Strain, Strain Rate, Stress,Modulus, Viscosity,

Maxwell model,Relaxation time

Quick Introduction to Rheology

ひずみ (strain)

ずり変形 (shear deformation)

h

x

高さ hを一定にして変形する。体積も変化しない。

ずりひずみ γ =xh

h

ひずみには単位は無い（無次元量）

shear strain

height h = constant. Volume = constant

Strain is a dimensionless quantity

なぜ x/hを使うと便利なのか形・大きさの異なる試料でも、x/hが同じなら同じ変形

h2x2

h1

x1

x1h1

=x2h2

h1

x1

Same deformation

if

ひずみ速度strain rate

ひずみ速度 = ひずみの時間微分

単位は [1/s]

ずり速度 shear rate

γ ≡

dγdt

ずり速度

x上面の移動距離 x

上面の移動速度 vw ≡ x ≡

dxdt

γ =xh

γ =vwh

h

shear rate

とも表せる

単位は [1/s]unit

displacement of the upper surface

velocity of the upper surface

another expressionfor the strain rate

例 example高さ 1cm の試料の上面を、下面に平行に 1mm/s で移動する。

vw = 1 [mm/s]

h = 1 [cm] γ =

vwh

=1 [mm/s]1 [cm]

=1 [mm/s]10 [mm]

∴   γ = 0.1 [1 / s]

h

一定のひずみ速度で変形を続けるとt = 5 秒後のひずみは

γ = γ t = 0.1 [1/s]( ) × 5 [s]( )  =  0.5

x = vwt = 5  [mm]

strain after 5 seconds

ひずみ速度=速度勾配strain rate = velocity gradient

h

0

y

x

vx (y)

試料内部の流れvw vx (y) = ay

vw = vx (h) = aha = vw

h= !γ

高さ yでの流速は yに比例：

上面での流速は

（aは比例係数）

∴vx (y) = !γ y

γ =

∂vx∂y

ひずみ速度 = 速度勾配

下面は固定

flow inside the sample velocity at height y ∝ y

velocity vw at the upper surface y = h

∂vx (y)∂y

= !γ

strain rate = velocity gradient

応力stress

ずり応力 shear stress

力 F面積 S

ずり応力 σ =FSshear stress

応力の単位 unit of stress： パスカル [Pa] = [N/m2]

応力 = 単位面積あたりに働く力

area force

stress = force per unit area

縦に2個積む

面を通して働く力

応力 σ =FS

面積 S力 F

横に2個並べる

σ =FS

F

F

F

σ =2F2S

=FS

力:合計 2F面積:合計 2S

2FS

理想弾性体と理想粘性体

Hookean Solid (ideal solid)and

Newtonian Fluid (ideal fluid)

理想弾性体（フック弾性体）Ideal solid (Hookean solid)

σ (t) = Gγ (t)

理想弾性体では、ひずみが時間変化していても、時刻 tでの応力 σ(t) は同じ時刻におけるひずみ γ(t) だけに比例し、ひずみ速度や過去のひずみには依存しない。

G: ずり弾性率

弾性率 Gの単位は応力と同じで [Pa]

shear modulus

In the ideal solid, stress σ(t) at time t is proportional to the strain γ(t) at the same time t, and does not depend on the strain rate or the past strain.

unit of modulus = unit of stress = [Pa]

理想粘性体（ニュートン流体）Ideal fluid (Newtonian fluid)

ニュートン流体では、ひずみ速度が時間変化していても、或る時刻 tでの応力 σ(t) は同じ時刻でのひずみ速度だけに比例し、ひずみや過去のひずみ速度には依存しない。

σ (t) = η γ (t)

γ (t)

η: ずり粘度shear viscosity

In the ideal fluid, stress σ(t) at time t is proportional to the strain rate at the same time t, and does not depend on the strain or the past strain rate.

!γ (t)

粘度(viscosity)の単位は [Pa s]unit of viscosity = [Pa s]

応力緩和stress relaxation

応力緩和 Stress Relaxation

t

γ(t)

0

γ0

t

σ(t)

0

時刻 t=0 に瞬間変形によりひずみ γ0を与え、そのひずみを維持する（一定の変形に保つ）。Apply step strain γ0 at t=0, and keep the strain constant.

観測される応力は時間とともに減少する。Observed stress decays gradually with time.

γ0 が十分小さければ、入力 γ0 を2倍にすると、出力 σ(t) も2倍。When γ0 is sufficiently small,if γ0 à 2γ0 then σ(t) à 2σ(t) at all t.

2γ0

緩和弾性率 Relaxation Mudulusγ0 が十分小さければ、入力 γ0 を2倍にすると、出力 σ(t) も2倍になる。

G(t) ≡ σ (t)γ 0

緩和弾性率relaxation modulus

When γ0 is sufficiently small,if γ0 à 2γ0 then σ(t) à 2σ(t) at all t.

σ (t)γ 0

はγ0 に依存しない時間の関数になる。a function of time independent of γ0

Maxwell モデル

Maxwell Model

Ideal solid and liquid

σ1(t) = Gγ 1(t)G γ 1

σ1

σ1

“��” “spring”

�� ideal solid

σ 2 (t) = η γ 2 (t)η γ 2

σ 2

σ 2

“�������” “dashpot”

��� ideal liquid

Maxwellモデル

σ1(t) = Gγ 1(t)

σ 2 (t) = η γ 2 (t)

G

η

γ 1

γ 2

σ 2

σ1

σ1

σ 2

“��”

“�������”

��

���

σ (t) = σ1(t) = σ 2 (t)

γ (t) = γ 1(t) + γ 2 (t)

G

η

γ 1

γ 2

γ

σ

σ

Maxwell Model

σ1(t) = Gγ 1(t)

σ 2 (t) = η γ 2 (t)

γ (t) = γ 1(t) + γ 2 (t)

γ 1(t) =1Gσ1(t) =

1Gσ (t)

γ 2 (t) =

1ησ 2 (t) =

1ησ (t)

γ (t) = γ 1(t) + γ 2 (t)

=1Gσ (t) + 1

ησ (t)

γ 1(t) =

1Gσ (t)

dσ (t)dt

+1τσ (t) = G dγ (t)

dtτ ≡

ηG����

�� G ���������������Multiply both sides by G, and exchange left/right-hand sides:

relaxation time

応力緩和 stress relaxation

バネだけが変形 only the spring is deformedγ 1(t = +0) = γ 0

“瞬間”変形の間にはダッシュポットは変形できないdashpot can not deform during the “step strain”

t

γ(t)

0

γ0

“瞬間”変形直後の応力 stress just after the step strainσ (t = +0) =σ 1(t = +0) = Gγ 1(t = +0) = Gγ 0

t > 0: γ (t) = γ 0 = constant

dσ (t)dt

+1τσ (t) = 0 dσ (t)

dt= −

1τσ (t)

G(t) = σ (t)γ 0

= Ge− t /τ

t=+0: “瞬間変形” 直後 just after the “step strain”

dγ (t)dt

= 0

σ (t = +0) = Gγ 0

σ (t)∝ e− t /τ

(a)

(b)

(a) and (b) σ (t) = Gγ 0e− t /τ

G(t)

t0

G

Maxwell モデルの緩和弾性率

G(t) = Ge− t /τ

τ = ηG

τG/e

Relaxation Modulus of Maxwell Model

relaxation time

η = Gτor

[Pa s] = [Pa] [s]

If we know G and τ,we can estimate η

“fluid” at long time

“solid” at short time

G, η and τ

η ~Gτ

For many viscoelastic fluid (such as polymeric liquids)

G = elastic modulus at short time (fast deformation)

η = viscosity at long time (slow deformation)

τ = relaxation time

~ : “roughly” equal