Η εφρεςθ τθσ τιμισ μιασ ςυνάρτθςθσ, ασ ποφμε τριγωνομετρικισ ι εκκετικισ, γίνεται ευκολότερα όταν αυτι προςεγγίηεται με κάποιο κατάλλθλο πολυϊνυμο. Ασ κεωριςουμε τθν εκκετικι ςυνάρτθςθ ( ) και ασ προςπακιςουμε να τθν προςεγγίςουμε ςτθ γειτονιά ( ) . ςτθ γειτονιά ( ) που κα είχε και τθν ίδια καμπυλότθτα με τθν . Η παραβολι

( )

είναι ζνα πολυϊνυμο δευτζρου βακμοφ που ικανοποιεί τισ απαιτιςεισ

που κζςαμε δθλαδι οι τιμζσ όλων των τάξεων παραγϊγων που δίνει ςτο ταυτίηονται με αυτζσ τθσ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Διαπιςτϊνουμε ότι ζνα πολυϊνυμο βακμοφ που κα ικανοποιεί τισ το πλικοσ αντίςτοιχεσ με τισ προθγοφμενεσ ςυνκικεσ κα είναι θ ιδανικότερθ προςζγγιςθ , όςο μεγαλφτεροσ είναι ο Ασ κεωριςουμε το πολυϊνυμο :

( )

Εξακολουκοφμε να κεωροφμε τθν και απαιτοφμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Ζχουμε :

( ) ( ) ( ) ( )

Μια πρϊτθ ςκζψθ είναι να χρθςιμοποιιςουμε τθν ευκεία τθσ εφαπτομζνθσ ςτο 𝑥 δθλαδι τθν 𝒚 𝒙 𝟏 αλλά εφκολα διαπιςτϊνουμε ότι ζνα μεγαλφτερου βακμοφ πολυϊνυμο κα ζδινε καλφτερθ προςζγγιςθ. Παρατθροφμε ότι θ εφαπτομζνθ ζχει δυο κοινζσ τιμζσ με τθν 𝑓 τισ 𝑓( ) και 𝑓′( ) δθλαδι τιμι τθσ 𝑓 ςτο και κλίςθ ςτο . Αν βρίςκαμε ζνα πολυϊνυμο που κα ζδινε τθν ίδια τιμι με τθν 𝑓 και ςτθ δεφτερθ παράγωγο , τότε κα βρίςκαμε μια καμπφλθ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ′( ) ′( ) ′( )

′( )

′( ) ′′( ) ′′( ) ′′( )

′′( )

. . .

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

Φτάςαμε λοιπόν ςτθν αναγκαία και προφανϊσ ικανι ςυνκικθ-τφπο :

( )( )

που δίνει τουσ ςυντελεςτζσ του «προςεγγιςτικοφ» πολυωνφμου. Δείξαμε λοιπόν ότι :

Ασ προςπακιςουμε τϊρα να προςεγγίςουμε τθ ςυνάρτθςθ ( ) ςε μια γειτονιά του . Θα χρειαςτοφμε κάποιεσ παραγϊγουσ του θμιτόνου γι’αυτό δίνουμε τον τφπο για τθν νιοςτι παράγωγο του θμιτόνου:

( )( ) (

) ( )

κακϊσ και τθν απόδειξθ:

Εφαρμόηουμε τθν επαγωγικι μζκοδο :

Η ( ) για δίνει: ( ) (

) ( ) το οποίο ιςχφει.

Ζςτω ότι θ ( ) ιςχφει για , δθλαδι ζςτω ότι ιςχφει θ

( )( ) (

) .

Θα δείξουμε ότι θ ( ) ιςχφει και για ,δθλαδι κα δείξουμε ότι:

( )(x) ( ( )

) .

Ζχουμε λοιπόν:

( )( ) [ ( )( )] * (

)+

(

) (

) (

( )

)

Είναι επομζνωσ:

{

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

. Η (πρόχειρθ και γριγορθ) προςζγγιςθ μασ κα γίνει μζχρι

, οπότε ο τφποσ δίνει:

( ) ∑ ( )( )

( )

Κοιτάξτε το “μαγικό” αποτζλεςμα των γραφικϊν παραςτάςεων των δυο ςυναρτιςεων ζτςι όπωσ το δίνει το

Ο παρακάτω ςφνδεςμοσ κα ςασ οδθγιςει ςτα «μαγικά» αποτελζςματα τθσ και τθσ :

Taylor GeoGebra