ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0>...

23
א א و א א א Cartesian Product of sets and Relations

Upload: others

Post on 16-Jul-2020

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

� �

���א�����א��� �

� ������א��א�����א�������������� ����و� �

Cartesian Product of sets and Relations

� �

Page 2: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

80

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

pbÓýÈÛa@ë@pbÇìàvàÜÛ@ïm‰bØí†Ûa@lŠšÛa@ @Cartesian product of sets and Relations

�א���א� �

����� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א��������W� �

�E/&��010א��&�%-,+F%(��وא�)'�א����&�%$�א�زوאج�א •�K

K���9م�א���67وא�67&/�א�45&3-� •

�K?,��3<����0و=>4&��א�;�&�: •

I3M1@Hò߆Ôß@ @��Bوع�BD;�������א���B09��Bوא�����BC-3א�)'�א����&�%$�وא��/&67��Aא �@��&/�א ���

���/&-B@&�א���BB���B�&���K����F5Bא���GBB9��Hع��B@� א�א�BB���B-0ًא���BBJKو�/&��BB@� א�ABB������،�B� ;M א�N;B� ��B�א��BOد�א-P�/&-B@&�دא�س�א��&Qض�;��Sא�������Bא�א����B���B��

����T&B(�Uوא�TBV�&��A�0;B���B;Oא��Bא�س���GB9��ABא (B&د�B���GB9�������Xא�א �@�Bع�א ��4;4&ول����ABB��&BB9-�Y��BB<�;א��ZBB0[K�SBB3\�א�&BB;4א��GBB9و��'&-;BB� BB��א��]��&BBC%�SBBא���-B�&�א�

�Kא��;&'�^7ل�د�א�;4&� �@��&/���א �� �

I3M2HÛakmŠ½a@xëŒ@@@ Binary �A��;B������^7ل�د�א&BC4�����$&�א�B�&� �H��GB�א��BOא�; �G-Bא�K�����&B���B[�K��B-50;��NBK=

�A�;BB2,3(و�(p ���- �-&�H�&ًBB-K�BB��،`�;BBC_ن���&BB4ن��=K�����a0-�;BBC��aBB[^�GBB����BBم�A���&;��،����b��0Cو��&ًB-��=0&����ن���O=x��،ن�����^cوא���b��0Cو��&ً-B�=�

y��،F�A��BB�&0���& BBC;�`�א�x, y�$%�&���BBא BBC;�`�א��BB;e�+�BB+�א�A���BBdא ;BBC��KE

Page 3: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

81

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

��fBBذ���BB�Kد�א�ول����BB 3�E����BBb��BBא��BBد��BB�Fم��;��BB-50א��x�����BB ��$K&BB5د�א��BBوא����BBbyGBBh�، �K������BBb�+אز�BB��iBB^�GBB���fBBذ���BB����BB4א���BB[�4א��BB�y����BB5j�SBBم� 3����BBb��BBא��BBد����BB���BB4א���BB[�4א�x����BB5j�SBBو^BB^k�iBB���BBאز+��x�����BBbא��א6 ��2����bא��د�����;��ن��A��B��mP&B�%��[�KאB��aB[l$�א���B[�4א�y��������SBא��א6

���BBB[�4א���BB5jp�F���BBBD�BBBJK=F1� J3�KEو��o)BB��&BBBpK��BBB5j�SBBBא���BBB[�4ن�א�=�qBBBO7)2,3( ��5j�Sא��4]��א��$��rC-�)3,2(K

@ÝØ‘I3M1H@ @

),(5j�A�s�NK-��א���KY�[�4ل����0�ً& yx �����iB^�GB���$%�&Bد���`�;BC��H�&ً-K&-����b�+אز��yد��� ��4�x�F������Bb��Bא��4]��א���5j�Sא����Bو^]B^k�&ًB���x�E�،א��א6���BBb�+אز�BB�xد����BB ��BB4�y�F����BBb��BBא���BB[�4א���BB5j�SBBא����BB�-;�y�E�mP&BBא��א6

),(�Hא���BB[�4א���BB5j�SBBא����BB[�4אBB[l&ن yx�K&BB4��FBBVKد��و�BB��tYx���0BBC=ن�א��tא�و��BB)u אFא�ول�$hא�BBOUא�E�BB[�4 �),( yx د��BB�-BB04&�א�y���BB)u &���0BBC�

���BB-K&5א�F�$K&BBB5א��$hא�BBOUא�E��BB[�4 �),( yx�K��BBBJO7��mBB����j�SBBא���BB[�4ن�א�=��BBB5),( yx �$��rC-�Fم&��Nv���E�5j�Sא��4]��א��w�K),( xy�K�FVKد�=ن��K�&0u

),(�tY=ن�א��4]� yx x%�زوج��G�9&�����Nv&م�א- ��o [�K� ��m-[;CK��0&/�وyא�4&>��� ��o�&BCא��z,{א�H�&9-�Y�&KD=�Sא�4;&3\�א��G-B0%�،

Y�NBBK=��BB4ذא�BBu&ن��|x, y�BB�4������BBB0>�H�AA�$3&BB45ن�א�_BB��،),( yx ��0BBC�BBBBBBvزو&ً�BBBBBB)%�&ً�����H���BBBBBB-Oو��BBBBBB[�4��&ًBBBBBB-K&-��NBBBBBB -5j�ABBBBBB�sא و�`�;BBBBBBBCא��$BBBBBBB%�&���

F+,-%�&א��E���b�+אز���i^�G�����4�xא���B[�4א���B5j�SBא�BB�4��������K�}-Oyم�

Page 4: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

82

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

~i^و����b�+אز���^kx�4��4א���B�4�-;�&�mPאl]&ن���y��،��4]��א���5j�Sא��5j�Sא��4]��א�),( yxK� �

rBBBBBBK&uذא�Y�NBBBBBBK��),(و��BBBBBBB��NBBBBBBv&م��m-[;BBBBBBBCKא���BBBBBBBل� BA�;��BBBBBBB0>aن�&BBBBBBuو�BbAa ∈∈ ,��$BBB3&45ن�א�_BB��،),( ba �BBv0��زوBBBBC�&ً��BB)%�&ً�� BBB-5j�ABBB�sو�&ًBBBB-K&-��N

��������BB0yא�BB<&4���BB-5j�NB-��G;��$B%�&د���`�;BC��H���B-O�4]��و�A������Bdא��B ��$BBא���F���BBBbx�E���BB��0yא�BBB<&4و�B����$BBB� BB��א���BBdא�=�F���BBBbyE��BB3�4و��،

�������BBb�+אز�BB��iBB^�GBBB���BBB^kx���BB4���BBאز+�������BBbو^��BB4�a�~iBBא��BB�Ky����BB[�4م�),(א��4]��א���5j�Sא�,وج�א %�mP&B�;-���xBאl]&ن��b��4א��4]�� ba�Kد����BKא�و�B�

),(),(א�NBBK=�tY���&BBBDU��ABBא���9BBBC���BBJO7=ن abba BB��و�NBBvא��BBB0م ≠��K�ABB��&4�%�m-[;CKG����x% وج�א, �Wא�;���א�;&�$�� �

:I3M1Hتعريف�BBBBBBBBK&uذא�YrYX ,�;��BBBBBBBB0>a��،ن&BBBBBBBBuوYyXx ∈∈ ,���$3&BBBBBBBB45ن�א�_BBBBBBBB��،

),( yx v0��زوC�&ً�)%�&ً�$%�&د���`�;C��H���-O�4]��و��&ً-K&-��� -5j�A�sوK� � �H�N�C;�`�د��&�%$،� -5j��B-�-uو�x% א�,وج�א���%�A��%cא�qO7KW� �

� �

)1 (x)(y,y)(x,yx =⇔=

)2 ()y,(x)y,(x)yxy(x 22112211 =⇔=∧=.

I3M3H@@@pbÇìàvàÜÛ@óm‰bØí†Ûa@lŠšÛa Cartesian product of Sets

@ÑíŠÈmI3M2H@ @rK&uذא�YYX ,�;��0>a}-O�،�YyXx ∈∈ ,�����AB���BK�� א��B��0yن�א_��،

����BBא����BB ��SBBא���BB)% א�زوאج�א�mBB-�),( yx��'BB(א���BB��0>��0BBC%Fzא�BB{א�E�a;��010 �&��,��X, Yא����&�%$���&Q�,�و�YX �=+�=ن�،× �

Page 5: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

83

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

� �{ } Yy , X x:y)(x, YX ∈∈=×

:حظاتمال

F1�ErBBBK&uذא�YYX =����BBB ��&BBB9;�&;u�ABBB�s�$BBBB%�&א�����'BBB(א�����BBBB0>ن�_BBB��،�Wא����� �

2XXXYX =×=×� � 2X ����B010=+�=ن� ��$B%�&'�א����א�)����B0>�A���%X�&9BBC�K�HK� �

� �

F2�ErK&uذא�YRYX ˆ==�،�}-OR̂�����0>ن��-�-���אد�א�א�_���،>$B%�&'�א����א�)����BB0���W� �

2ˆˆˆ RRRYX =×=× Sوא���Oא��H�&ً- -B��%�N;BB����5jא BC;�`�א����&�%$�א و��وא��+��B4��o)B&�د�א

$�&��Kא�; -�Gא� �

F3�E����0>�� �����4��a;��0>�A��5u��o�&Cא�����G-0א�;%�A�sH��)%��/&-h7h����&O�H��)%��/&B-�&������BB0>و�،/&��B0>��7h�'@���&O

���=�'B@��0&/،�و���א�>K� �

Y�}-Oنو),(),( xyyx ≠ � �����9Cא���ل���A�s�NK_��،�0م ��و�Nvא��� �XYYX ×≠×

I3M3M1H@lŠšÛa@Ýîr·Iõa†¦a@Hïm‰bØí†Ûa

��Wא�;��B-B5B0Bא��B1Bو��W��$B=وً�� ���B5B0B���$B%�&B�B��B�YXא}�א�zא ×�AB-B B^�B��+ول�ذ�B1B�K� �

� �� �

Page 6: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

84

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

@ÞbrßI3M1H@ @

�rBBBBBBK&uذא�Y}3 ,2 ,1{=X��،} ,{ baY = �S��BBBBBBBB0>��BBBBBBBvو��, א�)'�א����&�%$ YX ��Kو�5 �v�&9و�-ً& × �

� ��א�� �

�����F3��Aא�; J2�Eن=���W� �{ }b)(3,a),(3,b),(2,a),(2,b),(1,a),(1,YX =×

y�$א}�ول�א�;&�$�א�;50-��א}�و��Z@'�א����&�%$�و������0א�)YX ×�K� �� �

b a X \ Y (1,b) (1,a) 1 (2,b) (2,a) 2 (3,b) (3,a) 3

&ً-K&h�Wא����B-B5B0B;א�$K&-)::

