poutrepoutre efforts intérieursefforts intérieurs contraintecontrainte déformationdéformation...
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Poutre Efforts intérieurs Contrainte Déformation Traction Torsion Flexion Essais des matériaux Concentration de contrainte
Résistance des matériaux
Résistance des matériaux
A B
(S)
( G
Solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une portion de courbe () orientée de A vers B. (S) reste toujours orthogonale à (G).
• A est l’origine de la poutre, B son extrémité ;• () s’appelle la ligne moyenne ;• (S) est la section droite de la poutre en G ;
Poutre
Liaisons
Type de liaison Schéma Torseur statiqueConditions
cinématiques
Encastrement
Liaison pivot ou articulation
Liaison glissière
Liaison ponctuelle
AzN
yYxX
sA
sAsA
Ax
y
Ax
y
xA
y
A x
y
0)A(dx
dy
0)A(y)A(x
A0
yYxX sAsA
0)A(y)A(x
AzN
yY
sA
sA
0)A(dxdy
0)A(y
A0
yY sA
0)A(y
Résistance des matériaux
Etude statique préliminaire
Torseur des efforts intérieurs
(P)
s
G(E1)
(S)
sy
sz
sx
R
)G(Mt
s3s2s1/2Gt
s3s2s1/21E2E1E2Eint
zMfyMfxtMM
zTyTxNR
G
extFext F F F
A B
(S)
(P)
E1
E2
G
n
Mise en place d’une section droite, paramétrage de sa position, définition des tronçons (E1) et (E2)
)z,y,x,G(flexion de moment M
flexion de moment M
torsion de moment M
tranchant effort T
tranchant effort T
normal effort N
MiR
G
F
3f
2f
t
3
2)G(i
1E2E
Elle est destinée à déterminer les actions extérieures agissant sur la poutre étudiée :• modèle isostatique : efforts de liaison déterminés ;
• modèle hyperstatique de degré h : tous les efforts de liaison s’expriment en fonction de h d’entre eux.
Equations de continuité
0)s(fds
)s(Rd
0)s(Rxds
)s(Mds
Traction
Torsion
Flexion simple suivant z
Flexion simple suivant y
s
GAB
(S0) (S1)
sx
sy
)s(f
sz
Résistance des matériaux
Contraintes
(P)
sG
(E1)
(S)M
dS
)M(
)M(
)x,M(C s
sx
sz
sy
0dS avec
dSdF
lim)x,M(C1/2
s
SdSss3s2sG
t
dSss3s2s
1E/2E
)x,M(CGMzfMyfMxtMM
s)x,M(CzTyTxNR
G
F
Relation contraintes – efforts intérieurs
Champ des contraintes
xy
y
x
z
xzyz
yx
zyzx
M
sx
sz
sy
On montre qu’il y a réciprocité des contraintes tangentielles :xy = yx yz = zy zx = xz
Résistance des matériaux
Déformations, lois de Hooke
x
x
xdx
y
-x dx
A’
B
dx
-x
Avant déformationAprès déformation
B’
AEx
x
Relations entre contrainte normale et allongements relatifs :
Ex
xzy
Relations entre contrainte tangentielle et distorsion
x
y
H H’B B’
MA
xy
yx
Avantdéformation
Aprèsdéformation
-xy
-yx
xyxy G
E : module d’Young (MPa) Elasticité longitudinale : coefficient de Poisson (0,3 pour les métaux usuels)
G : module de Coulomb (MPa) Elasticité transversale
Relation entre E et G )1(2E
G
Hypothèse de Bernoulli : toute section plane et perpendiculaire à la ligne moyenne avant déformation, reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après l'application des charges.
Hypothèses de la RdM
Hypothèse de Barré de Saint Venant : dans les zones éloignées des points d'applications des charges, les contraintes et les déformations sont indépendantes de leur mode d’application.
Hypothèse sur le matériau : le matériau constituant la poutre est supposé continu, homogène et isotrope.
Hypothèse sur les déformations : les déformations sont supposées petites (déplacements des points petits devant les dimensions de la poutre et de la section). Les déplacements d’une section droite peuvent être représentés par un torseur des petits déplacements.
Résistance des matériaux
Sollicitation de traction
L
O
G
B
R
(S)
p0
A
BA
x
sx
sy
szz
y
F
F
Illustrations
teC)x,M(C
Définition
0M
xNR
G
FF1/2G
t
s1/21E/2Eint
Hypothèse
ssxs x
SN
x)x,M(CExpression de la contrainte
ESN
Edxdu x
x
Allongement relatif
Cas particulier : poutre droite soumise à deux forces opposées, de section constante
L BA x
F
F
ESL
FdxESF
)A(u)B(uduLL
0
B
A
A B
(S)
(P)
E1
E2
G
sxn
N
MI
(S) )x,M(C
sx
sy
Résistance des matériaux
Sollicitation de torsion Illustration
Définition
Hypothèse
Expression de la déformation
Poutre droite, de section constante, sollicitée en torsion par deux couples opposés
s1/2Gt
1/21E/2Eint
xtMM
0R
G
FF
z
dxd
Gz)x,M(C zx
A B
(S)
(P)
E1
E2
G
sxn
tM
L Ød
BA
CC
G0 (S0)
(S)
MG
M0 z
x
y
M
G
)x,M(C
z
y
z
IM
zdxd
Gz)x,M(CG
tzx
Répartition de contrainte
Gt
L
0 G
tB
A GIL
MdxGIM
)A()B(d
L BA x
C
C
Cas particulier
Résistance des matériaux
Sollicitation de Flexion simple
Définition
Hypothèse
Expression de la déformation
Répartition de contrainte
Cas particulier
AB
(S)
(P)
E1E2
G
T
fM
sxn
sz
sy
'R1
R1
yx
ssxs x
'R1
R1
Eyx)x,M(C
MI
(S) y
)x,M(C
sx
sy
s
Gz
zssxs xy
IfM
x'R
1R1
Eyx)x,M(CGz
z
EIfM
'R1
R1
64D
4R
I44
Gz
Moment quadratique Section circulaire ØD:
Section rectangulaire b x h :12bh
I3
Gz
L
B(S)
G
Ay = f()
x
y
Déformée en flexion d’une poutre initialement droite :
Gz
z
EIfM
)(''f
sz1/2Gt
sy1/21E/2Eint
zfMM
yTR
G
FF
Deux constantes d’intégration, déterminées par les conditions de liaison.
Résistance des matériaux
Essai de traction
Contrainte normale (N/mm²)
Allongement relatif
Rm
Rr
Re
A
BC
D
ERupture
permanent
H
K
S0
L
F
F
• Re : limite élastique• Rr : limite de rupture• Rm : Limite mécanique
²)mm( entaille'l de droit au Section)J( absorbée Energie
K Carré 10 x 10
Entaille 5 x 2
Essai de résilience (résistance aux chocs)
Essais de dureté
Ød
Essai Brinell
Matériaux de faible dureté
Essai Vickers
Matériaux de dureté moyenne
F
a1 x a2
F
Matériaux de grande dureté
Essai Rockwell
0F
F
0F
Enfoncement e
• de la nature et des dimensions de la discontinuité (rainure, gorge, épaulement…)• de la sollicitation (traction, torsion, flexion).
Résistance des matériaux
Concentration de contrainte
Lorsqu’une poutre possède une discontinuité (de géométrie ou de matériau) , il se produit un phénomène de «concentration de contrainte». Au voisinage de la discontinuité, la contrainte maximale est supérieure à la contrainte nominale calculée avec les outils de la RdM.
Définition
La contrainte maxi est déterminée en multipliant la contrainte nominale calculée par la RdM par un coefficient Kt qui dépend :
Calcul de la contrainte maxi «réelle»
nominaletimax K
Les valeurs de Kt,déterminées expérimentalement, sont extraites de tableaux ou abaques.
C’est tout pour aujourd’hui…