: trong - dehoctot.com.vn · ta có thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số...

-1-

Chƣơng 1: Mệnh đề-Tập hợp

§1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

1. Mệnh đề mệnh đề chứa biến

a) Mệnh đề

Mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề

sai.

Ví dụ 1:

a) Góc vuông có số đo 800

(là mệnh đề sai)

b) Số 7 là một số nguyên tố (là mệnh đúng)

c) Hôm nay trời đẹp quá ! (không là mệnh đề)

d) Bạn có khỏe không ? (không là mệnh đề)

Ví dụ 2: Trong các câu sau đậy câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy xác định xem

mệnh đề đó đúng hay sai.

a) Không được đi lối này!

b) Bây giờ là mấy giờ?

c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946.

d) 16 chia 3 dư 1.

f) 2003 không là số nguyên tố.

e) 5 là số vô tỉ.

Chú ý:

+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.

+ Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.

Ví dụ: Q: “ 36 chia hết cho 12”

+ Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không

thể vừa đúng vừa sai cũng là mệnh đề.

Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề.

b) Mệnh đề chứa biến

Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến được

gọi là những mệnh đề chứa biến.

Ví dụ: Cho P(x): “x > x2 “ với x là số thực. Khi đó:

P(2) là mệnh đề sai, P(1/2) là mệnh đề đúng.

2. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí

hiệu là P . Mệnh đề P đúng nếu P sai và P sai nếu P đúng.

Chú ý: Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau

Ví dụ: P: “ 5 là số vô tỉ”. Khi đó mệnh đề

P có thể phát biểu : “ 5 không phải là số vô tỉ” hoặc “ 5 là số hữu tỉ”.

3. Mệnh đề kéo theo +Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được là mệnh đề kéo theo

+Kí hiệu là PQ.

+ Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai.

* PQ còn được phát biểu là “P kéo theo Q”,

“P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề

P : “ Tứ giác ABCD là một hình chữ nhật “

-2-

Q : “ Tứ giác ABCD là một hình bình hành “

PQ: “ Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình hành “.

QP “ Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật “.

* Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng : PQ

P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc

P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)

Q(x) là điều kiện cần để có P(x)

Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) là P(x)

điều kiện cần để có P(x) là Q(x)

4. Mệnh đề đảo-Mệnh đề tƣơng đƣơng

a) Mệnh đề đảo:

Cho mệnh đề PQ. Mệnh đề QP được gọi là mệnh đề đảo của PQ

b) Mệnh đề tương đương

+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương

đương,

+ Kí hiệu PQ

+Mệnh đề PQ đúng khi PQ đúng và QP đúng và sai trong các trường hợp còn

lại.

( hay PQ đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)

Các cách đọc khác:

P tương đương Q

P là điều kiện cần và đủ để có Q

Điều kiện cần và đủ để có P(x) là có Q(x)

Ví dụ 1: Xét các mệnh đề

A: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”;

B: “36 chia hết 12”

Khi đó: A đúng; B đúng

AB: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu 36 chia hết 12”. đúng

Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác có ba góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam

giác có ba cạnh bằng nhau” là mệnh đề gì? Mệnh đề đúng hay sai? Giải thích.

Xét P:” Tam giác ABC là tam giác có ba góc bằng nhau”

Q:” Tam giác có ba cạnh bằng nhau”

Khi đó P Q đúng; QP đúng. Vậy PQ

6. Các kí hiệu và

Kí hiệu (với mọi): )(," xPXx ” hoặc “ )(: xPXx ”

Kí hiệu (tồn tại) :“ )(, xPXx ” hoặc “ )(: xPXx ”

Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x)”

Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x)”

Ví dụ: Các biết tính đúng/sai của các mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định.

a) n *, n

2-1 là bội của 3

b) x , x2-x+1>0

c) x , x2=3

d) n , 2n + 1 là số nguyên tố

e) n , 2n ≥ n+2.

* Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng : PQ

P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc

P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)

-3-

Q(x) là điều kiện cần để có P(x)

Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) là P(x)

điều kiện cần để có P(x) là Q(x)

-4-

* Mệnh đề tương đương

+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương

đương. Kí hiệu PQ

+Mệnh đề PQ đúng khi PQ đúng và QP đúng và sai trong các trường hợp còn

lại. ( hay PQ đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)

Các cách đọc khác:

P tương đương Q

P là điều kiện cần và đủ để có Q

Điều kiện cần và đủ để có P(x) là có Q(x).

Bổ sung:

Trong lôgic toán, một phân ngành lôgic học, cơ sở của mọi ngành toán học, mệnh đề, hay

gọi đầy đủ là mệnh đề lôgic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa.

Chú ý:(mệnh đề)

1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và

địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác.

Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai.

Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học.

Trời mưa.

Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè.

2. Ta thừa nhận các luật sau đây của lôgic mệnh đề:

Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; không có mệnh đề nào không

đúng cũng không sai.

Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai.

3. Có những mệnh đề mà ta không biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sai nhưng biết "chắc

chắc" nó nhận một giá trị.

Ví dụ: Trên sao Hỏa có sự sống.

Chú ý:(mệnh đề kéo theo)

1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta không quan tâm đến mối

quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b. Không phân biệt trường hợp a có phải là nguyên

nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng.

Ví dụ:

"Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu" ← mệnh đề

đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất" và b = "Việt Nam nằm ở

Châu Âu" đều sai.

"Nếu tháng 12 có 31 ngày thì mỗi năm có 13 tháng" ← mệnh đề sai.

Chú ý:(mệnh đề tương đương)

Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng

như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai).

Ví dụ:

"Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời" là mệnh đề đúng.

"12 giờ trưa hôm nay Tuấn có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đó anh đang ở

thành phố Hồ Chí Minh" là mệnh đề sai.

"Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố" là mệnh đề đúng.

-5-

Giải bài toán bằng suy luận

Ví dụ:Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan

và Inđônêxia. Trước khi thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đoán như sau:

Dung: Singapor nhì, còn Thái Lan ba.

Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.

Trung: Singapor nhất và Inđônêxia nhì.

Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?

Giải: Kí hiệu các mệnh đề:

d1, d2 là hai dự đoán của Dụng.

q1, q2 là hai dự đoán của Quang.

t1, t2 là hai dự đoán của Trung.

Vì Dung có một dự đoán đúng và một dự đoán sai, nên có hai khả năng:

Nếu G(d1) = 1 thì G(t1) = 0. Suy ra G(t2) = 1. Điều này vô lí vì cả hai đội Singapor và

Inđônêxia đều đạt giải nhì.

Nếu G(d1) = 0 thì G(d2) = 1. Suy ra G(q2) = 0 và G(q1) = 1. Suy ra G(t2) = 0 và G(t1) = 1.

Vậy Singapor nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba còn Inđônêxia đạt giải tư.

1. Số vô tỉ

Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu diễn

được dưới dạng tỉ số a/b , với a, b là các số nguyên.

Ví dụ: Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001...

Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7...

Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209

74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...

Số lôgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536...

Nếu như mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví

dụ: 1/2=0,5) hoặc vô hạn tuần hoàn (số thập phân vô hạn tuần hoàn, ví dụ:1/11= 0.090909...)

thì số vô tỉ có biểu biễn thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn.

Căn bậc hai của tất cả các số nguyên

Ta có thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số nguyên nào cũng phải hoặc là số

nguyên hoặc là số vô tỉ. Lấy số nguyên bất kỳ r. Thí dụ, r = 2.

Trong hệ nhị phân, 2 = 102

Vậy, như ở trên, nếu = m/n thì, trong hệ nhị phân:

m2 = 102 n

2 trong đó m, n là số nguyên

Trường hợp n = 1 không thể xảy ra, vì ta biết không phải là số nguyên.

Lập luận như trên, vế trái có số chẵn số 0 (trong hệ nhị phân) ở cuối, nhưng vế phải lại

có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết là số hữu tỉ phải sai.

Với số nguyên r bất kỳ, cũng chứng minh như trên trong hệ r-phân:

m2 = 10r n

2 trong đó m, n là số nguyên

Nếu n = 1 thì m2 = 10r = r, vậy là số nguyên.

Còn nếu n ≠ 1 thì, như trên, một số bình phương trong hệ r-phân phải có số chẵn số 0

(trong hệ r-phân) ở cuối. Do đó trong đẳng thức này vế trái có số chẵn số 0 ở cuối nhưng vế

phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy không thể là số hữu tỉ.

2. Số chính phƣơng

Số chính phƣơng hay còn gọi là số hình vuông là số nguyên có căn bậc 2 là một số

nguyên, hay nói cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số

nguyên khác.

Ví dụ:4 = 2²; 9 = 3²; 1.000.000 = 1.000²

Số chính phương hiển thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số nguyên

-6-

kia.

-7-

§1 MỆNH ĐỀ

1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?

a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3

d) 3

2 có phải là số nguyên không? e) 5 +4 là số vô tỉ.

1.2. Tìm giá trị của x để được một mệnh đúng, mệnh đề sai

a) P(x):”3x2+2x1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x1”.

1.3. Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề PQ và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai, với:

a) P: “ Góc A bằng 900” Q: “ BC

2=AB

2+AC

2”

b) P: “ A B ” Q: “ Tam giác ABC cân”.

1.4. Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau. Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định của chúng

a) x : x2=1 b) x :x

2+x+2≠0

1.5. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó

a) 1

3 23 2

b) 2

2 8 8

c) 2

3 12 là số hữu tỉ

d) x=2 là nghiệm của phương trình 2 4

02

x

x

1.6. Tìm giá trị của m để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai.

a) P(m): “ m< m” b) Q(m): “m<1

m” c) R(m): “ m=7m”.

1.7. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng

a) P: “ 15 không chia hết cho 3”

b) Q: “ 7 3 ”

1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nó, với:

a) P: “2<3” Q: “4<6”

b) P: “10=1” Q: “100=0”.

1.9. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là số hữu tỉ”, Q: “ x2 là một số hữu tỉ”

a) Phát biểu mệnh đề PQ và xét tính đúng sai

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên

c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề đảo sai.

1.10. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x2=1”, Q: “ x =1”

a) Phát biểu mệnh đề PQ

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai

c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề PQ sai.

1.11. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là số nguyên”, Q: “ x +2 là một số nguyên”

a) Phát biểu mệnh đề PQ

b) Phát biểu mệnh đề QP

c) Xét tính đúng sai của PQ, QP.

1.12. Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân”

a) Phát biểu PQ, cho biết tính đúng sai

b) Phát biểu mệnh đề đảo QP.

1.13. Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau:

a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC đều;

b) Nếu AB>BC thì C A ;

c) Nếu A=900 thì ABC là tam giác vuông.

-8-

1.14. Dùng kí hiệu hoặc để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;

b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nó;

c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó;

d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó.

1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng

a) x : x2≤ 0 b) x : x

2≤0

c) x : 2 1

11

xx

x

d) x :

2 11

1

xx

x

e) x : x2+ x +1>0 f) x : x

2+ x +1>0

1.16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó

a) x : x .1= x

b) x : x . x =1

c) n : n<n2

1.17. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và chó biết tính đúng saicủa chúng

a) Mọi hình vuông là hình thoi;

b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều;

1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:

a) x , 4x2-1= 0.

b) x , n2+1 chia hết cho 4.

c) x , (x-1)2

x-1.

1.19. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:

a) x , x > x2.

b) x , |x| < 3 x< 3.

c) x N, n2+1 không chia hết cho 3.

d) a , a2=2.

1.20. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:

A: ” 15 là số nguyên tố”

B: ” a , 3a=7”

C: “ a , a2≠3”

1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":

a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng

thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song nhau.

b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5.

d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương.

1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":

a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcó các góc tươmg ứmg bằng nhau.

b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau.

c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho 3.

d) Nếu a=b thì a2=b

2 .

1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”

“Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có

một góc bằng 600”

1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:

a) Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau.

b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho

7.

c) Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương.

-9-

d) Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9.

1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng.

c) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc(trong) bằng tổng hai góc

còn lại.

d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và có

một góc bằng 600.

BÀI TẬP THÊM

1. Xét đúng (sai)của mệnh đề sau :

a/ Hình thoi là hình bình hành

b/ Số 4 không là nghiệm của phương trình : x2 5x + 4 = 0

c/ ( 2 > 3 ) (3 < ) d/ (3

11 >

2

7) (4

2 < 0)

e/ (5.12 > 4.6) (2 < 10) f) (1< 2 ) 7 là số nguyên tố

2. Phủ định các mệnh đề sau :

a/ 1 < x < 3 b/ x 2 hay x 4

c/ Có một ABC vuông hoặc cân

d/ Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3

e/ Có ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém.

f/ x< 2 hay x=3.

g/ x 0 hay x>1.

h/ Pt x2 + 1 = 0 vô nghiệm và pt x+3 =0 có nghiệm

3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau :

a/ x R , x2 + 1 > 0 b/ x R , x

2 3x + 2 = 0

c/ n N , n2 + 2 chia hết cho 4 d/ n Q, 2n + 1 0

e/ a Q , a2 > a f) x R , x

2 +x chia hết cho 2.

4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh:

a) A B = B A b) A B A B

c) A B A B d) ( ) ( ) ( )A B C A B A C

B. SUY LUẬN TOÁN HỌC

5. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ"

a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.

b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1

d/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì nó chia hết cho 5.

e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm.

6. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần"

a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.

b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nó có các góc tương ứng bằng nhau.

c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

d/ Nếu a = b thì a3 = b

3.

-10-

e/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR :

a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

c/ Nếu x2 + y

2 = 0 thì x = 0 và y = 0

d/ Nếu x = 1 hay y = 2

1 thì x + 2y 2xy 1 = 0

d/ Nếu x 2

1 và y

2

1 thì x + y + 2xy

2

1

e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2.

f) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3.

8. Chứng minh vơi mọi số nguyên dương n, ta có:

a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n2

b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1)

c) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . . + n = 2

)1n(n

a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n.(n + 1) = 3

)2n)(1n(n

b) 1n

n

)1n.(n

1.........

4.3

1

3.2

1

2.1

1

c) 1n2

n

)1n2).(1n2(

1.........

7.5

1

5.3

1

3.1

1

d) 12 + 2

2 + 3

2 + . . . . . . . . . . + n

2 =

6

)1n2)(1n(n

e) 13 + 2

3 + 3

3 + . . . . . . + n

3 =

4

)1n(n 22

f) 2 1

+ 22 + 2

3 + . . . . .+ 2

n = 2(2

n – 1)

g) 31 + 3

2 + 3

3 + . . . . + 3

n =

2

3( 3

n – 1 )

h) n 3 +2n chia hết cho 3

i) n3 +11n chia hết cho 6

j) n3 +5n chia hết cho 6

k) 3 2n + 63 hết 72

l) 3 2n + 1 + 2 n + 2 chia hết cho 7

m) 6 2n + 3

n + 2 + 3 n chia hết cho 11

n) 3 2n – 2 n chia hết cho 7

o) 4 n + 15.n – 1 chia hết cho 9

§1 MỆNH ĐỀ 1.3. a) PQ: “ Nếu góc A bằng 90

0 thì BC

2=AB

2+AC

2” đúng

QP: “ Nếu BC2=AB

2+AC

2 thì góc A bằng 90

0 ” đúng

b) PQ: “ A B thì tam giác ABC cân” đúng

Q P:” “Nếu tam giác ABC cân thì A B ” sai (vì có thể A C

1.4. a) x : x2=1; “ Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1” sai

x : x2≠1; “ Với mọi số thực, bình phương của nó đều khác 1”

b) x :x2+x+2≠0; “ Với mọi số thực đều có x

2+x+2≠0” đúng

x :x2+x+2=0

-11-

1.5. a) Đúng. P : “1

3 23 2

”

b) Sai. P : 2

2 8 8

c) Đúng vì 2

3 12 =27 là số hữu tỉ. P : “ 2

3 12 là số vô tỉ”

d) Sai. P :” x=2 khônglà nghiệm của phương trình

2 40

2

x

x

”

1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nó, với:

a) Nếu 2<3 thì 4<6 Sai

b) Nếu 10=1 thì 100=0 Đúng

1.9. a) Nếu x là số hữu tỉ thì x 2 là một số hữu tỉ Đúng

b) Nếu x 2 là một số hữu tỉ thì x là số hữu tỉ

c) Khi x = 2 mệnh đề đảo sai.

1.10. b) mệnh đề đảo đúng

c) x =1 thì PQ sai.

1.11. a) PQ đúng

b) QP đúng

1.12. a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân đúng

b) Nếu tam giác ABC cân thì AB=AC , khi AB=BC≠AC mđ sai

1.13. a) Nếu tam giác ABC đều thì AB=BC=CA cả hai đúng

b) Nếu AB>BC thì C A ; đúng và mđ đảo đúng

c) Nếu A=900 thì ABC là tam giác vuông. đúng và mđ đảo sai (vuông tại B hoặc C)

1.14. a) n : n không chia hết cho n b) x : x +0=0

c) x : x <1

x d) n : n>n

1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng

a) Bình phương mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 sai

b) Có một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0đúng

c) Với mọi số thực , sao cho

2 11

1

xx

x

Sai

d) Có số thực, sao cho

2 11

1

xx

x

Đúng

e) Với mọi số thực x , sao cho x 2+ x +1>0 đúng

f) Có một số thực x , sao cho x 2+ x +1>0 đúng

1.16. a) x : x .1≠ x sai

b) x : x . x ≠1 đúng

c) n : n≥n2 đúng

1.17. a) “Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi” sai

b) “Mọi tam giác cân là tam giác đều” sai

1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:

a) x , 4x2-1= 0 sai; mđ phủ “ x , 4x

2-1≠0”

b) n , n2+1 chia hết cho 4 Sai vì

Nếu n là số tự nhiên chẳn : n =2k (kN)

n2+1 = 4k

2+1 không chia hết cho 4

Nếu n là số tự nhiên le : n = 2k+1 (kN)

n2+1 = 4(k

2+k)+2 không chia hết cho 4

Mđ phủ định “ n , n2+1 không chia hết cho 4”

c) x , (x-1)2 x-1. Sai khi x =0

mđ phủ định “ x ,(x-1)2 =x-1”

1.19. a) đúng, ví dụ x =1/10

-12-

H

G

PQ

MN

A

B C

b) sai, vì khi x <3 | x |<3 sai khi x =8

Sửa lại : “ x , | x |<3 x <3”

c) đúng (giải thích)

d) sai. Sửa lại “a , a2≠2”

1.20. tương tự 1.19

1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":

a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ

để hai đường thẳng ấy song song nhau.

b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau.

c) Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.

d) a+b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương.

1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":

a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tươmg ứmg bằng nhau.

b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc nhau.

c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho là nó chia hết cho 3.

d) Điều kiện cần để a=b là a2=b

2 .

1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”

“Tam giác ABC là một tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác cân và có một

góc bằng 600”

1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:

a) Sai. “Tứ giác T là một hình vuông là điều kiện đủ để nó có bốn cạnh bằng nhau”

b) Sai. “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là điều kiện cần để mỗi số đó chia hết cho 7.

c) Sai. “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương”

d) Đúng.

1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.

a) Sai. Vì khi diện tích bằng nhau thì chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đó bằng nhau

b) Sai.

c) Đúng. Vì Nếu ABC vuông tại A thì B C A . Ngược lại nếu B C A thì

0 0 0180 2 180 90A B C A A

d) Đúng. Vì ABC đều thì 2 trung tuyến bằng nhau.

Ngược lại, nếu BM=CN. Lấy Q đối xứng của C qua N, P đối x ứng B qua M

Khi đó AQBC và APCB là hai hình bình hành bằng nhau

Mà CQ=BP AB=AC ABC cân.

-13-

§2 TẬP HỢP 1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa .

- Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, .... các phần tử của tập

hợp đặt trong cặp dấu { }.

- Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a A, ngược lại ta viết a A.

- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng. Khí hiệu

2. Cách xác định tập hợp: có 2cách - Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, giữa các phần tử có dấu phẩy hoặc dấu

chấm phẩy ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều có thể dùng dấu ba chấm

VD : A = 1; 3; 5; 7

B = 0 ; 1; 2; . . . . ;100

C={1;3;5;...;15;17}

- Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu

gạch đứng

VD : A = x N | x lẻ và x <9 ; B= {x | 2x2-5x+3=0}

3. Tập con : Nếu tập A là con của B, kí hiệu: AB hoặc B A.

Khi đó A B x( xA xB)

Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3;...;10}

Cho A ≠ có ít nhất 2 tập con là và A.

Tính chất: A A , A với mọi A

Nếu A B và B C thì A C

4. Tập hợp bằng nhau:

A=B A B và B A hay A=B x (x A x B)

Ví dụ : C={xR | 2x2-5x+2=0}, D={

2

1,2 } C=D

- Biểu đồ Ven

Ta có *

BÀI TẬP §2

2.1. Viết các tập sau bằng cách liệt kê các phần tử

A= { x | 2x25x+2=0}

B= {n | n là bội của 12 không vượt quá 100}

C = {xR | (2x-x2)(2x

2-3x-2) = 0}

D = {xZ | 2x3-3x

2-5x = 0}

E = {xZ | |x| < 3 }

F = {x | x=3k với kZ và -4 < x < 12 }

G= {Các số chính phương không vượt quá 100}

H= {n | n(n+1)≤ 20}.

I={ x | x là ước nguyên dương của 12}

J={ x | x là bội nguyên dương của 15}

K= {n | n là ước chung của 6 và 14}

L= { n | n là bội của 6 và 8}

2.2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng

A={2;3;5;7} B= {1;2}

C={2;4;6;8;...;88;90} D={4;9;16;25}

2.3. Trong các tập sau tập nào là tập rỗng?

A = {x | x2-x+1=0 }

B = {x | x2-4x+2= 0}

C = {x | 6x2-7x+1= 0}

-14-

D = {x | | x| < 1} .

2.4. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào?

A = {1,2,3} B = { xN | x<4 }

C = (0;+ ) D = { xR | 2x2-7x+3= 0} .

2.5. Tìm tất cả các tập con của các tập sau:

a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4}.

c) C= d) D= {}

2.6. Tìm tất cả các tập X sao cho:

{1,2} X {1,2,3,4,5} .

2.7. Tập A = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử ? Để giải bài toán , hãy liệt kê

tất cả các tập con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập con này. Hãy thử tìm một cách giải

khác.

2.8. Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau:

R={3k-1| k , -5≤ k ≤5}

S={x | 3<|x|≤ 19

2}

T= { x | 2x25x+2=0}

BÀI TẬP THÊM

1. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :

a/ A = {x N / x < 6}

b/ B = {x N / 1 < x 5}

c/ C = {x Z , /x / 3}

d/ D = {x Z / x2 9 = 0}

e/ E = {x R / (x 1)(x2 + 6x + 5) = 0}

f/ F = {x R / x2 x + 2 = 0}

g/ G = {x N / (2x 1)(x2 5x + 6) = 0}

h/ H = {x / x = 2k với k Z và 3 < x < 13}

i/ I = {x Z / x2 > 4 và /x/ < 10}

j/ J = {x / x = 3k với k Z và 1 < k < 5}

k/ K = {x R / x2 1 = 0 và x

2 4x + 3 = 0}

l/ L = {x Q / 2x 1 = 0 hay x2 4 = 0}

2. Xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất :

a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4}

c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}

e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = {3

1,

5

2,

7

3,

9

4}

3. Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau :

a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}

c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4}

4. Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5}

a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ

b/ Tìm tất cả các tập X sao cho C X B

c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y A

5. Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12} ;

B = {x N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ;

D = {x N / (x + 1)(x 2)(x 4) = 0}

a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ

b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D X A

c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y B

-15-

§3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1.Pheùp giao 2. Pheùp hôïp 3. Hieäu cuûa 2 taäp

hôïp

AB = x|xA vaø xB

xAB

Bx

Ax

Tính chất

A A=A

A =

A B=B A

AB = x| xA hoaëc xB

xAB

Bx

Ax

Tính chất

A A=A

A =A

A B= B A

A\ B = x| xA vaø xB

xA\B x A

x B

Tính chất

A\ =A

A\A=

A\B≠B\A

4. Phép lấy phần bù: Neáu A E thì CEA = E\A = x ,xE vaø xA

Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}.

Tính AB, (AB) C, AC, (AB) C, A\ B, A\ C

BÀI TẬP §3

3.1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. Tính

A B, B C, C\A, (A B)\ (B C)

3.2. Cho A = {xN | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}

a) Xác định A B ; AB ; A\B ; B\ A

b) CMR : (A B)\ (AB) = (A\B) (B\ A)

3.3. Cho R={3k-1| k , -5≤ k ≤5}, S={x | 3<|x|≤ 19

2},

T= { x | 2x24x+2=0}. Tính R S, S T, R\S

3.4. Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9}. Tính

a) (A B) C và A (B C). Có n hận xét gì về hai kết quả?

b) (A B) C

d) (A B) C

e) (A \ B) C

3.5. Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6}, C={4;5;6;7;8;9;10}. Tính

a) B C, A B, B C, A\B, C\B b) A (B C)

c) (A B) C d) A (B C)

e) (A B) C f) (A\B) (C\B)

3.6. Cho E = { x | 1 x < 7}

A= { x | (x2-9)(x

2 – 5x – 6) = 0 }

B = { x | x là số nguyên tố 5}

a) Chứng minh rằng B E

b) Tìm CEB ; CE(AB)

c) Chứng minh rằng : E \ (A B)= (E \A) ( E \B)

E \ ( AB) = ( E \A) ( E \ B)

-16-

§4 CÁC TẬP HỢP SỐ

1. Các tập số đã học

, *, , ,

2. Các tập con thƣờng dùng của Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn

Tập số thực (-;+)

Đoạn [a ; b] xR, a x b

Khoảng (a ; b )

Khoảng (- ; a)

Khoảng(a ; + )

xR, a < x < b

xR, x < a

xR, a< x

Nửa khoảng [a ; b)

Nửa khoảng (a ; b]

Nửa khoảng (- ; a]

Nửa khoảng [a ; )

xR, a x < b

xR, a < x b

xR, x a

xR, a x

[a ; b]= xR, a x b,.....R+=[0;+), R=(;0]

Chú ý 1: Có hai cách biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên trục số: Hoặc gạch

bỏ phần không thuộc khoảng hay đoạn đó, hoặc tô đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn

đó.

Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách

(2;5), [3;1], ([1;4] Chú ý 2:

-Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đó trên cùng một trục số. Phần còn

lại sau khi đã gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp.

-Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đó trên cùng một trục số,sau đó tiến hành

tô đậm từng khoảng. Hợp của các khoảng là tất cả các tô đậm trên trục số.

-Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tô đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d),

phần tô đậm còn lại là kết quả cần tìm.

Ví dụ: Tính

a) (1;2] [1;3) = [1;2]

b) [3;1

2) (1;+ ) =[1;

1

2)

c) (1

2;2) (1;4) =(

1

2;4)

d) (1

2;2]\(1;4) =(

1

2;1]

BÀI TẬP §4-C1

4.1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục số.

A={ x | x ≥ 3}

B={ x | x <8}

C={ x | 1< x < 10}

D={ x | 6 < x ≤ 8}

E={ x | 1

2≤ x ≤

5

2}

F={ x | x1<0}

4.2. Viết các khoảng, đoạn sau về dạng kí tập hợp

E=(1;+) F=(;6]

//////////// [

)/////////////////////

////////////( )

/////////

///////////////////(

////////////[ )

/////////

]/////////////////////

///////////////////[

0

-17-

G=(2;3] H=[3

2;1]

4.3. Xác định AB, AB, A\B, B\A và biểu diễn kết quả tên trục số

a) A = { x | x 1 } B ={ x | x 3 }

b) A = { x | x 1 } B ={ x | x 3 }

c) A = [1;3] B = (2;+ )

d) A = (-1;5) B = [ 0;6)

4.4. Cho A={ x | x2≥0 }, B={ x | x5>0}.

Tính A B, A B, A\B, B\A.

4.5. Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục số

a) (5;3) (0;7) b) (1;5) (3;7)

c) \(0;+) d) (;;3) (2;+)

4.6. Xác định A\B , A B, A B và biểu diễn chúng trên trục số

a) A=(3;3) B=(0;5)

b) A=(5;5) B=(3;3)

c) A= B=[0;1]

d) A=(2;3) B=(3;3)

4.7. Xác định tập hợp C D, biết

a) C=[1;5] D=(3;2) (3;7)

b) C=(5;0) (3;5) D=(1;2) (4;6)

4.8. Xác định các tập sau

a) (3;5] b) (1;2) c) [3;5]


a) \((0;1) (2;3)) b) \((3;5) (4;6))

c) (2;7)\[1;3] d) ((1;2) (3;5))\(1;4)


a) (;1

3) (

1

4;+) b) (

11

2;7) (2;

27

2)

c) (0;12)\[5;+) d) \[1;1)

BÀI TẬP THÊM

1. Cho 3 tập hợp : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6} ; C = {4, 6}

a/ Tìm A B , A C , B C b/ Tìm A B , A C , B C

c/ Tìm A \ B , A \ C , C \ B

d/ Tìm A (B C) và (A B) (A C). Có nhận xét gì về hai tập hợp này ?

2. Cho 3 tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {2, 4, 6} ; C = {1, 3, 4, 5}.

Tìm (A B) C và (A C) (B C). Nhận xét ?

3. Cho 3 tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, c, d} ; C = {a, b}

a/ CMR : A (B \ C} = (A B) \ (A C)

b/ CMR : A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)

4. Tìm A B ; A B ; A \ B ; B \ A , biết rằng :

a/ A = (2, + ) ; B = [1, 3] b/ A = (, 4] ; B = (1, +)

c/ A = (1, 2] ; B = (2, 3] d/ A = (1, 2] ; B = [2, +)

e/ A = [0, 4] ; B = (, 2] e) A = (2 , 10) ; B = ( 4, 7 )

5. Cho A = {a, b} ; B = {a, b, c, d}. Xác định các tập X sao cho A X = B

6. A= {x N / 0< x < 10} ; A, B X ;

A B = {9, 4, 6}

A {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ;

B { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Xác định A, B.

-18-

§5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ 1. Số gần đúng

Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết

số gần đúng của nó.

Ví dụ: giá trị gần đúng của là 3,14 hay 3,14159; còn đối với 2 là 1,41 hay 1,414;…

Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó.

Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.

2. Sai số tuyệt đối:

a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng

Nếu a là số gần đúng của a thì a=| a a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng

a.

b) Độ chính xác của một số gần đúng

Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên ta không tính được a. Tuy nhiên ta có thể

đánh giá a không vượt quá một số dương d nào đó.

Nếu a ≤ d thì ad≤ a ≤ a+d, khi đó ta viết a =a ± d

d gọi là độ chính xác của số gần đúng.

Ví dụ: Giaû söû a = 2 vaø moät giaù trò gaàn ñuùng cuûa noù laø a = 1,41.Ta coù :

(1,41)2 = 1,9881 < 2

1,41 < 22 - 1,41 > 0.

(1,42)2 = 2,0164 > 2

1,42 > 22 -1,41 < |1,42-1,41|=0,01.

Do ñoù : 01,041,12 aaa Vaäy sai soá tuyeät ñoái cuûa 1,41 laø khoâng

vöôït quaù 0,01.

*Sai số tƣơng đối a

|| a

aa

, do đó a

|| a

d .

Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm (nhân với 100%).

Nếu || a

dcàng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.

* Sai số tuyệt đối không nói lên chất lượng của xắp xỉ mà chất lượng đó được phản ánh

qua sai số tương đối. Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng lớn.

3. Quy tròn số gần đúng

* Nguyên tắc quy tròn các số như sau:

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ

số bên phải nó bởi 0.

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các

chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn.

Ví dụ 1: Quy tròn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số ở hàng quy tròn là 1 chữ

số sau nó là 6)

Ví dụ 2: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số ở hàng qui tròn là 1

chữ số sau nó là 4)

Ví dụ 3: Quy tròn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số ở hàng qui tròn là 6 chữ

số sau nó là 4).

Chú ý: Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị hàng quy

tròn

Ở vd1 ta có a=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy tròn là hàng chục)

Ở vd2 ta có a=|2,654-2,65|=0,004 <0,005 (hàng quy tròn là hàng phần trăm 0,01)

* Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trƣớc:

-19-

Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ

quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng

đó.

d Hàng quy tròn

Hàng trăm Hàng nghìn

Hàng chục Hàng trăm

Hàng phần trăm Hàng phần chục

……………………. ……………………….

Ví dụ 1: Cho a =1,236±0,002 số quy tròn của 1,236 là 1,24 (vì 0,002<0,01)

Ví dụ 2: Cho a =37975421±150 số quy tròn của 37975421 là 37975000

Ví dụ 3: Cho số gần đúng a=173,4592 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01

(d=0,01). Khi đó số quy tròn của a là 173,5

* Chú ý: - Kí hiệu khi viết gần đúng là

- Khi thực hiện quy tròn thì sai số tuyệt đối tăng lên.

- Hàng phần chục, phần trăm,… là những số sau đấu phẩy.

- Hàng hơn vị, hàng chục, hàng trăm,… là những số trước dấu phẩy.

4. Chữ số chắc chắn (đáng tin) (Ban CB chỉ đến số 3)

Trong số gần đúng a, một chữ số được gọi là chữ số chắc chắn nếu d không vƣợt quá (

≤ )nửa đơn vị của hàng có chữ số đó (nếu d > nửa đơn vị của hàng có chữ số đó thì chữ số đó

không chắc)

Tất cả những chữ số đứng bên trái chữ số chắc chắn là chắc chắn. Những chữ số đứng

bên phải chữ số không chắc là không chắc.

Ví dụ 1: Cho a =1379425±300, xác định các chữ số chắc chắn

Ta có 2

100050050

2

100 d nên chữ số hàng trăm không chắc, chữ số hàng

nghìn chắc chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn.

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm2 0,06 cm

2 . Tìm các chữ số

chắc của S.

Ta có 5,02

106,005,0

2

1,0 d nên chữ số hàng phần chục không chắc, chữ

số hàng đơn vị chắc chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắc chắn.

5. Dạng chuẩn của số gần đúng - Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số

của nó đều là chữ chắc chắn.

- Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k trong đó A là số nguyên

, k là hàng thấp nhất có chữ số chắc (kN). (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn)

Khi đó độ chính xác d=0,5.10k

Ví dụ: Giá trị gần đúng của 5 viết ở dạng chuẩn là 2,236. Nên độ chính xác d=0,5.10-

3=0,0005, do đó 2,236-0,0005≤ 5 ≤2,236+0,0005

6. Kí hiệu khoa học của một số

Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n, 1≤||<10, n Z

(ta có m

m

10

110 )

Ví dụ : Khối lượng Trái Đất là 5,98.1024

kg

Khối nguyên tử của Hiđrô là 1,66.10-24

g

-20-

BÀI TẬP §5

5.1. Cho 3 =1,7320508…Viết số gần đúng 3 theo quy tắc là tròn đến hai, ba, bốn chữ số

thập phân có ước lượng sai số tuyệt đối mỗi trường hợp.

HD: Ta có 1,73< 3 <1,74| 3 -1,73|<|1,73-1,74|=0,01 vậy sai số tuyệt đối trong

trương hợp (làm tròn 2 chữ số thập phân) không vượt quá 0,001.

5.2. Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ

hơn 10000. Hãy viết quy tròn của số trên.

Kq: 79720000

5.3. Đo độ cao một ngọn núi là h=1372,5m±0,1m. Hãy viết số quy tròn của số 1372,5

Kq: 1373

5.4. Đo độ cao một ngọn cây là h=347,13m±0,2m. Hãy viết số quy tròn của số 347,13

Kq: 347

5.5. Chiều dài cây cầu là d=1745,25m±0,01m. Hãy viết số quy tròn của 1745

Kq : 1745,3

5.6. Cho giá trị gần đúng của là a=3,141592653589 với độ chính xác là 10-10

. Hãy viết số

quy tròn của a.

Kq : 3,141592654

5.7. Một hình lập phương có thể tích V=180,57cm3±0,05 cm

3. Xác định các chữ số chắc chắn

của V.

Kq : 0,01/2<0,05≤0,1/2 1,8,0,5 là chữ số chắc chắn.

5.8. Trong một thí nghiệm, hằng số C được xác định là 2,43265 với cận trên của sai số tuyệt

đối d=0,00312. Tìm các chữ số chắc chắn của C.

5.9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x=43m±0,5m, chiều dài y=63m±0,5m. chứng

minh rằng chu vi P của miếng đất là P=212m±2m

-21-

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

-22-

...................................................................................................................................................................

-23-

Chương II

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

§1 HÀM SỐ

I. Ôn tập về hàm số

1. Hàm số:

Cho D . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc ứng với mỗi xD là một và chỉ

một số y , kí hiệu là y= f(x). Khi đó:

+ x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x;

+ D gọi là tập xác định (hay miền xác định);

+ f( x ) là giá trị của hàm số tại x.

2. Cách cho hàm số

+ Hàm số cho bằng bảng.

+ Hàm số cho bằng biểu đồ.

+ Hàm số cho bằng công thức: y=f( x )

Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định

của hàm số y=f( x ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f( x ) có nghĩa”.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số

a) y=f( x )= 3x b) y=3

2x c) y= 1 1x x

Ví dụ 2: Cho 2

2 1 0

0

x khi xy

x khi x

a) Tìm tập xác định của hàm số.

b) Tính f(1), f(1), f(0).

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số y=f( x ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt

phẳng tọa độ với mọi x D.

II. Sự biến thiên của hàm số

Cho f(x) xác định trên khoảng K. Khi đó:

f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2)

f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) > f(x2)

Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK)

III. Tính chẵn lẻ của hàm số

+ f gọi là chẵn trên D nếu xD x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

+ f gọi là lẻ trên D nếu xD x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng.

(Ban CB đến III)

* Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy

Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có

Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q

Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q

Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)

Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)

Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y

Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= - x

* Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy : + Lên trên q đơn vị được A1(x ; y+q)

+ Xuống dƣới q đơn vị được A1(x ; yq)

+ Sang trái p đơn vị được A1(xp ; y)

+ Sang phải p đơn vị được A1(x+p ; y)

-24-

CÁC DẠNG BÀI TẬP I. Tìm tập xác định của hàm số

*Phƣơng pháp + Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là:

D = {x | f(x) } + Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một số trường hợp sau :

a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ;

y = |)(| xu … là D =

(không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…)

b) Miền xác định hàm số y = )(

)(

xv

xu là D = { x | v(x) 0 }

c) Miền xác định hàm số y = )(xu là D = { x | u(x) 0 }

d) Miền xác định hàm số y = )(

)(

xv

xu là D = { x | u(x) > 0 }

e) Miền xác định hàm số y = )()( xvxu là

D= {x | u(x) 0 } {x | v(x) 0 } tức là nghiệm của hệ

0)(

0)(

xv

xu

VÍ DỤ : Tìm tập xác định của các hàm số sau

II. Xét sự biến thiên của hàm số

* Phƣơng pháp

+ Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x).

+ Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có ).

+ Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau:

. Giả sử x1,x2 K, x1 < x2

. Tính f(x2) - f(x1)

. Lập tỉ số T = 12

12 )()(

xx

xfxf

Nếu T > 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b)

Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b).

VÍ DỤ:

III. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

* Phƣơng pháp

+ Tìm tập xác định D của hàm số y =f(x)

+ Chứng minh D là tập đối xứng, tức là : xD x D

+ Tính f(-x), khi đó

. Nếu f(-x) = f(x) với xD thì y =f(x) là hàm số chẵn

. Nếu f(-x) = -f(x) với xD thì y = f(x) là hàm số lẻ.

. Nếu có một x0 D sao f(-x0) f(x0) & f(-x0) -f(x0) thì hàm số y = f(x) không chẵn và

không lẻ.

VÍ DỤ:

IV. Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ

Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có

Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q

Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q

Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)

Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)

-26-

BÀI TẬP §1-C2 1.1. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y= 3x3 x +2 b)

3 1

2 2

xy

x

c) y= 3 2x d) y= 2 1 1x x

e) y=2

2 1

2 1

x

x x

f) y=

11x

x

g) y= 2 1x h) 2

1

4 5y

x x

1.2. Cho hàm số y=1-x neáu x 0

x neáu x > 0

.

Tính các giá trị của hàm số đó tại x =3; x =0; x =1

1.3. Cho hàm số y=2

2 30

1

2 0

xkhi x

x

x x khi x

Tính giá trị của hàm số đó tại x =5; x =2; x = 2

1.4. Cho hàm số y=g( x )3 8

7 2

vôùi x < 2

vôùi x

x

x

Tính các giá trị g(3); g(0); g(1); g(2); g(9)

1.5. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng được chỉ ra

a) y=f( x )= 2x27 trên khoảng (4;0) và trên khoảng (3;10)

b) y=f( x )=7

x

x trên khoảng (;7) và trên khoảng (7;+)

1.6. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a) y=f( x )= 2 3x b) y=f( x )=2 2x

x

c) y=f( x )=x3 1 d) y=3

1.7. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y=2

3 2

4 3 7

x

x x

b) y=

2 43 5

3

xx

x

c) y= x5+7 x3 d) y=

2

7

2 5

x

x x

e) y= 4 1 2 1x x f) y=2

9

8 20

x

x x

g) y=2 1

(2 1)( 3)

x

x x

h) y=

1 3

2 4 2

x

x x

1.8. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y = 1

322

xx

x b) y =

x

xx 22

c) y = 23

32

xx

x d) y =

1)2(

2

xx

e) y = 23

123

xx

x f) y =

1

122

xx

x

-27-

1.9. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra

a) y= 2 x +3 trên

b) y= x2+10 x +9 trên (5;+)

c) y= 1

1x

trên (3;2) và (2;3)

1.10. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra

a) y = x2+4x-2 ; (- ;2) , (-2;+ )

b) y = -2x2+4x+1 ; (- ;1) , (1;+ )

c) y = 1

4

x ; (-1;+ )

d) y = x2

3 ; (2;+ )

1.11. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a) y= 4 b) y= 3x21

c) y= x4+3 x2 d) y=

4 2 1x x

x

1.12. Xét tính chẵn lẻ của các số sau

a) y = x4-x

2+2 b) y= -2x

3+3x

c) y = | x+2| - |x-2| d) y = |2x+1| + |2x-1|

e) y = (x-1)2 f) y = x

2+2

1.13. Cho hàm số y= f(x) =2x

a , với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến (tăng), nghịch

biến trên các khoảng xác định của nó.

1.14. Cho hàm số

1x neáu

1x1- neáu

1

)2(2)(

2x

xxf

a) Tìm tập xác định của hàm số f.

b) Tính f(-1), f(0,5), f(2

2 ), f(1), f(2).

BÀI TẬP THÊM 1

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a) 12

53

x

xy D= \{

1

2} b)

1

532

xx

xy D=

c)23

22

xx

xy D= \{1;2} d)

2

1

x

xy D=[1;+)\{2}

e)1)2(

22

xx

xy D=(1;+) f)

9

132

x

xy D= \{3;3}

g) xx

xy

21 D=(;0]\{1} h)

2

23

x

xxy D=(2;2]

i) )3)(2(

41

xx

xxy D=[1;4]\{2;3} j) y= xx 312 D=[

1

2;3]

Bài tập 2 : Cho hàm số

1x neáu

1x1- neáu

1

)2(2)(

2x

xxf

a) Tìm tập xác định của hàm số f. D=[1;)

-28-

b) Tính f(-1), f(0,5), f(2

2 ), f(1), f(2).

-29-

Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1),

điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x2-2x+1.

Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ 2 ), điểm nào thuộc đồ thị hàm

số f(x)= x2+ 3x .

Bài tập 5: Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

a) y= x2+2x-2 trên mỗi khoảng (-;-1) và (-1;+) T= x2+x1+2

x 1 +

y=x2+2x-2

+ +

3

b) y= -2x2+4x+1 trên mỗi khoảng (-;1) và (1;+) T=2(x1+x22)

x 1

+

y=-2x2+4x+1

3

c) y=3

2

x trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+) T=

1 2

2

( 3)( 3)x x

x 1 +

y=3

2

x

0 +

0

d) y=2

1

x trên mỗi khoảng (-;2) và (2;+)

T= 1 2

1

( 2)( 2)x x

e) y= x2-6x+5 trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+)

T= x2+x16

f) y= x2005

+1 trên khoảng (-;+)

x1<x2 => 20051x < 2005

2x => f(x1)= 20051x +1< 2005

2x +1=f(x2) đồng biến

Bài tập 6 : Dựa vào đồ thị của hàm số, hãy lập bảng biến thiên

(A)

x 2 1

+

y=-2x2+4x+1

+ 3

1

(B)

x 1

+

(A) (B)

(C)

-30-

y=1

x

0 +

0

(C)

x 2

+

y=f(x)

1

Bài tập 7: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau :

a) y=x43x

2+1 chẵn b) y= -2x

3+x lẻ

c) y= |x+2| - |x-2| lẻ d) y=|2x+1|+|2x-1| chẵn

e) y= |x| chẵn f) y=(x+2)2

g) y=x3+x lẻ h) y=x

2+x+1

i) y=x|x| lẻ j) y= xx 11 D=[1;1] chẵn

k) y= xx 11 D=[1;1] lẻ

Bài 8 : Cho đường thẳng y=0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d):

a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vị

c) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị.

Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3. Ta có thể coi (d’) có được là

do tịnh tiến (d):

a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị?

(d’): y=2x3= f(x)3

b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?

(d’): y=2x3= 2(x3

2)

Bài 10: Cho đồ thị (H) của hàm số y=x

2

a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?

b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?

c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được

đồ thị hàm số nào?

Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b). Hãy tính tọa độ các điểm có

được khi tịnh tiến các điểm đã cho:

a) Lên trên 5 đơn vị

b) Xuống dưới 3 đơn vị

c) Sang phải 1 đơn vị

d) Sang trái 4 đơn vị.

BÀI TẬP THÊM 2

1. Tìm tập xác định của hàm số

a) y = |x+2| - | 3x2-4x-3| D=

b) y = |4| 2 xx D=

c) 5

1|65| xy D=

d) y = 1

12 x

D=

-31-

e) y = 6

|32|2

xx

x D=

f) y=xx 3

12

D= \{0;3}

g) y = xx

x

1

11 D=(1;1]\{0}

h) |4|

12

xx

xy D=(0;+)\{4}

i) y = 1

13

2

xx D=(;3]\{1;1}

j) y = 2

1

2 4 4x x D= vì 2 22 4 4 ( 2 2) 2x x x >0 x

k) y = 1226 xxx D=[1

2 ;6]

l) y = )1|(|

12

xx

x D= \{1;0;1}

m) y = xxx

x

1

2

12

D=[1;2)

n) y = 3)2(33

12

xxxx

D=[3;+) vì 2 3 3x x ≠0 x

o) y = 6|1|53

1 2

2

xxx

xx D=

vì 2 23 113 5 ( )

2 4x x x >0 x

2 21 236 ( )

2 4x x x >0 x

p) y = |2||2|

||2 xxx

x

D=

vì không có giá trị nào của x để |x2|+|x2+2x|=0. Thật vậy:

nếu x2=0 x=2 thì x2+2x≠ 0

q) y = 32 1

53

x

x D= \{1;1}

r) y = 2 2 1 3x x x D=[3;+)

s) y =2 2 1 3x x x - 14 x D=[4;+)

t) y = |1||23|

122 xxx

D= \{1}

vì khi x=1 thì mẫu bằng 0 (tương tự câu p)

u) y = 1||2

||

1

1||2

2

2

xx

xx

x

x D= \{1;1}

22

2

2 1 , 02 | | 1

2 1 , 0

x x khi xx x

x x khi x

v) y = ||1 x D=[1;1]

-32-

w) y = |1|

1

2 x D= \{1;1}

x) y = f(x)=

2x0 neáu x

0x2- neáu x-1 D=[2;2]

2. Xét sự biến thiên của các hàm số trên các khoảng đã chỉ ra

a) y = 32

2

x

x trên );

2

3( T=

2 1

6

(2 3)(2 3)x x

b) y = 3x2-4x+1 trên (-

2;3

) T=3x2 + 3x14

c) y = 1

13

x

x trên (1;+ ) T=

2 1

2

( 1)( 1)x x

d) y = 2

3

x

x trên (2; + ) T=

2 1

5

( 2)( 2)x x

e) y = | x+2| - | x-2 | trên (-2;2)

x (2;2) khi đó 2< x <2

x+2>0; x2<0 y= x+2 [(x2)]=2x T=2 hàm số đống biến

4. Với giá trị nào của a thì các hàm số sau đồng biến,nghịch biến trên các khoảng xác định của

nó

a) y = f(x) = 2x

a T=

1 2( 2)( 2)

a

x x

b) y = f(x) = x

a 1 T=

1 2

( 1)a

x x

5. Xét tính chẵn , lẻ của các hàm số sau

a) y = ||

12 2

x

x D= \{0}; chẵn

b) y = x(|x|-2) D= ; lẻ

c) y = x2-2|x| D= ; chẵn

d) y = | x+3 | - | x-3 | D= ; lẻ

e) y = 2x+ | x+3 | + | x-1 | D= ; không chẵn, không lẻ

f) y = x7-

2

5

|| xx

xx

D= \{0} vì |x|+x

2 ≥ 0 x, dấu “=” khi x=0

g) y = 442 xx + | x+2 | D= ; chẵn vì 2 24 4 ( 2) | 2 |x x x x

h) y = |1||1|

|1||1|

xx

xx D= \{0}; lẻ

i) y = x1 D=[1;+) x D x D

j) y = 1

||3 x

xx D= \{1} x D x D (khi x=1)

k) Định m để hàm số y = f(x) = x2 + mx +m

2 ,xR ,là hàm chẵn.

f(-x) = x2mx+m

2

để f(x) chẵn khi m=m = m=0

6. Gọi (G) là đồ thị của hàm số y=2|x|, ta được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến (G):

a) lên trên 3 đơn vị;

b) sang trái 1 đơn vị;

-33-

c) sang phải 2 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị.

BÀI TẬP THÊM 3 1/ Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a/ y = 1x

3x4

b/ y =

3x

1x22

c/ y = 4x

12

d/ y = 5x2x

1x2

e/ y = 6xx

22

f/ y = 2x

g/ y = 2x

x26

h/ y =

1x

1

+

2x

3

i/ y = 3x + x4

1

j/ y =

1x2)3x(

1x

k/ y = 2 4 5x x l/ 2 4y x .

m) y = 65

3

2

xx o) y =

23

212

2

xx

)x)(x(

p)y = )x)(x( 343 q) y = 12

2

x)x(

r) y =12

12

|x|

x - 3 5x3 s) y = x + x1

2. Tìm m để tập xác định hàm số là (0 , + )

a) y = 12 mxmx

b) y = 1

432

mx

mxmx ĐS: a) m > 0 b) m > 4/3

3. Định m để hàm số xác định với mọi x dương

a/ 1 4y x m x m b/ 2x m

y x mx m

4. Xét sự biến thiên của các hàm số trên khoảng đã chỉ ra :

a/ y = x2 4x (-, 2) ; (2, +)

b/ y = 2x2 + 4x + 1 (-, 1) ; (1, +)

c/ y = 1x

4

(1, +)

d/ y = x3

2

(3, +)

e/ y = 1x

x3

(, 1)

f/ y = 1x

6. Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số :

a/ y = 4x3 + 3x b/ y = x

4 3x

2 1

c/ y = 3x

12

d/ y = 2x31

e/ y = |1 x| + /1 + x| f/ y = |x + 2| |x 2|

g/ y = |x + 1| |x 1| h/ y = x1 + x1

i/ y = | x|5.x

3 k/

x x

2+x xy

-34-

l/ y =

11

110

11

2

2

x;x

x;

x;x

m) y =

1

110

1

2

2

x;x

x;

x;x

-35-

y

xO

D

C

B

A

4

42

y

xO

§2 HÀM SỐ y= ax + b

1. Hàm số bậc nhất

Hàm số dạng y = ax + b , a;b và a≠ 0. Hệ số góc là a

Tập xác định: D =

Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến trên

a < 0 hàm số nghịch biến trên

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số: là một đường thẳng. Đồ thị không song song và trùng với các trục tọa độ,

cắt trục tung tại điểm (0;b) và cắt trục hoành tại (-b/a;0).

2. * Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta có:

(d) song song (d’) a=a’ và b≠b’

(d) trùng (d’) a=a’ và b=b’

(d) cắt (d’) a≠a’.

(d)(d’) a.a’= 1

2. Hàm số hằng y=b

Đường thẳng y= b là đường thẳng song song hoặc trùng trục Ox và cắt Oy tại điểm có

tọa độ (0;b).

Đường thẳng x= a là đường thẳng song song hoặc trùng trục Oy và cắt Ox tại điểm có

tọa độ (a;0)

3. Hàm số bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y= |ax+b|

Muốn vẽ đồ thị hàm số baxy ta làm như sau:

+ Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b

+ Xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành

Ví dụ 1: Khảo sát vè vẻ đồ thị hàm số y= | x | (Xem SGK tr.42)

Ví dụ 2: Xét hàm số y=f(x)=

5x4 neáu

4x2 neáu

x0 neáu

62

42

1

21

x

x

x

Đồ thị (hình)

Ví dụ 3 : Xét hàm số y=|2x-4|

Hàm số đã cho có thể viết lại như sau :

y=

2x neáu

2x neáu

42

42

x

x

Đồ thị (hình)

Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).Vẽ

đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số ( ) ( )y g x f x .

Giải

Hàm số bậc nhất có dạng , 0y ax b a .

-36-

Đồ thị hàm số qua điểm A , B 4 2

2 4

b a

a b b

Vẽ đồ thị hàm ( ) 2 4g x x , ta vẽ đồ thị hai hàm số

2x neáu

2x neáu

42

42

x

xy trên cùng 1 hệ trục tọa độ, rồi bỏ đi phần phía trên trục Ox.

Vẽ đồ thị hàm ( ) 2 4g x x

x

y

o-2

-4

-4

Bảng biến thiên.

g(x)

-2x

0

BÀI TẬP §2-C2

2.1. Vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y= 2 x +1 b) y= 3 c) y= 2

73

x

e) y= 2

3x f) y=

3

5 x

2.2. Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y=|x|+2x b) y= |3x2|

c) 2

1 2

vôùi x>2

vôùi x

xy

d)

2 1 1

11

2

vôùi x

vôùi x<1

x

yx

e) g) y= | x |2

2.3. Xác định a, b để đồ thị của hàm số y= ax+b, biết:

a) Đi qua M(1;3) và N(1;2);

b) Đi qua M(2;3) và song song y=3x2 ;

c) Đi qua A(2

3;2) và B(0;1);

d) Đi qua C(1;2) và D(99;2);

e) Đi qua P(4;2) và Q(1;1).

2.4. Viết phương trình đường thẳng ứng với các hình sau:

a) b) 0

3

-2 x

y y

0 x 3

2

5

2

1

-37-

2.5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y= |2x3| b) y= |4

3 x+1| c) y= |2x|2x

2.6. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau:

a) y = 3x -2 và x = 4

5

b) y =-3x+2 và y = 4(x-3).

2.7 Tìm a để ba đường thẳng sau đồng qui:

y = 2x; y = -x-3 ; y = ax+5 ;

2.8 xác định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết

a) đi qua hai diểm (-1;-20) và (3;8)

b) đi qua (4;-3) và song song với đường thẳng y= 3

2x+1.

2.9. vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = f(x) =

0 x neáu

0 x neáu 2x,

,x - b) y = f(x) =

0x neáu 2x,-

0x neáu 1,x

-38-

1

+2-

y= -x2+4x-3

x

--

1

2

y

xO

y= -x2+4x-3

A

§3 HÀM SỐ BẬC HAI

1. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y= ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠

0

+ Tập xác định D=

+ Đỉnh I (2

b

a ;

4a

) với = b

24ac

+ Trục đối xứng là đường x = 2

b

a

2. Sự biến thiên

a > 0 a < 0

Hàm số nghịch biến trên khoảng

( -;2

b

a ) và đồng biến trên khoảng

(2

b

a ; +)

Bảng biến thiên

x -

2

b

a +

y + +

4a

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(-;2

b

a ) và đồng biến trên khoảng

(2

b

a ; +)

Bảng biến thiên

x -

2

b

a +

y

4a

- -

3. Cách vẽ đồ thị

-Xác định đỉnh : I

a2a

b

4; ; 2 4b ac (không có ' )

( Sau khi tính xI =2

b

a yI = 2

I Iax bx c . Khi đó I(xI ; yI )

-Vẽ trục đối xứng 2

bx

a

- Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các

điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng)

- Căn cứ vào tính đối xứng , bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại

(Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cũng là một parapol)

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = -x2+4x-3

Tập xác định : R

Đỉnh :I(2;1)

Trục đối xứng :x = 2

Bảng biến thiên :

Điểm đặc biệt :

x = 0 y = -3

y = 0 x = 1 hoặc x = 3

-39-

Ví dụ 2: dựa vào ví 1 vẽ đồ thị hàm số y = |-x2+4x-3|

Cách vẽ : vẽ y= -x2+4x-3 sau đó lấy đối xứng phần âm qua trục Ox

2

-2

5

Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai 22y x bx c biết đồ thị của nó

1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4.

2) Có đỉnh là (-1;-2)

3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2).

Giải

1) Trục đối xứng 1 42 4

b bx b

a

Cắt trục tung tại (0;4) 4 (0)y c

2) Đỉnh 2

1 42 4

4 16 82 0

4 8

b bx b

a

b ac cy c

a

3) Hoành độ đỉnh 2 82 4

b bx b

a

Đồ thị qua điểm (1;-2) 2 (1) 6 4y c c .

Tìm tọa độ giao điểm Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là ngiệm

của hệ phương trình

)(

)(

xgy

xfy. Phương trình f(x) = g(x) (*) được gọi là phương trình hoành

độ giao điểm của (C1) và (C2). Ta có:

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm.

+ Nếu (*) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n giao điểm.

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.

-40-

BÀI TẬP §3-C2

3.1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y= x2 + 2 x2 b) y= 2x

2 + 6 x +3 c) y = x

22x

d) y = x2+2x+3 e) y = x

2+2x2 f) y =

2

1x

2+2x-2

3.2. Xác định parapol y=2x2+bx+c, biết nó:

a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung tại điểm (0;4); Đáp số: b= 4, c= 4

b) Có đỉnh I(1;2); Đáp số: b= 4, c= 0

c) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(4;0); Đáp số: b= 31/4, c=1

d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1;2). Đáp số: b= 8, c= 4

3.3. Xác định parapol y=ax24x+c, biết nó:

a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(2;3); Đáp số: a= 3, c= 1

b) Có đỉnh I(2;1); Đáp số: a= 1, c= 5

c) Có hoành độ đỉnh là 3 và đi qua điểm P(2;1); Đáp số: a= 2/3, c= 13/3

d) Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành tại điểm M(3;0). ĐS a=1

3.4. Tìm parapol y = ax2+bx+2 biết rằng parapol đó:

a) đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1

b) đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x=4

3 Đáp số: a=

4

9, b=

2

3

c) có đỉnh I(2;-2) Đáp số: a=1, b=4

d) đi qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ 4

1 Đáp số: a=16, b=12 hoặc a=1, b=3

3.5. Xác định parapol y=a x2+bx+c, biết nó:

a) Đi qua ba điểm A(0;1), B(1;1), C(1;1); Đáp số: a=1, b=1, c= 1

b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4). Đáp số: a=1, b=2, c=3

c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12) Đáp số: a=3, b=36, c=96

d) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đi qua A(0;6). Đáp số: a=1/2, b=2, c=6

3.6. Viết phương trình của y=ax2+bx+c ứng với các hình sau:

-2

-4

-5 -3 O

2

-2

-5

-1

-1

-3 O

3.7. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số cho sau đây. Trong mỗi trường hợp vẽ đồ thị các

hàm số này trên cùng hệ trục toạ độ:

a) y = x-1 và y = x2-2x-1

b) y = -x+3 và y = -x2-4x+1

c) y = 2x-5 và y = x2-4x+4 .

3.8. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đồ thị hàm số đi

qua điểm A(0;6).

3.9. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt cực đại bằng 3 tại x=2 và đồ thị hàm số đi

qua điểm A(0;1).

a) b)

-41-

3.10. Vẽ đồ thị hàm số y= 22 82

3 3x x

3.11. Vẽ đồ thị hàm số y=x22|x|+1

-42-

BÀI TẬP ÔN CHƢƠNG 1.Tìm tập xác định của hàm số :

a/ y = x2 4x

4

b/ y =

x

x1x1

c/ y = 1xxx

xx32

2

d/ y =

x52

3x2x 2

e/ y = 1x

x232x

f/ y =

4xx

1x2

2. Xét sự biến thiên của hàm số.

a/ y = x2 + 4x 1 trên (; 2)

b/ y = 1x

1x

trên (1; +)

c/ y = 1x

1

d/ y = x23 e/ y =

2x

1

3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :

a/ y = 1x

2xx2

24

b/ y = 2x

c/ y = x3x3 d/ y = x(x2 + 2x)

e/ y = 1x1x

1x1x

f/ y =

1x

xx2

3

4.Cho hàm số y = 1x

1

a/ Tìm tập xác định của hàm số. b/ CMR hàm số giảm trên tập xác định.

5.Cho hàm số : y = x 2x

a/ Khảo sát tính chẵn lẻ.

b/ Khảo sát tính đơn điệu

c/ Vẽ đồ thị hàm số trên

6.Cho hàm số y = x5x5

a/ Tìm tập xác định của hàm số.

b/ Khảo sát tính chẵn lẻ.

7.Cho Parabol (P) : y = ax2 + bx + c

a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1)

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm được.

c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = 2x + m. Định m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ

tiếp điểm.

8.Cho y = x(x 1)

a/ Xác định tính chẵn lẻ.

b/ Vẽ đồ thị hàm số.

9.Cho hàm số y = mx4x 2

Định m để hàm số xác định trên toàn trục số.

10.Cho (P) : y = x2 3x 4 và (d) : y = 2x + m. Định m để (P) và (d) : Có 2 điểm chung phân biệt,

tiếp xúc và không cắt nhau.

-43-

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

-44-

...................................................................................................................................................................

-45-

Chƣơng III

PHƢƠNG TRÌNH-HỆ PHƢƠNG TRÌNH

§1 Đại cương về phương trình

I. Khái niệm phƣơng trình

1. Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) và y = g(x) lần lượt có tập xác định Df và Dg

. Đặt D = Df Dg , mệnh đề chứa biến x D có dạng : f(x) = g(x) được gọi là phương

trình một ẩn , x gọi là ẩn số của phương trình.

D : tập xác định của phương trình.

Nếu tồn tại x0 D sao cho f(x0) = g(x0) thì x0 được gọi là một nghiệm của phương

trình .

Tập hợp các x0 như trên gọi là tập nghiệm của phương trình.

Giải phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Nếu tập nghiệm là tập rỗng, ta nói phương trình vô nghiệm.

Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = x và g(x)= x . Khi đó : RxxD f |0

{ 0 | }gD x x R và x = x được gọi là phương trình theo ẩn số x.

2. Điều kiện của một phương trình là: điều kiện xác định của phương trình

Ví dụ: Tìm điều kiện của phương trình

a) 232

xx

x

b)

2

13

1x

x

c) x2= x

3. Phương trình nhiều ẩn

Phương trình có từ hai ẩn trở lên gọi là phương trình nhiều ẩn

Ví dụ: 2x+3y-z = 2; x2+3xy-2z = 0

Đối với phương nhiều ẩn các khái niệm về tập nghiệm ,phương trình tương tương đương ,phương

trình hệ quả,… cũng tương đương với phương trình một ẩn.

4. Phương trình chứa tham số Phương trình f(x) = g(x) có chứa những chữ cái ngoài các ẩn được gọi là phương trình

chứa tham số.

Ví dụ : (m+1)x + 2 = 0 chứa tham số m

ax+2 = | x-1| chứa tham số a.

Việc tìm tập nghiệm của phương trình chứa tham số gọi là giải và biện luận phương

trình đó.

II. Phƣơng trình tƣơng đƣơng , phép biến đổi tƣơng đƣơng

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau

(có thể là rỗng). Nếu cùng tập xác định D thì gọi là tương đương trên D.

Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết :

f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x).

Ví dụ 1: phương trình 2x-5=0 và 3x2

15=0 tương đương nhau vì cùng có nghiệm duy

nhất x=2

5.

Ví dụ 2: với x>0 thì hai phương trình x2=1 và x=1 tương đương nhau.

2. Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi một phương trình xác định trên D thành một

phương trình tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D.

(ta dùng dấu "" để chỉ sự tương đương của các phương trình)

-46-

Ví dụ: 2x-5=0 3x2

15=0

-47-

* Các phép biến đổi tương đương của phƣơng trình:

Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D. nếu h(x) xác định trên D thì

phương trình: )()()()()()( xhxgxhxfxgxf

Dxh(x)xhxgxhxfxgxf moïi vôùi neáu 0)()()()()()(

Hệ quả : Nếu chuyển một biểu thức từ một vế của một phương trình sang vế kia và đổi

dấu của nó thì ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

* Chú ý: Nếu 2 vế phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta

được phương trình tương đương.

Ví dụ 1:

3. Phƣơng trình hệ quả

a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x)=g(x) nếu

tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f(x)=g(x). Khi đó ta viết: f(x)=g(x)

f1(x)=g1(x)

b) Phép biến đổi cho phƣơng trình hệ quả :

Khi bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả.

* Chú ý: Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương

trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Khi đó ta phải thử lại các nghiệm để loại bỏ các

nghiệm ngoại lai.

Ví dụ 1: Giải phương trình 2

2 2 3 7

2 2 4

x x x

x x x

(1)

Điều kiện pt(1) là x≠2 và x≠2

(1) (x+2)2+(x2)

2= 3x+7

Hoặc: Với điều kiện x≠2 và x≠2 thì (1)(x+2)2+(x2)

2= 3x+7 (???)

Ví dụ 2:

a) |x2|=x+1 (x2)2=(x+1)

2

b) 1x =x x1= x

2.

Ví dụ 3: Giải phương trình 2x x (3)

Giải

Điều kiện x≥ 0. Bình phương hai vế phương trình (3)

x24x+4 = x x

25x+4=0 (3')

Phương trình (3') có nghiệm x=1 hoặc x=4

Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 không phải là nghiệm của (3) và x=4 là

nghiệm. Vậy pt(3) có ngiệm duy nhất x=4.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1/ Tìm điều kiện của các phương trình

a) 2

23

4

xx

x

b)

41

2

xx

x

c) 1

2 1xx

d) 2

2

23 1

2 1

xx x

x

e) 2

1 3

x

x x

f)

2

2 31

4

xx

x

Đáp số

a) x≤ 3, x≠ ± 2 b) Không có giá trị x thỏa c) x≥1/2 và x≠0 d) x Re) x>1

f) x≥1 và x≠2

2/ Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm

-48-

a) 3 1

32

xx

x

b) 4 3 4x x x

3) Giải các phương trình sau

a) 1 3 1x x x b) 5 2 5x x x

c) 2 1 3

3 3

x x

x x

d)

22 8

1 1

x

x x

ĐS: a) x=3 b) Vô nghiệm c) Vô nghiệm d) x=2

4) Giải các phương trình sau

a) 1 1 2x x x b) 3 3 3x x x

c) 2 2 3 4x x x d) 2 1 4 1x x x

e) 23 1 4

1 1

x

x x

f)

2 3 44

4

x xx

x

g) 23 2

3 23 2

x xx

x

h)

24 32 3

1 1

xx

x x

Đáp số: a) x=2 b) x=3 c) VNo d) x=2

e) VNo f) x=0 và x=2 g) x=4/3 h) x=2

5) Cho phương trình (x+1)2 =0 (1) và ax

2(2a+1)x+a=0 (2)

Tìm a để (1) tương đương (2)

HD

Giả sử (1)(2) thì x= 1 của (1) là nghiệm của 2. Thế x=1 và (2) ta tìm được a=1/4.

Khi a=1/4 thế vào (2) (x+1)2=0

Vậy (1) (2)

6) Tìm m để các cặp pt sau tương đương

a) x+2=0 và 3 1 03

mxm

x

b) x29=0 và 2x

2+(m5)x3(m+1)=0

c) 3x2=0 và (m+3)xm+4

d) x+2=0 và m(x2+3x+2)+ m

2x+2=0

Đáp số: a) m=1 b) m=5 c) m=18 d) m=1

BÀI TẬP (Đại cƣơng về phƣơng trình)

1/ Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nĩ

) )3 2 2 6

3) 3 ) 1

3

a x x b x x x

xc x x d x x x

x

2/ Giải các phương trình sau

) 1 2 1 ) 1 0,5 1

3 2) )

2 5 5 2 5 5

a x x x b x x x

x xc d

x x x x


1

12

1

1)

x

x

xxa

2

32

2

1)

x

x

xxb

03)23() 2 xxxc 01)2() 2 xxxd

-49-

4/ Giải các phương trình sau bằng cch bình phương hai vế

12|2|)2|1|2)

31)293)

xxdxxc

xxbxxa

5/ Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau bằng cách xét điều kiện

a) 4 x - 2 = x - x b) 3 2x = 2 x + 2 2

6/ Giải các phương trình sau :

a/ 1x = x1 b/ x + 3x = 3 + 3x

c/ 4x + 1 = x4 d/ x + x = x 2

e/ 2x

2x

=

2x

1

f/

1x

3

=

1x

2x

g/

3x

1x

=

x3

2


a/ x + 2x

1

=

2x

1x

b/ 1x (x

2 x 6) = 0

c/ 1x

2xx 2

= 0 d/ 1 +

3x

1

=

3x

x27

e/

2x

9x 2

=

2x

3x

8/ Giải các phương trình :

a/ x 1 = x + 2 b/ x + 2 = x 3 c/ 2 x 3 = x + 1

d/ x 3 = 3x 1 e/ x

x1 =

x

x1 f/

2x

x

=

2x

x

g/ x

1x =

x

1x h/

3x

2x

=

3x

x2

BÀI TẬP THÊM Bài 1: Giải các phương trình sau

a) x = x

b) 3x = 3 x +1

c) x+ 2x = 2+ 2- x

d) x+ 2x = 1+ 2x

e) 1

3

1

xx

x

f) 1

1

1

xx

x.

Bài 2: giải các phương trình sau

a) 1

12

1

1

x

x

xx

b) 2

32

2

1

x

x

xx

c) 3x (x2-3x+2) = 0

d) 1x (x2-x-2) = 0

e) 22

1

2

x

xx

x

f) 11

3

1

42

x

x

x

x

x .

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) 12 xx

b) 21 xx

c) 212 xx

d) 122 xx

-50-

e) 3 9 2x x f) 1 3x x

Bài 4: Giải các phương trình sau

a) 11

x

x

x

x

b) 1

2

1

2

x

x

x

x

c) x

x

x

x

22

d) 2

1

2

1

x

x

x

x .

-51-

§2 PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT,

BẬC HAI I. Phƣơng trình bậc nhất, phƣơng trình bậc hai

1. Phƣơng trình bậc nhất Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0

a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x= b

a

a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm

a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x (vô số nghiệm)

* Chú ý:

+ Trước khi giải và biện luận phương trình bậc nhất ta phải đưa phương

trình về dạng ax+b = 0 .

+ khi biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm được vào b .

+ Khi a 0 thì phương trình ax+b = 0 mới được gọi là phương trình bậc

nhất một ẩn.

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - 2 (1)

Giải

Phương trình (1) (m - 1)x = m2 + m – 2 (1a)

Ta xét các trường hợp sau đây :

+ Khi (m-1) ≠ 0 m ≠ 1 nên phương trình (1a) có nghiệm duy nhất

x = 2 2

1

m m

m

= m – 2 ;nên pt(1) có nghiệm duy nhất

+) Khi (m – 1) = 0 m = 1 . phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm

đúng với mọi x R; nên pt(1) đúng với mọi x R.

Kết luận : m ≠ 1 : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2})

m = 1 : đúng x R (Tập nghiệm là S = R)

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2)

Giải

Ta có (2) mx-m = 2x+1 (m-2)x = m+1 (2a) (có dạng ax+b =0)

Biện luận:

+ nếu m-2 0 m 2 thì (2a) có nghiệm duy nhất 2

1

m

mx

+ nếu m-2= 0 m = 2 thì (2a) trở thành 0x=3; pt này vô nghiệm, nên (2) vô

nghiệm.

Kết luận:

m 2 thì (2) có nghiệm 2

1

m

mx

m=2 thì (2) vô nghiệm.

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình m2x+2 = 2m-2 (3)

Giải

Ta có: (3) m2x-x = 2m-2 (m

2-1)x = 2(m-1) (3a)

Biện luận:

+ Nếu m2-1 0 m 1 thì (3a) có nghiệm duy nhất

1

2

1

)1(22

mm

mx ; nên (3) có nghiệm duy nhất.

-52-

+ Nếu m2-1=0 m= 1

- với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) đúng với mọi xR (phương

trình có vô số nghiệm), nên (3) có vô số nghiệm.

- với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vô nghiệm, nên (3) vô nghiệm.

Kết luận:

+ m≠1 và m≠ -1 thì (3) có nghiệm duy nhất 1

2

mx

+ m =1 thì (3) có vô số nghiệm

+ m= -1 thì (3) vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :

(*)11

3

x

mmx

Giải Với x -1 thì (*) mx-m-3 = x+1

(m-1)x = m+4 (**)

Biện luận (**) với x -1

+ Nếu m 1 thì (**) có nghiệm 2

31

1

41

1

4

m

m

m

m

mx

+ Nếu m=1: (**) 0x=4, vô nghiệm

Kết luận :

m 1 và m2

3 thì (*) có nghiệm x=

1

4

m

m

2

3

1

m thì (*) vô nghiệm

Ví dụ 5:giải và biện luận phương trình theo tham số m:

231 mxmx (1)

Giải

Ta có (1)

(3) 2m--3x1mx

(2) 231 mxmx

+ giải và biện luận (2)

(2) (m-3)x= m-3

. nếu m 3 thì (2) có nghịêm x=1

. nếu m=3 thì (2)0x = 0 =>(2) có vô số nghiệm

+ giải và biện luận (3)

(3)(m-3)x=-m+3

. nếu m -3 thì (3) có nghiệm x=3

1

m

m

. nếu m = -3 thì (3) 0x=4, vô nghiệm

Kết luận:

- với m 3 và m -3 : (1) có hai nghiệm x1=1 và x2 =3

1

m

m

- với m=3: (1) có vô số nghiệm

- với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) )

2. Phƣơng trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai) Giải và biện luận phương trình dạng ax

2+bx+c = 0

a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0

-53-

a ≠ 0 . Lập = b2 4ac (hoặc ’=b’

2-ac)

Nếu > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt

x = 2

b

a

v x =

2

b

a

Nếu = 0 : phương trình có nghiệm kép : x = 2

b

a

Nếu < 0 : phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 = 0

Giải Phương trình cho đã có dạng phương trình đã học. Biện luận:

. Nếu m = 0 ( thay m = 0 vào phương trình ta được -2x+1= 0 => x=2

1

. Nếu m 0 , tính ' = m+1, khi đó :

+ nếu ' < 0 m < -1 pt vô nghiệm

+ nếu ' = 0 m = -1 pt trình có nghiệm kép x1=x2 = 0

+ nếu ' > 0 m > -1 pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 = m

mm 11

* Kết luận:

Ví dụ 2: Định m để phương trình

mx2-2(m-2)x+m-3 = 0 có nghiệm

3. Định lí Viét

Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng (S) và tích

(P) của hai nghiệm đó là:

S = x1+x2 = a

b P = x1.x1 =

a

c

Ngược lại, nếu hai số u, v có S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm của phương trình x2-

Sx+P = 0.

Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84

Giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x2-19x+84 = 0 ,pt này có hai

nghiệm

12

7

2

1

x

xhoặc

12

7

2

1

x

x vậy hai số cần tìm là 7 và 12.

* Chú ý: điều kiện để phương trình x2-Sx+p =0 có nghiệm là S

24P . Đây cũng là điều

kiện để tồn tại hai số có tổng là S, tích P.

* Ứng dụng

PSxxxxxx 22)( 2

21

2

21

2

2

2

1

P

S

xx

21

11

PSSxxxxxxxx 3)(3)( 3

2121

3

21

3

2

3

1

4 4

1 2x x 2

2 2 2 2

1 2 1 22x x x x =(S22P)

22P

2

Ví dụ 1: Cho phương trình x24x+m1= 0. Xác định m để phương trình có hai

nghiệm 2 2

1 2x x =10.

Điều kiện pt có nghiệm '≥0 5m≥0 m≤5

S22P = 10 m =4.

-54-

Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x2-4x+m-1= 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức

403

2

3

1 xx

Giải

Phương trình có nghiệm ' 0 5m

Theo giả thiết 403

2

3

1 xx S3-3PS=40 64-12(m-1)=40 m= 4 (nhận)

* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai

Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì:

x1< 0 < x2 P < 0 (hai nghiệm trái dấu)

x1x2 < 0

0

0

0

S

P

( hai cùng âm)

0 < x1x2

0

0

0

S

P

(hai cùng dương)

Ví duï: cho phöông trình

x2+5x+3m-1 = 0 (1)

a) Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu.

b) Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm aâm phaân bieät.

Giaûi

a) pt(1) coù hai ngheäm traùi daáu

P < 0 0130 ma

c m <

3

1

b) ñeå phöông trình coù hai nghieäm aâm phaân bieät

0

0

0

S

P

05

041225

013

m

m

12

29

3

1

m

m

3

1

12

29 m vaäy khi

3

1

12

29 m thì pt(1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät.

II. Phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc nhất, bậc hai

1. Phương trình trùng phương

Phương trình dạng ax4 + bx

2 + c =0

Cách giải:

+ đặt t=x2, đk: t≥ 0.

+ Giải phương trình: at2 + bt + c=0

+ kết hợp điều kiện x

Ví dụ: Giải phương trình x48x

29 = 0

Ñaët y = x2 , y 0. Khi ñoù:

(*) y2-8y-9 = 0

9y

(loaïi) -1y vôùi y = 9 x

2 = 9 x = 3 .

Ví duï 2: Cho phöông trình x4+(1-2m)x

2+m

2-1 = 0. Ñònh m ñeå :

a) Phöông trình voâ nghieäm.

b) Phöông trình coù ñuùng moät nghieäm.

c) Phöông trình coù ñuùng 2 nghieäm phaân bieät.

d) Phöông trình coù ñuùng 3 nghieäm phaân bieät.

e) Phöông trình coù ñuùng 4 nghieäm phaân bieät.

-55-

2. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Cách giải: Sử dụng định nghĩa hoặc bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối.

Các dạng cơ bản

Dạng 1: |f(x)| = c (với c R)

Nếu c<0 phương trình vô nghiệm

Nếu v≥0 thì |f(x)| = c ( )

( )

f x c

f x c

Ví dụ: a) 3 5 3 x b) 3 5 x

Dạng 2: |f( x )|= |g( x )|. Sử dụng phép biến đổi tương đương

Cách 1: |f( x )|= |g( x )| ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

Cách 2: |f( x )|= |g( x )| [f(x)]2 = [g(x)]

2 (bình phương hai vế)

Ví dụ: Giải phương trình |2x+5|=|3x2|

Giải

Cách 1: |2x+5|=|3x2|

72 5 3 2

32 5 (3 2)

5

xx x

x x x

Vậy pt đã cho có hai nghiệm x=7 và x= 3/5

Dạng 3: |f( x )|= g( x )

Cách 1: : dùng phép biến đổi tương đương

|f( x )|= g( x ) 2 2

( ) 0( ) 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

g xg x

f x g xf x g x

f x g x

Cách 2: Dùng định nghĩa để bỏ giá trị tuyệt đối

+ Nếu f( x )≥0 thì phương trình trở thành f( x )=g( x )

+ Nếu f( x )<0 thì phương trình trở thành f( x )=g( x ).

Ví dụ 1: Giải phương trình | x3|= 2 x +1

| x3|= 2 x +1

2 2

1

2

4 (loai)3 2 1

( 3) (2 1) 23 2 1 (nhan)

3

x

xx x

x xx x x

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

3

Ví dụ 2: Giải pt x2-5 | x-1| -1 = 0 (1)

Giải

* Nếu x-1 0 x 1 thì :

(1) x2-5x+5-1 = 0

(nhaän) 4x

(nhaän) 1x(I)

* Nếu x-1 < 0 x < 1 thì:

(1) x2+5x-6 = 0

(nhaän) -6x

(loaïi) 1x(II)

S = (I) (II) = { -6;1;4 }.

Chú ý: Đưa phương trình về dạng cơ bản

-56-

3. Phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu căn (phƣơng trình vô tỉ)

Cách giải:

- Bình phương hai vế + đặt điều kiện để làm mất căn

- Đặt ẩn phụ

Các dạng cơ bản

Dạng 1: ( ) ( )f x g x , ta sử dụng phép biến đổi tương đương

( ) 0

( ) ( )( ) ( )

f xf x g x

f x g x

(có thể chọn điều kiện g(x)≥0)

Ví dụ:

Dạng 2: ( ) ( )f x g x , ta sử dụng phép biến đổi tương đương

2

( ) 0( ) ( )

( ) ( )

g xf x g x

f x g x

Ví dụ: Giải phương trình 2 7 4x x

472 xx

0910

4

)4(72

04

22 xx

x

xx

x

9-x

(loaïi) 1

4

x

x

vậy nghiệm của phương trình là x = 9.

Dạng 3: ( )f x c ( c )

Nếu c<0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu c≥0 thì ( )f x c f(x) = c2

Ví dụ: Giải phương trình 3 5 3x

Dạng 4: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0f x g x f x g x

* Chú ý: Biến đổi phương trình đã cho về dạng cơ bản (nếu được)

BÀI TẬP ÁP DỤNG §2 C3

1/ Giải các phương trình

a/ x4 4x

2 + 3 = 0 b/ x

4 + 10x

2 9 = 0

c/ x4 3x

2 4 = 0 d/ x

4 x

2 12 = 0

e/ x4 x

2 + 3 = 0 f/ (1 x

2)(1 + x

2) + 3 = 0

2/ Giải và biện luận các phương trình sau

a) (m+2)(x-2) + 4 = m2

b) (x+2)(m+3) + 9 = m2

c) (1-m3)x+1+ m + m

2 = 0

d) (m+1)x + m2-2m + 2 = (1-m

2)x -x

e) x+(m-1)2 -2mx = (1-m)

2 + mx

f) x +m2x+2 = m + 4

3/ Cho phương trình (m2 - 3m)x + m

2 - 4m +3 = 0 , định m để :

a) Phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Phương có nghiệm duy nhất x = 2.

c) Phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có vô số nghiệm.

-57-

4/ Cho phương trình (-x+m)m + 2m +1 = (m+1)2 - m

2x ,định m để :

a) Phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Phương trình có vô số nghiệm.

c) Phương trình vô nghiệm.

5/ Cho phương trình mx+m2+1 = (x+2)m ,định m để :

a) Phương trình vô nghiệm.

b) Phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Phương trình có vô số nghiệm.

6/ Tìm hai số có:

a) Tổng là 19, tích là 84 b) Tổng là 5, tích là -24

c) Tổng là -10, tích là 16.

7/ Cho phương trình x2+(2m3)x+m

22m=0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm

các nghiệm trong trường hợp đó.

Đáp số: a) m<9/4; b) m=2; 1,2

7 7

2x

8/ Cho phương trình mx2+(m

23)x+m = 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

1 2

13

4x x

Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3; b) m=4; m=3/4

(câu b khi tìm m xong thế vào kiểm tra lại)

9/ Cho phương trình x2+(2m-3)x+m

2-2m = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để phương trình vô nghiệm.

c) Xác định m để phương trình kép.

d) Với giá trị của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các

nghiệm trong trường hợp đó.

Đáp số: a) m<4

9 b) m>

4

9 c) m=

4

9 d) m= -2;

2

1772,1

x

10/ Cho phương trình mx2+(m

2-3)x+m = 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

3

1421 xx .

Đáp số: a) m=1 hoặc m= -3 x= 1; m= -1 hoặc m=3 x= -1

11/ Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m

2 -3m + 4 = 0 (x

2 – 2(m – 1)x - 4m + 8 = 0)

a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt.

b. Tìm m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

c. Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho:

i) x1 + x2 = 4 ii) x1. x2 = 8

Tính các nghiệm trong mỗi trường hợp đó.

12/ Cho pt: x2 – (m + 1)x + m -3 = 0

a. CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b. Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu

c. Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt

13/ Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = 0 ( m là tham số)

-58-

a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt.

b. Tìm m để pt có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia.

c. Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2 . (ĐS: m = 1)

14/ a. Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + 6 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có

hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 102

2

2

1 xx (ĐS: m = -3)

b. Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai

nghiệm x1 và x2 sao cho: 2 2

1 2 1 2 4x x x x (ĐS: m = 2 v m = ¼)

c. Cho phương trình: x2 - 3x + m -2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai

nghiệm x1 và x2 sao cho: 3 3

1 2 9x x (ĐS: m = 4)

15/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x1 và x2 thỏa: x1 = 3x2 :

a. x2 - 2(m –2)x + 4m + 8 = 0 (ĐS: m = 10 v m = -2/3)

b. mx2 - 2(m + 3)x + m - 2 = 0 (ĐS: m = -1 v m = 27)


a) |2x3|= x5 b) |2x+5| = |3x2| c) |4x+1| = x2 + 2x4

d) |x3|=|2x1| e) |3x+2|=x+1 f) |3x5|= 2x2+x3

g)* | 3 1|

| 3 |2

xx

x

h)*

| 5 2 || 2 |

3

xx

x

Đáp số:a) Vô nghiệm b) x=7; x=3/5 c)) 1 6; 3 2 3x x

d) x=2; 4/3 e) x= 1/2;3/4 f) x= 1 5

g) x= 5; x=1; x= 2 2 1 h) 2 6; 3 17x


a) 3x - 4 = x + 2 b) x + 3 = x2 – 4x +3

c) 5x + 1 = 2x - 3 d) x2 - 4x - 5 = 2x

2 – 3x -5

e) x2 + 2 x - 3 = 0 f) x

2 -3 x - 2 + 2 = 0

g) 3

165242

xxx h)

3

15122

xxx

k) x

x

x

x 2

1

3

l)

xx

x

xx

x

2

12

1

11

m) x + 1 + x - 2 = 3


a) 2 4 9 5x x b) 2 7 10 3 1x x x c) 2 3 3x x

d) 3 4 3x x e) 21 2 3 2x x x f) 22 3 7 2x x x

g) 23 4 4 2 5x x x

Đáp số: a) 6 2

2x

b) x=1 c) Vô nghiệm

d) x= (9 29) / 2 e) (1 7) / 2 f) Vô nghiệm

g) x= 1; 3


a/ 3x + 4 = x 2 b/ 3x2 2 = 6 x

2

c/ 3x 1 = 2x + 3 d/ x2 2x = 2x

2 x 2

e/ x2 2x = x

2 5x + 6 f/ x + 3 = 2x + 1

g/ x 2 = 3x2 x 2 h/ x

2 5x + 4 = x + 4

i/ 2x2 3x 5 = 5x + 5 j/ x

2 4x + 5 = 4x 17

20/ Giải các phương trình chứa căn thức :

-59-

a/ 1x9x3 2 = x 2 b/ 2x3x2 = 2(x 1)

c/ 2x3 = 2x 1 d/ 7x2 = x 4

e/ 1x3x2 = 2x 7 f/ 2 2x1 = x 2

g/ 2xx64 = x + 4 h/ 8x2 = 3x + 4

i/ x41 9 = 3x j/ x 5x2 = 4


a) 1133 xx b. xx 8105

c) 452 xx d. 2542 2 xxx

e) 4652 2 xxx f) 52443 2 xxx

g) 583 xx h) 265123 xx

k) 093 22 xxxx l) 641282 22 xxxx

22/ Giải các phương trình :

a/ 2x3x2 = x2 3x 4 b/ x

2 6x + 9 = 4 6x6x2

c/ 4 1x7x2 = x2 + 7x + 4 d/ x

2 + x + 1xx2 = 4

e/ x2 + xx2 9 = x + 3 f/ 7x12x6 2 = x

2 2x

g/ x2 + 11 = 7 1x2

h/ x2 4x 6 = 12x8x2 2

i/ (x + 1)(x + 4) = 3 2x5x2

j/ x2 3x 13 = 7x3x2

23/ Giải và biện luận các phương trình sau

a) |4x-3m|=2x+m b) |3x-m| = |2x+m+1|

c) 2)12(1

)13(2)3(

xm

x

mxm d) |3x+2m| = x-m

e) |2x+m| = |x-2m+2| f) mx2+(2m-1)x+m-2 = 0

g) 112

24

m

x

x

PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN

1/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

a/ 2mx + 3 = m x b/ (m 1)(x + 2) + 1 = m2

c/ (m2 1)x = m

3 + 1 d/ (m

2 + m)x = m

2 1

e/ m2x + 3mx + 1 = m

2 2x f/ m

2(x + 1) = x + m

g/ (2m2 + 3)x 4m = x + 1 h/ m

2(1 x) = x + 3m

i/ m2(x 1) + 3mx = (m

2 + 3)x 1

j/ (m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + 2

2/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a, b :

a/ (a 2)(x 1) = a2

b/ a(x + 2) = a(a + x + 1)

c/ ax + b3 = bx + a

3 d/ a(ax + 2b

2) a

2 = b

2(x + a)

7. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

a/ 2x

1mmx

= 3 b/ (m 2)

1x

)4m(2

= 0

-60-

c/ 1x

2

= m d/

1x

m

=

2x

m1

e/ 1x

mx

+

mx

1x

= 2 f/

1x

mx

+

x

3x = 2

g/ 1x

mx

=

1x

2x

h/

mx

2mmx

= 2

i/ 1x

mx

=

2x

3x

j/

2x

mx

+

x

3x = 2

3/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

a/ x + m = x m + 2 b/ x m = x + 1

c/ mx + 1 = x 1 d/ 1 mx = x + m

4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

a/ m(2x 1) + 5 + x = 0

b/ m2x 2m

2x = m

5 + 3m

4 1 + 8mx

c/ mx

2x

=

1x

1x

5/ Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.

a/ m2(x 1) + 2mx = 3(m + x) 4

b/ (m2 m)x = 12(x + 2) + m

2 10

c/ (m + 1)2x + 1 m = (7m 5)x

d/ 1x

mx

+

x

2x = 2

6/ Tìm m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R

a/ m2(x 1) 4mx = 5m + 4

b/ 3m2(x 1) 2mx = 5x 11m + 10

c/ m2x = 9x + m

2 4m + 3

d/ m3x = mx + m

2 m

PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 :

a/ x2 (2m + 1)x + m = 0

b/ mx2 2(m + 3)x + m + 1 = 0

c/ (m 1)x2 + (2 m)x 1 = 0

d/ (m 2)x2 2mx + m + 1 = 0

e/ (m 3)x2 2mx + m 6 = 0

f/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m 5 = 0

g/ (4m 1)x2 4mx + m 3 = 0

h/ (m2 1)x

2 2(m 2)x + 1 = 0

2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

a/ x2 2mx + m

2 2m + 1 = 0

b/ x2 2(m 3)x + m + 3 = 0

c/ mx2 (2m + 1)x + m 5 = 0

d/ (m 3)x2 + 2(3 m)x + m + 1 = 0

e/ (m + 1)x2 2mx + m 3 = 0

f/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0

g/ (m 2)x2 2mx + m + 1 = 0

h/ (3 m)x2 2mx + 2 m = 0

3. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

a/ x2 (2m + 3)x + m

2 = 0

b/ (m 1)x2 2mx + m 2 = 0

c/ (2 m)x2 2(m + 1)x + 4 m = 0

-61-

d/ mx2 2(m 1)x + m + 1 = 0

e/ x2 2(m + 1)x + m + 7 = 0

f/ (m 1)x2 3(m 1)x + 2m = 0

g/ (m + 2)x2 + 2(3m 2)x + m + 2 = 0

h/ (2m 1)x2 + (3 + 2m)x + m 8 = 0

4. Tìm m để phương trình có nghiệm.

a/ x2 (m + 2)x + m + 2 = 0

b/ x2 + 2(m + 1)x + m

2 4m + 1 = 0

c/ (2 m)x2 + (m 2)x + m + 1 = 0

d/ (m + 1)x2 2(m 3)x + m + 6 = 0

5. Định m để phương trình có 1 nghiệm.

a/ x2 (m 1)x + 4 = 0

b/ x2 2(m 1)x + m

2 3m + 4 = 0

c/ (3 m)x2 + 2(m + 1)x + 5 m = 0

d/ (m + 2)x2 (4 + m)x + 6m + 2 = 0

B. ĐỊNH LÝ VIÉT

1. Định m để phương trình có 1 nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại.

a/ 2x2 (m + 3)x + m 1 = 0 ; x1 = 3

b/ mx2 (m + 2)x + m 1 = 0 ; x1 = 2

c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0 ; x1 = 2

d/ (4 m)x2 + mx + 1 m = 0 ; x1 = 1

e/ (2m 1)x2 4x + 4m 3 = 0 ; x1 = 1

f/ (m 4)x2 + x + m

2 4m + 1 = 0 ; x1 = 1

g/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0 ; x1 = 2

h/ x2 2(m 1)x + m

2 3m = 0 ; x1 = 0

2. Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện :

a/ x2 + (m 1)x + m + 6 = 0 đk : x1

2 + x2

2 = 10

b/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0 đk : x1

2 + x2

2 = 2

c/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0 đk : 4(x1 + x2) = 7x1x2

d/ x2 2(m 1)x + m

2 3m + 4 = 0 đk : x1

2 + x2

2 = 20

e/ x2 (m 2)x + m(m 3) = 0 đk : x1 + 2x2 = 1

f/ x2 (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 đk : x1 = 2x2

g/ 2x2 (m + 3)x + m 1 = 0 đk :

1x

1 +

2x

1 = 3

h/ x2 4x + m + 3 = 0 đk : x1 x2 = 2

3. Tìm hệ thức độc lập đối với m :

a/ mx2 (2m 1)x + m + 2 = 0

b/ (m + 2)x2 2(4m 1)x 2m + 5 = 0

c/ (m + 2)x2 (2m + 1)x +

4

m3 = 0

d/ 3(m 1)x2 4mx 2m + 1 = 0

e/ mx2 + (m + 4)x + m 1 = 0

f/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m 4 = 0

C. DẤU CÁC NGHIỆM SỐ

1. Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

a/ x2 + 5x + 3m 1 = 0

b/ mx2 2(m 2)x + m 3 = 0

c/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0

d/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m 2 = 0

e/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0

-62-

2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.

a/ x2 2(m + 1)x + m + 7 = 0

b/ x2 + 5x + 3m 1 = 0

c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0

d/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m = 0

e/ x2 + 2x + m + 3 = 0

3. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương.

a/ mx2 2(m 2)x + m 3 = 0 b/ x

2 6x + m 2 = 0

c/ x2 2x + m 1 = 0 d/ 3x

2 10x 3m + 1 = 0

e/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m 2 = 0

4. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.

a/ (m 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0

b/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m 1 = 0

c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0

d/ (m + 1)x2 2mx + m 3 = 0

e/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0

Bài toán lập phương trình:

1. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nửa tuổi của em sẽ bằng bình

phương sồ tuổi của em cách đây 5 năm . (ĐS: 9 tuổi)

2. Tuổi của anh hiện nay gấp đôi tuổi của em, biết rằng sau 48 năm nữa tuổi của

anh bằng bình phương số tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi của em hiện nay? (ĐS: 8 tuổi) 3. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết cạnh dài nhất hơn cạnh thứ

hai là 2m và cạnh thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m. (ĐS: 12m ; 35m ; 37m) 4. Chu vi một hình thoi bằng 34cm , hiệu hai đường chéo bằng 7cm. Tính độ dài

hai đường chéo? (ĐS: 8cm ; 15cm)

5. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều

rộng thêm 3m và chiều dài tăng 4m thì diện tích miếng đất tăng gấp đôi. Hỏi

kích thước miếng đất lúc đầu? (ĐS: 6m ; 12m)

6. Một miếng đất hình vuông. Nếu tăng một cạnh thêm 30m thì được miếng đất

mới hình chữ nhật có diện tích gấp 3 lần diện tích lúc đầu. Hỏi cạnh của

miếng đất lúc đầu? (ĐS: 15m)

7. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông có chu vi bằng 30m, biết hai

cạnh góc vuông hơn kém nhau 7m? (ĐS: 5m ; 12m ; 13m)

8. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi và diện tích của tam

giác lần lượt bằng 120m và 480m2 . (ĐS: 20m ; 48m ; 52m)

-63-

PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

1/ Phƣơng trình bậc nhất hai ẩn Dạng : cbyax

+ Trong đó x, y gọi là ẩn số ; a, b, c R a và b là hệ số và a2+b

2 0 ; c gọi là hằng số của phương trình

+ Nếu tồn tại cặp số thực x0, y0 sao cho ax0 + by0 = c thì (x0, y0) gọi là một nghiệm của phương trình

*Giải và biện luận phƣơng trình cbyax do a,b không đồng thời bằng không nên có 3 trường hợp:

a) a 0 và b 0 :

Ta có : b

axcy

(x R) hoặc

a

bycx

(y R)

Vậy nghiệm của phương trình là :

b

axcy

Rx hoặc

Rya

bycx

b) a = 0 và b 0 : phương trình có dạng cbyx .0


b

cy

Rx

c) a 0 và b = 0 : phương trình có dạng : cyax .0


Rya

cx

Vậy phương trình ax+by=c có vô số nghiệm.

* Chú ý:

Nếu a = b = 0 thì phương trình có dạng 0x+0y = c, khi đó:

+ nếu c 0 phương trình vô nghiệm.

+ nếu c = 0 phương trình có vô số nghiệm.

2. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn (CB không giải và biện luận) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng :

(6)

(5)

cybxa

cbyax

Trong đó : x , y gọi là ẩn số . a và b ; a/ và b

/ không

đồng thời bằng 0 .

Nếu tồn tại cặp số thực (x0 , y0) nghiệm đúng đồng thời cả hai phương trình trong hệ trên thì (x0 , y0) được

gọi là nghiệm của hệ phương trình.

Giải phương trình là đi tìm tập nghiệm của phương trình đó.

Các khái niệm hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ quả cũng tương tự như ở phương trình.

* Giải và biện luận hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn số :

Cho hệ phương trình :

cybxa

cbyax với a và b ; a

/ và b

/ không đồng thời bằng 0

Lập các biểu thức : D = ba

ba

= ab

/ - a

/b Dx =

bc

bc

= cb

/ - c

/b Dy =

ca

ca

= ac

/ - a

/c

Nếu D 0 : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x , y) với :

D

Dx x và

D

Dy

y

Nếu D = 0 : + Nếu Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ phương trình vô nghiệm

+ Nếu Dx = Dy = 0 thì tập nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của phương trình bậc nhất ax + by = c.

* Chú ý 1 : Các biểu thức để tìm D ; Dx ; Dy được gọi là công thức Cramer

* Chú ý 2 : Trường hợp = a/ = b = b

/ = 0 .

Hệ phương trình có dạng :

cyx

cyx

00

00

-64-

+ Nếu c = c/ = 0 thì hệ phương trình có nghiệm với mọi x , y tùy ý

+ Nếu c 0 hoặc c/ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm

* Chú ý 1:

(5) cắt (6) D≠0

(5) //(6) D=0 và Dx≠0 (hoặc Dy≠0)

(5) trùng (6) D=Dx =Dy=0

* Chú ý 2: Nếu a=b=0 hoặc a'=b'=0 thì ta có các hệ phương trình đặc biệt :

'00 cyx

c0y0x V

c'0y0x

cbyax V

c'yb'xa'

c0y0x

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

247

1332

yx

yx

Giải

Ta có 029)21(84 7

3- 2D

584 2

3- 13Dx 87

2 7

13 2Dy

vậy hệ có nghiệm duy nhất:

329

87

229

58

D

Dyy

D

Dxx

Ví dụ 2: giải và biện luận hệ phương trình sau:

2

1

myx

mymx

Giải

Ta tính: D, Dx, D )1)(1(1m 1

1 m2 mmmD

)2)(1(2m 2

1 1m2

mmmmDx

12 1

1m m

mDy

Biện luận:

+ Nếu D 0 m -1 và m 1. Hệ có nghiệm duy nhất với:

1

1

)1)(1(

1

1

2

)1)(1(

)2)(1(

mmm

my

m

m

mm

mmx

+ Nếu D= 0 m=-1 hoặc m=1

. với m=-1 => Dx=-2 0 => hệ vô nghiệm

. với m=1 => Dx=Dy = 0 => hệ có vô số nghiệm với

2

x

y x

hoặc

2

y

x y

Kết luận: + Với m 1 hệ có nghiệm duy nhất 2 1

;1 1

mx y

m m

+ Với m= 1 hệ vô nghiệm

-65-

+ Với m=1 hệ có vô số nghiệm, tính theo công thức2

x

y x

-66-

3. Hệ phƣơng trình bậc nhất 3 ẩn * Phương trình bậc nhất 3 ẩn là phương trình có dạng ax+by+cz=d, trong đó x, y, z là 3 ẩn; a, b, c, d là

các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

* Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x+b y+c =d

a x+b y+c =d

a x+b y+c =d

Mỗi bộ (x0;y0;z0) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ gọi là một nghiệm của

hệ.

Ví dụ: Giải hệ phương trình

a)

2 3 4

3 2 3 9

4 5 8 15

x y z

x y z

x y z

Đáp án: x=2; y=3; z=1

b)

2 2 4

4 3 3 4

6 5 4 4

x y z

x y z

x y z

Đáp án: x=1; y=2; z=2

BÀI TẬP HỆ PHƢƠNG TRÌNH

1/ Giải các hệ phương trình sau:

a.

1838

1925

yx

yx b.

222

3

3

2

132yx

yx

c.

13)2(7)2(2

11)2(4)2(522

22

yyxx

yyxx d.

21

23

81

12

yx

yx

e.

14415

1312

yx

yx f.

111522

71223

yx

yx

g.

121725

21523

yx

yx h/

3yx2

7y3x822

22

ĐS: a. (3;-2) b. (-6;12) c. (1; 1),(-3; 1) d.

4

3;

2

1

e. (1; 1),(-3; 1) f. VN g. (-3; 2), (-3; 0), (-1; 2), (-1; 0)

2/ Giải các hệ phương trình sau:

a.

2275

17423

0

zyx

zyx

zyx

b.

72

62

32

zyx

zyx

zyx

c.

333

733

432

zyx

zyx

zyx

d.

233

63

22

zyx

zyx

zyx

ĐS: a. (1;3;2) b. (-1;2;3) c. vn d. (x,y,z) tùy ý

3/ Tìm a và b để hệ phương trình

aybx

abyax

942

26 có nghiệm (-3; 2)

-67-

4/ Giải và biện luận các hệ phương trình sau :

a/

1m2ymx

m3myx b/

1mmyx)1m(

m2myx)2m(

c/

1mymx2

2myx)1m( d/

my)1m(x3

2y)1m(x)1m(

e/

myx2

1my2mx f/

mymx

1mymx

g/

1m3y)3m(mx

m4y8x)1m( h/

mmyx

2mymx

i/

01myx

1ymx j/

3m2my3mx

1myx

5/ Giải và biện luận hệ phương trình.

a/

1baybx

1abyax b/

ab2aybx

babyax 22

c/

2

2

bybx

ayax d/

b4ybbx

babyax2

2

7/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

a/

2myx

1mymx b/

7m3mymx2

05my)5m(mx

c/

1m3y)3m(mx

m4y8x)1m( d/

2myx)1m(

3y)m2(mx6

8/ Định m để hệ phương trình vô nghiệm.

a/

02y2)yx(m

3y)1m(3xm2 2

b/

1m3y)1m(x)3m3(

m2myx)1m(

c/

y6x)1m(

3m2y4mx d/

1myx)1m(3

1my2x3

9/ Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm.

a/

4myx2

my2mx 2

b/

3my2x)6m(

m1myx4

c/

3y3mx

3myx3 d/

4m2my2x)1m(

2mmyx2

10/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a/

m2myxm

1my2x)1m(22

b/

01m2myx

03ymx

-68-

c/

1myx)1m(

2my2mx22

d/

mymx

2yx

11/ Định m để hệ

2 4

(2 3 3

x y m

x y m

có nghiệm (x, y) thoả x

2 +y

2 nhỏ nhất

Bài toán lập hệ phương trình:

1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 188 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được

thương bằng 5 và số dư bằng 2.

2. Số công nhân ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 2 và 3. Nếu số công nhân ở xí nghiệp I tăng 80

người và số công nhân ở xí nghiệp II tăng 40 người thì số công nhân mới ở hai xí nghiệp tỉ lệ

với 3 và 4. Hỏi số công nhân lúc đầu ở mỗi xí nghiệp?

3. Tìm một số gồm hai chữ số biết: nếu đem số đó chia cho tổng số của hai chữ số đó ta

được thương là 6; nếu đem cộng tích của hai chữ số đó với 25 ta được số đảo lại.

4. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian. Người I

mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 2 giờ. Người II mỗi giờ làm tăng 4

dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 3 giờ và còn làm thêm 6 dụng cụ. Tính số dụng cụ

mỗi công nhân phải làm và thời gian phải hoàn thành công việc?

BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m . Khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y),

tìm hệ thức giữa x và y độc lập với m.

a)

02

21

myx

ymx := DD m2 1 ; := Dx m 2 ; := Dy 2 m 1

b)

mmyx

ymmx 2)2( := DD m2 m 2 ; := Dx m2

; := Dy m2 2

c)

224

44

mymx

myx := DD 16 m2

; := Dx 16 2 m2 3 m ; := Dy 4 m 12

d)

1)1(2

22)1(

mymmx

myxm := DD 3 m2 2 m 1 ; := Dx 2 2 m2

; := Dy m2 2 m 1

{ },x2 ( )m 1

3 m 1y

m 1

3 m 1

e)

64

03

myx

ymx := DD m2 4 ; := Dx 3 m 6 ; := Dy 6 m 12 ; { },y

6

m 2x

3

m 2

f)

012)62(

044

myxm

mmyx := DD 4 2 m2 6 m ; := Dx 2 m 4 2 m2

:= Dy 10 m 28 2 m2

; { },xm 1

m 1y

m 7

m 1

g)

2

12

myx

ymx := DD m2 2 ; := Dx m 4 ; := Dy 2 m 1

-69-

h)

ymymx

ymx 012 := DD m2 m 2 ; := Dx m 1 ; := Dy m2 1 ; { },x

1

m 2y

m 1

m 2

i)

3)1(32

2)2(

2 ymxm

ymmx := DD 7 m2 3 m 2 m3

; := Dx 3 m ; := Dy 3 m 4 m2

{ },y 3 4 m

7 m 3 2 m2x

3

7 m 3 2 m2

j)

)21(524

432)2(

ymyx

yxyxm := DD 7 m 2 m2 22 ; := Dx 26 9 m 2 m2

; := Dy m2 4 m 12 ;

{ },x2 m 13

2 m 11y

m 6

2 m 11

k)

1)1(2

22)1(

mymmx

myxm := DD 3 m2 2 m 1 ; := Dx 2 2 m2

; := Dy m2 2 m 1

{ },x2 ( )m 1

3 m 1y

m 1

3 m 1

l)

2)1(

2)1(

ymx

myxm := DD m2

; := Dx 3 m m2

; := Dy 3 m

{ },x m 3

my

3

m

m)

)1(3)2(6

2)1(

mymmx

myxm := DD 5 m2 3 m 2 ; := Dx m 4 3 m2

; := Dy 6 m 3 m2 3

{ },x 3 m 4

5 m 2y

3 ( )m 1

5 m 2

n)

mmyx

ymmx

2

2)1(2 := DD m2 4 m 4 ; := Dx 4 m 2 m2

; := Dy m2 4

{ },ym 2

m 2x

2 m

m 2

o)

32)1(

0)1(

mmyxm

ymmx := DD 2 m 1 ; := Dx ( )2 m 3 ( )m 1 ; := Dy m ( )2 m 3

p) 2 (2 ) 4

(2 1) 2

m x m y m

mx m y m

:= DD 2 m3 2 m ; := Dx 3 m 3 m2

; := Dy m3 3 m2 4 m

{ },ym 4

2 ( )m 1x

3

2 ( )m 1

q)

22)(

3)1(32 2

yyxm

ymxm := DD 2 m3 7 m2 3 m ; := Dx 3 m ; := Dy 4 m2 3 m

{ },y4 m 3

2 m2 7 m 3x

3

2 m2 7 m 3

r)

2)1(

3)2(6

myxm

ymmx := DD 5 m2 3 m 2 ; := Dx m 4 ; := Dy 9 m 3

-70-

Bài 2 : Cho hệ phương trình

1)(

2)2(2

yyxm

ymxm := DD m3 2 m ; := Dx m ; := Dy m2 2 m

a) Định m để hệ phương trình có ngiệm duy nhất

b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm

c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm

HD: + Hệ có nghiệm duy nhất D0

+ Hệ vô nghiệm D=0 và Dx0 (hoặc Dy 0)

+ Hệ vô số nghiệm D=Dx=Dy =0


ymymmx

mymmx

)1(3

2)1(

:= DD 0 ; := Dx m2 3 m 2 ; := Dy m2 2 m

a) Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm.

c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm.


22

8)1(3

myx

ymx

:= DD m 2 ; := Dx 6 m 2 ; := Dy 10

a) Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm.

c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm.

-71-

HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN (Nâng cao)

1/ Dạng

hai pt baäc:(2)

nhaát pt baäc:(1)

*Cách giải : từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình

bậc hai.

Ví dụ: Giải hệ

(2) 42

(1) 84 22

yx

yx

Giải

Từ pt(2) => x = 4-2y thế vào pt(1) ta được (4-2y)2+4y

2 = 8

16-16y+4y2+4y

2= 0 8y

2-16y+8 = 0

y2-2y+1 = 0 y = 1 => x = 2

vậy nghiệm của hệ là (2;1). 2/ Hệ pt bậc hai đối xứng đối với x và y

*Định nghĩa: hệ phương trình bậc hai đối xứng với x và y là hệ mà mỗi phương trình

không thay đổi khi ta thay x = y và ngược lại.

Ví dụ :

2

422

xyyx

yxyx

*Cách giải: để giải hệ phương trình dạng này ta thực hiện:

- dùng phép thay ẩn S = x+y ; P = x.y

- sau khi tìm được S,P thì x,y là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0.

Ví dụ 1: giải hệ

28

4.

22 yx

yx (I)

Giải

(I)

282)(

4.

2 xyyx

yx(II)

Đặt S = x+y ; P = x.y thay vào hệ (II) ta được hệ

282

4

2 PS

P

4P -6S

4P 6S

+ Với S = 6 ; P = 4 thì x, y là nghiệm của phương trình x2-6x+4 = 0

53

53

2

1

x

x nghiệm của hệ là

)53;53(

)53;53(

+ Với S =-6 ; P = 4 thì x,y là nghiệm của phương trình x2+6x+4 = 0

53

53

2

1

x

x hệ có hai cặp nghiệm

Vậy hệ đã cho có 4 cặp nghiệm.

Ví dụ 2: Giải hệ

31)(2

11

22 yxxyyx

yxyx

HD: hệ VN

Ví dụ 3:

Giải hệ

2

16422

yx

yx HD: đặt t =-y ; nghiệm (10;8) , (-8;10)

Ví dụ 4:

-72-

Giải hệ

90.

9

yx

yx HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15)

BÀI TẬP

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

2 2 2

2 2 2

8 x -xy 24) b)

2 4 2x-3y 1

3 2 3 6 0 ( ) 49) )

2 3 3 4 84

x ya

x y

x xy y x y x yc d

x y x y

Đáp số: a) (2;1) b) (-9;-19/3); (8;5) c) (2;1); (3;3) d) (16;9); (8;15)


2 2 2 2

2 2 2 2

11 4) )

2( ) 31 13

4 5) )

28 8

x xy y x ya b

x y xy x y x xy y

xy xy x yc d

x y x y x y

Đáp số: a) VNo b) (1;3); (3;1) c) (3 5;3 5);( 3 5; 3 5)

d) (1;2); (2;1)


2 2

2 2

2 2

9 x y 164) b)

90 x-y 2

3 4) )

6 ( 1) ( 1) 2

x ya

xy

xy x y x y x yc d

x y x y xy x x y y y

Đáp số: a) (15;6); (-6;-15) b) (10;8); (-8;-10) c) (0;-3); (3;0) d) ( 2; 2);(1;2);( 2; 1)

Bài 4. Giải các hệ phương trình :

a/

24xyx

1y3x22

b/

18)3y)(2x(

36y2x3

c/ 2 3 2

6 0

x y

xy x y

d/

5yx2

x4yx2

e/

7yxyx

5yx222

f/

4y2x

8y4x 22

Bài 5. Giải các hệ phương trình :

a/

53yx

5yx22

b/

26yx

5xy22

c/

61yx

1yx33

d/

2yx

13yxyx 22

e/

7xyyx

5xyyx22

f/

6yx

)2xy(2yx 22

Bài 6. Giải các hệ phương trình

a/

21xy

4yx b/

4yxyx

2yx22

-73-

c/ 2 3 2

6 0

x y

xy x y

d/

1yxxy

2yxyx 22

-74-

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

-75-

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

-76-

Chƣơng IV

BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƢƠNG TRÌNH

Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC

1. Định nghĩa 1

Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu ab > 0. Khi đó ta cũng kí hiệu b<a (b nhỏ

hơn a)

a > b a-b > 0 (ba<0)

a b a-b 0 (ba≤0)

2. Định nghĩa 2:

Các mệnh đề "a > b"; "a b"; "a < b" ; "a b" được gọi là các bất đẳng thức.

+ a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức;

+ a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều;

+ a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều;

+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d". Nếu

"a>b c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b"

"a>b c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b" 3. Các tính chất

Rdcba ,,, ta có :

1) a > b a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số)

a > b+ c ac > b (chuyển vế)

3) a > b ac bc

neáu c 0

ac bc neáu c 0 (nhân hai vế cùng 1 số)

4) dbcadc

ba

5) bdacdc

ba

0

0

6) Với n nguyên dương: a > b a2n+1

> b2n+1

a > b>0 a2n

> b2n

7) Nếu b>0 thì

a>b a b ;

a>b 3 3a b

8) cacb

ba

(bắc cầu)

9) a > b

0 ab neáu b

1

a

1

0ab neáu a

1

b

1

10) a > b > 0 an > b

n ( n N )

11) a > b > 0 nn ba ( n N )

Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều

-77-

PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phƣơng pháp chung:

Một số hằng đảng thức:

(ab)2= a

2 2ab +b

2

(a+b+c)2= a

2+b

2+c

2+2ab+2ac+2bc

(ab)3= a

3 3a

2b+3ab

2 b

3

a2 b

2 = (ab)(a+b)

a3b

3= (ab)(a

2 +ab +b

2)

a3b

3= (a+b)(a

2 ab +b

2)

Ví dụ: Chứng minh rằng

a) Nếu a,b0 thì a+b ab2

b) Chứng minh a2+b

2-ab 0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra.

Giải

a) Cách 1: ta có a+b ab2 a+b- ab2 0

( ba )2 0 đúng với mọi a,b0. Dấu '=' xảy ra khi a = b

Cách 2: ta đã biết

( ba )2 0 0, ba

a+b- ab2 0 a+b ab2 đpcm.

b) Ta có: a2+b

2-ab = abbba 222

4

3

4

1 = (a- 2)

2

b + Rba, 0

4

3 2

b

dấu '=' xảy ra

0

0

04

3

02

2 b

a

b

ba

đpcm

4. Bất đẳng thức Côsi

a/ Định lý: Nếu a0, b0 thì abba

2 hay a+b ab2

Dấu '=' xảy ra a=b

b/ Các hệ quả:

b.1. Nế a0,b0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max a = b

b.2. Nếu a0,b0 có a.b = const thì a + b là min a = b

b.3. Nếu a1, a2, a3,…..,an 0 thì: nn

n aaaan

aaa....

...3.21

21

-78-

b.4. 1

2aa

, a > 0

* Ý nghĩa hình học: + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

c. Ví dụ:

Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng 2a

b

b

a

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 0, a

b

b

a ,ta có:

22.2 a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a => đpcm.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì

(a+b)(ab+1) 4ab

Giải

Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có:

a+b2 ab (1)

Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có:

ab + 1 2 ab (2)

Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) 4ab => đpcm

5. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

Định nghĩa: |x| =

0x neáu x-

0x neáu x ;

Rba , ta có

baba , dấu '=' xảy ra a.b 0

baba , dấu '=' xảy ra khi a.b 0

baba a.b0

baba a.b 0

Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z | | x- z|

Giải

Ta có |x-y|+|y-z| |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm

6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2 (a

2+c

2)(b

2+d

2)

))(( 2222 dbcacdab

Chứng minh:

Ta có (ab+cd)2 (a

2+c

2)(b

2+d

2)

a2b

2+c

2d

2+2abcd a

2b

2+a

2d

2+b

2c

2+c

2d

2

a2d

2+b

2c

2-2abcd 0

(ad-bc)20 đúng Rdcba ,,, => đpcm

Ví dụ 1: cho x2+y

2=1,chứng minh rằng

22 yx

Giải

Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có:

(1.x+1.y)2 (1

2+1

2)(x

2+y

2)

-79-

(x+y)22 22 yx

=> đpcm.

Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y

2

5

4

Giải

Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1/ Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng: 2 2 22 yxyz x z

HD: Đưa về hằng đẳng thức

2/ Chứng minh rằng: 1

1 1 , a 1a aa

Giải

2

2

2 2

2

2

2

1 11 1 1 1

1 1 1( 1) ( 1) 2 a 1 2 a 1 2 . Vì 2 0 nên

1 14(a 1) 2 0

a

a a a aa a

a a a aa a a

aa

ñuùng

Vậy 1

1 1 , a 1a aa đpcm

3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1 1

1x x

với 0<x<1

Vì 1

x>0,

1

1 x>0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được:

y= 1

x+

1

1 x

1 1 12 . 2

1 (1 )x x x x

mà

(1 ) 1 1(1 )

2 (1 ) (1 )

2

x xx x

x x x x

vậy y= 1

x+

1

1 x

1 1 1 12 . 2 2 4

1 (1 )(1 )

2

x x x xx x

y= 1

x+

1

1 x 4. Dấu "=" xảy ra

1 11

12

(0;1)

xx x

x

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1

x+

1

1 x bằng 4 khi x =

1

2

BÀI TẬP

1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

a) 4 4 3 3y yx x y x

Giải

-80-

4 3 4 3 3 3

3 3 3 3

2 22 2 2 2

( ) 0 ( ) y ( ) 0

( ) y ( ) 0 ( )( y ) 0

3( ) ( y ) 0 ( ) 0 ú

2 4

a x x y y y x x x y y x

x x y x y x y x

y yx y x xy x y x ng

ñ

Vậy 4 4 3 3y yx x y x đpcm

b) 2 2 24y 3 14 2 12 6x z x y z

Giải 2 2 2

2 2 2

( ) 2 1 4y 2.2 .3 9 3 2. 3. . 3 3 1 0

( 1) (2 3) ( 3. 3) 1 0

b x x y z z

x y z

ñuùng

Vậy 2 2 24y 3 14 2 12 6x z x y z đpcm

c)* a b

a bb a

Giải

3 3

2

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) 0

( )( ) 0

( )( 2 ) 0 ( )( ) 0

a ba a b bc a b a b

b a b a

a b a a b b b a a b

a b a a b b b a a b

a b a a b b b a

a b a a b b a b a b

đpcm

d) 1 1 4

a b a b

Giải

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: 2a b ab (1)

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương 1 1 1 1 1

, : 2a b a b ab

(2)

Lấy (1) nhân (2) ta được: 1 1 1 1 4

( )( ) 4a ba b a b a b

. đpcm

e)* 4

4

a b c dabcd

(bđt Cô-si cho 4 số)

Giải

4

4

22( ) 2.2 4

2

4

a b aba b c d ab cd ab cd abcd

c d cd

a b c dabcd

f) 1 1 1 1 16

a b c d a b c d

Giải

Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được:

44a b c d abcd (1)

Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương 1 1 1 1

, , ,a b c d

ta được;

41 1 1 1 1

4a b c d abcd (2)

-81-

Nhân (1) với (2) ta được: 1 1 1 1

( )( ) 16a b c da b c d

Vậy 1 1 1 1 16

a b c d a b c d

g) 2 1a 2b a

b

Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b

h) ( )( )( ) 8a b b c c a abc

Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a.

i) 2

2 2( )a b a b ab

Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho ( )a b và 2 ab

j) 1 1 1 9

a b c a b c

Giải

Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được:

33a b c abcd (1)

Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương 1 1 1

, ,a b c

ta được;

31 1 1 1

3a b c abc (2)

Nhân (1) với (2) ta được: 1 1 1

( )( ) 9a b ca b c

Vậy 1 1 1 9

a b c a b c

2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) Với x>3. Chứng minh 4

23

x

x

HD: 4 2 3x x Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3

b) Với 2 2y

14 9

x . Chứng minh |x.y|≤3

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 2

4

x,

2y

9

c)* Với a, b, c0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c 16abc

HD: b+c 2 bc (b+c)2 4bc (1)

a+(b+c) 2 ( )a b c 1 4a(b+c) (2)

lấy (1)x(2) ta được đpcm

d) Cho a, b, c, d 0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) 32abcd

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1

e) Cho a,b,c >0. CMR : 8)1)(1)(1( a

c

c

b

b

a

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1,a b c

b c a

f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) 16abcd.

HD:

g) Cho a,b,c > 0. CMR : 2b

ca abc

HD:

-82-

h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)(cba

111 ) 9

HD:

k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)(1 1

a b ) 4

HD:

l) Cho a,b,c > 0. CMR : 4

22

a bcab

c

HD: 4

2

2 22 2

a bc aab bc ab

c c

m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR : 64)1

1)(1

1)(1

1( cba

HD:

n) Cho a > 1 . CMR : 2

1a

a

HD: bình phươn 2 vế

o) Cho a,b,c >0 . CMR : 1 1 1 1 1 1

a b c ab bc ac

3/ Chứng minh bất đẳng thức

a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì 1 1

b a

b) 2 2 2a , a,b,cb c ab bc ca . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra?

c) 2 2a 0, ,b ab a b . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.?

d) (a+b+c)2 3(a

2+b

2+c

2) với mọi a,b,c .

e) a2b+ab

2 a

3+b

3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?

4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với 53 x . Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?

5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) f(x)= 0x vôùi x

3x b) f(x)=

1

1

xx với x > 1

2*/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4 9

1x x

với 0<x<1

Giải

4 9 4( 1 ) 9( 1 )

1 1

4(1 ) 9 4(1 ) 9 4 9 13 2 . 25

1 1

25 , x (0;1)

x x x xy

x x x x

x x x x

x x x x

y

Đẳng thức xảy ra

4(1 ) 96 5

12

(0;1)

x x

xx x

x

3*/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3 x

4 với 0≤ x ≤ 4

Giải

-83-

12 3

27 32 12 2

0 4

x x

x xy x

x x

x

-84-

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC I. CMR

1. a2 – 3a + 3 > 0 , aR

2. a2 + b

2 2ab , a, bR a

2 +3a +3 > 0 aR

3. a2 + b

2 + 4 ab + 2(a +b) , a, bR

4. a2+ b

2 + c

2 + d

2 + e

2 a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR

5. 2

4

1

1 2

aa R

a

, . Suy ra

2 2

4 41

1 1

a b

a b

, a, bR

6. 2 2 2 2

3 3

a b c a b c

, a, b, cR

7. a3 + b

3 ab(a+b) , a, b 0

8. a3b + ab

3 a

4 + b

4 , a, bR

9. a4 + 16 2a

3 + 8a , aR

10. ( )( )a b c d ac bd , a, b, c, d > 0

11. a b

a bb a , a, b > 0

12. 2 2 3

2a ab b a b , a, bR

13. 1

1 1a aa , a 1

14. 2 2 2a b c

a b cb c a , a, b, c > 0

15. a4 + 2a

3 +3a

2 -12a +19 > 0 , aR

16. x8 – x

5 + x

2 – x + 1 > 0 , xR. Hd: BĐT

5 3

2 3

( 1) ( 1) 1 0

(1 ) (1 )

x x x x

x x x

8

neáu x 1

x neáu x <1

II.CMR

1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:

i. Nếu 1a a c

b b c

a thì

b ii. Nếu 1

a a c

b b c

a thì

b

b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 1 2a b c

a b b c c a

2. Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:

a. a2+ b

2 + c

2 < 2(ab +bc +ca)

b. abc (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0

3. Cho a + b = 1. CMR: a2 + b

2

1

2

4. Cho x + y + z = 1. CMR: 2 2 2 1

3x y z

5. CMR: a. 2 5 7x x , xR

b. 1 2 3 6x y x y , x, yR

III.CMR

1. 4

4

a b c dabcd

. (a, b , c, d 0)

2. 3

3

a b cabc

. (a, b , c 0)

-85-

3. 1 1 1 9

a b c a b c

(a, b , c > 0)

4. 1 1 1a b c

bc ca ab a b c (a, b , c > 0)

5. ab bc ca

a b cc a b (a, b , c > 0)

6. 2 2 1 12( )x y x y

x y (x , y > 0)

7. (a + b)(b+c)(c+a) 8abc (a, b , c 0)

8. 1 1 1 8a b c

b c a

(a, b , c > 0)

9. (a + 2)(b + 8) (a + b) 32ab (a, b 0)

10. (1 –a)(1 – b)(1 – c) 8abc với a + b + c = 1 và a, b, c 0

11. 1 1

1 1 9x y

với x+y =1 và x , y > 0.

12. (a + 2) (b + 8) 36 với ab = 4 và a, b > 0

13. 1 1a b b a ab a, b 1

14. 4 1 4 1 4 1 5a b c với a + b + c = 1 và a, b, c -1

4

IV.CMR:

1. (ab +by)2 (a

2 + b

2)(x

2 +y

2) ,a, b, x, yR. Dấu bằng xảy ra khi nào?

2. 2 3 13x y với x2 + y

2 = 1

3. 3 2x y 2 với 9x2 + 4y

2 = 1

4. 2 3 35x y với 2x2 + 3y

2 = 7

5. 2 2 14 9

8x y biết 4x + 6y = 1. Dấu bằng xảy ra khi nào?

6. 2 2 94 3

7x y biết 4x - 3y = 3. Dấu bằng xảy ra khi nào?

V.Tìm GTLN của hàm số sau:

1. y = (x + 5)(7 – x) với -5 x 7 (maxy = 36 khi x = 1)

2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với 3 10

2 3x

3. y = 4

2

x

x

với x 4 (maxy =

1

8 khi x = 8)

4. y = x + 28 x (maxy = 4 khi x = 2)

VI.Tìm GTNN của hàm số sau:

1. y = 5 8

2 5

x

x

với x > -5 (miny = 4 khi x = -1)

2. y = 9

2x

x

với x > 2 (miny = 8 khi x = 5)

3. y = 2

2

9x

x với x 0 (miny = 6 khi x = 3 )

4. y = 4

2

1x

x

với x 0 (miny = 2 khi x = 1)

5. y = (4 )(1 )x x

x

với x > 0 (miny = 9 khi x = 2)

-86-

6. y = 2 4x x (miny = 2 khi 2 < x < 4)

VII. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y

2 + z

2 = 1

-87-

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau

1/ Cho a,b,c,d > 0

a) nếu a < b thì a

b <

a + c

b + c

b) nếu a > b thì a

b >

a + c

b + c

c) 1 < a

a + b +

b

b + c +

c

c + a < 2

d) 2 < a + b

a + b + c +

b + c

b + c + d +

c + d

c + d + a +

d + a

d + a + b < 3

2/ Cho a

b <

c

d và b,d > 0, Chứng minh rằng

a

b <

a + c

b + d <

c

d

3/ Chứng minh rằng a , b ,c

a) a2 – ab + b

2 ≥ ab b) a

2 + 9 ≥ 6a

c) a2 + 1 > a d) (a

3 – 1)(a – 1) ≥ 0

e) 2abc a2 + b

2c

2 f) (a + b)

2 ≥ 4ab

g) a2 + ab + b

2 ≥ 0 h) a

4 + b

4 ≥ a

3b + ab

3

i) 4ab(a – b)2 (a

2 – b

2)

2 j) a

2 + 2b

2 + 2ab + b + 1 > 0

k) a

b +

b

a ≥ a + b l) 2 + a

2(1 + b

2) ≥ 2a(1 + b)

m) a

2

1 + a4

1

2 n) (

a + b

2 )

2

a2 + b

2

2

o) a

2 + b

2 + c

2

3 ≥ (

a + b + c

3 )

2 p)

a2

4 + b

2 + c

2 ≥ ab – ac + 2bc

q) a4 + b

4 + c

2 + 1 ≥ 2a(ab

2 – a + c + 1)

r) a4 + b

4 + c

2 + 1 ≥ 2a(ab

2 – a + c + 1)

s) 2a2 + 4b

2 + c

2 ≥ 4ab + 2ac

t) a2 + ab + b

2 ≥

3

4 (a + b)

2

u) a + b + 2a2 + 2b

2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b

v) (a + b + c)2 ≤ 3(a

2 + b

2 + c

2)

4/ Cho a ,b [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b| |1 + ab|

a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì x

1 + x ≥

y

1 + y

b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có |a – b|

1 + |a – b| ≤

|a|

1 + |a| +

|b|

1 + |b|

5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b

6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x

5 + x – x + 1 > 0

7/ Cho ba số a ,b ,c [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca 1

8/ Cho 0 < a b c . Chứng minh rằng : b(1

a +

1

c ) +

1

b (a + c) (

1

a +

1

c )(a + c)

9/ Cho a > b > 0 và c ≥ ab . Chứng minh rằng c + a

c2 + a

2 ≥ c + b

c2 + b

2

10/ Cho a + b + c 0. Chứng minh rằng : a

3 + b

3 + c

3 – 3abc

a + b + c ≥ 0

11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :

-88-

1

a3 + b

3 + abc

+ 1

b3 + c

3 + abc

+ 1

c3 + a

3 + abc

1

abc

12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :

a) a2 – b

2 + c

2 ≥ (a – b + c)

2 b) a

2 – b

2 + c

2 – d

2 ≥ (a – b + c – d)

2

13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : 1

1 + a2 +

1

1 + b2 ≥

2

1 + ab

b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : 1

1 + a3 +

1

1 + b3 +

1

1 + c3 ≥

3

1 + abc

c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng :

1

1 + 4x +

1

1 + 4y ≥

2

1 + 2x+y

14/ a,b,c,d chứng minh rằng

a) a2 + b

2 + c

2 + d

2 ≥ (a + c)

2 + (b + d)

2

b) 1 < a

a + b + c +

b

a + b + d +

c

b + c + d +

d

a + c + d < 2

15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :

a) a

b +

b

c +

c

a –

a

c –

c

b –

b

a < 1

b) abc < a2 + b

2 + c

2 < 2(ab + bc + ca)

c) a(b – c)2 + b(c – a)

2 + c(a – b)

2 > a

3 + b

3 + c

3

*d) a3(b

2 – c

2) + b

3(c

2 – a

2) + c

3(a

2 – b

2) < 0

*e) (a + b + c)2 9bc với a b c

*f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc

16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b

4 ≥ a

3 + b

3

17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :

a) a3 + b

3 + c

3 ≥ 3abc

b) a3b + b

3c + c

3a ≥ a

2bc + b

2ca + c

2ab

c) a3(b

2 – c

2) + b

3(c

2 – a

2) + c

3(a

2 – b

2) < 0

18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a b c

Chứng minh rằng : (a + b + c)2 9bc

19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : aA + bB + cC

a + b + c ≥

3

20*/ Cho a ,b ,c [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) 4

21/ Chứng minh rằng : 1

1.2 +

1

2.3 +

1

3.4 + …+

1

n(n + 1) < 1 n N

22/ Chứng minh rằng : 1

2! +

2

3! +

3

4! + …+

n – 1

n! < 1 n N n ≥ 2

23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :

3 a + b + c 1

abc

24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

a) a2 + b

2 + c

2 ≥ 3

b) a4 + b

4 + c

4 ≥ a

3 + b

3 + c

3

Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) 1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :

a) a

b +

b

a ≥ 2 a , b > 0 b) a

2b +

1

b ≥ 2a b > 0

-89-

c) 2a

2 + 1

4a2 + 1

≥ 1 d) a3 + b

3 ≥ ab(a + b)

e) a4 + a

3b + ab + b

2 ≥ 4a

2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab

g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 h)

a2

a4 + 1

1

2

i) 1

a +

1

b ≥

4

a + b j)

1

a +

1

b +

1

c ≥

2

a + b +

2

b + c +

2

c + a

j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2

h) a

2 + 2

a2 + 1

≥ 2

k) a

6 + b

9

4 ≥ 3a

2b

3 – 16 l)

a2 + 6

a2 + 2

≥ 4

m) a

2

b2 +

b2

c2 +

c2

a2 ≥

a

c +

c

b +

b

a

2/ Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2

1

a2 +

2

a + 1 ≥ 16

3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng:

a) a2b +

1

b ≥ 2a

b) a + b + c ≤ 1

2 ( a

2b + b

2c + c

2a +

1

a +

1

b +

1

c )

4/ Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < 2

1

a +

1

b

< ab < a +b

2

5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a b – 1 + b a – 1 ab

6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :

a) ab + c

b ≥ 2 ac (b 0)

b) a + b + c ≥ ab + bc + ca

c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc

d) ( a + b )2 ≥ 2 2(a + b) ab

e) a2 + b

2 + c

2 ≥ ab + bc + ac

f) a2 + b

2 + c

2 ≥

1

3 (a + b + c)

2

g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc

h) a2 + b

2 + 1 ≥ ab + a + b

i) a2 + b

2 + c

2 ≥ 2(a + b + c) – 3

i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc )3

7/ Chứng minh rằng x (0; /2) ta có:

cosx + sinx + tgx + cotgx + 1

sinx +

1

cosx > 6

8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b

4 + c

4 ≥ abc

9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :

a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

b) bc

a +

ac

b +

ab

c ≥ a + b + c

c)(a

b +

b

a )(

a

c +

c

a )(

c

b +

b

c ) ≥ 8

-90-

d) (1 + a

b )(1+

b

c )(1+

c

a ) ≥ 8

e) (a + b + c)(1

a +

1

b +

1

c ) ≥ 9

f) (a + b + c)(1

a + b +

1

b + c +

1

c + a ) ≥

9

2

g) a + b

c +

b + c

a +

c + a

b ≥ 6

h) a

b+ c +

b

c + a +

c

a + b ≥

3

2

i) 3a3 + 7b

3 ≥ 9ab

2

j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac

k) a + b + c + 6

2 ≥ a + b + 1 + c + 2

10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :

a) (ab + cd)(1

ac +

1

bd ) ≥ 4

b) a2 + b

2 + c

2 + d

2 ≥ (a + b)(c + d)

c) 1

ab +

1

cd ≥

8

(a + b)(c + d)

d) (a2 + 1)(b

2 + 2)(c

2 + 4)(d

2 + 8) ≥ (ac + 2)

2(bd + 4)

2

e) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) ≥ 6 4 abcd

f) 1

a +

1

b +

1

c ≥

9

a + b + c

g) 1

a +

1

b +

1

c +

1

d ≥

16

a + b + c + d

h) a

6 + b

9

4 ≥ 3a

2b

3 – 16

i) (abc + 1)( 1

a +

1

b +

1

c )(

a

c +

c

b +

b

a ) ≥ a + b + c + 6

11/ Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + a

b )

n + (1 +

b

a )

n ≥ 2

n+1 n N

12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :

a) ab 1

4 b)a

2 + b

2 ≥

1

2

b) c)a4 + b

4 ≥

1

8 d)a

3 + b

3 ≥

1

4

13/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : a

2 + b

2

a – b ≥ 2 2

14/*. Chứng minh rằng – 1

2

(a + b)(1 – ab)

(1 + a2)(1 + b

2)

1

2

15/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : b + c

bc ≥

4

b + c

b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng

a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc

16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 + 1

a )(1+

1

b ) ≥ 9

17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :

-91-

a) (1 + 1

a )(1+

1

b )(1+

1

c ) ≥ 64

b) (a + b)(b + c)(c + a)abc 8

729

18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn 1

1 + a +

1

1 + b +

1

1 + c +

1

1 + d ≥ 3

Chứng minh rằng abcd 1

81

19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :

a) ab + bc + ca < a2 + b

2 + c

2 < 2(ab + bc + ca)

b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)

c) (p – a)(p – b)(p – c) abc

8

d) 1

p – a +

1

p – b +

1

p – c ≥ 2(

1

a +

1

b +

1

c )

e) p < p – a + p – b + p – c < 3p

20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1.

Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8

21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y

2 + z

2 = 1. Chứng minh rằng

– 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3

23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an. Chứng minh rằng

a) a1

a2 +

a2

a3 + … +

an

a1 ≥ n

b) (a1 + a2 + … + an)(1

a1 +

1

a2 + …+

1

an ) ≥ n

2

c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1

24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an [0;1] ,chứng minh rằng :

(1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a1

2 + a2

2 + …+ an

2)

25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + 1

b(a – b) ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu =

26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :

a) 2 a + 33

b ≥ 55

ab b) 17125 ab17b12a5

c) a

6 + b

9

4 ≥ 3a

2b

3 – 16

27/ Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < nn

28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :

a + b + c ≥ knm nmkknm mknknm knm cbacbacba

29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn. Chứng minh rằng :

na1.a2....an +

nb1.b2....bn

n(a1 + b1)(a2 + b2)….(an + bn)

30/ Chứng minh rằng :

4(a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3)

a + b + c + d ≤

1

4

a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3

31/*. n N chứng minh rằng :

a) 1. 1

22

. 1

33

. 1

44

….. 1

nn <

2

)1n(n

1n

2

b) 1.2

2.3

3.4

4…n

n <

2

)1n(n

3

1n2

-92-

32/*.Cho m,n N ;m > n . Chứng minh rằng : ( 1 + 1

m )

m > ( 1 +

1

n )

n

33/*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1 Chứng minh rằng

(1 + 1

x1 )(1+

1

x2 )…(1+

1

xn ) ≥ (n + 1)

n

34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12

; x2.z2 ≥ y22

Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2

35/*.Cho 3 số a ,b ,c (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng

thức sai:

a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3)

36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

2 a

a3 + b

2 + 2 b

b3 + c

2 + 2 c

c3 + a

2 1

a2 +

1

b2 +

1

c2

37/** Cho x ,y ,z [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2

y + 2

z)(2

– x + 2

– y + 2

– z)

81

8

(ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)

38/*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng :

a) log2a + log2b 2 log2

a + b

2

b) 2

logba

a + b +

logcb

b + c +

logac

c + a ≥

9

a + b + c

39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng :

a) a

b + c +

b

c + a +

c

a + b ≥

3

2

b) a

2

b + c +

b2

c + a +

c2

a + b ≥

a + b + c

2

c) a + b

c +

b + c

a +

c + a

b ≥ 6

d) a

3

b +

b3

c +

c3

a ≥ ab + bc + ca

e) (a + b + c)(a2 + b

2 + c

2) ≥ 9abc

f) bc

a +

ac

b +

ab

c ≥ a + b + c

g) a

2

b + c +

b2

c + a +

c2

a + b ≥

a + b + c

2 ≥

ab

a + b +

bc

b + c +

ca

c + a

40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng :

a2(1 + b

2) + b

2(1 + c

2) + c

2(1 +ab

2) ≥ 6abc

41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : 1

a +

1

c =

2

b . Chứng minh rằng :

a + b

2a – b +

c + b

2c – b ≥ 4

42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :

a) 1

a +

1

b +

1

c ≥ 9 b)

1

a2 + 2bc

+ 1

b2 + 2ac

+ 1

c2 + 2ab

≥ 9

43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c k. Chứng minh rằng :

(1 + 1

a )(1 +

1

b )(1 +

1

c ) ≥ (1 +

3

k )

3

44/ Cho ba số a ,b ,c 0. Chứng minh rằng : a

2

b2 +

b2

c2 +

c2

a2 ≥

a

b +

b

c +

c

a

45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng :

-93-

a) ha + hb + hc ≥ 9r b) a – b

a + b +

b – c

b + c +

c – a

c + a <

1

8

Dùng tam thức bậc hai

1/ x , y R Chứng minh rằng :

a) x2 + 5y

2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0

a) x2 + 4y

2 + 3z

2 + 14 > 2x + 12y + 6z

b) 5x2 + 3y

2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0

c) 3y2 + x

2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0

d) x2y

4 + 2(x

2 + 2)y

2 + 4xy + x

2 ≥ 4xy

3

e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ 3 (x + y)

f) 3

x

2

y2 +

y2

x2 – 8

x

y +

y

x + 10 ≥ 0

g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)

2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng :

(a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)

3/ Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3

x)

2 < 3 + 3.4

x + 3

2x+1

4/ Cho ax + by ≥ xy , x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4

5*/ Cho – 1 x 1

2 và –

5

6 < y <

2

3 ,chứng minh rằng : x

2 + 3xy + 1 > 0

6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x

2 – ax – 3bc +

a2

3

a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 x

b) Chứng minh rằng: a

2

3 + b

2 + c

2 > ab + bc + ca

7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x y . Chứng minh rằng x3 – 3x y

3 – 3y + 4

.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

a) y = x2 +

4

x2

b) y = x + 2 + 1

x + 2 với x > – 2

c) y = x + 1

x – 1 với x > 1

d) y = x

3 +

1

x + 2 với x > – 2

e) y = x

2 + x + 1

x với x > 0

f) y = 4

x +

9

1 – x với x (0;1)

8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

y = x(2 – x) 0 x 2

y = (2x – 3)(5 – 2x) 3

2 x

5

2

y = (3x – 2)(1 – x) 2

3 x 1

y = (2x – 1)(4 – 3x) 1

2 x

4

3

y = 4x3 – x

4 với x [0;4]

-94-

11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi

sao cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định

tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4

abc

13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 1 + 5 – x

-95-

§2 Bất phƣơng trình bậc nhất I. Khái niệm bất phƣơng trình một ẩn

1. Định nghĩa

Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định Df,Dg. Đặt Df Dg=D, mệnh đề chứa biến x D

dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn.

Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x

3+6x 5x+3

2. Tập hợp nghiệm

Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị

x0 )()(: 00 xgxfD

3. Điều kiện của bất phƣơng trình

Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa

Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 23 1x x x là

3x0 và x+10

4. Bất phƣơng trình chứa tham số

Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn.

Ví dụ: mx+2>5 (tham số m)

5. Hệ bất phƣơng trình một ẩn

Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập

nghiệm đó.

Ví dụ: Giải hệ 3 0

1 0

x

x

III. Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng

1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập

nghiệm.

2. Định lý

2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ): Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D. Nếu h(x) xác định trên D thì:

f(x) > g(x) f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì

ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D

+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x D thì bất phương trình:

f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x)

+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi x D thì bất phương trình:

f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x)

2.3. Định lí 3 (bình phƣơng): Nếu f(x) 0, g(x) 0 thì

f(x) > g(x) f2(x) > g

2(x)

* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau

+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình.

+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay

dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.

+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.

+ Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x) f(x) > g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế.

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a) 2x+3 > x+7

x > 4 => tập nghiệm là T=(4; )

b) 2x-10 3x-2

-x 8 x 8 => T=( ]8;


-96-

a) 2( 2)(2 1) 2 ( 1)( 3)x x x x x Đáp án: x≤1

b) 2 2

2 2

1

2 1

x x x x

x x

Đáp án: x<1

c) 2 22 2 2 3x x x x Đáp án: x> ¼


a) 5 2 3 4 3 3

14 4 6

x x x x Đáp án: 1/3<x≤3

b) 1

11x

Đáp án: 1<x≤2

c) 2 17 1

4 2x x Đáp án: x<4

Chú ý: Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức:

BA

ABA

0 ;

BA

ABA

0

2

0

0

BA

B

A

BA ;

2

0

0

BA

B

A

BA

2

0

0

0

BA

B

B

A

BA ;

2

0

0

0

BA

B

B

A

BA

BABA 33

IV. Bất phƣơng trình ax+b > 0

Từ bất phương trình ax+b > 0 ax > -b (1)

Biện luận:

+ Nếu a = 0 => (1) 0x > -b

. nếu b > 0 => bpt VSN

. nếu b < 0 => bpt VN

. nếu b = 0 => bpt VN

+ Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x > a

b

+ Nếu a < 0 => bpt có nghiệm x < a

b

Ví dụ : giải và biện luận bất phương trình

(m-1)x -2+3m > 0 (1)

Giải

(1) (m-1)x > 2-3m (2)

. Nếu m-1= 0 m=1 (2) 0x > -1 => bpt VSN

. Nếu m-1> 0 m > 1 => bpt có nghiệm x > 1

32

m

m

. Nếu m-1 < 0 m < 1 => bpt có nghiệm x < 1

32

m

m

Kết luận:

. m =1 bpt VN

. m > 1 bpt có nghiệm x > 1

32

m

m

-97-

. m < 1 bpt có nghiệm x < 1

32

m

m

-98-

BÀI TẬP

1/ Giải các bất phương trình sau

a) (2 3)( 1)x x x x b) ( 1 3)(2 1 5) 1 3x x x

c) 2( 4) ( 1) 0x x d) 2( 2) ( 3) 0x x

e) 2(x1)+x > 3

33

x f) 2 2( 2) ( 2) 2x x

g) x(7x)+6(x1)<x(2x) h) 2 2 1

32 3 4 2

x x x x

k) ( 2) 3 4 0x x x l) ( 2) 3 4 0x x x

m) 2( 1) ( 2) 0x x n) 2 8 4 21 0x x

Đáp số: a) S= [0;3) b) S= (;5) c) S=(1;4) (4;+) d) S= (3;+)

e) S=(9/4;+); f) S=(; 2 / 4); g) (;6/11); h) S=[5;+); k) S=[3;2]

l) S=(;4) (3;2) m) S={1}[2;;+) n) S=[21/4;13/2)

2/ Giải các hệ bất phương trình sau:

a) 3 5 2 1

4 1 3 2

x x

x x

b)

4 7 8

2 3 12

x x

x x

c)

5 2 4 5

5 4 2

x x

x x

d) 2 1 3 4

5 3 8 9

x x

x x

e)

8 3 15

8 5 6 7

2 4 5 3

x x

x x

x x

f)

1 22

2 3 6

4 3 2 5

x x x

x x

g)

6 5 2 4

6 2 4 3

3 2

x x

x x

h)

3 3(2 7)2

5 3

1 5(3 1)

2 2

xx

xx

i)

3 1 3 1 2 1

2 3 4 3

2 1 43

5 3

x x x x

xx

Đáp số: h) S=(4/13;19/10); i) S=(;13/27]

3/ Tìm điều kiện của các bất phương trình sau:

a. 2 2

1 2 1

4 ( 1)

x x

x x

b. 3

2

25 3

3 4

xx

x x

4/ CMR các bất phương trình sau vô nghiệm:

a/ 2 1 1x x b/ 2 7 2x x c/ 4 2

8 ( 1)( 3)

x x

x x x

d/

11 2

1x

x

5/Giải các bất phương trình sau:

a. ( 3) 1

51

x x

x

b. x

2 > x c. 4 2x x d.

11

x

6/ Giải và biện luận bất phương trình sau:

a. mx + 4 > 2x – m b. m(x-1) ≤ x + 3m

7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương:

a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2

8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm: 2 4

(1 ) 4

x x

m x m

(ĐS: m<1)

9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:

a. 4

3 1 5 2

x m

x x

b.

2 5 2

2 3

x x

mx m

-99-

10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm duy nhất : 5 3 1

3 2 3

x m x

x x m

(ĐS: m=1

7)

-100-

x 1 2

2x-2 - 0 + +

x-2 - - 0 +

f(x) + 0 - // +

§3 Dấu của nhị thức bậc nhất

1. Định nghĩa:

Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b (a )0

2. Định lý :

Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.

x a

b

f(x) traùi daáu a 0 cuøng daáu a

* Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3

Giải

Đặt f(x)=0 2x+3= 0 x = 2

3

x 2

3

f(x) 0 +

3/ Xét dấu biểu thức đƣợc quy về tích hoặc thƣơng các nhị thức bậc nhất

Phương pháp: ta xét dấu từng nhị thức bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu,sau đó tổng

hợp dấu lại ta được dấu của biểu thức.

* Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x)

Giải

Đặt x-2=0 x= 2

5-3x= 0 3

5x

lập bảng xét dấu: x 35 2

x-2 - - 0 +

5-3x + 0 - -

A - 0 + 0 -

Vậy A < 0 );2()3

5;( x ; A > 0 )2;

3

5(x ; A= 0 x=2; 5/3

* Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B = 174

)3)(12(

x

xx

4/ Giải bất phƣơng trình (có ẩn ở mẫu số) quy về tích, thƣơng các nhị thứ bậc nhất

Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị

thức bậc nhất đó. Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ

bất phương trình đó. ( phần nào không lấy thì gạch bỏ)

Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau

a) 12

43

x

x b)

xx

2

3

13

4

Giải

a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

12

43

x

x 0

2

2201

2

43

x

x

x

x

đặt 2x-2 = 0 x=1

x-2 = 0 x = 2

xét dấu biểu thức f(x)=2

22

x

x

vậy S= );2()1;(

-101-

x 5

11

3

1 2

-5x-11 + 0 - - -

3x+1 - - 0 + +

2-x + + + 0 -

f(x) - 0 + // - // +

b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

xx

2

3

13

4 0

2

3

13

4

xx 0

)2)(13(

115

xx

x

Xét dấu biểu thức f(x)= )2)(13(

115

xx

x

Đặt -5x-11 = 0 x = 5

11

202

3

1013

xx

xx

Vậy S = )2;3

1()

15

11;(

5/ Phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa trị tuyệt đối

1. Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình

2. Phƣơng pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình. Nếu có từ hai biểu thức

trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào

bảng xét dấu để giải.

* Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối | ( ) | | ( ) | ( (x) g(x) )( f(x) g(x) ) 0

( ) ( ) |f(x)| g(x)

( ) ( )

f(x)> g(x) |f(x) | g(x)

f(x) g(x)

f x g x f

f x g x

f x g x

3. Ví dụ

3.1 Ví dụ 1: giải phương trình

| x-1| + | 2x-4 | = 3 (1)

Giải

Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4 x 1 2 x-1 - 0 + +

2x-4 - - 0 +

nhìn vào bảng xét dấu ta có:

* nếu x )1;( thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3

-3x = -2 x = 3

2(nhận)

* nếu x )2;1[ thì (1) x-1-(2x-4) = 3

x = 0 )2;1[ (loại)

* nếu x );2[ thì (1) x-1+2x-4 = 3

3x=8 x =3

8(nhận)

Vậy S =

3

8;

3

2

3.2 Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau:

-102-

a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x

Tóm tắt lý thuyết

1. Giải và biện luận phƣơng trình bậc nhất dạng ax + b >0ax > -b (1)

Biện luận:

+ Nếu a = 0 thì (1) 0.x > -b

- nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm.

- nếu b 0 thì bất phương trình vô nghiệm.

+ Nếu a > 0 thì bpt có nghiệm x >a

b .

+ Nếu a < 0 thì bpt có nghiệm xa

b .

Kết luận 2. Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a 0)

x - -b/a +

f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a

* Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thƣơng các nhị thức bậc nhất

( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k);))((

))...()((

mkxhgx

fexdcxbax

…) ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc

nhất trên cùng một bảng xét dấu.

* Các bƣớc xét dấu biểu thức : B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc

nhất.

B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất.

B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một bảng xét dấu.

B4 : Tổng hợp => kết luận.

3. Giải bất phƣơng trình bậc nhất

B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc f(x)<0 hoặc f(x) 0 hoặc f(x) 0.

B2 : Xét dấu biểu thức f(x).

B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình => tập nghiệm.

4. Giải hệ gồm 2 bất phƣơng trình bậc nhất dạng

(2) pt Baát

(1) pt Baát (I)

B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1.

B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 .

B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1S2.

BÀI TẬP 1

1/ Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x)= (2x1)(x+3) b) f(x)= (3x3)(x+2)(x+3)

c) f(x)= 4 3

3 1 2x x

d) f(x)= 4x

21


2

2

2

2 5 1 1) b)

1 2 1 1 ( 1)

1 2 3 3 1) d) 1

4 3 1

ax x x x

x xc

x x x x

-103-

Đáp số: a) S=(1/2;1) [3;+) b) S= (;1) (0;1) (1;3)

c) S= (12;4) (3;0) d) S= (;5) (1;1) (1;+)

3/ Giải bất phương trình

a) |5x4| 6 b) 5 10

2 1x x

c) |2x1|≤ x+2 c) |x1|≤ 2+x4|+x2

Đáp số: a) S= (;2/5) [2;+) b) S= (;5) (1;1) (1;+)

c) S= [1/3;3] d) S= [5/4; +)

4/ Xét dấu các biểu thức sau

a) f(x)= (2x+3)(x2)(x+4) b) f(x)= 2 1

( 1)( 2)

x

x x

c) f(x)= 3 1

2 1 2x x

d) f(x)= (4x1)(x+2)(3x5)(2x+7)


a) 3

12 x

b) 2

2

31

4

x x

x

c) 1 1 1

1 2 2x x x

d) |x3| > 1

e) |58x|≤ 11 f) |x+2|+|2x+1| ≤ x+1

Đáp số: a) S= (;1) (2;+) b) S= (2;1] (2;+)

c) S= (2;0) (1;2) (4;+) d) S= R

e) S= [3/4;2] f) Vô nghiệm

6*/ Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

2

22 2

4 3 2 B=1 ( 2) (3 )

2 1 3 2

( 3)D= 6 F= 2x (2 3) 3

( 5)(1 )

x xA C x x x

x x

x xE x x x

x x

G=(3x1)(x+2) H=2 3

5 1

x

x

K= (x+1)(x+2)(3x+1)

L= 2

23 2

x

x

M= 9x

2 1 N= x

3+7x6

O= x3+x

25x+3 P=x

2x 2 2 Q=

1 1

3 3x x

R=2

2

6 8

8 9

x x

x x

S=

2

4 2

4 4

2

x x

x x

T=

2

| 1 | 1

1

x

x x


(3 )( 2) 3 5) 0 b)

1 1 2 1

) | 2 2 | | 2 | 3 2 d) | ( 2 3) 1 | 2 3

x xa

x x x

c x x x x

e) ( 2 x+2)(x+1)(2x3)>0 f) 4 1

33 1

x

x

Đáp số: a) S=(1;2] [3;+) b) S=(;1/2) [2/11;1)

c) S= (;1) d) [52 6 3 2; 5+2 6 3 2 ]

e) S=(;1) ( 2 ;3/2) f) S=[4/5;1/3)

8/ Giải và biện luận bất phương trình

a) mx+4>2x+m2 b) 2mx+1 x+4m

2

-104-

d) x(m21) < m

41 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)

2(x1)


3 2) ( 3 2)( 1)(4 5) 0 b) 0

(3 1)( 4)

3 1 2 2) 2 d)

2 1 3 1 2 1

xa x x x

x x

x x xc

x x x

Đáp số: a) S=(;1) ( 2 3 /3;5/4) b) S=(1/3;3/2) hop (4;+)

c) S= [3;1/2) d) S=(;1/3)[0;1/2)[8;+)

10/ Giải hệ bất phương trình

2 1( 3)( 2 ) 0

) b) 2 1 34 33 | | 12

x x

a x xxx x

Đáp số: a) S= ( 2 ;3) b) S=(1;1/2)

11/ Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình

5 16 4 7 15 2 2

7 3) b)

8 3 3 142 25 2( 4)

2 2

x x x x

ax x

x x

Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} b) S={1}

12/ Giải các phương trình và bất phương trình sau

a) |x+1|+|x1|=4 b) | 2 1 | 1

( 1)( 2) 2

x

x x

c) |5+x|+|x3|=8

d) |x25x+6|=x

25x+6 e) |2x1|= x+2 f) |x+2|+|x1|=5

g) |3x5|<2 h) 2

21

x

x

k) |x2|>2x3

l) |x+1|≤ |x|x+2

Đáp số: a) S={2;2} b) S= (4;1)(2;5) c) S=[5;3]

d) S= x≤2 hoặc x>3 e) S={1/3;3} f) S={3;2} g) S=(1;7/3)

h) S=(4;1)(1;0] k) S=(;5/3) l)S=(;1] 13. Giaûi baát phöông trình (chöùa giaù trò tuyeät ñoái) :

123

4/;62634/

;1245/;4752/;021/

2

22

2

xx

xxexxxxd

xxcxxbxxa

14. Giaûi baát phöông trình (chöùa caên thöùc) :

132/4223/;25/

;23131/;524/;218/

222

2

xxxfxxxexxd

xxcxxbxxa

15/* Giải và biện luận phương trình

a) (2x 2 )(xm)>0 b) 3

02 1

x

x m

16/* Giải và biện luận hệ phương trình

a) ( 5)( 7 2 ) 0

0

x x

x m

b)

2 5

1 2 1

0

x x

x m

-105-

BÀI TẬP 2

Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m

a) m(x-m) x-1

b) mx+6 > 2x+3m

c) (m+1)x + m < 3x+4

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) 12

43

x

x b) 1

2

52

x

x

c) 12

5

1

2

xx d)

xx

2

3

13

4

Đáp số: a) S=(;1) (2;+) b) S=(2;3]

c) S=(1/2;1) [3;+) d) S=(;11/5)(1/3;2)

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

a) | 2x-5 | x+1 b) | 2x+1 | < x

c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 | x+1

Đáp số: a) S=[4/3;6] b) Vô nghiệm

c) S=(;1/2) d) S=R

Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) | 2x-1 | = x+m

b) | x-1 | =x+m

Bài 5: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) m2x+4m-3 < x+m

2 b) m

2x+1 m+(3m-2)x

Bài 6: Giải các hệ bất phương trình sau

a)

4

35)32(2

2

81558

xx

x

b)

54

83

37

54

xx

xx

Đáp số: a) Vô nghiệm b) S=(26/3;28/5)

Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của hệ các bất phương trình sau:

a)

2522

38

747

56

xx

xx

b)

2

143)4(2

3

12215

xx

xx

Đáp số: a) S={4;5;…;11} b) S= {1}

Bài 8: Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn hệ bất phương trình:

9

54

12

1

18

143

2

351

8

)2(3

4

13

xxx

xxx

Đáp số: S= {4}

-106-

BÀI TẬP 3 1/ Giải và biện luận các bất phương trình sau

a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m

2+m)x - m

2 - 2m 0

c) (m+1)x 2m(x+1)+2+x. d) m2x-1 > x+m

e) 1m

1mx

1-m

1mx

m 1 f) 2)x(m

1m

1x

1m

1-xx

m -1.

2/ Giải bất phương trình

a) 2x2 - 5x + 2 > 0 b) (x-2)

2(x-4) < 0 c) -4 + x

2 0

d) 25(x+10)(-x+1) 0 e) 16x2 + 40x + 25 < 0 f) 0

)1(

10

xx

g) 9

15

3

4

3

22

x

x

xx h) 1

9

12

18

1

xx k) 0

)23)(2(

25

xx

l) 12

2

1

1

xx m) 0

1

3

2

2

3

2

1

xx

n) 1232

1

xx

x

o) 1

1

2

1

2

xxx

x

3/ Giải các hệ bất phương trình sau

a)

19234

7213

xx

xx b)

01

)42)(2(

11

32

x

xx

x

x

c)

4

12

012

1

2 xxx

x

x

d)

22 )23()195(

2

1

2

1

xx

xx

e)

52

23

23

52

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

f)

02

)2)(23)(1(

0)5)(3)(2(

2x

xxx

xxx

g)

09

)23)(4(

012

)31)(4(

2

2

x

xx

x

xxx

h)

012

)1(3

1

21

1

2

1

1

2

32

x

xx

x

x

xxx

i)

)1(21

23

0)259)(15(

2

2

xx

xx

xx

Đáp số: a) S = [6 ; 8) b) S =(- ; -4] (1;2] c) S = (- ;-1] (-2

1;+ )

d) S = (-1;2) e) S = (- 4; -2

5) f) S = (-2;- 3 ) [-1; 2 ) [

2

3;+ )

g) S = (- ; -3) (2

3 ;-

4

1) (0;

3

1) (

2

1;3) [4;+ )

-107-

h) S = (-1 ; - 2

1) (0;1) i) S = (- ; -3 ] [0 ;

5

3)

4/ Giải các hệ bất phương trình sau

a)

0132

0)3()2(

2

2

xx

xx b)

0)2)(1(

0)1( 2

xx

x c)

52

3

12

2

2

1

12

2

x

x

x

x

x

x

x

x

d)

12

2

13

2

31

522

x

x

x

x

xx

xx

e)

0)2()7(

)6()2()1(

2

13

23

23

2

xx

xxx

xx

xx

f)

42

9

32

4

xx

x

x

g)

12

4

32

2

41

422

x

x

x

x

xx

xx

h) 14

45

2

2

x

xx i)

01

)42)(2(

11

32

x

xx

x

x

Đáp số: a) Vô nghiệm b) Vô nghiệm c) S = (-2;-2

1) (1;

2

5)

d) S = (-3

1;0) (

2

1;8) e) S = [1;2) f) S = (-2;-1)

g) Vô nghiệm h) S = [0;5

8] [

2

5;+ ) i) S = (- ;-4] (1;2]

-108-

§4 Bất phƣơng trình bậc nhất hai ẩn

I/ Bất phƣơng trình bậc nhất hai ẩn

1. Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng ax+by+c > 0 ; ax+by+c < 0 ,trong đó

a,b,c R , a2+b

20 .

2. Cách giải : để giải bpt ax+by+c > 0 ta vẽ đồ thị của đường thẳng ax+by+c = 0. Khi đó:

+ Nếu đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất

phương trình để xác định miền nghiệm.

+ Nếu đường thẳng đi qua góc toạ độ thì ta lấy một điểm bất kì trong mặt phẳng thay vào

vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm.

* Ví dụ: Giải các bất phưng trình sau:

a) x-3y < -3 x-3y+3 < 0 (1)

Vẽ đường thẳng x-3y+3= 0

x0

y

x-3y+3=01

-3

Thay O(0;0) vào (1) 3<0 O(0;0) không thỏa (1) ta gạch bỏ phần chứa

gốc toạ độ. Miền không gạch là miền nghiệm .

b) x-2y > 0

vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = 0 , thay (0;1) vào vế trái ta được VT= -2 > 0

(!) => miền chứa (0;1) không phải là miền nghiệm.

x

y

0 1

1/2

II. Hệ bất phƣơng trình bậc nhất hai ẩn

1. Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở lên.

2. Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta giải từng bất phương trình

trong hệ rồi biểu diễn chúng lên cùng một hệ trục toạ độ, miền còn trống là miền nghiệm của

hệ bất phương trình.

Ví dụ 1: giải hệ

(3) 5

(2) 33

(1) 0

yx

yx

yx

Giải

Ta vẽ các đường thẳng

(d1): x-y= 0 (d2): x-3y+3= 0 (d3): x+y-5= 0

-109-

I

x

(d3)

(d1)

(d2) -3 5

5

01

1

Miền I là miền nghiệm.

Ví dụ 2: Giải hệ

0

0

0

x

y

x y

Giải

Vẽ các đường thẳng :

(d1): x= 0 (d2): y= 0 (d3): x+y= 0

x

y

-1

1

S

-110-

BÀI TẬP

Bài 1: Giải các bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9

c) 2x-y≤ 3 d) 3+2y >0

e) 2x-1<0 f) x-5y < 2

g) 2x+y> 1 h) -3x+y+2 ≤ 0

k) 2x-3y+5 ≥ 0

Bài 2: Giải các hệ bất phương trình hai ẩn

a)

5

33

0

yx

yx

yx

b)

0

42

3)1(2

0132

x

yx

yx

d)

6

82

3

93

y

xy

yx

yx

e) 3 0

2 3 1 0

y

x y

Bài 3: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất

phương trình:

0

5

22

22

x

yx

yx

yx

.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất

phương trình:

2 0

1 0

2 1 0

x y

x y

x y

.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, min.

-111-

§5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI

I/ Tam thức bậc hai 1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax

2+bx+c (a 0).

2. Định lý (về dấu tam thức bậc hai)

Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a 0) và = b

2-4ac

+ Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.

+ Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với a

b

2 .

+ Nếu > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) :

x

0

Cuøng daáu

heä soá a

- x1 x2 +

Daáu cuûa

f(x)

Cuøng daáu

heä soá a

Traùi daáu

heä soá a0

* Chú ý : ta có thể thay bởi '

Ví dụ 1: xét dấu các tam thức sau

a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x

2+12x-9 c) f(x) = x

2-4x-5

Giải

a) cho f(x) = 0 3x2-2x+1 = 0. tính ' = -2 < 0

vậy f(x) > 0 x.

b) cho f(x) = 0 -4x2+12x-9 = 0. tính ' = 0

vậy f(x) < 0 2

3x .

c) cho f(x)= 0 x2-4x-5 = 0. tính ' = 9

=> x1=-1 ;x2 = 5

x

0

+

- -1 5 +

f(x) +_

0

vậy f(x) > 0 );5()1;( x

f(x) < 0 )5;1(x

f(x) = 0 khi x= -1 , x = 5

Ví dụ 2: Xét dấu các biểu thức sau

a) A = (2x2+9x+7)(x

2+x-6)

b) B = 2

2

2 5 7

3 10

x x

x x

Giải

a) Đặt 2x2+9x+7 = 0

2

7

1

2

1

x

x

x2+x-6 = 0

3

2

2

1

x

x

+ - + - +A

x2+9x+7 + 0 - - + +

x

0

- -2

7 -3 -1 2 +

0

0

0

0

00

x2+x-6 + + - - +

-112-

II/ Bất phƣơng trình bậc hai 1. Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có một trong các dạng sau:

ax2+bx+c > 0 ; ax

2+bx+c < 0 ; ax

2+bx+c 0 ax

2+bx+c 0 ( a 0).

2 .Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai đó , kết hợp với

chiều của bất phương trình ta sẽ tìm được nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a) 3x2+2x+5 > 0 S=R

b) -2x2+3x+5> 0 S=(-1;5/2)

c) -3x2+7x-4 < 0 S=(-;1) (4/3;+)

d) 4x2-3x+1<0 Vô nghiệm

e) 9x2-24x+16 < 0 S=R\{4/3}

Ví dụ 2 . Giải các bất phương trình sau

a) A = (2x2+9x+7)(x

2+x-6) > 0 b) B =

2

2

2 5 7

3 10

x x

x x

< 0

Ví dụ 3. Xác định m để phương trình x2+2(m+2)x-2m-1=0 có nghiệm

HD: ' =m2+6m+5 0 m≤5 hoặc m1

* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R

+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)

+ Nếu a0 thì: 0 0

( ) 0, ; ( ) 0,0 0

a af x x R f x x R

III/ Hệ bất phƣơng trình bậc hai (10NC) 1. Định nghĩa : Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc hai trở lên.

2. Cách giải:

- Giải bất phương trình (1) tìm được S1

- Giải bất phương trình (2) tìm được S2

----------------------------------------------

- Giải bất phương trình (n) tìm được Sn

Khi đó tập nghiệm của hệ là: S = S1 S2…Sn

Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau

a)

06

0792

2

2

xx

xx

Giải

Giải bpt(1) được S1 = );1()2

7;( ; Giải bpt(2) dược S2 = (-3;2)

Vậy nghiệm của hệ là S = S1S2= (-1;2)

b)

01811

0452

2

2

xx

xx

Ví dụ 2. Tìm m thì bpt phương trình sau (2m+1)x2+3(m+1)x+m+1 < 0 (*) vô nghiệm.

Giải

+ với a = 0 m= 2

1 (*)

3

10

2

1

2

3 xx . vậy m =

2

1 không thoả

+ với a 0 m2

1 khi đó phương trình đã cho vô nghiệm

0)1)(12(4)1(9

012

0

02 mmm

ma

S

m

m

15

2

1

-113-

vậy không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm.

-114-

* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R

+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)

+ Nếu a0 thì:

0( ) 0,

0

0 ( ) 0,

0

af x x R

af x x R

* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai

Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì:

x1< 0 < x2 P < 0 (hai nghiệm trái dấu)

x1x2 < 0

0

0

0

S

P

( hai cùng âm)

0 < x1x2

0

0

0

S

P

(hai cùng dương)

BÀI TẬP 1

1/ Xét dấu các tam thức bậc hai sau

a) 2x2

+5x+2 b) 4x2

3x1 c) 3x2

+5x+1 d) 3x2

+x+5


a) x2

2x+3>0 b) x2

+9>6x c) 6x2

x20 d) 1

3x

2 +3x+6<0

e) 2

2

9 140

9 14

x x

x x

f)

2

2

10

3 10

x

x x

g)

2

10 1

25

x

x

h) 1 1

21

x x

x x

i)

1 2 3

1 3 2x x x

Đáp số: a)

e) S=(;7)(2;2][7;+)

3/ Cho phương trình mx22(m1)x+4m1=0. Tìm m để phương trình có:

a) Hai nghiệm phân biệt.

b) Hai nghiệm trái dấu.

c) Hai nghiệm dương.

d) Hai nghiệm âm.

HD: ' = 12 m2 4 m 4 =0 1 13

3m

4/ Tìm m để các phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

a) mx24(m1)x+m5≤ 0 = 12 m2 12 m 16

b) 5x2x+m> 0 = 20m+1

c) mx210x5<0 = 5m+25

d) 2

2

21

3 4

x mx

x x

Vì 2 3 4x x >0 với mọi x nên qui dồng bỏ mẫu

= m2 6 m 7

e) m(m+2)x2+2mx+2>0 = 4m

216m

-115-

Đáp số: a) không có m b) m> 1/20 c) m< 5 d) 7<m<1 e) m<4 hoặc m0

5/ Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm

a) 5x2x+m ≤0 mx

210x50

6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt

a) (m2+m+1)x

2+(2m3)x+m5=0

b) x26mx+22m+9m

2=0

Đáp số: a) không có m b) 0<m<1

BÀI TẬP 2

Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai

a) 3x2-2x+1 b) -x

2+4x+5

c) -4x2+12x-9 d) 3x

2-2x-8.

Bài 2: Giải các bất phương trình sau

a) 2x2-5x+2 < 0 b) -5x

2+4x+12 < 0

c) 16x2+40x+25 > 0 d) -2x

2+3x-7 > 0

e) 3x2-4x+4 0 f) x

2-x-6 0.

Bài 3: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm

a) (m-5)x2-4mx+m-2 = 0

b) (m-2)x2+2(2m-3)x+5m-6 = 0

c) (3-m)x2-2(m+3)x+m+2 = 0.

Bài 4: Xác định m để các tam thức sau dương với mọi x

a) 3x2+2(m-1)x+m+4 = 4 m2 20 m 44 =0 m= ,

5

2

69

2

5

2

69

2

b) x2+(m+1)x+2m+7 = m2 6 m 27 =0 m=9;3

c) 2x2+(m-2)x-m+4. = m2 4 m 28 =0m= , 2 4 2 2 4 2

Bài 5: Giải các bất phương trình sau

a) 1 5

12 2x x

; Kq2: 2<x<2

b) 2

31

1x x

; Kq

2: 1≤x≤2

Bài 6: Tìm m để

a) (m+2)x22(m1)x+m2<0, x R

= 8m+20

b) (m2m6)x

2+2(m+2)x+1>0, x R

= 20m+40

BÀI TẬP THÊM

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

a) x2 - 011 x ; x = 1 ; -2.

b) | -3x2 + 4x + 4 | = | 4 -x

2 | ; x = -1; 0 ; 2.

c) | -2x + 3| - |-4x + 3 | = 3 - | 2x + 3 | ; x = 0 hoặc x 3/2.

d) | x-1 | + | x - 2 | = 3 ; x = 0 ; 3.

e) | 3|x-2| - 3 | = 3 ; x = 0 ; 2 ; 4.

f) | 3x - 2 | + x = 11 ; x = 13/4 ; -9/2.

g) | x | - | x - 2 | = 2 ; x 2.

h) | x - 3 | + 2| x - 1 | = 4 ; x = 3 ; 1/3.

i) 3 | x2 - 4x + 2 | = 5x +16 ; x =

6

40917

j) xx 3632 ; x = 3.

-116-

k) xxx 2422 ; x = -1 ; -2.

l) 2224 xxx ; x = 3.

m) 6315 xx ; x = -1.

n) 265123 xx ; x = -1.

o) 16244 xxx ; x = -4 ; 0.

p) 4462 xxx ; x = 5.

q) 1413 xx ; x = 5.

r) 2111 xx ; x = 2.

Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :

a) | 1 - x2 | (1+x)

2 ; x = -1 hoặc x0 .

b) | x2 - x +1 | | 3x - 4 - x

2 | ; x 3/2.

c) | x2-3x+2 | > | x

2 + 3x + 2 | ; x < 0.

d) | x2 + 6x -7 | < x + 6 ; S = (

2

775;

2

537 ).

e) 2 | x+1 | > x + 4 ; x < -2 hoặc x > 2.

f) | x2 + x | - 5 < 0 ; S =(

2

211;

2

211 ).

g) x2 - | 5x + 8 | > 0 ; S= );

2

575()

2

575;(

.

h) x2 + 4 | 3x + 2 | - 7x ; S = );22[]195;( .

i) 12

|3|

x

xx ; S = (-5 ; -2 ) (-1 ; + ) .

j) | x +1 | + | x - 4 | > 7 ; x < -2 hoặc x > 5.

k) 1262 xxx ; x < 1/8.

l) 1122 xxx ; S = (-169/25 ; -1] [0;+ ).

m) xxx 7122 ; x -3 hoặc 4 < x < 61/13.

n) 21032 xxx ; S = R.

o) 2212 xx ; 5/41 x hoặc 0 < x 1.

p) 1241 xx ; 0 < x < 1/4 .

q) 3222 xxx ; x > 3 .

r) 211 xxx ; S = (

;3

722).

s) xxx 2237 ; x < -2.

t) 195 xx ; 92

714

x .

Bài 3 : Giải các phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ )

a) x2 - 4x = 612822 xx ; x = 2 .

b) 7822315223 xxxx ; x = 1 ; -1/3.

c) 193232272 xxxxxx ; x = -2;1.

d) (x + 1)(x + 4) - 3 252 xx = 6 ; x = -7 ; 2.

-117-

e) x2 + 2 431132 xxx ; x[1;2].

f) (x + 5)(x - 2) + 3 )3( xx > 0 ; x < -4 hoặc x >1.

g) 125237523 xxxx ; x[-2;-1] [-2/3;1/3].

-118-

Chƣơng V: THỐNG KÊ

§ 1 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SUẤT VÀ TẦN SỐ

1/ Số liệu thống kê

Khi thực hiện điều tra thông kê (theo mục đích định trước), cần xác định tập hợp các

đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu.

Ví dụ: Số liệu thông kê điểm kiểm tra 15' của lớp 10CB như sau

5 5 6 6 7 6 4 4 3 2 3 2 3 4 4

6 4 5 4 6 7 5 4 5 6 6 3 4 6 8

3 4 5 6 7 7 6 5 4 3

2/ Tần số-Tần suất

Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau ( k≤ n). Gọi xi là một giá trị

bất kì trong k giá trị đó, ta có:

* Tần số: số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho gọi là tần số của giá trị đó,

kí hiệu là ni.

Ví dụ: Trong bảng số liệu trên ta thấy có 7 giá trị khác nhau là

x1= 2, x2= 3, x3= 4, x4= 5, x5= 6, x6= 7, x7= 8

x1=2 xuất hiện 2 lần n1= 2 (tần số của x1 là 2)

* Tần suất: Số nifi n

được gọi là tần suất của giá tri xi. (tỉ lệ của ni, tỉ lệ phần trăm)

Ví dụ: x1 có tần số là 2, do đó: 1

2

40f hay 1f = 5%

* Bảng phân bố tần suất và tần số

Tên dữ liệu Tần số Tần suất (%)

x1

x2

.

.

xk

n1

n2

.

.

nk

f1

f2

.

.

fk

Cộng n1+…+nk 100 %

Ví dụ: Bảng phân bố tần số và tần suất điểm kiểm tra 15’ môn toán 10CB

Điểm15’ toán Tần số Tần suất ( %)

2

3

4

5

6

7

8

2

6

10

7

10

4

1

5

15

25

17,5

25

10

2,5

Cộng 40 100%

* Chú ý: Nếu bỏ cột tầng số thì ta được bảng phân bố tần suất; bỏ cột tần suất thì ta

được bảng phân bố tần số.

3/ Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp

Giả sử n dãy số liệu thông kê đã cho được phân vào k lớp (k < n). Xét lớp thứ i trong k

lớp đó, ta có:

+ Số ni các số liệu thông kê thuộc lớp thứ i được tần số của lớp đó.

-119-

+ Số nifi n

được gọi là tần số của lớp thứ i

Ví dụ: Theo bảng thông kê trên ta có thể phân thành 3 lớp [2;5), [5;7), [7;8]

Lớp điểm 15’

toán Tần số Tần suất ( %)

[2;5)

[5;7)

[7;8]

18

17

5

45,0

42,5

12,5

Cộng 40 100%

* Bảng này gọi là bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp. Nếu bỏ cột tần số thì ta

được bảng phân bố tần suất ghép lớp; Nếu bỏ cột tần suất thì ta được bảng phân bố tần số

ghép lớp.

Ví dụ: Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau ( thành tích chạy 50m của học sinh lớp

10A, đơn vị tính bằng: giây) 6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6

6,6 6,7 7,0 7,1 7,2 8,3 8,5

7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1

7,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,7

7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với các lớp:

[6,0;6,5); [6,5;7,0);[7,0;7,5);[7,5;8,0);[8,0;8,5);[8,5;9,0]

b) Trong lớp 10A số học sinh chạy 50m hết từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu

phần trăm?

-120-

§2 BIỂU ĐỒ

I/ Biểu đồ tần suất hình cột và đƣờng gấp khúc tần suất

1. Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột

Để mô tả bảng phấn bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê, có thể vẽ biễu

đồ tần suất hình cột như sau:

+ Chọn hệ trục Oxf với đơn vị trên trục hoành Ox là đơn vị của dấu hiệu X được nghiên

cứu; đơn vị trục tung Of là 1%.

+ Để đồ thị được cân đối, đôi khi phải cất bỏ một đoạn náo đó trên trục hoành (hoặc trục

tung), dùng dấu "…" để biểu diễn phần bị cắt bỏ.

+ Trên trục hành, đặt các khoảng có các mút biểu diễn cho các mút của các lớp ở bảng

phân bố tần suất ( độ dái các khoảng bằng bề rộng của các lớp) Ta gọi các khoảng và các

lớp này tương ứng nhau. Lấy các khoảng đó làm cạnh đáy, vẽ các hình chữ nhật có độ dài

của các đường cao bằng tần suất của các lớp tương ứng và nằm về phía chiều dương của trục

tung.

Ví dụ: xem SGK

* Cách vẽ biểu đồ tần số hình cột: tương tự, nhưng thay trục tần suất bởi cột tần số.

2. Cách vẽ đường gấp khúc tần suất, tần số

+ Trong bảng phân bố ghép lớp ta lấy giá trị trung bình cộng của hai mút lớp thứ i làm

giá trị đại diện của lớp đó, kí hiệu là ci.

+ Trên mặt phẳng tọa độ Oxf, xác định điểm (ci;fi), i=1;2;3;..;k.

+ Vẽ đoạn thẳng nối điểm (ci;fi) với điểm (ci+1;fi+1).

Ví dụ: xem SGK

II. Biểu đồ hình quạt

+ Toàn bộ hình tròn biểu diễn cho 100%.

+ Mỗi hình quạt biểu diễn số phần trăm trong bảng cơ cấu.

+ Số đo độ (và độ dài ) của các cung tròn tương ứng với các hình quạt tỉ lệ với số phần

trăm của các nhóm trong bảng cơ cấu.

-121-

§3 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG, SỐ TRUNG VỊ, MỐT

Để thu được thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng những số đặc

trưng như: số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, dộ lệch chuẩn. Các số đạc

trưng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra.

1/ Số trung bình cộng ( x )

* Bảng phân bố tần suất và tần số

Tên dữ liệu Tần số Tần suất (%)

x1

x2

.

xk

n1

n2

.

nk

f1

f2

.

fk

Cộng n=n1+…+nk 100 %

Trung bình cộng của các số liệu thống kê được tính theo công thức;

1

( ... ) ...1 1 2 2 1 1 2 2

x n x n x n x f x f x f xk k k kn

* Trường hợp Bảng phân bố tần suất và tần số ghép lớp

1

( ... ) ...1 1 2 2 1 1 2 2

x n c n c n c f c f c f ck k k kn

ci , fi , ni là giá trị đại diện của lớp thứ i.

Ý nghĩa của so trung bình:

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đặc

trưng quan trọng của mẫu số liệu.

Ví dụ 1: Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu sau ( đơn vị mm)

Lớp Giá trị đại

diện Tần số

[5,45 ; 5,85)

[5,85 ; 6,25)

[6,25 ; 6,65)

[6,65 ; 7,05)

[7,05 ; 7,45)

[7,45 ; 7,85)

[7,85 ; 8,25)

5,65

6,05

6,45

6,85

7,25

7,65

8,05

5

9

15

19

16

8

2

N = 74

Khi đó chiều dài trung bình của 74 chiếc lá này là :

x74

05,8.265,7.8...05,6.965,5.5 6,80 (mm).

Ví dụ 2 : Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi. Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ

thấp đến cao như sau: (thang điểm 100): 0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89.

Điểm trung bình là:

x =

11

8985...630061,09.

Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết (9 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình. Như

vậy, điểm trung bình này không phản ứng đúng trình độ trung bình của nhóm.

-122-

2/ Số trung vị (Me) Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó có thể đại

diện cho các số liệu trong mẫu. Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường hợp này. Đó là số

trung vị.

Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu được sắp xếp thành dãy không giảm (hoặc không

tăng). Khi đó, số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là Me là :

+ số đứng giữa dãy nếu số phần tử n lẻ ; (=2

1n)

+ trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử n chẵn.

(=trung bình cộng của số hạng thứ 2

n và 1

2

n )

Ví dụ 1: Điểm thi toán của 9 học sinh như sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10

Ta có Me= 7

Ví dụ 2: Số điểm thi toán của 4 học sinh như sau: 1; 2,5; 8; 9,5

Ta có Me=2,5 8

5,252

3/ Mốt (MO)

Mốt của bảng phân bố tần số là giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn nhất và được kí hiệu là MO.

Chú ý: Có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số các giá trị khác thì ta nói

trường hợp này có hai Mốt, kí hiệu (1) (2)

,M MO O

.

Ví dụ : Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn

đồng). Số quạt cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sau:

Giá tiền 100 150 300 350 400 500

Số quạt bán đƣợc 256 353 534 300 534 175

Nhận xét và tìm mốt ?

4/ Chọn đại diện cho các số liệu thống kê:

a) Trường hợp các số liệu thông kê cùng loại và số lượng thống kê đủ lớn (n 30) thì ta

ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).

b) Trường hợp không tính được giá trị trung bình thì ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại

diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).

c) Không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê trong các trường hợp

sau (có thể dùng số trung vị hoặc mốt):

+ Số các số liệu thống kê quá ít (n ≤ 10).

+ Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệc quá lớn.

+ Đường gấp khúc tần suất không đối xứng, (và nhiều trường hợp khác)

-123-

§4 PHƢƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

I. PHƢƠNG SAI:

Phương sai, kí hiệu là 2

xs .

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

2 2 2 2

1 1 2 2

1( ) ( ) ... ( )x k ks n x x n x x n x x

n

2 2 2

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) .k kf x x f x x f x x

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

2 2 2 2

1 1 2 2

1( ) ( ) ... ( )x k ks n c x n c x n c x

n

2 2 2

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) .k kf c x f c x f c x

+ Có thể tính theo công thức sau: 2

2 2

xs x x

Trong đó 2x = 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1... ...k k k kn x n x n x f x f x f x

n

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất)

hoặc 2x = 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1... ...k k k kn c n c n c f c f c f c

n

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)

*Ý nghĩa phương sai + Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so

với số trung bình).

+ Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp

xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các

số liệu thống kê càng bé.

II. ĐỘ LỆCH CHUẨN:

Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai 2

xs có đơn vị đo là bình phương của đơn vị đo

được nghiên cứu ( đơn vị đo nghiên cứu là cm thì 2

xs là cm2), để tránh tình trạng này ta dùng

căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn.

Độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx

2

x xs s

* Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số

liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn

để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với dấu hiệu X được nghiên cứu. Ví dụ 1 :Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày

trong bảng tần số sau đây:

Sản lƣợng (x) 20 21 22 23 24

Tần số (n) 5 8 11 10 6 N = 40

a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng

b) Tính phương sai và độ lệnh chuẩn

Giải: a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là 40

884x = 22,1 (tạ)

b) s2

=

2

40

884

40

19598

= 1,54 ; Độ lệch chuẩn là s = 24,154,1 (tạ)

-124-

Ví dụ 2:

Điểm trung bình môn học của hai học sinh An và Bình trong năm học vừa qua như sau:

Môn Điểm TBcủa An Điểm TB của Bình

Toán

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Văn học

Lịch sử

Địa lí

Anh văn

Thể dục

Công nghệ

GDCD

8

7,5

7,8

8,3

7

8

8,2

9

8

8,3

9

8,5

9,5

9,5

8,5

5

5,5

6

9

9

8,5

10

a) Tính phương sai, độ lệch chuẩn của An , Bình

b) Nêu nhận xét.

a) Từ số liệu ở cột điểm của An ta có

2

AS =11

91,725-

2

11

1,89

0,3091 ;SA 0,556

Từ số liệu ở cột điểm của Bình ta có

2

BS =11

5,705-

2

11

89

2,764; SB 1,663

b) Phương sai điểm các môn học của Bình gấp gần 9 lần phương sai điểm các môn học

của An. Điều đó chứng tỏ Bình học lệch hơn An.

-125-

TH C HÀNH GIẢI TOÁN THỐNG KÊ LỚP 10

B NG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO

-----------------

1. S dụng máy Casio fx - 570 ES (Stat MODE 3 )

Bai 1. Năng suât lua he thu cua môt đơn vi A đươc thê hiên như sau:

454545452525303025254545454545453535404025253030

353530304545353540404040454535352525252530303030

Bang phân bô tân sô – tân suât

100%100%2424CCôôngng

30.830.8774545

12.512.5334040

16.716.7443535

2020553030

2020552525

TTâân sun suââttTTâân sn sôôGia triGia tri

Sư dung may tinhCasio fx-570ES

Thưc hiên theo cac bươc sau:

SHIFT1. SET UP 4Frequeney?1:ON 2: OFFXuât hiên

Nêu muôn khai bao tân sô thi bâm 1, không muôn thi bâm 2

2. MODE 3 1 Xuât hiênX PREQ

123

3.

25

Nhâp sô liêu

= =30 35 = 40 = =45

Nhâp tân sô: =5 5 = 4 = 3 = 7 = AC

Tinh sô trung binh:

SHIFT 1 5 2 = (kêt qua: )35,41666x

Tinh đô lêch chuân:

SHIFT 1 5 3 = (kêt qua: )7,626s

Tinh phương sai:

x2 = (kêt qua: )2 58,1597s

Tinh đô dai mâu; sô trung binh; đô lêch chuân va phương sai ?

Tinh đô dai mâu:

SHIFT 1 5 1 = (kêt qua: n=24)Var

2. S dụng máy Casio fx - 500 ES (Stat: MODE 2 )


454545452525303025254545454545453535404025253030

353530304545353540404040454535352525252530303030



30.830.8774545

12.512.5334040

16.716.7443535

2020553030

2020552525


Sư dung may tinhCasio fx-500ES





123

3.

25

Nhâp sô liêu

= =30 35 = 40 = =45

Nhâp tân sô: =5 5 = 4 = 3 = 7 = AC


SHIFT 1 5 2 = (kêt qua: )35,41666x


SHIFT 1 5 3 = (kêt qua: )7,626s

Tinh phương sai:

x2 = (kêt qua: )2 58,1597s


Tinh đô dai mâu:


-126-

3. S dụng máy Casio fx - 570 ES.lus


454545452525303025254545454545453535404025253030

353530304545353540404040454535352525252530303030



30.830.8774545

12.512.5334040

16.716.7443535

2020553030

2020552525


Sư dung may tinhCasio fx-500ES.lus





123

3.

25

Nhâp sô liêu

= =30 35 = 40 = =45

Nhâp tân sô: =5 5 = 4 = 3 = 7 = AC


SHIFT 1 4 2 = (kêt qua: )35,41666x


SHIFT 1 4 3 = (kêt qua: )7,626s

Tinh phương sai:

x2 = (kêt qua: )2 58,1597s


Tinh đô dai mâu:


4. S dụng máy Casio fx - 570 MS MODE MODE 1 (SD)


454545452525303025254545454545453535404025253030

353530304545353540404040454535352525252530303030



30.830.8774545

12.512.5334040

16.716.7443535

2020553030

2020552525


Sư dung may tinhCasio fx-570MS


ON1. MODE MODE


SHIFT S-VAR 1 = (kêt qua: )35,41666x


SHIFT S-VAR 2 = (kêt qua: )7,626s

Tinh phương sai:

x2 = (kêt qua: )2 58,1597s


Tinh đô dai mâu:

SHIFT S-SUM 3 = (kêt qua: n=24)

25

2. Nhâp sô liêu

SHIFT DT5; 30 SHIFT DT5; 35 SHIFT DT4;

40 SHIFT DT3; 45 SHIFT DT7;

1

5. S dụng máy Casio fx - 500 MS

-127-


454545452525303025254545454545453535404025253030

353530304545353540404040454535352525252530303030



30.830.8774545

12.512.5334040

16.716.7443535

2020553030

2020552525


Sư dung may tinhCasio fx-500MS


ON1. MODE 2


SHIFT S-VAR 1 = (kêt qua: )35,41666x


SHIFT S-VAR 2 = (kêt qua: )7,626s

Tinh phương sai:

x2 = (kêt qua: )2 58,1597s


Tinh đô dai mâu:

SHIFT S-SUM 3 = (kêt qua: n=24)

25

2. Nhâp sô liêu

SHIFT DT5; 30 SHIFT DT5; 35 SHIFT DT4;

40 SHIFT DT3; 45 SHIFT DT7;

-128-

BÀI TẬP Bài 1/ Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau (thời gian hoàn thành một giản phẩm của

một nhóm công nhân, đơn vị tính: bằng phút)

42

45

45

54

48

42

45

45

54

48

42

45

45

50

48

42

45

45

50

48

44

45

45

50

48

44

45

45

50

48

44

45

45

48

50

44

45

45

48

50

44

45

45

48

50

45

45

54

48

50

a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất.

b) Trong 50 công nhân được khảo sát, những công nhân có thời gian hoàn thành một

sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm.

Bài 2/ Cho số liệu thống kê về chiều cao của 120 học sinh lớp 11, đơn vị tính : cm. Như sau Nam Nữ

175

176

176

177

176

170

170

170

165

166

175

175

176

176

175

163

162

161

165

169

144

143

142

141

144

156

157

160

164

163

146

147

149

148

152

168

167

166

174

173

161

162

158

159

160

150

151

152

153

155

160

160

160

161

162

172

171

170

170

170

172

172

172

175

175

170

170

170

170

170

175

176

176

175

176

141

142

142

150

154

150

152

152

160

160

160

161

162

164

165

155

156

157

158

159

144

144

143

143

140

145

146

147

148

149

150

154

152

152

153

160

165

159

165

159

168

159

168

159

168

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp cho cả nam và nữ với các lớp:

[135;145); [145;155); [155;165); [165;175); [175;185]

b) Trong số các học sinh chiều cao chưa đến 155cm (của 120 hs khảo sát), học sinh nam

đông hơn hay học sinh nữ đông hơn?

Bài 3/ Cho số liệu thống kê thời gian từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày (thời gian

tính: phút) như sau: 21

22

22

21

23

22

19

20

20

21

24

23

24

23

26

19

20

21

22

21

23

23

24

23

24

26

27

28

29

28

25

26

25

26

25

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: [19;21),[21;23),[23;25),[25;27),[27;29].

b) Thời gian đến trường từ 21 phút đến dưới 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?

Bài 4/ Cho bảng phân bố ghép lớp ( kết quả đo của 55 hs, khi đo tổng các góc trong của một tứ

giác lồi) Lớp số đo (độ) Tần số

[535;537)

[537;539)

[539;541)

[541;543)

[543;545]

6

10

25

9

5

Cộng 55

a) Bổ sung thêm cột tần suất.

-129-

b) Nêu nhận xét về kết quả đo của 55 học sinh trên.

Bài 5/ Cho các số liệu thông kê về nhiệt độ trung bình (0C) của tháng 5 ở địa phươ A thừ 1961

đến 1990 như sau:

27,1

28,1

26,8

26,9

27,4

26,7

28,5

27,4

29,0

27,4

26,5

28,4

29,1

27,8

28,3

27,0

28,2

27,4

27,1

27,6

27,0

27,4

28,7

27,0

28,0

27,3

28,3

28,6

26,8

25,9

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

[25;26), [26;27), [27;28); [28;29), [29;30]

b) Trong 30 năm khảo sát, những năm có nhiệt độ trung bình của tháng 5 (ở địa phương

A) từ 280C đến 30

0C chiếm bao nhiêu phần trăm?

Bài 6/ a) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã lập được ở bài tập số 3 bằng cách vẽ biểu đồ

tần số hình cột, vẽ đường gấp khúc tần số.

b) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập được ở bài tập số 3 bằng cách vẽ biểu đồ tần

suất hình cột, vẽ đường gấp khúc tần suất.

c) Dựa vào biểu đồ tần suất hình cột đã vẽ ở câu b) nêu nhận xét về thời gian bạn A đi từ nhà

tới trường trong 35 ngày khảo sát.

Bài 7/ a) Trong cùng một hệ trục tọa độ hãy vẽ:

Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2

theo chiều cao của học sinh nam;

Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2

theo chiều cao của học sinh nữ;

b) Dựa vào các đường gấp khúc tần suất đã vẽ ở câu a) hãy so sánh các phân bố theo chiều

cao của học sinh nam và nữ.

Bài 8/ Cho bảng phân bố tần số ghép lớp:

Tình hình tham gia hoạt động ngoài giờ lên lớp của 73 học sinh lớp 10 trương THPT B

( trong thời gian một tháng).

Bài 9/ Cho các biểu đồ hình quạt

Cơ cầu chi tiêu của người dân Việt Nam,

phân theo các khoản chi (%).

Dựa vào các biểu đồ hình quạt đã cho,

lập bảng trình bày cơ cấu chi

tiêu của nhân dân Việt Nam

trong năm 1975 và 1989.

1975

-130-

Bài 10/

a) Bằng hai cách khác nhau, tính số trung bình của dãy số liệu về chiều cao của học

sinh nam và nữ cho trong bảng bài tập 1.

b) So sánh chiều cao của học sinh nam và nữ trong nhóm học sinh được khảo sát.

c) Tính chiều cao trung bình của tất cả các học sinh được khảo sát.

Bài 11/

a) Tính số trung bình của các số liệu thống kê cho trong các bài tập 3,4,5.

b) Nêu ý nghĩa của các số trung bình tính được.

Bài 12/ Cho bảng phân bố tần số

Mức thu nhập trong năm 2000 của 31 gia đình trong một bản ở vùng núi cao.

a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của các số liệu thống kê đã cho.

b) Chọn giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho.

Bài 13/ Cho bảng xếp loại lao động của học sinh lớp 10A năm học 2000-2001.

Loại lao động Tần số

A

B

C

D

10

16

16

7

Cộng 49

a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của bảng nếu tính được.

b) Chọn giá trị đại diện cho các giá trị thống kê đã cho về quy mô và độ lớn.

Bài 14/Tính

a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu về chiều cao của các học sinh nam

và học sinh nữ cho ở bài tập 2.

b) Giả sử trường THPT M còn có một nhóm học sinh nam lớp 10 chuyên Toán (kí hiệu

là nhóm T) có chiều cao trung bình là 163cm, có độ lệch chuẩn là sx=13. So sánh

chiều cao của ba nhóm học sinh đã cho (nhóm nam, nữ và nhóm T).

1989

Mức thu nhập (triệu đồng) Tần số

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6.5

7,0

13,0

1

1

3

5

8

5

7

2

Cộng 31

-131-

Bài 15/ Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở

bảng sau:

Điểm số của A:

8 9 10 9 9

10 8 7 6 8

10 7 10 9 8

10 8 9 8 6

10 9 7 9 9

9 6 8 6 8

Điểm số của B:

9 9 10 6 9

10 8 8 5 9

9 10 6 10 7

8 10 9 10 9

9 10 7 7 9

9 8 7 8 8

a) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở 2

bảng trên.

b) Xét xem trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắm chụm hơn.

Bài 16/ Người ta điều tra sản phẩm của hai tổ đóng gói các túi đường (có khối lượng quy định

là 2kg). Kết quả điều tra cho các số liệu thống kê ghi trong 2 bảng sau:

Khối lượng của 40 túi đường được đóng gói bởi tổ A (đơn vị là kg).

1.95 2.09 1.91 1.99 1.93 2.07 5.15 1.96 1.93 1.94

1.94 2.05 2.02 1.97 1.91 1.95 2.05 2.04 2.03 2.00

2.02 1.94 1.92 1.97 2.00 2.02 2.04 2.05 2.02 2.02

1.94 2.01 1.99 1.95 2.03 2.06 1.91 2.14 1.90 2.25

Khối lượng của 40 túi đường được đóng gói bởi tổ B (đơn vị là kg).

1.77 1.79 1.80 1.69 1.76 1.69 1.69 1.93 1.94 1.98

2.07 1.98 1.96 1.97 2.06 1.96 1.96 1.91 1.93 2.06

1.97 2.07 2.06 2.08 1.91 1.95 2.05 1.93 1.94 2.02

2.22 2.31 1.80 2.30 2.30 2.23 2.31 2.25 2.24 2.23

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm của tổ A với các lớp:

[1.90;1.98);[1.98;2.06);[2.06;2.14);[2.14;2.22);[2.22;2.30).

b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm của tổ B với các lớp:

[1.5;1.7);[1.7;1.9);[1.9;2.1);[2.1;2.3);[2.3;2.5).

c) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở bảng

2 bảng trên. Từ đó xét xem trong lần điều tra này, sản phẩm của tổ nào có khối

lượng đồng đều hơn.

Bài 17: Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2005.

Đơn vị là triệu đồng.

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L 12 15 18 13 13 16 18 14 15 17 20 17

a) Tìm số trung bình, số trung vị.

b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Đáp số: a) 67.15x triệu đồng; 5.15eM triệu đồng

-132-

b) 2 5.39; 2.32s s triệu đồng

Bài 18. Một cửa hàng vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán ra trong 23 ngày cuối

năm 2005. Kết quả như sau: 47 ; 54 ; 43 ; 50 ; 61 ; 36 ; 65 ; 54 ; 50 ; 43 ; 62 ; 59 ; 36 ;

45 ; 45 ; 33 ; 53 ; 67 ; 21 ; 45 ; 50 ; 36 ; 58.

a) Tìm số trung bình, số trung vị.


Đáp số: a) 48.39; 50ex M ; b) 2 121.98; 11.04s s

Bài 19. Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong mỗi tháng được thống kê như

sau T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

SK 430 560 450 550 760 430 525 110 635 450 800 950

a)Tìm số trung bình, số trung vị


Đáp số: a) 554.17; 537.5ex M b) 2 43061.81; 207.51s s

Bài 20. Trên hai con đuờng A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ô tô

trên mỗi con đường như sau: Con đường A : 60 ; 65 ; 70 ; 68 ; 62 ; 75 ; 80 ; 83 ; 82 ; 69 ; 73 ; 75 ; 85 ; 72 ; 67 ; 88 ; 90 ;

85 ; 72 ; 63 ; 75 ; 76 ; 85 ; 84 ; 70 ; 61 ; 60 ; 65 ; 73 ; 76.

Con đường B: 76 ; 64 ; 58 ; 82 ; 72 ; 70 ; 68 ; 75 ; 63 ; 67 ; 74 ; 70 ; 79 ; 80 ; 73 ; 75 ; 71 ;

68 ; 72 ; 73 ; 79 ; 80 ; 63 ; 62 ; 71 ; 70 ; 74 ; 69 ; 60 ; 63.

a)Tìm số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn của tốc độ ô tô trên mỗi con .

b) Theo em thì lái xe trên con đường nào an toàn hơn ?

Đáp số: a) Trên con đường A : 273.63 / ; 73 / ; 74.77; 8.65 /ex km h M km h s s km h

Trên con đường B: 270.7 / ; 71 / ; 38.21; 6.18 /ex km h M km h s s km h

b) Lái xe trên con đường B an toàn hơn trên con đường A vì vận tốc trung bình của

ô tô trên con đường B nhỏ hơn trên con đường A và độ lệch chuẩn của ô tô trên con

đường B cũng nhỏ hơn trên con đường A.

Bài 21: 400 quả trứng được phân thành năm lớp căn cứ trên khối lượng (đơn vị gam) của

chúng. Ta có bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây: Lớp Tần số

[27,5 ; 32,5)

[32,5 ; 37,5)

[37,5 ; 42,5)

[42,5 ; 47,5)

[47,5 ; 52,5)

18

76

200

100

6

N = 400

a) Tính số trung bình

b) Tính phương sai , độ lệch chuẩn.

Đáp số: a) gx 40 b) gss 12.4;172

Bài 22. Một người lái xe thường xuyên đi lại giữa hai địa điểm A và B.Thời gian đi (tính bằng phút)

được ghi lại trong bảng phân bố tần số ghép lớp sau:

Lớp Tần số

[40 ; 44]

[45 ; 49]

[50 ; 54]

[55 ; 59]

[60 ; 64]

[65 ; 69]

9

15

30

17

17

12

N = 100

a) Tính thời gian trung bình mà người đó đi từ A đến B

-133-

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Đáp số: a) Thời gian trung bình mà người đó đi từ A đến B xấp xỉ là 54.7 phút

b) 33.7;71.532 ss phút

Bài 23. Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột . Kết quả thu

được như sau: 21; 17; 22; 18; 20; 17; 15; 13; 15; 20; 15; 12; 18; 17; 25; 17; 21; 15; 12; 18; 16;

23; 14; 18; 19; 13; 16; 19; 18; 17. a) Lập bảng phân bố tần số

b) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn.

c) Tính số trung vị và mốt.

Đáp số: a) Lập bảng với 2 hàng là : tuổi và tần số

b) 12.3;37.17 sx

c) 17eM có 2 mốt là 18,17 00 MM

Bài 24. Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về một bộ phim mới chiếu trên truyền hình.

Người điều tra yêu cầu cho điểm bộ phim (thang điểm là100). Kết quả được trình bày trong bảng phân

bố tần số sau đây:

Lớp Tần số

[50 ; 64)

[60 ; 70)

[70 ; 80)

[80 ; 90)

[90 ; 100)

2

6

10

8

4

N = 30

a) Tính số trung bình.

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Đáp số: a) 77x b) 08.11;67.1222 ss

-134-

Bài tập Thêm

Bài 1: Số học sinh giỏi của một trường THPT gồm 30 lớp được cho ở bảng sau:

0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 1 5 2 4 5

1 0 1 2 4 0 3 3 1 0 0 1 6 6 0

a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.

b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.

c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất.

Bài 2: Nhiệt độ của 24 tỉnh, thành phố ở Việt Nam vào một ngày của tháng 7 như sau (đơn vị:

độ)

36 30 31 32 31 40 37 29

41 37 35 34 34 35 32 33

35 33 33 31 34 34 35 32




Bài 3: Kết quả điều tra số con trong một gia đình của 45 hộ ở một xã miền núi được ghi như

sau:

4 0 2 4 1 0 2 2 1 0 1 0 2 3 4

0 3 3 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 4 0

4 1 1 2 1 1 2 3 4 2 1 2 2 3 3



Bài 4: Một trạm kiểm soát giao thong ghi tốc độ của 30 chiếc xe môtô qua trạm như sau:

40 58 60 75 45 70 60 49 60 75

52 41 70 65 60 42 80 65 58 55

65 75 40 55 68 70 52 55 60 70

Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 5: Hai lớp 10A và 10B của một trường THPT đồng thời làm bài thi môn Văn theo cùng

một đề thi. Kết quả như sau:

Lớp 10A:

Điểm thi 5 6 7 8 9 10 Cộng

Tần số 1 9 12 14 1 3 40

Lớp 10B:

Điểm thi 6 7 8 9 Cộng

Tần số 8 18 10 4 40

a) Tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng số liệu trên.

b) Nhận xét xem lớp nào học đều hơn.

Bài 6: Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân ở một xưởng may, ta có bảng phân bố

tần số sau:

Tiền lương 300 500 700 800 900 1000 Cộng

Tần số 3 5 6 5 6 5 30

a) Lập bảng phân bố tần suất.

b) Tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng số liệu trên.


Bài 7: Điểm thi toán của 60 học sinh lớp 10 được cho ở bảng sau:

1 5 4 8 2 9 4 5 3 2

2 6 3 7 5 9 10 10 7 9

4 1 3 6 0 10 3 3 0 8

2 5 2 1 5 1 8 5 7 2

4 6 3 4 2 6 4 1 6 8

-135-

0 5 3 8 2 7 2 7 10 0

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [0;2), [2; 4), …, [8;10].

b) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.

c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột.

d) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất.

e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.

Bài 8: Số điện tiêu thụ của một khu dân cư trong một tháng như sau (đơn vị: KW):

50 47 30 65 63 70 38 34 48 53

55 50 61 37 37 43 35 65 60 31

33 41 45 55 59 33 39 32 40 50

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [30;35), [35; 40), …,

[65;70].





Bài 9: Trong một cuộc điều tra 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư với câu hỏi: “Tháng trước anh

(chị) sử dụng hết bao nhiêu cuộn phim?” thu được mẫu số liệu sau:

5 3 3 1 4 3 4 3 6 8

4 2 4 6 8 9 6 2 10 11

15 1 2 5 13 7 7 2 4 9

3 8 8 10 14 16 17 6 6 12

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [0;2], [3; 5], …, [15;17].





Bài 10: Quyên góp tiền ủng hộ từ thiện ở một trường học như sau (đơn vị: nghìn đồng).

95 98 102 95 97 110 115 120 112 96

98 125 118 120 98 100 105 121 118 99

105 115 97 99 96 99 105 124 125 125

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [95;100), [100;105), …,

[125;130].





Bài 11: Điểm trung bình của 10 học sinh lớp 10A được thống kê theo bảng sau:

Học sinh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Điểm 9,0 5,0 6,0 7,0 7,5 8,0 6,0 8,0 4,0 3,0

a) Tính Me và x bảng thống kê điểm số trên

b) Tìm phương sai, độ lệch chuẩn

-136-

BÀI TẬP ÔN CHƢƠNG V: THỐNG KÊ

1. Cho bảng số liệu thống kê:

Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh từ Nghệ An trở vào

30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 35 25 45

30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40

40 35 35 35 35

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất

b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy đưa ra nhận xét các số liệu thống kê.

c) Tính số trung bình cộng x

d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn


Thời gian (phút) hoàn thành một bài tập toán của mỗi học sinh lớp 10A.

20,8 20,7 23,1 20,7 20,9 20,9 23,9 21,6 25,3 21,5

23,8 20,7 23,3 19,8 20,9 20,1 21,3 24,2 22,0 23,8

24,1 21,1 22,8 19,5 19,7 21,9 21,2 24,2 24,3 22,2

23,5 23,9 22,8 22,5 19,9 23,8 25,0 22,9 22,8 22,7

a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau:

[19,5 ; 20,5) [20,5 ; 21,5) [21,5 ; 22,5)

[22,5 ; 23,5) [23,5 ; 24,5) [24,5 ; 25,5]

b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy đưa ra nhận xét các số liệu thống kê đã cho.




Sản lượng thuỷ sản nuôi trồng năm 2000 (đơn vị: tấn) của 30 tỉnh từ Thừa Thiên - Huế trở ra:

775 51 522 40 280 1245 1942 557 86 131

834 391 433 20 89 33 312 872 1763 303

200 554 1902 27 626 94 74 1165 419 164

a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất:

[20 ; 320) [320 ; 620) [620 ; 920)

[920 ; 1220)

[1220 ; 1520) [1520 ; 1820) [1820 ; 2120]

b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy nêu nhận xét các số liệu thống kê đã cho.




Giá trị thành phẩm quy ra tiền (đơn vị: nghìn đồng) trong 30 ngày sản xuất của một phân xưởng hoá chất.

180 186 190 204 192 200 201 203 191 202

212 205 211 240 216 208 209 222 221 220

225 206 228 231 220 239 210 213 202 203

a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp như sau:

[180 ; 192) [192 ; 204) [204 ; 216) [216 ; 228) [228

; 240]

b) Biết rằng định mức lao động của phân xưởng là “mỗi ngày phải sản xuất được tối thiểu 204 nghìn đồng”. hãy

xác định xem số ngày mà phân xưởng hoàn thành định mức lao động chiếm một tỉ lệ là bao nhiêu phần trăm

(trong 30 ngày được khảo sát).



5. Với mỗi tỉnh, người ta ghi lại số phần trăm những trẻ em mới sinh có trọng lượng dưới 2500 g. Sau đây là kết

quả khảo sát ở 43 tỉnh (đơn vị : %).

5,1 5,2 5,2 5,8 6,4 7,3 6,5 6,9 6,6 7,6 8,6

6,5 6,8 5,2 5,1 6,0 4,6 6,9 7,4 7,7 7,0 6,7

6,4 7,4 6,9 5,4 7,0 7,9 8,6 8,1 7,6 7,1 7,9

8,0 8,7 5,9 5,2 6,8 7,7 7,1 6,2 5,4 7,4

a) Hãy lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp gồm 5 lớp. Lớp thứ nhất là nửa khoảng [4,5 ; 5,5), lớp

thứ hai là [5,5 ; 6,5),………(Độ dài mỗi nửa khoảng là 1)

b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột. c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.

d) Tính số trung bình của mẫu số liệu trên. e) Tìm số trung vị và mốt.

-137-

f) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

6. Kết quả của một kì thi môn Tiếng Anh của 32 học sinh được cho trong mẫu số liệu sau (thang điểm 100).

68 52 49 56 69 74 41 59

79 61 42 57 60 88 87 47

65 55 68 65 50 78 61 90

86 65 66 72 63 95 72 74

a) Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp, sử dụng sáu lớp : [40 ; 50) ; [50 ; 60) ; … ; [90 ; 100)

b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột. c) Vẽ đường gấp khúc tần số.

d) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt. e) Tính số trung bình của mẫu số liệu

trên.

f) Tìm số trung vị và mốt. g) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

7. Điểm trung bình kiểm tra của 02 nhóm học sinh lớp 10

Nhóm 1 : 9 học sinh Nhóm 2 : 11 học sinh

1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10

a) Hãy lập các bảng phân bố tần số và tuần suất ghép lớp với các lớp [1, 5); [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] của 2

nhóm.

b) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn ở 2 bảng phân bố.

c) Nêu nhận xét về kết quả làm bài của hai nhóm.

d) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột của 2 nhóm.

8. Số tiết tự học tại nhà trong 1 tuần (tiết/tuần) của 20 học sinh lớp 10X trường MC được ghi nhận như sau :

9 15 11 12 16 12 10 14 14 15

16 13 16 8 9 11 10 12 18 18

a) Lập bảng phân phối rời rạc theo tần số cho dãy số liệu trên

b) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc theo tần số biểu diễn bảng phân phối trên

c) Tính số trung bình cộng và phương sai của giá trị này.

9. Năng suất lúa (tạ/ha) của 30 hộ nông dân trong xã A, huyện B, tỉnh X vào năm 2008 như sau:

24 30 30 35 26 45 40 34 37 52

33 48 34 47 51 28 36 44 48 55

29 35 47 54 39 43 32 29 46 51

a) Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp theo các lớp:

Lớp 1 (năng suất thấp) = [20 ; 30) Lớp 2 (năng suất TB) = [30 ; 40)

Lớp 3 (năng suất khá) = [40 ; 50) Lớp 4 (năng suất cao) = [50 ; 60)

b) Vẽ các biểu đồ hình cột và đường gấp khúc (theo tần số) từ bảng phân bố trên. Nêu 1 nhận xét về kết quả vụ

thu hoạch này.

c) Tính năng suất trung bình của xã A và tìm số trung vị. Giữa số trung bình và số trung vị số nào làm đại diện

tốt hơn.

d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn

10. Chiều cao của 45 học sinh lớp 5 ( tính bằng cm ) được ghi lại như sau :

102 102 113 138 111 109 98 114 101

103 127 118 111 130 124 115 122 126

107 134 108 118 122 99 109 106 109

104 122 133 124 108 102 130 107 114

147 104 141 103 108 118 113 138 112

a) Lập bảng phân phối tần số – tần suất ghép lớp (98 - 102); (103 - 107); …… ; (143 - 147).

b) Vẽ đường gấp khúc tần số. c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.

d) Tìm số trung bình cộng và số trung vị e) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

11. Xem bảng tiền lương của 30 công nhân xưởng may (trong một tháng)

Tiền lương xi (nghìn đồng) 300 500 700 800 900 1000 Cộng

Tần số ni 3 6 5 5 6 5 30

Tính số trung bình cộng x của bảng thống kê và tìm mốt M0 của bảng phân phối thực nghiệm trên.

12. Cho bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp. Hãy tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch

chuẩn của bảng phân phối thực nghiệm.

Các lớp giá trị của X [10 ; 14) [14 ; 18) [18 ; 22] Cộng

Tần suất fi (%) 65 10 25 100%

13. Cho bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp:

Năng suất lúa năm 1985 của 31 thửa ruộng ở địa phương A

Các lớp giá trị của X (tạ/ha) Tần số ni a) Tính số trung bình cộng x

b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

-138-

[15,50 ; 20,50)

[20,50 ; 25,50)

[25,50 ; 30,50)

[30,50 ; 35,50]

3

10

11

7

Cộng 31

14. Sản lượng lúa (đơn vị: tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng phân

phối thực nghiệm tần số sau đây:

Sản lượng xi 20 21 22 23 24 Cộng

Tần số ni 5 8 11 10 6 40

a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng.

b) Tìm số trung vị và mốt

c) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

15.

Bài tập

Bài 1: Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A ở trường X được cho ở bảng sau

Điểm 5 6 7 8 9 10

Tần số 1 5 10 9 7 3

Tìm số trung bình, số trung vị và mốt.phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 2: Bạn Lan ghi lại số cuộc điện thoại nhận được mỗi ngày trong 2 tuần

5 6 10 0 15 6 12 2 13 16 0 16 6 10

a. Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn

b. Lâp bảng phân bố tần số ghép lớp với các lớp sau: 0;4 , 5;9 , 10,14 , 15,19

Bài 3: : Số liệu sau đây ghi lại mức thu nhập hàng tháng làm theo sản phẩm của 20 công nhân

trong một tổ sản xuất (đơn vị tính : trăm ngàn đồng )

Thu nhập

(X)

8 9 10 12 15 18 20

Tần số(n) 1 2 6 7 2 1 1

Tính số trung bình , số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,01)

Bài 4: Cho bảng phân bố tần số

Điểm kiểm tra

toán

1 4 6 7 9 Cộng

Tần số 3 2 19 11 8 43

Tính phương sai, độ lệch chuẩn và tìm mốt của bảng đã cho

Bài 5: Số liệu sau đây ghi lại mức thu nhập hàng tháng của 400 công nhân trong một cơ sở sản

xuất (đơn vị tính : trăm ngàn đồng )

Nhóm Khoảng Tần số Giá tri đại

diện

Tần suất

1

2

3

4

5

[8;10)

[10;12)

[12;14)

[14;16)

[16;18)

60

134

130

70

6

…………..

…………..

…………..

…………..

……………

……………

……………

…………....

……………

…………..

-139-

N=400

a) Điền vào dấu …. trong bảng trên . Vẽ biểu đồ tần số hình cột ,đường gấp khúc

b) Tính số trung bình , số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,01)

-140-

Bài 6. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm):

145 158 161 152 152 167

150 160 165 155 155 164

147 170 173 159 162 156

148 148 158 155 149 152

152 150 160 150 163 171

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165;

175].

b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất

c) Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 7: Cho bảng phân bố tần số tiền thưởng (triệu đồng) cho cán bộ và nhân viên của một công

ty

Tiền

thưởng 2 3 4 5 6 Cộng

Tần số 5 15 10 6 7 43

Tính phương sai, độ lệch chuẩn, tìm mốt và số trung vị của phân bố tần số đã cho.

Bài 8: Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau đây:

645 650 645 644 650 635 650 654

650 650 650 643 650 630 647 650

645 650 645 642 652 635 647 652

a. Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với các lớp là:

630;635 , 635;640 , 640;645 , 645;650 , 650;655

b. Tính phương sai của bảng số liệu trên.

c. Vẽ biểu đồ hình cột tần số, tần suất

Bài 9 : Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền.

Lớp chiều cao (

cm )

Tần

số

[ 168 ; 172 )

[ 172 ; 176 )

[ 176 ; 180 )

[ 180 ; 184 )

[ 184 ; 188 )

[ 188 ; 192 ]

4

4

6

14

8

4

Cộng 40

a). Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ?

b). Nêu nhận xét về chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền kể trên ?

c). Tính số trung bình cộng , phương sai , độ lệch chuẩn ?

d). Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu 1.

Bài 10: Khảo sát dân số tại một địa phương ta có bảng kết quả sau:

Dưới 20

tuổi

Từ 20 đến 60

tuổi

Trên 60

tuổi

Tổng

cộng

11 800 23 800 4 500 40 100

Hãy biểu đồ tần suất hình quạt.

-141-

Bài 11. Để khảo sát kết quả thi môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của trường A ,

người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán (thang

điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây.

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tần

số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 100N

1. Tìm mốt. Tìm số trung bình (chính xác đến hàng phần trăm).

2. Tìm số trung vị. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm).

3. Vẽ biểu đồ tần số và tần suất hình cột.

Bài 12. Tiến hành một cuộc thăm dò về số giờ tự học của một học sinh lớp 10 ở nhà trong một tuần,

người điều tra chọn ngẫu nhiên 50 học sinh lớp 10 và đề nghị các em cho biết số giờ tự học ở nhà

trong 10 ngày. Mẫu số liệu được trình bày dưới dạng phân bố tần số ghép lớp sau đây (đơn vị là giờ).

Lớp Tần số

0;9 5

10;19 9

20;29 15

30;39 10

40;49 9

50;59 2

50N

a) Bổ sung cột tần suất để hình thành bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.

b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn.

c) Vẽ biểu đồ tần số hình cột tần suất.

-142-

Chƣơng IV

CUNG VÀ GÓC LƢỢNG GIÁC

I. Khái niệm cung và góc lƣợng giác:

1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác:

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là

chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ

làm chiều dương

-

+

A

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Điểm M di động trên đường tròn theo

một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lƣợng giác

Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B

Với 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác.

2. Góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường tròn

từ C đến D. Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD. Khi đó tia OM tạo ra một

góc lƣợng giác có tia đầu là OC tia cuối là OD.

Kí hiệu: (OC,OD)

3-Đường tròn lượng giác :

Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại

A(1; 0) A’(-1; 0); cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1).

II. Số đo của cung và góc LG:

1. Độ và radian

Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad

1800

= rad

10 =

180

rad và rad=(

180

)

0

với 3,14; 100,01745rad

Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết chữ

rad sau số đó. Ví dụ: 3

;

2

*Bảng chuyển đổi thông dụng:

Độ 300

450

600

900

1800 360

0

rad

6

4

3

2

2

*Độ dài của một cung lƣợng giác

Độ dài cung có số đo rad của đường trịn bán kính R là : l = R

+

A'(-1; 0)

B'(0; -1)

B(0; 1)

OA(1; 0)

-143-

2. Số đo của cung lƣợng giác: VD: Xem hình 44

Kết luận: số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm.

Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM.

Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội

của 2 . Và viết là:

sđAM = 2k , (kZ)

Trong đó là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.

MA sđAA = 2k , (kZ)

k = 0 sđAA = 0

* Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là:

SđAM = a0 + k360

0, (kZ)

3. Số đo một góc lƣợng giác:

Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng .

Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.

4.Biểu diễn cung lƣợng giác trên đƣờng tròn lƣợng giác:

Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A

làm điểm gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau :

sđ AM = . Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo là 25

4

; -765

0

Giải: SGK tr139

Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung sau

a) 11

2

; b) 405

0

Giải

a) 11/2 = -/2 + 6. Điểm ngọn M của cung 11/2 được xác định bởi hệ thức :

sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 . Vậy M là điểm B’(0;-1).

b) Ta có 4050 = 45

0 + 360

0. Điểm ngọn N của cung 405

0 được xác định bởi hệ

thức: sđAN = 450 + 360

0 hay sđ AN = 45

0.

Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB.

Ví dụ 2 : Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo

= /2 + k , kZ.

Giải

kZ nên k có thể là số chẵn hoặc là số lẻ :

+ Nếu k chẵn thì k = 2n, nZ. Khi đó = /2 + n2 , nZ.

Vậy điểm ngọn của là B(0;1).

+ Nếu k lẻ thì k = 2n - 1, nZ. Khi đó = /2 + (2n-1) = -/2 + n2 , nZ.

Vậy điểm ngọn của là B’(0;-1).

-144-

BÀI TẬP 1) Đổi số đo các góc sau ra radian

a) 22030’ = 22

0 +(1/2)

0 /8 b) 71

052’ =71

0 + (52/60)

0 539/1350

2) Đổi số đo các cung sau ra độ ,phút, giây

a) 3/16 =33045’ b) 3/4 = 42

058’19”

3) Cho một đường tròn có bán kính 5 cm . Tìm độ dài cung tròn trên đường tròn có số đo

a) 1 b) 1,5 c) 370 ( =R. , = .a/180)

4) Cho một đường tròn có bán kính 8 cm. Tìm số đo bằng độ các cung có độ dài

a) 4 cm b) 8 cm c) 16 cm ( = /R a=180./ =R.

.180

)

5) Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo

3/4 ; -600 ; -315

0 ; -5/4 ; 11/3

Trong các điểm ngọn của các cung ,có những điểm trùng nhau,hãy giải thích. HD :

3/4 = /2+/4

5/4 = 3/4 2

11/3 = /3 +12/3 =/3 +4

600 = /3

3150 = 270

0 45

0

Các cung có cùng điểm ngọn là 3/4 và5/4;11/3 và 600

6) Trên đường tròn lượng giác,cho điểm M xác định bởi sđ AM = ( 0<</2). Gọi M1, M2

,M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox,Oy và gốc tọa độ . Tìm số đo của các cung

AM1 ; AM2 ; AM3 HD :

Sđ AM1 = +k2

Sđ AM2 = + k2

Sđ AM3 = + +k2.

7) Trên đường tròn lượng giác,xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung AM có số đo :

a) k b) k/2 c) k2 /5 ( k Z) HD :

a) Các điểm ngọn khác nhau là A,A’ .

b) Các điểm ngọn khác nhau là A,B,A’,B’.

c) =2/5 a = 720 điểm ngọn là các đỉnh của ngũ giác điều

8) Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây .

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút biết rằng đường

kính của bánh xe đạp là 680 mm. HD :

a) =5

11.2=22/5 a = 75

0

b) = 60.5

22.

2

680 282 m

B'

B

A' AO

M3 M1

M2

AA'

B'

B

O

M

y

xAA'

B'

B

O

M

-145-

BÀI TẬP LÀM THÊM

1) a) Đổi ra radian các góc có số đo sau : 180;25

0;37

015’;127

030’;480

0;1850

0.

180= /10; 25

0= 5/36; 37

015’= 149/120; 127

030’= 17/24

4800= 8/3; 1845

0= 123/12.

b) Đổi ra độ các cung có số đo radian sau: /18; 5/12; 7/15 ;2; 5,2 ; 21,16 .

/18= 180; 5/12= 75

0; 7/15=840 ; 2rad 114

035’30”

5,2 rad 297056’17” ; 21,6 rad 1237

035’20”.

2) Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tính chiều dài cung AB trên đường tròn này biết : sđ

AB = 300 ; 3/6 ; 240

0 ; 3/5

10,5 cm ; 31,4 cm ; 83,8 cm; 37,7 cm

3) Cho góc lượng giác = 400 + k360

0. Xác định góc sao cho :

a) || 3600

3600 40

0 +k360

0 3600

360

320

360

400 k k=1;0.

b) || 9800

Tương tự k = 2;1;0;1;2.

-146-

§ 2 GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

I. Các giá trị lƣợng giác của cung

1) Định nghĩa : Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có

sđ AM = . Khi đó :

+ Khi đó tung độ y= OK của điểm M gọi là sin của

kí hiệu là sin sin = y .

+ Khi đó hoảnh độ x= OH của điểm M gọi là côsin của

kí hiệu là cos cos = x .

+ Nếu cos 0, tỉ số

cos

sin gọi là tang của

kí hiệu tan (hoặc tg ) tan=

cos

sin

+ Nếu sin 0, tỉ số

sin

cos gọi là côtang của

kí hiệu cot (hoặc cotg ) cot =

sin

cos .

Các giá trị sin , cos, tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Trục

tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin.

* Chú ý : - Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.

- Nếu 00 180

0 thì các giá trị lượng giác của cũng chính là các tỉ số lượng giác của

góc trong SGK HH10.

2) Các hệ quả :

a) sin và cos đều được xác định R. Ta có:

sin( + k2) = sin

cos( + k2) = cos

1 sin ,cos 1

b) m R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại và sao cho sin = m và sin =m

c) tan xác định khi 2

+ k , k Z.

cot xác định khi k , k Z.

c) Dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư

Góc lượng giác I II III IV

sin + +

cos + +

tan + +

cot + +

B'

B

A' AO

M (x;y)

K

H

-147-

3) Bảng giá trị lƣợng giác của một số cung hay góc đặc biệt :

Góc

Giá trị

lượng giác

0(00) /6(30

0) /4(45

0) /3(60

0) /2(90

0)

Sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1

Cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0

Tg 0 3 /3 1 3 ||

Cotg || 3 1 3 /3 0

|| : không xác định

II) Ý nghĩa hình học của tan và cot

+ tan được biễu diễn bởi độ dài đại số của véctơ AT trên trục t’At,trục này gọi là trục tang.

+ cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của véctơ BS trên trục s’Bs,trục này gọi là trục

cotang.

Từ ý nghĩa hình học của tan và cot ta có :

tan(+k ) = tan

cot(+k ) = cot ( k Z ).

III. Quan hệ giữa các giá trị lƣợng giác

1/ Các hằng đẳng thức lƣợng giác cơ bản

Với mọi k Z ta có :

sin2 + cos

2 = 1

)2

( 1cot.

)( sin

1

cot

11

)2

( cos

111

22

22

kgtg

kg

ktg

Ví dụ 1 : Cho sin = 3/5 với 0< </2. Tính cos ?

Ví dụ 2 : Cho tg =2/3 với 3 /2 <<2 . Tính sin và cos ?

Ví dụ 3 : Cho /2+k , k Z . Chứng minh rằng :

1cos

sincos 23

3

tgtgtg

Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào

A =

g

g

tg

tg

cot

1cot.

1

2

2

y

x

t

K

H AA'

B'

B

O

M

T

y

x

S

H

K

A

B'

B

O

M

-148-

2) Giá trị lƣợng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau : và

sin() = sin

cos() = cos

tan() = tan

cot() = cot .

b) Cung bù nhau : và

sin() = sin

cos() = cos

tan()= tan

cot()= cot .

c) Cung hơn kém nhau : và +

sin(+) = sin

cos(+) = cos

tan(+) = tan

cot(+) =cot .

d) Cung phụ nhau : và 2

sin(/2) = cos

cos(/2)= sin

tan(/2) = cot

cot(/2) = tan

e) Cung hơn kém nhau /2 : và 2

+ (Xem)

sin(/2+) = cos

cos(/2+) = sin

tan(/2+) = cot

cot(/2+)= tan .

Ví dụ : Tính

a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4).

b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 = 1.

c) sin(10500)=sin(30

03.360

0) =sin30

0 = ½ .

-149-

BÀI TẬP SGK

1) Tính sin cà cos biết :

a) = 6750 = 45

0 720

0 b) = 390

0 = 30

0 + 360

0

c) =17/3 = /3 18/3 d) = 17/2 = /2 +16/2 .

2) Biểu thị theo tg các biểu thức sau,trong đó k Z :

a) tg(k +) =tg b) tg(k )=tg()=tg c) cotg(+k ) =cotg = 1/tg

3) Cho 0 < < /2. Xét dấu các biểu thức sau :

a) cos(+) < 0 b) tg() > 0

c) sin(+2/5) > 0 d) cos(3/8) > 0.

4) Tính biết :

a) cos = 1 =k2 b) cos =1 = + k2

c) cos = 0 =/2 +k d) sin = 1 = /2 +k2

e) sin =1 =/2 +k2 f) sin = 0 = k .

5) Chứng minh các đẳng thức sau :

a) tg2x sin

2x = tg

2x.sin

2x . b) x

gx

x

x

tgxcos

cot

sin

sin

c) xtgx

x 2

2

2

21sin1

sin1

d) xx

xtgxg

xx 22

22

22

cossincot

sincos

6) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :

a) A = 2cos4xsin

4x+sin

2xcos

2x+3sin

2x

Biến đổi theo cos (hoặc theo sin ) ta có : sin2x = 1cos

2x ;sin

4x =(1cos

2x)

2

Thay tính được A = 2.

b) B = (cotgx+tgx)2(cotgxtgx)

2

Khai triển hằng đẳng thức ta tính được B = 4.

c) C =1cot

1cot

1

2

gx

gx

tgx

Biến đổi tg = 1/cotg thế vào tính được C =1.

d) D = xxxx 2424 sin4coscos4sin

= xxxx 222222 sin4)sin1(cos4)cos1(

= |sin1||cos1|)sin1()cos1( 222222 xxxx

= 3 ( vì 1+cos2x,1+sin

2x > 0, x )

7) Tính các giá trị lượng giác của cung biết :

a) sin = 1/3 cos = 3

22

b) cos =2/ 5 và /2 < < 0 sin = 5/5

c) tg = 2 và /2 < < cos = 5/5

d) cotg = 3 và < < 3/2 sin = 10/1

e) sin = 5

4 và cos < 0 cos =

5

3

f) cos = 17

8 và

2 sin

17

15

8) Rút gọn các biểu thức sau :

a) A = cos(/2 + x) + cos(2x) + cos(3 + x) = sinx

b) B = 2cosx3cos(x) + 5sin(7/2x) + cotg(3/2x) = tgx

c) C = )2

cos()2

3sin()5sin()

2sin(2 xxxx

= cosx

-150-

d) D = )3(cot)2

3()

2

3sin()5cos( xgxtgxx

= 0

9) Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :

a) sin(A+B) = sinC b) cos(A+B) = cosC

c) sin2

BA=cos

2

C d) cos

2

BA=sin

2

C.

10. Chứng minh các đẳng thức sau

a) cos4 -sin

4 =2cos

2 -1

HD: cos 4 - sin

4 = 2222 sincossincos = 22 cos1cos

= 1cos2 2

b) 1 – cot 4 = 42 sin

1

sin

2 (nếu 0sin )

HD: 224 cot1cot1cot1 =

2

2

2

2

sin

cos1

sin

cos1

=

2

22

2

22

sin

cossin

sin

cossin=

2

22

2 sin

sin1sin

sin

1

=

4

2

sin

1sin2 =

42 sin

1

sin

2

c)

2

2

2

tan21sin1

sin1

(nếu 1sin )

HD: VT =

2

222

cos

sincossin =

2

22

cos

cossin2 = 1tan2 2

11. CM biểu thức không phụ thuộc

a) A = 4 4 4 4sin 4cos cos 4sin

HD: A= 24 sin14sin + 24 cos14cos

= 22 )sin2( + 2

2cos2 = 2sin2 + 2cos2 =3

b) B = 6 6 4 42 sin cos 3 cos sin

HD: B= 3232 cossin +(cos2 )

2 + (sin

2 )

2

B1 = 22 cossin . 4224 coscossinsin = (sin2 +cos

2 )

2 - 3sin

2 cos

2

= 1 – 3sin2 cos

2 12B 2 – 6 sin

2 cos

2

B2 = (cos2 )

2 +2sin

2 cos

2 + (sin

2 )

2 –2sin

2 cos

2

=(cos2 + sin

2 )

2–2 sin

2 cos

2

= 1 – 2 sin2 cos

2 23B –3 + 6 sin

2 cos

2

B = 2 – 6 sin2 cos

2 – 3 + 6 sin

2 cos

2 = – 1

12. Tính

a) A =3

25cos

6

25sin

+ tan

4

25 . Đáp số: A= 0

b) Biết 3

1sin . Tính : B1 = 2cos ;Tính B2 = 7tan

Đáp số: B13

22

9

8 ; B2 = tan

2

4

13. Biết m cossin .Tính P = 33 cossin

HD: P = cossin1)cos(sin (*) (do sin2 + cos

2 = 1)

2 2 2sin cos sin 2sin cos cos = 1 - 2 cossin

-151-

2

cossin1cossin

2

2

1 2m (1)P = m m

m

2

11

2

2

3 2m

-152-

§ 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC

I) Công thức cộng

Với mọi số thực a , b ta có :

cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb

cos(a + b) = cosa.cosb sina.sinb

sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

tgatgb1

tgbtga)ba(tg

(a /2 + k ;b /2 + k ;a+b /2 + k ;ab /2 + k )

Ví dụ1 : Tính

a) cos 12

13 b) sin75

0 c) tg

14

7

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng

a) tga1

tga1)a

4(tg

b) tga1

tga1)a

4(tg

Áp dụng tính A = 0

0

151

151

tg

tg

tg15

0 = ?

II) Công thức nhân

1) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a sin

2a

= 2cos2a 1

= 1 2sin2a

tg2a = atg1

tga2

2 ( a /2 + k , a /4 + k /2 )

* Công thức nhân ba

sin3a = 3sina 4sin3a

cos3a = 4cos3a 3cosa

tg3a =atg31

atgtga3

2

3

Ví dụ :

a) Chứng minh rằng a2sin2

11acosasin 244 .

b) Chứng minh rằng asinacos

asinacos

a2sin1

a2cos

2) Công thức hạ bậc

2

a2cos1acos2

2

a2cos1asin2

a2cos1

a2cos1atg2

( a /2 + k )

-153-

Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8

3) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg2

a (không học)

Giả sử a + k ,đặt t = tg2

a,ta có :

22

2

2 t1

t2tga ;

t1

t1acos ;

t1

t2asin

.

Ví dụ1 : Biết tg 2

a=

3

2 , tính

asin54

acos32

III) Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa.cosb = 2

1 [cos(a+b) + cos(ab)]

sina.sinb = 2

1 [cos(a+b) cos(ab)]

sina.cosb = 2

1 [sin(a+b) + sin(ab)]

cosa.sinb =2

1 [sin(a+b) sin(ab)]

Ví dụ 1 : Tính các biểu thức sau :

24

sin24

5sinB

12

7sin

12

5cosA

Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng các biểu thức sau

C = cos5x.cos3x

D = 4sinx.sin2x.sin3x = 2 sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x

= sin4x sin6x + sin2x IV) Công thức biến đổi tích thành tổng

2

yxsin

2

yxsin2ycosxcos

2

yxcos

2

yxcos2ycosxcos

2

yxsin

2

yxcos2ysinxsin

2

yxcos

2

yxsin2ysinxsin

sin( )

tan tancos cos

x yx y

x y

Ví dụ1 : Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích

Khi đó ta có các công thức :

)4

xsin(2xcosxsin

)4

xcos(2xsinxcos

)4

xsin(2)4

xcos(2xsinxcos

Ví dụ 2 : Biến đổi biểu thức sau thành tích

A = sinx + sin2x + sin3x = (sin3x+sinx) + sin2x =2sin2xcosx + 2sinxcosx

= 2cosx(sin2x + sinx ) =

-154-

BÀI TẬP Áp dụng

Bài 1 : Tính các giá trị lượng giác các cung có số đo

a) 150 = 45

030

0 b) 5/12 = /4 +/6

Bài 2 :

a) Biết sin =3/5 và /2 < < . Tính tg(+/3) .

HD : Tính cos = 4/5

tính sin(+/3) = …=(3 34 )/10 ; cos(+/3)=(43 3 )/10

tg(+/3) =)3/cos(

)3/sin(

b) Biết sina=4/5 và 00 < a < 90

0, sinb = 8/17 (90

0 < b < 180

0) .

Tính cos(a+b), sin(ab) .

HD : tính cos a = 3/5, cosb=15/17 cos(a+b)= , sin(ab) =

c) Cho hai góc nhọn a và b với tga = ½,tgb = 1/3. Tình a + b .

HD : tính tg(a+b) = tgb.tga1

tgbtga

= 1 a+b = /4 .

d) Biết tg(+/4) = m với m 1 . Tính tg .

HD : tg(+/4)=(1+tga)/(1tga) = m (m+1)tga = m1 tga = (m1)/(m+1)

Bài 3 : Chứng minh :

a) sin(a+b).sin(ab) = sin2asin

2b = cos

2bcos

2a.

HD : VT = (sina.cosb+cosa.sinb)(sina.cosbcosa.sinb)=(sina.cosb)2(cosa.sinb)

2

= sin2a.cos

2acos

2a.sin

2a biến cos

2a = 1sin

2a hoặc sin

2a = 1 cos

2a …

b) cos(a+b).cos(ab) = cos2asin

2b = cos

2bsin

2a.

HD : cos(a+b).cos(ab) = cos2acos

2b sin

2asin

2b

Bài 4 :

a) Cho ab = /3. Tính giá trị các biểu thức sau :

A = (cosa+cosb)2 + (sina+sinb)

2

HD : khai triển hằng đẳng thức A = 2+2(cosa.cosb+sina.sinb) =2+2cos(ab)

B = (cosa+sinb)2+ (cosbsina)

2

HD : B = 22sin(ab)

b) Cho cosa = 1/3 và cosb = ¼. Tính cos(a+b)cos(ab) .

HD : cos(a+b).cos(ab) = cos2acos

2b sin

2asin

2b

Bài 5 : Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có

a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC

(với điều kiện tam gíc ABC không phải là tam giác vuông )

Ta có : tgC = tg[(A+B)] = tg(A+B) = tgB.tgA1

tgBtgA

tgCtgAtgBtgC = tgA+tgB

b) 12

Atg.

2

Ctg

2

Ctg.

2

Btg

2

Btg.

2

Atg .

Ta có :

2

Btg

2

Atg

2

Btg.

2

Atg1

)2

B

2

A(tg

1)

2

B

2

A(gcot)]

2

B

2

A(

2[tg

2

Ctg

… đpcm .

Bài 6 : Tính cos2 ,sin2 ,tg2 biết ;

a) cos = 5/13 và < <3/2 .

HD : cos2 = 2cos2 1 = 119/169

sin2 = 1 cos

2 sin = 12/13 sin2 =2sin. cos

b) tg = 2 . HD : sin2a = 2tga/(1+tg2a) , cos2a = (1tg

2a)/(1+tg

2a) ,tg2a = sin2a/cos2a

Bài 7 : Cho sin2a = 4/5 và /2 < a < 3/2 . Tính sina và cosa .

HD : /2 < a < 3/2 < 2a < 3 ,vì sin2a = 4/5 < 0 < 2a < 2

cos2a = 3/5 hoặc cos2a = 3/5

-155-

Bài 8 : Tính

a) A = 8

cos.16

cos.16

sin

.

HD : A = 8

sin2

1 .cos

8

b) B = sin100.sin50

0.sin70

0.

HD : Nhân thêm 2cos100 và biến đổi sin70

0 = cos20

0

Bài 9 : Chứng minh

a) cotgx + tgx = 2/sin2x .

HD : xcos.xsin

1

xcos

xsin

xsin

xcosVT

b) cotgx tgx = 2cotg2x. HD :

x2gcot2x2tg

2

xtg1

tgx2

2

xtg1

tgx

1

tgx

xtg1tgx

tgx

1VT

22

2

c) xtgcos2x1

cos2x-1 ; tgx

x2cos1

x2sin 2

.

HD : tgxxcos2

xcosxsin2VT

2

Bài 10 : Chứng minh :

a) cos4a = 8cos4a 8cos

2a + 1.

HD : VT = 2cos22a1=2(2cos

2a1)

21= …

b) sin6a + cos

6a =

8

3cos4a+

8

5

HD : VT = sin4asin

2a.cos

2a+cos

4a=13sin

2a.cos

2a=1

4

3sin

22a= ]

2

a4cos1[

4

31

Bài 11 : Biến đổi thành tổng

a) A = 2sin(a+b).cos(ab) . = sin2a + sin2b

b) B = 2cos(a+b).cos(ab) . = cos2a + cos2b

c) C = 4sin3x.sin2x.cosx .

= 1+cos2xcos4xcos6x

Bài 12 : Biến đổi thành tích

a) A = sina + sinb + sin(a+b).

= (sina+sinb) + 22

bacos

2

basin

b) B = cosa + cosb + cos(a+b) +1.

HD : biến đổi coa + cosb thành tích ; 1 + cos(a+b) = 22

bacos2

c) C =1 + sina + cosa.