��$%�&���BBBא��'BBB(א���BBB��0>��BBB-5j�ABBB�sوYX × ��$%�&BBBد���`�;BBBC��H�&ًBBB-K&-��،����B��0yא�B<&4���-50;��fوذ�X�����$Bא������Bdא��B ��،����B��0yא�B<&4و�Y����B �

�BBdא�$BB��;��BBu��BB-50زوج��%�xBB�BB<&4��ABB�א�������BB��0y،���א�=�fBBذ���BB��BB�K�GBBhم�YX × �`�;BBBBC א�א�BBBB��H�،��'BBBB(א���BBBB��0>��BBBB5j�SBBBBא��i�4BBBBא���BBBB ���BBBB��4�

YXא����&�%$� ×�K��$%�&���B'�א�5-��<����0א�)j��-�-u�$�&;א 5&ل�א��Z@و��&ً-K&-�K� �

@ÞbrßI3M2H@ @

�rBBBBBBK&uذא�Y}3 ,2 ,1{=X�،�} ,{ baY = �S��BBBBBBBB0>��BBBBBBBvو��XYא�)'�א����&�%$� × , YX × &ً-K&-��&09 �Kو�5 �

�א�� ������F3��Aא�; J2�Eن=���W� �

Page 7: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

85

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

{ }b)(3,a),(3,b),(2,a),(2,b),(1,a),(1,YX =× ���D�Z@و��F3� J2�E�$%�&א�����'(����0א�y�$K&-)א�;50-��א�YX ×�K� �

)2- 3(شكل

�0uW&����=ن �{ }(b,3)(b,2),(b,1),(a,3),(a,2),(a,1),XY =×� �

���D�a)و�F3� J3�E�$%�&'�א��������0א�)y�$09Cא��i[M אXY ×K� �

@ÝØ‘I3M3H@ @

�ً7BBBBBBBBBuل�=ن�&BBBBBBBBB5 א�א�BBBBBBBBB��H�qBBBBBBBBBO7Kو���$%�&���BBBBBBBBBא��'BBBBBBBBB(א��S��BBBBBBBBB0>�ABBBBBBBBB�XY × , YX × ��BB ��+�BB;�6�BB<&4�K� ق��BBP��v�BBB%�NBBK=�tY���&BBBBDUد�א�BBKא�و�BB�

��������-5BBBB0;א��tY���&BBBB@U&��a;��BBBB0y�$%�&���BBBא��'BBB(א�����BBBB0>��-5BBBB0;��`BBB^=��&ً�%א�(-&BK$�א��+�א}�و�$�و�&BB��N��&BB4@�Kض�وא���B��$�BB;�K���BBB����BO��B��AB[����و

$09Cא��i[M א����P��0BC%�Sق�وא�B[א��K� �

Page 8: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

86

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

&ً5�&h�Wא����B-B5B0B;$09א�C::

���BBB-B5B0B;Bא��ABBB�ع��BBB4Bא�א��BBB��$BBB�����a;��BBBB0yא�ABB���BBu��-5BBBjX, Y���+BB3دא���BBBV�F&B0u����Bل��&�BBD=�H���Beن�&uA�E��������G9BB�%�@�mBدא^ BB<&4��NB�אB��GBh����BB0yج�=

������BBB0yא�B<&4��m-BBB��AB�X�������BBB0yא�BB<&4��m-BBB���B���BBB91;�Y�K�ZBB@و������BBBDF3� J4�E���$%�&���BBBא��'BB(א�����BBBB0y�$09BBBCא��iBBB[M אYX × �H��4-BBBB) א�F3�B5&ل� J2�Eo�&BCא�K� �

@ÝØ‘I3M4H@ @

������$%�&���BBBBBא��'BBBBB(א���BBBBB��0y�$09BBBBBCא��iBBBBB[M א��BBBBB �& �ABBBBB�s��BBBBB5א���BBBBBل��XY × ���BV��a) א����4א�� �F3א (-�w�K�H��4א 5&ل�� J5KE� �

@ÝØ‘I3M5H@ @

Page 9: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

87

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

@—öb–�@œÈipbÇìàvàÜÛ@ïm‰bØí†Ûa@lŠšÛa@òîÜàÇZ@@ @@ @

)1 (C)(AB)(AC)(BA ×∪×=∪×

)2 (C)(AB)(AC)(BA ×∩×=∩×

YB,XAإذا كانت ) 3( YXBAفإن ⊃⊃ ×⊂×

F4�E����B0yא�rK&uذא�YX��� ��+�;�n�����B0yوא�4&> ���Y��Aא���+�;�m�A����،B<&4 ��a;��B010ن�7ًu_א���$B%�&'�א����א�)����B0>�A�X, Y�

