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論文紹介Query Incentive Networks

2006/6/2

加藤公一

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紹介する論文Jon M. Kleinberg and Prabhakar Raghavan. 2005.

Query IncentiveNetworks. In FOCS '05: 46th Annual IEEE Symposium on Foundations ofComputer Science. Pittsburgh, PA, 132--141.

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Insentive Network とは？• ネットワーク上のノードが隣のノードにご褒美

（ Incentive ）をちらつかせながら、情報を得ようとするモデル

• 例としては・・・– P2P ファイル共有

Winny, Share, etc.

– ソーシャルネットワークサービスMixi, Orkut, etc.

4

例

$5 $1$4 $3

$1

$5 あげるからBerryz工房の動画をくれ！

$1 Get!

$4 あげるから動画さがしてくれな

い？

答に到達できないと一銭も得られない（成功報酬）

動画？持ってるよ

あまり搾取すると答までたどり着けなくなる確率が高くなる

あまり遠慮すると、自分の子孫にたくさん持っていかれる

ノード間のゲームと考える

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問題答を得るためには、どのくらいの

utility （効用？）を用意すればよいか？Utility ：ルートノードが答を得るために用意するコスト

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ここで考えるネットワークのモデル• Tree Model

– 各ノードにが、ツリー構造を知っているとする

• Branching Model– ツリー構造ではあるが、各ノードはその構造を

知らない（地図がない状態）– ノードには Active なものと inactive なものがあ

る• 例： Mixi でログインしていないユーザ

– ノードあたりの子の数の期待値 b が与えられる

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努力の価値• ノードが受け取る報酬は整数値しかとらないと

する• 答が見つかった後に、その答を送るためには、

ノード通過ごとにコスト 1 かかる。（最初からそのコストを見込んで報酬を取り決める）

さもないと Zeno （ゼノン）のパラドックス「用意すべき utility は無限に小さくできる」

Utility r でうまくいって各ノードの戦略が　　ならば、 utility 　のときは戦略　　　　にすればよい

ar /vf

afv /

8

例

Utility$10

報酬： $2接続コスト： $1

報酬： $2接続コスト： $1

$7 $4

報酬： $2接続コスト： $1

$1

9

記号T: 木全体、　 T’ ：アクティブなもの全体ノードが答を持っていない確率： p

Rarity （珍しさ？）：

T’ 内での平均分岐数： b

与えられた Incentive に対して、ノード 　が隣に渡す量（報酬関数、 reward func. ）：

ノード v が子に報酬 x を与えたときの成功確率：失敗確率：

)1/(1 pn

vfTv

),( xv f Tvvf f

),(1),( xx vv ff

（平均で n 個に一つは答を持っている）

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問題（より詳しく）十分に高い確率で答を得るために必要

な utility r は b と p の関数としてどうあらわされるか？

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ゲーム理論としての視点• ノード がプレーヤ• 　　： がとる戦略（関数！）• ノードを通過すると報酬総額が減る

ノード に報酬 が与えられたとする。そのときのノード の取得利益の期待値は

ナッシュ均衡：上式を最大にするような の集合

vf

),()1( xxr v gvg g

v

v

vv

r

ナッシュ均衡は必ず存在し、唯一に定まることが証明される（ Appendix ）

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結論

2b

2b

のとき

のとき

ある程度以上の確率で成功するためには、必要な utility は

ある程度以上の確率で成功するためには、必要な utility は

)( cn

)(lognO

（両方とも定数は b に依存）

分岐が激しいほうが少なくて済む（直感と異なる）

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証明記号の定義（以下全員が最適な戦略をとったと仮定して）

)(r

j

ju

)(r

r123

任意の j に対して となる r が存在するjr )(は任意の について定義されるju 0j

juまずは の値について解析する

1u 2u 3u

：誰も答を知らないと仮定したときに、報酬 r で到達する深さ

：ルートが答を知らず、しかも深さ j まで誰も答を知らない確率：　　　　　　　　　となる最小の r1)( jr

ju j )( となることが証明できる

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　　（ breakpoint structure ）の計算ju