HD : 1+cosa = 22

acos2

; sina = 2

acos

2

asin2

d) D = sinx + sin3x + sin5x + sin7x. = (sin7x+sinx) + (sin5x+sin3x)

= 4sin4x.cos2x.cosx


a) sinx.sin(/3x).sin(/3+x) = 4

1sin3x.

-156-

VT = xsinxsin4

3)xsin21

2

1(xsin

2

1]

2

1x2[cosxsin

2

1 32

b) cosx.cos(/3x).cos(/3+x) =4

1cos3x.

VT = xcos4

3x3cos)

2

11xsin2(xcos

2

1]

2

1x2[cosxcos

2

1 2

c) cos5x.cos3x+sin7x.sinx = cos2x.cos4x.

VT = x2cos.x4cos]x6cosx2[cos2

1]x8cosx6[cos

2

1]x8cosx2[cos

2

1

d) sin5x2sinx(cos2x+cos4x) = sinx.

VT = sin5x2sinx[2cos3x.cosx] = sin5x4cos3x.sinx.cosx=sin5x2sin2x.cos3x

= sin(3x+2x) 2sin2x.cos3x = sin3x.cos2x+cos3x.sin2x2sin2x.cos3x

= sin3x.cos2xcos3x.sin2x = sin(3x2x) = sinx


a) 09

7cos

9

5cos

9cos

.

0)2

121(

9cos)

3

2cos21(

9cos)

9cos.

3

2cos2(

9cos)

9

7cos

9

5(cos

9cos

b) sin200.sin40

0.sin80

0 = 8/3 .

00030020

02000000

60sin4

120.3sin

4

1]20sin420sin.3[

4

1 ]20sin

2

3[20sin

2

1

]2

120sin1[20sin

2

1 ]

2

140[cos

2

1.20sin]120cos40[cos

2

1.20sinVT

Bài 15 : Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :

a) sinA + sinB + sinC = 2

Ccos

2

Bcos

2

Acos4 .

]2

BAcos

2

BA[cos

2

Ccos2

2

Ccos

2

Csin2

2

BAcos

2

BAsin2VT

…

( ta có 2

BAsin)]

2

BA(

2cos[

2

Ccos

)

b) cosA + cosB + cosC = 1 +2

Csin

2

Bsin

2

Asin4

.......]2

Csin

2

BA[cos

2

Csin21

2

Csin21

2

BAcos

2

Csin2

2

Csin21

2

BAcos

2

BAcos2VT 22

c) sin2A +sin2B+sin2C = 4sinA.sinB.sinC.

osC4cosAcosBcA.cosB2sinC.2cos

)]BAcos()BA[cos(Csin2CcosCsin2)BAcos()BAsin(2VT

d) cos2A+cos

2B+cos

2C = 12cosA.cosB.cosC.

ta có : cos(A) = cos(B+C) cosA = cosBcosC sinBsinC

bình phương hai vế ta được : cos2 A = cos

2B.cos

2C2cosB.cosC.sinB.sinC +sin

2B.sin

2C

thay sin2B = 1cos

2B , sin

2C = 1cos

2C

cos2B.cos

2C2cosB.cosC.sinB.sinC+1cos

2Bcos

2C = cos

2A

1+cosB.cosC(cosB.cosCsinB.sinC) = cos2A +cos

2B+cos

2C

1+cosB.cosC.cos(B+C) = cos2A +cos

2B+cos

2C ta có cos(B+C) =cosA …


a) xtgxsinxsinxcos

xcosxcosxsin 4

422

422

-157-

xtg)xsin1(

)xcos1(

xsinxsin21

xcosxcos21VT 4

22

22

42

42

b) sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3)cos(2/3 x) = cosx

Ta có : cos(2/3x) = cos[/2/6x]=sin(x/6)

VT = sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3) sin(x/6)

= sin[(2x+/3)(x/6)] = sin(x+/3+/6) = sin(x+/2) = cosx

c) (tg2xtgx)(sin2xtgx) = tg2x

xtgx2cos.xcos

x2cos.xsin

xcos

)1xcos2(xsin.

x2cos.xcos

x)-sin(2x

xcos

xsinxcosxsin2.

x2cos.xcos

x2cos.xsinxcos.x2sin)

xcos

xsinx2)(sin

xcos

xsin

x2cos

x2sin(VT

2

2

22

2

d) tg2x + cotg

2x =

x4cos1

x4cos26

x4cos1

)x4cos3(2

2

x4cos1

)x4cos1(4

x2sin

x2sin24

x2sin4

1

x2sin2

11

xcos.xsin

xcosxsin21

xcos.xsin

xcosxsinVT

2

2

2

2

22

22

22

44

Bài 17 : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

A = 3(sin4x+cos

4x) 2(sin

6x+cos

6x)

= 3(12cos2x.sin

2x)2(13sin

2x.cos

2x) = 1

B = cos6x + 2sin

4xcos

2x + 3sin

2x.cos

4x + sin

4x

Biến đổi sinx theo cosx A = 1

C = cos(x/3).cos(x+/4) + cos(x+/6).cos(x+3/4)

cos(x+/6) = sin[/2(x+/6)]= sin(/3x)=sin(x/3)

cos(x+3/4) = cos[/2+(x+/4)] = sin(x+/4)

C = cos(x/3).cos(x+/4)+ sin(x/3) sin(x+/4) =cos(x/3x/4)

= cos(7/12)

D = cos2x + cos

2(2/3+x)+cos

2(2/3x)

Sử dụng công thức hạ bậc ta được :

D = (1+cos2x)/2 + [1+cos(2x+4/3)]/2 +[1+cos(4/32x)]/2

2

3x2cos)

3cos(

2

x2cos

2

3x2cos

3

4cos

2

x2cos

2

3

)]x23

4cos()x2

3

4[cos(

2

1

2

x2cos

2

3

Bài 18 : Rút gọn các biểu thức sau

A = )tg1(cos)gcot1(sin 22

Biến đổi tg và cotg A = | sin + cos |

B =bcosacos

)basin()basin(

acosbcos2

basin

2

basin2

2

bacos

2

bacos2

2

bacos

2

basin.

2

bacos

2

basin4

B

C = a2sina4sin

a4cosa2cos

tgaacos.a3sin2

)asin(.a3sin2C

-158-

D = a5cosa3cosacos

a5sina3sinasin

a3tg)acos21(a3cos

)a2cos1(a3sin

a3cosacos.a3cos2

a3sinacos.a3sin2D

Bài 19 : Chứng minh sinx.cosx.cos2x.cos4x = 8

1sin8x

x8sin8

1x4cos.x4sin

4

1x4cos.x2cos.x2sin

2

1VT

Ap dụng : tính giá trịc các biểu thức sau

a) sin60.sin42

0.sin66

0.sin78

0

16

1

6cos

96sin.

16

1

6cos

48cos.48sin8

1

6cos

48cos.24cos12cos.6cos.6sin

6cos2

)1290sin().2490sin().4890sin(.6cos.6sin2A

0

0

0

00

0

00000

0

00000000

b) cos /7 . cos 3/7 . cos 5/7

8

1

7sin8

)7

sin(

7sin

7.8sin

8

1

7sin

7

4cos.

7

2cos.

7cos

7sin

7

4cos.

7

2cos.

7cosB

7

2cos)

7

5cos(

7

5cos

7

4cos)

7

3cos(

7

3cos

Bài 20 : a) Biết tg 2

a = m , tính

asintga

asintga

22

2

2

m2

atg

2

acos2

2

asin2

acos1

acos1

)acos1(tga

)acos1(tga

asintga

asintga

b) Biết tg a + cotga = m , 0 < a < /2, tính sin2a , sin4a. Tham số m phải thỏa mãn điều kiện

gì ?

Vì 0 < a < /2 tga,cotga > 0 Ap dụng BĐT côsi tga+cotga 2 m 2

Ta có tga + cotga = 2/sin2a sin2a = 2/m cos22a =14/m

2

Nếu 0 <a /4 cos2a 0 cos2a = m

4m2 sin4a = 2sin2a.cos2a

Nếu /4 < a < /2 cos2a < 0 cos2a = m

4m2 sin4a = 2sin2a.cos2a

Bài 21 : Cho sina + cosa = m vơí 2 m 2

a) Tính sin2a . (sin2a= 2sina.cosa = (sina+cosa)21 = m

21)

b) Tính sina và cosa.

2

1macos.asin

macosasin

2 sina ,cosa là nghiệm của pt X2mX+

2

1m2 =0

= 2m2 0 X =(m )m2 2 /2

c) Xác định điểm ngọn của cung a khi m = 1, khi m = 2 .

Khi m =1 sina.cosa = 0 sina = 0 hoặc cosa = 0

a = k hoặc a = /2+k Các điểm ngọn là A,A’,B,B’.

-159-

Khi m = 2 = 0 X = 2 /2 sina = cosa = 2 /2 a = /4 + k2 điểm ngọn là

trung điểm cung AB.

-160-

BÀI TẬP ÔN CHƢƠNG BÀI 1 : Tính giá trị các biểu thức sau

A = 4 sin245

0 + 2cos

260

0 3cotg

345

0

= 4( 2 /2)2 + 2.(1/2)

23 = 1

B = tg450.cos390

0.cotg(150

0)

= tg450.cos(300+360

0).cotg(30

01800) = 3/2

C = 3a.cos3600 + b.sin(270

0) + a.cos180

0

= 3a.cos(00+360

0)+b.sin(90

03600)+a.cos180

0= 2a+b

D = 4a2.sin

245

0 3(a.tg45

0)2 + (2a.cos45

0)2

= 4a2( 2 /2)

2 3a2

+ 4a2( 2 /2)

2 = a

2

E = 02030

20033033

45cosb2+30sina2+)90cosa25(

)0sinab12(+45gcotb+60cosa8

= 23

2333

)2/2(b2+)2/1(a2+)0.a25(

)0.ab12(+b+)2/1(a8 = a

2 ab + b

2

F = (a2

+ 1).sin00 + b.cos90

0 + c.cos180

0

= (a2

+ 1).0 + b.0 c = c

G = tg10.tg2

0.tg3

0 . . . tg88

0.tg89

0

= tg1.tg2.tg3...tg43.tg44.tg45.tg(9044).tg(9043)...tg(902).tg(901)

= tg1.tg2.tg3...tg43.tg44.1.cotg44.cotg43...cotg2.cotg1 = 1

H = )110 - sin(3

1+

cos650

1

00

= )20 - 90 -sin(3

1+

)720+90 - 20cos(

100000

= 20cos20sin3

sin20 - 20cos3=

20cos3

1 -

20sin

1

= 40sin3

0)cos60.sin2 - s204(sin60.co=

40sin2

3

)20sin2

1 - 20cos

2

3(2

=40sin3

40sin4= 4/ 3

K = tg1100.tg340

0 + sin160

0.cos110

0 + sin250

0.cos340

0

= (tg90+20).tg(20+360)+sin(18020).cos110+sin(110+360).cos(20+360)

= cotg20.tg(20) + sin20.cos110 cos20sin110

= 1 + sin(20110) = 1 sin90 = 0

L = sin50.sin15

0.sin25

0.sin35

0.sin45

0.sin55

0.sin65

0.sin75

0.sin85

0

= (sin5.sin85).(sin15.sin75).(sin25.sin65).(sin35.sin55).sin45

= (sin5.cos5).(sin15.cos15)(sin25.cos25)(sin35.cos35).sin45

= 20cos.40cos.80cos2

2=

2

2.70sin

2

1.50sin

2

1.30sin

2

1.10sin

2

16

(nhân cho sin20)

= 80cos.40cos.40sin2

1.

20sin

1.

2

2=80cos.40cos.20cos.20sin.

20sin

1.

2

266

= 9666 2

2=20sin

8

1.

20sin

1.

2

2=160sin

2

1.

2

1.

2

1.

20sin

1.

2

2=80cos.80sin

2

1.

2

1.

20sin

1.

2

2

M = sin100.sin30

0.sin50

0.sin70

0.sin90

0

= sin10. 2

1 .sin(9040).sin(9020).1

= 10cos

1.

2

1cos10.sin10.cos40.cos20 =

10cos

1.

2

1.

2

1sin20.cos20.cos40 = 1/16

N = sin200.sin40

0.sin80

0

-161-

= 2

1.[cos(2040)cos(20+40).sin80 =

2

1sin80.cos20cos60.sin80

=2

1sin80.cos20

4

1sin80 =

2

1.

2

1(sin60 + sin100)

4

1sin80

= 4

1.

2

3+

4

1sin(18080)

4

1sin80 = 83

P = tg90

+ tg150 tg27

0 tg63

0 + tg75

0 + tg81

0

= tg9+tg15tg27tg(9027) + tg(9015)+tg(909)

= tg9+tg15tg27cotg27+cotg25+cotg9 = tg9+cotg9)+(tg15+cotg15)(tg27+cotg27)

= 4+54sin.18sin

sin18) - 54(sin2=

sin54

2 -

30sin

2+

18sin

2=

7cos27.sin2

1 -

15sin.15cos

1+

9sin.9cos

1

= 8=4+54sin.18sin

18sin.36cos4

Q = 7

π6cos+

7

π4cos+

7

π2cos ( nhân hai vế cho sin(/7) )

= 7

πsin

7

π6cos2+

7

πsin

7

π4cos2+

7

πsin

7

π2cos2.

7

πsin2

1

= 7

π5sin - πsin+

7

π3sin -

7

π5sin+

7

πsin -

7

π3.[sin

7

πsin2

1= 1/2

R = 48

πcos+

48

πsin 66

= )48

πcos+

48

π(sin

48

πcos.

48

π3sin -)

48

πcos+

48

π(sin 2222 322

= 12

πcos

8

3+

8

5=)

12

πcos - 1(

8

3 - 1=

24

π.sin

4

3 - 1 2

mà 4

6+2=

4

πsin

3

πsin -

4

πcos

3

πcos=)

4

π -

3

πcos(=

12

πcos

thay vào ta được R = 32)63+23+20(

S = sin273

0 + sin

247

0 sin73

0.sin47

0

= )2

1+26(cos

2

1 - )94cos+146(cos

2

1 - 1 = 47)]+cos(73 - 47) - 73[cos(

2

1 -

2

cos94 - 1+

2

cos146 - 1

= 26cos2

1 - 26cos120.cos -

4

3 = 3/4

V = 3 - 9

πtg27+

9

π33tg -

9

πtg 246

Ta có 3a.tg1) - a(3tg = 3tga) - atg(=>3a3tg - 1

a tg- tga3=a3tg 22223

2

3

Với kết quả trên đưa V về dạng

= 0=1)-9

π3(3tg -

9

π3.tg1) -

3

πtg3(=1) -

9

π3(3tg -)

9

π3tg -

9

πtg( 2222222 223

BÀI 2 : Xác định dấu của các biểu thức sau

A = sin400.cos(290

0) ;

B = sin2550.tg390

0.cotg(175

0) ;

C = cos1950.tg269

0.cotg(90

0) ;

D = sin(+).cos(1,5 + ).tg( ) với 0 < < /2 ;

E = sin(14410).cos1080

0.tg908

0.cotg(1972

0) ;

-162-

F = 00

00

150gcot.200tg

300cos.100sin ;

( A > 0 ; B > 0 ; C ; D ; E ; F )

BÀI 3 : Đơn giản biểu thức

A = cotgx

sinx -

xsin

tgx

=cosx

xsin - 1=

xsin

cosx

sinx -

xsin

xcos

xsin2

= cosx

B = xcos+xsin

xcos+xsin 33

= sinx.cosx - 1=xcos+xsin

xcos+sinx.cosx - x)(sinxcos+x(sin 22

C =x tg-x cotg

x sin - xcos

22

22

= xcos.xsin=

xcos

xsin -

xsin

xcos

xsin - xcos 22

2

2

2

2

22

D = cosx - 1.xcos+1

= |xsin|=xcos - 1 2

E = )2

π - tg(x - )

2

π5 - x(tg - )

2

π3+x(tg+)x+

2

π(tg

= cotgx + x)]- 2

π tg[-(- )π2 -

2

π -tg(x- )π+x+

2

π(tg

= cotgx + tg cotgx+ )2

π - tg(x- )x+

2

π( = cotgx cotgx + cotgx +cotgx = 0

F = x)+ x).tg(90- cotg(90 - x)-(90sin-1

)x+(90cos -1 00 02

02

= xcos -1

xsin - 12

2

tgx(cotgx) =xcos -1

xsin - 12

2

+1 = xsin

1=1+

xsin

xcos22

2

G = cos100 + cos30

0+...+cos150

0 + cos170

0

= (cos10 + cos170)+(cos30 + cos150)+(cos50 + cos130)+(cos70+cos110) + cos90

= (cos10cos10)+(cos30cos30)+(cos50cos50)+(cos70cos70) = 0

H = sin210

0 + sin

220

0 +...+ sin

290

0

= ( sin210 + sin

280)+(sin

220+sin

270)+(sin

230+sin

260)+(sin

240+sin

250)+sin

290

= (sin210+cos

210)+(sin

220+cos

220)+(sin

230+cos

230)+(sin

240+cos

240)+1 = 5

K =sin2a - sin4a

cos4a - a2cos

= a3tg=asin.a3cos

-a)sin3a.sin( - =

2

2a - 4asin.

2

2a+4a2.cos

2

4a - a2sin.

2

4a+2a2.sin -

-163-

L = sin2a.cotga cos2a

= sin2a. 1=asin

a) - a2sin(=

asin

cos2a.sina - sin2a.cosa = cos2a -

asin

acos

M = tga + tg(a+3

π) + )+a(tg

3π2

= tga + tga3+ 1

3 - tga+

.tga3 - 1

3+tga+tga=

3

π2 tga.tg- 1

3

π2tg+tga

+

3

π tga.tg- 1

3

πtg+tga

= a3tg - 1

8tga+tga

2

= a3tg3=3tg2a - 1

a) tg- tga3(3 3

N = acos+cosa -1

asin.2

acosa).tg+(1

2

22

= 1=acos+asin=acos+

2

atg

asin2

atg

=acos+

2

acos2

2

asin2

asin2

atg

=acos+

cosa+1

cosa - 1

asin2

atg

222

2

22

2

2

2

22

2

22

P = tga- gacot

tga+cotga

= a tg- 1

atg+1=

tga- tga

1

tga+tga

1

2

2

= a2cos

1=

acos

asin - acos

acos

1

2

22

2

Q = (1 + 2cos2a + 2cos4a + 2cos6a).sina

= sina + 2sina.cos2a + 2sina.cos4a + 2sinacos6a

= sina +sin(a) + sin3a + sin(3a) + sin5a + sin(5a) + sin7a = sin7a

S = a5cos+a3cos+acos

a5sin+a3sin+asin

= a3tg=)a2cos+1(a3cos

)a2cos+1(a3sin=

a3cos+a2cosa3cos2

a3sin+a2cosa3sin2=

a3cos+a5cos+acos

a3sin+a5sin+asin

R = cos10x + 2cos24x + 6cos3x.coxcosx8cosx.cos

33x

= cos10x + (1 + cos8x) cosx 2cosx(4cos33x3cosx)

= cos10x + cos8x + 1 cosx 2cosx.cos9x

= 2cos9x.cosx+1cosx2cos9x.cosx = 1 cosx

BÀI 4 : Chứng minh đẳng thức luợng giác

a) (tg + cotg)2 (tg cotg)

2 = 4

VT = tg2 + cotg

2+2.tg.cotg(tg

2+tg

22tg.cotg) = 4

b) αgcot+αtg

αtg+1=

αcotg

αcotg+1.

αtg+1

αtg

22

4

2

2

2

2

.

VT = αtg=)1+αgcot

1.(

αtg+1

αtg 2

22

2

c) sin4 cos

4 = 2sin

2 1 .

VT = (sin2)2(cos2)2 = (sin2+cos

2)(sin

2cos

2)

= sin2cos

2 =2sin

2 1

d) sin6 cos

6 = 13sin

2 cos

2 .

-164-

VT = (sin2+cos

2)(sin

4sin

2.cos

2+cos

4) = sin

4sin

2.cos

2+cos

4

= (sin2+cos

2)2sin

2.cos

2sin

2.cos

2

e) (1 + tgx)(1 + cotgx ).sinx.cosx = 1 + 2sinx.cosx .

VT = xcos.xsin)xcos

xsin+

xsin

xcos+2(=xcos.xsin).gxcot.tgx+tgx+gxcot+1(

= 2sinx.cosx + cos2x + sin

2x = 1 + 2cosx.sinx

f) sinx

cosx - 1=

xcos+1

xsin.

<=> sin2x = 1 cos

2x

g) tga.a3tg=a2a.tg tg- 1

a tg- a2tg

22

22

.

VT = atga2tg+1

tga- tg2a.

tg2a.tga- 1

tga+a2tg=

tg2a.tga)+1tg2a.tga)(- (1

tga)- tg2a)(tga+a2tg( = tg3a.tga

h) sin(a+b+c) =sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc sina.sinb.sinc .

VT = sin[(a+b)+c] = sin(a+b).cosc + cos(a+b).sinc

= (sina.cosb+cosa.sinb)cosc + ( cosa.cosb sina.sina)sinc

= sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc sina.sinb.sinc

i) 8cos4a4cos2acos4a = 3 .

VT = 8(cos2a)2 4cos2a cos4a = 2(1 + cos2a)

2 4cos2a cos4a

= 2 + 4cos2a + 2cos22a 4cos2a cos4a

= 2 + 1 + cos4a cos4a = 3

j) tg2a- a2cos

1=

asin+acos

sina - acos.

VT = a2cos

1=

cos2a

sin2a - 1=

asin - acos

a2.cosa.sin - 1=

sina) - sina)(cosa+(cosa

sina) - (cosa22

2

tg2a

k) )4

π - a(gcot=

sin2a - 1

a2sin+1 2 .

VT = )a - 4

π(ctog).

4

π+a(tg=

)a - 4

π sin().

4

π+acos(2

)a - 4

π cos().

4

π+asin(2

=

sin2a - 2

πsin

a2sin+2

πsin

= )4

π - a(gcot=)]

4

π - cotg(a -).[

4

π - a+

2

π(tg 2

l) sina + sinb +sinc = 2

csin.

2

bcos.

2

acos4 , biết a + b = c .

VT = 2

ccos

2

csin2+

2

b - acos

2

csin2=

2

ccos

2

csin2+

2

b - acos

2

b+asin2

= 22

bcos

2

acos

2

csin4=)

2

b+acos+

2

b - a(cos

2

csin

m) cotgx + tgx = x2sin

2 .

VT = x2sin

2=

xcos.xsin.2

2=

xcos.xsin

1=

xcos

xsin+

xsin

xcos

n) cotgx cotg2x =x2sin

1 .

VT = x2sin

1=

x2sin.xsin

)x - x2sin(=

x2sin.xsin

cos2x.sinx - xcos.x2sin=

sin2x

cos2x -

xsin

xcos

-165-

o) 3 4cos2x + cos4x = 8sin4x .

VP = 8sin4x = 2(1cos2x)

2 = 24cos2x + 2cos

22x = 24cos2x + 1 + cos4x

= 3 4cos2x + cos4x

p) sin4x + cos

4x =

4

3+x4cos

4

1 .

VT = (sin2x)

2 + (cos

2x)

2 = 22 )

2

x2cos+1(+)

2

cos2x - 1(

= x4cos4

1+

4

3=

2

x4cos+1.

2

1+

2

1=x2cos

2

1+

2

1 2

q) sin6x + cos

6x =

8

5+x4cos

8

3 .

VT = (sin2x+cos

2x)

3 3sin

2xcos

2x(sin

2x+cos

2x)

= 1 3sin2x.cos

2x =

8

5+x4cos

8

3=

2

cos4x - 1.

4

3 - 1=x2sin

4

3 - 1 2

r) cos3x.sin3x + sin3x.cos

3x = x4sin

4

3.

VT = sin2x.sinx.cos3x + cos

2x.cosx.sin3x

= (1cos2x)sinx.cos3x + (1sin

2x).cosx.sin3x

= sinx.cos3x cos2xsinx.cos3x + cosx.sin3x sin

2x.cosx.sin3x

= sinx.cos3x + cosx.sin3x sinx.cosx(cosx.cos3x + sinx.sin3x)

= sin(x+3x) sinx.cosx.cos(x3x) = sin4x 2

1sin2x.cos2x

= sin4x 4

1sin4x =

4

3sin4x

s) Sin5x 2sinx(cos4x + cos2x ) = sinx .

VT = sin5x 2sinx.cos4x 2sinx.cos2x

= sin5x [sin(3x) +sin5x][sin(x)+sin3x]

= sin5x + sin3x sin5x + sinx sin3x = sinx

t) xcos.x2cos=2

xsin

2

x7sin+

2

x3cos

2

x5cos .

VT = )]2

x +

2

x7cos( - )

2

x -

2

x7[cos(

2

1+)]

2

3x +

2

x5cos(+)

2

3x -

2

x5[cos(

2

1

= xcos.x2cos=)x3cos+x(cos2

1=)x4cos - x3(cos

2

1+)x4cos+x(cos

2

1

u) x3sin4

1=)x+

3

π x).sin(-

3

πsin(.xsin . Ap dụng tính A =

18

π13sin.

18

π7sin.

18

πsin .

VT = )2

1+x 2sin - 1(xsin

2

1=]

3

π2cos - x2.[cos

2

1sinx.= x)-

3

πsin()x+

3

πsin(.xsin 2

= x).sinx4sin - 3(4

1 2 = 4

1(3sinx4sin

3x)=

4

1sin3x

Ap dung : 8

1=

6

πsin

4

1=

18

π3sin

4

1=

18

π13sin.

18

π7sin.

18

πsin

v) sin(a+b)sin(ab) = cos2b cos

2a .

w) cos(a+b)cos(ab) =cos2a + cos

2b 1 .

x) sina + sinb + sinc sin(a+b+c) = 2

a+csin

2

c+bsin

2

b+asin4 .

y) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) =2

a+ccos

2

c+bcos

2

b+acos4 .

BÀI 5 : Chứng biểu thức lượng giác độc lập với các biến ( Không phụ thuộc vào biến)

-166-

A = gxcot

sinx.cosx+

xgcot

xcos -x cotg

2

22

;

B = α.cosαsin

1 -

αgcot

)αcotg - (1

222

22

;

C = xsin4+xcos+xcos4+xsin 2424 ;

D = 3(sin8cos

8) + 4(cos

6 2sin

6 ) + 6sin

4 ;

E = β.cotgαcotg - β.sinαsin

βsin - αcos 2222

22

;

F = )α - (90).sinα - (180sin

1 -

)90 - α(gcot

)]α + (90cotg - 1[

020202

202

;

( A=1; B =4; C= 3; D= 1; E=1; F =4 )

G = )+xcos(). 3

π -x cos(+xsin

3π2

;

H = )3

π+(xcos +x cos + )

3

π -(x cos 222

;

K = )3

π2+x(sin+xsin+)

3

π2 -x (sin 222

;

( G= 1/4; H= 3/2 ; K=3/2 )

BÀI 6 : Tính giá trị của hàm số lượng giác Biểu thức lượng giác

a) Biết cos = 4/5 và 00 < < 90

0 .

+ Tính sin , tg , cotg .

+ Tính giá trị biểu thức A = α tg- αgcot

αtg+αgcot . ( sin = 3/5 ; A = 25/7 )

b) Biết tg = 2 , với là góc của một tam giác .

+ Tính cos, sin .

+ Tính giá trị biểu thức B = α2cos - αsin

αcos2+αsin . ( cos = 51- ; B = 0)

c) Cho tg + cotg = 2 . ( 00 < < 90

0 )

+ Tính sin, cos , tg, cotg .

+ Tính giá trị biểu thức C =αcotg + α tg

αcos.αsin

22 . ( = 45

0 ; C = 1/4 )

d) Cho sin + cos = 2 .

+ Tính sin, cos, g, cotg .

+ Tính giá trị của biểu thức D = sin5 + cos

5 .

( cos = sin = 22 ; D = 4/2 )

e) Cho 3sin4 cos

4 = 1/2

+ Tính biểu thức E = sin4 + 3cos

4 . ( E = 1 )

f) Biết tg750

= 3+2 , tính sin150, cos15

0 ; sin105

0 , cos105

0 .

( cotg150 = 3+2 ; tg105

0 = 3 - 2 - )

g) Tính 12

π cos ;

12

πnsi ;

12

πgcot;

12

πtg .

-167-

( 4

2+6 = cos ;

4

2 - 6=sin )

h) Cho cosa = 9/41 , với < a < 3/2 . Tính F = tg( a /4) .

( F = 31/49 )

i) Cho tgx = 1/2, tính giá trị biểu thức G = sin2x+tg2x

sin2x -tg2x .

( G = 1/4 )

j) Cho sina + cosa = 27 , tính H = cos4a , I = tg2

a.

( H = 1/8 ; I = 2+7

1±2)

k) Cho cotgx = 3/4 , tính giá trị biểu thức J = cos2x - x2sin+1

x2cos+x2sin+1 .

( A = 3/4 ) Bài 7 : Biến đổi biểu thức lượng giác về dạng

a) Biến đổi về dạng tổng

A = sina.sin2a.sin3a

= 2

1[cos(a2a)cos(a+2a)]sin3a =

2

1(cosa cos3a)sin3a

= 2

1(cosa.sin3a cos3a.sin3a) =

2

1[

2

1(sin4asin(2a))

2

1sin6a]

= 2

1[

2

1(sin2a+sin4a)

2

1sin6a]=

4

1(sin2a+sin4asin6a)

B = 4cosa.cos2a.sin2

a5

= 2(cosa+cos3a).sin2

a5 = 2cos3a.sin

2

a5 + 2cosa.sin

2

a5

= 2

a3sin+

2

a7sin+

2

asin -

2

a11sin

b) Biến đổi tổng thành tích

C = cos3a sina

= cos3a cos(2

πa) = )

4

π+asin().

4

π - a2sin(2

D = 12cosa + cos2a

= 2cosa + 2cos2a = 2(1cosa)cosa = 2.2.sin

2

2

a.cosa = 4 sin

2

2

a.cosa

E = 1 + cosa+cos2a + cos3a

= 2cos2a + (cos3a+cosa) = 2cos

2a + 2cos2a.cosa

= 2(cos2a+cos3a).cosa = acos2

acos

2

a5cos4

-168-

BÀI TẬP * Duøng baûng giaù trò caùc giaù trò löôïng giaùc ñaëc bieät, vaø heä thöùc cô baûn :

xxx

xxD

x

xx

x

xxC

xxxBxxxxA

xxx

xxl

yx

yxyxk

aaaaajxx

x

x

xi

xx

x

xhx

x

xg

xx

x

x

xxf

x

x

x

xe

xxxxdxxxxc

xxxxbxxxxa

fe

dc

ba

baa

abba

e

baba

badc

ba

cos.cotsin

tan.cos

cot

cos.sin

cot

coscot

cot1cotsin1cottancottan

cot.sin1tan

tansin)

cotcot

tantantan.tan)

)tan1)(cos1(tancossin1)sin

2

sin

cos1

cos1

sin)

cos

1tan

sin1

cos)tan21

sin1

sin1)

1cossin

cos2

cos1

1cossin)

cos1

sin

sin

cos1)

sin.tansintan)cot.coscoscot)

cos.sin31cossin)cos.sin21cossin)

)2

0(3

1tan))

2

3(

17

8sin)

)2

(5

4cos))

20(

3

2cot)

)2

3(

13

5cos))900(

5

4sin)

4cos2

6sin2

2cos5

0sin24

cot3

cos2

)

45tan0cos230sin2

45tan90sin)

3cos8

3cot2

6sin3)

6tan3

3sin2cos)

2cot7tan2

2cos30sin5)

22

22

22222

2

2

2

22222222

22662244

00

2

3

2

33

20002

20202

2

2

222

: thöùc bieåugoïnRuùt : 4 Baøi

: thöùc ñaúng minh Chöùng : 3 Baøi

: bieát cuûa khaùcgiaùc löôïng trò giaù caùc Tính : 2 Baøi

: sau thöùc bieåucaùc trò giaù Tíng : 1 Baøi

* Duøng coâng thöùc cung lieân keát :

000000000

00

0

0000

00

00

89tan.88tan...3tan.2tan.1tan180cos160cos...40cos20cos

18cot.72cot316cos

406cos226tan44cot36tan.

126cos144sin

216cos)234sin(

DC

BA

: sau thöùc bieåucaùc goïnRuùt : 5 Baøi

* Duøng coâng thöùc coäng :

2

a

4

3 vaø

13

12-sina bieát )

3cos( Tính : 7 Baøi

: sau (goùc) cung cuûa giaùc löôïng trò giaù caùc Tính : 6 Baøi

12

103)285)

12

7)15) 00 dcba

-169-

14cos2cot.4sin)2tan2cos

3cos.5sin5cos.3sin)

sin.coscot.tan1

)sin()sin()tan.tan1

cos.cos

)cos()cos()

sin24

sin4

sin)sincos)cos()cos()

22

22

22

22

22

xsxfxx

xxxxe

baba

babadba

ba

babac

aaababbabaa


* Duøng coâng thöùc nhaân :

4

34cos

4

1cossin)

cot2sin

2cos1)sin

2

3sin.5cos3cos.5sin)

tan1

tan1

2sin1

2cos)

4

4sincos.sinsin.cos)

)2

0(3

1cos))

2(

5

4sin)

44

33

xxxd

xx

xdx

cox

xxxxc

x

x

x

xb

xxxxxa

aabaaa


: bieát sin2a Tính: 9 Baøi

* Duøng coâng thöùc bieán ñoåi :

.cosC4cosA.cosB--1cos2Ccos2Bcos2A c)

.sinC4sinA.sinBsin2Csin2Bsin2A b)

tanCtanA.tanB.tanCtanB tanAa)

: minh chöùng haõyABC Cho : 14 Baøi

cos75A

: sau thöùc bieåucaùc trò giaù Tính : 13 Baøi

: toång thaønh Bieán : 12 Baøi

: tích thaønh Bieán : 11 Baøi

0

0000

000000000

000

00

000000

2222

81tan63tan27tan9tan7

6cos

7

4cos

7

2cos

70sin50sin10sin80sin40sin20sin80cos40cos20cos

15sin75sin12

5cos

12

11sin15cos.

3sin.2sin.cos8;3sin.2sin.sin2;7cos.5cos.3cos;4cos.2cos.sin2)

2cos)6

sin()6

sin(;)30cos()30sin(;5

2sin

5sin)

78cos222cos46cos;50sin20sin70sin)

3cos2coscos1;2coscos21;2cossin1)

sinsin;3coscos)cot1;3

3tan;2sin3sin)

HG

FED

CB

xxxxxxxxxxxxb

xxxaaa

d

xxxxxxxc

yxaabxxxxa

-170-

..................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

-171-

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

-172-

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

: trong - dehoctot.com.vn · ta có thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số...

Documents