偏微分方程 partial diffierential equation (p.d.e)

偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION

(P.D.E)

浙江大学数学系 2

参考书目

《工程技术中的偏微分方程》，

潘祖梁，浙江大学出版社。

《数学物理方程》，

王明新，清华大学出版社。

《数理方程》，

车向凯，高等教育出版社。


一 . 偏微分方程的基本概念

),,,( 21 nxxxx 自变量

),,,()( 21 nxxxuxu 未知函数

0),,,,,,( 21

2

1

x

u

x

u

x

uuxF

n

偏微分方程的一般形式


PDE 的阶

PDE的解

古典解

广义解

一些概念

是指这样一个函数，它本身以及它的偏导数在所考虑的区域上连续，同时用满足方程。

线性 PDE

非线性 PDE

半线性 PDE

拟线性 PDE

完全非线性 PDE


线性 PDE ：

PDE 中对最高阶导数是线性的。

线性 PDE 中所有具同一最高阶数的偏导数组成的部分，称为线性方程的主部。

半线性 PDE ：

拟线性 PDE ：

拟线性 PDE 中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。

PDE 中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。


举例（未知函数为二元函数）

0x

u1.

0

x

ua

t

u2.

atx

x

变换

解为： )(yfu

解为： )( atxfu 0u

a



02

22

2

2

x

ua

t

u4.

02

tx

u3. 解为： )()( thxgu

atx

atx

变换

02

u

解为：

)()( atxhatxgu


02

2

2

2

y

u

x

u5. 不易找出其通解，但还

是可以找出一些特解

任意解析函数的实部和虚部均满足方程。)(zf

r

1ln 也是解 22 yxr

063

3

x

u

x

uu

t

u6.

特解都不易找到

KDV 方程



7.u

xt euuu 拟线性 PDE

8.22 vvvvv yyyxxx 拟线性 PDE

9. )())(,( yxv

yyxx vvevvyxa 半线性 PDE

10. uuu xt sin 半线性 PDE

11. 222 uuu xt 非线性 PDE


举例 ( 多元函数 )

02

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

t

u

z

u

y

u

x

u

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

u

z

u

y

u

x

u

拉普拉斯 (Laplace) 方程

热传导方程

波动方程


二 . 定解问题的适定性

定解问题

PDE

定解条件初值条件边值条件

初、边值条件

初值问题、边值问题、混合问题


经典的定解问题举例波动方程的初值问题（一维）

)(),(

)(),(

,0 ),,(

0

0

2

22

2

2

xtxt

u

xtxu

Rxttxfx

ua

t

u

t

t


经典的定解问题举例热传导方程的初值问题（一维）

)(),(

,0 ),,(

0

2

22

xtxu

Rxttxfx

ua

t

u

t


经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题

)())()((

),( ,0 22

2

2

2

xgn

uxux

Ryxy

u

x

u

0,1

1,0

0,0

第一边值问题（ Dirichlet ）

第二边值问题（ Neumann ）第三边值问题（ Robin ）


经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题

)(),(),(),(

)(),(

0,0 ),,(

0

0

2

22

thtxutgtxu

xtxu

Lxttxfx

ua

t

u

Lxx

t


何为适定性？存在性

唯一性

连续依赖性（稳定性）适定性

若 PDE 在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。


三 . 物理模型与定解问题的导出

• 波动方程的导出

• 热传导方程的导出


弦振动方程与定解问题一长为 L 的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间变化规律。

弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。


取弦的平衡位置为 OX 轴，运动平面为 XOU

O

U

X

PQ

L

在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t)

O

U

X

P

Q

xx x)(xT

)( xxT

此为上图中 PQ的放大图示

1

2


假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为

xS 即表明弧段 PQ 在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke 定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。

再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。


0cos)(cos)( 12 xTxxT

根据牛顿第二运动定律，

xfxTxxTt

ux

0122

2

sin)(sin)(

1x

u

),(1tan

txx

u

),(2tan

txxx

u

),(1sin

txx

u

),(2sin

txxx

u

1cos 1 1cos 2

(*1)

(*2)

O

U

X

P

Q

xx x)(xT

)( xxT

1

2


(*1) )()( xTxxT

这表明张力的大小与 x 也无关，即

0TT 常数

(*2)