� ��+�;� nm�&4�W>،�=+�=ن��Aא� �� �

Y . XXYYX =×=×� �

@ÞbrßI3M3H@ @�YWذא�u&ن �

���������������������} 2 ,1{=B���, } , ,{ cbaA =� ���vو��BA ×���،AB ×� �

�א�� �

����������������)}2 ,(),1 ,(),2 ,(),1 ,(),2 ,(),1 ,{( ccbbaaBA =� �� �

�������������)} ,2(), ,2(), ,2(), ,1(), ,1(), ,1{( cbacbaAB =� �� �

&ً-K&-�����D�����&0u���%�&'�א����5-��א�)j�A�sF3� J6KE� �

Page 10: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

88

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

� �@ÝØ‘I3M6H@ïm‰bØí†Ûa@lŠšÛa@Ý•byBA×@ëAB ×N@ @

� �0���& �i[Mא��qO7K&0u�،�09C����Aא�א 5&ل�=نC��&�א���W� �

��� �)()( ABBA ×≠×K� �

� �

I3M4H@@@òîöbärÛa@pbÓýÈÛa Binary Relations@ @���������mBBBB-@א���GBBB�=�ABBB�ًא��BBBOوא�BBBB�א��mBBB6وא�H��BBBB��+�BBB3-��א�&BBBB45א��/&BBB67��@�BBBBع�א�

� א ; ���BB@������B&/�א��&@B-��א א��������G9���ABא��&@-B&/�א�BC%�S&���א��א�س���/&��0yא������א&94-��/&67و���א�(�4د�א�;&�-���44&����6א�א �@�ع����K��z�BVوא�

��K��Aא�;��-� �

@ @

Page 11: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

89

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

I3M4M1HâìèÐß@òÓýÈÛa@@ò�îöbärÛa Concept of Binary Relations @@@ rK&uذא�YYX �_ن�=+�<��-3,v����B0�O����0>�A&>��א�)'�<��0;&ن�،��,

�$%�&���BBBא�YX × ��BBB67���0BBBC%��BBB-3&4h��BBB��0yא�ABBB�X���BBB��0yא�tYY�Kذא�_BBB��,��&���67 ��&K,��R��,���fذ��A��F)�&�����،��_�A�s�NKא�;�&ًW� �

YXR →:K� �

�}-OYXR ×⊂.� �

: مالحظات

YXإذا كانت )1( Xعالقة معرفة على المجموعة Rن إ، فإننا نقول =XXRونرمز لها بالرمز →:.

F2E �rK&uذא�YRYX ��<R� 7���0C%����0،��_ن��==ˆ�������6

�&��,�E=و��&^;�&���R̂K�F�-�-�O��67א���אد�א��-�-��&Q�,�KوW� �

���������������������������������������������������RRR ˆˆ: →�� �F3E ن�&BBuذא�YRba ∈),(��xBB;�K�&BBB4K_��،aRb�Kو����ABB�s�NBBK=��BB��fBBذ���BB �

�67���א�&BB;uYXR ��א������ :→�:

������������������������������������{ }y x , Yy , X x:y)(x, RR ∈∈=K� � �}-OوY�������B ��+�B;�����BB0>�&4��Bن��&Buذא�Y�NK=�&ً��&B��&4-���6�&4Kn����B<&4��ABא�

���v�BBB��NBBK_�n2 ������;BBBCKن�cא�&BB4K_��،���BBB0yא�]�BB��ABB���BB-3,{א�/&��BBB0yא�ABB��m-[�rK&uذא�Y�NK�� ���Xא���Bل���+�;�����B0>n��rK&uو�B<&4<Y ����B0��Aא�

�� ��+�;�m�����B0yא�A��&Bد�&�Y�A�s�S67&/�א��X��Aא�B<&4،��_ن���د�א�

����B0yא�tYY��+و&BBC�nm2�K���������B67��+=��B-5j�AB�s�NBK=�tY���&BBDUد�א�BKא�و�B�R��&ًBBB-K&-���9BBBBCא��iBBB[M אم�א�M;BBBB�&��/&��BBBB0>��BBBB-5j��BBB4����BBBe�&BBB0u�&ًBBB�&j�$0

����tY�$B0;4%�SBא��BB<&4 ��א����B-50;א��ن���;�=�����Oق�وא�&��א�)'�א����&�%$���67�R��i��Kא� �

� �

Page 12: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

90

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

@ÞbrßI3M4H@ @rK&uذא�Y}4,3,2,1{=X��،�}4,2{=Y ������B5j��B-%cא�/&B��0yא�AB��+=�a��،

����0yא�A���67�X�����0yא�tYY��67���5s���&9�=؟و�x)Cא��uذ�m�K� �

}) أ ( })2,3(),4,2(),2,1(1 =R

}) ب( })4,4(),2,2(2 =R

}) ج( })4,3(),3,2(),2,1(3 =R

�א�� ���a;��010 �_�&د�<����0א�)'�א����&�%$��X, Y�� ������ �

{ }(4,4)(4,2),(3,4),(3,2),(2,4),(2,2),(1,4),(1,2),YX =×� ��Wو�����Gh�A=ن �

�F�=�E�}-OY���0yא�B<&4��m-1ن��R �$%�&'�א����א�)����B0>�tY�$0;4%YX ×،� �

�f���� �{ })2,3(),4,2(),2,1(1 =R� �

����0yא�A���67��$�X�����0yא�tYYK� �

F'�E����0yא�B<&4��m-2R �$%�&'�א����א�)����B0>�tY�$0;4%YX ×،� �

لذلك

{ })4,4(),2,2(2 =R ����0yא�A���67��$�X�����0yא�tYYK� �

Fج�E�}-OYB�4YXن�א� ×∉)3,2(����B0yن�א_��،

{ })4,3(),3,2(),2,1(3 =R� �rC-�������0yא�A���67X�����0yא�tYYK� �

� �� �

Page 13: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

91

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

@ÞbrßI3@M5H@ @rBBK&uذא�Y}4,3,2,1{=X���،}8,7,4,2{=Y ، 7ًBBu��BBvو����/&BB67��ABBא�

fذ��A��=�&0 u�&9 -5j�m���-%cאK� �

}) أ ( }yxY,yX,x:y)(x,1 =∈∈=R

}) ب( }b1aX,ba,:b)(a,2 ≤+∈=R

}) ج( }5βαY,β,α:β),(3 =+∈= αR

�א�� �

��a;��010 �_�&د�<��0&/�א�)'�א����&�%$��X, Y�� �����W� �(3,4),(3,2),(2,8),(2,7),(2,4),(2,2),(1,8),(1,7),(1,4),(1,2),{YX =×

(4,8)}(4,7),(4,4),(4,2),(3,8),(3,7), , (3,2),(3,1),(2,4),(2,3),(2,2),(2,1),(1,4),(1,3),(1,2),(1,1),{XX =×

(4,4)}(4,3),(4,2),(4,1),(3,4),(3,3), , (7,4),(7,2),(4,8),(4,7),(4,4),(4,2),(2,8),(2,7),(2,4),(2,2),{YY =×

(8,8)}(8,7),(8,4),(8,2),(7,8),(7,7),

:ومن ثم نجد أن

}) أ ( }(4,4)(2,2),1 =R المخطط السهمي لهذه العالقة) 7-3(ويبين شكل.

)7- 3(شكل

Page 14: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

92

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

F'�E(3,4)}(2,4),(2,3),(1,4),(1,3),(1,2),{2 =R ����BBBBBBD�a)BBBBBBو�F3� J8�E�67�Kא �i[Mא��Q�$09C[�א� �

)8- 3(شكل

Fج�Eع���������BB0>ن��BB���SBBא���BB)% א�زوאج�א�ABB�ن��BB�;%��BB�� �BB4��qBBO7K&�=ن�א���BB67א ]�BBBد� YYو�&�(�BBB<&4��H�}BBB�א5�K��BBB��0y��&BBB9-;)u�BBBC&و�ً&�� × ���NBBBK=��BBB�

�<&4���v�%Φ=3RK������oא�א�Vط،�و�����Gh�Aن� �� �

@I3M4M2H@ñ†yaë@òÇìà©@¿@òÓýÈÛa Relation in one set @@@ @ @���BBBB-B3&B4Bh��BBBB67B���BBBB�BB%�ABBBB�B0B���&BBB���BBBB��B0B1B0Bא��ABBBB�A���BBBB�BK��BBBB��B0B1B0Bא�A����BBB�&B�Bא��]�BBB��$BBBل���BBB�BK�&BBB9BCB�BKY����BBB��&BBB9BK&B-B���BBB��B0B1B0Bא��$BBB���BBB67B��&BBB4B�B��&BBB4BK

��B��B0B1B0Bא��AB���B-B3,Bv��B��B0B1B�AA×K��F������01BB0B B��,�BBKAA×��,BB�B�&B�2A ��B��B0B1B0B B��$B%�&B�B��Bא��mB�B0Bא��&B��B��BKوA��E� �

Page 15: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

93

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

@ÞbrßI3M6H@ @�rBBK&uذא�Y}8,7,6,5,4,3,2{=A �rBBK&uوR����BB ���BB����BB67�Aن��=�}BB-�

R∈b)(a, Rba ��=ن�א��د� ),(∋%bد������0 ��א�Cא����)��a����،$6&B���Bون���67�Kو�Q&>�a&�و��א�&���Rو��vא� �

�א�� ���67���א�%�o-)[;�R�� ��A�sWא���ل�� �

)}8,8(),7,7(),6,6(),5,5(),8,4(),4,4(),6,3(),3,3(),8,2(),6,2(),4,2(),2,2{(=R� ��و�����Gh�A=ن �

{ } X8,7,6,5,4,3,2)()( === RRangeRDomain� �������<&BBBBBB4B��aBBBBBB���BBBBBB67BBא��&BBBBBB9��mBBBBBB;B0B;B%אص����BBBBBBMB���BBBBBB��B0B1B��$BBBBBB���BBBBBB67BBא��,BBBBBB-B0B;B%��

$Bو��aB;B�B B;BMB��AB-B;B��B0B1B�W� �

Reflective Relationنعكاسية العالقة اال) 3-4-2-1( rBBBK&uذא�YR�������BBBB0>��BBB ���BBB����BBB67�A�����BBB67���0BBBBC%��BBB67،��BBB_ن���BBB[�א�

�rK&uذא�Y��-�&�KאRaa ∈),( �G-א���m-0{�،Aa ∈K� �� �

Symmetric Relationالعالقة التناظرية ) 3-4-2-2( ، فـــإن هـــذه العالقـــة تســــمى عالقـــة Aعالقـــة معرفـــة علـــى مجمــــوعة Rإذا كانـــت

RabRbaمتماثلة إذا كان ∈⇒∈ ),(),(��G-א���m-0{Aba ∈,K

Transitive Relationالعالقة المتعدية ) 3-4-2-3( �rK&uذא�YR��B0>�� �������67����A��������B 6&K��B67���0BBC%��B67،��B_ن���B[�א�

