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CF7001
Eletrodinâmica Clássica I
Prof. Dante H. Mosca
2018
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Teoria da Radiação
Radiação em colisões - Espalhamento de partículas carregadas - Espalhamento de Rutherford - Transferência e perda de energia: limites clássico e quântico - Análise dos campos elétrico e magnético de interação - Penetração de íons leves e pesados na matériaRadiação de frenagem (bremsstrahlung)Radiação de CherenkovRadiação de transição de meioRadiação emitida por cargas em movimentos retilíneo e circular - Análise espectral - Distribuição angularRadiação síncrotronRadiação de decaimento betaRadiação de captura eletrônica
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Lab & CM
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Espalhamento de Rutherford(espalhamento coulombiano elástico)
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Conceitualmente
N. Bohr, 1913 :
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de Broglie < b < (blindagem)
(invarância abiabática)
Parametrização
densidade eletrônicaenergia de excitação média
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Seção de choque de perda de energia(correção devido ao spin eletrônico no referencial C. M. )
Fórmula de Mott
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Espalhamento de uma partícula num campo de força central
(Mecânica Clássica)
Energia é conservada:
Momentum é conservado:
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Seção de choque diferencial
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Ângulo de deflexão
Colisões inelásticas e fator Q (perda ou ganho)
Conversão de energia cinética em calor (perda) ou conversão (liberação) de energia interna, por exemplo, energia química armazenada (ganho).
(trajetórias abertas, mas eventualmente, há captura em órbitas fechadas)
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Espalhamento elásticoSeção de choque diferencial de Rutherford em baixos ângulos:
Obs.: o erro experimental é 30% em /2 e adota-se a hipótese de Bohr:
Obs.: definindo um "cut-off" com o potencial de blindagem tipoThomas-Fermi
~ 0,1 mrad
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Limite de máximo desvio
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Seção de Choque
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Ângulo médio
numericamente:
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Single & Multiple
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Distribuição angular
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Exercício 1
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Exercicio 2
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Exercicio 3
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Taxa de perda de energia ao longo da trajetória num meio material
N átomos por unidade de volume com Z elétrons cada átomo
contribuição de spin
Aproximação semi-clássica baseada no parâmetro de impacto
Para , temos T ~ b-2, implicando que se T > temos b <
( T é a perda de energia da partícula )
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AnáliseA energia de ligação pode ser caracterizada pelo inverso da frequência média do movimento eletrônico <> e o tempo de interação eletromagnética característico é:
>>1
=1
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EntãoSe t é grande em relação ao período atômico, a resposta do átomo será adiabática,pois a deformação será lenta e rapidamente o átomo volta ao estado normal.
Se t é curto em relação ao período atômico, o elétron ligado pode ser tratado como quase-livre.
Logo, o parâmetro de impacto efetivo máximo, além do qual não há transferência deenergia efetiva, é:
Na aproximação semiclássica:
1 << << 1
limite limiteclássico quântico
parâmetro semi-empírico
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Limite Clássico e Limite Quântico O conceito clássico de transferência de energia em cada evento de colisão é incorretona Mecânica Quântica.
Em inúmeras colisões apenas uma pequena quantidade de energia é transferida. Emuma fração ínfima das colisões uma significativa quantidade de energia é transferida. Na maioria das colisão não há transferência de energia; i.e., predominam colisões elásticas com elétrons.
Somente no sentido estatístico, o mecanismo discreto de transferência de energia daMecânica Quântica se reconcilia com o mecanismo contínuo de transferência de energia da Mecânica Clássica.
O tratamento semi-clássico dessas colisões necessita de uma interpretação estatísticae da aplicação do Princípio da Incerteza para a definição apropriada do parâmetro de impacto mínimo.
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Taxa de perda de energia em colisões leves (Bethe, 1930)
Obs.: a transferência de energia por colisão depende do parâmetro de impacto
devido ao Princípio da Incerteza o valor mínimo de b para uma partículacom p = mv, tal que é:
Obs.: Para elétrons a máxima perda de energia é e
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Heavy & Soft
2
1
β~ γln~
ioni
zatio
n m
inim
um
electron capture density effect
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Energy loss of charge particles
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Análise numérica
~
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Análise de colisões eletrônicas leves
Relação entre a transferência de momento e a transferência de energia:
Relação entre a dispersão do pacote de onda eletrônico e o momento transversal:
Parâmetro de impacto mínimo efetivo para uma transferência de energia < :
Parâmetro de impacto máximo efetivo devido a interação elétron -átomo :
Expressão proposta por Bethe:
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os íons leves são desacelerados em materiais pesados...
10 - 100 keV
> MeV
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Taxa de perda de energia em baixas energias
Ver referências e simulações no SRIM.
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H+
100 keV
SRIMThe Stopping and Range of Ions in Matter
http://www.srim.org/
Al Z = 13A = 272,7 g/cm3
Pb Z = 82A = 20711,3 g/cm3
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íon H+ & alvo Al
100 keV 10 MeV
10 keV10 eV
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Exercício 4
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Exercício 5
(a) Explique o significado de "straggling" no processo de implantação de íons.
