ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА часть iiedu.tltsu.ru/er/er_files/book1162/book.pdf · 2020....
TRANSCRIPT
-
Тольятти 2006
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»
Ахметжанова Г.В., Бабенко Н.Г., Иванов О.И.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА часть II
Учебно-методическое пособие для студентов очно-заочного, заочного
и дистанционного обучения
-
2
УДК 517.518.15(076) ББК 22.161.1 П14 Ахметжанова Г. В., Бабенко Н. Г., Иванов О. И. Учебно-методическое пособие по курсу
«Высшая математика». Тольятти: ТГУ, 2006 – 93с. Учебно – методическое пособие охватывает программу по «Высшей математике» второго
курса учебного заведения технического профиля. Данное пособие предназначено для студентов очно-заочной, заочной и дистанционной формы обучения и может быть использовано преподавателями высшей математики при дополнительной работе над курсом.
Пособие содержит необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач,
тренировочные упражнения – математические диктанты, тестовые задания, а также контрольные вопросы – тесты для проверки усвоения теоретического материала и библиографические сведения.
Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор Чернова Ю.К. доктор педагогических наук, профессор Ярыгин А.Н.
Научный редактор: доктор технических наук, профессор Зибров П. Ф.
Утверждено Научно – методическим советом факультета математики и информатики
Тольяттинского государственного университета
УДК 517.518.14(076) ББК 22.161.1
© Ахметжанова Г. В., Бабенко Н. Г., Иванов О. И.
© Тольяттинский государственный университет, 2006.
-
3
Содержание Предисловие ......................................................................................................................................................................4 Общие рекомендации студенту заочнику.......................................................................................................................5
Работа с учебником .....................................................................................................................................................5 Решение типовых задач ..............................................................................................................................................5 Ответы на тестовые задания.......................................................................................................................................6 Установочные лекции и практические занятия ........................................................................................................6 Контрольные вопросы.................................................................................................................................................6 Зачеты и экзамены.......................................................................................................................................................6 Требования к выполнению контрольных работ .......................................................................................................7
1. Неопределенный интеграл ...........................................................................................................................................8 1.1. Основные понятия и свойства .............................................................................................................................8 1.2. Способы нахождения интегралов .......................................................................................................................9
1.2.1. Табличное интегрирование .........................................................................................................................9 1.2.2. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала .....................................................11 1.2.3. Подведение (внесение) под знак дифференциала ...................................................................................12 1.2.4. Замена переменной в неопределенном интеграле ..................................................................................14 1.2.5. Интегрирование по частям........................................................................................................................15
1.3. Интегрирование рациональных выражений ....................................................................................................17 1.4. Интегрирование иррациональных выражений ................................................................................................21 1.5. Интегрирование тригонометрических выражений..........................................................................................27 1.6. Тесты (теория) ....................................................................................................................................................33
2. Определенный интеграл .............................................................................................................................................35 2.1. Основные свойства и определения ...................................................................................................................35 2.2. Замена переменной в определенном интеграле ...............................................................................................38 2.3. интегрирование по частям в определенном интеграле ...................................................................................41 2.4. Несобственные Интегралы ................................................................................................................................43
2.4.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (I рода) ...........................................................43 2.4.2. Несобственный интегралы от неограниченных функций (II рода) .......................................................45 2.5. Тесты (теория)...............................................................................................................................................50
-
4
Предисловие Настоящее пособие содержит методические указания и контрольные задания по следующим
разделам математического анализа: неопределенному интегралу, определенному интегралу и его приложениям, комплексным числам.
В начале каждой главы приведены краткие сведения из теории, необходимые для решения типовых задач.
В конце каждой главы имеются тесты для самопроверки изученного материала и практического решения задач.
Данное учебно-методическое пособие может быть использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения курса высшей математики студентами очно-заочной, заочной и дистанционной форм обучения.
Особенностью данного пособия является разработка заданий для пошагового овладения программой. Студент получает возможность комфортного доступа к теоретическому и практическому материалу по изучаемой теме и эффективного усвоения материала.
Пособие предназначено для студентов очно-заочной, заочной и дистанционной форм обучения и необходимо для выполнения контрольных работ и успешной сдачи экзаменов.
-
5
Общие рекомендации студенту заочнику Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов: • изучение теоретического материала по учебникам; • решение типовых задач; • ответы на тестовые задания; • установочные лекции; • практические занятия; • контрольные работы; • зачеты и экзамены.
Работа с учебником Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после
правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи.
Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен разбирать примеры, которые объясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.
Необходимо помнить, что каждая теория состоит из предположения и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательства сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих или не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.
При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.
Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при изучении конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником студенту.
Решение типовых задач 1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется
завести специальную тетрадь. 2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических
положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый оптимальный. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.
3. Решение задач следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями задачи.
4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа в общем виде с выводом формул. Затем в полученную формулу подставляются числовые значения (если они даны).
-
6
5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то полезно, прежде всего, проверить размерность полученного ответа. Если возможно, надо решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.
Ответы на тестовые задания Этот пункт самостоятельной работы представляет наиболее важную часть деятельности
студента. В пособии приведены тесты для самопроверки по каждой изучаемой теме. Только после ответа на теоретические вопросы студент может приступить к решению контрольных практических заданий.
Установочные лекции и практические занятия Во время экзаменационных сессий для студентов-заочников организуются лекции и
практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель – обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.
Контрольные вопросы 1. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных
работ, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса, указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление работы, помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.
2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.
3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю – рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену.
4. Не рекомендуется присылать в институт одновременно работы по нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ.
5. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.
6. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается университетом в соответствии с распределением по семестрам материала и сообщается студентам дополнительно.
Зачеты и экзамены На экзаменах и зачетах выясняется, прежде всего, отчетливое усвоение всех теоретических и
практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению
-
7
практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполнятся без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой курса.
При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту.
Требования к выполнению контрольных работ Перед выполнением контрольного задания студент должен изучать соответствующие
разделы курса по учебникам, рекомендуемым данным методическим пособием. Учебники обозначаются номерами в квадратных скобках. Например, [1] означает ссылку на учебник И. И. Баварина «Высшая математика». В «Методическом пособии» даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического и практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на учебно-консультационном пункте.
Номера вариантов контрольных задач определяются с помощью табл.1 причем номера контрольных заданий 1, 4, 7, 10 и т.д. находятся по первой букве фамилии студента, номера контрольных заданий 2, 5, 8, 11 и т.д. находятся по первой букве имени студента, номера контрольных заданий 3, 6, 9, 12 и т.д. находятся по первой букве отчества студента.
Таблица 1
Буква А, Ю, Я Б В, Ц, Щ Г, Э, Ю Д, Ш Е, Ж, З № варианта 1 2 3 4 5 6
Буква И, Р К Л, Х М Н, О П Ш, Ч С Т, У, Ф № варианта 7 8 9 10 11 12 13 14 15
При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже
правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил считаются не зачтенными и возвращаются студенту для переработки.
1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку синими или черными чернилами.
2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя и отчество студента, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров.
4. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. Если условие задачи имеет общую формулировку, то переписывая его следует общие данные заменить конкретными, взятыми из своего варианта.
5. В прорецензированной зачетной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию. Зачетные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.
-
8
1. Неопределенный интеграл
1.1. Основные понятия и свойства Как известно, основной задачей дифференциального исчисления является нахождение для
заданной функции )(xF ее производной )()(' xfxF = или ее дифференциала dxxfdxxFxdF )()(')( == . Обратная задача, состоящая в нахождении функции )(xF по
известной производной )(xf или дифференциалу dxxf )( , представляет собой основную задачу интегрального исчисления. Операции дифференцирования и интегрирования взаимообратны.
Определение: Первообразной функции )(xf на ],[ ba называется функция )(xF , производная которой равна )(xf для ],[ bax∈∀ , т.е.
)()(' xfxF = или dxxfxdF )()( = (1.1.1)Теорема: Если есть две первообразные функции )(xf , то они отличаются друг от друга на
постоянную величину. Определение: Множество всех первообразных функций )(xf называется неопределенным
интегралом.
∫ += CxFdxxf )()( (1.1.2),где ∫ - знак интеграла, )(xf - подынтегральная функция, dxxf )( - подынтегральное
выражение, С – произвольная постоянная. Равенство (1.1.2) дает общий вид первообразной функции. На вопрос о том, имеет ли данная функция )(xf первообразную, дает ответ основная теорема интегрального исчисления.
Теорема: Непрерывная на отрезке ],[ ba функция )(xf интегрируема в ],[ bax∈∀ . Определение: Процесс нахождения первообразной функции для заданной непрерывной
функции )(xf называется интегрированием. Свойства неопределенного интеграла.
1. ∫ += CxFxdF )()( . (1.1.3) 2. ∫ = dxxfdxxfd )()( . (1.1.4) 3. ∫ ∫= dxxfdxxf )()( αα . (1.1.5) 4. dxxfdxxfdxxfxf )([)()]()([ 2121 ∫∫∫ +=+ (1.1.6) 5. )(]')([]')([ xfCxFdxxf =+=∫ . (1.1.7)
6. Если ∫ += CxFdxxf )()( , то ∫ += CuFduuf )()( , где )(xuu = - ∀ дифференцируемая функция (1.1.8)
Таблица основных интегралов элементарных функций ( )(xuu = ):
)1(,1
1
−≠++
=+
∫ ααα
α Cuduu . ∫ += Cudu . (1.1.9)
Cuduu
+=∫ ln1 . (1.1.10)
Caaduau
u +=∫ ln . Cedueuu +=∫ . (1.1.11)
∫ +−= Cuudu cossin . (1.1.12)
-
9
∫ += Cuudu sincos . (1.1.13)
Ctguududuu
+== ∫∫ 22 seccos1 . (1.1.14)
Сctguuduecduu ∫∫ +−==
22 cossin
1 . (1.1.15)
СauC
audu
ua+−=+=⋅
−∫arccosarcsin1
22. (1.1.16)
∫ +−=+=⋅+ Cauarcctg
aC
auarctg
adu
au111
22 . (1.1.17)
Cuaua
adu
ua+
−+=
−∫ ln211
22 . (1.1.18)
Cbuudubu
+++=+∫
2
2ln1 . (1.1.19)
Каждая из формул приведенной таблицы справедлива на любом отрезке, находящегося в области определения соответствующей подынтегральной функции.
1.2. Способы нахождения интегралов
1.2.1. Табличное интегрирование
Интегрирование с помощью свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов элементарных функций.
Пример 1. Найти интеграл: dxx∫ 4 36 и проверить дифференцированием полученный результат.
Решение:
CxCxdxxdxx +=+== ∫∫ 4 747
43
4 3
724
47
666 .
Проверка:
4 343
43
47
4 7 6647
724'
724'
724 xxxCxCx ==⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ + .
Ответ: Cx +4 7724 .
Пример 2. Найти интеграл: dxx
xxxx∫
+−+−3
3 224 6753 .
Решение:
CxxxxxCxx
xxxdxxxxxdxx
xxxx
++−+−=++−
+−=+−+−=+−+− ∫∫−
)95215
89
143(9
521
589
143)6753(6753
3243 232
35
38
314
31
32
35
311
3
3 22
.
-
10
Указание: в данном интеграле числитель делим на знаменатель 3 x почленно и затем интегрируем. при вычислении интеграла от суммы нескольких функций сумму произвольных постоянных,
которая при этом получается, заменяют одной произвольной постоянной, обозначаемой обычно буквой С.
Ответ: Cxxxxx ++−+− )95215
89
143( 3243 2 .
Пример 3. Найти интегралы:
1) ∫+ dxxx 3)1( ; 2) dx
xxx
∫++
3 2
3 )3)(24( .
Указание: в первом интеграле необходимо сначала числитель возвести в куб, полученный многочлен
разделить на знаменатель x и после этого проинтегрировать; во втором интеграле в числителе перемножить многочлены, произведение разделить на
знаменатель 3 2x , после чего выполнить интегрирование.
Ответ: 1) Cxxxxx ++++2
2322
; 2) Cxxxxxx ++++∫ 6 536 5333 12602312
56 .
Пример 4. Найти интегралы, используя свойства неопределенных интегралов:
1) ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + dx
xx
22 ; 2) dx
xx
x∫ ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛−− 4
32
2cos
3
.
Решение:
1) ∫∫ +−+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + C
xxxdx
xxx
xdxx
x 443
42223
22
2
.
2)
Cx
xtgx
Cx
xtgxdxxxx
dxx
xx
+−−
=+−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− ∫∫ −
33 4
334
431
243
2
32
433
32
4332
cos132
cos3
.
Ответ: 1) Cx
xx +−+ 443
3
; 2) Cx
xtgx +−− 33 4
32
433 .
Пример 5. Найти интегралы:
1) ∫ +14 2xdx ; 2) ∫ − 252x
dx .
Решение:
1) CxarctgCxarctgx
dxxdx +=+⋅=
+=
+ ∫∫ 221
21
211
41
414
114 22
.
2) CxxC
xx
xdx +
+−=+
+−
⋅=
−∫ 55ln
101
55ln
521
252.
-
11
Ответ: 1) Cxarctg +221 ; 2) C
xx +
+−
55ln
101
1.2.2. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала
Если известен интеграл ∫ += CxFdxxf )()( , то следующие интегралы могут быть вычислены с помощью линейного преобразования выражения под знаком дифференциала:
1. ∫ ∫ ++=++=+ CbxFbxdbxfdxbxf )()()()( . (1.2.1)
2. ∫ ∫ +== CaxFaaxdaxfadxaxf )(1)()(1)( . (1.2.2)
3. ∫ ∫ ++=++=+ CbaxFabaxdbaxfadxbaxf )(1)()(1)( . (1.2.3)
Пример 6. Найти интеграл: ∫ − dxx )87sin( . Решение:
∫∫ +−−=−−=− Cxxdxdxx )87cos(71)87()87sin(
71)87sin( .
Ответ: Cx +−− )87cos(71 .
Пример 7. Найти интегралы:
1) ∫ + dxxx 32 )8(2 ; 2) dxxx∫ + 92 2 ; 3) dxxx∫ +3 32 16 . Решение:
1) Cxxdxdxxx ++=++=+ ∫∫ 4223232 )8(41)8()8()8(2 .
2) CxCxxdxdxxx ++=++=++=+ ∫∫ 3223
222
122 )9(
32
23
9)9()9(92 .
3) CxCxxdxdxxx ++=++=++=+ ∫∫ 3 4334
333
133 32 )16(
41
34
)16(31)16()16(
3116 .
Ответ: 1) Cx ++ 42 )8(41 ; 2) Cx ++ 32 )9(
32 ; 3) Cx ++3 43 )16(
41 .
Пример 8. Найти интегралы:
1) ∫ + dxbx21 ; 2) ∫ + dxx
x2cos1
2sin ; 3) ∫ − dxxb 31 ;
4) ∫ + dxxx
4
3
314; 5) ∫ + dxe
ex
x
2
2
25; 6) ∫ dxxx 3ln
1 .
Решение:
1) ∫∫ ++=++=
+Cbx
bxbxddx
bx)2ln(
21
2)2(
21
21 .
-
12
2) ∫∫ ++−=++−=
+Cx
xxddx
xx )2cos1ln(
21
2cos1)2cos1(
21
2cos12sin .
3) ∫∫ +−−=−−−=
−Cxb
xbxbddx
xb)3ln(
31
3)3(
31
31 .
4) Cxxxddx
xx ++=
++=
+ ∫∫4
4
4
4
3
314ln121
314)314(
121
314.
5) Ceeeddx
ee x
x
x
x
x
++=++=
+ ∫∫2
2
2
2
2
25ln21
25)25(
21
25.
6) ∫∫∫ +−=== − Cxxxdxxddx
xx 23
33 ln21)(lnln
ln)(ln
ln1 .
Ответ: 1) Cbx ++ )2ln(21 ; 2) Cx ++− )2cos1ln(
21 ; 3) Cxb +−− )3ln(
31 ;
4) Cx ++ 4314ln121 ; 5) Ce x ++ 225ln
21 ; 6) C
x+− 2ln2
1 .
Пример 9. Найти интегралы:
1) ∫ +dx
xx
3
2
1; 2) ∫ + dxx
xcos215
sin ; 3) ∫ −dxxxx
2sin2cossin .
Решение:
1) ∫ ∫∫ ++=++=++=
+
−Cxxdx
xxddx
xx 332
13
3
3
3
2
132)1()1(
31
1)1(
31
1.
2) Cxxdx
xxddx
xx
++=++−
=++−=
+−
∫
∫∫
cos215)cos215()cos215(21
cos215)cos215(
21
cos215sin
21
.
3) Cxxdxxxddx
xxx +−−=−−−=
−
−−=−
−
∫∫∫ 2221
2
2
2
2sin2)sin2()sin2(
21
sin2)sin2(
21
sin2cossin .
Ответ: 1) Cx ++ 3132 ; 2) Cx ++ cos215 ; 3) Cx +−− 2sin2 .
1.2.3. Подведение (внесение) под знак дифференциала
Один из множителей подынтегральной функции можно подвести под знак дифференциала. Для этого необходимо вычислить первообразную этого множителя и записать ее под знаком дифференциала.
В дальнейшем все дополнительные вычисления и рассуждения будем записывать между двумя вертикальными чертами.
[ ] [ ]∫ ∫ +==⋅ CxYFxdYxYfdxxYxYf ))(()())(()('))('( (1.2.4)Совет. Если после внесения одного из множителей под знак дифференциала возникли
затруднения в дальнейших действиях, смело заменяйте полученное выражение под знаком дифференциала на новую переменную.
Пример 10. Найти интегралы:
-
13
1) ∫ xdxxcossin 5 ; 2) xdxx 9sin9cos8 ; 3) ∫ + dxxxacrtg
2
7
1;
4) ∫ dxxx2ln ; 5) ∫ − dxx
x21
arcsin .
Решение:
1) ∫∫ +== Cxxxdxdxx
6sin)(sinsincossin
655 .
2) CxCxxxdxdxx +−=+⋅−=−= ∫ 9cos811
99cos
91)9(cos9cos
919sin9cos 9
988 .
3) ∫∫ +==+ Cxarctgarctgxxdarctgdx
xxacrtg
8)(
1
87
2
7
.
4) ∫∫ +== Cxxxddx
xx
3ln)(lnlnln
32
2
.
5) Cxxdxdxxx +==
− ∫∫32
1
2 )(arcsin32)(arcsin)(arcsin
1arcsin .
Ответ: 1) Cx +6
sin6 ; 2) Cx +− 9cos811 9 ; 3) Cxarctg +
8
8
;
4) Cx +3
ln3 ; 5) Cx +3)(arcsin32 .
Пример 11. Найти интегралы:
1) ∫ − dxxx 24)23( ; 2) ∫ + dxxx )1sin( 32 ; 3) ∫ + dxxxdx
12;
4) ∫ − 22 axxdx ; 5) ∫ − 22 xax
dx ; 6) ∫ ++ 82xdx .
Решение:
1) CxxCtt
dtttdttttxdtdxxtdxxx
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=+=+=+==−==− ∫ ∫∫
250)23(2
26)23(
91
252
2691
)2(91)2(
91
32;
31;23)23(
25262526
24252424
.
2) Cx
Cttdtdtdxxdtdxxxtdxxx
++−=
=+−====+==+ ∫∫
)1cos(31
cos31sin
313;
31;1)1sin(
3
22332
.
3) Cx
CxCttdtdtxdxdtxdxxtdx
xxdx
++=
=++=+====+==+ ∫∫
)1ln(21
1ln21ln
21
212;
21;1
12
222
.
-
14
4)
Cxa
atdt
adt
ta
tat
tat
ata
taaxxx
atdttadx
tax
axxdx
+−=−
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−
=−
=−
=−
=−===−
∫∫
∫
arcsin11
11
111;;;
2222
2
22
2
22
222222
.
5)
CaxaCtCt
aa
tdt
aadt
taa
tata
tataaxaxadtdxaxattax
xaxdx
+−±=+±=+=−
−=−
−=
=−=−
=−−−⋅=−−=−=−==
−
∫∫
∫
arccosarccosarccos11
1)1(
)1()1(22;;);1(
2
22
222
222
2
.
Верхний знак (+) надо взять при 0>a , а нижний (-) при 0
-
15
Пример 12. Найти интеграл: ∫ + dxxx
)87( 32
.
Решение:
∫∫ ++−=+−===
=+=
=+
−− Cx
Ctdtt
dxxdt
dxxdtxt
dxxx
)87(841
841
211
211
21;87
)87( 345
2
2
3
3
2
.
Ответ: Cx
++
−)87(84
13 .
Замечание: При интегрировании выражений, содержащих квадратный трехчлен, главным
моментом является выделение полного квадрата:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++=++
ac
ab
abxa
ac
ab
abx
abxa
acx
abxacbxax
22
22222
2
22
2
.
После этого чаще всего необходимо делать замену: dtdxtabx ==+ ;2
.
Пример 13. Найти интеграл: ∫ −+− dxxxxx
2
2
623 .
Решение:
[ ] ( )[ ]
CxxxxxC
tttt
tdt
ttdtdtdt
tttdt
ttt
dtt
ttdtdxtxtx
xxxxxdxxxxx
+−−−−+−=++−−−−−=
=−
−−
−−=−
++−−=−
++−=
=−
++−+−==+==−
−−−=−+−−=−=−
+−
∫ ∫ ∫ ∫∫
∫∫
6ln6536ln
21793
33ln
6539ln
2173
953
9173
95317)9(3
926173
92)3()3(3
;3;393933*26
623
22
222
2
2
2
2
22222
2
2
.
Ответ: Cxxxxx +−−−−+− 6ln
6536ln
21793 2 .
1.2.5. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
∫ ∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu , (1.2.6)где: )(),( xvvxuu == - непрерывные дифференцируемые функции. Случаи применения формулы интегрирования по частям:
1. dxxx
advxPudx
xx
axP
x
n
x
n
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
===⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅∫ββ
ββ
αα
cossin);(
cossin)( .
-
16
2. dxxPdv
xarcctgxarctgxxx
udx
xarcctgxarctgxxx
xP n
aa
n )(;arccosarcsin
log
arccosarcsin
log
)( =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅∫
ββββ
ββββ
.
3. =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅∫ dxx
xa x
ββα
cossin
два раза интегрируем по частям, получаем уравнение относительно
исходного материала.
4. =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
∫ dxxabx
22
2
один раз интегрируем по частям, получаем уравнение относительно
исходного материала. Замечания:
)(xPn означает многочлен степени n , а в квадратных скобках перечислены функции, к которым применима данная формула.
Во втором пункте вместо многочлена можно подставлять и степенную функцию.
Пример 14. Найти интеграл: dxex x∫ ⋅− 22 )75( . Решение:
Cxxedxexexeevdxedv
dxduxu
dxxexe
vduvuudv
edxedvvdxedv
xdxduxu
dxex
xx
xx
xx
xxxxxx
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
==
===
=−−=
−⋅=
====
=−=
=⋅−
∫
∫∫ ∫
∫∫∫
25575
221
25)75(
21
21;
;
210)75(
21
21;
10;75
)75(
22
22
2222
222222
2
22
.
Ответ: Cxxex
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
25575
22
2
.
Пример 15. Найти интеграл: dxxx∫ 4log53 . Решение:
CxxxCxxxx
dxxxx
vduvuudv
xvdxxdv
xdxduxu
dxxx
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+⋅−=
=−=
−⋅=
==
==
=
∫ ∫∫
5ln434log
43
43
5ln434log
43
5ln434log
43
43;
5ln;4log
4log
533
53 4
35
3 43 43
5
53
.
Ответ: Cxxx +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
5ln434log
43
53 .
-
17
Пример 16. Найти интеграл: dxx∫ 2ln . Решение:
∫
∫∫∫
++−=⋅+−===
===
=−=−===
⋅===
Cxxxxxxxdxxxxx
xvdxdvxdxduxu
xdxxxxdxxxxx
xvdxdvxdxxduxu
dxx
2ln2ln2ln2ln;
;ln
ln2lnln2ln;
ln2;lnln
22
222
2
.
Ответ: Cxxxxx ++− 2ln2ln2 .
Пример 17. Найти интеграл: ∫ xdxex cos . Решение:
CxxeCxexedxxe
Cxdxexexe
xvxdxdvdxedueu
dxxexe
vduvuudv
xvxdxdvdxedueu
xdxe
xxxx
xxx
xxxx
xx
x
++=++=
+−+=
=−==
===−=
−⋅=
====
=
∫
∫
∫∫ ∫
∫
)cos(sin21cossincos2
;coscossin
cos;sin;
sinsinsin;cos;
cos
.
Ответ: Cxxex ++ )cos(sin21 .
Пример 18. Найти интеграл: dxx∫ − 62 . Решение:
;6ln666
666666
66
6;;6
;6
6
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
CIxxxxxdxdxxxxdx
xx
xxxxdxxx
vduvuudv
xvdxdvxxdxduxu
dxxI
+−−+−−=−
−−−−=−+−−
−−=−
−−=
−⋅=
==−
=−=
=−=
∫∫∫
∫∫ ∫
∫.
Ответ: CxxxxI +−+−−= 6ln66 22 .
1.3. Интегрирование рациональных выражений Определение: Рациональным относительно x называется выражение, представляющее
собой отношение двух многочленов, зависящих от x (т. е. это дробь, числитель и знаменатель которой есть многочлен )(xPm и )(xQn ).
Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена )(xPm числителя меньше степени многочлена )(xQn знаменателя ( nm < ).
Теорема: Всякая неправильная рациональная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби.
-
18
О корнях многочлена Если при 1xx = многочлен nn
nnnn axaxaxaxaxQ +++++= −
−−1
22
110 ...)( обращается в нуль (т.
е. 0)( =xQn ), то число 1x называется корнем многочлена.
О разложении многочлена на множители Теорема: Любой многочлен ( )(xQn∀ ), степень которого выше 2 ( 2>n ) можно разложить
на простейшие множители по формуле (1.3.1): тn rr
nn qxpxqxpxaxaxaxaxaxQ )(...)()(...)()()()( 112
112
32101321 ++⋅⋅++⋅−⋅⋅−⋅−⋅−= αααα .
Если числа nn axaxax === ...;; 2211 являются действительными корнями многочлена )(xQn , а квадратичные множители не имеют действительных корней и на множители первой
степени с действительными коэффициентами не разлагаются. О разложении рациональной дроби на простейшие
Пусть )()(xQxP
n
m - правильная, несократимая рациональная дробь, а ее знаменатель после
разложения на множители имеет вид: nn rr
nn qxpxqxpxaxaxaxaxaxQ )(...)()(...)()()()( 112
112
32101321 ++⋅⋅++⋅−⋅⋅−⋅−⋅−= αααα , где:
21, aa … действительные корни, а квадратичные множители не имеют действительных корней. Определение: Дроби следующих типов называются простейшими:
I. axA−
;
II. ,...4,3,2;)(
=−
kaxA
k ;
III. 0;2
-
19
соответствующей степени многочлены с неопределенными коэффициентами. При этом множителю знаменателя кратности α будет соответствовать α простейших дробей, в знаменателях которых будут все степени множителя.
Контроль. Число неопределенных коэффициентов должно равняться степени многочлена в знаменателе исходной дроби.
Привести сумму простейших дробей к общему знаменателю. Общим знаменателем является знаменатель исходной дроби.
Приравнять числители исходной и получившейся дроби, вычислить коэффициенты. Для этого можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в многочленах правой и левой части равенства.
Таким образом, интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших дробей, а затем интегрируем каждое слагаемое в этом разложении.
Вычисляя интегралы от простейших дробей, необходимо иметь в виду, что: 1) простейшие дроби первых двух типов – почти табличные:
∫ ∫ +−=−−=
−CaxA
axaxdAdx
axA ln)(
1;)(
11
)()()(
)()( 1
≠+−
⋅−
=−−=−
−=− −
−∫∫∫ kCaxkAaxdaxA
axaxdAdx
axA
kk
kk
2) при интегрировании простейшей дроби третьего (III) типа производим замену
переменной: ;2pxt += dxdt = и получаем, таким образом, два табличных интеграла:
=+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−+
+++=
+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
−=
+=++=
+=
=++
+
∫
∫∫∫
Catarctg
aApBatA
atdtpAB
atatdAdt
at
BptA
pqa
atqpxxdxdt
pxt
dxqpxx
BAx
12
ln22
)(2
2
4
2
2222
22
22
22
22
2222
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−+++=
4
2ln2 2
2
pq
pABqpxxA
3) если требуется проинтегрировать простейшую дробь четвертого (IV) типа
∫ +++
kqpxxBAx
)( 2, 0
-
20
Пример 19. Найти интеграл: ∫ +−+ dxxxx
22 )172(58 .
Решение: Так как дискриминант квадратного трехчлена знаменателя отрицательный, то имеем
простейшую дробь четвертого типа. Выделяем в числителе дроби производную трехчлена знаменателя: 13)22(458 +−=+ xx .
[ ]
[ ] [ ]∫∫∫
∫∫∫∫
++
+−−=
++=
==−
−=+−=
=
=+−
++−
−=−=+−
+
222222
2
222222
1613
1724
16134
1)1(2
;172
16)1(13
)172()22(4)22(4
)172(58
udu
xxudu
tdt
dudxux
dxxdtxxt
xdx
xxdxxxdx
xxx
.
Последний интеграл вычисляем с помощью рекуррентной формулы (1.3.2) при 16,2 2 == ak .
[ ]Cxarctg
xxx
Cuarctguu
udu
uu
udu
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
+−−=
=+⋅++
=+
⋅++
⋅⋅⋅
=+ ∫∫
41
41
1721
321
441
321
)16(32421
161
)16(16121
16
2
222222
.
Окончательно имеем:
Cxx
xarctgxx
xdxxxx +
+−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+
+−−=
+−+
∫ 1724
41
41
1721
3213
)172(58
2222 .
Ответ: Cxx
xarctgxx
x ++−
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
+−−
1724
41
41
1721
3213
22 .
Пример 20. Найти интеграл: dxxx
∫ ++
4
2
)1(1 .
Решение:
Rx
DxCxBxAxD
xC
xB
xAdx
xx =
+++++++=
++
++
++
+=
++
∫ 423
4324
2
)1()1()1()1(
)1()1()1(1)1(1 .
Приравниваем числители: DCCxxxBxxxADxCxBxAx +++++++++=++++++=+ )12()133()1()1()1(1 223232 .
22
10
1230
310
0
1
2
3
=−=
==
+++=++=
+==
DCBA
DCBACBA
BAA
xxxx
Подставим полученные коэффициенты:
432 )1(2
)1(2
)1(1
++
+−
+=
xxxR .
-
21
Cxxx
dxxxx
dxxx +
+−
++
+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
−+
=++
∫∫ 3243242
)1(32
)1(1
11
)1(2
)1(2
)1(1
)1(1 .
Ответ: Cxxx
++
−+
++
− 32 )1(32
)1(1
11 .
1.4. Интегрирование иррациональных выражений При интегрировании иррациональных выражений (в данном случае имеется в виду
выражения, содержащие корни) удается в некоторых случаях избавиться от иррациональности с помощью следующих замен:
1. ( )
∫ ∫
∫
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
====+=+
−
−
dttRdttant
abtR
dttandx
abtxtbaxdxbaxxR
nn
nn
nn
)(*,
;;
1
11
. (1.4.1)
2. ( ) ( )
∫∫
∫
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
=
=
−==+
=
=+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−
−
dttRdttaktt
abtR
dttakdx
abtxtbax
nnHOKk
dxbaxbaxxR
knk
nkk
k
kk
r
n mn m
r
r r
)(*,,
;;
),...,(
,...,
1
1
1
1
1
1 11 1
. (1.4.2)
3.
∫∫ =
=
−−==
++
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
−
R
dttakdx
actdtbxt
dcxbax
nnHOKk
dxdcxbax
dcxbaxxR
k
k
kk
r
nm
nm
r
r
;;
),...,(
,...,
1
1
111
1
.
(1.4.3)
Здесь в пунктах 2 и 3 k - наименьшее общее кратное показателей корней rnnn ,...,, 21 . R - рациональная функция.
4. Интегралы от дифференциальных биномов:
( ) dxbxax Pnm∫ ⋅+⋅ , где: Pnm ,, - рациональные числа, сводятся к интегралам от рациональных дробей только в трех случаях:
P - целое число, тогда ( ) ∫∫∫ =⋅⋅+====⋅+⋅ −− dttRdtktbtatdtktdxtxdxbxax kPnkmkkkPnm )(*)(; 11 (1.4.4) где k -
наименьшее общее кратное дробей m и n .
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +nm 1 - целое число; в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью
подстановки kn tbxa =+ , где k - знаменатель дроби P .
Pnm +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +1 - целое число; в этом случае интеграл рационализируется с помощью
подстановки kn tbax =+− , где k - знаменатель дроби P .
-
22
5. Интеграл вида ∫ ++ cbxax
dx2
приводится к табличным интегралам X и XII путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.
6. Интегралы вида dxcbxax
BAx∫ ++
+2
путем выделения в числителе производной квадратного
трехчлена, стоящего под знаком корня распадаются на сумму двух интегралов
( )+
++++=
++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
=++
+∫∫∫ cbxax
cbxaxdaAdx
cbxaxaApBbax
aA
dxcbxax
BAx2
2
22
)(2
22
2∫ ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
cbxaxdx
aApB
22,
которые фактически являются табличными интегралами.
7. Интегралы вида ∫ ++− cbxaxxdx
2)( λ приводятся к табличным интегралам с помощью
подстановки t
x 1=− λ .
8. Интегралы вида dxcbxax
dxxPn∫ ++2)( , где )(xPn - многочлен n
ой степени, находятся с
помощью тождества:
∫∫ +++++=
++−
cbxaxdxcbxaxxQdx
cbxaxdxxP
nn
2
212
)()( λ (1.4.5),
где )(1 xQn− - многочлен )1( −nй степени с неопределенными коэффициентами, λ - число.
Дифференцируя указанное тождество (1.4.5) и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена )(1 xQn− и число λ .
9. Интегралы вида ( ) ( ) ( )dxaxxRdxxaxRdxxaxR 221221221 ,, −+− ∫∫∫ с помощью надлежащих тригонометрических подстановок сводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций:
( ) ( )∫∫ ⋅⋅====− dttataRtdtadxtaxdxxaxR coscoscos;sin221 ; (1.4.6) ( ) dt
ta
taRdt
tadxtgtaxdxxaxR 22
221 coscoscos
; ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==⋅==+ ∫∫ ; (1.4.7)
( ) dt
tta
ttaRdt
ttadx
taxdxaxxR ⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅====− ∫∫ 22221 cos
sincossin
cossin;
cos.
(1.4.8)
Пример 21. Найти интеграл: ∫ + 3 xxdx .
Решение:
-
23
CxxxxCttttCtttt
dtt
tttdtt
ttdtt
ttxdttdx
ttx
txHOK
xxdx
++−+−=++−+−=+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−+−=
+=
+=
===
==
==
=+ ∫∫∫∫
1ln66321ln66321ln23
6
1116
166
;6
;
;;6)3,2(
6632323
23
23
5
23 635
36
6
3
.
Ответ: Cxxxx ++−+− 1ln6632 663 .
Пример 22. Найти интеграл: dxxxx
∫ +++
3 11 .
Решение:
( ) ( )
CxxxCtttCttt
dttttdttt
tt
dttdxtx
txtxtxHOK
dxxxx
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+++⋅+=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
=−+=⋅+−=
==+
−==+=+=
=+
++∫∫∫
41
71
101)1(6
41
7106
47106
661
6;1
;1;11;6)3,2(
11
3 236
44710
36952
36
523
26
3
3
.
Ответ: Cxxx +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+++⋅+
41
71
101)1(63 2 .
Пример 23. Найти интеграл: ( )∫ + 104 1xxdx .
Решение:
( )
( ) ( ) CxxCtt
tdttdttdt
tdt
txdttdx
txtx
P
dxxxxx
dx
++
++
−=++
++
−=
=++−++=+
−+
=
=
==
==
−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
+
∫ ∫∫∫
∫∫
−−
−−
948498
109109
43
24
10
41
21
104
19
4
12
1)1(9
4)1(2
1
)1()1(4)1()1(4)1(
4)1(
4
;4
;
10
11
.
10−=P - целое число (случай 1) интегрируемости дифференциального бинома (п. 4) (1.4.4)).
Ответ: ( ) ( ) Cxx ++++− 9484 194
12
1 .
Пример 24. Найти интеграл: ( )∫ −− 223
44 xxdxx .
Решение:
( ) ( ) ⇒−=−− ∫∫− dxxx
xxdxx
23
23
22
3
444
имеем 23,2,3 −=== Pnm , так как 2
2131 =+=+
nm -
целое число, то имеем случай 2) интегрируемости дифференциального бинома (п. 4).
-
24
( )
CxxC
xxC
tt
Ct
ttdtdtdt
tttdttt
xt
tdtxdxtdtxdx
txtx
+−
−=+−
+−=++=
=++=−=−−=⋅⋅−−=
−=
−==−
−==−
⇒ ∫∫ ∫∫ −
2
2
2
22
22
232
2
2222
48
4444
4444
4
;;22
;4;4
.
Ответ: Cxx +
−−
2
2
48 .
Пример 25. Найти интеграл: ∫ + 24 1 xxdx .
Решение:
( ) ⇒+⋅=+ ∫∫
−− dxxxxx
dx21
24
241
1 имеем ,2,4 =−= nm ;
21−=P 21 −=++ P
nm - целое
число, то имеем случай 3) интегрируемости дифференциального бинома (п. 4). Полагаем, что
tdtdxxèëètdtdxxtx
−==−=+
−−
−
33
22
221
.
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) Cx
xxCxx
xxCxxCtt
dtttdtttdxxxxdxxxx
++⋅−=++
−+=++−+=++−
=−−=⋅⋅−=⋅+⋅=+⋅⋅⇒
−−
−−−−−−−− ∫∫∫∫
3
22
3
322322
3
212321
2221
224
31)12(
3111
311
3
1111.
Ответ: Cx
xx ++⋅− 322
31)12( .
Пример 26. Найти интеграл: ∫ ++ 942 xxdx .
Решение:
( ) ( )Cxxx
x
xd
x
dxxx
dx +++++=++
+=++
=++ ∫ ∫∫
94)2(ln52
)2(
52942
222.
Ответ: Cxxx +++++ 94)2(ln 2 .
Пример 27. Найти интеграл: ∫ −− 21)1( xxdx .
Решение:
( ) ( )x
xCx
CtCCttdt
tdt
tttdtt
tt
t
tdt
dtt
dx
tx
tx
xxdx
−+−=
−−−−=−−−=+−−−=−−−−−=
=−−
=−−
−+−
−=
−=
+==−=
−−
∫
∫∫∫∫
−
11
12121)21(2121
21
2122111
11;11
1)1(
21
21
2
2
2
2
.
-
25
Здесь учтено, что tt =2 , что подынтегральная функция определена в интервале
11
-
26
( ) ( )
( ) ( )
Cx
xxctgCtttctgtdtttctgt
tdtdtt
dtdtt
tttdttdt
tt
tdttttdt
tt
xt
tdtdxtx
dxxx
+−
−−=+−+−=−⋅+−−=
=+−=+−=−==
=⋅=⋅−
=
=
==
=−
∫
∫ ∫∫∫∫∫
∫∫∫
2arcsin2sin
2arcsin6
2arcsin42sin284)2cos1(
21484
sin48sin
4sin
sinsin214sinsin14
sincos4
cos2sin4cos8cos2
sin4sin44
2arcsin
cos2sin2
4
222
42
2
22
2
4
2
6
2
32
2
32
.
Ответ: Cxxxctg +−−2
arcsin2sin2
arcsin62
arcsin4 .
Пример 30. Найти интеграл: ∫ + 29 xxdx .
Решение:
Cx
x
xxtctgect
xctgtxtgt
Cctgtect
tdttgttdt
ttgttdt
ttgtgtdtt
xarctgt
dttdxtgtx
xxdx
+−+=+=+=
===+−=
====+
⋅=
=
⋅==
=+ ∫∫∫∫∫
39ln31
91cos
3;3
cosln31
sin31sec
31
sec3sec
993sec3
3
sec33
9
2
22
2
2
22
2
.
Ответ: Cx
x +−+ 39ln31 2 .
Пример 31. Найти интеграл: ∫ − 422
xdxx .
Решение:
⇒=⋅=⋅⋅⋅−
=⋅⋅=
==
− ∫∫∫∫tdtdt
tgttgttdttgtt
tt
dttgttdxtx
xdxx 33
2
2
2
2
sec4sec4sec24sec4
sec4sec2
;sec2
4
Используем рекуррентную формулу (1.4.9):
dttnt
tn
dtt nnn ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅=⋅ ∫∫ −+ 12212 sec2
11cossin
21sec (1.4.9.);
Тогда имеем:
ICtgtttt
tdt
ttdtt
tt =+++=+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅⇒ ∫∫ secln2
1cossin2
cos21
cossin2sec
21
cossin
214 222 .
-
27
Так как
24sin;2cos
24;
2sec
2
2
−==
−==
xtx
t
xtgtxt.
Следовательно:
Cxxxx
CxxxxxCtgtt
ttI
+−++−=
=+−++⋅−=+++=
24ln
21
24
24
2ln
21
442secln
21
cossin2
22
222
2
.
Ответ: Cxxxx +−++−2
4ln21
24 22 .
1.5. Интегрирование тригонометрических выражений Интегралы от тригонометрических выражений различного типа во многих ситуациях
удается рационализировать либо существенно упростить. Типы тригонометрических выражений и способы их интегрирования
1. Универсальная тригонометрическая подстановка 2utgt =
∫ ∫ ∫=++−
+=
+=
+−=
+===
= dttRtdt
tt
ttR
ttx
ttx
tdtdxtarctgxtxtg
dxxxR )(12)
11;
12(
12sin;
11cos
)1(2;2;
2)cos,(sin *222
2
22
2
2 (1.5.1)
Пример 32. Найти интеграл ∫ xdx
3sin3.
Решение
CxtgxtgxctgCttt
dtttt
dttt
ttt
dt
ttx
tdtdxtarctgxtxtg
xdx
+++−=+++−=++=
=+=
++
=
+=
+===
=
∫
∫∫∫
22ln
21
281ln
21
81)21(
41
)1(41
)1
2)(1(2
12sin
12;2;
23sin
22223
3
2
32
22
2
3
Ответ: Cxtgxtgxctg +++−22
ln21
281 22 .
Пример 33. Найти интеграл ∫ ++ xxdx
cos3sin25.
Решение
-
28
C
xtgarctgCtarctg
tdt
ttdt
ttttt
dt
tt
ttt
dt
ttx
ttx
tdtdxtarctgxtxtg
xxdx
++
=++=++
=++
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−++++
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+
+++
=
+=
+−=
+===
=++
∫∫∫
∫∫
3
12
32
31
32
3)1(8422
133455)1(
2
133
145)1(
2
12sin;
11cos
)1(2;2;
2cos3sin25
22
2
222
2
2
22
22
2
2
Ответ: C
xtgarctg +
+
3
12
32
2. Применение замены tgxt = .
∫∫ =+
==+
=+
===+=⋅ dttR
tdtdxtarctgx
tx
ttxttgxpnm
dxxx nm )(
1;;
11cos
1sin;;2
cossin22
2
2
22
(1.5.2)
Пример 34. Найти интеграл ∫ xdx
4cos.
Решение
Cxtgxtg
Cttdtttdtt
tarctgxtdtdx
txtxtg
xdx
++=
=++=+=+
+==
+=
+=== ∫∫∫
3
32
2
2222
2
4
31
3)1(
1)1(
1;
11cos;
cos
Ответ: Cxtgxtg ++ 331 .
Пример 35. Найти интеграл ∫ dxxx
4
6
sincos .
Решение
CxxxctgxctgCxxxxctg
xtgxtgdxxxxctgx
xddxx
dxx
dxx
dxdxx
xxxdxxxdx
xx
+++−−=++−++
++++=−−+++
+=−
++−=−+−=−=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
2sin41
25
312sin
41
2133
)2(31)2()2cos1(2
133)2(cos
)2(sin
3sin
3sinsin
sinsin3sin31sin
)sin1(sincos
3
34
2
244
642
4
32
4
6
πππ
π
Ответ: Cxxxctgxctg +++−− 2sin41
25
31 3 .
3. Внесение под знак дифференциала функции в нечетной степени
-
29
∫ ∫
∫=⋅−−=
=⋅
Rdttt
dxxx
np
nm
)1(
sincossin
2
,
(1.5.3)
т.е. m - нечетное число. Пример 36. Найти интеграл ∫ dxx5cos . Решение
Cxxx
xdxxxdxxdxdxx
++−=
=+−=−==∫ ∫ ∫ ∫53
42245
sin51sin
32sin
)(sin)sinsin21()(sin)sin1()(sincoscos.
Ответ: Cxxx ++− 53 sin51sin
32sin .
Пример 37. Найти интеграл ∫ xdx
sin.
Решение
∫ ∫∫ ++−=
−−== С
xx
xxd
xdxx
xdx
cos1cos1ln
21
cos1)(cos
sinsin
sin 22
Ответ: Сxx +
+−
cos1cos1ln
21 .
4). Понижение порядка выражения
∫=⋅
+=−=
≥≥=+
=⋅
xxx
xxxx
nmpnm
dxxx nm
2sin21cossin
)2cos1(21cos);2cos1(
21sin
0;0;2
cossin 22 (1.5.4)
Пример 38. Найти интеграл ∫ ⋅ dxxx 5cos5sin 42 . Решение
Cxxx
xdxdxxdxxxdxx
dxxxdxxxxdxxx
++−=
=+−=⋅+
=+⋅=⋅⋅=⋅
∫ ∫∫∫
∫ ∫∫
10sin240120sin
3201
161
)10(sin10sin801)20cos1(
16110cos10sin
8110sin
81
2)10cos1(
410sin5cos)5cos5(sin5cos5sin
3
222
2242
Ответ: Cxxx ++− 10sin240120sin
3201
161 3 .
5). Случай четных степеней тригонометрических функций
-
30
∫ ∫
∫
=++++
=
=
+=
+=
+=
==
=⋅
dttRtdt
tt
tttR
tx
ttx
tdtdx
arctgtxttgx
dxxxxxR
)(12)
1;
11;
1(
11cos
1sin;
)1(
;
)cossin,cos,(sin
**2222
2
22
2
22
222
(1.5.5)
Пример 39. Найти интеграл ∫ + xxdx
22 sin10cos2.
Решение
∫ ∫∫ =+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
+=
+=
+=
+=
==
=+ 210
110
12)1(
11cos
1sin;
)1(
;
sin10cos2 22
2
22
22
2
22
222 tdt
tt
tt
dt
tx
ttx
tdtdx
arctgtxttgx
xxdx
∫ +=+⋅=+= CtgxarctgCtarctg
t
td2
201
510
101
21
)2()10(
)10(101
22
Ответ: C
xtgarctg +
+
3
12
32 .
6. Использование формул для преобразования произведений тригонометрических функций
от различных аргументов
[ ])sin()sin(21sinsin vuvuvu ++−−=⋅ (1.5.6)
[ ])cos()cos(21coscos vuvuvu ++−=⋅ (1.5.7)
[ ])cos()cos(21sinsin vuvuvu +−−=⋅ (1.5.8)
Пример 40. Найти интеграл ∫ ⋅ dxxx cos7cos . Решение
[ ]
∫
∫∫ ∫ ∫∫
++=+
+=+=++−=⋅
Cxxxxd
xxddxxxdxdxxxdxxx
8sin1616sin
121)8(8cos
161
)6(6cos1218cos
216cos
21)17cos()17cos(
21cos7cos
Ответ: Cxx ++ 8sin1616sin
121 .
Пример 41. Найти интеграл ∫ ⋅ dxxx 4sin6sin .
-
31
Решение
[ ]
∫∫
∫ ∫ ∫∫
++−=+−
=+−=+−−−=⋅
Cxxxxdxxd
xdxxdxdxxxdxxx
10sin2012sin
41)10(10cos
201)2(2cos
41
10cos212cos
21)46cos()46cos(
214sin6sin
Ответ: Cxx ++− 10sin2012sin
41 .