F�BBB��;��Eن&BBBuذא�YRcaRcbRba ∈⇒∈∈ ),(),(,),(��G-BBBא���mBBB-0{Aba ∈,K� �

Page 16: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

94

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

ÑíŠÈmI3M3H@ @�rBBBK&uذא�YR�����BBB��0>��BBB ���BBB����BBB67�A�����BBB67��$BBB���BBB67،�و�BBB��rBBBK&u[�א��-�&�K���0אyא�� ��:�&�%��67���0C%�&9K_��،������AKو�%4&����و�; �

@ÞbrßI3M7H@ @

�rBBBBK&uذא�YA��̀ �;BBBBC א�H��0-�;BBBBC ط�א�BBBB[lא��BBBBu��BBBB��0>�$BBBB�2R̂��rBBBBK&uو

21, RR $�&;א����4א��� ��a;���a;67�W� �A,ba,:b)(a,{1 ∈=R a < b} A,ba,:b)(a,{2 ∈=R a ¦ b}

�ً7BBuد�س�&BB����a;BB67,21��ABBא� RR ����BBCu&���BB67��&BB9K�u�}BB-O�ABB�� J���BB67��� h&0;�� J��� 6&K��67�� J�:�&�%��67�K

�א�� �

�W��67=وً� ���)C4�&�1R � �

(i)��������NBC�K�+אز�B��G-�;BC��iB^�+=ن�=�GB K�،�0-�;BC ط�א�[lא�A��&4%&�� ��A��،������������BB-Oو��BB[�K�H�NBBC�K�mBB��mP&BB�;ن��=��BB���NBBK_��f��BBu�ABBن�����Y�NBBK�Fא���BBو�

�-�;C�Eن�����fذ��� a < a�����1Ra،�و� ∈�Kن=�+=W� �

11 aa)(a, RR ∈∀∈� ��67 ��א1R ����0yو��Gh�A%��ن�א����-�&�K��67א�AK� �

(ii)ن��&uذא�Y�NK=�G K�f��ua, b�[^a�0-�;C�a�ilن�א&uو�a��ilאز+�א��b�ilن�א_��،b��ilאز+�א��a�Kن_��Gh�A�وWabba �W،�=+�=ن >⇒> �

11 a)(b,b)(a, RR ∈⇒∈� ��67 ��א1R ����0yو� ��ذ��f%��ن�א�����4%��67&��AK� �

(iii)��}-OوYن�&uذא�Y�NKa, b, c��ilن�א&u��0و-�;C�ط��[^��h7ha��+אز���ilאb��il0&�=ن�אub��ilאز+�א��c�ilن�א_��،a��ilאز+�א��c���و����&��

cacbba=ن <⇒<< �W،��=+�=ن, �

Page 17: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

95

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

111 c)(a,c)(b,,b)(a, RRR ∈⇒∈∈� ��67 ��א1R ����0yو��Gh�A%��ن�א������;���67�AK� �

�A�(i), (ii), (iii)��67�%��67&�:�� ��א���1R ����0y=ن�א��AK� �

� �&ً-K&h�W��67 ���)C4�&�2R � �

(i)�BBB[lن�א=�GBBB K�$BBB�&��49���BBBא �H����;BBBC�א��BBBOא�; �G-BBBא� ��&4;BBB��a��ABBBد�א&��BBא ;����BB-Oو��BB[�K�Hن�&BBP&�;��A�K����iBBl�ABB�s���NBBK=��BB��fBBذ���BB و�z&BB4ًא��

NBBBBBBC�K��BBBBBB ��&ًBBBBBBن���0د��BBBBBBن���=�G-�;BBBBBBC��Kن�&BBBBBBuذא�Y�NBBBBBBK_א���BBBBBBQ2وa R∈ ن�_BBBBBB�

2a)(a, R∉�K���BBBB67 BBBB���א�-2R ��BBBB67��rBBBBCو� BBBB��ذ���BBBB��fBBBB=ن�א����-BBBB�&�K����0yאAK� �

(ii)ن���&BBuذא�Y�NBBK=�GBB K��f��BBua, b�BB[^a0-�;BBC��a�iBBlن�א&BBuو�a�BB�0د��&ً��ilא�� �b�ilن�א_��،b��ilא�� �W و����Gh�A_ن���a�Kن���0د�ً&�� �

abba �W،�=+�=ن⇒ �

22 a)(b,b)(a, RR ∈⇒∈� ��67 ��א2R ����0yو� ��ذ��f%��ن�א�����4%��67&��AK� �

(iii)ن��&BBuذא�Ya, b, c� ��iBBlن�א&BBu��0و-�;BBBBC�ط��BBB[^��BBBBh7ha���BB ��BBB0د+���iBBlאbBBBB0u�،�iBBlن�א=�&b��iBBlא��BB �BBBBB�c�Kאز+�אBB��،a��iBBl_ن�א�BBBB0�c�iBBlد+��

�Wو��א��B4$�=ن �

cacbba �،�=+�=ن�,⇒≠ �

2c)(a, R∈ ⇒/ 22 c)(b,,b)(a, RR ∈∈� ���67 ��א2R ����0yو��Gh�A%��ن�א������;��rC-���67�AK� �

�A�(i), (ii), (iii)���67�%��6&�:�� ��א���2R 7��rC-�����0y=ن�א�AK� �

Page 18: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

96

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

ÑíŠÈmI3M4H@ @ ��%��[K���&94א��H67&/�א �ً&و�9��67��Aא��-��&M;��67א����0�Kو���א� �

�rK&uذא�YR�����B0>�� �������67�A���B67%R������B-��&���B67���0BBC،��_ن�א�

,Ybaa)(b,,b)(aذא�u&ن� =⇔∈∈ RRK� �

I3M4M3H@òî�ØÈÛa@òÓýÈÛa Reciprocal Relation @@@ @ @

}Y�rBBK&uذא� }y x , Yy , X x:y)(x, RR ∈∈= ��BB��0>�ABB���BB67�X��tY

��BB��0>Y����BB��0yن�א_BB�{ }y x , Yy , X x:x)(y, R∈∈ ���ABB���BB67��$BB�����0yאY�����0yא�tYX������B67 ���-BC���&B�R�����,و%0C��א���B67א��&BQ�,B�و�

1−Rن�=�+=�،W� �

{ }y x , Yy , X x:x)(y,1 RR ∈∈=−� �

��67 ��$09BCא��i[M 1و���ن�א−R �����B67 ��$09BBCא��i[BBM א�wB�K���R����BB�N09B�=�]&B?א�w��K� �

� �

@ÞbrßI3@M8H@ @���BB67 ���-BBC��F3א �H����u�BB�BB5&ل�� �2R=و��BBvא�BB67&/�א� J4�Eo�&BBCא��،��GBB�وא�

&9 5s�+�$09א��Cא��i[M אK� �

�א�� ��672�&�J4��tYא�R א 5&ل��HF3� J4�Eو���-C����א���67א�%�A�ن=���W� �

(4,3)}(4,2),(3,2),(4,1),(3,1),(2,1),{12 =−R

���D�a)و�F3� J9�E��67Wא �i[Mא��Q�$09C[�א� �

Page 19: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

97

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

)9- 3(شكل

I3M4M4H@Ûa@ô†ßë@Þb©@òÓýÈDomain and Range of Relation@ ÑíŠÈmI3M5H@ @

�rBBK&uذא�Y{ }y x , Yy , X x:y)(x, RR ∈∈= ��BB��0>�ABB���BB67�X��tY��BBB��0>Y������BBB��0yא�tY�$BBB0;4%�SBBBא��BBB<&4 وא�BBB%�SBBBBBB�X��i)%_ن�<��BBB��0א�

��BBBBBBB��0yא�ABBBBBBB��BBBBBBB<&4�Y ���BBBBBBB67��&BBBBBBB�BBBBBBB>��0BBBBBBBC%R��,&ل�א��&BBBBBBBQ�,BBBBBBB�و�)(RDomainن=�+=�،W� �

{ }y x , Xx:x)( RRDomain ∈= ÑíŠÈmI3M6H@ @

���B��0yא�tY�$0;4%�Sא��4&>B<&4���ABאY��������B��0y<����0א���i)%B%�SBوא�

X ���67�&��,��0C%R����`�א��&Q�,�و�)(RRangeن=�+=�،W� �

{ }y x , Yy:y)( RRRange ∈=K

òÄyýßZ@ @F=�E��������&9B 5s�+�B�$09א�BCא��iB[M א�AB��&B���B67��`��ل�و&>�� ،��A�sא���ل��

�<&4א���Sج��94&�א���H�G9Bא O���iB[M-{����=ن�<&ل�א����67;��ن���Aא����iB[M א�H�G9B��$09�-04&��;��ن���`�א���67��Aא�4&>�א��Y�N1;%�S-9&�א�Cא�

$0BBBCא��K�����a;BBB67 ��$09BBBCא��iBBB[M א�tY�&BBBKJKذא�_BBB�21, RR H 4-3(مثـــال (

:السابق ألمكن لنا بسهولة الحصول على

Page 20: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

98

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

{ }4,2)()( 11 == RRangeRDomain , { } 2,3,4)( 2 =RRange ,

{ }1,2,3)( 2 =RDomain .

:يكـون Rعالقـة من السـهل على القـارئ مالحظـة أنه ألي) ب(

( ) ( )1−= RRangeRDomain , ( ) ( )1−= RDomainRRange

@ÞbrßI3M9H@ @

�rK&uذא�Y{ },11,126,7,8,9,101,2,3,4,5,A = �،�rK&uوR����B �������67�

Aن��=�}BB-�R∈b)(a, د���BB��BB=ن����0BBC6�$6&BBא�%a���BB �5����0BBC6�$6&BB��BBC&و+��5��67 ���bא��د��Kو�Q&>�a&�و��א�&�R،���و��vא� ��א�� �

��67���א�%�o-)[;�R�� ��A�sWא���ل�� �

)}12,12(),7,12(),2,12(),11,11(),6,11(),1,11(),10,10(),5,10(),9,9(

),4,9(),8,8(),3,8(),12,7(),7,7(),2,7(),11,6(),6,6(),1,6(),11,5(

),5,5(),9,4(),4,4(),8,3(),3,3(),12,2(),7,2(),2,2(),11,1(),6,1(),1,1{(=R

� ��Wو�����Gh�A=ن �

{ } A12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)()( === RRangeRDomain

@ÞbrßI3M10H@ @

�rK&uذא�Y)}4,4(),3,4(),4,3(),3,3(),3,2{(=R ����0yא�� �������67�{ }61,2,3,4,5,A =��67�RK،���و��v<&ل�و��`�א� �

