^ Ж «̂ t900e?2..

УДК

Раса издателье]

Голя проекции двух част графика» строитель

кцнонно-

рнческие особие в

. ектурная парковое

ственных

рин архк-кггвенной кандидат

•ов ГПИ /дарствен-н

LV бнгг'

о-0-

о-. и

-оэпа waxee в 'иохеин вивьвнэ . ИИ с-

-вхо aatf а ихоиоии ионяивйэнии wodo -xoed et/BMdaxBw OJOXOMHMUJ сионнвао H

-MtrXHBdJ Xxiogedgo ииймвисшха 'И1гмэш

иэйюигаииэдхо ыинэиХиои gooouo • [ И . н-

WMHaxadgoeM еиХийоф . с

'158 хэеиихзоИ'аинэхэйдоеи ои ионнэ^ы

-Хиои ' яниии чхзондоооио ыенчиэдх "Хдоэоиэ Хнонхоэаеи ои yoxxogedg

уонхоиэии уонииИвхэхХаН ЛионнэиХцо 'XxxXtfodu Хиэйкиваииэдхо инийюнэиХхо* эн • ииеахэиовз ииийкяввииэдхо о вхя/Г

-odu ojoaaixah woxe иби иинэиЛиои иг»>

3

Раздел II ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЯМИ

4.1. Пересечение многогранников плоскостями час ного положения. Построение разверток многогранников

При пересечении многогранника плоскостью в сечении по­лучается многоугольник, число вершин которого равно числу ре­бер многогранника, пересекаемых плоскостью.

Для построения сечения многогранников плоскостью исполь­зуют два способа:

1. Способ ребер, когда определяют точки пересечения ребер с плоскостью.

2 Способ граней, когда определяют линии пересечения граней многогранника с плоскостью

Задача Построить проекции фигуры сечения геометрическо­го тела фронтально проецирующей плоскостью н развертку усечен­ной части.

1. Геометрическое тело - прямая призма (рис. 1, а). В сечении треугольной призмы плоскостью R - треугольник. Фронтальная проекция линии сечения совпадает с фронтально

проецирующим следом секущей плоскости R - f к Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с гори­

зонтальной проекцией основания; т.к. боковые грани - горизонталь­но проецирующие, профильную проекцию линии сечения получим с помощью линий проекционной связи. Соединим полученные точки с учетом видимости

Развертка многогрш шка - плоская фигура, составлен­ная из граней многогранника, совмещенных с плоскостью чер­тежа.

Для построения развертки усече?гчой призмы нужно полу­чить натуральное изображение фигуры сечек, л пяоскост: о К. Это м- ,кно сделать с помощью способа замены плоскостей проекция

Проведем ось Х\ параллельно фронтально проецирующему следу плоскости R, а затем от точек 1', 2\ 3' - линии проекционной связи перпендикулярно к оси xi н отложим на них рас ояния от этих точек до фронтальной плоскости проекций, измерив их на за­меняемой горнзонталььчн проекции. »= •-•

5

Построение развертки (рис. 1,6) На горизонтальной прямой отложим стороны основания ab, be

н ас и обозначим точки на развертке Ао, Во, Со, Ао Перпендикуляр­но к прямой отложим отрезки, равные высотам ребер усеченной части аТ, Ь'2', с'3\ и обозначим на развертке полученные точки 1 0 , 2о, Зо. Затем построим нижнее основание призмы на отрезке В0С0 с помощью засечек циркулем, равных отрезкам АоВо н АчСо, а вверху - треугольник сечения плоскостью R на отрезке 2030 засечками цир­кулем, равными другим сторонам треугольника - 1о2о и 1оЗо

Линии сгиба на развертке показывают пггрихпунктнрной ли­

нией с двумя точками _ 2Теометрическое тело - пирамида (рнс 2, а).

В сечении треугольной пирамиды плоскостью R - также тре­угольник. Фронтальная проекция линии сечения совпадает с фрон­тально проецирующим следом секущей плоскости R - f'R Горизон­тальную и профильную проекции фигуры сечения получим с помо­щью пиний проекционной связи.

Натуральное изображение фи; ры сечения (треугольник 1Т2Т3Т) получим аналогично только что рассмотренной задаче спо­собом замены плоскостей проекций.

Построение развертки (рис 2,6) Сначала построим развертку боковых граней пирамиды Для этого нужно иметь натуральную величину ребер Ребро

AS - фронталь, можно измерить его фронтальную проекцию аУ Ребра BS н CS - прямые общего положения. Можно определить на­туральную величину ребра BS способом вращения, повернув точку В вокруг горизонтально проецирующей оси I, проходящей через вершину пирамиды S, так, чтобы отрезок sbi стал параллелен оси х, тогда прямая SB] становится тоже фронталью Можно измерить по­лученную фронтальную проекцию &Ъ\. Аналогично можно преоб­разовать поворотом отрезок SC.

Теперь строим на развертке плоскость AoSoCo от произвольно взятой точки So проведем прямую, отложим на ней отрезок, равный величине ребра AS, затем от точки Ао сделаем засечку циркулем, равную величине ребра АС (измеряем его на горизонтальной проек­ции, т.к. основание пирамиды находится на горизонтальной плоско­сти проекций), а из точки S0 - засечку , равную натуральной величи­не ребра SC - s'cj', в пересечении засечек получим точку С0

Далее строим аналогично плоскости CoSoBo н BoSoA<,

7

Плоскость основания АоВ0С0 строим на отрезке С0В0 с помо­щью засечек циркулем, равных другим сторонам основания А^Со и АоВо

Наносим на развертку линию сечения Натуральную величину отрезка SI измеряем на фронт шной

проекции ребра a's', так как AS - фронталь На развертке откладыва­ем отрезок Sob, равный отрезку sT

Натуральную величину отрезка SII измеряем на фронтальной проекции в.%' (натуральная величина ребра SB) от точки >' до точки 2]' пересечения горизонтальной линии, проведенной из точки 2' до s*bi'. тк при вращении точки И вокруг горизонтально проецирую­щей оси I, проходящей через точку S, высота точки Н не меняется. Точка II вращается вокруг оси I вместе с ребром SB На развертке откладываем отрезок S020, равный отрезку *'2\

Аналогично измеряем натуральную величину отрезка SIH на фронтальной проекции s'cT отрезок &оЗо равен отрезку s'3r'

Фигуру сечения достраиваем иа отрезке 3Q20 засечками, рав­ными сторонам треугольника 1<>Зо и Мо

4.2. Пересечение кряшых —•••iwrini шлоагостимш част-•оге томпсемяи. П и и р т в т еамюртяк иишидцив • конуса

Рассмотрим принцип решения таких задач на простых по­верхностях вращения на прямых круговых цилиндре и конусе, а также на сфере

Ширивши ярескяий гвчмк т тямфтишпяж адошпешм

Для того, чтобы заоатъ на поверхности точку, нужно че­рез нее провести линию, принадлежащую поверхности, затем построить ее проекции, на ми.» можно полрттш проекции точ­ки.

На цилиндре точки легко задавать г помощью образующих (рис 3, а), на конусе - с помощью образук т х <рнс 3. б) или парал­лелей (рис. 3, в), иа сфере - с помонмо параллелей (рис 3, г)

v- При пересечении цилиндра пжияосгыо метут иметь мес э следующие случаи:

1)если секущая плоскость п' >пенднкупярна к оси цилиндра, фигура сечения - окружность;

2) если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, в сече­нии получается прямоугольник.

