ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ -...
TRANSCRIPT
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ ΦΟΡΕΩΝΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ ΦΟΡΕΩΝ
Επίπεδα ΠλαίσιαΕπίπεδα Πλαίσια
1
Επίπεδα Πλαίσια
Φορέας: EEπίπεδοςπίπεδος
ΦόΦό ∆ ά∆ ά ί δ έ ί δ έ ((FF FF ))ΦόρτισηΦόρτιση:: ∆υνάμεις∆υνάμεις στο επίπεδο του φορέα στο επίπεδο του φορέα ((FF11,F,F22))ΡοπέςΡοπές κάθετες στο επίπεδοκάθετες στο επίπεδο (M(M33))
x2
x1
x3
2
x3
Στοιχείο P2 Τ ό ύ ξόΤοπικό σύστημα αξόνων
F1 ik
ik
ikkx2
x1
F1 F2 ik
M3 ik
u1 ik
u2 ik
θ3 ik( i )
j
kx2
F1 ij
F2 ij
u1 ij
u2 ij
θ ij
jx3M3 ij
θ3
Τοπικό Σύστημα
x1
F1 ik
F2 ikΣτοιχείο P2
Τ ό ύ ξό
kx2
x1
F1 ij
ij
M3 ik
u1 ik
ik
Τοπικό σύστημα αξόνων
( i )
jx3
F1 F2 ij
M3 ij
u ij
u2
θ3 ik
u1 u2 ij
θ3 ij
Τοπικό Σύστημα
Dj Dk
Aj
Akk
k k u1 = 1
ik
k k u1 = 1
ijΥπολογισμός δεικτών στιβαρότητας στoιχείου P2
k11 k41
4
k14 k44
1
k22 k32 k52 k25
k55
k65
u2 = 1ij k62
5
u2 = 1ikk35
2
θ 1ij k53
5
θikk26
3θ3 = 1
k23
k53
k63 6
θ3 = 1k
k56
k26
k36
k33 k66 Συμμετρία
Betti MaxwellΙσορροπία Betti‐Maxwell Ισορροπία
Υπολογισμός δεικτών ενδοσιμότητας στοιχείου P2 ‐ Επιλογή προβόλου
2 5
x2 ( i )13
2
46
5
x1
x3
( )
j kL
P4 = 1
F44
P
F65
P5 = 1
F55 k44 = 1/ F44k55 = F66/Hk = F /H
Υπενθύμιση !!! K 0 & K KP5 1
F56 F66
k56 = ‐F56/Hk66 = F55/H H = F55 F66 – F56
2
Kii > 0 & Kij = Kji
P6 = 1
{Δk} = [FKK] {Pk} {Pk} = [FKK]‐1 {Δk} {Pk} = [kKK] {Δk}
F55 F65
Από Αρχή των ∆υνατών Έργων ισχύουν:
P5 = 1
[M5]P5 = 1
L
F F66
Επομένως με αντικατάσταση προκύπτουν:
P6 = 1
F56
[M6] P6 = 11
Ισορροπία4 5 6
Δείκτες στιβαρότητας στοιχείου P2
2
k44 = 1/ F44 , k55 = F66/H, k56 = ‐F56/Hk66 = F55/H , H = F55 F66 – F56
2
2
Συμμετρία
65 k25 = ‐ k55 = ‐12EI/L3
k35 = ‐ k65 – k55L = ‐6EI/L2
k26 = ‐ k56 = 6EI/L2
k36 = ‐ k66 – k56L = 2EI/L
k25 k55
k65 θ3 = 1ikk26
5
u2 = 1ikk35 6 k56
k66
k36
Ισορροπία4 5 6
Ισορροπία1 2 3
Δείκτες στιβαρότητας στοιχείου P2
245
k25 = ‐ k55 = ‐12EI/L3
k35 = ‐ k65 – k55L = ‐6EI/L2
2
3
4
6
35 65 55
k26 = ‐ k56 = 6EI/L2
