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対称マルコフ過程の加法汎関数に関する話題

竹田雅好

1. 序

A. Beurling と J. Deny [4], [5] がディリクレ空間の概念を導入し, ポテンシャル論を展開した. ディリクレ空間のポテンシャル論を用いて福島正俊 [27]は, ディリクレ空間から対称な Hunt 過程を構成することに成功した. それ以来, ディリクレ空間の理論は対称な Hunt過程の構成と解析の有効な道具として発展してきた ([8], [29],[42], [54]). ディリクレ空間の理論は L2-理論であり, すべての出発点に対して Hunt過程が構成されるわけではない. ディリクレ空間から容量が定義され, その容量に関して零の除外集合を許して一意的に構成される. このことはディリクレ空間による構成方法の弱点であるが, 特異なマルコフ過程の構成を可能にしているという意味で利点でもある.マルコフ過程論は分布を問題にするという意味で L1-理論であり, すべての出発点

を問題にするという意味で C-理論であり L∞-理論である. L2-理論であるディリクレ空間論とのギャップを埋めるために,ディリクレ空間の生成するマルコフ半群, さらに一般化した Feynman–Kac (Schrodinger)半群の増大度に関する Lp-独立性を示す([60], [63], [70]). 対称マルコフ過程の L∞-的性質に関する必要十分条件を L2-スペクトラムの下限の言葉で与えることを Lp-独立性は可能にする. 例えば, Feynman–Kac汎関数の可積分性 (gaugeability)や Schrodinger作用素の熱核がガウス型評価を持つための必要十分条件などが, L2-スペクトラムの下限を用いて与えられる ([61]), [62]).Lp-独立性の証明には, Donsker–Varadhan([23], [24])による大偏差原理証明のアイデアが用いられる. 特に, レート関数とディリクレ形式の同定が重要である. この講義の主な目的は, 加法汎関数の漸近挙動を時間変更過程の Lp-独立性を用いて調べることにある.正の連続加法汎関数 (PCAF)による時間変更の理論は, マルコフ過程論において

基本的な道具である. マルコフ過程が対称性を満たすときは, その時間変更過程も対称であり, 生成するディリクレ空間は定義域をこめて完全に同定できる ([15], [29]).このことは, ディリクレ形式とマルコフ過程の対応における最も大切な事実のひとつである. マルコフ過程の境界値問題に対しても重要な役割を果たしている (Chen-Fukushima[15]). ここでは, M. Kacによる公式の別証明と拡張を, 応用例として与えておこう.最初の公式は [37]で示されたものである: (Bt,PW

x )を 3次元ユークリッド空間 R3

上のブラウン運動とし, K を滑らかな (いわゆる Kac regularityを満たす)境界を持つコンパクト集合とする. このとき

(1.1) limβ→∞

1

βlogPW

x

(∫ ∞

0

1K(Bt)dt > β

)= − 1

λ2

が成り立つ. ここで 1/λ2 は

(1.2) Gf(x) =1

π

∫K

f(y)

|x− y|dy, f ∈ L2(K; dx)

で定義される作用素Gの最大固有値である. この公式は, 時間変更過程の生存時間に関する公式と考えられる. もっと正確に述べるために, (Yt, Px)をPCAF

∫ t

01K(Bs)ds

による時間変更過程とする. Ytの生存時間 ζ は∫∞0

1K(Bt)dtに等しいことに注意すると, 式 (1.1)における確率は Px(ζ > β)と等しい. また, 作用素 Gが時間変更過程

1

2 竹田雅好

Yt のグリーン作用素であることより, λ2 は Yt の生成作用素の L2-最小固有値にほかならない. したがって, 公式は Px(ζ > β)の長時間挙動が L2の量 λ2で与えられることを示しており, 時間変更過程における Lp-独立性が背後にあると考えられる. 4節では, 時間変更過程における Lp-独立性を用いてこの公式を拡張する.二番目の公式は [38]で示されたものである: L1(R3)に属する正の関数 V に対し

て, Γ(V )を

(1.3) Γ(V ) = limt→∞

1

t

∫R3

(1− EW

x

(e−

∫ t0V (Bs)ds

))dx

で定義する. Γ(V )は, 解析的に定義される散乱距離 (scattering length)の確率表現を与えている (M. Kac [38]). 滑らかな境界を持つ R3 のコンパクト集合K に対し

(1.4) Γ(α1K) −→ Cap(K), α→ ∞

を Kacは示した. ここで Capはニュートン容量である. この公式もまた上で定義した時間変更過程 Yt の生存時間 ζ に関する公式とみなせる. 実際,

Γ(α1K) = α

∫K

EWx

(exp

(−α

∫ ∞

0

1K(Bt)dt

))dx

が示せ, 右辺は α∫KEx(exp(−αζ))dxに等しい. Kacは, 公式 (1.4)の拡張として次

の様な予想をした ([38]): コンパクトな台を持つ正の L1-関数 V に対して, 極限

γV := limα→∞

Γ(αV )

は V の台の容量に等しい. M. Taylor[76]がこの予想を確率論的に証明し, H. Tamura[75]は解析的に示した. Y. Takahashi [57]は一般な対称マルコフ過程に対し, Γ(V )に新たな確率表現を与え, もし V がコンパクトな台を持つ正の連続関数であれば, 極限γV が存在し, 集合 x : V (x) > 0にのみ依存することを示した. ディリクレ形式のおける時間変更の理論を用いて, これら結果の簡単な証明を 6節で与える.他の節においても Lp-独立性と時間変更に関連する話題について述べる. 5節では,

Lp-独立性の応用として Feynman–Kac汎関数の可積分性 (gaugeability)について述べる. さらに gaugeabilityの応用として, Feynman–Kac処罰問題について 7節で, 熱核の安定性について 8節で述べる. 大偏差原理と Feynman–Kac処罰問題においては,対称マルコフ過程のエルゴード性が重要な役割を果たす. 9節で, その要点についてまとめた. 10節では, 生存時間が有限となる場合も許す対称マルコフ過程に対して,Donsker–Varadhan型大偏差原理の証明を与えておく.

2. Donsker–Varadhan型大偏差原理

マルコフ過程の滞在分布に対する Donsker–Varadhan型大偏差原理の証明は, 対称性を仮定の下で著しく容易になる. M. Donskerと S.R.S. Varadhanは彼らの大偏差原理のレート関数としていわゆる I-functionを導入したが, その具体形を求めることは一般には難しい. しかし, 対称マルコフ過程の場合であれば, その生成するディリクレ形式に等しい ([23]). さらに, 一次元ブラウン運動の大偏差原理を示すときに用いたオリジナルなアイデア [22]に立ち返って, 爆発や内部消滅を許す対称マルコフ過程に対して大偏差原理を示すことができる.X を局所コンパクト可分距離空間とし, mをその台が全空間X である正のラドン

測度とする. M = (Ω,F,Ft, Xt,Px, ζ)をm-対称なマルコフ過程とする. ここでΩは,[0,∞]から一点コンパクト化した空間 X∆ = X ∪ ∆への右連続左極限を持ち, 任意の t ≥ ζ(ω) = infs ≥ 0 : w(s) = ∆に対し ω(t) = ∆かつ ω(∞) = ∆を満たすつ写像の全体とする. 確率変数 ζ は生存時刻とよばれ, 有限の値をとることもある. Xt

は ω ∈ Ω, t ≥ 0に対し Xt(ω) = ω(t)で定義され, Ftt≥0 は極小な容認されるフィルトレーション (minimal (augmented) admissible filtration)とする.

対称マルコフ過程の加法汎関数 3

(E ,D(E))をMから生成される L2(X;m)上のディリクレ形式とする:

(2.1)

D(E) =

u ∈ L2(X;m) : lim

t→0

1

t(u− ptu, u)m <∞

E(u, v) = lim

t→0

1

t(u− ptu, v)m.

ディリクレ形式 (E ,D(E)) は正則 (regular), すなわち, D(E) ∩ C0(X) は D(E) の中で E1-ノルムに関して稠密であり, C0(X) の中で一様ノルムに関して稠密であるとする. ここで, C0(X)はコンパクトな台を持つ X 上の連続関数の空間, E1(u, u)はE(u, u) + (u, u)m とする. 拡大ディリクレ空間 (extended Dirichlet space)De(E)は,X 上の |u| < ∞ m-a.e.なる可測関数 uで, E-コーシー列 un∞n=1 ⊂ D(E)が存在しlimn→∞ un = u m-a.e. なるもの全体として定義される.ディリクレ空間 (E ,D(E))に付随する容量 (1-capacity) Capを次で定義する: 任意

の開集合 O ⊂ X に対して,

Cap(O) = infE1(u, u) : u ∈ D(E), u ≥ 1, m-a.e. on Oで, 任意のボレル集合 A ⊂ X に対して,

Cap(A) = infCap(O) : O is open, O ⊃ A.0-capacity Cap(0)は, 上の E1と D(E)を E と De(E)にそれぞれ置き換えることで定義される. いま AをX の部分集合としよう. x ∈ Aに関する主張が “q.e. on Aで成り立つ” とは, 容量零の集合N ⊂ Aが存在して, その主張が全ての x ∈ A \N に対して成り立つことをいう. “q.e.” は “quasi-everywhere”の略記である. X 上 q.e.に定義された実数値関数 uが準連続 (quasi continuous)であるとは, 任意の ϵ > 0に対して開集合 G ⊂ X が存在し, Cap(G) < ϵかつ u|X\G が連続であるときをいう. ここに, u|X\Gは uのX \Gへの制限を表わす. D(E)に属する関数 uは準連続修正 u, すなわち, u = u m-a.e. を持つ. 以後, 全ての関数 u ∈ D(E)は準連続修正されたものとする.

ptt≥0, Rαα>0 を, それぞれMの半群, レゾルベントとする:

ptf(x) = Ex(f(Xt)), Rαf(x) = Ex(

∫ ∞

0

e−αtf(Xt)dt).

対称マルコフ過程Mに対して, 以下の仮定を置く:

I. (Irreducibility) もし, ボレル集合 Aが pt-不変, すなわち,

pt(1Af)(x) = 1Aptf(x) m-a.e. for any f ∈ L2(X;m) ∩ Bb(X) and t > 0,

ならば, m(A) = 0またはm(X \A) = 0を満たす. ここで, Bb(X)は有界なボレル関数の全体.

II. (Strong Feller Property) pt(Bb(X)) ⊂ Cb(X), t > 0.

III. (Tightness Property) 任意の ϵ > 0に対して, コンパクト集合K が存在してsupx∈X R11Kc(x) ≤ ϵを満たす. ここで 1Kc はK の補集合の定義関数.

Remark 2.1. (i) 仮定 IIより推移確率 pt(x, dy)はmに関して絶対連続,

(2.2) pt(x, dy) = pt(x, y)m(dy) for t > 0, x ∈ X

となり, リゾルベント核もmに関して絶対連続, Rβ(x, dy) = Rβ(x, y)m(dy)となる.[29, Lemma 4.2.4]によると,密度Rβ(x, y)は対称な非負ボレル関数で, xと yに関してβ-excessiveとなるようにとれる. この絶対連続条件の下, “quasi everywhere”に成立する主張は “everywhere”に成立する主張に強めることができ, 様々な概念を容量零の除外集合なしに定義することができる. 例えば,狭義の滑らかな測度 (smooth measures inthe strict sense)や狭義の正の連続加法汎関数 (positive continuous additive functionalin the strict sense)などである (cf. [29, Section 5.1]). ここでは仮定 IIの下, すべて

4 竹田雅好

狭義の意味の概念を用いるので “狭義の”は省く.(ii) m(X) < ∞で ∥R1∥1,∞ < ∞が成り立つならば, ∥R11Kc∥∞ ≤ ∥R1∥1,∞m(Kc)となり仮定 IIIを満たす. ここで ∥R1∥1,∞は L1(X;m)から L∞(X;m)への作用素ノルム.(iii) R11 ∈ C∞(X)ならば, 仮定 IIIは満たされる. ここで C∞(X)は無限遠点で 0となる連続関数の全体.もし C∞(X)がR1の作用で不変, R1(C∞(X)) ⊂ C∞(X), ならば, R11 ∈ C∞(X)は仮定 IIIと同値になる. マルコフ過程Mが保存的であるならば,仮定 IIIは「任意の ϵ > 0に対しコンパクト集合Kが存在し, infx∈X R11K(x) ≥ 1−ϵを満たす.」ことと同値であり, 正再帰性を意味する.(iv) P をX 上の確率測度の全体とし, 弱位相を入れる. P の部分集合 PM を

PM =

u2 ·m : u ∈ D(E),

∫X

u2dm = 1, E(u, u) ≤M

, M > 0

で定義する. 仮定 IIIと下の (5.14)から PM が緊密 (tightness)であることが従う; 実際, 任意のコンパクト集合K ⊂ X と u2 ·m ∈ PM に対して

(2.3)

∫Kc

u2dm ≤ ∥R11Kc∥∞ ·(E(u, u) +

∫X

u2dm

)≤ (M + 1)∥R11Kc∥∞.

([55]).

Remark 2.2. 対称マルコフ過程Mが保存的で, その半群が pt(C∞(X)) ⊂ C∞(X)を満たすとする. このことは “任意の t > 0とコンパクト集合K に対して,

limx→∞

Px(σK ≤ t) = 0.”

が成り立つことと同値である ([75, Proposition 3.1]). よって, limx→∞R11Kc(x) = 1となり, supx∈X R11Kc(x) = 1が従い, Mは仮定 IIIを満たさない.

P 上の関数 IE を

IE(µ) =

E(

√f,

√f) if µ = f ·m,

√f ∈ D(E)

∞ otherwise

で定義する. ζ(ω) > tを満たす ω ∈ Ωに対し, 正規化された滞在時間 Lt(ω) ∈ P を

Lt(ω)(A) =1

t

∫ t

0

1A(Xs(ω))ds, A ∈ B(X)

で定義する. このとき, 次の Donsker–Varadhan型大偏差原理をえる.

Theorem 2.3. (i) ([58]) For any open set G of P

lim inft→∞

1

tlogPν(Lt ∈ G, t < ζ) ≥ − inf

µ∈GIE(µ) for all ν ∈ P.

(ii) For any closed set K of P

lim supt→∞

1

tlog sup

x∈XPx(Lt ∈ K, t < ζ) ≤ − inf

µ∈KIE(µ).

上の定理に関して, いくつかのコメントを与える. 関数空間 D+ を

D+ =Rαf : α > 0, f ∈ L2(X;m) ∩ C+

b (X) and f ≡ 0

で定義する. ここで C+b (X)は非負で有界な連続関数の空間. D+ に属する任意の関

数は, 仮定 Iより正値である. 乗法汎関数 Lϕt , ϕ = Rαf ∈ D+, を

(2.4) Lϕt =

ϕ(Xt)

ϕ(X0)exp

(−∫ t

0

Aϕ

ϕ(Xs)ds

)1t<ζ, Aϕ = αRαf − f


で定義する. Mϕ = (Ω, Xt,Pϕx, ζ)は, Mを乗法汎関数 Lϕ

t で変換してできるマルコフ過程とする:

Pϕx, (F ; t < ζ) = Ex(L

ϕt 1F ; t < ζ), F ∈ Ft.

Theorem 2.3 (i)の証明については, Mの対称性が不可欠である. Mが対称であれば,爆発や内部での消滅があったとしても, Mϕは平衡測度 ϕ2mを持つエルゴディックな対称マルコフ過程となる. この事実の証明に関しては, そのスケッチを 11節で与える. もしK が P のコンパクト集合であれば, Theorem 2.3 (ii)は仮定 IIIなしで成り立つ. 仮定 IIIは, コンパクト集合から閉集合に主張を強めるときに必要となる. さらに, 仮定 IIIは初期値に関して一様な上からの評価を得るためにも必要となる. 実際,Ornstein-Uhlenbeck過程は仮定 IIIを満たさないし, 局所一様な上からの評価は成り立つが一様な評価は成り立たない ([24],[79]).