,),(),(),(

02

2

02

2

xtxfx

txuxT

t

txux

，微分中值定理

),( xxxx


02

2

02

2

fx

uT

t

u

令 0x ，可得微分方程

弦是均匀的，故为常数，记

),(2

22

2

2

txfx

ua

t

u

),( , 002 txffT

a

方程改写为

刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。

)0,0( tLx


为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件

)()0,( xxu )()0,( xxt

u

或者边界条件

已知端点的位移

已知在端点受到垂直于弦的外力的作用

已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合

)(),(),(),0( thtLutgtu

)( ),(0

thx

uTtg

x

uT

Lxx


四 . 二阶线性方程的分类两个自变量情形

022

2

22

2

122

2

11

cuy

ub

x

ua

y

ua

yx

ua

x

ua

主部

目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。

),(

),(

yx

yx

非奇异 0

yx

yx

（ 1）


),(

),(

yx

yx

),( yxu ),( u复合求导

x

u

x

u

x

u

y

u

y

u

y

u

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

)(2)(y

u

y

u

y

u

yy

u

y

u

y

u

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

)(2)(x

u

x

u

x

u

xx

u

x

u

x

u

yx

u

yx

u

yx

u

yxyx

u

yx

u

yx

u

22

2

22

2

22

)(


022

2

22

2

122

2

11

cuy

ub

x

ua

y

ua

yx

ua

x

ua

022

2

22

2

122

2

11

Cuu

Bu

Au

Au

Au

A

系数之间的关系

22212

21111 )(2)(

ya

yxa

xaA

22212

21122 )(2)(

ya

yxa

xaA

yya

yxyxa

xxaA

22121112 )(

（ 2）

（ 1）

（ 3）


0)(2)( 22212

211

y

za

y

z

x

za

x

za

考虑

如若能找到两个相互独立的解

),( yxz ),( yxz

那么就作变换

),(

),(

yx

yx

从而有 02211 AA

（ 4）


两个引理

0)(2)( 22212

211

y

za

y

z

x

za

x

za

引理 1. 假设是方程),( yxz

的特解，则关系式是常微分方程（ 4）Cyx ),(

0)(2)( 22212

211 dxadxdyadya （ 5

）的一般积分。

引理 2. Cyx ),(假设是常微分方程（ 5 ）的一般

积分，则函数 ),( yxz 是（ 4 ）的特解。


由此可知，要求方程（ 4 ）的解，只须求出常微分方程（ 5 ）的一般积分。

定义：常微分方程（ 5 ）为 PDE （ 1 ）的特征方程

（ 5 ）的积分曲线为 PDE （ 1 ）的特征曲线。

0)(2)( 22212

211 dxadxdyadya

11

221121212

a

aaaa

dx

dy （ 6

）


记 2211212),( aaayx

定义方程 (1) 在点 M处是

双曲型：

椭圆型：

抛物型：

若在点 M处，有 0),( yx




双曲型 PDE 0),( 2211212 aaayx

11

221121212

a

aaaa

dx

dy 右端为两相异

的实函数

它们的一般积分为 ,),( Cyx Cyx ),(

),(

),(

yx

yx

由此令，方程（ 1 ）可改写为

),,,,(2

uuu

u 双曲型方程的第一标准型

t

s12

2

2

2

t

u

s

u 双曲型方程的第二标准型


抛物型 PDE 0),( 2211212 aaayx

11

12

a

a

dx

dy

由此得到一般积分为 ,),( Cyx

),(

),(

yx

yx

由此令，其中 ),( yx),( yx 与

独立的任意函数。


由于 0),( yx221112 aaa

22212

21111 )(2)(

ya

yxa

xaA

02

2211

y

ax

a

yya

yxyxa

xxaA

22121112 )(

0

22112211

y

ax

ay

ax

a

由此推出


因此，方程（ 1 ）可改写为

),,,,(2

2

uu

uu

抛物型方程的标准型

0)(2)( 22212

21122

y

ayx

ax

aA

而


椭圆型 PDE 0),( 2211212 aaayx

11

221121212

a

aaaa

dx

dy 右端为两相异

的复数

由此推出两族复数积分曲线为,),( Cyx Cyx ),(*

其中 ),(),(),( 21 yxiyxyx

),(),(),( 21* yxiyxyx


),(

),(

2

1

yx

yx

由此令

从而方程（ 1 ）可改写为

，满足方程（ 4 ） i

0))(

()()(

2))(

( 22212

211

y

ia

y

i

x

ia

x

ia

0122211 iAAA

0 ,0 122211 AAA

2

2

2

2

uu

椭圆型方程的标准型


总结0)( )( x,yI

0)( )( x,yII

0)( )( x,yIII

（双曲型 PDE ）

（抛物型 PDE ）

（椭圆型 PDE ）

yx

u2

2

2

2

2

y

u

x

u或

2

2

x

u

2

2

2

2

y

u

x

u


例 1 02 22 yyxyxx uyxyuux

0)()( 222 yxxyx,y 抛物型方程

x

y

x

xy

dx

dy

2 1cx

y

令 x

yy

010

12 xx

y

yx

yx

02 uy 0u

)()(),( hgu )()(),(x

yhy

x

ygyxu


例 2 02 xxtt uau

0)( 2 at,x 双曲型方程

adt

dx 1catx

2catx


例 30 yyxx uyu

Tricomi 方程椭圆型

双曲型

0y

0yyx,y )(

0)(y ,0

0)(y ,0

y

y

dx

dy


0y 0 dyyidx

Cyix 3

3

2

2

3

3

2y

x

0y 0 dyydx

Cyx 3)(3

2

2

3

2

3

)(3

2

)(3

2

yx

yx

03

1

uuu

)()(6

1 uuu


课后作业：

P21 --- 22

Ex 12 （ 2 ）（ 4 ）

Ex 13 （ 1 ）（ 3 ）

Ex 14 （ 1 ）

Ex 16


022 xyyxyxx auuauua

0),( 22 aayx

aa

a

dx

dy 12

Ca

xy

y

a

xy

例

偏微分方程 partial diffierential equation (p.d.e)

Documents