k36 = ‐ k66 – k56L = 2EI/L36 66 56
k = k k = k Συμμετρία
3
2k62 = k26 , k52 = k25k22 = ‐ k52 = 12EI/L
3
k32 = ‐ k62 – k52L = 6EI/L2
k63 = k36 , k53 = k35
ΣυμμετρίαΣυμμετρίαkkj=kjk
3 k23 = ‐ k53 = 6EI/L2
k33 = ‐ k63 – k53L = 4EI/Lk22
k32 k52
k ij
3θ3 = 1
ijk62
2
u2 = 1ij
k23
k53
k63
k33
Μητρώο στιβαρότητας στoιχείου P2
EA/L 0 0 -EA/L 0 0
3 2 3 20 12EI3/L3 6EI3/L2 0 -12EI3/L3 6EI3/L2
0 6EI /L2 4EI /L 0 6EI /L2 2EI /L
[k (P2) ]=0 6EI3/L2 4EI3/L 0 -6EI3/L2 2EI3/L
-EA/L 0 0 EA/L 0 0-EA/L 0 0 EA/L 0 0
0 -12EI3/L3 -6EI3/L2 0 12EI3/L3 -6EI3/L20 EI3/L 6EI3/L 0 EI3/L 6EI3/L
0 6EI3/L2 2EI3/L 0 -6EI3/L2 4EI3/L
10
Στοιχείο Επίπεδου Πλαισίου (P2)Συμβ λ μ ί
F2 ik F1
ik
F2 ik
Συμβολισμοί
F1 ijF2
ijF1
ikF2
M3 ik
kx2
x1
ij
F2
M3 ik
ikx2 k
ij
u1 iku2
ik
F1
M3 ij
( i )
j
kx2
F1 ij
F2 ij
M ij
u1 ik
u2 ik
θ3 ikx1
x2
( i )
j
k
x3
u1 iju2
ij
θ ij
θ3 ik
jx3M3 u1
ij
u2 ij
θ ij
j
θ3
Τοπικό Σύστημαθ3
Καθολικό Σύστημα
Καθολικό Σύστημα Τοπικό Σύστημα
Μετασχηματισμός διανυσμάτων {Α} , {D} από το τοπικό στο καθολικό σύστημα αξόνων
Μητρώο Περιστροφής
x
x2x1 (i) x2 (i) F1 (i)
F2
x
φ11φ12
F1 x1F1
13/30
Συνημίτονα κατεύθυνσης λij
x2 x1x2
(i) kx2 ik
φ12
φ11
jx2 ij
x11ij
1ik
14/30
Μητρώο Περιστροφής
x2F2
x2 (i)
F x1 (i) F1 (i) F2 (i)
x1F1
[ΛPF]
F ij λ λ 0 F ij
ήή
Μητρώο Περιστροφής
F1ij λ11 λ12 0
[0]
F1ij
F2ij λ21 λ22 0 F2
ij
ήή
=M3
ij 0 0 1 M3ij
ik ik
{Aij}=
[ΛiPF] [0] {Aij}
{Aik} [0] [Λi ] {Aik}F1ik
[0]
λ11 λ12 0 F1ik
F2ik λ21 λ22 0 F2
ik
{A } [0] [Λ PF] {A }
[ ]
M3ik 0 0 1 M3
ik
Επομένως Καθολικό Μητρώο Στιβαρότητας
Μέλους :Επομένως έχουμε:
Μέλους :
Παράδειγμα Σχηματισμού Μητρώου Στιβαρότητας [Κ] φορέα
6Για κάθε στοιχείο του φορέα ισχύει
3 46
j k
jk11 k12 k13 k14 k15 k16
k21 k22 k23 k24 k25 k26
2 5
2 3
5 [ki] = j k21 k22 k23 k24 k25 k26
k31 k32 k33 k34 k35 k36
kk41 k42 k43 k44 k45 k46
k k k k k k2 5 k k51 k52 k53 k54 k55 k56
k61 k62 k63 k64 k65 k66
ή δύ1 4 j k
j kjj kjk
ή ισοδύναμα
1 6[ki] =
j kjj kjk
k kkj kkkk kkj kkk
1 2 2 3
k
Παράδειγμα Σχηματισμού Μητρώου Στιβαρότητας [Κ] φορέα