9

L = 2irR

Рис.5

3) если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра под уг­лом, не равным 90°, фигура сечения - эллипс.

На рис 4, 5 приведено решение задачи на построение проек­ций фигуры сечения цилиндра плоскостью R и развертки его усе­ченной часгн

Плоскость R - фронтально проецирующая, наклонена к оси цилиндра под углом, не равным 90° (рис 4). В сечении получается эллипс. Фронтальная проекция фигуры сечения совпадает с проеци-р\топшм следом, а горизонтальная ее проекция совпадает с гори­зонтальной проекцией цилиндра, т.к. боковая поверхность прямого кругового цилиндра перпендикулярна к плоскости Н. Профильную проекцию эллипса построим по точкам с помощью образующих ци­линдра. Для этого разделим основание цилиндра на горизонтальной проекции на 12 частей засечками, равными радиусу основания ци­линдра, из точек 1.7.4,10

После проведения на профильной проекции образующих по­кроим на них точки, принадлежащие фигуре сечения, с помощью

11

линий проекционной связи Соединяем их последовательно с уче­том видимости. На виде слева точки 4" и 10" являются границами видимости, точки 3",2",1",12",П", расположенные за ними, не вид­ны, поэтому соединяем их штриховой линией.

Для получения развертки нужно построить натуральное изо­бражение фигуры сечения - эллипса Это можно сделать сг. собом замены плоскостей проекций Проведем новую ось Xi через про­ецирующий след плоскости R Тогда фронтально проецирующая плоскость R спроецнруется на плоскость Т плоскостью уровня. Проведем линии проекционной связи от фронтальных проекций то­чек, принадлежащих линии сечения н образующим цилиндра, пер­пендикулярно к оси xi и отложим на них от оси X] расстояния от этих точек до плоскости V, измерив расстояния от оси х до соот­ветствующих точек на заменяемой горизонтальной проекции.

Построение разгертки (рис. 5). Боковая часть цилиндра представляет собой прямоугольник, длина одной стороны которого равна длине окружности (2TIR), длина другой стороны равна высоте цилиндра h Можно строить развертку боковой поверхности графи­чески, заменяя поверхность цилиндра вписанной в него призмати­ческой поверхностью, при этом точность тем выше, чем больше граней у вписанной призмы. Разделим развертку боковой поверх­ности на 12 частей, пронумеруем образующие н отложим на них высоты точек, принадлежащих линии сечения, соединим их плавной кривой К развертке боковой поверхности нужно добавить окруж­ность основания цилиндра н эллипс сечения.

Л и т а кошпескаж сечешш

В зависимости от положения секущей плоскости в сечении конуса.могут получаться различные линии, называемые линиями конических сечений:

1. Окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса (рис. б, а)

2 Две пересекающиеся прямые, ее я секущая плоскость про­ходит через вершину конуса (рис. б, б).

3. Эллипс, если секущая плоскость пересекает все обра, то­щие конуса, при этом угол а между образующей конуса н его осью меньше угла Р между секущей пл скостыо и осью конуса; на грече­ском языке слово ellipsis означает «недостаток, изъян» (рис б, •).

4 Парабола, если текущая плоскость параллельна одной обра­зующей, при этом угол а равен углу Р (рис б, г), на греческом язы-

12

ке слово parabole означает «прнОлнженне», парабола сужается, если секущая плоскость приближается к параллельной образующей, н вырождается в прямую лнншо при слиянии с ней.

5. Гипербола, если секущая плоскость параллельна двум обра­зующим (рис. б, д), при этом различают два варианта:

а) секущая плоскость параллельна оси конуса, угол р равен

кулю, б) секущая плоскость не параллельна оси конуса, угол а

больше угла р; на греческом языке слово hiper означает «над, сверх», поэтому слово «гипербола» применяется в литературном смысле как преувеличение. В любом случае гипербола имеет две ветви, т.к. секущая плоскость пересекает обе полости конуса Ветви гиперболы сужаются при приближении секущей плоскости к парал­лельным образующим и, сливаясь с ними, вырождаются в две пере­секающиеся прямые.

13

На рнс 7 приведено решение задачи на построение про* фигуры сечения конуса фронтально проецирующей плсагоствд развертки усеченного конуса.

Линия сечения - эллипс Его фронтальная проекция сов» с фронтальным следом плоскости R. Его горизонталкнуЮ ив фнльную проекцнн строят с помощью образующих i параш конуса Для этого основание конуса делят так же, как в зиредьщ задаче, на 12 частей и проводят образующие на всех трах «ро­ях, обозначают на фронтальной проекции точки, принадлежа линии сечения, строят их на горизонтальной проекцнн - дома линий проекционной связи н обозначают, затем на профильной: екцкн Точки 4 и 10 на горизонтальной проекции строя: с пюмв параллели, проходящей через них. Точки 4" и 10" проежнруют; профильную проекцию на очерковые образующие, эти точзсн з ются границами видимости. Часть эллипса, расположен сая за л (10", 11", , -4"), не видна, поэтому она показана штрихсвой ли Отрезок 17' делят пополам для построения малой оо элянгс. других проекциях. Концы этой оси, точки А и В, также троят мощью параллели. Длина профильной проекции а"Ь" савна л горизонтальной проекцнн ab, т.к прямая АВ - фронтально при; рующая.

Натуральное изображение эллипса получаем с полотью; соба замены плоскостей проекций.

Построение развертки (рис 8) Боковая поверхность кг представляет собой сектор, угол а которого определяс ся по:

36ff4.fi муле а ~ j , где R - радиус основания конуса, а - длии

разующен Длину образующей можно измерить на очерх>в<эй и зующен на фронтальной проекции, т.к. прямая SI фрожтал&нгл произвольно взяток точки So проводим прямую, отгадывай ней отрезок S0I, равный /, проводам дугу окружностт. радиу: горой равен /. Можно боковую часть конуса строить :раф>н% заменяя ее разверткой боковой поверхности вписанной гоярак. Построения гем точнее, чем больше гранен у пирамид! Обо» ем образующие н отмечаем на них точки, принадлежащщ лянв. чения llai уральную величину отрезков на образующих*!!,, SII. SVI. являющихся 1фямымн обшего положения, получки, прим спогоб вращения вокруг ггроецирующей прямой (ось г;ащ«енй; дем считать гсризот ально 1фоецкрующен прямой, гфок.дязщв' рез вертшгну конуса) Поворачиваем эти образующие;: со>вш

ния с фронтальной образующей SI. На фронтальной проекции точки 2, 3, ... , б перемещаются при вращении по прямым, параллельным оси х, до пересечения их с sT

К развертке боковой поверхности усеченного конуса нужно добавить окружность его основания н эллипс сечения Длина его большой оси 1о7о равна длине отрезка \'Т на фронтальной проек­ции, а длина малой оси а.Ьо равна горизонтальной проекции ab.

