Ειδική θεωρία της σχετικότητας.pdf

ΕI∆IΚΗ ΘΕΩΡIΑ ΣΧΕΤIΚΟΤΗΤΑΣ

4o εξαµηvo 2001-2002

∆ηµητρης Π.Κ. ΓκικαςΤµηµα Φυσικης Παvεπιστηµιo Πατρ£ωv

26Μαρτιου 2002

Περιεχοµενα

0.1 Προλoγoς . 5

1 TA ΠΕIΡΑΜΑΤIΚΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ. 7

1.1 Aδραvειακα Συστηµατα και Μετασχηµατισµoι τoυ Γαλιλαιoυ 7

1.1.1 Η εvvoια τoυ Αδραvειακoυ Συστηµατoς . 7

1.1.2 Οι Μετασχηµατισµoι τoυ Γαλιλαιoυ . 9

1.2 To Προ1ληµα µε τηv Ταχυτητα τoυ Φωτος .11

1.2.1 Η ιδιαιτεροτητα τoυ Ηλεκτρoµαγvητισµoυ .11

1.2.2 Πειραµατα µετρησης της ταχυτητας τoυ φωτος .13

1.2.3 Τo Πειραµα τωv Michelson -Morley .13

1.3 Οι Αρχες της Ειδικης Θεωριας της Σχετικοτητας .16

1.3.1 Oι Αρxες τoυ Einstein και τoΠρο1ληµα της Ταυτoχρovι-κοτητας ∆υo Γεγovοτωv .16

1.3.2 Συvεπειες στη Μετρηση τoυ xροvoυ και τoυ x£ωρoυ .17

2 Ο ΜΕΤΑΣXΗΜΑΤIΣΜΟΣ LORENTZ. 23

2.1 Ο Μετασχηµατισµος Lorentz .23

2.1.1 Aµεση Αποδειξη µε Βαση τις Συvεπειες .23

2.1.2 Η Γεvικη Μoρφη τoυ Μετασχηµατισµoυ Lorentz .25

2.2 Eπιπτ£ωσεις στoυς Νοµoυς της Μηχαvικης .27

2.2.1 Mετασχηµατισµος Ταχυτητωv .27

2.2.2 H Avαγκαιοτητα Γεvικευσης τωv Νοµωv τoυ Νευτωvα 28

2.2.3 Ηεvvoια τηςΣυvαλλoιωτης∆ιατυπωσης τωvΝοµωv τηςΦυσικης .32

3 Ο ΧΩΡΟΣMINKOWSKI. 35

3.1 Η Γεωµετρικη εικοvα τoυ Μετασχηµατισµoυ Lorentz .35

3.1.1 Στρoφες στo χ£ωρo .35

3.1.2 O Χ£ωρoςMinkowski .38

3.2 Τετραδιαvυσµατα και Μηχαvικες Πoσοτητες .42

3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3.2.1 Tετραδιαvυσµατα και Βαθµωτα Μεγεθη .42

3.2.2 Tετραταχυτητα και Τετραoρµη .433.2.3 Η ∆υvαµηMinkowski .46

4 ΣΥΝΑΛΛΟIΩΤΗ ∆IΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΦΥΣIΚΩΝ ΝΟΜΩΝ. 49

4.1 Mηχαvικη .49

4.1.1 Γεvικα .49

4.1.2 Εφαρµoγες στηv Κρoυση Σωµατιωv .50

4.2 Hλεκτρoµαγvητισµος .57

4.2.1 Γεvικα .57

4.2.2 ΟΜετασχηµατισµος τωv Πεδιωv .58

4.2.3 Συvαλλoιωτη ∆ιατυπωση τoυ Ηλεκτρoµαγvητισµoυ .59

4.2.4 Συvεπειες - Εφαρµoγες .63

4.3 Κβαvτoµηχαvικη .66

4.3.1 Mη Σχετικιστικη Κβαvτoµηχαvικη .66

4.3.2 H Eξισωση Klein-Gordon .68

4.3.3 Η Εξισωση Dirac .69

0.1. ΠΡΟΛOΓOΣ 5

0.1 Προλoγoς

Η Ειδικη Θεωρια Σχετικοτητας (Ε.Θ.Σ.) ειvαι σηµερα για τηv Φυσικη µιαoλoκληρωµεvη θεωρια, µε πληρηπειραµατικη επι1ε1αιωση. Απoτελει συµπλη-ρωση και επεκταση τηςΚλασικηςΦυσικηςως πρoς τηv περιγραφηφαιvoµεvωvπoυ εµπεριεχoυvκιvησεις µε µεγαλες ταχυτητες. ΕπιστηµoλoγικαηΕ.Θ.Σ. ειvαι

εvα πλαισιo πoυ βασιζεται σε δυo µοvo αρχες απο τις oπoιες συvαγovται vεoιoρισµoι θεµελιακ£ωv κλασικ£ωv εvvoι£ωv οπως τoυ χροvoυ και τoυ χ£ωρoυ. Τε-τoιες κλασικεςεvvoιες εχoυv πηγασει απο τηv καθηµεριvη εµπειρια τoυαvθρ£ω-πoυ, εµπειρια πoυ ειvαι εvα ειδoς µετρησης µε µετρητικα οργαvα τα αισθη-τηρια οργαvα τoυ, και τις κλασικες συσκευες πoυ ειvαι πρoσαρµoσµεvες λει-τoυργικα σαυτα. Ετσι, ηταv ιστoρικα αvαποφευκτo τo γεγovος της µη αµε-σης απoδoχης της Ε.Θ.Σ. οταv πρoταθηκε απο τov Einstein τo 1905. Η Ε.Θ.Σ.ειvαι µια θεωρια διαισθητικα τοσo παραδoξη, πoυ τα πρ£ωτα χροvια της εισα-γωγης της απετελεσε αvτικειµεvo φιλoσoφικ£ωv, κoιvωvικ£ωv, ακοµη και πoλιτι-κ£ωv αvτιθεσεωv µε ιδιαιτερo φαvατισµο. Η µεγαλωσυvη τoυ Einstein εγκειταιστo γεγovος οτι τολµησε vα επαvoικoδoµησει ολo τo κλασικο πλαισιo της Φυ-σικης χαριv της ξεκαθαρης πειραµατικης εvδειξης της σταθεροτητας της τα-χυτητας τoυ φωτος σε ολα τα αδραvειακα συστηµατα. Ειvαι οπως γλαφυραειπε καπoιoς, σαv vα εχoυµε εvα oικoδοµηµα τoυ oπoιoυ µια πορτα δεv ται-ριαζει στo αvoιγµα τoυ τoιχoυ και αvτι vα ξαvαφτιαξoυµε τηv πορτα, γκρε-µιζoυµε ολo τo oικoδοµηµα και τo ξαvαχτιζoυµε ετσι £ωστε vα ταιριαζει στηvπορτα, και στηv συvεχεια vα υπoχρεωθoυµε vα ξαvαφτιαξoυµε ολες τις πορτεςκαι τα παραθυρα για vα ταιριαζoυv στo vεo oικoδοµηµα. Κατι τετoιo ειvαι καιη Ε.Θ.Σ. : ολες oι κλασικες εvvoιες πρεπει vα ξαvαoριστoυv απο τηv αρχη. Ηδυσκoλια τoυ vα καταλα1ει καπoιoς τηvΕ.Θ.Σ. περιoριζεται κυριως στoπρ£ωτoαυτο σταδιo της γεvικευσης τωv εvvoι£ωv. Τα Μαθηµατικα εργαλεια πoυ χρη-σιµoπoιησε o Einstein στις πρ£ωτες τoυ εργασιες ειvαι εξαιρετικα απλα, κι αυτο

οχι γιατι δεv ειχε µαθηµατικες γv£ωσεις, αλλα γιατι ηθελε vα µηv συσκoτισθoυvoι συλλoγισµoι τoυ µε δυσκoλες µαθηµατικες εvvoιες. Βε1αια, στηv συvεχειαοταv επρεπε πλεov η Ε.Θ.Σ. vα επεκταθει σολη τη Φυσικη και vα εφαρµoστεισε πoλυπλoκαφυσικαπρoβληµατα, εισηχθησαvκαταλληλεςµαθηµατικες δoµες

οπως o χ£ωρoς Minkowski, ταvυστες κ.λ.π.. Παραλληλα µε τηv επεκταση τηςΕ.Θ.Σ. και τηv εκλεπτυvση τωv µαθηµατικ£ωv µεθοδωv o Einstein πρoσπαθησεvα γεvικευσει τη θεωρια τoυ σε µη-αδραvειακα συστηµατα. Τοτε αvακαλυψε

οτι αvαποφευκτα η βαρυτητα πρεπει vα παιζει εvα εvτελ£ως ιδιαιτερo ρολo στηΦυσικη. Ετσι γεvvηθηκε η Γεvικη Θεωρια Σετικοτητας (Γ.Θ.Σ.) πoυ βασιζε-ται στηv υποθεση οτι o ξεχωριστος ρολoς της βαρυτητας ειvαι vα δηµιoυργεικαµπυλοτητα στo χ£ωρo. Η Γ.Θ.Σ. ειvαι εvα θαυµασιo µαθηµατικο δηµιoυρ-γηµα πoυ σε µεγαλo βαθµο απεικovιζει τη φυσικη πραγµατικοτητα. Εvτoυ-

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

τoις δεv εχει τηv πληροτητα της Ε.Θ.Σ. και αυτο οχι γιατι υπαρχoυv πειρα-µατικες εvδειξεις πoυ τηv αvαιρoυv αλλα γιατι δεv ειvαι συµ1ι1αστη µε τηv

αλλη επεκταση της ΚλασικηςΦυσικης, τηvΚβαvτoµηαvικη. O συvδιασµος τηςΕιδικης Θεωριας της Σχετικοτητας και της Κβαvτoµηαvικης εδωσε τις σηµε-ριvες θεωριες τωv Στoιχειωδ£ωv Σωµατιωv µεσα απο τηv γλ£ωσσα της Κβαvτι-κης Θεωριας Πεδιoυ. Η Βαρυτητα οµως δεv εκφραζεται µε τετoια γλ£ωσσα.Η εvωπoιηση ολωv τωv βασικ£ωv αλληεπιδρασεωv : ισχυρ£ωv, ηλεκτρoµαγvη-τικ£ωv, ασθεv£ωv και βαρυτικ£ωv απoτελει τo βασικ£ωτερo ερευvητικο προ1ληµατης Θεµελιακης Φυσικης σηµερα. Οι µοvες θεωριες πoυ καταρχηv δεχovταιτη Βαρυτητα ειvαι oι λεγοµεvες θεωριες Υπερχoρδ£ωv πoυ κι αυτες οµως εχoυvβασικες δυσκoλιες. Εκπαιδευτικα η πoρεια απο τηv Ειδικη Θεωρια Σετικοτη-τας και τηv Κβαvτικη Φυσικη µεχρι τις σηµεριvες Θεωριες απαιτει πoλλα ετη-σια µαθηµατα πρoπτυχιακoυ και µεταπτυχιακoυ επιπεδoυ. Στo µαθηµα αυτοτης Θεωριας Σετικοτητας µπoρει vα φτασει καvεις µεχρι τηv δειλη εισαγωγητης Γεvικης Θεωριας Σχετικοτητας. Στα µαθηµατα αυτα θα δoθει εµφαση καιστo επιστηµoλoγικο πλαισιo της Ειδικης Θεωριας Σχετικοτητας και στηv πρα-κτικη εφαρµoγη της. Ετσι θα γιvει και αvαλυση της αvαγκαιοτητας γεvικευσηςτωv κλασικ£ωv εvvoι£ωv και εφαρµoγη τoυ µετασχηµατισµoυLorentz και της µε-θοδoυ τωv αvαλλoι£ωτωv πoσoτητωv σε πρoβληµατα σκεδασης. Για τη ΓεvικηΘεωρια, θα εισαχθoυv oι εξισ£ωσεις τoυ Einstein και θα γιvoυv vυξεις για τιςκoσµoλoγικες εφαρµoγες.

Κεφαλαιο 1

TA ΠΕIΡΑΜΑΤIΚΑ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ ΚΑI ΟIΘΕΩΡΗΤIΚΕΣ YΠΟΘΕΣΕIΣTOY EINSTEIN

1.1 Aδραvειακα Συστηµατα και Μετασχηµατισµoι τoυ

Γαλιλαιoυ

1.1.1 Η εvvoια τoυ Αδραvειακoυ Συστηµατoς

Σε καθε Εµπειρικη Επιστηµη η συσσ£ωρευση τωv δεδoµεvωv τωv παρατη-ρησεωv oδηγει παvτα στηv αvαγκη αvαγωγης της περιεχοµεvης πληρoφoριαςσε λιγες Αρχες µε τις oπoιες θεωρητικα ειvαι δυvατη η αvαλυση της. Αυτες oιΑρχες λεγovται vοµoι και τo Θεωρητικο Οικoδοµηµα πoυ κατασκευαζεται λε-γεται Θεωρια. Οι vοµoι ειvαι τo Σχεδιo µε τo oπoιo χτιζεται η θεωρια (τo oι-κoδοµηµα). Τo Οικoδοµηµα οµως χρειαζεται υπο1αθρo, και τo υπο1αθρo γιατη θεωρια ειvαι oι Υπoθεσεις. Οι Υπoθεσεις ειvαι η διαπιστωµεvη αvτιληψη τηςΦυσης τωv Εvvoι£ωv µε τις oπoιες πρωτoγεv£ως o Αvθρωπoς αvτιλαµ1αvεται τηΦυσικη πραγµατικοτητα. Οι Νοµoι ειvαι Σχεσεις µεταξυ τωv εvvoι£ωv αυτ£ωv.Τετoιες βασικες εvvoιες ειvαι o χροvoς και o χ£ωρoς. Η επιστηµoλoγικη εξελιξηπoυ συvεπαγεται η Ειδικη Θεωρια Σχετικοτητας ειvαι ακρι1£ως η αλλαγη τωvΥπoθεσεωv για τις εvvoιες τoυ χροvoυ και τoυ χ£ωρoυ. Εποµεvo λoιποv ειvαιvα αλλαξει και τo oικoδοµηµα για τηv Κλασικη Φυσικη. Iστoρικα η αρχη τηςσυστηµατικης αvαλυσης τωv πειραµατικ£ωv δεδoµεvωv και oργαvωσης τoυς σε

εvα λoγικο συvoλo εγιvε απο τov Γαλιλαιo (γ.1564). Ο Γαλιλαιoς ξεκιv£ωvτας

7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. TA ΠΕIΡΑΜΑΤIΚΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ.

απο τη θεωρια τoυ Κoπερvικoυ για τηv κιvηση της Γης oδηγηθηκε στηv υπο-θεση οτι καθε κιvηση ειvαι συvδιασµος δυo παραγοvτωvα) Ευθυγραµµης κιvησης µε σταθερη ταχυτητα.β) Κιvηση µε σταθερη επιταχυvση.

Η αθ£ωα φραση "ευθυγραµµη κιvηση µε σταθερη ταχυτητα" ειvαι πoυ περιε-χει και τo κρισηµo σηµειo τωv βασικ£ωv αρχ£ωv. Για vα oρισoυµε οτι µια κιvησηειvαι "ευθυγραµµη" πρεπει vα τηv συγκριvoυµε µε καπoια "ευθεια αvαφoρας"και για vα πoυµε οτι εxει "σταθερη ταχυτητα"πρεπει vα µετρησoυµετηv κιvησηµε καπoιo "xροvo αvαφoρας". Σχετικα µε τo πρ£ωτo ερ£ωτηµα αv µια κιvησηειvαι ευθυγραµµη ως πρoς τo τραπεζι τoυ εργαστηριoυ, πρoφαv£ως δεv ειvαιευθυγραµµηαv τη δoυµε απο εvα σηµειoεξω απο τη Γη. Αποεvα τετoιo σηµειoβε1αια oυτε σταθερη ταχυτητα θα εχει. Επoµεvως πρεπει vα δoθει συµπληρω-µατικα και o oρισµος τoυ σηµειoυ αvαφoρας ετσι £ωστε η φραση "ευθυγραµµηκιvηση µε σταθερη ταχυτητα" vα εχει µη αvτιφατικο εµπειρικο περιεxοµεvo.Τo βασικο αυτο επιστηµoλoγικο ερ£ωτηµα µετατραπηκε απο τo Γαλιλαιo oυσια-στικα σε oρισµο, στov oρισµο τoυΑδραvειακoυ Συστηµατoς. ∆ηλαδη εvα συ-στηµα ειvαι Αδραvειακο οταv εvα σ£ωµα χωρις τηv επιδραση εξωτερικ£ωvδυvαµεωv εκτελει σχετικα µε τo συστηµα αυτο ευθυγραµµη κιvηση µε στα-θερη ταχυτητα. Ετσι βε1αια τo προ1ληµα µετατoπιζεται επιστηµoλoγικα στoΕρ£ωτηµα : Π£ωςµπoρoυµε vα διαφoρoπoιησoυµε εvα αδραvειακο συστηµααπο

εvα αλλo : Η απαvτηση τoυ Γαλιλαιoυ ηταv τελικη : Απλ£ως δεv µπoρoυµε.Αυτο λεγεται και Αξιωµα τoυ Γαλιλαιoυ, η Σχετικοτητα τoυ Γαλιλαιoυ. Τoερ£ωτηµα οµως ξαvατεθηκε αµεσα µε τoυς vοµoυς τoυ Νευτωvα. Ο ∆ευτερoςΝοµoς λεει οτι οταv εχoυµε επιταχυvση τοτε υπαρει καπoια δυvαµη. Αv δεvυπαρχει εξωτερικη δυvαµη τοτε εvα σ£ωµα θα κιvειται ευθυγραµµα µε σταθερηταχυτητα, σχετικα µε καπoιo αδραvειακο συστηµα. Επoµεvωςαv δεv µπoρoυµεvα διαπιστ£ωσoυµε τηv υπαρξη εξωτερικης δυvαµης και τo σ£ωµα επιταχυvεταιτοτε τo συστηµαµας δεv ειvαι αδραvειακο και o εφιαλτης ξαvαπαρoυσιαζεται :Σχετικα µε τι τo συστηµα αvαφoρας επιταχυvεται ;ΟΝευτωv, ισως µε πληρηαvτιληψη της επιστηµoλoγικης αvτιφασης, µετατοπισε τo ερ£ωτηµα µε τo vα ει-σαγει τις εvvoιες τoυΑπολυτoυ Χροvoυ καιΑπολυτoυ Χ£ωρoυ. Ειvαι πoλυ µα-κρια η ιστoρια τωv φιλoσoφικ£ωv αvαλυσεωv αυτ£ωv τωv εvvoι£ωv. Η απαvτησηκαι τoυ Einstein ηταv τελικη αλλα σε δυo επιπεδα : Πρ£ωτov δεχτηκε σαv βα-σικη υποθεση οτι δεv υπαρχει απολυτoς χροvoς και χ£ωρoς (Ειδικη Θεωρια τηςΣχετικοτητας) και δευτερov η µη αδραvειακοτητα εvος συστηµατoς κριvεταιµε συστηµα αvαφoρας τoυς απλαvεις αστερες. Τo τελευταιo λεγεται και ΑρχητoυMach. Θα επαvελθoυµε στις αρχες αυτες παρακατω.

1.1. A∆ΡΑVΕΙΑΚΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑΚΑΙΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜOΙ ΤOΥΓΑΛΙΛΑΙOΥ9

1.1.2 Οι Μετασχηµατισµoι τoυ Γαλιλαιoυ

Εχoυµε απο τo Αξιωµα τoυ Γαλιλαιoυ οτι δεv µπoρoυµε vα διαπιστ£ωσoυµεπειραµατικα τη σχετικηκιvηση δυoαδραvειακ£ωv συστηµατωv. ∆ηλαδη oι δυvα-µεις πoυ ασκoυvται στα δυo αδραvειακα συστηµατα θα ειvαι ιδιες. Επoµεvωςθα εχoυµε (1.1)

οπoυ oι συvτεταγµεvες στα δυo συστηµατααvαφoρας Σ και Σ.Αv τα συστηµατα εχoυv παραλληλoυς αξovες και κιvoυvται µε σχετικη ταχυ-τητα v ως πρoς τov αξovα τωv x τοτε η παραπαvω ισοτητα τωv δυvαµεωv θαισχυει αv και µοvov αv oι συvτεταγµεvες συvδεovται µε τo λεγοµεvoΜετασχη-µατισµο τoυ Γαλιλαιoυ (1.2)

H ισχυς τoυΜετασχηµατισµoυ τoυ Γαλιλαιoυ ειvαι θεµελιακη υποθεση τηςΚλασικης Φυσικης. Εvτoυτoις διαπιστ£ωθηκε οτι µοvo η Κλασικη Μηχαvικηυπακoυει στηv (1.2). ∆ηλαδη µοvo πειραµατα µε κλασικες µηχαvικες πoσοτη-τες διvoυv ισoδυvαµα απoτελεσµατα στα αδραvειακα συστηµατα. Οπως θαδoυµε τα Ηλεκτρoµαγvητικα φαιvοµεvα οπως περιγραφovται απο τις εξισ£ω-σειςMaxwell δεv µπoρoυv vα ειvαι αvαλλoιωτα ως πρoς τov µετασχηµατισµο(1.2). Τo προ1ληµα συvδεεται µε τo ερ£ωτηµα της σχετικης ταχυτητας τωv συ-στηµατωv και της ταχυτητας τωv ηλεκτρoµαγvητικ£ωv κυµατωv. Ο πρoβληµα-τισµος ξεκιvαει απο τηv συγκριση µεταξυ ηλεκτρoµαγvητικ£ωv και ακoυστικ£ωvκυµατωv. Γιαυτο πρ£ωτα θα αvαλυσoυµε τo φαιvοµεvo Dobbler για τov Ηχo.

3. Συvεπειες στη διαδoση τoυ Ηχoυ. (Φαιvοµεvo Dobbler)

O ηχoς εχει ταχυτητα "!!! # $&% µεσα στovαερα. Ταβασικα δεδoµεvαεδ£ω ειvαι οτι o ηχoς χρειαζεται εvα υλικο ελαστικο µεσo για τη διαδoση τoυ. Ηκλασικη αυτη φυσικη απαιτηση εχει σαv θεµελιακη (πρoφαvη) συvεπεια οτι ηταχυτητα τoυ ηχoυ εχει καπoια δεδoµεvη τιµη σε σχεση µε αυτο τo µεσo. Οπωςθα δoυµε αυτη ακρι1£ως η ιδια συσχετιση για τo φωςεδωσε τις oυσιαστικες κλα-σικες αvτιφασεις. Τoφαιvοµεvo Dobbler για τα δυo αυτα κυµατικα φαιvοµεvα,

ηχo και φως, διαφoρoπoιει χαρακτηριστικα τo εvα απο τo αλλo.Εστω πηγη ηχoυ ακιvητη ως πρoς τov αερα στη θεση Ο.Εvα σφαιρικο κυµα παραγοµεvo στo Ο θα φθασει σε αποσταση 333m σε

εvα sec. Εστω Οα=333m, οπoυ η µετρηση γιvεται µε ακιvητη ρα1δo µετρησηςΟΑ. Εστω κιvoυµεvη ρα1δoς µετρησηςΟΑ µε ταχυτητα v. Ως πρoς τηv κιvoυ-µεvηρα1δoπρoφαv£ως η ταχυτητα τoυ ηχoυ τ£ωραθα ειvαι µετρ ' . Αv η


Σχηµα 1.1: Μετρηση µηκ£ων στην Κλασικη Μηχανικη

ρα1δoς κιvειται καθετα η µετρoυµεvη ταχυτητα θα ειvαι µετρ. ' )(+* .Κλασικη συvεπεια αυτoυ ειvαι οτι γvωριζovτας τo µετρ. µπoρoυµε vα βρoυµετo v τo oπoιo χαρακτηριζει τηv σχετικη κιvηση της ρα1δoυως πρoς τo µεσo δια-δoσης τoυ ηχoυ.Εστω τ£ωρα οτι η πηγη εκπεµπει κυµατα συχvοτητας ,.- ( , -πηγης). Τα πυ-

κv£ωµατα τoυ ηχoυ απεχoυv κατα /10 # ,.- , και εvας ακιvητoς παρατηρη-της θα µετραει συχvοτητα , 2 ( , -µετρησης), , 2 # /10 ,.- .Εστω οτι o παρατηρητης κιvειται µε ταχυτητα v πρoς τηv πηγη. Σε χροvo tθα διαvυει αποσταση v t και θα µετραει αυξηση της συχvοτητας κατα

# /30 .Επoµεvως , 254687 , - /10 , - :9 - (1.3)

Για απoµακρυvοµεvo παρατηρητη εχoυµε,.25467 ,.-;:9<' (1.4)

Eστω οτι τ£ωρα οτι κιvειται η πηγη µε ταχυτητα v και o παρατηρητης ειvαιακιvητoς. Κατα τη διαρκεια µιας περιοδoυ η πηγη κιvειται κατα αποσταση # ,.- # = /30 . Επoµεvως o αριθµος τωv πυκvωµατωv σε χροvo t θα ειvαι / / 0 :9<'?>@BA (1.5)

Αρα η µετρoυµεvη συχvοτητα θα ειvαι,.2 ,9C' >@ A (1.6)

Για απoµακρυvοµεvη πηγη εχoυµε, 2 ,9 >@ A (1.7)

Smaroula

Placed Image

1.2. TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΤΗV ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤOΥ ΦΩΤΟΣ 11

Απο τo αvαπτυγµα ((ED1F 9 HGIGIG για KJ 9 , εχoυµε απο τηv (1.6), 2 , - :9 = LGIGIG (1.8)

Παρατηρoυµε συγκριvovτας τις (1.3) και (1.8) οτι µπoρoυµε µετρ£ωvτας τησυχvοτηταµεακρι1εια της ταξης

# vα διαχωρισoυµε τις περιπτ£ωσεις κιvoυ-µεvης πηγης απο κιvoυµεvo παρατηρητη. Τo κρισιµo σηµειo εδ£ω ειvαι οτι ηεξακρι1ωση αυτης της διαφoρoπoιησης βασιζεται στo δεδoµεvo οτι η κιvησηγιvεται σε σχεση πρoς τo µεσo διαδoσης τoυ κυµατικoυ φαιvoµεvoυ τoυ ηχoυ.Τo φαιvοµεvo Dobbler για τo φως υπαρχει, δεv ερµηvευεται οµως κλασικα. Τoπρο1ληµα, οπως θα δoυµε, ειvαι αυτο τo "µεσo διαδoσης" τoυ φωτος, o λεγο-µεvoς "αιθερας".

1.2 To Προ1ληµα µε τηv Ταχυτητα τoυ Φωτος

1.2.1 Η ιδιαιτεροτητα τoυ Ηλεκτρoµαγvητισµoυ

Οι εξισ£ωσειςMaxwell στo κεvο ειvαιMON P Q MSR P ' T UT MON U Q MSR U 'WVYX8Z[X T PT (1.9)

Aπο τη διαvυσµατικη ταυτοτηταM\R MSR ] M MON ] ' M ]

παι-

ρvoυµεM^R M_R P ``ba McR U

ηM MdN P ' M P ' ``ba e V X8f&X `gh`ba iοποτε M P ' 9 T PT ?jQ (1.10)

οπoυ kV X8f5X Dl(+* (1.11)

H (1.10) ειvαι µια εξισωση κυµατoς µε ταχυτητα διαδoσης c. Τo αµεσo κλα-σικο ερ£ωτηµαπoυ τιθεται εδ£ωπηγαζει απο τηv συγκρισηπρoς τα κλασικα ελα-στικα κυµατα (κυµατα ηχoυ) σε καπoιo ελαστικο µεσo. Για vα εχoυµε διαδoσητωv ηλεκτρoµαγvητικ£ωv κυµατωv στo κεvο θα πρεπει αυτο τo κεvο vα ειvαιγεµατo µε εvα µεσo µε ιδιαιτερες ιδιοτητες. ∆ηλαδη αφεvος vα εχει καταλλη-λες ελαστικες σταθερες για vα γιvεται διαδoση µε τηv ταχυτητα c και αφ ετε-ρoυ vα ειvαι τοσo αραιο πoυ vα µηv εµπoδιζει καvεvα υλικο σ£ωµα στηv ελευ-θερη κιvηση τoυ. Αυτο τo υλικο ovoµαστηκε "αιθερας". Η φιλoλoγια γυρω


απο τηv υπαρξη η µη εvος τετoιoυ υλικoυ ειvαι εκτεvης στη βι1λιoγραφια πριvτov Einstein. Βε1αια o εvτoπισµος τoυ µε συvηθη πειραµατα δεv µπoρoυσε vαγιvει γιατι εξoρισµoυ καvεvα υλικο σ£ωµα δεv επρεπε vα αvτιλαµ1αvεταιτηv υπαρξη τoυ. Επoµεvως τo µοvo πoυ εµεvε ειvαι vα µετρηθει η σχετικηκιvηση τωv σωµατωv ως πρoς τov αιθερα. Οπως ειδαµε στηv περιπτωση τoυ

ηχoυ τo φαιvοµεvo Dobbler µετρoυµεvo µε ακρι1εια της ταξης # µπoρει vα

δοσει κριτηρια για µια τετoια κιvηση. Για τo φως οµως τετoιες ταξεις #

πρoφαv£ως ειvαι περα απο καθε µετρητικη δυvατοτητα (τoυλαχιστov µε τις συ-σκευες της αρχης τoυ 20ου αι£ωvα).Επoµεvως εµεvε vα µετρηθει η µετα1oλη τηςταχυτητας τoυ φωτος σε κιvoυµεvα συστηµατα αvαφoρας :2 m (1.12)

οπως περιµεvει καvεις κλασικα απο τη συγκριση µε τov ηχo :2 m (1.13)

Πρoτoυ αvαφερθoυµε στις πρoσπαθειες αυτες θα πρεπει vα τovισoυµε τoεξης βασικο σηµειo για τηv κυµατικη εξισωση (1.10). Η εξισωση αυτη περιεχειµια σταθερα, τηv c, µε φυσικες διαστασεις. Αυτο σηµαιvει οτι εχoυµε µια κα-θoρισµεvηκλιµακα, κλιµακα ταχυτητωv,πoυ ειvαι απολυτη. ∆ηλαδηµπoρoυµεvα πoυµε : "πoλυ µεγαλες η πoλυ µικρες ταχυτητες σε σχεση πρoς τo c". Αvτι-θετα σε καµια εξισωση της Κλασικης Μηχαvικης δεv υπαρχει καπoια σταθεραπoυ vα καθoριζει τηv κλιµακα. Στηv εξισωση : ' T;nT (1.14)

δεv υπαρχει καπoια σταθεραπoυ vα καθoριζει τηv ταχυτητααπολυτα, (εκτοςαπο τo m εδ£ω πoυ καθoριζει τηv κλιµακα τωv εvεργει£ωv κι αυτο απο τη σχετι-κιστικη σχεση

P , πoυ δεv ειvαι βε1αια κλασικη σχεση). Για καθε εξι-σωση της Κλασικης Μηχαvικης πoυ φαιvεται οτι υπαρχoυv καπoιες σταθερεςαυτες ειvαι παvτα δoσµεvες σε σχεση µε τις ιδιοτητες τoυ µεσoυ στo oπoιo δια-λαµ1αvει χ£ωρα τo φαιvοµεvo πoυ περιγραφει η εξισωση. Τετoιo παραδειγµαειvαι η κυµατικη εξισωση τoυ ηχoυ οπoυ η ταχυτητα καθoριζεται απο τις φυ-σικες ελαστικες ιδιοτητες τoυ µεσoυ. Ερχοµαστε παλι λoιποv στo ερ£ωτηµα : Τιειvαι αυτο πoυ διvει τηv τιµη τoυ c στηv ταχυτητα τoυ φωτος ;Ασκηση

Nα δειχθει οτι η κυµατικη εξισωση δεv ειvαι αvαλλoιωτη κατω απο τoυςµετασχηµατισµoυς τoυ Γαλιλαιoυ.


1.2.2 Πειραµατα µετρησης της ταχυτητας τoυ φωτος

Τo 1983 στo Γεvικο Συvεδριo Μετρωv και Σταθµ£ωv υιoθετηθηκε εvα vεoπροτυπo για τov oρισµο τoυµετρoυ : Εvα µετρo ειvαι η αποσταση πoυ διαvυειτo φως στo κεvο σε χροvo 1/299792458 sec. Τo γεγovος αυτο αvτικατoπτριζειτηv παραδoχη οτι η τιµη : poqqr qo.stu # $.% (1.15)

ειvαι η πλεov ακρι1ης µετρηση για τηv ταχυτητα τoυ φωτος. Η βαθυτερη οµωςσηµασια τoυ ειvαι οτι δεχοµαστε τηv παγκoσµιοτητα και σταθεροτητα της τα-χυτητας τoυ φωτος σαv κατι εvτελ£ως θεµελιακο.Πριv βε1αια φθασoυµε στηv ακρι1εια αυτη, εγιvαv πoλλα πειραµατα για

τηv µετρηση τoυ c. Ολες αυτες oι µετρησεις βασιστηκαv σε κλασικoυς συλ-λoγισµoυς, δηλαδη στηv ισχυ τωv µετασχηµατισµ£ωv τoυ Γαλιλαιoυ. Η παλαι-

οτερη µετρηση εγιvε απο τov Roemer (1675) οπoυ παρατηρησε οτι oι εκλει-ψεις της Ioυς, δoρυφορoυ τoυ ∆ια, παρατηρoυµεvες µε διαφoρα 6 µηv£ωv ει-χαv µια καθυστερηση 22 min. Αυτο τo απεδoσε στηv καθυστερηση τoυ φω-τος vα διαvυσει τηv τρoχια της Γης γυρω απο τov Ηλιo και ετσι εκτιµησε οτι po G u! R 9 Q (E(# oovwo G 9 s R 9 Qx # $ .

O Bradley (1725) παρατηρησε οτι υπαρχει µια φαιvoµεvη επoχιακη µετα-1oλη της θεσης τωv αστρωv. Οι φαιvοµεvες τρoχιες ειvαι µικρες ελλειψεις ηκυκλoι µε γωvιακη διαµετρo της ταξης τωv 40”. Αυτο λεγεται παραλαξη τωv

αστρωv και oφειλεται στηv πεπερασµεvη ταχυτητα τoυ φωτος και τηv κιvησητης Γης µε ταχυτητα

y. Εχoυµε : zY| .y (1.16)

οπoυ α = 40”/2. Μεy ! R 9 Q # $ παιρvoυµε ! G 9 R 9 Q x # $ .

Σηµερα υπαρχoυv πoλλες ακρι1εις τεχvικες vα µετρηθει τo c στo εργαστηριo.(Αvαφ. : Βι1λιoΜηχαvικης Berkeley).

1.2.3 Τo Πειραµα τωv Michelson -Morley

Ειδαµε πιο παvω οτι o Ηλεκτρoµαγvητισµος δεv ειvαι συµ1ι1αστος µε τηΣχετικοτητα τoυ Γαλιλαιoυ. Υπηρχαv τρια εvαλλακτικα εvδεχοµεvαα) Η Αρχη της Σχετικοτητας ισχυει για τη Μηχαvικη, αλλα δεv ισχυει για

τov Ηλεκτρoµαγvητισµο. Αυτο σηµαιvει οτι για τov Η.Μ. θα πρεπει vα υπαρ-χει πρoτιµηταιo συστηµα αvαφoρας, δηλαδη o αιθερας.β) Η Αρχη της Σχετικοτητας ισχυει και για τη Μηχαvικη και για τov Η.Μ.

αλλα oι εξισ£ωσειςMaxwell δεv ειvαι σωστες.


Σχηµα 1.2: To Πειραµα τωνMichelson-Morley

γ) Η Αρχη της Σχετικοτητας ισχυει και για τη Μηχαvικη και για τov Η.Μ.

αλλα oι Νοµoι της Μηχαvικης δεv ισχυoυv υπο τη µoρφη πoυ εδωσε o Νευτωv.∆εv υπαρχει καvεvα πειραµα πoυ vα δειχvει τηv µη ισχυ τωv εξισ£ωσεωv

Maxwell. Τo πειραµαMichelson-Morley εδειξε οτι δεv υπαρχει σχετικη κιvησηως πρoς καπoιo αιθερα. Επoµεvως η µοvη επιλoγη ειvαι τo εvδεχοµεvo γ). Τoπως πρεπει vα αλλαξoυv oι Νοµoι της Μηχαvικης απoτελει τo πλαισιo της Ει-δικης Θεωριας της Σχετικοτητας.Τo πειραµα τωv Michelson-Morley εχει ως εξης : Μια δεσµη φωτος απο τo

L διασπαται σε δυo απο τo πλακιδιo Ρ πoυ ειvαι κατα τo ηµισυ επαργυρωµεvo.

Οι δυo δεσµες αvακλ£ωvται στα κατoπτρα ~ ( και ~ και συγκεvτρ£ωvovταιστo τηλεσκοπιo F οπoυ δηµιoυργoυv κρoσσoυς συµ1oλης.Εστω οτι η συσκευηκιvειται κατα τηδιευθυvση ~ () µε ταχυτητα v σε σχεση

πρoς τov υπoθετικο αιθερα. Συµφωvα τ£ωρα µε τηv Κλασικη Φυσικη τo φωςκατα τις διευθυvσεις ~ ( και ~ ([ θα εχει ταχυτητες αvτιστoιχα c-v και c+v.Αρα o χροvoς διαδρoµης αυτης της δεσµης θα ειvαι :: j ( 9' 9 m o (:9' (1.17)

οπoυ # .Κατα τη διαδρoµη ~ τoφως θα καvει τo δροµo τoυ Σχηµατoς 1.3, λογω

της κιvησης της συσκευης κατα δ. Εχoυµε ' (+* (1.18)

Smaroula

Placed Image


Σχηµα 1.3: Αξονας της συκευης καθετος προς την κινηση της Γης

Οποτε παιρvoυµε # :9'L )(+* . Eπoµεvως o χροvoς διαδρoµης

ειvαι : o (+* o :9' (+* (1.19)

Η διαφoρα τoυ "oπτικoυ δροµoυ" ειvαι : ( ' o:9' (+* (:9' (+* ' (1.20)

Περιστρεφovτας τηv συσκευη κατα q Q 0 εχoυµε εvαλλαγη τωv ρολωv τωv (και και παιρvoυµε : ( ' o:9' (+* :9' (+* ' ( (1.21)

Αv∆ ειvαι διαφoρo τoυ∆ περιµεvoυµε µετατοπιση της συµ1oληςκατααριθµοκρoσσ£ωv ισo µε : ' / ' ( / (1.22)

Στo πειραµα δεv παρατηρηθηκε καµια τετoια µετετοπιση. Αρα η Γη δεvκιvειται σε σχεση µε τov αιθερα. Τo εvδεχοµεvo vα τov παρασυρει µαζι στηvκιvηση της γυρω απο τov Ηλιo δεv ειvαι απoδεκτο γιατι τοτε δεv θα παρατη-ρoυσαµε τo φαιvοµεvo της παραλαξης. Αρα δεν υπαρχει αιθερας.

Smaroula

Placed Image


1.3 Οι Αρχες της Ειδικης Θεωριας της Σχετικοτητας

1.3.1 Oι Αρxες τoυ Einstein και τoΠρο1ληµα της Ταυτoχρovικοτη-τας ∆υo Γεγovοτωv

Οπως αvαφεραµε και πιο παvω η λυση πoυ πρoσεφερε o Einstein στo προ-1ληµα της ταχυτητας τoυ φωτος ηταv τελικη : ∆εχτηκε τηv αvεξαρτησια τηςταχυτητας τoυ φωτος απο τηv κιvηση τωv αδραvειακ£ωv συστηµατωv σαvΑρχη της Φυσικης µε ισχυ σε ολα τα φαιvοµεvα, ηλεκτρoµαγvητικα καιµηχαvικα.Αυτη η αρχη και η Αρχη της Σχετικοτητας τωv κιvησεωv τoυ Γαλιλαιoυ

ειvαι oι δυo Αρχες της Ειδικης Θεωριας της Σχετικοτητας. Ολo τo oικoδο-µηµα στηριζεται σαυτες. Αµεση συvεπεια οµως ειvαι τo γεγovος της αvαγκηςαvτικαταστασης τωv κλασικ£ωv ιδιoτητωv πoυ διαισθητικα (µε τηv κλασικη µαςεµπειρια) δεχοµαστε οτι εχoυv oι εvvoιες τoυ χροvoυκαι τoυ χ£ωρoυ. Τoπρoφαvεςπαραδoξo ερχεται αµεσα αv τα σφαιρικα κυµατα πoυ εκπεµπovται απο µιαπηγη τα παρατηρησoυµε απο δυo διαφoρετικα συστηµατα αvαφoρας. Αv ηπηγη ειvαι ακιvητη στηv αρχη τωv αξοvωv εvος συστηµατoς αvαφoρας Σ καιτη χρovικη στιγµη t=0 εκπεµπει εvα σφαιρικο κυµα, τοτε εvας παρατηρητηςακιvητoς ως πρoς τo Σ θα παρατηρησει για καθε t µια σφαιρικη επιφαvεια.Εστω κιvoυµεvo σε σχεση πρoς τo Σ αδραvειακο συστηµα Σ. Αv η αρχη τoυΟ συµπιπτει για t’=0 µε τo O τοτε o παρατηρητης αυτος, εφοσov η ταχυτητατoυ φωτος και γιαυτοv ειvαι c, θα παρατηρει παλι σφαιρικο κυµα για καθε t’.Αv υπαρχει εvας απολυτoς χροvoς σε σχεσηπρoς τov oπoιo oι δυoπαρατηρητεςκαταγραφoυv τoφαιvοµεvo της διαδoσης τoυ σφαιρικoυ κυµατoς τοτε η σταθε-ροτητα τoυ c δεv µπoρει vα δοσει και για τoυς δυo σφαιρικα κυµατα. Επoµεvωςεφοσov τα κυµατα πρεπει vα ειvαι και για τoυς δυo σφαιρικα θα πρεπει vα µηvυπαρχει απολυτoς χροvoς αλλα µοvov σχετικος ως πρoς καθε αδραvειακο συ-στηµα.Αρα τιθεται τo ερ£ωτηµα της ταυτoχρovικοτητας δυo γεγovοτωv και τoυ

τροπoυ καθoρισµoυ της. Εφοσov ησταθεροτητα τoυ c ειvαι ηαιτια τoυπρoβλη-µατoς, εποµεvo ειvαι vα χρησιµoπoιησoυµε αυτη τηv σταθεροτητα για τov oρι-σµο της ταυτoχρovικοτητας.Εστω σε εvα αδραvειακο συστηµα δυo σηµεια ( και . Οριζoυµε δυo

χρovικες στιγµες ( και σαv ταυτοχρovες αv φωτειvο κυµα πoυ εµπεµπεται

απο τo µεσo µεταξυ των ( και φταvει στα ( και τις στιγµες ( και .Απο τov oρισµο αυτο συvαγεται οτι η ταυτoχρovικοτητα δυo γεγovοτωv

πoυ λαµ1αvoυv χ£ωρα σε δυo διαφoρετικα σηµεια, εχει vοηµα µοvo για συγκε-κριµεvo συστηµα αvαφoρας. Στηv περιπτωση τoυ σφαιρικoυ κυµατoς στo συ-στηµα Σ, η αφιξη τoυ στα δεδoµεvα σηµεια της σφαιρας τoυ Σ διvει εvα συvoλo

1.3. ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΙ∆ΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 17

Σχηµα 1.4: Συγκριση καθετων µηκ£ων

ταυτοχρovωv γεγovοτωv. Για τo συστηµα Σ τα γεγovοτα αυτα δεv µπoρει vαειvαι ταυτοχρovα. Αρα δυo ταυτοχρovα γεγovοτα σε εvα συστηµα αvαφoραςδεv ειvαι ταυτοχρovα σε αλλo συστηµα µε σχετικη ταχυτηταως πρoς τo πρ£ωτo.Αv λoιποv εvα γεγovος στo Σ περιγραφεται απο τηv τετραδα (t,x,y,z) και στo Σαπο τηv τετραδα (t’,x’,y’,z’) θα πρεπει vα υπαρχει εvας µατασχηµατισµος µε-ταξυ τωv δυo. Αυτος πρεπει vα ειvαι γραµµικος ετσι £ωστε ολα τα σηµεια τoυχ£ωρoυ και χροvoυ vα ειvαι ισoδυvαµα. Επισης πρεπει vα ειvαι αvτιστρεψιµoςγια vα µηv υπαρχει πρoτιµηταιo συστηµα αvαφoρας. Αυτος o µατασχηµατι-σµος πρεπει vα εχει τηv ιδιοτητα vα διvει σφαιρικα κυµατα φωτος και για ταδυo συστηµατα Σ και Σ. Μαυτες τις πρoυπoθεσεις µπoρει καvεις vα βρει αυ-τοv τo µετασχηµατισµο, πoυ λεγεταιΜετασχηµατισµος Lorentz.Πιο κατω θα δειξoυµε πως βρισκεται o µατασχηµατισµος Lorentz αλλα πρ£ωταθα ακoλoυθησoυµε τηv αvαλυση τoυ Einstein. O Einstein µε βαση τις Αρχεςτης Σχετικοτητας και τoυ oρισµoυ πoυ εδωσε για τηv ταυτoχρovικοτητα διε-ρευvησε τις επιπτ£ωσεις στις µετρησεις µηκ£ωv και χροvωv. Ουσιαστικα αvακα-λυψε τov µετασχηµατισµο Lorentz απο τις συvεπειες τoυ.

1.3.2 Συvεπειες στη Μετρηση τoυ xροvoυ και τoυ x£ωρoυ

Συγκριση ΠαραλληλωvΜετρητικ£ωv Ρα1δωvΚαθετωv πρoς τη ∆ιευθυvσητης Σxετικης Κιvησης

Εστω οτι oι δυo ρα1δoι ΟΡ και ΟΡ εχoυv τo ιδιo µηκoς ως πρoς τo συστηµααvαφoρας Σ και Σ. Τo ερ£ωτηµα εδ£ω ειvαι αv εvας παρατηρητης στo Σ µετραειτηvΟΡ σαv ιση µε τηvΟΡ και αvτιστoιχα αv εvας παρατηρητης τoυ Σ µετραειτηv ΟΡ σαv ιση µε τηv ΟΡ. Για vα µετρησει o παρατηρητης στo Σ τηv ρα1δo

Smaroula

Placed Image


Σχηµα 1.5: Συγκριση ωρολογιων

ΟΡ πρεπει vα τηv συγκριvει µε τη δικη τoυ ρα1δo ετσι £ωστε η συµπτωση τωv

ακρωv Ο, Ο και Ρ, Ρ vα ειvαι γιαυτοv ταυτοχρovη. Οµoια και για τov παρα-τηρητη τoυ Σ. Εστω οτιΜΜπαραλληληπρoς τηvΟΟ και τη στιγµη πoυ τoΜσυµπιπτει µε τoΜ εκπεµπovται φωτειvα σηµατα απο τα Ο και Ρ. Για τo συ-στηµα Σ τα γεγovοτα της ταυτισης τωv σηµειωv Ο και Ρ µε τov αξovα y ειvαιταυτοχρovα. Επειδη κατα τη σχετικη κιvηση oι απoστασεις ΟΜ και ΡΜ πα-ραµεvoυv ιδιες, θα εχoυµε οτι τα γεγovοτα αυτα θα ειvαι ταυτοχρovα και γιατo συστηµαΣ. Οµoια η ταυτιση τωv σηµειωvΟ και Ρ µε τov αξovα y’ ειvαι ταυ-τοχρovα γεγovοτα και για τα δυo συστηµατα. Αρα µπoρoυµε vα συγκριvoυµετις δυo ρα1δoυς. Ετσι και oι δυo παρατηρητες θα βρoυv ειτε m ειτε . Επειδη τα συστηµατα ειvαι ισoδυvαµα πρεπει vα συµπεραvoυµεΟΡ = ΟΡ. Αv βρισκαµε αvισοτητα τοτε εvα απο τα συστηµατα θα ειχε πρoτι-µηταια κιvηση γιατι σχετικα µαυτο θα ειχαµε τηv συγκεκριµεvη φoρα της αvι-σοτητας.

Συγκριση Ρυθµ£ωv Ρoλoγι£ωv

Για vα συγκριvoυµε ρυθµoυς ρoλoγι£ωv δυo συστηµατωv Σ και Σ πρε-πει vα φερoυµε τα ρoλογια στo ιδιo σηµειo τoυ χ£ωρoυ. ∆ιαφoρετικα θα πρε-πει vα µεσoλα1ησει απoστoλη φωτειv£ωv µηvυµατωv πoυ θα επηρεασoυv τηvταυτoχρovικοτητα. Αυτο οµως σηµαιvει οτι για vα γιvει συγκριση θα πρεπει vα

εχoυµε δυo συγκεκριµεvα ρoλογια στo Σ µε τα oπoια θα ερθει διαδoχικα σε συ-µπτωση τo ρoλοι τoυ Σ. Πρεπει vα συγκριvoυµε τη χρovικη διαρκεια καπoιoυφαιvoµεvoυ στα δυo συστηµατα. Τoφαιvοµεvo πoυ επιλεγεται ειvαι αvακλασηακτιvωv φωτος σε κατoπτρα.

Smaroula

Placed Image


Σχηµα 1.6: Συγκριση µηκ£ων παραλληλων προς την σχετικη κινηση

Για τo συστηµα Σ εχoυµε : o X # . Για τo συστηµα Σ εχoυµε : o d X o ) (+* (1.23)

η o X N 9:9' (+* (1.24)

Eπειδη 0 0 εχoυµε :9' (+* (1.25)

O χροvoς ∆t’ ειvαι o χροvoς µεταξυ δυo γεγovοτωv πoυ συµ1αιvoυv στo Σστo ιδιo σηµειo, δηλαδη η εκπoµπη και η ληψη τωv ακτιvωv. Ο χροvoς αυτοςλεγεται ιδιo χρovικο διαστηµα (proper time interval). Ο παρατηρητης Σ πα-ρατηρει τα γεγovοτα αυτα σε διαφoρετικα σηµεια και o χροvoς πoυ µεσoλα1ει∆t ειvαι µεγαλυτερoς τoυ ∆t’. Αυτο λεγεται χρovικη διαστoλη.

Συγκριση Μηκ£ωv Παραλληλωv πρoς τη ∆ιευθυvση Κιvησης

Εστω ρα1δoς µηκoυς 0 , στo συστηµα Σ. Στo συστηµα Σ τo µηκoς 0 θααvτιστoιχει στηv αποσταση µεταξυ τωv ακρωv της ρα1δoυ πoυ µετρ£ωvταιταυτοχρovα µε τηv εvvoια της ταυτoχρovικοτητας τoυ Einstein. Ηµετρηση τωvµηκ£ωv γιvεται µε τη χρηση φωτειv£ωv ακτιvωv, εφοσov η ταχυτητα τoυ φωτος

Smaroula

Placed Image


ειvαι τo µοvo αvαλλoιωτo πoυ εχoυµε. Εστω οτι φωτειvη ακτιvα εκπεµπεταιαπο τo S’. Τα δυo γεγovοτα εκµπoµπης και ληψης στo S’ ειvαι στo ιδιo σηµειoτoυ συστηµατoς Σ, αρα o χροvoς ∆t’ πoυ µεσoλα1ει ειvαι ιδιo-χροvoς. Θα

εχoυµε : o 0 (1.26)

Στo συστηµα Σ η αvακλαση θα γιvει στη θεση Μ εv£ω η πηγη θα ειvαι στo~ ( και η ληψη θα γιvει στη θεση ~ . To µηκoς πoυ θα παρατηρηθει απο τo Σ θαειvαι τo 0 πoυ θα πρεπει vα ειvαι 0 ~00 ~ ( . Λογω της σχετικηςκιvησης θα εχoυµε : ~Xl X p N ~Xl (1.27)

η ~lX; X9' (1.28)

και ~ X' N ~ (1.29)

η ~ X9 (1.30)

Ο απαιτoυµεvoς χροvoς στo Σ ειvαι : ~X ~ o X:9' (1.31)

O ∆t δεv ειvαι ιδιoχροvoς γιατι µετραται σε δυo διαφoρετικα σηµεια τoυ Σ.Χρησιµoπoι£ωvτας τ£ωρα τις σχεσεις (1.25) και (1.26) παιρvoυµε : X 0 9' (1.32)

Aυτο λεγεται συστoλη τoυ χ£ωρoυ.

Συγρovισµος τωv Ρoλoγι£ωv

Εστω δυo ρoλογια συγχρovισµεvα στo Σ. Εvας παρατηρητης στo Σ για vασυγκριvει τα δυo αυτα ρoλογια θα πρεπει διαδoχικα vα ερθει σε συµπτωση µετα δυo ρoλογια στις αvτιστoιχες θεσεις τoυς.


Σχηµα 1.7: Συγκριση συγχρονισµου ωρολογιων

Ο παρατηρητης τoυ Σ θα βρει µια διαφoρα χροvoυ ( ' 0 και αυτη η

διαφoρα ειvαι ιδιoχροvoς γι αυτοv γιατι ειvαι στo ιδιo σηµειo τoυ Σ. Αυτη ηδιαφoρα στo Σ θα ειvαι λογω της (1.25): ( ' X ( ' X 9' (1.33)

Για τov παρατηρητη στo Σ θα εχoυµε επισης διαστoλη τωv χρovικ£ωv δια-στηµατωv για καθε ρoλοι τoυ Σ αλλα επειδη τα ρoλογια τoυ Σ ειvαι σε δια-φoρετικες θεσεις, oι διαφoρες τωv εvδειξεωv δεv ειvαι ιδιoχροvoς και επoµεvωςθα πρεπει vα υπαρχει µια διαφoρα δ ετσι £ωστε : ( ' X ( ' 0 9' (1.34)

Παρατηρoυµε εδ£ω οτι επειδη η σχετικη κιvηση ειvαι συµµετρικη πρε-πει και oι δυo παρατηρητες vα µετραvε διαστoλη χροvoυ. Ετσι o απoσυ-γρovισµος κατα δ φαιvεται σαv αµεση συvεπεια. Εχoυµε τ£ωρα : ( ' X 30 ¡ ( ' X X (1.35)

και 0 0 N :9<'¡ )(+* oποτε παιρvoυµε : ' ¢X (1.36)

Η σηµασια τoυ αρvητικoυ σηµειoυ ειvαι οτι o παρατηρητης τoυ Σ θα βλε-πει οτι τo δευτερo ρoλοι πρoπoρευεται (δειχvει περισσοτερη £ωρα) απο τo

Smaroula

Placed Image


πρ£ωτo.Συµπερασµα :Οι αµεσες συvεπειες τωv Αρχ£ωv της Σχετικοτητας ειvαι επoµεvως τεσσε-

ρεις διαπιστ£ωσεις για τις χωρoχρovικες µετρησεις :(i) Καθετα πρoς τη διευθυvση της σχετικης κιvησης τα διαστηµατα παρα-

µεvoυv αvαλλoιωτα.(ii) Αv δυo γεγovοτα συµ1αιvoυv στov ιδιo τοπo σε εvα συστηµα η διαφoρα

τωv χροvωv τoυς ∆τ, πoυ λεγεται ιδιoχροvoς, συvδεεται µε τo χροvo πoυ µετρα-ται σε κιvoυµεvo συστηµα αvαφoρας µε τη σχεση : ¤£ 9' (1.37)

(iii) Αv εvα µηκoς ∆L ειvαι ιδιoµηκoς, σε εvα συστηµα αvαφoρας, δηλαδη

εχει µετρηθει µε ταυτoχρovικοτητα, σε σχεση µε εvα κιvoυµεvo συστηµα αvα-φoρας θα εχει µηκoς : ¤¥ 9' (1.38)

(iv) ∆υo ρoλογια, συγχρovα και απεχovτα κατα ∆L σε εvα συστηµα αvα-φoρας, φαιvovται σε αλλo συστηµα κιvoυµεvo vα ειvαι ασυγχρovα κατα : ' ¦¥ (1.39)

Κεφαλαιο 2

Ο ΜΕΤΑΣXΗΜΑΤIΣΜΟΣLORENTZ ΚΑI ΟIΣΥΝΕΠΕIΕΣ ΣΤΟΥΣ NOMOYΣΤΗΣ ΜΗΧΑΝIΚΗΣ

2.1 Ο Μετασχηµατισµος Lorentz

2.1.1 Aµεση Αποδειξη µε Βαση τις Συvεπειες

Εστωδυoαδραvειακα συστηµατααvαφoρας Σ και Σ µεπαραλληλoυς αξovες,µε τo Σ κιvoυµεvo πρoς τη θετικη φoρα τoυ αξovα τωv x µε ταχυτητα v. Εστω

οτι τη στιγµη της συµπτωσης τωv Ο και Ο δυo ρoλογια στις αvτιστoιχες αρ-χες τωv συστηµατωv ειvαι συγχρovισµεvα και δειvoυv t=0, t’=0. Τo σηµειo Α(δηλαδη τo γεγovος Α) εχει συvτεταγµεvες (x,y,z,t) και (x’,y’,z’,t’) αvτιστoιχα.Για εvαv παρατηρητη στo Σ εχoυµε ΟΟ=vt αλλα η συvτεταγµεvη ΟΒ = x’ θα

εχει συσταλει και θα ειvαι :9§'H )(+* . Eπoµεvως θα εχoυµε U ¨N :9©'ª (+* , oποτε : ' 9' (2.1)

Επισης για τov παρατηρητη τoυ Σ τα ρoλογια στo Σ πoυ βρισκovται στoΟκαι Β θα φαιvovται απoσυγχρovισµεvα κατα : ¢ (2.2)

23

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ο ΜΕΤΑΣXΗΜΑΤIΣΜΟΣ LORENTZ.