1 kjj kjk
2 kkj kkk
2 Kjj kjk
3 kkj kkk3 46
2 kkj kkk 3 kkj kkk
Στοιχείο 1 Στοιχείο 2
3 4
2 3 4 5
4 kjj kjk
5 6
5 kjj kjk2 5
2 3
5
5 kkj kkk 6 kkj kkk
2
1 4
2 5 3 4
Στοιχείο 4Στοιχείο 3
1 6
1 4
2 kjj kjk
5 k k
3 kjj kjk
4 k k
1 6
5 kkj kkk 4 kkj kkk
Στοιχείο 5 Στοιχείο 6
Μόρφωση Μητρώου Δυσκαμψίας [Κ] Φορέα3 4
2 3
6
5
1 2 3 4 5 6
(1) (1)
1 2 3 4 5 6
( ) ( )
1 2 3 4 5 6
( ) ( )
1 2 3 4 5 6
( ) ( )
1 2 3 4 5 6
1 k (1) k (1)
1 2 3 4 5 6
( ) ( )
1 2 3 4 5 6
( ) ( )1
2 5
6
1 4
1 kjj(1) kjk
(1)
k (1) k (1)
1 kjj(1) kjk
(1)
(1)kkk
(1) + k (2)
1 kjj(1) kjk
(1)
(1) (1) (2) (2)
1 kjj(1) kjk
(1)
(1) (1) (2) (2)
1 kjj(1) kjk
(1)
2 k (1)kkk
(1) + kjj(2)
(5) k (2) k (5)
1 kjj(1) kjk
(1)
(1) kkk(1) + kjj
(2)(2) (5)
1 kjj(1) kjk
(1) 0 0 0 0
(1) kkk(1) + kjj
(2)(2) (5)
1 6
2 kkj(1) kkk
(1)
3
2 kkj(1) kk
kjj(2) kjk
(2)
k (2) k (2)
2 kkj(1) kkk
(1) + kjj(2) kjk
(2)
(2) (2)
2 kkj(1) kkk
(1) + kjj(2) kjk
(2)
(2) (2)
2 kkj(1)
+ kjj(5) kjk
(2) kjk(5)
3 k (2) k (2)
2 kkj(1) kkk + kjj
+ kjj(5) kjk
(2) kjk(5)
(2)kkk
(2) + k (6)
2 kkj(1) kkk + kjj
+ kjj(5) kjk
(2) 0 kjk(5) 0
(2) kkk(2) + (6)3
4
3 kkj(2) kkk
(2)
4
3 kkj(2) kkk
(2)
4 k (3) k (3)
3 kkj(2) kkk
(2)
4 k (3) k (3)
3 kkj(2) kkk
(2)
4 k (3) k k(3)
3 kkj(2)
kjj(6) kjk
(6)
4 k (6) kjj(3) +
k (3)
3 0 kkj(2) kkk +
kjj(6) kjk
(6) 0 0
4 0 0 k (6) kjj(3) + k (3) 04
5
4
5
4 kjj(3) kjk
(3)
5 k (3) k (3)
4 kjj(3) kjk
(3)
5 k (3)kkk
(3) + ( ) k (4)
4 kjj( ) kjk
( )
k (5) (3)kkk
(3) + k (4) + (4)
4 kkj(6) jj
kkk(6) kjk
(3)
(5) (3)kkk
(3) + (4) (4)
4 0 0 kkj(6) kjj +
kkk(6) kjk
(3) 0
(5) (3)kkk
(3) + (4) (4)5
6
5
6
5 kkj(3) kkk
(3)
6
5 kkj(3)
kjj(4) kjk
(4)
6 k (4) k (4)
5 kkj(5) kkj
(3) kjj(4) +
kkk(5) kjk
(4)5 kkj(5) kkj
(3) kjj(4) +
kkk(5)
kjk(4)
(4) (4)
5 0 kkj(5) 0 kkj
(3) kjj(4) +
kkk(5)
kjk(4)
(4) (4)6666 kkj(4) kkk
(4)6 kkj
(4) kkk(4)6 kkj
(4) kkk(4)6 0 0 0 0 kkj
(4) kkk(4)
““ΚατανεμημέναΚατανεμημένα”” ΦορτίαΦορτία