ルート

帰納的に　　　　　　から　　　を計算するjuu ,,1 1ju

ルートが持っている utility が r のときに、子ノードに　　　を与えたときのペイオフの期待値：

ju)(rl j

)ˆ1)(1()( jjj urrl

1ju

以上の深さまでは進まない1j

r

帰納法の仮定：　　　　　ならば

)(1 rl j

)(rl j

1ju

このとき、ルートにとっての最適戦略は子に与える報酬を　　　にすること

このときの最適戦略

ju

深さ　　まで到達可能j

r

1ju

ju

1jr

)()()( 11 rlrlrl jj 1 jur

はこのへんに！

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計算の続き

)(1 rl j

)(rl j

r

)()( 111 jjjj ylyl )ˆ1)(1()ˆ1)(1( 1111 jjjjjj uyuy

1jy

11 jj yu

11

1

ˆ1

ˆ11

j

j

jj

jj

uy

uu

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　の計算d

jj pq ))ˆ1(1(ˆ1

子ノードの数は d 個

dpxqxt ))1(1()(

)(ˆ1

pttj

j

qdb

とすると

で計算できる

j

ただしq：アクティブなものの率

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　　　のときの証明（概要）失敗確率を上から押さえて、必要な utility r を上から押さえる

Claim 4.3

（つまり n が十分大きければ、） t を　　　　　　　　　　回繰り返せば から 　　へ到達可能

))/(log( 01

01 11

定義

について　　　　　　　　　　　ならば

Lemma 4.4

jnjI ˆ/1 01

njI j /1ˆ1 002

0は　　　　　　　　　　　　を満たす

)(log),1( 21 nIOI

証明： Claim 4.3 より明らか

Lemma 4.5ある定数　　　　が存在して　　　　　ならば21 b 2Ij1

1

ˆ1

ˆ1b

j

j

証明略

2b

100 1)21( bdpb

1)21( 0 bdpb

0はある条件（ Lemma 4.5 で使う）を満たす

18

Theorem 4.6b に依存する定数 　　 　が存在して　　　　　　　　ならば

11

1

1ˆ1

ˆ1

1

111

1

1

1

1

1

buu

y

uu

uy

uu

uu

j

jjj

j

jj

jj

jj

jj

1ˆj

cj nu

アイデア：すでに得られた　　と　　の関係式をうまく使うjju

11

1

ˆ1

ˆ11

j

j

jj

jj

uy

uu

Breakpoint structure

))1/(1log(

log

1121

1

11

12

32

21

21

11

1

2

21

1

1

1

b

nI

Ii ii

ii

jj

jj

jj

jjjjj

nbbuu

uu

uu

uu

uu

uu

uu

uuuuu

Lemma 4.5

1c

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　　　のときの証明（概要）（再掲！）Claim 4.3

（つまり n が十分大きければ、） t を　　　　　　　　　　回繰り返せば から 　　へ到達可能

))/(log( 01

01 11

定義

について　　　　　　　　　　　ならば

Lemma 4.7

jjJ ˆ1 01 0は　　　　　　　　　　　　を満たす

)1(2 OJ

証明： Claim 4.3 より明らか

Lemma 4.8ある定数　　　　が存在して　　　　　ならば22 b 1Jj2

1

ˆ1

ˆ1b

j

j

証明略

2b

100 1)21( bdpb

1)21( 0 bdpb

02 1ˆ1 jjJ は任意（バウンド用）

)(log1 nJ

Lemma 4.9

証明略（　　は任意なので Claim 4.3 は使えない）

20

Theorem 4.10

　　　に依存する定数 　　 　が存在して　　　　　　　　ならば 1ˆj ncu j log'

のそれぞれについて上から押さえる

1J

21, JJ

2

)1(2

2

21

b

buu jj

Lemma 4.7 より

1'c,b

について：

1

1

1ˆ1

ˆ1

11

211

1

buu

uy

j

jjj

jj

を数学的帰納法で証明

2

)1(22

11

2

2

2

111

b

b

b

uuuyuu jjjjjj

)(log)(1

31 nOuuu

j

iiij

2j のときは OK

2211 max,max JjJj 定義：

21

Theorem 4.10 の続き

2Jについて：

1

11

1

1)ˆ(ˆ

11

ˆˆ1

1

1ˆ1

ˆ1

11

22

22

jj

jj

j

j

jj

t

uu

)(xtx は範囲　　　　　　　　　で最小値　　　を持つ]1,1[ 0

22

結論（再掲）

2b

2b

のとき

のとき

ある程度以上の確率で成功するためには、必要な utility は

ある程度以上の確率で成功するためには、必要な utility は

)( cn

)(lognO

（両方とも定数は b に依存）

分岐が激しいほうが少なくて済む（直感と異なる）

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研究の展開• 　　　　のときはどうなるか？

– Binary tree のときは– それ以外のときは？

• 　　　　のときはどうなるか？• Tree ではなくて DAG のときは？

2b

1b

)(lognO