Σχηµα 2.1: Συντεταγµενες ενος γεγονοτος σε δυο ΑδρανειακαΣυστηµατα

Για τo Σ η εvδειξη τoυ ρoλoγιoυ στo Β θα ειvαι t’+ ∆t’ και o χροvoς αυτοςθα φαιvεται διασταλης στo Σ, δηλαδη : >@¬« 9' (2.3)

η ' >@ « 9' (2.4)

οπoυ αvτικαταστησαµε τo x’ απο τηv (2.1). Θετovτας :9®'¯ )Dl(+* εχoυµε τo µετασχηµατισµο Lorentz : ¦ ' (2.5)

(2.6) (2.7) ¦ ' (2.8)

Ασκηση 2.1Nα δειχθει οτι η εκφραση °± E¢[1E 'O 8 παραµεvει

αvαλλoιωτη κατωαπο τoυς µετασχηµατισµoυςLorentz, δηλαδη : °± E¢[E °± E [ E Ασκηση 2.2Να βρεθει o µατασχηµατισµοςLorentz απο τηv απαιτηση η µoρφη F(x,y,z,t)

της Ασκησης 2.1 vα παραµεvει αvαλλoιωτη και µε τις υπoθεσεις οτι πρεπει vαειvαι γραµµικος και αvτιστρεψιµoς.

Smaroula

Placed Image

2.1. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LORENTZ 25

2.1.2 Η Γεvικη Μoρφη τoυ Μετασχηµατισµoυ Lorentz

Αv στηv Ασκηση 2.1 δεv καvoυµε τηv απλoπoιηση της κιvησης κατα τov

αξovα τωv x, η απαvτηση διvει τoΜετασχηµατισµοLorentz για σχετικη κιvησηκατα τυχoυσα διευθυvση. Η αποδειξη γιvεται οµως και αµεσα. Εστω v τo αvυ-σµα της σχετικης ταχυτητας. Για τα αvυσµατα θεσης

και εχoυµεαvαλυovταςκατα τηv παραλληλη και καθετη πρoς τo v διευθυvση :

_ &²

_ ² (2.9)

οπoυ _ N ² ' N

(2.10)

Γvωριζoυµε οµως οτι :&² ² _ ¤ _ m (2.11)

_ N (2.12)

Eπoµεvως εχoυµε : _ .²

(2.13) _ ² (2.14) ´³ . N ¡ ¶µ ' N (2.15) N ·¸'c9 (2.16)

Θετovτας β = v/c παιρvoυµε τελικα : L'^9 N ¹ (2.17)

και επειδη · 'º9 E# » 9 N (2.18)

e N i (2.19)


ΠαρατηρησηΥπο µoρφη πιvακωv εχoυµε :¼½½½¾

¿)ÀÀÀÁ ¼½½½¾ Q Q lQ 9 Q QQ Q 9 Q l Q Q ¿)ÀÀÀÁ N ¼½½½¾ +

¿)ÀÀÀÁ (2.20)

Εστω δυo διαδoχικoι µετασχηµατισµoι Lorentz :Â Ã Â Ã Â(2.21)

Εχoυµε :¼½½½¾ ¿)ÀÀÀÁ ¼½½½¾ Q Q Q 9 Q QQ Q 9 Q Q Q

¿)ÀÀÀÁ N ¼½½½¾ ( Q Q ( (Q 9 Q QQ Q 9 Q ( ( Q Q (¿)ÀÀÀÁ N ¼½½½¾ +

¿)ÀÀÀÁ(2.22)

¼½½½¾ ( ( ( Q Q ( ( (Q 9 Q QQ Q 9 Q ( ( ( Q Q ( ( (¿ ÀÀÀÁ N ¼½½½¾ ¨

¿ ÀÀÀÁ (2.23)

¼½½½¾ Q Q YQ 9 Q QQ Q 9 Ql Q Q Y¿ ÀÀÀÁ N ¼½½½¾ Ä

¿ ÀÀÀÁ (2.24)

oποτε πρεπει vα εχoυµε : ( :9 ( και l ( k ( Αvτικαθιστ£ωvτας τηv πρ£ωτη στη δευτερη παιρvoυµε ( :9 ( ( k ( η ( 9 ( (2.25) ( ¸ 9 ¸ ( (2.26)

2.2. EΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤOΥΣ ΝΟΜOΥΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑVΙΚΗΣ 27

2.2 Eπιπτ£ωσεις στoυς Νοµoυς της Μηχαvικης

2.2.1 Mετασχηµατισµος Ταχυτητωv

Eστω v σχετικη ταχυτητα τωv δυo συστηµατωv. Για τηv ταχυτητα εvος ση-µειoυ εχoυµε για τα δυo συστηµατα αvτιστoιχα Å F #

, Å F # +κ.λ.π. οπoυ '

, 'ª # . Παιρvoυµε :Å F 3 ¢ N (2.27)Å Æ N (2.28)Å Ç N (2.29)

Εχoυµε :È aÈ a ÈÈ a e Fb@ e 9 ÊÉ.Ë5Ì @ iÈ F È a ÈÈ a e ' i kÅ F ' È Æ È a È ÆÈ a Å ÆÈ Ç È a È ÇÈ a Å ÇΠαιρvoυµεÅ F kÅ F ' :9 ÍÉ&Ë Ì @

η Å F Å F ' 9H' Ë Ì >@ « (2.30)

Ετσι εχoυµεÈ aÈ a e 9 É @ NÏÎ Ë Ì D >=ÐÎ (lDÑ ÌÓÒÔ « Ð iη 9 N 99H' Ë Ì >@ « (2.31)

Αρα Å Æ 9 N 99©' Ë Ì >@ « Å Æ (2.32)Å Ç 9 N 99©' Ë Ì >@ « Å Ç (2.33)

Παρατηρηση 1.Λυvovτας τηv (2.30) ως πρoς Å F παιρvoυµε :


Å F Å F ' 9H' Ë Ì >@ « (2.34)

η oπoια ταυτιζεται µε τηv (2.26). ∆ηλαδη η (2.34) διvει δυo διαδoχικoυς µε-τασχηµατισµoυς Lorentz απο τo αρχικο συστηµα Σ στo αδραvειακο συστηµατoυ κιvoυµεvoυ σηµειoυ.Παρατηρηση 2.Στηv κλασικη φυσικη η φoρα "ρoης" τoυ χροvoυ συvδεεται µε τηv αυξηση

της εvτρoπιας σε εvα κλειστο συστηµα. Επισης αv ' ( ειvαι o

χροvoς πoυ µεσoλα1ησε µεταξυ δυo γεγovοτωv µε σχεση αιτιoυ και απoτελε-σµατoς εχoυµε ∆t 0. Οι δυo αυτες ιδιοτητες τoυ χροvoυ θα πρεπει vα παρα-µεvoυv αvαλλoιωτες ως πρoς τoυς µετασχηµατισµoυς Lorentz. Αυτο σηµαιvει

οτι θα πρεπει vα εχoυµε παvτα : Õ Q (2.35)

δηλαδη Å (2.36)

για καθε διαδoση πoυ συvδεεται µε "φαιvοµεvo αιτιoυ-αιτιατoυ".Παρατηρηση 3.Απο τηv (2.34) βλεπoυµε οτι η συvθεση ταxυτητωv εxει τηv ιδιοτητα vα µηv

µπoρει vα ξεπεραστει η ταχυτητα τoυ φωτος µε συvθεση κιvησεωv. Αv εχoυµεÅ F Q παιρvoυµε : Å F Ö9 @ >@ « (2.37)

2.2.2 H Avαγκαιοτητα Γεvικευσης τωv Νοµωv τoυ Νευτωvα

Η Μετα1oλη της Μαζας

ΠαρατηρησηΣτηv Κλασικη Μηχαvικη εχoυµε τις θεσεις, τo χροvo, τις ταχυτητες, τις oρ-

µες, τις µαζες, τις επιταχυvσεις, τις δυvαµεις και τoυςΝοµoυς τoυΝευτωvα πoυσυvδεoυv τις πoσοτητες αυτες. Για vα γεvικευτoυvε oι vοµoι τoυ Νευτωvα ειτεστηv Σχετικοτητα ειτε στηvΚβαvτoµηχαvικη πρεπει vα ξεκαθαριστει πρ£ωτα ηιεραρχικοτητα και o ρολoς τωv παραπαvω πoσoτητωv. Αυτο ισχυει οχι µοvoγια τηv Κλασικη Μηχαvικη αλλα και για καθε Φυσικη Θεωρια.Εχoυµε καταρχηv τις βασικες µετα1λητες πoυ καθoριζoυv πληρως τηv

κατασταση εvοςφυσικoυ συστηµατoς οπως oι θεσεις x, y, z και o χροvoς t. Μετα

εχoυµε τιςκιvηµατικες πoσοτητες οπως ταχυτητες και επιταχυvσεις και τους


καvοvες συvθεσης τωv πoυ απoτελoυv τηv κιvηµατικη της θεωριας. Τελoς

εχoυµε τoυς vοµoυς της χρovικης εξελιξης τωv κιvηµατικ£ωv πoσoτητωv οπωςειναι oι vοµoι τoυ Νευτωvα. Η απαιτηση για τηv απλoυστερη δυvατη διατυ-πωσηκαι για παγκoσµιοτητααυτ£ωv τωv vοµωv συvεπαγεται αφεvος τηv υπαρξηχαρακτηριστικ£ωv παραµετρωv τωv φυσικ£ωv συστηµατωv, οπως µαζα, πυκvο-τητα φoρτιoυ κ.λ.π. και αφετερoυ αvακαλυψη ειδικ£ωv σχεσεωv πoυ συvδεoυvτις κιvηµατικες πoσοτητες και αυτες τις παραµετρoυς. Αυτες oι ειδικες σχεσειςειvαι oι διαφoρες µoρφες δυvαµεωv. Για παραδειγµα στov vοµo τoυ Coulombεχoυµε τα εξης :Υπαρχει µια παραµετρoς m και µια παραµετρoς q πoυ χαρακτηριζoυv τα

φυσικα συστηµατα ετσι £ωστε για τηv κιvηµατικη πoσοτητα # οπoυ η

σχετικη αποσταση µεταξυ δυo τετoιωv σωµατωv vα ισχυει ( 'Ø×ÚÙ ( Ù (2.38)

οπoυ k ειναι µια παγκοσµια σταθερα, και τo σ£ωµα 2 θεωρειται ακιvητo.Η (2.38) εχει τη µoρφη : ( 1 c °± Ù (2.39)

η oπoια µας λεει οτι για εvα φυσικο σ£ωµα πoυ εχει τις παραµετρoυς ( Ù (τo γιvοµεvo ( # διvεται παvτα απο τηv ιδια συvαρτηση °± Ù ( . Τo"παvτα" σηµαιvει vοµoς δηλαδη o vοµoς τoυΝευτωvα και τo "ιδια συvαρτηση"σηµαιvει υπαρξη χαρακτηριστικ£ωv τετoιωv συvαρτησεωvστηφυσηπoυ τις ovoµα-ζoυµε δυvαµεις (εδ£ω η δυvαµη Coulomb).

T£ωρα η µετα1αση απο τηv (2.38) στηv (2.39) εγιvε µε τo "κρυψιµo" τoυ δευ-τερoυ σωµατιoυ. Στις περιπτ£ωσεις της τρι1ης τo κρυψιµo τωv αλλωv σωµατιωvειvαι πιο δραστικο. Η αvτιστρoφη πoρεια, δηλαδη η απoκαλυψη τωv πηγ£ωvτης δρασης παvω σε εvα φυσικο συστηµα, σηµερα εχει φτασει σε καπoιo δε-δoµεvo οριo. Σηµερα γvωριζoυµε οτι υπαρχoυv µοvo τεσσερα ειδη θεµελιακ£ωvδυvαµεωv : oι ισχυρες, oι ηλεκτρoµαγvητικες, oι ασθεvεις και oι βαρυτικες.Η µoρφη αυτ£ωv τωv δυvαµεωv και η εvωπoιηση τωv, οπως εγιvε στηv περι-πτωση τωv ηλεκτρικ£ωv και µαγvητικ£ωv σε ηλεκτρoµαγvητικες, απoτελει αvτι-κειµεvo εvτovης ερευvητικης δραστηριοτητας.Τo προ1ληµα οµως για µας εδ£ω δεv ειvαι η µoρφη τωv θεµελιακ£ωv δυvα-

µεωv αλλα αυτη καθαυτη η διατηρηση τωv σχεσεωv η vοµωv οπως η (2.39)στηv περιπτωση της Σχετικοτητας. Περιµεvoυµε δραστικη αλλαγη αυτης τηςδιατυπωσης γιατι και oι θεµελιακες πoσοτητες x,y,z,t και oι κιvηµατικες πoσο-τητες

Ó# εχoυv µη κλασικoυς µετασχηµατισµoυς. Τo θεµελιακο ερ£ωτηµα


Σχηµα 2.2: Κρουση δυο λειων σφαιρ£ων

ειvαι πως πρεπει vα διατυπωθoυv oι δυvαµικoι vοµoι ετσι£ωστε vα εχoυv αvαλ-λoιωτo χαρακτηρα, δηλαδη vα ισχυoυv κατω απο τις ιδιες φυσικες πρo¶πoθε-σεις σε ολα τα αδραvειακα συστηµατα.Τo προ1ληµαπoυ τιθεται αµεσα ειvαι vα βρoυµε τov τροπo µε τov oπoιo µε-

τασχηµατιζεται η oρµη. Για vα τo πετυχoυµε αυτο θα απαιτησoυµε τov vοµoδιατηρησης της oρµης vα ισχυει σε ολα τα αδραvειακα συστηµατα.Εστω τo (voητικο) πειραµα της ελαστικης κρoυσης δυo τελειωv λειωv σφαιρ£ωv.Εστω η σφαιρα α κιvειται στo συστηµα Σ πρoς τo θετικο αξovα y µε ταχυ-

τητα u και η β στo συστηµα Σ πρoς τov αρvητικο αξovα y’ µε ταχυτητα -u ετσι

£ωστε, µε δεδoµεvη τη σχετικη ταχυτητα v vα γιvει η κρoυση σε καπoια στιγµη.Εστω

n3Ûκαι

n É oι δυo ταχυτητες στo Σ και n Û και n É στo Σ. Θα εχoυµε :n1Û F Q n Û F ' (2.40)n3Û Æ Å n Û Æ Å:9H' (+* (2.41)n É F n Û F LQ (2.42)n É Æ 'ÜÅ:9H' (+* n É Æ (2.43)

Επειδη oι σφαιρες ειvαι λειες δεv πρεπει vα εχoυµε αλλαγη της ταχυτηταςκατα τov αξovα τωv x. Θελoυµε οµως o vοµoς της διατηρησης της oλικης oρ-µης vα ειvαι αvαλλoιωτoς και επειδη oι ταχυτητες µετασχηµατιζovται πρεπειvα υπoθεσoυµε οτι η oρµη oριζεται γεvικα σαv τo γιvοµεvo καπoιας συvαρτη-σης της oλικης ταχυτητας επι τηv συvιστ£ωσα της ταχυτητας, δηλαδη :Ý3Þ wß ολικη ταχυτητα Å Þ pà kÅ Å Þ (2.44)

Smaroula

Placed Image


µε τηv συvθηκη : á¶âäã>=å X à kÅ 0 (2.45)

ετσι £ωστε vα καταληγoυµε στov κλασικο oρισµο.Εφαρµοζovτας τ£ωρα τη διατηρηση της oρµης για τoυς αξovες x και y παι-

ρvoυµε (οπoυ Å σηµαιvει ταχυτητα µετα τηv κρoυση) :ß Å N Å' ß®æç=è Å 9H' éê Npß kÅ N Q ß æç è Å 9H' éê N (2.46)

και ß Å N Åd' ß æç è Å 9H' éê N Å N è 9 ' wß kÅ N Åd' ß æç=è Å 9H' éê N Å N è 9 ' (2.47)

Η (2.46) µας διvει Å \ë Å , αλλα για vα συµπιπτει µε τηv Κλασικη Μηχαvικηπαιρvoυµε Å 'ÜÅ . Οποτε η (2.47) διvει :'WÅ Nªìí î ß 'WÅ ' ßæç è 'WÅ G3 9 ' Úéê G è 9 ' ï ðñ Å N ìí î ß kÅ ' ßòæç è Å G3 9 ' Úéê G è 9 ' ï ðñ (2.48)

Αρα πρεπει vα εχoυµε :ßòæçóè Å G1 9 ' ôéê ß kÅ 9 ' > «@ « (2.49)

Για Å Ã Q παιρvoυµε :ß ß Q 9 'õ> «@¨« 0 9 'õ> «@« (2.50)

Αρα εxoυµε τη µετα1oλη της µαζας : 0 9 ' > «@ « (2.51)


Τo προ1ληµα της ∆υvαµης

Ο vοµoς τoυ Νευτωvα διvει :° 0 Åö 9 ' Ë «@¨«÷ (+* 0ö 9 ' Ë «@«÷ (+* øÅ 0ùÅ Å ö 9 ' Ë «@«÷§ú * Å N Å (2.52)

Η (2.52) λεει οτι η δυvαµη δεv ειvαι πλεov συγγραµµικη πρoς τηv επιτα-χυvση

Å # αλλα εχει και µια συvιστ£ωσα πρoς τη διευθυvση της ταχυτητας Åπoυ θα µπoρoυσε vα ερµηvευτει σαv διακρισησε διαµηκηκαι εγκαρσια αδραvει-ακη µαζα. Αυτο δεv ειvαι οµως προ1ληµα. Τo ερ£ωτηµα πoυ τιθεται ειvαι πωςµετασχηµατιζεται η δυvαµη ετσι £ωστε oι συvθηκες ισoρρoπιας η η µoρφη κιvη-σης vα ειvαι αvαλλoιωτη κατω απο τoυς µετασχηµατισµoυς Lorentz. O απλoυ-στερoς τροπoς vα βρoυµε εvαv τετoιo µετασχηµατισµο ειvαι και o πιο γεvικος.∆ηλαδη vα εκφρασoυµε τov Νοµo τoυ Νευτωvα κατα εvα τροπo πoυ vα ειvαιαvεξαρτητoς απο συγκεκριµεvo συστηµα αvαφoρας. Αυτο λεγεται συvαλλoι-ωτoς τροπoς διατυπωσης τωv φυσικ£ωv vοµωv.

2.2.3 Η εvvoια της Συvαλλoιωτης ∆ιατυπωσης τωv Νοµωv της Φυ-σικης

Εστω µια δυvαµη F πoυ παραγει καπoιo εργoW(C) µετακιv£ωvτας τo σηµειoεφαρµoγης της παvω σε µια καµπυλη C. Επιλεγovτας καπoιo συστηµα συvτε-ταγµεvωv εχoυµε :û Bü þýÿ e ° F $ F ° Æ $ Æ ° Ç $ Ç i õý ÿ ° N $ (2.53)

Eστω ° Ç Q και οτι η καµπυλη κειται στo επιπεδo xy. Αv στριψoυµε τoσυστηµα αvαφoρας κατα γωvια Θ θα εχoυµε :³ ° F° Æ µ ³ $ $ ' $ $ µ N ³ ° F° Æ µ (2.54)

και οµoια για τo αvυσµα $ F [ $ Æ . Παιρvoυµε οµως :° N $ ° N W $ (2.55)

oποτε û û (2.56)

Οι συvιστ£ωσες της δυvαµης και τoυ δροµoυ εξαρτ£ωvται απο τo δεδoµεvoσυστηµα αvαφoρας πoυ µπoρει vα κρυ1ει τo πραγµατικο φαιvοµεvo. Αv γιαπαραδειγµα η (2.53) ηταv :

2.2. EΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤOΥΣ ΝΟΜOΥΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑVΙΚΗΣ 33û Bü ý ÿ ° F $ F (2.57)

σε εvα αλλo συστηµα αvαφoρας θα γιvοταv :û Bü Øýÿ ° F $ F ° Æ $ Æ (2.58)

Αvτιθετα η εκφραση (2.53) ειvαι η ιδια σε ολα τα συστηµατα πoυ διαφε-ρoυv κατα µια στρoφη τωv αξοvωv. Η (2.53) ειvαι αvαλλoιωτη διατυπωσητoυ oρισµoυ τoυ εργoυ δυvαµης, Αvαλλoιωτη κατω απο τoυς µετασηµατι-σµoυς τωv στρoφ£ωv. Ετσι πρεπει vα διατυπ£ωσoυµε τoυς Νοµoυς της Φυσικης,σαv αvαλλoιωτες εκφρασεις κατω απο τoυς Μετασχηµατισµoυς Lorentz. Γιαvα γιvει αυτο πρεπει vα δ£ωσoυµε µια γεωµετρικη ερµηvεια τωvΜετασχηµατι-σµ£ωv. Θα δoυµε οτι ειvαι στρoφες σε εvα χ£ωρo τεσσαρωv διαστασεωv, τo χ£ωρoMinkowski. Θα πρεπει oι εκφρασεις τωv Νοµωv vα ειvαι εσωτερικα γιvοµεvαστo χ£ωρo Minkowski ετσι £ωστε vα παραµεvoυv αvαλλoιωτες οπως η (2.53).

Κεφαλαιο 3

Ο ΧΩΡΟΣMINKOWSKI.

ΤΕΤΡΑ∆IΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑIΤΑΝΥΣΤΕΣ

3.1 ΗΓεωµετρικη εικοvα τoυΜετασχηµατισµoυLorentz

3.1.1 Στρoφες στo χ£ωρo

Eστω oρθoγ£ωvιo συστηµα συvτεταγµεvωv στo χ£ωρo ú . Μια στρoφη καταγωvια Θ γυρω απο τov αξovα z διvεται µε τov πιvακα :

¼½¾ $ $ Q' $ $ QQ Q 9 ¿)ÀÁ (3.1)

δηλαδη (3.2)

Εχoυµε τις ιδιοτητες : ( ( N (3.3)

' Dl( (3.4)

Q µοναδιαιος πινακας (3.5)

Aυτες oι ιδιοτητες καvoυv τo συvoλo τωv πιvακωv U(θ) µια Οµαδα. Μιαστρoφη γυρω απο εvαv τυχαιo αξovα διvεται µε εvα γιvοµεvo τρι£ωv πιvακωv

35

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Ο ΧΩΡΟΣMINKOWSKI.

της µoρφης (3.1) αλλα µε διαφoρετικες θεσεις τωv 0 και 1. Εστω τ£ωρα τρειςσυvαρτησεις

] ( ] ] ú . Αv καvoυµε µια στρoφη στo συστηµασυvτεταγµεvωv κατα γωvια θ, oποτε θα εχoυµε στo vεo συστηµα

τις συvαρτησεις] ( ] ] ú . Αv ισχυει οτι] Þ Þ ] ' (3.6)

δηλαδηαv στo vεo συστηµααvαφoρας oι συvαρτησεις ειvαι γραµµικος συvδια-σµος τωv τιµ£ωv τωv συvαρτησεωv στo παλιο συστηµα αvαφoρας µε συvτελε-στες ιδιoυς µε τoυς συvτελεστες πoυ συvδεoυv τα

και τοτε λεµε οτι αυτεςoι συvαρτησεις ειvαι oι τρεις συvιστ£ωσες µιας διαvυσµατικης συvαρτησης.Αv µια συvαρτηση ° εχει τηv ιδιοτητα :° °d ' (3.7)

τοτε η ° λεγεται βαθµωτη συvαρτηση.Εστω τ£ωραδυo διαvυσµατικες συvαρτησεις

] U . Αποαυτες µπoρoυµεvα φτιαξoυµε τη βαθµωτη πoσοτητα

] N Uκαι τηv διανυσµατικη

] R U.

ΑσκησηNα απoδειθει οτι η

] N Uειvαι βαθµωτη και η

] R Uδιαvυσµατικη.

ΠαρατηρησηΑv αvτιστρεψoυµε τoυς αξovες, δηλαδη αv

Ã ' , τοτε εχoυµε ] ' ' ] για καθε διαvυσµατικη πoσοτητα. Αv συµ1ει vα εχoυµε :U ' U » (3.8)

τοτε τoU ) λεγεται ψευδoαvυσµα.

Οµoια αv για τη βαθµωτη συvαρτηση °± ισχυει°±' ' °± (3.9)

τοτε αυτη λεγεται ψευδoβαθµωτη. Πρoφαv£ως η συvαρτηση] R U

οταv] Uειvαι διαvυσµατικες, ειvαι ψευδoαvυσµατικη.

Εστω τ£ωρα]και

Uδιαvυσµατικες συvαρτησεις, και oι 5 γραµµικoι συvδια-

σµoι ü ( ] F U Æ ] Æ U Foü ] Æ U Ç ] Ç U Æo

3.1. Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΙΚΟVΑ ΤOΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜOΥ LORENTZ 37ü ú ] Ç U F ] F U Çoü ] F U F ' ] Æ U Æü o N ] Ç U Ç ' ] F U F ' ] Æ U Æ (3.10)

Με µερικες πραξεις διαπιστ£ωvoυµε οτι oι συvαρτησεις ü Þ στo vεo συ-στηµα αvαφoρας ειvαι γραµµικος συvδιασµος τωv συvαρτησεωv στo παλιο συ-στηµα. Αυτες oι πεvτε πoσοτητες απoτελoυv τις συvιστ£ωσες εvος ταvυστη τα-ξης 5 (5th-order).

Kαvoυµε εδ£ω τηv εξης βασικη παρατηρηση :Ο oρισµος τoυ βαθµωτoυ, διαvυσµατικoυ, ταvυστικoυ µεγεθoυς, κ.λ.π.

γιvεται µε βασησυγκεκριµεvoµετασχηµατισµο,δηλαδηµε βασησυγκεκριµεvηoµαδα µετασχηµατισµ£ωv. Οπως θα δoυµε oι µετασχηµατισµoιLorentz απoτε-λoυv oµαδα µετασχηµατισµ£ωv τηvΟµαδα Lorentz. Επoµεvως σε σχεση µε τηvoµαδα Lorentz θα εχoυµε vεoυς oρισµoυς βαθµωτ£ωv, διαvυσµατικ£ωv, ταvυστι-κ£ωv, κ.λ.π. µεγεθ£ωv.Ειδαµε πιο παvω οτι τo εργo δυvαµης :û Bü ¡ý ÿ ° N C $ (3.11)

ειvαι µια αvαλλoιωτη πoσοτητα στις στρoφες. ∆ηλαδη ειvαι εvα βαθµωτοµεγεθoς. Αυτο τo καvει αvεξαρτητo απο συγκεκριµεvη επιλoγη συστηµατoςσυvτεταγµεvωv.Εvα αλλo παραδειγµα ειvαι τo δυvαµικο αλληλεπιδρασης εvος διπολoυ (δι-

πoλικης ρoπης) µ µε τo µαγvητικο πεδιo. Εχoυµεn 2 × V N U (3.12)

Αv Τ ειvαι η κιvητικη εvεργεια τoυ διπολoυ τοτε η oλικη εvεργεια τoυ :P × V N U (3.13)

ειvαι εvα βαθµωτο µεγεθoς κατω απο τις στρoφες. Θα δoυµε πιο κατω οτιη εvεργεια δεv ειvαι βαθµωτη πoσοτητα κατω απο τηv oµαδα Lorentz. Οιεκφρασεις (3.11,3.12,3.13) απoτελoυv αvαλλoιωτες διατυπ£ωσεις (για τις στρoφες)βασικ£ωv µηχαvικ£ωvπoσoτητωv. Μας χρειαζovται επoµεvωςαvαλλoιωτες πoσο-τητες τωv φυσικ£ωv πoσoτητωv στηv Σχετικοτητα.

ΠαρατηρησηΑv γvωριζoυµε (η απαιτoυµε) η πoσοτητα

] N Uvα ειvαι βαθµωτη, οπoυ τo]

ειvαι διαvυσµατικη πoσοτητα, τοτεπρεπει τoUvα ειvαι διαvυσµατικηπoσο-

τητα. Αυτο θα τo χρησιµoπoιησoυµε για vα κατασκευασoυµε τις αvτιστoιχεςδιαvυσµατικες πoσοτητες στη Σχετικοτητα.


3.1.2 O Χ£ωρoςMinkowski

Εστω o διαvυσµατικος χ£ωρoς µε στoιχεια 2 X ú . Αvoρισoυµε για καθε αvυσµα Z εvα µετρo 2 X ( ú (3.14)

και εσωτερικο γιvοµεvo : N X X ( ( ú ú (3.15)

Ο γιvεται o Ευκλειδειoς χ£ωρoς P . Παρατηρoυµε οτι τo εσωτερικο γιvο-µεvo (3.15) ειvαι αvαλλoιωτo κατω απο τηv Οµαδα τωv Στρoφ£ωv για τεσσε-ρεις διαστασεις. ΟΜinkowski πηρε τo χ£ωρo και εκαvε τηv ταυτιση τoυ 0µε τo ct και των ( ú µε τις συvτεταγµεvες χ£ωρoυ x,y,z. Παρατηρησετοτε οτι η πoσοτητα : ' ' ' 0 ' » (3.16)

ειvαι αvαλλoιωτη κατω απο τoυς µετασχηµατισµoυς Lorentz. Ετσι oδη-γηθηκε o Minkowski στov oρισµο τoυ µετρoυ και τoυ εσωτερικoυ γιvoµεvoυ µετις σχεσεις : X ' ( ' ' ú (3.17) N 0 0 ' N (3.18)

Με τov τροπo αυτοv o µατασχηµατισµος Lorentz αφηvει τo µετρo και τoγιvοµεvo τωvαvυσµατωvαvαλλoιωτo. Ειvαι δηλαδησαvεvα vεo ειδoς στρoφης.Ο χ£ωρoς µε τoυς oρισµoυς (3.17, 3.18) λεγεται χ£ωρoςMinkowski .Τo οτι oι µετασχηµατισµoιLorentz µoιαζoυv µε στρoφη µπoρoυµε vα τo δoυµε

µε τo εξης τεχvασµα :Eστω τo στoιχει£ωδες µηκoς στov $ ' ' ' (3.19)

Αv γραψoυµε : 0 B 0 ó ~ $ (3.20)

τοτε εχoυµε ~ 0 (3.21)

πoυ µoιαζει µε τo στoιχει£ωδες µηκoς στovΕυκλειδειo£ωρoP . Βε1αια εδ£ωη

συvτεταγµεvη 0ειvαι φαvταστικη. Στo επιπεδo 0 Y(= εχoυµε τηv στρoφη

3.1. Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΙΚΟVΑ ΤOΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜOΥ LORENTZ 39

Σχηµα 3.1: Στροφη µε φανταστικη γωνια θ

( ( $ 0 $ (3.22)

0 ' ( $ 0 $ (3.23)

Παρατηρoυµε οτι απο τις σχεσεις : $ % Þ %ùD Þo (3.24)

$ % Þ %<D Þo (3.25)

µε τηv αvτικατασταση θ = iφ παιρvoυµε : $ %<D %o $ ß (3.26)

$ % D ' % o +$ ß (3.27)

oποτε απο τις (3.22,3.23) παιρvoυµε $ ß ' $ ß (3.28)

' ;$ ß $ ß (3.29)

Smaroula

Placed Image


Σχηµα 3.2: Γεωµετρικη εικονα του Μετασχηµατισµου Lorentz στον χ£ωροMinkowski

oι oπoιες διvoυv τo µετασχηµατισµο Lorentz αv καvoυµε τηv ταυτoπoιηση ::z ß (3.30)$ ß 9 'W $ ß 9 9 'W (3.31)

∆ηλαδη oι µετασχηµατισµoιLorentz ειvαι στρoφες µεφαvταστικη γωvια στov µε φαvταστικη τεταρτη συvτεταγµεvη. Παρατηρoυµε οτι απο τις ( 3.26,3.27) παιρvoυµε :z ß ( ß z ß ( :z ß 9 z ß ( :z ß (3.32)

η ( 9 ( (3.33)

∆ηλαδη η συvθεση τωv µετασχηµατισµ£ωv Lorentz ειvαι απλ£ως o καvοvαςσυvθεσης τωv υπερ1oλικ£ωv εφαπτoµεvωv.Με τις πραγµατικες συvτεταγµεvες 0 ( & ú 0 o µατασχη-

µατισµος Lorentz δεv µoιαζει µε στρoφη οπως φαιvεται και στo Σχηµα 3.2.Παρατηρoυµε απο τo Σχηµα 3.2 οτι τα γεγovοτα 0 mQ ( mQ

και] 0 SQ ( ] ειvαι ταυτοχρovα στo συστηµα Σ αλλα δεv

ειvαι ταυτοχρovα στo Σ. Περα απο αυτηv τηv αµεση παρατηρηση, µπoρoυµεvα βγαλoυµε και τις αλλες κιvηµατικες συvεπειες της Σχετικοτητας, αρκει vαγιvει oρθη χρηση της εvvoιας µετρησης µηκ£ωv και χροvωv στo διαγραµµα τoυ

Smaroula

Placed Image

3.1. Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΙΚΟVΑ ΤOΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜOΥ LORENTZ 41

Σχηµατoς 3.2.Εχoυµε οτι X ' ( ' ' ú σταθερο (3.34)

H ιδιοτητα αυτη µας διvει τη δυvατοτητα vα καλυψoυµε τo διαγραµµα τωvγεγovοτωv στo επιπεδo 0 Ó( ) µε εvα πλεγµα υπερ1oλ£ωv 0 ' Y( σταθερο, ετσι £ωστε η συγκριση µηκ£ωv και χροvωv vα γιvεται αµεσα.ΑσκησηΝα απoδειχθoυv oι συvεπειες χωρικης συστoλης και χρovικης διαστoλης

χρησιµoπoι£ωvτας τo διαγραµµα 0 ( και τηv oικoγεvεια υπερ1oλ£ωv 0 ' Ó( σταθερο.ΠαρατηρησηΣτo διαγραµµα X Y( η γραµµη X Y( η Y( ειvαι η "τρoχια" τωv

γεγovοτωv της διαδoσης τoυ φωτος στo κεvο. Καθε αλλo σ£ωµα µε µη-µηδεvικηµαζα θα κιvειται µε ταχυτητα

αρα αv ( τοτε επειδη X ,εχουµε η X ' ( ! Q (3.35)

για καθε υλικο σηµειo. Η (3.35) διvει δυo περιoχες στo διαγραµµα 0 ( )µεσα στις oπoιες θα υπαρχoυv oι "τρoχιες" τωv γεγovοτωv πoυ παρισταvoυvτηv ιστoρια υλικ£ωv σηµειωv. Η περιoχη η συµπληρωµατικη τωv δυo αυτ£ωv πε-ριoχ£ωv εχει τηv ιδιοτητα X ' Y( Q η J© ( (3.36)

∆ηλαδη γεγovοτα πoυ βρισκovται στηv περιoχη αυτη δεv µπoρoυv vαεπικoιvωvησoυv µε καvεvα σηµα φυσικο. Θα µπoρoυσαv vα επικoιvωvη-σoυv µοvo µε υπερφωτειvα σηµατααv τετoια υπηρχαvστηφυση. Στo διαγραµµα 0 ( εχoυµε τov διπλο κ£ωvo X ' ( ' ¸Q (3.37)

οπoυ o κλαδoς 0 Õ Q περιεχει τα µελλovτα γεγovοτα και o κλαδoς X Qτα παρελθοvτα γεγovοτα σε σχεση πρoς τηv αρχη τωv συvτεταγµεvωv.


Σχηµα 3.3: Κ£ωνος φωτος και Αιτιοτητα

3.2 Τετραδιαvυσµατα και Μηχαvικες Πoσοτητες

3.2.1 Tετραδιαvυσµατα και Βαθµωτα Μεγεθη

Eστω o µατασχηµατισµος Lorentz

" 2# ¼½½½¾ '<l Q Q'WY Q QQ Q 9 QQ Q Q 9¿)ÀÀÀÁ (3.38)

Av θεσπισoυµε τηv συµ1αση Einstein οτι δυo δεικτες Ελληvικoι επαvα-λαµ1αvοµεvoι σε µια σχεση, οπoυ o εvας ειvαι επαvω και o αλλoς κατω ση-µαιvει αθρoιση, δηλαδη : ] 2 U 2 $ % ( ] $ U $ (3.39)

τοτε o µατασχηµατισµος Lorentz τωv θεσεωv ειvαι : 2 " 2 # #(3.40)

Αv τ£ωρα εχoυµε τεσσερεις συvαρτησεις] 2 ] X ] ( ] ] ú ετσι £ωστε

στo vεo συστηµα συvτεταγµεvωv 0 vα συvδεεται µε τις παλαιες µε τησχεση : ] 2 " 2 # ] # " Dl( (3.41)

Smaroula

Placed Image

3.2. ΤΕΤΡΑ∆ΙΑVΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΗΧΑVΙΚΕΣ ΠOΣΟΤΗΤΕΣ 43

τοτεαπoτελoυvεvα τετραδιαvυσµακατω απο τoυς µετασηµατισµoυςLorentz.Πρoφαv£ως η πoσοτητα : ] N U ] X U X ' ] N U (3.42)

ειvαι αvαλλοιωτη κατω απο τoυς Lorentz και επoµεvως ειvαι εvα βαθµωτοµεγεθoς για τoυς Lorentz.Ασκηση

Nα δειχθει οτι] N U ] N5U

, oπoυ] 2 ] 0 ] , U 2 U 0 U .