Κατανεμημένες δράσεις (δυνάμειςΚατανεμημένες δράσεις (δυνάμεις--ροπές)ροπές)Θερμοκρασιακές μεταβολέςΘερμοκρασιακές μεταβολέςΘερμοκρασιακές μεταβολέςΘερμοκρασιακές μεταβολέςΕλλατωματικά μέληΕλλατωματικά μέληΥποχωρήσεις στηρίξεωνΥποχωρήσεις στηρίξεων
20
Η Αρχή της ΕπαλληλίαςΗ Αρχή της Επαλληλίας--Ισοδύναμος ΦορέαςΙσοδύναμος ΦορέαςΑρχικός ΦορέαςΑρχικός ΦορέαςΑρχικός ΦορέαςΑρχικός Φορέας
{{DDΑΦΑΦ}= {}= {DDΠΦΠΦ}+ {}+ {DDΙΦΙΦ}}{{DDΑΦΑΦ}= {}= {DDΠΦΠΦ}+ {}+ {DDΙΦΙΦ}}{Α{ΑΑΦΑΦ}= {Α}= {ΑΠΦΠΦ}+ {Α}+ {ΑΙΦΙΦ}}
21
Παγιωμένος ΦορέαςΠαγιωμένος Φορέας Ισοδύναμος ΦορέαςΙσοδύναμος Φορέας
Ακραίες δράσεις παγιώσεως στοιχείου P2Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.
∆Τ, δΤ,∆ράσεις παγιώσεως κόμβου
Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων22
Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.
Ακραίες δράσεις παγιώσεως στοιχείου P2
= +{D } 0 {D } {D }
{AS}
{DS}=0
{AR}
{DR}
{AX}
{DX}
Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων23
Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.
Ακραίες δράσεις παγιώσεως στοιχείου P2
Οι μετατοπίσεις d1, d2, d3, υπολογίζονται με την α.δ.ε.-μέθοδο μοναδιαίου φορτίου:μέθοδο μοναδιαίου φορτίου:
Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων24
Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.
∆ράσεις παγιώσεως για θερμοκρασιακή μεταβολή∆ράσεις παγιώσεως για θερμοκρασιακή μεταβολή∆ράσεις παγιώσεως για θερμοκρασιακή μεταβολή∆ράσεις παγιώσεως για θερμοκρασιακή μεταβολή
ΔΤ, δΤ > 0
ΔΤ> 0
Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων25
Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.
∆ράσεις παγιώσεως για υποχωρήσεις στηρίξεων∆ράσεις παγιώσεως για υποχωρήσεις στηρίξεων∆ράσεις παγιώσεως για υποχωρήσεις στηρίξεων∆ράσεις παγιώσεως για υποχωρήσεις στηρίξεων
∆ράσεις παγιώσεως για ελαττωματική κατασκευή μελών∆ράσεις παγιώσεως για ελαττωματική κατασκευή μελών
d4, d5, d6, είναι οι θετικές μετατοπίσεις που θετικές μετατοπίσεις που πρέπει να επιβληθούν για να παγιωθεί το άκρο.
Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων26