递归 (recursion) 定义 : 若一个对象部分地包含它自己, 或用...

递归递归 (recursion)(recursion) 定义 : 若一个对象部分地包含它自己 , 或用它自己给自己定义 , 则称这个对象是递归的；若一个过程直接地或间接地调用自己 , 则称这个过程是递归的过程。

三种递归情况定义是递归的数据结构是递归的问题的解法是递归的

定义是递归的定义是递归的

求解阶乘函数的递归算法

long Factorial ( long n ) { if ( n == 0 ) return 1; else return n * Factorial (n-1);}

例如，阶乘函数

时当时当 1 ,)!1(

0 ,1!

n

n

nnn

求解阶乘 n! 的过程主程序主程序 main : fact(4)

参数 4 计算 4*fact(3) 返回 24




参数 0 直接定值 = 1 返回 1

参数传递

结果返回

递递归归调调用用

回回归归求求值值

数据结构是递归的数据结构是递归的

有若干结点的单链表

例如，单链表结构

f

f

只有一个结点的单链表

例 1.搜索链表最后一个结点并打印其数值

void Search ( ListNode *f ) { if ( f ->next == NULL ) printf (“%d\n”, f ->data ); else Search ( f ->next );}

f

f f f f

a0 a1 a2 a3 a4

递归找链尾

例 2. 在链表中寻找等于给定值的结点 , 并打印其数值

void Search ( ListNode * f, ListData x ) { if ( f ! = NULL ) if ( f -> data == x ) printf (“%d\n”, f ->data ); else Search ( f -> next, x );}

递归找含 x值的结点

f

f f f

x

例如，汉诺塔 (Tower of Hanoi) 问题的解法：如果 n = 1 ，则将这一个盘子直接从 X 柱移到 Z 柱上。否则，执行以下三步： ① 用 Z 柱做过渡，将 X 柱上的 (n-1) 个盘子移到 Y 柱上： ② 将 X 柱上最后一个盘子直接移到 Z 柱上； ③ 用 X 柱做过渡，将 Y 柱上的 (n-1) 个盘子移到 Z 柱上。

问题的解法是递归的问题的解法是递归的

算法void hanoi (int n, char X, char Y, char Z) { // 解决汉诺塔问题的算法 if ( n == 1 ) printf (" move %s",X, " to %s”,Z); else { Hanoi ( n-1, X, Z, Y );

printf (" move %s",X, " to %s”,Z); Hanoi ( n-1, Y, X, Z ); }}

递归方法是设计非数值计算程序的重要方法，它使得程序的结构清晰，形式简洁，易于阅读，正确性容易证明。

一般地讲，一个问题采用递归算法求解时，须具备 3个条件。

(1) 能将一个问题转变成一个新问题，而新问题与原问题的解法相同或类同，所不同的仅是所处理的对象，且这些处理对象的变化是有规律的。

(2) 可以通过上述转化使问题逐步简单化。 (3) 必须有一个明确的递归出口 (递归的边界 )。

递归过程及其实现递归过程及其实现递归过程在实现时，需要自己调用自己。层层向下递归，退出时的次序正好相反：递归调用 n! (n-1)! (n-2)! 1! 0!=1 返回次序

递归函数运行的“层次”

递归工作栈递归工作栈函数嵌套调用时的“后调用先返回”原则递归函数调用也是一种嵌套调用；每一次递归调用时，也需要分配存储空间（工作区）来存储参数、局部变量、返回地址等信息。

每层递归调用需分配的空间形成递归工作记录，按后进先出 (LIFO) 的栈组织。

局部变量返回地址参数

活动记录框架

递归工作记录

函数递归时的活动记录函数递归时的活动记录

……………….< 下一条指令 >

Function(< 参数表 >) ……………….<return>

调用块

函数块

返回地址返回地址 (( 下一条指令下一条指令 ) ) 局部变量参数局部变量参数

递归过程改为非递归过程递归过程改为非递归过程递归过程简洁、易编、易懂递归过程效率低，重复计算多改为非递归过程的目的是提高效率单向递归和尾递归可直接用迭代实现其非递归过程

其他情形必须借助栈实现非递归过程

计算斐波那契数列的函数 Fib(n) 的定义

求解斐波那契数列的递归算法 long Fib ( long n ) { if ( n <= 1 ) return n; else return Fib (n-1) + Fib (n-2); }

1n2),Fib(n1)Fib(n

0,1nn,)Fib(n

如 F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5

斐波那契数列的递归调用树斐波那契数列的递归调用树

Fib(1) Fib(0)

Fib(1)Fib(2)

Fib(3)

Fib(4)

Fib(1) Fib(0)

Fib(2)

Fib(1) Fib(0)

Fib(1)Fib(2)

Fib(3)

Fib(5)

Fib(1) Fib(0)

Fib(2) Fib(1) Fib(0)

Fib(2)

Fib(1)

Fib(3)

Fib(4)

栈结点栈结点 n tag

tag = 1, 向左递归； tag = 2, 向右递归

计算斐波那契数列的递推算法计算斐波那契数列的递推算法Long FibIter(long n){ if (n <=1) return n; long twoback=0,oneback=1,current; for (int I=2;I<=n;I++){ current =twoback+oneback; twoback=oneback;oneback=current; } return current;}事件复杂度： O(n)

队列 (Queue) 定义 : 只允许在表的一端进行插入，而在另一端删除元素的线性表。

在队列中，允许插入的一端叫队尾（ rear ），允许删除的一端称为队头 (front) 。

特点：先进先出 (FIFO)

a1 ， a2 ， a3 ，…， an

出队列入队列

队头

队尾

链队列：队列的链式表示

链队列中，有两个分别指示队头和队尾的指针。链式队列在进队时无队满问题，但有队空问题。

data next

front

rear

frontrear ^

空队列

frontrear

x ^ 元素 x 入队

frontrear

x ^ y ^ 元素 y 入队

frontrear

x ^^ y 元素 x 出队

^

typedef int QElemType;

typedef struct Qnode { QElemType data; // 队列结点数据 struct Qnode *next; // 结点链指针} Qnode,*QueuePtr;

typedef struct { QueuePtr rear, front;} LinkQueue;

链式队列的定义

链队列的主要操作Status InitQueue ( LinkQueue &Q ) Status DestroyQueue(LinkQueue &Q)Status ClearQueue(LinkQueue &Q) Status QueueEmpty ( LinkQueue Q ) int QueueLength(LinkQueue Q)

Status GetHead ( LinkQueue Q, QElemType &e)Status EnQueue(LinkQueue &Q,QElemType e)Status DeQueue(LinkQueue &Q,QElemType &e)

Status QueueTraverse(LinkQueue Q,visit())

入队Status EnQueue ( LinkQueue &Q, QElemType e ) { p = ( QueuePtr ) malloc( sizeof ( QNode ) ); ….. p->data = e; p->next = NULL; Q.rear->next = p; // 入队 Q.rear =p; return OK;}

出队int DeQueue ( LinkQueue &Q, QElemType &e) {// 删去队头结点，并返回队头元素的值 if ( Q.front==Q.rear ) return ERROR; // 判队空 p = Q.front ->next; e = p->data; // 保存队头的值 Q.front->next = p->next; // 新队头 if (Q.rear == p) Q.rear = Q.front ; free (p); return OK;}

循环队列 (Circular Queue)

顺序队列—队列的顺序存储表示插入新的队尾元素，尾指针增 1 ， rear = rear + 1 ，

删除队头元素，头指针增 1 ， front = front + 1 ，因此，在非空队列中，头指针始终指向队列头元素，而尾指针始终指向队列尾元素的下一个位置。

队满时再进队将溢出假溢出（图 3.12) 解决办法：将顺序队列臆造为一个环状的空间，形成循环 ( 环形 ) 队列

队列的进队和出队

front rear 空队列 front rearA,B,C, D 进队

A B C D

front rearA,B 出队

C D

front rearE,F,G 进队

C D E F G

C D E F G

front rear

H 进队 , 溢出

循环队列 (Circular Queue) 队头、队尾指针加 1 ，可用取模 ( 余数 ) 运算实现。队头指针进 1: front = (front+1) %maxsize; 队尾指针进 1: rear = (rear+1) % maxsize; 队列初始化： front = rear = 0; 队空条件： front == rear; 队满条件： (rear+1) % maxsize == front;

0

1

23

4

5

6 7

循环队列front

rear

Maxsize-1

0

1

23

4

5

6 7front

BCD

rear

一般情况

A0

1

23

4

5

6 7 rear

空队列

front

队满条件： (rear+1) % maxsize == front

C0

1

23

4

5

6 7front

rear

DE

FG

A

BC

队满

C0

1

23

4

5

6 7front

rear

DE

FG

A

BC

H

#define MAXSIZE 100Typedef struct{

QElemType *base;int front;int rear;

} SqQueue;

循环队列的类型定义

循环队列操作的实现循环队列操作的实现

初始化队列Status InitQueue ( SqQueue &Q ) {// 构造空队列 Q.base=(QElemType *) malloc (MAXSIZE*sizeof(QElemType)); if (! Q.base) exit(OVERFLOW); Q.rear = Q.front = 0; return OK;}

入队Status EnQueue ( SqQueue &Q, QElemType e ) { if ( (Q.rear+1) % MAXSIZE ==Q.front) return ERROR; // 队满 Q.base[Q.rear] = e; Q.rear = ( Q.rear+1) % MAXSIZE; return OK;}

出队Status DeQueue ( SqQueue &Q, QElemType &e ) { if ( Q.front == Q.rear ) return ERROR; // 队空 e = Q.base[Q.front];

Q.front = ( Q.front+1) % MAXSIZE;return OK;

}

队列的应用队列的应用 ------ 离散事件模拟离散事件模拟银行业务模拟程序模拟银行业务活动并计算一天中客户在银行平均逗留时间事件驱动模拟—按事件（客户到达或客户离开）发生的先后

顺序进行处理。

主要的数据结构：一个事件表（有序链表） -------- 用来记录待处理的事件 n 个队列 ------ 用来对应 N 个窗口的客户队列

typedef struct{ int OccurTime; int Ntype;} Event,ElemType; // 事件类型

typedef LinkList EventList // 事件链表类型

Type struct{ int ArrivalTime; int Duration;} QElemType; // 队列元素类型

递 归 (recursion) 定义 : 若一个对象部分地包含它自己, 或用...

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递归 (recursion) 定义 : 若一个对象部分地包含它自己, 或用...