(b) Explique o significado de .
(c) Explique o interesse de conhecer o produto tal que para
a terapia de tumores.
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Exercício 6
Esboce um gráfico parametrizada em M. )ln(γβversusdx
dE
Considere a fórmula Bethe-Bloch de perda de energia de partículas carregadas.
Obs.: a taxa de perda de energia para elétrons é modificada pois é espalhamento de partículas idênticas e indistinguíveis.
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Bremsstrahlung(perda de energia por multiplos processos)
Obs.: ademais...
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Campo elétrico devido a passagem de uma partícula num meio material
Sendo
Então
Logo
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Potenciais e Campos
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Perda de energia para um elétron sobre um átomo sob um parâmetro de impacto b
Em O
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Campos elétrico e magnético a distância b da trajetória:
Energia transferida ao átomo considerados todos os deslocamentos eletrônicos
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Funções de Bessel modificadas de 2a espécie
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Exercício 7
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Perda de energia ao longo da trajetória com parâmetro de impacto b > a
a
ou
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Exercício 8
Mostre que:
resulta em com
admitindo
com e
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Efeito de densidade na taxa de perda de energia
(provém dos argumentos complexos nas funções de Bessel modificadas)
O limite relativístico, desprezado o efeito de densidade, é usado como referência:
Ou seja,
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Partindo da expressão:
obtenha o limite relativístico desprezado o efeito de densidade:
tal que
Exercício 9
)ln(~ γbadx
dE
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Radiação de CherenkovO efeito de densidade na taxa de perda de energia está conectado a respostacoerente do meio a passagem da partícula relativística que causa a radiação.
No limite são validas as expansões assintóticas:
Tal que
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AnáliseTomando a parte real da integral
temos a taxa de energia alocada ao longo da trajetória. Se é real > 0,
Então, o fator exponencial decai rapidamente com a distância. Mas se é
imaginário, a exponencial tende a 1 desaparecendo a dependência com a
e . Logo,
Neste caso, mesmo com v = cte temos a radiação de Cerenkov :
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Banda de Cherenkov
Ângulo de emissão da radiação :
Obs.: a determinação experimental de C permite medir v.
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Onda de choque
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Eletrobras em Itaorna
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Radiação de transição Radiação observada quando uma partícula transiciona de um meio para outro.
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Coerência ao longo da trajetória( )
Acima das frequências ópticas da radiação de Cherenkov :
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Comprimento de formação :
Volume de coerência :
Ângulo polar do lóbulo de radiação:
AnáliseOs campos se acomodam ou atualizam no outro meio ( ) irradiando.
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Características da TR
prótons com = 103 num meio com ħp = 20 eV emitem raios x de 2 - 20 keV
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Radiação emitida por cargas em movimento, distribuição angular da radiação e espectro de frequência
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Expressão dos campos de velocidade e de aceleração
Obs.:
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Interpretação do fator
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Exercício 10
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Exercicio 11
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Generalização invariante
Como e
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Num acelerador linear ...
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Em aceleradores circulares ...
Perda radiativa por revolução
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Energia emitida num certo intervalo de tempo:
Potência irradiada por unidade de ângulo sólido:
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Num curto intervalo de tempo são paralelos e quase constantes
ββ e
Se velocidade e aceleração são colineares:
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Movimento circular instantâneo com ββ
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Limite relativístico
Obs.: comparação entre movimentos instantâneos retilíneo e circular
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Frente de onda e largura do pulso
Avanço da frente de onda em t :
Lagura do pulso de onda :
Se o pulso tem largura L no espaço então tem largura L/c em tempo. Logo, a análise de Fourier prevê um espectro de radiação com uma frequência crítica superior:
Consequência
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Análise geral da potência irradiada
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Energia total irradiada por unidade de ângulo sólido
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Análise espectral( intercâmbio da ordem de integraçao leve a )
Se A(t) for real, pois
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Calculando a transformada de Fourier
Para observação distante da fonte :
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Distribuição espectral de intensidade no ponto de observação
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Exercício 12
Mostre que:
(a)
(b)
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Distribuição continua de carga em movimento
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Polarização perpendicular ao plano da órbita: e
Logo, para t e pequenos:
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Passagem de cálculo
...
...
...
...)(
2
22
2
2
232
2
2
23
2
2
2
2
2
2
3
1
2
3
1
2
62
1
61
6
6
6
ρ
tc)t(
ρ
tc)t(
t2ρ
tct
t2ρ
tct
)2
θ)(1
ρ
tct(t
)2
θ)(1
cρ
tv
c
vt(t
)2
θ)(1
ρ
tv
ρ
vt(
c
ρt
3
3
23
233
233
233
2
3
33
θγ
ω
ββθγ
ω
βθβ
γω
βθβ
βω
ββω
ω
ω
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Exercício 13Analise a mudança de fase tal que
Mostre que sendo o tempo de colisão e >> 1:
(a)
(b) é satisfeita pois
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AnáliseEstender as integrais aos limite de tempo infinito é permitido uma vez que as frequências levam a oscilações rápidas da fase, mantendo o integrando nulo por tempos tão pequenos quanto os usados nas aproximações anteriores.
