- teoria de jogos combinat rios: uma breve introdu...
TRANSCRIPT
Teoria de Jogos Combinatorios: Uma Breve Introducao
Carlos Pereira dos Santos
ISEC
27 de Maio de 2013
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 1 / 70
Teorias de Jogos
Teorias de Jogos
Pascal-Fermat (sec. XVII)Cardano, Liber de ludo Aleae (sec. XVI)
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 2 / 70
Teorias de Jogos
Teorias de Jogos
Pascal-Fermat (sec. XVII) Theory of Games and Economic Behaviour, 1944Cardano, Liber de ludo Aleae (sec. XVI) (von Neumann, Morgenstern)
Equilıbrio de Nash, 1950
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 3 / 70
Teorias de Jogos
Teorias de Jogos
Pascal-Fermat (sec. XVII) Theory of Games and Economic Behaviour, 1944 Conferencia de Dartmouth, 1956Cardano, Liber de ludo Aleae (sec. XVI) (von Neumann, Morgenstern) Stephen Cook, PxNP, 1971
Equilıbrio de Nash, 1950 Montecarlo, 1946(von Neumann, Ulam)
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 4 / 70
Teorias de Jogos
Teorias de Jogos
Pascal-Fermat (sec. XVII) Theory of Games and Economic Behaviour, 1944 Conferencia de Dartmouth, 1956Cardano, Liber de ludo Aleae (sec. XVI) (von Neumann, Morgenstern) Stephen Cook, PxNP, 1971
Equilıbrio de Nash, 1950 Montecarlo, 1946(von Neumann, Ulam)
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 5 / 70
Teorias de Jogos
Jogo Combinatorio: Definicao Informal
Definicao
Um jogo combinatorio satisfaz as seguintes condicoes:
1 Dois jogadores (Esquerda, Direito) jogam alternadamente;
2 Nao ha dispositivos aleatorios como dados, cartas ou peoes; em todosos momentos, cada jogador e conhecedor de toda a informacaorelativa a uma posicao de jogo;
3 As regras de um jogo combinatorio asseguram que, mesmo ignorandoa regra da alternancia, nao ha sequencias infinitas de jogadas legais;
4 A condicao de vitoria e baseada no ultimo movimento efectuado.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 6 / 70
Teorias de Jogos
Jogo Combinatorio: Definicao Informal
Na Versao Normal o ultimo a jogar ganha.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 7 / 70
Teorias de Jogos
Jogo Combinatorio: Definicao Informal
Na Versao Normal o ultimo a jogar ganha.
Na Versao Misere o ultimo a jogar perde.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 7 / 70
Teorias de Jogos
Historia
Alda Carvalho, Carlos Pereira dos Santos, Joao Neto, Jorge Nuno Silva,“History of Combinatorial Games”, Of Boards and Men: Board GamesInvestigated, Actas do XIIIth Board Game Studies Colloquium, Paris, 14-17April 2010, organizado e editado por Thierry Depaulis, pp. 241-276, 2012.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 8 / 70
Jogo do nim
nim
Ha um certo numero de pilhas. Ha dois jogadores alternando movimentos.Cada jogador escolhe uma pilha e retira-lhe o numero de feijoes que quiser.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 9 / 70
Jogo do nim
nim
Ha um certo numero de pilhas. Ha dois jogadores alternando movimentos.Cada jogador escolhe uma pilha e retira-lhe o numero de feijoes que quiser.
C. L. Bouton. “Nim, a game with a complete mathematical theory”, Ann.Math. 3 (2), 1902, 35–39.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 9 / 70
Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva
dominorio imparcial
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 13 / 70
Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva
dominorio imparcial
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 14 / 70
Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva
dominorio imparcial
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 15 / 70
Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva
dominorio imparcial
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 16 / 70
Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva
Soma Disjunctiva (Intuicao)
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 17 / 70
Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva
Igualdade de Jogos (Intuicao)
= ?
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 18 / 70
Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva
Igualdade de Jogos (Intuicao)
Outras Componentes
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 19 / 70
Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva
Igualdade de Jogos (Intuicao)
Outras Componentes
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 20 / 70
Definicoes Iniciais
Definicao Recursiva de Jogo Combinatorio
Definicao
Define-se recursivamente jogo combinatorio J = {J E | J D} em que J E eo conjunto das opcoes da Esquerda e J D e o conjunto das opcoes doDireito. J E e J D sao conjuntos de jogos combinatorios (as opcoes saojogos) e, usualmente, utiliza-se JE e JD para designar elementos genericosde J E e J D. J e um jogo curto se puder ser escrito na forma {J E | J D}com J E e J D conjuntos finitos de jogos curtos. Caso contrario, o jogodiz-se jogo longo.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 21 / 70
Definicoes Iniciais
Dia 0
Dia 0
{ | } = 0
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 22 / 70
Definicoes Iniciais
Dia 1
Dia 1
{0 | } = 1 { | 0} = −1 {0 | 0} = ∗
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 23 / 70
Definicoes Iniciais
Outros Dias Menos Claros...
No dia 2, 22 jogos nascidos.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 24 / 70
Definicoes Iniciais
Outros Dias Menos Claros...
No dia 2, 22 jogos nascidos.
No dia 3, 1474 jogos.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 24 / 70
Definicoes Iniciais
Outros Dias Menos Claros...
No dia 2, 22 jogos nascidos.
No dia 3, 1474 jogos.
No dia 4, algures entre 3 trilioes e 10434 jogos...
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 24 / 70
Definicoes Iniciais
Nımeros
{0 | 0} = ∗ {0, ∗ | 0, ∗} = ∗2 {0, ∗, ∗2 | 0, ∗, ∗2} = ∗3
∗n = {0, ∗, . . . , ∗(n − 1) | 0, ∗, . . . , ∗(n − 1)}
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 25 / 70
Definicoes Iniciais
Desfechos
Teorema
(Teorema Fundamental da Teoria dos Jogos Combinatorios)Seja J um jogo combinatorio. Ou o primeiro a jogar pode forcar a vitoriaou o segundo a jogar pode forcar a vitoria; nunca ambos.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 26 / 70
Definicoes Iniciais
Desfechos
Teorema
(Teorema Fundamental da Teoria dos Jogos Combinatorios)Seja J um jogo combinatorio. Ou o primeiro a jogar pode forcar a vitoriaou o segundo a jogar pode forcar a vitoria; nunca ambos.
Ha 4 desfechos compatıveis com o teorema fundamental:
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 26 / 70
Definicoes Iniciais
Desfechos
Teorema
(Teorema Fundamental da Teoria dos Jogos Combinatorios)Seja J um jogo combinatorio. Ou o primeiro a jogar pode forcar a vitoriaou o segundo a jogar pode forcar a vitoria; nunca ambos.
Ha 4 desfechos compatıveis com o teorema fundamental:
Desfecho Nome DefinicaoN confuso O jogador SeguiN te pode forcar a vitoriaP zero (na versao normal) O jogador Previo pode forcar a vitoria.
(para evitar o problema da inexistenciade jogador previo, P significa realmenteque o seguiN te nao pode forcar a vitoria)
E positivo (na versao normal) Esquerda pode forcar a vitoria independentementede quem joga primeiro
D negativo (na versao normal) Direito pode forcar a vitoria independentementede quem joga primeiro
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 26 / 70
Definicoes Iniciais
Definicao Recursiva de Soma Disjunctiva
Definicao
(Soma Disjunctiva)J + H = {J E + H, J + HE | J D + H, J + HD}
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 27 / 70
Definicoes Iniciais
Igualdade
Definicao
(Igualdade)J = H se d(J + X ) = d(H + X ) para todos os jogos X .
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 28 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Primeiras Intuicoes
Emanuel Lasker (1931) (sobre o nim de lasker): (. . . ) Podemos provarque dois grupos sao iguais se, em qualquer posicao de jogo, pudermostrocar um pelo outro sem alterar o vencedor (. . . ).
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 29 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Teoria Sprague-Grundy
R. P. Sprague. “Uber mathematische Kampfspiele”. Tohoku MathematicalJournal, 1935.
P. M. Grundy. “Mathematics and Games”. Eureka, 1939.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 30 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Jogos Imparciais e Teoria Sprague-Grundy
Definicao
(Imparcial)Um jogo J e imparcial se as opcoes da Esquerda e as opcoes do Direitoforem as mesmas em J e em todos os seus seguidores.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 31 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Jogos Imparciais e Teoria Sprague-Grundy
Definicao
(Imparcial)Um jogo J e imparcial se as opcoes da Esquerda e as opcoes do Direitoforem as mesmas em J e em todos os seus seguidores.
Teorema
(Teoria Sprague-Grundy)
1 Se um jogo J e imparcial, J e igual a um nımero (J = ∗n para algumn). E usual chamar-se a n o valor Grundy de J: G(J) = n;
2 Considerando dois jogos imparciais J e H, G(J + H) = G(J) ⊕ G(H).
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 31 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Reversibilidade, Funcao Mınimo Excluıdo
{0, ∗, ∗4 | 0, ∗} (Reversibilidade, Mex)
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 32 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Reversibilidade, Funcao Mınimo Excluıdo
{0, ∗, ∗4 | 0, ∗} (Reversibilidade, Mex)
Forma Canonica
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 32 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Como Aplicar?
Distincao entre Conjunto de Regras e Jogo.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 33 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Como Aplicar?
Distincao entre Conjunto de Regras e Jogo.
Optaremos pela notacao de A. Siegel, G para designar os jogos curtos deConway e PG para designar os jogos de Conway em geral.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 33 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Como Aplicar?
Distincao entre Conjunto de Regras e Jogo.
Optaremos pela notacao de A. Siegel, G para designar os jogos curtos deConway e PG para designar os jogos de Conway em geral.
Consideremos um conjunto de regras tal como o lim. Consideremos P aclasse de todas as posicoes possıveis do lim. O jogo fica resolvido comuma “boa compreensao” da injeccao,
P → PG
p ∈ P → ∗n relativo a TSG
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 33 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Richard Guy
Richard Guy (n. 1916 f de 2005)
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 34 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Uma Aplicacao
Alex Fink, Aviezri Fraenkel, Carlos Santos, “Lim is not Slim”, InternationalJournal of Game Theory (impact factor 2012-0.3), DOI:10.1007/s00182-013-0380-z, 2013.http://link.springer.com/article/10.1007
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 35 / 70
Teoria Sprague-Grundy
Dimensao nim
Carlos Pereira dos Santos, “Embedding Processes in Combinatorial GameTheory”, Discrete Applied Mathematics, 159, pp. 675-682 (impact factor, 2012 -
0.795), 2011. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2010.11.019
Carlos Pereira dos Santos, Jorge Nuno Silva, “Konane has InfiniteNim-Dimension”, Integers, Electronic Journal of Combinatorial NumberTheory, 2008. http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html
Carlos Pereira dos Santos, Jorge Nuno Silva, “Nimbers in Partizan Games”,Games of no Chance 4, Cambridge University Press, 2009 (aceite).
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 36 / 70
Teoria Geral
John H. Conway
John Conway (n. 1937)
Estudou em Cambridge. Conheceu o filho de Richard Guy em 1960. ElwinBerlekamp conheceu Richard Guy numa conferencia em 1966. Em 1970,Conway deu uma serie de talks em Cambridge sobre a sua ideia sobre osjogos combinatorios.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 37 / 70
Teoria Geral
Primeiras Publicacoes
D. Knuth. 1974. Surreal Numbers. Addison-Wesley, Reading,Massachusetts.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 38 / 70
Teoria Geral
Primeiras Publicacoes
D. Knuth. 1974. Surreal Numbers. Addison-Wesley, Reading,Massachusetts.
J. Conway. 1976. On Numbers and Games, Academic Press.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 38 / 70
Teoria Geral
Primeiras Publicacoes
D. Knuth. 1974. Surreal Numbers. Addison-Wesley, Reading,Massachusetts.
J. Conway. 1976. On Numbers and Games, Academic Press.
E. R. Berlekamp, J. Conway, R. Guy. Winning Ways. 1982. AcademicPress, London.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 38 / 70
Teoria Geral
Inversos e Ordem
Definicao
(Inversos Aditivos)−G = {−GR | − GL}
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 40 / 70
Teoria Geral
Inversos e Ordem
Definicao
(Inversos Aditivos)−G = {−GR | − GL}
Definicao
(Ordem) J > H se ∀X,se a Esquerda ganha jogando primeiro em H + X entao a Esquerda ganhajogando primeiro em J + Xe
se a Esquerda ganha jogando segundo em H + X entao a Esquerda ganhajogando segundo em J + X.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 40 / 70
Teoria Geral
Estrutura
Os jogos de Conway tem estrutura de grupo abeliano parcialmenteordenado.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 41 / 70
Teoria Geral
Formas Construtivas
Ha formas construtivas para se realizar comparacoes.
Teorema
(Teorema Fundamental da Versao Normal) J = 0 ⇔ J e uma posicao-P.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 42 / 70
Teoria Geral
Formas Construtivas
Ha formas construtivas para se realizar comparacoes.
Teorema
(Teorema Fundamental da Versao Normal) J = 0 ⇔ J e uma posicao-P.
Teorema
(Igualdade Jogavel)
J = H ⇔ J − H = 0.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 42 / 70
Teoria Geral
Formas Construtivas
J > 0 quando a Esquerda ganha J J > H quando a Esquerda J − HJ = 0 quando o jogador previo J J = H quando o jogador previo ganha J − HJ < 0 quando o Direito ganha J J < H quando o Direito ganha J − HJ‖0 quando o jogador seguinte ganha J J‖H quando o jogador seguinte ganha J − H
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 43 / 70
Teoria Geral
Arbusto
{0 | } = 1 d(J) = E
b
b
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 44 / 70
Teoria Geral
Arbusto
{0 | 1} d(J) = E
bb
b
b
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 45 / 70
Teoria Geral
Arbusto
J − H > 0
b
b
bb
b
b
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 46 / 70
Teoria Geral
Quantificacao?
0
b
b
bb
b
b
b
bb
b
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 47 / 70
Teoria Geral
Numeros
Definicao
(Numeros)Um jogo combinatorio J na forma canonica e um numero, se todas asopcoes de J forem numeros e todos os elementos de J L forem menores doque qualquer elemento de J R .
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 48 / 70
Teoria Geral
Diadicos
Definicao
(Inteiros)n = {n − 1 | }
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 49 / 70
Teoria Geral
Diadicos
Definicao
(Inteiros)n = {n − 1 | }
Definicao
(Diadicos)Para j > 0 e m ımpar, define-se
m
2j=
{
m − 1
2j|m + 1
2j
}
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 49 / 70
Teoria Geral
Ajuste Mais Simples
1 2 3 4 5
{1 | 5}
b b bbb
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 51 / 70
Teoria Geral
Ajuste Mais Simples
1 2 3 4 5
{1 | 5} = 2
b b bbb
Teorema do Ajuste mais Simples
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 52 / 70
Teoria Geral
Dicoticos
Outro conjunto de regras interessante: clobber, um jogo dicotico(totalmente pequeno).
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 53 / 70
Teoria Geral
Dicoticos
Definicao
(Jogo Dicotico) Um jogo combinatorio J diz-se dicotico se para J eseguidores, quando um dos jogadores tem opcoes o outro jogador tambemtem.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 55 / 70
Teoria Geral
Infinitesimais
Definicao
(Infinitesimal) Um jogo combinatorio J e infinitesimal se −r < J < r paraqualquer numero r > 0.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 57 / 70
Teoria Geral
Peso Atomico
Peso Atomico (Regra dos Dois de Avanco)
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 58 / 70
Teoria Geral
Teorema do Valor Medio; Teoria da Temperatura
Jogos Quentes
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70
Teoria Geral
Teorema do Valor Medio; Teoria da Temperatura
Jogos Quentes
{1 | − 1} = ±1
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70
Teoria Geral
Teorema do Valor Medio; Teoria da Temperatura
Jogos Quentes
{1 | − 1} = ±1
±1 + ±1 + ±1 + . . .
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70
Teoria Geral
Teorema do Valor Medio; Teoria da Temperatura
Jogos Quentes
{1 | − 1} = ±1
±1 + ±1 + ±1 + . . .
{4 | 2} = 3 ± 1
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70
Teoria Geral
Teorema do Valor Medio; Teoria da Temperatura
Jogos Quentes
{1 | − 1} = ±1
±1 + ±1 + ±1 + . . .
{4 | 2} = 3 ± 1
{4 | 2} + {4 | 2} + {4 | 2} + . . . = 3 ± 1 + 3 ± 1 + 3 ± 1 + . . . = n.3+ △
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70
Teoria Geral
Teorema do Valor Medio; Teoria da Temperatura
Jogos Quentes
{1 | − 1} = ±1
±1 + ±1 + ±1 + . . .
{4 | 2} = 3 ± 1
{4 | 2} + {4 | 2} + {4 | 2} + . . . = 3 ± 1 + 3 ± 1 + 3 ± 1 + . . . = n.3+ △
{{100 | 4} | 2}
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70
Teoria Geral
Teorema do Valor Medio; Teoria da Temperatura
Jogos Quentes
{1 | − 1} = ±1
±1 + ±1 + ±1 + . . .
{4 | 2} = 3 ± 1
{4 | 2} + {4 | 2} + {4 | 2} + . . . = 3 ± 1 + 3 ± 1 + 3 ± 1 + . . . = n.3+ △
{{100 | 4} | 2}
{{100 | 4} | 2} + {{100 | 4} | 2} + {{100 | 4} | 2} + . . .
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70
Teoria Geral
Quadro Geral (Versao Normal)
IC de Medida Nao Nula
Jogos Quentes
Teorema do Valor Medio
Numeros
Teorema do Ajuste Mais Simples
Infinitesimais
Jogos Dicoticos
Peso Atomico
Jogos Imparciais
Teoria Sprague − Grundy
IC de Medida Nula
J tal que J=r+inf
Princ ıpio da Translacao
G (versao normal)
Zero
Teoria da TemperaturaRegra dos Dois de Avanco
Teorema da Escusa dos Numeros
b
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 60 / 70
Teoria Geral
Alguns Resultados
Alda Carvalho, Carlos Pereira dos Santos, “A Non-trivial Surjective Maponto the Short Conway’s Group”, Games of no Chance 4, CambridgeUniversity Press, 2011 (aceite).
A. Carvalho, Carlos P. Santos, C. Dias, F. Coelho, J. Neto e S. Vinagre,“A Recursive Process Related to a Partizan Variation of Wythoff”,Integers, Electronic Journal of Combinatorial Number Theory (12), 2012.http://www.integers-ejcnt.org/vol12.html
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 61 / 70
Estrutura
Dia 0 e Dia 1
0
Dia 0
0 ∗
1
−1
Dia 1
b b
b
b b
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 62 / 70
Estrutura
Dia 2
{1 | 0, ∗}
{1 | ∗}
−12
−1∗
0
{∗ | −1}
1
↓
12
↑ ∗
{0, ∗ | −1}
↑
∗2 ±1
1∗
−2
∗
−1
↓ ∗
{0 | −1}
{1 | 0}
2
Construcao de Conway
Dia 2
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 64 / 70
Estrutura
Distributividade
D. Calistrate, M. Paulus, D. Wolfe. “On the Lattice Structure of FiniteGames”. In Richard Nowakowski, editor More Games of No Chance, pages25-30. Cambridge University Press, Mathematical Sciences ResearchInstitute Publications 42, 2002.
M. Albert, R. Nowakowski. “Lattices of Games”. Order, pages 75-84.Springer Netherlands, 29(1), 2012.
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 65 / 70
Estrutura
Alguns Resultados
A. Carvalho, Carlos Santos, C. Dias, F. Coelho, J. Neto, R. Nowakowski eS. Vinagre, “On Lattices from Combinatorial Game Theory: Infinite Case”,Order (impact factor, 2012 - 0.412), Springer, 2012 (aceite).
A. Carvalho, Carlos Santos, C. Dias, F. Coelho, J. Neto, R. Nowakowski eS. Vinagre, “On Lattices from Combinatorial Game Theory Modularity anda Representation Theorem: Finite Case”, Theoretical Computer Science(impact factor, 2012 - 0.665), 2012 (submetido).
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 66 / 70
Estrutura
A Outra Versao...
Normal Misere
Imparcial
Partizano
Sprague − Grundy
Temperatura
Peso Atomico
(. . .)
Quociente Misere
!?
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 67 / 70
Menos Restricoes
Quando Se Pode Passar...
Jogos Cıclicos: J pode ser um elemento de J E (ou de J R , ou de ambos)
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 68 / 70
Menos Restricoes
Quando Se Ganha de Outra Forma...
Jogos de Pontuacao
Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 69 / 70