P 上の関数 I を

(2.5) I(µ) = − infu∈D+

ϵ>0

∫X

Au

u+ ϵdµ

で定義する. 関数 Iは [23]で導入されたDonsker–Varadhanの I-functionと呼ばれるものの変型である. Mは爆発を許すので, 関数 f が一様に正の定数で下から評価されていたとしても, 関数 u = Rαf ∈ D+ は必ずしもそうはならない. 結果として Au/uは必ずしも有界とはならない. 正の定数 ϵを加えるのは, Au/(u+ ϵ)を有界連続関数にするためで, このことより, (2.5)で定義される I-functionは弱位相に関して下半連続となる. このことが, Donsker–Varadhanの I-functionを修正した理由である. その修正にも拘わらず, I-function (2.5)はディリクレ形式と同定される ([29, Theorem6.4.2]):

Proposition 2.4.

I(µ) = IE(µ), µ ∈ P.

Proposition 2.4から IE も弱位相に関して下半連続となることが分かる. 無限次元空間を許すより一般な状態空間上の対称マルコフ過程を扱うため, Jain–Krylov[36]はリゾルベント Rαα>0の代わりに半群 ptt≥0を用いた I-functionの変型を提案している.

Corollary 2.5. (Extended variational formula for Dirichlet forms) For f ∈D(E)

(2.6) E(f, f) = supu∈D+

ϵ>0

∫X

−Auu+ ϵ

f2dm.

λ2 をスペクトルの下限とする:

(2.7) λ2 = inf

E(f, f) : f ∈ D(E),

∫X

f2dm = 1

.

Corollary 2.5を用いると, 任意の u ∈ D+(A)と ϵ > 0に対して,

(2.8) λ2 ≥ infx∈X

−Auu+ ϵ

(x).

が成り立つ. Corollary 2.5の拡張については, [53]をみよ. ディリクレ形式の変分表現の応用については [12]をみよ.

S.R.S. Varadhan [78]は大偏差原理の抽象的な定義を与えた. Theorem 2.3は彼の定式化とは若干異なる; マルコフ過程が保存的であることを仮定していないので,

6 竹田雅好

Theorem 2.3は不変測度からの大偏差原理とはみなせない. このため, 正規化した P上の確率測度 Qx,t を

(2.9) Qx,t(B) =Px(Lt ∈ B, t < ζ)

Px(t < ζ), B ∈ B(P)

で定義すると, Qx,tt>0はJ(ν) := IE(ν)−λ2, ν ∈ P,をレート関数とするVaradhan

の意味での大偏差原理を満たす. 言い換えると, Qx,tt>0 は, J(ν) を good ratefunctionとする full large deviation principleを満たす. さらに, ground state ϕ0 が存在し (Lemma 2.6), ϕ20 ·mは J(ν) = 0を満たす唯一の確率測度となる. ここで, 関数 ϕ0 が, ϕ0 ∈ D(E), ∥ϕ0∥2 = 1かつ E(ϕ0, ϕ0) = λ2 を満たすとき, E から決まる自己共役作用素の ground state という. このことから, Theorem 2.3は ground stateからの大偏差原理として解釈することができることをみていこう.

Lemma 2.6. ([71]) Assume that M satisfies I∼III. Then there exists a groundstate ϕ0 of A uniquely up to a sign. ϕ0 can be taken to be strictly positive on X.

Proof. In our proof of the existence of the minimizer in the right hand side of (2.7),the identification of the I-function with the Dirichlet form (Proposition 2.4) playsa crucial role. In fact, let un∞n=1 ⊂ D(E) be a minimizing sequence, that is,∥un∥2 = 1 and λ2 = limn→∞ E(un, un).

We see from (2.3) that for any ϵ > 0 there exists a compact set K such that

supn

∫Kc

u2n · dm ≤ ∥R1IKc∥∞ ·(supn

E(un, un) + 1

)< ϵ,

that is, the subset u2n · m∞n=1 of P is tight. Hence there exists a subsequenceu2nk

· m∞k=1 such that u2nkm converges weakly to a probability measure ν. It

follows from Proposition 2.4 that the function IE is lower semi-continuous withrespect to the weak topology,

IE(ν) ≤ lim infk→∞

IE(u2nk

·m) = lim infk→∞

E(unk, unk

) <∞.

Therefore we see that ν is expressed as ν = ϕ20 ·m, ϕ0 ∈ D(E), ϕ0 ≥ 0. ϕ0 is justa ground state of A.

It follows from the inequality ∥ϕ0+ϵg∥2E ≥ λ2∥ϕ0+ϵg∥22 holding for any g ∈ D(E)and any ϵ > 0 that E(ϕ0, g) = λ2(ϕ0, g). Hence αRα−λ2ϕ0 = ϕ0, α > λ2, whichimplies that ϕ0 is strictly positive by the irreducibility.

To prove the uniqueness of the ground state, we introduce a closed symmetricform (Eϕ0 ,D(Eϕ0)) on L2(X;ϕ20m) by

(2.10)

Eϕ0(u, v) = E(uϕ0, vϕ0)− λ2(uϕ0, vϕ0)D(Eϕ0) = u ∈ L2(X;ϕ20 ·m) : uϕ0 ∈ D(E).

Since 1 ∈ D(Eϕ0), Eϕ0(1, 1) = 0 and the associated resolvent Rϕ0α satisfies Rϕ0

α f =ϕ−10 Rα−λ2(fϕ0), α > λ2, we see from Lemma 9.4 that (Eϕ0 ,D(Eϕ0)) is an irre-

ducible recurrent Dirichlet form so that f is constant whenever f ∈ D(Eϕ0), Eϕ0(f, f) =0. Let ψ0 be another ground state of A. Then ψ0 = fϕ0 with f = ψ0/ϕ0 ∈D(Eϕ0), Eϕ0(f, f) = E(ψ0, ψ0) − λ2 = 0, which yields that f is constant andψ0 = ±ϕ0.

通常の ground stateの存在証明においては, E1-弱位相に関する un∞n=1 のコンパクト性と E の下半連続性が使われる (e.g. [41]). ここでは, 確率空間におけるu2n ·m∞n=1の tightnessと IE の下半連続性が使われたことを強調しておく. Lemma2.6の証明からレベル集合 ν ∈ P : IE(ν) ≤ ℓが P のコンパクト集合であることが従う.

Lemma 2.7. The set ν ∈ P : IE(ν) ≤ ℓ is compact in P.


したがって, 次の補題を得る.

Lemma 2.8. The function J satisfies:(i) 0 ≤ J(ν) ≤ ∞.(ii) J is lower semi-continuous.(iii) For each l <∞, the set ν ∈ P : J(ν) ≤ l is compact.(iv) J(ϕ20 ·m) = 0 and J(ν) > 0 for ν = ϕ20 ·m.

Lemma 2.8は J(ν) = IE(ν) − λ2, ν ∈ P,が大偏差原理において (goodな)レート関数の性質を持っていることを主張している. 次の等式も成り立つことを注意しておく.

(2.11) J(ν) = IEϕ0 (ν), ν ∈ P,

ここに IEϕ0 はディリクレ形式 (2.10)を用いて

(2.12) IEϕ0 (ν) =

Eϕ0(

√f,

√f) if ν = fϕ20 ·m,

√f ∈ D(Eϕ0)

∞ otherwise.

で定義される. Theorem 2.3より次の大偏差原理が成り立つ:

Theorem 2.9. ([71]) Let Qx,tt>0 be a family of probability measures defined by

(2.9). Then the sequence Qx,tt>0 obeys the large deviation principle with ratefunction J :(i) For each open set G ⊂ P

lim inft→∞

1

tlog Qx,t (G) ≥ − inf

ν∈GJ(ν).

(ii) For each closed set K ⊂ P

lim supt→∞

1

tlog Qx,t (K) ≤ − inf

ν∈KJ(ν).

Corollary 2.10. The measure Qx,t converges weakly to δϕ20·m as t→ ∞.

Proof. If a closed setK does not contain ϕ20 ·m, then infx∈K J(x) > 0 by Lemma 2.8

(iv). Hence Theorem 2.9 (ii) says that limt→∞ Qx,t(K) = 0 and limt→∞ Qx,t(Kc) =

1. For a positive constant δ and a bounded continuous function f on P, define theclosed set K ⊂ P by K = ν ∈ P : |f(ν)− f(ϕ20 ·m)| ≥ δ. Then we have∣∣∣∣∫

Pf(ν)Qx,t(dν)− f(ϕ20 ·m)

∣∣∣∣ ≤ ∫P|f(ν)− f(ϕ20 ·m)|Qx,t(dν)

=

∫K

|f(ν)− f(ϕ20 ·m)|Qx,t(dν) +

∫Kc

|f(ν)− f(ϕ20 ·m)|Qx,t(dν)

≤ 2∥f∥∞Qx,t(K) + δQx,t(Kc) −→ δ

as t→ ∞. Since δ is arbitrary, the proof of the corollary is complete.

Corollary 2.10より, Theorem 2.9は ground stateからの大偏差原理とみなせる.

Theorem 2.3に G = K = P を代入すると次を得る.

Corollary 2.11.

limt→∞

1

tlog sup

x∈XPx(t < ζ) = lim

t→∞

1

tlogPx(t < ζ)

= − inf

E(u, u) : u ∈ D(E),

∫X

u2dm = 1

.(2.13)

8 竹田雅好

マルコフ過程Mがさらに保存的, Px(ζ = ∞) = 1,であることを仮定する. そのとき (2.13)の左辺は 0であり, ground state ϕ0 は E(ϕ0, ϕ0) = 0を満たす. もしMが過渡的ならば, ϕ0 = 0が従い ([29, Theorem 1.6.2]),

∫Eϕ20dm = 1に反する. よって,

Mは再帰性を持ち, ϕ0は定数関数となる ([40](or [15, Theorem 5.2.6])). このことはm(E) <∞かつ ϕ0 = 1/

√m(E)であり, Mが正再帰的であることを意味する.

作用素 pt の Lp(X;m)から Lp(X;m)への作用素ノルムを ∥pt∥p,p と記し,

−λp = limt→∞

1

tlog ∥pt∥p,p, 1 ≤ p ≤ ∞.

とおく. −λp は半群 ptt≥0 の長時間増大度を表す.

supx∈X Px(t < ζ) = ∥pt∥∞,∞であり, (2.13)の右辺はスペクトル定理より−λ2に等しいことに注意すると, Corollary 2.11から

(2.14) λ∞ = λ2

が従う. 一方, ptの対称性と正値性から f ∈ L2(X;m)に対して

∥ptf∥22 ≤ (pt1, ptf2)m ≤ ∥pt∥∞,∞(1, ptf

2)m

= ∥pt∥∞,∞(pt1, f2)m ≤ ∥pt∥2∞,∞∥f∥22

となり, ∥pt∥2,2 ≤ ∥pt∥∞,∞ が従う. ゆえに Riesz-Thorinの補間定理より

∥pt∥2,2 ≤ ∥pt∥p,p ≤ ∥pt∥∞,∞, 1 ≤ p ≤ ∞

が導かれる.

Theorem 2.12. ([60]) Under the assumptions I ∼ III, λp (1 ≤ p ≤ ∞) is inde-pendent of p.

Example 2.1. Let us consider the symmetric bilinear form

E(u, v) = 1

2

d∑i,j=1

∫Rd

aij(x)∂u

∂xi

∂v

∂xjdx, u, v ∈ C∞

0 (Rd),

where (aij(x)) is a symmetric matrix satisfying

λ(2 + |x|)2 log(2 + |x|)β |ξ|2 ≤d∑

i,j=1

aij(x)ξiξj ≤ Λ(2 + |x|)2 log(2 + |x|)β |ξ|2

for some positive constant λ,Λ. Let D(E) be the closure of C∞0 (Rd). Then,

(E ,D(E)) becomes a strongly local Dirichlet form on L2(Rd). Denote by M =(Ω, Xt,Px, ζ) the associated diffusion process on Rd.

Let us define a metric ρ (so-called intrinsic metric) on Rd as follows.(2.15)

ρ(x, y) = sup

u(x)− u(y) : u ∈ Dloc(E) ∩ C(Rd),

d∑i,j=1

∫Rd

aij(x)∂u

∂xi

∂v

∂xj≤ 1 a.e.

.

Then, we can show that if β ≤ 2, (Rd, ρ) is a complete metric space and the inducedtopology is equivalent to the usual one. Let Bρ(r) = x ∈ Rd; ρ(0, x) < r. Then

(2.16) m(Bρ(r)) ≃

ee

r

β = 2

er2

2−ββ < 2,

where g(r) ≃ f(r) means 0 < lim infx→∞f(x)g(x) ≤ lim supx→∞

f(x)g(x) < ∞. We see

from Note 6.6 in [19] that if aij(x) are smooth and β > 1, the function R11 belongs


to C∞(Rd), and thus obtain(2.17)

limt→∞

1

tlogPx(t < ζ) = − inf

E(u, u);u ∈ D(E),

∫Rd

u2dm = 1

for all x ∈ Rd.

For β ≤ 1, the diffusion process M is conservative. Thus, for β < 0, the both side of(2.17) are equal to zero. If 0 ≤ β ≤ 1, then Sp(H) ⊂ [ 18λd

2,∞) (Theorem 1.5.14 in[20]). Here H is the self-adjoint operator associated to the Dirichlet form (E ,D(E))and Sp(H) is the set of spectrum of H. Hence, the relation (2.17) does not hold for0 ≤ β ≤ 1 because the left hand side is equal to zero by the conservativeness of M.

Feynman–Kac汎関数の重み付き対称マルコフ過程に対して Theorem 2.3を拡張することで ([21], [63], [68], [70], [77]), Feynman–Kac半群の Lp-独立性に拡張することができる. Feynman–Kac半群の Lp-独立性から加法汎関数の対数モーメント母関数の極限の存在が導け, この事実は Gartner–Ellisの定理を応用して加法汎関数の大偏差原理を示すうえでの前提となる ([72], [73]).

λ∞ の確率論的意味付けの一つは次で与えられる:

Theorem 2.13. ([51]) Suppose λ∞ > 0. Then

supx∈X

Ex(exp(λζ)) <∞ if and only if λ < λ∞.

Corollary 2.14. Assume I ∼ III. Then

supx∈X

Ex(exp(ζ)) <∞ if and only if λ2 > 1.

K ⊂ X をコンパクト集合とし, DをK の補集合, D := X \K, とする. XD でD上の部分過程 (吸収壁過程)を記す:

(2.18) XD =

Xt t < τD∆ t ≥ τD, τD = inft ≥ 0 : Xt ∈ D.

(ED,D(ED))をXDから生成されるディリクレ形式とし ([29, Theorem 4.4.3]), λD

を (ED,D(ED))のスペクトルの下限,

(2.19) λD = inf

E(u, u) : u ∈ D(ED),

∫D

u2dm = 1

とする. そのとき, (2.3)から∫

D

u2dm =

∫X

u21Ddm ≤ ∥R11D∥∞ ·(E(u, u) +

∫X

u2dm

), u ∈ D(ED),

が成り立ち,

(2.20) 1 ≤ ∥R11D∥∞ · (λD + 1)

となる. 仮定 IIIより,コンパクト集合の列Kn∞n=1で ∪∞n=1Kn = X かつ∥R11Kc

n∥∞ →

0, n→ ∞ を満たすものが存在する. よって, Dn = Kcn に対して

(2.21) λDn ↑ ∞ as n→ ∞

が (2.20)から導かれる.

Theorem 2.3(ii)は上からの評価が一様に成り立つことを主張している. 以下, Mが保存的であれば, 下からの評価も一様に成り立つことを示す.

10 竹田雅好

正のボレル測度 µで µ(X) < ∞かつ R1µ(x)(=∫XR1(x, y)µ(dy))が一様に有界

となるもの全体を S00 と記す. もし En ↑ E なる単調増大なボレル集合列 En∞n=1

が存在し, 各 nに対し 1En · µ ∈ S00 であり

Px

(lim

n→∞σX\En

≥ ζ)= 1, ∀x ∈ X,

を満たすとき正のボレル測度 µ は滑らか (smooth) と言われる. ここに σX\Enは

X \ En への到達時刻. 滑らかな測度の全体を S1 と記す.各 ω ∈ Λに対し, 加法汎関数 Att≥0が正で tに関して連続であれば, 正の連続加

法汎関数 (positive continuous additive functional) (PCAFと略記)と呼ばれる. [29,Theorem 5.1.7]によると, 正の滑らかな測度と PCAF’sの間には 1対 1対応 (Revuzcorrespondence)が存在する: 滑らかな測度 µに対し, PCAFAtt≥0 が一意的に存在し, 任意の正のボレル関数 f と γ-超過関数 h (γ ≥ 0), e−γtpth ≤ h, に対して

(2.22) limt→0

1

tEh·m

(∫ t

0

f(Xs)dAs

)=

∫E

f(x)h(x)µ(dx).

ここに Eh·m( · ) =∫XEx( · )h(x)m(dx). 滑らかな測度 µに対応する PCAFを Aµ

t と記す. Z.-Q. Chen [13]に従って, 滑らかな測度のクラスを導入する.

Definition 2.15. (i) A positive Borel measure µ is said to be the Kato mea-sure (in notation, µ ∈ K), if µ ∈ S1 and

limt→0

supx∈X

Ex(Aµt ) = 0.

(ii) A measure µ ∈ K is said to be in the class K∞, if for any ϵ > 0 thereexist a compact subset K and a positive constant δ > 0 such that for allmeasurable set B ⊂ K with µ(B) < δ,

supx∈X

∫Kc∪B

R1(x, y)µ(dy) ≤ ϵ.

仮定 I∼IIIから測度mはクラス K∞ に属する ([13]). リゾルベントの依存性を示すために, K∞の代わりにK∞(R1)と記す. RD

1 を部分過程XD の 1-リゾルベントとし, mD をmのDへの制限, mD(•) = m(D ∩ •)とする.

Lemma 2.16. Let K be a compact set. Then mD ∈ K∞(RD1 ), D = Kc.

Proof. Let K and δ be a compact set and a positive constant in the definition of

K∞(Definition 2.15). We can suppose K ⊂ K. Let G be a relatively compact open

set such that K ⊂ G ⊂ G ⊂ K and m(G \ K) < δ. Then K ∩ Gc is a compactsubset of D and

RD1 1(K∩Gc)c = RD

1 1Kc∪(G\K) ≤ R11Kc +R11G\K ≤ 2ϵ.

Moreover, RD1 1B ≤ R11B for any Borel set B ⊂ K ∩Gc.

Lemma 2.17. Suppose X is conservative. For any compact set K with non-emptyinterior Ko, the principal eigenvalue λD, D = Kc, is positive.

Proof. Let ϕn∞n=1 ⊂ D(ED)∩C0(D) be an approximating sequence in (2.19) suchthat E(ϕn, ϕn) → λD. Since the set ϕ2n ·m∞n=1 of probability measures is tightby Lemma 2.7, we see by the same argument as in Lemma 2.6 that there exists asubsequence ϕ2nk

·m∞k=1 which weakly converges to ϕ20 ·m, ϕ0 ∈ D(E). Hence

1 = lim supk→∞

∫X\Ko

ϕ2nkdm ≤

∫X\Ko

ϕ20dm,

and thus ϕ0 equals 0, m-a.e. on Ko. In particular, the function ϕ0 is not constanton X, because m(Ko) > 0 by the assumption on m. Hence we have E(ϕ0, ϕ0) > 0.


In fact, noting that (E ,D(E)) is irreducible recurrent, we see from [40, Theorem1.3] that if E(ϕ0, ϕ0) = 0, then ϕ0 must be a constant. We now conclude

λD = lim infk→∞

E(ϕnk, ϕnk

) ≥ E(ϕ0, ϕ0) > 0.

Mが保存的ならば, XDの生存時間はKへの到達時刻 σK と等しい. Lemma 2.16と [13, Theorem 4.1]を合わせると, XDn が irreducibleならば,

(2.23) supx∈X

Ex(exp(γσKn))

(= sup

x∈Dn

Ex(exp(γσKn))

)<∞ ⇐⇒ γ < λDn

が従う. よって

Lemma 2.18. If X is conservative and there exists a increasing sequence Kn∞n=1

of compact sets such that ∪∞n=1Kn = X and XDn , Dn = Kc

n, is irreducible, then Xhas the following property.

(H)For any γ > 0 there exists a compact set K such thatsupx∈X

Ex(exp(γσK)) <∞.

性質 (H)は uniform hyper-exponential recurrenceと呼ばれている ([79]). XD がirreducibleであるための十分条件は, Lemma 2.21, Lemma 2.22で与えられる.

pt(x,U) = 0 for ∀t > 0 ⇐⇒ Px(σU <∞) = 0,

に注意すると, X が irreducibleならば, 半群 ptt≥0は topological transitive, すなわち, すべての空でない開集合 U と x ∈ X に対し, t > 0が存在して pt(x, U) > 0を満たす. よって, Wu [79]の Theorem 1.2 から次のことが分かる:

Theorem 2.19. Suppose X is conservative. If there exists an increasing sequenceKn∞n=1 of compact sets such that ∪∞

n=1Kn = X and XDn , Dn = Kcn, are irre-

ducible, then the uniform lower bound holds: for each open set G of P

lim inft→∞

1

tlog inf

x∈XPx(Lt ∈ G) ≥ − inf

µ∈GIE(µ).

Example 2.2. (One-dimensional diffusion processes) Let us consider a one-dimensional diffusion process X = (Xt,Px, ζ) on an open interval I = (r1, r2) suchthat Px(Xζ− = r1 or r2, ζ <∞) = Px(ζ <∞), x ∈ I, and Pa(σb <∞) > 0 for anya, b ∈ I. The diffusion X is symmetric with respect to its canonical measure m andit satisfies I and II. The boundary point ri of I is classified into four classes: regularboundary, exit boundary, entrance boundary and natural boundary ([35, Chapter5]):

(a) If r2 is a regular or exit boundary, then limx→r2 R11(x) = 0.(b) If r2 is an entrance boundary, then limr→r2 supx∈(r1,r2)R11(r,r2)(x) = 0.

(c) If r2 is a natural boundary, then limx→r2 R11(r,r2)(x) = 1 and thussupx∈(r1,r2)R11(r,r2)(x) = 1.

Therefore, the tightness property III is fulfilled if and only if no natural boundariesare present. As a corollary of the equation (2.21), If r2 is an entrance boundary,for any λ > 0 there exists r1 < r < r2 such that

supx>r

Ex(exp(λσr)) <∞,

where σr is the first hitting time of r. Therefore, if the both boundaries areentrance ones, then the uniform large deviation holds.

12 竹田雅好

We see from [35] that the Ornstein-Uhlenbeck process on one-dimensional spaceR has natural boundaries and satisfies the invariance of C∞(R). Hence on accountof Remark 2.2, we see that the Ornstein-Uhlenbeck process does not possess thetightness property. Moreover, it is known in [79] that the Ornstein-Uhlenbeckprocess does not satisfy the uniform large deviation, while it satisfies locally uniformlarge deviation. The statement above implies the uniqueness of quasi-stationarydistribution ([11]).

部分過程が irreducibleとなるための十分条件を与えよう. もし X が局所一様楕円作用素から生成される拡散過程であれば, 領域上の部分過程は irreducibleとなる([29, Corollary 4.6.4, Example 4.6.1]). より一般的には

Lemma 2.20. Assume R11 ∈ C∞(X). If D ⊂ X is a connected open set, thenXD satisfies I∼III.

Proof. By the assumption, X is a doubly Feller process, that is, it satisfies thestrong Feller property and the invariance of C∞(X). We then know from Chung[18] that XD has the strong Feller property. Hence Exercise 4.6.3 in [29] leads usto this lemma.

次にジャンプ過程について考えよう. (N(x, dy),Ht)を Levy systemとし, 次の仮定を置く:

(J)

(i) If m(B) > 0, then N(x,B) > 0 for any x ∈ X.(ii) Supp[H](:= x ∈ X : inft > 0 : Ht > 0 = 0) = X.

Lemma 2.21. Assume (J). Then for any compact set F ⊂ D with m(F ) > 0,Px(σF < τD) > 0.

Proof. Let x ∈ D \ F and take r > 0 such that B(x, r) ∩ F = ∅. Then

Ex

( ∑0<s<τD

1B(x,r)(Xs−)1F (Xs)

)= Ex

(∫ τD

0

1B(x,r)(Xs)N(Xs, F )dHs

).

The right hand side is positive by the assumption, which leads us to the lemma.

Lemma 2.22. Assume (J). Let K ⊂ D be a set with m(K) > 0. Then RD1 (x,K) >

0 for any x ∈ D.

Proof. Since ∫D

RD1 (x,K)dm =

∫D

RD1 1(x)1K(x)dm > 0,

the set x ∈ D : RD1 (x,K) > 0 is of positive m-measure. Take a compact set F

such that F ⊂ x ∈ D : RD1 (x,K) > 0 and m(F ) > 0. Then

RD1 (x,K) = Ex

(∫ τD

0

e−t1K(Xt)dt

)≥ Ex

(∫ τD

σF

e−t1K(Xt)dt;σF < τD

)= Ex

(RD

1 (XσF,K);σF < τD

).

The right hand side is positive by Lemma 2.21.

2.1. Explosive case.

Lemma 2.23. M satisfies one of next two properties:

(a) (Conservative) Px(ζ <∞) = 0 for all x ∈ X.(b) (Explosive) Px(ζ <∞) > 0 for all x ∈ X.


Proof. Suppose O := x ∈ X : Px(ζ <∞) > 0 is not empty. Since g(x) := Px(ζ <∞) is an excessive function, the set O is a finely open set (e.g. [29, Theorem A.2.7])and Cap(O) > 0. Indeed, if Cap(O) = 0, then O is polar ([29, Theorem 4.1.2]) andso Px(σO < ∞) = 0 for all x ∈ X, which is contradictory to that Px(σO < ∞) > 0for x ∈ O. Since O = ∪∞

n=1Fn, Fn = x ∈ X : Px(ζ <∞) ≥ 1/n, Cap(Fn) > 0 forsome n. On account of (2.2), we see from [29, Exercise 4.7.1] that Px(σFn <∞) > 0for all x ∈ X. Note that the set Fn is finely closed and thus XσFn

∈ Fn onσFn <∞. We then have

Px(ζ <∞) = Px(ζ <∞, σFn <∞) + Px(ζ <∞, σFn = ∞)

≥ Px(ζ(θσFn) <∞, σFn <∞)

= Ex(PXσFn(ζ <∞);σFn <∞)

≥ 1

nPx(σFn <∞) > 0.

Mが保存性を満たさないとき, λ2は正となる. 実際 ground state ϕ0が E(ϕ0, ϕ0) =0 を満たすとすると, 過渡性より ϕ0 = 0となる. [29, Theorem 6.4.3, Theorem 6.4.4]によると

supx∈X

Ex(exp(γζ)) <∞ ⇐⇒ γ < λ2

が成り立ち, 特に Lemma 2.23の性質 (b)は Px(ζ <∞) = 1に強められる.

3. ランダムな時間変更

この節では, 加藤測度に対応する PCAFによるブラウン運動の時間変更について述べる. 時間変更を考えるうえで, 加藤測度に対応する PCAFが適当なクラスであることが分かる.

Dを古典的なディリクレ積分とする:

(3.1) D(u, v) =

∫Rd

∇u · ∇vdx for u, v ∈ H1(Rd),

ここに H1(Rd)は 1位のソボレフ空間. (Bt,PWx )を Rd 上の d-次元ブラウン運動と

する.正のラドン測度 µが Kato class Kd に属するとは

limα↓0

supx∈Rd

∫|x−y|<α

µ(dy)

|x− y|d−2= 0, d ≥ 3

limα↓0

supx∈Rd

∫|x−y|<α

(log |x− y|−1)µ(dy) = 0, d = 2

supx∈Rd

∫|x−y|≤1

µ(dy) <∞, d = 1

を満たすこととする. d ≥ 3のとき, Kd のサブクラスK∞d を [81]に従って次で定義

する:

K∞d =

µ ∈ Kd : lim

A→∞

[supx∈Rd

∫|y|≥A

dµ(y)

|x− y|d−2

]= 0

.

µ ∈ Kdは滑らかな測度であり, PCAFAµt が Revuz対応する. µが Lebesgue測度

に対して絶対連続, µ = V (x)dx, であれば, Aµt は

∫ t

0V (Bs)dsに他ならない. τtt≥0

を Aµt の右連続な逆関数とする:

τt = infs > 0 : Aµs > t.

14 竹田雅好

このとき, ブラウン運動 Bt の PCAFAµt による時間変更過程 Y µ

t は

Y µt = Bτt

で定義される. Y µt は, 細開集合 F = x ∈ Rd : PW

x (τ0 = 0) = 1を状態空間に, Aµ∞

を生存時間に持つ µ-対称マルコフ過程となる (Theorem 6.2.1 in [29] and Theorem65.9 in [52]). 集合 F が µの位相的台に等しいことを仮定しよう:

(3.2) F = supp[µ].

集合 F への到達時刻 σF = inft > 0;Bt ∈ Fを用いて

HFu(x) = EWx (u(BσF

);σF <∞),

で作用素HF を定義する. そのとき, 時間変更過程 Y µt の生成する L2(F ;µ)上のディ

リクレ形式 (E ,D(E))は次で与えられる:

(3.3)

D(E) = φ ∈ L2(F ;µ) : φ = u µ-a.e. on F for some u ∈ H1

e (Rd)E(φ,φ) = 1

2D(HFu,HFu), φ ∈ D(E).

ここに H1e (Rd) は, ( 12D,H

1(Rd)) の拡大ディリクレ空間である (Theorem 6.2.1 in[29]).以後 d ≥ 3を仮定し, ブラウン運動のグリーン関数, c(d)/|x− y|d−2, をR(x, y)と

記す. µ ∈ K∞d に対して

(3.4)

∫Rd

R(x, y)dµ(y) ∈ C∞(Rd)

が成り立つ　実際, R(x, y)∧nをRn(x, y)と記すとき, limn→∞ αn ↓ 0 を満たす正数の列 αn が存在して, Rn(x, y) = R(x, y), |x− y| ≥ αn となる. µ ∈ Kd の定義より,

supx∈Rd

∣∣∣∣∫Rd

R(x, y)1|y|<Rdµ(y)−∫Rd

Rn(x, y)1|y|<Rdµ(y)

∣∣∣∣≤ 2 sup

x∈Rd

∫|x−y|<αn

R(x, y)1|y|<Rdµ(y) → 0 n→ ∞.∫Rd R

n(x, y)1|y|<Rdµ(y) ∈ C∞(Rd)であるから,∫Rd

R(x, y)1|y|<Rdµ(y) ∈ C∞(Rd).

したがって, (3.4)がK∞d の定義より導かれる.

Rµα(x, dy)α≥0 を Y µ

t のリゾルベント核とする. 等式

EWx

(∫ ∞

0

f(Yt)dt

)= EW

x

(∫ ∞

0

f(Bt)dAµt

),

に注意すると

(3.5) Rµ0 (x, dy) = R(x, y)µ(dy)

が従う. 任意の (x, y)に対して R(x, y) > 0であるから,

Rµ01A(x) =

∫F

R(x, y)1A(y)dµ(y) > 0

が, µ(A) > 0を満たす A ∈ B(F )に対して成立する. このことは Y µt の既約性を意味

する. 以上をまとめると, 次の補題を得る.

Lemma 3.1. The time-changed process Y µt satisfies I ∼ III.

Schrodinger作用素のポテンシャルとしてだけでなく時間変更においても, 加藤クラスは取り扱い易いクラスであることがこの補題から分かる.


4. 全滞在時間に関するM. Kacの定理

Proposition 4.1. If µ ∈ K∞d satisfies (3.2), then

(4.1) limβ→∞

1

βlogPW

x (Aµ∞ > β) = − inf

E(u, u) : u ∈ D(E),

∫F

u2dµ = 1

.

Proof. As mentioned above, the time-changed process Y µt satisfies Assumption I ∼

III. Since Aµ∞ is the lifetime of Y µ

t , Corollary 2.11 tells us that the equation (4.1)holds for any x ∈ F . Since Aµ

σF= 0 and thus

Aµ∞ = Aµ

σF+Aµ

∞(θσF ) = Aµ∞(θσF ), PW

x -a.s. on σF <∞,

we obtain

PWx (Aµ

∞ > β) = PWx (Aµ

∞ > β;σF <∞)

= EWx (PXσF

(Aµ∞ > β);σF <∞)

= PWν (Aµ

∞ > β),

by the strong Markov property. Here, ν is the positive measure on F definedby ν(B) = Px(XσF

∈ B;σF < ∞), B ∈ B(F ). Therefore, (4.1) holds for anyx ∈ Rd.

Lemma 4.2. It holds that

inf

E(u, u) : u ∈ D(E),

∫F

u2dµ = 1

(4.2)

= inf

1

2D(u, u) : u ∈ C∞

0 (Rd),

∫Rd

u2dµ = 1

.

Proof. On account of the regularity of (E ,D(E)) (Theorem 6.2.1 (iii) in [29]), theleft hand side of (4.2) equals to

inf

1

2D(HFu,HFu) : u ∈ C∞

0 (Rd),

∫Rd

u2dµ = 1

,

and the above is equal to the right hand side of (4.2) because

D(HFu,HFu) ≤ D(u, u)

by the Dirichlet principle (Theorem 4.3.2 in [29]).

∥Rµ∥∞ <∞を満たす µ ∈ Kdに対して, 時間変更過程 Y µの生成作用素を Lµ, そのスペクトル下限を λµ2 と記す. 等式

−LµRµ

Rµ+ ϵ=

−LµRµ01

Rµ+ ϵ=

1

Rµ+ ϵ

より, λµ2 ≥ 1/∥Rµ∥∞ が (2.8)から導かれる.

Corollary 4.3. ([55]) For µ ∈ Kd,∫Rd

u2dµ ≤ ∥Rµ∥∞2

D(u, u) for u ∈ H1(Rd).

Proposition 4.1と Lemma 4.2を合わせると次の定理を得る.

Theorem 4.4. ([59]) It holds that for µ ∈ K∞d ,

limβ→∞

1

βlogPW

x (Aµ∞ > β) = − inf

1

2D(u, u) : u ∈ C∞

0 (Rd),

∫Rd

u2dµ = 1

.

16 竹田雅好

Remark 4.5. Considering the absorbing Brownian motion, we can extend Theorem4.4 as follows: for a Green bounded domain D ⊂ R2(d = 1, 2) and any domain(d ≥ 3),

limβ→∞

1

βlogPW

x (AµτD > β) = − inf

1

2D(u, u) : u ∈ C∞

0 (D),

∫D

u2dµ = 1

.

Here τD = inft > 0 : Bt ∈ D.

Example 4.1. Let d = 3. Let µ(dx) = 1B(0,1)(x)dx. Then, by Theorem 4.4

limβ→∞

1

βlogPW

x

(∫ ∞

0

1B(0,1)(Bt)dt > β

)= − inf

1

2D(u, u);u ∈ C∞

0 (R3),

∫|x|<1

u2dx = 1

.

The right hand side equals π2

8 (e.g. [29, Exercise 6.4.10]). π2

8 is also the principal

eigenvalue of the Dirichlet Laplacian on the interval (−1, 1). Hence, for any x ∈ R3

and y ∈ (−1, 1)

limβ→∞

1

βlogPW

x

(∫ ∞

0

1B(0,1)(Bt)dt > β

)= lim

t→∞

1

tlogPW

y (t < τ(−1,1)).

Here, PWy means the one-dimensional Brownian motion. When both x and y are the

origin of R3 and R respectively, the equation above is a corollary of Ciesielski-Taylortheorem ([48]): τ(−1,1) with respect to the one-dimensional Wiener measure PW

o has

the same distribution as∫∞0

1B(0,1)(Bt)dt with respect to the three-dimensional

Wiener measure PWo .

5. Feynman–Kac汎関数の可積分性

この節では Feynman–Kac 汎関数の可積分性, いわゆる gaugeability について,Corollary 2.14を応用することを考える.

Theorem 5.1. ([60]) Suppose that µ ∈ K∞d satisfies (3.2). Then

(5.1) supx∈D

EWx

(exp(Aµ

τD ))<∞

if and only if

(5.2) inf

1

2D(u, u) : u ∈ C∞

0 (D),

∫D

u2dµ = 1

> 1.

Proof. The time changed process Yt of the part process BDt by Aµ

τD∧t satisfies

Assumption I ∼ III. Note AµτD is the lifetime of Yt. Denote by ED the Dirichlet

form generated by Yt. Then, Corollary 2.14 tells us that the equation (5.1) holds ifand only if

inf

ED(u, u) : u ∈ D(ED),

∫F

u2dµ = 1

> 1.

By Lemma 4.2, the left hand side above is equal to the left hand side of (5.1).

Example 5.1. Let µ ∈ K∞d . For any compact set K ⊂ D, define

π(K,D) =

µ(K)

Cap(K,D) for Cap(K,D) > 0,

0 for Cap(K,D) = 0.


Here, Cap(K,D) = infD(u, u);u ≥ 1 on K, u ∈ C∞0 (D). It is known in Theorem

2.5.2/1 in [43] that

inf

1

2D(u, u) : u ∈ C∞

0 (D),

∫D

u2dµ = 1

>

0 if supK⊂D π(K,D) <∞1 if supK⊂D π(K,D) < 1

8 .

Let d = 3. Let H be a 2-dimensional hyperplane in R3 and M a Borel subset of Hwith regular boundary. Let µ be the positive measure defined by µ(B) = m(M∩B),where m is the 2-dimensional Lebesgue measure. Then, it is known in [43, p.139]that

supF⊂R3

π(F,R3) ≤ π1/2

8m(M)1/2.

As a result, if m(M) < 1π , then EW

x (eAµ∞) <∞.

For d ≥ 3 and a closed set F

supx∈Rd

EWx

(exp

(∫ ∞

0

1F (Bt)dt

))<∞

if

(5.3) supK⊂Rd

|F ∩K|Cap(K)

<1

8.

Here | · | means the Lebesgue measure and Cap(K) =Cap(K,Rd). For a closed setF denote by BF the ball with the same volume as F :

BF = B(0, rF ), rF =

(|F |Γ(d2 + 1)

)1/d√π

.

Since by [43, 2.2.3, 2.2.4]

|F ∩K|Cap(K)

≤ |F ∩K|Cap(F ∩K)

≤ |F ∩K|Cap(BF∩K)

=|BF∩K |

Cap(BF∩K)≤ |BF |

Cap(BF )=

rF2

d(d− 2),

the equation (4.3) holds if

|F | <(18d(d− 2)π

)d/2Γ(d2 + 1

) .

Example 5.2. Let (M, g) be a spherically symmetric Riemannian manifold witha pole o and consider the Brownian motion (Px, Xt) on M . The Dirichlet form(E ,D(E)) generated by the Brownian motion is as follows:

E(u, u) = 12

∫M(∇u,∇v)dvg, u, v ∈ D(E)

D(E) = the clousre of C∞0 with respect to E + ( , )vg ,

where vg is the Riemannian volume.Let Br = x ∈ M : ρ(o, x) < r and ∂Br its boundary. Let σr be the surface

measure of ∂Br and S(r) the area of ∂Br, S(r) = σr(∂Br). The measure σrbelongs to K∞(G) (We can define K∞(G) by the same way as K∞

d . Suppose thatM is hyperbolic, i.e., ∫ ∞

1

dr

S(r)<∞.

(see [32]). On account of the Dirichlet principle, we see that

inf

1

2

∫M

(∇v,∇v)dvg : v ∈ F ,∫∂BR

v2dσ = 1

18 竹田雅好

= inf

1

2

∫M

(∇v,∇v)dvg : v = H∂BRf(x),

∫∂BR

f2dσ = 1

.

Here H∂BRf(x) = Ex(f(Xσ∂BR);σ∂BR < ∞), σ∂BR = inft > 0 : Xt ∈ ∂BR. By

the spherical symmetry, the infimum is attained by the function v(x):

v(x) = c · Px(σ∂BR <∞),

where c = 1/√S(R). Since the Green function R(o, x) is written as

R(o, x) = 2

∫ ∞

d(o,x)

dr

S(r)

([32, Example 4.1]), we see that

(5.4) v(x) =

1√

S(R)∫ ∞R

drS(r)

∫∞d(o,x)

drS(r) d(o, x) > R

1√S(R)

d(o, x) ≤ R,

and thus

(5.5)1

2

∫M

(∇v,∇v)dvg =1

2S(R)∫∞R

drS(r)

.

Therefore, we can conclude that

(5.6) 2S(R)

∫ ∞

R

1

S(r)dr < 1 ⇐⇒ sup

x∈MEx

(eℓR(∞)

)<∞,

where ℓR(t) the PCAF corresponding to σR. For M = Rd (d ≥ 3), S(r) = ωdrd−1

(ωd: the area of the unit sphere in Rd), and we see that the measure σR is gaugeableif and only if d−2

2 > R.

If M is 2-dimensional hyperbolic space H2, then S(r) = ω2 sinh r and

2S(R)

∫ ∞

R

1

S(r)dr = (eR − e−R) log

(eR + 1

eR − 1

).

Put

f(r) = (er − e−r) log

(er + 1

er − 1

), r > 0.

Then f(r) is strictly increasing, limr→0 f(r) = 0, and limr→∞ f(r) = 2. Hencethe equation f(r) = 1 has a unique root r0(≈ 0.22767), and if R < r0, then σR isgaugeable.

Let us consider 3-dimensional hyperbolic space H3. Then S(r) = ω3 sinh2 r and

(5.7) 2S(R)

∫ ∞

R

1

S(r)dr =

e2R − 1

e2R< 1.

Hence, σR is gaugeable for all R > 0, and from which σR is expected to be gaugeablefor all R > 0 in case d ≥ 4. In fact,

2S(R)

∫ ∞

R

1

S(r)dr = 2(eR − e−R)d−1

∫ ∞

R

1

(er − e−r)d−1dr

≤ 2(eR − e−R)d−1

∫ ∞

R

1

(er − e−R)d−1dr

<2

d− 1< 1.

The left hand side of (4.5) equals to Cap(∂BR)/S(R). Hence we can also say thatthe measure σR is gaugeable if and only if R satisfies

Cap(∂BR) > S(R).


ジャンプ型マルコフ過程の典型として対称 α-安定過程 (0 < α < 2), すなわち生成作用素 (−∆)α/2 を持つ Rd 上のマルコフ過程Mα = (Ω,F,Ft, θt,Px, Xt)を扱う.以前のように, Ftt≥0 は最小の (augmented) admissible filtrationで, θt, t ≥ 0, はXs(θt) = Xs+t, s, t ≥ 0, を満たすシフト作用素とする.p(t, x, y)をMα の推移密度関数とし, Rβ(x, y), β ≥ 0をその β-グリーン関数

Rβ(x, y) =

∫ ∞

0

e−βtp(t, x, y)dt

とする. Mα が過渡的, 0 < α < d, のとき, 0-グリーン関数 R0(x, y)は

(5.8) R0(x, y) =

∫ ∞

0

p(t, x, y)dt = C(d, α)|x− y|α−d

と表わされる. ここで, C(d, α) = 2−απ−d/2Γ(d−α2 )Γ(α2 )

−1 で, Γはガンマ関数. R0

は指数 αの Riesz kernelである. R0(x, y)を簡単に R(x, y)と記す. 正のボレル測度µに対し, µの β-ポテンシャルを

Rβµ(x) =

∫Rd

Rβ(x, y)µ(dy)

で定義し, R0µを Rµと記す. Pt をMα の半群とする:

Ptf(x) =

∫Rd

p(t, x, y)f(y)dy = Ex(f(Xt)).

(E ,D(E))をMα(0 < α < 2)から生成されるディリクレ空間とする:

(5.9)

E(u, v) = A(d, α)

∫∫Rd×Rd\∆

(u(x)− u(y))(v(x)− v(y))

|x− y|d+αdxdy

D(E) =

u ∈ L2(Rd) :

∫∫Rd×Rd\∆

(u(x)− u(y))2

|x− y|d+αdxdy <∞

ここに∆ = (x, x) : x ∈ Rdで

A(d, α) =α2d−1Γ(α+d

2 )

πd/2Γ(1− α2 )

([29, Example 1.4.1]).De(E)を拡大ディリクレ空間 ([29, Section 1.5])とする. α < dのとき, De(E)は E

を内積とする Hilbert空間となる ([29, Theorem 1.5.3]).

Definition 5.2. (i) Rd上の正のラドン測度 µが Kato class (µ ∈ Kd,α in notation)に属するとは,

(5.10) limβ→∞

supx∈Rd

Rβµ(x) = 0

が成り立つときをいう.(ii) 正の測度 µが β-Green-tight (µ ∈ K∞

d,α(β) in notation)であるとは, µがKd,αに属し

(5.11) limR→∞

supx∈Rd

∫|y|>R

Rβ(x, y)µ(dy) = 0

を満たすときをいう.

リゾルベント方程式より, 任意の β > 0に対して

K∞d,α(β) = K∞

d,α(1)

となる. d > αのときはK∞d,α(0)をK∞

d,α と記す. µ ∈ Kd,α に対して対称形式 Eµ を

(5.12) Eµ(u, u) = E(u, u)−∫Rd

u2dµ, u ∈ D(E).

20 竹田雅好

で定義する. µ ∈ K∞d,α は容量零な集合に測度を持たないことが知られており ([1,

Theorem 3.3]), Eµ は well-definedである. さらに [1, Theorem 4.1]より (Eµ,D(E))は下半有界な閉対称形式になることが分かる. Hµ で (Eµ,D(E))から生成される自己共役作用素を記す: Eµ(u, v) = (Hµu, v). Pµ

t を Hµ が生成する L2-半群とする:Pµt = exp(−tHµ). Pµ

t は (0,∞) × Rd × Rd 上連続な対称積分核 pµ(t, x, y)を持つ([1, Theorem 6.3(iv)]). µ ∈ K∞

d,α に対して Aµt を Revuz対応する PCAFをすると,

Feynman–Kacの公式より半群 Pµt は

(5.13) Pµt f(x) = Ex(exp(A

µt )f(Xt)).

と表わされる

Theorem 5.3. ([55]) Let µ ∈ Kd,α. Then

(5.14)

∫Rd

u2(x)µ(dx) ≤ ∥Rβµ∥∞Eβ(u, u), u ∈ D(E),

where Eβ(u, u) = E(u, u) + β∫Rd u

2dx.

Theorem 5.4. ([72, Theorem 3.4], [64, Theorem 2.7]) If µ ∈ K∞d,α(1), then the

embedding of D(E) into L2(µ) is compact. If d > α and µ ∈ K∞d,α, then the

embedding of De(E) into L2(µ) is compact.

Example 5.3. Let σr be the surface measure of ∂Br, where ∂Br is the sphere withradius r > 0 at 0. Since the symmetric α-stable process hits the sphere ∂Br

if 1 < α ≤ 2, the surface measure σr is smooth. Denote by ℓr(t) the additivefunctional corresponding to σr. The surface measure σr is then gaugeable if andonly if

inf

E(α)(u, u) :

∫|x|=r

u2dσr = 1

> 1.

Since the measure σr is spherically symmetric, the infimum is attained by thefunction

u(x) = cPx(σ∂Br <∞), x ∈ Rd,

where c = 1/√σ(∂Br). Let Cap(α)(·) be the 0-order capacity with respect to the

symmetric α-stable process. Then the infimum above becomes

Cap(α)(∂Br)

σr(∂Br),

because

E(α)(P·(σ∂Br <∞),P·(σ∂Br <∞)) = Cap(α)(∂Br).

It is known that

(5.15) Cap(α)(∂Br) =

2π(d+1)/2Γ

(α+ d

2− 1

)Γ(α2

)Γ

(d

2

)Γ

(α− 1

2

)Γ

(d− α

2

) rd−α.

Therefore, since σr(∂Br) = 2πd/2Γ(d/2)−1rd−1 for r > 0, the surface measure σris gaugeable if and only if

√π Γ

(d+ α

2− 1

)Γ(α2

)Γ

(α− 1

2

)Γ

(d− α

2

)

1α−1

> r.


Let µr be the equilibrium measure of ∂Br. Since the rotation invariance of theset ∂Br, we see that, µr = Aσr for some constant A > 0. Then by the definition ofthe equilibrium measure, we have

µr(∂Br) = Cap(∂Br).

So, it follows that A = Cap(∂Br)/σr(∂Br), hence,

µr =Cap(∂Br)

σr(∂Br)σr.

Therefore

supx∈Rd

Ex(ℓr(∞)) = supx∈Rd

Rσr(x)

= supx∈∂Br

Rσr(x) (by the maximum principle)

=σr(∂Br)

Cap(∂Br)sup

x∈∂Br

Rµr(x)

=σr(∂Br)

Cap(∂Br).

Thussupx∈Rd

Ex(ℓr(∞)) < 1 ⇐⇒ supx∈Rd

Ex(exp(ℓr(∞))) <∞.

The implication (=⇒) follows generally from Khas’minskii’s lemma.

Example 5.4. Let µ = µ+ − µ− ∈ K∞d,α with µ+ ≡ 0 and µ− ≡ 0. Consider the

Schrodinger type operator

Lθ =1

2(−∆)α/2 + θµ, θ ∈ R1.

Then it follows from Theorem 3.1 that the operator Lθ (θ > 0) is subcritical if andonly if

(5.16)λ(θµ) = inf

E(α)(u, u) + θ

∫Rd

u2(x)µ+(dx) : u ∈ D(E(α)),

θ

∫Rd

u2(x)µ−(dx) = 1

> 1.

Let Rd = F + F c be the Hahn decomposition: µ(F ) = µ+(Rd), µ−(F c) = −µ(Rd).Take R > 0 so large that µ−(F c ∩BR) > 0. Let A = F c ∩BR and take a sequenceof non-negative functions fn in C∞

0 (Rd) such that∫Rd

(1A(x)− fn(x))2|µ|(dx) −→ 0 as n→ ∞.

It then holds that

limn→∞

∫Rd

f2n(x)µ−(dx) = µ−(A) > 0, lim

n→∞

∫Rd

f2n(x)µ+(dx) = µ+(A) = 0,

and consequently, there exists a function f ∈ C∞0 (Rd) such that

(5.17)

∫Rd

f2(x)µ−(dx) = 1,

∫Rd

f2(x)µ+(dx) < 1.

Put

F (θ) = inf

E(α)(u, u) + θ

∫Rd

u2(x)µ+(dx) : u ∈ D(E(α)),

∫Rd

u2(x)µ−(dx) = 1

.

Then F (θ), θ ≥ 0, is a concave function with F (0) > 0 by the definition. Moreover,F (θ) is dominated by the function G(θ) := E(α)(f, f) + θ

∫Rd f

2(x)µ+(dx), where

22 竹田雅好

f is a function satisfying (5.17). On account of these properties of F , we see thatthere exists a unique θ+ > 0 such that F (θ+) = θ+. By the same argument, thereexists a unique θ− < 0 such that F (θ−) = θ−. Noting that the right hand side of(5.16) is equal to F (θ)/θ, we see that the operator Lθ is subcritical for θ− < θ < θ+.The operators Lθ is critical for θ = θ± and is supercritical for θ < θ− or θ > θ+ inthe sense of [44]: for θ = θ±, the equation Lθu = 0 has a strictly positive continuoussolution h which satisfies

k−1R(0, x) ≤ h(x) ≤ kR(0, x) x ∈ Bcr ,

where k > 1.

6. 散乱距離と容量

散乱距離と容量に関するM. Kacの予想が, Y. Takahashi [57], H. Tamura [75]らにより解かれた. この節では時間変更の理論を用いた簡単な証明を与え, 彼らの結果を拡張する.滑らかな有限測度 µに対して, Γ(µ)を

(6.1) Γ(µ) =

∫X

Ex

(e−Aµ

ζ

)µ(dx).

で定義する. マルコフ過程Mが保存的であれば, Γ(µ)は

(6.2) Γ(µ) = limt→∞

1

t

∫X

(1− Ex

(e−Aµ

t

))m(dx).

と等しい. 実際, e−Aµt でMを killingしてできるマルコフ過程をMA = (PA

x , Xt)と記す. [26, Theorem 2.22]によると, MAに関する Aµ

t の Revuz measureは µのままであることが分かり, さらに [52, (62.13)]によると

Ex

(∫ t

0

e−Aµs dAµ

s

)= EA

x (Aµt )

が成り立つ. したがって, [29, Theorem 5.1.3 (iii)]から,⟨m, 1− Ex

(e−Aµ

t

)⟩=

⟨m,Ex

(∫ t

0

e−Aµs dAµ

s

)⟩= ⟨m,EA

x (Aµt )⟩

=

∫ t

0

⟨µ, pAs 1⟩ds.

となり, pAt 1(x) → Ex(e−Aµ

∞)(t → ∞)から (6.1)が従う. ブラウン運動の場合には,(6.2)で定義される Γ(µ)は散乱距離と呼ばれる量の確率表現を与える ([38]).

Theorem 6.1.

(6.3) Γ(αµ) = α

∫X

Ex

(e−αAµ

∞

)µ(dx) ↑ Cap(0)(Y ), α ↑ ∞.

Here Cap(0) is 0-order capacity.

Proof. First note that the lifetime ζ of M is Aµζ . For x ∈ Y

Ex

(e−αAµ

ζ

)= Ex

(e−αζ

)= 1− α Ex

(∫ ζ

0

e−αtdt

)= 1− αRα1(x),

where 1 is the identity function on Y , 1 = 1Y (x). Hence the left hand side of (6.3)

equals α(1, 1− αRα1)µ.


Noting that the function 1Y is in L2(Y ;µ) by the finiteness of µ, we know that

if 1Y ∈ D(E), then α(1, 1 − αRα1)µ is non-decreasingly convergent to E(1, 1) asα ↑ ∞. We see from [29] that

E(1, 1) = E(HY 1,HY 1), HY 1(x) = Ex(1Y (XσY);σY <∞),

where σY = inft > 0 : Xt ∈ Y . We thus have

(6.4) Γ(αµ) = α(1, 1− αRα1)µ ↑ E(1, 1) = E(HY 1,HY 1)

as α ↑ ∞. Since Y is a nearly Borel, finely closed set, Px(XσY∈ Y ) = 1 and thus

HY 1(x) = Px(σY <∞).

Therefore, the right hand side of (6.4) equals Cap(0)(Y ) by [29, Theorem 4.3.3].

If 1Y ∈ D(E), then limα→∞ α(1, 1− αRα1)µ ↑ ∞ as α ↑ ∞ and Cap(0(Y ) = ∞.The proof of the lemma is complete.

P. He [34]は, 対称性の代わりに共役なマルコフ過程を持つ場合に Theorem 6.3を拡張した.

7. 対称 α-安定過程における Feynman–Kac処罰問題

7, 8, 9節においては, Theorem 5.1の応用として Feynman–Kac処罰問題を取り扱う. B. Roynette, P. Vallois, M. Yor [49], [50]は様々のウエイトで正規化したブラウン運動の極限定理を示した. [80]において, K. Yano, Y. Yano, M. Yor は局所時間の非負関数や非正 (killing) Feynman–Kac汎関数で正規化された一次元対称 α-安定過程の極限定理について調べた. Feynman–Kac汎関数で正規化されたマルコフ過程の極限定理を, Feynman–Kac penalizationsと彼らは呼んだ. ここでは, 多次元の対称α-安定過程における非負 (killing) Feynman–Kac penalizationsについて考える.

Mα = (Ω,F,Ft,Px, Xt)(0 < α < 2)を Rd 上の対称 α-安定過程とし, (E ,D(E))をMα の生成するディリクレ形式 (5.9) とする. µ を Green-tight な Kato クラスK∞

d,α(Definition 5.2)に属する測度とする. Aµt で µにRevuz対応する PCAFを記す.

Qµx,tを

Qµx,t(B) =

1

Zµt (x)

∫B

exp(Aµt (ω))Px(dω), B ∈ Ft

で定義される正規化された確率測度とする. ここで, Zµt (x) = Ex(exp(A

µt )). 我々の

興味は Qµx,t の t → ∞における極限である. [80]では一次元で α ≥ 1(従って再帰的

な)のとき, 非正のポテンシャルを持つ Feynman–Kac汎関数を取り扱っている. 我々は過渡的で非負のポテンシャルを持つ場合に興味がある.

λ(θ)を

(7.1) λ(θ) = inf

Eθ(u, u) :

∫Rd

u2dµ = 1

, 0 ≤ θ <∞

(Eθ(u, u) = E(u, u) + θ∫Rd u

2dx) で定義する. [29, Theorem 6.2.1] と [59, Lemma3.1] より λ(0) は Aµ

t による時間変更過程のスペクトル下限である. λ(0) を用いてGreen-tightなクラスK∞

d,α を分類する:

(i) λ(0) < 1

この場合, 正の定数 θ0 > 0と D(E)に属する正値連続関数 hが存在して

1 = λ(θ0) = Eθ0(h, h)を満たす (Lemma 7.2, Theorem 5.4). そこで乗法汎関数 Lh

t を

(7.2) Lht = e−θ0t

h(Xt)

h(X0)eA

µt .

24 竹田雅好

で定義する.

(ii) λ(0) = 1

この場合は, 拡張ディリクレ空間 De(E)に属する正値連続関数 hが存在して

1 = λ(0) = E(h, h)

を満たす ([72, Theorem 3.4]). そのとき乗法汎関数 Lht を

(7.3) Lht =

h(Xt)

h(X0)eA

µt .

で定義する

(iii) λ(0) > 1

この場合には, 測度 µは gaugeable, すなわち,

supx∈Rd

Ex

(eA

µ∞

)<∞

を満たす (Theorem 7.8 below). そこで h(x) = Ex(eAµ

∞)とおき, 乗法汎関数 Lht を

(7.4) Lht =

h(Xt)

h(X0)eA

µt .

で定義する.

(i), (ii), (iii) はそれぞれ作用素 −(−∆)α/2 + µ が supercriticality, criticality,subcriticalityである場合に対応している (Theorem 7.8). それぞれの場合で Lh

t はマルチンゲールMF, すなわち Ex(L

ht ) = 1を満たす. Lh

t によってMαを変換してできるマルコフ過程をMh = (Ω,Ph

x, Xt)と記す:

Phx(B) =

∫B

Lht (ω)Px(dω), B ∈ Ft.

[14, Theorem 2.6]と下の Proposition 7.4から, もし λ(0) ≤ 1ならば, Mh は h2dx-対称な Harris再帰的となることが分かる.この節の主定理を述べるためにはK∞

d,αのサブクラスK∞S を導入する必要がある;

測度 µ ∈ K∞d,α がK∞

S に属すとは

(7.5) supx∈Rd

(|x|d−α

∫Rd

dµ(y)

|x− y|d−α

)<∞

を満たすことする. このクラスは J. Neveu ([45])によって導入された special PCAF’s

のクラスに対応している (Lemma 7.9);測度µがK∞S に属するならば,

∫ t

0(1/h(Xs))dA

µs

はMh の special PCAFのクラスに属する. この事実は, Harris再帰的なマルコフ過程の special PCAFに対する Chacon-Ornstein型エルゴード定理を応用するために必要になる ([9, Theorem 3.18]).

Theorem 7.1. ([66]) (i) If λ(0) = 1, then

(7.6) Qµx,t

t→∞−→ Phx along (Ft),

that is, for any s ≥ 0 and any bounded Fs-measurable function Z,

limt→∞

Ex (Z exp(Aµt ))

Ex (exp(Aµt ))

= Ehx(Z).

(ii) If λ(0) = 1 and µ ∈ K∞S , then (7.6) holds.


7.1. Ground State h の構成. d ≤ α (resp. d > α)に対して, µを K∞d,α(1) (resp.

K∞d,α)に属する測度とする. 関数 λ(θ)を

(7.7) λ(θ) = inf

Eθ(u, u) :

∫Rd

u2dµ = 1

, θ ≥ 0.

で定義する.

Lemma 7.2. The function λ(θ) is increasing and concave. Moreover, it satisfieslimθ→∞ λ(θ) = ∞.

Proof. It follows from the definition of λ(θ) that it is increasing. For θ1, θ2 ≥ 0,0 ≤ t ≤ 1

λ(tθ1 + (1− t)θ2) = inf

Etθ1+(1−t)θ2(u, u) :

∫Rd

u2dµ = 1

≥ t inf

Eθ1(u, u) :

∫Rd

u2dµ = 1

+ (1− t) inf

Eθ2(u, u) :

∫Rd

u2dµ = 1

= tλ(θ1) + (1− t)λ(θ2).

We see from Theorem 5.3 that for u ∈ D(E) with∫Rd u

2dµ = 1, Eθ(u, u) ≥1/∥Rθµ∥∞. Hence we have

(7.8) λ(θ) ≥ 1

∥Rθµ∥∞.

By the definition of the Kato class, the right hand side of (7.8) tends to infinity asθ → ∞.

Lemma 7.3. If d ≤ α, then λ(0) = 0.

Proof. Note that for u ∈ D(E)

λ(0)

∫Rd

u2dµ ≤ E(u, u).

Since (E ,D(E)) is recurrent, there exists a sequence un∞n=1 ⊂ D(E) such thatun ↑ 1 q.e. and E(un, un) → 0 ([29, Theorem 1.6.3]). Hence if λ(0) > 0, thenµ = 0, which is contradictory.

Theorem 5.4と Lemma 7.3より d ≤ αならば, θ0 > 0と h ∈ D(E)が存在して

λ(θ0) = inf

Eθ0(h, h) :

∫Rd

h2dµ = 1

= 1.

を満たす. 関数 hは正値連続関数にとれる (e.g. Section 4 in [72]).

M[h]t を福島分解におけるマルチンゲール部分とする ([29, Theorem 5.2.2]):

(7.9) h(Xt)− h(X0) =M[h]t +N

[h]t .

新たなマルチンゲールMt を

Mt =

∫ t

0

1

h(Xs−)dMh

s

で定義し, Lht を Doleans-Dade方程式:

(7.10) Zt = 1 +

∫ t

0

Zs−dMs.

の一意解とする. そのとき, Doleans-Dadeの公式によると Lht は

Lht = exp

(Mt −

1

2⟨M c⟩t

) ∏0<s≤t

(1 + ∆Ms) exp(−∆Ms)

26 竹田雅好

= exp

(Mt −

1

2⟨M c⟩t

) ∏0<s≤t

h(Xs)

h(Xs−)exp

(1− h(Xs)

h(Xs−)

).

なる表現を持つ. ここにM ct はMtの連続部分とし, ∆Ms =Ms −Ms−とする. 伊藤

の公式をセミマルチンゲール h(Xt)と関数 log xに応用すると, Lht は

(7.11) Lht = e−θ0t

h(Xt)

h(X0)exp(Aµ

t ).

なる簡明な表現を持つ.

θ0 = 0, すなわち,

λ(0) = inf

E(u, u) :

∫Rd

u2dµ = 1

= 1

を仮定する. そのとき, 関数 h ∈ De(E)で E(h, h) = 1となるものが存在することが[72, Theorem 3.4]より分かる. また, hは正値連続関数で

(7.12)c

|x|d−α≤ h(x) ≤ C

|x|d−α, |x| > 1

((4.19) in [72])を満たすことも示せる. そこで乗法汎関数 Lht を

(7.13) Lht =

h(Xt)

h(X0)exp(Aµ

t ).

で定義し, Lht でMα を変換してできるマルコフ過程をMh = (Ω,Ph

x, Xt)と記す:

Phx(dω) = Lh

t (ω) · Px(dω).

Proposition 7.4. The transformed process Mh = (Phx, Xt) is Harris recurrent,

that is, for a non-negative function f with m(x : f(x) > 0) > 0,

(7.14)

∫ ∞

0

f(Xt)dt = ∞ Phx-a.s.,

where m is the Lebesgue measure.

Proof. Set A = x : f(x) > 0. Since Mh is an h2dx-symmetric recurrent Markovprocess,

(7.15) Px(σA θn <∞, ∀n ≥ 0) = 1 for q.e. x ∈ Rd

by [29, Theorem 4..f.1] (iii). Moreover, since the Markov process Mh has thetransition density function

e−θ0t · pµ(t, x, y)

h(x)h(y)

with respect to h2dx, (7.15) holds for all x ∈ Rd by [29, Exercise 4.7.1]. Using thestrong Feller property and the proof of [47, Chapter X, Proposition (3.11)], we seefrom (7.15) that Mh is Harris recurrent.

もし θ0 > 0 ならば, h ∈ L2(Rd) で Mh は正再帰的である. もし θ0 = 0 でα < d ≤ 2αならば, h ∈ L2(Rd)でMh は零再帰的となる. もし θ0 = 0で d > 2αならば, h ∈ L2(Rd)でMh は正再帰的である ([72, Theorem 4.15]).


7.2. Proof of Theorem 7.1. (1 ) Recurrent case (d ≤ α )

Theorem 7.5. ([66]) Assume that d ≤ α. Then there exist θ0 > 0 and h ∈ D(E)such that λ(θ0) = 1 and Eθ0(h, h) = 1. Moreover, for each x ∈ Rd

(7.16) e−θ0tEx

(eA

µt

)−→ h(x)

∫Rd

h(x)dx as t −→ ∞..

Proof. The first assertion follows from Theorem 5.4 and Lemma 7.3. Note that

e−θ0tEx

(eA

µt

)= h(x)Eh

x

(1

h(Xt)

)Then by [64, Corollary 4.7] the right hand side converges to h(x)

∫Rd h(x)dx.

Here we would like to make a remark that [64, Corollary 4.7] is proved by Corol-lary 9.6 in Section 11.

Theorem 7.5 implies (7.6). Indeed,

Ex (exp(Aµt )|Fs)

Ex (exp(Aµt ))

=e−θ0tEx (exp(A

µt )|Fs)

e−θ0tEx (exp(Aµt ))

=e−θ0s exp(Aµ

s )e−θ0(t−s)EXs

(exp(Aµ

t−s))

e−θ0tEx (exp(Aµt ))

−→e−θ0s exp(Aµ

s )h(Xs)∫Rd h(x)dx

h(x)∫Rd h(x)dx

= Lhs as t −→ ∞.

We showed in [14, Theorem 2.6 (b)] that the transformed process Mh is recurrent.We see from this fact that Lh

t is martingale, E(Lht ) = 1. Therefore Scheff’s lemma

leads us to Theorem 7.1 (i) (e.g. [49]).

(2) Transient case (d > α)

If λ(0) < 1, there exist θ0 > 0 and h ∈ D(E) such that λ(θ0) = 1 and Eθ0(h, h) = 1.Then we can show the equation (7.16) in the same way as above. If λ(0) > 1, thenAµ

t is gaugeable (see Theorem 7.8 below), that is,

supx∈Rd

Ex

(eA

µ∞

)<∞,

and thus

limt→∞

Ex

(eA

µt

)= Ex

(eA

µ∞

).

Hence for any s ≥ 0 and any Fs-measurable bounded function Z

Ex

(ZeA

µt

)Ex

(eA

µt

) =Ex

(ZeA

µs EXs

(eA

µt−s

))Ex

(eA

µt

)−→

Ex

(ZeA

µs EXs

(eA

µ∞))

Ex

(eA

µ∞) =

1

h(x)Ex

(ZeA

µs h(Xs)

)= Eh

x(Z)

as t→ ∞.In the remainder of this section, we consider the case when λ(0) = 1. It is known

that a measure µ ∈ K∞d,α is Green-bounded,

(7.17) supx∈Rd

∫Rd

dµ(y)

|x− y|d−α<∞.

To consider the penalization problem for µ with λ(0) = 1, we need to impose acondition on µ.

28 竹田雅好

Definition 7.6. (I) A measure µ ∈ Kd,α is said to be special if

(7.18) supx∈Rd

(|x|d−α

∫Rd

dµ(y)

|x− y|d−α

)<∞.

We denote by K∞S the set of special measures.

(II) A PCAF At is said to be special with respect to Mh, if for any positive Borelfunction g with

∫Rd gdx > 0

supx∈Rd

Ehx

(∫ ∞

0

exp

(−∫ t

0

g(Xs)ds

)dAt

)<∞.

コンパクトな台を持つ加藤クラスの測度はK∞S に属する. クラスK∞

S はK∞d,α(β)

に含まれる,

(7.19) K∞S ⊂ K∞

d,α.

実際, 任意の R > 0に対して

M(µ) := supx∈Rd

(|x|d−α

∫Rd

dµ(y)

|x− y|d−α

)≥ Rd−α sup

x∈B(R)c

∫Rd

dµ(y)

|x− y|d−α

なので,

supx∈Rd

∫B(R)c

dµ(y)

|x− y|d−α= sup

x∈B(R)c

∫B(R)c

dµ(y)

|x− y|d−α

≤ M(µ)

Rd−α−→ 0, R→ ∞.

Lemma 7.7. Let Bt be a PCAF. Then

Ex

(∫ ∞

0

e(Aµt −Bt)dAµ

t

)= h(x)Eh

x

(∫ ∞

0

e−BtdAµ

t

h(Xt)

).

Proof. We have

h(x)Ehx

(∫ s

0

e−BtdAµ

t

h(Xt)

)= Ex

(eA

µs h(Xs)

∫ s

0

e−BtdAµ

t

h(Xt)

)= Ex

(∫ s

0

eAµs h(Xs)e

−BtdAµ

t

h(Xt)

).

Put Yt = eAµs h(Xs)e

−Bt/h(Xt). Then since Yt is a right continuous process, itsoptional projection is equal to Ex(Yt|Ft) (e.g. [48, Theorem 7.10]). Hence the righthand side equals

Ex

(∫ s

0

Ex (Yt|Ft) dAµt

)= Ex

(∫ s

0

eAµt e−Bt

1

h(Xt)EXt

(eA

µs−th(Xs−t)

)dAµ

t

).

Since EXt

(eA

µs−th(Xs−t)

)= h(Xt), the right hand side equals

Ex

(∫ s

0

eAµt −BtdAµ

t

).

Hence the proof is completed by letting s→ ∞.

次の定理は対称 α-安定過程の場合に Theorem 5.1を拡張したものである. さらに一般のマルコフ過程に対しては, [13], [61]を参照せよ.


Theorem 7.8. ([74]) Suppose d > α. For µ = µ+ − µ− ∈ K∞d,α − K∞

d,α, let

Aµt = Aµ+

t −Aµ+

t . Then the following conditions are equivalent:

(i) supx∈Rd

Ex(eAµ

∞) <∞.

(ii) There exists the Green function Rµ(x, y) < ∞ (x = y) of the operator−1

2 (−∆)α/2 + µ such that

Ex

(∫ ∞

0

eAµt f(Xt)dt

)=

∫Rd

Rµ(x, y)f(y)dy.

(iii) inf

E(u, u) +

∫Rd

u2dµ− :

∫Rd

u2dµ+ = 1

> 1.

Theorem 7.8のどれかの主張が成り立つならば, Rµ(x, y)は

(7.20) R(x, y) ≤ Rµ(x, y) ≤ CR(x, y).

を満たす ((4.19) in [72]).

Lemma 7.9. If µ ∈ K∞S , then

∫ t

0

dAµs

h(Xs)is special with respect to Mh.

Proof. We may assume that g is a bounded positive Borel function with compactsupport. Note that by Lemma 7.7

Ehx

(∫ ∞

0

exp

(−∫ t

0

g(Xs)ds

)dAµ

t

h(Xt)

)=

1

h(x)Ex

(∫ ∞

0

exp

(Aµ

t −∫ t

0

g(Xs)ds

)dAµ

t

)=

1

h(x)Rµ−g·dxµ(x).

If the measure µ satisfies λ(0) = 1, then µ−g·dx ∈ K∞d,α−K∞

d,α satisfies Theorem 7.8

(iii), and Rµ−g·dx(x, y) is equivalent with R(x, y) by (7.20). Therefore the equation(7.12) implies that (7.18) is equivalent to that supx∈Rd

(1/h(x))Rµ−g·dxµ(x)

<

∞.

Lemma 7.7から

Ex

(eA

µt

)= 1 + Ex

(∫ t

0

eAµs dAµ

s

)= 1 + h(x)Eh

x

(∫ t

0

dAµs

h(Xs)

).

となることに注意すると, 正の有限測度 ν に対し,

(7.21) Eν

(eA

µt

)= ν(Rd) + ⟨ν, h⟩Eh

νh

(∫ t

0

dAµs

h(Xs)

)が成り立つ. ここで, νh = h · ν/⟨ν, h⟩. コンパクトな台を持つ正の滑らかな関数 kに対し,

ψ(t) = Ehx

(∫ t

0

k(Xs)ds

)と置く. そのとき, limt→∞ ψ(t) = ∞がMh の Harris再帰性より従う. 加えて,

(7.22) limt→∞

ψ(t+ s)

ψ(t)= 1

が成り立つ. 実際,

ψ(t+ s) = Ehx

(∫ t

0

k(Xu)du

)+ Eh

x

(EhXt

(∫ s

0

k(Xu)du

))

30 竹田雅好

≤ ψ(t) + ∥k∥∞s

かつ

1 ≤ ψ(t+ s)

ψ(t)≤ 1 +

∥k∥∞sψ(t)

より分かる.Aµ

t をMhのPCAFとみなしたときのRevuz測度は h2µである ([25, Lemma 4.4]).(7.21)から

1

ψ(t)Eν

(eA

µt

)=ν(Rd)

ψ(t)+ ⟨ν, h⟩

Ehνh

(∫ t

0(1/h(Xs))dA

µs

)Ehx

(∫ t

0k(Xs)ds

)となり

∫ t

0(1/h(Xs))dA

µs と

∫ t

0k(Xs)dsはMhの special PCAFであるから, Chacon-

Ornstein型エルゴード定理 ([9, Theorem 3.18])から

(7.23)1

ψ(t)Eν

(eA

µt

)−→ ⟨ν, h⟩ · ⟨µ, h⟩∫

Rd kh2dx, t→ ∞

が従う. (7.12)と (7.17)より, ⟨µ, h⟩ <∞であることに注意せよ.有界 Fs-可測関数 Z に対して, 正の有界測度 ν を

ν(B) = Ex

(ZeA

µs ;Xs ∈ B

), B ∈ B(Rd).

で定義する. そのとき, マルコフ性より

Ex

(ZeA

µt

)= Eν

(eA

µt−s

)となる. ゆえに

limt→∞

Ex

(ZeA

µt

)Ex

(eA

µt

) = limt→∞

Ex

(ZeA

µt

)/ψ(t)

Ex

(eA

µt

)/ψ(t)

= limt→∞

(ψ(t− s)/ψ(t))Eν

(eA

µt−s

)/ψ(t− s)

Ex

(eA

µt

)/ψ(t)

.

(7.22)と (7.23)から, 右辺は

(7.24)(⟨ν, h⟩⟨µ, h⟩)/

∫Rd kh

2dx

(h(x)⟨µ, h⟩)/∫Rd kh2dx

=⟨ν, h⟩h(x)

=1

h(x)Ex

(ZeA

µs h(Xs)

)= Eh

x(Z)

に等しい.

Remark 7.1. We suppose that d > α and λ(0) = 1. If d > 2α, then h ∈ L2(Rd) onaccount of (7.12). Hence Mh is an ergodic process with the invariant probabilitymeasure h2dx, and thus for a smooth function k with compact support,

ψ(t)

t=

1

tEhx

(∫ t

0

k(Xs)ds

)−→

∫Rd

kh2dx.

Hence we see that for µ ∈ K∞S

(7.25) limt→∞

1

tEx

(eA

µt

)= h(x)⟨µ, h⟩.


8. 熱核の安定性

Mα = (Ω,F,Ft,Px, Xt)を Rd 上の対称 α-安定過程とし, 過渡的 (α < d)であるとする. この節では, シュレディンガー作用素の熱核の安定性について議論する. 正測度 µのポテンシャルを

Rµ(x) =

∫Rd

R(x, y)dµ(y)

で定義する. ここで R は, (5.8)で定義される Riesz kernelである. 次の lemmaは([29, Example 2.2.1])で示されている; ここでは, 不等式 (2.3)の 0-order versionを用いて新たな証明を与える.

Lemma 8.1. ([29, Example 2.2.1]) If µ ∈ K∞d,α satisfies

∫Rd

∫Rd R(x, y)dµ(x)dµ(y) <

∞, then Rµ belongs to De(E).

Proof. First note that for µ ∈ K∞d,α

(8.1)

∫Rd

u2dµ ≤ ∥Rµ∥∞E(u, u), u ∈ De(E)

(cf. [55]). LetK be a compact set of Rd. Then by applying (8.1) to µK(·) = µ(K∩·),we have ∫

Rd

φdµK ≤ (µ(K))1/2(∫

Rd

φ2dµK

)1/2

≤ (µ(K))1/2∥RµK∥1/2∞ E(φ,φ)1/2.Hence the measure µK is of finite energy integral, and thus∫

Rd

φdµK ≤ E(RµK , RµK)1/2E(φ,φ)1/2

≤(∫

Rd

∫Rd

R(x, y)dµK(x)dµK(y)

)1/2

E(φ,φ)1/2.

By letting K increase to Rd, we find that µ is of finite energy integral, and thusRµ is in De(E).

いま

(8.2) h(x) = Ex(eAµ

∞)

とすると,

(8.3) λ(µ) := inf

E(u, u) :

∫Rd

u2dµ = 1

> 1

のとき, 1 ≤ h(x) ≤M(= supx Ex(eAµ

∞)) <∞が成り立つ (Theorem 7.8).

Lemma 8.2. Assume that λ(µ) > 1. Then it holds that

h(x) = R(hµ)(x) + 1.

Proof. Define Mt := Ex(exp(Aµ∞)|Ft). Then by the Markov property

h(Xt) = EXt(exp(Aµ∞)) = Ex(exp(A

µ∞(θt))|Ft)

= Ex(exp(Aµ∞ −Aµ

t )|Ft) = exp(−Aµt )Mt,

and thus

Ex

(∫ t

0

h(Xs)dAµs

)= Ex

(∫ t

0

exp(−Aµs )MsdA

µs

)= Ex(M0)− Ex(exp(−Aµ

t )Mt) + Ex

(∫ t

0

exp(−Aµs )dMs

)(8.4)

32 竹田雅好

= h(x)− Ex(h(Xt)).

Noting that

limt→∞

h(Xt) = limt→∞

exp(−Aµt )Mt = exp(−Aµ

∞) exp(Aµ∞) = 1,

we have the lemma by letting t to ∞ in (8.4).

測度 µ ∈ K∞d,α が

∫Rd

∫Rd R(x, y)dµ(x)dµ(y) < ∞ を満たすとする. そのとき

Lemma 8.1より R(hµ)は De(E)に属し, 福島分解

R(hµ)(Xt)−R(hµ)(X0) =M[R(hµ)]t +N

[R(hµ)]t .