Parametrizando:
Polarizações paralela e perpendicular ao plano da órbita.
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Integrais de Airy
Análise espectral da potência irradiada
Irradiação com polarização paralela ao plano da órbita é predominante.
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Airy Integrals
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Em vista de , a irradiação é baixa para .
Ou seja, baixa radiação em altos ângulo e altas frequências.
A radiação é confinada no plano da órbita, sendo mais confinada é quanto mais alta for a frequência.
Propriedades das funções de Bessel modificadas
Define-se: para e
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Para e
Limites na análise do plano orbital
Se , então quando :
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Energia total irradiada
Mas
e
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Espectro de frequência diferencial
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Radiação Síncroton
Potência por harmônico, n :
Pico de intensidade e energia total
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Synchrotron Radiation Spectrum
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J. Schwinger, Phys. Rev. 75, 1912 (1949)
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Exercício 14
(a)
(b) Considere a radiação síncroton do LNLS (www.lnls.br). Obtenha os dados do anel e calcule se a intensidade e a frequência do pico de máxima intensidade são comparáveis as expressões aproximadas citadas. Obtenha ainda c, c e nc.
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Distribuição de frequência dos fótons
Sendo e , integrando em frequência resulta:
Energia média por fótons, i.e., tal que I/N
Comoc, o comprimento de onda fundamental ~ metros
corresponde a fótons com comprimento de onda de Angstrons.
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-e
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( )
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Efeito Compton (caso S = 0)
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Efeitos quantum-mecânicos
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(a) Mostre que a seção de choque transversal diferencial de Klein-Nishina :
com
e Ef = hf a energia do fóton, se reduz a expressão de Thomson:
quando Ef << mc2.
(b) Deduza ou explique a relação entre as energias dos fótos incidente e espalhado: E'f = P Ef
Exercício15
θσ 212 12
1cos
PPAP
d
d
12 11
θcos/ cmEP ef
θσ 212
1cos
A
d
d
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Limite de baixas frequências
Processos :
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Seção transversal de espalhamento por número de fótons relativa aos ângulos sólidos
que envolvem a partícula e o fóton
invariante de Lorentz
dp
d
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Irradiação em movimento não-relativístico (NR)
Irradiação em movimento relativístico
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Exercício 16
Mostre que:
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Polarização
=
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Exercício 17Mostre que para >> 1:
(a)
(b) P(0) = 0 (radiação não polarizada na direção frontal)
(c) O máximo de P é
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Irradiação colimada para frente
NR
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Espalhamento Rutherford elástico é correto para uma partícula não-relativística para qualquer ângulo e coincide com o resultado da mecânica quântica parauma partícula relatívistica sob baixos ângulos de espalhamento.
Reescrevendo
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De acordo com o slide 106 :
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Energia total irradiada
2
slide 18
perda radiativa desprezivel se v << c !
2
2
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Obs.:
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Transformação de Lorentz
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Exercício 18
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Pulsos transversais de de radiação
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Limites
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Distribuição espectral de fótons virtuais
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Exercício 19
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Radiação no decaimento beta
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Formação de um elétron na origem em S(t = 0)
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Intensidade espectral e número de fótons
Energia total irradiada
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Weak force
Helicity
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N(T) = A p E (Q-T)2
E = T + mc2 ; p2 = (E/c)2 + (mc)2
Emax ~ 30 mc2
Isotope
Isotone
Isobar
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Synthesis of proton-rich nuclei (A ~100)
decay
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Radiação na captura de elétron orbital
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Análise
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Mediante média no ângulo de fase
Intensidade espectral e número de fótons
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Desaparecimento do momento magnético gera radiação
(aproximação dipolar magnética não-relativística: e )
Obs.: classicamente
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Mediante média no movimento precessional
Número de fótons por intervalo de frequência
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Emissão de neutrino e fóton
Probabilidade de emissão de neutrino
Espectro de fótons modificado
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Espectro de fótons na captura eletrônica devido ao desaparecimento do momento magnético
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Espectro de fótons na captura eletrônica radiativa devido ao desaparecimento da carga e do momento magnético
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Exercicio 20A descrição do decaimento radiativo com uma constante de tempo através de uma lei exponencial é mera escolha de base pois usando a chamada 1/2-vida tem-se:
(a) Use a base 10 e defina a constante 1/10-vida em termos da constante de tempo.
(b) Em alto grau de precisão, os decaimentos radiativos não são em geral afetadospor condições externas ou ambientais como: temperatura, pressão, ambiente químicoe campos elétricos, magnéticos ou gravitacionais. Há alguma exceção? Explique.
(c) Explique os processos físicos das transmutações nucleares abaixo: