單一訂購量單一訂購量 (Single Order Quantities )(Single Order Quantities )

Single Order Quantities (S O Q) 為一次之採購之策略。當 EOQ , EOI , EPQ 不能使用時，且訂購之物品有節日性，一年可能只定購一次，如聖誕卡，月餅，雜誌等。

第七章第七章 單一訂購量單一訂購量 (Single Order Quantities )(Single Order Quantities )

SOISOI 模型的應用範圍模型的應用範圍 一、在不規律期間存在有需求一、在不規律期間存在有需求：：

如流行的產品，零售業的訂購如流行的產品，零售業的訂購或保養維修用的備品。或保養維修用的備品。

二、在頻繁間隔且二、在頻繁間隔且短生命週期短生命週期項目的不確定性需求：項目的不確定性需求：如腐壞如腐壞的物品，生命週期短或逐漸作的物品，生命週期短或逐漸作廢的物品。廢的物品。

如果對週期內之需求如果對週期內之需求大於大於訂購量，會有利益損失訂購量，會有利益損失的可能發生。若需求的可能發生。若需求小於小於訂購量，可能會有過量訂購量，可能會有過量的存貨的情況。的存貨的情況。

過量的存貨處理有哪些方法：過量的存貨處理有哪些方法：

這個嘛……

一、損壞後拋棄。一、損壞後拋棄。二、降低售價。二、降低售價。三、存到下季再銷售。三、存到下季再銷售。

你答對了嗎 ?

單一訂購問題能依來源、需求和前置時間來分類，如單一訂購問題能依來源、需求和前置時間來分類，如圖圖7.17.1 所示。所示。

圖圖 7.17.1

Example 1Example 1　　 某一商家決定要在聖誕節賣聖誕樹，而商家要訂購某一商家決定要在聖誕節賣聖誕樹，而商家要訂購

一次且滿足一次且滿足 8585 百分比之服務水準並決定訂購之前置時間百分比之服務水準並決定訂購之前置時間，下表，下表 7.17.1 為前置時間之分配，為前置時間之分配，

Lead time (Day) Number of occurrencesLead time (Day) Number of occurrences    10 1010 10 11 1011 10 12 15 12 15 13 2013 20 14 3014 30 15 10 15 10 16 516 5

100

表 表 7.17.1

下表為機率之分配表Lead-time Probability Probability of Lead-time L P(L) （累積機率） L ك 10 0.1 0.1 11 0.1 0.2 12 0.15 0.35 13 0.2 0.55 14 0.3 0.85 15 0.1 0.95 16 0.05 1 由上表之機率分配表得知再前置時間為 14 天定購時可

以滿足滿足 85 百分比之服務水準。

Example 1 Example 1 （續）（續）表 表 7.27.2

7-3 7-3 需求為變數和前置時間已知需求為變數和前置時間已知如果需求不知道但需求的機率分配可獲得，此問題能在指定的冒險率下求得解答，其訂購量的大小可由最大的期望利潤或最小的期望成本中選擇。

需求在小於或等於單一訂購量的離散機率：

Q

M

M

QM

MAX

MPMPQMP0 1

1

Q= 單一訂購量 M= 隨機需求P(M)=M 單位需求時的機率 MMAX= 最大需求量

需求超過訂購量的機率：需求超過訂購量的機率：

Q

M

M

QM

MPMPQMPMAX

01

1

每個離散需求策略每個離散需求策略 QQii 的期望值為：的期望值為： niniii MQFMPMQFMPMQFMPQE ...1100

n

jjij MQFMP

0

F(QiMi) ：當真實的需求是 Mj 下，策略為 Qi 的結果

AQMJQMQF ijiji for for (( 缺貨情況缺貨情況 )) ji MQ

F(QiMi) 的關係式

LMQJMMQF jijji for for (( 過量情況情況 )) ji MQ

A= 每單位的缺貨成本J= 單位的利潤L= 不可利用的處置之每單位損失成本Qi=i 項的單一訂購量Qi-Mj= 過量的存貨量Mj-Qi= 缺貨量

（以利潤的角度）（以利潤的角度）

F(QiMi) 的關係式 （以成本的角度）（以成本的角度）

PQMQF iji for for (( 生產過量情生產過量情況況 ))

ji MQ

for for (( 生產不足情生產不足情況況 ))

ji MQ AQMPQMQF ijiji

P=P= 單位成本單位成本

在表在表 7.37.3 中的矩陣，描寫先前的離散數學關係：中的矩陣，描寫先前的離散數學關係：

策略 機率： P(M0) P(M1) … P

(Mn) 自然狀況 M0 M1

Mn

期望值

Q0

Q1

..Qm

F(Q0M0) F(Q0M1) … F(Q0Mn)

F(Q1M0) F(Q1M1) … F(Q1Mn)

F(QmM0) F(QmM1) … F(QmMn)

E(Q0)

E(Q1)

..E(Qm)

表表 7.37.3

【例題二】【例題二】 商人希望在聖誕節期間賣聖誕樹，他僅能有一次訂購的商人希望在聖誕節期間賣聖誕樹，他僅能有一次訂購的時間，每棵樹的成本為時間，每棵樹的成本為 $2.00$2.00 元，賣出售價為元，賣出售價為 $6.00$6.00 元，訂購元，訂購成本可忽略，沒有賣出的樹可當柴售出，售價成本可忽略，沒有賣出的樹可當柴售出，售價 $1.00$1.00 元。商人元。商人必須訂購十種樣式的樹，其需求的分配如必須訂購十種樣式的樹，其需求的分配如表表 7.47.4 所示，問商人所示，問商人要訂購多少樹呢？要訂購多少樹呢？

需求量 M 機率 P(M)

102030405060

0.100.100. 200. 350. 150. 101. 00

表表 7.47.4

解：解： 由每個策略和自然的狀態之利益分配下的矩陣如由每個策略和自然的狀態之利益分配下的矩陣如表表 7.57.5 所示所示，最後選擇期望利益最高的值，訂購量為，最後選擇期望利益最高的值，訂購量為 5050 。。

表表 7.57.5

策略 機率 0.10 0.10 0.20 0.35 0.15 0.10自然狀況 10 20 30 40 50 60

期望值

102030405060

40 20 30 40 50 60 30 80 80 80 80 80 20 70 120 120 120 120 10 60 110 160 160 160 -10 40 90 140 190 240

40.0075.00105.00125.00127.50127.50122.50

0 50 100 150 200 200

1.1. 上節所示每個預期訂購量的大小要徹底表列，當數目上節所示每個預期訂購量的大小要徹底表列，當數目 過大時會有繁瑣的過程過大時會有繁瑣的過程

獲益分析獲益分析 (Benefit Analysis)(Benefit Analysis)

2.2. 本節導出簡單的最佳利益下之訂購量，在最大的期望利本節導出簡單的最佳利益下之訂購量，在最大的期望利 益下，決定在期間結束時的訂購量大小益下，決定在期間結束時的訂購量大小 期望利潤 (EP)= 期望收入 (ER)- 期望成本 (EC) 期望收入 (ER)= 期望出售收入 + 期望報廢收入

QQdMMfMQVdMMfMQQPER

001

Q

dMMfMQPVQP011

（ 1 ）

（ 2 ）期望成本 (EC)= 購買成本 + 訂購成本 + 期望缺貨成本

（ 2 ）

Q

dMMfQMACPQEC

（ 3 ）

Q

QdMMfQMACPQdMMfMQPVQPEP

011

CPQdMMfQMAVPMQPVQPQ

111

A= 每單位的缺貨成本 C= 每次訂購的訂購成本M= 隨機變數的需求量 f(M)= 需求的機率密度函數M-Q= 缺貨量 Q= 單一訂購量Q-M= 過量的存貨量 P= 購買成本P1= 賣出價格 P(M>Q)= 缺貨的機率V= 每單位的報廢價值

Q

dMMfMQ0

= 期望的過量數量

Q

dMMfQM0

= 期望的缺貨數量

=P=P11+V-P1+(P+V-P1+(P

11+A-V+A-V)P(M>Q))P(M>Q)-P=0-P=0dQ

dEP

AMLMP

ML

VAP

VP

1

最佳缺貨機率最佳缺貨機率 = P(M>Q) = P(M>Q) = = P(S)P(S) = =

ML=P-V=ML=P-V= 邊際損失邊際損失MP=PMP=P

11-P=-P= 邊際利益邊際利益

Example3某一商家決定要在聖誕節賣聖誕樹，而商家要訂購一次且決定訂購量，買進每顆之價錢為 $2 ，賣出為 $6 ，過了聖誕節後一顆只能賣出 $1 ，下表為需求之機率分配 Demand M Probability P(M)  10 0.1 20 0.1 30 0.2 40 0.35 50 0.15 60 0.10 1

Example 3Example 3 （續）（續） P(s) = ML / MP+ML+A P(s) = ML / MP+ML+A = 1/4+1+0=0.2 (Optimum stockout probability)= 1/4+1+0=0.2 (Optimum stockout probability)

  Demand M Probability P(M) Probability of Demand>MDemand M Probability P(M) Probability of Demand>M

    10 0.1 0.910 0.1 0.9 20 0.1 0.820 0.1 0.8 30 0.2 0.6 30 0.2 0.6 40 0.35 0.2540 0.35 0.25 50 0.15 0.1 50 0.15 0.1 60 0.1 0.0 60 0.1 0.0 11

由於 P(s) 為 0.2 介於需求為 40 和 50 之間選擇 Probability of Demand 較小的，所以訂購 50 個為最佳。

某公司種植灌木樹，要在每年某公司種植灌木樹，要在每年的春天收割及出售，的春天收割及出售，公司想依據過去經驗公司想依據過去經驗，，估計估計切割和修剪的數量………切割和修剪的數量………

請您幫幫忙

【例題四】【例題四】 某公司種植灌木樹，要在每年的春天收割及出售，公某公司種植灌木樹，要在每年的春天收割及出售，公司估計切割和修剪的成本司估計切割和修剪的成本 $2.50$2.50 元。平均的轉運成本為每元。平均的轉運成本為每棵棵 0.500.50 元，公司賣給零售商的價格為每棵元，公司賣給零售商的價格為每棵 $5.00$5.00 元。如果元。如果樹收割但沒賣出，計為全部損失，其中不包含轉運費用。樹收割但沒賣出，計為全部損失，其中不包含轉運費用。需求情況如表需求情況如表 7.77.7 所示，公司要收割多少量下之利益最大所示，公司要收割多少量下之利益最大？？表表 7.77.7 需求量 (千 ) 機率 P(M)

1020304050

0. 100. 200. 250. 300. 151. 00

【例題四】解：【例題四】解： 由表由表 7.87.8 所示，最佳的缺貨機率在所示，最佳的缺貨機率在 0.700.70 和和 0.450.45 之間，之間，選擇較小值，所以收割量為選擇較小值，所以收割量為 3000030000 棵。棵。  

55.0050.200.2

50.2

AMLMP

MLSP

0.450.45

需求量 M 機率 需求的機率 >M

1020304050

0.100.200.250.300.15

0.900.70

0.150.00

表表 7.87.8

成本分析 成本分析 (Cost Analysis)(Cost Analysis)

期望成本期望成本 (EC)(EC)== 訂購成本訂購成本 ++ 購買成本購買成本 ++ 期望缺貨成期望缺貨成本本 -- 期望過量價值期望過量價值

Q

QdMMfMQVdMMfQMAPQCEC

0)()()()(

Q

QMVdMMfQMVPQC )()()()(

C=C= 每次訂購的訂購成本 每次訂購的訂購成本 P=P= 每單位的購買成每單位的購買成本本Q=Q= 單一訂購量 單一訂購量 A=A= 每單位的缺貨成每單位的缺貨成本本M=M= 隨機變數的需求量 隨機變數的需求量 M-Q=M-Q= 缺貨量缺貨量f(M)=f(M)= 需求的機率密度函數 需求的機率密度函數 V=V= 每單位的報廢價每單位的報廢價值值

最佳缺貨機率 =

0 VQMPVAPdQ

dEC

VA

VPsPQM

1-P(s)1-P(s) 表示服務水準，如果需求為常態分配在平均值為 表示服務水準，如果需求為常態分配在平均值為 和標準差為 ，單一訂購量的最小期望成本為：和標準差為 ，單一訂購量的最小期望成本為：

最佳單一訂購量最佳單一訂購量 ==

M

ZMQ *

表表 7.97.9 為為 P(s)P(s) 缺貨機率為標準常態分配表。缺貨機率為標準常態分配表。 (( 見講見講義義 ))

【例題五】【例題五】 某百貨公司剛購買新的中央空調設備，估計此設備的壽命某百貨公司剛購買新的中央空調設備，估計此設備的壽命為為 1212 年。管理者必需決定購買多少備用的壓縮機，如果購買新年。管理者必需決定購買多少備用的壓縮機，如果購買新的壓縮機每個要的壓縮機每個要 $100$100 元，如果當它故障才修理要元，如果當它故障才修理要 $1000$1000 元。表元。表7.107.10 為中央空調設備壽命時間內零件故障的機率分配情況，假為中央空調設備壽命時間內零件故障的機率分配情況，假設報廢價值可忽略，如果持有成本忽略的話要購買多少？如果設報廢價值可忽略，如果持有成本忽略的話要購買多少？如果持有成本為持有成本為 10%10% 時，要購買多少？假設故障的發生是等間隔的時，要購買多少？假設故障的發生是等間隔的，單一次故障的發生在第六年結束，，單一次故障的發生在第六年結束， 22 次故障的發生分別在第次故障的發生分別在第四年和第八年結束，四年和第八年結束， 33 次故障的發生分別在第三年、第六年和次故障的發生分別在第三年、第六年和第九年結束。第九年結束。

表表 7.107.10

0.050.05

故障的次數M

機率 故障次數的機率 >M

0123

0.300.400.250.051.00

0.700.30

0.00

表表 7.117.11

200 200 200 250

策略 機率 0.30 0.40 0.25 0.05

自然狀況 0 1 2 3

期望值

0123

0 1000 2000 3000 100 100 1100 2100 300 300 300 300

1050450250250300

解：解： 持有成本忽略時，期望成本如表持有成本忽略時，期望成本如表 7.117.11 所示：所示：

策略策略 22 期望成本最低，管理者應決定訂購兩個壓縮機。可用期望成本最低，管理者應決定訂購兩個壓縮機。可用容易的方法得到相同答案。容易的方法得到相同答案。   由表由表 7.107.10 中可得應購買中可得應購買 22台。台。  

1.001000

0100

VA

VPsP

查閱現值表查閱現值表 7.127.12

在第幾年的故障在第幾年的故障 因素因素

3344668899

0.7510.7510.6930.6930.5640.5640.4670.4670.4240.424

表表 7.127.12

對未來單一支付結果之因素，可得 表對未來單一支付結果之因素，可得 表 7.13 7.13 的期望成本。的期望成本。

表表 7.137.13

200 200 200 624200 200 200 624

策略策略 機率機率 0.30 0.40 0.25 0.0.30 0.40 0.25 0.0505自然狀況自然狀況 0 1 2 30 1 2 3

期望期望值值

00112233

0 564 1150 17390 564 1150 1739 100 100 567 1088100 100 567 1088 300 300 300 300300 300 300 300

600.25600.25266.15266.15221.20221.20300.00300.00

上表之計算方式，舉策略上表之計算方式，舉策略 00 及自然狀況及自然狀況 33 的範例來說明，的範例來說明，期望值為期望值為 0.751(1000)+0.564(1000)+0.424(1000)=17390.751(1000)+0.564(1000)+0.424(1000)=1739 由上表可知最小的期望成本為策略由上表可知最小的期望成本為策略 22 時，管理者應決定訂時，管理者應決定訂購兩台。購兩台。

Example 6Example 6

如果已知需求為常態分配且平均數如果已知需求為常態分配且平均數 (M)(M) 為為 100 100 ，標準差，標準差 σσ 為 為 20 20 ，而每一個成本為，而每一個成本為 100100 ，缺貨成本，缺貨成本為為 1000 1000 ，求需訂購幾個？，求需訂購幾個？ << 解解 >> P(s) = P- V/A - V P(s) = P- V/A - V = (100-0) / (1000-0 ) = (100-0) / (1000-0 ) = 0.1= 0.1

Q*= M + ZQ*= M + Zσσ = 100 +1.29 (20) = 100 +1.29 (20) = 126= 126 個個