Сечение сферы фронтально проецирующей плоскостью

При пересечении сферы плоскостью всегда в сечении получа­

ется окружность. На рис 9 ее фронтальная проекция совпадает с проецирую­

щим следом плоскости R, а на горизонтальную и профильную про­екции она проецируется в виде эллипса. При построении его про­екций используются опорные точки 1,2,3,4,5,6,7,8. 1-2 и 1"-2" - ма­лые оси эллипса на горизонтальной и профильной проекциях. 7-8 и Т -8" - большие оси эллипса на горизонтальной н профильной про-

15

екцнях Точки 5 и б, 7 и 8 построены на виде сверху с помощью па­раллелей, проходящих через них Точки 3 и 4 являются границами видимости на горизонтальной роекцки, часть эллипса, точки кото­рой ниже их, изображаем штриховой линией Точки 5 и б являются границами видимости на профильной проекции. Точка 2" располо­жена за ними, поэтому невидимую на виде слева часть эллипса 6"2"5" показываем штриховой линией

Натуральное изображение линии сечения можно получить способом замены плоскостей проекций Это окружность, радиус которой равен длине отрезка 1'7' на фронтальной проекции.

При решрнин задач на переочение поверхностей ти» "-скостями

общего положения рекомендуется преобразовать секущую плос­

кость в проецнрутошук, используя способы преобразования проек­

ций

5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЯМИ

Задачи на пересечение прямой линии с поверхностями реша­ются аналогично задачам на пересечение прямой с плоскостью.

Последовательность решения задач: 1. Прямая заключается во вспомогательную плоскость

(рис. 10). 2. Строят линию пересечения вспомогательной плоскости с

заданной поверхностью. 3. Отмечаются точки пересечения полученной линии с задан­

ной прямой. 4. Определяется видимость участков прямой Вспомогательную плоскость выбирают такую, чтобы полу­

чить простую линию пересечения с поверхностью Плоскость вы­бирают чаще всего проецирующую или плоскость уровня, иногда -общего положения

Рис 10

Пример 1 Дано: прямая призма и прямая АВ. Нужно найти точки пересечения прямой н призмы (рис 11)

Грани призмы - горизонтально проецируюгпне, поэтому пер­вый и второй пункты решения отсутствуют Точки пересечения оп­ределяются на горизонтальной проекции

Пример 2. Дано прямой круговой цилиндр и прямая обшего положения АВ (рис 12). Определить точки пересечения прямой и

цилиндра Боковая поверхность цилиндра - горизонтально проецирую­

щая, поэтому точки пересечения прямой и поверхности определч-

Рнс. 12

кмся цкже непосредственно Е пересеченкн горизонтальной проек­ции щгашдра и прямой

18

Рнс 13 Рис И

Пример 3 Дано: прямой круговой конус н горизонтальная прямая АВ. Определить точки перрсечення прямой и конуса (рнс 13)

Решение:

1. Проводим через прямую вспомогательную горизонтальную плоскость Q, которая пересечет конус по параллели - окружности радиуса R.

2. Строим горизонтальную проекцию линии пересечения 3. Находим точки пересечения ki и к? горизонтальной проек­

ции ab и параллели На фронтальную проекцию переносим проек­ции точек пересечения с помощью линий проекционной связи.

4. Определяем видимость участков прямой на проекциях

Пример 4 Дано: сфера и фронталь АВ (рнс. 14). Определить точки пересечения прямой w сферы

В качестве вспомогательной плоскости здесь удооно взять фронтальную плоскость Q, которая пересечет сферу по окружности радиуса R. из фронтальную плоскость проекций окружность спроецируется без искажения Точки пересечения определяются на фронтальной проекции из пересечении проекций прямой и окруж­ности. Определяем видимость.

19

Рнс 15

• Пример 5 Дано: пирамида и прямая общего положения АВ (рис 15). Определить точки пересечения прямой и пирамиды.

Можно решить задачу с помощью вспомогательной горизон­тально проецирующей плоскости Р Тогда ее проецирующий след совпадает с горизонтальной проекцией прямой ab Плоскость Р пе­ресечет пирамиду по треугольнику I-II-Ш В пересечении прямой АВ с ним получим искомые точки К] и К2.

Можно эту задачу решить также с помощью фронтально про­ецирующей плоскости Q (рис. 16), которая пересечет пирамиду по треугольнику I-II-Ш. В пересечении прямой АВ с этим треугольником получим искомые точки К) и К: . Определяем видимость участков прямой

В ряде гучаев для построе­ния точек пересечения поверхно­сти и прямой бывает удобно про­вести через нее вспомогательную плоскость общего положе' ия

Пример б Дано: наклонный или эллиптический цилиндр Рис 16

20

Рис.17

(нормальное сечение плоскостью, перпендикулярной к его оси - эл­липс) и прямая АВ общего положения (рис. 17). Определить точки пересечения цилиндра и прямой

В данном случае удобнее провести вспомогательную плос­кость общего положения, параллельную образующим цилиндра, чтобы получить простую линию сечения цилиндра - по прямым, его образующим. При решении же с помощью горизонтально или фрон­тально проецирующих плоскостей пришлось бы строить эллипсы -сложные линии сечения.

Через точки А и В проводим вспомогательные прямые, парал­лельные образующим цилиндра, н строим их горизонтальные следы Mi и Мг Через них и пройдет след вспомогательной плоскости Она пересечет цилиндр по образующим I и II. В пересечении с ними прямой АВ и определяются искомые точки К\ и К: на горизонталь­ной проекции. На фронтальную проекцию переносим полученные точки с помощью линий проекционной связи. Заканчиваем решение задачи определением видимости участков прямой.

Проведение вспомогательной плоскости общего положения, параллельной образующим цилиндра, и косоугольное проецирова­ние в направлении, параллельном образующим, аналогичны. Графи-чеаЕье операция одинаковы. Различно только толкование

IT

р

Рнс. 18

При решении задач на пересечение прямой линии и пнрц^Иц, нлн конусов прямого н наклонного удобно также применить ^.gj могзтельную плоскость оощего положения. Тогда вспомогате^^п плоскость проводим чорез вершину пирамиды или конуса ь^'д мук», а проецирование принимаем центральным с центром в т ^ ^ (вершине пирамиды нлн конуса).

На рнс 18 показано решение задачи на пересечение пир!»#4ф

и прямой АВ (пример 5) с помощью вспомогательной плосво^м обшего положения, проходящей через прямую АВ и вершину • 4щ\

,||НИЬ

Пр»ь,

ВСТШц,

цени,,;

.;СвЧ»!,

:ЛЬ№;.,

vBr*„

миды S Построим горизонтальный след М прямой АВ и горизон­тальный след N прямой SC, проходящей через вершину S и точку С на прямой АВ Через точки М н N пройдет горнзоталысый след плоскости R Он пересекает основание пирамиды в ючках I н II Плоскость R пересекает пирамиду по треугольнику I-S-II В пере­сечении с ним прямой АВ получим искомые точки Ki и Кг Далее определяем видимость участк в прямой из проекциях.

Пример 7. Дано, прямой круговой KOHVC И npsN. я АВ общего положения (рис. 19). Определить точки пересечения прямой и кону­са.

Если прямую АВ заключить во фронтально проецирующую плоскость, в сечении конуса получим эллипс, если прямую заклю­ч и в в горизонтально проецирующую плоскость, в сечении получим гнпероолу

Наиболее простую линию сечения (по образующим конуса) дает плоскость общего положения R, проходящая через прямую АВ и вершину конуса S. Построим горизонтальный след М прямой АВ. Проведем через Еершнну конуса S горизонталь SC. принадлежащую плоскости R, до пересечения с прямой А В Горизонтальный-след вспомогательной плоскости R должен быть параллелен'Горизон­тальной проекции sc ее горизонгалн и пройдет через горизонталь­ный след М прямой АВ. Горизон­тальный слад gR плоскости R пе­ресекает основание конуса в точ­ках I и II Линия сечения конуса плоскостью R пройдет через об­разующие I-S и II-S В пересече ннн с ними горизонтальной про­екции прямой определим иско­мые точки К] н Кг пересечения прямой АВ и конуса. Фронталь­ные проекции точек Ki и Кг опре­делим с помощью линий проек­ционной связи

Определяем видимость уча­стков прямот АВ.

Пример S. Дано: сфера и прямая АВ общего положения (рис. 20). Определить ючкн пере­сечения сферы и прямой р и с 19

23

Рис. 20'

Для построения точек пересечения прямой общего положения с поверхностью общего вида южно использовать различные спо­собы преобразования проекций

Заключим прямую АВ в горизонтально проецирующую плос­кость R Она пересечет сферу по окружности, которая проецирует­ся на фронтальную плоскость проекций в вн, эллипса Применим сп>- соб замены плоскостей проекций Введем новую плоскость про­екций U. параллельную плоскости R Ось xi проведем параллельно горизонтальному следу плоскости R, построим проекцию линии се­чения - окружность радиуса R с центром в точке, удален >й от оси Xi на расстояние Az - исходной высоты центра сферы, и проекцию прямой а.1>и Определи:» искомые ючкн пересечения Кы и K2j По-

г\

пученный результат спроецируем на исходные проекции Опреде­лим видимость участков прямой

6. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Для построения линии пересечения двух поверхностен нужно найти точки, которые одновременно принадлежат обеим поверхно­стям. Вид линии пересечения зависит от характера пересекающихся поверхностей. Задачи иа построение линии пересечения, в зависи­мости от сочетания пересекающихся поверхностей, можно разбить на три основные группы: пересечение многогранников, пересечение многогранника с кривой поверхностью, пересечение кривых по­верхностей.

6.1. Пересечение многогранников

Два многогранника пересекаются по плоской или про­странственной замкнутой или ломаной линии. Вершинами ло­маной линии являются точки пересечения ребер одного много­гранника с гранями второго и ребер второго с гранями первого.

Следовательно, задание сводится к решению ряда задач на оп­ределение точки пересечения прямой линии с плоскостью или на построение линии пересечения плоскости и многогранника Линию пересечения двух многогранников можно строить одним из этих способов, выбирая более простое решение Следует иметь в виду, что если ребро одного многогранника ice пересекает грань др\ го хотя бы на одной из проекций, то данное ребро не пересекает эту грань вообще.

Рассмотрим пример иа пересечение пирамиды и призмы (рис. 21). Их основания пересекаются в точках I и И Горизошаль-кое ребро призмы АВ принадлежит ее горизонтально проецирую­щей грани Q, которая пересекает пирамиду по треугольнику I-II-III (способ граней). Ребро АВ пересекает пирамиду в точках IV и V. Отрезки I-IV и I1-V - частя искомой линии пересечения мпоюгран-ннкоа

Затем решаем задачу на пересечете ребра SE пирамиды с прнзмой (способ ребер) Заключаем ребро SE во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость R, строим линию пересе­чения плоскости R и плоскости ABCD призмы, которую пересекает ребро SE, н определяем точку б' пересечения ребра и этой линии иа фронтальной проекции. Соединяем точку VI с точками IV и V с учетом видимости.

Рнс 21

Виоимыми являются участки ломаной линии, располо­женные на вио,шы.х гранях многогранников

JS"" "* тауЧКЯ.3аМКНУГУЮ ^ - Р ™ * Н У К > -6.2. Пересечение многогранника с кривой поверхностью

При пересечении многогранника с кривой поверхностью получается пространственная латаная линия, отдельные зве-нья которой представляют собой отроки плоских кривых.

26

Вершинами ломаной линии являются точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью.

Следовательно, задача сводится к нахождению точек пересе­чения прямых (ребер многогранника) с кривой поверхностью, а также к построению промежуточных точек плоских кривых

Рассмотрим пример на пересечение прямого краевою цнлнн дра и призмы (рис 22) Бог >взя поверхность цилиндра является го рнзонтально проецнруюшей Точки, принадлежащие линии Пересе ченкя, совпадают с горизонтальной проекцией боковой поьррхно сти цилиндра окружностью Найденные точки 1. 2. 3 переносим нч фронтальную проекцию с помощью линий проекционной f г;я?.н Ьо-ковые грани призмы являются плоскостями общего положения н пересекают цилиндр по эллипсам

27

Для того, чтобы провести рнвую лнкню, необходимо меть хотя бы три точки, при­

надлежащие ей Если будет по­строено больше точек, то проек­ции кривой можно провести точнее Промежуточные точки кривых линий строим с помо­щью вспомогательных горизон­тально проецирующих плоско­стей T , Q H S

Данная задача аналогична заданию на построение падаю­щей тени от треугольника ABC на цилиндрическую поверх­ность, когда направление свето­вых лучей параллельно боковым ребрам призмы.

6.3. Взаимное пересечение кривых поверхностей -

Линией пересечения кривых поверхностей является про­странственная кривая линия (общий случай) В качестве примера можно представить себе линию врубки бревен в деревянном срубе (рис 23)

Точки линии пересечения находятся при помощи «посредников» В качестве посредников используют плоскости нлн поверхности.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Вспомогательные плоек сти выбирают такие, чтобы они дава­ли в пересечении с поверхностями наиболее простые линии пря­мые или окружности

Последовательность решения задач 1. Заданные поверхности пересекают р"том плоскостей 2. Определяют линии, по которым вспомогательные плоскости

пересекают каждую из поверхностей 3. Определяют точки, в которкх пересекаются построенные

линии сечения 4. Последовательно соединяют найденные точки с учетом ви­

димости

О

28

Точки, принадле­жащие линии пересече­ния, подразделяются на опорные (характерные) н промежуточные На­хождение опорных то­чек обязательно От ко­личества промежуточ­ных точек зависит точ* ность построения кри­вой..

.'.' На рис. 24 пред­ставлена задача на пере­сечение конуса и сферы.

Горизонтальные секущие плоскости Qi , Q2 и Qj пересекают ко­нус и сферу по окруж­ностям.

Точки I и II - опор­ные, получены на фрон­тальной проекции в пе­

ресечении очерков поверхностей. Точки III и III i - также опорные, определяют границы видимости участков линии пересечения н, го­ризонтальной проекции Точки IV, IV], V, Vi - промежуточные

Рис.24

6 4 . Частные случав крявых поверхностей

1. Два цилиндра с параллельными осями и tea конуса с об­щей «ершиной пересекаются по образующим пересекающихся поверхностей (рис. 25)

2. Соосные поверхности «ращения пересекаются по ок­ружности (рис. 26).

5. Бели Фее поверхности второго порядка описаны окало третьей поверхности второго поряока или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второ­го поряока, плоскости которых проходят мера прямую, соеди-няющую течки пересечения линий касания (теорема Г. Монжэ)

Линия пересечения в этих случаях чрезвычайно просты

29

Рис 25

Рис. 26

31

На рис 27, а, б А и Ai - точки пересечения линий касания I-H и III-IV описанных поверхностей н сферы. Прямая АА] - фронталь­но проецирующая Линии пересечения, представляющие собой эл­липсы, проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезков прямых, т.к. эллипсы расположены во фронтально проеци­рующих плоскостях

Раздел III АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

7. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Аксонометрические проекции обладают большей наглядно­стью по сравнению с ортогональными, потому что на них предметы изображаются объемными, в то время как на ортогональных проек­циях есть только два измерения на плане - длина и ширина, но нет высоты; на фасаде - высота и ширина, но нет глубины.

На аксонометрических проекциях легко проводить измерения, так же как на ортогональных

Аксонометрические проекции получают параллельным про­ецированием, используется прямоугольное и косоугольное проеци­рование

Еще большей наглядностью обладают перспективные изобра­жения, тк они соответствуют зрительному восприятию, но на них измерения можно проводить только с помощью дополнительных построений В отличие от ортогональных н аксонометрических проекций, они основаны на центральном проецировании.

Аксонометрические проекции выполняются проще, чем пер­спективные Аксонометрические проекции применяются для тог бражения различных деталей изделий, а также успешно могут ис­пользоваться для изображения небольших ландшафтных компози­ций

Для построения аксонометрии предмет вместе с осями координат х, у, z проецируют параллельными лучами на произ­вольно выбранную плоскость, называемую плоскостью аксоно­метрических проекций (рис. 28).

Возьмем в пространстве точку А, связанную с прямоугольной системой координат О х у z, и спроецируем нх в направлении L на некоторую плоскость Р, где получим аксонометрические оси OiX] , Oiyi.OiZj

Ai - аксонометрическая проекция точки А,

32

Рис. 28

ai - вторичная проекция ( аксонометрическая проекция гори­зонтальной проекции точки А) Координатная ломаная линия А а Зх О спроецировалась в Ai ai axiOi

Отношения полученных размеров по аксонометрическим осям н исходным размерам в пространстве по координатным осям называются козффицментами искажения по аксономет­рическим осям:

СХа\ Л =

а\а\ ,h = а\А\ и* О» ' ось а4

В зависимости от соотношения между коэффициентами иска­жения по ©сям, аксонометрические проекции подразделяются на изометрическне>^когда юрйффициенты равны по всем осям (k„=ky = kO, диметртмескне, когда коэффициенты искажения по осям х и г равны, а^кГосиу^ коэффициент отличается (kx=kt>*ky), н трнметрические, когда коэффицненты искажения по всем осям различны (к х Ф ку * к^).

В зависимости от направления проецирования по отношению к аксонометрической плоскости проекций Р, аксонометрические проекции делятся на прямоугольные (ср =90°) и косоугольные (9*90°). $гх^ .

Между коэффициентами искажения и углом ср существует следующая зависимость:

"k»2 + k>2+k,2=2+cig2<p. Для прямоугольной аксонометрии, где <р=90°, ctg ср = 0

33

t ' + V + l b 2 * 2

8. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Согласно ГОСТ 2.317 - 69, существуют следующие аксо"омет-рнческне проекции.

1) прямоугольная изометрическая проекция; 2) прямоугольная днметрическая проекция; 3) косоугольная фронтальная изометрическая проекция, 4) косоугольная горизонтальная изометрическая проекция; 5) косоугольная фронтальная диметрнческая проекция. Наиболее распространена первая из них.

&'-''' Прямоугольная кюмотрая

В изометрической проекции все коэффициенты искажения

равны: kx=ky=ki. Тогда выражение kx

2 + k J,2+k c

2=2 для прямоуголь­

ной изометрин принимает вид Зк,2 =2, а значит k , = J - ;kx=kr=k,»

«0,82 - действительные коэффициенты искажения. Для удобства вместо действительных коэффициентов искаже­

ния принимают приведенные коэффицненты, равные единице. Это соответствует увеличению линейных размеров в 1,22 раза.

а б

_•.;..-. Риг 29

Оси в прямоугольной изоме1 ь ин располагаются так ->сь z вер­тикальна, оси х к у - под углом 120° к оси z (рис 29, а) Легко стро­ить оси с помощью «Hi суля, деля окружность на три части засеч-

34

той, равной радиусу, или с помощью проведения углов 90° н 30°

(рис. 29,6).

а • , л . 6

о1 ' - .

Рис. 30

Окружности в прямоугольной нзометрин изображаются в ви­де эллипсов, большие осн которых перпендикулярны к осям проек­ций. Большая ось эллипса равна 1,22 d, где d - диаметр окружности на ортогональном чертеже, малая ось равна 0,71 d (рис 30. а. б)

Вместо эллипсов (лекальных кривых) применяются овалы

(циркульные кривые линии), что удобно при обводке тушью

Последовательность построения овала, заменяющего эллипс в

прямоугольной нзометрни (рис 31):

1. Чертим окружность, диаметр которой равен диаметру ис­

ходной окружности в ортогональных проекциях

2. Проводим осн. Через точки пересечения осей с окружно­

стью из точек 1 и 2 проводим дуга окружностей 3. Чертим окружно ь, касающуюся этих дуг с центром в

точке 0.

4. Через точки 3 и 4 пересечения малой окружности с большой

осью эллипса и через точки 1 и 2 проводим прямые, которые опре­

делят точки сопряжения

5. Проводим дуги окружностей с центрами в точках 3 и 4 че­

рез точки сопряжения.

35

Построение точки А в прямоугольной нзометрни с помощью координатной ломаной линии (рис 32).

Аксонометричес­кая проекция точки создается на основе ее ортогональных проек­ций с помощью по­строения координатной ломаной линии О) а*1 ai Ai На осн xi (рнс 32, б) откладыва­ем отрезок Oi а»]. рав­ный отрезку О а* (рис 32. а), через точку a7i проводим прямую, параллельную осн yi, и откладываем на ней отрезок 3̂ 1 ai, равный отрезку а* а, из точки ai проводим верти­кальную прямую, на которой откладываем высоту точки ai Ai, рав­ную отрезку а* а'

Рнс. 31

IX

^1

а

Г Лх

~^ь

Рнс 32

Для построения изометрической проекции шестиугольника (рнс 33) 1акле используется его ортогональный чертеж. Шести­угольник расположен на горизонтальной плоскости проекций Про­ведем через i очиv О HJ виде сверху (рнс 33, а) осн х и у для созда кия Шчметрнн 3;ием построим изометрические оси 0;Xi, OiV;,

36

OiZi (рис 33,6) Отложим на оси xt отрезки Oil-, и 0,2т, измерив их на горизонтальной проекции (0-1 и О 2), а на оси у, - отрезки 0-,3i и 0\4\, равные отрезкам О-З, 0-4, через точки 3i и 4i прове­дем прямые, параллельные оси хь и отложим на них отрезки, рав ные отрезку 4-5 Соединим полученные точки.

Рис 33

Прямоугольная диметрвческая проекция

В диметрической проекции коэффициенты искажения по осям х и zравны между собой, а коэффициент искажения по оси

у отличается от них кт=кг * ку, к., = - к* (кг)

Подставив эти данные в соотношение к„* * к..' * к/ - 2, пат\г

ним k»,+ jkll

2 + kll

2 = 2, 2kx'-ikx

2 = 2 Н х

: -4к я

: =?, Jk/--=2. 4 4 4 4 4

9к„2 = 8,к,= ^ = ^ £ * 0 , 9 4 .

ib=Ai=0,94 ) к-047 ' - денс-твнтельные коэффициенты искажения

Для удобства их заменяют приведенными коэффициентами искажения, рг нымн единице по осям х и z и 0.5 по оси v. при этом линейные размеры увеличиваются в приведенной прямоутольнои диметрин в 1,06 раза

Оси в прямоугольной диметрин строят следующим образом (рис 34, а) Ось z вертикальна От точки О влево огладывают 8

3?

Гис. 34

единиц по горизонтали к 1 вниз по вертикали, через полученную точку и точку О проводят ось х От точки О откладывают вправо 8 единиц по горизонтали и 7 единиц вниз по вертикали и через полу­ченную точку н точку О проводят ось у. Или при помощи транспор­тира откладывают от горизонтали, проходящей через точку О, углы 7°10' для оси х н 41°25' для оси у

Окружности в прямоугольной диметрин проецируются в эл­липсы, большие оси которых перпендикулярны к осям н равны 1,06 d (где d - исходный диаметр), а малые оси равны 0,35 d на гори­зонтальных и профильных i госкостях н 0,95 d на фрошальных (рис 34, а, 6).

Косоугольная фронтальная изометрическая проекция

Плоскость аксонометрических проекта ; раслолага т парал-л мо фронтальной плоскости проекций для того, чтобы получгь изображение фронтальной проекции (фасада) без искажения

Если бы проецирующие лучи были перпендикулярны к плос­кости аксонометрических проекции, то проекций боково: ч верхней плоскостей мы бы не получили Поэтому применяют косоугольное проецирование

39

Оси чертят следующим образом (рис. 35). Ось z вертикальна, ось х горизонтальна (как на фронтальной проекции,), ось у под уг­лом 45° к горизонтали, проходящей через точку О. Допускаются уг­лы наклона оси v 30° н 60°

Коэффициенты искажения равны единице по всем осям. Окружность изображается на фронтальной плоскости окруж­

ностью, а на горизонтальной н профильной - эллипсами.

Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция

Плоскость аксонометрических проекций в этом Енде аксоно­метрии располагается параллельно горизонтальной плоскости про­екций, поэтому изображение плана получается без искажения, но с небольшим поворотом (рис 36, а) или без поворота, тогда ось z на­клонна (рнс 36, б, p.J

Козффнцнешы искажения по всем осям равны единице. Ок­ружности изображаются на горизонтальных плоскостях окружно­стями, а на фронтальных и профильных - эллипсами

Косоугольная фронтальная диметрическая проекция

Косоугольная фронтальная диметрическая проекция отлича­ется от фронтальной изометрической проекции тем, что коэффици­ент искажения по оси у равен 0,5, з коэффициенты искажения по осям х и z равны единице

9. РЕШЕНИЕ ШШЩИОННЫХ ЗАДАЧ В АКСОНОМЕТРИИ

На рис 37,6 приведен пример построения прямоугольной изометрической проекции объекта по его комплексному чертежу (рнс 37. а). Предварительно на комплексном чертеже выбрана сис­тема осей координат

При решении позиционных задач в аксонометрии следует со­блюдать СЕОЙСТЕЗ параллельного проецирования сохранение при­надлежности точек и линий, параллельность прямых и сохранение пропорциональности отрезков прямой.

РРШРНИР позиционных зздзч в аксонометрии возможно при наличии аксонометрических осей и поля вторичных проекций за­данных обьекгоЕ Задачи решаются по тем же алгоритмам, что и на орт огональных проекциях

40

Рис. 37

6

Рнс 38

Определение в аксонометрии точки AR пересечения прямой АВ с плоскостью CDEF приведено на рнс 37,6 Последователь­ность построений следующая:

41

1.Прямую АВ заключают во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость R Ее горизонтальный след GR совпадает со вторичной проекцией аВ прямой АВ

2 Строят линию I-II пересечения плоскости R с заданной плоскостью CDEF. Точки I и II строят по их вторичным проекциям 1 и 2, полученным в пересечении вторичной проекции cdei четы­рехугольника заданной плоскости с проецирующим следом GR плоскости R

3 Искомую точку AR получают в пересечении заданной пря­мой АВ с построенной линией сечения I-H

Рассмотренная задача аналогична заданию на построение тени AR точки А на плоскости общего положения CDEF для направления освещения, параллельного прямой АВ.

10. ИЗОБРАЖЕНИЕ СФЕРЫ В АКСОНОМЕТРИИ

Сфера изображается в прямоугольной изометрнн в виде ок­ружности, диаметр которой в 1,22 раза больше диаметра сферы в ортогональных проекциях (рис 38, а), а в прямоугольной диметрнн -в виде окружности, диаметр которой в 1,06 раза больше диаметра сферы в ортогональных проекциях (рис 38, б).

В косоугольных видах аксонометрии сфера проецируется в эллипс, поэтому применять такие виды проецирования для изобра­жения сферических форм не следует.

Раздел IV ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

11. СУЩНОСТЬ МЕТОДА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЛАНДШАФТНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ

При проектировании ландшафтных объектов приходится сталкиваться с чертежами, изображающими рельеф земной поверх­ности Чертежи озеленения входят в группу чертежей генерального плана После того, как выполнен генерал! ллй план н намечены про­езды, площадки и дорожки, выполняется проект вертикальной пла­нировки существующий рельеф земной поверхности приводил . в порядок - выравнивается, обеспечиваются необходимые уклоны для стока атмосферных осадков в л кн ливневой канализации. При этом стараются так рассчитать объемы срезки и подсыпки грунта, чтобы они были пригтнзительно равны Объекты вертикальной планировки - это участки земной поверхности с различит ?н со-

42

оруженнямн на ней, насыпи, выемки, котлованы, лотки для стока воды. В ландшафтной архитектуре это водоемы, различные игровые сооружения на искусстветглом или естествешюм рельефе, зеленые театры, поляны, площадки, дорожки, мостики и т п

Отличительная черта всех планировочных объектов - значи­тельное преобладание горизонтальных размеров над вертикальны­ми, поэтому метод ортогонального проецирования на две или три плоскости проекций применять в этом случае нецелесообразно Для изображения земной поверхности в архитектурно-строительных чертежах применяют специальный способ изображения, который называется методом проекций с числовыми отметками.

Сущность метода проекций с числовыми отметками заклю­чается в там, что данный участок спланированной земной поверх­ности ортогонально проецируют на одну горизонтальную плос­кость проекций (план), а фронтальную плоскость проекций, кото­рая определяет высоты точек объекта, заменяют числами (отметками) этих точек, указывающими расстояния (превышения) точек от некоторой горизонтальной пчоскости, принятой за нулевую.

