡΩ

Περιορισμοί

12666,66667

ΣΥΝ

aij

bi

ΔΕΞΙΑ ΜΕΛΗ

1 2 <= 6

Πρώτη Ύλη τύπου Α 6 6

2 1 <= 8

Πρώτη Ύλη τύπου Β 8 8

-1 1 <= 1

Σχέση Ζήτησης μεταξύ

των χρωμάτων Ε-Ι -2 1

0 1 ,+ 2

Μέγιστη Ζήτηση για το

χρώμα τύπου Ε 1,3333 2

Αναφορά Απάντησης

Φύλλο εργασίας: [GE4 DEO 13 AS 1 V2xC4.xlsx]AS 1 ER 3 MONTEL

Ημερομηνία δημιουργίας αναφοράς: 2/4/2019

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

7,00

7,50

8,00

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00

1ος περ x1+x2=6

2ος 2x1+x2=8

3ος περ -x1+x2=1

4ος περ x2=2

Σειρά5

A(0,1)

Ισοστάθμιση στο

1 2 9z 3x 2x

Ισοστάθμιση στη θέση

max 1 2 9z 3x 2x

S

D(10/3,4/3)

5

5:53:21 μμ

Κελί προορισμού (Μέγιστο)

Κελί Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή

$N$10

Α.Σ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΚΕΡΔΟΣ

σε χιλ ΕΥΡΩ 0 12666,66667

Ρυθμιζόμενα κελιά

Κελί Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή

$N$8 Χρώμα τύπου Ε- Χ1 0,00 3,33

$O$8 Χρώμα τύπου Ι-Χ2 0,00 1,33


Κελί Όνομα Τιμή κελιού Τύπος Κατάσταση Απόκλιση

$L$13 Πρώτη Ύλη τύπου Α 6 $L$13<=$N$13 Υποχρεωτικός 0

$L$14 Πρώτη Ύλη τύπου Β 8 $L$14<=$N$14 Υποχρεωτικός 0

$L$15


των χρωμάτωνΕ-Ι -2 $L$15<=$N$15 Μη υποχρεωτικός 3

$L$16

Μέγιστη Ζήτηση για το

χρώμα τύπου Ε 1,333333333 $L$16<=$N$16 Μη υποχρεωτικός 0,666666667

Αναφορά Ευαισθησίας

Φύλλο εργασίας: [GE4 DEO 13 AS 1 V2xC4.xlsx]AS 1 ER 3

MONTEL

Ημερομηνία δημιουργίας αναφοράς:

2/4/2019 5:53:21 μμ

Ρυθμιζόμενα κελιά

Τελική Μειωμένο Αντικειμενικός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη

Κελί Όνομα τιμή κόστος συντελεστής αύξηση μείωση

$N$8 Χρώμα τύπου Ε- Χ1 3,33 0,00 3000 1000 2000

$O$8 Χρώμα τύπου Ι-Χ2 1,33 0,00 2000 4000 500


Τελική Σκιώδης Περιορισμός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη

Κελί Όνομα τιμή τιμή R.H. Side αύξηση μείωση

$L$13 Πρώτη Ύλη τύπου Α 6 333,333 6 1 2

$L$14 Πρώτη Ύλη τύπου Β 8 1333,333 8 4 2

$L$15


των χρωμάτωνΕ-Ι -2 0 1 1E+30 3

$L$16

Μέγιστη Ζήτηση για

το χρώμα τύπου Ε 1,3333 0 2 1E+30 0,666666667

Φύλλο εργασίας: [GE4 DEO 13 AS 1 V2xC4.xlsx]Αναφορά ορίων

1

Ημερομηνία δημιουργίας αναφοράς: 2/4/2019

5:53:22 μμ

6

Επιθυμητές τιμές

Κελί Όνομα Τιμή

$N$1

0

Α.Σ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΚΕΡΔΟΣ σε χιλ

ΕΥΡΩ 12666,666

Ρυθμιζόμενα

Κάτω Επιθυμητό

Άνω Επιθυμητό

Κελί Όνομα Τιμή

όριο

αποτέλεσμ

α

όριο

αποτέλεσμ

α

$N$8 Χρώμα τύπου Ε- Χ1 3,33

0,33 3666,67

3,33 12666,67

$O$8 Χρώμα τύπου Ι-Χ2 1,33

0,00 10000,00

1,33 12666,67

Ερώτημα 4 (3 μονάδες) Στην αναφορά ευαισθησίας βλέπουμε ότι η προτεινόμενη αύξηση είναι μέσα στα όρια που δεν αλλάζουν το

πλάνο παραγωγής, και ότι η σκιώδης τιμή του περιορισμού 4 είναι μηδέν. Έτσι και αν αυξηθεί η ζήτηση, δεν

θα μεταβληθούν τα κέρδη της Στην αναφορά απάντησης, βλέπουμε ότι ο περιορισμός 4, αφορά την μέγιστη

ημερήσια ζήτηση b2 χρώματος τύπου Ι, δεν είναι δεσμευτικός,. και συνεπώς η βιοτεχνία δεν μπορεί να

παράγει για να καλύψει την τρέχουσα μέγιστη ζήτηση.

ΑΣΚΗΣΗ 2 Ένα πρατήριο βενζίνης διαθέτει μία μόνο αντλία και απεριόριστο χώρο αναμονής. Έχει διαπιστωθεί ότι ο

ρυθμός άφιξης των πελατών στο πρατήριο ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή 20 πελάτες την

ώρα. Επίσης είναι γνωστό ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης κάθε πελάτη ακολουθεί την εκθετική κατανομή, με

μέσο χρόνο εξυπηρέτησης τα 2,2 λεπτά.

Ερώτημα 1 1α) Υπολογίστε τον μέσο χρόνο αναμονής ενός πελάτη στην ουρά μέχρι να ξεκινήσει η εξυπηρέτησή του.

1β) Πόσο πρέπει να ελαττωθεί ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης, ώστε ο μέσος χρόνος αναμονής να είναι ίσος

με 2 λεπτά.

1γ) Υπολογίστε το μέσο πλήθος πελατών που περιμένουν στην ουρά για να εξυπηρετηθούν. (2 μονάδες)

1δ) Εάν ο μέσος ρυθμός αφίξεων των πελατών αυξανόταν κατά 35%, θα επαρκούσε μια αντλία ώστε στο

πρατήριο βενζίνης να εξακολουθεί να λειτουργεί σε κατάσταση ισορροπίας; Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό

αντλιών που θα έπρεπε να είχε το πρατήριο ώστε να υπάρχει κατάσταση ισορροπίας, εάν ο μέσος ρυθμός

αφίξεων των πελατών αυξανόταν κατά 150%. (4 μονάδες)

Ερώτημα 2 Ο ιδιοκτήτης του πρατηρίου εξετάζει το ενδεχόμενο να χρησιμοποιήσει και δεύτερη αντλία με

χαρακτηριστικά εξυπηρέτησης ίδια με εκείνα της πρώτης. Στην περίπτωση αυτή, οι δυο αντλίες θα

εξυπηρετούν τους πελάτες οι οποίοι θα προσέρχονται σε μία κοινή ουρά αναμονής στο πρατήριο. Να

υπολογιστούν οι παρακάτω ποσότητες:

2α) H πιθανότητα ένας πελάτης που μπαίνει στο πρατήριο να εξυπηρετηθεί άμεσα. (2 μονάδες)

2β) Το μέσο πλήθος πελατών στο πρατήριο. (2 μονάδες)

Ερώτημα 3 Γνωρίζουμε ότι για κάθε πελάτη που παραμένει στο πρατήριο (είτε περιμένοντας είτε εξυπηρετούμενος), το

κόστος είναι 10 ευρώ/ώρα καθώς και ότι κάθε αντλία έχει ως κόστος λειτουργίας 6 ευρώ/ώρα. Ο ιδιοκτήτης

του πρατηρίου επιθυμεί το ωριαίο κόστος λειτουργίας του πρατηρίου να μην υπερβαίνει τα 25 ευρώ. Ποια

είναι η κατάλληλη επιλογή; το πρατήριο να λειτουργεί με μία ή με δύο αντλίες; (5 μονάδες)

Σημείωση: Αφού πρώτα λύσετε τα παραπάνω ερωτήματα οπωσδήποτε χειρωνακτικά χρησιμοποιώντας

το τυπολόγιό σας, ώστε να εξασκηθείτε και αφού φυσικά μεταφέρετε τις λύσεις των ερωτημάτων της

εργασίας σας στο word, μπορείτε κατόπιν, αν θέλετε, για την επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων σας να

χρησιμοποιήσετε ένα template του excel, το Waiting line calculator v6.5 που είναι διαθέσιμο στη διεύθυνση

http://faculty.otterbein.edu/WHarper/Queue.xlt. Δεν χρειάζεται να μεταφέρετε τα αποτελέσματα του template

στην εργασία σας.

7

Σε κάθε περίπτωση πάντως, πρώτα να λύσετε την άσκηση χειρωνακτικά χρησιμοποιώντας το τυπολόγιό

σας και να μεταφέρετε τη λύση σας στην εργασία σας, ώστε η διαδικασία επίλυσης να έχει προστιθέμενη

αξία για σας.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Ερώτημα 1

Εδώ έχουμε ουρά αναμονής τύπου Μ/Μ/1 .Δίδεται ότι λ=20 πελάτες /ώρα και ότι μέσος χρόνος

εξυπηρέτησης 2,2 λεπτά/πελάτη, οπότε ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης είναι μ=60/2,2 =27,27 πελάτες/ώρα.

Βλέπουμε ότι λ<μ, άρα το σύστημα θα ισορροπήσει..

1α.

Ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά, Wq, είναι: q

20W 0,101

( ) 27,27(27,27 20)

ώρες/πελάτη

=6,06 λεπτά/πελάτη

1β. Τα λ.μ μετρημένα με μονάδα χρόνου το λεπτά είναι.

λ=20/60=1/3 πελάτες ανά λεπτό. Θέλουμε ένα μέσο χρόνο εξυπηρέτησης 1/μ και κατά συνέπεια ένα ρυθμό

εξυπηρέτησης μ τέτοιον ώστε

2q

1/ 3W 2 2 6 2 1 0

( ) ( 1/ 3)

Η θετική ρίζα της εξίσωσης είναι μ=0,607 πελάτες/λπετπό, οπότε ο ζητούμενος μέσος χρόνος εξυπηρέτησης

είναι 1/μ=1,647 λεπτά/πελάτη.

1γ.

Ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά είναι:

22

q

20L 2,017

( ) 27,272 27,272 20

πελάτες

Ερώτημα 2

Τώρα το σύστημα είναι Μ/Μ/s, με λ=20, μ=27,272, s=2. Σε αυτό λ<sμ. άρα υπάρχει κατάσταση ισορροπίας

2α. Ένας πελάτης θα εξυπηρετηθεί άμεσα αν στο πρατήριο υπάρχει ένας ή κανένας πελάτης και η ζητούμενη

πιθανότητα είναι ίση με 0 1P +P .

1

0

0

!

)/(

!

)/(

1s

n

sn

s

s

sn

P

και με αντικατάσταση βρίσκουμε

0 0 1 2

1

0,7333 0,7333 0,7333 2 27,272

0! 1! 2! 2 27,272 20

P

0,463

Επειδή n=1 και n<s η πιθανότητα 1P δίνεται από τον τύπο

n

n 0 1

1 20P P P 1 0,463 0,339

n! 27,272

0,339

Τελικά 0 1 0,463 0,339 0,802P P

2β. Ο μέσος αριθμός πελατών Lq στην ουρά του πρατηρίου είναι

8

s

q 02L P

(s 1)!(s )

=

2

2

20( 2 (27,272)

27,2720,463 0,114

(2 1)!(2 27,272 20)

πελάτες

Οπότε ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα είναι,

20

0,114 0,84727, 272

qL L

πελάτες

Ερώτημα 3

Δίδεται ότι 10w

c ευρώ ανά ώρα/πελάτη και 6s

c ευρώ ανά ώρα/αντλία.

To κόστος λειτουργίας για το Μ/Μ/1 είναι

w sTC=c L+c s , όπου q

λL=L + =2,017+0,733=2,75

μπλήθος πελατών στο σύστημα.

Άρα TC=10×2,75+6×1=24=33,5 ευρώ ανά ώρα, και αυτό ξεπρνά τα 25 ευρώ ανά ώρα.

Για το Μ/Μ/2 έχουμε

10 0,847 6 2 20,47 TC ευρώ ανά ώρα.

Άρα το πρατήριο πρέπει να λειτουργεί με 2 αντλίες.

9


Το Γενικό Επιτελείο Στρατού μιας χώρας οργανώνει μία «Τακτική Άσκηση Άνευ Στρατευμάτων» όπου

συμμετέχουν δύο αντίπαλοι σχηματισμοί Α και Β, με στόχο τον έλεγχο μίας στρατηγικής τοποθεσίας.

Συνολικά για την τοποθεσία αυτή υπάρχουν 20 σημεία ενδιαφέροντος και στο τέλος της άσκησης κερδίζει ο

σχηματισμός που θα καταλάβει τα περισσότερα. Κατά την κατάστρωση του σχεδίου μάχης του κάθε

σχηματισμού, ο αντίστοιχος διοικητής έχει τις παρακάτω επιλογές από τις πιθανές στρατηγικές: άμεση και

κατά μέτωπο επίθεση (ΚΤ), αρχικά τήρηση αμυντικής στάσης και στη συνέχεια αντεπίθεση (ΑΑ),

υπερκέραση του δεξιού άκρου της αντίπαλης αμυντικής διάταξης (ΥΔ) και τέλος υπερκέραση του αριστερού

άκρου της αντίπαλης αμυντικής διάταξης (ΥΑ). Το Γενικό Επιτελείο, που έχει και την συνολική ευθύνη της

άσκησης, έχει μελετήσει εκτενώς τα σχέδια των αντιπάλων σχηματισμών. Ανάλογα με την τελική επιλογή

στρατηγικής από τον κάθε διοικητή το Γενικό Επιτελείο σύμφωνα με τις εκτιμήσεις των στελεχών του έχει

καταλήξει στον παρακάτω πίνακα απόδοσης όπου παρουσιάζεται το πλήθος των σημείων ενδιαφέροντος

που καταλαμβάνει ο σχηματισμός Α από τα συνολικά 20, σύμφωνα με τον συνδυασμό των στρατηγικών που

οι αντίπαλοι διοικητές επιλέγουν να ακολουθήσουν.

Σχηματισμός Β

ΚΤ ΑΑ ΥΔ ΥΑ

Σχηματισμός

Α

ΚΤ 9 8 7 9

ΑΑ 16 12 8 13

ΥΔ 7 14 9 5

ΥΑ 11 7 4 12

Για παράδειγμα, εάν ο διοικητής του σχηματισμού Α επιλέξει την στρατηγική ΚΤ και ο διοικητής του

σχηματισμού Β την στρατηγική ΑΑ τότε ο σχηματισμός Α κερδίζει 8 σημεία ενδιαφέροντος (και επομένως,

ο σχηματισμός Β κερδίζει τα υπόλοιπα 12 σημεία ενδιαφέροντος).

Ερώτημα 1 Χωρίς να διαγράψετε τυχόν υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον παραπάνω

πίνακα πληρωμών. Υπάρχει σημείο ισορροπίας εάν οι διοικητές των δύο σχηματισμών ακολουθούν

αποκλειστικά αμιγείς στρατηγικές;

Ερώτημα 2

Να εντοπιστούν, εάν υπάρχουν, υποδεέστερες στρατηγικές. Εφόσον υπάρχουν, να διαγραφούν και να

σχηματιστεί ο νέος πίνακας πληρωμών.

Ερώτημα 3 Στον πίνακα πληρωμών του προηγούμενου ερωτήματος, να βρείτε τη μεικτή στρατηγική που πρέπει να

ακολουθήσει ο κάθε διοικητής και την αναμενόμενη τιμή του παιγνίου στο σημείο ισορροπίας. Ποια είναι η

φυσική σημασία της τιμής του παιγνίου; Να στρογγυλοποιήσετε τους αριθμούς που προκύπτουν από τις

πράξεις σε δύο δεκαδικά ψηφία.

Ερώτημα 4 Μετά από εκτεταμένη μελέτη των επιχειρησιακών του σχεδίων, ο διοικητής του σχηματισμού Α, θέλει να

βελτιώσει την απόδοση των μονάδων του με τέτοιο τρόπο ώστε να προκύψει παίγνιο που να έχει σημείο

ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές. Γνωρίζει όμως, ότι για κάθε ένα επιπλέον σημείο ενδιαφέροντος που

καταλαμβάνει, προκύπτει κι ένας σημαντικός αριθμός απωλειών. Εντοπίστε λοιπόν εκείνη τη στρατηγική

του σχηματισμού Α που θα πρέπει να βελτιωθεί με τέτοιο τρόπο, ώστε αφενός να προκύψει παίγνιο το οποίο

να έχει ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές, αφετέρου οι απώλειες του σχηματισμού Α να περιορίζονται στο

ελάχιστο δυνατό.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Ερώτημα 1

Πρόκειται για παίγνιο σταθερού αθροίσματος διότι υπάρχουν 20 σημεία τα οποία διεκδικούν οι αντίπαλοι

σχηματισμοί.

Ο σχηματισμός Α είναι ο μεγιστοποιών και άρα ακολουθεί maximin στρατηγική ενώ ο σχηματισμός Β

ακολουθεί την minimax.

Σχηματισμός Β Row min Maximin

ΚΤ ΑΑ ΥΔ ΥΑ

10


Α

ΚΤ 9 8 7 9 7

ΑΑ 16 12 8 13 8 8

ΥΔ 7 14 9 5 5

ΥΑ 11 7 4 12 4

Column max 16 14 9 13 8≤V≤9

Minimax 9

Επειδή maximin=8 και είναι διαφορετικό από το minimax =9, το παίγνιο δεν ισορροπεί με αμιγείς

στρατηγικές

Ερώτημα 2 Οι στρατηγικές ΚΤ και ΥΑ για τον Α είναι υποδεέστερες της ΑΑ και μπορούν να διαγραφούν.

Μετά την διαγραφή τους παρατηρούμε ότι η στρατηγική ΑΑ του Β έχει καταστεί υποδεέστερη της ΥΔ (άρα

μπορεί και αυτή να διαγραφεί.


ΚΤ ΑΑ ΥΔ ΥΑ


Α

ΚΤ 9 8 7 9

ΑΑ 16 12 8 13

ΥΔ 7 14 9 5

ΥΑ 11 7 4 12

Μετά τις διαγραφές ο πίνακας πληρωμών γίνεται


ΚΤ ΥΔ ΥΑ


Α

ΑΑ 16 8 13

ΥΔ 7 9 5

Ερώτημα 3


ΚΤ ΥΔ ΥΑ


Α

ΑΑ 16 8 13

ΥΔ 7 9 5

Με αυτό τον πίνακα πληρωμών έχουμε ένα παίγνιο 2x3 στο οποίο θα αναζητήσουμε μεικτή στρατηγική

ισορροπίας. Με την γραφική μέθοδο θα το ανάγουμε σε παίγνιο x2.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Α-ΥΔ Α-ΑΑ

B ΣΤΡΑΤ. - KT

Β ΣΤΡΑΤ. - ΥΔ

B ΣΤΡΑΤ. - ΥΑ

Μ

ΚΤ

ΥΔ

ΥΑ

11

Η ΚΤ δεν συμμετέχει στον προσδιορισμό του σημείου Μ πάνω στην διακεκομμένη τεθλασμένη γραμμή

προσδιορίζεται από τις ΥΑ και ΥΔ, και γιαυτό την εγκαταλείπουμε, και έτσι καταλήγουμε στο 2x2 παίγνιο

με πίνακα αμοιβών


ΥΔ: y ΥΑ: 1-y


Α

ΑΑ x 8 13 V(Β,ΑΑ)=8y+ 13(1-y)

ΥΔ 1-x 9 5 V(Β,YΔ)=9y+ 5(1-y)

V(A,ΥΔ)=8x + 9(1-x) V(A,ΥΑ)=13x + 5(1-x)

το οποίο και επιλύουμε αλγεβρικά

Υπολογίζουμε τις αναμενόμενες αμοιβές, οπότε.

Για την άριστη μικτή στρατηγική του σχηματισμού Α θα πρέπει να ισχύει:

V(A, BΥΔ) = V(A, BΥΑ)

Κατά συνέπεια:

x + 9(1-x) = 13x + 5(1-x) από την οποία προκύπτει x = 4/9

Άρα ο Α ακολουθεί μικτή στρατηγική με πιθανότητες (0, 4/9, 5/9, 0).

Η τιμή του παιγνίου είναι

V(A) = 8 x 0,44 + 9 x 0,56 = 8,56

Για τη βέλτιστη μικτή στρατηγική του παίκτη Β πρέπει να ισχύει ότι:

V(B, AΑΑ) = V(B, AΥΔ)

Κατά συνέπεια:

8y + 13(1-y) = 9y + 5(1-y) από την οποία προκύπτει y = 8/9

Άρα ο Β ακολουθεί μικτή στρατηγική με πιθανότητες (0, 0, 8/9, 0,11/9).

Για την αναμενόμενη τιμή του παιγνίου ισχύει ότι

V(A) = V(B) = 8 * 0,89 + 13 * 0,11 = 8,56

O σχηματισμός Α αναμένεται να κερδίσει 8,56 σημεία και ο Β θα κερδίσει τα υπόλοιπα 20 – 8,55 = 11,45

και θα είναι ο νικητής του παιγνίου.

Ερώτημα 4 (5 μονάδες) Αν κοιτάξουμε στον πίνακα

Σχηματισμός Β Row min Maximin

ΚΤ ΑΑ ΥΔ ΥΑ


Α

ΚΤ 9 8 7 9 7

ΑΑ 16 12 8 13 8 8

ΥΔ 7 14 9 5 5

ΥΑ 11 7 4 12 4

Column max 16 14 9 13 8≤V≤9

Minimax 9

Γίνεται φανερό ότι αυτό μπορεί να γίνει αν στην στρατηγικά ΑΑ του Α αυξήσουμε το 8 σε 9 οπότε

MaxMin=9 ενψ δεν έχουμε καμιά άλλη αλλαγή.

12


Εταιρεία τυποποίησης νωπών φρούτων και λαχανικών στο πλαίσιο της στρατηγικής επέκτασης της στον

ελλαδικό χώρο έχει συνάψει συμφωνίες συνεργασίας με εμπόρους χονδρικής σε διάφορους νομούς της

χώρας για την προώθηση και πώληση των προϊόντων της. Η εταιρεία χρησιμοποιεί τον ιδιόκτητο στόλο

φορτηγών της για τη μεταφορά των προϊόντων από την κεντρική της αποθήκη στους αποθηκευτικούς

χώρους των συνεργαζόμενων εμπόρων.

Στο παρακάτω σχήμα αποτυπώνεται το υφιστάμενο δίκτυο διαδρομών και το απαιτούμενο κόστος

μετάβασης (κόστος καυσίμων και διοδίων σε εκατοντάδες ευρώ) από την κεντρική αποθήκη της εταιρείας

(κόμβος 1) προς τους αποθηκευτικούς χώρους των συνεργαζόμενων εμπόρων (κόμβοι 2 έως 10). Οι ακμές

είναι οι πιθανές διαδρομές μεταξύ των κόμβων στις οποίες η κίνηση επιτρέπεται και προς τις δύο

κατευθύνσεις, ενώ οι αριθμοί σε κάθε ακμή εκφράζουν το κόστος μετάβασης μεταξύ δύο διαδοχικών

κόμβων του δικτύου.

Το πλήθος των απαιτούμενων μεταφορών καθιστά το κόστος μετάβασης σημαντική παράμετρο. Ο

υπεύθυνος για τη δρομολόγηση των οχημάτων της εταιρείας θα πρέπει να προγραμματίσει κατάλληλα τα

δρομολόγια των οχημάτων που διαθέτει έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς των προϊόντων.

Χρησιμοποιήστε κατάλληλο αλγόριθμο δικτυωτής ανάλυσης για τον προσδιορισμό της διαδρομής που

πρέπει να ακολουθούν τα οχήματα της εταιρείας προκειμένου να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς των

προϊόντων από την κεντρική αποθήκη της εταιρείας (κόμβος 1) προς κάθε έναν από τους αποθηκευτικούς

χώρους των συνεργαζόμενων εμπόρων (κόμβοι 2 έως 10).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής από τον κόμβο 1 προς κάθε ένα από τους

κόμβους 2 έως 10 του δικτύου.

Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο εύρεσης της συντομότερης διαδρομής από την αφετηρία, κόμβος 1, προς όλους

τους κόμβου, και ο αλγόριθμος θα τερματίσει όταν όλοι οι κόμβοι γίνουν μόνιμοι. Στην λύση ο όρος

«απόσταση» χρησιμοποιείται για το κόστος συνδεσης, μεταξύ κόμβων.

Έναρξη του αλγορίθμου

13

Ξεκινάμε με τον κόμβο 1 ο οποίος είναι η αφετηρία (ο αρχικός κόμβος), με απόσταση 0 από τον εαυτό του

,και αυτός είναι (καθίσταται) ο πρώτος λυμένος κόμβος. Έτσι το σύνολο των λυμένων κόμβων είναι Λ1={1}

Σε κάθε επανάληψη για κάθε κόμβο που γίνεται μόνιμος καταγράφουμε την ελάχιστη απόσταση του από την

αρχή καθώς και την αντίστοιχη διαδρομή ελαχίστου κόστους.

1η επανάληψη:

Κόμβοι που συνδέονται με κόμβους του Λ1, είναι οι 2 , 3.5

κόμβος 3, ακμή (1-3) με μήκος 3 διαδρομή 1 3 και απόσταση 3 από την αφετηρία

κόμβος 2, ακμή (1-2) με μήκος 5, διαδρομή 1 2 και απόσταση 5 από την αφετηρία

κόμβος 5, ακμή (1-35) με μήκος, διαδρομή 1 5 και απόσταση 4 από την αφετηρία

Επειδή min(3,5,4)=3 και αυτό αντιστοιχεί στον κόμβο 3, ο κόμβος 3 είναι ο νέος λυμένος και

εισέρχεται στο σύνολο των μονίμων κόμβων το οποίο γίνεται Λ2={1, 3} και με αυτό ξεκινά η επόμενη

επανάληψη του αλγορίθμου

Ελάχιστη απόσταση του 3 από τον 1είναι 3 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 2.


Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με κόμβους του Λ2={1, 3}, είναι οι 4, 2 και 5

κόμβος 4, που συνδέεται

με τον 3, ακμή σύνδεσης (3-4) με μήκος 6, διαδρομή 3 4. Η ελάχιστη απόσταση1 του 3

από τον 1 έχει ήδη βρεθεί στο βήμα 1 είναι 3 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 2

Επομένως η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του κόμβου 4 από τον 1 μέσω του 3 είναι 3 +6

=9 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 1 3 4


με τον 3 ακμή σύνδεσης (3-2) με μήκος 7, διαδρομή 3 2. Η ελάχιστη απόσταση του 3


Επομένως η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του κόμβου 2 από τον 1 μέσω του 3 είναι

3+7=10 , με διαδρομή 1 3 2

με τον 1 ακμή (1-2) με μήκος 5. διαδρομή 1 2 με απόσταση 5.

Επειδή min(10,5)=5 η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του κόμβου 2 από τον 1 είναι 5 μέσω του

1 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 1 2


με τον 1, ακμή (1-5) με μήκος 4. διαδρομή 1 2

Είμαστε τώρα έτοιμοι να επιλέξουμε τον κόμβο που θα γίνει μόνιμος και θα προστεθεί στο σύνολο των

λυμένων κόμβων

Από τους κόμβους {4,2,5}, μόνιμος καθίσταται ο κόμβος που έχει την ελαχίστη προσωρινή απόσταση από

την αφετηρία (κόμβος 1). Οι κόμβοι που συνδέθηκαν σε αυτό το βήμα είναι οι {4,2,5} και οι προσωρινές

ελάχιστες αποστάσεις (τους από τον 1 είναι (9,5,4).

Επειδή min(9,5,4)=4 και αυτό αντιστοιχεί στον κόμβο 5. Ο κόμβος 5 καθίσταται μόνιμος, μπαίνει στο

σύνολο των λυμένων κόμβων το οποίο γίνεται Λ3={1,3,5 }, και η προσωρινή ελάχιστη απόσταση 4 του 5 από

τον 1 γίνεται η οριστική ελάχιστη απόσταση του 5 από τον 1.

Ελάχιστη απόσταση του 5 από τον 1 είναι 4 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 5.

Με το σύνολο Λ3={1, 3,5 } των λυμένων κόμβων θα εκτελέσουμε το επόμενο βήμα του αλγορίθμου.

1 Το σημείοαυτόυ είναι ένα από τα σημεία κλειδιά του αλγορίθμου

14

Στην τρίτη επανάληψη εξετάζονται οι αποστάσεις από την αφετηρία όλων των κόμβων που συνδέονται

άμεσα (δηλαδή με μια μόνο ακμή) με τουλάχιστον ένα από τους κόμβους του συνόλου Λ3={1,3,5 }.


Ξεκινάμε με Λ3={1,3,5 }. Οι κόμβοι που τώρα συνδέονται είναι οι {4,2,8}

κόμβος 4 που συνδέεται

με τον 3, ακμή σύνδεσης (3-4) με μήκος 6, διαδρομή 3 4. Η ελάχιστη απόσταση του 3


Επομένως η προσωρινή ελάχιστη απόσταση του κόμβου 4 από τον 1 μέσω του 3 είναι 3 +6

=9 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 1 3 4

κόμβος 2 που συνδέεται

με τον 1, ακμή (1=-2) με μήκος 5. Η ελάχιστη απόσταση του 2 από τον 1 είναι 5

διαδρομή 1 2.

Κόμβος 8 που συνδέεται

με τον 5, ακμή (5-8) με μήκος 7. Η ελάχιστη απόσταση του 5 από τον 1 έχει ήδη βρεθεί

στο προηγούμενο βήμα 2 είναι 4 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 5 Επομένως η

προσωρινή ελαχίστη απόσταση του κόμβου 8 από τον 1, μέσω του 5, είναι 4 + 7 =11 και

πετυχαίνεται στην διαδρομή 1 5 8 .

Επειδή min(9,5,11) =5 και αντιστοιχεί στον κόμβο 2, από τους κόμβους {4,2,8} που σε αυτό το βήμα

συνδέθηκαν με κόμβους του Λ3, μόνιμος γίνεται ο κόμβος 2. Η ελάχιστη τελική απόσταση του 2 από τον

1, είναι 5, πετυχαίνεται μέσω της διαδρομής , 1 2. Το σύνολο μονίμων κόμβων είναι τώρα Λ4={1, 3,5,2}.

Ελάχιστη απόσταση του 2 από τον 1 είναι 5 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 2.

4η επανάληψη

Έχοντας παρουσιάσει την λογική και την δυναμική του αλγορίθμου θα συντομεύσουμε την παρουσίαση

διότι οι κορυφές του δικτύου είναι πάρα πολλές.

Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τους Λ4={1, 3,5,2}, οι { 4,6,7,8}

Ο 4, με τον 3 και με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 6+3= 9, αλλά και με τον 2

με απόσταση 5+6=11 . Άρα προσωρινή απόσταση του 4 από τον 1 ίση με 9 μέσω του 3

Ο 6, μέσω του 2 και με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 5+4= 9


Ο 8, μέσω του 2 και με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 5+9= 14, αλλά και

,έσω του 5 με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 4+7= 11. Min(14,11), που

συνεπάγεται ελάχιστη προσωρινή απόσταση του 8 από τον 1 ίση με 11 μέσω του 5

min(9,9,10,11)=9 αντιστοιχεί στους κόμβους 4 και 6, επιλέγουμε ένα από αυτούς για να γίνει μόνιμος εδώ

τον 6 οπότε Λ5={1,3,5,2,6},. Ελάχιστη απόσταση του 6 από τον 1 ίση με 5+5=9 και αντιστοιχεί στην

διαδρομή 1 2 6. Αν επιλέξουμε τον 4 τότε Λ5={1, 3,5,2,4}.

Ελάχιστη απόσταση του 6 από τον 1 είναι 9 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 2 6


Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τους Λ5={1, 3,5,2,6}, οι { 4,9,7,8}

Ο 4, μέσω του 3 και με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 9, αλλά και μέσω του

2 με απόσταση 5+5=10, αλλά και μέσω του 6 με προσωρινή ελάχιστη απόσταση 9+2=11, άρα

προσωρινή ελάχιστη απόσταση του 4 από τον 1 ίση με 9 μέσω του 3 .


Ο 7, μέσω του 6 με απόσταση από τον 1 ίση με 8+9=17, αλλά και μέσω του 2 με προσωρινή

5+5=10. Min (17,10) =10, άρα ελάχιστη προσωρινή απόσταση του 7 από τον 1 ίση 10

15

Ο 8, μέσω του 2 και με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 5+9= 14, αλλά και

,έσω του 5 με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 4+7= 11,. Min(14,11) που


min(9,12,10,11)=9 αντιστοιχεί στον κόμβο 4 , αυτός γίνεται μόνιμος6 και Λ6={1, 3,5,2,6,4}.


Όπως φαίνεται θα ήταν πιο βολικό στο προηγούμενο βήμα να είχαμε επιλέξει τον 4 αντί του 6


Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τους Λ6={1, 3,5,2,6,4}, οι { 9,7,8}

Ο 9, μέσω του 6 και με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 3+9= 12.

Ο 7, μέσω του 6 με απόσταση από τον 1 ίση με 8+9=17, αλλά και μέσω του 2 με προσωρινή

5+5=10. Min (17,10) =10, άρα ελάχιστη προσωρινή απόσταση του 7 από τον 1 ίση 10, μέσω

του 2 Ο 8, μέσω του 2 και με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 5+9= 14, αλλά και

μέσω του 5 με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 4+7= 11,. Min(14,11) που


min(12,10,11)=10 αντιστοιχεί στον κόμβο 7 , αυτός γίνεται μόνιμος6 και Λ7={1, 3,5,2,6,4,7}



Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τους Λ6={1, 3,5,2,6,4,7}, οι { 9,10,8}

Ο 9, μέσω του 6 και με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 3+9= 12. Αλλά και

μέσω του 7 με απόσταση από τον 1 ίση με 9+10=19. Min(12,19)=12 μέσω του 7

Ο 10 με τον 7, μέσω του 6 με απόσταση από τον 1 ίση με 6+10=16.

Ο 8, μέσω του 7 και με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 10+6= 16, μέσω του 2

με απόσταση από τον 1 ίση με 9+5=14, αλλά και μέσω του 5 με προσωρινή ελάχιστη απόσταση

από τον 1 ίση με 4+7= 11, και. Min(16,14,11) =11 που συνεπάγεται ελάχιστη προσωρινή

απόσταση του 8 από τον 1 ίση με 11 μέσω του 5

min(12,16,11)=11 αντιστοιχεί στον κόμβο 8 , αυτός γίνεται μόνιμος και Λ8={1, 3,5,2,6,4,7,8}

Ελάχιστη απόσταση του 8 από τον 1 είναι 11 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 5 8.


Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τους Λ8={1, 3,5,2,6,4,7,8}, οι { 9,10}

Ο 9, μέσω του 6 με προσωρινή ελάχιστη απόσταση από τον 1 ίση με 3+9= 12. και μέσω του 7

με προσωρινή απόσταση από τον 1 ίση με 9+10=19. Min(12,19)=12 και άρα προσωρινή

ελάχιστη απόσταση του 9 από τον 1 ίση με 12.

Ο 10 με τον 7, με απόσταση από τον 1 ίση με 6+10=16, αλλά και με τον 8 με απόσταση

8+11=18. Min(16,18)=16 και άρα προσωρινή ελάχιστη απόσταση του 10 από τον 1 ίση με 16

Min(12,16)=12 αντιστοιχεί στον κόμβο 9 , αυτός γίνεται μόνιμος και Λ9={1, 3,5,2,6,4,7,8,9}

Ελάχιστη απόσταση του 9 από τον 1 είναι 12 και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 2 6 9.


Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με τους Λ9={1, 3,5,2,6,4,7,8,9}, οι {10}

Ο 10 με τον 7, με απόσταση από τον 1 ίση με 3+12=15, με τον 7 με απόσταση 6+1=16, με τον

8 με απόσταση 8+11=19

Min(15,16,19)=15. Ελάχιστη απόσταση του 10 από τον 1 είναι 15 και είναι μέσω του 9 οπότε η αντίστοιχη

διαδρομή είναι 1 2 6 9 10.

Οι ελάχιστες αποστάσεις και οι διαδρομές είναι μαρκαρισμένες στις γραμμές με κίτρινο.

16

17

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ · x ,x1 2 0 Το πρόβλημα του...

Documents