Oριζoυµε τov πιvακα :

& 2 # ¼½½½¾ 9 Q Q QQ ' 9 Q QQ Q ' 9 QQ Q Q ' 9¿ ÀÀÀÁ (3.43)

Ο αvτιστρoφoς τoυ & 2 # εχει τα ιδια στoιχεια. Για εvα διαvυσµα ] 2 ] 0 ] oριζoυµε τo διαvυσµα : ] 2 & 2 # ] # (3.44)

Eχoυµε] 2 Q ' ] . Επισης εχoυµε ] 2 & 2 # ] #

. Με τη βoηθεια τoυ& 2 # τo εσωτερικο γιvοµεvo γραφεται :] N U & 2 # ] 2 U # (3.45)

3.2.2 Tετραταχυτητα και Τετραoρµη

Στov Ευκλειδειo£ωρoP ú εχoυµε οτι η διαvυσµατικη ιδιοτητα µιας πoσοτη-

τας δεv αλλαζει αv τηv πoλλαπλασιασoυµε η τη διαιρεσoυµε µε εvα βαθµωτο.Π.χ. '( ( ( G (õ (+* (3.46)

Στo εχoυµε οτι η πoσοσητα : $ 0 ' ' ' ' W » (3.47)

ειvαι βαθµωτο µεγεθoς. Ετσι η πoσοτηταÅ 2 2 $ (3.48)


θα ειvαι τετραδιαvυσµα. Εχoυµε : $ è 9 ' 9 N è 9 ' Å (3.49)

Αρα : Å 2 ¼¾ 9 9 ' Ë «@« Å 9 ' Ë «@« ¿Á (3.50)

Τo τετραδιαvυσµα Å 2 λεγεται τετραταχυτητα και µετασχηµατιζεται :Å 2 " 2 # Å # (3.51)

Παρατηρoυµε οτι τo Å 2 ειvαι αδιαστατo µεγεθoς. Αv τo πoλλαπλασιασoυµεµε τηv πoσοτητα 0 παιρvoυµε εvα τετραδιαvυσµα µε διαστασεις εvεργειας :Ý 2 0 Å 2 ³ 0C 9 ' 0 Å 9 'W µ (3.52)

πoυ µετασxηµατιζεται παλι µε τη σχεση :Ý 2 " 2 # Ý # (3.53)

Για τηv συvιστ£ωσα : Ý 0 0 9 ' Ë «@ « (3.54)

εχoυµε Ý 0 o 0 Å N Å 9o 9ö 9 ' Ë «@«÷§ú * (3.55)

Eχoυµε οµως οτι : Å N æç Å 9 ' Ë «@ « éê 9ö 9 ' Ë «@«÷ Å N æç §Å è 9 ' Å Å 9 ' Ë «@ « Å N Å Oéê 9 ö 9 ' Ë «@ « ÷ ú * Å G §Å '® §Å ³ Å µ Å Å N Å 9ö 9 ' Ë «@ « ÷¹ú * Å N §Å


(3.56)

Αρα : Ý 0 Å N æç 0 Å 9 ' Ë «@ « éê (3.57)

Εχoυµε οµως : Ý X Å 9H'ª (3.58)

Αρα Ý 0 Å N WÝ (3.59)

Αλλα επισης για τη δυvαµη εχoυµε κλασικα :° ÜÝ (3.60)

oποτε : ° N Å Å N Ý (3.61)

Η πoσοτητα° N Å παρισταvει τo εργo δυvαµης και ισoυται µε τov ρυθµο

µετα1oλης της κιvητικης εvεργειας : ° N Å Å N Ý (3.62)

Αρα : Ý 0 (3.63)

και επoµεvως : Ý 0 σταθερο (3.64)

Για u = 0 παιρvoυµε Ý 0 0 Q σταθερο. Αρα :Ý 0 0 (3.65)

Ετσι oριζoυµε τηv Ý 0 σαv τηv oλικη εvεργεια E. ∆ηλαδη :P Ý 0 0 9 ' Ë «@ « 0ù 0óÅ o ! 0Å GIGIGIG


(3.66)

Η σχεση (3.66) ειvαι η γvωστη σχεση Einstein :P (3.67)

Απο τηv τετραoρµη λoιποv εχoυµε :Ý 2 P 0 Ý (3.68)

και παιρvoυµε τoυς µετασχηµατισµoυς Lorentz : Ý F ÚY Ý F '< P (3.69)

Ý Æ Ý Æ Ý Ç Ý Ç (3.70)P Ú P 'ÜK Ý F (3.71)

3.2.3 Η ∆υvαµηMinkowski

Απο τo τετραδιαvυσµα θεσης 2 πηραµε τηv τετραταχυτητα Å 2 2 # $πoυ ειvαι παλι τετραδιαvυσµα εφοσov τo ds ειvαι βαθµωτο. Ετσι απο τηv oρµηÝ 2 παιρvoυµε τo τετραδιαvυσµα :

) 2 Ý 2 $ (3.72)

τo oπoιo ovoµαζεται δυvαµηMinkowski. Εχoυµε :) 2 $ Ý ¼¾ 9 9 ' Ë «@ « ¦ 9 9 ' Ë «@ « WÝ ¿Á (3.73)

Ειvαι οµως ° ÜÝ (3.74)

και P 9 ° N Å (3.75)


Οποτε εχoυµε :

) 2 ¼¾ g*,+ g Ë@ 9 ' Ë «@ « ° 9 ' Ë «@ « ¿Á ° N Å ° (3.76)

Παρατηρoυµε οτι ηÅ ειvαι η ταχυτητα τoυ υλικoυ σηµειoυ στo oπoιo ασκει-

ται η δυvαµη. Ηταχυτητααυτη ειvαι σε σχεσηπρoς καπoιo συστηµααvαφoραςΣ. Αv Σ ειvαι τo συστηµα αvαφoρας πoυ ακoλoυθει τo σωµατιo, θα εχoυµε στo

συστηµα αυτο για τηv ταχυτητα τoυ σωµατιoυ u = 0 και) 2 Q ° . Για τo

συστηµα Σ θα εχoυµε ) 2 " 2 # kÅ ) # (3.77)

oποτε παιρvoυµε :¼½½½¾ ¢° F ° F° Æ ° Ç¿ ÀÀÀÁ ¼½½½¾ Y Q Ql Q QQ Q 9 QQ Q Q 9

¿ ÀÀÀÁ N ¼½½½¾ Q° F° Æ° Ç¿ ÀÀÀÁ (3.78)

η ° F ° F ° Æ ° Æ ° Ç ° Ç (3.79)

Αρα ° F ° F (3.80)

° Æ ° Æ è 9 ' Å (3.81)

° Ç ° Ç è 9 ' Å (3.82)

Παρατηρoυµε οτι η εκφραση τoυ" 2 # πρεπει vα ειvαι τετoια πoυ αvτιστoι-

χει στηv συvιστ£ωσα κατα τη διευθυvση της oπoιας γιvεται η κιvηση.Παρατηρoυµε τελος οτι η σχεση (3.74) ειvαι ιδιαιτερα χρησιµηγιατι µπoρoυµε

vα δoυµε τηv εµφαvιση δυvαµεωv πoυ πηγαζoυv απο τηv κιvηση εvος σ£ωµατoς

οπως για παραδειγµα στov ηλεκτρoµαγvητισµο, οπως θα αναλυθει πιο κατω.

Κεφαλαιο 4

ΣΥΝΑΛΛΟIΩΤΗ ∆IΑΤΥΠΩΣΗΤΩΝ ΦΥΣIΚΩΝ ΝΟΜΩΝ.ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝΜΗΧΑΝIΚΗ,ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤIΣΜΟ ΚΑIΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝIΚΗ

4.1 Mηχαvικη

4.1.1 Γεvικα

O Nοµoς τoυ Νευτωvα ειvαι : ) 2 Ý 2 $ (4.1)

Παιρvovτας τo εσωτερικο τετραγιvοµεvo µε τηv τετραoρµη Å 2 εχoυµεÅ N) Å N Ý# $ , η& 2 # Å 2 ) # & 2 # Å 2 Ý # $ (4.2)

η Å 0 ° 0 ' Å N ° Å 0 Ý 0 $ ' Å N WÝ $ (4.3)

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΥΝΑΛΛΟIΩΤΗ ∆IΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΦΥΣIΚΩΝ ΝΟΜΩΝ.

Ησχεση (4.3) ισχυει για καθε αδραvειακο συστηµα. Οπoιαδηπoτε συvεπειατoυ Νοµoυ τoυ Νευτωvα εχoυµε σε καπoιo συστηµα αvαφoρας µπoρει αµεσωςvα βρεθει πως γιvεται αvτιληπτη απο oπoιoδηπoτε αλλo συστηµα.Πιο γεvικα µπoρει καvεις vα διατυπ£ωσει κατα εvα συvαλλoιωτo τροπo ολη

τηv Αvαλυτικη Μηχαvικη, τηv Ρευστoµηχαvικη και τηv Στατιστικη Μηχαvικη.Εδ£ω θα δoυµε µοvo εφαρµoγες στηv κρoυση σωµατιωv.

4.1.2 Εφαρµoγες στηv Κρoυση Σωµατιωv

Για τηv τετραταχυτητα και τηv τετραoρµη εχoυµε :Å 2 Å Ý 2 P Ý (4.4)

Για τo µετρo τoυ Å 2 παιρvoυµε :& 2 # Å 2 Å # '< Å 9 (4.5)

δηλαδη : Å N Å 9 (4.6)

Παρατηρoυµε οτι τo µετρo της τετραταχυτητας ειvαι σταθερο για καθε τρι-ταχυτητα

Å . Για τηv τετραoρµη Ý 2 εχoυµε :& 2 # Ý 2 Ý # P '® Ý (4.7)

Αλλα Ý 2 0 Å 2 oποτεÝ N Ý 0 Å N Å 0 (4.8)

Αρα 0C P '® Ý (4.9)

η P 0ù Ý (4.10)

Προ1ληµα ΚρoυσηςΕστω σωµατια a και b συγκρoυovται και διvoυv τα πρo°οvτα ( GIGIG $ ,

δηλαδη : z .- Ã ( GIGIG¨ $ (4.11)

Η διατηρηση oρµης και εvεργειας διατυπ£ωvovται σαv διατηρηση της τε-τραoρµης, δηλαδη : Ý 20/ Ý 201 Ý 2 @32 Ý 2 @ « GIGIG¨ Ý 2 @4 (4.12)

4.1. MΗΧΑVΙΚΗ 51

η P / P 1 P @32 P @ « GIGIG P @54 (4.13)Ý / Ý 1 Ý @62 Ý @ « GIGIG Ý @ 4 (4.14)

Παρατηρoυµε εδ£ω τo εξης :Evα πειραµα σκεδασης (κρoυσης) σωµατιωv γιvεται και παρατηρειται (µε-

τραται) στo Συστηµα τoυ Εργαστηριoυ (Σ.Ε.) οπoυ εxoυµε οτι εvα απο τααρχικα σωµατια ειvαι o στοχoς, πoυ θεωρειται ακιvητoς. Εστω τo b o στοχoς.Τοτε για τo Σ.Ε. θα εχoυµε : Ý 1 LQ (4.15)

Οι κιvηµατικες πoσοτητες οµως πoυ θα µετρησoυµε στo εργαστηριo π.χ.εvεργειες, oρµες και γωvιες σκεδασης τωv πρo°οvτωv θα περιεχoυv ορoυς πoυθα εξαρτ£ωvται απο τηv εvεργεια τoυ a (δηλαδη τηv ταχυτητα) αλλα oι σχε-σεις αυτ£ωv τωv πoσoτητωv θα περιεχoυv και τηv πληρoφoρια της κιvησης τoυκεvτρoυ µαζας τωv σωµατιωv a και b. Αv µε εvα τετoιo πειραµα µας εvδιαφε-ρει vα αvαλυσoυµε τις δυvαµεις πoυ ασκoυvται µεταξυ τωv a και b, τα απoτε-λεσµατα τωv µετρησεωv πρεπει vα συγκριθoυv µε µια θεωρια αλληλεπιδρα-σεωv πoυ εv γεvει διατυπ£ωvεται αvεξαρτητα απο τηv εκαστoτε ταχυτητα τoυκεvτρoυ µαζας. Αρα η θεωρια µας πρεπει vα διατυπωθει σε εvα ειδικο συ-στηµααvαφoρας, τoΣυστηµαΚεvτρoυΜαζας (Σ.Κ.Μ.) για τo oπoιo εξoρισµoυ

εχoυµε : Ý / Ý 1 "Q (4.16)

Τοτε οµως αµεσα τιθεται τo προ1ληµα µετασχηµατισµoυ τωv κιvηµατικ£ωvδεδoµεvωvαπο τoεvα συστηµαστo αλλo. Αυτοµπoρει vα γιvει µε τη χρηση τoυµετασχηµατισµoυ Lorentz. Ειvαι οµως οπως θα δoυµε πιο ευκoλo vα διατυπ£ω-σoυµε τις πoσοτητες αυτες αvαλλoιωτα oποτε εχoυµε αµεσως τηv επιθυµητησυσχετηση.Εστω για παραδειγµα η σκεδαση :z 7- Ã (4.17)

Οριζoυµε τα βαθµωτα µεγεθη :$ Ý / Ý 1 N Ý / Ý 1 (4.18) Ý / ' Ý @ N Ý / ' Ý @ (4.19)Å Ý / ' Ý È N Ý / ' Ý È (4.20)


Σχηµα 4.1: Σκεδαση δυο σωµατιων : a) Συστηµα Εργαστηριου,b) Συστηµα Κεντρου Μαζας

Εχoυµε θετovτας c=1:$ P / P 1 ' Ý / Ý 1 N Ý / Ý 1 P / P 1 o P / P 1 ' Ý / ' Ý 1 ' o Ý / G Ý 1 / 1 o P / P 1 ' o Ý / N Ý 1 (4.21)

Παιρvoυµε παροµoιες εκφρασεις για τα t και u. Απoδεικvυεται µε λιγες πρα-ξεις οτι ισχυει παvτα η σχεση :$ Å / 1 @ È (4.22)

ΑσκησηΝα δειχθει η (4.22).

Απο τηv (4.22) συµπεραιvoυµε οτι εχoυµε για τo ειδικο προ1ληµα της κρoυσηςz 8- Ã οτι υπαρχoυv µοvo δυo αvεξαρτητες αvαλλoιωτες πoσοτητες.

Για τα δυo συστηµατα εχoυµε τις ορµες των αντιδρ£ωντων και σκεδαζοµενων

οπως στο Σχηµα 4.1 α) και β).

Γραφovτας τα s,t,u στα δυo συστηµατα αvαφoρας και µετα απο µερικεςπραξεις παιρvoυµε : $ εργ. °± $ Eù Å / 1 @ È N $ κ.µ. (4.23)

Smaroula

Placed Image


ΑσκησηΝα βρεθει η F.

(βλ. βι1λιo I.Βεργαδoς,Η.Τριαvταφυλλοπoυλoς,Στoιxει£ωδηΣωµατια, σ. 182).Παραδειγµατα

1. Ελαστικη Σκεδαση (α)

Eστω η ελαστικη κρoυσηz 9- Ã

. ΕχoυµεÝ / Ý 1 Ý / Ý 1 (4.24)

και $ Ý / Ý 1 (4.25)

Στo συστηµα Κ.Μ. εχoυµε : Ý;:/ Ý;:1 LQ (4.26)Ý;: / Ý;: 1 "Q (4.27)

oποτε : $ P :/ P :1 ' Ý :/ Ý :1 P :/ P :1 (4.28)

Εχoυµε επoµεvως :P :/ P :1 $ (+* e Ý / Ý 1 N Ý / Ý 1 i (+* e P :/ P :1 o P / P 1 ' Ý / ' Ý 1 ' o Ý / G Ý 1 i (+* e / 1 o / P 1 i (+* (4.29)

επειδη Ý 1 wQ P 1 1. Η διαθεσιµη εvεργεια στo Σ.Κ.Μ. ειvαιP :/ P :1 $ (+* (4.30)

Για τηv κιvητικη εvεργεια εχoυµε) P ' 0= . Παιρνουµε

) : διαθεσιµη κιvητικη εvεργεια στo Σ.Κ.Μ. P :/ P :1 ' / ' 1 :/ :1 o 1 P / (+* ' / ' 1 / 1 o 1 ) / i (+* ' / ' 1 (4.31)


Εστω a = b = ηλεκτροvιo και) < >= wQ G t@? % n . Παιρvoυµε) : o A= ) (+* η ) ) : o A= (4.32)

Αv απαιτησουµε) : wo@? % n πρεπει vα επιταχυvoυµε τα ηλεκτροvια ετσι

£ωστε K = 4000GeV.

2. Συγκρoυοµεvες δεσµες πρωτovιωv-ηλεκτρovιωv

ΕστωPCB puo QD? % n ,

P = w! QD? % n . Εχoυµε : P :B P := $ PEB P =< ' Ý B Ý = P Ý P = o PEBøP / ' Ý B ' Ý = ' o Ý B G Ý = s P B P = (4.33)

οπoυPCB Ý B P / Ý6= pBøN ÝF= ' Ý B Ý6= ' PGB P = .

Οποτε παιρvoυµε :P : P :B P := po PHBøP =ù (+* w! 9 QD? % n (4.34)

Οταv τo πρωτοvιo ειvαι ακιvητo εχoυµεP : e P = B ' Ý = i (+* e P = B o P = B ' Ý = i (+* (4.35)' e B B o P =ù i (+* ' o BøP / (+* (4.36)

Ετσι χρειαζοµαστε για τηv ιδια εvεργεια :P = P : # o B pt G ! R 9 Q ? % n . Για ακιvητo ηλεκτροvιo παιρvoυµεPGB P : # o I= pq G t R 9 Q@J? % n .3. Θε£ωρηµα

Εστω η σκεδασηz - Ã

. Υπαρχoυv µοvo δυo αvαλλoιωτεςπoσοτητες πoυ µπoρoυv αv κατασκευαστoυv απο τις τετραoρµες Ý 2Þ .

AποδειξηΕχoυµε 16 δυvατα γιvοµεvα Ý¢Þ N Ý . Iσχυoυv oι τεσσερεις συvθηκες Ý Þ Þ , αρα εχoυµε 12 ζευγη και λογω της συµµετριας Ý Þ N Ý Ý N Ý Þ µεvoυv 6.

Εχoυµε οµως και τις τεσσερεις εξισ£ωσεις διατηρησης Ý 2 / Ý 2 1 Ý 2 @ Ý 2 È καιετσι µεvoυv µοvo δυo αvεξαρτητες αvαλλoιωτες πoσοτητες, πoυ οπως ειδαµεπιο παvω ειvαι oι (s,t) η (s,u) η (t,u) :$ Ý / Ý 1 Ý / ' Ý @ Å Ý / ' Ý È (4.37)


οπου ισχυει $ Å Þ Þ (4.38)

4. Ελαστικη Σκεδαση (β)

Εστω η ελαστικη σκεδασηz 9- Ã K-

, ÝML ÝNL

. Εχoυµε στovoρισµο τoυ t, a = c , oποτε παιρvoυµε : P :/ ' P @ ' Ý : ' Ý : / @ ' o P :/ P :@ o Ý : Ý : $ : o / ' o P / o Ý;: $ : ' o Ý;: o ÝO: $ : (4.39)

η $ : 9 o ÝPL (4.40)

5. Ασκηση

Εστω η σκεδαση Q D Ý Ã , οπoυ - 9 !q G t % n B q!u G ! % n SR pq!q GUT % n y wQ .Av) - Q vα βρεθει η ) R . (Απ. 8.872ΜeV).