Перед числовой отметкой ставят знак «минус», если точка расположена ниже нулевой плоскости. На архитектурно-строитель­ных чертежах зданий нулевую плоскость принимают на уровне по­ла первого этажа. На географических картах нулевой плоскостью служит плоскость, расположенная на уровне поверхности моря

При разработке проекта вертикальной планировки окружаю­щей здание территории осуществляют «привязку» условной нуле­вой плоскости к абсолютной отметке топографического опорного плана. Сведения об абсолютных отметках (государственных репе­рах) получают от геодезических органов Абсолютные отметки обозначают с двумя десятичными знаками после запятой

Рельеф поверхности земли задают горизонталями - линиями сечения земной поверхности условными горизонтальными плоско-стямиуровня через опре? генные интервалы (от 10 см до 5 - 10 м-для географических карт). В разрывах горизонталей проставляются их отметки, т.е. расстояния от нулевой плоскости. Планы в горизон­талях позволяют судить достаточно полно об изображенном релье­фе, TJC. расстояния между горизонталями характеризуют уклоны: при малом уклоне расстояния между ними больше, а при большом уклоне - меньше.

43

Проекции с числовыми отметками топографической поверх­ности представляют собой уменьшенное изображение оригинала, поэтому из тих указывается масштаб.

В проектном решении горизонтали, изображающие земную поверхность после проведения земляных работ, называют проект-ныни, или красными, а исходные горизонтали - черными.

На рнс 39 приведено сопоставление некоторых объектов во фронтальных проекциях и в проекциях с числовыми отметками: а) отрезок прямой АВ; б) шоскость треугольника, в) прямой круговой конус, у которого горизонтали - концентрические окружности; г) наклонный КОНУС, его горизонтали эксцентричны, гам, где наклон образующей больше, расстояние между горизонталями меньше, д) рельеф местности в горизонталях

12. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Элементы рельефа местности

Горизонталь - линия сечения земной поверхности условной горизонтальной плоскостью

Вершина наиболее высокая точка. Впадина - наиболее низкая точка

Гребень (водораздел) - линия, соеднкяюшая самые высокие точки, с нее сбегают ручейки во время дождя

Тальвег (от немецкого Talweg. Tal - долина, Weg - дорога) - ли­ния, соединяющая наиболее пониженные участки дна речной доли­ны. оЕряга, балки В более широком смысле - дно долины.

Седловая точна - точка пересечения тальвега и водораздела. Линия наибольшего уклона, или наибольшего ската, - рас­

положена перпендикулярно к горизонталям

Профиль рельефа местности - сечение топографической ме­стности УСЛОВНОЙ вертикальной плоскостью

Определения проекций с числовыми отметками

Заложением отрезка прямой (рнс 40, а) называют длину его горизонтальной проекции (L)

Превышением концов отрезка {подъемом отрезка) называют разность отмет ок его концевых точек hB •• hA

,4 45

V ^s£ >

1 0 1 2 > 1 1 > ,i

A /

H

S t

ь5

Рис. 40

Уклонам отрезка называют отношение его превышения к зз-hs- /и

ложенню ' ~ ~ = ?Яа.

Интервалом прямой называют заложение отрезка /, превы­шение (подъем) которого равно единице Интервал обратно пропор­ционален уклону чем больше интервал, т м меньше уклон

Градунромтием прямой называют поп роение на н-.л точек с р„ ностью отметок, равной целым единицам

13. ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ, п л о с к о с т и

Точка задается отметкой с указанием знака (ЗНАК «плюс» обычно опускается) Точки обозначают буквами с числовыми ин­дексами или только числами

46

Рис 41

Прямая задается проекциями ДВУХ ее точек с их ошеткамн,

например aj, bs (рис 40, о) Прямая или отрезок могут быть заданы также oiMeiKOH одной

Точки, утлом наклона и указанием (стрелкой) направления наклона (падения).

Плоскость задается т*>,умя горизонталями с их отметками или масштабом уклона плоскости Масштабам уклона плоскости на аывают горизонтальную проекцию линии наибольшего ската плос­кости, на которой показаны отметки точек через единицу измерения (например, 1 м) Масштаб уклона изображают двойной линией -утолщенной и тонкой - и обозначают б\то>ой С индексом i Проек­ции горизонталей на плане перпендикулярны к масштабу уклона, а

47

расстояния между соседними проекциями горизонталей с целочис­ленными отметками являются интервалами (рис. 41 6)

Если через целочисленные отметки прямой АВ (рис 41 а» провести горизонтали перпендикулярно к прямой, то будет задана плоскость того же уклона, что и прямая.

14. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

II ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Рнс 42

I.'Линия пересечения плоскостей определяется двумя точками пересечения двух пар горизонталей, имеющих одинаковые отмет­ки (рнс 42)

Если обе плоскости имеют один угол наклона, ли­ния их rape сечения распола­гается по биссектрисе угла между горизонталями (рнс 42, б) Эта закономер­ность служит ОСНОЕОЙ по­строения скатов крыш, а гак-же при созданнн линии пере­сечения плоскостей (напри­мер, подсыпки), если углы их наклона равны

Рнс. 43

49

II Точка пересечения прямой с плоскостью определяется ана­логично такой же задаче в других методах проецирования, т.е. про­ведением через прямую вспомогательной плоскости - горизонталь­но проецирующей или общего положения Последняя более удобна

Данная прямая АВ градуируется (рнс. 43). Через две наиболее удобные точки (7 н 9) проводят две параллельные прямые '/ ̂ и 9d. Это горизонтали вспомогательной плоскости общего положения, проходящей через данную прямую Точки С и D пересечения гори­зонталей с одинаковыми отметками определяют линию пересечения данной плоскости Р и вспомогательной Линия сечения CD пересе­кает данную прямую АВ в искомой точке пересечения Е. Определя­ем видимость участков прямой Точка А ? прямой АВ находится над горизонталью плоскости Р с отметкой 6,5 Значит, АВ видима от точки А до точки пересечения Е.

15. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ ПО ЗАДАННОМУ УКЛОНУ

1 Если исходные линии - горизонтальные (рнс. 44), то для по­строения плоскостей скатов надо провести линии наибольшего на­клона каждой плоскости, проградунровать их и вычертить горизон­тали. Точки пересечения однозначных горизонталей определят ли­нии пересечения плоскостей. Направление стрелки указывает на­правление падения уклона.

Для придания чертежу большей наглядности у верхней кром­ки откосов попеременно наносят по направлению линии наиболь­шего ската (перпендикулярно к проекциям горизонталей) штрихи, длинные н короткие утолщенные.

2 Если исходная линия - горизонтальная окружность (рис 45), то скат примет фор^ г конической поверхности и линии наибольшего наклона расположатся по направлению радиусов. Ли­нии пересечения конической поверхности с плоскостью будут: при угле а, равном углу р\ - параболой; прн угле а, меньшем угла р\ -эллипсом; прн угле а, большем угла р\ - потере" лой.

3 Если исходная линия - наклонная прямая АВ (рнс 46), плоскость ската строится так: данная наклонная линия градуируется н прн точке с отметкой 1 вычерчивается окружность радиусом, рав­ным интервалу. Это будет горизонталь с отметкой 0, хоте ая пред­ставляет собой основание вспомогательного конуса с вершиной в точке 1 (на отметке 1) Лз точки А исходной прямой с соответст­вующей отметкой 0 проводим прямую, касательную к окружности

50

основания этого конуса, которая н определит направление горизон­тали с нулевой отметкой. Из точек с отметками 2 и 3 также прово­дим параллели вспомогательных конусов. Расстояния между парал­лелями на проекции должны быть равны интервалу Затем из точки с отметкой 1 проводим касательную к параллелям этих конусов с со­ответствующей отметкой, н из точки с отметкой 2 касательную к однозначной параллели.