�א��� �

:، يمكننا الحصول علىRمن العالقة

{ }4,3,2)( =RDomain , { }4,3)( =RRange

Page 21: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

99

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

I3M4M5@H@û�Ïb�Ø�n�Ûa@Òb�ä�•cType of equivalence

ÑíŠÈmI3M7H@ @�AB�B;B�R���B��B0B1B0Bא��$B��:B�&B�B%��B67B�XAB�B-Bو��α���ABB��&B-B�B-Buא��B�B4B�X�،

�:BBB�&B�B%��BBB4B<�$BBB0BCBKα��ABBB���BBB-3,B1Bא�����BBB0B1B אX��<&BBB4Bא��BBB�B;B%�SBBن���ABBא��BBBBBB�B4BB�&B���BBBBBB[B)B%B אα����67BBBBBBBא��oBBBBBBو�R���,BBBBBB�B�&��&BBBBBQ�,�BBBBBBو�][α���BBBBBB0BC�

B�B4B�Wو%��ن���Q�7ًB50Bא�א��α��B4Bא� �}:{][ RXXx αα ∈=� �

� �

I3M4M4M1@H@˜aì�@û�Ïb�Ø�n�Ûa@Òb�ä�•cZ@ @•B�B�B4B��:B�&B�B;Bא���&B4B<=�B4B5B���B4B5B���B K� � �B-Bא�•B�Bא���B��B0B1B0Bא���B��:B�&B�B;Bא���&B4B<=د�&B�B%XK� �

Page 22: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

100

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

@åí‰b·I3M1H@ @@ @

�F1�E�rBBBK&uذא�Y{ }4,5,6C = , { }3,4B = , { }1,2,3A =��/&BBB��0>��BBBvو���،�����$09Cא��i[M وא�$K&-)א����Vא��G��pW&��&%�א�)'�א����&�%$�وא� �

BA)أ( CA) ب( × ×

CB) ج( B(A(C)ج( × ∪×

B(A(C)د( A)(AB)(C)هـ( ×∩ ×∩×

}إذا كانــت )2( } { }8,7,5,3,5,4,3,2,1X == Y فأوجــد العالقــة ،R المعرفــة مــن –نعكاســية اوبــين نوعهــا مــن حيــث كونهــا عالقــة Yإلــى المجموعــة Xالمجموعــة

.ةيتخالفعالقة –عالقة تكافؤ -متعدية -تناظرية

} )أ( }2y x, Yy , X x:y)(x, −=∈∈=R

})ب( }y x, Yy , X x:y)(x, =∈∈=R

})ج( }y x, Yy , X x:y)(x, >∈∈=R

})د( }3y x, Yy , X x:y)(x, +=∈∈=R

})هـ( }2 x, Yy , X x:y)(x, =∈∈=R

})و( }y x, Yy , X x:y)(x, ≥∈∈=R

والمعرفـــــــة علـــــــى المجموعـــــــة ممـــــــا يلـــــــىدرس العالقـــــــة الموضـــــــحة فـــــــي كـــــــل ا) 3({ }6,5,4,3,2,1X عالقــــة - نعكاســــيةاوبــــين نوعهــــا مــــن حيــــث كونهــــا عالقــــة =

.عالقة متخالفة –عالقة تكافؤ - متعديةعالقة - تناظرية

})أ( }(6,6)(5,5),(4,4),(3,3),(2,2),(1,1),1 =R

}) ب( }(5,5)12 −= RR

Page 23: ˆ˙˝א و א ˘ˇא - psau.edu.sa · $ % & bbbbbbbbb א’ bbbbbbbbb( אs bbbbbbbbb0> abbbbbbbbb 7 bbbbbbbbbuن =ل &bbbbbbbbb5 אא˙bbbbbbbbbh q bbb bbbbbbo7kو ق BBPv BBB%N

101

sÛbrÛa@Ý–ÐÛa@ ا�����ت

})ج( }(2,1)(1,2),(1,1),3 =R

})د( }(2,2)34 ∪= RR

})هـ( }(2,6)5 =R

})و( }(5,1)(1,5),6 =R

F4�E�rK&uذא�Y{ }20,...,3,2,1,0X =�rK&uو�،R���������BB0yא��B ���B����BB67�X�

��BB=ن����0BBBC6�$6&BBא��BBد� BB-�Ryx{�=ن%x���BB �BBBC�y&و+����0BBBC6�$6&BBא��BBد���5�� �5�K�v��67 =و�KوאR�:�&�%��67��&9K=�r)hא� �

Z+لموجبـة اعالقـة معرفة على مجمـوعة األعـداد الصـحيحة Rإذا كانت ) 5( :بحيث أن

}12y2x =+ ( ){ ∈= yx,:yx,R العالقــة العكسـية لهــا ومثلهمـا بيانيــًا وعــين مجالهـا ومــداها وكـذلك Rفأوجـد العالقـة

.في المستوى اإلحداثي وارسم المخطط السهمي لهما

لمعرفـــة علـــى مجموعـــة األعـــداد او ممـــا يـــأتى أوجـــد العالقـــة الموضـــحة فـــي كـــل )6( -تناظريـةعالقـة - نعكاسـيةاوعين نوعها من حيث كونهـا عالقـة ، Zالصحيحة

.ةيتخالفعالقة –عالقة تكافؤ -متعدية عالقة

xRyتقبل القسمة على y )أ( .

yxRyx)ب( <⇔

yxRyx)ج( >⇔

yxRyx)د( ≤⇔

))هـ( ) 1yx,Ryx ).عددان أوليان بالنسبة لبعضهما x, yأي أن ( ⇔=

5ky-xRyx)و( .عدد صحيح kحيث ⇔=