を得る. 式 (7.10)においてM[h]t = M

[R(hµ)]t としてえられる方程式の一意解を, Lh

t

と記す. そのとき, Lht より変換してできる対称マルコフ過程Mh の生成するディリ

クレ形式は次で与えられる ([17]):

Theorem 8.3. ([17]) The transformed process Mh is an h2dx-symmetric and itsDirichlet form (Eh,D(Eh) on L2(Rd, h2dx) is Eh(u, v) = K

∫∫Rd×Rd\d

(u(x)− u(y))2h(x)h(y)

|x− y|d+αdxdy,

D(Eh) = D(E(α)).

上の定理を得るために [17, Section 3]で扱われた関数のクラスに (8.2)で定義された hが属することを確認することで, Theorem 8.3が応用できる. .エネルギー有限という µに対する仮定は, このために必要になる.

pµt (x, y)で (−∆)α/2 − µの熱核を記す:

Ex

(eA

µt f(Xt)

)=

∫Rd

pµt (x, y)f(y)dy.

ここで, pµt (x, y) ≃1

td/α∧ t

|x− y|は, 正の定数 c, C が存在して

c

(1

td/α∧ t

|x− y|

)≤ pµt (x, y) ≤ C

(1

td/α∧ t

|x− y|

).

を満たすことを表わす.

Theorem 8.4. Let µ ∈ Kd,α∞ with

∫Rd

∫Rd |x− y|α−ddµ(x)dµ(y) <∞. Then

(8.5) λ(µ) > 1 ⇐⇒ pµt (x, y) ≃1

td/α∧ t

|x− y|.

Proof. (⇐=) By the assumption, pµ(t, x, y) ≤ ctd/α

, and thus

Rµ(x, y) ≤∫ 1

0

pµ(t, x, y)dt+ c

∫ ∞

1

1

td/αdt <∞.

Hence Theorem 7.8 says that λ(µ) > 1.(=⇒) Denote m(dx) = h2(x)dx. Then the Dirichlet form Eh is written as

Eh(u, v) =

∫∫Rd×Rd\d

(u(x)− u(y))2c(x, y)

|x− y|d+αm(dx)m(dy).

Here 0 < c ≤ c(x, y) = 1/(h(x)h(y)) ≤ C < ∞. Let pht (x, y) be the heat kernelof Mh, Eh

x(f(Xt)) =∫Rd p

ht (x, y)f(y)h

2(y)dy. We then see from [16] that the heat

kernel pht (x, y) satisfies

pht (x, y) ≃1

td/α∧ t

|x− y|.


Since pµt (x, y) = h(x)pht (x, y)h(y) by the definition of Mh, the proof is completed.

Mαの熱核は (8.5)の右辺を満たす. Theorem 8.4は, 測度 µが Theorem 8.4の条件を満たすほどに小さければ, Schrodinger作用素の熱核は本質的な変化を示さないことを主張している. 同様の問題を拡散過程で考えてみよう.M を完備なリーマン多様体とし, d(x, y)をリーマン距離、mをリーマン体積とす

る. p(t, x, y)をブラウン運動, すなわち, Laplace-Beltrami作用素 ∆から生成される拡散過程の熱核とする. いま p(t, x, y)がガウス型評価を持つと仮定する: 任意のx, y ∈M と t > 0に対し,

(8.6)C1 exp

(−c1 d2(x,y)

t

)m(B(x,

√t))

≤ p(t, x, y) ≤C2 exp

(−c2 d2(x,y)

t

)m(B(x,

√t))

.

ここにC1, c1, C2, c2は正の定数で, B(x, r)は中心 x ∈M 半径 rの球とする.このとき[33]に従って, p(t, x, y)はLi-Yau estimateを持つという. 測度µに対してSchrodinger作用素∆+µの熱核を pµ(t, x, y)と記すとき, pµ(t, x, y)が Li-Yau estimateを持つための必要十分条件をあるクラスの測度に対して与えることができる ([62]): 正のラドン測度 µがクラス S∞に属するとは, 任意の ϵ > 0に対して, コンパクト集合K ⊂Mと正数 δ > 0 が存在して,

sup(x,z)∈M×M\∆

∫Kc

G(x, y)G(y, z)

G(x, z)µ(dy) ≤ ϵ

が成り立ち, かつ µ(B) < δを満たす可測集合 B ⊂ K に対して,

sup(x,z)∈M×M\∆

∫B

G(x, y)G(y, z)

G(x, z)µ(dy) ≤ ϵ.

が成り立つときをいう. µ が m に絶対連続のときクラス S∞ は, P. Pinchover やM. MurataがG-small at infinityと呼んでいるものと同じである. 上の定義は Z.-Q.Chen [13]に依る. コンパクトな台を持つ加藤測度は S∞ に属する.

Theorem 8.5. ([62]) Suppose µ ∈ S∞. Then pµ(t, x, y) satisfies the Li–Yau esti-mate if and only if λ(µ) > 1.

9. ディリクレ形式におけるエルゴ－ト性

正則なディリクレ形式から生成される対称マルコフ過程は, ある優マルチンゲール乗法汎関数によりエルゴディックな対称マルコフ過程に変換される. この事実は大偏差原理における下からの評価を証明するうえで, 決定的な役割を果たす (Theorem 2.3(i)). 加えて, 作用素論的なエルゴード定理 (Theorem 7.5)は, Feynman–Kac処罰問題において重要な役割を果たす. この節では対称マルコフ過程のエルゴード理論に関する要約を与える.以後 ϕ = Rαgを 2節で定義した関数空間D+の元とする. (2.4)で定義された乗法

汎関数 Lϕt でMを変換してできるマルコフ過程をMϕ = (Ω, Xt,Pϕ

x, ζ)と記す. [29,Lemma 6.3.2]と [52, Theorem 62.5]によりMϕは ϕ2m-対称となる. Mϕから生成される L2(X;ϕ2m)上のディリクレ形式を (Eϕ,D(Eϕ))と記す. ディリクレ形式 E は次の様に分解される (Beurling-Deny formula): u ∈ D(E)に対し

E(u, u) = 1

2

∫X

dµc⟨u⟩ +

∫∫X×X\d

(u(x)− u(y))2J(dx, dy) +

∫X

u2dk.

Theorem 9.1. ([14]) The Dirichlet space D(E) is included in D(Eϕ) and for u ∈D(E)

(9.1) Eϕ(u, u) =1

2

∫X

ϕ2dµc⟨u⟩ +

∫∫X×X\d

(u(x)− u(y))2ϕ(x)ϕ(y)J(dx, dy).

34 竹田雅好

Moreover, the identity function 1 belongs to D(Eϕ) and Eϕ(1, 1) = 0.

Theorem 9.2. The transformed process Mϕ is conservative, pϕt 1 = 1 for any

t > 0, where pϕt is the semigroup of Mϕ. Moreover, Mϕ is ergodic in the sense that

if Λ ∈ F is θt-invariant, (θt)−1(Λ) = Λ, then Pϕ

ϕ2m(Λ) = 0 or Pϕϕ2m(Ω \ Λ) = 0.

Theorem 9.2の証明には, [31]で示された次の定理が必要になる. 以後, mは有限測度, m(X) <∞, を仮定する.

Theorem 9.3. ([31]) Suppose m(X) < ∞. Let (E ,D(E)) be the Dirichlet formassociated with anm-symmetric right process (Ω,F,Ft, Xt,Px, θt) on X and supposethat

1 ∈ D(E) and E(1, 1) = 0.

Then, the following statements are equivalent each other.(i) (E ,D(E)) is irreducible.(ii) If a function u ∈ D(E) satisfies E(u, u) = 0, then u is constant m-a.e.(iii) If a function u ∈ L2(X;m) satisfies ptu = u m-a.e. for any t > 0, then u isconstant m-a.e.(iv) (Ω,Pm,F, θt) is ergodic, i.e., if Λ ∈ F is θt-invariant, then Pm(Λ) = 0 orPm(Ω \ Λ) = 0.

Proof. ((i)=⇒ (ii)) Let u be a function in F with E(u, u) = 0. For λ ∈ R, letuλ = (u− λ)+. Since E(uλ, uλ) ≤ E(u− λ, u− λ) = 0,

E(uλ, v) = 0 for ∀v ∈ F ,and so Auλ = 0 (ptuλ = uλ). Set Bλ = x ∈ X : uλ(x) = 0. Noting that

pt(1Bcλuλ) = pt(uλ) = uλ = 0,m-a.e. on Bλ,

we have for any npt(1Bc

λ1uλ≥ 1

n) = 0 on Bλ.

Thus, pt(1Bcλ) = 0m-a.e. on Bλ (1Bλ

pt(1Bcλ) = 0). By the symmetry, 1Bc

λpt(1Bλ

) =

0. Therefore, for f ∈ L2(X;m)

pt(1Bλf) = 1Bλ

pt(1Bλf) + 1Bc

λpt(1Bλ

f)

= 1Bλpt(1Bλ

f)

= 1Bλpt(1Bλ

f) + 1Bλpt(1Bc

λf)

= 1Bλpt(f),

and m(Bλ) = 0 or m(Bcλ) = 0 by the assumption. Let λ0 = supλ : m(Bλ) = 0.

Then, for any λ > λ0, m(Bλ) = 0, which implies m(Bcλ) = 0. Hence m(u >

λ0) = 0. On the other hand, for any λ < λ0, m(Bλ) = 0 and so m(u < λ0) = 0.Therefore, we can conclude that u = λ0 m-a.e.

((ii)=⇒ (iii)) and ((iii)=⇒ (i)) are trivial.((iii)=⇒ (iv)) Let F ∈ L2(Pm) with F = F θt Pm-a.e. for ∀t > 0. Put

f(x) = Ex(F ). Note that

Em(F θt) = Em(EXt(F )) = Em(f(Xt))

= Em(ptf(X0)).

Hence for any bounded Borel function g on X,

0 = Em((F θt − F )g(X0)) = Em((ptf(X0)− f(X0))g(X0))

= (ptf − f, g)m,

and thus ptf = f m-a.e. and f = k (constant) m-a.e. by assumption. Therefore

k = f(Xn) = EXn(F ) = Em(F θt|Fn) = Em(F |Fn) −→ F, Pm-a.e. n −→ ∞.


((iv)=⇒(iii)) Let f be an L2-function such that f = ptf . We set

Ωf =

ω ∈ Ω :

∫ T

0

|f(Xt)|dt <∞ for ∀T ∈ (0,∞)

and define

FT (ω) =

1T

∫ T

0f(Xt(ω))dt if ω ∈ Ωf

0 if ω ∈ Ωf .

Then, Ωcf is θt-invariant and thus Pm(Ωc

f ) = 0. Since for any φ ∈ L2(X;m)

(f, φ)m =

(1

T

∫ T

0

ptfdt, φ

)m

= (Ex(FT ), φ)m

= Em(FTφ(X0)).

Since

FT =1

T

∫ T

0

f(X0 θt)dt→Em(f(X0))

m(X)=

∫Xfdm

m(X)

by the ergodic Theorem,

(f, φ)m = limT→∞

Em(FTφ(X0))

= Em

(∫Xfdm

m(X)φ(X0)

)=

∫Xfdm

m(X)

∫X

φdm,

and thus f =∫Xfdm/m(X), m-a.e.

Theorem 9.3はm(X) = ∞の場合に拡張されている ([15], [40]).

Lemma 9.4. A Pm-integrable bounded random variable Z is θt-invariant (Z =Z θt, Pm-a.e., t > 0) if and only if Z = g(X0) Pm-a.e. for some m-integrablebounded function g on X which is pt-invariant, ptg = g m-a.e., t > 0.

Proof. Since Em(Z|Ft) = Em(Z θt|Ft) = g(Xt) Pm-a.e. with g(x) = Ex(Z) by theMarkov property,

Pm(|Z − g(X0)| > ϵ) = Pm(|Z θt − g(X0 θt)| > ϵ) = Pm(|Z − g(Xt)| > ϵ)

= Pm(|Z − Em(Z|Ft)| > ϵ) −→ 0 as t→ ∞.

Hence Z = g(X0) Pm-a.e. and so g(Xt) = Em(g(X0)|Ft) = g(X0) Pm-a.e., andthus for any bounded function h on X

Em((g(Xt)− g(X0))h(X0)) = Em((ptg(X0)− g(X0))h(X0))

=

∫X

(ptg(x)− g(x))h(x)dm = 0,

which implies ptg = g m-a.e.Conversely, for a pt-invariant function g, g(X0) is θt-invariant because

Em((g(Xt)− g(X0))2) = Em((ptg(X0)− g(X0))

2) = 0.

対称性を考慮してえられる次のエルゴード定理が成立する (Fukushima [28]).

Theorem 9.5. Assume m(X) < ∞. For any f ∈ Lp(X;m), p ≥ 1, there exists aLp(X;m)-function g such that

limt→∞

ptf = g, m-a.e. and in Lp(X;m).

Moreover, g is pt-invariant.

36 竹田雅好

Proof. Let Gt = σXs : s ≥ t. By the symmetry, Yt := Em(f(X0)|Gt) = ptf(Xt)Pm-a.e. and thus p2tf(X0) = Em(Yt|F0). Since Yt is an inverse martingale, the limitlimt→∞ Yt = Z exists Pm-a.e. and in Lp(Pm). Hence limt→∞ p2tf(X0) = Em(Z|F0)Pm-a.e. and in Lp(Pm). The theorem follows with g(x) = Ex(Z).

Corollary 9.6. Assume m(X) <∞. If the Markov process M is irreducible, thenfor f ∈ Lp(X;m), p ≥ 1

limt→∞

ptf(x) =1

m(X)

∫X

fdm, m-a.e. and in Lp(X;m).

Moreover, if for the conjugate number of q(:= p/(p − 1)) the transition probabilitydensity satisfies pt(x, ·) ∈ Lq(X;m) for any x, then the limit holds for any x ∈ X.

Proof. For g ∈ Lp(X;m), put cg = 1m(X)

∫Xgdm. Let fn = (−n ∨ f) ∧ n, n =

1, 2, · · · . Then by combing Lemma 9.4 with Theorem 9.5,

limt→∞

ptfn(x) = cfn , m-a.e. and in Lp(X;m).

Since

∥ptf − cf∥p ≤ ∥ptf − ptfn∥p + ∥ptfn − cfn∥p + ∥cfn − cf∥p

≤ 2∥f − fn∥p + ∥ptfn − cfn∥p,

the first part of corollary follows.The second part follows because by Holder’s inequality

|ptf(x)− cf | =∣∣∣∣∫

X

p1(x, y)

(∫X

pt−1(y, z)f(z)dm(z)− cf

)dm(y)

∣∣∣∣≤(∫

X

pq1(x, y)dm(y)

)1/q (∫X

∣∣∣∣∫X

pt−1(y, z)f(z)dm(z)− cf

∣∣∣∣p dm(y)

)1/p

−→ 0 as t→ ∞.

10. Proof of Theorem 2.2

Theorem 10.1. (i) For each open set G of P

lim inft→∞

1


µ∈GIE(µ), ν ∈ P.

(ii) For each closed set K of P

lim supt→∞

1

tlog sup

x∈XPx(Lt ∈ K, t < ζ) ≤ − inf

µ∈KIE(µ).

Proof. (i) Let ϕ = Rαf ∈ D+(A) and ϕ2m ∈ G. Let Mϕ = (Ω, Xt,Pϕx) be the

transformed process of M by the functional Lϕ defined by (2.4). Put

S(t, ϵ) =

ω ∈ Ω :

∣∣∣∣∫X

Aϕ

ϕ(x)Lt(ω, dx)−

∫X

ϕAϕdm

∣∣∣∣ < ϵ

S′(t, ϵ) = S(t, ϵ) ∩ ω ∈ Ω : Lt(ω) ∈ G, ϵ > 0,

and

Θ1 =

ω ∈ Ω : lim

t→∞

1

t

∫ t

0

Aϕ

ϕ(Xs(ω))ds =

∫X

ϕAϕdm

Θ2 = ω ∈ Ω : Lt(ω) converges to ϕ

2m.


