第二节 Poisson 分布及其应用

一、 Poisson 分布及其特征

Poisson 分布 (Poisson distributio

n) 是一种离散分布。常用于研究单位时间或单位空间内某罕见事件发生次数的分布。

一、 Poisson 分布及其特征

Poisson 分布 (Poisson distributio

n) 是一种离散分布。常用于研究单位时间或单位空间内某罕见事件发生次数的分布。

常见的 Poisson 分布现象有：每滴海水中浮游生物数量的分布；用显微镜观察片子上每一格子上细菌繁殖数的分布；某些野生生物或昆虫数在单位空间中的分布；某种患病率或死亡率很低的非传染性疾病的患病人数或死亡人数的分布等。

( 一 )Poisson 分布的定义

如果在足够多的 n 次独立 Bernouli 试验中，随机变量 X 所有可能的取值为 0 ， l ， 2 ，…，取各 个 取 值 的 概率为

(5.14)

则称 X 服从参数为 μ 的 Poisson 分布，记为 X~P(μ) 。其中 X 为单位时间 ( 或面积、容积等 ) 某稀有事件发生数， e= 2.7183 ， μ 是 Pois

son 分布的总体均数。

例 5.11 若某非传染性疾病的患病率为 18 ／万，试根据 Poisson 分布原理求 1 000 人中发生 k=0 ， 1 ，2 阳性数概率。

μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8

( 二 )Poisson 分布的图形

由图可见， Poisson 分布图形形状完全取决于 μ 的大小。当 μ=10 时，图形基本对称，随着 μ增大，图形渐近于正态分布

( 三 )Poisson 分布的性质1. Poisson 分布的方差等于均数，即

σ2=μ 。 2. Poisson 分布的可加性。对于服从Poisson 分布的 m 个相互独立的随机变量 Xl ， X2 ，… , Xm 它们之和X1+X2+…+Xm 也服从 Poisson 分布，且均数为 m 个随机变量的均数之和。

例 5.12 某放射性物质每 0.1 s 放射粒子数服从均数为 2.2 的 Poisson 分布，现随机取 3 次观测结果为 2 ， 3 及 4 个粒子数，请问每 0.3 s 放射粒子数为多少 ?

利用 Poisson 分布的可加性原理得到，

Xl+X2+X3=2+3+4=9 个

均值为 2.2+2.2+2.2=6.6

每 0.3s 放射粒子数为 9 个。

( 四 )Poisson 分布与二项分布及正 态分布的关系

1.Poisson 分布可视为二项分布的特例 若某现象发生率 π 小，而样本例数多时，则二项分布逼近 Poisson

分布。

2. Poisson 分布的正态近似 一般在实际应用中，当 μ≥20 时，Poisson 分布近似正态分布。

二、 Poisson 分布的应用

( 一 ) 总体均数的估计

1. 点估计 直接用单位时间 ( 空间或人群 ) 内随机事件发生数 X( 即样本均数 ) 作为总体均数 μ 的估计值。

2. 区间估计 （ 1 ）正态近似法（ X>50 ） 当 Poisson 分布的观察单位为 n=1

时，

当 Poisson 分布的观察单位为 n>l时

例 5.14 用计数器测得某放射物质半小时内发出的脉冲数为 360 个，试估计该放射物质每 30min 平均脉冲数的 95 ％可信区间。

即该放射物质每 30min 平均脉冲数 ( 个 )的 95 ％可信区间为 (322.8 ， 397.2) 。

(2) 查表法 如果 X≤50 时，样本资料呈 Poisson 分布，可查阅附表 4 。

例 5.15 对某地区居民饮用水进行卫生学检测中，随机抽查 1 mL 水样，培养大肠杆菌 2 个，试估计该地区水中平均每毫升所含大肠杆菌的 95

％和 99 ％可信区间。本例， X=2<50 ，查附表 4 ， 95 ％

可信区间为 (0.2 ， 7.2) ； 99 ％可信区间为 (0.1 ， 9.3) 。

( 二 ) 单个总体均数的假设检验

1. 直接计算概率法

根据 Poisson 分布的概率分布列计

算概率或累积概率，并依据小概率

事件原理，作出统计推断。

例 5.16 某罕见非传染性疾病的患病率一般为 15 ／ 10 万，现在某地区调查 1000 人，发现阳性者 2 人，问此地区患病率是否高于一般。

H0 ：此地区患病率与一般患病率相等； H1 ：此地区患病率高于一般患病率；

单侧 α=0.05

本例， n=1000 ， π0=15 ／ 10 万，μ0=nπ0=0.15 ，则在 Ho 成立前提下，所调查的 1000 人中发现的阳性数 X~P(0.15) ，则有

P(x≥2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-

(0.860 7+0.129 1)=0.010 2

故： 1000 人中阳性数不低于 2 人属于小概率事件。

2. 正态近似法 当 μ≥20 ， Poisson 分布近似正态分布，可利用正态近似原理分析资料。

例 5.17 某种儿童化妆晶含细菌数不超过 500 个／ ml 为合格品，现检测此种儿童化妆晶 1 ml 菌数 450 个，问此种化妆品是否合格。

Ho ：此种化妆品不合格，即 μ=μ0

H1 ：此种化妆品合格，即 μ<μ0

单侧 α =0.05

本例以 1 mL儿童化妆晶为一个 Pois

son 分布观察单位。按式 (5.21) 得：

按单侧 α =0.05 水平拒绝 Ho ，接受 H1 ，认为此种化妆品合格。