hoc360.net - tÀi liỆu hỌc tẬp miỄn phÍ câu 25. · bảng đáp án 1.d 2.c 3.b 4.c 5.a...

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Câu 24. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các

cạnh của tứ diện ABCD bằng:

A. 33

8

a. B.

32

24

a. C.

32 2

9

a. D.

33

24

a.

Câu 25. Cho bát diện đều, tính tỷ số giữa thể tích khối cầu nội tiếp và thể tích khối cầu ngoại

tiếp hình bát diện đều đó.

A. 1

2. B.

1

2 2. C.

1

3. D.

1

3 3.

Câu 26. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , đường cao bằng h . Tính bán

kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều .S ABCD .

A.

2 22 4

ah

a h a . B.

2 2

2

4

ah

a h a . C.

2 24

ah

a h a . D.

2 23 4

ah

a h a .

Câu 27. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a , đường cao bằng h . Tính bán

kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều .S ABC .

A. 2 212

ah

a h a . B.

2 22 12

ah

a h a . C.

2 212 2

ah

a h a . D.

2 23 12 2

ah

a h a .

Câu 28. Cho hình chóp .S ABCD đáy là hình thoi ABCD và 6AC , 8BD , chân đường cao hạ

từ đỉnh S trùng với giao điểm các đường chéo đáy. Tính bán kính hình cầu nội tiếp biết rằng

đường cao hình chóp bằng 5.

A. 60

12 485. B.

120

12 485. C.

60

12 769. D.

120

12 769.

Câu 29. Cho hình chóp .S ABCD đáy là hình thang cân ABCD có 4CD AB . Đường tròn tâm

O nội tiếp trong hình thang có bán kính a . Ngoài ra SO ABCD và 2SO a . Tính bán kính

hình cầu nội tiếp hình chóp .S ABCD . Bảng đáp án

1.D 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9.D 10.C

11.A 12.A 13.A 14.A 15.C 16.D 17.B 18.C 19.D 20.B

21.A 22 23.B 24.B 25.D 26.C 27.A 28.B.C 29.B.C

Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ

Câu 1. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp

B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp

C. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp

D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp

Lời giải

Chọn D.



Hình thang cân thì nội tiếp đường tròn nên.Hình chóp có đáy là hình thang cân sẽ có mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 2. Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt

cầu: A. Hình chóp tam giác (tứ diện) B. Hình chóp ngũ giác đều

C. Hình chóp tứ giác D. Hình hộp chữ nhật

Lời giải

Chọn C.

Vì cạnh bên đồng phẳng với trục và đáy là tứ giác nội tiếp thì thì hình chóp tứ giác mới có tâm mặt cầu ngoại

tiếp.

Câu 3. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng.

B. Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu.

C. Có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau.

D. Luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhay cùng nằm trên một mặt nón.

Câu 4. Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt

cầu: A. hình chóp tam giác (tứ diện). B. hình chóp ngũ giác đều.

C. hình chóp tứ giác. D. hình hộp chữ nhật.

THÔNG HIỂU.

Câu 5. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 6

3

a.

Khẳng định nào sau đây sai? A. Không có mặt cầu ngoại tiếp .S ABC .

B. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trọng tâm tam giác ABC .

C. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trực tâm tam giác ABC .

D. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có 3

3

aR .

Lời giải

Chọn A



Hình chóp đa giác đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp A sai.

Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC SG ABC , ta có:

3 2 3,

2 3 3

a aAM AG AM .

Xét tam giác SAG vuông tại G , chiều cao SG của khối chóp là: 2 2 2

2 2 2 2 3

3 3 3 3

a a a aSG SA AG SG GA GB GC nênG là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

.S ABC . Mặt khác G cũng là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC . Do đó , ,B C D đúng.

Câu 6. Cho ABCD là một tứ diện đều. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc đường cao của tứ diện vẽ từ A.

B. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc đoạn thẳng nối điểm A và trọng tâm tam giác BCD.

C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc đoạn nối trung điểm của AB, CD.

D. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm của đoạn nối đỉnh A và chân đường cao vẽ từ A đến mp(BCD).

VẬN DỤNG.

Câu 7. Cho tứ diện .S ABC có ba đường thẳng , ,SA SB SC vuông góc với nhau từng đôi

một, 3, 4, 5SA SB SC . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp .S ABC bằng

A. 25 . B. 50 . C. 75 . D. 100 .

Lời giải

Chọn B



Tam giác SBC vuông tại S nên từ trung điểm I của cạnh BC ta vẽ đường thẳng d vuông góc với SBC

/ /d SA . Khi đó, d chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC .

Dựng mặt phẳng trung trực của SA cắt đường thẳng d tại điểm J , ta có: JS JA JB JC hay J là tâm

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ,S ABC . Khi đó bán kính của mặt cầu: R SJ .

Ta có: 2 2 2

2 5 2

2 4 2

SA BC SASJ SI

.

Vậy diện tích của mặt cầu là 24 50S R .

Câu 8. Cho tứ diện .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với 3 , 4 ,AB a BC a

SA ABC , cạnh bên SC tạo với đáy góc 060 . Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp .S ABC bằng

A. 3

3

aV

. B.

350

3

aV

. C.

35

3

aV

. D.

3500

3

aV

.

Lời giải

Chọn D



Ta có: SAC vuông tại A .

BC AB

BC SAB BC SBBC SA

SBC vuông tại B .

Gọi I là trung điểm của SC , ta có: IS IA IB IC I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC .

Khi đó, bán kính của mặt cầu là 2

SCR .

Ta có: 2 2 5AC AB BC a .

Mà 060 2 10 52

AC SCcos SC AC a R a

SC .

Vậy thể tích của khối cầu: 3

34 500

3 3

aV R

.

Câu 9. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều .S ABC , biết các

cạnh đáy có độ dài bằng a , cạnh bên 3SA a .

A. 2 3

2

a. B.

3 3

2 2

a. C.

3

8

a. D.

3 6

8

a.

Lời giải

Chọn D

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC , ta có SH ABC nên SH là trục của tam giác ABC . Gọi M là

trung điểm SA , trong mặt phẳng SAH kẻ trung trực của SA cắt SH tại O thì OS OA OB OC nên O

là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC . Bán kính của mặt cầu là R SO .

Tam giác ABC đều nên 3 3

2 3

a aAI AH .



Tam giác SAH vuông tại H nên 2

2 2 2 2 63

3 3

a aSH SA AH a .

Vì hai tam giác SMO và SHA đồng dạng nên ta có: 2. 3 6

2 8

SO SM SA SM SA aR SO

SA SH SH SH .

Câu 10. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh bằng a

A. 3

2

a. B.

6

2

a. C.

6

4

a. D.

2

4

a.

Lời giải

Chọn C

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm cạnh BC , G là trọng tâm tam giác ABC . Ta

có: 3 3

;2 3

a aAI AG và DG là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Trong mặt phẳng DAG

kẻ trung trực của DA cắt DG tại O thì OD OA OB OC nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

. Bán kính R của mặt cầu bằng độ dài đoạn OD .

Trong tam giác DAG vuông tại G , ta có: 2

2 2 2 2 2 2 6 6

9 3

a aDA DG GA DG DA GA DG

Mặt khác tứ giác AJOG nội tiếp trong một đường tròn nên ta có: 2. 6

. .2 4

DJ DA DA aDJ DA DO DG DO R

DG DG .

Câu 11. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng

a .



A. 3 2

3

a. B.

32

3

a. C.

3 2

12

a. D. 3 2a .

Lời giải:

Chọn A

Xét hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a .

Áp dụng công thức: 2

22

SAR

SO

Ta có 2

2 2 2

2 2

a aSO SA OA a suy ra

2

22.2

a aR

a

Vậy thể tích khối cầu là: 3

34 2

3 3

aV R

.

Câu 12. Cho hình chóp .S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông tại

A và 2BC a , 2SA a . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .

A. 7

28. B.

21

7. C.

21

3. D.

3 7

28.

Lời giải:

Ta có: 2

đRBC

a và 2h SA a .

Áp dụng công thức ta có: 2 2

22 2

BC SAR a

.



Câu 13. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , 2BC a .

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3SA a . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

.S ABC .

A. 7

28. B.

21

7. C.

21

3. D.

3 7

28.

Lời giải:

Vì đáy là tam giác vuông tại B nên 5

2 2đ

ACR

a .

Vậy bán kính cần tìm là 2

2 24

đ

SAR aR .

Câu 14. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD .

A. 37 21

54

a . B.

37

9

aV

. C.

37 21

18

aV

. D.

37 21

216

aV

.

Lời giải:

Chọn A



AB a , 2

2 2đ

ACR

a ,

3

3b

aR SK .

Áp dụng công thức ta có:

2 22 2

2 2 3 2 21

4 3 2 4 6b đ

a a a aR R R

.

Vậy thể tích là

33

34 4 21 7 21

3 3 6 54

a aV R

.

Câu 15. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB cân tại

S và có cạnh 2SA a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

A. 190

10

a. B.

165

10

a. C.

115

10

a. D.

3 10

10

a.

Lời giải:

Chọn C



AB a , 3 3

3 3đ

ABR

a ,

. . 4 15

4 15b

SAB

SA SB ABR a

S

.

Áp dụng công thức ta có:

2 22 2

2 2 4 15 3 115

4 15 3 4 10đb

a a a aR R R

.

Câu 16. Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a , CD a và ABC ABD .

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a .

A.3

6

a. B.

2

a. C.

2

3

a. D.

3

a

Lời giải:

Chọn D



Vì ABC ABD nên có DH ABC với H là trung điểm cạnh AB .

Vì DA DB DC nên H trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Nên 2

đRAB

; 3

b

aR .

Áp dụng công thức: 2

2 2

4 3bđ

A aR

BR R .

Câu 17. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .

A. 33

6

a. B.

15

6

a. C.

42

6

a. D.

6

6

a.

Lời giải

Chọn B

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy 3

3đ

aR .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên 3

3b

aR .

Cạnh chung của mặt bên ABD và mặt đáy là AB a .



Vậy bán kính mặt cầu là

2 2 23 3 15

3 3 2 6

a a a aR

.

Câu 18. Cho hình chóp .S ABCD có SA vuông góc với đáy, 6.SA a Đáy ABCD là hình

thang vuông tại A và 1

, .2

B AB BC AD a Gọi E là trung điểm AD. Tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp . .S ECD

A. 6R a . B. 30

3

aR . C.

114

6R a . D.

19

6R a .

Lời giải

Chọn D

Cách 1:



Gọi H là trung điểm của CD và d là đường thẳng đi qua H và vuông góc với đáy. Gọi I và R là tâm và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp . .S CDE Suy ra I thuộc d . Đặt .IH x Trong mp ASIH kẻ đường thẳng đi

qua I và song song với AH cắt AS tại K .

Ta có: 2

2 2 2 2 .2

aID IH HD x

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 62

aIS IK KS AH KS AC CH KS a a x .

Suy ra: 2 2 2

2 2 42 6 .

2 2 6

a a ax a a x x

Vậy bán kính mặt cầu bằng 19

6R a .

Cách 2:

Phân tích: Để tính bán kính mặt cầu của những khối chóp mà hình dạng của nó không có gì đặc biệt thì phương pháp chung đó là:

Xác định đường cao khối chóp SH. Xác định K là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy.

Dựng trục đường tròn đáy: Là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy (đường thẳng này song song với đường cao của khối chóp)

Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắt trục đường tròn tại điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

(Thông thường ta xác định tâm I theo cách kẻ IE vuông góc với 1SA tai trung điểm E của 1SA )



Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp theo công thức sau: 2 2 2 21 1 1 R IA IK KA và

2 2

22 2 21 1 24 4

SA SA

R IE KF IK EF với F là hình chiếu của E lên đáy.

Lời giải:

Trước tiên ta tính toán các số liệu của bài toán: 2 22, 2 2 AC CD a SC SA AC a

Gọi K là trung điểm của cạnh CD . Dựng trục đường tròn của đáy là đường thẳng d đi qua K và song song với SA (chiều cao của hình chóp).

Gọi F là trung điểm của SC , qua F kẻ đường thẳng vuông góc với SC và cắt d tại I . Ta có I là tâm của mặt cầu của hình chóp ngoại tiếp .S CDE .

Kẻ / /FO SA suy ra FO ABCD . Theo công thức đã nói ở trên ta có:

2

2 2 2 2 222 2 2

22 2 22 2

62

24 4

2

aSC SC R a IK a

R IF KO IK FO

aR IK KC R IK

Từ 2 phương trình trên ta có 4

6

aIK

224 2 19

2 66

a aR a

Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Trong mặt phẳng không gian cho hệ tọa độ Oxyz với O A , tia AD trùng với tia Oy , tia AB trùng với tia

Ox , tia AS trùng với tia Oz .

Khi đó ta có: 0;0;0 , ;0;0 A AB a B a , 2 0;2 ;0 , 6 0;0; 6 AD a D a AS a S a ,

; ;0 BC a C a a . Vì E là trung điểm của AD nên 0; ;0E a



Khi đó bài toán trở thành viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm , , ,S D E C khi đã biết tọa độ của chúng. Để

không phức tạp trong tính toán các em nên cho 1a khi đó tọa độ các điểm sẽ là

0;1;0 , 1;1;0 , 0;2;0 , 0;0; 6E C D S

Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm đó có dạng: 2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d (với 3 2 2 2 d a b c R )

Lần lượt thay tọa độ các điểm , , ,S D E C vào phương trình trên ta có hệ phương trình sau:

1

21 2 03

6 2 6 02

4 4 02 6

2 2 2 03

2

ab d

bc d

b dca b d

d

2 2 2 19

6R a b c d

.

Câu 19. Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2 ,a tam giác SAB đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với .ABCD Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

trên.

A. 7

2

a. B.

21

6

a. C.

7

4

a. D.

21

3

a

Lời giải

Chọn D

2

2 2 21

2 3đb

AB aR R R

Trong đó:

+ bR là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

+ đR là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

+ SAB ABCD AB .

Câu 20. Trong không gian, cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và B với 1AB BC , 2AD , cạnh bên 1SA và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung

điểm của AD . Tính diện tích mcS của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S CDE .

A. 2 mcS . B. 11 mcS . C. 5 mcS . D. 3 mcS .

Lời giải

Chọn B



Gọi , ,M N F lần lượt là trung điểm của , ,AB SC CD .

Khi đó ta chứng minh được MNF ABCD và MN SCE .

Từ MNF ABCD và nếu dựng trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE thì MNF .

Từ MN SCE ta suy ra MN là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SCE .

Do đó, trong mặt phẳng MNF , gọi I MN thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S CDE .

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S CDE thì 2 2 R IC CF IF .

Mà 2 2 2

2 2 2

CD CE DECF ;

1

2 2

SANO và

33 3

2

IF MFIF NO

NO MO nên

11

2R .

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là 24 11 mcS R .

Câu 21. Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai

mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a .

A. 25

3a . B. 211

3a . C. 22a . D. 24

3a .

Lời giải

Chọn A



Gọi M là trung điểm của AB .

Vì tam giác ADB và tam giác ABC là tam giác đều ;DM AB CM AB .

Do có ABC và ADB là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau

090DMC .

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD .

,H G đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC và ADB

2;

3

2;

3

H CM CH CM

G DM DG DM

Kẻ đường vuông góc với đáy (ABC) từ H và đường vuông góc với (ABD) từ G.

Do hai đường vuông góc này đều thuộc DMC nên chúng cắt nhau tại O .

O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG và R OC .

Tam giác ABC đều 0 3 3 3.sin 60 ;

2 3 6CM CB a CH a HM a .

Tương tự, ta có 3

6GM a .

Từ đó nhận thấy OGMH là hình vuông 3

6OH a .

Tam giác OHC vuông tại H , ta có:

3 3 3

.sin 60 ;2 3 6

CM CB a CH a HM a , 2 2 5

12 OC CH OH a R .

2 254

3 V R a .



VẬN DỤNG CAO

Câu 22. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 3 AB BC a , 90 oSAB SCB và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SBC bằng 2a . Tính diện tích mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp .S ABC theo a .

A. 23 S a . B. 216 S a . C. 22 S a . D. 212 S a .

Lời giải

Chọn D

Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên ( )ABC ,AB SA AB SD ( )AB SAD AB AD .

Tương tự ( ) CB SCD BC DC . Suy ra ABCD là hình vuông.

Gọi H là hình chiếu của D trên SC ( ) ( ,( ) ( ,( ) 2 DH SBC d A SBC d D SBC DH a .

2 2 2

1 1 16 SD a

SD SH DC.

Gọi I là trung điểm SB ta có IA IB IC IS nên I là tâm mặt cầu. Suy ra bán kính mặt cầu 32

SC

r a

. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là: 2 24 12 S r a .

Câu 23. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh ,a SAD là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD .

Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S CMN .

A. 37

.6

a

R B. 93

.12

a

R C. 29

.8

a

R D. 5 3

.12

a

R

Lời giải

Chọn B



Gọi H là trung điểm của AD suy ra ( ).SH ABCD Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d đi qua trung

điểm O của MN và vuông góc với mặt phẳng (ABCD), I và S cùng phía so với mp (ABCD).

Nếu đặt x OI thì 10

4

aIK OH và

2

2 2 2 2 2 22

4

aOC OI R IK KS x .

2 2

10 3 5 3

4 2 12

a a ax x

2

2 2 93

4 12

a aR x .

Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (0;0;0),H ;0;0 , ( ;0;0)2

aA M a và

30;0;

2

aS . Khi đó trung

điểm 3

; ;04 4

a aE là trung điểm của MN. Do ( )IE ABCD nên

3; ;

4 4

a aI t . Từ

2 2 5 3 93

12 12

a aIS IA t R IA .

Câu 24. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả

các cạnh của tứ diện ABCD bằng:

A. 33

8

a. B.

32

24

a. C.

32 2

9

a. D.

33

24

a.

Lời giải

Chọn B

Gọi , , , , ,I J K H M N lần lượt là trung trung điểm , , , , , .AB BC CD DA AC BD Theo tính chất hình bình

hành ta chứng minh được , , IK JH MN cắt nhau tại trng điểm của mỗi đường, gọi giao điểm là O.

Vì ABCD là tứ diện đều nên , , ,

OI OJ OK OH OM ON

OI AB OK CD OM AC ON BC

O là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh tứ diện .ABCD

Xét hình vuông IJKH cạnh 2

aIH

2 2

2 4

aOI IH R

334 2

3 24

aV R

.

Câu 25. Cho bát diện đều, tính tỷ số giữa thể tích khối cầu nội tiếp và thể tích khối cầu

ngoại tiếp hình bát diện đều đó.

A. 1

2. B.

1

2 2. C.

1

3. D.

1

3 3

Lời giải

Chọn D

Gọi cạnh bát diện đều là ;a bát diện đều có các mặt chéo là hình vuông; khi đó độ dài các đường chéo

2.AC BD SS a

Mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp đều có tâm O, khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:

2.

2 2

AC aR OA

Bán kính mặt cầu nội tiếp là khoảng cách từ O đến các mặt bên.



Hình trên có 2 2

. 6.

6

SO OM ar OH

SO OM

Có 1

3

r

R khi đó tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp cho khối cầu ngoại tiếp là:

231 1

.3 3 3

r

R

Câu 26. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , đường cao bằng h . Tính

bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều .S ABCD .

A.

2 22 4

ah

a h a . B.

2 2

2

4

ah

a h a . C.

2 24

ah

a h a . D.

2 23 4

ah

a h a .

Lời giải

Chọn C

Phương pháp tự luận:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD .

Suy ra O cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều .S ABCD .

Suy ra mọi điểm thuộc SO cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều .S ABCD . (1)

Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CD . Khi đó tam giác SMN cân tại S nên SO cũng là phân giác

của góc MSN .

Trong tam giác SMN , kẻ phân giác góc SMN cắt SO tại I .

Suy ra IO IH hay I cách đều mặt đáy và mặt bên SAB . (2)

Từ (1) và (2) suy ra I cách đều các mặt của hình chóp tứ giác đều .S ABCD .

Hay I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều .S ABCD .

Bán kính mặt cầu nội tiếp .S ABCD bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SMN nên:

SMNSr

p , với

22

2 2 22 2 4

2 2 2 2

ah a

SM SN MN SM MN SO OM MNp

.



Suy ra 2 2 2

2

1.

.2

42

42

a ha h

ra h a a

h a

.

Cách khác để tính bán kính mặt cầu nội tiếp .S ABCD :

Ta có: 2 2 2

2 2 2 4

4 2

a h aSM SO OM h

.

. . . . . .S ABCD I ABCD I SAB I SBC I SCD I SDAV V V V V V

.

1.

3S ABCD ABCD SAB SBC SCD SDAV r S S S S S .

1.

3S ABCD tpV r S .3 S ABCD

tp

Vr

S .

Mà 2 2 2 214 4. . 4 .

2tp ABCD SABS S S a SM a a h a a và 2

.

1

3S ABCDV a h .

Nên 2

2 2 2 2 22 4 . 4

a h ahr

a h a a a h a

.

Phương pháp trắc nghiệm:

2.

1

3S ABCDV a h ;

2 22 2 4

2

h aSM SO OM

2 2 24 4 .tp ABCD SABS S S a h a a .

Áp dụng công thức trên ta được 2

.

2 2 2 2 2

3

2 4 . 4

S ABCD

tp

V a h ahr

S a h a a a h a

.

Câu 27. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a , đường cao bằng h . Tính

bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều .S ABC .

A. 2 212

ah

a h a . B.

2 22 12

ah

a h a . C.

2 212 2

ah

a h a . D.

2 23 12 2

ah

a h a .

Lời giải

Chọn A



2 2

.

1 3 3

3 4 12S ABC

a aV h h ;

22 2

2 2 2 1 3 12

3 2 12

a h aSM SO OM h

22 23 3

3 124 4

tp ABC SAB

a aS S S h a .

Áp dụng công thức trên ta được

2

.

2 2 22 2

33 4

3 3 12124 4

S ABCD

tp

ah

V ahr

S a a a h ah a

.

Câu 28. Cho hình chóp .S ABCD đáy là hình thoi ABCD và 6AC , 8BD , chân đường

cao hạ từ đỉnh S trùng với giao điểm các đường chéo đáy. Tính bán kính hình cầu nội tiếp biết

rằng đường cao hình chóp bằng 5.

A. 60

12 485. B.

120

12 485. C.

60

12 769. D.

120

12 769.

Lời giải

Chọn C

Phương pháp tự luận:

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Khi đó SO ABCD

Ta có: . . . .S OAB S OBC S OCD S ODAV V V V ( do có cùng chiều cao SO và diện tích mặt đáy bằng nhau vì cùng

bằng 6 ).



Mà diện tích các mặt bên SAB , SBC , SCD và SDA bằng nhau.

Nên khoảng cách từ O đến các mặt bên của hình chóp .S ABCD bằng nhau.

Do đó mọi điểm thuộc SO cũng cách đều các mặt bên của hình chóp .S ABCD . (1)

Kẻ OK CD K CD suy ra SK CD .

Trong tam giác SOK , kẻ phân giác góc SKO cắt SO tại I .

Suy ra IO IH hay I cách đều mặt đáy và mặt bên SAB . (2)

Từ (1) và (2) suy ra I cách đều mặt đáy và các mặt bên của chóp .S ABCD .

Hay I là tâm mặt cầu nội tiếp chóp .S ABCD .

Ta có KI là phân giác góc SKI nên .IS IO IS IO SO KO

IOKS KO KS KO KS KO

Mà 5SO ; . 12

5

OD OCKO

CD ; 2 2 769

5KS SO KO .

Suy ra

125

605

769 12 769 12

5 5

r IO

.

Cách khác để tính bán kính mặt cầu nội tiếp .S ABCD :

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp .S ABCD . Ta có: . . . . . .S ABCD I ABCD I SAB I SBC I SCD I SDAV V V V V V

.

1

3S ABCD ABCD SAB SBC SCD SDAV r S S S S S .

1.

3S ABCD tpV r S .3 S ABCD

tp

Vr

S .

Mà .

1 6.85 40

3 2S ABCDV ;

7695

54 24 4. 24 2 7692

tp ABCD SABS S S

.

Suy ra: 60

12 769r

.

hoc360.net - tÀi liỆu hỌc tẬp miỄn phÍ câu 25. · bảng đáp án 1.d 2.c 3.b 4.c 5.a...

Documents