От горизонтальной линии Ъс плоскость ската строим так же, как в ранее рассмотренном примере 1: проводим линию наибольше­го ската плоскости, градуируем ее (интервалы такие же, как во вспомогательных конусах) и проводим горизонтали. Прямая be пе­ресечения плоскостей также будет биссектрисой угла между гори­зонталями.

За вершину вспомогательного конуса надо брать точку: при срезке - с меньшей отметкой, при подсыпке - с большей

-&•;"••'

:1 -.1

Рис. 46

4. Если неходкая линия - наклонная кривая, то горизонтали строятся как огибающие касательные линии к горизонталям конусов с вершинами на кривой в точках 1,2,3 с целочисленными отметками (ряс. 47). Расстояния между параллелями вспомогательных кону­сов на проекции равны интервалу

51

Рис.47

На рнс 48 дано построение горизонталей откосов полотна до­роги на криволинейных участках Построены вспомогательные 1трямые круговые конусы, вершины которых расположены на про­ст ранственнон кривой - бровке полотна дороги. Каждая горизонталь откоса является огибающей семейства одинаковых по отметке гори­зонтален кою сов Все вместе эти горизонтали образуют поверх-ность одинакового ската, огибающую вспомогательные конусы Прямолинейные образующие этой поверхности представляют со­бой линии наибольшего cicai j и имеют одинаковые утлы наклона к горизонтальной плоскости.

16, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПРЯМОЙ С ПОВЕ1РХНОСТЬЮ РЕЛЬЕФА

Линия пересечения поверхностей может быть построена

с помощью определения ряба точек пересечения горизонталей с

одинаковыми отметками. На рис. 49 представлено решение задачи на пересечение плос­

кости Р и поверхности рельефа Плоскость задана масштабом укло­на, а рельеф - семейством горизонтален. Через точки с целочислен-

ными отметками масштаба уклона Р, плоскости проводим горизон­тали до пересечения с соответствующими горизонталями топогра­фической поверхности в точках as, Ьб, с-?, de, е5, fV3 Через эти точки проходит искомая линия пересечения

Рис. 48

Пересечение прямой с поверхностью рельефа

Дано: гч ямая АВ с отметками двух точек 12 и 16 н рельеф по- \ верхности в горизонталях (рис. 50). Определить ТОЧКУ пересечения ' прямой и поверхности

Решение Прямая градуируется, и через построенные точки проводим параллельные линии произвольною напраклекия 12с, 1 Зе

53

Рис. 50

54

и т.д. Это горизонтали вспомогательной плоскости обшего положе­ния, проходящей через прямую Точки пересечения этих линий с однозначными горизонталями рельефа соединяем плавной кривой -линией пересечения рельефа и вспомогательной плоскости, которая, пересекаясь с данной прямой, определяет искомую точку пересече­ния К. Затем определяем видимость участков прямой Точка А\& на­ходится между 13ой н 14ой горизонталями рельефа, она выше их -значит, прямая видима от точки А до точки пересечения К

Рис 51

При решении задач на построение горизонтальной площадки

на местности линии пересечения плоскостей смежных откосов с

рельефом должны сходиться • одной точке Ь на общем ребре ab

(рис 51).

ЛИТЕРАТУРА

\. Короея Ю И. Начершельная геометрия - М Стройнздзт,

1987.

1978.

2. Кл- "и А. Г. Н>*ертатеп.иая геометрия. - М. Строинздзг.

3. Виноградов В. Н. Начертательная геометрия - Ми Вышэй

шал школа, 1977. 4 Ермак* А. В, Комаров Н. А Архитектурная графика

Учебное пособие дня студентов лесного фагулыеи специальности 31.12 «Садово парковое строительство» - М МЛТИ. 1989

55

ОГЛАВЛЕШ1Е

Раздел II Ортогональные проекции 4 Пересечение поверхностей плоскостями

4 1. Пересечение многогранников плоскостями частного положения. Построение разверток многогранников . . . 4.2 Пересечение кривых поверхностей плоскостями частного положения Построение разверток цилиндра и конуса

5, Пересечение прямой линии с поверхностями 6. Взаимное пересечение поверхностей

6.1 Пересечение многогранников 6 2 Пересечение многогранника с кривой поверхностью 6 3 Взаимное пересечение кривых поверхностей 6 4 Частные случаи пересечения кривых поверхностен .

Раздел III Аксонометрические проекции 7 Общие понятия 8 Стандартные аксонометрические проекции 9 Решение позиционных задач Е аксонометрии 10 Изображение сферы в аксонометрии Раздел IV Проекции с числовыми отметками 11 Сущность меюда и его применение в ландшафтном проектировании 12 Основные понятия и определения 13 Проекции точки, прямой, плоскости 14 Пересечение двух плоскостей и прямой с плоскостью . 15 Построение плоскости н поверхности по заданному уклону ! 6 Пересечение плоскости н прямой с поверхностью рельефа Литература

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н. Г. Голикова

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ,

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ И

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

Учебное пособие по курсу « Начертательная геометрия и архитектурная графика»

для студентов специальности Т. 16.02.00 В 2-х частях

Часть II

Минск 2001

18

Рис. 13 Рис 11

Пример 3 Дано: прямой круговой конус н горизонтальная прямая АВ. Определить точки пересечения прямой и конуса (рис 13).

Решение: 1. Проводим через прямую вспомогательную горизонтальную

плоскость Q, которая пересечет конус по параллели - окружности радиуса R.

2. Строим горизонтальную проекцию линии пересечения 3. Находим точки пересечения к] и к; горизонтальной проек­

ции ab и параллели На фронтальную проекцию переносим проек­ции точек пересечения с помощью линий проекционной связи.

4. Определяем видимость участков прямой на проекциях Пример 4. Дано: сфера и фронталь АВ (рис. 14). Определить

точки пересечения прямой w сферы В качестве вспомогательной плоскости здесь удооно взять

фронтальную плоскость Q, которая пересечет сферу по окружности радиуса R iia фронтальную плоскость проекций окруалость спроецируется без искажения Точки пересечения определяются на фронтальной проекции на пересечении проекций прямой и окруж­ности. Определяем видимость.

19

Рис 15

•Пример 5 Дано: пирамида и прямая общего положения АВ (рис 15). Определить точки пересечения прямой и пирамиды.

Можно решить задачу с помощью вспомогательной горизон­тально проецирующей плоскости Р Тогда ее проецирующий след совпадает с горизонтальной проекцией прямой ab Плоскость Р пе­ресечет пирамиду по треугольнику I-II-II1 В пересечении прямой АВ с ним получим искомые точки Ki и Кг.

Можно эту задачу решить также с помощью фронтально про­ецирующей плоскости Q (рис. 16), которая пересечет пирамиду по треугольнику I-II-III В пересечении прямой АВ с этим треугольником получим искомые точки Ki и Кг . Определяем видимость участков прямой

В ряде гучаев для тосгрое-ння точек пересечения поверхно­сти и прямой бывает удобно про­вести через нее вспомогательную плоскость общего положи ~ня.

Пример б Дано: наклонный или эллиптический цилиндр

Рис 16