6. Κατ£ωφλιo Εvεργειας για παραγωγη σωµατιωv

Εστω η σκεδασηz V- Ã ( jGIGIG $ . Στo συστηµα εργαστηριoυ

εχoυµε : Ý / Ý 5Ý 1 "Q P / / Ý (+* P 1 1(4.41)

ΘετovταςP P / P 1

εχoυµε :$ P ' Ý P / P 1 o P / P 1 ' Ý / 1 o 1 / Ý (+* (4.42)

Στo Συστηµα Κεvτρoυ Μαζας εχoυµε :ÝO: ÝO:/ ÝO:1 LQ P : P @ 2 : P @ « : GIGIG P @ 4 : (4.43)

ΟριζoυµεΚατ£ωφλιo Εvεργειας τηv τιµη τoυ Ε*:P :W Û 6 $ Þ ´Þ (4.44)


Εχoυµε για τo κατ£ωφλιo εvεργειας : / 1 o 1 / Ý (+* P : $ Þ % ( Þ (4.45)

Για τηv κιvητικη εvεργεια / : / / P / / Ý )(+* , oποτε : / 1 o 1 / / Þ ´ÞY (4.46)

η / 'YX o 1 (4.47)

οπoυ

X / 1 '$ Þ % ( ( / 1 $

Þ % ( Þ (4.48)

Εφαρµoγη(α) Ý Ý Ã Ý Ý Q 0 , B q!u % n - 9 !t % n :

Παιρνουµε B poq Q % n .(β) Ý Ý Ã Ý Ý Ý Ý : Παιρνουε B pt GUT sZ? % n .7. ∆ιασπαση Σωµατιoυ

Εστωηδιασπαση QP[ Ã VP[ , , - 9 sQ % n 2 9 Qt % n # Q . Θελoυµε vα βρoυµε τις oρµες και τις κιvητικες εvεργειες τωv πρo°οvτωv, γιαακινητο Q .V]\^Q Ã ,οπου Ý - - Q Ý 2 P 2 Ý Ý # P # ' Ýl .Εχoυµε

P 2 P # - P # Ý , oποτε 2 Ý Ý - Ý - ' 2o - (4.49)P 2 - ' Ý - 2o - (4.50)

2 P 2 ' 2 - ' 2 o - Ls % n (4.51)

Ý 2 Ý # P # "! Q % n (4.52)

4.2. HΛΕΚΤΡOΜΑΓVΗΤΙΣΜΟΣ 57

8. Eυρεση Μαζας Σωµατιoυ

Εστω η αvτιδραση Ý Ý Ã Ý Ý Θελoυµε vα βρoυµε πoια µεγεθη πρεπει vα µετρηθoυv για vα υπoλoγιζεται ηµαζα τoυ σωµατιoυ X. ΕχoυµεÝ_ Ý ( Ý 'ò Ý ú Ý P 0 Ý 0 B Q 'ò P ú Ý ú 'Ø P Ý P 0 B ' P ú ' P Ý 0 ' Ý ú ' Ý _ Ý _ P 0 B ' P ú ' P 'ò Ý X ' Ý ú ' Ý G(4.53)Τα µεγεθη πoυ πρεπει vα µετρηθoυv ειvαιP 0 P ú P Ý 0 Ý ú Ý 0 Ý .4.2 Hλεκτρoµαγvητισµος

4.2.1 Γεvικα

ΟΗλεκτρoµαγvητισµοςεχει µια ιδιαιτερη σχεση µε τηv Ειδικη Θεωρια Σχε-τικοτητας. Iστoρικα o πρoβληµατισµος γυρω απο τo ερ£ωτηµα της υπαρξης η

οχι εvος απολυτoυσυστηµατoςαvαφoρας τεθηκεγια ταφαιvοµεvα πoυ αφoρoυ-σαv τις ηλεκτρoµαγvητικες αλληλεπιδρασεις και τη διαδoση τoυ φωτος. Ειvαιχαρακτηριστικο οτι oι τιτλoι τωv πρ£ωτωv εργασι£ωv τoυLorentz και τoυ Einsteinειvαι :

H.A.Lorentz : "Electromagnetic phenomena in a system moving with any

velocity less than that of light", Proceedings of the Academy of Sciences of Am-

sterdam 6, 1904.

A.Einstein : "On the Electrodynamics ofMoving Bodies", Annalen der Physik

17, 1905.

Στηv εργασια αυτη τoυ Einstein παρoυσιαζεται η θεωρια Σχετικοτητας σαvµοvη δυvατη εξηγηση τωv Ηλεκτρoµαγvητικ£ωv φαιvoµεvωv. Τo εvδιαφερovειvαι οτι o Η.Μ. οπως ειχε διατυπωθει απο τov Maxwell µε τις εξισ£ωσεις τoυειvαι ηδη Σχετικιστικη Θεωρια. ∆ηλαδη µετα τηv εισαγωγη της θεωριας Σχε-τικοτητας δεv χρειαστηκε vα αλλαξει η vα γεvικευτει τιπoτα, σε αvτιθεση µε οτι

εγιvε µε τηv Κλασικη Μηχαvικη. Αυτο βε1αια οσov αφoρα τη δoµη της θεω-ριας, δηλαδη τη µoρφη και τις ιδιοτητες τωv εξισ£ωσεωv Maxwell. Αυτο πoυπρoσφερει η Σχετικοτητα στov Ηλεκτρoµαγvητισµο ειvαι αφεvος η αvαδειξηvεωv φαιvoµεvωv πoυ εκδηλ£ωvovται σε υψηλες ταχυτητες και συvαγovται ευ-κoλα απο τoυς µετασχηµατισµoυς τωv πεδιωv, και αφετερoυ η ευκoλια πoυ


Σχηµα 4.2: Ηλεκτρεγερτικη ∆υναµη απο την κινησηµεταλλικης ρα1δου

συvεπαγεται για τηv διατυπωση τωv διαφορωv πρακτικ£ωv πρoβληµατωv η ευ-χερεια χρησης τωv συµµετα1λητ£ωv εκφρασεωv. Πριv πρoχωρησoυµε θα πρε-πει vα διασαφηvισoυµε τo τι σηµαιvει οτι o Η.Μ. ειvαι µια Θεωρια Σχετικι-στικη. Μια θεωρια ειvαι Σχετικιστικη αv oι εξισ£ωσεις πoυ τηv περιγρα-φoυv ειvαι αvεξαρτητες απο τo συστηµα αvαφoρας. Για τov Η.Μ. τετoιεςεξισ£ωσεις ειvαι oι εξισ£ωσειςMaxwell. Αυτες περιγραφoυv τηv αλληλεπιδρασητωv Η.Μ. πεδιωv µε τηv υλη η oπoια πρεπει vα ακoλoυθει τηv ΣχετικιστικηΜηχαvικη. Αv θεωρησoυµε τις εξισ£ωσειςMaxwell στov κεvο χ£ωρo και απαλει-ψoυµε τo εvα απο τα δυo πεδια διαδoχικα βγαζoυµε οπως ειδαµε τηv κυµα-τικη εξισωση για τo

Pκαι τo

Uπoυ ειvαι σχετικιστικα αvαλλoιωτη εξισωση.

Επoµεvως η εξισωση πoυ περιγραφει τη διαδoση τoυ φωτος ειvαι σχετικιστικη.∆ηλαδη µελετ£ωvτας τη διαδoση τoυ φωτος δεv µπoρoυµε vα συvαγoυµε τιπoταγια τηvαπολυτηκιvηση εvος συστηµατoς (ΠειραµαMichelson-Morley). Αv τ£ωραθεωρησoυµε τηv υπαρξη υλης σε αλληλεπιδραση µε τα Η.Μ. πεδια θα πρεπειvα εχoυµε αvαλλoιωτες τις εξισ£ωσειςMaxwell µε µη oµoγεvη ορo.Πειραµατικα (Σχηµα 4.2) αv παρoυµε µια απειρη ρα1δo µε δυo επαφες και

εvα βoλτοµετρoκαι ετσι£ωστε vα κιvειται η ρα1δoς κατα τov αξovα της σε σχεσηπρoς τις επαφες θα βρoυµε µια ηλεκτρεγερτικη δυvαµη πoυ ειvαι η ιδια µε τηvπεριπτωση πoυ η ρα1δoς ακιvητει και κιvoυvται oι επαφες. Αυτο σηµαιvει οτιoυτε µε εvα τετoιo πειραµα µπoρoυµε vα βρoυµε απολυτη κιvηση. Επoµεvως oΗλεκτρoµαγvητισµοςχωρις µετα1oληστηδoµη τoυπρεπει vα διατυπωθει κατασυvαλλoιωτo τροπo για vα εκφρασει τηv εγγεvη τoυ σχετικιστικη δoµη.

4.2.2 Ο Μετασχηµατισµος τωv Πεδιωv

ΟΕinstein στηv πρ£ωτη τoυ εργασια αφoυ βρηκε τo µετασχηµατισµοLorentzκαι τov χρησιµoπoιησε για vα γεvικευσει τις κιvηµατικες και δυvαµικες πoσο-τητες της Μηχαvικης εφτασε στov Ηλεκτρoµαγvητισµο. Εβαλε τηv απαιτηση

Smaroula

Placed Image


oι εξισ£ωσειςMaxwell στov κεvο χ£ωρo vα παραµεvoυv αvαλλoιωτες κατω αποτo µετασχηµατισµο Lorentz. Eστω στo συστηµα Σ oι εξισ£ωσειςMaxwell :MN P LQ M N U "Q (4.54)MªR P ' T UT MR U VYX f X T PT (4.55)

Αv απαιτησoυµε στo συστηµα Σ oι εξισ£ωσεις Maxwell vα εχoυv τηv ιδιαµoρφη : M N P LQ M N U LQ (4.56)M R P ' T U T M R U 'WVYX f X T P T (4.57)

οπoυ Ρ = (x, y, z) , Ρ= (x’, y’, z’), βρησκουµε πως συvδεovται τα πεδιαP ; U µε τα

P U. Εχoυµε µε λιγες πραξειςP

_ P_

U _ U

_ (4.58)P ² ô P ² R U ²U ² ª³ U ² ' R U ² µ(4.59)

οπoυ _ σηµαιvει παραλληλη πρoς τη σχετικη κιvηση και ` καθετη συvι-στ£ωσα. Πιο κατω θα δoυµε εφαρµoγες τωv σχεσεωv (4.58,4.59). Για τηv αλ-ληλεπιδραση οµως µε τηv υλη θα πρεπει vα καταφυγoυµε στηv Συvαλλoιωτηδιατυπωση.

4.2.3 Συvαλλoιωτη ∆ιατυπωση τoυ Ηλεκτρoµαγvητισµoυ

Στov Η.Μ. oριζoυµε τα δυvαµικα φ και Α ετσι £ωστε :U MR ] P ' M ß ' T ]T (4.60)

Απο τις εξισ£ωσειςMaxwell και χρησιµoπoι£ωvτας τηv συvθηκη Lorentz τoυΗλεκτρoµαγvητισµoυ : MON ] T ß T Q (4.61)


παιρvoυµε τις εξισ£ωσεις : M 'WVYX f X T T ] '<VYX a (4.62)

M 'WVYX f X T T ß 'cbf X (4.63)

οπoυaκαι ρ τo ρευµα και η πυκvοτητα φoρτιoυ αvτιστoιχα. Παρατηρoυµε

οτι τα πεδιαP U

δεv αλλαζoυv αv καvoυµε τo µετασχηµατισµο :] Ã ] ] ' MOdß Ã ß ß T dT (4.64)

οπoυ χ τυχαια συvαρτηση τoυ και t. Ο µετασχηµατισµος (4.64) λεγεται

Μετασχηµατισµος Gauge, και στηv Κβαvτoµηχαvικη παιζει θεµελιακο ρολo.Για vα διατυπ£ωσoυµε συvαλλoιωτα τις εξισ£ωσειςMaxwell θαπρεπει vα oρι-

σoυµε καταλληλα τετραδιαvυσµατα για τις πoσοτητεςa, ρ,

], φ. Τo ρευµα

ειvαι πυκvοτητα φoρτιoυ επι ταχυτητα. Αv Å 2 2 # $ ειvαι η τετρατα-χυτητα oριζoυµε : a 2 b X 2 $ (4.65)

οπoυ b X η πυκvοτητα φoρτιoυ για συστηµα αvαφoρας πoυ τo φoρτιo ειvαιακιvητo. Εχoυµε a 2 b b Å (4.66)

οπoυ

b b X 9 ' Ë «@ « (4.67)

Παρατηρoυµε εδ£ω οτι απο τηv σχεση (4.67) εχoυµε αµεσως τoΑvαλλoιωτoτης πoσοτητας φoρτιoυ :

b n b X 9 ' Ë «@ « ¨ b X G 0 9 ' Ë «@ « N 0 N 0 9 ' Ë «@¨« b X n X (4.68)

Γραφovτας συµ1oλικα : e M 'ÜVYX f X T T (4.69)


εχoυµε : e ] ' b Å f 0 (4.70)

e ß 'bf X (4.71)

Ετσι αv oρισoυµε τo τετραδιαvυσµα :] 2 ß ] (4.72)

παιρvoυµε : e ] 2 a 2 (4.73)

Αυτηη εξισωσηπεριγραφει καταεvα συvαλλoιωτo τροπo τις εξισ£ωσειςMaxwell,δηλαδη τηv αλληλεπιδραση µε τηv υλη και τη διαδoση τωv Η.Μ. δυvαµικ£ωv.Μπoρoυµε οµως vα καvoυµε και τηv συvαλλoιωτη διατυπωση τoυ Η.Μ. µε

βαση τα πεδια. Οριζoυµε τo τετραδιαvυσµα :] 2 & 2 # ] # ß 'Ü ] (4.74)

και τov ταvυστη δευτερης ταξης :°»2 # T 2 ] # ' T # ] 2 (4.75)

οπoυT 2 T # T Ff . Βρισκoυµε µε βαση τα P και U :

° 2 # ¼½½½¾ Q ' P F ' P Æ ' P ÇP F Q '® U Ç U ÆP Æ U Ç Q '© U FP Ç '® U Æ U F Q¿ ÀÀÀÁ (4.76)

οπoυ °2 # & 257 & #g ° 7 g . Τοτε oι εξισ£ωσειςM N P bf X MR U V Xf&X T PT (4.77)

γιvovται T ° 2 #T 2 a #f5X (4.78)

Οι εξισ£ωσεις : MN U LQ MR P ' T UT (4.79)


γιvovται : T °ø2 #T 7 T ° # 7T 2 T °ø7[2T # LQ (4.80)

H ταvυστικη φυση τoυ °2 # µας διvει αµεσως τo µετασχηµατισµο τoυ :° 2 # " 2 7 " # g ° 7 g (4.81)

Γραφovτας τηv (4.81) για τα αvτιστoιχα πεδια αvακαλυπτoυµε τις εξισ£ωσειςπoυ βρηκε o Einstein, τις (4.58,4.59).ΑσκησηΝα απoδειθoυv oι (4.58,4.59) απο τηv (4.81).

Tελoς πρεπει vα γραψoυµε κατα συvαλλoιωτo τροπo τηv αλληλεπιδρασητης υλης µε τα Η.Μ. πεδια, δηλαδη vα γεvικευσoυµε (συvαλλoιωτα) τη δυvαµηLorentz : ° b P Å R U (4.82)

Οριζoυµε τo τετραδιαvυσµα :à 2 ° 2 # a # (4.83)

οπoυ : a # & #g a g b 'hb Å (4.84)

Παιρvoυµε :à Þ ° Þ # a # ° Þ 0 a 0 ° Þ ( a ( ° Þ a ° Þ ú a ú (4.85)

για i=1,2,3Αρα à F à ( ° ( X a 0 ° (E( a ( ° ( a ° ( ú a ú P F b Q N ' b Å F '® U Ç ' b Å Æ U Æ ' b Å Ç b e P F Å F U F i (4.86)

και γεvικοτερα à b e P Å R U i (4.87)

και à 0 Å N à (4.88)


Αρα τo τετραδιαvυσµα à 2 ³ Å N à à µ (4.89)

οπoυ η f ειvαι η δυvαµηLorentz αvα µovαδα ογκoυ. Για τηv oλικη δυvαµησε ογκo δV εχoυµε : ° à øn Ù e P Å R U i (4.90)

Απο τo µετασχηµατισµο τωvPκαι

Uπαιρvoυµε :° _ ° _ ° ² ° ² è 9' Å (4.91)

πoυ ειvαι ιδιoς µετασχηµατισµοςµεαυτοv της µηχαvικης δυvαµης (3.80,3.81,3.82).Η συµµετα1λητη εξισωση τoυ Νευτωvα για τηv αλληλεπιδραση φoρτιoυ µε

τo Η.Μ. πεδιo ειvαι : 0C Å 2 $ Ù ° 2 # Å # (4.92)

4.2.4 Συvεπειες - Εφαρµoγες

1. Μαζα και µετασχηµατισµοι των πεδιων

Ο Εinstein στηv πρ£ωτη τoυ εργασια, εχovτας βρει τoυς µετασχηµατισµoυςτωv πεδιωv θελησε vα δει τις επιπτ£ωσεις στηv κιvηση εvος ηλεκτρovιoυ κατωαπο τηv επιδραση τoυΗλεκτρoµαγvητισµoυ. Θετovτας τηv απαιτηση οτι oι εξι-σ£ωσεις κιvησης πρεπει vα ειvαι της ιδιας µoρφης σε ολα τα συστηµατα κατε-ληξε στηv σχεση : 0 9 'þ> «@ « (4.93)

κατα εvα εµµεσo τροπo βε1αια.

2. Εµφανισει διπολικ£ων ροπ£ων

Τo τετραδιαvυσµα ρευµατoς οπως τo oρισαµε ειvαι :

a 2 b a (4.94)

οπoυa b . Με εvα µετασχηµατισµο Lorentz εχoυµε :a 2 " 2 # a #

(4.95)


Σχηµα 4.3: Εµφανηση ηλεκτρικης διπολικης ροπης σε κινουµενο βρογχορευµατος

η

b b ' a F (4.96)

a F a F ' b (4.97)

Η δευτερη εξισωση, εκτος απο τov σχετικιστικο συvτελεστη γ, ειvαι πρoφαvηςγιατι λεει οτι εvα ρευµα

a F θα πρεπει vα αλλαζει σε αλλo συστηµα αvαφoραςκατα τo ρευµαρv πoυ πρoερχεται απο τηv σχετικηκιvηση της πυκvοτηταςφoρ-τιoυ ρ.Η πρ£ωτη εξισωση ειvαι πιο περιεργη. Αv υπoθεσoυµε οτι σε εvα συστηµα

αvαφoρας εχoυµε µοvo ρευµατα, δηλαδη ρ = 0 , σε καθε αλλo συστηµα θα εµ-φαvιζovται και πυκvοτητες φoρτιoυ. Μια εvδιαφερoυσα συvεπεια ειvαι η εµ-φαvιση ηλεκτρικης διπoλικης ρoπης σε εvα βρογχo ρευµατoς.

Εχoυµε σε πρoσεγγιση ορωv # τις τιµες φoρτιoυÙ ji | Ù ' i | (4.98)

για τις παραλληλες πρoς τov αξovα x πλευρες τoυ βρογχoυ. Αραπαιρvoυµεµια διπoλικη ρoπη : Ù | i

(4.99)

οπoυ m = α1J = SJ , ειvαι η µαγvητικη ρoπη τoυ βρογχoυ.

Smaroula

Placed Image


3. Μετασχηµατισµος Ηλεκτρικης και Μαγνητικης Πολωσης

Απο τις εξισ£ωσεις τoυ Η.Μ. εχoυµε οτι η ηλεκτρικη πολωση και η µαγvη-

τικη πολωση ειvαι αvαλoγες τωv πεδιωv P και U αvτιστoιχα. Αυτο ισχυει

ακρι1£ως για oµoγεvη υλικα. Γεvικ£ωτερα ειvαι γραµµικος συvδιασµος τωvσυvιστωσ£ωv.Αυτο σηµαιvει οτι oι πoλ£ωσεις

και θα µετασχηµατιζovται οπως τα Pκαι

U. Ετσι εχoυµε : _ _

_ _ (4.100) ² ² ' R ² (4.101) ² e ² ' R ² i (4.102)

Πιο κατω θα δoυµε εφαρµoγες τετoιωv σχεσεωv.

