:

:

𝑢(𝑥,𝑦) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦

:

(𝑥1,𝑦1) , (𝑥2,𝑦2) , (𝑥3,𝑦3)

:

𝑢1(𝑥, 𝑦) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑦1

𝑢2(𝑥, 𝑦) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥2 + 𝑎2𝑦2

𝑢3(𝑥, 𝑦) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥3 + 𝑎2𝑦3

1

1 𝑥1 𝑦111

𝑥2𝑥3

𝑦2𝑦3

𝑎0

𝑎1

𝑎2

=

𝑢1

𝑢2

𝑢3

𝑎𝑖 :

𝑎0 =1

2𝐴[𝑢1(𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2) + 𝑢2(𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3) + 𝑢3(𝑥1𝑦2 −

𝑥2𝑦1)]

:انر ذأخز انشكم انصفف انران

2

𝑎1 =1

2𝐴[𝑢1(𝑦2 − 𝑦3) + 𝑢2(𝑦3 − 𝑦1) + 𝑢3(𝑦1 − 𝑦2)]

𝑎2 =1

2𝐴[𝑢1(𝑥3 − 𝑥2) + 𝑢2(𝑥1 − 𝑥3) + 𝑢3(𝑥2 − 𝑥1)]

𝐴 :

𝐴 =1

2 𝑑𝑒𝑡

1 𝑥1 𝑦111

𝑥2𝑥3

𝑦2𝑦3

=

=1

2[(𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2) + (𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3) + (𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1)

3

انر أعا ك انرؼثش ػا تؼذ انرجغ تذالنح ذاتغ :انشكم انر ركشاا عاتقا تانشكم

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑁1𝑢1 + 𝑁2𝑢2 + 𝑁3𝑢3

𝑁1 =1

2𝐴[(𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2) + (𝑦2 − 𝑦3)𝑥 + (𝑥3 − 𝑥2)𝑦]

𝑁2 =1

2𝐴[(𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3) + (𝑦3 − 𝑦1)𝑥 + (𝑥1 − 𝑥3)𝑦]

𝑁3 =1

2𝐴[(𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1) + (𝑦1 − 𝑦2)𝑥 + (𝑥2 − 𝑥1)𝑦]

4

𝑁1:تانشكمانر غرطغ كراترا =𝛼1:𝛽1𝑥 :𝛾1𝑦

2𝐴

𝑁2 =𝛼2 + 𝛽2𝑥 + 𝛾2𝑦

2𝐴

𝑁3 =𝛼3 + 𝛽3𝑥 + 𝛾3𝑦

2𝐴

: دس أ 𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 , 𝛽1 = (𝑦2 − 𝑦3) , 𝛾1 = (𝑥3 − 𝑥2) 𝛼2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 , 𝛽2 = (𝑦3 − 𝑦1) , 𝛾2 = (𝑥1 − 𝑥3) 𝛼3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 , 𝛽3 = (𝑦1 − 𝑦2) , 𝛾3 = (𝑥2 − 𝑥1)

5

يالدظج

ايح

6

ذكها ػ اإلدذاشاخ انطثؼح كع يا دسعا إدذاشاخ انغادح

ξ1 = A1/A , 𝜉2 = 𝐴2/𝐴 , 𝜉3 = 𝐴3/𝐴 𝐴,𝐴1,𝐴2,𝐴3

7

(: 1)ػذ انؼقذج 𝜉1 = 1 𝜉2 = 𝜉3 = 0

(: 2)ػذ انؼقذج 𝜉2 = 1 𝜉1 = 𝜉3 = 0

(: 3)ػذ انؼقذج 𝜉3 = 1 𝜉1 = 𝜉2 = 0

انر ذذقق

والسؤال ملاذا إحداثيات املساحة ؟

8

غرطغ ي خالل ز اإلدذاشاخ إجاد ذقاتم ت جهح اإلدذاشاخ انؼح انجهح انجذذج يا ذرض ت ز انجهح أ يرغشاذا

0 ≤ 𝜉𝑖 ≤ . يشذثطح تكم ػصش 1

9

انر ك أ انذصل ػها ي خالل انؼالقاخ

𝜉1𝜉2𝜉3

=(1/2 A)

𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 𝑦23 𝑥32𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 𝑦31 𝑥13𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 𝑦12 𝑥21

1𝑥𝑦

:أ دس

2𝐴 =1 1 1𝑥1 𝑥2 𝑥3𝑦1 𝑦2 𝑦3

10

تانران غرطغ انرؼثش ػ دال انشكم تذالنح إدذاشاخ انغادح

:ال غ أ دال انشكم ذذقق𝑁1 + 𝑁1 + 𝑁3 = 1

𝜉1: كا أ + 𝜉2 + 𝜉3 = 1

𝜉1 =𝑁1: األغة أ ك ػذ انؼقذ 𝑁2 = 𝜉2

𝑁3 = 𝜉3

11

:ف دال أخزا ػصش انصهس تغد قاغ فإ

1 2

3

4

5 6

𝜉1 = 1 , 𝜉2 = 𝜉3 = 0

𝜉3 = 1 , 𝜉1 = 𝜉2 = 0

𝜉2 = 1 , 𝜉1 = 𝜉3 = 0

0.5 0.5

𝜉2 = 0 , 𝜉1 = 𝜉3 = 0.5

𝜉1 = 0 , 𝜉2 = 𝜉3 = 0.5

𝜉3 = 0 , 𝜉1 = 𝜉2 = 0.5

12

𝐴1

3

1 2

𝐴2

𝐴3

0.5

𝜉1 = 0, 𝜉2 = 𝜉3 = 0.5

عظخ األيش ػذ انؼقذ اإلظافح

تفظ األعهب تاق انؼقذ

13

:دال انشكم كا قها إا ػذ انقاغ ذغا إدذاشاخ انغادح أ 𝑁𝑖 = 𝜉𝑖 𝑖 = 1,2,3

:عفشض أ , نك ػذ جد انؼقذ اإلظافح ذراض إن ػم أكصش 𝑁𝑖 = 𝑐𝑖𝜓(𝜉𝑖 , 𝜉𝑗)

انر جة أ ذؼذو ف تاق ػقذ 𝑁1ػذ انؼقذج األن شذ دغاب ذؼذو ػذ 𝜉1تالدظح أ ,انؼصش ذغا انادذ ف انؼقذج األن

4,6ػذ انؼقذ 0.5 ذغا 𝜉1فذراض إن انؼايم 2,3,5انؼقذ 𝜉1)فذراض إن انؼايم − :تانران (0.5

𝑁1 = 𝑐1𝜉1(𝜉1 − 0.5)

14

:غرفذ ي ك انذانح ذغا انادذ ػذ انؼقذج األن 𝑐1نرؼ انصاتد 1 = 𝑐1 1 1 − 0.5 ⇒ 𝑐1 = 2

أ أ

𝑁1 = 2𝜉1(𝜉1 − 0.5)

تانصم جذ 𝑁2 = 2𝜉2(𝜉2 − 0.5) 𝑁3 = 2𝜉3(𝜉3 − 0.5)

15

انذانح انر 𝑁4كا أ ػذ انؼقذج انشاتؼح ذراض إن جة أ

, ذؼذو ػ انؼقذ ذغا انادذ ػذ انؼقذج انشاتؼح تالدظح ا

:فك 𝜉2أ 𝜉1ؼذو أيا 1,2,3,5,6ػذ انؼقذ

𝑁4 = 𝑐4𝜉1𝜉2

:أعا تاالعرفادج ي كا ذغا انادذ ػذ انؼقذج انشاتؼح

𝑁4 = 𝑐4𝜉1𝜉2 ⟹ 1 = 𝑐4 0.5 0.5 ⟹ 𝑐4 = 4

16

: أ أ 𝑁4 = 4𝜉1𝜉2

:تانصم جذ أ

𝑁5 = 4𝜉3𝜉2 𝑁6 = 4𝜉1𝜉3

17

ف دال جد قػ إظافح أخش ن رغش االيش كصشا

1 4 2

5 6

3

𝜉1 = 0 , 𝜉2 = 𝜉3 = 0.5 𝜉2 = 0 , 𝜉1 = 𝜉3 = 0.5

𝜉3 = 0 , 𝜉1 = 𝜉2 = 0.5

7 8

9

𝜉3 = 0.5, 𝜉2 = 𝜉1 = 0.25

𝜉2 = 0.5, 𝜉3 = 𝜉1 = 0.25 𝜉1 = 0.5, 𝜉2 = 𝜉3 = 0.25

18

أعا جة غشح ذغاؤل جذذ كف رؼايم ,𝜉1يغ شالز إدذاشاخ 𝜉2, 𝜉3 ذ رؼايم يغ

.يغأنح تؼذ

أ زا اإلشكال تغػ تالدظح أ دال انشكم :تاألصم ذرثغ نرغش فقػ

𝑁1 = 2𝜉1(𝜉1 − 0.5)

𝑁2 = 2𝜉2 𝜉2 − 0.5

𝑁3 = 2𝜉3(𝜉3 − 0.5)

𝑁4 = 4𝜉1𝜉2

𝑁5 = 4𝜉3𝜉2

𝑁6 = 4𝜉1𝜉3

19

أن هرا األمر قودنا إىل أن نتعامم بشكم تاو مع إحداثني دون أن كون هناك أي

إشكال يف انتعامم حتى يف انعنصر املستطه إذ سنتعامم مع إحداثني خمتهفني

𝜉, 𝜂 .

20

: األيش ن خرهف ف دانح ػصش انغرطه تأستغ قاغ 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑥𝑦

:رذقق ػذ انؼقذ

𝑢1 𝑥, 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑦1 + 𝑎3𝑥1𝑦1 𝑢2 𝑥, 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥2 + 𝑎2𝑦2 + 𝑎3𝑥2𝑦2 𝑢3 𝑥, 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥3 + 𝑎2𝑦3 + 𝑎3𝑥3𝑦3 𝑢4 𝑥, 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥4 + 𝑎2𝑦4 + 𝑎3𝑥4𝑦4

21

:انر ذكرة تانشكم

𝑢1𝑢2𝑢3𝑢4

=

1 𝑥1 𝑦1 𝑥1𝑦11 𝑥2 𝑦2 𝑥2𝑦211

𝑥3𝑥4

𝑦3𝑦4

𝑥3𝑦3𝑥4𝑦4

𝑎0𝑎1𝑎2𝑎3

𝑛1(𝑥1, 𝑦1)

𝑛4(𝑥1, 𝑦4)

𝑛3(𝑥2, 𝑦4)

𝑛2(𝑥2, 𝑦1)

:نك

22

:تذم انجهح انغاتقح يشاػاج انشكم ذرؼ دال انشكم ػه انذ انران

𝑁1 =(𝑥 − 𝑥2)(𝑦 − 𝑦4)

(𝑥1 − 𝑥2)(𝑦1 − 𝑦4)

𝑁2 =(𝑥 − 𝑥1)(𝑦 − 𝑦4)

(𝑥2 − 𝑥1)(𝑦1 − 𝑦4)

𝑁3 =(𝑥 − 𝑥1)(𝑦 − 𝑦1)

(𝑥2 − 𝑥1)(𝑦4 − 𝑦1)

𝑁4 =(𝑥 − 𝑥2)(𝑦 − 𝑦1)

(𝑥1 − 𝑥2)(𝑦4 − 𝑦1)

23

غرطغ ي خالل إدذاشاخ انغادح قم أ شكم ي

اإلدذاشاخ انؼح إن إدذاشاخ

انغادح

24

25

, 𝜉 تانران ذك دال انشكم تذالنح 𝜂 :

𝑁1 𝜉, 𝜂 =1

41 − 𝜉 1 − 𝜂

𝑁2 𝜉, 𝜂 =1

41 + 𝜉 1 − 𝜂

𝑁3 𝜉, 𝜂 =1

41 + 𝜉 1 + 𝜂

𝑁4 𝜉, 𝜂 =1

41 − 𝜉 1 + 𝜂

26

:ػثاسج انذم ي انشكم

𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑗

𝑚

𝑗<1

𝑢𝑗

.ػذد انؼقذ 𝑚دس أ تفظ األعهب اقش يغأنح انؼصش انغرطه ترغغ ػقذ

27

28

:دال انشكم ػذئز ذك

𝑁1 𝜉, 𝜂 =1

4𝜉𝜂 1 − 𝜉 1 − 𝜂

𝑁2 𝜉, 𝜂 =1

4𝜉𝜂 1 + 𝜉 1 − 𝜂

𝑁3 𝜉, 𝜂 =1

4𝜉𝜂 1 + 𝜉 1 + 𝜂

𝑁4 𝜉, 𝜂 =1

4𝜉𝜂 1 − 𝜉 1 + 𝜂

29

𝑁5 𝜉, 𝜂 = −1

2𝜂 1 − 𝜉2 1 − 𝜂

𝑁6 𝜉, 𝜂 =1

2𝜉 1 + 𝜉 1 − 𝜂2

𝑁7 𝜉, 𝜂 =1

2𝜂 1 − 𝜉2 1 + 𝜂

𝑁8 𝜉, 𝜂 = −1

2𝜉 1 − 𝜉 1 − 𝜂2

𝑁9 𝜉, 𝜂 = 1 − 𝜉

2 1 − 𝜂2

30

31

32

ثق تا كفح إجاد انشكم انصفف نهصل إن نزنك , انذم انائ

عغرؼشض دم يؼادنح ذفاظهح جضئح ي انشذثح انصاح :تشكها انؼاو

𝜕

𝜕𝑥𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕

𝜕𝑦𝛼𝑦𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝛽𝑢 = 𝑓

ذصم ػه انصغح , كا ركشا عاتقا انصغح انقح انعؼفح

:تعشب انطشف تراتغ ياعة انكايهح ػه يطقح انذم

𝑤𝜕

𝜕𝑥𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕

𝜕𝑦𝛼𝑦𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝛽𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑤𝑓 𝑑𝑥𝑑y

(∗) 33

: دس أ 𝜕

𝜕𝑥𝑤𝛼𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥=𝜕𝑤

𝜕𝑥𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑤

𝜕

𝜕𝑥(𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥)

:تانران

𝑤𝜕

𝜕𝑥𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥=𝜕

𝜕𝑥𝑤𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥−𝜕𝑤

𝜕𝑥𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥

=𝜕

𝜕𝑥𝑤𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥− 𝛼𝑥𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

:تانصم

𝑤𝜕

𝜕𝑦𝛼𝑦𝜕𝑢

𝜕𝑦=𝜕

𝜕𝑦𝑤𝛼𝑦𝜕𝑢

𝜕𝑦− 𝛼𝑦𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

34

:جذ (∗)تانرثذم ف

𝜕

𝜕𝑥𝑤𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕

𝜕𝑦𝑤𝛼𝑦𝜕𝑢

𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 −

(𝛼𝑥𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝛼𝑦𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝛽𝑢𝑤 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

= 𝑤𝑓 𝑑𝑥𝑑y

(∗∗) 35

غش ( صغح ) ذراض إن يثشح (∗∗)إلذاو انركايم انغاتق

(:غش غاص)

Ω ∈ 𝑅2 يطقح يذطاΓ , 𝑛(𝑛𝑥 , 𝑛𝑦) شؼاع ادذ

Γاناظى ػه :فإ

𝛻.𝐴 𝑑𝐴Ω

= 𝐴 . 𝑛𝑑𝑙Γ

:تشكم أتغػ

(𝜕𝐴𝑥𝜕𝑥 +𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐴𝑥𝑛𝑥 + 𝐴𝑦𝑛𝑦 𝑑𝑙 3

6

𝐴𝑥تظغ = 𝑤𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝐴𝑦 = 𝑤𝛼𝑦𝜕𝑢

𝜕𝑦

: جذ

(𝜕

𝜕𝑥(𝑤𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥) +𝜕

𝜕𝑦𝑤𝛼𝑦𝜕𝑢

𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 =

(𝑤𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥)𝑛𝑥 + (𝑤𝛼𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦)𝑛𝑦 𝑑𝑙

37

:جذ أ ∗∗ترؼط انؼالقح انغاتقح ف

− (𝛼𝑥𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝛼𝑦𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝛽𝑢𝑤 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

= 𝑤𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦 − (𝑤𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥)𝑛𝑥 + (𝑤𝛼𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦)𝑛𝑦 𝑑𝑙

=𝑤𝑖 : ك دال انشكم ذصهخ أ ذك دال ص فغعغ 𝑁𝑖

:نذا انذم انرقشث

𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑗(𝑥, 𝑦)𝑢𝑗

𝑚

𝑗<1

38

:تانرؼط ف انشكم األخش جذ أ

− (𝛼𝑥𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝜕 𝑁𝑗 𝑥, 𝑦 𝑢𝑗𝑚𝑗<1

𝜕𝑥+𝛼𝑦𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦

𝜕( 𝑁𝑗(𝑥, 𝑦)𝑢𝑗)𝑚𝑗<1

𝜕𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝛽𝑁𝑖 𝑁𝑗(𝑥, 𝑦)𝑢𝑗

𝑚

𝑗<1

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑁𝑖𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦

− (𝑁𝑖𝛼𝑥𝜕

𝜕𝑥( 𝑁𝑗(𝑥, 𝑦)𝑢𝑗

𝑚

𝑗<1

)𝑛𝑥 + (𝑁𝑖𝛼𝑦𝜕

𝜕𝑦( 𝑁𝑗(𝑥, 𝑦)𝑢𝑗

𝑚

𝑗<1

)𝑛𝑦 𝑑𝑙

𝑖 = 1,2, . . . , 𝑚

.ػذد انؼقذ 𝑚دس

39

: تاإلصالح جذ

− [𝛼𝑥𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥 ( 𝑢𝑗

𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑥) + 𝛼𝑦

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦( 𝑢𝑗

𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑦)] 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑚

𝑗<1

𝑚

𝑗<1

+ 𝛽𝑁𝑖 𝑁𝑗𝑢𝑗

𝑚

𝑗<1

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑁𝑖𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦 −

− 𝑁𝑖 𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑛𝑥 + 𝛼𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝑛𝑦 𝑑𝑙 ; 𝑖 = 1,2, . . . 𝑚

: انز غرطغ كراتر تانشكم انصفف انران

40

𝑀11 𝑀12 … 𝑀1𝑛𝑀21 𝑀22 … 𝑀2𝑛⋮𝑀𝑛1

⋮𝑀𝑛2

⋱…⋮𝑀𝑛𝑛

𝑢1𝑢2⋮𝑢𝑛

+

𝑇11 𝑇12 … 𝑇1𝑛𝑇21 𝑇22 … 𝑇2𝑛⋮𝑇𝑛1

⋮𝑇𝑛2

⋱…⋮𝑇𝑛𝑛

𝑢1𝑢2⋮𝑢𝑛

=

=

𝑓1𝑓2⋮𝑓𝑛

+

𝑝1𝑝2⋮𝑝𝑛

:دس أ

𝑀𝑖𝑗 = − 𝛼𝑥𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑥+ 𝛼𝑦

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦

𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

41

𝑇𝑖𝑗 = 𝛽𝑁𝑖𝑁𝑗𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑓𝑖 = 𝑁𝑖 𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑝𝑖 = − 𝑁𝑖 𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑛𝑥 + 𝛼𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝑛𝑦 𝑑𝑙

: ك أ ذصم ػه انشكم انطهب إرا اػرثشا أ K𝑖𝑗 = 𝑀𝑖𝑗 + 𝑇𝑖𝑗

𝑏𝑖 = 𝑓𝑖 + 𝑝𝑖

42

:فك

𝐾11 𝐾12 … 𝐾1𝑛𝐾21 𝐾22 … 𝐾2𝑛⋮𝐾𝑛1

⋮𝐾𝑛2

⋱…⋮𝐾𝑛𝑛

𝑢1𝑢2⋮𝑢𝑛

=

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

43

− [𝛼𝑥𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥 ( 𝑢𝑗

𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑥) + 𝛼𝑦

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦( 𝑢𝑗

𝜕𝑁𝑗

𝜕𝑦)] 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑚

𝑗<1

𝑚

𝑗<1

+ 𝛽𝑁𝑖 𝑁𝑗𝑢𝑗

𝑚

𝑗<1

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑁𝑖𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦 −

− 𝑁𝑖 𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑛𝑥 + 𝛼𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝑛𝑦 𝑑𝑙 ; 𝑖 = 1,2, . . . 𝑚

44

:تانؼدج إن انغأنح ف انذاظشج انغاتقح

𝛻2 𝑢 =𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 1 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

)ك دس إ انششغ اإلظافح ششغ يا 𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑖= 0)

عادح انرؼشف يظذح تانشكم دس ذظش يقغح إن ػقذ أعاعح يشقح تانرشقى ذغغفا ػاصش شا

كا ظش ذشقا انذه تانغثح نكم ػصش , انؼى

45

46

e2

e4

9

6

3 2 1

5

3

2 1 1 2

3 1

2

3

1 2

3

4

7 8

e1 e3

e5 e6 e7

e8

1

1

1 1

2 2 2

2

3

3

3 3

: ي أجم انؼصش األل

𝑛3(0,0)

𝑛2(0, 0.5) 𝑛1(0.5,0.5)

𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 = 0 𝛼2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 = 0 𝛼3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = 0.25 𝛽1 = (𝑦2 − 𝑦3) = 1/2 𝛽2 = 𝑦3 − 𝑦1 = −0.5 𝛽3 = 𝑦1 − 𝑦2 = 0 𝛾1 = (𝑥3 − 𝑥2) = 0 𝛾2 = (𝑥1 − 𝑥3) = 1/2 𝛾3 = 𝑥2 − 𝑥1 = −1/2

47

𝐴 =1

2𝑑𝑒𝑡1 0.5 0.51 0 0.51 0 0

= 1/8

𝑁𝑖: دال انشكم =1

2𝐴(𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑥 + 𝛾𝑖𝑦)

𝑁1 = 2𝑥 , 𝑁2 = 2𝑦 − 2𝑥 , 𝑁3 = 1 − 2𝑦

𝐾11 = − [ 𝜕𝑁1𝜕𝑥

𝜕𝑁1𝜕𝑥+𝜕𝑁1𝜕𝑦

𝜕𝑁1𝜕𝑦 ] 𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝑁1𝑁1𝑑𝑥𝑑𝑦

:يصففح انصالتح نهؼصش

48

49

= − [ 2 2 + 0 + 0 𝑑𝑦]𝑑𝑥 +0.5

𝑥

0.5

0

[ 2𝑥 2𝑥 𝑑𝑦]𝑑𝑥 = −23

48

0.5

𝑥

0.5

0

, 𝐾13 = 𝐾31 =1

96 , 𝐾21 =

49

96 , 𝐾22 = −

47

48

, 𝐾23 = 𝐾32 =49

96 ,𝐾33 = −

11

24𝐾12 =

49

96

𝐾1 =

−23

48

49

96

1

9649

96−47

48

49

961

96

49

96−11

24

𝑏𝑖: يصففح انذنح = 𝑓𝑖 + 𝑝𝑖

𝑏1 = 𝑁1𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑦 −

− 𝑁1 𝛼𝑥𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑛𝑥 + 𝛼𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝑛𝑦 𝑑𝑙

50

𝑝𝑖: تذغة انششغ انذذح فإ = :تانران 0

𝑏1 = [ 𝑁1𝑓 𝑑𝑦]𝑑𝑥 =1

24

0.5

𝑥

0.5

0

𝑏2 = 𝑏3 =1

24

:انؼصش انصا

𝑛1(0,0) 𝑛2(0.5,0)

𝑛3(0.5,0.5)

𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 = 1/4 𝛼2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 = 0 𝛼3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = 0 𝛽1 = (𝑦2 − 𝑦3) = −1/2 𝛽2 = (𝑦3 − 𝑦1) = 1/2 𝛽3 = (𝑦1 − 𝑦2) = 0 𝛾1 = (𝑥3 − 𝑥2) = 0 𝛾2 = (𝑥1 − 𝑥3) = −1/2 𝛾3 = (𝑥2 − 𝑥1) = 1/2

51

:ؼض ا ف دال انشكم

𝑁1 =1/4 − 1/2𝑥

2/8= 1 − 2𝑥

𝑁2 =1/2𝑥 − 1/2𝑦

2/8= 2𝑥 − 2𝑦

𝑁3 = 1/2𝑦

2/8= 2𝑦 :يصففح انصالتح نهؼصش

𝐾11 = − [ 𝜕𝑁1𝜕𝑥

𝜕𝑁1𝜕𝑥+𝜕𝑁1𝜕𝑦

𝜕𝑁1𝜕𝑦 ] 𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝑁1𝑁1𝑑𝑥𝑑𝑦

52

𝐾11 = − [ [𝜕𝑁1𝜕𝑥

𝜕𝑁1𝜕𝑥+𝜕𝑁1𝜕𝑦

𝜕𝑁1𝜕𝑦 ]𝑑𝑦]𝑑𝑥

𝑦<𝑥

𝑦<0

0.5

0

+ [ 𝑁1𝑁1𝑑𝑦]𝑑𝑥𝑦<𝑥

𝑦<0

0.5

0

53

𝐾2 =

−11

24

49

96

1

9649

96−47

48

49

961

96

49

96−23

48

: يصففح انذنح

𝑏2 =

1

241

241

24

: ي أجم انؼصش انصانس

𝑛3(0.5,0)

𝑛2(0.5,0.5) 𝑛1(1,0.5)

𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 = −0.25 𝛼2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 = 0.25 𝛼3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = 0.25

𝛽1 = (𝑦2 − 𝑦3) = 1/2 𝛽2 = (𝑦3 − 𝑦1) = −1/2 𝛽3 = (𝑦1 − 𝑦2) = 0

𝛾1 = (𝑥3 − 𝑥2) = 0 𝛾2 = (𝑥1 − 𝑥3) = 1/2 𝛾3 = (𝑥2 − 𝑥1) = −1/2

54

𝑁1 =−14 + 1/2𝑥

2/8= −1 + 2𝑥

𝑁2 =1/4 − 1/2𝑥 + 1/2𝑦

2/8= 1 − 2𝑥 + 2𝑦

𝑁3 =1/4 − 1/2𝑦

2/8= 1 − 2𝑦

:دال انشكم

55

𝐾3 =

−23

48

49

96

1

9649

96−47

48

49

961

96

49

96−23

48

𝑏3 =

1

241

241

24

𝐾11 = − [ [𝜕𝑁1𝜕𝑥

𝜕𝑁1𝜕𝑥+𝜕𝑁1𝜕𝑦

𝜕𝑁1𝜕𝑦 ]𝑑𝑦]𝑑𝑥

𝑦<1/2

𝑦<𝑥;1/2

1

0.5

+ [ 𝑁1𝑁1𝑑𝑦]𝑑𝑥𝑦<1/2

𝑦<𝑥;1/2

1

0.5

:ي أجم انؼصش انشاتغ

𝑛1(0.5,0) 𝑛2(1,0)

𝑛3(1,0.5)

𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 = 1/2 𝛼2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 = −1/4 𝛼3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = 0

𝛽1 = (𝑦2 − 𝑦3) = −1/2 𝛽2 = (𝑦3 − 𝑦1) = 1/2 𝛽3 = (𝑦1 − 𝑦2) = 0

𝛾1 = (𝑥3 − 𝑥2) = 0 𝛾2 = (𝑥1 − 𝑥3) = −1/2 𝛾3 = (𝑥2 − 𝑥1) = 1/2

56

:ذك تزنك دال انشكم 𝑁1 = 2 − 2𝑥

𝑁2 = −1 + 2𝑥 − 2𝑦 𝑁3 = 2𝑦

57

𝐾4 =

−23

48

49

96

1

9649

96−47

48

49

961

96

49

96−23

48

𝑏4 =

1

241

241

24

: ي أجم انؼصش انخايظ 𝑛1(0,1)

𝑛2(0,0.5)

𝑛3(0.5,1)

𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 = −0.25 𝛼2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 = 0.5 𝛼3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = 0

𝛽1 = (𝑦2 − 𝑦3) = −0.5 𝛽2 = (𝑦3 − 𝑦1) = 0 𝛽3 = (𝑦1 − 𝑦2) = 0.5

𝛾1 = (𝑥3 − 𝑥2) = 0.5 𝛾2 = (𝑥1 − 𝑥3) = −0.5 𝛾3 = (𝑥2 − 𝑥1) = 0

58

:ذك تزنك دال انشكم 𝑁1 = −1 − 2𝑥 + 2𝑦 𝑁2 = 2 − 2𝑦 𝑁3 = 2𝑥

59

𝐾5 =

−47

48

49

96

49

9649

96−23

48

1

9649

96

1

96−23

48

𝑏5 =

1

241

241

24

: انؼصش انغادط

𝑛1(0,0.5) 𝑛2(0.5,0.5)

𝑛3(0.5,1)

𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 = 0.25 𝛼2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 = 0.25 𝛼3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = −0.25

𝛽1 = (𝑦2 − 𝑦3) = −0.5 𝛽2 = (𝑦3 − 𝑦1) = 0.5 𝛽3 = (𝑦1 − 𝑦2) = 0

𝛾1 = (𝑥3 − 𝑥2) = 0 𝛾2 = (𝑥1 − 𝑥3) = −0.5 𝛾3 = (𝑥2 − 𝑥1) = 0.5

: انؼصش انغادط

60

:ذك تزنك دال انشكم 𝑁1 = 1 − 2𝑥 𝑁2 = 1 + 2𝑥 − 2𝑦 𝑁3 = −1 + 2𝑦

61

𝐾6 =

−23

48

49

96

1

9649

96−47

48

49

961

96

49

96−23

48

𝑏6 =

1

241

241

24

𝑛1 :انؼصش انغاتغ 0.5,1

𝑛2 0.5,0.5

𝑛3 1,1

𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 = 0 𝛼2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 = 0. 5 𝛼3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = −0.25

𝛽1 = (𝑦2 − 𝑦3) = −0.5 𝛽2 = (𝑦3 − 𝑦1) = 0 𝛽3 = (𝑦1 − 𝑦2) = 0.5

𝛾1 = (𝑥3 − 𝑥2) = 0.5 𝛾2 = (𝑥1 − 𝑥3) = −0.5 𝛾3 = (𝑥2 − 𝑥1) = 0

62

:ذك تزنك دال انشكم 𝑁1 = −2𝑥 + 2𝑦 𝑁2 = 2 − 2𝑦 𝑁3 = −1 + 2𝑥

63

𝐾7 =

−47

48

49

96

49

9649

96−23

48

1

9649

96

1

96−23

48

𝑏7 =

1

241

241

24

أخشا ي أجم انؼصش انصاي

𝑛1(0.5,0.5) 𝑛2(1,0.5)

𝑛3(1,1)

𝛼1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 = 1/2 𝛼2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 = 0 𝛼3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = −1/4

𝛽1 = (𝑦2 − 𝑦3) = −1/2 𝛽2 = (𝑦3 − 𝑦1) = 1/2 𝛽3 = (𝑦1 − 𝑦2) = 0

𝛾1 = (𝑥3 − 𝑥2) = 0 𝛾2 = (𝑥1 − 𝑥3) = −1/2 𝛾3 = (𝑥2 − 𝑥1) = 1/2

64

:ذك دال انشكم 𝑁1 = 2 − 2𝑥 𝑁2 = 2𝑥 − 2𝑦 𝑁3 = −1 + 2𝑦

65

𝐾8 =

−23

48

49

96

1

9649

96−47

48

49

961

96

49

96−23

48

𝑏8 =

1

241

241

24

:ترجغ انصففاخ تانذم جذ 𝑢1 = 0. 27 𝑢2 ≈ 0.315789 𝑢3 ≈ −0.384556 𝑢4 ≈ −0.26794 𝑢5 ≈ 0.34256 𝑢6 ≈ −0.42673 𝑢7 ≈ 0.325648 𝑢8 = 0.45289 𝑢9 ≈ −0.24538

66

:أخشا تانرؼط ف ػثاسج انذم

𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑗

𝑚

𝑗<1

𝑢𝑗

𝑢 𝑥, 𝑦 = [2𝑥 0.34256 + 2𝑦 − 2𝑥 −0.26794 + 1 − 2𝑦 0.272727 + 1 − 2𝑥 0.272727 + 2𝑥 − 2𝑦 0.315789 + 2𝑦 0.34256

+ 2𝑥 − 1 −0.42673 + 1 − 2𝑥 + 2𝑦 0.34256 + 1 − 2𝑦 0.315789 + 2 − 2𝑥 0.315789 + 2𝑥 − 2𝑦 + 1 −0.384556 + 2𝑦 −0.42673 + 2𝑦 − 2𝑥 − 1 0.325648 + 2 − 2𝑦 −0.26792 + 2𝑥 0.45289 + 1 − 2𝑥 −0.26794 + 1 + 2𝑥 − 2𝑦 0.34256 + 2𝑦 − 1 0.45289 + 2𝑦 − 2𝑥 0.45289 + 2 − 2𝑦 0.34256 + 2𝑥 − 1 −0.24538 + 2 − 2𝑥 0.34256 + 2𝑥 − 2𝑦 −0.42673 + (2𝑦 − 1)(−0.24538)]

67

:تانران فإ

𝑢 𝑥, 𝑦 = 0.93259 𝑦 − 3.09177 𝑥 + 0.26352

68