Пример 42. Найти интеграл ∫ ⋅ dxxx 6cos12sin . Решение
[ ]
Cxxxxdxxd
xdxxdxdxxxdxxx
+−−=+=
=+=++−=⋅
∫∫
∫ ∫ ∫∫
18cos3616cos
121)18(18sin
361)6(6sin
121
18sin216sin
21)612sin()612sin(
216cos12sin
Ответ: Cxx +−− 18cos3616cos
121 .
7). Интегралы вида ∫ ⋅ xdxxtg nm sec и ∫ ⋅ xdxecxctg nm cos , (где n - четное число вычисляются с помощью формул xtgx 22 1sec += или xctgxec 22 1cos +=
Пример 43. Найти интеграл ∫ dxxtg 5 . Решение
Cxxtgxtg
tgxdxx
dxtgxxtgtgxdxx
xtgtgxtgxdtgxxdtg
xdxtgxxtg
xdxxtgxdxtg
xxdxtgxtgdxxtg
+−−=
=+−=−−=−=
=⋅−=−=⋅=
∫ ∫ ∫ ∫∫
∫ ∫ ∫ ∫∫
cosln21
41
cos41)1
cos1(
41)()(
coscos)1
cos1(
24
24
243
22
233
2325
Ответ: Cxxtgxtg +−− cosln21
41 24 .
Пример 44. Найти интеграл ∫ dxxctg 3 . Решение
∫ ∫
∫∫ ∫ ∫ ∫∫
+−−=−−=−
−−=−=−=⋅=
Cxxctgxxdxctgdx
xx
ctgxctgxdctgxdxx
dxctgxctgxdxx
ctgxdxxctgdxxctg
sinln21
sin)(sin
21
sincos
)(sin
)1sin
1(
22
2223
8). Интегралы вида ∫ + xdxn 12sec и ∫ + xdxec n 12cos вычисляются по рекуррентным формулам как интегралы от нечетной положительной степени секанса и косеканса:
∫ ∫ −+ −+⋅= xdxnx
nxdx nn
n 122
12 sec)211(
cossin
21sec (1.5.10)
-
32
∫ ∫ −+ −+⋅−= xdxecnx
nxdxec nn
n 122
12 cos)211(
sincos
21cos (1.5.11)
Пример 45. Найти интеграл ∫ ⋅ xdxxtg 64 sec . Решение
Cxtgxtgxtg
tgxxdtgtgxxdtgtgxxdtgtgxdxtgxtgxtg
tgxdxtgxtgxdxxtgxtgxdxxtg
+++=
=++=++=
=+=+=⋅
∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫
975
864424
224222464
91
72
51
)()(2)()()21(
)()1(sec)1(sec
Ответ: Cxtgxtgxtg +++ 97591
72
51 .
Пример 46. Найти интеграл ∫ xdxec5cos . Решение
Cxtgxx
xxecxdx
xx
xx
nnxdxec
xx
nnформулу
юрекурентнуиспользуемxdxec
++⋅−⋅−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +⋅−+⋅−=
===+
=+⋅−===+
=
∫
∫∫
2ln
83
sincos
83
sincos
41cos
21
sincos
21
43
sincos
41
1,312)11.5.1(
cos43
sincos
41
2,512)11.5.1(
cos
2424
34
5
Ответ: Cxtgxx
xx ++⋅−⋅−
2ln
83
sincos
83
sincos
41
24
Пример 47. Найти интеграл ∫ xdx3sec . Решение
Cxtgxx
xdx
xxxdx
xx
nnфомулу
юрекурентнуиспользуемxdx
+++⋅=
=+⋅=+⋅===+
= ∫∫∫
)42
(ln21
cossin
21
cos21
cossin
21sec
21
cossin
21
1,312)10.5.1(
sec
2
223
π
Ответ: Cxtgxx +++⋅ )
42(ln
21
cossin
21
2
π .
-
33
1.6. Тесты (теория) 1. Дать определение первообразной. 2. Чем отличаются две первообразные для одной и той же функции? 3. Для каких функций существует первообразная на заданном интервале? 4. Что называется неопределенным интегрированием? 5. Что называется неопределенным интегралом? 6. В чем заключается основное отличие операции интегрирования от операции
дифференцирования? 7. Каким знаком обозначается интеграл? 8. Какая функция называется подынтегральной функцией? 9. Какие выражения называются подынтегральными выражениями? 10. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла? 11. Перечислите основные способы вычисления интегралов 12. Назовите основные способы вычисления интегралов? 13. В чем заключается замена переменной в неопределенном интеграле? 14. Запишите и объясните формулу интегрирования по частям. 15. Приведите пример применения формулы интегрирования по частям. 16. Что называется рациональным выражением? 17. Какая рациональная дробь называется правильной? 18. Каким образом не правильная рациональная дробь переводится в правильную? 19. Какие правильные дроби называются простейшими? 20. Сколько типов простейших дробей вы знаете? 21. Какие числа называются корнями многочлена? 22. Можно ли правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших
дробей? 23. При каких условиях правильную рациональную дробь можно разложить на
простейшую? 24. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей 1, 2, 3 типов. 25. Сформулируйте теорему о разложении многочлена на простейшие множители. 26. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в
случае простейших действительных корней знаменателя. Приведите пример. 27. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в
случае действительных кратных корней знаменателя. Приведите пример. 28. Изложите правило разложения правильной дроби на простейшие для случая, когда среди
корней знаменателя имеются пары простых комплексно-сопряженных корней. 29. Какие выражения называются иррациональными? 30. В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании иррациональных
и трансцендентных функций? 31. Приведите наиболее типичные случаи рационализации интегралов от иррациональных
функций. 32. Какого вида интегралы от иррациональных функций сводятся к интегралам от функций,
зависящих от тригонометрических функций? 33. В каких случаях интегралы от дифференциальных биномов сводятся к интегралам от
рациональных функций? 34. Перечислите типы тригонометрических выражений и способы их интегрирования?
-
34
35. Приведите интегралы от тригонометрических функций, которые рационализируются с помощью подстановки kxt sin= и kxt cos= .
36. Интегралы какого вида от тригонометрических функций целесообразно рационализировать с помощью подстановки tgkxt = .
37. Интегралы какого вида при помощи универсальной тригонометрической подстановки сводятся к интегралу от рациональной дроби новой переменной?
38. В каких случаях можно упростить подынтегральную функцию с помощью формул понижения четных степеней синуса и косинуса?
39. При вычислении интегралов какого вида используется тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму?
40. С помощью каких формул можно понизить степень тангенса или котангенса при интегрировании тригонометрических функций?
41. Приведите прием вычисления интегралов от нечетной положительной степени секанса или косеканса с помощью рекуррентных формул.
42. Интегралы какого вида можно упростить с помощью формул понижения четных степеней секанса и косеканса?
-
35
2. Определенный интеграл
2.1. Основные свойства и определения Пусть функция )(xfy = определена �