4. ∆υναµικο Lienard-Wieckert

Η συvαλλoιωτη διατυπωση τωv εξισ£ωσεωv βoηθαει vα βρoυµε τη γεvικηλυση εvος πρoβληµατoς απο µια ειδικη λυση πoυ ισχυει σε συγκεκριµεvo συ-στηµα αvαφoρας. Τo τετραδιαvυσµα

] 2τo oρισαµε

] 2 ß ] . Εστωσε εvα συστηµα αvαφoρας καπoιo ακιvητo φoρτιo. Αυτο θα δηµιoυργει µοvoδυvαµικο Coulomb και θα εχoυµε :] 2 0 %s Q f X 0 Q (4.103)

οπoυQ Q Q Q . Εστω τ£ωρα τo τετραδιαvυσµα ταχυτητας Å 2 · ¢Å # και της θεσης 2 . Η πoσοτητα Å N ειvαι αvαλλoιωτη.

Εχoυµε : Å N ' Å N (4.104)

Για τo συστηµα αvαφoρας τoυ φoρτιoυ εχoυµε :Å 2 :9 Q 2 l 0 0 (4.105)

Αλλα o χροvoς X αvτιστoιχει στo χροvo πoυ χρειαζεται η επιδραση στηv

αρχη τωv αξοvωv vα µεταδoθει στo X , δηλαδη X X . Παιρvoυµε ετσιÅ N 0 (4.106)


Παρατηρoυµε οτι τo τετραδιαvυσµα] 2 %s Q f5X N Å 2Å N (4.107)

στo συστηµα αvαφoρας τoυ φoρτιoυ διvει τηv (4.103) Επoµεvως θα πρε-πει η (4.107) vα περιγραφει τoΗ.Μ. πεδιo σε oπoιoδηπoτε συστηµα αvαφoρας.Παιρvoυµε θετovτας ct = r :] 2 %s Q f X N 9$ Å $ (4.108)

οπoυ $ ' N Å (4.109)

Τo δυvαµικο (4.108) λεγεταιδυvαµικοLienard-Wieckert και µπoρει vα βγεικλασικα απο τη λυση τωv εξισ£ωσεωv τoυ Η.Μ..

4.3 Κβαvτoµηχαvικη

4.3.1 Mη Σχετικιστικη Κβαvτoµηχαvικη

Στα µαθηµατα αυτα της Σχετικοτητας δεv ειvαι δυvατοv vα ασχoληθoυµεµε τηv αvαλυση τoυ πρoβληµατoς της κ1αvτωσης εvος κλασικoυ συστηµατoς.Εvα τετoιo ερ£ωτηµααπαιτει διεξoδικηµελετηκαι συζητησηπoλλ£ωv υπoθεσεωv.Ειvαι εvα θεµα πoυ δεvεχει κλεισει και ισως οσoπερvα o καιρος και η Επιστηµηαvακαλυπτει vεες οψεις (η αποψεις) τηςπραγµατικοτητας, οπως ηΚoσµoλoγια,η Κβαvτικη Βαρυτητα, oι Μελαvες Οπες, τα Μη-Γραµµικα Συστηµατα κ.λ.π.τo Ερ£ωτηµα της Κβαvτωσης vα γιvεται πιο δυσκoλo vα απαvτηθει.Εδ£ω εµαςθα µας απασχoλησει τoΠρο1ληµαΓεvικευσης της εξισωσηςSchrodinger

ετσι £ωστε vα εχoυµε µια εξισωση πoυ vα διατυπ£ωvει τηv συvθηκη κ1αvτωσηςκατα εvα συvαλλoιωτo τροπo. ∆ηλαδη η µoρφη της εξισωσης vα ειvαι αvε-ξαρτητη απο τo συστηµα αvαφoρας.Για vα τo καvoυµε αυτοθα βασιστoυµεστηvπιο απλη διατυπωση τoυπρoβλη-

µατoς της κ1αvτωσης, σ αυτη πoυ θεωρει τηv κ1αvτωση σαv εvα καvοvα αvτι-στoιχιας µεταξυ τωv βασικ£ωv µετα1λητ£ωv εvος κλασικoυ συστηµατoς και κα-πoιωv ειδικ£ωv τελεστ£ωv σε εvαv χ£ωρo Hilbert. Αυτoι oι καvοvες αvτιστoιχιαςδιατυπ£ωvovται σαvΑξι£ωµατα ετσι£ωστε vα µπoρει καvεις επαγωγικα vα καvειαvαλυση ολης της θεωριας. Τα Αξι£ωµατα αυτα υπoθετoυµε οτι ειvαι γvωσταστov αvαγv£ωστη. ∆ιvoυµε οµωςεµφασησε καπoια σηµειαπoυ µας χρειαζovταιγια τηv Σχετικιστικη Γεvικευση. Εχoυµε τα εξης :

4.3. ΚΒΑVΤOΜΗΧΑVΙΚΗ 67

Εστω εvα κλασικο φυσικο συστηµα πoυ χαρακτηριζεται απο τις γεvικευ-µεvες µετα1λητες θεσης και oρµης Ù Þ Ý Þ i = 1,....,n. και k Ù Þ Ý Þ η συvαρτησηHamilton. O καvοvας αvτιστoιχιας (κ1αvτωση) µας λεει οτι υπαρχει εvας χ£ω-ρoςHilbert (διαvυσµατικος χ£ωρoς µε απειρη διασταση και εσωτερικο γιvοµεvo)

ετσι £ωστε για καθε φυσικη κατασταση τoυ συστηµατoς vα υπαρει µια συvαρ-τηση (στoιχειo τoυ χ£ωρoυHilbert) l¹ Ù Þ Ý¢Þ και τελεστες X Þ Þ πoυ αvτιστoιχoυvστα Ù Þ Ý Þ ετσι £ωστε η Hamiltonian H vα γιvει εvας τελεστης k X Þ Þ .Στηv λεγοµεvη Αvαπαρασταση Schrodinger εχoυµε τηv αvτιστoιχια :Ù $ Ã X

$;mX$ l" Ù Ù $ l¸ Ù (4.110)Ý $ Ã $ m $ l" Ù on TT Ù $ l¸ Ù (4.111)

Ηχρovικη εξελιξη της καταστασηςπεριγραφεται απο τηv εξισωσηSchrodinger :

nT lT k]l (4.112)

Για vα oδηγει η κ1αvτωση σε Φυσικη Θεωρια πρεπει vα εχoυµε και εvακαvοvα ερµηvειας τωv λυσεωv της (4.112). Ο καvοvας αυτος λεει οτι η πoσο-τητα b l§ Ù Þ E διvει τηv πυκvοτητα πιθαvοτητας vα βρεθει τo συστηµαστηv κατασταση πoυ χαρακτηριζεται απο τις συvτεταγµεvες Ù Þ E . Οριζovταςτo ρευµα : a no B p l : M lØ'ql M l :r (4.113)

παιρvoυµε τηv εξισωση της συvεχειας :T bT MN a LQ (4.114)

πoυ ειvαι ισoδυvαµη µε τη διατηρηση της oλικης πιθαvοτητας vα βρoυµετo συστηµα σε καπoια θεση και oρµη στo χροvo t. ∆ηλαδη : ý l LQ (4.115)

Θαδoυµε οτι στις πρoσπαθειεςΣχετικιστικης γεvικευσης της εξισωσηςSchrodingerδεv κατoρθ£ωθηκε vα βρεθει µια συµ1ι1αστη διατυπωση της πυκvοτητας πι-θαvοτητας πoυ vα ικαvoπoιει τις συvθηκες (4.114) (η 4.115). Αυτο oδηγησεστηv εγκαταληψη της πρoσπαθειας διατυπωσης της σχετικιστικης κ1αvτωσηςµε βαση εξισ£ωσεις πoυ περιγραφoυv εvα µovαδικο σωµατιo. Η διεξoδoς δο-θηκε µε τηv εισαγωγη τηςΚβαvτικης Θεωριας Πεδιωv οπoυ πλεov oι βασικες


πoσοτητες ειvαι τα πεδια πoυ εχoυv τηv εγγεvη δυvατοτητα vα δηµιoυργησoυv

η vα αφαvισoυv oπoιoδηπoτε αριθµο σωµατιωv.Παρολo αυτα οµως oι σχετικιστικες εξισ£ωσεις πoυ αvακαλυφτηκαvε οπως ηεξισωσηKlein-Gordon και η εξισωσηDirac εδωσαv αρκετες µαθηµατικες δυvα-τοτητες vα βρoυµε τα ιχvη µιας vεας φυσικης πραγµατικοτητας οπως η υπαρξητης αvτιυλης, τo spin κ.λ.π.

4.3.2 H Eξισωση Klein-Gordon

Εστω εvα ελευθερo σωµατιo πoυ περιγραφεται µε τηv Hamiltonian :

k Ý o (4.116)

Mε τov καvοvα αvτιστoιιας (4.110,4.111) παιρvoυµε τηv εξισωση :

nTT lL Ù E ' n o M l" Ù E (4.117)

Η εξισωση αυτη ειvαι πρoφαv£ως µη σχετικιστικη γιατι o χροvoς t και o χ£ω-ρoς x υπεισερχovται µεσω τωv παραγωγησεωvµε διαφoρετικες δυvαµεις. Εξαλ-λoυ γvωριζoυµε οτι η εvεργεια Ε στηv oπoια αvτιστoιχει η Hamiltonian H δεvειvαι σχετικιστικααvαλλoιωτη πoσοτητα, αλλααπoτελει µοvo τη µηδεvικησυvι-στ£ωσα της τετραoρµης Ý 2 P Ýl . Aλλα τo κυρι£ωτερo η (4.116) δεv ειvαικαv η εκφραση της εvεργειας εvος σωµατιoυ σχετικιστικα. Στηv Σχετικοτητα

εχoυµεP Ý . Ετσι ευλoγo ειvαι vα oρισoυµε τηv Hamiltonian :

k Ý (4.118)

O καvοvας τ£ωρα θα µας δ£ωσει :

nTT l ' n M l (4.119)

H εξισωση (4.119) µαθηµατικα ειvαι πoλυ δυσκoλo vα λυθει η ακοµα και vαoριστει σαv τελεστης τo δεξιο µελoς της οπoυ πρεπει vα oρισoυµε τo ριζικο κα-πoιoυ διαφoρικoυ τελεστη. Ετσι πρoταθηκε vα χρησιµoπoιηθει η HamiltonianH υπο τη µoρφη : k Ý (4.120)

oποτε παιρvoυµε τη λεγοµεvη εξισωση Klein-Gordon : e ô n l LQ (4.121)


οπoυ : e Þ T T Þ ' 9 T T (4.122)

H εξισωση αυτη ειvαι σχετικιστικη, δηλαδη παραµεvει αvαλλoιωτη κατωαπο τo µετασχηµατισµοLorentz. Πρεπει οµως vα δ£ωσoυµε τη φυσικη ερµηvειατoυ ψ. ∆ηλαδη πρεπει vα oρισoυµε πυκvοτητα πιθαvοτητας ρ και ρευµατoςaετσι £ωστε vα ισχυει η εξισωση της συvεχειας. Αυτο επιτυγχαvεται µε τoυς

oρισµoυς :

b no l : T lT 'l T l :T (4.123) a no B p l : M l 'sl" M l : r (4.124)

∆υστυ£ως οµως η (4.123) δεv ειvαι καταλληλoς oρισµος πυκvοτητας πιθαvο-τητας γιατι µπoρει vα παρει και αρvητικες τιµες. Αυτο θα µπoρoυσε vα τo πε-ριµεvει καvεις γιατι εγγεv£ως η Hamiltonian (4.120) µπoρει vα δ£ωσει "αρvητικεςεvεργειες": k ' Ý (4.125)

Tετoιες εvεργειες φυσικα ειvαι απαραδεκτες. Ετσι εγκαταληφθηκε η εξι-σωσηKlein-Gordon. Χρησιµoπoιηθηκε οµως οταv διαπιστ£ωθηκε µεσω τηςΚβαvτι-κης Θεωριας Πεδιωv οτι µπoρει καvεις vα ερµηvευσει κατα εvα αυτoσυµ1ι1α-στο τροπo τις αρvητικες εvεργειες της υλης σαv θετικες εvεργειες της αvτιυ-λης.

4.3.3 Η Εξισωση Dirac

H υπαρξη τoυ εvδεχoµεvoυ τωv λυσεωv της εξισωσηςKlein-Gordon µε αρvη-τικη εvεργεια oφειλεται στo γεγovος οτι η εξισωση ειvαι τετραγωvικη ως πρoςτo χροvo και τo χ£ωρo. Ο Dirac σκεφτηκε οτι µπoρει καvεις vα γραψει µια εξι-σωση σχετικιστικη οχι µε τo vα εισαγει τo χροvo τετραγωvικα αλλα µε τo vαεισαγει τo χ£ωρo στηv πρ£ωτη δυvαµη. Εγραψε λoιποv τηv εξισωση :

n t n | ( T lT ( | T lT | ú T lT ú l k]l (4.126)

Τα| ( | | ú δεv µπoρει vα ειvαι σταθερες αριθµητικες πoσοτητες γι-ατι η (4.126) δεv θα ηταv καv αvαλλoιωτη ως πρoς τις στρoφες. Επισης τo ψ


δεv µπoρει vα ειvαι αριθµητικη συvαρτηση γιατι δεv µπoρoυµε vα κατασκευα-σoυµε µια εξισωση συvεχειας. Ετσι o Dirac υπεθεσε οτι τo ψ ειvαι πιvακας στη-λης

l ¼½½½½½½½¾ l (l GGGlIu

¿ ÀÀÀÀÀÀÀÁ (4.127)

και τα| Þ ειvαι πιvακες v R v . T£ωρα πρεπει vα ισχυει η σχετικιστικη

σχεσηP Ý . Aυτο σηµαιvει οτι η καθε συvιστ£ωσα l $ πρεπει

vα ικαvoπoιει τηv Klein- Gordon :' n T l×T e ' n M i l $ (4.128)

Απο τηv (4.126) για vα µπoρoυµε vα παρoυµε τηv (4.128 πρεπει vα επι1αλ-λoυµε καπoιες συvθηκες στα

| Þ . Παιρvoυµε :| Þ | $ | $ | Þ "o Þ $ (4.129)| Þ | Þ LQ (4.130)| Þ 9 (4.131)

Aπο τις (4.130) και (4.131) παιρvoυµε :| Þ 'W | Þ ' | Þ | Þ (4.132)

Απο τηv ιδιοτητα τoυ ιχvoυς (Trace) πιvακα :

] U U ] (4.133)

παιρvoυµε :

| ÞY ' k | Þ ' | Þ c z ÞY LQ (4.134)

Και οµoια : k LQ (4.135)


Aπο τις σχεσεις (4.131) εχoυµε οτι oι ιδιoτιµες τωv πιvακωv| Þ και πρεπει

vα ειvαι ë 9 . Τo ιχvoς οµως (Trace) εvος πιvακα ειvαι τo αθρoισµα τωv ιδιoτι-µ£ωv τoυ, oποτε θα πρεπει oι ιδιoτιµες τωv +1 και -1 vα υπαρχoυv κατα ζευγη.∆ηλαδη θα πρεπει τoΝ vα ειvαι αρτιo. Για Ν = 2 παιρvoυµε τoυς πιvακες Pauli :

w ( ³ Q 99 Q µ w ³ Q ' Q µ w ú ³ 9 QQ ' 9 µ (4.136)

oι oπoιoι ειvαι µοvo τρεις πoυ ικαvoπoιoυv τις σχεσεις αvτιµεταθεσης. Αραπαιρvoυµε σαv πρ£ωτη µη τετριµεvη περιπτωση τo Ν = 4. Θετoυµε :| Þ ³ Q w Þw Þ Q µ ³ 9 QQ 9 µ , 9 ³ 9 QQ 9 µ (4.137)

Για παραδειγµα εχoυµε :| ( ¼½½½¾ Q Q Q 9Q Q 9 QQ 9 Q Q9 Q Q Q¿ ÀÀÀÁ (4.138)

Οριζovτας τo :

l [ xl ( : l : l ú : l : (4.139)

και

b l [ l l ( l l ú l (4.140)

a $ l [ | $ l (4.141)

παιρvoυµε τηv εξισωση της συvεχειας.Eστω τ£ωρα εvα ελευθερo ακιvητo ηλεκτροvιo. Θα εχoυµε :

nT lT l (4.142)

πoυ εχει τεσσερεις λυσεις :

l ( % Ý ' ¬ ¼½½½¾ 9QQQ¿ ÀÀÀÁ l % Ý ' B ¼½½½¾ Q 9QQ

¿ ÀÀÀÁ (4.143)


l ú % Ý B ¼½½½¾ QQ 9Q¿ ÀÀÀÁ lK % Ý B ¼½½½¾ QQQ 9

¿ ÀÀÀÁ (4.144)

Αµεσως φαιvεται οτι τo προ1ληµα τωv αρvητικ£ωv εvεργει£ωv εµφαvιζεταικαι στηv εξισωσηDirac. Οι λυσεις l ú l εχoυν αρvητικη εvεργεια. ΟDirac τoερµηvευσε µε τo vα εισαγει τη λεγοµεvη θεωρια τωv oπ£ωv και ετσι oδηγηθηκεστo vα πρoβλεψει τηv υπαρξη της αvτιυλης, δηλαδη εv πρoκειµεvω τα πoζι-τροvια. Τo βασικο οµως στις λυσεις (4.143,4.144) ειvαι οτι περιγραφoυv εvαvεo βαθµο ελευθεριας αυτοv τoυ spin. Πραγµατι oι l ( l διvoυv τις κατα-στασεις ηλεκτρovιωv µε προ1ολη spin +1/2 και -1/2 και αvτιστoια oι l ú l για τα πoζιτροvια. Βε1αια για vα φτασει καvεις στηv ερµηvεια αυτη πρεπει vαβρει τo µη σχετικιστικο οριo της εξισωσης Dirac. Σ αυτο τo οριo εχoυµε τηvεξισωση Pauli πoυ πρoταθηκε για τηv περιγραφη τoυ spin.Εφαρµοζovτας τηv εξισωση Dirac για τo ατoµo τoυ υδρoγοvoυ µπoρoυµε

vα βρoυµε διoρθ£ωσεις στo φασµα τoυ, πoυ δεv ειvαι δυvατοv vα βρεθoυv σταπλαισια της µη-σχετικιστικης Κβαvτoµηαvικης.Τελει£ωvovτας θαπρεπει vα λεxθει οτι η εξισωσηDirac ειvαι πραγµατι συvαλ-

λoιωτη κατωαπο τoυς µετασxηµατισµoυςLorentz, κατι πoυ xρειαζεται λεπτoµερηαποδειξη. Η συµµετα1λητη εκφραση της εξισωσης ειvαι :

n e 0 TT 0 ( TT ( TT ú TT ú i l¸' yl "Q (4.145)

οπoυ 0 $ | $ × 9 o ! (4.146) 2 # # 2 & 2 # (4.147)

οπoυ

¼½½½¾ 9 Q Q QQ 9 Q QQ Q 9 QQ Q Q 9¿)ÀÀÀÁ (4.148)

Ειδική θεωρία της σχετικότητας.pdf

Documents