Võ Tiến Trình

toanth.net 1

Đề Toán không chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng khiếu – Đại Học Quốc Gia TP.HCM

Năm 2009 – 2010.

Bài 1. (2 điểm)

a) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn số 54xt

x .

22

400 535 244xx

xx

.

b) Cho phương trình 2 3 1 2 3 0mx m x m .

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa mãn 2 21 2 34x x .

Bài 2. (2,5 điểm)

Xét biểu thức 2 3 3 4 51 5 4 5

x x x xRx x x x

.

a) Rút gọn R . b) Tìm số thực x để 2R . Tìm số tự nhiên x là số chính phương sao cho R

là số nguyên.

Bài 3. (2 điểm)

a) Giải hệ phương trình: 2 2

0

8

x xy y

x y

b) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Giả sử phương trình 0x a x b x b x c x c x a có nghiệm kép. Tính số đo các góc của tam giác.

Bài 4. (1,5 điểm)

Võ Tiến Trình

toanth.net 2

Cho tam giác ABC có 0 060 , 45ABC ACB . Dựng AH BC H BC ,

và dựng HK AB K AB . Gọi M là trung điểm của AC.

Biết 3AH , tính BC và chứng minh BKMC là tứ giác nội tiếp.

Bài 5. (1 điểm)

Trong kỳ kiểm tra môn Toán, một lớp gồm ba tổ A, B và C. Điểm trung bình của học sinh ở các tổ được thống kê ở bảng sau :

Tổ A B C A và B B và C Điểm trung bình 9.0 8.8 7.8 8.9 8.2

Biết tổ A gồm 10 học sinh, hãy xác định số học sinh và điểm trung bình của toàn lớp.

Bài 6. (1 điểm)

Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O), có đỉnh A cố định vá các đỉnh B, C, D di chuyển trên (O) sao cho 090ABD . Kẻ tia Ax vuông góc với AD cắt BC tại E, kẻ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F. Gọi K là điểm đối xứng của A qua EF. Chứng minh tứ giác EFCK nội tiếp được và đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải.

Bài 1.

a) Điều kiện: 0x

Với 2 2 2

2 22 2

5 5 25 5 25 54 4 16 2 16 2x x x xt t t

x x x x

2 22

400 16 40x tx

Võ Tiến Trình

toanth.net 3

Thay vào phương trình ta có: 2

1416 24 5 054

tt t

t

Với 14

t ta có phương trình : 2 55 1 20 044 4

xx x xxx

Với 54

t ta có phương trình 2

5 1055 5 25 20 0

4 4 5 1052

xx x xx

x

So với điều kiện, phương trình 4 nghiệm 5 105 5 105; ; 5;42 2

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 2

0 000 17 6 9 09 1 4 2 3 0

m mmm mm m m

2

003 14417 0

17 17

mm

m

Theo đinh lí viet ta có: 1 2 1 2

3 1 3 2,m mx x x xm m

Ta có: 22 21 2 1 2 1 234 2 34x x x x x x

22

2

19 1 3 22 34 21 12 9 0 37

mm m m mmm m

So với điều kiện, nhận 31,7

m m

Võ Tiến Trình

toanth.net 4

Bài 2.

a) Điều kiện xác định : 0x và 25x

Rút gọn 25

xRx

x

b) 12 02 122 2 0 0

5 5 5 0

xx xRx x x

hoặc 12 0

5 0

x

x

144x hoặc 25x . So với điều kiện xác định ta có 144x hoặc 0 25x .

Ta có 715

Rx

Vì x là số chính phương nên x là số nguyên, do đó R là số nguyên 75x

là số nguyên 5x là ước của 7 5 7; 1;1;7x

5 7 2x x (loại).

5 1 4 16x x x (nhận)

5 1 6 36x x x (nhận)

5 7 12 144x x x (nhận)

Vậy 16;36;144x

Bài 3.

a) Đặt ,u x y v xy ta có 22 2 22 2x y x y xy u v

Giả hệ phương trình 2 2

0 442 8 2 8 0

u v u v uvu v v v

hoặc 22

uv

Với 4, 4u v ta có ,x y là nghiệm của 2 4 4 0 2X X X

Võ Tiến Trình

toanth.net 5

22

xy

Với 2, 2u v ta có ,x y là nghiệm của 2 1 32 2 0

1 3

xX X

x

1 3

1 3

x

y

hoặc 1 3

1 3

x

y

Vậy hệ có nghiệm 2; 2 , 1 3;1 3 , 1 3;1 3

b) Phương trình đã cho biến đổi thành 23 2 0x a b c x ab bc ca

2 2 2 2' 3a b c ab bc ca a b c ab bc ca

2 2 212

a b b c c a

Phương trình có nghiệm kép '' 0 a b c ABC đều.

Bài 4.

+ Tính BC.

Tam giác AHC vuông cân tại H nên 3AH HC

Võ Tiến Trình

toanth.net 6

Tam giác ABH vuông tại H có 00

360 1tan60 3

AHABH BH

Do đó 1 3BC BH CH .

+ Chứng minh BKMC nội tiếp.

Vì tam giác AHC vuông cân tại H nên HM AC

Tứ giác AKHM nội tiếp đường tròn đường kính AH

AKM AHM ACB tứ giác BKMC nội tiếp đường tròn.

Bài 5. Gọi số học sinh của tổ B và C lần lượt là *, ,x y x y

Ta có hệ phương trình

10.9 .8,8 8,9 1010.8,8 .7,8 158,2

xxx

x y yx y

Bài 6.

Võ Tiến Trình

toanth.net 7

+ Chứng minh EFCK nội tiếp

Nhận xét : 090EAF EAB (Ay vuông góc AB)

090EAF FAD (Ax vuông góc AD)

Nên 0180EAF EAB EAF FAD hay 0180EAF DAB

Do đó EAF BCD

Mà EAF EKF (A đối xứng với K qua EF)

Do đó EKF BCD EFCK nội tiếp.

+ Chứng minh EF qua điểm cố định.

Ta có 0 090 , 90BAK KAF AFE KAF AFE BAK

Do tứ giác EFCK nội tiếp

BCK EFK AFE (do A, K đối xứng qua EF) BAK

tứ giác BACK nội tiếp suy ra K thuộc đường trường (O)

Do đó AK là dây cung của (O) nên EF là trung trực của dây cung AK sẽ đi qua điểm O cố định.