Observe that

∫X

∣∣∣∣Aϕϕ∣∣∣∣ϕ2dm =

∫X

|Aϕ|ϕdm <∞,Aϕ

ϕis bounded on each compact

subset of X and Cb(X) ⊂ L1(X;ϕ2dm). Therefore we can conclude by the ergodictheorem that for i = 1, 2, Pϕ

x(Θi) = 1 for any x ∈ X by taking the absolutecontinuity of the transition function of M into account.

Hence, for any x ∈ X and ϵ > 0,

Pϕx(S

′(t, ϵ)) −→ 1 as t→ ∞.

Since

Pν(Lt ∈ G, t < ζ) = Eϕν

(ϕ(X0)

ϕ(Xt)exp

(∫ t

0

Aϕ

ϕ(Xs)ds

);Lt ∈ G

)≥ exp

(t

(∫X

ϕAϕdm− ϵ

))Eϕν

(ϕ(X0)

ϕ(Xt);S′(t, ϵ)

)≥ exp

(t

(∫X

ϕAϕdm− ϵ

)) Pϕϕν(S

′(t, ϵ))

∥ϕ∥∞

and Pϕϕν(S

′(t, ϵ)) →∫Xϕdν as t→ ∞, we obtain

lim inft→∞

1

tlogPν(Lt ∈ G, t < ζ) ≥

∫X

ϕAϕdm− ϵ,

and thus

lim inft→∞

1


ϕ∈D+(A)

ϕ2m∈G

E(ϕ, ϕ).

The right hand side is equal to

− infϕ∈F+

ϕ2m∈G

E(ϕ, ϕ) = − infϕ∈F+

ϕ2m∈G

IE(ϕ2m) ( ≥ − inf

µ∈GIE(µ)),

where F+ is the space of non-negative functions in F . Indeed, for f ∈ F+, αRαfis E1-convergent to f as α→ ∞, and for a sequence fn∞n=1 ⊂ L2(X;m)∩C+

b (X)which is L2-convergent to f as n → ∞, Rαfn −→ Rαf in E1. Thus D+(A) isE1-dense in F+.(ii) Define Qx,t(C) = Px(Lt ∈ C; t < ζ) for any set C ∈ B(P). For u ∈ D+(A) andϵ > 0, we get from the fact that Ex(Lt) ≤ 1

Ex

(exp

(−∫ t

0

Au

u+ ϵ(Xs)ds

); t < ζ

)≤ u(x) + ϵ

ϵ,

and the left hand side dominates exp(−t supµ∈C

∫X

Au

u+ ϵ(z)µ(dz))Qx,t(C). Hence

(10.1) lim supt→∞

1

tlog sup

x∈XQx,t(C) ≤ inf

u∈D+(A)

ϵ>0

supµ∈C

∫X

Au

u+ ϵdµ.

Let K be a compact set of P and set

ℓ = supµ∈K

infu∈D+(A)

ϵ>0

∫X

Au

u+ ϵdµ.

Then, for any δ > 0 and µ ∈ K, there exist uµ ∈ D+(A) and ϵµ > 0 such that∫X

Auµ

uµ+ϵµdµ ≤ ℓ + δ. Since the function

Auµuµ + ϵµ

belongs to Cb(X), there exists

a neighborhood N(µ) of µ such that

∫X

Auµuµ + ϵµ

dν ≤ ℓ + 2δ for any ν ∈ N(µ).

38 竹田雅好

Since ∪µ∈KN(µ) is an open covering of K, there exist µ1, . . . , µk in K such that

K ⊂ ∪kj=1N(µj). Put Nj = N(µj). We then have for 1 ≤ j ≤ k

supµ∈Nj

∫X

Auµj

uµj + ϵµj

dµ ≤ ℓ+ 2δ, and so max1≤j≤k

infu∈D+(A)

ϵ>0

supµ∈Nj

∫X

Au

u+ ϵdµ ≤ ℓ+ 2δ.

Therefore, by (10.1)

lim supt→∞

1

tlog sup

x∈XQx,t(K) ≤ max

1≤j≤klim supt→∞

1

tlog sup

x∈XQx,t(Nj)

≤ max1≤j≤k

infu∈D+(A)

ϵ>0

supµ∈Nj

∫X

Au

u+ ϵdµ ≤ ℓ+ 2δ.(10.2)

Since

(10.3) − infu∈D+(A)

ϵ>0

∫X

Au

u+ ϵdµ = IE(µ)

by Theorem 10.2 below, the proof is completed for any compact set K.For 0 < ϵ < 1/3, let Kϵ be a compact set such that supx∈X R11Kc

ϵ(x) ≤ ϵ. Let

Vϵ(x) = −AR11Kc

ϵ(x)

R11Kcϵ(x) + ϵ

=1Kc

ϵ(x)−R11Kc

ϵ(x)

R11Kcϵ(x) + ϵ

.

We then have

(10.4)

∫Pexp

(t

∫X

Vϵ(x)µ(dx)

)dQx,t ≤

R11Kcϵ+ ϵ

ϵ≤ 2.

In addition, noting that

Vϵ(x)

≥ 1−ϵ

2ϵ > 13ϵ , x ∈ Kc

ϵ ,≤ 0, x ∈ Kϵ,

and Vϵ(x) > −1, we have∫X

Vϵ(x)µ(dx) =

∫Kc

ϵ

Vϵ(x)µ(dx) +

∫Kϵ

Vϵ(x)µ(dx) ≥1

3ϵµ(Kc

ϵ )− 1,

and thus∫Pexp

(t

∫X

Vϵ(x)µ(dx)

)dQx,t ≥

∫Pexp

(t

∫Kc

ϵ

Vϵ(x)µ(dx)− t

)dQx,t

≥ e−t

∫Pexp

(t

3ϵµ(Kc

ϵ )

)dQx,t.

Let Pδϵ = µ ∈ P : µ(Kc

ϵ ) > δ. We then see from (10.4) that

Qx,t(Pδϵ ) ≤ 2 exp

(t− tδ

3ϵ

).

For any λ > 3 let

(10.5) Jλ =∞∪

n=1

P3n1

λn2.

Then

Qx,t(Jλ) ≤ 2et · e−λt

1− e−λtand so lim sup

t→∞

1

tlog sup

x∈XQx,t(Jλ) ≤ 1− λ.

Since Jcλ is compact by Lemma 10.1 below, we have for any closed subset K of P

lim supt→∞

1

tlog sup

x∈XQx,t(K)


=

(lim supt→∞

1

tlog sup

x∈XQx,t(K ∩ Jc

λ)

)∨(lim supt→∞

1

tlog sup

x∈XQx,t(K ∩ Jλ)

)≤(− inf

µ∈K∩Jcλ

IE(µ)

)∨ (1− λ) ≤

(− inf

µ∈KIE(µ)

)∨ (1− λ) .

By letting λ to ∞, the proof is completed. Lemma 10.1. The complement Jc

λ of the set Jλ defined by (10.5) is compact in P.

Proof. First note that the set (Pδϵ )

c is closed. Indeed, if µn ∈ (Pδϵ )

c weakly con-verges to µ,

µ(Kcϵ ) ≤ lim inf

n→∞µn(K

cϵ ) ≤ δ

because the set Kcϵ is closed. Since

Jcλ =

∞∩n=1

(P

3n1

λn2

)c

=∞∩

n=1

µ ∈ P : µ(Kc

1λn2

) ≤ 3

n

,

the set Jcλ is closed.

For any ϵ > 0, we take n0 so large that 3/n0 < ϵ. Then

supµ∈Jc

λ

µ(Kc) ≤ 3

n0< ϵ, K = K 1

λn20

,

which implies that the set Jcλ is tight.

Denote by B+b (X) the set of non-negative bounded Borel functions on X. Let

us define a function on P by

(10.6) Iα(µ) = − infu∈B+

b(X)

ϵ>0

∫X

log

(αRαu+ ϵ

u+ ϵ

)dµ.

Lemma 10.2.

Iα(µ) ≤I(µ)

α, µ ∈ P.

Proof. For u = Rαf ∈ D+(A) and ϵ > 0, set

ϕ(α) = −∫X

log

(αRαu+ ϵ

u+ ϵ

)dµ.

Then,dϕ(α)

dα= −

∫X

Rαu− αR2αu

αRαu+ ϵdµ =

∫X

AR2αu

αRαu+ ϵdµ.

SinceαR2

αu−Rαu

αRαu+ ϵ≥ αR2

αu−Rαu

α2R2αu+ ϵ

,∫X

AR2αu

αRαu+ ϵdµ ≥

∫X

AR2αu

α2R2αu+ ϵ

dµ = − 1

α2

(−∫X

AR2αu

R2αu+ ϵ

α2

dµ

)≥ − 1

α2I(µ).

Hence,

ϕ(∞)− ϕ(α) =

∫X

log

(αRαu+ ϵ

u+ ϵ

)dµ ≥ −I(µ)

α,

and thus

− infu∈D+(A)

ϵ>0

∫X

log

(αRαu+ ϵ

u+ ϵ

)dµ ≤ I(µ)

α.

40 竹田雅好

Since for any f ∈ C+b (X), ∥βRβf∥∞ ≤ ∥f∥∞ and 0 ≤ βRβf(x) → f(x) as β → ∞,

(10.7)

∫X

log

(αRα(βRβf) + ϵ

βRβf + ϵ

)dµ

β→∞−→∫X

log

(αRαf + ϵ

f + ϵ

)dµ.

Define the measure µα by

(10.8) µα(A) =

∫X

αRα(x,A)dµ(x) A ∈ B(X).

Given v ∈ B+b (X), take a sequence gn∞n=1 ⊂ C+

b (X) ∩ L2(X;m) such that∫X

|v − gn|d(µα + µ) −→ 0 as n→ ∞.

We then have∫X

|αRαv − αRαgn|dµ ≤∫X

αRα(|v − gn|)dµ =

∫X

|v − gn|dµα −→ 0

as n→ ∞, and thus

(10.9)

∫X

log

(αRαgn + ϵ

gn + ϵ

)dµ

n→∞−→∫X

log

(αRαv + ϵ

v + ϵ

)dµ.

Hence, combining (10.7) and (10.9)

infu∈D+(A)

∫X

log

(αRαu+ ϵ

u+ ϵ

)dµ = inf

u∈B+b

∫X

log

(αRαu+ ϵ

u+ ϵ

)dµ,

which implies the lemma.

Lemma 10.3. If I(µ) <∞, then µ is absolutely continuous with respect to m.

Proof. For a > 0 and A ∈ B(X), set u(x) = a1A(x) + 1 ∈ B+b (X), where 1A is the

indicator function of the set A. Then for ϵ > 0∫X

log

(αRαu+ ϵ

u+ ϵ

)dµ =

∫X

log

(aαRα(x,A) + αRα(x,X) + ϵ

a1A(x) + 1 + ϵ

)dµ

≥ −Iα(µ).

Let µα be the measure in (10.8) and cα = µα(X). By Lemma 10.2 and Jensen’sinequality

log (aµα(A) + cα + ϵ) ≥ µ(A) log(a+ 1 + ϵ) + µ(Ac) log(1 + ϵ)− I(µ)/α,

and by letting ϵ → 0, log (aµα(A) + cα) ≥ µ(A) log(a+ 1)− I(µ)/α. Since log x ≤x− 1 for x > 0, aµα(A) + cα − 1 ≥ µ(A) log(a+ 1)− I(µ)/α, and thus

µα(A)− µ(A) ≥ −I(µ)/α+ µ(A)(log(a+ 1)− a) + 1− cαa

.

Noting that log(a+ 1)− a < 0, we have for any A ∈ B(X)

µα(A)− µ(A) ≥ −I(µ)/α+ (log(a+ 1)− a) + 1− cαa

,

and

µ(A)− µα(A) = 1− cα + (µα(Ac)− µ(Ac))

≥ −I(µ)/α+ (log(a+ 1)− a) + (1− cα)(a+ 1)

a.

Thus we see that

supA∈B(X)

|µ(A)− µα(A)| ≤a− log(a+ 1) + I(µ)/α+ (1− cα)(a+ 1)

a.


Noting that cα → 1 as α→ ∞, we have

lim supα→∞

supA∈B(X)

|µ(A)− µα(A)| ≤a− log(a+ 1)

a.

Since the right hand side converges to 0 as a → 0 and µα is absolutely continuouswith respect to m, we get the lemma.

Theorem 10.2.I(µ) = IE(µ), µ ∈ P.

Proof. (I(µ) ≥ IE(µ)): Suppose that I(µ) = ℓ < ∞. Lemma 10.2 implies that µis absolutely continuous with respect to m. Let us denote by f its density and putfn =

√f ∧ n. From log(1− x) ≤ −x for −∞ < x < 1, we have∫

X

log

(αRαf

n + ϵ

fn + ϵ

)fdm =

∫X

log

(1− fn − αRαf

n

fn + ϵ

)fdm

≤ −∫X

fn − αRαfn

fn + ϵfdm,

so that ∫X

fn − αRαfn

fn + ϵfdm ≤ Iα(f ·m).

Note that

fn − αRαfn

fn + ϵf =

√f − αRαf

n

√f + ϵ

f1√f≤n +

n− αRαfn

n+ ϵf1

√f>n.

Since the absolute value of the first (resp. second) term of the right hand side isdominated by (

√f + αRα

√f)√f ∈ L1(X;m) (resp. f ∈ L1(X;m)), we have

limn→∞

∫X

fn − αRαfn

fn + ϵfdm =

∫X

√f − αRα

√f√

f + ϵfdm.

Moreover, by letting ϵ→ 0,∫X

√f(√f − αRα

√f)dm ≤ Iα(f ·m) ≤ I(f ·m)

α,

which implies that√f ∈ D(E) and E(

√f,

√f) ≤ I(f ·m).

(I(µ) ≤ IE(µ)): For ϕ ∈ D+(A) define the semigroup pϕt by

pϕt f(x) = Ex

((ϕ(Xt) + ϵ

ϕ(X0) + ϵ

)exp

(−∫ t

0

Aϕ

ϕ+ ϵ(Xs)ds

)f(Xt)

).

Then pϕt is (ϕ+ ϵ)2m-symmetric and satisfies pϕt 1 ≤ 1 in view of Lemma 6.3.1 andthe proof of Lemma 6.3.2. Given µ = fm ∈ P with

√f ∈ D(E), let

Sϕt

√f(x) = Ex

(exp

(−∫ t

0

Aϕ

ϕ+ ϵ(Xs)ds

)√f(Xt)

).

Then we see by the same argument as in Theorem 6.1.1 that

(10.10) limt→0

1

t(√f − Sϕ

t

√f,√f)m = E(

√f,√f) +

∫X

Aϕ

ϕ+ ϵfdm.

Since ∫X

(Sϕt

√f)2dm =

∫X

(ϕ+ ϵ)2(pϕt

( √f

ϕ+ ϵ

))2

dm

≤∫X

(ϕ+ ϵ)2pϕt

(( √f

ϕ+ ϵ

)2)dm ≤

∫X

(ϕ+ ϵ)2( √

f

ϕ+ ϵ

)2

dm =

∫X

fdm,

42 竹田雅好

the right hand side of (10.10) is non-negative, and thus E(√f,

√f) ≥ I(f ·m).

対称マルコフ過程Mは, 爆発・killingを許しているので, 下からの評価 Theorem10.1 (i)が難しくなる. しかし対称なマルコフ過程に限れば爆発・killingがあってもエルゴディックなマルコフ過程に変換可能であるという事実からTheorem 10.1 (i)が導かれる. この方法は, 1次元ブラウン運動を扱ったDonsker–Varadhan[22]によるもので, そこでは吸収壁ブラウン運動がドリフトの変換によりエルゴディックな拡散過程に変換されることを Fellerテストを用いて確認している.

References

1. Albeverio, S., Blanchard, P., Ma, Z.M.: Feynman–Kac semigroups in terms of signed smooth

measures, in ”Random Partial Differential Equations” ed. U. Hornung et al., Birkhauser,(1991).

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